Ερευνητική εργασία Β Λυκείου

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ερευνητική εργασία Β Λυκείου"

Transcript

1 Ερευνητική εργασία Β Λυκείου Σχ. Έτος

2 «Κι έτσι η ψυχή του απείρου κατοικεί στις λεπτομέρειες. Και στα στενότερα όρια δεν μπαίνει όριο. Τί χαρά να διακρίνεις το λεπτό στην αιωνιότητα! Το απέραντο να το διακρίνεις στο μικρό, τί θειότητα!» Jakob Bernoulli 2

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... 3 Εισαγωγή... 5 Οι αριθμοί εμφανίζονται σε κάθε τομέα... 9 Μαθηματικά - Ιστορία Παιχνίδια Σημαντικοί αριθμοί των Μαθηματικών ΤΕΧΝΗΜΑΤΑ

4 4

5 Εισαγωγή Παρασκευή 13/9/2013, Πρώτη εβδομάδα του νέου σχολικού έτους και πρώτη διδακτική ώρα για το μάθημα της ερευνητικής εργασία. Στη πρώτη αυτή συνάντηση κουβεντιάσαμε για τα ενδιαφέροντά μας και εντοπίσαμε το ότι ο κοινός «παρονομαστής» ήταν τα μαθηματικά. Παίρνω το μαρκαδόρο και γράφω στο πίνακα την πιο κοινότυπη λέξη των μαθηματικών που μας έρχεται «...ΑΡΙΘΜΟΙ». Αφού μείναμε λίγο σιωπηλοί, εικόνες σχηματίστηκαν στο μυαλό του καθενός και διάφορα ερωτήματα άρχισαν να κατακλύζουν την αίθουσα. Μερικά από αυτά ήταν: «Πως δημιουργήθηκαν οι αριθμοί; Ποια είναι τα αριθμητικά σύνολα; Φυσικά μεγέθη και η μέτρησή τους. Μουσική, αστρονομία, φυσική, χημεία, οικονομία όλα αυτά δεν περιέχουν μαθηματικά; Πόσες φορές δεν «κολλήσαμε» σε κάποιο παιχνίδι ή γρίφο; Πόσο συνδέεται η ομορφιά με τα μαθηματικά; Ποιοι είναι οι πρώτοι αριθμοί, οι τέλειοι, ο αριθμός φ, π, οι αριθμοί Fibonacci; Οι νέοι τομείς των μαθηματικών που οδηγούν; Γιατί τα παιδιά φοβούνται ή ακόμα και μισούν τα μαθηματικά;» και άλλα πολλά και ενδιαφέροντα.. Διαλέξαμε, διαισθητικά περισσότερο, μερικά από αυτά και χωριστήκαμε σε ομάδες για να αρχίσουμε την εξερεύνηση στο μυστήριο και ταυτόχρονα μαγικό κόσμο των αριθμών. Κάθε ομάδα θα αναλάμβανε και κάποια ερευνητικά ερωτήματα να αναπτύξει. Οι ομάδες που δημιουργήθηκαν ήταν οι εξής: Ομάδα «Κέντα Χρώμα» Μέλη Ερευνητικά ερωτήματα 1 Μπαρμπούτσης Παναγιώτης Τα μαθηματικά στη Καθημερινή ζωή 2 Μπάστας Παναγιώτης Τα μαθηματικά στις επιστήμες 3 Μπίσιας Δημήτρης Τα μαθηματικά στις Τέχνες και στις Θρησκείες 4 Μπουκουβάλα Κορίνα Τα μαθηματικά στη Καθημερινή ζωή 5 Παναγιωτάκη Σοφία Τα μαθηματικά στις επιστήμες 5

6 Ομάδα Μέλη Ερευνητικά ερωτήματα 1 Κωνσταντόπουλος Δημήτρης Τα αριθμητικά σύνολα 2 Λουκάτος Βαγγέλης Θαλής, Πυθαγόρας, Ευκλείδης 3 Μανέτος Νίκος Γρίφοι και Σπαζοκεφαλιές 4 Μυλωνά Δέσποινα Ιστορία των Μαθηματικών 5 Νικολόπουλος Γρηγόρης Παράδοξα Ομάδα 3 «Λ 3 +Μ 2» Μέλη Ερευνητικά ερωτήματα 1 Λάμπου Μαρία Ο χρυσός λόγος στις τέχνες 2 Λιακοπούλου Άρτεμις Ο χρυσός αριθμός φ 3 Λυμπέρης Νίκος Οι αριθμοί i, e και οι αριθμοί Fibonacci 4 Μαντάς Κώστας Ο αριθμός π 5 Μαργέλου Κατερίνα Οι πρώτοι αριθμοί Αρχικά τα ερευνητικά ερωτήματα μας φάνηκαν πολλά και ασύνδετα, όμως μας ενδιέφεραν και δε θέλαμε να αφήσουμε κάτι χωρίς να το «ψάξουμε». Δουλεύοντας άρχισαν να εμφανίζονται ονόματα μαθηματικών, επιστημόνων και αριθμοί, ίδια σε αρκετά από αυτά. Τα οποία αποτέλεσαν και το σημείο επαφής ή τη τομή των ερωτημάτων μας, όπως θα λέγαμε με μαθηματικούς όρους. Αποφασίσαμε λοιπόν ότι προχωρούσαμε καλά Τελικό μέλημά μας ο τίτλος της ερευνητικής εργασίας. Δύσκολο έργο τα μυαλά κενά, το μηδέν. Πιεζόμασταν όμως, δε μπορεί να θες κάτι, να αγαπάς κάτι, να σε ενθουσιάζει κάτι και να μην μπορείς να δώσεις σε αυτό μια λέξη ή μια φράση που να εκφράζει όλα αυτά. Αδύνατον, κάτι θα υπάρχει. Τότε το μηδέν έγινε άπειρο, έγινε μια τρύπα, μια μαύρη τρύπα που αρχίσαμε να στροβιλιζόμαστε σε αυτή και να βλέπουμε παντού προτάσεις που μας καλούσαν να τις αποδεχθούμε για τίτλους. Θα αναφέρουμε τις επικρατέστερες Οι αριθμοί μας ξαφνιάζουν Τα μυστήρια των αριθμών Τομείς χρήσης Αριθμών Η αριθμητική μαγεία ή Η μαγεία των αριθμών Η γλώσσα των αριθμών Οι αριθμοί παντού Με τη μέθοδο της απαγωγής κάποιοι τίτλοι ήταν ήδη βιβλίο, κάποιοι δεν ήταν ευφάνταστοι - καταλήξαμε στον διπλά διατυπωμένο τίτλο. Αρχικά μας φάνηκε ίδιος ή παρόμοιος «Η αριθμητική μαγεία» ή «Η μαγεία των αριθμών» Αρχίζαμε την αναζήτηση στις λέξεις, γλώσσα- γραμματική, και όπως ήταν φυσικό ανακαλύψαμε ότι δεν είναι καθόλου το ίδιο, ο πρώτος αναφέρεται σε μια μαγεία που 6

7 χρησιμοποιεί αριθμούς ενώ ο δεύτερος στη μαγεία που περιέχουν οι αριθμοί. Εμείς θέλαμε να ταξιδέψουμε στη μαγεία των αριθμών και όπως ήταν φυσικό επιλέξαμε τον τίτλο: «Η μαγεία των αριθμών» Καλός τίτλος αλλά όχι όμορφος, δε θέλαμε να τον αφήσουμε με την μορφή αυτή, θέλαμε να δείχνει και «λίγο» την μαγεία ή καλύτερα να κάνει τον αναγνώστη να αφιερώσει λίγο χρόνο παραπάνω για την κατανόησή του. Έπρεπε λοιπόν να λύσει τον γρίφο. «Η 2 m g i tω v» Αυτό αποτέλεσε και την ιδέα για τη δημιουργία του εξώφυλλου της εργασίας μας, που επιμελήθηκαν οι μαθητές Κωνσταντόπουλος Δημήτρης και Νικολόπουλος Γρηγόρης. Καλώς ήρθατε λοιπόν στον μαγικό κόσμο των αριθμών, στη μαγεία τους και τελικά στην αλήθεια των μαθηματικών. Το ταξίδι ξεκινά. Καλή διασκέδαση. Η υπεύθυνη καθηγήτρια Ντούρου Θεοδώρα, ΠΕ19 7

8 8

9 Οι αριθμοί εμφανίζονται σε κάθε τομέα Ομάδα «Κέντα Χρώμα» Μέλη Ερευνητικά ερωτήματα 1 Μπαρμπούτσης Παναγιώτης Τα μαθηματικά στη Καθημερινή ζωή 2 Μπάστας Παναγιώτης Τα μαθηματικά στις επιστήμες 3 Μπίσιας Δημήτρης Τα μαθηματικά στις Τέχνες και στις Θρησκείες 4 Μπουκουβάλα Κορίνα Τα μαθηματικά στη Καθημερινή ζωή 5 Παναγιωτάκη Σοφία Τα μαθηματικά στις επιστήμες «Σκέφτομαι άρα υπάρχω» Καρτέσιος 9

10 10

11 Περιεχόμενα Οι αριθμοί εμφανίζονται σε κάθε τομέα ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΚΑΘΗΜΕΡΙΝΟΤΗΤΑ Ας ξεκινήσουμε μαζί το ταξίδι των αριθμών Οι αριθμοί στη θρησκεία και τις τέχνες Τέχνες Άνθρωπος του Βιτρουβίου Βιβλία περί μαθηματικών και τέχνης Πολύεδρα Πλακοστρώσεις Θρησκεία Ο Διαβολικός Αριθμός Ο Διαβολικός Αριθμός Ο πιο πιθανός τυχερός αριθμός του σύμπαντος Το Πάσχα των μαθηματικών Τα μαθηματικά στις επιστήμες ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΕΤΕΩΡΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΙΑΤΡΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΟΥΣ ΤΟΜΟΓΡΑΦΟΥΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ Ο ΑΞΟΝΙΚΟΣ ΤΟΜΟΓΡΑΦΟΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΤΟΜΟΓΡΑΦΟ ΕΚΠΟΜΠΗΣ ΠΟΖΙΤΡΟΝΙΩΝ Αλγόριθμοι Βιβλιογραφία

12 Οι αριθμοί εμφανίζονται σε κάθε τομέα ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΚΑΘΗΜΕΡΙΝΟΤΗΤΑ Επιμέλεια: Μπουκουβάλα Κορίνα, Μπαρμπούτσης Παναγιώτης Τα Μαθηματικά που φαίνονται απομακρυσμένα από την πραγματικότητα δίνουν απαντήσεις και αποκαλύπτουν µε τεράστια επιτυχία τα περισσότερα φαινόμενα του κόσμου. Αποκτούν στην εποχή μας όλο και μεγαλύτερη αξία και σημασία,αφού ο ρόλος τους στην ανάπτυξη της τεχνολογίας και της επιστήμης διαρκώς αυξάνεται. Ταυτόχρονα αυξάνεται και το ενδιαφέρον των περισσοτέρων νέων ανθρώπων και μαθητών, να γνωρίσουν και να θαυμάσουν τον πλούτο και την ομορφιά των μαθηματικών, θεωρώντας τα πλέον όχι και μόνο προνόμιο των λίγων, αλλά έναν μαγευτικό χώρο για πολλούς. Τα Μαθηματικά δεν είναι ένας τομέας που απευθύνεται σε λίγους και έξυπνους, αλλά είναι απαραίτητα σε κάθε άνθρωπο, όπως είναι και η γλώσσα. Ακόμη και άνθρωποι που δεν έχουν πάει ποτέ σχολείο χρησιμοποιούν καθημερινά στη ζωή τους τα Μαθηματικά χωρίς να το καταλαβαίνουν. Σύμφωνα και με το φιλοσοφικό αξίωμα του γάλλου φιλόσοφου Καρτέσιου ( ) «σκέφτομαι, άρα υπάρχω» ασυνείδητα τα χρησιμοποιούμε. Πόσες φορές την ημέρα έχουμε πει «θα τα πούμε στις 7;» ή «Αυτό το βιβλίο κάνει 12,50 ευρώ;» ή «η πιθανότητα να το βρεις είναι 1 στο εκατομμύριο...» Ξεφυλλίζοντας την εφημερίδα μια μέρα διάβασα το παρακάτω κείμενο «Ένα συνηθισμένο πρωινό, ενός συνηθισμένου ανθρώπου του Τεύκρου Μιχαηλίδη Τα ΝΕΑ, 2 Μαρτίου 2005 Το ραδιόφωνο-ξυπνητήρι του Θανάση χτύπησε στις 7:00. Χάρη στην ψηφιακή τεχνολογία, βασισμένη στην αριθμητική ανάλυση και το δυαδικό σύστημα το δωμάτιο γέμισε μουσική, λες και μια ορχήστρα ολόκληρη είχε μαζευτεί στο προσκέφαλό του. Σηκώθηκε. Σε δέκα λεπτά το ψυγείο και το φουρνάκι του, που λειτουργούσαν με fuzzy logic - παρακλάδι της πλειότιμης συμβολικής λογικής που ήταν υπεύθυνη και για την ασφαλή λειτουργία του ΑΒS στο αυτοκίνητό του - του εξασφάλισαν ένα πλούσιο πρωινό. Στις 7:40 πληκτρολογούσε στο συναγερμό τον τετραψήφιο κωδικό του η θεωρία των πιθανοτήτων λέει πως ο ενδεχόμενος διαρρήκτης είχε μόλις 1 στις πιθανότητα να τον παραβιάσει κι έφυγε ήσυχος για τη δουλειά. Μπήκε στο μετρό - άλλο θαύμα κι αυτό, σήραγγες, κανάλια υπονόμων, δίκτυα παροχής, μια ολόκληρη υπόγεια πόλη σχεδιασμένη με βάση τα γραφήματα του Όιλερ - βολεύτηκε κι άνοιξε την εφημερίδα. «Μείωση κατά 12% των ατυχημάτων μετά την εφαρμογή του αλκοτέστ. 27% των οδηγών συμμορφώθηκαν ήδη με τους νέους αυστηρούς κανονισμούς». 12%, 27%! Και πώς το βρήκανε; Τα νύχια τους μυρίσανε; Γύρισε στα αθλητικά. Ο Κωνσταντίνου να στέλνει με κεφαλιά στα δίχτυα το ημικανονικό 32-εδρο β τύπου του Αρχιμήδη τη μπάλα του ποδοσφαίρου δηλαδή δέσποζε στην σελίδα. Στις 8:30 έμπαινε στο γραφείο. Άνοιξε τον υπολογιστή (ήταν γεμάτος ολοκληρωμένα κυκλώματα βασισμένα στην άλγεβρα Μπουλ αλλά ο Θανάσης ούτε το ήξερε ούτε ήθελε να το μάθει) και μπήκε στο Ίντερνετ. Ο κώδικας RSA βασισμένος στους πρώτους αριθμούς του εξασφάλισε μια ασφαλή σύνδεση και άνοιξε το ηλεκτρονικό ταχυδρομείο. 12

13 Μήνυμα από τη Μαρία! το πρόσωπο. Καλό κορίτσι η Μαρία, σκέφτηκε. Καλλιεργημένη, πρόσχαρη, σπιρτόζα, όμορφη. Ένα μονάχα κουσούρι είχε. Σπούδαζε Μαθηματικά. Χάθηκε να σπουδάσει κάτι άλλο, κάτι πιο κοντά στην καθημερινή ζωή, κάτι χρήσιμο τέλος πάντων! Έτσι σκέφτηκε ο Θανάσης και βγήκε επειγόντως απ το γιατί πλησίαζε ο διευθυντής.» Νομίζω ότι από τη στιγμή αυτή άρχισα να κοιτώ γύρω μου και να βλέπω παντού μαθηματικά. Ας ξεκινήσουμε μαζί το ταξίδι των αριθμών. Ένα συνηθισμένο ερώτημα που κάνουν οι μαθητές στους καθηγητές τους είναι: «Γιατί μαθαίνουμε Μαθηματικά;» και «Πού θα µας χρησιμεύσουν;» Σίγουρα θα το έχετε σκεφτεί και εσείς είτε όταν ήσασταν μικροί είτε τώρα σαν μαθητές. Πάντα όμως παίρνατε την ίδια απάντηση: «Επειδή είναι χρήσιμα στη ζωή µας». Η αλήθεια είναι ότι κανένας δε μένει ικανοποιημένος από αυτή την απάντηση. Το πόσο είναι και αν είναι χρήσιμα τα μαθηματικά στην καθημερινή μας ζωή θα προσπαθήσουμε να εντοπίσουμε παρακάτω. Tα μαθηματικά βρίσκονται παντού ακόμα και σε τομείς που κανείς δεν μπορεί να φανταστεί. Το παράδοξο είναι ότι οι περισσότεροι από εμάς τα μισούμε και ας τα συναντάμε στην καθημερινή μας ζωή από την στιγμή που ξυπνάμε μέχρι την στιγμή που πηγαίνουμε πάλι για ύπνο. Σε μία τυπική μέρα, συναντούμε τα μαθηματικά πριν καν σηκωθούμε από το κρεβάτι μας!! Ρυθμίζοντας το ξυπνητήρι και αναβάλλοντας το κουδούνισμα, δίνουν έναν γρήγορο υπολογισμό έως ότου αυτό χτυπήσει ξανά. Οι μαθητές δεν μπορούν να αποφύγουν τα μαθηματικά-οι πιο πολλοί παρακολουθούν καθημερινά το μάθημα αυτό στα σχολεία. Αλλά ακόμα και στην ιστορία χρειάζεται να γνωρίζουν λίγα μαθηματικά. Είτε αναζητώντας ιστορικές περιόδους, εποχές και αιώνες είτε προσπαθώντας να υπολογίσουν το χρόνο εξάπλωσης μια φυλής πρέπει να γνωρίζουν κάποια στοιχειώδη μαθηματικά. Ακόμα όσον αφορά την εργασία, θέσεις εργασίας που σχετίζονται με τα οικονομικά μπορεί να απαιτούν εξειδικευμένες γνώσεις για το πως θα υπολογιστεί το κέρδος ή πως θα αποκρυπτογραφηθούν διάφορα διαγράμματα και αναλύσεις. Άνθρωποι σε φαρμακευτική αγωγή πρέπει να γνωρίζουν τις διαφορετικές και σωστές δοσολογίες είτε αυτές είναι σε gr ή ml. Συνταγές μαγειρικής απαιτούν ζυγαριές, κουταλάκια του γλυκού, 1-2 φλιτζάνια, όλα μαθηματικά. Οι διαστάσεις ενός χαλιού, που καθορίζουν εάν χωράει μέσα σε μία περιοχή, στο δωμάτιο ή τα τετραγωνικά μέτρα. 13

14 Ακόμα και για το ετήσιο εισόδημα και τους φόρους θα πρέπει να εκτιμηθούν εάν οι ώρες εργασίας αντιστοιχούν στην αμοιβή. Ενδεχομένως, αν κάποιος επιθυμεί να αποφύγει όλα αυτά τα μαθηματικά και την καθημερινότητα, αποφασίζει πάει ένα ταξίδι. Όμως, και πάλι πέφτει πάνω σε κάποιον παλιό του γνώριμο τα μαθηματικά. Οι ταξιδιώτες συχνά υπολογίζουν τις διαδρομές και πόση βενζίνη χρειάζονται για να φτάσουν, όμως σε περίπτωση που έρθουν αντιμέτωποι με παρακάμψεις και εμπόδια πρέπει να υπολογίσουν εκ νέου το κόστος σε χιλιόμετρα, χρόνο και χρήμα. Όσοι ταξιδεύουν με αεροπλάνο πρέπει να γνωρίζουν τα χρονοδιαγράμματα των ωρών άφιξης και αναχώρησης, να γνωρίζουν το βάρος των αποσκευών τους, εάν δεν επιθυμούν να πληρώσουν και το ανάλογο ποσό σε περίπτωση που υπερβαίνουν το όριο βάρους. Όσον άφορα το ίδιο το ταξίδι, όπου μπορεί να υπάρχει η απόλαυση της θέας, από πίσω κρύβονται τα μαθηματικά: ταχύτητα, υψόμετρο, πιέσεις, διάρκεια ταξιδίου... Κουράστηκα, από την ώρα που ξύπνησα όπου πάω και σε ότι κάνω ψάχνω να βρω αν κρύβονται κάπου μαθηματικά. Νομίζω ότι πρέπει να χαλαρώσω λίγο γι αυτό θα δω την αγαπημένη μου εκπομπή που αναφέρεται στο ποδόσφαιρο, εκτός από την μπάλα, το ημικανονικό 32-εδρο β τύπου του Αρχιμήδη δε νομίζω να έχει κάτι άλλο. Έπεσα πολύ έξω όμως... Απόσπασμα από προσωπική εμπειρία ενός οπαδού «Πριν λίγο καιρό είχα την τύχη να γνωρίσω ένα άνθρωπο που είχε μια διαφορετική άποψη για το ποδόσφαιρο. Πίστευε ότι το ποδόσφαιρο έχει στενή σχέση με την επιστήμη. Και μπήκε στην διαδικασία να μου το αποδείξει. Με ρώτησε αν βλέπω ποδόσφαιρο και αν γνωρίζω την μεγάλη ομάδα του Άγιαξ της περιόδου Του είπα πως φυσικά την γνωρίζω. Με ξαναρώτησε πού πιστεύω ότι βρισκόταν οι ρίζες του ολοκληρωτικού ποδοσφαίρου, του λεγόμενου total football, που έπαιξε εκείνη η ομάδα. Του απάντησα διάφορα. Στον Μίχελς, τον Κρόιφ, στην πολύ καλή φουρνιά που είχε η ομάδα, στην φυσική τους κατάσταση Τότε ο συγκεκριμένος κύριος μου απάντησε ότι είμαι άσχετος. Οι ρίζες του total football βρίσκονται έξω από το ποδόσφαιρο. Βρίσκονται στην αρχιτεκτονική, την γεωμετρία και στην ιδέα περί ευμετάβλητου χώρου. Έμεινα με το στόμα ανοικτό. Μου ομολόγησε ότι λάτρευε τον Άγιαξ, την ποιο γεωμετρική ομάδα από καταβολής ποδοσφαίρου, μου αποκάλυψε ότι όπως ο Ολλανδός αρχιτέκτονας Κορνέλις Λέλι τον 19 ο αιώνα συνέλαβε την ιδέα των φραγμάτων που θα μεγάλωναν το καλλιεργήσιμο έδαφος των Κάτω χωρών, έτσι ο Μίχελς με τον Κρόιφ μετέφεραν αυτή την ιδέα στο ποδόσφαιρο. Βοηθούμενοι από μια ξεχωριστή ομάδα ταλαντούχων παικτών, βάσισαν το total football πάνω στην ιδέα ότι ο χώρος του γηπέδου είναι ευμετάβλητος. Μπορεί να μεγαλώσει ή να μικρύνει αναλόγως του πως θέλει να τον χρησιμοποιήσει κανείς. Αντίθετα, όταν έχαναν την κατοχή, πρέσαραν ψηλά προς την αντίπαλη περιοχή και σε ασφυκτικό βαθμό, προσπαθώντας να μικρύνουν τις διαστάσεις του γηπέδου. Επίσης μου συμπλήρωσε χαρακτηριστικά ότι καλό ποδόσφαιρο θα δούμε όταν επαναφέρουμε την έννοια του ευμετάβλητου χώρου στο ποδόσφαιρο. Έναν κενό χώρο που θα δημιουργήσει η επιστήμη και θα εκμεταλλευτεί το ταλέντο. [ ] Σε μια εποχή όπου το 14

15 επαγγελματικό ποδόσφαιρο στο υψηλότερο επίπεδό του, εκεί που διακυβεύονται εκατομμύρια, δεν μπορεί να είναι μόνο ζήτημα ταλέντου και τύχης, η επιστήμη προσφέρει το απαραίτητο υπόβαθρο για την βελτίωση των ομάδων. Από την αεροδυναμική της μπάλας, τον ρόλο των παπουτσιών στα φαλτσαριστά σουτ, στην ψυχολογία των ποδοσφαιριστών στην διαδικασία των πέναλτι, τις αναλυτικές μετρήσεις και την παρακολούθηση των δεικτών που αφορούν στην εργοφυσιολογία των ποδοσφαιριστών, μέχρι την εξαντλητική ανάλυση των δυνατοτήτων που προσφέρουν τα αγωνιστικά συστήματα, ανάλογα με την ομάδα και την περίσταση, οι προπονητές έχουν αποκτήσει γνώση για τις δυνατότητες του παιχνιδιού, που όλο διευρύνεται. Μια γνώση στην οποία δεν έχουν πρόσβαση οι δημοσιογράφοι και οι φίλαθλοι και παρ όλα αυτά κρίνουν με απόλυτο τρόπο, τόσο το παιχνίδι όσο και τους ποδοσφαιριστές» Είναι προφανές πως τα μαθηματικά είναι παντού γύρω μας. Τα πιο πολλά πράγματα που σκεφτόμαστε, αλλά και κάνουμε βασίζονται σε μοτίβα, σχέσεις αναλογίες, δηλαδή στα μαθηματικά. Είναι αδύνατον να υπάρξει ένας κόσμος χωρίς όλα αυτά, δεν υπάρχει η συνοχή και η λογική που χρειάζεται για να λειτουργήσει ορθά ο κόσμος. Ακόμη και εκείνοι, που δεν τους αρέσουν καθόλου τα μαθηματικά και θεωρούν πως δε μας είναι απαραίτητα, δεν μπορούν να ξεφύγουν από την καθημερινή παρουσία τους στη ζωή. Από την αυγή της ύπαρξής του ο άνθρωπος δέθηκε στενά με τις έννοιες και τα βιώματα των αριθμητικών μεγεθών και της διαρκούς μεταβολής των. Διδάχτηκε - από πικρή συχνά πείρα - πως είκοσι αρπακτικά ζώα είναι περισσότερα από δύο, και πως όταν καταναλωθούν τα τέσσερα πέμπτα από τις όποιες προμήθειες το μόνο που απομένει είναι το ένα μόνο πέμπτο - το τελευταίο Διδάχθηκε πως είναι ζωτικής χρησιμότητας να αναπαριστά τις ποσότητες, τις μεταξύ αυτών σχέσεις και τις διαφοροποιήσεις τους με κατάλληλα σύμβολα, και να κάνει κτήμα του τις ακριβείς ιδιότητες με τις οποίες αυτές υφίστανται, καθώς και τους απαραίτητους χειρισμούς χάρη στους οποίους θα προβλέπει και θα ελέγχει όλα τα παραπάνω. Και τόση ήταν η εξάρτηση της ζωής του από την επιστήμη που προέκυψε κατ αυτόν τον τρόπο - την επιστήμη των ποσοτήτων, τα Μαθηματικά ώστε να θεμελιωθεί μία φιλοσοφία του σύμπαντος κόσμου επάνω σε αυτές ακριβώς τις ποσότητες της καθημερινής εμπειρίας - τους Φυσικούς Αριθμούς - και τους τρόπους με τους οποίους αυτοί σχετίζονται - τους Λόγους. Οι αριθμοί στη θρησκεία και τις τέχνες Επιμέλεια: Μπίσιας Δημήτρης Ανέκαθεν όλα τα άτομα πίστευαν, και εξακολουθούν να πιστεύουν, πως η επιστήμη με τις τέχνες ακολουθούσε ξεχωριστή πορεία και ανάπτυξη. Άλλωστε ένα από τα στερεότυπα που υπάρχει στις μέρες μας υποστηρίζει πως αν ένα άτομο έχει κλίση προς τον έναν από τους δύο τομείς είναι σπάνιο ή απίθανο να είναι καλός και στον άλλον τομέα. Όμως, θα πρέπει να αναρωτηθούμε αν αυτός ο ισχυρισμός αληθεύει ή όχι. Πολλές φορές, ακόμη και ειδήμονες, δεν έχουν παρατηρήσει, δεν έχουν κατανοήσει πόσο στενά συνδεδεμένοι ήταν και είναι μέχρι σήμερα αυτοί οι φαινομενικά διαφορετικοί τομείς. Άμεσα θα προκύψει πως αυτοί οι δύο τομείς, αρκετές φορές στο παρελθόν, 15

16 συνεργάστηκαν, επηρέασαν ο ένας τον άλλον και ο ένας βοήθησε στην ανάπτυξη του άλλου. Τέχνες Αρχικά, σε αρκετά διάσημα και μη έργα τέχνης, παρατηρούμε την εμφάνιση των αριθμών και των μαθηματικών. Ο Albrecht Dürer ( ), Γερμανός ζωγράφος, χαράκτης και μαθηματικός σε ένα από τα πιο γνωστά χαρακτικά έργα του, τη Μελαγχολία, κατάφερε να εισάγει ένα μαγικό τετράγωνο. Μαγικό τετράγωνο θεωρείται κάθε πλέγμα συνεχόμενων αριθμών τοποθετημένων με τέτοιον τρόπο ώστε όλες οι στήλες κάθετα, οριζόντια και διαγώνια να δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα. Το συγκεκριμένο τετράγωνο κρύβει και άλλες ιδιότητες αφού ο Dürer κατάφερε να έχει ίδιο αποτέλεσμα (εδώ το 34) σε καθένα από τα τέσσερα τεταρτημόρια του τετραγώνου, σε καθένα από τα τέσσερα κεντρικά τετράγωνα και σε καθένα από τα τέσσερα γωνιακά τετράγωνα!! Μελαγχολία, Albrecht Dürer Τέλος κατάφερε να τοποθετήσει τους αριθμούς 15 και 14 σε γειτονικά τετράγωνα στην τελευταία σειρά δηλώνοντας έτσι το έτος δημιουργίας του έργου (1514)! Άνθρωπος του Βιτρουβίου Ίσως το πιο χαρακτηριστικό παράδειγμα εμφάνισης των αριθμών σε έργα τέχνης, αποτελεί ο άνθρωπος του Βιτρουβίου. Ο Βιτρούβιος ήταν ρωμαίος αρχιτέκτονας του 1ου αιώνα μ.χ. που πρώτος, σε ένα από τα βιβλία του, υποστηρίζει την ύπαρξη σχέσης ανάμεσα στο ανθρώπινο σώμα και τα μαθηματικά. Ο Da Vinci ( ), αρκετούς αιώνες μετά, προχώρησε αυτή την ιδέα, αρχικά ξεκινώντας την γραφή του ανολοκλήρωτου βιβλίου του «Περί της ανθρώπινης μορφής» καταγράφοντας τις δικές του παρατηρήσεις αλλά και του Βιτρουβίου, διορθώνοντας διάφορες ανακολουθίες του τελευταίου, σε μορφή σχεδίου το Αυτό το σκίτσο, το οποίο ονομάζεται και «κανόνας αναλογιών», απεικονίζει μία αντρική μορφή με τα άκρα, ταυτόχρονα σε αλληλεπικαλυπτόμενες θέσεις, σε έκταση και σε επαγωγή αλλά και ενωμένα. Ο άντρας αυτός είναι εγγεγραμμένος σε δύο τέλεια γεωμετρικά σχήματα, τον Άνθρωπος του Βιτρουβίου κύκλο και το τετράγωνο. Υπάρχουν διάφορες διαπιστώσεις με τις οποίες αποκαλύπτεται η εντέλεια του ανθρώπινου σώματος: 16

17 1. 1 παλάμη έχει πλάτος 4 δακτύλων 2. 1 πόδι έχει πλάτος 4 παλάμες 3. 1 πήχης έχει πλάτος 6 παλάμες 4. το ύψος του ανθρώπου είναι 4 πήχεις (και άρα 24 παλάμες) 5. 1 δρασκελιά είναι 4 πήχεις, άρα το ύψος του ανθρώπου 6. Το μήκος των χεριών ενός άντρα σε διάταση είναι ίσο με το ύψος του 7. Η απόσταση από την γραμμή των μαλλιών ως την κορυφή του στήθους είναι το του ύψους του άνδρα 8. Η απόσταση από την κορυφή του κεφαλιού ως τις θηλές είναι το του ύψους του άνδρα 9. Το μέγιστο πλάτος των ώμων είναι το του ύψους του άνδρα 10. Η απόσταση από το αγκώνα ως την άκρη του χεριού είναι το του ύψους του άνδρα 11. Η απόσταση από τον αγκώνα ως την μασχάλη είναι το του ύψους του άνδρα 12. Το μήκος του χεριού είναι του ύψους ενός άνδρα 13. Η απόσταση από την άκρη του πηγουνιού ως την μύτη είναι το του μήκους του προσώπου 14. Η απόσταση της γραμμής των μαλλιών ως τα φρύδια είναι το του μήκους του προσώπου 15. Το μήκος του αυτιού είναι το του μήκους του προσώπου Κέντρο του σώματος και του κύκλου είναι ο ομφαλός, ενώ του τετραγώνου του σκίτσου είναι ένα μέρος του σώματος λίγο χαμηλότερα από τον ομφαλό. Επιπλέον, με μελέτη μπορεί να παρατηρηθεί ότι με κατάλληλο συνδυασμό θέσεων των άκρων προκύπτουν 16 διαφορετικές στάσεις! Κατά την εναλλαγή 2 στάσεων το φαινομενικό κέντρο της φιγούρας φαίνεται να κινείται, διότι εγγράφονται στα δυο διαφορετικά γεωμετρικά σχήματα που υπάρχουν στο σκίτσο, ενώ το πραγματικό κέντρο της βαρύτητας, ο ομφαλός, παραμένει σταθερός. Παρατηρώντας το σκίτσο η διαφορά θέσης μεταξύ δεξιού και αριστερού ποδιού είναι προφανής γεγονός που ισχύει και για τα χέρια. Όμως, το σκίτσο δεν είναι απόλυτα συμμετρικό αντίθετα με την εντύπωση που δίνει. Οι ανδρικοί μύες που βρίσκονται πάνω από τη λεκάνη δίνουν ήδη το στίγμα της ασυμμετρίας. Άλλωστε, η ιδιότητα του βαρύκεντρου για τον ομφαλό δεν καθορίζεται αποκλειστικά και με μονοσήμαντο τρόπο. Μέχρι και ο κορμός έχει μια μικρή κλίση που προέρχεται από τη διαφορετική τοποθέτηση των ποδιών στο κάτω μέρος της εικόνας. Επιπλέον, η διπλή επικάλυψη επιτάσσει το σχέδιο να έχει αυτή την κλίση ώστε να φαντάζει ως ένα ρεαλιστικό το μοντέλο. Η έλλειψη απόλυτης συμμετρίας γίνεται πιο αισθητή στο κάτω μέρος, στο επίπεδο των μηρών. Το εσωτερικό του δεξιού μηρού βρίσκεται μπροστά στο αριστερό ανάλογό του. 17

18 Περαιτέρω, αυτή η στάση ενισχύεται και από την ανοιχτή επικάλυψη. Πιο συγκεκριμένα, η ακριβής αναπαράσταση του ανδρικού μορίου από τον Da Vinci που δείχνει και τη διαφορά ύψους των όρχεων, όταν οι μηροί είναι ανοιχτοί, δείχνει ένα διαφορετικό άνοιγμα. Από τη δεξιά πλευρά ο διαχωρισμός μεταξύ μηρού και ανδρικού μορίου γίνεται στο επίπεδο του πάνω μέρους του χιτώνα, ενώ δεν ισχύει το ανάλογο από την άλλη πλευρά. Στην πραγματικότητα, αν ο άνθρωπος του Βιτρούβιου καθόταν όρθιος, απόλυτα συμμετρικά σε σχέση με το θεατή, ο διαχωρισμός δε θα γινόταν στο επίπεδο του χιτώνα, εξαιτίας των εσωτερικών μηρών που ακολουθούν τη γωνία των οστών, όπως διαμορφώνεται από τη λεκάνη. Αυτό σημαίνει ότι ο Da Vinci διατύπωσε αυτή τη λεπτομέρεια για να διατηρήσει τη ρεαλιστικότητα του μοντέλου. Κατά συνέπεια, δε διατυπώνει μόνο τις εξωτερικές αναλογίες του Βιτρούβιου αλλά και την εσωτερική δομή του ανθρώπινου σώματος, μέσω του ανδρικού κορμιού. Και για να το αναδείξει, χρησιμοποιεί την ασυμμετρία της ανθρώπινης συμμετρίας δίνοντας παράλληλα και το στίγμα της ιδιοφυΐας του. Δεν είναι απλώς μια ζωγραφιά αλλά ένα δομικό σύστημα. Καταλαβαίνουμε, λοιπόν, πως η τελειότητα των αναλογιών του σώματος μπορεί να γραφτεί και με νούμερα!!! Φυσικά, οι παραπάνω παρατηρήσεις έγιναν πριν από έξι αιώνες περίπου και η επιστήμη συνεχίζει να βρίσκει νέα αποτελέσματα ώστε να αποδώσουν τις ανθρώπινες αναλογίες με ψηφία. Βιβλία περί μαθηματικών και τέχνης Καθ όλη τη διάρκεια του Μεσαίωνα αλλά και στην Αναγέννηση αρκετά βιβλία εκδόθηκαν, είτε από μαθηματικούς είτε από καλλιτέχνες, που αναφέρονται στη σχέση της τέχνης και των μαθηματικών, κυρίως μέσω της προοπτικής. Τι είναι όμως προοπτική ; Προοπτική είναι η τέχνη της προβολής μιας τρισδιάστατης εικόνας και της δημιουργίας της αίσθησης του βάθους σε μια επίπεδη επιφάνεια. Δηλαδή, η ψευδαίσθηση πως ένα σκίτσο ή μια ζωγραφιά αποτελεί σχεδόν μία ζωντανή εικόνα. Αξιοποιεί μέρος της Ευκλείδειας γεωμετρίας και χωρίζεται σε δύο κατηγορίες: τη γραμμική και την αιθέρια προοπτική ανάλογα με το αποτέλεσμα που επιθυμεί να δώσει ο καλλιτέχνης στο έργο του. Από τα πρώτα βιβλία περί προοπτικής και της σχέσης της με τα μαθηματικά που εκδόθηκαν ήταν το Della pittura του Leon Battista Alberti ( ), Ιταλού πανεπιστήμονα ο οποίος μελέτησε αρκετά την προοπτική χρησιμοποιώντας και τις γνώσεις του από την οπτική. Ο Alberti υποστήριζε πως η προοπτική ήταν ένα γεωμετρικό εργαλείο των ζωγράφων και των αρχιτεκτόνων. Κάθε καλλιτέχνης είναι αναγκαίο να μιμείται τη φύση -όχι τελείως αντικειμενικά- αλλά δίνοντας ιδιαίτερη προσοχή στην ομορφιά. Το βιβλίο Della pittura που γράφηκε στα ιταλικά το 1436 είναι μέρος μιας ευρύτερης τριλογίας Major Arts με τα άλλα δύο βιβλία να είναι De re aedificatoria και το De statua. Σε αυτό το βιβλίο περιγράφεται η ζωγραφική μέσω της γεωμετρίας, αναφερόμενο και στη ζωγραφική ανθρωπίνων σωμάτων και των περιγραμμάτων με ευθείες γραμμές καθώς και στην αξιοποίηση χρωμάτων και του φωτός. Αναφέρονται επίσης οι παρατηρήσεις του Brunelleschi ( ) για την γεωμετρική προοπτική το 1416 οι οποίες εντυπωσίασαν τον Alberti οδηγώντας τον να του αφιερώσει την πρώτη έκδοση του βιβλίου του. Ένας ακόμη ζωγράφος/μαθηματικός, ο Piero della Francesca ( ) στα έργα του οποίου είναι έντονο το στοιχείο της προοπτικής και των γεωμετρικών φορμών, έγραψε 18

19 διάφορα βιβλία περί μαθηματικών αλλά και μερικά για την σχέση τους με τη ζωγραφική. Συνεργάστηκε και εκπαιδεύτηκε από σπουδαίες μορφές της τέχνης όπως ο Da Vinci ο οποίος εικονογράφησε μάλιστα και ένα του βιβλίο. Ένα από τα συγγράμματά του, το De Prospectiva Pingendi, αναφέρεται στην ύπαρξη της προοπτικής στην τέχνη και γράφτηκε το 1480 περίπου. Το βιβλίο κάνει λόγο για την προοπτική κατά το σχεδιασμό ενός ανθρώπινου σώματος. Εμφανώς, ο della Francesca επηρεάστηκε σε μεγάλο βαθμό από τον Alberti αλλά και από τον αρχαίο Έλληνα μαθηματικό Ευκλείδη (325 π.χ.-265π.χ.). Πολύεδρα Επιπλέον, το Libellus De Quinque Corporibus Regularibus αποτελεί μία διατριβή του della Francesca πάνω στην κατασκευή και στον υπολογισμό των πολυέδρων. Πολύεδρο είναι ένα στερεό σε τρεις διαστάσεις με επίπεδες επιφάνειες και ορθές έδρες. Ήταν η πρώτη φορά που τέθηκε η κατασκευή τους σε στερεή μορφή. Η διατριβή περιελάμβανε τις παρατηρήσεις από έναν άγνωστο συγγραφέα καθώς και τις παρατηρήσεις και τα σκίτσα του ίδιου του della Francesca. Τα πολύεδρα, που ήταν μια μορφή μόδας της Αναγέννησης, κατασκευάζονταν υπό την επίβλεψη ενός μαθηματικού και Πολύεδρα χρησιμοποιούσαν την προοπτική. Στο βιβλίο του Luca Pacioli ( ) De divina proportione, όπου περιέχονται μερικά εκπληκτικά σκίτσα του ίδιου του Da Vinci, αναφέρεται και η σχέση των πολυέδρων με την χρυσή τομή υπογραμμίζει δε πως η χρυσή τομή κατέχει σημαντικό ρόλο στην κατασκευή ενός κανονικού πενταγώνου ή δεκαγώνου. Πολλές εκκλησίες, αυλές σπιτιών, τοίχων ακόμη και σκευοφυλάκια εκκλησιών είναι διακοσμημένα με πολύεδρα. Αμέτρητα καλλιτεχνικά έργα εκείνης της εποχής είναι γεμάτα με κανονικά ή ημικανονικά πολύεδρα, αρχιμήδειων στερεών και πλήθος ακόμη σχημάτων που απαιτούν την χρήση μαθηματικών και της προοπτικής. Ένα από τα πιο γνωστά παραδείγματα πολυέδρων είναι το mazzochio το οποίο αρχικά το φορούσαν οι Φλωρεντιανοί σαν ένα κάλυμμα κεφαλής. Κατά μία άποψη, πρόκειται για έναν δακτύλιο που προκύπτει από την επιφάνεια ενός κύκλου κατάλληλα περιστραμμένο ώστε το κέντρο του να μετατοπίζεται σε εκείνο ενός άλλου μεγαλύτερου κύκλου που βρίσκεται σ ένα επίπεδο κάθετο στο προηγούμενο. Τέτοια είδους σχήματα υπάρχουν και σε έργα και σε διάφορες εκκλησίες. Άλλα πολύεδρα έκαναν την εμφάνισή τους σε διάφορα σχέδια όπως ένα μωσαϊκό σε σχήμα δωδεκαγώνου στο πάτωμα της βασιλικής του Αγίου Μάρκου της Βενετίας από τον Paolo Uccello ( ). Τέλος, ο Λεονάρντο Ντα βίντσι στο Codex Atlanticus απεικονίζει έναν τόρο (κάτι σαν το mazzochio ) που περιελίσσεται γύρω από έναν άλλο ή, αλλιώς, δύο τόροι περιελίσσονται παράλληλα γύρω από έναν αόρατο τρίτο τόρο. 19

20 Πλακοστρώσεις Όμως, ίσως η πιο χρησιμοποιημένη μορφή των μαθηματικών στις τέχνες μέχρι και σήμερα να μην είναι πια τα πολύεδρα αλλά οι πλακοστρώσεις. Πλακόστρωση ενός επιπέδου είναι ένα σχήμα που καλύπτει όλο το επίπεδο και αποτελείται από πολλές συμμετρίες. Κανονική πλακόστρωση λέγεται μία πλακόστρωση που γίνεται με την χρήση κανονικών πολυγώνων που καλύπτουν όλο το επίπεδο. Πλακοστρώσεις υπάρχουν σε πατώματα, σε σκίτσα αλλά και σε διάφορα καλλιτεχνικά έργα. Όμως με ποια κανονικά πολύγωνα δύναται να γίνει μία κανονική πλακόστρωση; Λόγω του ότι στο ευκλείδειο επίπεδο όλα τα τρίγωνα Κανονική Πλακόστρωση έχουν σταθερό άθροισμα γωνιών περιορίζει τον αριθμό των κανονικών πολυγώνων με τα οποία μπορούν να γίνουν κανονικές πλακοστρώσεις και είναι μόνο 3. Για να βρούμε ποια είναι αυτά τα τρία κανονικά πολύγωνα υποθέτουμε ότι θέλουμε να καλύψουμε το επίπεδο με κανονικά ν-γωνα. Το άθροισμα των γωνιών ενός ν-γώνου είναι (4ν-4). Αφού σε κάθε κανονικό πολύγωνο όλες οι γωνίες είναι ίσες, κάθε μία είναι ίση με. Για να καλυφθεί το επίπεδο με κανονικά ν-γωνα, είναι αναγκαίο οι γωνίες των ν- γώνων να ταιριάζουν γύρω από μία κορυφή της πλακοστρώσης χωρίς κενά ή επικαλύψεις. Δηλαδή το άθροισμα των γωνιών πρέπει να είναι ίσο με 360 ο =4. Άρα, έστω k ο αριθμός των γωνιών που συναντώνται σε μία κορυφή, τότε η σχέση που προκύπτει είναι: k =4<=>k= =. (περιορισμός ν>2 ώστε να μη μηδενίζεται ο παρονομαστής ούτε να βγαίνει αρνητικός αφού δεν μπορούμε να κάνουμε πλακόστρωση με αρνητικό αριθμό γωνιών) Τόσο ο ν όσο και ο k πρέπει να είναι ακέραιοι( δεν υπάρχει πολύγωνο με 2,5 πλευρές ή 2,5 γωνίες) και αφού πρέπει ν 3 (το μικρότερο πολύγωνο είναι το τρίγωνο που έχει τρεις πλευρές) έχουμε βρει τους περιορισμούς. Κάνοντας διερεύνηση προκύπτει ότι τα δυνατά αποτελέσματα είναι το ισόπλευρο τρίγωνο, το τετράγωνο και το κανονικό εξάγωνο. Μάλιστα προκύπτει ότι αν ν>6 τότε η σχέση ν , ,8 8 2, , ,5 11 2, ,4 13 2, ,333 δεν μπορεί να ικανοποιηθεί πια. 20

21 Συνεπώς, τα τρία αυτά κανονικά πολύγωνα καθώς και οποιοσδήποτε μεταξύ τους συνδυασμός, που δίνει άθροισμα γωνιών γύρω από μία κορυφή 360 ο, αποτελεί μία κανονική πλακόστρωση. Θρησκεία Οι αριθμοί εμφανίζονται, επίσης, και στη θρησκεία από την αρχαιότητα. Είναι γνωστή η προκατάληψη για τον αριθμό 13 που θεωρείται γρουσούζικος γιατί τόσα άτομα ήταν γύρω από το τραπέζι του μυστικού δείπνου στο γεύμα πριν ο Ιούδας προδώσει τον Χριστό. Υπάρχουν και άλλοι, όμως, πιο συχνά εμφανιζόμενοι, στη θρησκεία. Ο Διαβολικός Αριθμός 666 Από την αρχαιότητα όμως μας απασχολεί το θέμα των αριθμών. Έχουν υπάρξει πολλές συζητήσεις περί τον αριθμό 666 ή αλλιώς τον αριθμό του Διαβόλου όπως τον χαρακτηρίζουν αρκετοί. Οι Πυθαγόρειοι, ορκίζονταν στην Ιερά Τετρακτύν, ένα σύμβολο δέκα σημείων που διατάσσονταν σε μορφή πυραμίδας. Η τετρακτύς αναπαρίστανε τη σχέση μεταξύ των θεμελιωδών αριθμών. Στην κορυφή, βρισκόταν η μονάδα. Στο δεύτερο επίπεδο, βρισκόταν η δυάδα, ο αριθμός 2, που παράγεται από τη μονάδα και ο Ο Διαβολικός Αριθμός 666 αριθμός 3, που παράγεται από το άθροισμα των δύο προηγουμένων (του 1 και του 2). Στο τρίτο επίπεδο, βρίσκονταν τα τετράγωνα των αριθμών 2 και 3, δηλαδή οι αριθμοί 4 και 9 αντίστοιχα. Στο τέταρτο επίπεδο, βρίσκονταν οι κύβοι των αριθμών 2 και 3, δηλαδή οι αριθμοί 8 και 27 αντίστοιχα. Το σύνολο των σημείων της τετρακτίδος είναι 10, και το σύνολο των παραγόμενων από τη μονάδα αριθμών είναι =27, δηλαδή ο τελευταίος της σειράς. Η τετρακτύς είχε αποκτήσει έναν απόκρυφο συμβολισμό και θα αποτελούσε ένα είδος προπαίδειας για τους μυημένους της εποχής. Στις μέρες μας επιδέχεται πλήθος από γοητευτικές ερμηνίες όπως ότι το άθροισμα =10 (ο αριθμός της τελειότητας). Μία τέτοια είναι πως, το 6 είναι ο αριθμός της ζωής, διότι αντιπροσωπεύει το εξάγωνο το οποίο εγγράφεται στο εσωτερικό της τετρακτύος. Ο αριθμός 6 και κατ επέκταση το 666 θεωρούταν ευμενής αριθμός. Το 666 είναι ο τρίτος αριθμητικά σημαντικός τριγωνικός αριθμός αφού αποτελεί το άθροισμα των 36 πρώτων ακεραίων, ο τελευταίος της τετρακτύου των Πυθαγορείων και αποτελεί τον πρώτο τέλειο αριθμό καθώς και ο αριθμός των υπαρκτών κατευθύνσεων Βορράς/ Νότος/ Ανατολή/ Δύση/ Πάνω/ Κάτω. Όλα αυτά άλλαξαν με την αποκάλυψη. Στα ελληνικά ο αριθμός γράφεται με το συνδυασμό των γραμμάτων χ (το 600),ξ (το 60) και ς (το 6). Πώς όμως αντιστράφηκε η αντίληψη περί του αριθμού αυτού; Στο βιβλίο του, την Αποκάλυψη, ο Αγ. Ιωάννης αναφέρει μεταξύ άλλων πως ο αριθμός 666 είναι διαβολικός, αφού είναι ο αριθμός του Θηρίου το οποίο μεταχειρίζεται και χρησιμοποιεί ο Αντίχριστος για να υποτάξει το σύνολο της ανθρωπότητας με το χάραγμα κυριαρχώντας επί της γης. Αυτό επιβεβαιώνεται σύμφωνα με μελετητές διότι η αξία των γραμμάτων της φράσης «το μέγα θηρίον» χρησιμοποιώντας την αρίθμηση των ελληνικών, βγάζει αποτέλεσμα 666 δηλαδή τ + ο ( ), μ + έ + γ + α ( ), θ + η + ρ + ί + ο 21

22 + ν ( )= = 666. Επίσης, λέξεις με αρνητική σημασία, όπως το κέρδος και η υπεροχή στα εβραϊκά βγάζουν αποτέλεσμα και αυτά 666. Λέγεται επίσης, πως ο Σολόμωντας λάμβανε 666 τάλαντα ανά έτος. Επιπλέον, ο Διάβολος όταν ήταν ακόμη αρχάγγελος, προτού δηλαδή εκπέσει στην αμαρτία, διοικούσε το 6ο τάγμα των αγγέλων που αποτελεί έναν ακόμη λόγο για τον οποίο ο αριθμός 666 αποδίδεται σε αυτόν. Αρκετά ονόματα της ιστορίας όπως του Νέρωνα (31-68 μ.χ.), που θεωρείται ότι διέταξε να κάψουν την πόλη του, τη Ρώμη, αποδίδοντας το αργότερα σε Χριστιανούς και προβαίνοντας σε διωγμούς εναντίων τους αλλά και του 40ου πρωθυπουργού των ΗΠΑ Reαgan( ) έχουν σχέση με τον αριθμό 666. Το όνομα του Νέρωνα βγάζει αποτέλεσμα 666, ενώ το πλήρες όνομα του θεοσεβούμενου προέδρου των ΗΠΑ είναι Ronald (6 γράμματα) Wilson (6 γράμματα) Reagan (6 γράμματα επίσης) και φημολογείται ότι, όταν μετακόμισε στην έπαυλή του που βρισκόταν στη St. Cloud Road του Bel Air ενός από τα ακριβότερα προάστια του Los Angeles και διαπίστωσε πως ο αριθμός της ήταν το 666 ζήτησε να το αλλάξουν σε 668. Επιπλέον, ο αριθμός 666 εμφανίζεται σε αρκετούς κωδικούς του bar-code των εμπορευμάτων-προϊόντων της παγκοσμιοποίησης. Υπάρχει ένα εξάρι στην αρχή, ένα στη μέση κι ένα στο τέλος. Αυτό συνάδει με την άποψη ότι ο αντίχριστος σφραγίζει τα προϊόντα και θα επέλθει μέσω αυτών η κυριαρχία του. Όμως, ακόμη και σήμερα, σε ορισμένες περιοχές, αυτός ο διαβολικός αριθμός για τους Χριστιανούς, θεωρείται τυχερός! Ο ήλιος σε πολλές ειδωλολατρικές θρησκείες αποτελεί ιερό σύμβολο, κατέχει στον αστρικό συμβολισμό τον αριθμό 6 και συνεπώς θεωρείται τυχερός αριθμός. Στην Καμπάλα ο αριθμός αυτός συμβολίζει τη δημιουργία και την τελειότητα του κόσμου αφού ο κόσμος δημιουργήθηκε σε έξι ημέρες και έξι είναι οι βασικές κατευθύνσεις. Για τους Κινέζους το 6 ανήκει στους τυχερούς αριθμούς. Στα καντονέζικα, που μιλούν στη Νότια Κίνα, σημαίνει πλούτο, ενώ στα μανδαρινικά, την επίσημη γλώσσα που μιλούν στον Βορρά, σημαίνει επιτυχία στις επιχειρήσεις. Συνεπώς, σε αυτές τις χώρες όπου δεν είναι κατά βάση χριστιανικές ο αριθμός του διαβόλου θεωρείται τυχερός. Ο πιο πιθανός τυχερός αριθμός του σύμπαντος Όμως ιδιαίτερη θα πρέπει να θεωρείται η σχέση του ανθρώπου με τον αριθμό 7 όσες λέξεις, δηλαδή, είναι και ο τίτλος αυτή της ενότητας. Μάλιστα, δεν αποκλείεται αρκετοί στο τέλος να πειστούν πως το 7 πρόκειται για ΤΟΝ ιερό αριθμό. Ο αριθμός αυτός εμφανίζεται αρκετές φορές στη θρησκεία. Το ιερόγλυφο του Χριστού, που είναι ο συνδυασμός Χ και Ρ, δείχνει το 7 γιατί στην αρχαία Ελλάδα ο αριθμός 600 παρασταινόταν με το γράμμα Χ και ο αριθμός 100 με το γράμμα Ρ. Έτσι Χ+Ρ= =700. Αυτό το σύμβολο παρασταίνει το Χριστό στον Σταυρό. Ο Σταυρός του Γολγοθά συμβολίζεται με έναν ξεδιπλωμένο Κύβο. Αν ανοίξουμε έναν Κύβο δημιουργείται ένας Σταυρός όπου κάθετα έχουμε 4 τετράγωνα και οριζόντια 3 τετράγωνα. Πάνω σε αυτές τις 6 έδρες-τετράγωνα που συμβολίζονται και με το Χ=600 καρφώνεται το Ρ=100, το έβδομο στοιχείο, ο άνθρωπος (το Ρ δείχνει το σώμα του ανθρώπου με το κεφάλι) που μαζί με το Χ μας κάνει

23 Επιπλέον, μπορούμε να παρατηρήσουμε πως: 7 είναι οι Χριστιανικές αρετές: ευσπλαχνία, ταπεινότητα, αγνότητα, φιλαλληλία, επιείκεια, καλοσύνη, εργατικότητα) και αντίστοιχα τόσα τα θανάσιμα αμαρτήματα (υπερηφάνεια, φιλαργυρία, πορνεία, φθόνος, γαστριμαργία, θυμός, ακηδία (αμέλεια) Σύμφωνα με τη Βίβλο, ο Νώε πήρε στην Κιβωτό του 7 ζεύγη από κάθε είδος πτηνών και τόσες ημέρες και νύχτες ταξίδεψε το περιστέρι του Νώε μέχρι να επιστρέψει στην Κιβωτό. 7 τα σημάδια της Αποκάλυψης για την Δευτέρα Παρουσία 7 οι εκκλησίες της Μ. Ασίας που αναφέρονται για την Δευτέρα Παρουσία και έλαβαν τις 7 επιστολές της Εφέσου, της Σμύρνης, του Πέργαμου, τα Θυάτειρας, των Σάρδεων, τη Φιλαδέλφειας και της Λαοδίκειας. 7 χρόνια ειρήνης και παύση πυρός σε όλα τα κράτη υπογράφει ο Αντίχριστος κατά τον Προφήτη Δανιήλ 7 τα επίπεδα του Πύργου της Βαβέλ 7 είναι οι Αρχάγγελοι 7 τα μυστήρια της Εκκλησίας (Θεία Ευχαριστία, Μετάνοια, Γάμος, Ευχέλαιο, Βάπτισμα, Χρίσμα, Ιεροσύνη) Στο Ευχέλαιο ανάβονται 7 κεριά, 7 φορές μυρώνονται, 7 Απόστολοι και 7 Ευαγγέλια διαβάζονται 7 οι Ουρανοί 7 οι λέξεις (λόγοι) που είπε στο Σταυρό ο Χριστός 70 σοφοί μετέφρασαν την Αγία γραφή το 70 π.χ. 7 οι ισχνές και 7 οι παχιές αγελάδες τού Φαραώ 7 τα έτη εφορίας και δυστυχίας της Αιγύπτου 7 οι πληγές του Φαραώ και άλλα τόσα τα στάχυα που ονειρεύτηκε. Το 70 μ.χ. καταστράφηκε η Ιερουσαλήμ 7 οι χάριτες του Αγίου Πνεύματος Ο Ιησούς είναι 77ος απόγονος στο Ευαγγέλιο του Λουκά Το σφαγμένο αρνί με τα 7 κέρατα και τα 7 μάτια στην Αποκάλυψη 7 οι ημέρες της δημιουργίας του κόσμου 1η ήμερα Το Φως 2η ήμερα Ο Παράδεισος 3η ήμερα Η Γη,οι θάλασσες και τα φυτά 4η ήμερα Ο Ήλιος η σελήνη και τα αστέρια 5η ήμερα Η θαλάσσια ζωή και τα πούλια 6η ήμερα Τα ζώα και ο Άνθρωπος 7η ήμερα Ο ΘΕΟΣ αναπαύεται. Ηημέρα αυτή της Δημιουργίας είναι της ανάπαυσης, της αργίας και συμβολίζει την ολοκλήρωση και την τελειότητα! 23

24 7 οι αιτίες τις Ύπαρξης 7 είναι τα θαύματα του Χριστού κατά τον ευαγγελιστή Ιωάννη 7 επίσκοπους έστειλαν στη Ισπανία οι απόστολοι Πέτρος και Παύλος. 7 οι προσευχές του Ιησού κατά τον Λουκά Ο Χριστός δίδαξε να συγχωρούμε όχι μόνο 7 αλλά 77 φορές Τα άμφια στο χριστιανικό ιερατείο είναι 7 και οι Επίσκοποι οφείλουν να φορούν άλλα 7: Σανδάλια, Δαλματική, Πέτο, Μίτρα, Γάντια, Δαχτυλίδι, Ράβδο. Το όνομα του συμβόλου της Χριστιανοσύνης πάνω στο οποίο ο Χριστός νίκησε το θάνατο είναι ο «ΣΤΑΥΡΟΣ» και αποτελείται από 7 γράμματα Και πολλές άλλες αλλά λιγότερο γνωστές αναφορές στον αριθμό 7 μπορούν να εντοπιστούν στα κείμενα και στα έθιμα της εκκλησίας. Όμως και σε αρκετές άλλες θρησκείες παρατηρούνται «συμπτώσεις» με «θύμα» τον αριθμό 7. Ισλάμ Οι Μουσουλμάνοι οφείλουν να επισκέπτονται 7 φορές τη Μέκκα, να κάνουν 7 γύρους γύρω από την πέτρα της Καάβας, να θυσιάζουν 7 κριάρια, να προσεύχονται 7 φορές την ημέρα, να προσκυνούν 7 φορές τους τάφους των συνεργατών του Μωάμεθ και δικαιούνται να έχουν 7 γυναίκες κατά το Κοράνι. 7 οι παράδεισοι του Ισλάμ -7 ζώα υπάρχουν στον παράδεισο κατά τους Μουσουλμάνους -7 είναι οι ουρανοί - 7 οι θάλασσες - 7 οι κύκλοι της κόλασης - 7 οι πόρτες - 7 τα γράμματα του αλφαβήτου που έπεσαν από τον ουρανό - 7 οι λέξεις που αποτελούν το Μουσουλμανικό πιστεύω - 7 φορές διαβάζονται αποσπάσματα από το κοράνι για τις έγκυες γυναίκες που κινδυνεύουν κατά τους Μουσουλμάνους. Εβραίοι Για τους Εβραίους 7 μέρες κρατούσαν οι γιορτές της σκηνοπηγίας, 7 χρόνια διαρκούσε το Σαββατικό έτος και 7 τέτοια έτη αποτελούσαν το Ιωβηλαίο. 7 ιερείς με 7 σάλπιγγες γύριζαν γύρω από την Ιεριχώ για 7 μέρες και την έβδομη έκαναν 7 φορές το γύρω των τειχών της πριν αυτά γκρεμιστούν. 7φωτη ήταν η ιερή λυχνία στο ναό του Σολόμωντα,την 7η μέρα από την γέννηση γινόταν η περιτομή των αγοριών, 7 φορές συγχωρούνταν τα αμαρτήματα(αντίθετα από την Χριστιανική πίστη), στο 7πλάσιο ο κλέφτης αποζημίωνε αυτόν που έβλαπτε.το 7 ήταν το σύμβολο της αρτιότητας και της θείας ευλογίας και περιέχεται στο εθνικό τους σύμβολο και, τέλος, η Γη αλλά και η ιουδαϊκή κόλαση έχουν 7 διαφορετικά ονόματα στην εβραϊκή γλώσσα. Επιπλέον και σε διάφορες άλλες θρησκείες ή, ακόμη, πολιτισμούς ο ιερός αριθμός κατέχει εξέχουσα θέση σε αρκετές αντιλήψεις. Οι Βαβυλώνιοι εκτός από τους εφτά Πλανήτες μετρούσαν: 7 ζευγάρια αστέρια 7 ουρανούς 7 ποτάμια 7 ανέμους 7 μέταλλα 24

25 7 χώματα κλπ. Σύμφωνα με τη διδασκαλία της βουδιστικής θρησκείας ο δρόμος της αγνότητας έχει 7 στάδια: Ορθή διάκριση της αλήθειας από το ψέμα. Ορθό λόγο. Ορθή πράξη. Ορθό τρόπο ζωής. Ορμή για λύτρωση. Ορθό βύθισμα της συνείδησης στις αιώνιες αλήθειες. Ο Κρίσνα, η πιο σημαντική ινδουιστική θεότητα, κρατούσε ένα ραβδί με 7 κόμπους ενώ οι διαλογισμοί του κράτησαν 7 χρόνια. Επίσης, μαζί με τις μαθήτριες του, προσεύχονταν και καθάριζαν την ψυχή τους 7 μέρες. Οι Αιγύπτιοι ταξινομούσαν την ψυχή σε 7 κατηγορίες: Κατ σώμα Μπα - η ψυχή της πνοής Κάμπα - η σκιά Άκου - διάνοια ή αντίληψη Σεμπ - προγονική ψυχή Πουτάχ - ο πρώτος νοητικός πατέρας Άτμου - μια θεία ή αιώνια ψυχή Στην Κίνα το 7 ήταν ο αριθμός του θανάτου και οι μέρες του πένθους 49 (7Χ7). Η σανίδα των 7 Αστεριών ήταν η κάτω σανίδα που αποτελούσε τη βάση του φέρετρου και είχε 7 τρύπες. Φυσικά μπορούν να βρεθούν πάμπολλα παραδείγματα εμφάνισης του αριθμού αυτού στην καθημερινή ζωή των ανθρώπων από την αρχαιότητα έως και σήμερα. Το Πάσχα των μαθηματικών Η εύρεση της ημερομηνίας της Κυριακής του Πάσχα ήταν ανέκαθεν ένας γρίφος, αφού αποτελεί μία από τις κινητές εορτές. Ωστόσο, τα μαθηματικά, για εκείνους που θεωρούν πιο εύκολο να θυμούνται τις παρακάτω πράξεις, καταφέρνουν να επιλύουν αυτό το πρόβλημα. Ο πρίγκιπας, όπως αποκαλείται, των μαθηματικών, ο Carl Friedrich Gauss ( ), είχε βρει τρόπο να υπολογίζει την ημέρα του Πάσχα με απλούς υπολογισμούς, από το έτος 1582 μέχρι και το Πιθανώς και μετά το 2100 να είναι δυνατός ο υπολογισμός της ημέρας του Πάσχα με τον ίδιο ή παρόμοιο τρόπο, κάτι που δυστυχώς είναι μόνο εικασίες και μένει να αποδειχθεί. Η Κυριακή του Πάσχα υπολογίζεται ως εξής: είναι η πρώτη Κυριακή μετά την πρώτη πανσέληνο μετά την εαρινή ισημερία (21 Μαρτίου). Επειδή είναι πολύ δύσκολο να γνωρίζουμε πότε είναι η πανσέληνος, η μέθοδος του Gauss μπορεί να αποβεί πολύ χρήσιμος διότι χρησιμοποιεί πολύ απλές πράξεις. Ο τρόπος με τον οποίο κατέληξε σε αυτό το αποτέλεσμα δε μας είναι γνωστός αλλά χρησιμοποιεί κατάλληλα τα υπόλοιπα διαίρεσης ενός αριθμού α με έναν άλλον β. Αρχικά όρισε για τα έτη από το 1582 μέχρι και το 2099 δυο αριθμούς Μ και Ν όπως φαίνεται παρακάτω: 25

26 Χρόνια Μ Ν Τα βήματα που πρέπει να ακολουθήσει κανείς εάν θέλει να βρει την ημερομηνία του Πάσχα για κάποιο από τα προαναφερθέντα έτη φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Όπως θα φανεί δε μας ενδιαφέρει το πηλίκο της διαίρεσης αλλά το υπόλοιπο που προκύπτει: Αριθμός του έτους διά το 4 Αριθμός του έτους διά το 7 Αριθμός του έτους διά το 19 Υπόλοιπο= a Υπόλοιπο= b Υπόλοιπο= c Υπόλοιπο= d Υπόλοιπο= e 22+d+e= d+e-9= Ημερομηνία του Πάσχα εάν είναι το Μάρτιο Ημερομηνία του Πάσχα εάν είναι τον Απρίλιο Για τους τελευταίους δύο τύπους χρησιμοποιούμε αυτόν που δίνει ένα δυνατό αποτέλεσμα γιατί ο Μάρτιος έχει μόνο 31 μέρες. Και αν κανείς έχει ακόμη αμφιβολίες αν ισχύει αρκεί να ελέγξει, για παράδειγμα, πότε πέφτει το Πάσχα φέτος. Κάνοντας τις πράξεις βρίσκουμε a=2, b=5, c=0, d=24 και e=5. Τέλος, χρησιμοποιώντας τον δεύτερο τύπο( ο πρώτος δε βγάζει δυνατό αποτέλεσμα) έχουμε πως το Πάσχα πέφτει στις 20 Απριλίου. Για όποιον ίσως δεν το γνωρίζει αυτή είναι όντως η πραγματική ημερομηνία του Πάσχα για το έτος 2014!! Συνεπώς, για εκείνους τους προληπτικούς ή ακόμη αυτούς που πιστεύουν πως τίποτε δεν είναι τυχαίο, δύο αριθμοί κυριαρχούν στη θρησκεία όχι μόνο στον Χριστιανισμό αλλά και σε ολόκληρο τον κόσμο, στη λατρευτική και στην καθημερινή ζωή από την αρχαιότητα έως τώρα: το 6(και κατά συνέπεια το 666) και το 7. Τέλος, οι αριθμοί συνδέονται ακόμη και με την ακριβή ημερομηνία του Πάσχα γεγονός που μας υποδεικνύει το ευρύ φάσμα των τομέων που αλληλεπιδρούν με τους αριθμούς και τα μαθηματικά. 26

27 Τα μαθηματικά στις επιστήμες Επιμέλεια: Μπάστας Πάνος, Παναγιωτάκη Σοφία Όπως είπαμε, οι αριθμοί χρησιμοποιούνται καθημερινά σε ό,τι και αν κάνουμε και όπου και αν βρισκόμαστε. Εκτενής είναι όμως η χρήση τους και στις επιστήμες όχι μόνο τις θετικές αλλά και τις θεωρητικές. Από τα παλαιά χρόνια οι άνθρωποι βασίζονταν στα μαθηματικά από το να επιλύουν τα καθημερινά προβλήματά τους, όπως η χαρτογράφηση των χωραφιών στην αρχαία Αίγυπτο μέσω των αστέρων στον ουρανό,μέχρι και τη φιλοσοφία. Από τη φυσική, τη χημεία, την πληροφορική, την αστρονομία, την ψυχολογία, την ιατρική, τη μετεωρολογία και τη φιλοσοφία συναντάμε αριθμούς. Δεν μπορούμε να το αμφισβητήσουμε αυτό. Ας δούμε λοιπόν που χρησιμοποιούνται. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ Ξεκινώντας από τα παλαιά χρόνια, χωρίς γεωμετρικές γνώσεις οι Αιγύπτιοι δε θα μπορούσαν να δημιουργήσουν τις εντυπωσιακές πυραμίδες που γνωρίζουμε όλοι σήμερα. Επίσης, οι Σουμέριοι και οι Βαβυλώνιοι είχαν σημαντική πρόοδο στα μαθηματικά και στην αστρονομία. Αυτές οι ανακαλύψεις έχουν πια γίνει μέρος της καθημερινότητας μας, χωρίς εμείς να το γνωρίζουμε ή να μπορούμε να το εξηγήσουμε. Μία τέτοια ανακάλυψη των λαών της Μεσοποταμίας είναι η δημιουργία του συστήματος μέτρησης χρόνου: ώρες, λεπτά, δευτερόλεπτα Μέχρι το 1800 π.χ. ( οι Σουμέριοι και οι Βαβυλώνιοι) είχαν αναπτύξει αυτό το αριθμητικό σύστημα με βάση το 60 το όποιο μέχρι και σήμερα το χρησιμοποιούμε όπως προαναφέρθηκε για να ορίσουμε την ώρα. Γιατί επέλεξαν όμως το 60; Η απάντηση είναι ότι οι διαιρέτες του που είναι οι αριθμοί 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 είναι αρκετοί με αποτέλεσμα να μην είναι απαραίτητο να κάνουμε υπολογισμούς με κλάσματα πράγμα που την εποχή εκείνη δεν είχαν οριστεί. Έτσι λοιπόν αυτός ο αριθμός συνδέεται, όσο παράξενο και αν φαίνεται, με τη λειτουργία του ηλιακού συστήματος. Δεν είναι τυχαίο ότι ο κύκλος χωρίζεται σε 360 μοίρες και η γη θέλει 365 μέρες να εκτελέσει ένα πλήρη κύκλο, δηλαδή γυρίζει περίπου μια μοίρα τη μέρα.οι αστρονόμοι της Μεσοποτάμιας ανακάλυψαν ότι εκτός από τον ήλιο και τη σελήνη υπάρχουν άλλοι πέντε ακόμα αστέρες που αλλάζουν τη θέση τους σε σχέση με τους υπόλοιπους «απλανείς» ( ακινήτους ) πλάνητες.αυτοί οι πέντε πλάνητες ονομαστήκαν με βάση τους θεούς Ερμής, Αφροδίτη, Άρης,Δίας και Κρόνος,συν τους άλλους (Σελήνη και Ήλιο ) γίνονται επτά, εξηγώντας το γιατί ορίστηκε η εβδομάδα να αποτελείται από επτά ημέρες, αφού κάθε πλανήτης «κυβερνά» από μια μέρα. Οι επτά πλάνητες εκτελούν συγκεκριμένες τροχιές στον ουρανό, οι οποίες περνούν από συγκεκριμένες ομάδες αστέρων οι οποίες ονομαστήκαν από τους αρχαίους έλληνες «ζωδιακός κύκλος». Ο ζωδιακός αυτός κύκλος αποτελείται από δώδεκα αστερισμούς. Ο ήλιος παραμένει ένα μηνά περίπου σε κάθε αστερισμό και με αυτόν τον τρόπο παλαιοτέρα υπολόγιζαν με σχετική ακρίβεια τις τροχιές των πλανητών. Αυτό είχε ως αποτέλεσμα να μπορούν να προβλέπουν τη μελλοντική θέση των πλανητών. Ενδεχομένως εάν υποθέσουμε ότι κάθε πλανήτης είναι ένας μήνας, τότε ο ήλιος μέσα σε ένα χρόνο θα περάσει από όλους τους αστερισμούς. 27

28 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Λέγεται πως στην αρχαία Αθήνα, στο υπέρθυρο του κτιρίου της Σχολής που δημιούργησε ο Πλάτωνας το 387 π.χ. υπήρχε η επιγραφή: «Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω μου την στέγην» το όποιο σήμαινε ότι σε κανέναν που δε γνωρίζει γεωμετρία (μαθηματικά ) δεν επιτρέπεται να φοιτήσει στην ακαδημία. Το παραπάνω, σε συνδυασμό με τη φράση του Τσεχοσλοβάκου μαθηματικού, φιλόσοφου και θεολόγου Bernard Bolzano ένας αδύναμος μαθηματικός δε θα γίνει ποτέ ένας δυνατός φιλόσοφος, μας κινεί την περιέργεια να ελέγξουμε μήπως τα μαθηματικά (συν)υπάρχουν μέσα στη φιλοσοφία. Οι δύο αυτές επιστήμες ανήκουν σε ξεχωριστούς τομείς, τα μαθηματικά τις θετικές επιστήμες ενώ η φιλοσοφία αφορά περισσότερο τις θεωρητικές. Παρά τις διαφορές τους, παρουσιάζουν και μερικές ομοιότητες. Το νόημα του Κόσμου, η αξία της ζωής, η ουσία της ψυχής, η ύλη,το πνεύμα, τα πάντα ερευνώνται από τη φιλοσοφία. Είναι κάτι το παροδικό και το αιώνιο. Παρομοίως λέγεται πως και τα μαθηματικά είναι σε θέση να χρησιμοποιούνται για να ερμηνεύουν έγκυρα τον κόσμο μέσα στον οποίο βρισκόμαστε. Ολόκληρο το Σύμπαν υπακούει σε αυστηρούς μαθηματικούς νόμους, αυτοί οι νόμοι υπήρχαν, υπάρχουν και θα υπάρχουν, ανεξάρτητα από την ύπαρξη του Σύμπαντος και του ανθρώπου. Έτσι και τα μαθηματικά αντιπροσωπεύουν κάτι το αιώνιο, όπως και η φιλοσοφία. Για παράδειγμα, όταν δε θα υπάρχουμε πια, όταν ο πλανήτης Γη δε θα υπάρχει πια, όταν το ηλιακό μας σύστημα δε θα υπάρχει πια, όταν ο γαλαξίας μας δε θα υπάρχει πια, όταν το Σύμπαν δε θα υπάρχει πια, το Πυθαγόρειο θεώρημα θα συνεχίζει να υπάρχει μέσα στο σύμπαν, ασχέτως αν κάνεις δε θα το γνωρίζει. Είναι σκόπιμο να τονιστεί ότι καθημερινά ανακαλύπτουμε νέους νόμους της φύσης και πως κάποτε ούτε η ανθρωπότητα δεν ήξερε το Πυθαγόρειο θεώρημα. Δεν έπαυε,όμως, το ίδιο να ισχύει και να απαντάται στη φύση. Μια ακόμα απόδειξη της άμεσης σύνδεσης των μαθηματικών με τη φιλοσοφία δίνεται από το παράδειγμα του Γερμανού Φιλόσοφου Φρίντριχ Νίτσε ο οποίος μελετούσε προσεκτικά την πορεία των φυσικών επιστημών της εποχής του ώστε οι φιλοσοφικές του ιδέες να έχουν επιστημονικό υπόβαθρο. Πράγματι, δεν είναι σύμπτωση ότι πολλοί μεγάλοι φιλόσοφοι ήταν συγχρόνως και μεγάλοι μαθηματικοί. Ένας φιλόσοφος μελετά τη βαθύτερη έννοια της φύσης όπου πέρα από τις περίπλοκες σκέψεις και την εξαπάτηση των αισθήσεων κρύβεται μια σταθερά και αυτή είναι ο νόμος των μαθηματικών. Αρκετές ρήσεις τέτοιων επιφανών μαθηματικών-φιλοσόφων, αποδεικνύουν πως ένας μεγάλος αριθμός διανοούμενων κατανοεί και βλέπει τη σύνδεση των μαθηματικών με τη φιλοσοφία. Εγώ δεν συμφωνώ με τα μαθηματικά. Το άθροισμα πολλών μηδενικών είναι ένας επικίνδυνος αριθμός. (Stanislaw Jerzy Lec, , Πολωνός γνωμικογράφος) Ένα δυνατό μυαλό στα είκοσι του χρόνια μπορεί να ασχολείται με τα μαθηματικά, στα τριάντα με τη φιλοσοφία και στα σαράντα με την πολιτική. (Bertrand Russell, , Βρετανός φιλόσοφος) Φτασμένες οι προλήψεις σε μια καθαρότητα μαθηματική, μας οδηγούν στη βαθύτερη γνώση του κόσμου. (Οδυσσέας Ελύτης, , Ποιητής, Νόμπελ 1979) Ο μαθηματικός είναι ένας τυφλός σε ένα σκοτεινό δωμάτιο που ψάχνει για μια μαύρη γάτα που δεν είναι εκεί. (Κάρολος Δαρβίνος, , Βρετανός φυσιοδίφης) 28

29 Τα μαθηματικά είναι η τέχνη που μπορείς να δώσεις το ίδιο όνομα σε διαφορετικά πράγματα. (Ανρί Πουανκαρέ, , Γάλλος Μαθηματικός) Αν δεν μπορεί να εκφραστεί με αριθμούς, δεν είναι επιστήμη, είναι γνώμη. (Robert Heinlein, , Αμερικανός συγγραφέας επιστ. φαντασίας) Τελικά, αντιστρέφοντας την φράση του Bernard Bolzano «ένας αδύναμος μαθηματικός δε θα γίνει ποτέ ένας δυνατός φιλόσοφος» που ήδη αναφέραμε σε «ένας αδύναμος φιλόσοφος δε θα γίνει ποτέ ένας δυνατός μαθηματικός», δημιουργείται το ερώτημα «φιλοσοφία στα μαθηματικά ή μαθηματικά στη φιλοσοφία;». ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΗ Σε συνέχεια με τα μαθηματικά στη φιλοσοφία, αφού η λογική υπάγεται στη φιλοσοφία κατά μία ευρεία έννοια, η λογική ελέγχεται από αξιώματα και κανόνες που έχουν καθοριστεί πολύ καιρό πριν και βασίζεται στον τρόπο με τον οποίο εμείς οι άνθρωποι σκεφτόμαστε, ακολουθώντας μαθηματικές μεθοδολογίες, κανόνες και αξιώματα. Η λογική είναι θεμελιωμένη στην παράθεση και στην επαλήθευση των μαθηματικών αποτελεσμάτων αλλά δεν αρκεί για την παράγωγη τους, πρόβλημα που έρχεται να επιλύσει η μαθηματική δημιουργία, η οποία υπερβαίνει τη λογική και συμβάλλει στην πρόοδο αυτού του τομέα. Ένα χαρακτηριστικό θεώρημα είναι το εξής : «Κάθε δύναμη του δυο είναι άρτια» Ένα παρόμοιο αποτέλεσμα λοιπόν μπορεί να είναι λογικό αλλά είναι τόσο προφανές (πχ 2*2 =4) που δε προκύπτει κάτι καινούριο, κάτι δημιουργικό. Η ίδια εφαρμογή της λογικής για την παράγωγη νέων αληθινών αποτελεσμάτων δεν αποτελεί δημιουργική δραστηριότητα. Δηλαδή εφαρμόζοντας τη λογική προκειμένου να παραχθεί κάτι καινούριο δε σημαίνει ότι κάνουμε κάτι δημιουργικό. Ακόμη και ένας υπολογιστής μπορεί να το κάνει αυτό. Μια δημιουργική πράξη απαντά σε ερωτήσεις και ενδιαφέροντα που έχουν διαμορφωθεί εντός ενός πλαισίου που δεν το διαθέτουν οι μηχανές. Οι μηχανές δε διατυπώνουν κάτι καινούριο, αυτό είναι δουλειά του ανθρώπου. Η λογική είναι βιομηχανική και λειτούργει σα μια αλυσίδα συναρμολόγησης προγραμματισμένη να εκτελεί κάποιο συγκεκριμένο σκοπό. Τα μαθηματικά αντιθέτως δεν είναι έτσι. Παράλληλα υπάρχουν ανθρώπινα θεωρήματα που ίσως μια μηχανή να μην τα έβρισκε ποτέ, δεν απαιτούμε από τον υπολογιστή μας να ανακαλύψει το Πυθαγόρειο θεώρημα ή βασικούς νόμους της Φυσικής. Η λογική βεβαία είναι εκείνη που μας οδηγεί στα δύσκολα παραδεκτά αποτελέσματα. Αν σκεφτούμε ότι λίγο επί λίγο (ή x*x=x²τετράγωνο) μας κάνει έναν μεγάλο αριθμό ή έναν μικρότερο αριθμό, τότε είμαστε πιστοί όχι στη λογική αλλά και στον ίδιο μας τον εαυτό αφού η ίδια μας η σκέψη δημιούργησε αυτή τη λογική. Ας δούμε και ένα παράδειγμα πιο κοντά στην πραγματικότητα: Έστω L το μήκος ενός τμήματος που θέλουμε να διαιρέσουμε σε τρία μέρη (για παράδειγμα αν θέλουμε να χωρίσουμε ένα χώρο στα τρία). Κάνοντας μια πρώτη οπτική εκτίμηση που θεωρούμε ότι είναι το 1/3 του τμήματος σημαδεύουμε επάνω στο αρχικό τμήμα τρία διαδοχικά σημεία αντίστοιχα του μήκους. 29

30 Αν το τελευταίο σημάδι συμπίπτει με το άκρο του τμήματος η διαίρεση είναι σωστή άρα το χωράει ακριβώς 3 φορές μέσα στο τμήμα. Άμα όμως δε χωράει ακριβώς, τότε θα πρέπει το σφάλμα Ε να διορθωθεί. Πως θα γίνει αυτό; Αναζητώντας απλά το 1/3 του Ε η αλλιώς το τριμόριο του και προσθέτοντας ή αφαιρώντας το από την πρώτη εκτίμηση που κάναμε, το. Έτσι σχηματίζουμε μια νέα εκτίμηση την α2=α1+ε/3. Ένα συμπέρασμα τελείως λογικό, αλλά βασίζεται απόλυτα στα μαθηματικά. Δίχως αυτά δε θα είχε βρεθεί και θα μας ταλαιπωρούσε πολύ στις καθημερινές μας ασχολίες που θεωρούμε δεδομένες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΕΤΕΩΡΟΛΟΓΙΑ Σε οποιαδήποτε μετεωρολογική υπηρεσία είναι απαραίτητη η ύπαρξη μετεωρολογικών σταθμών και συστημάτων παρατήρησης, αφού για την σωστή πρόγνωση απαιτείται η σωστή παρατήρηση. Ωστόσο, στη διαδικασία της πρόγνωσης εμπλέκονται και άλλοι παράμετροι όπως η ισχύς των υπερυπολογιστικών συστημάτων που αναλαμβάνουν το έργο της επίλυσης εξισώσεων που αποτελούν τα αριθμητικά μοντέλα πρόγνωσης, όπως και η ικανότητα των μετεωρολόγων να ερμηνεύουν τα αποτελέσματα. Οι μετεωρολογικοί σταθμοί επιφανείας είναι εξοπλισμένοι με τα πιο σύγχρονα όργανα ενώ τοποθετούνται και αυτόματοι μετεωρολογικοί σταθμοί σε σημεία του πλανήτη όπου η παρουσία του ανθρώπου είναι δύσκολη. Τα τελευταία χρόνια, χρησιμοποιούνται τα πολιτικά αεροσκάφη για να πραγματοποιηθεί η παρατήρηση. Τα μετεωρολογικά ραντάρ Μετεωρολογικός σταθμός επιφάνειας χρησιμοποιούν την τεχνολογία Doppler, προκειμένου να δώσουν ακριβείς πληροφορίες για το είδος των νεφικών συστημάτων, τον υετό, την πτώση, δηλαδή, προϊόντων του νερού τα οποία προέρχονται από συμπύκνωση των υδρατμών της ατμόσφαιρας, και την βραχυπρόθεσμη προβολή στο μέλλον της κίνησης αυτών. Οι μετεωρολογικοί δορυφόροι παρέχουν κάθε 15 λεπτά φωτογραφίες που η διακριτική τους ικανότητα φτάνει το 1*1000 m και μετρούν αρκετές παραμέτρους όπως τον άνεμο, τη θερμοκρασία, την υγρασία και το ύψος κύματος με ακρίβεια 0,5 μέτρου. Εξοπλισμός τοποθετείται πλέον και στα πλοία, όπου εκτελούνται παρατηρήσεις ανώτερης ατμόσφαιρας για τις οποίες χρειάζεται να αφιερωθεί αρκετός χρόνος. Πλωτός μετεωρολογικός σταθμός Υπάρχουν επίσης σταθμοί που είναι πλωτοί (buoys) οι οποίοι είναι είτε αγκυροβολημένοι (moored), είτε παρασυρόμενοι (drifting) και αριθμούν τους 251 και 1250 αντίστοιχα. 30

31 Μόλις γίνει η συλλογή των παρατηρήσεων μεγάλες υπολογιστικές μηχανές αναλαμβάνουν να τις επεξεργαστούν. Στις μηχανές αυτές υπάρχουν πολύπλοκα μαθηματικά συστήματα διαφορικών εξισώσεων. Μερικές από αυτές τις μηχανές έχουν ταχύτητες επεξεργασίας που φτάνουν τα 5Teraflop (5*1012Flop) (FLoating-point Operations Per Second (υπολογισμοί κινητής υποδιαστολής ανά δευτερόλεπτο)). Τα αποτελέσματά τους είναι υπό μορφή χαρτών και διαγραμμάτων, τα οποία μεταφράζουν οι μετεωρολόγοι. Το μαθηματικόφυσικό κομμάτι της πρόγνωσης έγκειται στην επίλυση συγκεκριμένων μαθηματικών εξισώσεων, σε ένα τεράστιο πλήθος σημείων πλέγματος σε συγκεκριμένα ύψη στην τροπόσφαιρα. Τα αποτελέσματα αυτού του μαθηματικού-φυσικού προβλήματος ονομάζονται προϊόντα αριθμητικής πρόγνωσης καιρού NWP. Τα προϊόντα αυτά παράγονται σε γραφική μορφή και έχουν χρόνο πρόγνωσης μέχρι και 10 μέρες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΙΑΤΡΙΚΗ Τα μαθηματικά, η βασική γλώσσα της επιστήμης, όχι μόνο αποτελούν το θεμέλιο της Φυσικής, αλλά είχαν και έχουν σημαντική προσφορά στην γενικότερη επιστημονική πρόοδο. Όσον αφορά στην Ιατρική, τα Μαθηματικά τής προσέφεραν την εξαιρετικά χρήσιμη τεχνική της Στατιστικής. Ας δούμε και μία πιο ειδική περίπτωση. Η λειτουργία της καρδιάς να αντλεί αίμα μπορεί να φαίνεται αρκετά απλή υπόθεση, αλλά ο βασικός μηχανισμός και τα ηλεκτρικά ερεθίσματα που διατηρούν ένα υγιές ρυθμό είναι εξαιρετικά πολύπλοκα. Πολλές περιοχές των μαθηματικών συμπεριλαμβανομένων των διαφορικών εξισώσεων, δυναμικά συστήματα και τοπολογικά μοντέλα έχουν βοηθήσει στην κατανόηση της ηλεκτρικής συμπεριφοράς των καρδιακών κυττάρων, τις συνδέσεις μεταξύ των κυττάρων και τη συνολική γεωμετρία της καρδιάς. Οι ερευνητές στοχεύουν στην κατανόηση της φυσιολογικής λειτουργίας της καρδιάς, καθώς και να μάθουν πώς να διαγνώσουν την έναρξη των ανωμαλιών και τη διόρθωσή τους. Δεν υπάρχει ένας μόνο απρόβλεπτος παράγοντας, ο οποίος να είναι υπεύθυνος για ό,τι μπορεί να πηγαίνει στραβά στο ρυθμό της καρδιάς. Ένας υγιής κτύπος της καρδιάς είναι κάτι το χαοτικό και καθόλου απλό. Όσο όμως η καρδιακή λειτουργία μειώνεται, καθώς οι άνθρωποι γερνούν, οι καρδιακοί κτύποι γίνονται όλο και πιο απλοί. Σε ένα άρθρο τον Απρίλιο του 2011 ο John W. Cain, ένας μαθηματικός του Πανεπιστημίου της Virginia, παρουσιάζει μια έρευνα των έξι συνεχών προβλημάτων στη μαθηματική καρδιολογία. Το άρθρο του Κάιν ασχολείται με την καρδιακή ηλεκτροφυσιολογία, επειδή μερικά από τα πιο συναρπαστικά ερευνητικά προβλήματα στη μαθηματική καρδιολογία περιλαμβάνουν διαδόσεις ηλεκτρικών κυμάτων στον ιστό της καρδιάς. Σε κάποια στιγμή στη ζωή μας, πολλοί από εμάς θα υποβληθούμε σε ηλεκτροκαρδιογράφημα (ΗΚΓ), μια καταγραφή της ηλεκτρικής δραστηριότητας στην καρδιά. Για να καταλάβετε από πού προέρχονται αυτά τα μικροσκοπικά ηλεκτρικά ρεύματα, πρέπει να μεγεθύνετε το μοριακό επίπεδο. Σωματικά υγρά, όπως το αίμα, περιέχουν θετικά φορτισμένα ιόντα. Όταν αυτά τα ιόντα διαπερνούν τις κυτταρικές μεμβράνες προκαλούν ηλεκτρικά ρεύματα, τα οποία με τη σειρά τους προκαλούν αλλαγές στην τάση, πέρα από τη μεμβράνη. Εάν ένα αρκετά ισχυρό ρεύμα ερεθίσματος εφαρμόζεται σε αρκετά καλά ξεκούραστα κύτταρα, τότε το κύτταρο εμφανίζει 31

32 ένα δυναμικό ενέργειας V ξαφνικά και παραμένει σε υψηλά επίπεδα για μεγάλο χρονικό διάστημα. Αυτά τα δυναμικά ενέργειας διέπουν τους κτύπους της καρδιάς και, επομένως, είναι ζωτικής σημασίας για την κατανόηση και αντιμετώπιση των διαταραχών όπως η αρρυθμία (ανωμαλίες στον καρδιακό ρυθμό), και ιδίως ταχυκαρδία (γρηγορότερα από το κανονικό καρδιακό ρυθμό). Λαμβάνοντας ως σημείο εκκίνησης το βραβευμένο με Νόμπελ έργο του Hodgkin και Huxley, οι ερευνητές έχουν δημιουργήσει μαθηματικά μοντέλα του καρδιακού δυναμικού από την προβολή της κυτταρικής μεμβράνης ως ένα ηλεκτρικό κύκλωμα. Μια σημαντική πρόκληση που προσδιορίζει ο Cain είναι η επίτευξη ισορροπίας μεταξύ πραγματοποιήσιμου και πολυπλοκότητας: την ελαχιστοποίηση των επιπλοκών στο μοντέλο, έτσι ώστε να μπορεί να αποτελέσει αντικείμενο μαθηματικής ανάλυσης, αλλά και να προσθέτουν επαρκείς λεπτομέρειες, έτσι ώστε το μοντέλο να αναπαράγει τόσο καλά κλινικά δεδομένα όσο είναι δυνατό. Οι εξισώσεις που διέπουν το μοντέλο - μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις - δεν μπορεί να λυθούν ρητά, και οι λύσεις πρέπει να λαμβάνονται μέσω της προσέγγισης με αριθμητικές μεθόδους. Η προσθήκη περαιτέρω παραμέτρων είναι η περίπλοκη γεωμετρία της καρδιάς, με τέσσερις θαλάμους και συνδέσεις με τις φλέβες και τις αρτηρίες, καθώς και το γεγονός ότι οι διαφορετικοί τύποι του καρδιακού ιστού έχουν διαφορετικές ιδιότητες και αγωγιμότητα. Ο Cain συνεχίζει να συζητά διάφορα καρδιακά φαινόμενα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν τα μαθηματικά για την περιγραφή τους. Ένα παράδειγμα είναι ο καρδιακός ρυθμός : Η τακτική και συντονισμένη συστολή του καρδιακού μυός που αντλεί αίμα σε όλο το σώμα. Η βελτίωση της κατανόησης και η αντιμετώπιση των ανωμαλιών του ρυθμού είναι ζωτικής σημασίας στον αγώνα κατά της καρδιακής νόσου. Μια υγιής καρδιά δεν χτυπά σε ένα τέλεια κανονικό σχέδιο; Το αυτόνομο νευρικό σύστημα του σώματος χρησιμοποιεί νευροδιαβιβαστές για να επιταχύνει ή να επιβραδύνει την καρδιά, και οι μικροσκοπικές διακυμάνσεις σε αυτές τις ουσίες προκαλούν μεταβλητότητα στα μεσοδιαστήματα μεταξύ των διαδοχικών παλμών. Το διάστημα RR είναι το διάστημα μεταξύ δύο διαδοχικών καρδιακών παλμών και μετριέται σε ένα ηλεκτροκαρδιογράφημα. Οι προσπάθειες να ποσοτικοποιηθεί η μεταβλητότητα του καρδιακού ρυθμού (HRV) συνήθως περιλαμβάνει ανάλυση χρονοσειρών RR διαστήματα. Δυστυχώς, μερικοί τρόποι για την ανάλυση RR χρονοσειρών δίνουν τα ίδια αποτελέσματα για τους ασθενείς με υγιή καρδιά και για τα άτομα με θανατηφόρες καρδιακές ανωμαλίες. Μία πρόκληση για τους μαθηματικούς και στατιστικολόγους είναι να επινοηθούν οι ποσοτικές μέθοδοι για τη διάκριση μεταξύ των χρονοσειρών RR των ατόμων με υγιή καρδιά και οι χρονοσειρές RR αυτών με καρδιακές παθήσεις. Ο Cain αναρωτιέται αν μπορεί κάποιες παθήσεις να διαγνωστούν μόνο με την ανάλυση των χρονοσειρών RR και, εάν ναι, ποιες; Για να επισημάνουν τις διαφορετικές παθολογίες, οι μέθοδοι είναι απαραίτητες για την ποσοτικοποίηση της «κανονικότητας» του καρδιακού ρυθμού. Επίσης, δεδομένης της υφιστάμενης σειράς διαγνωστικών εξετάσεων που οι κλινικοί γιατροί έχουν στη διάθεσή τους, θα μπορούσαν να υπάρξουν πλεονεκτήματα από τη χρήση των "αυτόματων" μαθηματικών / στατιστικών μεθόδων. 32

33 ΧΡΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΟΥΣ ΤΟΜΟΓΡΑΦΟΥΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ Ο ΑΞΟΝΙΚΟΣ ΤΟΜΟΓΡΑΦΟΣ Πριν από όλα, τα Μαθηματικά είναι απαραίτητα για την κουλτούρα μας. Όπως η επίσκεψη ενός παιδιού σε μια έκθεση ζωγραφικής εκλεπτύνει την αισθητική του, ανάλογα και η ενασχόλησή του με τα Μαθηματικά αναπτύσσει την έμφυτη ικανότητά του να σκέφτεται λογικά. Συγχρόνως, τα Μαθηματικά δημιουργούν τις πιο πολύπλοκες τεχνικές που είναι απαραίτητες για την κατανόηση του χειροπιαστού κόσμου που μας περιβάλλει. Για παράδειγμα, ο Α. Cormack, ο φυσικομαθηματικός που ανακάλυψε τον αξονικό τομογράφο, είπε στην ομιλία του, όταν του απενεμήθη το Βραβείο Nobel το 1979: "Ήταν προφανές ότι το πρόβλημα του αξονικού τομογράφου ήταν καθαρά ένα μαθηματικό πρόβλημα". Ο αξονικός τομογράφος και αργότερα ο μαγνητικός τομογράφος (για την ανακάλυψη του οποίου δόθηκε Βραβείο Nobel στον sir Peter Mansfield το 2003), έφεραν πραγματική επανάσταση στη Νευρολογία ειδικά και σε ολόκληρη την Ιατρική γενικότερα. Παρ' όλα αυτά, και οι δύο αυτές καταπληκτικές τεχνικές αδυνατούν να απεικονίσουν τη λειτουργία του εγκεφάλου. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΤΟΜΟΓΡΑΦΟ ΕΚΠΟΜΠΗΣ ΠΟΖΙΤΡΟΝΙΩΝ Στο Κέντρο Εφαρμοσμένων και Θεωρητικών Μαθηματικών (ΚΕΘΕΜ) έχουν εστιάσει το ενδιαφέρον τους σε μια άλλη προσφορά των Μαθηματικών στην Ιατρική: στο ρόλο τους στις ιατρικές απεικονίσεις, μέσω του τομογράφου εκπομπής ποζιτρονίων Η μελέτη συγκεκριμένων νοητικών διεργασιών απαιτεί την μελέτη in vivo συγκεκριμένων νευρικών κυκλωμάτων. Οι πρόσφατες απεικονιστικές τεχνικές του λειτουργικού Μαγνητικού Τομογράφου (CT), του Τομογράφου Εκπομπής Ποζιτρονίων (PET) και του Τομογράφου Εκπομπής Φωτονίων (SPECT), μας παρέχουν την δυνατότητα να εντοπίζουμε την ενεργοποίηση συγκεκριμένων εγκεφαλικών περιοχών in vivo με ολοένα και μεγαλύτερη ακρίβεια. Είναι σημαντικό να τονίσουμε ότι αυτές οι νέες απεικονιστικές τεχνικές δεν έχουν μόνο επιπτώσεις στη μελέτη της λειτουργίας του εγκεφάλου, αλλά είναι και εξαιρετικά χρήσιμες σε πολλές περιοχές της ιατρικής, ιδιαίτερα στην ογκολογία, στην καρδιολογία και στην ψυχιατρική. Για μελέτες με PET, δίδεται ενδοφλεβίως η ουσία FDG, η οποία είναι γλυκόζη συνδεδεμένη με ραδιενεργό φθόριο. Το φθόριο υπόκειται σε ραδιενεργό διάσπαση και τελικά απελευθερώνει ενέργεια σε μορφή ακτινών γ την οποία καταγράφει ο σαρωτής του PET. Αυτό οδηγεί στην ακόλουθη μαθηματική εξίσωση: Το Ι παρέχεται από τις μετρήσεις του σαρωτή και το f (ο λεγόμενος συντελεστής απόσβεσης ακτινών x) υπολογίζεται με αξονικό τομογράφο. Το ζητούμενο είναι να βρεθεί το g, δηλαδή η κατανομή του φθορίου και κατά συνέπεια της γλυκόζης. Οι περιοχές που είναι περισσότερο ενεργοποιημένες καταναλώνουν περισσότερη γλυκόζη και έτσι ο υπολογισμός του g αποτελεί έμμεσο υπολογισμό ενεργοποίησης. 33

34 Ο άγνωστος g εμφανίζεται ως ολοκλήρωμα επάνω στο ευθύγραμμο τμήμα L. Το μαθηματικό πρόβλημα συνίσταται στην εύρεση μιας συνάρτησης g από την γνώση του ολοκληρώματός της κατά μήκος του L. Το πρόβλημα αυτό ανήκει σε μια μεγάλη κατηγορία μαθηματικών προβλημάτων τα οποία ονομάζονται «αντίστροφα προβλήματα». Το συγκεκριμένο αντίστροφο πρόβλημα είναι το ίδιο με αυτό που εμφανίζεται ως προς τον αξονικό τομογράφο. Αντιθέτως, το σχετικό αντίστροφο πρόβλημα ως προς SPECT είναι πολύ πιο δύσκολο και η αναλυτική του λύση κατασκευάσθηκε προσφάτως, με την χρησιμοποίηση μιας ανάλογης μαθηματικής μεθόδου. Επομένως, τα μαθηματικά κρύβονται, σχεδόν, πίσω από κάθε ερεύνα και διεργασία στον τομέα της Ιατρικής από την στιγμή που απαιτεί τη χρήση αλγορίθμων. Αλγόριθμοι Οι αλγόριθμοι, επομένως, παίζουν καθοριστικό ρόλο στη σύνδεση των μαθηματικών με τις επιστήμες. Όμως δημιουργείται ένα ερώτημα: τι ακριβώς είναι οι αλγόριθμοι για τους οποίους κάνουμε συνεχώς λόγο; Η λέξη αλγόριθμος προέρχεται από μία μελέτη ενός Πέρση μαθηματικού, του Αλ Χουαρίζμι τον 8ο αιώνα μ.χ., η οποία περιείχε συστηματικές τυποποιημένες λύσεις αλγεβρικών προβλημάτων και αποτελεί την πρώτη πλήρη πραγματεία άλγεβρας. Έτσι, ο αλγόριθμος καθιερώθηκε σταδιακά τα επόμενα χίλια χρόνια ως μία «συστηματική διαδικασία αριθμητικών χειρισμών». Τη σημερινή της σημασία την οφείλει στη γρήγορη ανάπτυξη των ηλεκτρονικών υπολογιστών στα μέσα του 20ου αιώνα. Πλέον μπορούμε να πούμε ότι αλγόριθμος είναι μία σειρά από εντολές που έχουν αρχή και τέλος, είναι σαφείς και εκτελέσιμες και σκοπό έχουν την επίλυση κάποιου προβλήματος. Η έννοια του αλγορίθμου γίνεται ευκολότερα αντιληπτή με το παρακάτω παράδειγμα. Αν κάποιος επιθυμεί να γευματίσει θα πρέπει να εκτελέσει κάποια συγκεκριμένα βήματα: να συγκεντρώσει τα υλικά, να προετοιμάσει τα σκεύη μαγειρικής, να παρασκευάσει το φαγητό, να στρώσει το τραπέζι, να ετοιμάσει τη σαλάτα, να γευματίσει, να καθαρίσει το Παράδειγμα αλγορίθμου τραπέζι και να πλύνει τα πιάτα. Προφανώς, η προηγούμενη αλληλουχία οδηγεί στο επιθυμητό αποτέλεσμα. Δεν είναι όμως η μοναδική για την επίτευξη του σκοπού, αφού μπορεί να αλλάξει η σειρά των βημάτων (π.χ. πρώτα να ετοιμάσει τη σαλάτα και μετά να στρώσει το τραπέζι). Ωστόσο το νόημα είναι πως η κατάτμηση μιας σύνθετης εργασίας σε διακριτά βήματα που εκτελούνται διαδοχικά, είναι ο πιο πρακτικός τρόπος επίλυσης πολλών προβλημάτων. Μία ακόμη ερώτηση είναι πού αλλού μπορούμε να τους χρησιμοποιήσουμε, εκτός από την Ιατρική που μόλις είδαμε; 34

35 Ερευνητές του Πανεπιστημίου της California δημιούργησαν μια σειρά αλγορίθμων με σκοπό να επιταχύνουν τη διαδικασία φόρτισης των μπαταριών λιθίου μέχρι και δύο φορές, μειώνοντας παράλληλα το κόστος παραγωγής κατά 25%. Οι νέοι αλγόριθμοι εντοπίζουν που ακριβώς βρίσκονται τα ιόντα λιθίου και καθιστούν τη φόρτιση πιο αποδοτική από τη μέθοδο που χρησιμοποιείται σήμερα, η οποία όπως φορτίζει γρήγορα το 80% της μπαταρίας και καθυστερεί στο εναπομείναν 20%. Έπειτα από δοκιμές, οι αλγόριθμοι αποδείχτηκαν ικανοί να φορτίσουν τις μπαταρίες λιθίου μέσα σε μόλις 15. Σύμφωνα με τους ερευνητές, η νέα τεχνολογία δεν είναι ούτε δύσκολη να υλοποιηθεί ούτε ακριβή και συνεπώς δε θα αργήσει η μέρα που θα τη δούμε να εφαρμόζεται σε συσκευές όπως smartphones, tablets και laptops. Ακόμα και στην περίπτωση των μυρμηγκιών, η διαδικασία συλλογής τροφής των οποίων, λειτουργεί με τον ίδιο τρόπο με το Internet Transmission Control Protocol (TCP)! Ο παραλληλισμός έχει να κάνει με τον τρόπο που τα μυρμήγκια συλλέγουν την τροφή τους. Με τον ίδιο τρόπο που το TCP θα επιταχύνει την μετάδοση δεδομένων, αν τα αρχικά πακέτα υποδεικνύουν χαμηλό bandwidth, έτσι και τα μυρμήγκια θα στείλουν λιγότερους συλλέκτες τροφίμων, αν οι αρχικοί «κυνηγοί», κάνουν πολύ χρόνο να επιστρέψουν από την αποστολή τους. Γράφουν στο Stanford News : «Ο ρυθμός με τον οποίο τα μυρμήγκια συλλέκτες τροφής (που μαζεύουν σπόρους σαν άτομα) ξεκινούν από την φωλιά για αναζήτηση τροφής, αντιστοιχεί στην διαθεσιμότητα των τροφίμων. Ένας συλλέκτης, δεν θα επιστρέψει στη φωλιά μέχρι να βρει τροφή. Αν οι σπόροι είναι άφθονοι, οι συλλέκτες επιστρέφουν πιο γρήγορα και πολύ περισσότερα μυρμήγκια εγκαταλείπουν την φωλιά για να συμμετάσχουν στη διαδικασία. Αν όμως τα μυρμήγκια αρχίζουν να επιστρέφουν με άδεια χέρια, η αναζήτηση επιβραδύνεται και ίσως ματαιώνεται.» Κι αυτό, δεν είναι το τέλος των ομοιοτήτων μεταξύ του TCP και των μυρμηγκιών. Τα μυρμήγκια χρησιμοποιούν επίσης την τεχνική του TCP για αργή εκκίνηση, στέλνοντας ένα κύμα από συλλέκτες (πακέτα) για να υπολογίσουν τη σχετική ποσότητα τροφής (bandwidth) πριν από την κλιμάκωση των αριθμών προς τα πάνω ή προς τα κάτω. Επίσης, με τον ίδιο τρόπο που μία σύνδεση θα τερματίσει, αν η πηγή σταματήσει να στέλνει πακέτα, τα μυρμήγκια θα σταματήσουν να στέλνουν νέους συλλέκτες, αν δεν επιστρέψει κανένας σε διάστημα 20 λεπτών. Ο Balaji Prabhakar, ένας από τους ερευνητές πίσω από αυτή την ανακάλυψη λέει ότι αν η συμπεριφορά των μυρμηγκιών είχε ανακαλυφθεί πριν την επινόηση του διαδικτύου, θα είχε αλλάξει άρδην τον σχεδιασμό του. Σε κάθε περίπτωση όμως, η διαδικασία συλλογής τροφής έχει υποβληθεί σε πολύ σοβαρές δοκιμές σχετικά με τον χρόνο και υπάρχουν πολλά πράγματα που μπορούμε να μάθουμε από αυτή. Εντωμεταξύ, ποιος ξέρει τι άλλοι αλγόριθμοι υπάρχουν εκεί έξω που περιμένουν να τους ανακαλύψουμε Για φανταστείτε, λοιπόν, έναν κόσμο χωρίς υπολογισμούς, πράξεις, αναλύσεις, σχέδια, λογική συγκρότηση. Έναν κόσμο χωρίς τη γεωμετρία, έναν κόσμο χωρίς εικαστική τέχνη. Αναρωτιέστε πως θα ήτανε να μην είχαμε την δυνατότητα να μετράμε: το βάρος μας, το ύψος μας, τα χρήματα που πληρώνουμε ή μας πληρώνουν, τις θερμίδες που πρέπει να κάψουμε όταν κάνουμε δίαιτα, το μισθό που παίρνουμε, τις νίκες της κάθε ομάδας, τους 35

36 βαθμούς που πρέπει να γράψουμε για να μπούμε στο πανεπιστήμιο, τις βάσεις εισαγωγής μας, την θερμοκρασία του σώματός μας για να δούμε αν έχουμε πυρετό...; Φαντάζεστε έναν κόσμο λοιπόν χωρίς όλα αυτά; Είναι ένας άλλος κόσμος γεμάτος δυσκολίες. Αυτό που θεωρούμε σήμερα ως κάτι απλό σε μια χρήση μιας μηχανής ή μιας υπολογιστικής μεθόδου, μπορεί να χρειάστηκε ατελείωτες ώρες παρέα με τους αριθμούς για την παραμικρή λεπτομέρεια. Τα μαθηματικά όχι μόνο είναι μια επιστήμη αλλά κάθε τρόπος επικοινωνίας, ένα κομμάτι της γλώσσας και του πολιτισμού μας, χωρίς το οποίο η ζωή μας θα ήταν πολύ δύσκολη. Και οι αριθμοί, ως στοιχείο τους είναι εξίσου σημαντικοί. 36

37 Βιβλιογραφία 1. Dan Brown, Το Χαμένο Σύμβολο, εκδόσεις ΛΙΒΑΝΗ (2009) 2. Daniel Dockery, Arithmology in the Bible, 26/09/2001, [online] διαθέσιμο από: 3. Daniel Dockery, Biblical numbers, 30/08/2003, [online] διαθέσιμο από: 4. FISHPOND, Libellus De Quinque Corporibus Regularibus (Codice Vaticano Urbinate Latino 632), [online] διαθέσιμο από: De-Quinque-Corporibus-Regularibus-Codice-Vaticano-Urbinate-Latino-632-LAT- Piero-della-Francesca-Cecil-Grayson-Edited-by/ Francisco Martin Casalderrey, Η πλάνη των αισθήσεων, εκδόσεις ΤΕΣΣΕΡΑ ΠΙ (2012) 6. J. J. O'Connor, E. F. Robertson and J. V. Field, Piero della Francesca, [online] διαθέσιμο από: 7. M.B.W.Tent, Καρλ Φρίντριχ Γκάους: ο πρίγκιπας των μαθηματικών, εκδόσεις ΤΡΑΥΛΟΣ (2007) 8. The secret real truth.blogspot, Το συμπαντικό και ιερό νούμερο 7, , [online] διαθέσιμο από: 9. VIRTUAL UFFIZI GALLERY, Piero della Francesca, [online] διαθέσιμο από: 10. ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΚΡΗΤΗΣ, γεωμετρία, κεφάλαιο 7 Ισομετρίες-Συμμετρίες και Πλακοστρώσεις, [online]διαθέσιμο από: 11. Το ΒΗΜΑ, Βιστωνίτης Αναστάσης, Ιστορίες για το 666, 22/07/2013, [online] διαθέσιμο από: 12. Κατερίνα Καλφοπούλου, 24/03/2008, [online] διαθέσιμο από: 13. Μιχαήλ Παπαδάτος, 17/05/2013, [online] διαθέσιμο από: 14. Αλέξανδρος Μόσχος,12/4/12. [online] διαθέσιμο από : 15. Ηλεκτονικό περιοδικό ΓΓΕΤ, 11/2011, [online] διαθέσιμο από : 16. Δρ. Ηλίας Κ. Σάββας, 01/2005, Τμήμα Τεχνολογίας Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα [online] διαθέσιμο από : 17. Ελπινίκη Λυμπέρη, 27/08/2012 [online] διαθέσιμο από : 18. Θεοδώρα Κονσταντόπη, 14/02/2013 [online] διαθέσιμο από : 19. Βασίλη Χατζηγιάννη, 15/7/2013, [online] διαθέσιμο από: y2mds4prmb 20. Ελευθεροτυπία, 09/10/2004, [online] διαθέσιμο από: 21. Miquel Alberti, εκδόσεις 4π (2012), Η Δημιουργικότητα στα Μαθηματικά 37

38 38

39 Μαθηματικά - Ιστορία Παιχνίδια Ομάδα Μέλη Ερευνητικά ερωτήματα 1 Κωνσταντόπουλος Δημήτρης Τα αριθμητικά σύνολα 2 Λουκάτος Βαγγέλης Θαλής, Πυθαγόρας, Ευκλείδης 3 Μανέτος Νίκος Γρίφοι και Σπαζοκεφαλιές 4 Μυλωνά Δέσποινα Ιστορία των Μαθηματικών 5 Νικολόπουλος Γρηγόρης Παράδοξα «Κάποιος που είχε αρχίσει να διδάσκεται γεωμετρία δίπλα στον Ευκλείδη, μόλις έμαθε το πρώτο θεώρημα τον ρώτησε: - Τί περισσότερο θα κερδίσω αν τα μάθω όλα αυτά; Τότε ο Ευκλείδης φώναξε το δούλο του και του είπε: -Δώσε σε αυτόν τρεις οβολούς, διότι έχει ανάγκη να κερδίζει κάτι από ό,τι μαθαίνει». Ανθολόγιο του Στοβαίου 39

40 40

41 Περιεχόμενα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΣΥΝΟΔΗΠΟΡΟΙ ΣΤΗ ΖΩΗ ΜΑΣ Η ιστορία των μαθηματικών και οι αριθμήσεις με το πέρασμα των χρόνων Προϊστορία μαθηματικών ΤΟ ΕΡΓΟ ΣΗΜΑΝΤΙΚΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Θαλής Πυθαγόρας Ευκλείδης ΟΙ ΑΡΙΘΜΗΣΕΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΑ Φυσικοί Ακέραιοι Ρητοί Πραγματικοί Μιγαδικοί Άρρητοι Υπερβατικοί αριθμοί ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΟΞΑ Παράδοξο της διχοτομίας Ο Αχιλλέας και η χελώνα Το παράδοξο της σανίδας Ένα απρόσμενο παράδοξο πιθανοτήτων Ο Κουρέας Τα γενέθλια Σπαζοκεφαλιές Πηγές Βιβλιογραφία

42 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΣΥΝΟΔΗΠΟΡΟΙ ΣΤΗ ΖΩΗ ΜΑΣ Η ιστορία των μαθηματικών και οι αριθμήσεις με το πέρασμα των χρόνων Επιμέλεια: Δέσποινα Μυλωνά Τα μαθηματικά είναι ένας τομέας παγκοσμίως αποδεκτός, από την πρώτη κιόλας τάξη του δημοτικού, τα μαθηματικά διδάσκονται και αποτελούν ένα από τα βασικότερα μαθήματα. Όμως αναρωτηθήκατε ποτέ πως ξεκίνησαν όλα; Γιατί εφευρέθηκαν οι αριθμοί και πως εξελίχθηκε η γραφή τους; Πότε και πως ξεκίνησαν οι άνθρωποι να έχουν την ανάγκη να καταγράψουν αριθμούς και αποτελέσματα και πως ήταν τα σύμβολα αυτά; Το πεδίο σπουδών γνωστό ως η Ιστορία των Μαθηματικών είναι κατ' εξοχήν μια έρευνα στην προέλευση των μαθηματικών και σε μικρότερο βαθμό μια έρευνα στις μαθηματικές μεθόδους του παρελθόντος. Τα πιο παλιά διαθέσιμα μαθηματικά κείμενα είναι τα Plimpton 322 (Μαθηματικά των Βαβυλωνίων), Rhind Mathematical Papyrus (Μαθηματικά των Αιγυπτίων), Μαθηματικός Πάπυρος της Μόσχας (Μαθηματικά των Αιγυπτίων).Τα κείμενα ασχολούνται με το Πυθαγόρειο θεώρημα, το οποίο φαίνεται να είναι το πιο αρχαίο και διαδεδομένο πρόβλημα. Η μελέτη των μαθηματικών σαν θέμα από μόνο του αρχίζει τον 6ο αιώνα π.χ με τους Πυθαγόρειους που επινόησαν τον όρο Μαθηματικά από την αρχαία ελληνική λέξη μάθημα, το οποίο ερμηνεύεται ως θέμα οδηγιών. Όλοι οι αρχαίοι λαοί και πολιτισμοί συνεισφέραν αξιοποιώντας τους προβληματισμούς τους με τον τρόπο τους. Οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί βελτίωσαν κατά μεγάλο βαθμό τις μεθόδους απόδειξης και επέκτειναν την ύλη των μαθηματικών. Οι Κινέζοι μαθηματικοί έκαναν πρώιμες συνεισφορές, συμπεριλαμβάνοντας ένα σύστημα αξιών. Το Ινδό-Αραβικό αριθμητικό σύστημα και οι κανόνες για την χρήση των λειτουργιών του, το οποίο χρησιμοποιείται σε ολόκληρο τον κόσμο σήμερα, πιθανότατα εξελίχθηκε κατά την πορεία της πρώτης χιλιετίας μ.χ στην Ινδία και μεταδόθηκε στη Δύση μέσω των Ισλαμιστών μαθηματικών. Οι Ισλαμιστές μαθηματικοί, με την σειρά τους ανέπτυξαν και επέκτειναν τα μαθηματικά, που έγιναν γνωστά σε αυτούς τους πολιτισμούς. Πολλά γνωστά Ελληνικά και Αραβικά κείμενα στα μαθηματικά μεταφράστηκαν στα Λατινικά, το οποίο οδήγησε σε περαιτέρω εξέλιξη των μαθηματικών στην Μεσαιωνική Ευρώπη. Από την αρχαία εποχή διαμέσου του Μεσαίωνα, ξεσπάσματα μαθηματικής δημιουργικότητας πολλές φορές ακολουθούνταν από αιώνες στασιμότητας. Στις αρχές της Ιταλίας της Αναγέννησης του 16ου αιώνα, οι νέες μαθηματικές εξελίξεις που αλληλεπίδρασαν με νέες επιστημονικές ανακαλύψεις, πραγματοποιήθηκαν με αυξανόμενο ρυθμό, που συνεχίζεται μέχρι και σήμερα. Θα εξετάσουμε τρεις από τις μεγαλύτερες ενότητες των μαθηματικών ανακαλύψεων, τα προϊστορικά μαθηματικά, τα αιγυπτιακά μαθηματικά και τέλος τα ελληνικά μαθηματικά. Προϊστορία μαθηματικών Η προέλευση της μαθηματικής σκέψης βασίζεται στις έννοιες του αριθμού, του μεγέθους και του σχήματος. Σύγχρονες μελέτες της γνωστικής λειτουργίας των ζώων, έχουν δείξει ότι οι έννοιες αυτές δεν αφορούν μόνο το ανθρώπινο ον. Τέτοιες έννοιες θα ήταν μέρος της καθημερινής ζωής και σε προϊστορικές κοινωνίες κυνηγών-τροφοσυλλεκτών. Η ιδέα του 42

43 "αριθμού" σαν έννοια, που εξελίσσεται σταδιακά με την πάροδο του χρόνου, υποστηρίζεται από την ύπαρξη άλλων γλωσσών, οι οποίες διατηρούν τη διάκριση μεταξύ των εννοιών "ένα", "δύο" και "πολλά", αλλά όχι αριθμών μεγαλύτερων του δύο. Το αρχαιότερο γνωστό, ενδεχομένως μαθηματικό, αντικείμενο είναι τα οστά Lebombo, που βρέθηκαν στην οροσειρά Lebombo της Σουαζιλάνδης και χρονολογούνται γύρω στο π.χ.. Αποτελείται από 29 εμφανείς εγκοπές πάνω σε περόνη μπαμπουίνου. Άλλα προϊστορικά αντικείμενα, που ανακαλύφθηκαν στην Αφρική και τη Γαλλία, τα οποία χρονολογούνται μεταξύ π.χ., υποδηλώνουν τις πρώτες Εικόνα 1: Οστό Lebombo απόπειρες να προσδιοριστεί ποσοτικά ο χρόνος. Το οστό Ishango, το οποίο βρέθηκε στις πηγές του ποταμού Νείλου (στο βορειοανατολικό Κονγκό), χρονολογείται έως και ετών και αποτελείται από ένα πλήθος ψηλών γραμμάτων σκαλισμένα σε τρεις στήλες, που διατρέχουν το μήκος του οστού. Συνήθεις ερμηνείες είναι ότι το οστό Ishango δείχνει είτε την αρχαιότερη γνωστή επίδειξη των ακολουθιών των πρώτων αριθμών, είτε ένα εξαμηνιαίο σεληνιακό ημερολόγιο. Στο βιβλίο How Mathematics Happened: The First 50,000 Years, ο Peter Rudman υποστηρίζει ότι η ανάπτυξη της έννοιας των πρώτων αριθμών θα μπορούσε μόνο να έχει έρθει σχετικά μετά την έννοια της διαίρεσης, πράγμα το οποίο χρονολογείται μετά το π.χ., με τους πρώτους αριθμούς πιθανότατα να μην έχουν γίνει κατανοητοί μέχρι περίπου το 500 π.χ.. Γράφει επίσης ότι: "δεν έχει γίνει καμία προσπάθεια να εξηγηθεί γιατί να υπάρχει μία αντιστοιχία από κάτι που πρέπει να εμφανίζει πολλαπλάσια του 2, πρώτους αριθμούς από το 10 έως το 20, και Εικόνα 2: Οστό Ishango κάποιους αριθμούς που σχεδόν είναι πολλαπλάσια του 10". Το οστό Ishango σύμφωνα με τον μελετητή Alexander Marshack, ίσως να έχει επηρεάσει τη μετέπειτα ανάπτυξη των μαθηματικών στην Αίγυπτο, γιατί όπως και σε κάποια στοιχεία του οστού Ishango, και η Αιγυπτιακή αριθμητική έκανε χρήση του πολλαπλασιασμού με το 2 αυτό, παρόλαυτά, αμφισβητείται. Οι Αιγύπτιοι της Προδυναστικής περιόδου της Αιγύπτου της 5ης χιλιετίας π.χ. εκπροσωπούνται εικονογραφικά, από γεωμετρικά σχέδια. Έχει διατυπωθεί η άποψη, ότι 43

44 μεγαλιθικά μνημεία στην Αγγλία και τη Σκωτία, που χρονολογούνται από την 3η χιλιετία π.χ., ενσωματώνουν γεωμετρικές ιδέες, όπως κύκλους, ελλείψεις, και πυθαγόρειες τριάδες στο σχεδιασμό τους. Ωστόσο όλα τα παραπάνω αμφισβητούνται, και την τρέχουσα στιγμή, η παλαιότερη αδιαμφισβήτητη χρήση των Μαθηματικών, είναι σε Βαβυλωνιακές και της δυναστικής περιόδου Αιγυπτιακές πηγές. Συνεπώς, το ανθρώπινο όν χρειάστηκε τουλάχιστον χρόνια από την επίτευξη της γλωσσικής εξέλιξης, για να αναπτύξει τα μαθηματικά ως έχουν. Εικόνα 3: Πάπυρος Ράιντ Αιγυπτιακά μαθηματικά Ο όρος Αιγυπτιακά μαθηματικά αναφέρεται στα μαθηματικά που γράφτηκαν στην Αιγυπτιακή γλώσσα. Από την ελληνιστική περίοδο, τα Ελληνικά αντικατέστησαν τα Αιγυπτιακά ως γλώσσα που χρησιμοποιούσαν οι Αιγύπτιοι επιστήμονες. Η μαθηματική μελέτη στην Αίγυπτο συνεχίστηκε αργότερα στο πλαίσιο της Αραβικής Αυτοκρατορίας, ως μέρος των ισλαμικών μαθηματικών, όταν τα Αραβικά έγιναν η γραπτή γλώσσα των αιγυπτιακών μελετητών.το εκτενέστερο Αιγυπτιακό μαθηματικό κείμενο είναι ο Πάπυρος του Ράιντ, που χρονολογείται στο 1650 π.χ., αλλά είναι πιθανότατα αντίγραφο ενός παλαιότερου εγγράφου από τη περίοδο του Μέσου Βασιλείου περίπου το π.χ.. Πρόκειται για ένα εγχειρίδιο οδηγιών για μαθητές στην αριθμητική και τη γεωμετρία. Εκτός από την παροχή τύπων εμβαδών και μεθόδων για πολλαπλασιασμό, διαίρεση και εργασία με κλάσματα της μονάδας, περιέχει επίσης στοιχεία άλλων μαθηματικών γνώσεων, συμπεριλαμβανομένων των σύνθετων και πρώτων αριθμών αριθμητικές, γεωμετρικές και αρμονικές έννοιες και απλοϊκές κατανοήσεις τόσο του Κόσκινου του Ερατοσθένη όσο και τέλειας θεωρίας αριθμών (συγκεκριμένα του αριθμού 6). Επίσης, δείχνει πώς να λύσει κάποιος πρώτης τάξης γραμμικές εξισώσεις, καθώς και αριθμητικές και γεωμετρικές σειρές. 44

45 Άλλο ένα σημαντικό Αιγυπτιακό μαθηματικό κείμενο είναι ο Πάπυρος της Μόσχας, επίσης από τη περίοδο του Μέσου Βασίλειου, και χρονολογείται το περίπου το 1890 π.χ.. Αποτελείται από αυτά που σήμερα αποκαλούμε προβλήματα, τα οποία προφανώς προορίζονταν για ψυχαγωγία. Ένα πρόβλημα θεωρείται ότι είναι ιδιαίτερης σημασίας, επειδή δίνει μία μέθοδο για την εύρεση του όγκου κόλουρης πυραμίδας και είναι γραμμένο ως εξής:. «Σας λένε ότι μια κόλουρη πυραμίδα έχει ύψος 6, μήκος 4 στη βάση και 2 στην κορυφή. Υψώνετε το 4 στο τετράγωνο, αποτέλεσμα 16. Διπλασιάζετε το 4 αποτέλεσμα 8. Υψώνετε στο τετράγωνο αυτό το 2, αποτέλεσμα 4. Προσθέτετε το 16 και το 8 και το 4, αποτέλεσμα 28. Παίρνετε το 1/3 του 6, αποτέλεσμα 2. Παίρνετε το 28 2 φορές, αποτέλεσμα 56. Βλέπετε, είναι 56.» Εικόνα 4: Πάπυρος Μόσχας Θα δείξουμε τώρα με τη βοήθεια των γνώσεων της Ευκλείδειας γεωμετρίας που έχουμε διδαχθεί ότι το αποτέλεσμα του υπολογισμού του όγκου αυτής της κόλουρης πυραμίδας είναι ακριβώς αυτό. Απόδειξη: Στο παρακάτω σχήμα έχουμε μια κόλουρη πυραμίδα με τα δεδομένα του παραπάνω προβλήματος. Έχουμε προεκτείνει τις πλευρές ώστε να σχηματιστεί η κανονική πυραμίδα και έχουμε σημειώσει μόνο τα γράμματα που θα χρησιμοποιήσουμε για τον υπολογισμό του ζητούμενου όγκου. Α Β Ε Ζ Δεδομένα ΒΖ=2 ΓΗ=4 ΕΔ=6 Γ Η Δ 45

46 Ο όγκος της πυραμίδας υπολογίζεται από τον τύπο V= Ε βάσης ύψος. V κόλουρης πυραμίδας = V μεγάλης πυραμίδας V μικρής πυραμίδας V κόλουρης πυραμίδας = Ε μεγάλης βάσης ΑΔ - Ε μικρής βάσης ΑΕ V κόλουρης πυραμίδας = 16 ΑΔ - 4 ΑΕ (1) Επειδή οι βάσεις είναι τετράγωνα πλευράς 4 και 2 αντίστοιχα έχουμε Ε μεγάλης βάσης =4 2 =16 και Ε μικρής βάσης =2 2 =4 Αυτό που πρέπει να υπολογίσουμε τώρα είναι τα ΑΔ και ΑΕ. Στη μικρή βάση το τμήμα ΒΕ είναι το μισό της διαγωνίου του τετραγώνου, αφού Ε κέντρο του τετραγώνου. Άρα ΒΕ=. Ομοίως στη μεγάλη βάση ΓΔ = 2 Τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΓΔ είναι όμοια αφού είναι ορθογώνια και έχουν την γωνία Α κοινή επομένως έχουν και τις πλευρές τους ανάλογες άρα: Επομένως ΑΕ=6 και ΑΔ=12. Αντικαθιστούμε τις τιμές αυτές στην (1) και έχουμε V κόλουρης πυραμίδας = = 64-8 = 56, που είναι το ίδιο ακριβώς με αυτό που έχει υπολογιστεί. Τέλος, ο Πάπυρος του Βερολίνου (περ π.χ.) δείχνει πως οι αρχαίοι Αιγύπτιοι θα μπορούσαν να λύσουν μία δεύτερης τάξης αλγεβρική εξίσωση. Ελληνικά μαθηματικά Τα ελληνικά μαθηματικά ήταν εκείνα που καθόρισαν την έννοια των μαθηματικών. Τα Ελληνικά Μαθηματικά παραπέμπουν στα μαθηματικά που είναι γραμμένα στην Ελληνική γλώσσα από την εποχή του Θαλή του Μιλήσιου (~ 600 π.χ.)μέχρι το κλείσιμο της Ακαδημίας των Αθηνών, το 529 μ.χ.. Οι Έλληνες μαθηματικοί ζούσαν σε πόλεις που εξαπλώθηκαν σε όλη την Ανατολική Μεσόγειο, από την Ιταλία έως τη Βόρεια Αφρική, αλλά παρέμεναν ενωμένοι γλωσσικά και πολιτισμικά. Τα ελληνικά μαθηματικά μετά την εποχή του Μεγάλου Αλεξάνδρου, συχνά ονομάζονται και Ελληνιστικά Μαθηματικά. Τα ελληνικά μαθηματικά ήταν πολύ πιο περίπλοκα από τα μαθηματικά που αναπτύχθηκαν σε προγενέστερους πολιτισμούς. Όλα τα σωζόμενα αρχεία των προ-ελληνικών μαθηματικών, μας δείχνουν τη χρήση της επαγωγικής λογικής, δηλαδή, τις επαναλαμβανόμενες παρατηρήσεις που χρησιμοποιήθηκαν για τον καθορισμό των κανόνων του αντίχειρα. Οι Έλληνες Μαθηματικοί, αντίθετα, έκαναν χρήση του επαγωγικού συλλογισμού. Οι Έλληνες χρησιμοποιούσαν τη λογική για να εξάγουν συμπεράσματα από τους ορισμούς και τα αξιώματα και χρησιμοποιώντας μαθηματική ακρίβεια, να τα αποδείξουν. Τα ελληνικά μαθηματικά, θεωρείται ότι έχουν ξεκινήσει με το Θαλή το Μιλήσιο (περ π.χ.) και τον Πυθαγόρα τον Σάμιο (περ π.χ.). Αν και το εύρος της επιρροής αμφισβητείται, 46

47 πιθανότατα εμπνεύστηκαν από τα αιγυπτιακά και τα βαβυλωνιακά μαθηματικά. Σύμφωνα με το μύθο, ο Πυθαγόρας ταξίδεψε στην Αίγυπτο για να μάθει μαθηματικά, γεωμετρία και αστρονομία από τους Αιγύπτιους ιερείς. ΤΟ ΕΡΓΟ ΣΗΜΑΝΤΙΚΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Θαλής Ο Θαλής γεννήθηκε στη Μίλητο γύρω στο 621 π.χ. Οι ακριβείς ημερομηνίες της γέννησης και του θανάτου του Θαλή δεν είναι γνωστές με ακρίβεια, άλλα προσδιορίζονται από σκόρπιες αναφορές αρχαίων συγγραφέων. Ο Διογένης Λαέρτιος σημειώνει πως ο Θαλής πέθανε την περίοδο της 58ης Ολυμπιάδας ( π.χ.) σε ηλικία 78 ετών. Επίσης, αναφέρει πως οι γονείς του Θαλή ήταν ο Εξαμύης και η Κλεοβουλίνη που κατάγονταν και οι δύο από οικογένειες Φοινίκων αριστοκρατών. Ο Διογένης ο Λαέρτιος συνδέει μάλιστα την καταγωγή τους με τον Κάδμο. Αναφέρει επίσης δύο εναλλακτικές θεωρίες σχετικά με τον γιο του Θαλή, που ονομαζόταν Κύβισθος. Σύμφωνα με την πρώτη θεωρία ο Κύβιστος ήταν γιος του Θαλή, ενώ σύμφωνα με την δεύτερη ήταν ανιψιός του, τον οποίο είχε υιοθετήσει. Κατά τη δεύτερη εκδοχή ο Θαλής δεν είχε παντρευτεί. Ο Θαλής χρησιμοποιούσε γεωμετρία για την επίλυση προβλημάτων όπως ο υπολογισμός του ύψους των πυραμίδων και την απόσταση των πλοίων από την ακτή. Σε αυτόν αποδίδεται η πρώτη χρήση παραγωγικού συλλογισμού που εφαρμόζεται στη γεωμετρία, το οποίο απορρέει από τα τέσσερα θεωρήματα που υποστηρίζεται ότι απέδειξε ο ίδιος. Ως αποτέλεσμα, έχει αναγνωριστεί ως ο πρώτος αληθινός μαθηματικός αλλά και ο πρώτος γνωστός άνθρωπος στον οποίο έχει αποδοθεί μια μαθηματική ανακάλυψη. Το θεώρημα του Θαλή είναι η βάση της σύγχρονης γεωμετρίας. «Όταν παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες δ, και δ 2, τότε τα τμήματα που ορίζονται στη δ, είναι ανάλογα προς τα αντίστοιχα τμήματα της δ 2.» Εικόνα 5: Θέωρημα Θαλή Μια εφαρμογή του θεωρήματος του Θαλή που είναι η εξής πρόταση: «Κάθε παράλληλη προς μια πλευρά τριγώνου χωρίζει τις άλλες πλευρές του, σε ίσους λόγους. Όμως ισχύει και το αντίστροφο αν σε ένα τρίγωνο χωρίζει σε ίσους λόγους τις δυο πλευρές, τότε είναι παράλληλη στην τρίτη πλευρά.» Πυθαγόρας Το όνομα Πυθαγόρας, του το έδωσαν οι γονείς του προς τιμήν της Πυθίας που προφήτευσε την γέννηση του. Ο Πυθαγόρας, υπήρξε σημαντικός έλληνας φιλόσοφος, μαθηματικός, γεωμέτρης, θεωρητικός της μουσικής και ιδρυτής της πυθαγόρειας σχολής. Γεννήθηκε σε χρονολογία που δεν μας είναι γνωστή, αλλά που εικάζεται πως είναι το 570 π.χ. και ως επικρατέστερος τόπος γεννήσεως παραδίδεται η νήσος Σάμος. Ακόμη είναι πιθανό να ταξίδεψε αρκετά όταν ήταν 47

48 νέος. Γύρω στο 530 π.χ. μετακόμισε σε μία ελληνική αποικία στη νότια Ιταλία. Οι υποστηρικτές του Πυθαγόρα ακολούθησαν τις πρακτικές που ανέπτυξε και μελέτησαν τις φιλοσοφικές του θεωρίες. Τα μέρη συνάντησης των Πυθαγόρειων κάηκαν και ο Πυθαγόρας αναγκάστηκε να φύγει από την πόλη. Πέθανε στο Μεταπόντιον της Ιταλικής Λευκανίας σε μεγάλη ηλικία, περί το π.χ. Είναι ο κατεξοχήν θεμελιωτής των ελληνικών μαθηματικών και δημιούργησε ένα άρτιο σύστημα για την επιστήμη των ουρανίων σωμάτων, που κατοχύρωσε με όλες τις σχετικές αριθμητικές και γεωμετρικές αποδείξεις. Ο Πυθαγόρας είναι ο πρώτος που ονόμασε τον εαυτό του "φιλόσοφο" και ο πρώτος που ανακάλυψε τα μουσικά διαστήματα από μία χορδή. Ο Πυθαγόρας ίδρυσε την Πυθαγόρεια Σχολή, η οποία υποστήριζε ότι τα μαθηματικά κυβερνούν το σύμπαν και σύνθημα της ήταν "Το παν είναι αριθμός". Ήταν οι Πυθαγόρειοι που επινόησαν τον όρο μαθηματικά και εκείνοι που ξεκίνησαν, για δικούς του λόγους, τη μελέτη των μαθηματικών. Στους Πυθαγόρειους αποδίδεται η πρώτη απόδειξη του Πυθαγορείου θεωρήματος, αν και η δήλωση του θεωρήματος έχει μια μεγάλη ιστορία, όπως και η απόδειξη της ύπαρξης των άρρητων αριθμών. Εικόνα 6: Πυθαγόρειο Θεώρημα Το πυθαγόρειο Θεώρημα: «Το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των 2 κάθετων πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου.» Για το Πυθαγόρειο Θεώρημα υπάρχουν 374 αποδείξεις οι 109 εκ των οποίων είναι αλγεβρικές ενώ οι υπόλοιπες 265 γεωμετρικές. Παράλληλα, υπάρχουν οι ενορατικές και οι διανυσματικές στο βιβλίο του Elisha S. Loomis το The Pythagorean Proposition. Ευκλείδης Ο Ευκλείδης από την Αλεξάνδρεια (325 π.χ π.χ.), ήταν Έλληνας μαθηματικός, που δίδαξε και πέθανε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου, περίπου κατά την διάρκεια της βασιλείας του Πτολεμαίου Α. Στις μέρες μας είναι γνωστός ως ο «πατέρας» της Γεωμετρίας. Ο Ευκλείδης δεν ήταν ακριβώς ένας μεγάλος καινοτόμος αλλα κυρίως οργανωτής που συστηματοποίησε και έθεσε σε στέρεες θεωρητικές βάσεις τα συμπεράσματα στα οποία έφτασαν ο Θαλής, ο Εύδοξος και άλλες προσωπικότητες της εποχής. Ο Ευκλείδης είχε την ικανότητα να ανασυντάξει τις αποδείξεις των θεωρημάτων σε σύντομους Εικόνα 7: Ευκλείδης αυστηρούς όρους. Το πιο γνωστό έργο του είναι τα Στοιχεία, που αποτελείται από 13 βιβλία. Εκεί, οι ιδιότητες των γεωμετρικών αντικειμένων και των ακεραίων αριθμών προκύπτουν από ένα σύνολο αξιωμάτων, εμπνέοντας την αξιωματική μέθοδο των μοντέρνων μαθηματικών. Παρ' ότι πολλά από τα θεωρήματα που περιέχονταν στα Στοιχεία ήταν ήδη γνωστά, ένα από τα 48

49 επιτεύγματα του Ευκλείδη ήταν ότι τα παρουσίασε σε ένα ενιαίο, λογικά συμπαγές πλαίσιο. Το έργο του Ευκλείδη ήταν τόσο σημαντικό ώστε η γεωμετρία που περιέγραψε στα Στοιχεία του η βάση της οποίας είναι: «έστω μία ευθεία ε και ένα σημείο Α όχι πάνω σε αυτήν την ευθεία, τότε υπάρχει μόνο μία ευθεία, παράλληλη της ε, που διέρχεται από το Α» ονομάστηκε Ευκλείδεια, ενώ τα Στοιχεία σήμερα θεωρούνται ένα από τα σημαντικότερα μαθηματικά έργα όλων των εποχών. Όταν ο Πτολεμαίος Α του ζήτησε έναν πιο εύκολο τρόπο από τα Στοιχεία του για να μάθει Γεωμετρία η απάντηση του μεγάλου μαθηματικού ήταν: «Δεν υπάρχει βασιλική οδός για τη Γεωμετρία». Αναφόρα, επίσης, στον Ευκλείδη γίνεται και στο Ανθολόγιο του Στοβαίου, όπου γράφεται : «Κάποιος που είχε αρχίσει να διδάσκεται γεωμετρία δίπλα στον Ευκλείδη, μόλις έμαθε το πρώτο θεώρημα τον ρώτησε: - Τί περισσότερο θα κερδίσω αν τα μάθω όλα αυτά; Τότε ο Ευκλείδης φώναξε το δούλο του και του είπε: -Δώσε σε αυτόν τρεις οβολούς, διότι έχει ανάγκη να κερδίζει κάτι από ό,τι μαθαίνει». Σχεδόν τίποτα δεν είναι γνωστό σχετικά με την ζωή του Ευκλείδη εκτός από αυτά που αναφέρονται στα βιβλία του και ελάχιστες βιογραφικές πληροφορίες που προέρχονται από αναφορές τρίτων. Ήταν ενεργό μέλος της βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας και πιθανόν να είχε σπουδάσει στην Ακαδημία του Πλάτωνα στην Αθήνα. Έγινε γνωστός στην πόλη της Παλλάδας για τις μαθηματικές του εργασίες και γι' αυτό προσκλήθηκε από τον Πτολεμαίο Α στην Αλεξάνδρεια. Η διάρκεια της ζωής του, όπως και ο τόπος γέννησής του μας παραμένουν άγνωστα. Κατά τον Μεσαίωνα, πολλοί δυτικοί συγγράφεις τον ταύτισαν λανθασμένα με έναν κατά ένα αιώνα προγενέστερο Σωκρατικό φιλόσοφο, αποκαλώντας τον Ευκλείδη από τα Μέγαρα. Τον 3ο αιώνα π.χ., το κορυφαίο κέντρο της μαθηματικής εκπαίδευσης και της έρευνας ήταν το Μουσείο της Αλεξάνδρειας. Εκεί δίδαξε ο Ευκλείδης και έγραψε τα Στοιχεία (περ. 300 π.χ.), τα οποία θεωρούνται ευρέως ως τα πιο επιτυχημένα και με την μεγαλύτερη επιρροή, βιβλία όλων των εποχών. Τα Στοιχεία,τα οποία εισήγαγαν τη μαθηματική ακρίβεια μέσω της αξιωματικής μεθόδου, είναι το αρχαιότερο παράδειγμα που χρησιμοποίησε τη μορφή: Ορισμός Αξίωμα Θεώρημα Απόδειξη, που χρησιμοποιείται μέχρι και σήμερα. Αν και τα περισσότερα από τα περιεχόμενα των Στοιχείων ήταν γνωστά, ο Ευκλείδης τα τοποθέτησε σ'ένα ενιαίο, συνεκτικό και λογικό πλαίσιο. Τα Στοιχεία ήταν γνωστά σε όλους τους πνευματικόυς ανθρώπους της Δύσης μέχρι και τα μέσα του 20ου αιώνα και το περιεχόμενο τους εξακολουθεί να διδάσκεται στη γεωμετρία μέχρι και σήμερα. Εκτός από τα γνωστά θεωρήματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας, τα Στοιχεία γράφτηκαν και ως ένα εισαγωγικό εγχειρίδιο που κάλυπτε όλα τα στοιχειώδη μαθηματικά της εποχής, όπως η θεωρία αριθμών, η άλγεβρα και η στερεά γεωμετρία, ενώ περιείχε και τις αποδείξεις ότι η ρίζα του 2 είναι άρρητος αριθμός και ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί. Ο Ευκλείδης έγραψε και για άλλα θέματα όπως για τις κωνικές τομές, την οπτική, τη μηχανική και τη σφαιρική γεωμετρία, αλλά μόνο τα μισά από αυτά έχουν σωθεί. 49

50 ΟΙ ΑΡΙΘΜΗΣΕΙΣ Στην επόμενη ενότητα θα ασχοληθούμε κυρίως με τις αριθμήσεις. Ο άνθρωπος από πολύ νωρίς, ασφαλώς από την εποχή που δημιούργησε τα πρώτα ποίμνια από εξημερωμένα ζώα, χρησιμοποίησε σύμβολα για να αναπαραστήσει ποσότητες όπως: την τελεία ή ένα μικρό ευθύγραμμο τμήμα για το ένα, ένα πρόχειρο σχήμα του χεριού για το πέντε, το σχήμα δύο χεριών για το δέκα ( πράγματι το ρωμαϊκό πέντε, V είναι ένα σχηματοποιημένο χέρι, το ρωμαϊκό δέκα, Χ, δύο σχηματοποιημένα χέρια ). Όλα αυτά όμως δεν μπορεί να χαρακτηριστούν ένα κάποιο σύστημα αρίθμησης. Οι αρχαίοι Έλληνες, οι οποίοι, άλλωστε, είναι εκείνοι, που θεμελίωσαν τα μαθηματικά ως πραγματική επιστήμη, χρησιμοποιούσαν για αριθμητικά σύμβολα τα γράμματα του αλφαβήτου τους, αλλά δεν έφτιαξαν ένα κατάλληλο σύστημα για την παράσταση κάθε αριθμού με έναν περιορισμένο αριθμό συμβόλων. Είναι, παρόλ αυτά γεγονός ότι η αρχή της «θέσης» ήταν ήδη σε χρήση κατά την κλασσική αρχαιότητα στον άβακα και στα λογιστικά πινάκια, που χρησιμοποιούσαν για τους εμπορικούς λογαριασμούς. Παρά τις τελειοποιήσεις του άβακα στο Μεσαίωνα, έλειπε ένα σύμβολο για το «μηδέν». Το σύμβολο αυτό εισήγαγαν οι Ινδοί και τελειοποίησαν τη χρήση του οι Άραβες, οι οποίοι και μετάδωσαν τη γραφή των αριθμών, που χρησιμοποιείται σήμερα στην Ευρώπη και χαρακτηρίζεται ως αραβική ή ινδική ή αραβοϊνδική. Παρόλ αυτά χρειάστηκαν 2 αιώνες (13ος 15ος) για να επικρατήσει η αραβική αρίθμηση θέσης. Τα αρχαιότερα γραπτά με αριθμούς φέρουν το αποτύπωμα των δέκα δακτύλων (στα αρχαία ιερατικά γραπτά κυρίως των μεσογειακών φυλών οι αριθμοί από το ένα ως το εννιά παριστάνονται μ αυτόν τον τρόπο). Μαζί με τους Αιγυπτίους θεωρούνται οι πρώτοι που χρησιμοποίησαν τους αριθμούς παράλληλα με τη γραφή. Αυτό έγινε πριν από πέντε χιλιάδες χρόνια στη χώρα που ονομάζεται σήμερα Ιράκ.Οι αριθμοί ήταν απαραίτητοι για τη συγκέντρωση των φόρων που χρησιμοποιούνταν για το χτίσιμο πόλεων, ναών και αρδευτικών συστημάτων. Αυτοί που κρατούσαν τα αρχεία ήταν οι ιερείς και ήταν αναγκαίο να χρησιμοποιούν σημάδια για να δείχνουν κάθε στιγμή την κατάσταση της φορολογίας. Μια από τις σημαντικότερες σειρές σημαδιών που έπρεπε να βρουν, ήταν οι αριθμοί. Για κάθε αριθμό θα μπορούσε να φτιαχτεί και ένα διαφορετικό σημάδι, αλλά υπάρχουν τόσοι πολλοί διαφορετικοί αριθμοί, που σημαίνει ότι θα έπρεπε να θυμάται κανείς χιλιάδες διαφορετικά σημάδια. Χαρακτηριστικό τους ήταν ότι έγραφαν τους αριθμούς από τα δεξιά προς τα αριστερά. Δυστυχώς δε σώζονται αρκετά δείγματα αρίθμησης και δεν μπορούμε να έχουμε μια ολοκληρωμένη εικόνα. Φαίνεται να έδωσαν ιδιαίτερη σημασία στο εξήντα, λόγω του πλήθους των αριθμών με τους οποίους μπορεί να διαιρεθεί. Οι Μάγια ήταν ο πρώτος λαός του κόσμου που χρησιμοποίησε τον αριθμό «0», αιώνες πριν χρησιμοποιηθεί στην Ευρώπη. Αυτή η αφηρημένη αντίληψη, τόσο συνηθισμένη για μας σήμερα, αποτελεί ένα μεγάλο κατόρθωμα και επέτρεψε στους Μάγια να φτιάξουν ένα από τα καλύτερα αριθμητικά συστήματα όλων των εποχών. Η χρήση του «0» και το εικοσαδικό σύστημα που Εικόνα 8: Αρίθμηση Μάγια 50

51 χρησιμοποιούσαν αντί του δεκαδικού που χρησιμοποιούμε σήμερα, τους επέτρεπαν να κάνουν πολύπλοκους λογαριασμούς. Παρίσταναν τη μονάδα με μια τελεία ( ) και την αξία 5 με ένα ραβδί (-) Τον αριθμό 0 τον αναπαρίσταναν μ ένα κοχύλι ή ένα λουλούδι. Σε κάποιες σημαντικές περιπτώσεις, αναπαρίσταναν τους αριθμούς με ανθρώπινα κεφάλια. Το Ρωμαϊκό σύστημα αναπαράστασης αριθμών, που χρησιμοποιείτο ευρέως στην Αρχαία Ρώμη, αλλά επιβιώνει ακόμη και στις μέρες μας σε συγκεκριμένες περιπτώσεις, είναι ένα σύστημα που απεικονίζει τους αριθμούς με συνδυασμούς γραμμάτων του λατινικού αλφάβητου που ανάλογα με τη διάταξη τους, προστίθενται ή αφαιρούνται. Στην αρχική του μορφή περιελάμβανε 5 γράμματα (I, V, X, L και C). Παρακάτω φαίνονται οι είκοσι πρώτοι αριθμοί και οι βασικοί αριθμοί (με κόκκινο) στο ρωμαϊκό σύστημα αναπαράστασης αριθμών και ο τρόπος με τον οποίο δημιουργούνται οι υπόλοιποι : I 1 XI 11 XL 40 II 2 XII 12 L 50 III 3 XIII 13 LX 60 IV 4 XIV 14 LXX 70 V 5 XV 15 LXXX 80 VI 6 XVI 16 XC 90 VII 7 XVII 17 C 100 VIII 8 XVIII 18 D 500 IX 9 XIX 19 M 1000 X 10 XX 20 Εικόνα 9: Ρωμαϊκή Αρίθμηση Επίσης, οι Βαβυλώνιοι κατείχαν ένα σύστημα ελλιπές όμως ικανό να καλύψει τις ανάγκες της εποχής. Οι Βαβυλώνιοι εφάρμοζαν ένα ατελές εξηνταδικό σύστημα θέσης. Εξηνταδικό σημαίνει "με βάση το 60". Ένα πλήρες όμως εξηνταδικό σύστημα θέσης απαιτεί την ύπαρξη ενός συμβόλου για το 0 και 59 άλλων συμβόλων για τα υπόλοιπα ψηφία. Οι Βαβυλώνιοι όμως δεν είχαν σύμβολο για το 0 και τα άλλα 59 ψηφία τα έγραφαν συνδυάζοντας δύο μονάχα διαφορετικά σημάδια. Μ' αυτά Τα δύο σημάδια οι αριθμοί οι μικρότεροι από το 60 γραφόντουσαν ως εξής: Εικόνα 10: Αρίθμηση Βαβυλωνίων Τέλος, οι Αιγύπτιοι οι οποίοι γενικότερα επηρέασαν την επιστήμη των μαθηματικών. Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι την αριθμητική την παρέλαβαν από τους Βαβυλώνιους. 51

52 Δημιούργησαν δύο είδη γραφής, την αιγυπτιακή ιερογλυφική και την αιγυπτιακή ιερατική. Ήταν οι πρώτοι που παρίσταναν τον κάθε αριθμό με το ίδιο κατακόρυφο σημάδι, που μοιάζει με δάκτυλο. Έφτιαξαν το σημάδι Ι για να παριστάνουν τον αριθμό ένα. Είχαν έναν ορισμένο τρόπο για να γράφουν τα σύμβολα. π.χ. Για το πέντε δεν έγραφαν ΙΙΙΙΙ αλλά έγραφαν ΙΙΙ και αμέσως από κάτω ΙΙ. Ήταν πιο εύκολο να δει κανείς τρία σημάδια στη σειρά και έπειτα δυο ξέχωρα σημάδια, από το να διακρίνει πέντε σημάδια στην ίδια σειρά. Κάτι παρόμοιο κάνουμε κι εμείς σήμερα για το πέντε και για το δέκα χρησιμοποιούσαν ένα σύμβολο σαν ανάποδο U. Επίσης σκέφτηκαν ότι δε χρειάζεται να γραφεί ή να μετρηθεί περισσότερο από εννιά φορές ένα σύμβολο και έτσι επινόησαν ένα καινούργιο σύμβολο για κάθε φορά που έπρεπε να γραφεί κάποιο σύμβολο δέκα φορές. Έτσι χρησιμοποίησαν ένα σύμβολο σαν σπείρα που μοιάζει λίγο με αυτό 9. Έτσι συμπεραίνουμε ότι έδωσαν ιδιαίτερη σημασία στον αριθμό δέκα και ότι για τους αριθμούς από το 1 μέχρι 999 δεν χρειαζόταν να θυμούνται παρά τρία σύμβολα. Επίσης έπρεπε να βρεθεί ένα καινούργιο σύμβολο για το χίλια, το δέκα χιλιάδες κ.ο.κ. Άγνωστο παραμένει αν γνώριζαν ή όχι και το δεκαδικό σύστημα. Οπωσδήποτε είναι γνωστό ότι δεν γνώριζαν το 0. Χρησιμοποιούσαν όμως τις κλασματικές μονάδες, όπως το ½. Επίσης γνώριζαν την τιμή του π=3,14. 52

53 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΑ Εικόνα 11: Gregor Cantor Επιμέλεια: Κωνσταντόπουλος Δημήητρης Μετά από πολλά χρόνια στασιμότητας στην επιστήμη τοων μαθηματικών ο Gregor Cantor έθεσε τα θεμέλια για τη διατύπωση των συνόλων. Η έρευνα του Cantor αποτελεί την απαρχή της θεωρίας συνόλων. Πριν όμως από την δική του έρευνα, η έννοια του συνόλου χρησιμοποιήθηκε έμμεσα από τις αρχές των μαθηματικών, εμφανίζεται μάλιστα και στις ιδέες του Αριστοτέλη. Κανείς δεν είχε συνειδητοποιήσει ότι η θεωρία συνόλων είχε μη τετριμμένο περιεχόμενο. Πριν τον Cantor, υπήρχαν μόνο πεπερασμένα σύνολα, τα όποια γίνονταν εύκολα κατανοητά και τα "άπειρα", τα οποία συμπεριελάμβαναν θέματα για συζήτηση περισσότερο φιλοσοφική παρά μαθηματική. Αποδεικνύοντας ότι υπάρχουν (απείρως) πολλά πιθανά μεγέθη για άπειρα σύνολα, o Cantor έκανε γνωστό ότι η θεωρία συνόλων δεν ήταν ασήμαντη, και χρειαζόταν μελέτη. Η θεωρία συνόλων αποτελεί τη βάση για τα μοντέρνα μαθηματικά, με την έννοια ότι ερμηνεύει προτάσεις μαθηματικών αντικειμένων (για παράδειγμα, των αριθμών και των συναρτήσεων) από όλους τους τομείς των παραδοσιακών μαθηματικών (όπως της Άλγεβρας, της Μαθηματικής Ανάλυσης και της Τοπολογίας) σε μία ενιαία θεωρία, και παρέχει ένα σύνολο από αξιώματα προς απόδειξη ή όχι. H βασική αντίληψη της θεωρίας συνόλων χρησιμοποιείται πλέον ευρέως στα μαθηματικά. Τα αριθμητικά σύνολα κατηγοριοποιήθηκαν στους φυσικούς, ρητούς, ακέραιους, μιγαδικούς και τους άρρητους. Φυσικοί Οι φυσικοί αριθμοί είναι εκείνοι που χρησιμοποιούνται για τη μέτρηση ("υπάρχουν έξι νομίσματα στο τραπέζι") και για τη σύγκριση ("υπάρχουν περισσότερες καρέκλες από τους πίνακες. Μια μεταγενέστερη έννοια είναι εκείνη ενός ονομαστικού αριθμού, ο οποίος χρησιμοποιείται μόνο για ονομασία. Δεν υπάρχει καθολική συμφωνία για το αν θα συμπεριλαμβάνεται το μηδέν στο σύνολο των φυσικών αριθμών: μερικοί ορίζουν τους φυσικούς αριθμούς να είναι οι θετικοί ακέραιοι 1, 2, 3,... ενώ για άλλους ο όρος προσδιορίζει τους μη-αρνητικούς ακέραιους 0, 1, 2, 3,... Ο πρώτος ορισμός είναι ο παραδοσιακός, με τον τελευταίο ορισμό να εμφανίζεται για πρώτη φορά τον 19ο αιώνα. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών συμβολίζεται με. Ακέραιοι Οι ακέραιοι ονομάζονται όλοι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίθετους τους και το μηδέν. Όπως και το σύνολο των φυσικών, το σύνολο των ακεραίων είναι άπειρο αριθμήσιμο με πληθάριθμο αριθμών συμβολίζεται με. Ρητοί (άλεφ-μηδέν). Το σύνολο των πραγματικών Το σύνολο των ρητών αριθμών είναι το σύνολο των αριθμών που μπορούν να γραφούν σε μορφή κλάσματος με ακέραιους όρους και παρονομαστή διάφορο του μηδενός. Όλοι οι 53

54 ρητοί αριθμοί μπορούν να γραφτούν με άπειρους διαφορετικούς τρόπους ως πηλίκα δύο ακεραίων όπου το ν. Αποδεικνύεται ότι υπάρχει μοναδικός τρόπος γραφής κάθε ρητού στην μορφή με ν φυσικό, όπου ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των μ και ν είναι η μονάδα η οποία είναι και η πιο απλή μορφή του. Η δεκαδική αναπαράσταση κάθε ρητού αριθμού είναι πάντα περιοδική. Το σύνολο των ρητών είναι γνήσιο υποσύνολο αυτού των πραγματικών αριθμών, υπάρχουν δηλαδή πραγματικοί αριθμοί που δεν είναι ρητοί. Οι αριθμοί αυτοί ονομάζονται άρρητοι. Επιπλέον το σύνολο των ακεραίων και κατά συνέπεια και το σύνολο των φυσικών, είναι υποσύνολο αυτού των ρητών αφού κάθε ακέραιος α γράφεται στη μορφή α/1 που είναι ρητός. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών συμβολίζεται με. Πραγματικοί Οι πραγματικοί αριθμοί γίνονται αντιληπτοί διαισθητικά ως το σύνολο όλων των αριθμών που είναι σε ένα προς ένα αντιστοιχία με τα σημεία μιας άπειρης ευθείας, που καλείται ευθεία των πραγματικών αριθμών ή πραγματικός άξονας. Ο όρος "πραγματικός αριθμός" πλάστηκε εκ των υστέρων σε αντιδιαστολή προς τους «φανταστικούς αριθμούς», των οποίων η ένωση με τους πραγματικούς δίνει τους μιγαδικούς. Οι πραγματικοί αριθμοί είναι το κεντρικό αντικείμενο μελέτης της πραγματικής ανάλυσης. Σε αυστηρή μαθηματική γλώσσα, ο πραγματικός αριθμός ορίζεται ως εξής: Αν για τον αριθμό L ισχύει, όπου a n μια ρητή προσέγγιση του L με n δεκαδικά ψηφία, τότε ο L είναι πραγματικός αριθμός. Αυτό σημαίνει ότι πραγματικός είναι ο αριθμός του οποίου μπορούμε να γράψουμε μια δεκαδική προσέγγιση, όπως στον αριθμό π~3,14. Οι πραγματικοί αριθμοί διακρίνονται σε ρητούς αριθμούς (που μπορούν να εκφραστούν ως κλάσματα με ακέραιο αριθμητή και παρονομαστή) και σε άρρητους αριθμούς (που δεν μπορούν να εκφραστούν επακριβώς ως κλάσματα). Οι ρητοί μαζί με τους άρρητους αποτελούν ένα συνεχές σύνολο. Κάθε «φυσικό μέγεθος» που μπορεί να μετρηθεί εκφράζεται συνήθως με έναν πραγματικό αριθμό. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών συμβολίζεται με. Μιγαδικοί Αμέσως μετά κατατάσσονται οι μιγαδικοί αριθμοί. οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μία επέκταση του συνόλου των πραγματικών αριθμών με την προσθήκη του στοιχείου i, που λέγεται φανταστική μονάδα, και έχει την ιδιότητα: i 2 = -1 Κάθε μιγαδικός αριθμός μπορεί να γραφτεί με τη μορφή α + βi, όπου τα α και β είναι πραγματικοί αριθμοί και λέγονται πραγματικό μέρος και φανταστικό μέρος του μιγαδικού αριθμού, αντίστοιχα. Για παράδειγμα, ο 3 + 2i είναι ένας μιγαδικός, με πραγματικό μέρος 3 και φανταστικό μέρος 2. Για τους μιγαδικούς αριθμούς ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης, όπως και στους πραγματικούς αριθμούς. Στην ορολογία των μαθηματικών, αυτό σημαίνει ότι το σύνολο των μιγαδικών είναι σώμα. 54

55 Η βασική διαφορά των μιγαδικών αριθμών με τους πραγματικούς είναι η ύπαρξη του στοιχείου i και των πολλαπλασίων του, που όταν υψωθούν στο τετράγωνο δίνουν αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς. Επιπλέον, στους μιγαδικούς δεν ορίζεται η διάταξη, δηλαδή δεν έχει έννοια να συγκρίνουμε δύο μιγαδικούς ώστε να πούμε ότι ένας μιγαδικός αριθμός είναι μεγαλύτερος ή μικρότερος από κάποιον άλλον μιγαδικό αριθμό. Οι μιγαδικοί αριθμοί έχουν, μεταξύ άλλων, σημαντικές εφαρμογές στη λύση διαφορικών εξισώσεων αλλά και στη μελέτη διάφορων φυσικών προβλημάτων οπτικής, κυματικής, κβαντομηχανικής και ηλεκτρονικής. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών συμβολίζεται με. Άρρητοι Οι άρρητοι. Άρρητος αριθμός ονομάζεται κάθε αριθμός ο οποίος δεν είναι δυνατό να εκφραστεί ως κλάσμα, όπου μ και ν είναι ακέραιοι αριθμοί, με ν διάφορο του μηδενός, σε αντίθεση με τους ρητούς αριθμούς, οι οποίοι μπορούν να εκφραστούν ως κλάσμα ακεραίων. Παραδείγματα άρρητων αριθμών είναι το π ή το e και η τετραγωνική ρίζα του 2 ( ). Οι άρρητοι αριθμοί είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί οι οποίοι δεν είναι ρητοί. Ως εκ τούτου και ελλείψει μοναδικού συμβολισμού για το σύνολο των αρρήτων, χρησιμοποιείται ο έμμεσος συμβολισμός, όπου το σύνολο των πραγματικών αριθμών και το σύνολο των ρητών. Οι άρρητοι αριθμοί έχουν άπειρο αριθμό, μη επαναλαμβανόμενων περιοδικά, δεκαδικών ψηφίων. Η πρώτη καταγραφή για τη γνώση των άρρητων αριθμών ξεκινά με τον Ίππασο, έναν Πυθαγόρειο που είτε αποκάλυψε πως η διαγώνιος ενός τετραγώνου με πλευρά ακέραιο δεν είναι ακέραιος ή ανακάλυψε τους άρρητους στην προσπάθεια να αναγνωρίσει τις πλευρές του πενταγράμμου. Οι Πυθαγόρειοι δίδασκαν ότι οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός μπορεί να εκφραστεί ως λόγος δυο άλλων φυσικών αριθμών και διέδιδαν πως με τη χρήση των αριθμών μπορούσαν να επιλύσουν όλα τα προβλήματα του πραγματικού κόσμου. Η πρώτη ενδεχομένως κρίση στα Μαθηματικά εμφανίστηκε συνοδευόμενη από πολιτική κρίση όταν, σύμφωνα με την παράδοση, ο Ίππασος ο Μεταπόντιος (450 π.χ.) αποκάλυψε τον άρρητο, γεγονός που φύλαγαν μυστικό οι Πυθαγόρειοι, και προκάλεσε την εξέγερση των λαών που τελούσαν υπό την εξουσία των Πυθαγορείων. Υπερβατικοί αριθμοί Δε θα μπορούσαμε να μην αναφέρουμε τέλος μια κατηγορία αριθμών που απασχολεί την μαθηματική κοινότητα σήμερα. Όλοι οι παραπάνω αριθμοί είναι οι λεγόμενοι αλγεβρικοί αριθμοί, αριθμοί δηλαδή που αποτελούν ρίζες πολυωνύμων με ρητούς συντελεστές. Υπάρχουν όμως και αριθμοί που δεν είναι ρίζες πολυωνύμων με ρητούς συντελεστές, αυτοί οι αριθμοί ονομάζονται υπερβατικοί αριθμοί (transcendental). Το όνομα προέρχεται από τον Leibniz ( ) που στην εργασία του «omnem rationem transcendent» απέδειξε ότι η συνάρτηση ημ(χ) δεν είναι πολυωνυμική. Ο Eüler ( ) στο βιβλίο του με τίτλο Introductio in Analysin Infinitirum γράφει ότι «οι αριθμοιί των οποίων η φύση δύσκολα γίνεται αντιληπτή δεν περιγράφονται με αλγεβρικές μεθόδους». Ο Liouville( ) πρώτος απέδειξε την ύπαρξη των υπερβατικών αριθμών και κατασκεύασε άπειρους από αυτούς. 55

56 Ο Hermite το 1873 απέδειξε ότι ο e είναι υπερβατικός και ο Lindemann το 1882 απέδειξε ότι ο π είναι υπερβατικός. Στα 1874 ο Γερμανός μαθηματικός Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor ( ) είχε ήδη διαπιστώσει ότι: «οι υπερβατικοί αριθμοί δεν ήταν απλά υπαρκτοί αλλά και απείρως περισσότεροι, σε σχέση με όλους τους άλλους. Ότι, κατά κάποιον τρόπο, όλοι οι αριθμοί, εκτός «ελαχίστων εξαιρέσεων», είναι υπερβατικοί! Ή, σε αυστηρότερη μαθηματική γλώσσα: Το σύνολο των αλγεβρικών αριθμών είναι Αριθμήσιμο, ενώ εκείνο των υπερβατικών Υπεραριθμήσιμο.» Πιο συγκεκριμένα, το σύνολο των αλγεβρικών αριθμών είναι δυνατόν να τεθεί σε μία «ένα προς ένα και επί» αντιστοιχία με το σύνολο των φυσικών αριθμών, δηλαδή με τους 1,2,3,4,5,..., ενώ παρόμοια αντιστοίχιση είναι αδύνατη προκειμένου για το σύνολο των υπερβατικών αριθμών. Κάπως απλούστερα: Σε κάθε αλγεβρικό αριθμό είναι δυνατόν αντιστοιχηθεί ένας και μοναδικός φυσικός αριθμός, και αντίστροφα, ενώ για τους υπερβατικούς αυτό είναι ανέφικτο. 56

57 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΟΞΑ Επιμέλεια: Νικολόπουλος Γρηγόρης Παράδοξο γενικά χαρακτηρίζεται οτιδήποτε αντιβαίνει στη κοινή αντίληψη, ή κάτι που συμβαίνει και θεωρείται απίστευτο. Ως ουσιαστικό σημαίνει οτιδήποτε προκαλεί έκπληξη. Στο δε πληθυντικό "παράδοξα" περιλαμβάνονται ακόμη και έννοιες του αφύσικου και μυστηριώδους ιδιαίτερα σε χώρους, μνημεία, κτίσματα κ.λπ. Η έννοια του παράδοξου εξετάζεται τόσο από φιλοσοφική και φιλολογική ερμηνεία όσο και από επιστημονική έρευνα. Πρακτικά στη φιλοσοφική και την επιστημονική σκέψη το πραγματικό παράδοξο εκθέτει τα θεμελιακά λάθη μας στην κατανόηση μιας κατάστασης από την οποία προκύπτουν στο τέλος τα λογικά αδιέξοδα σε επιμέρους ζητήματα (παράδοξα). Η έννοια πιθανώς παραπέμπει ετυμολογικά ακριβώς σε αυτή καθ αυτή την αιτία του λογικού αδιεξόδου που είναι η θεμελιακά λάθος κατανόηση μιας κατάστασης η οποία γεννά τελικά το λογικό αδιέξοδο (παρα+δοξείν, λάθος νομιζόμενο). Π.χ. η λύση του κλασσικού παράδοξου του αυγού και της κότας δίνεται αν κατανοήσουμε σωστά τις θεμελιώδεις διαδικασίες που αφορούν την εξέλιξη των ειδών. Παράδοξο της διχοτομίας Το συγκεκριμένο παράδοξο καταλήγει στο συμπέρασμα ότι η κίνηση είναι αδύνατη διότι ό,τι κινείται, πριν φτάσει στο τέρμα του πρέπει να φτάσει στη μέση της πορείας του. Ο Ζήνωνας λέει ότι για να μεταβεί ένα σώμα από μια θέση Α σε μια θέση Β οφείλει να διανύσει το μισό της απόστασης ΑΒ. Στη συνέχεια το μισό του υπολοίπου, ακολούθως το μισό του νέου υπολοίπου και ούτω καθ εξής. Οι αποστάσεις αυτές γίνονται συνεχώς μικρότερες, αλλά απαιτείται για κάθε μια απ αυτές ένας ορισμένος χρόνος για να διανυθεί. Και έτσι συμπέρανε ότι το άθροισμα ενός απείρου αριθμού ορισμένων χρονικών διαστημάτων οφείλει να είναι άπειρο. Κατά συνέπεια η πραγματικότητα της κίνησης και ακριβέστερα της έκτασης είναι αδύνατη. Γι αυτή την αντινομία έχουν προταθεί αρκετές λύσεις. Μια από αυτές θεωρεί ότι το λάθος του συλλογισμού έγκειται στην αληθοφανή πρόταση το άθροισμα ενός απείρου αριθμού ορισμένων χρονικών διαστημάτων είναι άπειρο. Αυτή η πρόταση ισχύει αλλά όχι πάντα. Λύση: Ας υποθέσουμε για παράδειγμα ότι (ΑΒ) = 2 m και η ταχύτητα του κινητού είναι u = 1 m/s. Τότε το μισό της απόστασης έστω (ΑΜ 1 ) θα διανυθεί σε χρόνο t 1 = 1 s,το μισό του υπολοίπου απόστασης το (Μ 1 Μ 2 ) σε χρόνο t 2 = 1/2 s,το μισό του υπολοίπου, δηλ. το (Μ 2 Μ 3 ) σε χρόνο t 3 = ¼ s, κ.τ.λ. Έτσι ο χρόνος t που απαιτείται για να διανυθεί η απόσταση (ΑΒ) δίνεται από τη σειρά t=t 1 +t t n +... δηλαδή t = άθροισμα, όμως, δεν είναι άπειρο. Εδώ έχουμε το άθροισμα απείρων όρων γεωμετρικής προόδου με λόγο λ= Γνωρίζουμε όμως ότι το άθροισμα των άπειρων όρων μιας γεωμετρικής προόδου που έχει πρώτο όρο α 1 και λόγο λ, με λ < 1, είναι S =. Επομένως S = Το Κατά συνέπεια ο χρόνος είναι t = 2 s και όχι άπειρος. Έτσι, απορρίπτεται το συμπέρασμα του Ζήνωνα ότι η κίνηση είναι αδύνατη. 57

58 Ο Αχιλλέας και η χελώνα Ένα παρόμοιο παράδοξο με αυτό του Ζήνωνα είναι αυτό του Αχιλλέα και της χελώνας. Ο Αχιλλέας εκτός των άλλων αρετών που είχε όπως αναφέρει ο Όμηρος φημιζόντανε και για την ταχύτητά του γρηγοροπόδαρος - αναφέρεται στον Όμηρο. Και όμως ο Ζήνωνας ισχυρίζεται ότι δεν μπορεί να φτάσει ποτέ μια χελώνα που έστω προπορεύεται μια απόσταση. Ας υποθέσουμε ότι η χελώνα προπορεύεται του Αχιλλέα 100 m και ότι η ταχύτητα υ A του Αχιλλέα είναι υ A =10 m/sec και της χελώνας, υ x, είναι υ x =1 m/sec. Τότε ο Αχιλλέας σε χρόνο t 1 =10 sec θα διανύσει την απόσταση (Α Χ1 )=100 m, την οποία τον προσπερνούσε η χελώνα. Κατά τη διάρκεια αυτού του χρόνου t 1 η χελώνα θα διανύσει το διάστημα Χ 1 Χ 2 =10 m. Στη συνέχεια για να διατρέξει αυτή την απόσταση ο Αχιλλέας θα χρειαστεί χρόνο t 2 =1 sec. Κατά το χρόνο t 2 η χελώνα θα διανύσει το διάστημα Χ 2 Χ 3 =1 m και ο Αχιλλέας θα το διατρέξει σε χρόνο t 3 =1/10 sec. Η κίνηση αυτή θα συνεχίζεται επ άπειρο. Έτσι, κατέληξε ο Ζήνων, ότι ο Αχιλλέας δε θα φτάσει ποτέ τη χελώνα. Δηλαδή συμπεραίνουμε ότι «ο ταχύτερος ποτέ δεν θα προσπεράσει τον βραδύτερο». Όμως σήμερα ξέρουμε ότι ο συνολικός χρόνος που χρειάζεται ο Αχιλλέας είναι ένας πεπερασμένος αριθμός και δίνεται απ τη σχέση όρων γεωμετρικής προόδου με α 1 =10 και λ= <1. Το παράδοξο της σανίδας αφού είναι το άθροισμα απείρων Μία σανίδα μήκους L = 1 μέτρο, είναι γερμένη πάνω σε έναν τοίχο κάθετο με το έδαφος, όπως φαίνεται στο σχήμα. Πιάνουμε τη σανίδα από το κάτω άκρο της και την τραβάμε μακριά από τον τοίχο με μικρή αλλά σταθερή ταχύτητα v. Η σανίδα θα αρχίσει να κινείται τόσο κατά τον οριζόντιο όσο και κατά τον κατακόρυφο άξονα, ενώ θα βρίσκεται σε επαφή με τον τοίχο και το έδαφος. Θα αποδείξουμε πως το άνω άκρο της σανίδας θα καταλήξει να κινείται με άπειρη ταχύτητα. Προσπαθήστε να ανακαλύψετε σε ποιο από τα παρακάτω βήματα βρίσκεται το λάθος και γιατί. Τοίχος y χ t L Έδαφος Για την παρακολούθηση της πιο κάτω απόδειξης απαιτούνται κάπως πιο προχωρημένες γνώσεις Φυσικής. 1. Ορίζουμε σαν x(t) την οριζόντια απόσταση που απέχει κάθε χρονική στιγμή t το κάτω άκρο της σανίδας από τον τοίχο. 2. Ορίζουμε σαν y(t) την κάθετη απόσταση που απέχει κάθε χρονική στιγμή t το άνω άκρο της σανίδας από το έδαφος. 3. Αφού ο τοίχος, το έδαφος και η σανίδα σχηματίζουν κάθε στιγμή ένα ορθογώνιο τρίγωνο, μπορούμε να γράψουμε: 4. Από το Βήμα 3 προκύπτει πως 58

59 5. Υπολογίζουμε την παράγωγο του y ως προς t, με τον κανόνα της αλυσίδας και τον κανόνα της παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης: 6. Το διαφορικό dy/dt μπορούμε να το συμβολίσουμε σαν u(t) και είναι η ταχύτητα που κινείται το άνω άκρο της σανίδας πάνω στον τοίχο και το διαφορικό dx/dt είναι η σταθερή ταχύτητα v που κινείται το κάτω άκρο της σανίδας πάνω στο έδαφος. Δηλαδή η σχέση στο Βήμα 5 γράφεται: Στο ίδιο αποτέλεσμα θα καταλήγαμε και αν υπολογίζαμε την παράγωγο dy/dt στον τύπο του 4ου Βήματος, αναλύοντας το x(t) σε x o + vt. 7. Όσο η σανίδα πλησιάζει να ακουμπήσει ολόκληρη στο έδαφος, το x τείνει στο L. Έτσι ο αριθμητής του πιο πάνω κλάσματος τείνει στην τιμή Lv, η οποία είναι μη μηδενική και ο παρονομαστής τείνει στο μηδέν. 8. Άρα η ταχύτητα u(t) του άνω άκρου της σανίδας συνεχώς αυξάνεται και ενώ η σανίδα τείνει να ακουμπήσει στο έδαφος, η ταχύτητα τείνει στο άπειρο. Λύση: Ο παραπάνω τύπος στο βήμα 6 είναι σωστός, απλά πρέπει να υπολογίσουμε ότι το v που είναι η ταχύτητα στο άξονα x είναι και αυτή μηδέν (τη χρονική στιγμή που μελετάμε), οπότε δεν έχουμε μη μηδενικό αριθμητή και άρα έχουμε απροσδιοριστία την οποία πρέπει να άρουμε. Ένα απρόσμενο παράδοξο πιθανοτήτων, το παράδοξο του Monty Hall Υπάρχουν τρεις πόρτες. Η μία απ αυτές κρύβει ένα αυτοκίνητο. Οι άλλες κρύβουν από μία κατσίκα. Ένας παίκτης καλείται να διαλέξει μια πόρτα, σύμφωνα με το γνωστό πλέον παιχνίδι της κουρτίνας. Ας πούμε πως ο παίκτης επιλέγει την 1η πόρτα. Ο παρουσιαστής, βέβαια, δε θα ανοίξει αμέσως αυτήν την πόρτα, αλλά θα καθυστερήσει λίγο, ανοίγοντας ας πούμε την 3η πόρτα, η οποία περιέχει μια κατσίκα και ο παρουσιαστής δίνει στον παίκτη τη δυνατότητα να αλλάξει, αν θέλει, την επιλογή του ανάμεσα στις δύο πόρτες που έχουν απομείνει ή αν θέλει, να τη διατηρήσει. Το ερώτημα που προκύπτει τώρα είναι ο εξής: «Εάν ο παίκτης αλλάξει την επιλογή του και ζητήσει την άλλη πόρτα, έχει διπλάσια πιθανότητα να βρει το αυτοκίνητο απ ότι αν εμμείνει στην αρχική του επιλογή ναι ή όχι;» Ακόμα και οι ίδιοι οι μαθηματικοί, δυσκολεύονται να βρουν τη σωστή απάντηση. Οι στατιστικές δείχνουν ότι μόλις το 13% των ανθρώπων απαντάει σωστά στην παραπάνω ερώτηση. Ας δούμε τις σκέψεις που γίνονται για την επίλυση του προβλήματος. 59

60 Η πρώτη προσέγγιση λέει ότι εφόσον έχουν απομείνει δύο πόρτες, εκ των οποίων η μία έχει το αυτοκίνητο και η άλλη την κατσίκα, οι πιθανότητες να πετύχει κανείς το αυτοκίνητο είναι δηλαδή 50% σε οποιαδήποτε πόρτα, επομένως το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το κορώνα-γράμματα, δηλαδή οι πιθανότητες είναι οι ίδιες και ο παίκτης δεν έχει ιδιαίτερο λόγο να αλλάξει την αρχική του επιλογή. Η απάντηση αυτή μάλιστα θεωρείται, με την πρώτη αυτήν προσέγγιση, εξόφθαλμη και προφανέστατη. Είναι, όμως, η λανθασμένη, και γι αυτόν ακριβώς το λόγο το Monty Hall problem αποκαλείται και Monty Hall paradox Η δεύτερη και η σωστή προσέγγιση χρησιμοποιεί πιο αποτελεσματικά όλα τα δεδομένα. Ας δούμε πιο προσεκτικά λοιπόν τα δεδομένα. Ο παρουσιαστής πάντα γνωρίζει τι βρίσκεται πίσω από κάθε πόρτα και θα επιλέξει ποια πόρτα θα ανοίξει πρώτη, ούτως ώστε η αγωνία να παραταθεί και να συγκεντρωθεί στο επόμενο άνοιγμα. Χωρίς αυτό το δεδομένο, πράγματι, το άνοιγμα της πρώτης πόρτας θα ήταν ένα τυχαίο πείραμα και το αποτέλεσμά του, η αποκάλυψη της κατσίκας, θα μας δημιουργούσε καινούρια δεδομένα, ανεξάρτητα από τα αρχικά, και τότε, πράγματι, οι πιθανότητες θα γίνονταν 50%-50%. Το παραπάνω δεδομένο, όμως, μας λέει ότι το πείραμα του ανοίγματος της πρώτης πόρτας, δεν είναι τυχαίο. Αντιθέτως, στην πραγματικότητα δεν είναι καν πείραμα. Επομένως η κατάσταση στην οποία βρέθηκε ο παίκτης δεν είναι καθόλου ανεξάρτητη από το παρελθόν της από τον τρόπο με τον οποίο προέκυψε. Στην αρχή, όταν υπήρχαν τρεις κλειστές πόρτες, η πιθανότητα να επιλέξει ο παίκτης την πόρτα με το αυτοκίνητο ήταν πιθανότητα να επιλέξει πόρτα με κατσίκα ήταν ή 33,3%, ενώ η ή 66,6%. Αποκαλύπτοντας ο παρουσιαστής την κατσίκα πίσω από την πόρτα που άνοιξε, δεν άλλαξε αυτό το δεδομένο. Η αρχική επιλογή του παίκτη, λοιπόν, εξακολουθεί να έχει 33,3% πιθανότητα να κρύβει αυτοκίνητο και 66,6% πιθανότητα να κρύβει κατσίκα. Τότε η άλλη πόρτα θα έχει, αντιστρόφως, 66,6% πιθανότητα να έχει αυτοκίνητο και 33,3% να έχει κατσίκα. Αλλάζοντας πόρτα, λοιπόν, έχουμε πράγματι διπλάσιες πιθανότητες να βρούμε το αυτοκίνητο. Τελικά καταλήγουμε στη σωστή πόρτα, αν η αρχική μας επιλογή ήταν εσφαλμένη, που είναι και το πιθανότερο, ενώ αν ήμασταν αρκετά τυχεροί στην αρχή ώστε να μαντέψουμε σωστά με την πρώτη την πόρτα με το αυτοκίνητο (33,3%), αλλάζοντάς την, στη συνέχεια, το χάνουμε.. Ο Κουρέας Στη προσπάθειά του να θεμελιώσει τα μαθηματικά, να βρει ένα σύνολο θεμελιωδών παραδοχών, αρκετό να αναπαράγει όλο τον κόσμο της ανθρώπινης λογικής, Russell ο το 1901 έδειξε ότι η αφελής θεωρία συνόλων που δημιουργήθηκε από τον Candor οδηγεί σε μια αντίφαση επίσης γνωστή ως αντινομία. 60

61 Ο Bernard Russell διατύπωσε το εξής παράδοξο: «Σε ένα χωριό που όλοι οι άντρες είναι καθημερινά ξυρισμένοι, υπάρχει ένας μόνο κουρέας. Αυτός ξυρίζει όλους τους άντρες που δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Τότε όμως ποιος ξυρίζει τον κουρέα;» Ο κανόνας είναι δεσμευτικός. Το τοπίο φαίνεται ιδανικό αρκεί να μην σκεφτούμε ποιος θα κουρεύει τον κουρέα. Ο κουρέας ξυρίζεται μόνος του; Αδύνατον, αφού (ως κουρέας) ξυρίζει όλους τους άντρες που δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Αν όμως δεν ξυρίζεται μόνος του, παύει πλέον να ανήκει σε αυτήν την ομάδα των «αυτο-ξυριζόμενων», και μπορεί να ξυρίσει τον εαυτό του! Πράγμα πάλι αδύνατον γιατί τότε δε θα μπορούσε να ξυρίσει κανέναν άλλον. Λύση: Εξήγηση αυτού του παραδόξου μπορεί να δοθεί με χρήση των συνόλων: Η διατύπωση του προβλήματος περιέχει ουσιαστικά δυο κανόνες: Κανόνας 1: κάθε άτομο είτε ξυρίζεται μόνο του είτε ξυρίζεται από τον κουρέα. Κανόνας 2: κάθε άτομο πρέπει να ανήκει σε μία από τις δυο κατηγορίες. Βάσει του κανόνα 1 δημιουργούμε δύο σύνολα: το πρώτο έχει για στοιχεία τους κατοίκους του χωριού που ξυρίζονται μόνοι τους και το δεύτερο τους κατοίκους του χωριού που τους ξυρίζει ο κουρέας. Βάσει του κανόνα 2 το κάθε στοιχείο μπορεί να ανήκει μόνο στο ένα από τα δύο σύνολα και σε κάθε κάτοικο του χωριού να ξυρίζεται. Όμως όταν ο κουρέας ξυρίζεται τότε σαν στοιχείο ανήκει ταυτόχρονα και στα δύο σύνολα. Έτσι αν δεχτούμε σαν σωστό τον Κανόνα 1 τότε ο Κανόνας 2 δημιουργεί αντίφαση. Για να ανήκει πραγματικά το κάθε στοιχείο μόνο στο ένα από τα δύο σύνολα, ο Κανόνας 2 θα έπρεπε να είναι διατυπωμένος με τρόπο που τα δύο ενδεχόμενα να είναι μεταξύ τους αντίθετα, δηλαδή: «Ο κάθε κάτοικος είτε ξυρίζεται μόνος του είτε δεν ξυρίζεται μόνος του», οπότε ο κουρέας ανήκει μόνο στο πρώτο σύνολο ή εναλλακτικά: «τον κάθε κάτοικο είτε δεν τον ξυρίζει ο κουρέας είτε τον ξυρίζει ο κουρέας», οπότε ο κουρέας ανήκει μόνο στο δεύτερο σύνολο. Βρισκόμαστε εδώ μπροστά σ ένα παράδοξο. Σύμφωνα με τον Russell, για να το ξεπεράσουμε πρέπει να διορθώσουμε τη δική μας λανθασμένη αντίληψη ότι για κάθε ιδιότητα πρέπει οπωσδήποτε να υπάρχει ένα σύνολο. Σ αυτή την περίπτωση, δεν δημιουργείται κανένα ομοιογενές σύνολο. Τα γενέθλια Το παράδοξο των γενεθλίων στη θεωρία πιθανοτήτων αναφέρεται σε ένα πρόβλημα το οποίο κατά την κοινή λογική έχει μια απίθανη απάντηση. Μία από τις μορφές του προβλήματος είναι: «Ας υποθέσουμε ότι σε ένα χώρο βρίσκονται άνθρωποι τυχαία επιλεγμένοι. Ζητάμε να βρούμε ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός n, ώστε τουλάχιστον δύο από αυτούς τους ανθρώπους να έχουν γενέθλια την ίδια ημέρα με πιθανότητα μεγαλύτερη από (α) 50% και (β) 99%.» Για τη επίλυση του προβλήματος κάνουμε τις εξής παραδοχές: όλα τα έτη έχουν 365 μέρες και κάθε μία από τις 365 μέρες του χρόνου είναι το ίδιο πιθανή για να γεννηθεί κάποιος. Στο πρόβλημα, για λόγους απλοποίησης, δεν παίρνουμε υπόψη μας τα δίσεκτα έτη ούτε τους δίδυμους ούτε το γεγονός ότι η κατανομή των γενεθλίων στατιστικά δεν είναι ομοιόμορφη. 61

62 Λύση: Αν η πιθανότητα εύρεσης δύο ατόμων που έχουν την ίδια μέρα γενέθλια σε μια ομάδα N ατόμων είναι P(A) είναι πιο εύκολο να υπολογίσουμε την αντίστροφη πιθανότητα P(A') την πιθανότητα όλα τα άτομα να έχουν διαφορετική μέρα γενέθλια. Καθώς είναι αντίστροφες ισχύει P(A') = 1 P(A). Για ένα άτομο η πιθανότητα είναι =1 δηλαδή 100%. Για το δεύτερο άτομο η πιθανότητα να μην έχει ίδια ημέρα γενέθλια με το πρώτο είναι 364/365. Γιατί το γεγονός το 2 ο άτομο να μην έχει ίδια μέρα γενέθλια με το 1 ο είναι ισοδύναμο με το γεγονός να έχει γενέθλια μία από τις υπόλοιπες 364 μέρες του χρόνου. Άρα η πιθανότητα είναι (ευνοϊκές περιπτώσεις προς συνολικές περιπτώσεις). Όμοια για το τρίτο άτομο είναι. Συνεχίζοντας την ανάλυση βρίσκουμε ότι για το Ν-οστό άτομο είναι Γνωρίζουμε επίσης ότι όταν δύο γεγονότα είναι ανεξάρτητα το ένα από το άλλο τότε η πιθανότητα να ισχύουν είναι το γινόμενων των διαφορετικών πιθανοτήτων. Επομένως η πιθανότητα είναι : P(A') = P(1) P(2) P(3)... P(Ν) P(A') = από αυτό συνεπάγεται ότι: Γενικά για Ν αριθμό ατόμων έχουμε: N P(A) 10 11,69% 20 41,14% 23 50,73% 30 70,63% 50 97,04% ,99% Οπότε κάνοντας τους απαραίτητους υπολογισμούς (με χρήση του Excel 1 ) βλέπουμε ότι απαιτούνται μόνο 23 άτομα ώστε η πιθανότητα 2 τουλάχιστον από αυτά να έχουν την ίδια μέρα γενέθλια να είναι μεγαλύτερη από 50% και σε μια ομάδα 100 ατόμων η πιθανότητα αυτή γίνεται περίπου 100%. 1 Στο Excel δε μπορούσε να γίνει υπολογισμός για Ν >

63 Σπαζοκεφαλιές Επιμέλεια: Μανέτος Νίκος Τα μαγικά τετράγωνα (Sudoku) αποτελούν μια από τις σπουδαιότερες μαθηματικές σπαζοκεφαλιές. Οι απαρχές των οποίων ορίζονται τον 9ο μ.χ αιώνα στην περιοχή της Κίνας και της Ινδίας Μαγικό τετράγωνο είναι τετράγωνο με αριθμούς όπου το άθροισμα τους οριζοντίως, καθέτως και διαγωνίως είναι το ίδιο. Φυσικά όμως έχουν επαναπροσδιοριστεί μέχρι σήμερα αρκετές φορές. Γρίφοι Συναντώνται δύο φίλοι. Λέει ο ένας στον άλλον ότι απέκτησε τρεις κόρες. Τον ρωτά ο φίλος του τι ηλικία έχουν και εκείνος του απαντά: "Δεν θα σου πω πόσο χρονών είναι αλλά θα σου πω ότι το γινόμενο των ηλικιών των κοριτσιών μου είναι 36, το άθροισμα είναι ο αριθμός της απέναντι πολυκατοικίας που βλέπεις και η μεγαλύτερη κόρη μου έχει γαλάζια μάτια." Και ο άλλος του απαντά: "Ωραία, το βρήκα." Ποιες είναι τελικά οι ηλικίες των τριών κοριτσιών; Απάντηση: Η σωστή απάντηση είναι Αν γράψουμε όλους τους συνδυασμούς που μας κάνουν γινόμενο 36 θα δούμε ότι μόνο δύο συνδυασμοί έχουν το ίδιο άθροισμα & Επειδή όμως μια είναι η μεγαλύτερη κόρη, σωστή είναι το Αν τρεις γάτες πιάνουν 3 ποντίκια σε 3 λεπτά, πόσες γάτες το ίδιο ικανές και γρήγορες με αυτές που πιάνουν τα 3 ποντίκια σε 3 λεπτά, θα χρειαστούν για να πιάσουν 100 ποντίκια σε 100 λεπτά; Απάντηση: Οι ίδιες 3 γάτες. Πιάνουν και στις δύο περιπτώσεις 1 ποντίκι το λεπτό. Ο Πέτρος και η Μαρία ζουν μαζί με τα 12 παιδιά τους. Κάποια από αυτά είναι από τον προηγούμενο γάμο του Πέτρου και κάποια από τον προηγούμενο γάμο της Μαρίας. Ο καθένας τους συνδέεται άμεσα με 9 από τα παιδιά αυτά. Πόσα παιδιά απέκτησαν μαζί; Απάντηση: Μαζί απέκτησαν 6 παιδιά. Τρία είχε ο Πέτρος από τον πρώτο γάμο του και τρία η Μαρία. Ένα γατάκι έπεσε σ ένα πηγάδι βάθους 10 μέτρων. Κάθε μέρα ανέβαινε 3 μέτρα, αλλά το βράδυ γλιστρούσε πίσω 2 μέτρα. Σε πόσες μέρες βγήκε το γατάκι από το πηγάδι; Απάντηση: 8 μέρες. Κάθε μέρα, ανεβαίνει 1 μέτρο. Στις 7 μέρες θα έχει ανέβει 7 μέτρα. Την 8η μέρα θα ανέβει 3 μέτρα και θα πηδήξει έξω από το πηγάδι. Σαν κλείσιμο της λοιπόν θα μπορούσαμε να συμπεράνουμε πως τα μαθηματικά έχουν μια ιστορία και ένα λαμπρό μέλλον, όχι γιατί απλά βοηθούν τις ανακαλύψεις αλλά ψυχαγωγούν τον άνθρωπο και οξύνουν την σκέψη και το μυαλό του. 63

64 Πηγές Βιβλιογραφία Μάγια: %B1-%CE%BC%CE%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AC- %CE%BA%CE%B1%CE%B9- %CE%B7%CE%BC%CE%B5%CF%81%CE%BF%CE%BB%CF%8C%CE%B3%CE%B9%CE%BF/ Ρωμαιοι: E%AF_%CE%B1%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CE%BF%CE%AF Ιστορια των μαθηματικων: F%84%CF%89%CE%BD_%CE%BC%CE%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9 %CE%BA%CF%8E%CE%BD Βαβυλωνιοι: sigma973sigmatauetamualpha.html Πρωτοι: https://el.wikipedia.org/wiki/%ce%a0%cf%81%cf%8e%cf%84%ce%bf%cf%82_%ce%b1% CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CF%8C%CF%82 Φυσικοι: https://el.wikipedia.org/wiki/%ce%a6%cf%85%cf%83%ce%b9%ce%ba%cf%8c%cf%82_% CE%B1%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CF%8C%CF%82 ακεραιο: https://el.wikipedia.org/wiki/%ce%91%ce%ba%ce%ad%cf%81%ce%b1%ce%b9%ce%bf% CF%82_%CE%B1%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CF%8C%CF%82 ρητοι: https://el.wikipedia.org/wiki/%ce%a1%ce%b7%cf%84%cf%8c%cf%82_%ce%b1%cf%81% CE%B9%CE%B8%CE%BC%CF%8C%CF%82 πραγματικοι: https://el.wikipedia.org/wiki/%ce%a0%cf%81%ce%b1%ce%b3%ce%bc%ce%b1%cf%84%c E%B9%CE%BA%CF%8C%CF%82_%CE%B1%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CF%8C%CF%82 μιγαδικοι: https://el.wikipedia.org/wiki/%ce%9c%ce%b9%ce%b3%ce%b1%ce%b4%ce%b9%ce%ba% CF%8C%CF%82_%CE%B1%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CF%8C%CF%82 Γκέορκ Καντόρ: https://el.wikipedia.org/wiki/%ce%93%ce%ba%ce%ad%ce%bf%cf%81%ce%b3%ce%ba_ %CE%9A%CE%B1%CE%BD%CF%84%CF%8C%CF%81, Μαθηματική έρευνα 64

65 65

66 Σημαντικοί αριθμοί των Μαθηματικών Ομάδα 3 «Λ 3 +Μ 2» Μέλη Ερευνητικά ερωτήματα 1 Λάμπου Μαρία Ο χρυσός αριθμός φ 2 Λιακοπούλου Άρτεμις Ο χρυσός αριθμός φ 3 Λυμπέρης Νίκος Οι αριθμοί i, e και οι αριθμοί Fibonacci 4 Μαντάς Κώστας Ο αριθμός π 5 Μαργέλου Κατερίνα Οι πρώτοι αριθμοί «Αεί ο Θεός ο μέγας γεωμετρεί το κύκλου μήκος ίνα ορίση διαμέτρω παρήγαγεν αριθμόν απέραντον και ον φευ! ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι.» Νικόλαος Ι. Χατζηδάκης 66

67 67

68 Περιεχόμενα Σημαντικοί αριθμοί των Μαθηματικών Οι πρώτοι αριθμοί Προβληματική Ποιοι είναι οι πρώτοι αριθμοί; Ιστορία Βασικά Θεωρήματα Εύρεση πρώτων αριθμών Ανοιχτά προβλήματα που αφορούν τους πρώτους αριθμούς Πως υπάρχουν στη ζωή μας Φαντασία -Πραγματικότητα - Σύμπαν Υπάρχει φαντασία στα μαθηματικά; Αριθμός e: Πανταχού παρών, αν και προερχόμενος από το υπερπέραν! Η ανακάλυψη του e Ιστορία Η ονομασία Ορισμός και Εκθετική συνάρτηση Εφαρμογές Ο e και η Φύση Ο αριθμός π [7] Προβληματική Ας μιλήσουμε για τον "π" Ποιος όμως είναι ο π; Ορισμοί του π Συμβολισμός Τα μαθηματικά του π Ιστορική αναδρομή Εκτιμήσεις του π Ιδιότητες Πιθανότητες στο π Το πάθος για τον αριθμό π Ιστορική σχέση - Σύνδεση του αριθμού e με τον αριθμό i και π Η ακολουθία Fibonacci [5] Οι αριθμοί Fibonacci στα φυτά και στα ζώα

69 Η ακολουθία Fibonacci στις αγορές [6] Ο Χρυσός Αριθμός Φ [1][4] Υπολογισμός Ο Χρυσός Λόγος στις τέχνες Αρχαίοι Έλληνες και Αρχιτεκτονική [2] Ο Χρυσός Λόγος στην Αρχιτεκτονική σε παγκόσμιο επίπεδο Ο Χρυσός Λόγος στη Ζωγραφική [3] Το Φ στη Γεωμετρία των Fractals Το Φ στη Βίβλο του Ισλάμ Ο Χρυσός Αριθμός στο ανθρώπινο σώμα και στη φύση Ο Χρυσός Αριθμός Φ στο ανθρώπινο σώμα Βιβλιογραφία

70 Σημαντικοί αριθμοί των Μαθηματικών Οι πρώτοι αριθμοί Επιμέλεια: Μαργέλου Κατερίνα Προβληματική Από τα αρχαία κιόλας χρόνια, οι αριθμοί παίζουν ένα πρωταρχικό ρόλο στη ζωή μας. Μία όμως κατηγορία αριθμών αποτελεί το θεμέλιο λίθο των μαθηματικών! Οι πρώτοι αριθμοί εκτός από την συμβολή τους στην καθημερινότητά μας, έχουν εμπνεύσει καλλιτέχνες και συγγραφείς, και είναι απαραίτητοι για την εξέλιξη της τεχνολογίας. Παρακάτω θα δούμε ποιοι είναι οι πρώτοι αριθμοί, την ιστορία τους, ορισμένες από τις ιδιότητές τους, τη σημαντικότατη συμβολή τους στη καθημερινότητά μας αλλά και πως αυτοί δημιουργήθηκαν. Ποιοι είναι οι πρώτοι αριθμοί; Οι πρώτοι αριθμοί δεν αποτελούν κάποια περίπλοκη έννοια, που απαιτεί χρόνια μαθηματικών σπουδών. Διδάσκονται στα σχολεία από τα πρώτα κιόλας μαθήματα. Αρκεί να ξέρει κανείς τις 4 βασικές αριθμητικές πράξεις. Οι πρώτοι αριθμοί έχουν χαρακτηριστεί πολλές φορές ως οι θεμέλιοι λίθοι των μαθηματικών, ως τα άτομα της αριθμητικής ή ο γενετικός κώδικας των αριθμών. Θεωρούνται ως τα πρωταρχικά στοιχεία με βάση τα οποία γεννιούνται οι αριθμοί. Ένας αριθμός μπορεί να χαρακτηριστεί ως πρώτος, αν έχει ακριβώς δύο θετικούς διαιρέτες, το 1 και τον εαυτό του, κάθε άλλος αριθμός ονομάζεται σύνθετος. Για παράδειγμα, ο αριθμός 2 είναι πρώτος αριθμός, καθώς μπορεί να διαιρεθεί μόνο με τον αριθμό 1 και με τον εαυτό του όμοια και οι αριθμοί 3, 5, 7, 11, 13 κ.ο.κ.. Εδώ δημιουργείται το ερώτημα ο αριθμός 1 είναι πρώτος; Η προφανής και αβασάνιστη απάντηση είναι ναι γιατί διαιρείται μόνο με τον εαυτό του. Όμως στα μαθηματικά όπως έχουμε δει τα πάντα ορίζονται με ακρίβεια και οποιοδήποτε θεώρημα αν διατυπωθεί δεν πρέπει να έρχεται σε αντίθεση με τα προηγούμενα. Ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τους πρώτους αριθμούς είναι η Θεωρία Αριθμών και θα δούμε μερικά βασικά θεωρήματα που τους αφορούν. Ιστορία Υπάρχουν ενδείξεις σε διασωθείσες επιγραφές των αρχαίων Αιγυπτίων ότι είχαν κάποια γνώση πρώτων αριθμών. Ωστόσο, οι πιο πρώιμες διασωθείσες επιγραφές σαφούς μελέτης των πρώτων αριθμών προέρχονται από τους αρχαίους Έλληνες. Τα στοιχεία του Ευκλείδη 70

71 (περίπου στο 300 π.χ.) περιέχουν σημαντικά θεωρήματα για τους πρώτους αριθμούς, συμπεριλαμβανομένων της απειρίας των πρώτων αριθμών και του θεμελιώδους θεωρήματος της Αριθμητικής. Το κόσκινο του Ερατοσθένη, το οποίο αποδίδεται στον Ερατοσθένη, είναι μια απλή μέθοδος να υπολογίσουμε τους πρώτους, παρόλο που οι μεγάλοι πρώτοι δεν υπολογίζονται σήμερα με τους υπολογιστές με αυτό τον τρόπο. Μετά τους Έλληνες, λίγα πράγματα συνέβησαν με την έρευνα των πρώτων αριθμών μέχρι τον 17ο αιώνα. Για ένα μεγάλο χρονικό διάστημα, οι πρώτοι αριθμοί θεωρούνταν ότι είχαν εξαιρετικά περιορισμένη εφαρμογή έξω από τα καθαρά μαθηματικά: αυτό άλλαξε τη δεκαετία του 1970, όταν ανακαλύφθηκε ότι αποτελούν τη βάση των πρώτων αλγορίθμων. Βασικά Θεωρήματα Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής: «Κάθε θετικός ακέραιος μπορεί να γραφεί με μοναδικό τρόπο σαν πρώτος αριθμός ή σαν γινόμενο πρώτων αριθμών όπου οι πρώτοι παράγοντες γράφονται σε σειρά μη ελαττούμενου μεγέθους.» Έστω α Ν µε α>1 και έστω p ο ελάχιστος πρώτος διαιρέτης του α. Αν α = p τότε ο α πρώτος και έχουµε τελειώσει. Αν α σύνθετος έστω p ο ελάχιστος πρώτος διαιρέτης του α/p. Αν ο α/p πρώτος τότε τελειώσαµε. Αλλιώς συνεχίζουµε την ίδια διαδικασία εξάντλησης η οποία θα τελειώσει κάποτε γιατί ο α πεπερασµένος και θα έχει τελειώσει όταν ο α έχει αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων. Αυτή η ανάλυση θα είναι μοναδική για τον α. Πράγματι, αν ίσχυε ότι α = p 1 p 2...p ν = q 1 q 2... q µ µε p r q s r ν και s µ (1), αν για κάποιους πρώτους p r, q s ισχύει p r =q s τότε τους απαλείφουµε µέχρι να φτάσουµε στην µορφή (1) θα έπρεπε για κάποιους p κ, q λ να ισχύει ότι p κ! q λ και άρα p κ =q λ κάτι που οδηγεί σε αντίφαση λόγω του ότι ο α γράφεται στην µορφή (1). Συνεπώς, αποδείχτηκε το ζητούµενο. Οι αρχαίοι Έλληνες δε θεωρούσαν τον 1 ούτε ως αριθμό κι έτσι δε τον θεωρούσαν ούτε ως πρώτο. Ωστόσο, στο 19ο αιώνα πολλοί μαθηματικοί θεωρούσαν τον 1 ως πρώτο αριθμό. Για παράδειγμα, η λίστα του Derrick Norman Lemer που περιείχε πρώτους αριθμούς ως το 10,006,721 και εκδόθηκε μέχρι και το 1956, άρχιζε με τον 1 ως πρώτο αριθμό. Λέγεται ότι ο Henri Léon Lebesgue είναι ο τελευταίος επαγγελματίας μαθηματικός που θεωρεί τον 1 ως πρώτο αριθμό. Παρόλο που ένα μεγάλο τμήμα των μαθηματικών είναι σωστό με τη θεωρία του 1 ως πρώτου αριθμού, το παραπάνω θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής δε στέκει όπως είναι διατυπωμένο. Για παράδειγμα, ο αριθμός 15 μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως 3 5 ή Αν ο 1 ήταν πρώτος, τότε αυτές οι δύο εκφράσεις θα παρίσταναν διαφορετικές παραγοντοποιήσεις του 15 σε πρώτους αριθμούς κι έτσι το θεώρημα θα έπρεπε να τροποποιηθεί. Τέλος, παρά το γεγονός ότι όσο αυξάνονται αραιώνουν, ο μεγαλύτερος πρώτος αριθμός αποτελείται από περισσότερα από ψηφία. 71

72 «Οι πρώτοι αριθμοί έχουν άπειρο πλήθος.», όπως απέδειξε ο Ευκλείδης περίπου στο 300 π.χ. με την εις άτοπον απαγωγή. Ας υποθέσουμε, πως το πλήθος των πρώτων αριθμών δεν είναι άπειρο. Τότε μπορούμε να τους καταγράψουμε όλους σε μια ακολουθία {p k }={p 1, p 2,, p k }. Ο συμβολισμός αυτός υποδηλώνει ότι ο p 1 είναι ο πρώτος πρώτος αριθμός (p 1 =2), ο p 2 είναι ο δεύτερος πρώτος (p 2 =3) κ.λ.π. με τον p k να είναι ο τελευταίος πρώτος από τους συνολικά k πρώτους αριθμούς. Θεωρούμε, λοιπόν, τον ακέραιο που παίρνουμε πολλαπλασιάζοντας όλους τους πρώτους μεταξύ τους και προσθέτοντας τον 1. Έστω ότι αυτός είναι ο αριθμός N. Έχουμε δηλαδή : Ν= (p 1 * p 2 * * p k) +1 O αριθμός αυτός μπορεί να σχηματιστεί, υπό την προϋπόθεση ότι το πλήθος των πρώτων αριθμών είναι πεπερασμένο. Τότε αν ο Ν ήταν πρώτος θα ήταν μεγαλύτερος του p k, αυτό όμως είναι αδύνατο από την ιδιότητα του p k ως τελευταίου πρώτου. Έτσι, για κάθε πρώτο p i ο αριθμός Ν είναι κατά 1 μεγαλύτερος από ένα πολλαπλάσιο του p i. Εφόσον λοιπόν ο Ν, διαιρούμενος με τον p i αφήνει υπόλοιπο 1, δεν είναι πολλαπλάσιο κανενός πρώτου p i, και άρα δεν διαιρείται με κανέναν πρώτο. Επομένως οι πρώτοι διαιρέτες του Ν είναι όλοι μεγαλύτεροι του p k και συνεπώς και ο ίδιος είναι πρώτος. Όμως ο Ν είναι (κατά πολύ) μεγαλύτερος από κάθε p i της ακολουθίας {p k }, άτοπο. Άρα η υπόθεση ότι οι πρώτοι είναι πεπερασμένοι είναι λανθασμένη και άρα οι πρώτοι είναι άπειροι στο πλήθος. Αργότερα το απέδειξε και ο Eüler με την αναλυτική μέθοδο. «Αν ένας αριθμός ν δεν έχει διαιρέτες μικρότερους ή ίσους από την τετραγωνική του ρίζα, τότε είναι πρώτος.» Θα δείξουμε την ισοδύναμη πρόταση: «Έστω ν ένας σύνθετος φυσικός αριθµός. Τότε ο ν έχει έναν τουλάχιστον διαιρέτη δ ώστε 1<δ.» Αφού ο ν σύνθετος, θα υπάρχει ένας ελάχιστος διαιρέτης δ του ν, µε 1<δ<ν ώστε ν =δ κ. Θα αποδείξουμε τώρα ότι ο δ. Αφού ν =δ κ και ο δ είναι ο ελάχιστος διαιρέτης του ν, συμπεραίνουνε ότι δ κ άρα ν δ 2. Συνεπώς, δ που αποδεικνύει το θεώρηµα. Βασιζόμενοι σε αυτό το αποτέλεσµα, µπορούµε να αποφανθούµε σχετικά σύντοµα για το πότε ένας αριθµός είναι σύνθετος ή πρώτος. Ελέγχουµε όλους τους αριθµούς που δεν υπερβαίνουν την τετραγωνική ρίζα του ν, αν είναι διαιρέτες του ν. Αν δεν βρούµε κάποιον που να αποτελεί διαιρέτη του ν, τότε ο ν είναι αναγκαστικά πρώτος. Αλλιώς έχουµε βρει κάποιον γνήσιο διαιρέτη του ν και γνωρίζουµε µε ασφάλεια ότι ο ν είναι σύνθετος. Αυτό που κάνει ακόµη πιο ενδιαφέρον το θεώρηµα, είναι ότι δεν είναι ανάγκη να ελέγξουµε όλους τους αριθµούς που δεν υπερβαίνουν την τετραγωνική ρίζα του ν, αλλά µόνο τους πρώτους που δεν υπερβαίνουν την ρίζα ν. Αυτό γιατί όπως µας λέει ένα προαναφερθέν θεώρηµα, ο ν έχει υποχρεωτικά κάποιο πρώτο διαιρέτη, που σηµαίνει ότι αν δεν βρούµε πρώτο που να διαιρεί γνήσια τον ν, δε θα βρούµε και κανέναν άλλο φυσικό αριθµό που να διαιρεί γνήσια τον ν. «Όλοι οι πρώτοι αριθμοί στο δεκαδικό σύστημα έχουν ως τελευταίο ψηφίο κάποιο από τα 1,3,7 ή 9.» 72

73 Αυτό θα μπορούσαμε να πούμε ότι είναι προφανές αν εξαιρέσουμε όλους τους αριθμούς που ικανοποιούν τα βασικά κριτήρια διαιρετότητας που μας είναι γνωστά από τις τάξεις του δημοτικού. Όπως «οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 έχουν ψηφίο μονάδων δηλαδή τελευταίο ψηφίο 0 ή 2 ή 4 ή 6 ή 8» και «οι αριθμοί που διαιρούνται με το 5 έχουν ως ψηφίο μονάδων 0 ή 5». Εύρεση πρώτων αριθμών Η εύρεση πρώτων αριθμών υπήρξε και εξακολουθεί να είναι ένα θέμα εξαιρετικά πολύπλοκο. Εφευρέθηκαν αρκετοί αλγόριθμοι για την εύρεση των πρώτων αριθμών Κόσκινο του Ερατοσθένη Μία από τις πρώτες γνωστές μεθόδους που χρησιμοποιήθηκαν γι αυτό το σκοπό είναι το κόσκινο του Ερατοσθένη. Ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος ( π.χ.) ήταν ένας σπουδαίος Έλληνας μαθηματικός, αστρονόμος και γεωγράφος. Για να εφαρμόσουμε τη μέθοδό του και να παράγουμε τους πρώτους 100 αριθμούς, αρκεί να ακολουθήσουμε 2 απλά βήματα. Αρχικά, κατασκευάζουμε ένα πίνακα με όλους τους φυσικούς αριθμούς από το 1 μέχρι το 100. Στη συνέχεια, απαλείφουμε: αρχικά τα πολ/σια του 2 στη συνέχεια τα πολ/σια του 3, κατόπιν τα πολ/σια του 5 αμέσως μετά τα πολ/σια του 7 και η διαδικασία επαναλαμβάνεται διαδοχικά για όλους τους αριθμούς που δεν διαγράφονται δηλαδή δεν είναι πολλαπλάσια κάποιου προηγούμενου αριθμού. Oι αριθμοί που απομένουν είναι οι πρώτοι αριθμοί. Η μέθοδος αυτή εφαρμόζεται ως τις μέρες μας, 2000 χρόνια μετά την εφεύρεσή της. Η διαδικασία εύρεσης πρώτων αριθμών είναι επίπονη και για τον λόγο αυτό ανατέθηκε τα τελευταία χρόνια στους υπολογιστές. Θα αναφέρουμε μερικούς αλγόριθμους εύρεσης πρώτων αριθμών, που καθένας από αυτούς ουσιαστικά είναι λίγο ταχύτερος από τον προηγούμενο. Αλγόριθμος 1- από τον ορισμό του πρώτου αριθμού Εξετάζουμε διαδοχικά όλους τους ακέραιους Μ < Ν. Μόλις βρεθεί διαιρέτης του Ν σταματάμε και ο Ν δεν είναι πρώτος. Αν εξαντληθούν οι Μ χωρίς να βρεθεί διαιρέτης, τότε ο Ν είναι πρώτος. Αλγόριθμος 2 Βασιζόμενοι στην παρατήρηση ότι κανένας αριθμός Ν δεν έχει διαιρέτη μεγαλύτερο του Ν/2, τροποποιούμε τον παραπάνω αλγόριθμο εξετάζοντας όλους τους αριθμούς Μ < Ν/2, διπλασιάζοντας έτσι την ταχύτητα σε σχέση με τον "Αλγόριθμο 1". Αλγόριθμος 3 Παρατηρούμε ότι αν ένας αριθμός Ν δεν είναι πρώτος τότε έχει (τουλάχιστον) δύο διαιρέτες μεγαλύτερους από 1. Σε αυτήν την περίπτωση τουλάχιστον ένας διαιρέτης είναι μικρότερος από την τετραγωνική ρίζα του αριθμού. Τροποποιούμε τον αλγόριθμο 2 73

74 εξετάζοντας όλους τους αριθμούς Μ που είναι μικρότεροι από την τετραγωνική ρίζα του N, αν η τελευταία δεν είναι ακέραιος. Αλλιώς ο αριθμός δεν είναι πρώτος, επειδή τον διαιρεί και η τετραγωνική του ρίζα. Αλγόριθμος 4 Εφαρμόζοντας το Θεώρημα του Ουίλσον: «Ένας ακέραιος Ν>1 είναι πρώτος αν και μόνο αν (Ν-1)!+1 διαιρείται από το Ν» μπορούμε να εξετάσουμε, αν ένας αριθμός Ν είναι πρώτος ή όχι. Η μέθοδος αυτή δεν εφαρμόζεται για μεγάλο Ν, αφού είναι δύσκολο να υπολογιστεί το παραγοντικό. Ο μεγαλύτερος γνωστός πρώτος αριθμός Πρώτος Mersenne ονομάζεται ένας πρώτος αριθμός της μορφής 2 p - 1. Ο νιοστός πρώτος αυτής της μορφής συμβολίζεται με M ν. Οι αριθμοί αυτοί ονομάστηκαν έτσι προς τιμή του Γάλλου θεολόγου και μαθηματικού Μ. Mersenne. Μέχρι τον Μάρτιο του 2014, ο μεγαλύτερος γνωστός πρώτος αριθμός είναι ο: Μ 48 = Η ανακάλυψη του, έγινε στις 25 Ιανουαρίου 2013, μέσω του διαδικτυακού προγράμματος κατανεμημένης επεξεργασίας GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search).Ο αριθμός αυτός έχει ψηφία (ο δεύτερος με πάνω από 10 εκατομμύρια ψηφία) και έχει την πρόσθετη ιδιότητα να είναι ο 48ος Μερσέν πρώτος (Mersenne prime) που ανακαλύφθηκε. Ο 47ος Μερσέν πρώτος, ο 2 43,112,609 1, ανακαλύφθηκε στις 25 Αυγούστου του Στο πρόσφατο παρελθόν, όλοι οι πρώτοι που ανακαλύφθηκαν ήταν Μερσέν πρώτοι. Επίσης, για τον πρώτο αριθμό που ανακαλύφθηκε και είχε πάνω από ψηφία, δόθηκαν δολάρια! Δευτεροβάθμια εξίσωση του Eüler Για την αναζήτηση των πρώτων αριθμών προσπάθησαν με διάφορους τρόπους να εντοπίσουν συναρτήσεις ή πολυώνυμα που να παράγουν πρώτους αριθμούς. Ο Eüler σημείωσε ότι η συνάρτηση n 2 + n + 41 δίνει τους περισσότερους πρώτους αριθμούς για τις διαδοχικές ακέραιες τιμές του n, 0 n < 40. Ανοιχτά προβλήματα που αφορούν τους πρώτους αριθμούς Υπόθεση του Riemann Το 1859, ο B. Riemann παρουσίασε την υπόθεση, που είναι η μόνη που απομένει αναπόδεικτη από τον κατάλογο του Χίλμπερτ. Η υπόθεση αφορά την αλληλουχία των πρώτων αριθμών μεταξύ των θετικών ακέραιων. Οι πρώτοι δέκα πρώτοι αριθμοί είναι οι 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 και 29. Οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι, αλλά η συχνότητά τους μειώνεται όσο επεκτείνεται η σειρά θετικών ακεραίων προς το άπειρο. Από τους οκτώ αρχικούς θετικούς ακέραιους αριθμούς, οι μισοί είναι πρώτοι, αλλά από τους αρχικούς εκατό, μόλις το ένα τέταρτο είναι πρώτοι, ενώ από τους αρχικούς ένα εκατομμύριο θετικούς ακέραιους, μόλις ο ένας στους δεκατρείς είναι πρώτος. 74

75 Αυτό δημιουργεί το ερώτημα εάν μπορούμε να εξαγάγουμε κάποιο αξιόλογο συμπέρασμα για τον ακριβή τρόπο, με τον οποίο το ποσοστό αυτό μειώνεται σταδιακά. Το αρχικό πρότυπο της ακολουθίας πρώτων αριθμών και όσα γνωρίζουμε για τα μετέπειτα πρότυπα δεν είναι, ενθαρρυντικά. Τα διαστήματα μεταξύ των αρχικών δέκα πρώτων, για παράδειγμα, είναι 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4 και 6, μία ακολουθία που δεν μοιάζει να έχει εμφανή περιοδικότητα. Άσχετα από το πόσο μακριά φθάνουμε στην αλληλουχία θετικών ακεραίων, ανακαλύπτουμε ομάδες πολλών πρώτων, συγκεντρωμένες κοντά η μία στην άλλη, καθώς και διαστήματα, όσο μεγάλα θέλει κανείς, στα οποία δεν συναντούμε κανέναν πρώτο αριθμό. Οι μαθηματικοί, όμως, πέτυχαν να κατανοήσουν -εν μέρει- τον τρόπο με τον οποίο το ποσοστό των πρώτων αριθμών μειώνεται. Αν και η κατανόηση αυτή προήλθε από άλλο κλάδο των Μαθηματικών, που μοιάζει εντελώς άσχετος με τη θεωρία των θετικών ακεραίων, καθώς ασχολείται με τη διαρκή διακύμανση ενός μεγέθους σε σχέση με ένα άλλο. Παρ όλα αυτά, η απόδειξη της Υπόθεσης του Riemann, εάν και εφόσον επιτευχθεί, θα μπορούσε και αυτή να έχει σημαντικές πρακτικές εφαρμογές στη Φυσική και την τεχνολογία των επικοινωνιών. Εικασία του Goldbach Κάθε άρτιος θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών, έτσι ώστε για κάθε n 2, 2n = p = q, όπου p, q πρώτοι αριθμοί. Για παράδειγμα, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = κ.ο.κ Το 1998, η εικασία επιβεβαιώθηκε για αριθμούς μέχρις και της τάξης του Η δεύτερη εικασία του Goldbach έγκειται στο ότι κάθε περιττός αριθμός μεγαλύτερος του 6 είναι άθροισμα τριών πρώτων αριθμών. Και αυτή η εικασία παραμένει αναπόδεικτη, αν και επιβεβαιώνεται από ηλεκτρονικούς υπολογιστές. Τυχόν απόδειξη της πρώτης εικασίας του Goldbach θα αποδείκνυε αμέσως και τη δεύτερη εικασία. Πως υπάρχουν στη ζωή μας; Η επιρροή των πρώτων αριθμών δεν περιορίζεται μόνο στον ιδιαίτερο κόσμο των μαθηματικών. Αν και δεν το έχουμε συνειδητοποιήσει, οι πρώτοι αριθμοί παίζουν καθοριστικό ρόλο στην καθημερινή μας ζωή: στην προστασία που απαιτεί ο προσωπικός μας υπολογιστής, στις τραπεζικές μας συναλλαγές, στην ιδιωτικότητα των συνομιλιών μας μέσω της κινητής τηλεφωνίας, καθώς είναι οι ακρογωνιαίοι λίθοι της ασφάλειας στην πληροφορική. Σε ότι αφορά τις τέχνες και τη λογοτεχνία, πολλοί καλλιτέχνες και συγγραφείς έχουν επηρεαστεί από τους πρώτους αριθμούς. Αρκετές ταινίες αντικατοπτρίζουν μια δημοφιλή γοητεία των πρώτων αριθμών, οι οποίοι χρησιμοποιούνται ως αλληγορία για τη μοναξιά και την απομόνωση. Στο επιστημονικής φαντασίας μυθιστόρημα του Γάλλου συνθέτη Μεσσιάν, ο επιστήμονας της ΝASA Καρλ Σάγκαν, αναφέρει ότι οι πρώτοι αριθμοί μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως μέσο επικοινωνίας με τους εξωγήινους. Επιπρόσθετα, αξιοσημείωτη είναι η συμμετοχή τους στην επιστήμη της βιολογίας καθώς και στα βιολογικά φαινόμενα. Στις μέρες μας, τα βιομαθηματικά και η βιοπληροφορική ακμάζουν διαρκώς, ενώ προβλέπεται στο μέλλον η πρόοδός τους να είναι αξιοθαύμαστη. 75

76 Για παράδειγμα, ο αριθμός πολλών κυττάρων και αμινοξέων του ανθρώπινου οργανισμού είναι πρώτος. Αξίζει να σημειωθεί και ο ρόλος των πρώτων αριθμών στο γενετικό υλικό (DNA) των ζωντανών οργανισμών. Οι τέσσερις δομικοί λίθοι του DNA, η αδενίνη, η γουανίνη, η κυτοσίνη και η θυμίνη έχουν μοριακά βάρη τα οποία είναι πρώτοι αριθμοί. Σε ότι αφορά το ζωικό βασίλειο, δύο είδη τζιτζικιών έχουν κύκλο ζωής, του οποίου η διάρκεια είναι πρώτος αριθμός. Ακόμη, η κατηγορία αυτή των αριθμών συνδέεται άμεσα με μία βασικότατη βιολογική διεργασία, ονόματι απόπτωση, η οποία έχει εφαρμοστεί σε πλάσματα, τόσο ασπόνδυλα όσο και σπονδυλωτά και είναι ύψιστης σημασίας για την επιβίωσή τους. Οι πρώτοι αριθμοί παίζουν πολύ σημαντικό ρόλο και στην κρυπτογραφία. Γνωστό στις μέρες μας είναι το σύστημα κρυπτογράφησης δημόσιου κλειδιού (public key cryptography), το οποίο έχει ως βάση του τους πρώτους αριθμούς. Η κρυπτογραφία, που στηρίζεται σε αυτό το σύστημα, εφαρμόζεται σήμερα σε πολλούς τομείς, όπως η κινητή τηλεφωνία. 76

77 Φαντασία -Πραγματικότητα Σύμπαν Επιμέλεια: Λυμπέρης Νίκος Υπάρχει φαντασία στα μαθηματικά; Από την εξίσωση : +1=0 =-1 προέκυψε η αναζήτηση και η επινόηση του i. Πιο αναλυτικά, στο σύνολο των πραγματικών αριθμών η εξίσωση αυτή είναι αδύνατη, όμως στο C,που είναι υπερσύνολο του R, η εξίσωση αυτή έχει λύση τον i για τον οποίο ισχύει :. Ο i θεωρείται από πολλούς ως κάτι παράλογο και αδύνατο καθώς όλοι οι αριθμοί στο τετράγωνό τους δίνουν θετικό αριθμό. Για το λόγο αυτό ο i λέγεται φανταστικός αριθμός. Αν πάρουμε τον αριθμό 2+i και τον πολλαπλασιάσουμε με τον εαυτό του θα πάρουμε. Καθώς =-1, αυτό μπορεί ξαναγραφτεί ως 3+4i.Άρα, αν τώρα πολλαπλασιάσουμε με το 2+i ξανά, ώστε να διαμορφώσουμε το, θα λάβουμε (3+4i)(2+i)=6+11+4, το οποίο και ξαναγράφουμε ως 2+11i. Άρα: Και με παρόμοιο τρόπο,. Λύνοντας: χ=2+i+(2-i)=4 Με τον τρόπο αυτό επιλύοντας ένα σημαντικό παράδοξο σχετικό με τις τριτοβάθμιες εξισώσεις- το ενσωματώθηκε στα μαθηματικά. Αριθμός e: Πανταχού παρών, αν και προερχόμενος από το υπερπέραν! Έκανε την εμφάνισή του στον κόσμο των Μαθηματικών σχετικά πρόσφατα και μαζί με κάποιους άλλους αριθμούς, διαθέτει ιδιότητες, όχι ιδιαίτερα προσιτές για τα δεδομένα της ανθρώπινης εμπειρίας. Αντίθετα όμως από όλους σχεδόν τους άλλους «υπερβατικούς αριθμούς», κάνει αισθητή την παρουσία του, κατά τον έναν ή τον άλλον τρόπο, σε ένα πλήθος πτυχών της ζωής. Από αριθμητικούς υπολογισμούς και σχέσεις της Μαθηματικής Ανάλυσης, έως παροιμιώδεις εκφράσεις της απλής καθομιλουμένης και από ζητήματα της Στατιστικής και της Οικονομίας, έως τις βαθυστόχαστες θεωρίες της Κβαντικής Φυσικής και της μελέτης του Σύμπαντος Η ανακάλυψη του e. Όπως ήδη έχουμε αναφέρει για τους αλγεβρικούς αριθμούς, χρειαζόταν μια αλγεβρική εξίσωση ώστε να τους επαναφέρουν στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Οι αριθμοί αυτοί που είναι είτε ρητοί, είτε έχουν την παραπάνω συμπεριφορά, όχι απλά δεν είναι οι μοναδικοί, αλλά αποτελούν «μηδαμινή» εξαίρεση. Η «μεγάλη πλειονότητα» των αριθμών αποδεικνύεται πως διαφεύγει τελείως από τις εμπειρικές δυνατότητες του ανθρώπινου νου. Ιστορία Ας πάρουμε τα πράγματα με τη σειρά. 77

78 Ο Σκώτος μαθηματικό John Napier ( ) επινόησε τους «λογαρίθμους» με σκοπό να μειώσει την κοπιώδη πράξη του πολλαπλασιασμού στην πολύ απλούστερη πράξη της πρόσθεσης και στηρίχθηκε στην αντιστοιχία μεταξύ αριθμητικών σειρών και γεωμετρικών σειρών. Ο Napier, ο οποίος εισήγαγε τον όρο «λογάριθμος», αντιλαμβανόταν τα μεγέθη αυτά με διαφορετικό τρόπο από ό,τι ισχύει σήμερα, σε σχέση αποκλειστικά με υπολογισμούς με τριγωνομετρικούς αριθμούς και τις ιδιότητες των τελευταίων. Η εργασία του με τίτλο «Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio» εκδόθηκε στα 1614 (Εδιμβούργο), στα Λατινικά, μεταφράστηκε στα Αγγλικά από τον Edward Wright και εκδόθηκε στη γλώσσα αυτή στα 1616 (Λονδίνο) με τίτλο «Description of the Admirable Table of Logarithms» (Περιγραφή του Θαυμαστού Πίνακα των Λογαρίθμων). Σε επανέκδοσή της στα 1618 συνοδευόταν από ανυπόγραφο παράρτημα, η σύνταξη του οποίου αποδίδεται στον Βρετανό μαθηματικό William Oughtred, και στο οποίο έκανε για πρώτη φορά την εμφάνισή του ο αριθμός e. Ο αριθμός e εμφανίζεται μόνον «σιωπηρά» στο παραπάνω σύγγραμμα, μέσω του κατά προσέγγιση υπολογισμού από τον Oughtred των (φυσικών) λογαρίθμων ορισμένων αριθμών, π.χ. για το 10 η εκτίμηση είναι 2, Στα 1624 ο Henry Briggs, καθηγητής της Γεωμετρίας στο Gresham College του Λονδίνου εκδίδει την «Arithmetica Logarithmica» όπου αυτή τη φορά γίνεται υπολογισμός του λογαρίθμου του αριθμού e με βάση το 10. Η επόμενη εμφάνιση του αριθμού e στην Ιστορία των Μαθηματικών έγινε στα 1647, με τον υπολογισμό από τον ιησουίτη μαθηματικό Grégoire de Saint - Vincent ( ) του εμβαδού της επιφανείας κάτω από τη γραφική παράσταση μίας «Ορθογώνιας Υπερβολής» («Rectangular Hyperbola») με εξίσωση. Οι διαπιστώσεις του από τον υπολογισμό αυτόν έχουν άμεση σχέση με τις ιδιότητες των λογαρίθμων, ενώ ο αριθμός e υπεισέρχεται κατά ουσιώδη τρόπο, δεδομένου ότι το μέρος της παραπάνω επιφάνειας με εμβαδόν ίσο με 1 είναι ακριβώς εκείνο που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της υπερβολής, τον άξονα των X (Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων) και τις κάθετες στον τελευταίο στα σημεία του x = 1 και x =e. Το τελευταίο είναι άρρηκτα συνδεδεμένο με τον ορισμό του φυσικού λογαρίθμου. Στα 1661 έγινε ένα ακόμα βήμα με την ανακάλυψη από τον Ολλανδό φυσικομαθηματικό και αστρονόμο Christian Huygens ( ) της σχέσης του εμβαδού της επιφάνειας υπό την ορθογώνια υπερβολή με τους λογαρίθμους. Ο Huygens έδωσε επίσης τον ορισμό της «Λογαριθμικής Καμπύλης», ενός μαθηματικού αντικειμένου στενά συνδεδεμένου με τον αριθμό e μέσω της «Εκθετικής Συνάρτησης». Με βάση την λογαριθμική καμπύλη ο Huygens υπολόγισε τα 17 πρώτα ψηφία του λογαρίθμου του e με βάση το 10, χωρίς όμως πάλι να επισημάνει και να ξεχωρίσει αυτόν καθεαυτό τον διάσημο αριθμό μέσα στους τύπους του άλλωστε και ο υπολογισμός του νοήθηκε τότε ως ο προσδιορισμός μίας σταθεράς, και όχι γενικότερα ως η τιμή ενός λογαρίθμου. Ο πρώτος που απομόνωσε, στα 1683, τον αριθμό e, υπολογίζοντας μία πρώτη προσέγγιση της τιμής του, ήταν ο Ελβετός μαθηματικός Jacob Bernoulli ( ). Αντίθετα από τους προηγούμενους η εργασία του δεν είχε σαν αφορμή τους λογαρίθμους - ούτε ο ίδιος ο Bernoulli αντιλήφθηκε τη σύνδεση που υπήρχε με αυτούς - αλλά αφορούσε τον 78

79 υπολογισμό του ανατοκισμού. Ο Bernoulli χρειάστηκε προς τούτο να υπολογίσει το όριο της συγκεκριμένης ακολουθίας όταν η μεταβλητή n της τείνει στο άπειρο, αποδεικνύοντας κατ αρχήν ότι το όριο αυτό υπάρχει και ευρίσκεται μεταξύ του 2 και του 3. Και όπως είναι σήμερα γνωστό, αυτό ακριβώς το όριο είναι ένας από τους ορισμούς του αριθμού e. Αυτός που εγκαινίασε τη συστηματική μελέτη των εκθετικών συναρτήσεων ήταν ο επίσης μαθηματικός αδελφός του Johann Bernoulli ( ), με το έργο του «Principia calculi exponentialium seu percurrentium» (1697). Ο αριθμός e εμφανίζεται για πρώτη φορά ως αυτό που πραγματικά είναι σε επιστολές του πολυμαθούς Γερμανού και ιδρυτή του Απειροστικού Λογισμού (μαζί με τον Νεύτωνα) Gottfried Wilhelm Leibniz ( ) προς τον Huygens, κατά τα έτη Για την παράστασή του ο Leibniz χρησιμοποιούσε το «b». Το σύμβολο e εισήχθη στα 1731 από τον επίσης Ελβετό φυσικομαθηματικό Leonhard Eüler, ο οποίος αναγνωρίζεται, κατά κάποιο τρόπο, ως ο «πατέρας» του αριθμού e ο τελευταίος αποκαλείται ενίοτε και «αριθμός του Euler». Η ονομασία Εικόνα 12: Leonhard Eüler συμφώνων. Για να είμαστε δίκαιοι απέναντι στον μεγάλο Ελβετό μαθηματικό Leonhard Eüler, πρέπει να αναφέρουμε πως, αν και φαίνεται αυτονόητο εκ πρώτης όψεως, το ενδεχόμενο να επέλεξε τον συγκεκριμένο αλφαβητικό χαρακτήρα σαν σύμβολο της διάσημης σταθεράς επειδή αυτό ήταν το αρχικό του δικού του ονόματός θεωρείται από πολλούς ως απίθανο ή και «κωμικό, σαν υπόθεση». Ωστόσο, οι εκτιμήσεις σχετικά με τους λόγους που οδήγησαν στην επιλογή αυτή ποικίλουν. Εικάζεται πως έγινε επειδή το e ήταν το αμέσως επόμενο φωνήεν μετά το a, το οποίο ήδη χρησιμοποιείτο από τον Eüler για άλλον συμβολισμό, χωρίς όμως να δίνεται κάποια εξήγηση για την αποφυγή των ενδιαμέσων Άλλοι υποθέτουν ότι η επιλογή έχει σχέση με τον αρχικό χαρακτήρα της «εκθετικής συνάρτησης» («exponential function») της οποίας ο e αποτελεί βάση. Και είναι γεγονός ότι στον Eüler οφείλονται, εκτός από ένα πλήθος σχέσεις που αφορούν τον διάσημο αριθμό, συνδέοντάς τον με άλλες κεφαλαιώδεις σταθερές και συναρτήσεις των μαθηματικών, και ο υπολογισμός του e έως το 18 ο δεκαδικό ψηφίο, η παράσταση της διάσημης σταθεράς με «άπειρη σειρά» (όριο αθροίσματος, όταν το πλήθος των όρων του τείνει στο άπειρο) ο προσδιορισμός της παράστασης υπό μορφή «συνεχούς κλάσματος» και, σύμφωνα με ορισμένες εκτιμήσεις, και η απόδειξη πως ο e είναι άρρητος αριθμός, όπως και ο όρων., δεν είναι δυνατόν να παρασταθεί υπό μορφή λόγου ακεραίων Η σημαντικότερη εξέλιξη σχετικά με τον e ήταν η απόδειξη ότι είναι ένας Υπερβατικός Αριθμός (Transcendental Number). Κάτι πολύ πιο μυστηριώδες για την ανθρώπινη 79

80 εμπειρία και τον «κοινό νου», από ότι οι «αθώοι» άρρητοι πλην αλγεβρικοί αριθμοί! Η απόδειξη δόθηκε στα 1873 από τον Γάλλο μαθηματικό Charles Hermite ( ). Ορισμός και Εκθετική συνάρτηση. Όπως ήδη έχουμε αναφέρει με τη μορφή αυτή έκανε την εμφάνισή του για πρώτη φορά το 1731, σε επιστολή του διάσημου μαθηματικού προς τον Πρώσο συνάδελφό του Christian Goldbach. Στον Eüler οφείλεται επίσης και ο υπολογισμός των πρώτων 18 δεκαδικών ψηφίων της διάσημης σταθεράς: 2, καθώς επίσης και κάποιες προσεγγιστικές μεθόδους για τον υπολογισμό αυτόν. Αυτές συμπεριλαμβάνουν το ανάπτυγμα σε «άπειρη σειρά» και τα «συνεχή κλάσματα», (1) Ή με τον υπολογισμό του εμβαδού της υπερβολής ολοκλήρωμα που υπολογίζεται από το ενώ ο υπολογισμός ως όριο της ακολουθίας όταν το n τείνει στο άπειρο που συμβολίζεται σήμερα πραγματοποιήθηκε, όπως είδαμε, από τον Jacob Bernoulli. Ο τελευταίος, ωστόσο, δεν είχε προσδιορίσει το όριο αυτό ως τη διάσημη σταθερά, οπότε και η τιμή του προσδιορισμού του ανήκει στον Euler. Ενδέχεται πάντως να ήταν ο Bernoulli εκείνος ο οποίος αντελήφθη για πρώτη φορά τη σύνδεση της Λογαριθμικής Συνάρτησης με την Εκθετική Συνάρτηση. Η συνάρτηση f(x)=e x προσεγγίζεται μέσω του αναπτύγματος της σειράς (1). Τα πρωτεία της ανακάλυψης αυτής φαίνεται, ωστόσο πως διεκδικεί και ο Σκώτος αστρονόμος και μαθηματικός James Gregory ( ) ο οποίος είχε σαφώς διατυπώσει αυτό το συμπέρασμα στα Σε κάθε περίπτωση το ζήτημα είχε ήδη αποσαφηνιστεί όταν η σκυτάλη πέρασε στα χέρια του Eüler: «Η βάση της εκθετικής συνάρτησης ήταν ο αριθμός e ο οποίος ήταν βάση και των φυσικών λογαρίθμων του Napier, ενώ οι δύο συναρτήσεις, εκθετική και λογαριθμική, ήταν αντίστροφες η μία της άλλης». Εφαρμογές Μπορεί η απάτη να επιφέρει κέρδος; Ο e παίζει σημαντικό ρόλο στο πρόβλημα το ανατοκισμού, ως το όριο της προαναφερθείσας ακολουθίας. (2) (3) 2 Ψάχνοντας στο διαδίκτυο, για τον αριθμό e το έτος 2007, το πλήθος των δικών του μέχρι τότε υπολογισθέντων ψηφίων αναφερόταν ως ανερχόμενο σε εκατό δισεκατομμύρια, χάρη στο έργο των S. Kondo και S. Pagliarulo. Δεν ήμασταν τότε, ούτε και είμαστε τώρα, σε θέση να εγγυηθούμε για την ακρίβεια των πληροφοριών! 80

81 Φανταστείτε ότι δανείζετε σε κάποιον χρήματα, ας πούμε ένα ευρώ. Υποθέστε επίσης ότι με κάποιον τρόπο επιτυγχάνετε να πείσετε τον δανειολήπτη να δεχτεί ετήσιο επιτόκιο 100%. Έτσι σε έναν χρόνο θα εισπράξετε 1+1=2 ευρώ. Αν ήσαστε ακόμη πιο πανούργος και καταφέρετε να πείσετε το δανειολήπτη να δεχτεί επιτόκιο 50% μόνο(!!) κάθε εξάμηνο, τότε μετά από έξι μήνες θα εισπράξετε 1+1/2 φορές αυτό δηλαδή =2.25 ευρώ. Ομοίως, επιτόκιο 33*1/3% πληρωτέο τρεις φορές το χρόνο επιφέρει το οποίο είναι λίγο καλύτερο ακόμη. ευρώ, Αν σκέφτεστε ότι ίσως βγάλετε μια ολόκληρη περιουσία στηριζόμενοι πάνω σε αυτό η απάντηση είναι (δυστυχώς ) όχι! Αυτό συμβαίνει διότι καθώς αυξάνουμε την τιμή του n στο επ αόριστον, η ποσότητα ουσιαστικά τείνει σε πεπερασμένο όριο. Δείτε τον παρακάτω πίνακα για μερικές τιμές του n αρκετά μεγάλες n , ,71828 Αυτό το όριο λοιπόν είναι περίπου , και είναι ο αριθμός e. Πέρα από αυτό, όμως, η παρουσία του στα προβλήματα και τους κανόνες του φυσικού κόσμου και της ανθρώπινης κοινωνίας είναι σχεδόν μόνιμη. Και αυτό γίνεται πραγματικότητα χάρη ακριβώς στην εκθετική συνάρτηση. Όσο όμως απλή και αν ακούγεται η περιγραφή της τελευταίας που δώσαμε πριν λίγες σειρές («ύψωση σταθερής βάσης σε δύναμη ίση με την ανεξάρτητη μεταβλητή») δεν πρέπει να μας παραπλανήσει. Δεν πρόκειται απλά για δυνάμεις με ακεραία βάση και ακεραίους εκθέτες, όπως στην περίπτωση, π.χ. του 5 4. Τίθεται επομένως το ερώτημα, πως είναι δυνατόν να ορισθούν ποσότητες όπως,e π ή ακόμα χειρότερα, ποσότητες όπως e 2i, e 3-5i κ.ο.κ.; Η απάντηση βρίσκεται στην ιδιαίτερα ξεχωριστή Φυσική Εκθετική Συνάρτηση, e x η οποία συχνά καλείται απλά «εκθετική συνάρτηση», όχι αδικαιολόγητα, δεδομένου ότι η εν λόγω 81

82 συγκεκριμένη περίπτωση είναι ακριβώς εκείνη που καθορίζει και τη γενική μορφή της συνάρτησης αυτής. Ο e και η Φύση Η γενικότερη σημασία της εκθετικής συνάρτησης για τη μελέτη της Φύσης και της Κοινωνίας είναι οπωσδήποτε ακόμα μεγαλύτερη. Εμφανίζεται ακόμα και σε παροιμιώδεις ρήσεις που έχουν εισχωρήσει έως και την καθομιλουμένη. Πράγματι, ίσως έχουμε όλοι ακούσει κάποτε να γίνεται λόγος για «εκθετική αύξηση» κάποιου μεγέθους, πράγμα που υποδηλώνει μία τεράστια, εκρηκτική αύξηση. Η έκφραση έχει τις ρίζες της στην αξιοσημείωτη ιδιότητα - μία από τις πολλές! - της e x να αυξάνεται με ταχύτερο ρυθμό από κάθε αλγεβρική, τριγωνομετρική, ή άλλη συνήθη συνάρτηση. Μάλιστα, είναι ακριβώς μία εκθετική συνάρτηση εκείνη η οποία περιγράφει την κατακλυσμική αύξηση των διαστάσεων του σύμπαντος κατά την «πληθωριστική φάση», μόλις μερικά απειροστά του δευτερολέπτου μετά τη «Μεγάλη Έκρηξη». Ας επιχειρήσουμε μία σύντομη απαρίθμηση μερικών από τις σημαντικότερες εμφανίσεις της διάσημης συνάρτησης. Χαρακτηριστική της συχνότητας με την οποία η e x εμφανίζεται στη Φύση είναι η Λογαριθμική Έλικα - αν και η ονομασία που θα ανέμενε κανείς για αυτήν θα ήταν ίσως «εκθετική έλικα». Η καμπύλη αυτή, γνωστή ήδη από την εποχή του Γαλιλαίου, προκύπτει αν η γραφική παράσταση της εκθετικής συνάρτησης σχεδιαστεί με χρήση όχι «καρτεσιανών συντεταγμένων», οι οποίες αντιστοιχούν στις αποστάσεις πάνω σε δύο κάθετους άξονες από το σημείο τομής τους («αρχή των αξόνων») αλλά «πολικών συντεταγμένων», οποίες αντιστοιχούν στην απόσταση ενός σημείου από την αρχή των αξόνων («ακτινική συντεταγμένη») και στη γωνία που σχηματίζει η «επιβατική ακτίνα» του σημείου, ήτοι η ευθεία που διέρχεται από το υπό εξέταση σημείο και την αρχή των αξόνων («γωνιακή συντεταγμένη»). Σχετίζεται σε κάποιο βαθμό με τα fractals (σχήματα που προκύπτουν από την αέναη επανάληψη του ίδιου βασικού σχεδίου) Εικόνα 13: Η λογαριθμική έλικα Εικόνα 14: Εφαρμογή της λογαριθμικής έλικας σε εκτεταμένο βαρομετρικό σύτημα χαμηλών πιέσεων Από τις πλέον χαρακτηριστικές ιδιότητες της e x είναι το γεγονός ότι η συνάρτηση αυτή είναι η μοναδική που ισούται με την παράγωγό της - και, κατά συνέπεια, και με τη δεύτερη παράγωγο, την τρίτη, την τέταρτη έως το άπειρο. 82

83 Στα μαθηματικά εμφανίζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον στο ρυθμό μεταβολής. Αν δηλαδή έχουμε μια ποσότητα y που εξαρτάται από το χρόνο t,ο ρυθμός μεταβολής της συνήθως θα έχει διαφορετική έκφραση απ ότι η ίδια η y. Όπως π.χ. για την συνάρτηση y= έχουμε =2t, και για την y=ημt έχουμε =συνt κτλ. Το ερώτημα που τίθεται εδώ είναι αν υπάρχει τέτοια ποσότητα y για την οποία ο ρυθμός μεταβολής της να ισούται πάντοτε με τον εαυτό της. Η απάντηση είναι πως υπάρχει και είναι η y=. Επομένως η ιδιαίτερη ποσότητα είναι τέτοια ώστε : *( = Προσπαθώντας να υπολογίσουμε το ρυθμό μεταβολής κάθε επιμέρους όρου της άπειρης σειράς καταλήγουμε εδώ : *( )= Και ύστερα από λίγη απλοποίηση των κλασμάτων, το δεξιό σκέλος γίνεται : 1+t+ + +, κάτι που απλώς είναι η αρχική αναπαράσταση για το Με άλλα λόγια, η εκθετική συνάρτηση δεν περιγράφει μόνο κάποιο συγκεκριμένο μέγεθος, αλλά και το ρυθμό μεταβολής του μεγέθους, την επιτάχυνση του ρυθμού μεταβολής, κ.ο.κ. Κατά συνέπεια, η διάσημη αυτή συνάρτηση είναι κατάλληλη για να περιγράψει κάθε μέγεθος ο ρυθμός μεταβολής του οποίου εξαρτάται από το μέγεθος αυτό. Παρόμοια μεγέθη όμως υπάρχουν άφθονα. Μερικά από αυτά είναι: Ο χρονικός ρυθμός εκπομπής ακτινοβολίας, και, κατά συνέπεια ελάττωσης της μάζας ενός ραδιενεργού υλικού είναι ανάλογος προς την ποσότητα της μάζας του υλικού αυτού. Ο χρονικός ρυθμός ελάττωσης της θερμοκρασίας ενός αντικειμένου μέσα σε ψυχρότερο από αυτό περιβάλλον είναι ανάλογος προς τη θερμοκρασία του αντικειμένου (Ακριβέστερα: Προς τη διαφορά της θερμοκρασίας του από εκείνη του ψυχρότερου περιβάλλοντος.) Ο ρυθμός ελάττωσης της έντασης του ήχου σε σχέση με την απόσταση από την ηχητική πηγή είναι επίσης ανάλογος προς την ένταση του ήχου. το μέγεθος ανατοκιζόμενου κεφαλαίου και για το παρόμοιο φαινόμενο της αύξησης ενός πληθυσμού. Ο ρυθμός αύξησης ενός ερεθίσματος των αισθήσεων είναι ανάλογος της έντασης του ερεθίσματος, σύμφωνα με το νόμο των Weber και Fechner, ο οποίος έχει σημαντικές εφαρμογές, π.χ. στην οπτική. Η επιβράδυνση σώματος κινούμενου μέσα σε ιξώδες ρευστό είναι ανάλογη της ταχύτητας με την οποία κινείται (νόμος του Stokes). Ανάμεσα στα γενικότερα φαινόμενα, στην περιγραφή των οποίων η εκθετική συνάρτηση παίζει καθοριστικό ρόλο, συμπεριλαμβάνονται ενδεικτικά τα ακόλουθα: 83

84 Η μεταβολή της μάζας πυραύλου περιγράφεται ως εκθετική συνάρτηση του λόγου της ταχύτητας την οποία αυτός επιτυγχάνει προς την ταχύτητα εξόδου των αερίων που εξαπολύει. Πολλές είναι οι εμφανίσεις της διάσημης συνάρτησης και στη Θεωρία των Πιθανοτήτων. Αρκετές κατανομές τυχαίων μεταβλητών - συναρτήσεων που δίνουν την πιθανότητα η υπό εξέταση τυχαία μεταβλητή να λαμβάνει τιμές μέσα σε ένα συγκεκριμένο διάστημα - είναι χτισμένες γύρω από αυτή. Η Εκθετική Κατανομή περιγράφει την πιθανότητα να παρέλθει ορισμένος χρόνος έως τη στιγμή που θα συμβεί κάποιο συγκεκριμένο γεγονός, όπως σεισμός, μία εσφαλμένη τηλεφωνική κλίση, ή ένα «τζάκποτ». Η συχνή παρουσία της εκθετικής συνάρτησης στη Θεωρία Πιθανοτήτων έχει σαν αποτέλεσμα την εξ ίσου συχνή εμφάνισή της σε ζητήματα της Στατιστικής Μηχανικής. Όπως ήδη έχουμε αντιληφθεί το να επιχειρήσει κανείς να καταγράψει όλες τις ενδεχόμενες εμφανίσεις της εκθετικής συνάρτησης στα φαινόμενα του κόσμου που μας περιβάλει είναι καθαρή ουτοπία! 84

85 Ο αριθμός π [7] Επιμέλεια: Μαντάς Κωνσταντίνος Προβληματική Στο πλαίσιο των φετινών ερευνητικών εργασιών, το τμήμα μου ασχολήθηκε με την επιστήμη των μαθηματικών. Συγκεκριμένα, το δικό μου ερώτημα/θέμα ήταν ο αριθμός «π». Είχα διαβάσει ότι ο π συναντάται σε πάρα πολλούς τομείς της ζωής μας ακόμα και στο λόγο πραγματικού μήκους ποταμού (πηγή έως εκβολές) προς την αντίστοιχη ευθεία (ο μέσος όρος αυτών των λόγων είναι περίπου ίσος με π, περιέργως). Από πού προήλθε όμως ο αριθμός αυτός; Πώς ορίζεται; Ποιές είναι οι ιδιότητές του και ποιές πιθανότητες κρύβονται μέσα σε αυτόν τον μυστηριώδη αριθμό; Ας μιλήσουμε για τον "π" Ο π είναι ίσως ο πιο γνωστός, ο πιο διάσημος αριθμός στην ιστορία, ο οποίος μελετήθηκε και υπολογίστηκε τις περισσότερες φορές από κάθε άλλον αριθμό. Είναι ένας άρρητος αριθμός, πράγμα που σημαίνει ότι δεν μπορεί να εκφραστεί ακριβώς ως μια αναλογία δύο ακεραίων (όπως 22/7 ή άλλα κλάσματα που χρησιμοποιούνται συνήθως για την προσέγγιση του π) κατά συνέπεια, η αλληλουχία δεκαδικών δεν τελειώνει ποτέ και ποτέ δεν απεικονίζεται με μια μόνιμη και επαναλαμβανόμενη παράσταση. Η δεκαδική του παράσταση ξεκινά ως εξής: 3, και δεν τελειώνει ποτέ. Τα ψηφία εμφανίζονται να έχουν διανεμηθεί τυχαία, αν και αυτό δεν έχει ακόμη αποδειχτεί. Επιστήμονες και ερευνητές από όλον τον κόσμο προσπάθησαν επί σειρά ετών να ανακαλύψουν τα μαγικά ψηφία του αριθμού π μετά την υποδιαστολή. Σήμερα φτάσαμε να γνωρίζουμε πλέον πως η ακολουθία ενυπάρχει στον αριθμό π μετά το ο δεκαδικό ψηφίο. Στον Ισημερινό αν κάποιος άνθρωπος έγραφε με ψηφία μεγέθους ίσου με αυτό των χαρακτήρων ενός βιβλίου τον αριθμό π, τότε το σύνολο των δεκαδικών που έχουν ήδη υπολογιστεί θα έκανε πάνω από πεντακόσιες φορές τον γύρο της γης. Ποιος όμως είναι ο π; Ο αριθμός αυτός γεννήθηκε από την παρατήρηση. Αναδύθηκε μέσα από την αγωνία των μαθηματικών της αρχαιότητας να δώσουν λύση στο σημαντικό πρόβλημα της κατασκευής μίας τετραγωνισμένης επιφάνειας ίσου εμβαδού με μια άλλη κυκλική επιφάνεια. Το γνωστό άλυτο πρόβλημα της αρχαιότητας του τετραγωνισμού του κύκλου με κανόνα και διαβήτη. Ορισμοί του π Το π συχνά αναφέρεται ως η αναλογία της περιφέρειας C ενός κύκλου προς την διάμετρο d ( π = C/d ). Δηλαδή, η αναλογία C/d είναι σταθερή, ανεξάρτητα από το μέγεθος του κύκλου. Για παράδειγμα, αν ένας κύκλος έχει δύο φορές τη διάμετρο του κύκλου, αυτός θα έχει επιπλέον και δύο φορές την περιφέρεια, διατηρώντας την αναλογία C/d. 85

86 Αυτός ο ορισμός του π δεν είναι διεθνής, επειδή είναι έγκυρος σε Ευκλείδεια Γεωμετρία (επίπεδη), αλλά δεν είναι έγκυρος σε Μη-Ευκλείδειες γεωμετρίες (κυρτές). Για το λόγο αυτό, μερικοί μαθηματικοί προτιμούν ορισμούς του π με βάση τον Λογισμό ή την Τριγωνομετρία που δεν βασίζονται σε κύκλο. Ένας τέτοιος ορισμός είναι: π = 2x όπου x ο μικρότερος θετικός για τον οποίο ισχύει συν(x) = 0. Συμβολισμός Ο William Oughtred χρησιμοποιεί τα ελληνικά γράμματα π και δ, για να εκφράσει αναλογίες της περιφέρειας και της διαμέτρου το Πιστεύεται πως η επιλογή του γράμματος π έγινε το 1706 μετά από πρόταση του Ουαλού μαθηματικού William Jones στο έργο του, «Σύνοψη Palmariorum Matheseos» ή «Μια Νέα Εισαγωγή στα Μαθηματικά». Το ελληνικό γράμμα πρωτοεμφανίζεται στη φράση «1/2 περιφέρεια (π)» όσον αφορά έναν κύκλο με ακτίνα 1. Ο Jones μπορεί να επέλεξε το π επειδή ήταν το πρώτο γράμμα της ελληνικής λέξης περιφέρεια. Μετά την εισαγωγή του ελληνικού γράμματος από τον Jones το 1706, ο π δεν υιοθετήθηκε από άλλους μαθηματικούς μέχρι το 1736 που ο Leonhard Eüler άρχισε να το χρησιμοποιεί στο έργο του Μηχανική. Πριν από τότε, οι μαθηματικοί χρησιμοποιούσαν μερικές φορές γράμματα όπως το c ή p αντί αυτού. Καθώς ο Eüler επικοινωνούσε και συνεργαζόταν σε μεγάλο βαθμό με άλλους μαθηματικούς στην Ευρώπη, η χρήση του π με το ελληνικό γράμμα εξαπλώθηκε γρήγορα. Το 1748, ο Eüler χρησιμοποίησε το π στο ευρέως διαβασμένο έργο του Introductio in analysin infinitorum έγραψε: "για λόγους συντομίας θα γράφουμε τον αριθμό π έτσι η π είναι ίση με το μισό της περιφέρειας ενός κύκλου ακτίνας 1" και η πρακτική του υιοθετήθηκε στη συνέχεια στον Δυτικό Κόσμο. Τα μαθηματικά του π Ιστορική αναδρομή Στην Παλαιά Διαθήκη φαίνεται ότι ο π θεωρούνταν ίσος με το 3. Οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι περίπου το π.χ. ασχολήθηκαν με την γεωμετρία και με τον π ιδιαίτερα και θεωρούσαν ότι ο π είτε είναι ίσος με το 3 είτε με το. Οι Αιγύπτιοι στον πάπυρο του Rhind (1500 π.χ.) θεωρούσαν ότι το εμβαδόν ενός κύκλου ισούται με όπου δ η διάμετρος του κύκλου, οπότε, π 3, Ωστόσο, οι αρχαίοι Έλληνες ξέφυγαν από τις «χονδρικές» εκτιμήσεις των Βαβυλωνίων και των Αιγυπτίων και έδωσαν επιστημονική μέθοδο για τον υπολογισμό του π. Το συνδύασαν με ένα από τα περίφημα «άλυτα» προβλήματα της Αρχαιότητας: με το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου, δηλαδή την κατασκευή με κανόνα και διαβήτη τετραγώνου ισεμβαδικού με δοσμένο κύκλο. Ο Αρχιμήδης ο Συρακούσιος πρώτος προσέγγισε τον υπολογισμό του π σε μία πιο θεωρητική βάση, γι αυτό και το π είναι γνωστό ως "σταθερά του Αρχιμήδη". 86

87 Όμως ο αριθμός π δεν είναι μόνο σταθερός λόγος της περιφέρειας και της διαμέτρου του κύκλου. Είναι επίσης το διπλάσιο του σταθερού λόγου μεταξύ της επιφάνειας ενός κύκλου και εκείνης του εγγεγραμμένου τετραγώνου της δηλαδή: a όπου Α το εμβαδόν του κύκλου c b. r Εφόσον η επιφάνεια του τετραγώνου ισούται με το τετράγωνο της πλευράς του, μία απλή εφαρμογή του πυθαγορείου θεωρήματος στο παραπάνω σχήμα μας δίνει: είναι: και ο λόγος των εμβαδών του κύκλου και του εγγεγραμμένου τετραγώνου Μιλώντας με αλγεβρικούς όρους για τον τετραγωνισμό ενός κύκλου ακτίνας r, για το πρόβλημα «της κατασκευής τετράγωνου με εμβαδό ίσο με το εμβαδό ενός κύκλου με κανόνα και διαβήτη» μπορούμε να πούμε: Η επιφάνεια του κύκλου αυτού ισούται με. Πρέπει επομένως να βρεθεί τετράγωνο με πλευρά που θα ισχύει. Κάπως έτσι ξεκίνησαν οι γεωμέτρες την προσπάθεια του ακριβούς υπολογισμού του π. Σημειώσεις του Αρχιμήδη για τη μέτρηση του κύκλου Ο π είναι προφανώς πολύ ιδιαίτερος αριθμός λόγω της ιστορίας και των ιδιοτήτων του. 87

88 Ακολουθούν ο Μάρκος Πολλίων Βιτρούβιος, Ζιανγκ Χενγκ στην Κίνα, Αρυαμπχάτα στην Ινδία και στην συνέχεια Van Ceulen, Γιόχαν Λάμπερτ και έτσι φτάνουμε στο έτος 1882 όταν ο Φέρντιναντ φον Λίντεμαν απέδειξε ότι το π είχε μία ακόμη ασυνήθιστη ιδιότητα: ήταν υπερβατικός αριθμός. Στη μαθηματική ορολογία αυτό σημαίνει ότι δεν αποτελεί τη ρίζα καμιάς αλγεβρικής εξίσωσης με ρητούς συντελεστές. Στη μη μαθηματική ορολογία αυτό σημαίνει ότι το π αποτελεί την απόδειξη του παλαιού ρητού ότι δεν μπορεί κανείς να τετραγωνίσει τον κύκλο. Δεν μπορεί δηλαδή κανείς, χρησιμοποιώντας μόνο έναν κανόνα και έναν διαβήτη, να φτιάξει ένα τετράγωνο που να έχει ακριβώς το ίδιο εμβαδόν με έναν δεδομένο κύκλο. Εκτιμήσεις του π Όπως ήδη έχουμε πει πολλοί επιστήμονες από την αρχαιότητα (με πρωτόγονα μέσα) μέχρι σήμερα (με σύγχρονους υπερυπολογιστές), προσπάθησαν να βρουν προσεγγίσεις του π με όσο το δυνατόν περισσότερα δεκαδικά ψηφία. Μερικές από αυτές τις προσπάθειες είναι οι παρακάτω: Αρχιμήδης: Πτολεμαίος: Tsu Chung-Chi (Κίνα): Al-Kashi (15 ος αιώνας μ.χ.): υπολόγισε 16 ακριβή δεκαδικά ψηφία Ludolph Van Ceulen: υπολόγισε διαδοχικά 20,32 και τελικά 35 ακριβή δεκαδικά ψηφία. Viete (1592): κατέγραψε τον πρώτο τύπο υπολογισμού του π John Wallis: Leibniz (1673): John Machin (1706): 100 δεκαδικά ψηφία Joliann Dase ( ):200 William Shanks (1853): 707 ENIAC( o πρώτος ηλεκτρονικός υπολογιστής)(1949): 2037 CDC 6600(1967): Ιαπωνική Ομάδα (1993): (=2 14 ) Ιδιότητες 1. Ο π είναι ένας άρρητος αριθμός, που σημαίνει ότι αυτός δεν μπορεί να γραφεί ως αναλογία δύο ακεραίων και έχει έναν άπειρο αριθμό ψηφίων σε δεκαδική αναπαράσταση. 88

89 Ο βαθμός στον οποίο μπορεί ο π να είναι προσεγγιστικά ρητός αριθμός (που ονομάζεται το μέτρο της αρρητότητας) δεν είναι ακριβώς γνωστός. 2. Ο π είναι ένας υπερβατικός αριθμός, πράγμα που σημαίνει: Ι) ότι δεν είναι λύση κάποιου μη-σταθερού πολυωνύμου με ρητούς συντελεστές, όπως και ΙΙ) ότι δεν είναι δυνατόν να "τετραγωνιστεί ο κύκλος", δηλαδή είναι αδύνατο να κατασκευάσουμε, χρησιμοποιώντας μόνο κανόνα και διαβήτη, ένα τετράγωνο του οποίου η περιοχή είναι ίση προς την έκταση ενός δεδομένου κύκλου. 3. Τα ψηφία του π φαίνεται πως δεν ακολουθούν κάποιο προφανές μοτίβο και χαρακτηρίζονται από τυχαιότητα στην κατανομή τους. Ένας αριθμός απείρου μήκους ονομάζεται κανονικός, όταν όλες οι πιθανές ακολουθίες των ψηφίων του (από κάθε συγκεκριμένο μήκος) εμφανίζονται εξίσου συχνά. Η εικασία ότι το π είναι κανονικός αριθμός, σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, δεν έχει αποδειχθεί ούτε όμως έχει διαψευσθεί. Μετά την έλευση των υπολογιστών, ένα μεγάλος αριθμός ψηφίων του π ήταν διαθέσιμος για να εκτελέσουμε στατιστικές αναλύσεις. Ο Yasumasa Kanada, αν και υπολόγισε ένα δισεκατομμύριο ψηφία του π και μελέτησε την στατιστική συχνότητα εμφάνισης του καθενός ψηφίου, δεν κατάφερε να αποδείξει πως ο π είναι κανονικός αριθμός. Τα ψηφία του π έχουν μελετηθεί εκτενώς για την τυχαιότητα τους. Ωστόσο ο π περιέχει ορισμένες ακολουθίες ψηφίων που ενδέχεται να εμφανίζονται μη-τυχαία, όπως το σημείο Feynman, που ξεκινά από το 762ο δεκαδικό ψηφίο της δεκαδικής απεικόνισης του π. Ο βραβευμένος με Νόμπελ Φυσικής Richard Feynman μελέτησε λεπτομερειακώς τα άπειρα δεκαδικά ψηφία του π και παρατήρησε πως μια παράξενη αλυσίδα διαδοχικών εννέα(9) βρίσκεται μετά το 762 ο ψηφίο που δικαίως αποκαλείται σημείο Feynman. Η ακολουθία είναι επίσης μια άλλη ιδιαίτερη περίπτωση καθώς βρίσκεται στην η θέση. Πιθανότητες στο π Το π είναι ένας άπειρος, μη επαναλαμβανόμενος δεκαδικός. Kάθε πιθανός συνδυασμός αριθμών υπάρχει κάπου μέσα στο π. Μετατρέποντας τον σε κείμενο ASCII, κάπου σε αυτή την ατέλειωτη σειρά ψηφίων, υπάρχει το όνομα του κάθε προσώπου που κανείς θα αγαπήσει, η ημερομηνία, η ώρα και ο τρόπος του θανάτου του και οι απαντήσεις σε όλα τα μεγάλα ερωτήματα του σύμπαντος. Μετατρέποντας τους συνδυασμούς σε εικόνα bitmap, κάπου στην ατέλειωτη σειρά υπάρχει μια ακριβής (μέχρι το εικονοστοιχείο) αναπαράσταση του πρώτου πράγματος που είδε κανείς πάνω στη Γη, του τελευταίου που θα δει πριν αφήσει τη ζωή και όλες οι στιγμές που έζησε, σημαντικές και ασήμαντες. Όλες 89

90 οι πληροφορίες που έχουν υπάρξει ή θα υπάρξουν στο μέλλον, το DNA κάθε ύπαρξης στην υφήλιο, τα πάντα περιέχονται στο λόγο της περιφέρειας προς τη διάμετρο. Τελειώνοντας αναφέρουμε ότι σε πολλές γλώσσες έχουν επινοηθεί διάφορα στιχάκια για την εύκολη απομνημόνευση των πρώτων ψηφίων της δεκαδικής προσέγγισης του π, στα οποία ο αριθμός γραμμάτων κάθε λέξης συμπίπτει με τα πρώτα δεκαδικά ψηφία του π, ένα προς ένα. Στα ελληνικά επινοήθηκε τετράστιχο που προσπαθεί να περιγράψει τον π: Αεί ο Θεός ο μέγας γεωμετρεί το κύκλου μήκος ίνα ορίση διαμέτρω παρήγαγεν αριθμόν απέραντον και ον φευ! ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι. Οι στίχοι αυτοί αποδίδονται στον καθηγητή των Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αθηνών Νικόλαο Ι. Χατζηδάκη ( ), ο οποίος επέκτεινε περίτεχνα τη γνωστή φράση του Πλάτωνος «Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί» και δημιούργησε αυτό το αριστοτέχνημα στο οποίο προσπαθεί να περιγράψει τον αριθμό π. Κλείνοντας αναφέρουμε ότι ο Πλάτων έτρεφε μεγάλη εκτίμηση προς τα Μαθηματικά και αναγνωρίζοντας την μεγάλη παιδευτική αξία αυτών και ιδιαίτερα της Γεωμετρίας είχε γράψει στην είσοδο της Ακαδημίας την επιγραφή: Το πάθος για τον αριθμό π «Μηδείς αγεωμέτρητος εισήτω» Εξαιτίας του ενθουσιασμού, του πάθους, του φανατισμού για τον π και τα δεκαδικά του ψηφία δημιουργήθηκε ο όρος "πι-μανία" για να περιγραφεί η εμμονή με τον αριθμό αυτόν. Καθιερώθηκε η 14η Μαρτίου ως παγκόσμια ημέρα της σταθεράς αυτής ή όπως την αποκαλούν στα αγγλικά "Pi-Day" καθώς στις Η.Π.Α η ημερομηνία εγγράφεται ως εξής: 3/14 ή 3-14 όπως δηλαδή τα πρώτα ψηφία του π. Αξιοσημείωτο είναι πως η μέρα αυτή είναι και η ημέρα γενεθλίων του Αϊνστάιν. Επειδή εξ ορισμού ο π σχετίζεται με τον κύκλο, ο π απαντάται συχνά σε κεφάλαια της Τριγωνομετρίας και της Γεωμετρίας, ειδικά όσον αφορά τους κύκλους, ελλείψεις ή σφαίρες. Απαντάται επίσης και σε άλλους τομείς άλλων κλάδων της επιστήμης, όπως Κοσμολογία, Θεωρία Αριθμών, Στατιστική, fractals, Θερμοδυναμική, Μηχανική, και Ηλεκτρομαγνητισμό. 90

91 Ο ιδιαίτερος χαρακτήρας του π το καθιστά μια από τις πιο ευρέως γνωστές μαθηματικές σταθερές, τόσο εντός όσο και εκτός της επιστημονικής κοινότητας. Διάφορα βιβλία έχουν δημοσιευθεί σχετικά με την ιστορία και τις ιδιότητες της σταθεράς αυτής,όπως το μυθιστόρημα «the contact» του διάσημου κοσμολόγου Κάρλ Σαγκάν το οποίο αργότερα σκηνοθετήθηκε και σε ταινία από τον Ρόμπερτ Ζεμπέκις με πρωταγωνίστρια την πασίγνωστη Τζόντυ Φόστερ. Ιστορική σχέση - Σύνδεση του αριθμού e με τον αριθμό i και π Επιμέλεια: Λυμπέρης Νίκος Ιστορικής σημασίας για τα μαθηματικά υπήρξε η διατύπωση της Σχέσης του Eüler, η οποία συνέδεσε την μιγαδική εκθετική συνάρτηση με τους βασικούς τριγωνομετρικούς αριθμούς, ανοίγοντας έτσι το δρόμο για την επέκταση της ανωτέρω θεωρίας στο σώμα των μιγαδικών αριθμών. Η σχέση αυτή χαιρετήθηκε ως η «πλέον διάσημη των Μαθηματικών». Μέσω λοιπόν των παρακάτω τύπων από την εποχή του Νεύτωνα που μπορούν να αναπαρασταθούν με τη μορφή απειροσειρών, με τη μια να περιλαμβάνει μόνο μονές δυνάμεις του θ και την άλλη μόνο ζυγές θα επιχειρήσουμε να συνδέσουμε το i με το e. Το ημίτονο ορίζεται ως εξής: ημθ = θ- + - (4) Το συνημίτονο ως εξής: συνθ= (5) Στο σημείο αυτό, λοιπόν, θα πάρουμε την αναπαράσταση της από την (1) και θα αντικαταστήσουμε το x με τη φανταστική ποσότητα iθ, όπου θ είναι ένας πραγματικός αριθμός και i 2 =-1. Αυτό οδηγεί κατευθείαν στη παρακάτω σχέση: (6) Και αν διαχωρίσουμε τους πραγματικούς και τους φανταστικούς όρους, από στη δεξιά πλευρά, λαμβάνουμε: (7) 91

92 Όμως οι δύο άπειρες σειρές εντός των παρενθέσεων είναι ακριβώς αυτές των αναπαραστάσεων για τα ημθ και συνθ που είδαμε προηγουμένως! Άρα καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι: Τέλος αν αντικαταστήσουμε το θ με την ειδική τιμή π και λάβουμε υπόψη ότι ημπ=0 και συνπ=-1 παίρνουμε επιτέλους το (8: Ταυτότητα του Eüler) Η σύνδεση αυτή μεταξύ του e του i και του π θεωρείται από πολλούς μαθηματικούς το πιο εκπληκτικό μαθηματικό αποτέλεσμα. μέχρι τώρα φυσικά! Ας δούμε τους λόγους για τους οποίους η σχέση (8) είναι τόσο σημαντική. Οι αριθμοί 0 και 1, δηλαδή τα ουδέτερα στοιχεία της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, αντίστοιχα, των ρητών και των μιγαδικών αριθμών. Η «φανταστική μονάδα» i, οριζόμενη από τη γνωστή ιδιότητα: i 2 = 1. Ο «έτερος διάσημος» υπερβατικός αριθμός π, εμφανιζόμενος και αυτός κατά κόρον στους κανόνες που διέπουν τον φυσικό κόσμο, αλλά και την κοινωνία και την οικονομία. Σύμφωνα με την αντίληψη ορισμένων, τα παραπάνω μεγέθη συνδέονται συμβολικά με τους θεμελιώδεις κλάδους των Μαθηματικών. Οι 0 και 1, για παράδειγμα, συμβολίζουν την Αριθμητική. Η φανταστική μονάδα i την Άλγεβρα. Ο π τη Γεωμετρία, ο e, τέλος την Ανάλυση. Και η ταυτότητα το Eüler συνδέει αυτά τα μεγέθη - και μαζί με αυτά, υποτίθεται, και τους αντίστοιχους κλάδους! - σε μία ιδιαίτερα συμμετρική και καλαίσθητη σχέση, στην οποία μάλιστα κάνουν επίσης την εμφάνισή τους - από μία ακριβώς φορά εκάστη οι θεμελιώδεις πράξεις της πρόσθεσης, του πολλαπλασιασμού, και της ύψωσης σε δύναμη, καθώς και το σύμβολο της ισότητας. Ένα πραγματικό «προσκλητήριο συμβολισμών»! Το γεγονός ότι συνδέει μεταξύ των τους θεμελιώδεις αριθμούς και κλάδους των Μαθηματικών οδήγησε ακόμα και στην αναζήτηση βαθύτερων «απόκρυφων» νοημάτων. Όπως έλεγε ο κορυφαίος Αμερικανός μαθηματικός του 19ου αιώνα, και καθηγητής του Harvard, Benjamin Peirce: «Το ότι ο τύπος είναι σωστός είναι απολύτως παράδοξο. Δεν είμαστε σε θέση να τον αντιληφθούμε και δεν γνωρίζουμε τη σημασία του, όμως τον έχουμε αποδείξει και επομένως γνωρίζουμε πως πρέπει να είναι αληθής!» 92

93 Η ακολουθία Fibonacci [5] Εικόνα 15: Fibonacci Επιμέλεια: Λυμπέρης Νίκος Οι αριθμοί Fibonacci προέρχονται από τον Λεονάρντο Πιζάνο Φιμπονάτσι, ο οποίος γεννήθηκε στην Πίζα το Το όνομά του προδίδει την καταγωγή του, αφού Fibonacci σημαίνει απλά «γιός του Μπονάτσι». Εντούτοις, το όνομα είναι μάλλον σύγχρονης επινόησης, εφ όσον δεν υπάρχουν στοιχεία που να αποδεικνύουν ότι στην εποχή του ήταν γνωστός ως Fibonacci. Στα μαθηματικά μυήθηκε μέσω της λογιστικής, αφού ο πατέρας του ήταν Ιταλός έμπορος με διεθνείς εμπορικές συναλλαγές. Πολύ σύντομα ο Λεονάρντο εκδήλωσε ενδιαφέρον για τα μαθηματικά, το οποίο όμως ξεπερνούσε τις εφαρμογές στο εμπόριο. Μέσα από τα επαγγελματικά ταξίδια του στη Βόρεια Αφρική του δόθηκε η ευκαιρία να διδαχθεί τα αραβικά μαθηματικά από μουσουλμάνους δασκάλους. Έτσι γνώρισε το ινδοαραβικό σύστημα αρίθμησης και αντιλήφθηκε αμέσως τα τεράστια πλεονεκτήματά του. Έγινε ο πιο ένθερμος υπέρμαχός τους στην Ευρώπη, όπου επεδίωξε να τα διαδώσει. Σ αυτόν οφείλουμε την εισαγωγή τους στον πολιτισμό μας. Η ακολουθία Fibonacci προέκυψε από το σμίξιμο του παλιού χρυσού αριθμού με κλάσματα. Μέσω του ειρωνικού τίτλου του βιβλίου του «Το βιβλίο του άβακα» και χρησιμοποιώντας στοιχεία της θεωρίας του, ο Fibonacci επιδιώκει να αποδείξει τα πλεονεκτήματα των αραβικών αριθμητικών συμβόλων σε σχέση με τις συνηθισμένες μεθόδους στην Ιταλία. Ο μαθηματικός τύπος της ακολουθίας του είναι ο εξής: =a n +a n-1 Το παράδειγμα των 21 πρώτων αριθμών της ακολουθίας Fibonacci θα μπορούσε να βοηθήσει ώστε να αντιληφθούμε την εφαρμογή του τύπου: F n για n= 0, 1, 2,, 20 είναι: F 0 F 1 F 2 F 3 F 4 F 5 F 6 F 7 F 8 F 9 F 10 F 11 F 12 F 13 F 14 F 15 F 16 F 17 F 18 F 19 F Επομένως, αντιλαμβανόμαστε πως κάθε αριθμός προκύπτει από το άθροισμα των δύο προηγούμενων του. Οι αριθμοί Fibonacci στα φυτά και στα ζώα Οι πρώτοι δύο αριθμοί Fibonacci είναι το 0 και το 1, και κάθε επόμενος αριθμός είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων. Επιπλέον, ο λόγος δύο διαδοχικών αριθμών της ακολουθίας Fibonacci τείνει προς την χρυσή τομή ή χρυσή αναλογία, δηλαδή τον αριθμό φ=1, Υπέροχοι και μυστήριοι χαρακτηρίζονται αυτοί οι αριθμοί και απαντώνται παντού και σε διάφορες επιστήμες. Εκπληκτικός όμως είναι ο τρόπος με τον οποίο οι αριθμοί Fibonacci εμφανίζονται στη φύση. Είναι το αριθμητικό σύστημα της φύσης. Τους συναντάς παντού, 93

94 στη διάταξη των φύλλων ενός φυτού, στο μοτίβο των πετάλων ενός λουλουδιού, στο άνθος της αγκινάρας, σε ένα κουκουνάρι ή στο φλοιό ενός ανανά. Ισχύουν για την ανάπτυξη κάθε ζωντανού οργανισμού, ενός κυττάρου, ενός κόκκου σιταριού, μιας κυψέλης μελισσών, ακόμη και για όλη την ανθρωπότητα. Τα φυτά δε γνωρίζουν για την ακολουθία Fibonacci - απλά μεγαλώνουν με τον πιο αποτελεσματικό τρόπο. Αν μετρήσει κανείς τα πέταλα ενός λουλουδιού, θα διαπιστώσει ότι ο αριθμός τους είναι συχνά 3, 5, 8, 13, 21, 34 ή ακόμα και 55. Σπάνια θα συναντήσουμε λουλούδι με δύο πέταλα. Υπάρχουν εκατοντάδες είδη, τόσο άγρια όσο και καλλιεργημένα με πέντε πέταλα. Τα λουλούδια με οκτώ πέταλα δεν είναι τόσο κοινά όπως με τα πέντε, αλλά υπάρχουν αρκετά γνωστά είδη. Λουλούδια με 13, 21 και 34 πέταλα είναι επίσης αρκετά κοινά. Μπορούμε να μετρήσουμε στις μαργαρίτες 13, 21, 34, 55, ή και 89 πέταλα. Οι κοινές μαργαρίτες του αγρού έχουν συνήθως 34 πέταλα γεγονός που σίγουρα επηρεάζει το αποτέλεσμα του παιχνιδιού «μ αγαπά δεν μ αγαπά». δύο διαδοχικοί αριθμοί στην ακολουθία Fibonacci. Οι σπόροι του ηλίανθου κατανέμονται κυκλικά. Η σπείρα είναι προς τα έξω ενώ έχει διπλή κατεύθυνση, δηλαδή και όπως κινούνται οι δείκτες του ρολογιού και αντίστροφα από το κέντρο του λουλουδιού. Ο αριθμός των σπειρών στο κάθε φυτό δεν είναι ίδιος. Γιατί γενικά είναι είτε 21 και 34, είτε 34 και 55, είτε 55 και 89, ή 89 και 144; Ο αριθμός των σπειρών ενός ηλίανθου και προς τις δύο κατευθύνσεις είναι Όλα τα κουκουνάρια αναπτύσσονται σε σπείρες, ξεκινώντας από τη βάση όπου ήταν ο μίσχος, και πηγαίνοντας κυκλικά μέχρι να φτάσουμε στην κορυφή. Η ακολουθία Fibonacci εμφανίζεται στις βελόνες αρκετών ειδών έλατου, τα φύλλα της λεύκας, της κερασιάς, της μηλιάς, της δαμασκηνιάς, της βελανιδιάς και της φιλύρας, στη διάταξη των πετάλων της μαργαρίτας και του ηλιοτρόπιου. Τη βλέπουμε στην επιφάνεια των κορμών των κωνοφόρων δέντρων και στους δακτύλιους των κορμών των φοικικόδεντρων. 94

95 Στη φωτογραφία παραπάνω βλέπετε ένα μικρό χαμομήλι. Τα πέταλα που βρίσκονται στο κέντρο του λουλουδιού σχηματίζουν σπείρες, σύμφωνα με τη ακολουθία Fibonacci. Υπάρχουν 21 πιο σκούρες μπλε σπείρες και 13 σπείρες με τυρκουάζ χρώμα. Το 13 και το 21 είναι διαδοχικοί αριθμοί στην ακολουθία Fibonacci. Το κέλυφος των σαλιγκαριών ακολουθεί και αυτό την ακολουθία Fibonacci. Το ίδιο και το κέλυφος του ναυτίλου (μαλάκιο). Η μόνη διαφορά μεταξύ των δύο είναι ότι το κέλυφος του ναυτίλου αναπτύσσεται σε τρισδιάστατες σπείρες, ενώ το κέλυφος των σαλιγκαριών αναπτύσσεται σε δισδιάστατες σπείρες. Η ακολουθία εφαρμόζεται στο σώμα του δελφινιού, στον αστερία και στο ανθρώπινο σώμα. Η αναλογία του μήκους του πήχη του χεριού προς το μήκος του χεριού ισούται με 1.618, δηλαδή ισούται με τη Χρυσή Αναλογία όπως θα δούμε παρακάτω. Η αναλογία μεταξύ του μήκους και του φάρδους του προσώπου και η αναλογία του μήκους του στόματος προς το φάρδος της μύτης είναι μερικά ακόμα παραδείγματα της εφαρμογής των αριθμών αυτών στο ανθρώπινο σώμα. Σίγουρα, αυτός ο συνδυασμός φύσης και μαθηματικών δεν είναι τυχαίος! Άραγε, τα μαθηματικά αντιγράφουν τη φύση ή η φύση τα μαθηματικά; Δεν συμφωνείτε όμως ότι είναι εκπληκτικός ο τρόπος που συνδυάζονται, όπως και το αποτέλεσμα! Η ακολουθία Fibonacci χρησιμοποιείται και στον τζόγο από πολλούς επαγγελματίες συχνά με εκπληκτικά αποτελέσματα, παρόλ αυτά δεν εγγυάται σίγουρα αποτελέσματα. Η ακολουθία Fibonacci στις αγορές [6] Χρησιμοποιώντας την ακολουθία Fibonacci, οι επενδυτές μπορούν να υπολογίσουν επίπεδα αντίστασης και επίπεδα στήριξης. Η θεωρία ισχυρίζεται ότι μετά από την κίνηση μιας 95

96 μετοχής (είτε προς τα πάνω ή προς τα κάτω) θα υπάρξει ένα κύμα από διορθώσεις, οι οποίες θα αντιστοιχούν στις αναλογίες Fibonacci. Αυτές οι βασικές αναλογίες προκύπτουν από τη διαίρεση ενός αριθμού Fibonacci με έναν άλλο αριθμό Fibonacci, δύο ή τρεις θέσεις παρακάτω στην ακολουθία. Δηλαδή, το 0 διαιρείται με το 1, ίσον 0. Το 1 διαιρείται με 1, ίσον 1. Το 1 διαιρείται με το 2, ίσον 0,5. Το 55 διαιρείται με το 89, ίσον 0,618. Το 55 διαιρείται με το 144, ίσον 0,382. Το 55 διαιρείται με το 233, ίσον 0,236. Αν κανείς συνεχίσει να κάνει πράξεις, διαιρώντας κάθε αριθμό της ακολουθίας με τον επόμενο αριθμό προκύπτει το αποτέλεσμα 0,618, και το αντίστροφο του 1,618. Ο τελευταίος αυτός αριθμός είναι επίσης γνωστός ως η «χρυσή τομή». 96

97 Ο Χρυσός Αριθμός Φ [1][4] Επιμέλεια: Λιακοπούλου Άρτεμις Σε μαθηματικούς όρους, χρυσός αριθμός είναι εκείνος που αν του προσθέσουμε το 1 θα μας δώσει το ίδιο αποτέλεσμα το οποίο θα έχουμε και αν τον υψώσουμε στο τετράγωνο. Δηλαδή: 1 + Φ = Φ * Φ, δηλαδή = * = Ένας εύχρηστος τύπος υπολογισμού του φ είναι ο φ=, ο οποίος ονομάστηκε ελληνικός λόγος από τον Ελ. Αργυρόπουλο. Η πρώτη αναφορά σε αυτόν το «χρυσό» αριθμό, τον αποκαλούμενο αριθμό φ, έγινε από τον Ευκλείδη γύρω στο 300 π.χ. Ο Πυθαγόρας ήταν ο πρώτος που διατύπωσε τον μαθηματικό ορισμό της αναλογίας χρησιμοποιώντας δύο ευθύγραμμα τμήματα. Η σκέψη του ήταν πως αν υπάρχει ένα ευθύγραμμο τμήμα και ένα σημείο τομής να το τέμνει ασύμμετρα έτσι ώστε το μήκος του μεγαλύτερου τμήματος προς όλο το μήκος του τμήματος να είναι ίσο με το μήκος του μεγαλύτερου τμήματος προς το μήκος του μικρότερου, τότε ο λόγος τους φανερώνει κάποιους είδους αναλογία. Γεωμετρική αναπαράσταση: Αλγεβρική αναπαράσταση: Μετά από πάρα πολλά χρόνια ο Fibonacci ανακάλυψε μία ακολουθία αριθμών που είχαν την ιδιότητα, όπως ήδη έχουμε αναφέρει, να εμφανίζουν την χρυσή αναλογία. Τα διαδοχικά πηλίκα των όρων αυτής της φυσικής ακολουθίας τείνουν προς τον χρυσό αριθμό φ είναι: 3/2 = /3 = /5 = /8 = /13 = Φθάνοντας στον τεσσαρακοστό λόγο λαμβάνουμε τον φ ( ) με 15 δεκαδικά στοιχεία. Υπολογισμός Δύο ποσότητες α και β λέγεται ότι είναι σε χρυσή αναλογία φ, εάν: 97

Ο Βιτρούβιος Άντρας του Λεονάρντο Ντα Βίντσι

Ο Βιτρούβιος Άντρας του Λεονάρντο Ντα Βίντσι Ο Βιτρούβιος Άντρας του Λεονάρντο Ντα Βίντσι Ο Άνθρωπος του Βιτρούβιου είναι ένα διάσημο σχέδιο με συνοδευτικές σημειώσεις του Λεονάρντο Ντα Βίντσι, που φτιάχτηκε περίπου το 1490 σε ένα από τα ημερολόγιά

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ

Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ Επιμέλεια: Μιχαηλίσιν Άννα- Μαρία, Τζιώτης Δημήτρης, Τσάτσα Κωνσταντίνα Η συμμετρία στο φυσικό κόσμο Η συμμετρία που κατεξοχήν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1oς ΚΥΚΛΟΣ - ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΚΑΙ ΜΑΘΑΙΝΟΥΜΕ ΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α Ενότητα Ανακαλύπτουμε τις ιδιότητες των υλικών μας, τα τοποθετούμε σε ομάδες και διατυπώνουμε κριτήρια ομαδοποίησης Οι μαθητές μαθαίνουν να αναπτύσσουν

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT

ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT Βασιλίσιν Μιχάλης, Δέφτο Χριστίνα, Ιλινιούκ Ίον, Κάσα Μαρία, Κουζμίδου Ελένη, Λαμπαδάς Αλέξης, Μάνε Χρισόστομος, Μάρκο Χριστίνα, Μπάμπη Χριστίνα, Σακατελιάν Λίλιτ, Σαχμπαζίδου

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους.

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Νίκος Γ. Τόμπρος Ενότητα : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Περιεχόμενα ενότητας Τριγωνομετρικοί οξείας γωνίας αριθμοί Διδακτικοί στόχοι Διδακτικές οδηγίες - επισημάνσεις Πρέπει οι μαθητές να γνωρίζουν:

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή. Δρ. Κυριακή Τσιλίκα

Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή. Δρ. Κυριακή Τσιλίκα Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή Δρ. Κυριακή Τσιλίκα Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστημίου Θεσσαλίας Η απαρχή της Γεωμετρίας Οι Βαβυλώνιοι, για πρώτη φορά,

Διαβάστε περισσότερα

Το ταξίδι στην 11η διάσταση

Το ταξίδι στην 11η διάσταση Το ταξίδι στην 11η διάσταση Το κείμενο αυτό δεν αντιπροσωπεύει το πώς παρουσιάζονται οι 11 διστάσεις βάση της θεωρίας των υπερχορδών! Είναι περισσότερο «τροφή για σκέψη» παρά επιστημονική άποψη. Οι σκέψεις

Διαβάστε περισσότερα

Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Θέμα: «Ακολουθία Fibonacci»

Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Θέμα: «Ακολουθία Fibonacci» Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Θέμα: «Ακολουθία Fibonacci» Μάθημα: Άλγεβρα Υπεύθυνος καθηγητής: κ. Σκοτίδας Τάξη: Β Λυκείου Τμήμα Β2 Ονοματεπώνυμο: Λαμπρινή Μαρίνα Λάππα Σχολικό έτος: 2010 2011 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) Ποιο πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

Το κορίτσι με τα πορτοκάλια. Εργασία Χριστουγέννων στο μάθημα της Λογοτεχνίας. [Σεμίραμις Αμπατζόγλου] [Γ'1 Γυμνασίου]

Το κορίτσι με τα πορτοκάλια. Εργασία Χριστουγέννων στο μάθημα της Λογοτεχνίας. [Σεμίραμις Αμπατζόγλου] [Γ'1 Γυμνασίου] Το κορίτσι με τα πορτοκάλια Εργασία Χριστουγέννων στο μάθημα της Λογοτεχνίας [Σεμίραμις Αμπατζόγλου] [Γ'1 Γυμνασίου] Εργασία Χριστουγέννων στο μάθημα της Λογοτεχνίας: Σεμίραμις Αμπατζόγλου Τάξη: Γ'1 Γυμνασίου

Διαβάστε περισσότερα

Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας. Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο

Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας. Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο Πρώτη νύχτα Μονάδα Όνειρα ( εργασία ) Η έννοια του απείρου Φρόυντ Κλάσματα Αριθμητικό σύστημα ( εργασία

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΠΕΡΑΤΟΤΗΤΑ (ΧΡΙΣΤΟΦΟΡΟΥ) Τίτλος διερεύνησης: Ποιοί παράγοντες επηρεάζουν το πόσο νερό συγκρατεί το χώμα;

ΥΔΡΟΠΕΡΑΤΟΤΗΤΑ (ΧΡΙΣΤΟΦΟΡΟΥ) Τίτλος διερεύνησης: Ποιοί παράγοντες επηρεάζουν το πόσο νερό συγκρατεί το χώμα; ΥΔΡΟΠΕΡΑΤΟΤΗΤΑ (ΧΡΙΣΤΟΦΟΡΟΥ) Τίτλος διερεύνησης: Ποιοί παράγοντες επηρεάζουν το πόσο νερό συγκρατεί το χώμα; Σύντομη περιγραφή διερεύνησης: Σκοπός αυτής της διερεύνησης ήταν να κάνουν κάποιες υποθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εντυπώσεις μαθητών σεμιναρίου Σώμα - Συναίσθημα - Νούς

Εντυπώσεις μαθητών σεμιναρίου Σώμα - Συναίσθημα - Νούς Εντυπώσεις μαθητών σεμιναρίου Σώμα - Συναίσθημα - Νούς A...Τα αισθήματα και η ενεργεία που δημιουργήθηκαν μέσα μου ήταν μοναδικά. Μέσα στο γαλάζιο αυτό αυγό, ένιωσα άτρωτος, γεμάτος χαρά και αυτοπεποίθηση.

Διαβάστε περισσότερα

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αριθμός Επίθετο Όνομα Όνομα πατέρα THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2012-2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (Αυτό το γραπτό αποτελείται από 21 σελίδες, συμπεριλαμβανομένης της σελίδας αυτής).

Διαβάστε περισσότερα

Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει. Η Γέννηση του Ιησού Χριστού

Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει. Η Γέννηση του Ιησού Χριστού Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει Η Γέννηση του Ιησού Χριστού Συγγραφέας: Edward Hughes Εικονογράφηση:M. Maillot Διασκευή:E. Frischbutter; Sarah S. Μετάφραση: Evangelia Zyngiri Παραγωγός: Bible for Children

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Ο Νεύτωνας παίζει μπάλα

Κεφάλαιο 2: Ο Νεύτωνας παίζει μπάλα Κεφάλαιο : Ο Νεύτωνας παίζει μπάλα Το ποδόσφαιρο κατέχει αδιαμφισβήτητα τη θέση του βασιλιά όλων των αθλημάτων. Είναι το μέσο εκείνο που ενώνει εκατομμύρια ανθρώπους σε όλον τον κόσμο επηρεάζοντας ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΣ ΒΑΤΣΑΚΛΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ

ΣΕΡΒΙΣ ΒΑΤΣΑΚΛΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΣΧΟΛΗ ΠΡΟΠΟΝΗΤΩΝ Γ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑΣ ΣΕΡΒΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ένα καλό σέρβις είναι ένα από τα πιο σημαντικά χτυπήματα επειδή μπορεί να δώσει ένα μεγάλο πλεονέκτημα στην αρχή του πόντου. Το σέρβις είναι το πιο σημαντικό

Διαβάστε περισσότερα

2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης. Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007

2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης. Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007 2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007 Περίληψη Η Αλίκη µισεί τα µαθηµατικά και θεωρεί πως δε χρησιµεύουν σε τίποτα. Μια µέρα που κάθεται και διαβάζει στο πάρκο, ένα παράξενο άτοµο την προσκαλεί

Διαβάστε περισσότερα

4. Η Καινή Διαθήκη Β : Οι Επιστολές και η Αποκάλυψη

4. Η Καινή Διαθήκη Β : Οι Επιστολές και η Αποκάλυψη 4. Η Καινή Διαθήκη Β : Οι Επιστολές και η Αποκάλυψη 1. Τι ήταν και γιατί γράφτηκαν οι επιστολές του αποστόλου Παύλου; Ήταν γράμματα που έστελνε ο απόστολος στις χριστιανικές κοινότητες που είχε ιδρύσει.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Ισομετρίες, Συμμετρίες και Πλακοστρώσεις Οπως είδαμε στην απόδειξη του πρώτου κριτηρίου ισότητας τριγώνων, ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί την έννοια της εφαρμογής ενός τριγώνου σε ένα άλλο, χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει. Η Γέννηση του Ιησού Χριστού

Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει. Η Γέννηση του Ιησού Χριστού Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει Η Γέννηση του Ιησού Χριστού Συγγραφέας: Edward Hughes Εικονογράφηση:M. Maillot Διασκευή:E. Frischbutter; Sarah S. Μετάφραση: Evangelia Zyngiri Παραγωγός: Bible for Children

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΤΙ ΡΩΤΑΜΕ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΤΙ ΜΑΣ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΠΩΣ ΜΑΣ ΤΟ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΣΥΝΘΕΣΗ: Οργάνωση ενός συνόλου από επιμέρους στοιχεία σε μια ενιαία διάταξη Αρχική ιδέα σύνθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθημα 1. Η λατρεία στη ζωή των πιστών σήμερα

Μαθημα 1. Η λατρεία στη ζωή των πιστών σήμερα Μαθημα 1. Η λατρεία στη ζωή των πιστών σήμερα ΣΤΟΧΟΙ: Οι μαθητές να 1. Διατυπώνουν τους προβληματισμούς τους γύρω από τη λατρεία. 2. Υποστηρίζουν με επιχειρήματα ότι στη χριστιανική θρησκεία η λατρεία

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΝΑΙ Η ΑΣΤΡΟΛΟΓΙΑ ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΥΤΟΓΝΩΣΙΑΣ; 1

ΕΙΝΑΙ Η ΑΣΤΡΟΛΟΓΙΑ ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΥΤΟΓΝΩΣΙΑΣ; 1 ΕΙΝΑΙ Η ΑΣΤΡΟΛΟΓΙΑ ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΥΤΟΓΝΩΣΙΑΣ; 1 Στο σημείο αυτό του οδοιπορικού γνωριμίας με τις διάφορες μεθόδους αυτογνωσίας θα συναντήσουμε την Αστρολογία και θα μιλήσουμε για αυτή. Θα ερευνήσουμε δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Χριστούγεννα. Ελάτε να ζήσουμε τα. όπως πραγματικά έγιναν όπως τα γιορτάζει η εκκλησία μας όπως τα νιώθουν τα μικρά παιδιά

Χριστούγεννα. Ελάτε να ζήσουμε τα. όπως πραγματικά έγιναν όπως τα γιορτάζει η εκκλησία μας όπως τα νιώθουν τα μικρά παιδιά Ελάτε να ζήσουμε τα όπως πραγματικά έγιναν όπως τα γιορτάζει η εκκλησία μας όπως τα νιώθουν τα μικρά παιδιά Χριστούγεννα (μέσα από ιστορίες και χριστουγεννιάτικα παιχνίδια) 1 Στόχοι: Μέσα από διάφορες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΔΡΑΣΗ ΑΠΟ ΤΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΤΟΥ ΤΡΟΜΟΥ

ΑΠΟΔΡΑΣΗ ΑΠΟ ΤΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΤΟΥ ΤΡΟΜΟΥ ΑΠΟΔΡΑΣΗ ΑΠΟ ΤΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΤΟΥ ΤΡΟΜΟΥ - Α,α,α,α,α,α,α! ούρλιαξε η Νεφέλη - Τρομερό! συμπλήρωσε η Καλλιόπη - Ω, Θεέ μου! αναφώνησα εγώ - Απίστευτα τέλειο! είπε η Ειρήνη και όλες την κοιτάξαμε λες και είπε

Διαβάστε περισσότερα

Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ»

Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ» Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ» Τμήμα 5 ης -6 ης Δημοτικού Σάββατο, 27 Οκτωβρίου 2012 Θαλής ο Μιλήσιος 630/635 π.χ. 543 π.χ. Ο πρώτος φιλόσοφος! Ο Θαλής ο Μιλήσιος ανήκει στους προσωκρατικούς

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος προγράμματος: «Παιχνίδια στο χθες, παιχνίδια στο σήμερα, παιχνίδια δίχως σύνορα» Υπεύθυνη προγράμματος: Μπότη Ευαγγελή Εκπαιδευτικός που

Τίτλος προγράμματος: «Παιχνίδια στο χθες, παιχνίδια στο σήμερα, παιχνίδια δίχως σύνορα» Υπεύθυνη προγράμματος: Μπότη Ευαγγελή Εκπαιδευτικός που Τίτλος προγράμματος: «Παιχνίδια στο χθες, παιχνίδια στο σήμερα, παιχνίδια δίχως σύνορα» Υπεύθυνη προγράμματος: Μπότη Ευαγγελή Εκπαιδευτικός που συμμετέχει: Κακάρη Κωνσταντίνα Παρακολουθώντας τα παιδιά

Διαβάστε περισσότερα

Τα παιδιά της Πρωτοβουλίας και η Δώρα Νιώπα γράφουν ένα παραμύθι - αντίδωρο

Τα παιδιά της Πρωτοβουλίας και η Δώρα Νιώπα γράφουν ένα παραμύθι - αντίδωρο Τα παιδιά της Πρωτοβουλίας και η Δώρα Νιώπα γράφουν ένα παραμύθι - αντίδωρο Ο Ηλίας ανεβαίνει Ψηλά Ψηλότερα Κάθε Μάρτιο, σε μια Χώρα Κοντινή, γινόταν μια Γιορτή! Η Γιορτή των Χαρταετών. Για πρώτη φορά,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (ΦΑΣΗ 1 η )

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (ΦΑΣΗ 1 η ) ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (ΦΑΣΗ 1 η ) 1 ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΤΟΥ JACKSON POLLOCK ΣΤΟΝ ΔΗΜΟΣΙΟΓΡΑΦΟ WILLIAM WRIGHT ΤΟ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙ ΤΟΥ 1950. Το καλοκαίρι του 1950 o δημοσιογράφος William Wright πήρε μια πολύ ενδιαφέρουσα ηχογραφημένη

Διαβάστε περισσότερα

Η καμπύλωση του χώρου-θεωρία της σχετικότητας

Η καμπύλωση του χώρου-θεωρία της σχετικότητας Η καμπύλωση του χώρου-θεωρία της σχετικότητας Σύμφωνα με τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας που διατύπωσε ο Αϊνστάιν, το βαρυτικό πεδίο κάθε μάζας δημιουργεί μια καμπύλωση στον χώρο (μάλιστα στον χωροχρόνο),

Διαβάστε περισσότερα

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Κύκλου μέτρησις Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Η ιστορία του π 2 Κυ κλου με τρησις Η μέθοδος του Αρχιμήδη για την προσέγγιση του π και ο ρόλος

Διαβάστε περισσότερα

Μετεωρολογία. Αν σήμερα στις 12 τα μεσάνυχτα βρέχει, ποια είναι η πιθανότητα να έχει λιακάδα μετά από 72 ώρες;

Μετεωρολογία. Αν σήμερα στις 12 τα μεσάνυχτα βρέχει, ποια είναι η πιθανότητα να έχει λιακάδα μετά από 72 ώρες; Ονόματα Η μητέρα της Άννας έχει άλλους τρεις μεγαλύτερους γιους. Επειδή έχει πάθος με τα χρήματα, τους έχει βαφτίσει ως εξής: Τον μεγάλο της γιο "Πενηνταράκη", τον μεσαίο "Εικοσαράκη" και τον μικρότερο

Διαβάστε περισσότερα

Μουσική και Μαθηματικά!!!

Μουσική και Μαθηματικά!!! Μουσική και Μαθηματικά!!! Η μουσική είναι ίσως από τις τέχνες η πιο δεμένη με τα μαθηματικά, με τη μαθηματική σκέψη, από την ίδια τη φύση της. Η διατακτική δομή μπορεί να κατατάξει τα στοιχεία ενός συνόλου,

Διαβάστε περισσότερα

Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα»

Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα» Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα» Α] Ασκήσεις κλειστού τύπου (Σωστό Λάθος) Για τον Πλάτωνα οι καθολικές έννοιες, τα «καθόλου», δεν είναι πράγματα ξεχωριστά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνοψαρούλη, μην εμπιστεύεσαι ΠΟΤΕ... αχινό! Εκπαιδευτικός σχεδιασμός παιχνιδιού: Βαγγέλης Ηλιόπουλος, Βασιλική Νίκα.

Τριγωνοψαρούλη, μην εμπιστεύεσαι ΠΟΤΕ... αχινό! Εκπαιδευτικός σχεδιασμός παιχνιδιού: Βαγγέλης Ηλιόπουλος, Βασιλική Νίκα. Ήρθε ένας νέος μαθητής στην τάξη. Όλοι τον αποκαλούν ο «καινούριος». Συμφωνείς; 1 Δεν είναι σωστό να μη φωνάζουμε κάποιον με το όνομά του. Είναι σαν να μην τον αναγνωρίζουμε. Σωστά. Έχει όνομα και με αυτό

Διαβάστε περισσότερα

Παρακαλούμε όποιον γνωρίζει το που μπορούμε να βρούμε ολόκληρα τα κείμενα στα ελληνικά, να μας ενημερώσει.

Παρακαλούμε όποιον γνωρίζει το που μπορούμε να βρούμε ολόκληρα τα κείμενα στα ελληνικά, να μας ενημερώσει. Η μετάφραση των κειμένων στα ελληνικά, που παρατίθεται εδώ, είναι βασισμένη στις μεταφράσεις από τα κοπτικά και ελληνικά στα αγγλικά των: Wesley W. Isenberg, Stephen Patterson, Marvin Meyer, Thomas O.

Διαβάστε περισσότερα

Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας. Ιωαννίνων. Αριθμητικός Γραμματισμός. Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη

Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας. Ιωαννίνων. Αριθμητικός Γραμματισμός. Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας Ιωαννίνων Αριθμητικός Γραμματισμός Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη ΘΕΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΗΣ «Προγραμματισμός-Οργάνωση και υλοποίηση μιας διδακτικής ενότητας στον Αριθμητικό Γραμματισμό» ΠΡΟΣΘΕΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

«ΠΩΣ ΦΑΝΤΑΖΟΜΑΙ ΤΗ ΖΩΗ ΜΟΥ ΧΩΡΙΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ;» Α1 Γυμνασίου Προσοτσάνης 2011-2012

«ΠΩΣ ΦΑΝΤΑΖΟΜΑΙ ΤΗ ΖΩΗ ΜΟΥ ΧΩΡΙΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ;» Α1 Γυμνασίου Προσοτσάνης 2011-2012 «ΠΩΣ ΦΑΝΤΑΖΟΜΑΙ ΤΗ ΖΩΗ ΜΟΥ ΧΩΡΙΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ;» Α1 Γυμνασίου Προσοτσάνης 2011-2012 1 ΠΩΣ ΦΑΝΤΑΖΟΜΑΙ ΤΗ ΖΩΗ ΜΟΥ ΧΩΡΙΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ; Γράφει ο Ηλίας Δερμετζής «Τη ζωή μου χωρίς αριθμούς δεν μπορώ να τη φανταστώ,

Διαβάστε περισσότερα

Πρότυπο Πειραματικό Σχολείο Φλώρινας Πρόγραμμα Περιβαλλοντικής Αγωγής. «Ένας περίπατος στο ηλιακό μας σύστημα»

Πρότυπο Πειραματικό Σχολείο Φλώρινας Πρόγραμμα Περιβαλλοντικής Αγωγής. «Ένας περίπατος στο ηλιακό μας σύστημα» Πρότυπο Πειραματικό Σχολείο Φλώρινας Πρόγραμμα Περιβαλλοντικής Αγωγής «Ένας περίπατος στο ηλιακό μας σύστημα» Εκπαιδευτικός: Μπλούχου Στεφανία Τάξη: Β Σχολικό έτος: 2012-13 ΣΧΕΔΙΟ ΥΠΟΒΟΛΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΦΑΙΔΡΑ ΚΟΥΡΒΙΣΙΑΝΟΥ ΒΑΣΙΛΗΣ ΚΑΤΣΑΝΤΩΝΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΚΑΣΙΜΑΤΗΣ Ερευνητικά Ερωτήματα Ποιοι είναι ΟΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΟΙΤΗΤΡΙΑ: ΠΑΤΣΑΤΖΑΚΗ ΕΛΕΝΗ, ΑΕΜ:3196 ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΥΕ258 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΩΝ ΓΛΩΣΣΙΚΩΝ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ

ΦΟΙΤΗΤΡΙΑ: ΠΑΤΣΑΤΖΑΚΗ ΕΛΕΝΗ, ΑΕΜ:3196 ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΥΕ258 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΩΝ ΓΛΩΣΣΙΚΩΝ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ 2015 ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΥΕ258 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΩΝ ΓΛΩΣΣΙΚΩΝ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ ΦΟΙΤΗΤΡΙΑ: ΠΑΤΣΑΤΖΑΚΗ ΕΛΕΝΗ, ΑΕΜ:3196 ΕΠΙΒΛΕΠΟΥΣΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: ΓΡΙΒΑ ΕΛΕΝΗ 5/2/2015 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αυτό το portfolio φτιάχτηκε

Διαβάστε περισσότερα