Tema 3. Espazos métricos. Topoloxía Xeral,

Transcript

1 Tema 3. Espazos métricos Topoloxía Xeral,

2 Índice Métricas en R n Métricas no espazo de funcións Bólas e relacións métricas

3 Definición Unha métrica nun conxunto M é unha aplicación d con valores reais d: M M R que a un punto (x, y) de M M asocia o número d(x, y), de xeito que se verifiquen as tres condicións seguintes: 1. d(x, y) 0 e d(x, y) = 0 sse x = y. 2. d(x, y) = d(y, x), x, y M. 3. d(x, z) d(x, y) + d(y, z), x, y, z M. O par (M, d) formado por un conxunto M e unha métrica nel, d, denomínase espazo métrico.

4 Definición Unha métrica nun conxunto M é unha aplicación d con valores reais d: M M R que a un punto (x, y) de M M asocia o número d(x, y), de xeito que se verifiquen as tres condicións seguintes: 1. d(x, y) 0 e d(x, y) = 0 sse x = y. 2. d(x, y) = d(y, x), x, y M. 3. d(x, z) d(x, y) + d(y, z), x, y, z M. O par (M, d) formado por un conxunto M e unha métrica nel, d, denomínase espazo métrico.

5 Nun conxunto non baleiro M calquera defínese a chamada métrica discreta, d S : M M R, dada por: d S (x, y) = { 0 se x = y, 1 se x y.

6 Métricas en R n Métricas destacads en R n : a métrica d 1, a métrica d 2, e a métrica d, d 1 (x, y) = n i=1 x i y i, d 2 (x, y) = n i=1 (x i y i ) 2, d (x, y) = máx 1 i n { x i y i }, onde x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ).

7 Métricas en R n Analogamente, para cada enteiro natural k N defínese: d k (x, y) = { n i=1 x i y i k} 1/k, Desigualdade de Minkowski: { n } 1/k (a i + b i ) k { n } 1/k a k i + { n } 1/k b k i, i=1 i=1 i=1 onde a i e b i son números non negativos.

8 Métricas en R n Analogamente, para cada enteiro natural k N defínese: d k (x, y) = { n i=1 x i y i k} 1/k, Desigualdade de Minkowski: { n } 1/k (a i + b i ) k { n } 1/k a k i + { n } 1/k b k i, i=1 i=1 i=1 onde a i e b i son números non negativos.

9 Métricas en R n Para cada k N, cúmprese d (x, y) d k (x, y) n 1/k d (x, y). Dedúcese que d (x, y) = lím k d k (x, y) En fin, cúmprense tamén as desigualdades d (x, y) d 2 (x, y) d 1 (x, y) n d (x, y).

10 Métricas en R n Para cada k N, cúmprese d (x, y) d k (x, y) n 1/k d (x, y). Dedúcese que d (x, y) = lím k d k (x, y) En fin, cúmprense tamén as desigualdades d (x, y) d 2 (x, y) d 1 (x, y) n d (x, y).

11 Métricas no espazo de funcións C(I): espazo vectorial das funcións reais continuas do intervalo unidade I = [0, 1]; nel imos definir dúas métricas. A primeira, ρ : C(I) C(I) R, vén dada por: ρ (f, g) = sup x I { f(x) g(x) } É a chamada métrica da converxéncia uniforme ou métrica do supremo. Defínese tamén sobre espazos más xerais. Por exemplo, no espazo vectorial B(X, R), de funcións reais limitadas con dominio un conxunto arbitraio X.

12 Métricas no espazo de funcións C(I): espazo vectorial das funcións reais continuas do intervalo unidade I = [0, 1]; nel imos definir dúas métricas. A primeira, ρ : C(I) C(I) R, vén dada por: ρ (f, g) = sup x I { f(x) g(x) } É a chamada métrica da converxéncia uniforme ou métrica do supremo. Defínese tamén sobre espazos más xerais. Por exemplo, no espazo vectorial B(X, R), de funcións reais limitadas con dominio un conxunto arbitraio X.

13 Métricas no espazo de funcións C(I): espazo vectorial das funcións reais continuas do intervalo unidade I = [0, 1]; nel imos definir dúas métricas. A primeira, ρ : C(I) C(I) R, vén dada por: ρ (f, g) = sup x I { f(x) g(x) } É a chamada métrica da converxéncia uniforme ou métrica do supremo. Defínese tamén sobre espazos más xerais. Por exemplo, no espazo vectorial B(X, R), de funcións reais limitadas con dominio un conxunto arbitraio X.

14 Métricas no espazo de funcións A segunda métrica é: Denomínase métrica L 1. ρ 1 (f, g) = 1 f(x) g(x) dx 0

15 Bólas e relacións métricas Bólas en (M, d) B M (x, r) = {y M d(x, y) < r} B M [x, r] = {y M d(x, y) r}

16 Bólas e relacións métricas Distancia entre conxuntos Dados dous conxuntos non baleiros A e B nun espazo métrico (M, d), chámase distancia entre os conxuntos A e B, e se denota d(a, B), ao número d(a, B) = ínf{d(x, y), x A, y B} Cando un dos conxuntos se reduce a un punto fálase de distancia do punto ao conxunto e se escribe d(x, A). Cúmprese d(x, A) d(y, A) d(x, y)

17 Bólas e relacións métricas Distancia entre conxuntos Dados dous conxuntos non baleiros A e B nun espazo métrico (M, d), chámase distancia entre os conxuntos A e B, e se denota d(a, B), ao número d(a, B) = ínf{d(x, y), x A, y B} Cando un dos conxuntos se reduce a un punto fálase de distancia do punto ao conxunto e se escribe d(x, A). Cúmprese d(x, A) d(y, A) d(x, y)

18 Bólas e relacións métricas Conxunto limitado. Diámetro Un conxunto A nun espazo métrico (M, d) dise limitado se está contido nalgunha bóla, B M (x, r) tal que A B M (x, r) Chámase diámetro dun conxunto non baleiro A, e se denota δ(a), ao número δ(a) = sup{d(x, y) x, y A}, cando existe. Se tal supremo non existe, dise que o diámetro é infinito, e escríbese δ(a) =.

19 Bólas e relacións métricas Conxunto limitado. Diámetro Un conxunto A nun espazo métrico (M, d) dise limitado se está contido nalgunha bóla, B M (x, r) tal que A B M (x, r) Chámase diámetro dun conxunto non baleiro A, e se denota δ(a), ao número δ(a) = sup{d(x, y) x, y A}, cando existe. Se tal supremo non existe, dise que o diámetro é infinito, e escríbese δ(a) =.

20 Bólas e relacións métricas Métricas limitadas Sexa (M, d) un espazo métrico. A fórmula d(x, y) = d(x, y) 1 + d(x, y) define unha nova métrica sobre M. É unha métrica limitada, o espazo total é un conxunto limitado. Outra métrica limitada é d 0 (x, y) = mín{d(x, y), 1}.

21 Bólas e relacións métricas Métricas limitadas Sexa (M, d) un espazo métrico. A fórmula d(x, y) = d(x, y) 1 + d(x, y) define unha nova métrica sobre M. É unha métrica limitada, o espazo total é un conxunto limitado. Outra métrica limitada é d 0 (x, y) = mín{d(x, y), 1}.

22 Bólas e relacións métricas Métricas limitadas Sexa (M, d) un espazo métrico. A fórmula d(x, y) = d(x, y) 1 + d(x, y) define unha nova métrica sobre M. É unha métrica limitada, o espazo total é un conxunto limitado. Outra métrica limitada é d 0 (x, y) = mín{d(x, y), 1}.

23 Bólas e relacións métricas Unha métrica en S 2 d S 2 : S 2 S 2 R, d S 2(x, y) = arccos( x, y ), Pódese definir en calquera esfera S n. Outra fórmula equivalente é: d S n(x, y) = 2 arcsen( 1 2 d 2(x, y)).

24 Bólas e relacións métricas Unha métrica en S 2 d S 2 : S 2 S 2 R, d S 2(x, y) = arccos( x, y ), Pódese definir en calquera esfera S n. Outra fórmula equivalente é: d S n(x, y) = 2 arcsen( 1 2 d 2(x, y)).