Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra

Transcript

1 ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra Adevărul matematic, indiferent unde, la Paris sau la Toulouse, este unul şi acelaşi (Blaise Pascal) Diana-Florina Haliţă grupa 331 Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Specializarea Matematică-Informatică, linia de studiu română Diana-Florina Haliţă grupa 331

2 Scopul acestui opţional este de a extinde aria de cunoaştere a elevilor în legătură cu numerele complexe, şi formarea priceperilor şi deprinderilor în rezolvarea unor probleme de geometrie cu ajutorul numerelor complexe În prima parte a acestui opţional vor fi reamintite cunoştiinţe generale legate de numerele complexe Apoi vor fi prezentate proprietăţile principale ale acestora şi vor fi definite cu ajutorul acestora termeni din geometrie La finalul prezentării conţinutului noţional matematic, elevii vor avea o secţiune de aplicaţii, teme individuale şi pe grupe în urma cărora vor fi evaluate cunoştiinţele acumulate de studenţi Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom

3 Teorema 21 Cazul I A(a),B(b),M(z), M este pe segmentul AB aî AM MB = k > 0 Atunci z = 1 k + 1 a + k k + 1 b Cazul II A(a),B(b),M(z), B este pe segmentul AM aî AM MB = k < 0 Atunci z = 1 k + 1 a + k k + 1 b Cazul III A(a),B(b),M(z), A este pe segmentul MB aî AM MB = k < 0 Atunci z = 1 k + 1 a + k k + 1 b Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom

4 Teorema 31 1Punctele M 1 (z 1 ), M 2 (z 2 ), M 3 (z 3 ) două câte două distincte sunt coliniare dacă şi numai dacă z 3 z 1 R z 2 z 1 2Fie M 1 (z 1 ), M 2 (z 2 ), M 3 (z 3 ), M 4 (z 4 ) două câte două distincte Dreptele M 1 M 2 şi M 3 M 4 sunt perpendiculare dacă şi numai dacă z 1 z 2 i R z 3 z 4 3 Introduc notiunea de biraport a patru numere complexe prin: (z 1, z 2, z 3, z 4 ) = z 1 z 3 : z 1 z 4 z 2 z 3 z 2 z 4 Fie M 1 (z 1 ), M 2 (z 2 ), M 3 (z 3 ), M 4 (z 4 ) două câte două distincte Punctele sunt coliniare sau conciclice (z 1, z 2, z 3, z 4 ) R Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom

5 Teorema 41 Fie A 1 (a 1 ), A 2 (a 2 ), A 3 (a 3 ), B 1 (b 1 ), B 2 (b 2 ), B 3 (b 3 )Se dau triunghiurile A 1 A 2 A 3 şi B 1 B 2 B 3 Ştiind că cele două triunghiuri sunt la fel orientate putem spune că următoarele afirmaţii sunt echivalente: i) triunghiurile A 1 A 2 A 3 şi B 1 B 2 B 3 sunt asemenea în această ordine ii) a 2 a 1 = b 2 b 1 a 3 a 1 b 3 b iii) a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = 0 Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom

6 Teorema 42 Fie M 1 (z 1 ), M 2 (z 2 ), M 3 (z 3 ) Ştiind că ε = cos( 2π 3 ) + i sin(2π 3 ) următoarele afirmaţii sunt echivalente: i)triunghiul M 1 M 2 M 3 este echilateral ii)z 1 ε + z 2 ε 2 + z 3 = 0; iii) z 1 z 2 z 3 z 2 z 3 z 1 = z 2 z 3 z 1 z 3 z 1 z 2 = z 3 z 1 z 2 z 1 z 2 z 3 = 0 iv)z1 2 + z2 2 + z3 2 = z 1 z 2 + z 2 z 3 + z 3 z 1 v) z 2 z 1 = z 3 z 2 z 3 z 2 z 1 z 3 1 vi) = 0, unde z = z 1 + z 2 + z 3 z z 1 z z 2 z z 3 3 vii)(z 1 + ε z 2 + ε 2 z 3 ) (z 1 + ε 2 z 2 + ε z 3 ) = 0, Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom

7 Teorema 51 1 Ecuaţia generală a unei drepte în plan este: ā z + a z + b = 0, a C, b R, z = x + i y Pentru a ā panta dreptei este egală cu a + ā a ā i 2 Condiţii de paralelism, perpendicularitate şi concurenţă pentru dreptele: d 1 : ā 1 z 1 + a 1 z 1 + b 1 = 0 şi d 2 : ā 2 z 2 + a 2 z 2 + b 2 = 0, a 1 0, a 2 0 i)d 1 d 2 ā1 = ā2 a 1 a 2 ii)d 1 d 2 ā1 + ā2 = 0 a 1 a 2 iii)d 1, d 2 sunt concurente ā1 ā2 a 1 a 2 Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom

8 Teorema 52 3 Ecuaţia unei drepte în plan determinată de două puncte având z 1 z 1 1 afixele z 1 şi z 2 este: z 2 z 2 1 z z 1 = 0 4 Condiţia de coliniaritate a trei puncte având afixele z 1, z 2, z 3 se z 1 z 1 1 justifică repede ca fiind echivalentă cu: z 2 z 2 1 z 3 z 3 1 = 0 5 Ecuaţia unei drepte care trece prin punctul de afix z 0 paralelă cu dreapta: d : ā z + a z + b = 0 este z z 0 = ā a ( z z 0) 6 Ecuaţia dreptei date prin punctul de afix z 0 care este perpendiculară pe dreapta d : ā z + a z + b = 0 este d : z z 0 = ā a ( z z 0) Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom

9 Teorema 53 7 Afixul piciorului perpendicularei din punctul de afix z 0 pe dreapta d : ᾱ z + α z + β = 0 este z = α z 0 ᾱ z 0 β 2 α 8 Distanţa de la un punct de afix z 0 la o dreaptă d : ᾱ z + α z + β = 0, α 0 este: D = α z 0 + ᾱ z 0 + β 2 α ᾱ 9 Aria triunghiului determinat de trei puncte de afixe z 1, z 2, z 3 este: A =, = i 4 z 1 z 1 1 z 2 z 2 1 z 3 z Ecuaţia unui cerc în plan este: z z + α z + ᾱ z + β = 0, α C, β R, z = x + y i Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom

10 Teorema 61 1 Translaţia Fie b C z se translatează cu vectorul b în z =z+b 2 Rotaţia Rotaţia de centru O şi unghi φ are exprimarea: z = α z, α = 1 şi α = cos φ + i sin φ 3 Simetria a) Simetria de centru A are ecuaţia: z = 2 z A z b) Simetria axială în care axa de simetrie este axa OX are ecuaţia: z = z 4 Omotetia Fie z 0 C şi a R Prin omotetia de centru z 0 şi raport a, z se transformă în z = z 0 + a (z z 0 ) Omotetia de centru O şi raport a se exprimă prin: z = a z Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom

11 1 Fie C 1, C 2, C 3, C 4 patru cercuri în plan şi M 1, M 2 punctele de intersecţie ale lui C 1 cu C 2, N 1, N 2 punctele de intersecţie ale lui C 2 cu C 3, P 1, P 2 punctele de intersecţie ale lui C 3 cu C 4 şi Q 1, Q 2 punctele de intersecţie ale lui C 4 cu C 1 Să se demonstreze că M 1, N 1, P 1, Q 1 sunt conciclice M 2, N 2, P 2, Q 2 sunt conciclice Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom

12 Demonstraţie: Pe cercul C 1 se află punctele: M 1, M 2, Q 1, Q 2 (q 1, m 2, m 1, q 2 ) R a 1 = q 1 m 1 : q 1 q 2 R m 2 m 1 m 2 q 2 Pe cercul C 2 se află punctele: M 1, M 2, N 1, N 2 (m 1, n 2, n 1, m 2 ) R a 2 = m 1 n 1 : m 1 m 2 R n 2 n 1 n 2 m 2 Pe cercul C 3 se află punctele: N 1, N 2, P 1, P 2 (n 1, p 2, p 1, n 2 ) R a 3 = n 1 p 1 : n 1 n 2 R p 2 p 1 p 2 n 2 Pe cercul C 4 se află punctele: P 1, P 2, Q 1, Q 2 (p 1, q 2, q 1, p 2 ) R a 4 = p 1 q 1 q 2 q 1 : p 1 p 2 q 2 p 2 R Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom

13 M 1, N 1, P 1, Q 1 conciclice R 1 = (m 1, p 1, n 1, q 1 ) R R 1 = m 1 n 1 : m 1 q 1 R p 1 n 1 p 1 q 1 M 2, N 2, P 2, Q 2 conciclice R 2 = (m 2, p 2, n 2, q 2 ) R R 2 = m 2 n 2 p 2 n 2 : m 2 q 2 p 2 q 2 R 1 = m 1 n 1 : m 1 q 1 = a 2 n2 n 1 m1 m 2 : m 1 q 1 p 1 n 1 p 1 q 1 p 1 n 1 n 2 m 2 R 1 = a 2 n 1 p 1 : n 1 n 2 p 2 p 1 p 2 n 2 p 1 q 1 R n 2 n 1 p 2 p 1 p2 n 2 n 1 n 2 m1 m 2 n 2 m 2 p1 q 1 m 1 q 1 R 1 = a 2 a 3 p2 n 2 p 2 p 1 m1 m 2 n 2 m 2 p1 q 1 q 2 q 1 : p 1 p 2 q 2 p 2 p1 p 2 q 2 p 2 q2 q 1 m 1 q 1 R 1 = a 2 a 4 a 3 p2 n 2 q 2 p 2 m1 m 2 n 2 m 2 q2 q 1 m 1 q 1 Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom

14 R 1 = a 2 a 4 a 3 1 q 1 m 1 : q 1 q 2 m 2 m 1 m 2 q 2 q1 m 1 m 2 m 1 m1 q 2 q 1 q 2 p 2 n 2 q 2 p 2 m1 m 2 n 2 m 2 q2 q 1 m 1 q 1 R 1 = a 2 a 4 a 3 a 1 p2 n 2 q 2 p 2 m2 q 2 n 2 m 2 = a 2 a 4 a 3 a 1 n2 p 2 q 2 p 2 : n 2 m 2 q 2 m 2 = a 2 a 4 a 3 a 1 R 2 Deci R 1 R R 2 R Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom

15 2 Fie A(z A ), B(z B ), C(z C ) patru puncte pe un cerc Arătaţi că picioarele perpendicularelor din A, B pe dreapta CD şi picioarele perpendicularelor din C,D pe dreapta AB sunt conciclice Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom

16 Demonstraţie: Fie cercul unitate, şi A, B, C, D patru puncte pe acest cerc În acest caz avem: AB : z + a b z a b = 0 şi CD : z + c d z c d = 0 Picioarele perpendicularelor din A şi B pe CD sunt A, respectiv B, de afixe: a = 1 2 (a + c + d ā c d) şi b = 1 2 (b + c + d b c d) Picioarele perpendicularelor din C şi D pe AB sunt C, respectiv D, de afixe: c = 1 2 (c + a + b c a b) şi d = 1 2 (d + a + b d a b) A, B, C, D sunt conciclice (a, b, c, d ) R R = a c a d : b c b d R Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom

17 R = d b ā c d + c a b c b ā c d + d a b : d a b c d + c a b c a b c d + d a b d (a c) ā b (c a) c = c (a d) ā b (d a) d : d (b c) b a (c b) c c (b d) b a (d b) d (a c) (d ā + b c = (a d) (c ā + b d) : (b c) (d b + a c) (b d) (c b + a d) = a c a d : b c b d d ā + b c c ā + b d : d b + a c c b + a d = (a, b, c, d) ā b c d + a b c d + 2 = (a, b, c, d) R ā b c d + a b c d + 2 Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom

18 3 Presupunând că triunghiurile ABC şi A 1 B 1 C 1 sunt asemenea şi că triunghiurile AA 1 A 2,BB 1 B 2 şi CC 1 C 2 sunt şi ele asemenea arătaţi că triunghiurile A 2 B 2 C 2 şi ABC sunt asemenea Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom

19 Demonstraţie: ABC A 2 B 2 C 2 a 2 b 2 c 2 a b c = ABC A 1 B 1 C 1 a 1 b 1 c 1 a b c = 0 b a c a = b 1 a 1 c 1 a AA 1 A 2 BB 1 B 2 a a 1 a 2 b b 1 b 2 = 0 a 1 a a 2 a = b 1 b b 2 b a 2 a = a 1 a b 1 b (b 2 b) a 2 = a + a 1 a b 1 b (b 2 b) BB 1 B 2 CC 1 C 2 b b 1 b 2 c c 1 c 2 = 0 b 1 b b 2 b = c 1 c c 2 c Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom

20 b 2 b = b 1 b c 1 c (c 2 c) b 2 = b + b 1 b c 1 c (c 2 c) Rezultă că: a 2 = a + a 1 a c 1 c (c 2 c) Atunci: = a 2 b 2 c 2 a b c = 1 c 1 c K1 K2 K3 a b c, unde: K1 = a (c 1 c) + (a 1 a) (c 2 c) = a (c 1 c 2 ) + a 1 (c 2 c), K2 = b (c 1 c) + (b 1 b) (c 2 c) = b (c 1 c 2 ) + b 1 (c 2 c) şi K3 = c 2 (c 1 c) = 1 c 1 c a 1 (c 2 c) b 1 (c 2 c) c 1 (c 2 c) a b c = c 2 c c 1 c a 1 b 1 c 1 a b c = 0 Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom

21 4 Se construiesc în exteriorul triunghiului ABC pătratele BCDE,CAFG, ABHI Fie GCDQ şi EBHP paralelograme Să se demonstreze că triunghiul APQ este isoscel Diana-Florina Haliţă grupa 331

22 Demonstraţie: E se obţine din C prin rotaţie în jurul lui B cu 270 e = b + (c b) [cos i sin 270 ] = b + (c b) ( i) = b(1 + i) c i H se obţine din A prin rotaţie în jurul lui B cu 90 h = b+(a b) [cos 90 +i sin 90 ] = b+(a b) i = b(1 i)+a i D se obţine din B prin rotaţie în jurul lui C cu 90 d = c +(b c) [cos 90 +i sin 90 ] = c +(b c) i = c(1 i)+b i G se obţine din A prin rotaţie în jurul lui C cu 270 g = c + (a c) [cos i sin 270 ] = c + (a c) ( i) = c(1 + i) a i HBEP paralelogram p + b = h + e p = b c i + a i CGQD paralelogram q + c = d + g q = 2 c + b i a i c = c + b i a i Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom

23 AP = p a = b c i + a i a AQ = q a = c + b i a i a = i c i + b a + a i = 1 AP = AP ABC isoscel Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom

24 T Andreescu, D Andrica, Complex numbers from A to Z Birkhauser, Boston(2005) D Andrica, N Bişboacă, Numere Complexe Probleme rezolvate din manualele alternative Editura Millenium(2000) LS Hahn, Complex Numbers&GeometryThe Mathematichal Association of America(1984) NN Mihăileanu, Utilizarea numerelor complexe în geometrie Editura Tehnică, Bucureşti (1968) PS Modenov, Problems in Geometry Mir Publishers - Moscow(1981) G Sălăgean, Geometria planului complex, Editura ProMedia Plus, Cluj-Napoca(1997) Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom