Διπλωμαηική Επγαζία. ηος θοιηηηή ηος Τμήμαηορ Ηλεκηπολόγων Μησανικών και Τεσνολογίαρ Υπολογιζηών ηηρ Πολςηεσνικήρ Σσολήρ ηος Πανεπιζηημίος Παηπών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Διπλωμαηική Επγαζία. ηος θοιηηηή ηος Τμήμαηορ Ηλεκηπολόγων Μησανικών και Τεσνολογίαρ Υπολογιζηών ηηρ Πολςηεσνικήρ Σσολήρ ηος Πανεπιζηημίος Παηπών"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΠΑΣΡΩΝ ΣΜΗΜΑ ΗΛΕΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΥΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΕΥΝΟΛΟΓΙΑ ΤΠΟΛΟΓΙΣΩΝ ΣΟΜΕΑ: ΤΣΗΜΑΣΩΝ ΚΑΙ ΑΤΣΟΜΑΣΟΤ ΕΛΕΓΥΟΤ Διπλωμαηική Επγαζία ηος θοιηηηή ηος Τμήμαηορ Ηλεκηπολόγων Μησανικών και Τεσνολογίαρ Υπολογιζηών ηηρ Πολςηεσνικήρ Σσολήρ ηος Πανεπιζηημίος Παηπών Καλαμάπα Δημηηπίος ηος Γεωπγίος Απιθμόρ Μηηπώος: 5636 Θέμα «Μονηελοποίηζη ζςμπεπιθοπάρ δέπμαηορ- μςϊκών ιζηών ζε ζημειακή ή μη καηαπόνηζη και εξομοίωζη» Επιβλέπων Μάνεζηρ Σηαμάηιορ Απιθμόρ Διπλωμαηικήρ Επγαζίαρ: Πάηπα, Οκηώβπιορ 2009

2 ΠΙΣΟΠΟΙΗΗ Πιζηοποιείηαι όηι η Διπλωμαηική Επγαζία με θέμα «Μονηελοποίηζη ζςμπεπιθοπάρ δέπμαηορ- μςϊκών ιζηών ζε ζημειακή ή μη καηαπόνηζη και εξομοίωζη» Τος θοιηηηή ηος Τμήμαηορ Ηλεκηπολόγων Μησανικών και Τεσνολογίαρ Υπολογιζηών Καλαμάπα Δημηηπίος ηος Γεωπγίος Απιθμόρ Μηηπώος: 5636 Παποςζιάζηηκε δημόζια και εξεηάζηηκε ζηο Τμήμα Ηλεκηπολόγων Μησανικών και Τεσνολογίαρ Υπολογιζηών ζηιρ.../../ Ο Επιβλέπων Μάνεζηρ Σηαμάηιορ Αναπληπωηήρ καθηγηηήρ Ο Διεςθςνηήρ ηος Τομέα Κούζοςλαρ Νικόλαορ Καθηγηηήρ

3 Απιθμόρ Διπλωμαηικήρ Επγαζίαρ: Θέμα: «Μονηελοποίηζη ζςμπεπιθοπάρ δέπμαηορ- μςϊκών ιζηών ζε ζημειακή ή μη καηαπόνηζη και εξομοίωζη» Φοιηηηήρ: Καλαμάπαρ Δημήηπιορ Επιβλέπων: Μάνεζηρ Σηαμάηιορ ΠΔΡΙΛΗΦΗ ηελ παξνχζα δηπισκαηηθή εξγαζία κειεηάηαη ε ζπκπεξηθνξά ηνπ αλζξψπηλνπ δέξκαηνο θαηά ηελ εθαξκνγή ζεκεηαθήο (θαηαθφξπθεο) δχλακεο αιιά θαη κε ζεκεηαθήο (επηθαλεηαθήο). Γηα ηε κειέηε θαηαζθεπάδεηαη εηθνληθφ κνληέιν ηκήκαηνο ηνπ δέξκαηνο κε ρξήζε πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ. ηφρνο είλαη ε εηζαγσγή ηνπ καζεκαηηθνχ κνληέινπ ζε ξνκπνηηθφ ζχζηεκα ην νπνίν ζα θάλεη έλεζε πξνθαιψληαο ην ιηγφηεξν δπλαηφ πφλν ή καζάδ κε ηε κεγαιχηεξε δπλαηή απνηειεζκαηηθφηεηα. ηε δηπισκαηηθή δελ πξνγξακκαηίδεηαη θάπνην ξνκπφη πνπ λα επηηειεί ην έξγν απηφ, αιιά αλαπηχζζεηαη ν θψδηθαο ζε matlab ν νπνίνο κεηαζρεκαηηζκέλνο ζα κπνξνχζε λα ρξεζηκνπνηεζεί απφ έλα ξνκπνηηθφ ζχζηεκα. Αξρηθά, αλαιχεηαη ε κέζνδνο ησλ πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ ψζηε λα επηιεγεί ην θαηάιιειν κνληέιν γηα ην πξφβιεκά καο. Με ηελ παξαδνρή φηη ππάξρεη αμνληθή ζπκκεηξία επηιέγεηαη λα ρξεζηκνπνηεζεί κηα δνκή δχν δηαζηάζεσλ απνηεινχκελε απφ δχν ζηξψκαηα δηαθνξεηηθήο ειαζηηθφηεηαο (ππνζεηηθά, δέξκα θαη ππνδφξηνο ηζηφο). Γηα ηε κνληεινπνίεζε απηή αλαιχνληαη νη δηαδηθαζίεο πνπ πξέπεη λα αθνινπζεζνχλ θαη νη παξαδνρέο πνπ πξέπεη λα ιεθζνχλ ππ φςηλ. Δπίζεο, αλαιχεηαη κε καζεκαηηθφ ηξφπν ε πξνζέγγηζε ηνπ πξνβιήκαηνο παξακφξθσζεο ζε δχν δηαζηάζεηο. ηε θάζε απηή, αλάπηπμεο θαη επηινγήο ηνπ βέιηηζηνπ κνληέινπ, ε πξνζνκνίσζε γίλεηαη εμ' νινθιήξνπ ζε matlab. ηε ζπλέρεηα, αθνχ νξηζζεί ην κνληέιν ζε δχν δηαζηάζεηο πξέπεη λα πξνζδηνξηζηνχλ νη παξάκεηξνη γηα ην ζρεηηθφ πάρνο ησλ δχν ζηξσκάησλ θαη ηε ζρεηηθή ηνπο ειαζηηθφηεηα ψζηε ην κνληέιν λα αληαπνθξίλεηαη ζηελ πξαγκαηηθφηεηα. Γηα λα επηηεπρζεί ε ζπγθξηηηθή απηή αμηνιφγεζε, ρξεζηκνπνηνχληαη δχν νκάδεο πξαγκαηηθψλ πεηξακαηηθψλ ηηκψλ πνπ πεξηγξάθνληαη ζε ζρεηηθέο κειέηεο δηαζέζηκεο ζηε δηεζλή βηβιηνγξαθία. Γνθηκάδνληαη ζπγθξηηηθά δηάθνξα δεχγε παξακέηξσλ κε ζηφρν λα γίλεη κηα αλάιπζε επαηζζεζίαο ηνπ κνληέινπ, θαη λα εληνπηζηεί απηφο ν ζπλδπαζκφο ηηκψλ γηα ηνλ νπνίν ππάξρεη ε ειάρηζηε απφθιηζε απφ ηα πεηξακαηηθά δεδνκέλα. Σέινο, αμίδεη λα αλαθέξνπκε πσο ζην δεχηεξν ηκήκα ηεο εξγαζίαο φπνπ κνληεινπνηείηαη ε ζπκπεξηθνξά ηνπ δέξκαηνο ζε κε ζεκεηαθή θαηαπφλεζε ρξεζηκνπνηνχληαη ηα ίδηα πεηξακαηηθά δεδνκέλα θαζψο θαη δεδνκέλα απφ άιιεο πξνζπάζεηεο ~ iii ~

4 κνληεινπνίεζεο. Ο θψδηθαο πνπ ρξεζηκνπνηείηαη είλαη θαηά έλα κεγάιν πνζνζηφ ίδηνο κε απηφλ ηνπ 1 νπ κέξνπο. Λέμεηο θιεηδηά Μνληεινπνίεζε, πεπεξαζκέλα ζηνηρεία, ειαζηηθή παξακφξθσζε δέξκαηνο, απηηθά ζπζηήκαηα ~ iv ~

5 ABSTRACT The scope of this thesis is the study of the behavior of the human skin surface at the application of a vertical point as well as a non-point force on it. A model of a skin part is developed for the needs of this study, with use of finite elements method. The aim is to introduce the mathematical model in a robotic system which will inject causing the least possible pain or massage with maximum efficiency. In this thesis the robot is not being programmed, but it is been developed the code in matlab which by an appropriate transformation it could be used by the robot. First of all, the finite element method is been analyzed in order to select an appropriate model for our problem. Assuming axial symmetry is chosen to use a two-dimensional structure consisting of two layers of different elasticity (supposedly, skin and subcutaneous tissue). For the modeling the procedures we have to follow and the standards we should take into account are being analyzed. Furthermore we analyze the approach of the problem of deformation in two dimensions mathematically. At this stage, construction and selection of the optimal model, the simulation is entirely in matlab application. Then, after having built the model in two dimensions, the parameters for the relative thickness of both layers and their relative flexibility to the model to reflect reality must be defined. To achieve comparative evaluation, two groups of actual experimental values described in related studies available in the literature. Several pairs of parameters are being tested and compared in order to do a sensitivity analysis of the model, and found this combination of values for which there is little deviation from the experimental data. Finally it is worth mentioning that the second part of the work where the behavior of the skin in non-spot stress is being modeled there are used the same experimental data and data from other modeling efforts. The code used is a large proportion same as the one used in the 1st part. Keywords Modeling, finite elements, elastic skin deformation, tactile systems ~ v ~

6 ΔΤΥΑΡΙΣΙΔ Η παξνχζα δηπισκαηηθή εξγαζία πξαγκαηνπνηήζεθε ζην εξγαζηήξην ζπζηεκάησλ θαη απηνκάηνπ ειέγρνπ ηνπ ηκήκαηνο ησλ Ηιεθηξνιφγσλ Μεραληθψλ θαη Σερλνινγίαο Τπνινγηζηψλ θαη απνηειεί ηελ ηειηθή εξγαζία γηα ηελ απφθηεζε ηνπ δηπιψκαηνο ηνπ Ηι/γνπ Μερ/θνχ. ην ζεκείν απηφ, ζα ήζεια λα επραξηζηήζσ φινπο φζνπο βνήζεζαλ ζηελ πξνζπάζεηά κνπ απηή. Πνιιέο θαη ζεξκέο επραξηζηίεο ζηνλ θ. Μάλεζε ηακάηην, αλαπιεξσηή θαζεγεηή ηνπ ηκήκαηνο Ηιεθηξνιφγσλ Μεραληθψλ θαη Σερλνινγίαο Τπνινγηζηψλ ηνπ Παλεπηζηεκίνπ Παηξψλ, γηα ηηο πνιχηηκεο ζπκβνπιέο ηνπ θαη γηα ηελ θαζνδήγεζε πνπ κνπ παξείρε θαηά ηε δηάξθεηα ηεο εθπφλεζεο ηεο δηπισκαηηθήο κνπ εξγαζίαο. Ιδηαίηεξεο επραξηζηίεο ζηνλ θ. Κνχζνπια Νηθφιαν θαη ζηνλ θ. Πνηκελίδε Σξηαληάθπιιν, θαζεγεηέο ηνπ ηκήκαηνο Ηιεθηξνιφγσλ Μεραληθψλ θαη Σερλνινγίαο Τπνινγηζηψλ, γηα ηελ πνιχηηκε βνήζεηά ηνπο. Σέινο, ζα ήζεια λα επραξηζηήζσ ηνπο ζπκθνηηεηέο κνπ Μαλνπζίδε Ισάλλε, Αξβαληηάθε Ισάλλε, Υξηζηνπνχινπ ηέιια θαη Παπακηράιε Δπζηξάηην γηα ηε βνήζεηα πνπ κνπ πξνζέθεξαλ. ~ vi ~

7 ΠΔΡΙΔΥΟΜΔΝΑ ΠΔΡΙΛΗΦΗ... iii ABSTRACT... v ΔΤΥΑΡΙΣΙΔ... vi ΠΔΡΙΔΥΟΜΔΝΑ... vii ΛΙΣΑ ΥΗΜΑΣΧΝ... ix ΛΙΣΑ ΠΙΝΑΚΧΝ... xi ΜΔΡΟ Α' (Μνληεινπνίεζε πκπεξηθνξάο Γέξκαηνο ε εκεηαθή Καηαπφλεζε)... 1 ΚΔΦΑΛΑΙΟ 1 Δηζαγσγή Σν Πξφβιεκα ηνηρεία κνληεινπνίεζεο Δθαξκνγέο εηθνληθήο πξαγκαηηθφηεηαο Φπραγσγία- Σέρλε Σειεξνκπνηηθή Δθπαίδεπζε-Δπηζηήκεο-Δκπφξην ηξαηησηηθέο εθαξκνγέο Ιαηξηθή Μέζνδνη κνληεινπνίεζεο Άιιεο πξνζπάζεηεο κνληεινπνίεζεο Βηνταηξηθά δεδνκέλα ηνπ πξνβιήκαηνο Πιαίζην εξγαζίαο ΚΔΦΑΛΑΙΟ 2 Μνληεινπνίεζε Παξακφξθσζεο Γέξκαηνο Με Υξήζε Πεπεξαζκέλσλ ηνηρείσλ Γεσκεηξία ηνπ πξνβιήκαηνο Δηζαγσγή ζηε κέζνδν πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ Γηαθξηηνπνίεζε ηνπ πξνβιήκαηνο Αλάιπζε παξακφξθσζεο ζε δπν δηαζηάζεηο ΚΔΦΑΛΑΙΟ 3 Παξάκεηξνη Γηζδηάζηαηνπ Μνληέινπ Γεκηνπξγία κνληέινπ κε ρξήζε πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ Πεηξακαηηθά δεδνκέλα Απνηειέζκαηα κνληέινπ γηα ζεκεηαθή θαηαπφλεζε δέξκαηνο ΜΔΡΟ Β' (Μνληεινπνίεζε πκπεξηθνξάο Γέξκαηνο ε κε εκεηαθή Καηαπφλεζε) ~ vii ~

8 ΚΔΦΑΛΑΙΟ 4 Δηζαγσγή Αλάιπζε Πξνβιήκαηνο Γεδνκέλα κε εκεηαθήο Καηαπφλεζε Βηβιηνγξαθηθή αλαζθφπεζε Μνληέια παξακφξθσζεο Γηάξζξσζε εξγαζίαο Τινπνίεζε κνληέινπ δηθηπψκαηνο κάδαο-ειαηεξίν ΚΔΦΑΛΑΙΟ 5 Μαζεκαηηθφ θαη Τπνινγηζηηθφ Μνληέιν Μαζεκαηηθή Αλάιπζε Πξνβιήκαηνο Αιγνξηζκηθή Αλάιπζε Σνπ Μνληέινπ Απνηειέζκαηα & Γεδνκέλα ζχγθξηζεο ΚΔΦΑΛΑΙΟ 6 πκπεξάζκαηα & Μειινληηθή Δξγαζία ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΠΑΡΑΡΣΗΜΑΣΑ ~ viii ~

9 ΛΙΣΑ ΥΗΜΑΣΧΝ ρήκα (1.1). Δθαξκνγή εηθνληθήο πξαγκαηηθφηεηαο ζηελ ηειεξνκπνηηθή (Burdea, 1996)...4 ρήκα (1.2). Μηα θακπχιε (cubic) spline. Γηα λα αιιάμεη ε κνξθή ηεο αξθεί λακεηαηνπίζνπκε ηα ηέζζεξα ζεκεία ειέγρνπ απφ ηα νπνία εμαξηάηαη ρήκα (1.3). Σκήκα κνληέινπ απφ ειαηήξηα θαη κάδεο... 8 ρήκα (1.4). Μνληέιν δέξκαηνο πξνζψπνπ (Terzopoulos and Waters)... 8 ρήκα (1.5). Δηζαγσγή βειφλαο ζε καιαθφ ζψκα... 9 ρήκα (1.6). Σν πείξακα: Έλαο ξνκπνηηθφο βξαρίνλαο εθνδηαζκέλνο κε βειφλα, έλα ηκήκα. ηζηνχ θαη κία θάκεξα... 9 ρήκα (1.7). χγθξηζε δεδνκέλσλ πνπ πξνθχπηνπλ απφ ηελ θάκεξα κε ην κνληέιν Πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ ρήκα (1.8). Δθαξκνγή ρεηξνπξγηθνχ εξγαιείνπ ζε κνληέιν αλζξψπηλνπ νξγάλνπ ρήκα (1.9). Τινπνίεζε κνληέινπ ζπθσηηνχ ζε ηξεηο δηαζηάζεηο ρήκα (1.10). Τινπνίεζε ηκήκαηνο πνδηνχ ζε ηξεηο δηαζηάζεηο ρήκα (1.11). Πξνζνκνίσζε παξακφξθσζεο επηθάλεηαο γάκπαο ρήκα (1.12). Γνκή αλζξψπηλνπ δέξκαηνο ρήκα (1.13). ηηβάδεο ηνπ δέξκαηνο ρήκα (1.14).Σνκή δέξκαηνο ρήκα (1.15). Αλαπαξάζηαζε ηνκήο δέξκαηνο ρήκα (2.1). Δθαξκνγή δχλακεο ζε ζψκα ρήκα (2.2). Γηάηαζε ζψκαηνο θαηά ηελ εθαξκνγή δχλακεο ζε απηφ ρήκα (2.3). ηέλεκα ζψκαηνο θαηά ηε δηάηαζή ηνπ ρήκα (2.4). Σέλησκα θεξχζξαο ρήκα (2.5). ψκα πξηλ θαη κεηά ηελ παξακφξθσζε Γηάλπζκα κεηαηφπηζεο ζεκείνπ ρήκα (2.6). Παξάδεηγκα ζψκαηνο απφ πεπεξαζκέλα ζηνηρεία ρήκα (2.7). Αιιαγή αθξίβεηαο κε πεπεξαζκέλα ζηνηρεία ρήκα (2.8). Αιιαγή πιηθνχ κε πεπεξαζκέλα ζηνηρεία ρήκα (2.9). Μνξθή πίλαθα Κ ρήκα (2.10). Αξίζκεζε θφκβσλ ζε κνληέιν ~ ix ~

10 ρήκα (2.11). Σξηγσληθφ πεπεξαζκέλν ζηνηρείν (βαζκνί ειεπζεξίαο) ρήκα (2.12). Σξηγσληθφ πεπεξαζκέλν ζηνηρείν (πληεηαγκέλεο) ρήκα (3.1). Μνληέιν κε δχν ζηξψκαηα δηαθνξεηηθνχ πάρνπο θαη ειαζηηθφηεηαο ρήκα (3.2). Διαζηηθέο ξάβδνη (παξακφξθσζε κφλν σο πξνο ην κήθνο) ρήκα (3.3). ρεκαηηθή αλαπαξάζηαζε ξάβδνπ ρήκα (3.4). ρεκαηηθή αλαπαξάζηαζε ηξηγσληθνχ πεπεξαζκέλνπ ζηνηρείνπ ρήκα (3.5). Διαζηηθφ ηεηξάγσλν απφ πεπεξαζκέλα ζηνηρεία ρήκα (3.6). Γεκηνπξγία επηθάλεηαο απφ ειαζηηθφ πιηθφ κε ρξήζε πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ ρήκα (3.7). Οξηζκφο ζηαζεξψλ ζεκείσλ γηα ην κνληέιν ρήκα (3.8). Γηδηάζηαην κνληέιν πξηλ ηελ παξακφξθσζε ρήκα (3.9). Γηδηάζηαην κνληέιν κεγάιεο αθξίβεηαο ρήκα (3.10). Μέηξεζε ηεο παξακφξθσζεο ηεο επηθάλεηαο ηνπ δέξκαηνο ρήκα (3.11). Πεηξακαηηθά δεδνκέλα ρήκα (3.12). Κακπχιεο ζχκθσλα κε ηα πεηξακαηηθά δεδνκέλα ρήκα (3.13). Παξακφξθσζε δέξκαηνο γηα βάζνο δηείζδπζεο 0.9mm ρήκα (3.14). Παξακφξθσζε δέξκαηνο γηα βάζνο δηείζδπζεο 1.8mm ρήκα (3.15). Παξακφξθσζε δέξκαηνο γηα βάζνο δηείζδπζεο 2.2mm ρήκα (4.1). Σν δηθηχσκα κάδαο ειαηεξίνπ (Mass Spring Model MSM) ρήκα (4.2). Μέζνδνο ησλ πεπεξαζκέλσλ ζθαηξψλ (Meshless Finite Spheres MFS). Παξαηεξείηαη ε δεκηνπξγία ηνπ πιέγκαηνο θαηά ηελ είζνδν ηεο βειφλαο ζηελ επηθάλεηα ηνπ δέξκαηνο ρήκα (4.3). Παξαδείγκαηα απιψλ ζηνηρείσλ πνπ ρξεζηκνπνηνχληαη ζηε κέζνδν πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ. Παξαηεξνχκε 2D θαη 3D ζηνηρεία, κε δηάθνξνπο αξηζκνχο θφκβσλ ρήκα (4.4). Παξάδεηγκα δηαθξηηνπνίεζεο LEM.Φαίλνληαη ην απιφ ζηνηρείν, ην αληηθείκελν πξνο κνληεινπνίεζε θαη πψο ηειηθά απηφ δηαθξηηνπνηείηαη ζε πνιιά ζηνηρεία LEM (Moza, Sundaraj, Laugier, 2002).. 48 ρήκα (4.5). Παξακφξθσζε δέξκαηνο ζε κε ζεκεηαθή θαηαπφλεζε απφ αληηθείκελν παξαβνιηθνχ πξνθίι ρήκα (5.1). Γξαθηθή εξκελεία ηεο ζρέζεο (5.2) ~ x ~

11 ρήκα (5.2). Γξαθηθή εξκελεία ηεο ζρέζεο (5.1) ρήκα (5.3). Κπιηλδξηθφ ζχζηεκα ζπληεηαγκέλσλ ρήκα (5.4). Βάζνο δηείζδπζεο 0.9mm ρήκα (5.5). Βάζνο δηείζδπζεο 1.8mm ρήκα (5.6). Βάζνο δηείζδπζεο 3.0mm ρήκα (5.7). Βάζνο δηείζδπζεο 0.9mm ρήκα (5.8). Σξηζδηάζηαηε απεηθφληζε γηα βάζνο δηείζδπζεο 0.9mm ρήκα (5.9). Βάζνο δηείζδπζεο 1.8mm ρήκα (5.10). Σξηζδηάζηαηε απεηθφληζε γηα βάζνο δηείζδπζεο 1.8mm ρήκα (5.11). Βάζνο δηείζδπζεο 3.0mm ρήκα (5.12). Σξηζδηάζηαηε απεηθφληζε γηα βάζνο δηείζδπζεο 3.0mm ρήκα (5.13). Βάζνο δηείζδπζεο 0.9mm ρήκα (5.14). Σξηζδηάζηαηε απεηθφληζε γηα βάζνο δηείζδπζεο 0.9mm ρήκα (5.15). Βάζνο δηείζδπζεο 1.8mm ρήκα (5.16). Σξηζδηάζηαηε απεηθφληζε γηα βάζνο δηείζδπζεο 1.8mm ρήκα (5.17). Βάζνο δηείζδπζεο 3.0mm ρήκα (5.18). Σξηζδηάζηαηε απεηθφληζε γηα βάζνο δηείζδπζεο 3.0mm ρήκα (6.1). Αζζελήο ππνβάιιεηαη ζε ζεξαπεπηηθή αγσγή κέζσ ξνκπνηηθνχ ζπζηήκαηνο...67 ΛΙΣΑ ΠΙΝΑΚΧΝ Πίλαθαο (2.1). Καηεγνξίεο πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ Πίλαθαο (2.2). πληεηαγκέλεο θφκβσλ Πίλαθαο (3.1). 1 ε νκάδα πεηξακαηηθψλ δεδνκέλσλ (set1) γηα βάζνο 2mm Πίλαθαο (3.2). 2 ε νκάδα πεηξακαηηθψλ δεδνκέλσλ (set2) γηα βάζνο 1mm ~ xi ~

12 ΜΔΡΟ Α (Μνληεινπνίεζε πκπεξηθνξάο Γέξκαηνο ε εκεηαθή Καηαπόλεζε) ~ 1 ~

13 ΚΕΥΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΑΓΩΓΗ ΣΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1.1 ηνηρεία κνληεινπνίεζεο Η ρξήζε ηεο εηθνληθήο πξαγκαηηθφηεηαο κε ηε βνήζεηα ππνινγηζηή ζε θάπνηα ηαηξηθή εθαξκνγή, εθηφο απφ ην θνκκάηη ηνπ πξνγξακκαηηζκνχ, ην νπνίν ζα πξέπεη λα είλαη πξνζαξκνζκέλν ζηα εθάζηνηε ηαηξηθά δεδνκέλα, απαηηεί ηελ επίιπζε δχν βαζηθψλ πξνβιεκάησλ. Σν πξψην αθνξά ζηελ απνηειεζκαηηθή κνληεινπνίεζε, ψζηε ην πξφγξακκα λα αληαπνθξίλεηαη ζηελ πξαγκαηηθφηεηα. Η κνληεινπνίεζε είλαη κηα αθαηξεηηθή δηαδηθαζία, θαη απαηηεί πξνζνρή ζην δηαρσξηζκφ ησλ νπζηαζηηθψλ ζηνηρείσλ, αιιά θαη ζην δηαρσξηζκφ ησλ θαηαζηάζεσλ. Κάζε άλζξσπνο,ζπλεπψο θαη θάζε αλζξψπηλν ζψκα, δηαθξίλεηαη απφ ηε κνλαδηθφηεηα θαη ηε δηαθνξεηηθφηεηά ηνπ. Έηζη, δελ ππάξρεη ηδαληθφ αλζξψπηλν ζψκα ζην νπνίν ζα ζηεξηρζνχκε γηα ηε κνληεινπνίεζε. Άκεζε ζπλέπεηα είλαη λα ιεηηνπξγνχκε πξνζεγγηζηηθά. Όζν γεληθφηεξν είλαη ην πξφβιεκα πνπ κνληεινπνηνχκε ηφζν θαιχηεξε ζα είλαη θαη ε πξνζέγγηζή καο. Γηα παξάδεηγκα, ζε επίπεδν θχξηνπ θιεβηθνχ ή λεπξηθνχ ζπζηήκαηνο κπνξνχκε λα έρνπκε κία ζσζηή γεληθή εηθφλα ρσξίο ζεκαληηθέο απνθιίζεηο γηα ηνπο πεξηζζφηεξνπο αλζξψπνπο. Άιιν παξάδεηγκα είλαη ε ζέζε ησλ νζηψλ ή ησλ νξγάλσλ, ηελ νπνία κπνξνχκε επίζεο λα γλσξίδνπκε. Σα ηειεπηαία παξαδείγκαηα ήδε έρνπλ κνληεινπνηεζεί θαη ππάξρνπλ ζε ππνινγηζηή κε αξθεηή αθξίβεηα. Χζηφζν, αλ γηα ην κνληέιν καο ρξεηαδφκαζηε ηελ ηξηρνθπΐα ή ηελ απφρξσζε ηνπ δέξκαηνο, ή αθφκε ηελ εγθεθαιηθή ιεηηνπξγία είλαη πξνθαλέο φηη δε κπνξνχκε λα έρνπκε ζσζηά απνηειέζκαηα ρξεζηκνπνηψληαο γηα πξφηππν έλαλ άλζξσπν. Θεσξψληαο φηη ην κνληέιν έρεη πξνγξακκαηηζηεί θαη ιεηηνπξγεί ζσζηά πξνθχπηεη έλα δεχηεξν πξφβιεκα. Σν πξφβιεκα απηφ έρεη λα θάλεη κε ηελ νπηηθή (θαη φρη κφλν) απεηθφληζε ηνπ κνληέινπ, θαη απφ απηφ ηελ εμαγσγή απνηειεζκάησλ θαη ζπκπεξαζκάησλ. Δίλαη πξνθαλέο φηη θαη εδψ ε απεηθφληζε είλαη πνιχπινθε θαη ε ηειηθή εηθφλα ζίγνπξα ειιηπήο. ην κνληέιν ζίγνπξα θάπνηα ζηνηρεία ζα είλαη αλαθξηβή ή ζα απνπζηάδνπλ φπσο νζκή, ή ε πθή, ηα νπνία ζα ήηαλ ρξήζηκα ζηνλ ηαηξφ. Οη δπλαηφηεηεο ζα είλαη πεξηνξηζκέλεο (δε ζα δίλεηαη ζην γηαηξφ ε δπλαηφηεηα ηεο ςειάθεζεο), θαη ε παξνπζία ηνπ πξνγξακκαηηζηή, ζε πξψην ζηάδην ηνπιάρηζηνλ ζα είλαη αλαγθαία. Η εμαγσγή ζπκπεξάζκαηνο ζα είλαη θπζηθά πεξηνξηζκέλε γηα ην γηαηξφ αθνχ κπξνζηά ηνπ δε ζα έρεη έλαλ άλζξσπν, έλα πιήξεο αλζξψπηλν ζψκα, αιιά κία πξνζεγγηζηηθή ηνπ απεηθφληζε. Αλ θαη νη δπλαηφηεηεο είλαη αθφκε πεξηνξηζκέλεο νη πξνζπάζεηεο ζηνλ ηνκέα απηφ έρνπλ ζεηηθά απνηειέζκαηα, θαη ε κνληεινπνίεζε κπνξεί αθφκε λα κελ επαξθεί γηα εθαξκνγέο ζε θάζε άλζξσπν, αιιά ζίγνπξα κπνξεί λα ζπληειέζεη ζε άιινπο ζθνπνχο, φπσο εθπαηδεπηηθνχο. ~ 2 ~

14 ΚΔΦΑΛΑΙΟ Δθαξκνγέο εηθνληθήο πξαγκαηηθόηεηαο Η ρξήζε εθαξκνγψλ εηθνληθήο πξαγκαηηθφηεηαο (Virtual Reality) παξέρεη ακεζφηεηα θαη δπλαηφηεηα αιιειεπίδξαζεο ζην ρξήζηε, ηδηφηεηεο πνπ απνδεδεηγκέλα ζπκβάιινπλ κε θαηαιπηηθφ ηξφπν ζηε κάζεζε. Δπίζεο, παξέρεη ηελ δπλαηφηεηα αλάπηπμεο πεξηβάιινληνο, φπνπ κπνξνχλ λα ζπκκεηέρνπλ θαη λα ζπλεξγάδνληαη παξαπάλσ απφ έλαο ρξήζηεο κε κεησκέλν ππνινγηζηηθφ θφζηνο. Γηα ηνπο ιφγνπο απηνχο, ε εηθνληθή πξαγκαηηθφηεηα έρεη λα επηδείμεη εθαξκνγέο πνπ εθηείλνληαη ζε κεγάιν εχξνο ηνκέσλ, φπσο ηαηξηθή, ςπραγσγία θαη ηέρλεο, εκπφξην, ζηξαηησηηθέο εθαξκνγέο θ.η.ι.. Χζηφζν, παξά ην ζπλερψο απμαλφκελν ελδηαθέξνλ γηα ηελ αλάπηπμε εθαξκνγψλ εηθνληθήο πξαγκαηηθφηεηαο, ε εμέιημε ζηνλ ηνκέα απηφ πεξηνξίδεηαη θαη εμαξηάηαη αλαγθαζηηθά απφ ηελ εμέιημε ησλ ππνινγηζηηθψλ ζπζηεκάησλ, επεηδή νη εθαξκνγέο απηέο απαηηνχλ επαξθή ππνινγηζηηθή ηζρχ αιιά θαη ζρεηηθά θηελή, ψζηε λα δηαδνζνχλ ζε επξχ θνηλφ. Υαξαθηεξηζηηθά, αλαθέξνπκε φηη ε ρξήζε εηθνληθήο πξαγκαηηθφηεηαο άξρηζε λα δηαδίδεηαη κφιηο θαηά ην 1994, επεηδή ηα πξνεγνχκελα ρξφληα δελ ππήξρε θαηάιιειν ινγηζκηθφ θαη hardware λα ζπλνδέςεη ηηο εθαξκνγέο (Burdea and Coiffet, 1994). ηε ζπλέρεηα ζα θάλνπκε κία γεληθή επηζθφπεζε ησλ ηνκέσλ φπνπ ρξεζηκνπνηείηαη πεξηζζφηεξν εηθνληθή πξαγκαηηθφηεηα θαη ζα δψζνπκε παξαδείγκαηα εθαξκνγψλ. Ιδηαίηεξε κλεία ζα γίλεη γηα ηηο εθαξκνγέο βηνταηξηθήο, επεηδή ν ηνκέαο απηφο ζπγθεληξψλεη πιένλ ην κεγαιχηεξν ελδηαθέξνλ σο ν άκεζα πην σθέιηκνο γηα ηνλ άλζξσπν. Δδψ, κάιηζηα, πξνθχπηεη ε ηδηαίηεξε απαίηεζε γηα θαιή αλάδξαζε δχλακεο θαηά ηελ επαθή ζην εηθνληθφ πεξηβάιινλ, κε ηελ νπνία ζα αζρνιεζνχκε ζηελ εξγαζία απηή Φπραγωγία- Σέρλε Απφ ηηο πξψηεο εθαξκνγέο ηεο εηθνληθήο πξαγκαηηθφηεηαο (θαη απφ ηα θπξηφηεξα αξρηθά θίλεηξα αλάπηπμήο ησλ) ήηαλ ε ςπραγσγία, ε αλάπηπμε παηρληδηψλ φπνπ ν ρξήζηεο ζα κπνξεί λα έρεη άκεζε θαη φζν ην δπλαηφλ πην ξεαιηζηηθή αιιειεπίδξαζε κε ην πεξηβάιινλ θαη φπνπ ζα παξέρεηαη δπλαηφηεηα ζπλεξγαζίαο κε άιινπο ρξήζηεο. Ήδε απφ ηα πνιχ πξψηκα ζηάδηα αλάπηπμεο ηεο εηθνληθήο πξαγκαηηθφηεηαο ε «πινχζηα ζε αηζζήζεηο» αιιειεπίδξαζε ηνπ ρξήζηε κε έλα ηξηζδηάζηαην πεξηβάιινλ, απνηέιεζε ειθπζηηθή ηδέα σο ηδαληθφ πεξηβάιινλ παηρληδηνχ. Έηζη, ήδε απφ ην 1990, αλαπηχρζεθαλ ηα πξψηα κεγάιεο θιίκαθαο ζπζηήκαηα ςπραγσγίαο (παηρλίδηα) VR, ηα νπνία φκσο εμαηηίαο ηνπ πςεινχ θφζηνπο ησλ ππνινγηζηηθψλ κεραλεκάησλ, ήηαλ ζε ζηαζεξή βάζε («location based»). Δπίζεο, εμαηηίαο ηνπ θφζηνπο ζπκκεηνρήο αιιά θπξίσο ηεο πνιππινθφηεηαο ρεηξηζκνχ ησλ κεραλεκάησλ, νη ρξήζηεο πεξηνξίδνληαλ ζε κεγάιεο ειηθίεο (άλσ ησλ 20 εηψλ). Παξ φια απηά, ν ξεαιηζκφο πνπ πξνζέθεξαλ ηα πεξηβάιινληα απηά είρε κεγάιε απήρεζε ζηνπο ρξήζηεο θαη ηξάβεμε ην ελδηαθέξνλ κεγάισλ εηαηξηψλ παξαγσγήο πνπ ρξεκαηνδφηεζαλ ηνλ ηνκέα απηφ. Έηζη, θαζψο κε ηνλ θαηξφ νη ππνινγηζηηθέο δπλαηφηεηεο απμήζεθαλ θαη ην θφζηνο ησλ κεραλψλ έπεζε, αλαπηχρζεθαλ θαη ηα πξψηα ζπζηήκαηα γηα ρξήζε ζην ζπίηη («home-based»), πνπ ήηαλ πην απιά ζηε ρξήζε θαη πην πξνζηηά ζηνλ απιφ ρξήζηε θη έηζη ε δηάδνζή ηνπο πην κεγάιε. Δπίζεο, πέξα απφ ηα παηρλίδηα, αλαπηχρζεθε ε θηλεκαηνγξαθηθή βηνκεραλία πνπ ρξεζηκνπνίεζε «εηθνληθνχο εζνπνηνχο» (κε αλζξψπηλνη, εηθνληθνί ραξαθηήξεο θαζψο θαη αληηθείκελα ρεηξηδφκελα απφ αλζξψπνπο πνπ βξίζθνληαη ζην παξαζθήλην). Υαξαθηεξηζηηθά αλαθέξνπκε ηε κάζθα αηζζεηήξσλ πνπ δεκηνπξγήζεθε («Facial Waldo»), ηελ νπνία θνξάεη έλαο εζνπνηφο θαη νη εθθξάζεηο-ζπζπάζεηο ηνπ πξνζψπνπ ηνπ κεηαθέξνληαη ζε εηθνληθφ ραξαθηήξα θάλνληαο ηηο αληηδξάζεηο ηνπ πην ξεαιηζηηθέο. Σέινο, κπνξνχκε λα αλαθέξνπκε ηελ αλάπηπμε εθαξκνγψλ πνπ πξνζνκνηψλνπλ δηάθνξα κνπζηθά φξγαλα (π.ρ. πηάλν) θαη ιεηηνπξγνχλ κε αλάδξαζε δχλακεο, θαζψο θαη ηε κεηαθνξά δηάθνξσλ εθζεκάησλ ζε εηθνληθφ ηξηζδηάζηαην πεξηβάιινλ (π.ρ. πεξηβάιινλ πνπ λα πξνζνκνηψλεη νιφθιεξν κνπζείν), ην νπνίν δίλεη ηε δπλαηφηεηα ζε θάπνηνλ λα επηζθεθζεί ηνπία θαη εθζέκαηα απφ φινλ ηνλ θφζκν κέλνληαο ζπίηη ηνπ. ~ 3 ~

15 ΚΔΦΑΛΑΙΟ Σειεξνκπνηηθή Έλαο απφ ηνπο πην ελδηαθέξνληεο ηνκείο εθαξκνγήο ηεο εηθνληθήο πξαγκαηηθφηεηαο είλαη απηφο ηεο ξνκπνηηθήο. Με ηελ πξνζζήθε αλάδξαζεο δχλακεο κέζσ κίαο εηδηθήο ξνκπνηηθήο δηάηαμεο, ν ρξήζηεο κπνξεί λα αληηιακβάλεηαη θαη «απηηθά» (κέζσ ηεο αίζζεζεο ηεο αθήο) ην εηθνληθφ πεξηβάιινλ θαη λα εθηειεί νξηζκέλεο δηαδηθαζίεο κέζα ζε απηφ. Δπίζεο, ε ρξήζε εηθνληθήο πξαγκαηηθφηεηαο ζπκβάιιεη πάξα πνιχ ζηε βειηίσζε ησλ εθαξκνγψλ ηειεξνκπνηηθήο, φπνπ ν ρξήζηεο ειέγρεη ηηο θηλήζεηο-ελέξγεηεο ελφο ξνκπφη ζε απνκαθξπζκέλε ζέζε. Σα ζπζηήκαηα απηά παξνπζηάδνπλ γεληθψο πξνβιήκαηα αζηαζνχο ζπκπεξηθνξάο πνπ νθείινληαη (α) ζε κεραληθά θαηλφκελα (αδξάλεηα, ηξηβή θ.η.ι) θαηά ηελ επαθή κε αληηθείκελα θαη ηελ θίλεζε κέζα ζην πεξηβάιινλ θαη (β) ζε κεγάιεο ρξνληθέο θαζπζηεξήζεηο θαηά ηελ εθηέιεζε. Η ρξήζε εηθνληθήο πξαγκαηηθφηεηαο πξνζδίδεη ακεζφηεηα ζην ρεηξηζηή παξέρνληάο ηνπ δπλαηφηεηα παξνπζίαο (εηθνληθήο) ζην απνκαθξπζκέλν πεξηβάιινλ («operator telepresence»), πξάγκα πνπ βειηηψλεη ηελ απφδνζή ηνπ θαη επηπιένλ, βνεζά ζηελ επζηάζεηα ηνπ ηειεξνκπνηηθνχ ζπζηήκαηνο. Με ρξήζε εηθνληθνχ πεξηβάιινληνο πνπ πξνζνκνηψλεη ην απνκαθξπζκέλν ρεηξηδφκελν ξνκπφη θαη ην πεξηβάιινλ εξγαζίαο ηνπ, κπνξνχκε λα εηζάγνπκε θάπνηνπο επηζπκεηνχο πεξηνξηζκνχο πνπ ζα απνηξέπνπλ επηθίλδπλεο γηα ηελ επζηάζεηα ζέζεηο θαη θηλήζεηο. Υαξαθηεξηζηηθά, αλαθέξνπκε ηελ ηδέα ησλ Anderson and Davisλ λα εηζάγνπλ εηθνληθά πεδία δπλάκεσλ πνπ λα απσζνχλ ην κεραληζκφ απφ ηα εκπφδηα θαη άξα ν ρεηξηζηήο λα λνηψζεη, κέζσ ηεο αλάδξαζεο, αληίζηαζε φηαλ πάεη λα ηα πιεζηάζεη. Όζνλ αθνξά ζηηο ρξνληθέο θαζπζηεξήζεηο, απηέο ιακβάλνπλ ρψξα ηδηαίηεξα ζε ζπζηήκαηα πνπ ν ρεηξηζηήο (master) βξίζθεηαη ζε κεγάιε απφζηαζε απφ ηνλ ρεηξηδφκελν κεραληζκφ (slave). ηηο πεξηπηψζεηο απηέο, ε παξεκβνιή εηθνληθνχ ρεηξηδφκελνπ κεραληζκνχ (virtual slave) βειηηψλεη ηελ επζηάζεηα θαη ηηο ηαρχηεηεο ηνπ ζπζηήκαηνο, δηφηη, ελψ ππάξρεη αξθεηή θαζπζηέξεζε ζην λα κεηαδνζεί ε θίλεζε ηνπ ρεηξηζηή ζηνλ απνκαθξπζκέλν κεραληζκφ, ν εηθνληθφο ρεηξηδφκελνο κεραληζκφο απνθξίλεηαη ζηηο θηλήζεηο ηνπ ρεηξηζηή ρσξίο θακία θαζπζηέξεζε, αιιειεπηδξά κε ην εηθνληθφ πεξηβάιινλ θαη ππνινγίδνληαη νη δπλάκεηο αλάδξαζεο πξνο ηνλ ρεηξηζηή, επίζεο ρσξίο θακία θαζπζηέξεζε (ρήκα 1.1). Έηζη, ν ρεηξηζηήο αληηιακβάλεηαη ην πεξηβάιινλ θαη ξπζκίδεη ηελ επηζπκεηή θίλεζή ηνπ έγθαηξα θαη κε κεγαιχηεξε ζηγνπξηά. ρήκα (1.1): Δθαξκνγή εηθνληθήο πξαγκαηηθφηεηαο ζηελ ηειεξνκπνηηθή (Burdea, 1996) Αθφκα θαιχηεξε πξνζέγγηζε απφ ηελ πην πάλσ αλαθεξφκελε (πνπ γηα λα ιεηηνπξγήζεη ηθαλνπνηεηηθά πξνυπνζέηεη θαηάιιειε κνληεινπνίεζε ηνπ κεραληζκνχ θαη ηνπ πεξηβάιινληνο) είλαη ε πξφηαζε ηνπ Rosenberg γηα ρξήζε εηθνληθψλ ζηνηρείσλ πνπ νλνκάδνληαη «virtual fixtures» θαη ηα νπνία απιά εηζάγνληαη ζην πεξηβάιινλ ρσξίο λα αιιειεπηδξνχλ κε απηφ (είλαη εηθνληθά, δελ θαίλνληαη θαη δελ θαηαιακβάλνπλ ρψξν). Αιιειεπηδξνχλ κφλν κε ην ρξήζηε, θαζνδεγψληαο ηνλ κε αλάινγε αλάδξαζε δχλακεο ζε θάπνηα ζπκθέξνπζα θίλεζε-δηαδξνκή. Με ρξήζε θαηάιιεισλ fixtures (ζε δηάθνξα ζρήκαηα θαη κε δηάθνξεο ηδηφηεηεο, π.ρ. έιθνπλ ή απσζνχλ) δηεπθνιχλεηαη θαη αθφκα κία κνξθή ~ 4 ~

16 ΚΔΦΑΛΑΙΟ 1 ηειεξνκπνηηθήο, ν ηειεπξνγξακκαηηζκφο, φπνπ ηα fixtures θαζνδεγνχλ ην ρξήζηε ζε ζπγθεθξηκέλεο θηλήζεηο πνπ ν ίδηνο έρεη πξνγξακκαηίζεη κε βαζηθέο εληνιέο πξνο ην ρεηξηδφκελν κεραληζκφ. Η ηειεξνκπνηηθή έρεη ήδε λα επηδείμεη εθαξκνγέο ζε ηνκείο φπσο ππνζαιάζζηεο θαη δηαζηεκηθέο επηρεηξήζεηο, ρεηξηζκφ ππξεληθψλ ή άιισλ επηθίλδπλσλ πιηθψλ, ρεηξηζκφ ζην «κηθξφθνζκν» θαη άιιεο πεξηπηψζεηο πνπ είλαη αδχλαην ή επηθίλδπλν λα επηηεπρζεί πξαγκαηηθή παξνπζία αλζξψπνπ ρεηξηζηή Δθπαίδεπζε-Δπηζηήκεο-Δκπόξην ηνπο ηνκείο απηνχο, κπνξνχκε απιά λα πνχκε πσο ε δπλαηφηεηα ακεζφηεηαο θαη ξεαιηζηηθήο αιιειεπίδξαζεο έρεη πνιχ κεγάιε επηξξνή ζην ρξήζηε. Έηζη, ε εηθνληθή πξαγκαηηθφηεηα απνηειεί θαηαπιεθηηθφ κέζν κάζεζεο (είηε απιήο κεηάδνζεο πιεξνθνξηψλ είηε εθπαίδεπζεο κε ζηφρν ζπγθεθξηκέλεο δηεξγαζίεο). Γηα ην ιφγν απηφ, αιιά θαη ιφγσ ηεο απήρεζεο θαη ηεο ειθπζηηθφηεηαο ησλ εθαξκνγψλ, ρξεζηκνπνηείηαη γηα δηδαθηηθνχο ζθνπνχο αιιά θαη γηα δηαθεκηζηηθνχο ζηνλ εκπνξηθφ ηνκέα. Δπίζεο, ζηνλ εκπνξηθφ ηνκέα ρξεζηκνπνηείηαη γηα λα δεκηνπξγνχληαη εηθνληθά κνληέια θαη λα δνθηκάδνληαη ζε εηθνληθά πεξηβάιινληα πξηλ ηελ θαηαζθεπή-παξαγσγή ησλ πξαγκαηηθψλ πξντφλησλ θαη θάπσο αληίζηνηρα, ζηνλ ηνκέα ησλ επηζηεκψλ, γηα λα δνθηκάδνληαη εκπεηξηθά θάπνηα πεηξάκαηα δηεξγαζίεο πξηλ γίλνπλ ζηελ πξάμε. Αλαθέξνπκε ραξαθηεξηζηηθά έλα παξάδεηγκα ζηνλ ηνκέα ηεο βηνηερλνινγίαο (αλ θαη ηηο ηαηξηθέο εθαξκνγέο ζα ηηο θαιχςνπκε ζηε ζπλέρεηα), φπνπ έρεη αλαπηπρζεί κνληέιν εηθνληθήο πξαγκαηηθφηεηαο γηα ηελ πξαγκαηνπνίεζε αληηδξάζεσλ θαη ηελ θαηαζθεπή θαξκάθσλ. Ο ρεηξηζηήο έρεη ηελ ηθαλφηεηα λα ρεηξίδεηαη αληηθείκελα ζε επίπεδν κνξίσλ θαη λα αηζζάλεηαη κέζσ ηεο αλάδξαζεο δχλακεο ηηο ειθηηθέο ή απσζεηηθέο δπλάκεηο πνπ αζθνχλ ηα άιια κφξηα, θαη άξα λα κπνξεί λα ζρεδηάζεη θαηάιιεια ηελ αληίδξαζε πξηλ ηελ πξαγκαηνπνηήζεη ζην εξγαζηήξην. Γεληθά ην εηθνληθφ πεξηβάιινλ βξίζθεη κεγάιε εθαξκνγή ζε φινπο ηνπο ηνκείο φπνπ ρξεηάδεηαη λα γίλνληαη πνιπάξηζκεο δνθηκέο κέρξη ηελ επηινγή ηεο ηειηθήο ιχζεο (trial and error methods) φπσο π.ρ. θαηά ηνλ εζσηεξηθφ ζρεδηαζκφ ρψξσλ θαη φπνπ κε ηελ εηθνληθή δνθηκή εμνηθνλνκείηαη ρξφλνο, πιηθά θαη έξγν ηξαηηωηηθέο εθαξκνγέο Πξφθεηηαη γηα ηνλ ηνκέα κε ηελ παιηφηεξε αγνξά εθαξκνγψλ εηθνληθήο πξαγκαηηθφηεηαο εμαηηίαο ηεο κεγάιεο δήηεζεο γηα εθαξκνγέο πξνζνκνίσζεο γηα εθπαίδεπζε πνπ λα παξνπζηάδνπλ επειημία, θαη δπλαηφηεηα ζπκκεηνρήο πνιιψλ ρξεζηψλ ηαπηφρξνλα. Πιένλ, εθηφο απφ πξνζνκνησηέο εθπαίδεπζεο γηα ρεηξηζκφ ηαλθ, πξνζνκνησηέο πηήζεηο γηα πνιεκηθά αεξνζθάθε θαη ρεηξηζκφ πνιεκηθψλ ππνβξπρίσλ, έρνπλ αλαπηπρζεί θαη πεξηβάιινληα εθπαίδεπζεο απινχ ζηξαηηψηε θαηά ηε δηάξθεηα ηεο κάρεο. Οη εθαξκνγέο εμειίζζνληαη ψζηε λα κπνξνχλ λα ζπκκεηέρνπλ πνιινί ρξήζηεο θαη ν θαζέλαο λα επεξεάδεη κε δηαθνξεηηθφ ηξφπν ηελ έθβαζε ηεο εηθνληθήο κάρεο. Ρεαιηζηηθφηεξν πεξηβάιινλ νδεγεί θαη ζε αξηηφηεξε εθπαίδεπζε ησλ ρξεζηψλ. Σέινο, θαη ζηνλ ηνκέα ηεο δηαζηεκηθήο έξεπλαο, ρξεζηκνπνηνχληαη εμειηγκέλνη πξνζνκνησηέο γηα ηελ εθπαίδεπζε ησλ αζηξνλαπηψλ Ιαηξηθή Καη ζηνλ ηνκέα απηφ ε ρξήζε εθαξκνγψλ εηθνληθήο πξαγκαηηθφηεηαο έρεη λα επηδείμεη εληππσζηαθά απνηειέζκαηα. Πξφθεηηαη, κάιηζηα, γηα έλαλ απφ ηνπο πην ελδηαθέξνληεο ζήκεξα ηνκείο σο πξνο ηηο εθαξκνγέο εηθνληθήο πξαγκαηηθφηεηαο, αιιά θαη απφ ηνπο πην απαηηεηηθνχο, θαζψο εδψ πεξηζζφηεξν απφ φιεο ηηο άιιεο εθαξκνγέο απαηηείηαη ξεαιηζκφο ~ 5 ~

17 ΚΔΦΑΛΑΙΟ 1 θαη έρεη ζεκαζία ε ιεπηνκέξεηα θαηά ηελ πξνζνκνίσζε. Δπίζεο, φπσο ήδε αλαθέξζεθε, πξνθχπηεη θαη ηδηαίηεξε απαίηεζε γηα ξεαιηζηηθή αλάδξαζε δχλακεο θαη κνληεινπνίεζε ηεο επαθήο. ηνλ ηνκέα απηφ πξνθχπηεη άκεζα ε αλάγθε γηα εθπαίδεπζε (θαη κάιηζηα άξηηα) ησλ κειινληηθψλ γηαηξψλ ζε εηθνληθφ πεξηβάιινλ ιφγσ ηεο έιιεηςεο άιινπ ηξφπνπ εμάζθεζεο (γηα λα γίλεη θαλείο άςνγνο ζε κία επέκβαζε πξέπεη λα ηελ επαλαιάβεη πάξα πνιιέο θνξέο), θη επεηδή δελ ππάξρεη πεξηζψξην ηα ιάζε ηεο εθπαίδεπζεο λα γίλνληαη ζε πξαγκαηηθνχο αζζελείο. Έηζη, κεγάιν κέξνο ησλ εθαξκνγψλ πξνζνκνηψλνπλ εηθνληθφ αλζξψπηλν ζψκα ή κέξνο απηνχ θαη κε ηελ εθαξκνγή απηή εθπαηδεχνληαη νη λένη γηαηξνί ζε ζπγθεθξηκέλεο εγρεηξήζεηο-επεκβάζεηο ή θαη απιά καζαίλνπλ αλαηνκία κε πνιχ πην παξαζηαηηθφ θαη άκεζν ηξφπν απφ φηη δηαβάδνληαο κφλν. Έρεη ήδε δεκηνπξγεζεί εηθνληθφ κνληέιν ζψκαηνο, κε ην νπνίν κάιηζηα ν ρξήζηεο κπνξεί λα αιιειεπηδξά θαη λα καζαίλεη έηζη παξαζηαηηθά αλαηνκία θαη θηλεηηθφηεηα ηνπ ζψκαηνο ή εηδηθά κνληέια γηα εθκάζεζε δηαγλσζηηθψλ ή ζεξαπεπηηθψλ επεκβάζεσλ, φπσο γηα παξάδεηγκα ε ζηεθαληνγξαθία ή ε αγγεηνπιαζηηθή ζηεθαληαίσλ αξηεξηψλ. Πνιχ ζεκαληηθφ ζηνηρείν ζηηο εθαξκνγέο απηέο είλαη ε χπαξμε αλάδξαζεο δχλακεο γηα ηελ πξαγκαηνπνίεζε ηεο επαθήο. Δίλαη επηζπκεηφ ν λένο γηαηξφο λα εμνηθεηψλεηαη φρη κφλν νπηηθά κε ηα δηάθνξα φξγαλα θαη ηε δηαδηθαζία ηεο επέκβαζεο, αιιά θαη κε ηελ πθή ηνπο θαη ηηο απηηθέο ηδηφηεηέο ηνπο, επεηδή κε ηελ αθή δε ιακβάλεη θαλείο κφλν πνιχ ζεκαληηθέο πιεξνθνξίεο γηα ηα φξγαλα θαηά ηε δηάγλσζε, αιιά παξάιιεια καζαίλεη θαη λα αζθεί ηηο θαηάιιειεο δπλάκεηο θαηά ηελ επέκβαζε (π.ρ. κε πφζε δχλακε πξέπεη λα θφςεη κε ην λπζηέξη ψζηε λα κελ ηξαπκαηίζεη γεηηνληθά φξγαλα). Η εμάζθεζε ηεο αθήο ηνπ γηαηξνχ κέζσ αλάδξαζεο δχλακεο ζε πεξηβάιινλ εηθνληθήο πξαγκαηηθφηεηαο είλαη αλαγθαία ζρεδφλ γηα φια ηα ζηάδηα ηεο θξνληίδαο ελφο αζζελνχο. Απφ ηε δηάγλσζε, ε νπνία απαηηεί ζπρλά ςειάθεζε, κέρξη ηελ εθαξκνγή νξηζκέλσλ κνξθψλ αλαηζζεζίαο, νξηζκέλεο δηαδηθαζίεο ησλ νπνίσλ απαηηνχλ ιεπηεπίιεπηνπο ρεηξηζκνχο, θαη ηέινο ηελ επέκβαζε, ν γηαηξφο πξέπεη λα είλαη εηδηθά εθπαηδεπκέλνο θαη λα έρεη κεγάιε απηηθή εκπεηξία. Υαξαθηεξηζηηθά, αλαθέξνπκε θάπνηεο εθαξκνγέο πνπ ήδε ππάξρνπλ. Γηα ηελ ςειάθεζε ζην γφλαην δεκηνπξγήζεθε απφ ηνπο Langrana et al. κνληέιν κε αλάδξαζε δχλακεο. Δπίζεο, απφ ηνπο Peine et al. δεκηνπξγήζεθε ζχζηεκα ςειάθεζεο γηα ηνλ εληνπηζκφ αξηεξηψλ, πνπ ρξεηάδεηαη ζηηο πεξηζζφηεξεο εγρεηξήζεηο. Γηα ηελ αλαηζζεζία ζηνλ επηζθιεξίδην ρψξν ηνπ λσηηαίνπ κπεινχ, φπνπ ρξεηάδεηαη επηδέμηα εηζαγσγή ηεο βειφλαο ζε ζπγθεθξηκέλν ζεκείν ζηε ζπνλδπιηθή ζηήιε ηνπ αζζελνχο, νη Bostrom et al. αλέπηπμαλ έλαλ πξνζνκνησηή κε αλάδξαζε δχλακεο. Οη Ziegler et al. αλέπηπμαλ πξνζνκνησηή εθπαίδεπζεο γηα αξζξνζθνπηθή εγρείξεζε, ελψ ζηε Cine-Med Inc. αλαπηχρζεθε ζχζηεκα πξνζνκνίσζεο ιαπαξνζθφπεζεο ην νπνίν δελ παξέρεη κελ αλάδξαζε δχλακεο, αιιά έρνπλ κνληεινπνηεζεί ξεαιηζηηθά ηα φξγαλα θαη αληηδξνχλ αλάινγα κε ηηο ελέξγεηεο ηνπ εθπαηδεπφκελνπ (π.ρ. καηψλνπλ αλ θνπνχλ θ.η.ι). Σέινο, νη Salcudean and Yan αλέπηπμαλ ζχζηεκα ηειεξνκπνηηθήο γηα κηθξνεγρείξεζε ζην κάηη, ην νπνίν κεγαιψλεη ζε θιίκαθα ηηο δπλάκεηο αλάδξαζεο απφ ηνλ ηζηφ ψζηε λα ηηο αηζζάλεηαη ν ρεηξνχξγνο πνπ είλαη κεδακηλέο θαη δελ κπνξεί θαλνληθά λα ηηο αηζζαλζεί θαη παξάιιεια κηθξαίλεη ζε θιίκαθα ηηο θηλήζεηο ηνπ ρεηξνχξγνπ θαηάιιεια γηα λα γίλεη ε κηθξνεπέκβαζε απηή, πνπ παιηφηεξα γηλφηαλ κφλν κέζσ νπηηθήο αλάδξαζεο απφ κηθξνζθφπην. Δίδακε ήδε απφ ην πξναλαθεξζέλ παξάδεηγκα πψο νη εθαξκνγέο ηειεξνκπνηηθήο κπνξνχλ λα ζπκβάινπλ ζηελ ηαηξηθή θξνληίδα αζζελψλ. Δθηφο απφ ηηο πεξηπηψζεηο ζαλ ηελ πξνεγνχκελε, φπνπ ε ηειεξνκπνηηθή θαη ε αλάδξαζε δχλακεο βνεζνχλ ζην λα νμπλζνχλ ή λα ακβιπλζνχλ θάπνηεο αηζζήζεηο ή ελέξγεηεο ηνπ γηαηξνχ, πξέπεη λα αλαθέξνπκε φηη εθαξκνγέο ηειεξνκπνηηθήο ρξεζηκνπνηνχληαη θαη ζε πεξηπηψζεηο ηειε-εγρείξεζεο (telesurgery) φπνπ δειαδή ν εηδηθά εθπαηδεπκέλνο ρεηξνχξγνο θάλεη ηελ επέκβαζε ζε εηθνληθφ πεξηβάιινλ θαη ην ρεηξηδφκελν ξνκπφη εθηειεί ζε απνκαθξπζκέλν κέξνο ηελ πξαγκαηηθή εγρείξεζε. Ο Philip Green έρεη ήδε αλαπηχμεη έλα πξσηφηππν ηέηνην ζχζηεκα φπνπ νη δπλάκεηο αλάδξαζεο κεγεζχλνληαη ψζηε ν απνκαθξπζκέλνο γηαηξφο λα έρεη ιεπηνκεξή αίζζεζε αθφκα θαη ησλ πην κηθξψλ δπλάκεσλ αλάδξαζεο απφ ην ζψκα ηνπ αζζελνχο. εκαληηθή είλαη επίζεο ε ζπκβνιή ηεο αλάδξαζεο δχλακεο ζηνλ ηνκέα ηεο απνθαηάζηαζεο ησλ αζζελψλ κεηά απφ θάπνην αηχρεκα ή ζνβαξή εγρείξεζε. ε ηέηνηεο ~ 6 ~

18 ΚΔΦΑΛΑΙΟ 1 πεξηπηψζεηο, νη αζζελείο ρξεηάδνληαη θπζηθνζεξαπεία, δειαδή λα θάλνπλ θάπνηεο ζπγθεθξηκέλεο θηλήζεηο γηα λα απνθαηαζηήζνπλ ηηο ιεηηνπξγίεο ηνπ ζψκαηφο ηνπο πνπ έρνπλ πάζεη βιάβε. Απηφ κπνξεί λα γίλεη κε εμσζθειεηηθνχο κεραληζκνχο πνπ ζα θαζνδεγνχλ ηνπο αζζελείο λα θάλνπλ ηηο επηζπκεηέο θηλήζεηο αζθψληαο ηνπο θαηάιιειε δχλακε. Έρνπλ ήδε δεκηνπξγεζεί αξθεηέο ηέηνηεο εθαξκνγέο γηα απνθαηάζηαζε ιεηηνπξγηψλ φπσο π.ρ. ηνπ ρεξηνχ-παιάκεο (Brown et al., Burdea et al.) θαη ησλ πνδηψλ γηα παξαπιεγηθνχο αζζελείο (Durfee and Goldfarb). Δπηπξφζζεηα, ζπκβάιινπλ ζηελ βειηίσζε ηεο πνηφηεηαο δσήο αηφκσλ κε εηδηθέο αλάγθεο. 1.3 Μέζνδνη Μνληεινπνίεζεο Οη ππνινγηζηέο απνηεινχλ πιένλ αλαπφζπαζην θνκκάηη ζηε κνληεινπνίεζε θαη ηελ πξνζνκνίσζε. Μνληέια αληηθεηκέλσλ ζε γξαθηθφ πεξηβάιινλ κέζσ ππνινγηζηή εμεηάδνληαη εδψ θαη ηξεηο δεθαεηίεο. Αληηθείκελα κε δπλαηφηεηα παξακφξθσζεο απνηεινχλ ζπλερψο αληηθείκελν έξεπλαο θαη επεμεξγαζίαο. Σέηνηα κνληέια ρξεζηκνπνηνχληαη επξέσο γηα ηελ θαηαζθεπή αλζξψπηλσλ ζσκάησλ, δψσλ, ξνχρσλ, πξνζψπσλ κε δηάθνξεο εθθξάζεηο θαη πνιιέο άιιεο κνξθέο. Απιά, κε-θπζηθά κνληέια (non-physical models) βαζηζκέλα ζε γεσκεηξία θαη καζεκαηηθέο ζπλαξηήζεηο απνηεινχλ θαη ηηο πξψηεο πξνζπάζεηεο πξνο ηελ θαηεχζπλζε απηή. Οη ηερληθέο πνπ αθνινπζνχληαη δελ απαηηνχλ θαηά θαλφλα κεγάιε ππνινγηζηηθή ηζρχ, σζηφζν είλαη πνιχ ρξνλνβφξεο θαη εμαξηψληαη απφ ηηο ηθαλφηεηεο ηνπ πξνγξακκαηηζηή. ην ζρήκα 1.2 πνπ αθνινπζεί βιέπνπκε έλα απιφ κνληέιν κηαο θακπχιεο spline, ε νπνία εμαξηάηαη απφ ηέζζεξα ζεκεία ειέγρνπ. Γηα ηε δεκηνπξγία κηαο πνιχπινθεο ζχλζεζεο φκσο, φπσο ελφο αλζξψπηλνπ πξνζψπνπ, κία δηαδηθαζία πνπ ρξεζηκνπνηεί απιά γεσκεηξηθά ζρήκαηα είλαη απαγνξεπηηθή. ρήκα (1.2): Μηα θακπχιε (cubic) spline. Γηα λα αιιάμεη ε κνξθή ηεο αξθεί λα κεηαηνπίζνπκε ηα ηέζζεξα ζεκεία ειέγρνπ απφ ηα νπνία εμαξηάηαη. Η εμέιημε ησλ ππνινγηζηηθψλ ζπζηεκάησλ έδσζε λέα πλνή ζηε κνληεινπνίεζε. Πνιχπινθεο δνκέο είλαη πιένλ πινπνηήζηκεο κε ηελ επεμεξγαζία ηεο παξακφξθσζεο λα βαξχλεη πιένλ ηνλ ππνινγηζηή. Η δηαδηθαζία ειέγρνπ θαη ηξνπνπνηήζεσλ είλαη πνιχ πην απιή ~ 7 ~

19 ΚΔΦΑΛΑΙΟ 1 ζηελ πεξίπησζε απηή. πζηήκαηα κε κάδεο θαη ειαηήξηα (mass-spring systems) έρνπλ αληηθαηαζηήζεη κε κεγάιε επηηπρία ηηο γεσκεηξηθέο δνκέο (ρήκα 1.3). ε απηέο ηηο δνκέο κία παξακφξθσζε πινπνηείηαη εχθνια κε ηελ αιιαγή ηεο ζέζεο κίαο απφ ηηο κάδεο ε νπνία κέζσ ησλ ειαηεξίσλ παξαζχξεη θαη ηηο γεηηνληθέο ηεο. Οη δπλάκεηο ησλ ειαηεξίσλ είλαη ζπρλά γξακκηθέο (Hookean), αιιά θαη κε γξακκηθά ειαηήξηα ρξεζηκνπνηνχληαη γηα ηε κνληεινπνίεζε ηζηψλ φπσο ηνπ αλζξψπηλνπ δέξκαηνο πνπ παξνπζηάδνπλ αλειαζηηθή ζπκπεξηθνξά. Με ηηο κάδεο λα απνηεινχλ ηνπο θφκβνπο θαη ηα ειαηήξηα ηηο αθκέο, κπνξνχκε λα δνχκε κία εθαξκνγή ηεο ηειεπηαίαο κεζφδνπ ζηελ θαηαζθεπή ηζηνχ ηνπ δέξκαηνο ηνπ πξνζψπνπ (ρήκα 1.4). ρήκα (1.3): Σκήκα κνληέινπ απφ ειαηήξηα θαη κάδεο. ρήκα (1.4): Μνληέιν δέξκαηνο πξνζψπνπ (Terzopoulos and Waters). Οη δνκέο κε κάδεο θαη ειαηήξηα παξέρνπλ κηα ζρεηηθά εχθνιε θαη γξήγνξε πινπνίεζε, σζηφζν εκθαλίδνπλ θαη θάπνηα πξνβιήκαηα. Γηα κηα αιεζνθαλή πινπνίεζε απαηηείηαη ε εμαγσγή παξακέηξσλ απφ πξαγκαηηθά ζψκαηα, θάηη πνπ ζπρλά απνδεηθλχεηαη αξθεηά δχζθνιν. Δπίζεο, ζε νξηζκέλεο πεξηπηψζεηο ε δνκή καο κπνξεί λα είλαη εμαηξεηηθά αζηαζήο θαη λα πξνθαιεί ζεκαληηθή επηβξάδπλζε ζηελ πξνζνκνίσζε. πλερή κνληέια κε ηε κέζνδν ησλ πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ παξέρνπλ κία πην ξεαιηζηηθή πινπνίεζε ζε ζρέζε κε απηή ησλ καδψλ-ειαηεξίσλ. Οη θφκβνη ζε απηή ηελ πεξίπησζε είλαη πνιχ ιηγφηεξνη θαη ε πνιππινθφηεηα κεηψλεηαη. Απμάλεηαη σζηφζν ε δπζθνιία ζηελ αλάιπζε ησλ εθαξκνδφκελσλ δπλάκεσλ. Έλα ζψκα απφ πεπεξαζκέλα ~ 8 ~

20 ΚΔΦΑΛΑΙΟ 1 ζηνηρεία πξνζθέξεηαη γηα πινπνίεζε ζε πξαγκαηηθφ ρξφλν, αθνχ πνιινί αξηζκεηηθνί ππνινγηζκνί κπνξνχλ λα πξνεγεζνχλ ηεο πινπνίεζεο. Δηδηθά ζε πεξηπηψζεηο άθακπησλ πιηθψλ φπσο ηα κέηαιια φπνπ ε παξακφξθσζε πεξηνξίδεηαη ζε πνιχ κηθξά πνζνζηά ηεο ζπλνιηθήο δηάζηαζεο νη πξάμεηο πνπ αθνινπζνχλ κεηά ηελ έλαξμε ηεο πινπνίεζεο είλαη ειάρηζηεο. ε δνκέο κε κεγάιε παξακφξθσζε κπνξνχκε λα πεηχρνπκε ζαπκάζηα απνηειέζκαηα, ππάξρεη σζηφζν κεγαιχηεξν ππνινγηζηηθφ θφζηνο. 1.4 Άιιεο πξνζπάζεηεο κνληεινπνίεζεο Η ρξήζε πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ ζηε κνληεινπνίεζε παξακφξθσζεο δέξκαηνο δελ είλαη θάηη θαηλνχξγην. Αξθεηέο πξνζπάζεηεο έρνπλ ήδε γίλεη ζηελ θαηεχζπλζε απηή. Έλα θαιφ παξάδεηγκα είλαη απηφ ηνπ Simon P. DiMaio, κε ηίηιν Needle Insertion Modeling and Simulation (ρήκα 1.5). ρήκα (1.5): Δηζαγσγή βειφλαο ζε καιαθφ ζψκα ηελ πεξίπησζε απηή έρεη θαηαζθεπαζηεί έλα ζχζηεκα κε έλα ηερλεηφ κνληέιν ρσξίο ηελ εθαξκνγή πξαγκαηηθψλ δεδνκέλσλ δέξκαηνο. Έλα παξαιιειεπίπεδν ηκήκα ηερλεηνχ ηζηνχ ρξεζηκνπνηήζεθε γηα ηηο κεηξήζεηο, νη νπνίεο εζηηάζηεθαλ ζηηο δχν δηαζηάζεηο. ρήκα (1.6): Σν πείξακα: Έλαο ξνκπνηηθφο βξαρίνλαο εθνδηαζκέλνο κε βειφλα, έλα ηκήκα ηζηνχ θαη κία θάκεξα. Σν απνηέιεζκα ήηαλ ε δεκηνπξγία ελφο δηζδηάζηαηνπ κνληέινπ πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ ζε ππνινγηζηή, ζχκθσλα κε ηα δεδνκέλα πνπ παξείρε ε θάκεξα. ην κνληέιν έρνπκε θαη δηείζδπζε ηεο βειφλαο ζηνπο ηζηνχο φπνπ έρεη γίλεη αιιαγή ηεο αθξίβεηαο ηεο δνκήο φπσο θαίλεηαη ζην ζρήκα 1.7: ~ 9 ~

21 ΚΔΦΑΛΑΙΟ 1 ρήκα (1.7): χγθξηζε δεδνκέλσλ πνπ πξνθχπηνπλ απφ ηελ θάκεξα κε ην κνληέιν πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ Άιιν παξάδεηγκα είλαη ε πξνζπάζεηα ησλ Stéphane Cotin, Hervé Delingette θαη Nicholas Ayache κε ηίηιν Real-time elastic deformations of soft tissues for surgery simulation (ρήκα 1.8). ρήκα (1.8): Δθαξκνγή ρεηξνπξγηθνχ εξγαιείνπ ζε κνληέιν αλζξψπηλνπ νξγάλνπ ~ 10 ~

22 ΚΔΦΑΛΑΙΟ 1 ηελ πεξίπησζε απηή ρξεζηκνπνηήζεθε ρεηξνπξγηθφ εξγαιείν κε αλάδξαζε κέζσ ππνινγηζηή, κε ην νπνίν έγηλε πξνζνκνίσζε ρεηξνπξγηθήο επέκβαζεο. Σν κνληέιν πινπνηήζεθε κε ρξήζε πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ ζε ηξεηο δηαζηάζεηο (ρήκα 1.9). ρήκα (1.9): Τινπνίεζε κνληέινπ ζπθσηηνχ ζε ηξεηο δηαζηάζεηο Αμίδεη επίζεο λα αλαθέξνπκε ηελ εξγαζία ηνπ Morten Bro-Nielsen φπνπ κεηαμχ άιισλ έρεη γίλεη θαη κνληεινπνίεζε κειψλ ηνπ ζψκαηνο κε πεπεξαζκέλα ζηνηρεία (ρήκα 1.10 & ρήκα 1.11). ρήκα (1.10): Τινπνίεζε ηκήκαηνο πνδηνχ ζε ηξεηο δηαζηάζεηο ~ 11 ~

23 ΚΔΦΑΛΑΙΟ 1 ρήκα (1.11): Πξνζνκνίσζε παξακφξθσζεο επηθάλεηαο γάκπαο ηε δηθή καο πεξίπησζε αζρνινχκαζηε κε κηα δηζδηάζηαηε δνκή ηνκήο δέξκαηνο απφ ηελ νπνία πξνθχπηεη ηειηθά έλα ηξηζδηάζηαην κνληέιν. Γίλεηαη έκθαζε ζηελ πξνζαξκνγή ηνπ κνληέινπ ζε πξαγκαηηθά πεηξακαηηθά δεδνκέλα, έηζη ψζηε ε δνκή λα αληαπνθξίλεηαη, σο πξνο ηελ παξακφξθσζε, ζε πξαγκαηηθφ ηκήκα αλζξψπηλνπ δέξκαηνο θαη ην απνηέιεζκα λα είλαη πεξηζζφηεξν αιεζνθαλέο. 1.5 Βηνϊαηξηθά δεδνκέλα ηνπ πξνβιήκαηνο. Σν κνληέιν ην νπνίν πινπνηείηαη απνηειείηαη απφ κηθξφ ηκήκα ηνπ δέξκαηνο, ε επηθάλεηα ηνπ νπνίνπ ιακβάλεηαη θαηά πξνζέγγηζε επίπεδε. Κάησ απφ απηφ δερφκαζηε φηη ππάξρεη επίπεδν νζηφ, ππάξρεη επνκέλσο κία επίπεδε αλειαζηηθή επηθάλεηα. Ο ρψξνο κεηαμχ ησλ δχν επηθαλεηψλ, απηήο ηνπ δέξκαηνο θαη απηήο ηνπ νζηνχ, δελ είλαη βέβαηα νκνγελήο. Σν δέξκα πεξηέρεη δηάθνξα αλαηνκηθά ζηνηρεία φπσο ηξίρεο, αδέλεο, θιέβεο θαη αξηεξίεο ηα νπνία ζπλζέηνπλ κία πεξίπινθε εηθφλα. Σα ζηνηρεία απηά δηαθνξνπνηνχληαη ηφζν ζε ζρέζε κε ην βάζνο ζην νπνίν βξηζθφκαζηε φζν θαη κε ηε ζέζε ηνπ ππφ εμέηαζε ηκήκαηνο ηνπ δέξκαηνο ζην αλζξψπηλν ζψκα. Η ηξηρνθπΐα, ή ε πνζφηεηα ιίπνπο γηα παξάδεηγκα εκθαλίδνπλ κεγάιεο απνθιίζεηο αλ εμεηάζνπκε δχν δηαθνξεηηθά ζεκεία ηνπ ζψκαηνο φπσο ηηο παιάκεο ζε ζρέζε κε ην ζηήζνο ή ηελ θνηιηά. Δπίζεο, θάπνηα αλαηνκηθά ζηνηρεία κπνξεί λα εμαξηψληαη θαη απφ ην θχιν ηελ ειηθία ή ηηο ηδηαηηεξφηεηεο ηνπ ζψκαηνο θάζε αηφκνπ. Φπζηθά, ε πξνζέγγηζή καο δε κπνξεί λα ζπκπεξηιάβεη φια ηα ζηνηρεία απηά. Η κνληεινπνίεζε ζα αλαθέξεηαη ζε έλα ηκήκα ηνπ δέξκαηνο ην νπνίν ζεσξείηαη ελδεηθηηθφ γηα ηα ζηνηρεία ηα νπνία καο ελδηαθέξνπλ (ζηελ πξνθεηκέλε πεξίπησζε καο ελδηαθέξεη ε ειαζηηθφηεηα). Σν ηκήκα απηφ ζα ιακβάλεηαη φηη είλαη αληηπξνζσπεπηηθφ γηα νπνηνδήπνηε ζεκείν ηνπ δέξκαηνο. Δλδεηθηηθά σζηφζν, κπνξνχκε λα δνχκε ηα βαζηθά αλαηνκηθά ζηνηρεία ηνπ δέξκαηνο ζην ζρήκα 1.12 πνπ αθνινπζεί. ~ 12 ~

24 ΚΔΦΑΛΑΙΟ 1 ρήκα (1.12): Γνκή αλζξψπηλνπ δέξκαηνο. Δμεηάδνληαο έλα αληηπξνζσπεπηηθφ ηκήκα ηνπ δέξκαηνο ζα δηαπηζηψζνπκε φηη απνηειείηαη απφ πνιιέο δηαδνρηθέο ζηηβάδεο (ρήκα 1.13). Ξεθηλψληαο απφ ηελ επηθάλεηα θαη πξνρσξψληαο πξνο ηα θάησ ζπλαληνχκε αξρηθά ηελ επηδεξκίδα, ηελ εμσηεξηθή, επηζειηαθή ζηηβάδα, ελψ θαηφπηλ έρνπκε ην θπξίσο δέξκα θαη ην ππφδεξκα. Σν θπξίσο δέξκα, ή ρφξην απνηειείηαη απφ δχν ηκήκαηα, ην ζειψδεο ρφξην ην νπνίν ζπλδέεηαη κε ηελ επηδεξκίδα θαη ην δηθηπσηφ ρφξην ην νπνίν απνηειεί θαη ην θάησ φξην ηνπ θπξίσο δέξκαηνο. Σέινο, ππάξρεη έλαο ραιαξφο ζπλεθηηθφο ηζηφο, ην ππφδεξκα ή ππνδφξηνο ηζηφο ην νπνίν θαη πεξηέρεη άθζνλν ιίπνο. ~ 13 ~

25 ΚΔΦΑΛΑΙΟ 1 ρήκα (1.13): ηηβάδεο ηνπ δέξκαηνο Γηα ηελ πξνζέγγηζή καο ην δέξκα ζεσξείηαη νκνγελέο θαη απνηειείηαη απφ δχν κφλν ζηηβάδεο. Δπνκέλσο, ζεσξνχκε δχν παξάιιειεο επίπεδεο επηθάλεηεο, απφ ηηο νπνίεο ε πάλσ είλαη εχθακπηε θαη πξνζνκνηψλεη ην εμσηεξηθφ ηεο επηδεξκίδαο θαη ε θάησ είλαη ζηαζεξή, απνηειεί ην νζηφ. Ο ελδηάκεζνο ρψξνο απνηειεί ην ηκήκα ηνπ ππφ εμέηαζε δέξκαηνο. Πξνζεγγηζηηθά, γηα ηελ πξνζνκνίσζε κπνξνχκε λα ππνζέζνπκε φηη ν ελδηάκεζνο ρψξνο απνηειείηαη απφ δχν εχθακπηα δηαδνρηθά ζηξψκαηα δηαθνξεηηθνχ πάρνπο θαη δηαθνξεηηθήο ειαζηηθφηεηαο (ρήκα 1.14). Σν επάλσ μεθηλάεη απφ ηελ επηθάλεηα ηνπ δέξκαηνο απνηειψληαο θαηά πξνζέγγηζε ην θπξίσο δέξκα ελψ ην θάησ ζπλερίδεη κέρξη ην άθακπην νζηφ θαη ζεσξείηαη φηη πξνζνκνηψλεη ην ππφδεξκα. Σν θαηψηεξν ζηξψκα ζα έρεη κεγαιχηεξε ειαζηηθφηεηα απφ ην πξψην. ρήκα (1.14): Σνκή δέξκαηνο ~ 14 ~

26 ΚΔΦΑΛΑΙΟ 1 ην κνληέιν απηφ ζέινπκε λα πξνζδηνξίζνπκε ηελ παξακφξθσζή ηεο επηδεξκίδαο πξηλ ηελ εηζαγσγή βειφλαο ζε θάπνην ζεκείν ηεο. Έηζη, αλ πάξνπκε ζεκεηαθή κάδα ζε έλα ζεκείν ηεο επηθάλεηαο, ην ζεκείν επαθήο ζα βξνχκε ηελ θαηαλνκή ηεο επηθάλεηαο ζε ζπλάξηεζε κε ην βάζνο ηνπ ζεκείνπ απηνχ. Η κειέηε καο πεξηιακβάλεη ηα ζεκεία απφ ηελ επαθή ηεο βειφλαο κέρξη αθξηβψο πξηλ ηε δηάηξεζε ηεο επηδεξκίδαο θαη ηελ εηζαγσγή ηεο βειφλαο ζηνπο ηζηνχο. 1.6 Πιαίζην εξγαζίαο Η ζπγθεθξηκέλε εξγαζία απνηειείηαη απφ 2 ζθέιε. ην πξψην ζθέινο ππνινγίδνληαη δηάθνξεο παξάκεηξνη (φπσο ε ειαζηηθφηεηα) κε βάζε πεηξακαηηθά δεδνκέλα, γηα ηελ πξνζνκνίσζε ηεο παξακφξθσζεο ηνπ δέξκαηνο ελψ κε ρξήζε ησλ αξρηθψλ απνηειεζκάησλ γίλεηαη κηα πινπνίεζε φπνπ γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ βάζνπο κεηαηφπηζεο ηνπ ζεκείνπ επαθήο βειφλαο θαη δέξκαηνο έρνπκε θαη ηελ αληίζηνηρε απεηθφληζε. Πην ζπγθεθξηκέλα εηζάγνπκε ηελ επηζπκεηή παξακφξθσζε ηνπ δέξκαηνο ζε έλα ζπγθεθξηκέλν ζεκείν ηεο δνκήο θαη έπεηηα ππνινγίδεηαη ε παξακφξθσζε γηα ηα ππφινηπα ζεκεία. ην Α κέξνο γηα ηε κνληεινπνίεζε κπνξνχκε λα ζεσξήζνπκε επηπιένλ φηη ε δηαδξνκή ηεο βειφλαο είλαη επζεία κε θαηεχζπλζε πξνο ηα θάησ, θαη λα ππνζέζνπκε επνκέλσο φηη έρνπκε αμνληθή ζπκκεηξία (σο πξνο ηνλ άμνλα ηεο βειφλαο). Γηα ην κνληέιν καο επνκέλσο κπνξνχκε λα πεξηνξηζηνχκε ζε δηζδηάζηαηε δνκή ε νπνία επαλαιακβάλεηαη σο πξνο ηνλ άμνλα πνπ νξίδεη ε πνξεία ηνπ ζεκείνπ επαθήο. Η κέζνδνο πνπ ρξεζηκνπνηνχκε είλαη απηή ησλ πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ. ηα πεπεξαζκέλα ζηνηρεία ν παξάγνληαο πνπ απμάλεη θαηά πνιχ ηελ πνιππινθφηεηα είλαη ε εθαξκνγή εμσηεξηθψλ δπλάκεσλ. ηελ πεξίπησζε καο έρνπκε κνλάρα κία δχλακε ε νπνία ιακβάλεηαη ζεκεηαθή. Γπλάκεηο βέβαηα αζθνχληαη θαη απφ ηα φξηα- ηνηρψκαηα ηεο δνκήο, ρσξίο σζηφζν λα δπζρεξαίλνπλ ην πξφβιεκά καο. Δπεηδή ζέινπκε λα πεηχρνπκε κία αθξηβή απεηθφληζε ε κέζνδνο πνπ επηιέμακε είλαη ε ηδαληθή γηα ηηο δεδνκέλεο ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο. Μία ηνκή ηνπ επηζπκεηνχ απνηειέζκαηνο θαίλεηαη ζην ζρήκα 1.15: ρήκα (1.15): Αλαπαξάζηαζε ηνκήο ηνπ δέξκαηνο ~ 15 ~

27 ΚΕΥΑΛΑΙΟ 2 ΜΟΝΣΕΛΟΠΟΙΗΗ ΕΛΑΣΙΚΗ ΠΑΡΑΜΟΡΥΩΗ ΜΕ ΦΡΗΗ ΠΕΠΕΡΑΜΕΝΩΝ ΣΟΙΦΕΙΩΝ 2.1 Γεωκεηξία ηνπ πξνβιήκαηνο Πξηλ πξνρσξήζνπκε ζε αλάιπζε ηεο κεζφδνπ ησλ πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ ζα πξέπεη λα νξίζνπκε κε καζεκαηηθφ ηξφπν ηελ ειαζηηθή παξακφξθσζε ελφο ζψκαηνο θαη ηηο παξακέηξνπο πνπ ηε ζπλνδεχνπλ. Οη παξάκεηξνη απηέο ζα πξέπεη λα ζπκπεξηιεθζνχλ ζηε δνκή ηνπ κνληέινπ καο έηζη ψζηε απηφ λα βξίζθεηαη ζε ζπκθσλία κε ην αλζξψπηλν δέξκα. Αο ζεσξήζνπκε αξρηθά έλα ζψκα ζε ζρήκα ξάβδνπ κε κήθνο L θαη εκβαδφ δηαηνκήο A. ην ζψκα απηφ αζθνχκε κία δχλακε F θαηά ηνλ άμνλά ηνπ φπσο θαίλεηαη ζην ζρήκα (2.1). ρήκα (2.1): Δθαξκνγή δχλακεο ζε ζψκα Οξίδεηαη ηφηε ε έληαζε stress (ζ) ζχκθσλα κε ηε ζρέζε: F (2.1) A Η έληαζε πίεζε είλαη δχλακε αλά κνλάδα επηθάλεηαο κε νξηζκέλε ηελ θαηεχζπλζε ηφζν ηεο δχλακεο, φζν θαη ηνπ δηαλχζκαηνο ηεο επηθάλεηαο. Σν ζψκα απηφ εμ αηηίαο ηεο εθαξκνγήο ηεο δχλακεο ζα παξνπζηάζεη κία κεηαβνιή ηνπ κήθνπο ηνπ L θαηά ΓL. χκθσλα κε ηε κεηαβνιή απηή (πνπ νλνκάδεηαη παξακφξθσζε) νξίδεηαη άιιν έλα κέγεζνο πνπ νλνκάδεηαη δηάηαζε strain (ε). Η δηάηαζε νξίδεηαη σο ην πειίθν ηεο παξακφξθσζεο πξνο ην αξρηθφ κήθνο. L. (2.2) L ην παξαθάησ ζρήκα βιέπνπκε ηε κεηαβνιή ηνπ θπζηθνχ κήθνπο L θαηά ΓL. ~ 16 ~

28 ΚΔΦΑΛΑΙΟ 2 ρήκα (2.2): Γηάηαζε ζψκαηνο θαηά ηελ εθαξκνγή δχλακεο ζε απηφ Οπζηαζηηθά φια ηα ζπλήζε ζψκαηα γίλνληαη ζηελφηεξα θαηά ηε δηάηαζή ηνπο. Ο ιφγνο γηα ηνλ νπνίν γίλεηαη απηφ είλαη φηη ζηελ πιεηνςεθία ηνπο ηα ζψκαηα αληηζηέθνληαη ζε κηα αιιαγή ζηνλ φγθν φπσο θαζνξίδεηαη απφ ην καδηθφ ζπληειεζηή K (bulk modulus) πεξηζζφηεξν απ' φηη αληηζηέθνληαη ζε κηα αιιαγή ζηε κνξθή, φπσο θαζνξίδεηαη απφ ην ζπληειεζηή ζπλάθεηαο G (shear modulus). Απηφ θαίλεηαη θαη ζην ζρήκα 2.3: ρήκα (2.3): ηέλεκα ζψκαηνο θαηά ηε δηάηαζή ηνπ Γηα ην ιφγν απηφ νξίδεηαη ν ζπληειεζηήο Poisson Poisson s ratio (λ). Ο ζπληειεζηήο απηφο πξνθχπηεη απφ ηελ αλαινγία ηεο εγθάξζηαο πίεζεο ζπζηνιήο σο πξνο ηε δηακήθε πίεζε έθηαζεο ζηελ θαηεχζπλζε ηνπ ηεληψκαηνο ηεο δχλακεο. Όηαλ έρνπκε εθηαηή παξακφξθσζε, ν ζπληειεζηήο Poisson ζεσξείηαη ζεηηθφο ελψ γηα ζπκπηεζηηθή παξακφξθσζε ιακβάλεηαη αξλεηηθφο. Έηζη, ζηε καζεκαηηθή δηαηχπσζε ηνπ ζπληειεζηή Poisson ππάξρεη έλα αξλεηηθφ πξφζεκν, ψζηε ηα θπζηνινγηθά πιηθά λα έρνπλ ζεηηθφ ζπληειεζηή. v trans longitudinal (2.3) Δμεηάδνληαο ην πξφβιεκα απφ ηε δνκηθή ηνπ άπνςε ν ιφγνο γηα ηελ αλαινγία ηνπ ζπλεζηζκέλνπ ζεηηθνχ ζπληειεζηή Poisson είλαη φηη νη δεζκνί ησλ αηφκσλ ηείλνπλ λα επζπγξακκηζηνχλ κε ηελ θαηεχζπλζε ηεο παξακφξθσζεο. Σν ηέλησκα ηεο θεξήζξαο απφ ηηο θάζεηεο δπλάκεηο, πνπ παξνπζηάδεηαη ζην ζρήκα 2.4 δίλεη κηα πην απιντθή επεμήγεζε ηεο έλλνηαο. ρήκα (2.4): Σέλησκα θεξχζξαο ~ 17 ~

29 ΚΔΦΑΛΑΙΟ 2 Η αλαινγία Poisson ζπζρεηίδεηαη κε ηνπο ειαζηηθνχο ζπληειεζηέο, ην καδηθφ ζπληειεζηή K, ην ζπληειεζηή ζπλάθεηαο G θαη ην ζπληειεζηή ειαζηηθφηεηαο ηνπ Young, E κε ηηο παξαθάησ ζρέζεηο. Οη ειαζηηθνί ζπληειεζηέο είλαη κέηξα ηεο αθακςίαο. Δίλαη αλαινγίεο ηεο πίεζεο σο πξνο ηε δηάηαζε. Η ζρέζε ησλ ζπληειεζηψλ απηψλ θαίλεηαη ζηηο εμηζψζεηο πνπ αθνινπζνχλ: (3K 2 G) / (6K 2 G) v 2 G(1 v) (2.4) E 2 G(1 v) (2.5) Οη επηηξεπηέο ηηκέο ηεο αλαινγίαο Poisson θαζνξίδνληαη απφ ηε ζεσξία ηεο ηζνηξνπηθήο ειαζηηθφηεηαο θαη βξίζθνληαη ζην δηάζηεκα απφ -1 έσο ½. Γηα λα είλαη έλα ζψκα ζηαζεξφ, ε έληαζε ζα πξέπεη λα είλαη ζεηηθή. Απφ ηνπο ειαζηηθνχο ζπληειεζηέο πξνθχπηεη ε ηειεπηαία πεξηνρή ηηκψλ. Γηα θάζε πιηθφ ν ζπληειεζηήο Poisson, φπσο θαη νη ειαζηηθνί ζπληειεζηέο είλαη δηαθνξεηηθνί. Έηζη ηα ιαζηηρέληα πιηθά έρνπλ ζπληειεζηή πνιχ θνληά ζην ½. Σν δέξκα ην νπνίν έρεη θαη απηφ ειαζηηθέο ηδηφηεηεο έρεη ζπληειεζηή Poisson 0,48 ελψ ε αληίζηνηρε ηηκή ηνπ ζπληειεζηή ειαζηηθφηεηαο ηνπ Young είλαη 0,2 MPa. πληειεζηέο δέξκαηνο Poisson : λ = 0,48 (2.6) Young : Δ = 0,2 (MPa) (2.7) Η παξακφξθσζε ελφο ζψκαηνο θαηά ηελ εθαξκνγή πίεζεο ζπλεπάγεηαη ηε δηάηαζή ηνπ. Η δηάηαζε ζε έλα ζεκείν πεξηγξάθεηαη απφ ηελ εμίζσζε: xx xy xz Y yx yy yz zx zy zz (2.8) ηελ ηειεπηαία εμίζσζε νη φξνη e ij απνηεινχλ ηνπο ζπληειεζηέο ηεο δηάηαζεο. Ο πίλαθαο Y είλαη ζπκκεηξηθφο γηα ειαζηηθά ζψκαηα, επνκέλσο είλαη eij δηάηαζεο πνπ πξνθχπηεη γξάθεηαη: e ji. Δπνκέλσο, ν παξάγνληαο xx yy zz yz zx xy (2.9) Με αλάινγν ηξφπν ππνινγίδεηαη θαη ε πίεζε ζε ζεκείν: ~ 18 ~

30 ΚΔΦΑΛΑΙΟ 2 xx xy xz yx yy yz zx zy zz (2.10) Αληίζηνηρα παίξλνπκε: xx yy zz yz zx xy (2.11) Θεσξνχκε ην παξαθάησ ζρήκα 2.5. Έλα ηπραίν ζεκείν (P) ελφο ζψκαηνο κεηαθηλείηαη θαηά έλα δηάλπζκα u φηαλ ην ζψκα ππφθεηηαη ζε παξακφξθσζε. ρήκα (2.5): ψκα πξηλ θαη κεηά ηελ παξακφξθσζε Γηάλπζκα κεηαηφπηζεο ζεκείνπ Σν δηάλπζκα u γξάθεηαη: u( x, y, z) u ( x, y, z) v( x, y, z) (2.12) w ( x, y, z) Υξεζηκνπνηψληαο ηελ ηειεπηαία ζρέζε έρνπκε: ~ 19 ~

31 ΚΔΦΑΛΑΙΟ 2 u 0 0 x x v 0 0 xx y y yy w 0 0 u zz z z ( u) v yz v w Bu (2.13) 0 w z y z y zx u w xy 0 z x z x u v 0 y x y x Αο πάξνπκε ηψξα ην γεληθεπκέλν λφκν ηνπ Hooke ν νπνίνο δηαηππψλεηαη σο εμήο: σ= Dε (2.14) Με D ηνλ πίλαθα ηδηνηήησλ ηνπ πιηθνχ. Η ηειεπηαία εμίζσζε επηιχεηαη εχθνια αλ ρξεζηκνπνηήζνπκε κία ελεξγεηαθή δηαηχπσζε γηα ηε δηάηαζε ελφο ειαζηηθνχ ζψκαηνο. 1 T Estrain ( x) ( x) dx 2 (2.15) Αληηθαζηζηψληαο ηνλ πίλαθα ηδηνηήησλ ηνπ πιηθνχ ζηελ ηειεπηαία ζρέζε έρνπκε: 1 T Estrain ( x) D( x) dx 2 (2.16) Γηα φιν ην ζψκα ε ζπλνιηθή ελέξγεηα ηεο παξακφξθσζεο είλαη: 1 T E( u ) ( u) DBudx 2 (2.17) Οη εμηζψζεηο πνπ πεξηγξάςακε είλαη γεληθέο θαη ρξήζηκεο γηα ηε κνληεινπνίεζε ειαζηηθήο παξακφξθσζεο. Αθνινπζεί αλάιπζε ηεο κνληεινπνίεζεο κε πεπεξαζκέλα ζηνηρεία φπνπ θαη εθαξκφδνληαη νη εμηζψζεηο απηέο. ~ 20 ~

32 ΚΔΦΑΛΑΙΟ Δηζαγωγή ζηε κέζνδν ηωλ πεπεξαζκέλωλ ζηνηρείωλ Η κέζνδνο ησλ πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ ζηεξίδεηαη ζηηο εμήο βαζηθέο αξρέο. Θεσξνχκε έλα αληηθείκελν-ζψκα ζην νπνίν ζέινπκε λα ππνινγίζνπκε ηελ θαηαλνκή κηαο κεηαβιεηήο (φπσο παξακφξθσζεο ή ζεξκνθξαζίαο). Αξρηθά ρσξίδνπκε ην ζψκα καο ζε έλα ζχζηεκα δνκηθψλ κνλάδσλ, ηα ζηνηρεία elements ηα νπνία ζπλδένληαη κεηαμχ ηνπο ζε θφκβνπο nodes (ρήκα 2.6). Η κεηαβιεηή εθαξκφδεηαη ζε θάζε ζηνηρείν κε έλαλ πξνθαζνξηζκέλν ηξφπν. Ο αξηζκφο θαη ν ηχπνο ησλ ζηνηρείσλ είλαη επηιεγκέλα έηζη ψζηε ε θαηαλνκή ηεο κεηαβιεηήο ζε φιν ην ζψκα λα πξνζεγγίδεηαη ηθαλνπνηεηηθά απφ ηελ αλαπαξάζηαζε φισλ ησλ ζηνηρείσλ. Η δηάδνζε ηεο κεηαβιεηήο ζε θάζε ζηνηρείν κπνξεί λα πξνζδηνξηζηεί απφ κία πνιπσλπκηθή ζπλάξηεζε (φπσο κία γξακκηθή) ή κία ηξηγσλνκεηξηθή ζπλάξηεζε. ρήκα (2.6): Παξάδεηγκα ζψκαηνο απφ πεπεξαζκέλα ζηνηρεία Αθνχ ην πξφβιεκα έρεη πιένλ γίλεη δηαθξηηφ, κε ηελ αληηζηνίρεζή ηνπ ζην ζχζηεκα ησλ πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ, είλαη έηνηκν λα επηιπζεί. Αξρηθά πξνζδηνξίδνληαη νη ζπλαξηήζεηο πνπ νξίδνπλ ην θάζε ζηνηρείν θαη ζηε ζπλέρεηα ζπλππνινγίδνληαη γηα λα δψζνπλ ηηο εμηζψζεηο ηνπ ζπζηήκαηνο. Ο ππνινγηζκφο απηφο κπνξεί λα γίλεη κε δηάθνξνπο ηξφπνπο αιιά ε ηειηθή κνξθή είλαη ζπγθεθξηκέλε γηα νξηζκέλν ηχπν πξνβιήκαηνο (φπσο παξακφξθσζεο ή ζεξκηθφ). Δπνκέλσο, εθφζνλ νξηζηνχλ νη ζπλαξηήζεηο πνπ αθνξνχλ θάζε ηχπν ζηνηρείνπ, νη εμηζψζεηο ηνπ ζπζηήκαηνο ππνινγίδνληαη άκεζα. Δίλαη απιά ζέκα αληηζηνίρεζεο ησλ ζπληεηαγκέλσλ ησλ θφκβσλ, ησλ αξρηθψλ ζπλζεθψλ θαη ησλ ηδηνηήησλ ηνπ ζψκαηνο. Έηζη, πξνθχπηεη έλα ζχζηεκα ην νπνίν πεξηγξάθεη φιν ην ζψκα. Σν ζχζηεκα απηφ γξάθεηαη ζηε κνξθή: K U F (2.18) φπνπ [K] έλαο ηεηξαγσληθφο πίλαθαο πνπ ιέγεηαη «κεηξψν ζθιεξφηεηαο» (stiffness matrix), U ην δηάλπζκα ησλ κεηαηνπίζεσλ (ή ησλ ζεξκνθξαζηψλ) ησλ θφκβσλ (nodes) θαη F ην δηάλπζκα ησλ εθαξκνδφκελσλ δπλάκεσλ ζηνπο αληίζηνηρνπο θφκβνπο. Σα δχν δηαλχζκαηα αλαπαξίζηαληαη κε πίλαθεο ζηήιε. Η επίιπζε ηεο παξαπάλσ εμίζσζεο αθνξά ζηνλ ππνινγηζκφ ηνπ δηαλχζκαηνο U κε γλσζηά ηα [K] θαη F δεδνκέλνπ φκσο φηη εηζάγνπκε ηελ επηζπκεηή παξακφξθσζε ζε ζπγθεθξηκέλν ζεκείν ηεο δνκήο. Χζηφζν, ε πξνθαλήο ιχζε κε αληηζηξνθή ηνπ πίλαθα [K] δελ είλαη πάληνηε εχθνιε. Γελ είλαη απίζαλν λα έρνπκε πιήζνο εμηζψζεσλ ηεο ηάμεο ησλ θάηη πνπ δπζρεξαίλεη ηελ επίιπζε ηνπ πξνβιήκαηνο. Η κνξθή σζηφζν ηνπ πίλαθα [K] είλαη ζπλήζσο ηέηνηα πνπ επηηξέπεη ηελ εθαξκνγή κεζφδσλ επίιπζεο πεξηζζφηεξν απνδνηηθψλ ηφζν ζε ρξφλν φζν θαη ζε πνιππινθφηεηα ζε ζρέζε κε ηελ ~ 21 ~

33 ΚΔΦΑΛΑΙΟ 2 απεπζείαο αληηζηξνθή πίλαθα. Η κέζνδνο ησλ πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ ζπληζηά κία άκεζε θαη ινγηθή επίιπζε ελφο πξνβιήκαηνο πνπ αθνινπζεί κηα θαιά νξηζκέλε δηαδηθαζία. Η πξνζέγγηζε θαζψο θαη νη ζρέζεηο πνπ ρξεζηκνπνηνχληαη ζην θεθάιαην απηφ βξίζθνληαη ζε αλαινγία κε ην βηβιίν Finite Element Analysis ηνπ M J Fagan. 2.3 Γηαθξηηνπνίεζε ηνπ πξνβιήκαηνο Σν πξψην βήκα πνπ αθνινπζεί ε κέζνδνο πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ είλαη ν ρσξηζκφο ηνπ ππφ κειέηε ζψκαηνο ζε ζηνηρεία κε ηξφπν ψζηε ε αλαπαξάζηαζε λα είλαη απνδεθηή. ε απηφ ην ηκήκα πξέπεη λα δνζεί ηδηαίηεξε πξνζνρή, αθνχ ε πξνεηνηκαζία ηνπ πξνβιήκαηνο κπνξεί λα ζπκβάιεη δξακαηηθά ζηελ εμνηθνλφκεζε ρξφλνπ θαη πξνζπάζεηαο ηφζν ζηελ πινπνίεζε φζν θαη ζηελ αλάιπζε ηνπ κνληέινπ. Παξάγνληεο φπσο ε ζπκκεηξία αμίδεη λα ζπκπεξηιεθζνχλ θαη ζπλεπάγνληαη κεγάιε βειηίσζε ηεο απνδνηηθφηεηαο. Όπσο ζα δνχκε παξαθάησ, ην κέγεζνο ηνπ πίλαθα [K] ηνλ νπνίν ζα θιεζνχκε λα αληηζηξέςνπκε εμαξηάηαη άκεζα απφ ην πιήζνο ησλ πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ θαη ε εμάξηεζε είλαη πνιπσλπκηθνχ βαζκνχ. Έηζη πξέπεη λα δνζεί ηδηαίηεξε έκθαζε ζηνλ νξηζκφ ηνπ κνληέινπ θαη λα ππάξρεη δηαθνξεηηθή αληηκεηψπηζε αλάινγα κε ηηο αλάγθεο ηεο πινπνίεζεο. Όηαλ ηα ζθάικαηα ζέινπκε λα είλαη κηθξά ή ε κειέηε καο εζηηάδεηαη ζε κηθξή πεξηνρή, αλαγθαδφκαζηε λα ρξεζηκνπνηήζνπκε πεξηζζφηεξα ζηνηρεία, αιιά φηαλ απαηηείηαη ην ζχζηεκα λα ιεηηνπξγεί απνδνηηθά πξέπεη λα πεξηνξηζηνχκε ζε ιηγφηεξν αθξηβείο δνκέο. Όια ηα πιηθά ζψκαηα έρνπλ ζηελ πξαγκαηηθφηεηα ηξεηο δηαζηάζεηο. Χζηφζν, ζηηο πεξηζζφηεξεο πεξηπηψζεηο κπνξνχκε λα θάλνπκε θάπνηεο παξαδνρέο νη νπνίεο δηεπθνιχλνπλ πνιχ ηελ πξνζέγγηζε κε ηα πεπεξαζκέλα ζηνηρεία. Έηζη γηα παξάδεηγκα αλ ζεσξήζνπκε φηη ε δχλακε πνπ αζθείηαη ζε έλα ζψκα είλαη θαηά πξνζέγγηζε ζεκεηαθή θαη αζθείηαη θαηά κήθνο ηνπ άμνλα ζπκκεηξίαο κπνξνχκε λα δηεπθνιχλνπκε θαηά πνιχ ηελ αλάιπζε. Δάλ ην πξφβιεκα κπνξεί λα πεξηγξαθεί πιήξσο ζε έλα επίπεδν ηφηε ε κνληεινπνίεζε κπνξεί λα γίλεη δηζδηάζηαηε αληί γηα ηξηζδηάζηαηε. Σα βαζηθά ζηνηρεία, αλάινγα κε ηε γεσκεηξία ηνπ πξνβιήκαηνο θαίλνληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα 2.1: ~ 22 ~

34 ΚΔΦΑΛΑΙΟ 2 Πίλαθαο (2.1): Καηεγνξίεο πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ Οη παξαπάλσ θαηεγνξίεο κνληέισλ ηζρχνπλ ηφζν γηα πξνβιήκαηα παξακφξθσζεο φζν θαη γηα ζεξκηθά. Χζηφζν, ηα ζεξκηθά πξνβιήκαηα είλαη απινχζηεξα αθνχ ε ζεξκφηεηα είλαη κνλνδηάζηαην κέγεζνο ζε αληίζεζε κε ηε κεηαηφπηζε πνπ γίλεηαη ζην ρψξν δειαδή ζε ηξεηο δηαζηάζεηο. Πξνθαλψο, φζν πεξηζζφηεξεο δηαζηάζεηο πεξηιακβάλεη ην κνληέιν ηφζν πην ζχλζεηε είλαη ε αλάιπζή ηνπ. Έηζη, φηαλ έρνπκε κφλν έλα ζεκείν δε ρξεηάδεηαη λα νξίζνπκε ζπληεηαγκέλεο, φηαλ ζέινπκε λα πξνζνκνηψζνπκε κία γξακκή έρνπκε κία κφλν δηάζηαζε, ελψ φηαλ πξφθεηηαη γηα επηθάλεηα ή φγθν ζα ρξεηαδφκαζηε δχν θαη ηξεηο δηαζηάζεηο αληίζηνηρα γηα ηελ πιήξε πεξηγξαθή ηεο ζέζεο. Δηδηθή πεξίπησζε είλαη απηή ηεο θπξηήο επηθάλεηαο γηαηί ηα ζηνηρεία elements εκθαλίδνπλ θαη παξακφξθσζε αληίζηνηρε απηήο ησλ δχν δηαζηάζεσλ θαη ζηξέςε, επνκέλσο παξφιν πνπ δελ πξφθεηηαη γηα φγθν, νη δχν δηαζηάζεηο δελ επαξθνχλ γηα ηελ πεξηγξαθή ηνπ. Δθκεηαιιεπφκελνη ηηο παξαδνρέο πνπ κπνξνχκε λα θάλνπκε ζην εθάζηνηε πξφβιεκα ρξεζηκνπνηνχκε ην απινχζηεξν απφ ηα παξαπάλσ κνληέια. Αθνχ επηιέμνπκε ηνλ θαηάιιειν ηχπν πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ, ην επφκελν βήκα γηα ηελ πξνζνκνίσζε ελφο ζψκαηνο είλαη ε επηινγή ηνπ πιήζνπο θαη ηνπ κεγέζνπο ησλ ζηνηρείσλ. Όζν κεγαιχηεξν είλαη ην πιήζνο, ηφζν πην κηθξέο είλαη νη δηαζηάζεηο θαη θαηά ζπλέπεηα ηφζν κεγαιχηεξε είλαη ε αθξίβεηα αιιά θαη ε πνιππινθφηεηα. ηηο πεξηπηψζεηο πνπ ζέινπκε θαιχηεξε αθξίβεηα ζε έλα ηκήκα ελφο ζψκαηνο δε ρξεηάδεηαη λα πινπνηήζνπκε φιν ην ζψκα κε γλψκνλα ηελ αθξίβεηα απηή. Μπνξνχκε λα δηαθνξνπνηήζνπκε ηελ αθξίβεηα ρσξίο λα έρνπκε αζπλέρεηεο ζην πιηθφ. ~ 23 ~

35 ΚΔΦΑΛΑΙΟ 2 Παξαθάησ, ζην ζρήκα 2.7 θαίλνληαη δηάθνξνη ηξφπνη λα επηηεπρζεί απηφ. ρήκα (2.7): Αιιαγή αθξίβεηαο κε πεπεξαζκέλα ζηνηρεία Έλα αθφκε ζηνηρείν ζην νπνίν πξέπεη λα επηζηήζνπκε ηελ πξνζνρή καο είλαη ηα ζεκεία φπνπ νη παξάκεηξνη ηνπ πιηθνχ ηνπ ζψκαηνο κεηαβάιινληαη. Έλα πεπεξαζκέλν ζηνηρείν δε κπνξεί λα αλήθεη ζε πιηθά κε δηαθνξεηηθέο παξακέηξνπο. Έηζη απαηηείηαη κία δηαρσξηζηηθή γξακκή ή επηθάλεηα απφ θφκβνπο ζην φξην δηαθνξνπνίεζεο ηνπ πιηθνχ. Έλα παξάδεηγκα θαίλεηαη ζην ζρήκα 2.8 φπνπ έρνπκε δχν δηαθνξεηηθέο θάζεηο ζε έλα ζψκα, κία απφ αινπκίλην θαη κία απφ αηζάιη. ρήκα (2.8): Αιιαγή πιηθνχ κε πεπεξαζκέλα ζηνηρεία Αθνχ πξνζδηνξηζηνχλ νη εμηζψζεηο θάζε πεπεξαζκέλνπ ζηνηρείνπ θαη ζπλδπαζηνχλ γηα ηελ εμαγσγή ησλ εμηζψζεσλ ηνπ ζπζηήκαηνο, απνκέλεη ε επίιπζε ηνπ πξνβιήκαηνο. Γηα ην ζθνπφ απηφ ρξεζηκνπνηείηαη ζε πνιιέο πεξηπηψζεηο ε απαινηθή Gauss. ~ 24 ~

36 ΚΔΦΑΛΑΙΟ 2 Η κνξθή ηνπ πίλαθα [K] θαίλεηαη ζην ζρήκα 2.9: Bandwidth x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x... ρήκα (2.9): Μνξθή πίλαθα Κ Σν κεγαιχηεξν ηκήκα ηνπ πίλαθα απνηειείηαη απφ κεδεληθά, εθηφο απφ κία πεξηνρή κε εχξνο bandwidth γχξσ απφ ηελ θχξηα δηαγψλην ηνπ πίλαθα. Φπζηθά, φζν κηθξφηεξν είλαη ην εχξνο απηφ ηφζν πην εχθνιε θαη γξήγνξε είλαη ε επίιπζε ηνπ ζπζηήκαηνο. Απνδεηθλχεηαη φηη ην εχξνο απηφ εμαξηάηαη απνθιεηζηηθά απφ ηελ αξίζκεζε ησλ ζηνηρείσλ. Σν εχξνο απηφ πξνθχπηεη απφ ην ζπλδπαζκφ ησλ βαζκψλ ειεπζεξίαο ησλ θφκβσλ ελφο πεπεξαζκέλνπ ζηνηρείνπ. Δπνκέλσο, φζν πιεζηέζηεξνη αξηζκνί έρνπλ αλαηεζεί ζηα ζηνηρεία απηά ηφζν κηθξφηεξν ζα είλαη ην εχξνο. ~ 25 ~

37 ΚΔΦΑΛΑΙΟ 2 ρήκα (2.10): Αξίζκεζε θφκβσλ ζε κνληέιν ην ζρήκα 2.10 βιέπνπκε δχν δηαθνξεηηθέο κεζφδνπο αξίζκεζεο, γηα έλα κνληέιν παξακφξθσζεο, ηελ νξηδφληηα θαη ηελ θαηαθφξπθε αξίζκεζε. ηελ πξψηε πεξίπησζε έρνπκε ζπζρεηηζκφ ησλ θφκβσλ 1 έσο 10, ελψ ζηε δεχηεξε κφλν ησλ θφκβσλ 1 έσο 6. Δπεηδή ην κνληέιν είλαη δηζδηάζηαην θάζε θφκβνο αληηζηνηρεί ζε δχν βαζκνχο ειεπζεξίαο, απαηηνχληαη δχν ζπληεηαγκέλεο γηα ηνλ πξνζδηνξηζκφ ηεο ζέζεο ηνπ ζην επίπεδν. Έηζη ζηελ πξψηε πεξίπησζε ην εχξνο ζα είλαη 20 ελψ ζηε δεχηεξε 12. Σν ίδην εχξνο πξνθχπηεη θαη απφ ηα άιια ζηνηρεία ηεο δνκήο. Γεληθφηεξα ην εχξνο, bandwidth κπνξεί λα ππνινγηζηεί απφ ηε ζρέζε bandwidth=(d+1)f (2.19) Με D ηε κέγηζηε δηαθνξά κεηαμχ θφκβσλ θαη f ην πιήζνο ησλ βαζκψλ ειεπζεξίαο. 2.4 Αλάιπζε παξακόξθωζεο ζε δύν δηαζηάζεηο Γηα ην πξφβιεκα πνπ θαινχκαζηε λα επηιχζνπκε ζα αθνινπζήζνπκε ηελ αλάιπζε ζε δχν δηαζηάζεηο εθκεηαιιεπφκελνη ηελ αμνληθή ζπκκεηξία ηνπ πξνβιήκαηνο. Σν πεπεξαζκέλν ζηνηρείν ζηελ πεξίπησζε απηή είλαη έλα ηξίγσλν φπσο απηφ ηνπ ζρήκαηνο 2.11: ~ 26 ~

38 ΚΔΦΑΛΑΙΟ 2 ρήκα (2.11): Σξηγσληθφ πεπεξαζκέλν ζηνηρείν (βαζκνί ειεπζεξίαο) Κάζε ζηνηρείν απνηειείηαη απφ ηξεηο θφκβνπο νη νπνίνη αληηζηνηρνχλ ζε δχν βαζκνχο ειεπζεξίαο. Δάλ u ( x, y) [ u, v] T είλαη ην δηάλπζκα ηεο παξακφξθσζεο γηα έλα ζεκείν ζε έλα ζηνηρείν (e) ηφηε έρνπκε: U1 U 2 ( e) u e e N N N U 3 x y v 0 N1 0 N2 0 N 3 U4 u( x, y) N (, ). U. (2.20) U 5 U 6 Σν δηάλπζκα e U πεξηέρεη έμη ζηνηρεία ηα νπνία απνηεινχλ ηηο κεηαηνπίζεηο ησλ δχν ζπληεηαγκέλσλ γηα θαζέλαλ απφ ηνπο ηξεηο θφκβνπο ηνπ ηξηγσληθνχ ζηνηρείνπ. ηελ πεξίπησζε πνπ ζην κνληέιν εμεηάδνπκε ηελ παξακφξθσζε κφλν ιφγσ πίεζεο, δειαδή δελ έρνπκε ζηξέβισζε, νη πιεπξέο ηνπ πεπεξαζκέλνπ ζηνηρείνπ ιεηηνπξγνχλ ζαλ ειαηήξηα θαη ν ( e) πίλαθαο ηδηνηήησλ ηνπ πιηθνχ (material property matrix) [ D ] νξίδεηαη γηα θάζε ζηνηρείν σο εμήο: E 1 v ( e) [ D ] v v (1 v) / 2 (2.21) ( e) ηελ παξαπάλσ ζρέζε E είλαη ν δείθηεο ειαζηηθφηεηαο (elasticity modulus) ηνπ πιηθνχ θαη v ( e) ν ζπληειεζηήο Poisson. Ο πίλαθαο [ D ] έρεη ζηαζεξή ηηκή, ε νπνία είλαη ζπλάξηεζε κφλν ηνπ πιηθνχ πνπ πξνζνκνηψλεηαη θαη ηεο θαηεγνξίαο ηνπ ππφ εμέηαζε πξνβιήκαηνο. Γελ ππάξρεη θακία εμάξηεζε απφ ην ζρήκα, ην κέγεζνο ή ηε ζχλδεζε ησλ ζηνηρείσλ, νχηε θαη επέθηαζε απφ ηηο δηαζηάζεηο ή ην ζρήκα νιφθιεξνπ ηνπ ζψκαηνο. Γηα ηελ εηζαγσγή ησλ παξακέηξσλ ζρήκαηνο θαη κεγέζνπο θάζε ζηνηρείνπ ρξεζηκνπνηνχκε ηνλ πίλαθα νπνίνο ππνινγίδεηαη απφ ηε ζρέζε: ~ 27 ~ ( e) [ ] B ν

39 ΚΔΦΑΛΑΙΟ 2 b 0 b 0 b 0 2A c i b i c j b j c k b k (2.22) i j k ( e) 1 [ B ] 0 ci 0 c j 0 ck ηνλ πίλαθα 2.2 ζεσξνχκε ηνπο θφκβνπο ηνπο ηξηγψλνπ κε ηηο αληίζηνηρεο ζπληεηαγκέλεο ηνπο: Πίλαθαο (2.2): πληεηαγκέλεο θφκβσλ ρήκα (2.12): Σξηγσληθφ πεπεξαζκέλν ζηνηρείν (πληεηαγκέλεο) Ο ζπληειεζηήο A αληηπξνζσπεχεη ην εκβαδφ ηνπ ηξηγσληθνχ element θαη ππνινγίδεηαη απφ ηε ζρέζε: 1 xi yi 1 A 1 x j y j (2.23) 2 1 x y k k Δλψ ηα bi, bj, bk, ci, c j, ck πξνζδηνξίδνληαη απφ ηηο ζρέζεηο: ai x j yk xk y j bi y j yk ci xk x j a j xk yi xi yk bj yk yi c j xi xk (2.24) ak xi y j x j yi bk yi y j ck x j xi ~ 28 ~

40 ΚΔΦΑΛΑΙΟ 2 ηηο ηειεπηαίεο ζρέζεηο παξαηεξνχκε φηη ηα bi, bj, bk, ci, c j, ck πξνθχπηνπλ απφ ηηο ζρεηηθέο ζπληεηαγκέλεο δχν θφκβσλ ηνπ πεπεξαζκέλνπ ζηνηρείνπ. πλεπψο, είλαη αλεμάξηεηα ηεο ζέζεο ηνπ element ζην ρψξν. Σν ίδην θπζηθά ηζρχεη θαη γηα ην εκβαδφ A. Σν ζπκπέξαζκα ( e) είλαη φηη ν πίλαθαο [ B ] είλαη ίδηνο γηα ζηνηρεία ίδηνπ ζρήκαηνο θαη κεγέζνπο. Με ηνλ φξν ζρήκα ελλννχκε θαη ηνλ πξνζαλαηνιηζκφ, δειαδή ηα ηξηγσληθά elements πξέπεη λα είλαη αθξηβή είδσια κε κφλε δηαθνξά ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπο ζην ρψξν. εκεηψλεηαη φηη γηα θάζε ζηνηρείν (e) ηνπ κνληέινπ, ε δηάηαζε (ε) ππνινγίδεηαη απφ ηε ζρέζε: u x x v e y. y B U xy u v x y e (2.25) ( e) ( e) Έρνληαο ππνινγίζεη ηνπο πίλαθεο [ B ] θαη [ D ] κπνξνχκε λα ππνινγίζνπκε ηνλ πίλαθα ( e) [ K ] (ηνλ stiffness matrix) ηνπ ζηνηρείνπ: ( e) ( e) T ( e) ( e) [ ] [ ] [ ][ ] K B D B dv V B D B dv (2.26) ( e) T ( e) ( e) [ ] [ ][ ] ( e) T ( e) ( e) [ ] [ ][ ] B D B ta V ηελ ηειεπηαία ζρέζε ε κεηαβιεηή t απνηειεί κία ζηαζεξά πνπ εθθξάδεη ην πάρνο ηνπ ( e) πεπεξαζκέλνπ ζηνηρείνπ. Ο πίλαθαο [ K ] πνπ ππνινγίζακε αθνξά κφλν έλα ζηνηρείν, εμ νπ θαη ν εθζέηεο (e). Γηα ηνλ ππνινγηζκφ ηνπ ζπλνιηθνχ πίλαθα [ K ] (stiffness matrix) γηα ( e) φιν ην ζψκα, πξέπεη λα αζξνίζνπκε θαηάιιεια ηνπο επηκέξνπο πίλαθεο. Ο πίλαθαο [ K ] γηα έλα ζηνηρείν αληηζηνηρεί ζε 6 βαζκνχο ειεπζεξίαο. Ο ζπλνιηθφο πίλαθαο [ K ] αληηζηνηρίδεηαη ζε φινπο ηνπο βαζκνχο ειεπζεξίαο (δχν γηα θάζε θφκβν). Γηα λα ζπλππνινγίζνπκε ηνπο επηκέξνπο πίλαθεο ησλ ζηνηρείσλ ζηνλ πξνζδηνξηζκφ ηνπ ζπλνιηθνχ πίλαθα ρξεηαδφκαζηε κία επηπιένλ πιεξνθνξία ψζηε νη ηηκέο ηνπο λα ηνπνζεηεζνχλ ζηε ζσζηή ζέζε. Απηφ επηηπγράλεηαη κε έλαλ επηπιένλ πίλαθα, ν νπνίνο νξίδεηαη σο εμήο: u2i1 u 2i ( e) u 2 j1 U (2.27) u2 j u 2k 1 u2k Έρνληαο θαηαζθεπάζεη ηνλ stiffness matrix, πίλαθα [K] ηνπ ζπζηήκαηνο, απνκέλεη λα ππνινγίζνπκε θαη ηνλ πίλαθα F ψζηε λα κπνξέζνπκε λα ιχζνπκε ην ζχζηεκα: K U F (2.28) ~ 29 ~

41 ΚΔΦΑΛΑΙΟ 2 ην ηειεπηαίν ζχζηεκα έρνπκε άγλσζην ηνλ πίλαθα U,ην δηάλπζκα δειαδή ησλ κεηαηνπίζεσλ ησλ θφκβσλ γηα ηηο πεξηνρέο εθείλεο φπνπ δελ εθαξκφδεηαη ε επηζπκεηή βχζηζε. ηνλ ππνινγηζκφ ηνπ πίλαθα F πνπ απνηειεί θαη ην δηάλπζκα ησλ αζθνχκελσλ δπλάκεσλ, αξθεί λα ζπλππνινγίζνπκε ηηο εθαξκνδφκελεο εμσηεξηθέο δπλάκεηο ζε θάζε θφκβν (ζε θάζε βαζκφ ειεπζεξίαο ζπγθεθξηκέλα), θαζψο θαη ηηο δπλάκεηο πνπ αζθνχληαη απφ ηα φξηα-ηνηρψκαηα πνπ έρνπκε ζέζεη. ~ 30 ~

42 ΚΕΥΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΜΕΣΡΟΙ ΔΙΔΙΑΣΑΣΟΤ ΜΟΝΣΕΛΟΤ 3.1 Γεκηνπξγία κνληέινπ κε ρξήζε ηωλ πεπεξαζκέλωλ ζηνηρείωλ Η παξακφξθσζε ηνπ δέξκαηνο (αλ ζεσξήζνπκε φηη ηα νζηά απνηεινχληαη απφ ζηαζεξά ζεκεία) εμαξηάηαη απφ ηελ ειαζηηθφηεηα δχν ζηξσκάησλ. Απηφ ηεο επηδεξκίδαο θαη απηφ ηνπ ππνδφξηνπ ηζηνχ (ιίπνπο). Δπνκέλσο, κε ηε ρξήζε ησλ πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ κπνξεί λα πξνζνκνησζεί κε δχν ζηξψκαηα δηαθνξεηηθνχ πάρνπο θαη δηαθνξεηηθήο ειαζηηθφηεηαο. Η θακπχιε πνπ πξνθχπηεη θαη απνηειεί ηελ επηθάλεηα απηήο ηεο δνκήο, κε δεδνκέλν ην βάζνο δηείζδπζεο ηνπ ζεκεηαθνχ θνξηίνπ, εμαξηάηαη απφ ηε ζρεηηθή ειαζηηθφηεηα θαζψο θαη ην ζρεηηθφ πάρνο ησλ δχν ζηξσκάησλ. ε απηφ ην θεθάιαην ζα πξνζδηνξίζνπκε ηηο πεξηνρέο ηηκψλ ησλ δχν απηψλ ιφγσλ γηα ηηο νπνίεο ε επηθάλεηα αληηδξά κε ηξφπν παξφκνην κε απηφλ πνπ πξνθχπηεη απφ ηα πεηξακαηηθά δεδνκέλα. ρήκα (3.1): Μνληέιν κε δχν ζηξψκαηα δηαθνξεηηθνχ πάρνπο θαη ειαζηηθφηεηαο. Γηα ην ζηφρν απηφ ρξεζηκνπνηήζεθε θψδηθαο ζε matlab φπνπ κπνξνχκε εχθνια λα αλαπαξαζηήζνπκε ζρεκαηηθά κία ηνκή ηνπ κνληέινπ ζε δχν δηαζηάζεηο. Σν δνκηθφ ζηνηρείν ηνπ δηζδηάζηαηνπ κνληέινπ καο είλαη ην απιφ γξακκηθφ ηξηγσληθφ πεπεξαζκέλν ζηνηρείν. Η θπζηθή εξκελεία ηνπ ζηνηρείνπ απηνχ αλαιχεηαη παξαθάησ. Σν απιφ γξακκηθφ ηξηγσληθφ ζηνηρείν πνπ ρξεζηκνπνηνχκε είλαη νπζηαζηηθά έλα νξζνγψλην ηξίγσλν ην νπνίν ζρεκαηίδεηαη απφ ηξεηο ειαζηηθέο ξάβδνπο. Η ειαζηηθφηεηα ησλ ξάβδσλ εκθαλίδεηαη κφλν θαηά ηνλ άμνλά ηνπο, δελ ππάξρεη δειαδή ζηξέβισζε αιιά κφλν κεηαβνιή ηνπ κήθνπο θάζε ξάβδνπ φηαλ ζην ηξίγσλν αζθεζεί θάπνηα δχλακε. Σα άθξα ησλ ξάβδσλ είλαη ελσκέλα ζε ζεκεία ηα νπνία απνηεινχλ θαη ηνπο θφκβνπο ηνπ κνληέινπ. ~ 31 ~

43 ΚΔΦΑΛΑΙΟ 3 ρήκα (3.2): Διαζηηθέο ξάβδνη (παξακφξθσζε κφλν σο πξνο ην κήθνο) ρήκα (3.3): ρεκαηηθή αλαπαξάζηαζε ξάβδνπ ρήκα (3.4): ρεκαηηθή αλαπαξάζηαζε ηξηγσληθνχ πεπεξαζκέλνπ ζηνηρείνπ Σνπνζεηψληαο δχν ηέηνηα ηξίγσλα καδί (ρήκα 3.4), παίξλνπκε έλα ηεηξάγσλν πνπ απνηειείηαη απφ ηέζζεξεηο θφκβνπο (ρήκα 3.5). ρήκα (3.5): Διαζηηθφ ηεηξάγσλν απφ πεπεξαζκέλα ζηνηρεία Δπαλαιακβάλνληαο πνιιέο θνξέο ηε δνκή απηή θαη πξνο ηηο δχν θαηεπζχλζεηο κπνξνχκε λα θαηαζθεπάζνπκε έλα παξαιιειφγξακκν ην νπνίν ζα απνηειεί θαη κηα επίπεδε ηνκή ελφο ηκήκαηνο ηνπ δέξκαηνο (ρήκα 3.6). ~ 32 ~

44 ΚΔΦΑΛΑΙΟ 3 ρήκα (3.6): Γεκηνπξγία επηθάλεηαο απφ ειαζηηθφ πιηθφ κε ρξήζε πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ Θεσξψληαο φηη θάησ απφ ηελ επηθάλεηα ηνπ δέξκαηνο βξίζθεηαη νζηφ θαη φηη δεμηά θαη αξηζηεξά απφ ηε δνκή καο ην δέξκα ζπλερίδεηαη κπνξνχκε λα εθιάβνπκε φηη ε θάησ έδξα ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ θαζψο θαη νη δχν πιεπξέο δε κεηαθηλνχληαη. Έηζη, ζέηνπκε ηνπο αληίζηνηρνπο θφκβνπο σο αθιφλεηα ζεκεία (ρήκα 3.7). ρήκα (3.7): Οξηζκφο ζηαζεξψλ ζεκείσλ γηα ην κνληέιν ~ 33 ~

45 ΚΔΦΑΛΑΙΟ 3 Σέινο αξθεί λα νξίζνπκε ην κέγεζνο ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ θαη ην πιήζνο ησλ πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ πνπ ζα ρξεζηκνπνηήζνπκε. Γηα λα ππάξρεη αλαινγία κε ηηο πεηξακαηηθέο ηηκέο ζεσξνχκε φηη ην πάρνο ηνπ δέξκαηνο απφ ηελ επηθάλεηα κέρξη ην νζηφ είλαη 4,5mm ελψ έλα θαιφ κήθνο είλαη ηα 12mm κε ην ζεκείν επαθήο ζην θέληξν. Μήθνο κεγαιχηεξν απφ απηφ δελ είλαη απαξαίηεην αθνχ κεηά ηελ αθηίλα ησλ 6mm ζεσξνχκε φηη ηφζν ε επηθάλεηα φζν θαη ην εζσηεξηθφ ηνπ δέξκαηνο δε δέρεηαη θακία παξακφξθσζε. Σα δχν κήθε απηά ζα πξέπεη λα ηα κνηξάζνπκε ζε ειαζηηθά ηεηξάγσλα, νπφηε ηελ αλαινγία απηή ζε ρηιηνζηά ζα πξέπεη λα ηε δηαηεξήζνπκε θαη γηα ηελ αλαινγία ησλ ηεηξαγψλσλ νξηδφληηα θαη θαηαθφξπθα. Έηζη εάλ θαηαθφξπθα ρξεζηκνπνηήζνπκε 3 ηεηξάγσλα ηφηε νξηδφληηα ζα ρξεζηκνπνηήζνπκε 8 ηεηξάγσλα. Αληίζηνηρα, κπνξνχκε λα ρξεζηκνπνηήζνπκε 6 ηεηξάγσλα θαηαθφξπθα θαη 16 νξηδφληηα ή 12 θαηαθφξπθα, 32 νξηδφληηα, αλάινγα κε ηελ αθξίβεηα πνπ ζέινπκε λα επηηχρνπκε. Φπζηθά, φζν πεξηζζφηεξα ηα ηεηξάγσλά καο ηφζν θαιχηεξε θαη ε αθξίβεηα, αιιά ηφζν κεγαιχηεξε θαη ε πνιππινθφηεηα ηνπ πξνβιήκαηνο. Δπεηδή ην κνληέιν απνηειείηαη απφ δχν δηαζηάζεηο, εάλ δηπιαζηάζνπκε ηελ αθξίβεηα, δειαδή ην πιήζνο ησλ ηεηξαγψλσλ σο πξνο θάζε δηάζηαζε ην πιήζνο ησλ πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ ηεηξαπιαζηάδεηαη. Σν ίδην θαη νη αληίζηνηρνη πίλαθεο πνπ ην αλαπαξηζηνχλ. Σν πξφβιεκα ηφηε γίλεηαη εμαηξεηηθά πνιχπινθν. Μία θαιή επηινγή πιήζνπο πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ γηα ην κνληέιν καο πξνθχπηεη κε 16 ηεηξάγσλα νξηδφληηα θαη 6 ηεηξάγσλα θαηαθφξπθα. Με ηε δνκή απηή ζα έρνπκε 16x6=96 ειαζηηθά ηεηξάγσλα ηα νπνία ζα απνηεινχληαη απφ 17x7=119 θφκβνπο. Κάζε θφκβνο κε ηε ζεηξά ηνπ νξίδεη 2 βαζκνχο ειεπζεξίαο, νπφηε γηα ηελ πεξηγξαθή ηνπ ζπζηήκαηνο ν ζπλνιηθφο πίλαθαο Κ (stiffness matrix) ζα έρεη κέγεζνο (2x119)x(2x119)=56644 ζέζεσλ. Γηα λα έρνπκε θαιή αθξίβεηα ζηνπο βαζκνχο ειεπζεξίαο ζα πξέπεη λα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηνπιάρηζηνλ 2bytes αλά βαζκφ ειεπζεξίαο. Έηζη ν πίλαθαο K έρεη κέγεζνο ηνπιάρηζηνλ 113Kbytes. Γηπιαζηάδνληαο ηελ αθξίβεηα ν αληίζηνηρνο πίλαθαο πιεζηάδεη ηα 0,5Mbytes θαη ε πινπνίεζε θαζίζηαηαη πνιχ ρξνλνβφξα. Χζηφζν, δελ έρνπκε θακία νπζηαζηηθή βειηίσζε ζηα απνηειέζκαηα φπσο ζα δείμνπκε παξαθάησ. Σν κνληέιν πνπ ρξεζηκνπνηήζεθε θαίλεηαη ζην ζρήκα 3.8 πνπ αθνινπζεί. ~ 34 ~

46 ΚΔΦΑΛΑΙΟ 3 ρήκα (3.8): Γηζδηάζηαην κνληέιν πξηλ ηελ παξακφξθσζε ρήκα (3.9): Γηζδηάζηαην κνληέιν κεγάιεο αθξίβεηαο ην ζχζηεκα απηφ, ην ζεκείν επαθήο (contact point) είλαη ζην θέληξν ηεο επάλσ επηθάλεηαο ελψ ν ιφγνο πάρνπο πνπ κπνξνχλ λα έρνπλ ηα δχν ζηξψκαηα δηαθνξεηηθήο ειαζηηθφηεηαο είλαη 1/5, 2/4, 3/3, 4/2, 5/1 αλάινγα κε ην πψο ζα θαηαλείκνπκε ηα 6 ηεηξάγσλα πνπ έρνπκε θαηαθφξπθα. Δάλ ρξεζηκνπνηήζνπκε κνληέιν κεγαιχηεξεο αθξίβεηαο ζα έρνπκε πεξηζζφηεξεο επηινγέο σο πξνο ηελ θαηαλνκή ησλ δχν ζηξσκάησλ. ε θάζε ~ 35 ~

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ηότοι εργαζηηρίοσ ην πιαίζην ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ εξγαζηεξίνπ ζα παξνπζηαζηνύλ βαζηθέο ιεηηνπξγίεο ησλ Windows XP πνπ ζρεηίδνληαη

Διαβάστε περισσότερα

Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2

Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2 ΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΚΔ EΞΙΩΔΙ Πνηα παξαδείγκαηα εμηζώζεσλ ή θαη πξνβιεκάησλ πηζηεύεηαη όηη είλαη θαηάιιεια γηα ηελ επίιπζε ηνπο θαηά ηελ δηάξθεηα ηεο δηδαθηηθήο δηαδηθαζίαο κέζα ζηελ ηάμε; 1 ε ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΩΡΑ Α.

Διαβάστε περισσότερα

Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12

Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12 Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 11-12 Project 6: Ταμίδη κε ηε Μεραλή ηνπ Φξόλνπ Υπεύζπλνη Καζεγεηέο: Ε. Μπηιαλάθε Φ. Αλησλάηνο Δρώηηζη 3: Πνηα από ηα παξαθάησ ΜΜΕ ηεξαξρείηε από πιεπξάο ζεκαζίαο;

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις Δεδομέμωμ. Εξγαζηήξην V. Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016

Βάσεις Δεδομέμωμ. Εξγαζηήξην V. Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016 Βάσεις Δεδομέμωμ Εξγαζηήξην V Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016 2 Σκοπός του 5 ου εργαστηρίου Σθνπόο απηνύ ηνπ εξγαζηεξίνπ είλαη: ε κειέηε ζύλζεησλ εξσηεκάησλ ζύλδεζεο ζε δύν ή πεξηζζόηεξεο ζρέζεηο ε κειέηε

Διαβάστε περισσότερα

Γξαθηθά Τπνινγηζηώλ θαη ε ζπκβνιή ηνπο ζηελ Ιαηξηθή

Γξαθηθά Τπνινγηζηώλ θαη ε ζπκβνιή ηνπο ζηελ Ιαηξηθή Γξαθηθά Τπνινγηζηώλ θαη ε ζπκβνιή ηνπο ζηελ Ιαηξηθή Δέζπνηλα Μηραήι Τπ. Δξ. Πιεξνθνξηθήο Εξεπλεηηθό Εξγαζηήξην: Γξαθηθώλ Τπνινγηζηώλ & Εηθνληθήο Πξαγκαηηθόηεηαο Σκήκα Πιεξνθνξηθήο - Παλεπηζηήκην Κύπξνπ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) =

ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) = ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 9. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(,y) = y.. Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα: a) ln b) a) 3cos b) e sin 4. Να ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα: S ( y) 3

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ Εδώ ζα ππνινγίζνπκε ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier κεξηθώλ αθόκα ζεκάησλ, πξνζπαζώληαο λα μεθηλήζνπκε από ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier γλσζηώλ ζεκάησλ

Διαβάστε περισσότερα

Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ.

Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Μονοψϊνιο Ολιγοψώνιο Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Οπιακή αξία Δπηπξόζζεηα νθέιε από ηελ ρξήζε/θαηαλάισζε κηαο επηπξόζζεηε

Διαβάστε περισσότερα

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΣΟ ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ Μάρτιος 0 ΘΔΜΑ Να ππνινγίζεηε ηα όξηα: i ii lim 0 0 lim iii iv lim e 0 lim e 0 ΘΔΜΑ Γίλεηαη ε άξηηα ζπλάξηεζε '( ) ( ) γηα θάζε 0 * : R R γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σε έλα ηνπξλνπά βόιετ δήισζαλ ζπκκεηνρή νκάδεο Γπκλαζίσλ ηεο Κύπξνπ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΩΜΘΡΘΙΞΘ ΤΩΠΞΘ ΡΘΡ ΛΘΙΠΕΡ ΗΚΘΙΘΕΡ ΛΘΤΑΗΚΘΔΗΡ Τ.

ΑΓΩΜΘΡΘΙΞΘ ΤΩΠΞΘ ΡΘΡ ΛΘΙΠΕΡ ΗΚΘΙΘΕΡ ΛΘΤΑΗΚΘΔΗΡ Τ. ΑΓΩΜΘΡΘΙΞΘ ΤΩΠΞΘ ΡΘΡ ΛΘΙΠΕΡ ΗΚΘΙΘΕΡ ΟΑIΤΜΘΔΘ ΡΕ ΛΕΓΑΚΞ ΓΗΟΕΔΞ 11V11 ΗΚΘΙΘΑ 6-10 ΤΠΞΜΩΜ ΛΕΘΞΜΕΙΗΛΑΑ ΞΣ ΟΑΘΤΜΘΔΘΞΣ ΡΕ ΛΕΓΑΚΞ ΓΗΟΕΔΞ ΓΘΑ ΟΑΘΙΕΡ ΗΚΘΙΘΑΡ 6-10 ΕΩΜ Η ΔΘΑΔΠΞΛΗ ΑΟΞ Η ΛΘΑ ΕΡΘΑ ΡΗΜ ΑΚΚΗ ΕΘΜΑΘ ΛΕΓΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Φξεζηκόηεηα καζεκαηηθώλ Αξρή θαηακέηξεζεο Όζα έδσζαλ νη Έιιελεο... Τξίγσλνη αξηζκνί Τεηξάγσλνη αξηζκνί Δπηκήθεηο αξηζκνί Πξώηνη αξηζκνί Αξηζκνί κε μερσξηζηέο ηδηόηεηεο Γίδπκνη πξώηνη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH

ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KRNUGH Γηα λα θάλνπκε απινπνίεζε κηαο ινγηθήο ζπλάξηεζεο κε πίλαθα (ή ράξηε) Karnaugh αθνινπζνύκε ηα παξαθάησ βήκαηα:. Η ινγηθή ζπλάξηεζε ζα πξέπεη λα είλαη ζε πιήξε

Διαβάστε περισσότερα

Σύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο:

Σύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Σύνθεζη ηαλανηώζεων Α. Σύλζεζε δύν α.α.η ηεο ίδιας ζστνόηηηας Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Η απνκάθξπλζε

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάλαιο 1. Ενόηηηα 2 Πλάνο Μάρκεηινγκ. Εξγαιεία Μάξθεηηλγθ. Dr. Andrea Grimm Dr. Astin Malschinger

Κεθάλαιο 1. Ενόηηηα 2 Πλάνο Μάρκεηινγκ. Εξγαιεία Μάξθεηηλγθ. Dr. Andrea Grimm Dr. Astin Malschinger Κεθάλαιο 1 Ενόηηηα 2 Πλάνο Μάρκεηινγκ Εξγαιεία Μάξθεηηλγθ Dr. Andrea Grimm Dr. Astin Malschinger ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 2 ΠΛΑΝΟ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Κεθάιαην 1: Εξγαιεία Μάξθεηηλγθ Σπγγξαθείο: Δξ. Andrea Grimm, Δξ.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000.

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000. ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Σσνάρηηζη Κόζηοσς C(), μέζο κόζηος C()/. Παράδειγμα 1 Μηα εηαηξεία δαπαλά γηα θάζε πξντόλ Α πνπ παξάγεη 0.0 λ.κ. Τα πάγηα έμνδα ηεο εηαηξείαο είλαη 800 λ.κ. Ζεηείηαη 1) Να πεξηγξάςεηε

Διαβάστε περισσότερα

Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots)

Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots) Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots) 1.1 Σςνοπτική Πεπιγπαυή Hot Spots Σα ζεκεία αζύξκαηεο πξόζβαζεο πνπ επηιέρζεθαλ αλαθέξνληαη ζηνλ επόκελν πίλαθα θαη παξνπζηάδνληαη αλαιπηηθά ζηηο επόκελεο παξαγξάθνπο.

Διαβάστε περισσότερα

Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ

Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική Δίζηε μησανικόρ διοίκηζηρ μεγάληρ καηαζκεςαζηικήρ εηαιπείαρ και καλείζηε να ςλοποιήζεηε ηο έπγο πος πεπιγπάθεηαι από ηον Πίνακα 1. Κωδ.

Διαβάστε περισσότερα

Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis

Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Stylianos Kalaitzis Μνλνϋβξηδηζκνο 1 Γπν γνλείο, εηεξόδπγνη γηα ηνλ αιθηζκό θάλνπλ παηδηά. Πνία ε πηζαλόηεηα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ

ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ 1.Απηόο πνπ ζα αλαγλσξηζηεί απνπζηάδεη γηα πνιύ θαηξό. 2.Δπηζηξέθεη κε πιαζηή ηαπηόηεηα ή κεηακνξθσκέλνο. 3.Απνκνλώλνληαη ηα δύν πξόζσπα 4.Άξζε κεηακόξθσζεο 5.Απνθάιπςε 6.Ακθηβνιίεο-απνδεηθηηθά

Διαβάστε περισσότερα

Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα!

Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα! Cpyright 2013 Λόγος & Επικοινωνία // All rights Reserved Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα! Αυηό ηο παιχνίδι έχει ζηόχους: 1. ηελ εθγύκλαζε ηεο αθνπζηηθήο κλήκεο ησλ παηδηώλ 2. ηελ εμάζθεζε ζηελ

Διαβάστε περισσότερα

TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΠΡΟΑΡΜΟΓΗ: ΒΑΛΚΑΝΙΩΣΗ ΔΗΜ. ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 TOOLBOOK ΜΑΘΗΜΑ 2

TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΠΡΟΑΡΜΟΓΗ: ΒΑΛΚΑΝΙΩΣΗ ΔΗΜ. ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 TOOLBOOK ΜΑΘΗΜΑ 2 TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 Δημιουργία σελίδων και βιβλίων Έλα θαηλνύξην βηβιίν πεξηέρεη κία άδεηα ζειίδα κε έλα άδεην background. Δελ κπνξνύκε λα μερσξίζνπκε

Διαβάστε περισσότερα

Κόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ. Καξθηά 3 θηιά πεξίπνπ κε κήθνο ηξηπιάζην από ην πάρνο ηνπ μύινπ θπξί κεγάιν θαη ππνκνλή

Κόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ. Καξθηά 3 θηιά πεξίπνπ κε κήθνο ηξηπιάζην από ην πάρνο ηνπ μύινπ θπξί κεγάιν θαη ππνκνλή Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ ΔΝΟΣΗΣΑ 10 ε : ΜΗΥΑΝΙΚΗ ΜΔΡΟ Β ΠΙΔΗ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ Καηαζθεπή 1: Καξέθια θαθίξε Όξγαλα Τιηθά Κόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

Η/Υ A ΤΑΞΕΩΣ ΑΕ 2010-2011. Συστήματα Αρίθμησης. Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ

Η/Υ A ΤΑΞΕΩΣ ΑΕ 2010-2011. Συστήματα Αρίθμησης. Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ Συστήματα Αρίθμησης Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ 1 Ειζαγωγή Τν bit είλαη ε πην βαζηθή κνλάδα κέηξεζεο. Είλαη κία θαηάζηαζε on ή off ζε έλα ςεθηαθό θύθισκα. Άιιεο θνξέο είλαη κία θαηάζηαζε high ή low voltage

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΤΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ ΚΑΤΑ ΤΑ ICDAS II ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΜΔ ΒΑΣΗ ΤΗ ΚΛΙΝΙΚΗ ΔΞΔΤΑΣΗ

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΤΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ ΚΑΤΑ ΤΑ ICDAS II ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΜΔ ΒΑΣΗ ΤΗ ΚΛΙΝΙΚΗ ΔΞΔΤΑΣΗ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΤΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ ΚΑΤΑ ΤΑ ICDAS II ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΜΔ ΒΑΣΗ ΤΗ ΚΛΙΝΙΚΗ ΔΞΔΤΑΣΗ Κιηληθή ηαμηλόκεζε ηνπ βαζκνύ ηεξεδνληθήο βιάβεο ηωλ νπώλ θαη ζρηζκώλ καζεηηθώλ επηθαλεηώλ θαηά ICDAS 1 νο Βαζκόο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΤΟΛΕΣ WINDOWS ΚΑΙ UNIX

ΕΝΤΟΛΕΣ WINDOWS ΚΑΙ UNIX ΕΝΤΟΛΕΣ WINDOWS ΚΑΙ UNIX Σηότοι εργαζηηρίοσ Σην πιαίζην ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ εξγαζηεξίνπ, νη θνηηεηέο ζα εμνηθεησζνύλ κε βαζηθέο εληνιέο δηθηπαθώλ πξσηνθόιισλ νη νπνίεο βξίζθνπλ εθαξκνγή ζε πεξηβάιινληα Windows

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΗΛΙΑΚΑ. Η Μηκή ζθέθηεθε έλαλ ηξόπν, γηα λα ζπγθξίλεη κεξηθά δηαθνξεηηθά αληειηαθά πξντόληα. Απηή θαη ν Νηίλνο ζπλέιεμαλ ηα αθόινπζα πιηθά:

ΑΝΤΗΛΙΑΚΑ. Η Μηκή ζθέθηεθε έλαλ ηξόπν, γηα λα ζπγθξίλεη κεξηθά δηαθνξεηηθά αληειηαθά πξντόληα. Απηή θαη ν Νηίλνο ζπλέιεμαλ ηα αθόινπζα πιηθά: ΑΝΤΗΛΙΑΚΑ Η Μηκή θαη ν Νηίλνο αλαξσηήζεθαλ πνην αληειηαθό πξντόλ παξέρεη ηελ θαιύηεξε πξνζηαζία ζην δέξκα ηνπο. Τα αληειηαθά πξντόληα έρνπλ έλα δείθηε αληειηαθήο πξνζηαζίαο (SPF), ν νπνίνο δείρλεη πόζν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1. ρεδίαζε πλδπαζηηθνύ Κπθιώκαηνο Έλα ζπλδπαζηηθό θύθισκα (Κ) έρεη ηξεηο εηζόδνπο A, B θαη C θαη κία έμνδν Y Y=A B+AC Να θαηαζθεπάζεηε ην ράξηε Karnaugh. B 0

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ

ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ ΘΔΜΑ Α Α1. α. Σ β. Σ γ. Λ δ. Λ ε. Λ ζη. Σ Α2. Γ Α3. 1. γ 2. ε 3. δ 4. α Β1. ΘΔΜΑ Β Οη ηειηθνί ππνινγηζηέο παίξλνπλ απνθάζεηο δξνκνιόγεζεο κόλν γηα ηα δηθά ηνπο απηνδύλακα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ. Σρήκα 1. Σρήκα 2

ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ. Σρήκα 1. Σρήκα 2 ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ Τν Σρήκα 1 δείρλεη ηελ αιιαγή ηεο ζηάζκεο ηεο Λίκλεο Τζαλη, ζηε Σαράξα ηεο Βόξεηαο Αθξηθήο. Η Λίκλε Τζαλη εμαθαλίζηεθε ηειείσο γύξσ ζην 20.000 π.χ., θαηά ηε δηάξθεηα ηεο ηειεπηαίαο επνρήο ησλ

Διαβάστε περισσότερα

Δπηιέγνληαο ην «Πξνεπηινγή» θάζε θνξά πνπ ζα ζπλδέεζηε ζηελ εθαξκνγή ζα βξίζθεζηε ζηε λέα ρξήζε.

Δπηιέγνληαο ην «Πξνεπηινγή» θάζε θνξά πνπ ζα ζπλδέεζηε ζηελ εθαξκνγή ζα βξίζθεζηε ζηε λέα ρξήζε. ΑΝΟΙΓΜΑ ΝΔΑ ΥΡΗΗ 1. Γεκηνπξγείηε ηε λέα ρξήζε από ηελ επηινγή «Παξάκεηξνη/Παξάκεηξνη Δηαηξίαο/Γηαρείξηζε Δηαηξηώλ». Πιεθηξνινγείηε ηνλ θσδηθό ηεο εηαηξίαο ζαο θαη παηάηε Enter. Σηελ έλδεημε «Υξήζεηο» παηάηε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα. Κώδικες 28, 78 και 84

Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα. Κώδικες 28, 78 και 84 Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα Κώδικες 28, 78 και 84 Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα Οη Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα εθαξκόδνληαη γηα ηελ απνξξνθνύκελε ελέξγεηα από Αηνιηθά Πάξθα πνπ είλαη ζπλδεδεκέλα ζην

Διαβάστε περισσότερα

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013 ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 13 ΘΔΜΑ Α : (Α1) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 33-335 (Α) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 6 (Α3) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα (Α) α) Λάζνο β) Σωζηό γ) Σωζηό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ Α/Α : 0_1382/153 1. Καη όηαλ έγηλε ε ππνρώξεζε αξγά ην απόγεπκα, επεηδή θνβήζεθαλ νη νιηγαξρηθνί κήπσο νη δεκνθξαηηθνί, αθνύ θάλνπλ επίζεζε, θαηαιάβνπλ

Διαβάστε περισσότερα

Τηλζφωνο: 99543321 Ε-mail: savvas_email@yahoo.com Ώρες διδασκαλίας: 16:00 19:15 μμ

Τηλζφωνο: 99543321 Ε-mail: savvas_email@yahoo.com Ώρες διδασκαλίας: 16:00 19:15 μμ ΠΑΙΓΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΙΣΟΤΣΟ ΚΤΠΡΟΤ Πξόγξακκα Δπηκόξθσζεο Τπνςεθίσλ Καζεγεηώλ Σερλνινγίαο Γελάξεο 2011 ΗΛΔΚΣΡΟΝΙΚΑ Ι (Ύιε Γπκλαζίνπ) Διδάσκων: Σαββίδης Σάββας Τηλζφωνο: 99543321 Ε-mail: savvas_email@yahoo.com

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στοςρ κβαντικούρ ςπολογιστέρ και αλγόπιθμοςρ. Γηδάζθωλ : Φνπληνπιάθεο Αληώληνο

Εισαγωγή στοςρ κβαντικούρ ςπολογιστέρ και αλγόπιθμοςρ. Γηδάζθωλ : Φνπληνπιάθεο Αληώληνο Εισαγωγή στοςρ κβαντικούρ ςπολογιστέρ και αλγόπιθμοςρ. Γηδάζθωλ : Φνπληνπιάθεο Αληώληνο Θεματικές Ενότητες 1. Απιέο έλλνηεο θβαληηθήο κεραληθήο θαη ην ζύζηεκα δύν θβαληηθώλ θαηαζηάζεωλ. 2. Qubit θαη θβαληηθόο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Ειζαγωγή ζηη Φωηογραθία. Χριζηάκης Σαζεΐδης EFIAP

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Ειζαγωγή ζηη Φωηογραθία. Χριζηάκης Σαζεΐδης EFIAP ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ Ειζαγωγή ζηη Φωηογραθία Χριζηάκης Σαζεΐδης EFIAP 1 ΜΑΘΗΜΑ 6 ο Προγράμμαηα θωηογραθικών μηχανών Επιλογέας προγραμμάηων Μαο δίλεη ηε δπλαηόηεηα λα ειέγμνπκε ην άλνηγκα δηαθξάγκαηνο θαη

Διαβάστε περισσότερα

ηροθική ηαλάνηωζη-μέηρηζη μέηροσ διάημηζης

ηροθική ηαλάνηωζη-μέηρηζη μέηροσ διάημηζης Μ ηροθική ηαλάνηωζη-μέηρηζη μέηροσ διάημηζης 1. κοπός ηελ άζθεζε γίλεηαη κέηξεζε ηνπ κέηξνπ δηάηκεζεο ελόο κεηαιιηθνύ ζύξκαηνο από ηελ πεηξακαηηθά κεηξεκέλε πεξίνδν ηαιάλησζεο ελόο ζηξνθηθνύ ηαιαλησηή.

Διαβάστε περισσότερα

Σ Δ Υ Ν Ι Κ Η Δ Κ Θ Δ Η Π Ρ Ο Μ Η Θ Δ Ι Α Ο Ι Κ Ο Γ Ο Μ Ι Κ Ω Ν Τ Λ Ι Κ Ω Ν Γ Η Μ Ο Τ Β Ο Λ Β Η

Σ Δ Υ Ν Ι Κ Η Δ Κ Θ Δ Η Π Ρ Ο Μ Η Θ Δ Ι Α Ο Ι Κ Ο Γ Ο Μ Ι Κ Ω Ν Τ Λ Ι Κ Ω Ν Γ Η Μ Ο Τ Β Ο Λ Β Η Σ Δ Υ Ν Ι Κ Η Δ Κ Θ Δ Η Π Ρ Ο Μ Η Θ Δ Ι Α Ο Ι Κ Ο Γ Ο Μ Ι Κ Ω Ν Τ Λ Ι Κ Ω Ν Γ Η Μ Ο Τ Β Ο Λ Β Η ΠΔΡΙΔΥΟΜΔΝΑ 1. Τερληθή Έθζεζε 2. Δλδεηθηηθφο Πξνυπνινγηζκφο 3. Έληππν νηθνλνκηθήο πξνζθνξάο ΘΔΜΑ : Πξνκήζεηα

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΣΙΚΟΣΗΣΑ Μεηαζρεκαηηζκνί Γαιηιαίνπ. (Κιαζηθή ζεώξεζε) v t. αθνύ ζύκθσλα κε ηα πεηξάκαηα Mickelson-Morley είλαη c =c.

ΥΔΣΙΚΟΣΗΣΑ Μεηαζρεκαηηζκνί Γαιηιαίνπ. (Κιαζηθή ζεώξεζε) v t. αθνύ ζύκθσλα κε ηα πεηξάκαηα Mickelson-Morley είλαη c =c. ΥΔΣΙΚΟΣΗΣΑ Μεηαζρεκαηηζκνί Γαιηιαίνπ. (Κιαζηθή ζεώξεζε) y y z z t t Σν νπνίν νδεγεί ζην όηη = - π.(άηνπν), αθνύ ζύκθσλα κε ηα πεηξάκαηα Mikelson-Morley είλαη =. Δπίζεο y = y, z = z, t = t Σν νπνίν ( t

Διαβάστε περισσότερα

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Δ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ. ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Δ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ. ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν Καηαζθεπάδνπκε έλα νγθνκεηξηθό δνρείν από πιαζηηθό κπνπθάιη λεξνύ

Διαβάστε περισσότερα

Γηαηάμεηο Αλίρλεπζεο Γηαξξνώλ (λεξνύ θαπζίκωλ ρεκηθώλ )

Γηαηάμεηο Αλίρλεπζεο Γηαξξνώλ (λεξνύ θαπζίκωλ ρεκηθώλ ) Γηαηάμεηο Αλίρλεπζεο Γηαξξνώλ (λεξνύ θαπζίκωλ ρεκηθώλ ) Τν πξόβιεκα - Γηαξξνή λεξνύ Αθόκε θαη κηα κηθξή δηαξξνή λεξνύ κπνξεί λα πξνθαιέζεη θαηαζηξνθή αλ δελ αληρλεπζεί εγθαίξσο Δηαξξνή κπνξεί λα πξνέιζεη

Διαβάστε περισσότερα

Η απνξξόθεζε ηνπ νξαηνύ θσηόο γίλεηαη κέζσ ρξσζηηθώλ νπζηώλ πνπ νλνκάδνληαη τλωροθύλλες.

Η απνξξόθεζε ηνπ νξαηνύ θσηόο γίλεηαη κέζσ ρξσζηηθώλ νπζηώλ πνπ νλνκάδνληαη τλωροθύλλες. ΦΩΣΟΤΝΘΔΗ Δλαιιαθηηθή δηεξγαζία παξαγσγήο ελέξγεηαο Υξεζηκνπνηείηαη από ηνπο νλνκαδόκελνπο θσηνζπλζεηηθνύο νξγαληζκνύο Οπζηαζηηθά ε αληίζηξνθε δηεξγαζία ηεο αλαπλνήο πλίζηαηαη ζηελ δέζκεπζε ειηαθήο ελέξγεηαο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ

ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ Σε όια ηα πξνβιήκαηα πνπ ζα αληηκεηωπίζνπκε, ην ειαηήξην ζα είλαη αβαξέο θαη ζα ηθαλνπνηεί ην λόκν ηνπ Hooke (ηδαληθό ειαηήξην), δειαδή ε δύλακε πνπ αζθεί έλα ηδαληθό ειαηήξην έρεη

Διαβάστε περισσότερα

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Σ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ. ΔΝΟΣΗΣΑ 11 ε : ΦΧ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Φαθόο κε ζσιήλα.

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Σ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ. ΔΝΟΣΗΣΑ 11 ε : ΦΧ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Φαθόο κε ζσιήλα. Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ ΔΝΟΣΗΣΑ 11 ε : ΦΧ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ Καηαζθεπή 1: Φαθόο κε ζσιήλα Γηαθξάγκαηα Δξγαιεία Καηαζθεπέο 2 Η θαηαζθεπή πεξηγξάθεηαη ζηελ αληίζηνηρε ελόηεηα

Διαβάστε περισσότερα

Α Ο Κ Η Α Μ Α Ζ Η Η Ρ Η ( S E A R C H )

Α Ο Κ Η Α Μ Α Ζ Η Η Ρ Η ( S E A R C H ) Ξ G O O G L E S C H O L A R Α Ο Ξ Ε Κ Ε Θ Λ Θ Α Λ Η Τ Α Μ Η Α Μ Α Ζ Η Η Ρ Η Ρ Οξαγκαηνπνηώληαο αλαδήηεζε ζην GoogleScholar (http://scholar.google.com/) ν ρξήζηεο κπνξεί λα εληνπίζεη πιηθό αθαδεκαϊθνύ θαη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΘΕΑΣΑ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ

ΑΞΙΟΘΕΑΣΑ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ ΑΞΙΟΘΕΑΣΑ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ α. Η ΕΚΚΛΗΙΑ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ β. ΣΟ ΠΝΕΤΜΑΣΙΚΟ ΜΑ ΚΕΝΣΡΟ γ. Η ΠΑΝΟΡΑΜΙΚΗ ΘΕΗ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ α. Η ΕΚΚΛΗΙΑ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ. Η Εθθιεζία ηνπ ρσξηνύ καο, ε Αγία Άλλα, είλαη θηηζκέλε πξηλ πνιιά

Διαβάστε περισσότερα

Άζθεζε 2ε ΤΣΗΜΑΣΑ ΔΛΔΓΥΟΤ ΑΝΟΙΚΣΟΤ ΒΡΟΥΟΤ ΚΑΙ MATLAB

Άζθεζε 2ε ΤΣΗΜΑΣΑ ΔΛΔΓΥΟΤ ΑΝΟΙΚΣΟΤ ΒΡΟΥΟΤ ΚΑΙ MATLAB Άζθεζε 2ε ΤΣΗΜΑΣΑ ΔΛΔΓΥΟΤ ΑΝΟΙΚΣΟΤ ΒΡΟΥΟΤ ΚΑΙ MATLAB. ςνάπηηζη μεηαθοπάρ Γηα ηε κειέηε ελόο ζπζηήκαηνο κε ην Matlab απαξαίηεηε πξνϋπόζεζε είλαη λα δεκηνπξγήζνπκε έλα κνληέιν, ώζηε λα εμεηάζνπκε ηα ραξαθηεξηζηηθά

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη Ελληνικής τεχνολογίας μηχανών ηλεκτροπαραγωγής ORC

Ανάπτυξη Ελληνικής τεχνολογίας μηχανών ηλεκτροπαραγωγής ORC Εθνικό Συνέδριο «Γεωθερμική Ηλεκτροπαραγωγή» Ξενοδοχείο Divani Caravel Αθήνα 20 Νοεμβρίου 2013 Ανάπτυξη Ελληνικής τεχνολογίας μηχανών ηλεκτροπαραγωγής ORC Α.Μπένου, Ι. Χωροπανίτης Τμήμα Γεωθερμικής Ενέργειας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Γ Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Γ Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Γ Γυμνασίου ιήμεο 11.00 Κάπνηνο άξρηζε λα δηαβάδεη έλα βηβιίν ηελ 1 ε Δεθεκβξίνπ. Κάζε κέξα δηάβαδε ηνλ ίδην αξηζκό ζειίδσλ

Διαβάστε περισσότερα

γηα ηνλ Άξε Κσλζηαληηλίδε

γηα ηνλ Άξε Κσλζηαληηλίδε γηα ηνλ Άξε Κσλζηαληηλίδε γηα «ην θνηλό θαη ην θύξην» (Γ.νισκόο) γηα λα ρηίδω πάληα κε ηνλ ίδηνλε ηξόπν, κε ηηο ίδηεο θαηαζθεπαζηηθέο θαη πιαζηηθέο πξννπηηθέο, κε ηελ ίδηαλε πάληνηε πίζηε θαη αγάπε.. Α.Κ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΤΜΕΡΙΜΟ - ΠΕΣΡΟΥΗΜΙΚΑ

ΠΟΛΤΜΕΡΙΜΟ - ΠΕΣΡΟΥΗΜΙΚΑ ΠΟΛΤΜΕΡΙΜΟ - ΠΕΣΡΟΥΗΜΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΣΑ Ο πολσμεριζμός Πολσμεριζμός είναι η τημική ανηίδραζη καηά ηην οποία πολλά μόρια ίδιων ή διαθορεηικών οργανικών ενώζεων, ποσ ονομάζονηαι μονομερή, ενώνονηαι και ζτημαηίζοσν

Διαβάστε περισσότερα

Γραφεύα Επικοινωνύασ & Ενημϋρωςησ ϋρρεσ, Τψηλϊντου 4 3οσ Όροφοσ ΣΗΛ 2321023640 ΥΑΦ 2321051861

Γραφεύα Επικοινωνύασ & Ενημϋρωςησ ϋρρεσ, Τψηλϊντου 4 3οσ Όροφοσ ΣΗΛ 2321023640 ΥΑΦ 2321051861 Οπγάνωζη και διοίκηζη ηοςπιζηικών επισειπήζεων (ξενοδοσεία, ηοςπιζηικά γπαθεία ) Α) ΑΔΙ ΣΔΙ και Β) ΑΠΟΦΟΙΣΟΙ ΤΠΟΥΡΔΩΣΙΚΗ ΓΔΤΣΔΡΟΒΑΘΜΙΑ και ΜΔΣΑΓΔΤΣΔΡΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ Ρν πξόγξακκα απηό ζρεδηάζηεθε γηα

Διαβάστε περισσότερα

Πξνζδηνξηζκόο ηνπ κέηξνπ ζηξέςεο πιηθνύ κε ηε κέζνδν ηνπ ζηξνθηθνύ εθθξεκνύο

Πξνζδηνξηζκόο ηνπ κέηξνπ ζηξέςεο πιηθνύ κε ηε κέζνδν ηνπ ζηξνθηθνύ εθθξεκνύο Άζθεζε 4 Πξνζδηνξηζκόο ηνπ κέηξνπ ζηξέςεο πιηθνύ κε ηε κέζνδν ηνπ ζηξνθηθνύ εθθξεκνύο 4.1. θνπόο θνπφο ηεο άζθεζεο είλαη ν πξνζδηνξηζκφο ηνπ κέηξνπ ζηξέςεο πιηθνχ κε ηε κέζνδν ηνπ ζηξνθηθνχ εθθξεκνχο.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΣΟΚΟΛΛΑ ΓΙΑΥΔΙΡΗΗ ΣΩΝ ΣΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ Δ ΔΝΗΛΙΚΔ

ΠΡΩΣΟΚΟΛΛΑ ΓΙΑΥΔΙΡΗΗ ΣΩΝ ΣΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ Δ ΔΝΗΛΙΚΔ ΠΡΩΣΟΚΟΛΛΑ ΓΙΑΥΔΙΡΗΗ ΣΩΝ ΣΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ Δ ΔΝΗΛΙΚΔ Σν ζύγρξνλν πξόηππν αληηκεηώπηζεο ηεο ηεξεδόλαο ελειίθσλ δελ εζηηάδεηαη κόλν ζηελ απνθαηάζηαζε ησλ ηεξεδνληθώλ βιαβώλ πνπ έρνπλ εθδεισζεί, αιιά έρεη

Διαβάστε περισσότερα

ΦΤΛΛΟ ΔΡΓΑΙΑ 1 Βαζηθέο Έλλνηεο & Καηεγνξίεο Γηθηύσλ Τπνινγηζηώλ

ΦΤΛΛΟ ΔΡΓΑΙΑ 1 Βαζηθέο Έλλνηεο & Καηεγνξίεο Γηθηύσλ Τπνινγηζηώλ ΦΤΛΛΟ ΔΡΓΑΙΑ 1 Βαζηθέο Έλλνηεο & Καηεγνξίεο Γηθηύσλ Τπνινγηζηώλ Γξαζηεξηόηεηα 1ε αο δίλεηαη ν ελλνηνινγηθφο ράξηεο "Γίθηπα Τπνινγηζηψλ - Βαζηθέο Έλλνηεο" πνπ αθνξά ζηελ θεληξηθή έλλνηα "Γίθηπα Τπνινγηζηψλ".

Διαβάστε περισσότερα

ΥΡΙΣΟΤΓΔΝΝΙΑΣΙΚΔ ΚΑΣΑΚΔΤΔ

ΥΡΙΣΟΤΓΔΝΝΙΑΣΙΚΔ ΚΑΣΑΚΔΤΔ ΥΡΙΣΟΤΓΔΝΝΙΑΣΙΚΔ ΚΑΣΑΚΔΤΔ 1) Υξηζηνπγελληάηηθα ειαηάθηα θάξηα ή θαδξάθη θάξηα ή θαδξάθη Τιηθά πνπ ζα ρξεηαζηνύκε: Υαξηί θάλζνλ καύξν γηα ην θόλην, πξάζηλν γηα ηα ειαηάθηα, θόθθηλν γηα ηα αζηεξάθηα Απιό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΙΟΛΙΚΑ ΠΑΡΚΑ. Δρώτηση 1

ΑΙΟΛΙΚΑ ΠΑΡΚΑ. Δρώτηση 1 ΑΙΟΛΙΚΑ ΠΑΡΚΑ Πνιινί άλζξσπνη πηζηεύνπλ όηη ν άλεκνο ζα έπξεπε λα αληηθαηαζηήζεη ην πεηξέιαην θαη ην θάξβνπλν σο πεγή ελέξγεηαο γηα ηελ παξαγσγή ειεθηξηζκνύ. Οη θαηαζθεπέο πνπ θαίλνληαη ζηελ εηθόλα είλαη

Διαβάστε περισσότερα

Μέζνδνη ραξαθηεξηζκνύ πιηθώλ Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 8: Μαγλεηηθέο Μεηξήζεηο Ηκεξνκελία δηεμαγσγήο: 26/5/2010

Μέζνδνη ραξαθηεξηζκνύ πιηθώλ Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 8: Μαγλεηηθέο Μεηξήζεηο Ηκεξνκελία δηεμαγσγήο: 26/5/2010 Μέζνδνη ραξαθηεξηζκνύ πιηθώλ Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 8: Μαγλεηηθέο Μεηξήζεηο Ηκεξνκελία δηεμαγσγήο: 26/5/2010 ΕΙΑΓΩΓΗ: Τα δηάθνξα πιηθά, αλάινγα κε ηε ζπκπεξηθνξά ηνπο εληόο καγλεηηθνύ πεδίνπ δηαθξίλνληαη

Διαβάστε περισσότερα

Τάπηα με ππάζo, bacon και θέηα by Madame Ginger

Τάπηα με ππάζo, bacon και θέηα by Madame Ginger Τάπηα με ππάζo, bacon και θέηα by Madame Ginger 1 θύιιν ζθνιηάηαο 2 πξάζα 150 γξ. bacon 150 γξ. θέηα ΓΧΓΧΝΗ 100 γξ. γξαβηέξα ΓΧΓΧΝΗ 1 θ.ζ. ειαηόιαδν Κόβνπκε ηα πξάζα ζε ιεπηέο ξνδέιεο. Κόβνπκε ην bacon

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΤΡΕΛΑΙΟ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΤ ΜΑΡΙΑ ΣΖΑΜΟΤΡΑΝΗ ΕΛΕΝΗ ΟΤΣΖΙΟΤ ΑΤΓΕΡΙΝΗ ΧΑΙΔΕΜΕΝΑΚΗ ΝΑΣΑΛΙΑ

ΠΕΤΡΕΛΑΙΟ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΤ ΜΑΡΙΑ ΣΖΑΜΟΤΡΑΝΗ ΕΛΕΝΗ ΟΤΣΖΙΟΤ ΑΤΓΕΡΙΝΗ ΧΑΙΔΕΜΕΝΑΚΗ ΝΑΣΑΛΙΑ 1 ΠΕΤΡΕΛΑΙΟ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΤ ΜΑΡΙΑ ΣΖΑΜΟΤΡΑΝΗ ΕΛΕΝΗ ΟΤΣΖΙΟΤ ΑΤΓΕΡΙΝΗ ΧΑΙΔΕΜΕΝΑΚΗ ΝΑΣΑΛΙΑ ΝΟΗΠΚΝΠ 2 Τν πεηξέιαην, πνπ κεξηθέο θνξέο ζηελ θαζεκεξηλή γιώζζα απνθαιείηαη θαη μαύπορ σπςσόρ ή τσάι τος Ρέξαρ, είλαη

Διαβάστε περισσότερα

ACTA A.E. Αριςτο Σέλεια Πιςτοποίηςη. Ανθρώπινου Δυναμικοφ. «ΠΙΣΟΠΟΙΗΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟΤ ΔΤΝΑΜΙΚΟΤ Εξελίξεισ - Προοπτικέσ»

ACTA A.E. Αριςτο Σέλεια Πιςτοποίηςη. Ανθρώπινου Δυναμικοφ. «ΠΙΣΟΠΟΙΗΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟΤ ΔΤΝΑΜΙΚΟΤ Εξελίξεισ - Προοπτικέσ» ACTA A.E. Αριςτο Σέλεια Πιςτοποίηςη Ανθρώπινου Δυναμικοφ «ΠΙΣΟΠΟΙΗΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟΤ ΔΤΝΑΜΙΚΟΤ Εξελίξεισ - Προοπτικέσ» Εταιρεία Ένταςησ Γνώςησ Αριςτοτελείου Πανεπιςτημίου Θεςςαλονίκησ Δια Βίου Μάθηςη Νόκνο:

Διαβάστε περισσότερα

Hellas online Προεπιλεγμένες ρσθμίσεις για FritzBox Fon WLAN 7140 (Annex B) 30.04.67 FritzBox Fon WLAN 7140 - Annex B (30.04.67)

Hellas online Προεπιλεγμένες ρσθμίσεις για FritzBox Fon WLAN 7140 (Annex B) 30.04.67 FritzBox Fon WLAN 7140 - Annex B (30.04.67) Hellas online Προεπιλεγμένες ρσθμίσεις για FritzBox Fon WLAN 7140 (Annex B) 30.04.67 FritzBox Fon WLAN 7140 - Annex B (30.04.67) Γηα λα επαλαθέξεηε ην FritzBox Fon WLAN 7140 ζηηο πξνεπηιεγκέλεο ηνπ ξπζκίζεηο

Διαβάστε περισσότερα

Βιομησανικόρ ζσεδιαζμόρ πποϊόνηων από ανακςκλωμένερ ζςζκεςαζίερ

Βιομησανικόρ ζσεδιαζμόρ πποϊόνηων από ανακςκλωμένερ ζςζκεςαζίερ Βιομησανικόρ ζσεδιαζμόρ πποϊόνηων από ανακςκλωμένερ ζςζκεςαζίερ ΤΕΙ Δσηικής Μακεδονίας Τμήμα Βιομητανικού Στεδιαζμού Εργαζηήριο C 3 www.c3.teiwm.gr C 3 LAB www.c3.teiwm.gr 1 Εηζαγσγή Πεπιεσόμενα ύκβνια

Διαβάστε περισσότερα

Διατείριση Φσσικών Καταστρουών: ACTIVE LANDSLIDE INVENTORY MAPPING AND SUSCEPTIBILITY ZONING

Διατείριση Φσσικών Καταστρουών: ACTIVE LANDSLIDE INVENTORY MAPPING AND SUSCEPTIBILITY ZONING Διατείριση Φσσικών Καταστρουών: ACTIVE LANDSLIDE INVENTORY MAPPING AND SUSCEPTIBILITY ZONING Ναηαιία Σπαλνύ, spanou@igme.gr & natspanou@gmail.com Τερληθόο Γεσιόγνο (M.Sc.) Πεξηγξαθή Χάξηεο ρσξηθήο θαηαλνκήο

Διαβάστε περισσότερα

Πως να δημιουργήσετε ένα Cross-Over καλώδιο

Πως να δημιουργήσετε ένα Cross-Over καλώδιο Πως να δημιουργήσετε ένα Cross-Over καλώδιο Τν crossover καλώδιο ρξεζηκνπνηείηαη γηα λα ζπλδεζνύλ δπν ππνινγηζηέο κεηαμύ ηνπο θαη αλ θηηάμνπλ έλα κηθξό ηνπηθό δίθηπν(lan). Έλα LAN κπνξεί λα είλαη ηόζν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΔΠΙΣΗΜΙΟ ΚΤΠΡΟΤ ΥΟΛΗ ΓΔΩΣΔΥΝΙΚΩΝ ΔΠΙΣΗΜΩΝ ΚΑΙ ΓΙΑΥΔΙΡΙΗ ΠΔΡΙΒΑΛΟΝΣΟ. Πτυχιακή διατριβή ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΔΝΗ ΑΠΟΡΡΤΠΑΝΗ ΚΑΤΑΔΡΙΩΝ ΠΛΟΙΩΝ

ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΔΠΙΣΗΜΙΟ ΚΤΠΡΟΤ ΥΟΛΗ ΓΔΩΣΔΥΝΙΚΩΝ ΔΠΙΣΗΜΩΝ ΚΑΙ ΓΙΑΥΔΙΡΙΗ ΠΔΡΙΒΑΛΟΝΣΟ. Πτυχιακή διατριβή ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΔΝΗ ΑΠΟΡΡΤΠΑΝΗ ΚΑΤΑΔΡΙΩΝ ΠΛΟΙΩΝ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΔΠΙΣΗΜΙΟ ΚΤΠΡΟΤ ΥΟΛΗ ΓΔΩΣΔΥΝΙΚΩΝ ΔΠΙΣΗΜΩΝ ΚΑΙ ΓΙΑΥΔΙΡΙΗ ΠΔΡΙΒΑΛΟΝΣΟ Πτυχιακή διατριβή ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΔΝΗ ΑΠΟΡΡΤΠΑΝΗ ΚΑΤΑΔΡΙΩΝ ΠΛΟΙΩΝ Αργσρώ Ιωάννοσ Λεμεσός 2012 ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΔΠΙΣΗΜΙΟ ΚΤΠΡΟΤ

Διαβάστε περισσότερα

10). ΣΤΠΟΠΟΙΗΜΕΝΕ ΠΑΡΟΥΕ ΜΣ ΚΑΙ ΥΣ

10). ΣΤΠΟΠΟΙΗΜΕΝΕ ΠΑΡΟΥΕ ΜΣ ΚΑΙ ΥΣ 10). ΣΤΠΟΠΟΙΗΜΕΝΕ ΠΑΡΟΥΕ ΜΣ ΚΑΙ ΥΣ Σσποποιημένες παροτές ΥΣ Γηα ηελ ειεθηξνδόηεζε θάζε εζωηεξηθήο εγθαηάζηαζεο θαηαζθεπάδεηαη κία από ηηο «ηππνπνηεκέλεο» παξνρέο πνπ αλαθέξνληαη παξαθάηω. Γηα θάζε ηππνπνηεκέλε

Διαβάστε περισσότερα

Οη πην γλσζηέο κνξθέο Pervasive παηρληδηώλ είλαη ηα Location Based Games, Augmented Reality Games θαη Mixed Reality Games.

Οη πην γλσζηέο κνξθέο Pervasive παηρληδηώλ είλαη ηα Location Based Games, Augmented Reality Games θαη Mixed Reality Games. Pervasive Games Pervasive games Τν ζπγθεθξηκέλν είδνο παηρληδηώλ ζηεξίδεηαη ζηελ αλάγλσζε ησλ παξακέηξσλ ηνπ πεξηβάιινληνο (Context) ηνπ ρξήζηε ησλ νπνίσλ ηα απνηειέζκαηα ρξεζηκνπνηεί ζηνπο θαλόλεο θαη

Διαβάστε περισσότερα

Σπληήξεζε ηξνθίκσλ ρσξίο ρεκηθά πξόζζεηα PROJECT B ΛΥΚΕΙΟΥ 2 014-15

Σπληήξεζε ηξνθίκσλ ρσξίο ρεκηθά πξόζζεηα PROJECT B ΛΥΚΕΙΟΥ 2 014-15 Σπληήξεζε ηξνθίκσλ ρσξίο ρεκηθά πξόζζεηα PROJECT B ΛΥΚΕΙΟΥ 2 014-15 Εηζαγσγή Οη ηερληθέο ζπληήξεζεο ηξνθίκσλ έρνπλ ζθνπό : α) λα παξεκπνδίζνπλ αλεπηζύκεηεο κεηαβνιέο ζηα ραξαθηεξηζηηθά (γεύζε - ρξώκα -

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑ TH BIOMHXANIA ΕΠΙΠΛΟΥ / FOR THE FURNITURE INDUSTRY

ΓΙΑ TH BIOMHXANIA ΕΠΙΠΛΟΥ / FOR THE FURNITURE INDUSTRY ΓΙΑ TH BIOMHXANIA ΕΠΙΠΛΟΥ / FOR THE FURNITURE INDUSTRY ΤΑ ΥΛΙΚΑ ΜΑΣ Όια ηα πξντφληα πνπ ρξεζηκνπνηνχκε ζηελ παξαγσγή είλαη επηιεγκέλα θαη δνθηκαζκέλα ζην ρεκηθφ καο εξγαζηήξην. Σπγθεθξηκέλα, ηα πεξηζζφηεξα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ ΓΗΑ ΟΛΤΜΠΗΑΓΔ

ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ ΓΗΑ ΟΛΤΜΠΗΑΓΔ ΒΑΓΓΔΛΖ ΦΤΥΑ 011 1 ΒΑΗΚΟΗ ΟΡΗΜΟΗ 11 ΓΤΝΑΜΖ ΖΜΔΗΟΤ Έζησ P ηπρόλ ζεκείν ηνπ επηπέδνπ θύθινπ C (O,R ) (πνπ βξίζθεηαη εθηόο ηνπ θπθιηθνύ δίζθνπ C (O,R ) ) θαη PT ε εθαπηνκέλε από ην P (T ην ζεκείν επαθήο )

Διαβάστε περισσότερα

T A E K W O N D O. Δ. ΠπθαξΨο. ΔπΫθνπξνο ΘαζεγεηΪο ΑζιεηηθΪο ΦπζηθνζεξαπεΫαο ΡΔΦΑΑ - ΑΞΘ

T A E K W O N D O. Δ. ΠπθαξΨο. ΔπΫθνπξνο ΘαζεγεηΪο ΑζιεηηθΪο ΦπζηθνζεξαπεΫαο ΡΔΦΑΑ - ΑΞΘ T A E K W O N D O Δ. ΠπθαξΨο ΔπΫθνπξνο ΘαζεγεηΪο ΑζιεηηθΪο ΦπζηθνζεξαπεΫαο ΡΔΦΑΑ - ΑΞΘ ΦΠΗΘΝΘΔΟΑΞΔΗΑ Ο Ρ Ι Μ Ο Φπζη(θ)νζεξαπεΫα εϋλαη ε επηζηϊκε, ε νπνϋα κόλν κε θπζηθψ κωζα θαη κεζόδνπο πξνζπαζεϋ λα ζεξαπεύζεη

Διαβάστε περισσότερα

ύζηεκα Ωξνκέηξεζεο Πξνζσπηθνύ (Έθδνζε 2) ΤΠΗΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΩΝ ΤΣΗΜΑΣΩΝ

ύζηεκα Ωξνκέηξεζεο Πξνζσπηθνύ (Έθδνζε 2) ΤΠΗΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΩΝ ΤΣΗΜΑΣΩΝ ύζηεκα Ωξνκέηξεζεο Πξνζσπηθνύ (Έθδνζε 2) ΤΠΗΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΩΝ ΤΣΗΜΑΣΩΝ Πεξηερόκελα Σερληθά Υαξαθηεξηζηηθά Καηαγξαθή Ώξαο πγρξνληζκόο πζηήκαηνο Παξνπζίαζε πζηήκαηνο Πηζαλά ελάξηα Υξήζεο 2 Σερληθά Υαξαθηεξηζηηθά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ Α/Α : 0_1379/50 1. Όηαλ ινηπόλ ήξζαλ [νη πξέζβεηο ζηελ Αζήλα], αθνύ ζπλέιαβαλ νη Αζελαίνη θαη ηνπο πξέζβεηο σο ππνθηλεηέο ζηάζεο θαη όζνπο έπεηζαλ [νη πξέζβεηο], ηνπο ζπγθέληξσζαλ γηα αζθάιεηα ζηελ Αίγηλα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΔΣΑΦΟΡΑ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΖ ΚΑΗ ΔΠΔΞΔΡΓΑΗΑ ΑΚΟΛΟΤΘΗΑ ΠΟΕΩΝ Ζ ΜΔΣΑΠΣΤΥΗΑΚΖ ΔΡΓΑΗΑ ΔΞΔΗΓΗΚΔΤΖ. Τπνβάιιεηαη ζηελ

ΜΔΣΑΦΟΡΑ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΖ ΚΑΗ ΔΠΔΞΔΡΓΑΗΑ ΑΚΟΛΟΤΘΗΑ ΠΟΕΩΝ Ζ ΜΔΣΑΠΣΤΥΗΑΚΖ ΔΡΓΑΗΑ ΔΞΔΗΓΗΚΔΤΖ. Τπνβάιιεηαη ζηελ ΜΔΣΑΦΟΡΑ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΖ ΚΑΗ ΔΠΔΞΔΡΓΑΗΑ ΑΚΟΛΟΤΘΗΑ ΠΟΕΩΝ Ζ ΜΔΣΑΠΣΤΥΗΑΚΖ ΔΡΓΑΗΑ ΔΞΔΗΓΗΚΔΤΖ Τπνβάιιεηαη ζηελ νξηζζείζα απφ ηελ Γεληθή πλέιεπζε Δηδηθήο χλζεζεο ηνπ Σκήκαηνο Πιεξνθνξηθήο Δμεηαζηηθή Δπηηξνπή απφ

Διαβάστε περισσότερα

Γιπθόδε + Ομπγόλν Δηνμείδην ηνπ άλζξαθα + Νεξό + Ελέξγεηα

Γιπθόδε + Ομπγόλν Δηνμείδην ηνπ άλζξαθα + Νεξό + Ελέξγεηα 4. ΑΝΑΠΝΟΗ Η δηάζπαζε ηεο γιπθόδεο γίλεηαη κέζα ζηα θύηηαξα, νλνκάδεηαη θπηηαξηθή αλαπλνή θαη εμαζθαιίδεη ηελ ελέξγεηα πνπ είλαη απαξαίηεηε ζην θύηηαξν. Η δηάζπαζε γίλεηαη κε ηελ παξνπζία νμπγόλνπ θαη

Διαβάστε περισσότερα

ΙNCOFRUIT - (HELLAS).

ΙNCOFRUIT - (HELLAS). Πξνο ΟΛΑ ΤΑ ΜΔΛΗ Κε Σπλάδειθε Θέκα: Ιζπαλία & Γεξκαλία 5 ε ΔΒΓΟΜΑΓΑ 2011 (31 Ιαλ έσο 30 Φεβξ.2011) Παξαζέηνπκε θαησηέξσ: Αλαζθόπεζε ηεο 4 εο εβδνκάδνο 2011 κε ηηο ηηκέο ησλ εζπεξηδνεηδώλ πνπ δηακνξθώζεθαλ

Διαβάστε περισσότερα

Τ Μ Η Μ Α ΟΧΗΜΑΤΩΝ. Ιμαντοκίνηςη

Τ Μ Η Μ Α ΟΧΗΜΑΤΩΝ. Ιμαντοκίνηςη Ιμαντοκίνηςη Μεηάδνζε θίλεζεο θαη κεηαθνξά ηζρύνο κεηαμύ αηξάθησλ ζε κεγάιε απόζηαζε Μεηαθνξά ηζρύνο κέζσ ηξηβήο ζην ζύζηεκα ηκάληα ηξνραιία Είδε ηκάλησλ: επίπεδνη (γηα κεγάιεο απνζηάζεηο αηξάθησλ θαη

Διαβάστε περισσότερα

Όια ηα πξντφληα ηεο ΒΜP είλαη πηζηνπνηεκέλα θαηά ISO 9001 θαη πιεξνχλ ηηο πξνυπνζέζεηο ηνπ επξσπατθνχ θαλνληζκνχ ΔΝ 12365.

Όια ηα πξντφληα ηεο ΒΜP είλαη πηζηνπνηεκέλα θαηά ISO 9001 θαη πιεξνχλ ηηο πξνυπνζέζεηο ηνπ επξσπατθνχ θαλνληζκνχ ΔΝ 12365. ΓΙΑ ΞΥΛΙΝΑ ΚΟΥΦΩΜΑΤΑ / FOR WOODEN FRAMES ΤΑ ΥΛΙΚΑ ΜΑΣ Όια ηα πξντφληα πνπ ρξεζηκνπνηνχκε ζηελ παξαγσγή είλαη επηιεγκέλα θαη δνθηκαζκέλα ζην ρεκηθφ καο εξγαζηήξην. Σπγθεθξηκέλα, ηα πεξηζζφηεξα πιηθά κε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΔΜΒΑΔΙ ΔΤΑΙΘΗΣΟΠΟΙΗΗ ΚΑΙ ΠΡΟΛΗΨΗ ΓΙΑ ΣΟΝ HIV/AIDS ΣΗΝ ΑΚΣΟΓΡΑΜΜΗ ΣΩΝ ΠΔΡΙΦΔΡΔΙΑΚΩΝ ΔΝΟΣΗΣΩΝ ΣΗ ΚΔΝΣΡΙΚΗ ΜΑΚΔΓΟΝΙΑ ΑΤΓΟΤΣΟ 2014

ΠΑΡΔΜΒΑΔΙ ΔΤΑΙΘΗΣΟΠΟΙΗΗ ΚΑΙ ΠΡΟΛΗΨΗ ΓΙΑ ΣΟΝ HIV/AIDS ΣΗΝ ΑΚΣΟΓΡΑΜΜΗ ΣΩΝ ΠΔΡΙΦΔΡΔΙΑΚΩΝ ΔΝΟΣΗΣΩΝ ΣΗ ΚΔΝΣΡΙΚΗ ΜΑΚΔΓΟΝΙΑ ΑΤΓΟΤΣΟ 2014 ΠΑΡΔΜΒΑΔΙ ΔΤΑΙΘΗΣΟΠΟΙΗΗ ΚΑΙ ΠΡΟΛΗΨΗ ΓΙΑ ΣΟΝ HIV/AIDS ΣΗΝ ΑΚΣΟΓΡΑΜΜΗ ΣΩΝ ΠΔΡΙΦΔΡΔΙΑΚΩΝ ΔΝΟΣΗΣΩΝ ΣΗ ΚΔΝΣΡΙΚΗ ΜΑΚΔΓΟΝΙΑ ΑΤΓΟΤΣΟ 2014 Σν ΚΔ.ΔΛ.Π.ΝΟ., Γξαθείν Θεζζαινλίθεο θαη ε Γηεύζπλζε Γεκόζηαο Τγείαο ηεο

Διαβάστε περισσότερα

1. Η απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πνπ εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη πιάηνο Α = 20 cm θαη

1. Η απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πνπ εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη πιάηνο Α = 20 cm θαη ΛΤΜΔΝΔ ΑΚΖΔΗ ΣΖΝ ΔΤΡΔΖ ΑΡΥΗΚΖ ΦΑΖ 1. Η αιή αξκνληθή ηαιάλησζε ν εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη ιάηνο Α = cm θαη ζρλόηεηα f = 5 Hz. Τε ρξνληθή ζηηγκή = ην κηθξό ζώκα δηέξρεηαη αό ηε ζέζε ανκάθξλζεο

Διαβάστε περισσότερα

Πνηα λνκίδεηο όηη ζα είλαη ε ζπλνιηθή αληίζηαζε κηαο ζπλδεζκνινγίαο δύν αληηζηαηώλ ζπλδεδεκέλεο ζε ζεηξά; Γηαηί;...

Πνηα λνκίδεηο όηη ζα είλαη ε ζπλνιηθή αληίζηαζε κηαο ζπλδεζκνινγίαο δύν αληηζηαηώλ ζπλδεδεκέλεο ζε ζεηξά; Γηαηί;... ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: Ιζοδύναμη ανηίζηαζη ζύνδεζηρ ανηιζηαηών Η δηδαζθαιία ηεο ηζνδύλακεο αληίζηαζεο γηα ζύλδεζε αληηζηαηώλ ζε ζεηξά θαη παξάιιεια ππάξρεη ζην Αλαιπηηθό Πξόγξακκα Σπνπδώλ ζηα καζήκαηα Φπζηθήο

Διαβάστε περισσότερα

DOM. Γηδάζθνληεο: Π. Αγγειάηνο, Γ. Εήλδξνο Δπηκέιεηα δηαθαλεηώλ: Π. Αγγειάηνο. Σρνιή Ζιεθηξνιόγωλ Μεραληθώλ θαη Μεραληθώλ Υπνινγηζηώλ

DOM. Γηδάζθνληεο: Π. Αγγειάηνο, Γ. Εήλδξνο Δπηκέιεηα δηαθαλεηώλ: Π. Αγγειάηνο. Σρνιή Ζιεθηξνιόγωλ Μεραληθώλ θαη Μεραληθώλ Υπνινγηζηώλ DOM Γηδάζθνληεο: Π. Αγγειάηνο, Γ. Εήλδξνο Δπηκέιεηα δηαθαλεηώλ: Π. Αγγειάηνο Σρνιή Ζιεθηξνιόγωλ Μεραληθώλ θαη Μεραληθώλ Υπνινγηζηώλ Σηόρνο ηεο ώξαο Δμνηθείωζε κε ην DOM Γέληξν DOM: Γηάζρηζε Τξνπνπνίεζε

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες τρήζης για λειηοσργία μεηαθοράς καναλιών ζε υηθιακό δέκηη OST-7060 HD

Οδηγίες τρήζης για λειηοσργία μεηαθοράς καναλιών ζε υηθιακό δέκηη OST-7060 HD Οδηγίες τρήζης για λειηοσργία μεηαθοράς καναλιών ζε υηθιακό δέκηη OST-7060 HD Γηα ηε δηεπθόιπλζή ζαο θαηά ην switch-off ηεο πεξηνρήο ηεο Πεινπνλλήζνπ έρνπκε πξνζζέζεη ζηνπο ςεθηαθνύο καο δέθηεο κία λέα,

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΔΡΟΜΟ ΠΡΟ ΣΟ «ΑΕΙΦΟΡΟ ΧΟΛΕΙΟ» ένα φωτογπαφικό ταξίδι

Ο ΔΡΟΜΟ ΠΡΟ ΣΟ «ΑΕΙΦΟΡΟ ΧΟΛΕΙΟ» ένα φωτογπαφικό ταξίδι Ο ΔΡΟΜΟ ΠΡΟ ΣΟ «ΑΕΙΦΟΡΟ ΧΟΛΕΙΟ» ένα φωτογπαφικό ταξίδι ηα Δθπαηδεπηήξηα Πάλνπ ππνζηεξίδνπκε ηελ άπνςε όηη ην «αεηθόξν ζρνιείν» είλαη έλα όξακα εθηθηό. Η εθπαίδεπζε γηα ηελ αεηθνξία δελ είλαη κάζεκα, αιιά

Διαβάστε περισσότερα

Ζ ύιε εκθαλίδεηαη ζε ηξεηο θαηαζηάζεηο: ζηελ ζηεξεή, ζηελ πγξή θαη ζηελ αέξηα.

Ζ ύιε εκθαλίδεηαη ζε ηξεηο θαηαζηάζεηο: ζηελ ζηεξεή, ζηελ πγξή θαη ζηελ αέξηα. Καηαζηάζεηο ηεο ύιεο 1 ΔΚΦΔ ΥΑΝΗΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ ΟΗ ΦΤΗΚΔ ΔΠΗΣΖΜΔ ΣΖΝ ΠΡΟΥΟΛΗΚΖ ΑΓΧΓΖ ΔΝΟΣΖΣΑ 1: ΔΗΑΓΧΓΖ ΚΔΦΑΛΑΗΟ 4: ΚΑΣΑΣΑΔΗ ΣΖ ΤΛΖ ΚΑΣΑΣΑΔΗ ΣΖ ΤΛΖ Ζ ύιε εκθαλίδεηαη ζε ηξεηο θαηαζηάζεηο: ζηελ

Διαβάστε περισσότερα

Η Νοζηλεςηική Γιεπγαζία ζε Αζθενείρ με Κ.Ν.Μ.

Η Νοζηλεςηική Γιεπγαζία ζε Αζθενείρ με Κ.Ν.Μ. Η Νοζηλεςηική Γιεπγαζία ζε Αζθενείρ με Κ.Ν.Μ. ΜΠΙΛΙΛΗ ΑΝΑΣΑΙΑ Νοσηλεύτρια Σ.Δ. ΜSc Προϊσταμένη τμήματος ΦΙΑπ Γ.Ν. ΚΑΣ ΜΟΥΙΓΗ ΘΔΜΙΣΟΚΛΗ Νοσηλεστής Σ.Δ. τμήματος ΦΙΑπ Γ.Ν. ΚΑΣ ΒΟΤΡΛΔΓΚΑ ΠΑΝΑΓΙΩΣΑ Νοσηλεύτρια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Εισαγωγή στη Φωτογραυία. Χριζηάκης Σαζεΐδης - EFIAP

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Εισαγωγή στη Φωτογραυία. Χριζηάκης Σαζεΐδης - EFIAP ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ Εισαγωγή στη Φωτογραυία Χριζηάκης Σαζεΐδης - EFIAP 1 ΜΑΘΗΜΑ 3 ο ΚΛΕΙΣΡΟ ΣΑΥΤΣΗΣΑ ΚΛΕΙΣΡΟΤ-ΕΠΙΛΟΓΗ ΚΑΣΑΛΛΗΛΗ ΣΑΥΤΣΗΣΑ Σι είναι υωτογραυική μητανή; Από πνηα κέξε απνηειείηαη: 1. Φαθό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΔΡΙΔΥΟΜΔΝΑ ΔΝΝΟΙΔ ΚΑΙ ΟΡΙΜΟΙ ΠΑΡΟΤΙΑΗ ΣΟΤ ΚΑΝΟΝΙΜΟΤ ΔΦΑΡΜΟΓΗ ΣΟΤ ΚΑΝΟΝΙΜΟΤ

ΠΔΡΙΔΥΟΜΔΝΑ ΔΝΝΟΙΔ ΚΑΙ ΟΡΙΜΟΙ ΠΑΡΟΤΙΑΗ ΣΟΤ ΚΑΝΟΝΙΜΟΤ ΔΦΑΡΜΟΓΗ ΣΟΤ ΚΑΝΟΝΙΜΟΤ ΜΑΘΗΜΑ 2T2 41 ΓΟΜΙΚΗ ΦΤΙΚΗ ΗΥΟΜΟΝΩΗ - ΗΥΟΠΡΟΣΑΙΑ ΠΔΡΙΔΥΟΜΔΝΑ ΠΑΡΟΤΙΑΗ ΣΟΤ ΚΑΝΟΝΙΜΟΤ ΔΦΑΡΜΟΓΗ ΣΟΤ ΚΑΝΟΝΙΜΟΤ ΜΟΝΑΓΔ ΑΚΟΤΣΙΚΗ ΚΑΣΗΓΟΡΙΔ ΑΚΟΤΣΙΚΗ ΑΝΔΗ ΠΑΡΑΜΔΣΡΟΙ ΑΚΟΤΣΙΚΗ ΑΝΔΗ ΚΡΙΣΗΡΙΑ ΗΥΟΜΟΝΩΗ - ΗΥΟΠΡΟΣΑΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Master Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1.

Master Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1. ΘΕΜΑ. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f : IR IR ηζρύεη + f() f(- ) = γηα θάζε IR. Να δείμεηε όηη f() =, ΙR. Να βξείηε ηελ εθαπηόκελε (ε) ηεο C f πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν (-,-) 3. Να βξείηε ην εκβαδόλ Δ(α) ηνπ ρωξίνπ

Διαβάστε περισσότερα

Μορθές Κακόβοσλοσ Κώδικα (Malicious Code)

Μορθές Κακόβοσλοσ Κώδικα (Malicious Code) Μορθές Κακόβοσλοσ Κώδικα (Malicious Code) Page 1 Υποπλοίαρτος Ν. Πεηράκος ΠΝ Αηδένηα Γνύξεηνη Ίππνη (Trojan Horses) Ινί (Viruses) Worms Root-kit Page 2 Γνύξεηνο Ίππνο (Trojan Horse) Οξηζκόο: Πξόγξακκα

Διαβάστε περισσότερα

Α Καθοπιζμόρ απμοδιοηήηυν - 1 επικεθαλήρ 1. Γ Αςηοτία ζηη ζήπαγγα Β 1 επικεθαλήρ εξ. ζηελεσορ. Ε Ποζοηική ανάλςζη Γ 3 εξ.

Α Καθοπιζμόρ απμοδιοηήηυν - 1 επικεθαλήρ 1. Γ Αςηοτία ζηη ζήπαγγα Β 1 επικεθαλήρ εξ. ζηελεσορ. Ε Ποζοηική ανάλςζη Γ 3 εξ. Άσκηση cash flow tunnel Δίζηε επικεθαλήρ ηηρ ομάδαρ διασείπιζηρ κινδύνος πος αζσολείηαι με ηη λειηοςπγική ανάλςζη κινδύνυν μεγάληρ εηαιπείαρ διασείπιζηρ αςηοκινηηοδπόμυν. Έσεηε να παπαδώζεηε μελέηη πος

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσειρ μησανικών ταλαντώσεων. 1. Σώκα κάδαο m = 4 kg εθηειεί α.α.η. κε εμίζωζε απνκάθξπλζεο:

Ασκήσειρ μησανικών ταλαντώσεων. 1. Σώκα κάδαο m = 4 kg εθηειεί α.α.η. κε εμίζωζε απνκάθξπλζεο: Ασκήσειρ μησανικών ταλαντώσεων 1. Σώκα κάδαο m = 4 kg εθηειεί α.α.η. κε εμίζωζε απνκάθξπλζεο: x = 8ημ(πt+π/6) 1. Να ππνινγίζεηε ηε ζηαζεξά επαλαθνξάο ηνπ. 2. Να παξαζηήζεηε γξαθηθά ηελ απνκάθξπλζή ηνπ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΤΝΔΥΗΕΟΜΔΝΖ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ ΔΣΟΤ 2010-2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΤΝΔΥΗΕΟΜΔΝΖ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ ΔΣΟΤ 2010-2011 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΤΝΔΥΗΕΟΜΔΝΖ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ ΔΣΟΤ 2010-2011 Σα καζήκαηα γίλνληαη ζην γξαθείν ησλ ηαηξώλ ηνπ Tκήκαηνο θάζε Πέκπηε 12:00 14:00, ρξεζηκνπνηώληαο ηα θαηάιιεια νπηηθναθνπζηηθά κέζα, εθηόο Ηνπιίνπ θαη Απγνύζηνπ.

Διαβάστε περισσότερα

1 Είζοδορ ζηο Σύζηημα ΣΔΕΔ ή BPMS

1 Είζοδορ ζηο Σύζηημα ΣΔΕΔ ή BPMS ΟΤΑ Επισειπηζιακή Νοημοζύνη: Οδεγίεο πξνο ηνπο εθπαηδεπόκελνπο γηα ηε ζύλδεζε κε ην ύζηεκα Γηαρείξηζεο Δπηρεηξεζηαθώλ Γηαδηθαζηώλ γηα ηελ εθηέιεζε ηωλ Πξαθηηθώλ Αζθήζεωλ ηωλ ππν(δλνηήηωλ) Bc1.1.4, Bc1.1.5,

Διαβάστε περισσότερα

Α Ρ Η Σ Ο Σ Δ Λ Δ Η Ο Π Α Ν Δ Π Η Σ Ζ Μ Η Ο Θ Δ Α Λ Ο Ν Η Κ Ζ

Α Ρ Η Σ Ο Σ Δ Λ Δ Η Ο Π Α Ν Δ Π Η Σ Ζ Μ Η Ο Θ Δ Α Λ Ο Ν Η Κ Ζ Α Ρ Η Σ Ο Σ Δ Λ Δ Η Ο Π Α Ν Δ Π Η Σ Ζ Μ Η Ο Θ Δ Α Λ Ο Ν Η Κ Ζ ΣΜΖΜΑ ΓΔΩΛΟΓΗΑ ΔΡΓΑΣΖΡΗΟ ΣΔΥΝΗΚΖ ΓΔΩΛΟΓΗΑ ΜΑΘΖΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΓΗΓΑΚΟΝΣΔ: Β. ΥΡΖΣΑΡΑ, Καθ. ΔΞΑΜΖΝΟ: 7 ο Β. ΜΑΡΗΝΟ, Δπ.Καθ. Φεβροσάριος

Διαβάστε περισσότερα

Γίθησα ποσ παρέτοληαη από τρήζηες: Κίλεηρα, ηετλοιογίες θαη αλοητηά δεηήκαηα Λεσηέρες Μακάηας (lmamatas@ee.ucl.ac.uk)

Γίθησα ποσ παρέτοληαη από τρήζηες: Κίλεηρα, ηετλοιογίες θαη αλοητηά δεηήκαηα Λεσηέρες Μακάηας (lmamatas@ee.ucl.ac.uk) Σεκηλάξην Τνκέα Λνγηζκηθνύ Γίθησα ποσ παρέτοληαη από τρήζηες: Κίλεηρα, ηετλοιογίες θαη αλοητηά δεηήκαηα Λεσηέρες Μακάηας (lmamatas@ee.ucl.ac.uk) Περίιευε παροσζίαζες Τη είλαη ηα «Γίθηπα πνπ παξέρνληαη

Διαβάστε περισσότερα