Vilniaus universitetas. Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS

Transcript

1 Vilniaus universitetas Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS Vilnius 1992

2 T U R I N Y S 1. Vektorinė erdvė Matricos rangas Vektorinės erdvės bazė Poerdviai, poerdviu suma bei sankirta Tiesiniu lygčiu sistemos Kvadratinės formos Euklido erdvė Tiesinės transformacijos Žordano forma Grupiu teorijos elementai Idealai, faktoržiedžiai, algebriniai plėtiniai Literatūra STANDARTINIAI ŽYMENYS N natūraliu aibė, Z sveiku žiedas, Q racionaliu kūnas, R n n-matė aritmetinė erdvė, K m n vienarūšiu m n-matricu erdvė virš kūno K, K kūno K multiplikacinė grupė, Z n n-osios eilės ciklinė grupė. 2

3 1. VEKTORINĖ ERDVĖ Apibrėžimas. Adicinė grupė V vadinama vektorine erdve virš kūno K, kai apibrėžta jos elementu daugybos iš kūno K elementu operacija, kuri turi tokias savybes: 1) asociatyvumo a (b α) = (a b) α ( a, b K, α V ); 2) distributyvumo grupės V elementu a (α + β) = a α + a β ( a K, α, β V ); 3) distributyvumo kūno K elementu (a + b) α = a α + b α ( a, b K, α V ); 4) kūno K vieneto e panaikinimo e α = α ( α V ). Vektorinės erdvės V elementus vadiname vektoriais ir žymime graikiškomis raidėmis, o kūno K elementus skaliarais ir žymime mažomis lotyniškomis raidėmis. Vektorinės erdvės sistema α 1, α 2,..., α m vadinama tiesiškai priklausoma, kai galima rasti tokius skaliarus c 1, c 2,..., c m, iš kuriu bent vienas nelygus 0, kad būtu teisinga lygybė c 1 α 1 + c 2 α c m α m = θ (θ nulinis vektorius). Jei pastara ja lygybe tenkina tik skaliarai c 1 = c 2 =... = c m = 0, tai sistema vadinama tiesiškai nepriklausoma. 1 teorema. Jei sistemos posistemis yra tiesiškai priklausomas, tai ir ta sistema yra tiesiškai priklausoma. Išvada. Jei sistema yra tiesiškai nepriklausoma, tai tiesiškai nepriklausomas ir bet kuris jos posistemis. Vektorinės erdvės vektorius α vadinamas tos erdvės α 1, α 2,..., α m tiesine kombinacija, kai galima rasti skaliarus a 1, a 2,..., a m, su kuriais yra teisinga lygybė α = a 1 α 1 + a 2 α a m α m. 2 teorema. Vektoriu sistema, sudaryta iš daugiau kaip vieno vektoriaus, yra tiesiškai priklausoma tada ir tik tada, kai bent viena jos galima užrašyti kitu tos sistemos tiesine kombinacija. 3

4 Vektoriu sistemos rangu vadinamas didžiausias jos tiesiškai nepriklausomu posistemiu skaičius. 3 teorema. Jei sistemos α 1, α 2,..., α r,..., α m rangas lygus r, o jos posistemis α 1, α 2,..., α r yra tiesiškai nepriklausomas, tai kiekviena sistemos galima užrašyti to posistemio tiesine kombinacija. 4 teorema. Prijungus prie sistemos jos tiesine kombinacija, gaunama to paties rango sistema. Vektoriu sistemos elementariaisiais pertvarkiais vadinami šie pertvarkiai: 1) bet kurio sistemos vektoriaus pakeitimas to vektoriaus ir nelygaus nuliui skaliaro sandauga; 2) sistemos vektoriaus pakeitimas suma to vektoriaus ir kito sistemos vektoriaus, padauginto iš bet kurio skaliaro. 5 teorema. Atlikus sistemos elementaru ji pertvarki, gaunama to paties rango sistema. PAVYZDŽIAI 1. Apibrėšime aritmetine vektorine erdve K n. Nagrinėjame sutvarkytus n kūno K elementu rinkinius α = (a 1, a 2,..., a n ). Dvie elementu sudėti apibrėšime pakomponenčiui: jei α = (a 1, a 2,..., a m ), β = (b 1, b 2,..., b n ), tai tu elementu suma laikome elementa α + β = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,..., a n + b n ). Apibrėžtos sudėties operacijos atžvilgiu sudarytoji aibė yra adicinė grupė. Iš tikru : 1) operacija asociatyvi jei γ = (c 1, c 2,..., c n ), tai (α + β) + γ = ( (a 1 + b 1 ) + c 1, (a 2 + b 2 ) + c 2,..., (a n + b n ) + c n ) = = ( a 1 + (b 1 + c 1 ), a 2 + (b 2 + c 2 ),..., a n + (b n + c n ) ) = α + (β + γ); 2) egzistuoja nulinis elementas θ = (0, 0,..., 0): α + θ = (a 1 + 0, a 2 + 0,..., a n + 0) = α; 3) kartu su kiekvienu elementu α = (a 1, a 2,..., a n ) aibei priklauso ir jam priešingas elementas α = ( a 1, a 2,..., a n ): 4) operacija komutatyvi α + ( α) = (a 1 a 1, a 2 a 2,..., a n a n ) = θ; α + β = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,..., a n + b n ) = = (b 1 + a 1, b 2 + a 2,..., b n + a n ) = β + α. Elemento daugyba iš skaliaro apibrėžiame taip pat pakomponenčiui aα = (aa 1, aa 2,..., aa n ). 4

5 Daugybos operacija turi tokias savybes: 5) asociatyvumo a(bα) = ( a(ba 1 ), a(ba 2 ),..., a(ba n ) ) = = ( (ab)a 1, (ab)a 2,..., (ab)a n ) = (ab)α; 6) distributyvumo a(α + β) = ( a(a 1 + b 1 ), a(a 2 + b 2 ),..., a(a n + b n ) ) = = (aa 1 + ab 1, aa 2 + ab 2,..., aa n + ab n ) = aα + aβ; 7) distributyvumo skaliaru (a + b)α = ( (a + b)a 1, (a + b)a 2,..., (a + b)a n ) = 8) kūno K vieneto panaikinimo = (aa 1 + ba 1, aa 1 + aa 2,..., aa n + ba n ) = aα + bα; eα = (ea 1, ea 2,..., ea n ) = (a 1, a 2,..., a n ) = α. 2. Apskaičiuosime aritmetinės vektorinės erdvės R 3 sistemos α 1 = (1, 1, 2), α 2 = (2, 1, 1), α 3 = (0, 1, 5) ranga, pasinaudoje tik jo apibrėžimu. Sprendžiame lygti x 1 α 1 + x 2 α 2 + x 3 α 3 = θ. I raše α 1, α 2, α 3, θ išraiškas ir atlike veiksmus, gauname (x 1 + 2x 2, x 1 x 2 + x 3, 2x 1 x 2 5x 3 ) = (0, 0, 0). Ši lygtis yra ekvivalenti tri tiesiniu lygčiu su trim nežinomaisiais sistemai { x1 +2x 2 =0, x 1 x 2 + x 3 =0, 2x 1 x 2 5x 3 =0. Pastaroji sistema turi bent viena nenulini sprendini, pavyzdžiui, (2, 1, 1), todėl nagrinėjamoji sistema yra tiesiškai priklausoma ir jos rangas r 2. Nagrinėjame posistemius, sudarytus iš dvie. Sprendžiame lygti x 1 α 1 + x 2 α 2 = θ. Atlike veiksmus, gauname ekvivalenčia lygčiu sistema { x1 +2x 2 =0, x 1 x 2 =0, 2x 1 x 2 =0. Ši sistema turi tik nulini sprendini, todėl posistemis α 1, α 2 yra tiesiškai nepriklausomas ir sistemos rangas r = 2. 5

6 UŽDAVINIAI 1.1. Ar sudaro vektorine erdve : 1) n-osios eilės kvadratinės matricos su elementais iš kūno K matricu sudėties ir daugybos iš skaliaro atžvilgiu; 2) aibė kūno K elementu virš jo paties tame kūne apibrėžtu operaci atžvilgiu; 3) aibė plėtinio L K elementu virš kūno K kūne L apibrėžtu operaci atžvilgiu; 4) n-osios eilės simetrinės matricos virš kūno K matricu sudėties ir daugybos iš skaliaro atžvilgiu; 5) aibė visu n-ojo laipsnio virš kūno K sudėties ir daugybos iš skaliaro atžvilgiu; 6) aibė visu virš kūno K, kuriu laipsniai ne didesni už natūralu ji n, sudėties ir daugybos iš skaliaro atžvilgiu; 7) aibė visu virš kūno K sudėties ir daugybos iš skaliaro atžvilgiu; 8) aibė visu tolydžiu kompleksiniu reikšmiu funkci virš kompleksiniu kūno funkci sudėties ir daugybos iš skaliaro atžvilgiu; 9) aibė visu plokštumos laisvu, kuriu galai priklauso vienai tiesei, sudėties ir daugybos iš skaliaro atžvilgiu? 1.2. Ar galima apibrėžti vektorinės erdvės struktūra : 1) realiu aibėje R; 2) teigiamu realiu aibėje R + ; 3) racionaliu aibėje Q; 4) natūraliu aibėje N; 5) aibėje R[t] visu f(t), tenkinančiu sa lyga 6) Dekarto sandaugoje Q Q; 7) Dekarto sandaugoje Z Z? f(3) = 2f(2); 1.3. I rodykite, kad aritmetinės erdvės K 3 bet kuri keturiu sistema yra tiesiškai priklausoma Ar galima apibrėžti elementu tiesinės priklausomybės sa voka Abelio grupėje? 1.5. I rodykite, kad aritmetinės erdvės R 4 sistema α 1, α 2,..., α m yra tiesiškai nepriklausoma ir apskaičiuokite šiu tiesine kombinacija α: 1) α 1 = (2, 1, 0, 1), α 2 = (1, 2, 1, 3), α 3 = (3, 4, 1, 2), α = 2α 1 3α 2 + 4α 3 ; 2) α 1 = (4, 3, 2, 1), α 2 = (5, 1, 3, 2), α = α 1 + 5α 2 ; 3) α 1 = (1, 1, 1, 2), α 2 = (2, 1, 1, 1), α 3 = (4, 1, 2, 3), α 4 = ( 3, 3, 2, 3), α = α 1 2α 2 3α 3 + 4α 4 ; 4) α 1 = (1, 2, 3, 1), α 2 = ( 1, 2, 3, 1), α 3 = (2, 3, 1, 1), α 4 = (1, 1, 1, 3), α = 2α 1 + α 2 3α 3 + 2α 4. 6

7 1.6. Patikrinkite, ar aritmetinės erdvės R n sistema α 1, α 2,..., α m yra tiesiškai priklausoma: 1) α 1 = (3, 4, 2), α 2 = (2, 1, 3), α 3 = (7, 2, 4); 2) α 1 = (2, 1, 3), α 2 = (3, 2, 1), α 3 = (1, 2, 3); 3) α 1 = (1, 4, 2, 1), α 2 = ( 2, 8, 4, 2); 4) α 1 = (2, 3, 1, 1), α 2 = (2, 3, 0, 1) Apskaičiuokite aritmetinės erdvės R 3 sistemos α 1, α 2, α 3 ranga, pasinaudoje tik jo apibrėžimu: 1) α 1 = (1, 1, 1), α 2 = (1, 2, 3), α 3 = ( 1, 1, 2); 2) α 1 = (1, 2, 1), α 2 = (2, 1, 3), α 3 = (4, 3, 5); 3) α 1 = (1, 1, 3), α 2 = (2, 1, 1), α 3 = (1, 2, 2); 4) α 1 = (1, 3, 1), α 2 = ( 2, 6, 2), α 3 = (3, 9, 3) Apskaičiuokite, kuriu laipsniai ne didesni už 5, erdvės R 5 [t] sistemos ranga, pasinaudoje tik jo apibrėžimu: 1) 2, 2 + t, 3 + 2t + t 2 ; 2) 1 + t + t 2, 1 + t 2 + t 3, 1 + t + t 2 2t 3 ; 3) 1 + t, 2 + t t 2, 3 + 2t t 3, 1 t 3 ; 4) 1 + t + t 3, 1 + t 2 t 3, 2 + t + t 2, 1 + t 3. ATSAKYMAI ) Taip; 2) taip; 3) taip; 4) taip; 5) ne; 6) taip; 7) taip; 8) taip; 9) taip, jei tiesės yra koordinačiu ašys; ne kitais atvejais ) Taip; 2) taip; 3) taip; 4) ne; 5) taip; 6) taip; 7) ne Taip ) α = (13, 24, 7, 1); 2) α = (21, 8, 17, 9); 3) α = ( 27, 12, 5, 3); 4) α = ( 3, 5, 8, 2) ) Taip; 2) ne; 3) taip; 4) ne ) r = 3; 2) r = 2; 3) r = 2; 4) r = ) r = 3; 2) r = 2; 3) r = 3; 4) r = 3. 7