CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii

Transcript

1 Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n < 1 ( ) a 1 a a n a 1 a a n [ ] x+ a) Determinați x R, astfel încât numerele x 3,, 4x să fie în progresie aritmetică 3 b) Demonstrați inegalitatea < n, n N, n 3 n 3 Se consideră triunghiulabc și punctelem, N șip astfel încât AM #» = #» AB, AN #» = 1 #» AC și BP #» = 1 #» BC Demonstrați că punctele M, N și P sunt coliniare 4 Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC și I centrul cercului înscris Arătați că: a) a GA+b #» GB #» +c GC #» = (a+b+c) GI #» b) IA+ #» IB #» + IC #» = 3 IG #» 1

2 Clasa a IX-a profil uman [ ] 4x 1 a) Rezolvați în Z ecuația = 5 3 b) Demonstrați egalitatea [ 1 ]+[ 3]+[ 3 4] = 6 c) Arătați că pentru orice n N avem [ 1 ]+[ 3]+ +[ n (n+1)] = n(n+1) { } a) Fie mulțimile A = x Q x = n +1 n +n, n N și B = {x A 1 x } Arătați că A = B b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația: (x+1)+(x+5)+(x+9)+ +(x+37) = 10 3 Dintr-o clasă cu 30 de elevi 1 dintre ei practică sporturi de iarnă, 16 elevi practică sporturi de vară, iar 7 elevi practică și sporturi de iarnă și de vară Câți elevi din clasă nu practică niciun sport? 4 În reperul cartezian (O, #» ı, #» j) se consideră punctele A(, 3), B( 3, 1) și C(4, 1) Să se determine coordonatele punctului D Ox, astfel încât vectorii AB #» și CD #» să fie coliniari

3 Clasa a X-a 1 a) Arătați că există și sunt unice numerele a, b Q astfel încât = a +b 5 b) Determinați n N astfel încât n n = 0 a) Fie a, b (0, + ) \ {1}, a b, astfel încât a, b, c sunt în progresie geometrică Demonstrați că log a x log b x = log bx log c x log a x log c x b) Pentru a, b, c (1, ) demonstrați inegalitatea log 3 abc+log 3 b ac+log 3 c ab 4 3 a) Simplificați fracția f = x +4 x ix+ b) Fie z k C, z k = 1, k = 1, n Să se arate că Z = (z 1 +z )(z +z 3 ) (z n +z 1 ) z 1 z z 3 z n R 4 Rezolvați inecuația în mulțimea numerelor reale inecuația (3+ ) x + (3 ) x 34 3

4 Clasa a XI-a ( ) {( ) } 3 a b 1 Fie matricea A = M (R) și mulțimea M = 4 3 b a a, b R a) Arătați că, dacă X M (R) și AX = XA, atunci X M b) Rezolvați ecuația X = A, X M (R) a ab b Se consideră determinantul D(a, b) = b a ab, unde a, b R ab b a a) Calculați D(a, b), știind că a 3 b 3 = 017 b) Demonstrați că D(p, q)+d(q, r)+d(r, p) = 0 dacă și numai dacă p = q = r, unde p, q, r R 1 k coskx 3 a) Arătați că lim x 0 x = k, unde k N, k b) Calculați l = lim x 0 (1 cosx)(1 3 cos3x)(1 n cosnx) x n, unde n N, n 4 Se consideră funcția f : D R, f(x) = ax +bx+1 x+3 a) Determinați ecuația asimptotei verticale b) Determinați a, b R astfel încât graficul funcției să admită asimptota oblică y = x 3 4

5 Clasa a XI-a profil uman 1 În tabelul următor este redată o serie statistică: x i n i a) Determinați media seriei statistice b) Determinați dispersia și abaterea medie pătratică c) Aflați coeficientul de variație Produsul intern brut pe locuitor în câteva țări europene este dat mai jos: Țara Austria Elveția Franța Italia Spania România PIB/locuitor a) Aflați valoarea medie a PIB/locuitor a celor 5 țări exceptând România b) Calculați valoarea medie a PIB/locuitor a tuturor celor 6 țări și abaterea absolută a României de la valoarea medie 3 În urma unui sondaj efectuat pe un eșantion de 400 de persoane asupra timpului petrecut pe o rețea de socializare s-au consemnat următoarele date: Timp (minute) peste 180 Nr persoane a) Completați tabelul seriei statistice cu frecvențele relative și frecvențele relative cumulate b) Care este timpul mediu petrecut pe rețea de persoană? c) Determinați mediana 4 S-au amestecat 7 kg de mere cu prețul de, 5 lei/kg cu 8 kg de mere cu prețul de 1, 7 lei/kg și cu 10 kg de mere cu prețul de lei/kg Care va fi prețul mediu de vânzare al unui kilogram de amestec? 5

6 Clasa a XII-a 1 Pe mulțimea G = (, + ) se definește legea de compoziție x y = xy x y +6, x, y G a) Arătați că (G, ) este grup abelian b) Determinați a, b R astfel încât funcția f : (0, + ) G, f(x) = ax + b să fie izomorfism între grupurile ((0, + ), ) și (G, ) c) Rezolvați în mulțimea G ecuația x x x }{{} = ori { ) Fie mulțimea G = A(a) = ( 1+5a 15a a 1 3a a R\ { 1 } } a) Demonstrați că G este parte stabilă în raport cu înmulțirea matricelor ( ) b) Calculați 5 3 Se consideră funcțiile f n : R R, f n (x) = xn, unde n N ex a) Calculați (f 0 (x) f 1 (x))dx b) Demonstrați că orice primitivă a funcției f 017 este convexă pe intervalul (, 0) 4 a) Calculați 3 0 arccos x 1 4x dx b) Demonstrați că x k dx < π, k N 6

7 Clasa a XII-a profil uman Se consideră matricea A = M 3 (R) a) Arătați că A 3 A = A I 3 b) Demonstrați că A n A n = A I 3, n N, n 3 c) Calculați A a Fie mulțimea G = A(a) = 0 e a 0 a R a) Arătați că A(a), A(b) G = A(a) A(b) G, unde a, b R b) Calculați A(1) A() A(017) a) Calculați determinantul = x 9 x x b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x x 9 x = 0 x x x 9 ( ) 1 4 Fie matricea A = M (R) 0 3 a) Calculați (A A T ) 017 b) Rezolvați în M (R) ecuația X 3 = A 7