Στα επόµενα παρουσιάζουµε τις τρεις βασικές µεθόδους ολοκλήρωσης των ορισµένων ολοκληρωµάτων. α α

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Οοηρωτιός Λοισµός - Σχόι Θεωρίς Ασήσεις (Νο ) Θετιή Μέθοδοι οοήρωσης Τεχνοοιή Νο ι ορισµέν οοηρώµτ Κτεύθυνση Στ εόµεν ρουσιάζουµε τις τρεις σιές µεθόδους οοήρωσης των ορισµένων οοηρωµάτων.. Προντιή οοήρωση : Γι δύο συνρτήσεις f, g µε f ι g ν είνι συνεχείς στο [, ] είνι : f ( ) g ( ) d [ f ( ) g( ) ] - f ( ) ( ) g d Τύοι ορισµένων οοηρωµάτων ου υοοίζοντι µε ροντιή οοήρωση είνι : Α P ( ) d, Β P ( ) ηµ( )d, Γ P ( ) συν( )d, όου Ρ() είνι (συνήθως) ουωνυµιή συνάρτηση, µε,, IR. Θεωρούµε µι ρχιή συνάρτηση ι την, την ηµ( ) ι την συν( ) οότε : Α P ( ) d ( ) P - P ( ) d. Β P( ) συν( ) d ( ) συν( ) - P ( ) συν( ) P Γ P( ) ηµ ( ) d ( ) ηµ ( ) - P ( ) ηµ ( ) P d. d. Προσοχή! Μορεί ν εφρµοστεί η ροντιή οοήρωση ερισσότερες ό µί φορά ν το δεύτερο οοήρωµ δεν µορεί ν υοοιστεί ό την ρώτη εφρµοή. Είσης ι τους τύους : ηµ ( d, Ε ( συν d, θεωρούµε µι ρχιή της ι εφρµόζουµε δύο φορές ροντιή οοήρωση θεωρώντς ι τη δεύτερη φορά µι ρχιή της, µε,. Ενεµφνίζετι το ρχιό οοήρωµ ή Ε ι ύνουµε ως οοηρωτιή εξίσωση ως ρος Ε ή. (, δ,, IR). ηµ ( d ( ηµ - ( ηµ ( ) d ηµ ( είνι είσης : - ( ( ) συν d (), thoan_(intruls)/cl - -

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Οοηρωτιός Λοισµός - Σχόι Θεωρίς Ασήσεις (Νο ) συν d συν ( d Ε ( ( ) συν ( ( συν ( συν d - ( ( ) συν ηµ ( ( ηµ d, (), οότε η () στην () είνι : - ηµ ( ( ηµ Τέος ι τους τύους : - συν ( - - συν ( ( συν Ζ P ( ) ln( g( ) ) d, Η ( g( ) ) ln d,. θεωρούµε µι ρχιή της συνάρτησης P() ι το οοήρωµ Ζ ή ν δεν υάρχει τέτοι συνάρτηση όως στο Η, θεωρούµε µι ρχιή συνάρτηση του (), οότε : Η ln ( g( ) )( ) d [ ln( g( ) )] -. Οοήρωση µε ντιτάστση : g g ( ) ( ) d. Γι συνρτήσεις f ι g ου είνι συνεχείς στο [, ] ι µε u g(), du g (), u g(), u g(), είνι : Προσοχή! Συνήθως ντιθιστούµε µε u : u f ( g( ) ) g( ) d f ( u) ρστάσεις ου είνι υψωµένες σε εθέτη: ρ.. I ( 8 ) ( - ) u du d, θέτουµε u ( 8 ), du (-8)d du (-)d, ι είνι u, ι είνι u - 5, οότε I 5 u du - u

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Οοηρωτιός Λοισµός - Σχόι Θεωρίς Ασήσεις (Νο ) ρστάσεις σε ρονοµστή: ρ.. d θέτουµε u, du (-)d, ρστάσεις σε υόριζ: ρ.. d, θέτουµε u, ρστάσεις σε τριωνοµετριές: ρστάσεις σε εθέτη εθετιής συνάρτησης: du d ι u, 6 ρ.. ηµ d, θέτουµε u, du d, ρ.5. συν ηµ d, θέτουµε u ηµ, du συν d, d, θέτουµε u, du d, ρστάσεις σε οάριθµο: ρ.6. ln( ), ΓΕΝΙΚΑ : (µε την ροϋόθεση ότι ορίζοντι οι εόµενες ρστάσεις ι τις ρµέτρους,, µ, ν, ρ.) ν ( )d, ν Ζ, όου Π : ράστση των, ( ) ν, u θέτουµε u, ενώ, Π, ( ) ν µ Π, ( ) d, ν, µ ΙΝ *, θέτουµε u ( ) ρ Π, ( ) u ν/µ,... ν µ µ (, )d, ρ, µ ΙΝ {, }, ν το Ε.Κ.Π. (ρ, µ) ν, τότε θέτουµε u ν ( ) u v ρ, ( ) u ν/ρ µ ι ( ) u ν/µ,... ΣΥΝ ΥΑΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗΣ - ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ f( ) g( ) Π(, ηµ ( ))d, θέτουµε u g(), du g() g ()d, τόιν εφρµόζουµε ροντιή οοήρωση ρ.7. ηµ ( )d... f( ) g( ) Π(, συν( ))d, ύνουµε οµοίως µε το ροηούµενο οοήρωµ. - -

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Οοηρωτιός Λοισµός - Σχόι Θεωρίς Ασήσεις (Νο ). Οοήρωση µε ά άσµτ : Γι τύους ορισµένων οοηρωµάτων µορφής Ι d, µε ι δ ε >, οότε, οι ρίζες του δ ε Α B ρονοµστή ι τότε, οότε : δ ε Α B Ι d d (τόιν µορεί ν εφρµοστεί ι µέθοδος ντιτάστσης) Κ P() d, µε Q() δευτεροάθµιο ουώνυµο ι P() ουώνυµο Q() ίσου ή µεύτερου θµού του δευτεροάθµιου, ριν εφρµόσουµε τη µέθοδο των ών σµάτων ρέει ν ροηηθεί η διίρεση P() : Q() ώστε P( ) υ( ) P() Q() () υ(), άρ (), µε θµό υ() < θµού Q(), Q( ) Q( ) άρ : Κ ( ) d d υ(). (ι το δεύτερο οοήρωµ εφρµόζουµε µέθοδο ών Q() σµάτων) Το Κ οοήρωµ µορεί ν είνι ενιά νιοστού θµού ι ν ροντοοιείτι σε ν ρωτοάθµιους ράοντες ώστε ν εφρµόζετι η ράνω µέθοδος ών σµάτων. Ασήσεις Α Ν Α Λ Υ Σ Η Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο. Ν υοοίσετε τ εόµεν οοηρώµτ : Νο ) d ) d ) d d - ln ε) d στ) ln d ζ) ln d η) ln d ln θ) d ln ι) ( ηµ ) d ι) d συν ι) ηµ d ι) εφ d ι d 6 - -

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Οοηρωτιός Λοισµός - Σχόι Θεωρίς Ασήσεις (Νο ). Ν υοοίσετε τ εόµεν οοηρώµτ : συν ) d ) d ) d ηµ d ε) d στ) ηµ d 6 7 ζ) d η) d θ) d ι) ( )( 5) d ι) συv d ι) d ι) d ι d ιε) d. Ν ύσετε την εξίσωση du. uln u (Α. ). ίνοντι οι συνρτήσεις f, g µε f, g συνεχείς στο [, ]. Αν f() g() ι f () g (), ν οδείξετε ότι : ( f ( ) g( ) f( ) g ( ) ) d f ()(f() g()) 5. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο IR ν οδείξετε ότι : f ( ) d [ f ( ) f( ) ] d 6. Ν ρεθεί η συνεχής συνάρτηση f ι την οοί ισχύει : ηµ f ( ) d f() ηµ (Α. f() - - ηµ) Ε ι µ έ ε ι : Π.. Τρίµης Μθηµτιός - 5 -