Κωνικές τομές: καθορισμός των συνόρων σε υγρές περιοχές

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κωνικές τομές: καθορισμός των συνόρων σε υγρές περιοχές"

Transcript

1 Κωνικές τομές: καθορισμός των συνόρων σε υγρές περιοχές Η Ευκλείδεια γεωμετρία στην εκπαίδευση και στην κοινωνία. Δημήτρης Θεοδωράκης 1 ο ΓΕΛ Μεσολογγίου Σπύρος Στίγκας 4 ο ΓΕΛ Αγρινίου Μιχάλης Τζούμας Σχ. Συμβ. Μαθηματικών Γρ. Σχ. Συμβ. Αχαïας Περίληψη Μπορεί οι Αιγύπτιοι, από ανάγκη για να αναδιανείμουν τα χωράφια τους από τις πλημμύρες του Νείλου, να πρωτοξεκίνησαν τη Γεωμετρία, ό- μως αυτή αναπτύχθηκε και εφαρμόστηκε σε πλήθος ανάγκες της Επιστήμης και της Κοινωνίας από τους αρχαίους Έλληνες. Επειδή η Γεωμετρία, εκτός από τις εφαρμογές της στην επιστήμη και την κοινωνία, γενικότερα παίζει κυρίαρχο ρόλο στην ανάπτυξη του μυαλού και της κριτικής σκέψης των μαθητών, θα έπρεπε να δεσπόζει στα μαθήματα που διδάσκονται στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση και να μην παραμελείται από τους σύγχρονους της εκπαίδευσης. Στο παρόν άρθρο μελετάμε και εφαρμόζουμε τις κωνικές τομές στον καθορισμό των συνόρων και την εύρεση του τριεθνούς σε λιμναίες και θαλάσσιες περιοχές. Abstract Although the redistribution of land due to the Nile overflow in ancient Egypt gave birth to Geometry, the ancient Greeks developed and applied it in sciences or society. Geometry as a branch of Mathematics, except for its uses or applications in science and society, plays an important role in education and critical thinking of young students. For this reason it must be a dominant subject in secondary education. In this article we study and apply the conic sections in determining the borders in sea regions.

2 1. Εισαγωγή. Οι κωνικές τομές εμφανίζονται στη βιβλιογραφία περί το 350 π.χ. και η πατρότητα αυτών αποδίδεται στον Μέναιχμο [3] και [4], ο οποίος τις χρησιμοποίησε στην προσπάθειά του να λύσει το Δήλιο πρόβλημα. Πολλοί μαθηματικοί της αρχαίας Ελλάδος ασχολήθηκαν με τις κωνικές τομές, μεταξύ αυτών ο Αρίσταιος, ο Ευκλείδης και ο Αρχιμήδης, ό- μως το θαυμασμό της Παγκόσμιας κοινότητας τον συγκεντρώνει ο Απολλώνιος ο Περγαίος με το αριστούργημά του «κωνικά» [12]. Το 17 ο αιώνα η Γεωμετρία αλγεβροποιείται από «τους πατέρες της Αναλυτικής Γεωμετρίας» Pierre de Fermat και René Descartes και μια νέα εποχή γεννιέται για τις κωνικές τομές. Την ίδια περίοδο δίνονται οι σημερινοί ορισμοί από τον μεγάλο Μαθηματικό Marquis De L Hospital [5]. Ο Germinal Pierre Dandelin συνέδεσε με έναν ευφυή και θαυμαστό τρόπο τους ορισμούς του «καινούργιου» με το «παλιό», χρησιμοποιώντας σφαίρες [6], [7]. Οι εφαρμογές των κωνικών τομών, λόγω της κομψότητας και της απλότητας αυτών, εκτείνονται, εκτός από τα Μαθηματικά, τη Μηχανική και την Αστρονομία και σε όλους του χώρους των άλλων επιστημών. Στην εργασία αυτή θα τις δούμε να υπηρετούν τη Γεωγραφία, καθορίζοντας τα χωρικά ύδατα των χωρών. Ορισμός 1: Αιγιαλίτιδα Ζώνη[2] ή χωρικά ύδατα είναι η ζώνη θάλασσας η παρακείμενη στην ακτή, πέρα από την ξηρά και τα εσωτερικά χωρικά ύδατα, πάνω στην οποία το κράτος ασκεί πλήρη κυριαρχία. Η κυριαρχία αυτή εκτείνεται στον εναέριο χώρο πάνω από την Αιγιαλίτιδα Ζώνη, στο βυθό και στο υπέδαφος. Κάθε κράτος έχει το δικαίωμα να καθορίσει το πλάτος της Αιγιαλίτιδας Ζώνης μέχρι το όριο των 12 ναυτικών μιλίων (ν.μ.), σύμφωνα με τις διεθνείς συμβάσεις. Όμως, σε πάρα πολλές περιπτώσεις, η ξηρά δύο κρατών απέχει λιγότερο από τα 24 ν.μ., οπότε, προκειμένου να καθοριστούν τα χωρικά ύδατα, χρειάζεται να μοιραστούν εξ ίσου. Η νοητή γραμμή που ξεχωρίζει τα χωρικά ύδατα των χωρών είναι τα θαλάσσια σύνορα αυτών. Προκειμένου, όμως, να την καθορίσουμε, θα κάνουμε μερικές παραδοχές. Έτσι, θα αντιστοιχίσουμε τη βραχονησίδα σε ένα σημείο, το νησί σε έναν κύκλο και την ακτή σε μια ευθεία ή στο εσωτερικό ενός κύκλου, αν πρόκειται για κόλπο ή στο εξωτερικό ενός κύκλου, αν πρόκειται για το ά- κρο χερσονήσου. Είναι φανερό ότι ουσιαστικά, όταν μιλάμε για ακτή, πρόκειται για ευθύγραμμο τμήμα, ενώ όταν μιλάμε για κόλπο ή χερσόνησο πρόκειται για τόξο. Ορισμός 2: Λέμε ότι ένα σημείο ανήκει στα θαλάσσια σύνορα μιας χώρας, αν απέχει 12 ν.μ. από την ξηρά ή απέχει λιγότερο από 12 ν.μ. από την ξηρά και εξίσου από το πλησιέστερο σημείο άλλων χωρών. 2

3 Είναι φανερό ότι στον προσδιορισμό των θαλασσίων συνόρων κυρίαρχο ρόλο παίζει η απόσταση και γι αυτό δίνουμε τους παρακάτω ορισμούς και προτάσεις. Ορισμός 3: Απόσταση δύο σημειοσυνόλων λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα, του οποίου το ένα άκρο είναι στο ένα σύνολο και το άλλο στο άλλο σύνολο και έχει το ελάχιστο μήκος. Παρατήρηση 1: Με τον παραπάνω ορισμό i) απόσταση των σημείων Α και Β, είναι το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. ii) Απόσταση του σημείου Α από την ευθεία (ε), είναι το μοναδικό κάθετο ευθύγραμμο τμήμα που άγεται από το σημείο Α στην ευθεία (ε). iii) Απόσταση δύο παραλλήλων ευθειών είναι το κοινό κάθετο ευθύγραμμο τμήμα. iv) Τέλος, έστω ο κύκλος (Ο, ρ) με διαμέτρου ΑΒ και τυχαίο σημείο Σ της ημιευθείας ΟΑ, στο εσωτερικό ή εξωτερικό του κύκλου. Το ευθύγραμμο τμήμα ΣΑ, είναι η απόσταση του σημείου Σ από τον κύκλο (Ο, ρ). Ένα πλήθος από προτάσεις σχετικές με την απόσταση δυο σημειοσυνόλων είναι γνωστές από την ύλη που διδάσκεται στο Γυμνάσιο και το Λύκειο. Αναφέρουμε ορισμένες, που θα μας είναι χρήσιμες στη συνέχεια. Πρόταση 1: Τα σημεία της μεσοκαθέτου ευθυγράμμου τμήματος ισαπέχουν από τα άκρα του. Πρόταση 2: Αν από ένα σημείο εκτός ευθείας φέρουμε το κάθετο τμήμα και δύο πλάγια ευθύγραμμα τμήματα σ αυτό τότε: Το κάθετο τμήμα είναι μικρότερο από κάθε πλάγιο και από τα πλάγια μικρότερο είναι εκείνο που το ίχνος του απέχει λιγότερο από το ίχνος του καθέτου. Πρόταση 3. Τα σημεία της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχουν από τις πλευρές της. Πρόταση 4. Τα σημεία της μεσοπαράλληλης δυο παράλληλων ευθειών απέχουν εξ ίσου από αυτές. Πρόταση 5. Θεωρούμε τον κύκλο (Κ, R) και τη διάμετρο αυτού ΑΒ. Για κάθε σημείο Μ του κύκλου και κάθε σημείο Σ επί της ΚΑ, ισχύει: ΣΑ ΣΜ ΣΒ. Πρόταση 6. Θεωρούμε τον κύκλο (Κ, ρ), το τόξο ΑΒ και έστω Σ ε- σωτερικό σημείο του τόξου ΑΒ. Για το σημείο Μ του κύκλου, που δεν ανήκει στην επίκεντρη γωνία ΑΚΒ, ισχύει, M min{ MA, MB} Απόδειξη: Η μεσοκάθετη στο ΑΣ (ή το ΒΣ) περνά από το κέντρο Ο και αφήνει το Μ στο ίδιο ημιεπίπεδο με το Α (αντίστοιχα το Β) και ως εκ τούτου ΜΑ<ΜΣ (ή ΜΒ<ΜΣ). Στον προσδιορισμό των συνόρων των χωρών, όπως έχουμε ήδη πει, σημαντικό ρόλο παίζουν οι κωνικές τομές. Για τον ορισμό τους μπορεί κά- 3

4 ποιος να δει στο [8] και [10], ενώ για την Ευκλείδεια αντιμετώπιση των γεωμετρικών ιδιοτήτων τους αλλά και την κατασκευή τους με εργαλεία της σύγχρονης τεχνολογίας στο [10], [11] και [13]. 2. Ο καθορισμός των συνόρων σε υγρές περιοχές. Σε ό,τι ακολουθεί, ισχύει ότι η απόσταση μεταξύ των δυο χωρών θα είναι μικρότερη των 24 ναυτικών μιλίων και το σημείο από το οποίο μετράται η απόσταση δεν είναι ακραίο σημείο ευθυγράμμου τμήματος ή τόξου. Θεώρημα 1: Τα θαλάσσια σύνορα μεταξύ i) μιας ακτής-ευθείας και μιας βραχονησίδας (σημείο) ή ii) μιας ακτής-ευθείας και ενός νησιού ανήκουν σε μία παραβολή. Απόδειξη: i) Επιλέγουμε τυχαίο σημείο Ζ (Σχήμα 1) πάνω στην ακτήευθεία (α). Το σημείο τομής Μ της μεσοκάθετης στο ευθύγραμμο τμήμα ΕΖ και της κάθετης στην ευθεία (α) στο σημείο Ζ ανήκει στο σύνορο των δυο χωρών, αφού απέχει εξ ίσου από τη βραχονησίδα Ε και την ακτή στο σημείο Ζ. Μετακινώντας το σημείο Ζ πάνω στην ακτή, το σημείο Μ διαγράφει μία καμπύλη, που είναι προφανώς παραβολή με εστία το Ε και διευθετούσα την ακτή [8]. Σχήμα 1. Σχήμα 2. ii) Η απόδειξη της περίπτωσης ακτής-ευθείας και ενός νησιού (K, ρ), είναι ίδια με εκείνη της ακτής-ευθείας και μιας βραχονησίδας με την προσθήκη ότι η διευθετούσα είναι βοηθητική ευθεία (δ), παράλληλη προς την ακτή σε απόσταση ρ προς το εσωτερικό της χώρας. Θεώρημα 2: Τα θαλάσσια σύνορα ανάμεσα σε μία βραχονησίδα (σημείο) και ένα νησί ή χερσόνησο (κύκλος ή τμήμα κύκλου) ανήκουν σε μία υπερβολή Απόδειξη: Θεωρούμε τη βραχονησίδα Ε (σημείο) το νησί (Κ, ρ) (κύκλο) και επιλέγουμε τυχαίο σημείο Α στην ακτή του νησιού (Σχήμα 2). Σχεδιάζουμε την ημιευθεία ΚΑ και φέρουμε τη μεσοκάθετη του ευθύγραμμου 4

5 τμήματος ΑΕ. Ονομάζουμε Μ το σημείο τομής της ημιευθείας ΚΑ με την προηγούμενη μεσοκάθετη. Το σημείο Μ είναι σημείο στα σύνορα που ψάχνουμε, αφού ισαπέχει από τη βραχονησίδα και το νησί, λόγω της μεσοκάθετης (ΜΕ=ΜΑ). Το σημείο Μ είναι σημείο υπερβολής με εστίες τα σημεία Ε και Κ, διότι έχει σταθερή διαφορά αποστάσεων από αυτές [8]:. Παρατήρηση 2: το σημείο Μ βρίσκεται πάνω στον έναν κλάδο της υ- περβολής. Ο άλλος κλάδος αυτής αναφέρεται στην ακτή της πλευράς του νησιού που δεν είναι πλησίον της βραχονησίδας και συνεπώς δεν έχει έννοια. Θεώρημα 3: Το θαλάσσιο σύνορο ανάμεσα σε δυο βραχονησίδες (σημεία) είναι η μεσοκάθετη αυτών. Απόδειξη: Η απόδειξη βασίζεται στην Πρόταση 1. Θεώρημα 4: Το θαλάσσιο σύνορο ανάμεσα σε δυο ακτές-ευθείες είναι i) η μεσοπαράλληλη αυτών(όταν είναι παράλληλες) ή ii)η διχοτόμος της γωνίας που σχηματίζουν (όταν τέμνονται). Απόδειξη: Η απόδειξη του Θεωρήματος αυτού βασίζεται: στην Πρόταση 4 η περίπτωση των παραλλήλων και στην Πρόταση 3 η περίπτωση των τεμνόμενων ακτών-ευθειών. Θεώρημα 5: To θαλάσσια σύνορα ανάμεσα σε μία ακτή (ευθεία ) και σε ένα κόλπο (τόξο κύκλου) ανήκουν σε μία παραβολή. Απόδειξη: Θεωρούμε τον κόλπο ΑΒ τμήμα του κύκλου (K, ρ), την ακτή ΓΔ τμήμα της ευθείας α και μία βοηθητική ευθεία (δ) παράλληλη της ευθείας (α) σε απόσταση ρ προς το μέρος του Κ (Σχήμα 3). Επιλέγουμε το σημείο E πάνω στην ευθεία (δ) και φέρουμε κάθετη στην (α), η οποία τέμνει την μεσοκάθετη του τμήματος ΚE στο σημείο Μ. Το Μ ανήκει στα σύνορα των δυο χωρών, αφού η προέκταση του ΚΜ προς το μέρος του Μ, τέμνει τον κύκλο στο N και ισχύει. Το σημείο Μ ανήκει σε παραβολή με εστία το K και διευθετούσα τη βοηθητική ευθεία (δ), αφού KM=ΜE λόγω της μεσοκάθετης του ΚΕ [8], [10]. Για την ακρίβεια, θα είναι το τμήμα της παραβολής που αποκόπτει η ακτίνα ΚΑ και η κάθετη στο ΓΔ στο σημείο Δ. Θεώρημα 6: Τα θαλάσσια σύνορα ανάμεσα σε δύο κόλπους (τόξα κύκλων) ανήκουν σε μία υπερβολή. Απόδειξη: Έστω δύο κόλποι (τόξα κύκλων με κέντρα Ο και Κ και α- κτίνες R και ρ αντίστοιχα). Το σημείο Μ των συνόρων (ΜΑ=ΜΒ) βρίσκεται πάνω σε μια υπερβολή με εστίες τα Κ και Ο, αφού 5

6 ( ΜΟ ΜΑ) - (ΜΚ ΜΒ) R - ρ. Για την κατασκευή ακολουθούμε την τεχνική του [10]. Για την ακρίβεια το Μ βρίσκεται σε τμήμα ενός κλάδου υπερβολής με τη συνεχή γραμμή στο Σχήμα 4. Σχήμα 3. Σχήμα 4. Θεώρημα 7: Τα θαλάσσια σύνορα ανάμεσα σε i) έναν κόλπο και ένα νησί (ή μια χερσόνησο) ή ii) έναν κόλπο και μια βραχονησίδα, ανήκουν σε έλλειψη. Απόδειξη: 1) Θεωρούμε τον κόλπο και το νησί με κέντρα Κ και Ο και ακτίνα R και ρ (R>ρ) αντίστοιχα, Σχήμα 5. Έστω Μ ένα σημείο στο σύνορο των δυο τόπων. Τότε ισχύει. ΚΜ + ΟΜ = ΚΜ + ΜΓ + ΟΓ = ΚΜ + ΜΝ + ΟΓ = ΚΝ + ΟΓ=R + ρ. Δηλαδή το άθροισμα των αποστάσεων του σημείου Μ από τα δυο σταθερά σημεία Κ και Ο είναι σταθερό. Για την κατασκευή του χρησιμοποιούμε την τεχνική του [10]. 2) Η περίπτωση κόλπου και μια βραχονησίδας είναι ίδια με την περίπτωση κόλπου και νησιού, με τη διαφορά ότι δε χρειάζεται πλέον ο βοηθητικός κύκλος ακτίνας R+ρ. Θεώρημα 8: Τα θαλάσσια σύνορα ανάμεσα σε δύο νησιά (2 κύκλοι ) ανήκουν σε μία υπερβολή Απόδειξη: Θεωρούμε δυο νησιά με ακτίνες R, ρ (R>ρ) και κέντρα Κ, Ο αντίστοιχα, Σχήμα 6. Το σημείο Μ ανήκει σε υπερβολή με εστίες Κ και Ο, αφού λόγω της ισότητας ΑΜ=ΜΒ, ισχύει ( ) ( ) R - ρ. Για την ακρίβεια, το σημείο Μ ανήκει μόνο στον έναν κλάδο της υπερβολής. Ο άλλος είναι αποτέλεσμα των πλέον απομακρυσμένων ακτών των δυο νησιών που ισαπέχουν. 6

7 Παρατήρηση 3: Στην περίπτωση όπου τα δυο νησιά (κύκλοι) έχουν την ίδια ακτίνα, τα θαλάσσια σύνορα εκφυλίζονται στη μεσοκάθετη της διακέντρου των δύο κύκλων. Παρατήρηση 4: Τα θαλάσσια σύνορα ανάμεσα σε ένα νησί και μία χερσόνησο καθώς και δυο χερσονήσους ανήκουν επίσης σε μία υπερβολή. Η απόδειξη είναι η ίδια, όπως στο Θεώρημα 8. Η μέχρι τώρα αναπτυχθείσα θεωρία ισχύει υπό την προϋπόθεση ότι η απόσταση μετράται από σημείο που δεν είναι ακραίο. Όμως στην πράξη, όπως θα δούμε στη συνέχεια, τα προβλήματα είναι περισσότερο σύνθετα. Σχήμα 5. Σχήμα 6. Πρόβλημα 1: Να βρεθούν τα σύνορα δυο χωρών, που στη μία ανήκει μια βραχονησίδα και στην άλλη ένας κόλπος. Λύση: Θεωρούμε τον κόλπο (τόξο) ΑΣΒ του κύκλου (Ο, ρ), όπου Σ εσωτερικό σημείο του τόξου ΑΒ και τις ημιευθείες ΟΑ και ΟΒ (Σχήμα 7 και 8). Για κάθε σημείο των συνόρων που ανήκει στον τομέα Ο.ΑΣΒ, η α- πόσταση μετράται από εσωτερικό σημείο του τόξου, αφού όταν το σημείο Μ ανήκει στο τμήμα ΟΣ ισχύει ΜΣ<ΜΑ, καθώς και ΜΣ<ΜΒ (Πρόταση 5). Για κάθε σημείο Μ των συνόρων που ανήκει στη γωνία ΑΟΒ που δεν περιέχει το Σ, η απόσταση μετράται από τα σημεία Α ή Β (Πρόταση 6). Α1 περίπτωση: Η βραχονησίδα (σημείο) Ε βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου που ανήκει ο κόλπος. Στην περίπτωση αυτή τα σύνορα είναι το τμήμα της έλλειψης που ανήκει στον τομέα Ο.ΑΣΒ, αφού η απόσταση του τυχαίου σημείου Μ των συνόρων μετράται από εσωτερικό σημείο του τόξου (Θεώρημα 7) και στα τμήματα των μεσοκαθέτων στις ΜΑ και ΜΒ, στην περίπτωση που το Μ βρίσκεται στη γωνία ΑΟΒ (που δεν περιέχει το Σ), αφού η απόσταση μετράται από τα ακραία σημεία Α και Β του τόξου ΑΒ (Σχήμα 7). 7

8 Α2 περίπτωση: Η βραχονησίδα βρίσκεται στο κέντρο του κύκλου. Εδώ το τμήμα της έλλειψης εκφυλίζεται σε τμήμα κύκλου, ομόκεντρο με αυτόν που ανήκει ο κόλπος. Α3 περίπτωση: Η βραχονησίδα βρίσκεται επί της περιφέρειας του κύκλου. Τώρα το τμήμα της έλλειψης εκφυλίζεται σε σημείο, το κέντρο του κύκλου. Σχήμα 7 Σχήμα 8 Β περίπτωση: Η βραχονησίδα βρίσκεται εκτός του κύκλου. Τώρα το τμήμα της έλλειψης δεν υπάρχει πλέον. Το κέντρο Ο δε βρίσκεται στο ίδιο ημιεπίπεδο, όσον αφορά τη μεσοκάθετη στο ΒΕ με το Ε (αφού ΟΒ<ΟΕ) και δε βρίσκεται στο ίδιο ημιεπίπεδο, όσον αφορά τη μεσοκάθετη στο ΑΕ με το Ε (αφού ΟΑ<ΟΕ). Έτσι, το κέντρο Ο βρίσκεται στην κατακορυφήν της γωνίας (που σχηματίζουν οι μεσοκάθετες) που ανήκει το Ε, οπότε τα σύνορα είναι τμήματα των μεσοκάθετων των ΕΑ και ΕΒ, αφού το σημείο τομής Μ αυτών βρίσκεται στη γωνία ΑΟΒ που δεν περιέχει το Σ (Σχήμα 8). Πρόβλημα 2: Να βρεθούν τα σύνορα δύο χωρών, ανάμεσα σε δύο κόλπους, που ο ένας ανήκει στη μία χώρα και ο άλλος στην άλλη. Λύση: Θεωρούμε τους δυο κόλπους (τόξα) ΑΒ και ΓΔ των κύκλων (Κ, R) και (Ο, ρ). Σχεδιάζουμε τις επίκεντρες γωνίες ΓΚΔ και ΑΟΒ, που χωρίζουν την περιοχή σε 5 χωρία τα Ω1, Ω2, Ω3, Ω4, Ω5, όπως φαίνεται στο Σχήμα 9. Περίπτωση Α: Το σημείο Μ των συνόρων του χωρίου Ω3 μετράται από εσωτερικά σημεία του τόξου ΑΒ, αφού ΜΣ<ΜΑ και ΜΣ<ΜΒ, όπου Σ εσωτερικό σημείο του τόξου ΑΒ (Πρόταση 5). Επίσης, μετράται από εσωτερικά σημεία του τόξου ΓΔ, για παρόμοιο λόγο. Έτσι, από το Θεώρημα 5 τα σύνορα είναι το τμήμα της υπερβολής που αποκόπτεται από τις ημιευθείες ΟΑ και ΟΒ. 8

9 Περίπτωση Β: Το σημείο Μ των συνόρων των χωρίων Ω2 και Ω4 μετράται από εσωτερικά σημεία του τόξου ΓΔ (Πρόταση 5) και τα ακραία σημεία του τόξου ΑΒ (Πρόταση 6). Από το θεώρημα 7 τα σύνορα στις περιοχές Ω2, Ω4 είναι τμήματα ελλείψεων (Σχήμα 9). Σχήμα 9 Περίπτωση Γ: Το σημείο Μ των συνόρων των χωρίων Ω1 και Ω5 μετράται από τα ακραία σημεία των τόξων ΑΒ και ΓΔ (Πρόταση 6). Από το Θεώρημα 3, τα σύνορα πλέον είναι τα τμήματα των μεσοκάθετων στα ΑΓ και ΒΔ, που είναι στο εξωτερικό της γωνίας ΓΚΔ (Σχήμα 9). Παρατήρηση 5: Η λύση που προτείνεται αντιμετωπίζει μια από τις πολλές εκδοχές που υπάρχουν. Μένει στον αναγνώστη να εντοπίσει και άλλες περιπτώσεις και να δώσει λύση! 3. Το τριεθνές. Είδαμε μέχρι τώρα το μοίρασμα των χωρικών υδάτων ανάμεσα σε δυο χώρες που συνορεύουν. Όμως, πρακτικά στον παγκόσμιο χάρτη, τρεις χώρες συνορεύουν ανά δύο και το κοινό σύνορο των τριών πλέον χωρών δεν είναι παρά σημείο, που ονομάζεται τριεθνές. Στη συνέχεια, θα επεκτείνουμε την παραπάνω θεωρία για την εύρεση αυτού του σημείου, κρατώντας τις προηγούμενες θεωρήσεις, δηλαδή, ότι η βραχονησίδα είναι σημείο, το νησί είναι κύκλος και η ακτή είναι ευθεία ή τμήμα κύκλου. Ουσιαστικά θα βρούμε το σημείο που απέχει εξίσου από: 1) Τρεις βραχονησίδες, δηλαδή τρία σημεία. 2) Τρεις ακτές, δηλαδή τρεις ευθείες. 3) Τρία νησιά, δηλαδή τρεις κύκλους. 4) Δυο βραχονησίδες και μια ακτή, δηλαδή δυο σημεία και μια ευθεία. 5) Δυο βραχονησίδες και ένα νησί, δηλαδή δυο σημεία και έναν κύκλο. 6) Δυο ακτές και μια βραχονησίδα, δηλαδή δυο ευθείες και ένα σημείο. 9

10 7) Δυο ακτές και ένα νησί, δηλαδή δυο ευθείες και έναν κύκλο. 8) Δυο νησιά και μια βραχονησίδα, δηλαδή δυο κύκλους και ένα σημείο. 9) Δυο νησιά και μια ακτή, δηλαδή δυο κύκλους και μια ευθεία. 10) Μια ακτή, ένα νησί και μια βραχονησίδα, δηλαδή μια ευθεία, έναν κύκλο και ένα σημείο. Στις δέκα παραπάνω περιπτώσεις ουσιαστικά έχουμε να βρούμε το σημείο που ισαπέχει από τρία δοσμένα γεωμετρικά αντικείμενα (Σημείο, Κύκλο, Ευθεία) ή να βρούμε το κέντρο του κύκλου που εφάπτεται σε αυτά, δηλαδή, ουσιαστικά, να ασχοληθούμε με το Απολλώνιο πρόβλημα. Μια πρώτη επαφή ο αναγνώστης με το πρόβλημα, που έθεσε ο Απολλώνιος πριν από 1800 περίπου χρόνια, μπορεί να έχει στη διεύθυνση [1]. Σχήμα 10 Σχήμα 11 i) Στοιχειώδεις περιπτώσεις: Οι περιπτώσεις 1) και 2) αποτελούν στοιχειώδεις περιπτώσεις. Η περίπτωση 1) ουσιαστικά είναι η εύρεση ενός σημείου που απέχει εξ ίσου από τρία γνωστά σημεία, ήτοι η εύρεση του περίκεντρου ενός τριγώνου. Η περίπτωση 2) επίσης στοιχειωδώς είναι εύρεση ενός σημείου που απέχει εξίσου από τρεις ευθείες, δηλαδή έχουμε να προσδιορίσουμε το έκκεντρο ενός τρίγωνου (σημείο τομής των διχοτόμων) ή ε- νός παράκεντρου (σημείο τομής δύο εξωτερικών διχοτόμων και μιας εσωτερικής). Στην κατηγορία των στοιχειωδών περιπτώσεων ανήκει και ένα τμήμα της περίπτωσης 3), δηλαδή της περίπτωσης όπου τα τρία νησιά είναι ίσα. Στην περίπτωση αυτή ουσιαστικά έχουμε να προσδιορίσουμε το σημείο που απέχει εξίσου από τρεις ίσους κύκλους, που μετατρέπεται στην εύρεση του σημείου που απέχει εξίσου από τα κέντρα των τριών κύκλων, δηλαδή το περίκεντρο του τριγώνου του οποίου αυτά είναι κορυφές. ii) Άλλες περιπτώσεις: Ελαφρά πιο σύνθετη είναι η περίπτωση 4), όπου πρέπει να βρούμε το κέντρο του κύκλου που απέχει εξίσου από μια ευθεία και δυο σημεία. Αναφέρεται στο Θεώρημα 1 ότι τα σύνορα ακτής- 10

11 βραχονησίδας είναι τμήμα μιας παραβολής. Έτσι, το τριεθνές σε τούτη την περίπτωση είναι το σημείο τομής δυο παραβολών (Σχήμα 10). Φυσικά το εν λόγω σημείο ανήκει και στη μεσοκάθετη των δυο βραχονησίδων. Στην περίπτωση 5) το τριεθνές είναι το σημείο τομής δυο υπερβολών (Σχήμα 11), αφού από το Θεώρημα 2, τα σημεία που απέχουν εξίσου από ένα νησί και μια βραχονησίδα ανήκουν σε υπερβολή. Βέβαια, εδώ εμφανίζεται ένα πλήθος από σημεία τομής των δυο υπερβολών, όμως εύκολα αυτά αποκλείονται, αφού βρίσκονται τουλάχιστον στον έναν κλάδο της υπερβολή που α- πέχει εξίσου από τη βραχονησίδα και το πλέον απομακρυσμένο σημείο του νησιού (Παρατήρηση 2). Σχήμα 12 Σχήμα 13 Η περίπτωση 7) φαίνεται στο Σχήμα 12, όπου περιοχές ΙΙ και ΙΙΙ περιέχουν τα σημεία που βρίσκονται πλησιέστερα στις δυο ακτές, ενώ τα σημεία της περιοχής Ι είναι εκείνα που βρίσκονται πλησιέστερα στο νησί (Κ,ρ) (κύκλος). Εδώ έχουμε δύο τριεθνή, που είναι τα σημεία, όπου τέμνονται οι παραβολές με εστίες το κέντρο Κ του κύκλου και διευθετούσα μια φανταστική παράλληλη προς τις ακτογραμμές-ευθείες στο εσωτερικό των χωρών, σε απόσταση ίση με την ακτίνα του κύκλου και περνά η διχοτόμος της γωνία που σχηματίζουν οι ακτές, υπό την προϋπόθεση ότι και τα δυο σημεία απέχουν από τα τρία κράτη λιγότερο από 12 ν.μ. Η περίπτωση 6) είναι όμοια με την 7). Η μόνη διαφορά είναι το γεγονός ότι οι παραβολές έχουν ως διευθετούσες τις ακτογραμμές και όχι μια φανταστική παράλληλη προς αυτές στο εσωτερικό των χωρών, σε απόσταση ίση με την ακτίνα του κύκλου. Παρόμοια και εδώ τα τριεθνή είναι δύο, με τη ίδια προϋπόθεση. Τέλος οι περιπτώσεις 8) και 3) με νησιά διαφορετικού μεγέθους και οι περιπτώσεις 9) και 10) εύκολα μπορούν να ενταχθούν στις προηγούμενες 11

12 περιπτώσεις. Έτσι, η περίπτωση 8) και η περίπτωση 3) με νησιά διαφορετικού μεγέθους είναι παρόμοια με την περίπτωση 5), οπότε το τριεθνές θα είναι η τομή δύο υπερβολών, δηλαδή εκείνων των συνόρων που σχηματίζονται από τα δύο ζευγάρια νησί-βραχονησίδα. Προφανώς από το σημείο αυτό θα διέρχεται και το σύνορο των άλλων δύο νησιών. Οι 9) και 10) είναι όμοιες με την 4) σε συνδυασμό με την 7). Δηλαδή, τα τριεθνή είναι τα σημεία τομής δύο παραβολών. Σχήμα 14. Σχήμα 15. iii) Η ειδική περίπτωση του εσωτερικού του κύκλου. Στη συνέχεια θα δούμε και άλλες περιπτώσεις εύρεσης τριεθνούς. Ήδη έχει αναφερθεί ότι, όταν η ακτή μας είναι κόλπος, βρισκόμαστε στο εσωτερικό ενός κύκλου και ο κόλπος είναι ένα τόξο του κύκλου. Οι περιπτώσεις τώρα αυξάνονται ιδιαίτερα. Ενδεικτικά θα αναφέρουμε μερικές. Ειδικότερα: 1) Κόλπος, ακτή, ακτή: Επειδή το κοινό σύνορο των κόλπου-ακτής είναι παραβολή, Θεώρημα 5, το τριεθνές θα είναι η τομή δύο παραβολών και από το σημείο αυτό θα διέρχεται η διχοτόμος των ακτών. Παρόλο που η τομή των παραβολών μας δίνει δύο σημεία, το τριεθνές είναι ένα, Σχήμα 13. 2) Κόλπος, κόλπος, κόλπος: Αφού το κοινό σύνορο των κόλπουκόλπου είναι υπερβολή, Θεώρημα 9, τότε το τριεθνές θα είναι η τομή δύο υπερβολών και από το σημείο αυτό θα διέρχεται η τρίτη υ- περβολή. 3) Κόλπος, ακτή, νησί: Το τριεθνές σε τούτη την περίπτωση είναι το σημείο τομής των παραβολών κόλπος-ακτή (Θεώρημα 6) και νησίακτή (Θεώρημα 1). Από το σημείο αυτό διέρχεται και η έλλειψη κόλπος-νησί, Σχήμα 14. 4) Κόλπος, κόλπος, νησί: Ήδη έχει αναφερθεί ότι το σύνορο κόλποςνησί είναι έλλειψη, οπότε το τριεθνές θα βρίσκεται στην τομή των 12

13 ελλείψεων, απ όπου θα διέρχεται και η υπερβολή του συνόρου κόλπος-κόλπος (Σχήμα 15). Ένα μεγάλο πλήθος περιπτώσεων δεν αναφέρθηκε, π.χ. όλες εκείνες οι περιπτώσεις που έχουν σχέση με βραχονησίδες. Όμως, γενικά, είναι παρόμοιες με τις προηγούμενες και ως εκ τούτου όσες δεν αναφέρονται και πέσουν στην αντίληψη του αναγνώστη, θα αφεθούν ως άσκηση γι αυτόν. 4. Συμπερασματικά: Αναφερθήκαμε στον καθορισμό των συνόρων σε υγρές περιοχές (π.χ. χωρικά ύδατα) και στον προσδιορισμό του τριεθνούς, μέσα από τις κωνικές τομές αλλά και τα προβλήματα του Απολλώνιου. Σήμερα, για τον καθορισμό των συνόρων χρησιμοποιούνται τα διαγράμματα Voronoi καθώς και αλγόριθμοι της Υπολογιστικής Γεωμετρίας [9], όμως αυτό καθόλου δεν ακυρώνει τις κωνικές τομές με την κλασσική τους έννοια. Οι γράφοντες πιστεύουν ότι το παραπάνω θέμα ή τμήμα αυτού μπορούν να το διαπραγματευτούν οι μαθητές της Β Λυκείου σε project είτε του Β εξαμήνου είτε ολόκληρου το σχολικού έτους. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. Βικιπαίδεια, 2. Γενικό Επιτελείο Εθνικής Άμυνας, Οργάνωση, Στοιχεία Οργάνωσης Γενικού Επιτελείου Στρατού, Α Κλάδος, Επεξηγήσεις Όρων, Διεύθυνση Πληροφοριών Ασφάλειας, Διεθνείς συμβάσεις, 3. Χαρίκλεια Τσιόγκα, «ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ: Από τα Συμπτώματα στη Γενική Εξίσωση 2ου Βαθμού Ιστορική Παράθεση και Διδακτικές Προσεγγίσεις», μεταπτυχιακή εργασία, Διαπανεπιστημιακό Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών, Παν/μιων Αθηνών-Κύπρου, Δ. Μπουνάκης, «Ιστορία και μελέτη με Ευκλείδεια μέσα των Κωνικών τομών», μεταπτυχιακή εργασία, Μαθηματικό τμήμα του Πανεπιστημίου Κρήτης, (http://web-server.math.uoc.gr:1080/erevna/diplomatikes/bounakis_mde.pdf) 5. J. L. Coolidge, «History of the conic sections and quadric surfaces», Oxford University Press, Dandelin spheres, 7. Ch. Taylor, An Introduction to the Ancient and Modern Geometry of Conics, Deighton, Bell and co.,

14 8. Αδαμόπουλος, Βισκαδουράκης, Γαβαλάς, Πολύζος, Σβέρκος, «Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης Β Λυκείου», ΟΕΔΒ, Γ. Τζούμας, «Υπολογιστική Γεωμετρία για Καμπύλα Αντικείμενα. Διαγράμματα Voronoi στο Επίπεδο». PhD thesis, National & Kapodistrian Univ. Athens, Μ. Τζούμας, «Οι γνωστές άγνωστες κωνικές τομές», Πρακτικά 26ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας, , Μ. Τζούμας, «Οι κωνικές τομές από την άποψη της στοιχειώδους Ευκλείδειας Γεωμετρίας», Ευκλείδης γ', 75(2011), Απολλώνιος, Κωνικά, Τόµος Α, Β, Γ,, µετάφραση Ε. Σ. Σταµάτη, Έκδοση Τ.Ε.Ε., Αθήνα1975, Δ. Μπουνάκης, «H Ευκλείδεια Γεωμετρία είναι και εδώ : Οι Κωνικές Τομές της Β' Λυκείου», Ευκλείδης γ', 73(2010),

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

Οι γνωστές άγνωστες κωνικές τοµές

Οι γνωστές άγνωστες κωνικές τοµές Οι γνωστές άγνωστες κωνικές τοµές Μιχαήλ Τζούµας Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικών Ιωσήφ Ρωγών και Βεΐκου 302 00 Μεσολόγγι mtzoumas@sch.gr Περίληψη Οι κωνικές τοµές (κ.τ.) και ειδικότερα η Παραβολή, η Έλλειψη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Πηγή έμπνευσης για την κατασκευή προβλημάτων της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.

Κωνικές τομές. Πηγή έμπνευσης για την κατασκευή προβλημάτων της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Κωνικές τομές. Πηγή έμπνευσης για την κατασκευή προβλημάτων της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Σπύρος Παναγιωτόπουλος Καθηγητής Μαθηματικών ΓΕΛ Σπερχειάδας 351 00 Λαμία spegepana@gmail.com Μιχαήλ Τζούμας Σχ.

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Γεωμετρικές κατασκευές Στα αιτήματα του Ευκλείδη περιλαμβάνονται μόνο τρία που αναφέρονται στη δυνατότητα κατασκευής ενός σχήματος. Ηιτήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία 2014 2015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ιδακτέα εξεταστέα ύλη σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Γεωμετρία Αˊ Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Κεφάλαιο 3 ο :Τρίγωνα 1. Τι λέγονται κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Για ευκολία οι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. + και. ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 67ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ "Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ" ΣΑΒΒΑΤΟ, 20 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2007

Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. + και. ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 67ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 20 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2007 GR. 06 79 - Athens - HELLAS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ "Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ" Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Να προσδιορίσετε τους φυσικούς αριθμούς ν που είναι τέτοιοι ώστε ο αριθμός 42 2 ν + να είναι ακέραιος. 2. Θεωρούμε οξεία γωνία ΑΟΒ και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Διδακτέα-εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Πρόκειται να δώσουμε τον ορισμό των κωνικών τομών και

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180 Μαρούσι Ιστοσελίδα: www.minedu.gov.gr Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: 210-3443422

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180 Μαρούσι Ιστοσελίδα: www.minedu.gov.gr Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: 210-3443422 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και το 3.2 Ασκήσεις: 1-8 Θεωρία ως και το 3.4 Ασκήσεις: 9-13 Θεωρία ως και το 3.7 Ασκήσεις: 14-29

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ Α και Β Γενικού Λυκείου ε 3 Γ ε 2 Κ Ε ε 1 Ι Ο Θ Η Ζ Α μ α Ψ ε 4 Β Β ( Σελ. 63 120 ) Τόμος 2ος ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 o ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 o ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΚΕΦΛΙΟ 2 o Τ ΣΙΚ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ Πρωταρχικές έννοιες Όπως τα αντιλαμβανόμαστε : Σημείο, Ευθεία, Επίπεδο. ξιώματα προτάσεις που τις αποδεχόμαστε χωρίς απόδειξη. αξίωμα: πό δυο διαφορετικά σημεία του επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10)

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 04 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ -8975 Δίνεται τρίγωνο ABΓ με AB=9, AΓ=5. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά BΓ που τέμνει

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) i. τα τρίγωνα

Διαβάστε περισσότερα

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1 ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΑΝΑΓΛΥΦΟ Το προοπτικό ανάγλυφο, όπως το επίπεδο προοπτικό, η στερεοσκοπική εικόνα κ.λπ. είναι τρόποι παρουσίασης και απεικόνισης των αρχιτεκτονικών συνθέσεων. Το προοπτικό ανάγλυφο είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΠΝΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΙΟ ΠΙΜΛΙ ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΘΜΤ ΘΩΡΙΣ ΚΦΛΙΟ ο Τ ΣΙΚ ΩΜΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ ΘΜ ο Τι καλείται μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος και τι ισχύει γι αυτό ; ΠΝΤΗΣΗ Μέσο ενός ευθύγραμμου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ Γενικές αρχές και έννοιες Στο σύστημα προβολής κατά Monge δεν μας δίνεται η δυνατότητα ν αντιληφθούμε άμεσα τα αντικείμενα του χώρου, παρά μόνο αφού συνδυάσουμε τις δύο προβολές του αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τοµές. Πηγή έµπνευσης για την κατασκευή προβληµάτων της Ευκλείδειας Γεωµετρίας.

Κωνικές τοµές. Πηγή έµπνευσης για την κατασκευή προβληµάτων της Ευκλείδειας Γεωµετρίας. Κωνικές τοµές. Πηγή έµπνευσης για την κατασκευή προβληµάτων της Ευκλείδειας Γεωµετρίας. Σπύρος Παναγιωτόπουλος Καθηγητής Μαθηµατικών ΓΕΛ Σπερχειάδας 351 00 Λαµία spegepana@gmail.com Μιχαήλ Τζούµας Σχ.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ 5029 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με και α) β) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές μ 10 γ) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ μ 7 5619 Δίνεται γωνία χαy και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ!

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! - Κύριε, πόσο μας χρειάζονται αυτά που μάθαμε πέρσι στα μαθηματικά της κατεύθυνσης; - Σοφία, αν όχι όλα, αρκετά από αυτά. - Για πείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου Θεωρήματα διχοτόμων Αρμονικά συζυγή Ομοιότητα τριγώνων.

Γεωμετρία Β Λυκείου Θεωρήματα διχοτόμων Αρμονικά συζυγή Ομοιότητα τριγώνων. Γεωμετρία Β Λυκείου Θεωρήματα διχοτόμων Αρμονικά συζυγή Ομοιότητα τριγώνων. Καρδαμίτσης Σπύρος «Τὰ ὅμοια πολύγωνα εἴς τε ὅμοια τρίγωνα διαιρεῖται καὶ εἰς ἴσα τὸ πλῆθος καὶ ὁμόλογα τοῖς ὅλοις, καὶ τὸ πολύγωνον

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 Από εξωτερικό σημείο Σ κύκλου (Κ, ρ) θεωρούμε τις τέμνουσες ΣΑΒ και ΣΓΔ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=ΣΔ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήματα των χορδών ΑΒ και ΓΔ του

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0.

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0. Ευκλείδης Γ' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να γίνει γινόμενο η παράσταση Α= ν 2 3ν 1 2 1. 2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ στο σημείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές.

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Η Ευκλείδεια Γεωμετρία στην εκπαίδευση και στην κοινωνία. Κώστας Μαλλιάκας, Καθηγητής Δ.Ε., 1 ο ΓΕΛ Ρόδου, kmath@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΑΠΟΛΛΩΝΙΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΩΣ ΤΟΜΕΣ ΚΩΝΙΚΩΝ ΜΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

ΟΙ ΑΠΟΛΛΩΝΙΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΩΣ ΤΟΜΕΣ ΚΩΝΙΚΩΝ ΜΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΟΙ ΑΠΟΛΛΩΝΙΕ ΚΑΤΑΚΕΥΕ Ω ΤΟΜΕ ΚΩΝΙΚΩΝ ΜΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΠΕΡΙΛΗΨΗ την παρούσα εργασία ασχολούμαστε με προβλήματα του Απολλώνιου. Χωρίζεται σε τρία μέρη. το πρώτο γίνεται μια απλή προσέγγιση

Διαβάστε περισσότερα

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία.

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία. Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç Σε όλα τα παρακάτω αντικείµενα σχηµατίζονται διάφορες γωνίες ανάλογα µε τη σχετική θέση, κάθε φορά, δύο ηµιευθειών που έχουν ένα κοινό ση- µείο, όπως π.χ. είναι οι δείκτες του ρολογιού,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 29 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 3 Μαρτίου 2012

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 29 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 3 Μαρτίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΕΤΙΡΕΙ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 06 79 ΘΗΝ Τηλ 665-6778 - F: 605 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR 06

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια Γεωµετρία Α τάξης Γενικού Λυκείου

Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια Γεωµετρία Α τάξης Γενικού Λυκείου Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια εωµετρία τάξης ενικού υκείου ΩΝΙΕΣ ρισµός: Έστω χ και ψ δύο ηµιευθείες που δεν έχουν κοινό φορέα και έστω p το ηµιεπίπεδο που έχει ακµή τον φορέα της Oχ και περιέχει την ψ και

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ. Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Ορισμός κανονικού πολυγώνου) Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων 1. Ποια είναι τα κύρια στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 0 3663-0367784 - Fax: 0 3640 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 06 79

Διαβάστε περισσότερα

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 GR. 06 79 - Athens - HELLAS Tel. 36653-367784 - Fax: 36405 ΣΑΒΒΑΤΟ, 30 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 00 B Γυμνασίου 3. Έστω x = 3 4 :4+ 5 και y = 45 4 3 + 73. (α) Να βρεθούν οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Συντομεύσεις Ακρωνύμια... 2 Σύνοψη... 3 Προαπαιτούμενη γνώση... 3 7.1. Κατασκευή ευθύγραμμων τμημάτων... 3 7.2. Κατασκευή γωνιών... 8 7.3. Κατασκευή πολυγώνων... 11 7.4.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (16) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

2. Να κατασκευάσετε µια γωνία α τέτοια ώστε: εφ (90 - α) = 7. 3. Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε ύψος ΑΗ έτσι ώστε: 1 και εφγ = 3

2. Να κατασκευάσετε µια γωνία α τέτοια ώστε: εφ (90 - α) = 7. 3. Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε ύψος ΑΗ έτσι ώστε: 1 και εφγ = 3 Προβλήµατα 1. Να κατασκευάσετε µια γωνία xαy, γνωρίζοντας ότι: 3 α) εφ xay = 5 β) συν xay = 0,8 γ) ηµ xay = 0,4 2. Να κατασκευάσετε µια γωνία α τέτοια ώστε: εφ (90 - α) = 7 4. 3. Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΡΙΣΜΑ 1. Οι προσκείµενες στη βάση γωνίες ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες.

ΠΟΡΙΣΜΑ 1. Οι προσκείµενες στη βάση γωνίες ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες. ΠΟΡΙΣΜΑ 1. Οι προσκείµενες στη βάση γωνίες ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες. Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουµε διχοτόµο ΑΔ Σύγκριση Τριγώνων ΑΒΔ και ΑΓΔ: -ΑΒ=ΑΓ (δεδοµένο) -ΒΑΔ=ΓΑΔ (αφού ΑΔ διχοτόµος) -ΑΔ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα