Κωνικές τομές: καθορισμός των συνόρων σε υγρές περιοχές

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κωνικές τομές: καθορισμός των συνόρων σε υγρές περιοχές"

Transcript

1 Κωνικές τομές: καθορισμός των συνόρων σε υγρές περιοχές Η Ευκλείδεια γεωμετρία στην εκπαίδευση και στην κοινωνία. Δημήτρης Θεοδωράκης 1 ο ΓΕΛ Μεσολογγίου Σπύρος Στίγκας 4 ο ΓΕΛ Αγρινίου Μιχάλης Τζούμας Σχ. Συμβ. Μαθηματικών Γρ. Σχ. Συμβ. Αχαïας Περίληψη Μπορεί οι Αιγύπτιοι, από ανάγκη για να αναδιανείμουν τα χωράφια τους από τις πλημμύρες του Νείλου, να πρωτοξεκίνησαν τη Γεωμετρία, ό- μως αυτή αναπτύχθηκε και εφαρμόστηκε σε πλήθος ανάγκες της Επιστήμης και της Κοινωνίας από τους αρχαίους Έλληνες. Επειδή η Γεωμετρία, εκτός από τις εφαρμογές της στην επιστήμη και την κοινωνία, γενικότερα παίζει κυρίαρχο ρόλο στην ανάπτυξη του μυαλού και της κριτικής σκέψης των μαθητών, θα έπρεπε να δεσπόζει στα μαθήματα που διδάσκονται στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση και να μην παραμελείται από τους σύγχρονους της εκπαίδευσης. Στο παρόν άρθρο μελετάμε και εφαρμόζουμε τις κωνικές τομές στον καθορισμό των συνόρων και την εύρεση του τριεθνούς σε λιμναίες και θαλάσσιες περιοχές. Abstract Although the redistribution of land due to the Nile overflow in ancient Egypt gave birth to Geometry, the ancient Greeks developed and applied it in sciences or society. Geometry as a branch of Mathematics, except for its uses or applications in science and society, plays an important role in education and critical thinking of young students. For this reason it must be a dominant subject in secondary education. In this article we study and apply the conic sections in determining the borders in sea regions.

2 1. Εισαγωγή. Οι κωνικές τομές εμφανίζονται στη βιβλιογραφία περί το 350 π.χ. και η πατρότητα αυτών αποδίδεται στον Μέναιχμο [3] και [4], ο οποίος τις χρησιμοποίησε στην προσπάθειά του να λύσει το Δήλιο πρόβλημα. Πολλοί μαθηματικοί της αρχαίας Ελλάδος ασχολήθηκαν με τις κωνικές τομές, μεταξύ αυτών ο Αρίσταιος, ο Ευκλείδης και ο Αρχιμήδης, ό- μως το θαυμασμό της Παγκόσμιας κοινότητας τον συγκεντρώνει ο Απολλώνιος ο Περγαίος με το αριστούργημά του «κωνικά» [12]. Το 17 ο αιώνα η Γεωμετρία αλγεβροποιείται από «τους πατέρες της Αναλυτικής Γεωμετρίας» Pierre de Fermat και René Descartes και μια νέα εποχή γεννιέται για τις κωνικές τομές. Την ίδια περίοδο δίνονται οι σημερινοί ορισμοί από τον μεγάλο Μαθηματικό Marquis De L Hospital [5]. Ο Germinal Pierre Dandelin συνέδεσε με έναν ευφυή και θαυμαστό τρόπο τους ορισμούς του «καινούργιου» με το «παλιό», χρησιμοποιώντας σφαίρες [6], [7]. Οι εφαρμογές των κωνικών τομών, λόγω της κομψότητας και της απλότητας αυτών, εκτείνονται, εκτός από τα Μαθηματικά, τη Μηχανική και την Αστρονομία και σε όλους του χώρους των άλλων επιστημών. Στην εργασία αυτή θα τις δούμε να υπηρετούν τη Γεωγραφία, καθορίζοντας τα χωρικά ύδατα των χωρών. Ορισμός 1: Αιγιαλίτιδα Ζώνη[2] ή χωρικά ύδατα είναι η ζώνη θάλασσας η παρακείμενη στην ακτή, πέρα από την ξηρά και τα εσωτερικά χωρικά ύδατα, πάνω στην οποία το κράτος ασκεί πλήρη κυριαρχία. Η κυριαρχία αυτή εκτείνεται στον εναέριο χώρο πάνω από την Αιγιαλίτιδα Ζώνη, στο βυθό και στο υπέδαφος. Κάθε κράτος έχει το δικαίωμα να καθορίσει το πλάτος της Αιγιαλίτιδας Ζώνης μέχρι το όριο των 12 ναυτικών μιλίων (ν.μ.), σύμφωνα με τις διεθνείς συμβάσεις. Όμως, σε πάρα πολλές περιπτώσεις, η ξηρά δύο κρατών απέχει λιγότερο από τα 24 ν.μ., οπότε, προκειμένου να καθοριστούν τα χωρικά ύδατα, χρειάζεται να μοιραστούν εξ ίσου. Η νοητή γραμμή που ξεχωρίζει τα χωρικά ύδατα των χωρών είναι τα θαλάσσια σύνορα αυτών. Προκειμένου, όμως, να την καθορίσουμε, θα κάνουμε μερικές παραδοχές. Έτσι, θα αντιστοιχίσουμε τη βραχονησίδα σε ένα σημείο, το νησί σε έναν κύκλο και την ακτή σε μια ευθεία ή στο εσωτερικό ενός κύκλου, αν πρόκειται για κόλπο ή στο εξωτερικό ενός κύκλου, αν πρόκειται για το ά- κρο χερσονήσου. Είναι φανερό ότι ουσιαστικά, όταν μιλάμε για ακτή, πρόκειται για ευθύγραμμο τμήμα, ενώ όταν μιλάμε για κόλπο ή χερσόνησο πρόκειται για τόξο. Ορισμός 2: Λέμε ότι ένα σημείο ανήκει στα θαλάσσια σύνορα μιας χώρας, αν απέχει 12 ν.μ. από την ξηρά ή απέχει λιγότερο από 12 ν.μ. από την ξηρά και εξίσου από το πλησιέστερο σημείο άλλων χωρών. 2

3 Είναι φανερό ότι στον προσδιορισμό των θαλασσίων συνόρων κυρίαρχο ρόλο παίζει η απόσταση και γι αυτό δίνουμε τους παρακάτω ορισμούς και προτάσεις. Ορισμός 3: Απόσταση δύο σημειοσυνόλων λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα, του οποίου το ένα άκρο είναι στο ένα σύνολο και το άλλο στο άλλο σύνολο και έχει το ελάχιστο μήκος. Παρατήρηση 1: Με τον παραπάνω ορισμό i) απόσταση των σημείων Α και Β, είναι το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. ii) Απόσταση του σημείου Α από την ευθεία (ε), είναι το μοναδικό κάθετο ευθύγραμμο τμήμα που άγεται από το σημείο Α στην ευθεία (ε). iii) Απόσταση δύο παραλλήλων ευθειών είναι το κοινό κάθετο ευθύγραμμο τμήμα. iv) Τέλος, έστω ο κύκλος (Ο, ρ) με διαμέτρου ΑΒ και τυχαίο σημείο Σ της ημιευθείας ΟΑ, στο εσωτερικό ή εξωτερικό του κύκλου. Το ευθύγραμμο τμήμα ΣΑ, είναι η απόσταση του σημείου Σ από τον κύκλο (Ο, ρ). Ένα πλήθος από προτάσεις σχετικές με την απόσταση δυο σημειοσυνόλων είναι γνωστές από την ύλη που διδάσκεται στο Γυμνάσιο και το Λύκειο. Αναφέρουμε ορισμένες, που θα μας είναι χρήσιμες στη συνέχεια. Πρόταση 1: Τα σημεία της μεσοκαθέτου ευθυγράμμου τμήματος ισαπέχουν από τα άκρα του. Πρόταση 2: Αν από ένα σημείο εκτός ευθείας φέρουμε το κάθετο τμήμα και δύο πλάγια ευθύγραμμα τμήματα σ αυτό τότε: Το κάθετο τμήμα είναι μικρότερο από κάθε πλάγιο και από τα πλάγια μικρότερο είναι εκείνο που το ίχνος του απέχει λιγότερο από το ίχνος του καθέτου. Πρόταση 3. Τα σημεία της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχουν από τις πλευρές της. Πρόταση 4. Τα σημεία της μεσοπαράλληλης δυο παράλληλων ευθειών απέχουν εξ ίσου από αυτές. Πρόταση 5. Θεωρούμε τον κύκλο (Κ, R) και τη διάμετρο αυτού ΑΒ. Για κάθε σημείο Μ του κύκλου και κάθε σημείο Σ επί της ΚΑ, ισχύει: ΣΑ ΣΜ ΣΒ. Πρόταση 6. Θεωρούμε τον κύκλο (Κ, ρ), το τόξο ΑΒ και έστω Σ ε- σωτερικό σημείο του τόξου ΑΒ. Για το σημείο Μ του κύκλου, που δεν ανήκει στην επίκεντρη γωνία ΑΚΒ, ισχύει, M min{ MA, MB} Απόδειξη: Η μεσοκάθετη στο ΑΣ (ή το ΒΣ) περνά από το κέντρο Ο και αφήνει το Μ στο ίδιο ημιεπίπεδο με το Α (αντίστοιχα το Β) και ως εκ τούτου ΜΑ<ΜΣ (ή ΜΒ<ΜΣ). Στον προσδιορισμό των συνόρων των χωρών, όπως έχουμε ήδη πει, σημαντικό ρόλο παίζουν οι κωνικές τομές. Για τον ορισμό τους μπορεί κά- 3

4 ποιος να δει στο [8] και [10], ενώ για την Ευκλείδεια αντιμετώπιση των γεωμετρικών ιδιοτήτων τους αλλά και την κατασκευή τους με εργαλεία της σύγχρονης τεχνολογίας στο [10], [11] και [13]. 2. Ο καθορισμός των συνόρων σε υγρές περιοχές. Σε ό,τι ακολουθεί, ισχύει ότι η απόσταση μεταξύ των δυο χωρών θα είναι μικρότερη των 24 ναυτικών μιλίων και το σημείο από το οποίο μετράται η απόσταση δεν είναι ακραίο σημείο ευθυγράμμου τμήματος ή τόξου. Θεώρημα 1: Τα θαλάσσια σύνορα μεταξύ i) μιας ακτής-ευθείας και μιας βραχονησίδας (σημείο) ή ii) μιας ακτής-ευθείας και ενός νησιού ανήκουν σε μία παραβολή. Απόδειξη: i) Επιλέγουμε τυχαίο σημείο Ζ (Σχήμα 1) πάνω στην ακτήευθεία (α). Το σημείο τομής Μ της μεσοκάθετης στο ευθύγραμμο τμήμα ΕΖ και της κάθετης στην ευθεία (α) στο σημείο Ζ ανήκει στο σύνορο των δυο χωρών, αφού απέχει εξ ίσου από τη βραχονησίδα Ε και την ακτή στο σημείο Ζ. Μετακινώντας το σημείο Ζ πάνω στην ακτή, το σημείο Μ διαγράφει μία καμπύλη, που είναι προφανώς παραβολή με εστία το Ε και διευθετούσα την ακτή [8]. Σχήμα 1. Σχήμα 2. ii) Η απόδειξη της περίπτωσης ακτής-ευθείας και ενός νησιού (K, ρ), είναι ίδια με εκείνη της ακτής-ευθείας και μιας βραχονησίδας με την προσθήκη ότι η διευθετούσα είναι βοηθητική ευθεία (δ), παράλληλη προς την ακτή σε απόσταση ρ προς το εσωτερικό της χώρας. Θεώρημα 2: Τα θαλάσσια σύνορα ανάμεσα σε μία βραχονησίδα (σημείο) και ένα νησί ή χερσόνησο (κύκλος ή τμήμα κύκλου) ανήκουν σε μία υπερβολή Απόδειξη: Θεωρούμε τη βραχονησίδα Ε (σημείο) το νησί (Κ, ρ) (κύκλο) και επιλέγουμε τυχαίο σημείο Α στην ακτή του νησιού (Σχήμα 2). Σχεδιάζουμε την ημιευθεία ΚΑ και φέρουμε τη μεσοκάθετη του ευθύγραμμου 4

5 τμήματος ΑΕ. Ονομάζουμε Μ το σημείο τομής της ημιευθείας ΚΑ με την προηγούμενη μεσοκάθετη. Το σημείο Μ είναι σημείο στα σύνορα που ψάχνουμε, αφού ισαπέχει από τη βραχονησίδα και το νησί, λόγω της μεσοκάθετης (ΜΕ=ΜΑ). Το σημείο Μ είναι σημείο υπερβολής με εστίες τα σημεία Ε και Κ, διότι έχει σταθερή διαφορά αποστάσεων από αυτές [8]:. Παρατήρηση 2: το σημείο Μ βρίσκεται πάνω στον έναν κλάδο της υ- περβολής. Ο άλλος κλάδος αυτής αναφέρεται στην ακτή της πλευράς του νησιού που δεν είναι πλησίον της βραχονησίδας και συνεπώς δεν έχει έννοια. Θεώρημα 3: Το θαλάσσιο σύνορο ανάμεσα σε δυο βραχονησίδες (σημεία) είναι η μεσοκάθετη αυτών. Απόδειξη: Η απόδειξη βασίζεται στην Πρόταση 1. Θεώρημα 4: Το θαλάσσιο σύνορο ανάμεσα σε δυο ακτές-ευθείες είναι i) η μεσοπαράλληλη αυτών(όταν είναι παράλληλες) ή ii)η διχοτόμος της γωνίας που σχηματίζουν (όταν τέμνονται). Απόδειξη: Η απόδειξη του Θεωρήματος αυτού βασίζεται: στην Πρόταση 4 η περίπτωση των παραλλήλων και στην Πρόταση 3 η περίπτωση των τεμνόμενων ακτών-ευθειών. Θεώρημα 5: To θαλάσσια σύνορα ανάμεσα σε μία ακτή (ευθεία ) και σε ένα κόλπο (τόξο κύκλου) ανήκουν σε μία παραβολή. Απόδειξη: Θεωρούμε τον κόλπο ΑΒ τμήμα του κύκλου (K, ρ), την ακτή ΓΔ τμήμα της ευθείας α και μία βοηθητική ευθεία (δ) παράλληλη της ευθείας (α) σε απόσταση ρ προς το μέρος του Κ (Σχήμα 3). Επιλέγουμε το σημείο E πάνω στην ευθεία (δ) και φέρουμε κάθετη στην (α), η οποία τέμνει την μεσοκάθετη του τμήματος ΚE στο σημείο Μ. Το Μ ανήκει στα σύνορα των δυο χωρών, αφού η προέκταση του ΚΜ προς το μέρος του Μ, τέμνει τον κύκλο στο N και ισχύει. Το σημείο Μ ανήκει σε παραβολή με εστία το K και διευθετούσα τη βοηθητική ευθεία (δ), αφού KM=ΜE λόγω της μεσοκάθετης του ΚΕ [8], [10]. Για την ακρίβεια, θα είναι το τμήμα της παραβολής που αποκόπτει η ακτίνα ΚΑ και η κάθετη στο ΓΔ στο σημείο Δ. Θεώρημα 6: Τα θαλάσσια σύνορα ανάμεσα σε δύο κόλπους (τόξα κύκλων) ανήκουν σε μία υπερβολή. Απόδειξη: Έστω δύο κόλποι (τόξα κύκλων με κέντρα Ο και Κ και α- κτίνες R και ρ αντίστοιχα). Το σημείο Μ των συνόρων (ΜΑ=ΜΒ) βρίσκεται πάνω σε μια υπερβολή με εστίες τα Κ και Ο, αφού 5

6 ( ΜΟ ΜΑ) - (ΜΚ ΜΒ) R - ρ. Για την κατασκευή ακολουθούμε την τεχνική του [10]. Για την ακρίβεια το Μ βρίσκεται σε τμήμα ενός κλάδου υπερβολής με τη συνεχή γραμμή στο Σχήμα 4. Σχήμα 3. Σχήμα 4. Θεώρημα 7: Τα θαλάσσια σύνορα ανάμεσα σε i) έναν κόλπο και ένα νησί (ή μια χερσόνησο) ή ii) έναν κόλπο και μια βραχονησίδα, ανήκουν σε έλλειψη. Απόδειξη: 1) Θεωρούμε τον κόλπο και το νησί με κέντρα Κ και Ο και ακτίνα R και ρ (R>ρ) αντίστοιχα, Σχήμα 5. Έστω Μ ένα σημείο στο σύνορο των δυο τόπων. Τότε ισχύει. ΚΜ + ΟΜ = ΚΜ + ΜΓ + ΟΓ = ΚΜ + ΜΝ + ΟΓ = ΚΝ + ΟΓ=R + ρ. Δηλαδή το άθροισμα των αποστάσεων του σημείου Μ από τα δυο σταθερά σημεία Κ και Ο είναι σταθερό. Για την κατασκευή του χρησιμοποιούμε την τεχνική του [10]. 2) Η περίπτωση κόλπου και μια βραχονησίδας είναι ίδια με την περίπτωση κόλπου και νησιού, με τη διαφορά ότι δε χρειάζεται πλέον ο βοηθητικός κύκλος ακτίνας R+ρ. Θεώρημα 8: Τα θαλάσσια σύνορα ανάμεσα σε δύο νησιά (2 κύκλοι ) ανήκουν σε μία υπερβολή Απόδειξη: Θεωρούμε δυο νησιά με ακτίνες R, ρ (R>ρ) και κέντρα Κ, Ο αντίστοιχα, Σχήμα 6. Το σημείο Μ ανήκει σε υπερβολή με εστίες Κ και Ο, αφού λόγω της ισότητας ΑΜ=ΜΒ, ισχύει ( ) ( ) R - ρ. Για την ακρίβεια, το σημείο Μ ανήκει μόνο στον έναν κλάδο της υπερβολής. Ο άλλος είναι αποτέλεσμα των πλέον απομακρυσμένων ακτών των δυο νησιών που ισαπέχουν. 6

7 Παρατήρηση 3: Στην περίπτωση όπου τα δυο νησιά (κύκλοι) έχουν την ίδια ακτίνα, τα θαλάσσια σύνορα εκφυλίζονται στη μεσοκάθετη της διακέντρου των δύο κύκλων. Παρατήρηση 4: Τα θαλάσσια σύνορα ανάμεσα σε ένα νησί και μία χερσόνησο καθώς και δυο χερσονήσους ανήκουν επίσης σε μία υπερβολή. Η απόδειξη είναι η ίδια, όπως στο Θεώρημα 8. Η μέχρι τώρα αναπτυχθείσα θεωρία ισχύει υπό την προϋπόθεση ότι η απόσταση μετράται από σημείο που δεν είναι ακραίο. Όμως στην πράξη, όπως θα δούμε στη συνέχεια, τα προβλήματα είναι περισσότερο σύνθετα. Σχήμα 5. Σχήμα 6. Πρόβλημα 1: Να βρεθούν τα σύνορα δυο χωρών, που στη μία ανήκει μια βραχονησίδα και στην άλλη ένας κόλπος. Λύση: Θεωρούμε τον κόλπο (τόξο) ΑΣΒ του κύκλου (Ο, ρ), όπου Σ εσωτερικό σημείο του τόξου ΑΒ και τις ημιευθείες ΟΑ και ΟΒ (Σχήμα 7 και 8). Για κάθε σημείο των συνόρων που ανήκει στον τομέα Ο.ΑΣΒ, η α- πόσταση μετράται από εσωτερικό σημείο του τόξου, αφού όταν το σημείο Μ ανήκει στο τμήμα ΟΣ ισχύει ΜΣ<ΜΑ, καθώς και ΜΣ<ΜΒ (Πρόταση 5). Για κάθε σημείο Μ των συνόρων που ανήκει στη γωνία ΑΟΒ που δεν περιέχει το Σ, η απόσταση μετράται από τα σημεία Α ή Β (Πρόταση 6). Α1 περίπτωση: Η βραχονησίδα (σημείο) Ε βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου που ανήκει ο κόλπος. Στην περίπτωση αυτή τα σύνορα είναι το τμήμα της έλλειψης που ανήκει στον τομέα Ο.ΑΣΒ, αφού η απόσταση του τυχαίου σημείου Μ των συνόρων μετράται από εσωτερικό σημείο του τόξου (Θεώρημα 7) και στα τμήματα των μεσοκαθέτων στις ΜΑ και ΜΒ, στην περίπτωση που το Μ βρίσκεται στη γωνία ΑΟΒ (που δεν περιέχει το Σ), αφού η απόσταση μετράται από τα ακραία σημεία Α και Β του τόξου ΑΒ (Σχήμα 7). 7

8 Α2 περίπτωση: Η βραχονησίδα βρίσκεται στο κέντρο του κύκλου. Εδώ το τμήμα της έλλειψης εκφυλίζεται σε τμήμα κύκλου, ομόκεντρο με αυτόν που ανήκει ο κόλπος. Α3 περίπτωση: Η βραχονησίδα βρίσκεται επί της περιφέρειας του κύκλου. Τώρα το τμήμα της έλλειψης εκφυλίζεται σε σημείο, το κέντρο του κύκλου. Σχήμα 7 Σχήμα 8 Β περίπτωση: Η βραχονησίδα βρίσκεται εκτός του κύκλου. Τώρα το τμήμα της έλλειψης δεν υπάρχει πλέον. Το κέντρο Ο δε βρίσκεται στο ίδιο ημιεπίπεδο, όσον αφορά τη μεσοκάθετη στο ΒΕ με το Ε (αφού ΟΒ<ΟΕ) και δε βρίσκεται στο ίδιο ημιεπίπεδο, όσον αφορά τη μεσοκάθετη στο ΑΕ με το Ε (αφού ΟΑ<ΟΕ). Έτσι, το κέντρο Ο βρίσκεται στην κατακορυφήν της γωνίας (που σχηματίζουν οι μεσοκάθετες) που ανήκει το Ε, οπότε τα σύνορα είναι τμήματα των μεσοκάθετων των ΕΑ και ΕΒ, αφού το σημείο τομής Μ αυτών βρίσκεται στη γωνία ΑΟΒ που δεν περιέχει το Σ (Σχήμα 8). Πρόβλημα 2: Να βρεθούν τα σύνορα δύο χωρών, ανάμεσα σε δύο κόλπους, που ο ένας ανήκει στη μία χώρα και ο άλλος στην άλλη. Λύση: Θεωρούμε τους δυο κόλπους (τόξα) ΑΒ και ΓΔ των κύκλων (Κ, R) και (Ο, ρ). Σχεδιάζουμε τις επίκεντρες γωνίες ΓΚΔ και ΑΟΒ, που χωρίζουν την περιοχή σε 5 χωρία τα Ω1, Ω2, Ω3, Ω4, Ω5, όπως φαίνεται στο Σχήμα 9. Περίπτωση Α: Το σημείο Μ των συνόρων του χωρίου Ω3 μετράται από εσωτερικά σημεία του τόξου ΑΒ, αφού ΜΣ<ΜΑ και ΜΣ<ΜΒ, όπου Σ εσωτερικό σημείο του τόξου ΑΒ (Πρόταση 5). Επίσης, μετράται από εσωτερικά σημεία του τόξου ΓΔ, για παρόμοιο λόγο. Έτσι, από το Θεώρημα 5 τα σύνορα είναι το τμήμα της υπερβολής που αποκόπτεται από τις ημιευθείες ΟΑ και ΟΒ. 8

9 Περίπτωση Β: Το σημείο Μ των συνόρων των χωρίων Ω2 και Ω4 μετράται από εσωτερικά σημεία του τόξου ΓΔ (Πρόταση 5) και τα ακραία σημεία του τόξου ΑΒ (Πρόταση 6). Από το θεώρημα 7 τα σύνορα στις περιοχές Ω2, Ω4 είναι τμήματα ελλείψεων (Σχήμα 9). Σχήμα 9 Περίπτωση Γ: Το σημείο Μ των συνόρων των χωρίων Ω1 και Ω5 μετράται από τα ακραία σημεία των τόξων ΑΒ και ΓΔ (Πρόταση 6). Από το Θεώρημα 3, τα σύνορα πλέον είναι τα τμήματα των μεσοκάθετων στα ΑΓ και ΒΔ, που είναι στο εξωτερικό της γωνίας ΓΚΔ (Σχήμα 9). Παρατήρηση 5: Η λύση που προτείνεται αντιμετωπίζει μια από τις πολλές εκδοχές που υπάρχουν. Μένει στον αναγνώστη να εντοπίσει και άλλες περιπτώσεις και να δώσει λύση! 3. Το τριεθνές. Είδαμε μέχρι τώρα το μοίρασμα των χωρικών υδάτων ανάμεσα σε δυο χώρες που συνορεύουν. Όμως, πρακτικά στον παγκόσμιο χάρτη, τρεις χώρες συνορεύουν ανά δύο και το κοινό σύνορο των τριών πλέον χωρών δεν είναι παρά σημείο, που ονομάζεται τριεθνές. Στη συνέχεια, θα επεκτείνουμε την παραπάνω θεωρία για την εύρεση αυτού του σημείου, κρατώντας τις προηγούμενες θεωρήσεις, δηλαδή, ότι η βραχονησίδα είναι σημείο, το νησί είναι κύκλος και η ακτή είναι ευθεία ή τμήμα κύκλου. Ουσιαστικά θα βρούμε το σημείο που απέχει εξίσου από: 1) Τρεις βραχονησίδες, δηλαδή τρία σημεία. 2) Τρεις ακτές, δηλαδή τρεις ευθείες. 3) Τρία νησιά, δηλαδή τρεις κύκλους. 4) Δυο βραχονησίδες και μια ακτή, δηλαδή δυο σημεία και μια ευθεία. 5) Δυο βραχονησίδες και ένα νησί, δηλαδή δυο σημεία και έναν κύκλο. 6) Δυο ακτές και μια βραχονησίδα, δηλαδή δυο ευθείες και ένα σημείο. 9

10 7) Δυο ακτές και ένα νησί, δηλαδή δυο ευθείες και έναν κύκλο. 8) Δυο νησιά και μια βραχονησίδα, δηλαδή δυο κύκλους και ένα σημείο. 9) Δυο νησιά και μια ακτή, δηλαδή δυο κύκλους και μια ευθεία. 10) Μια ακτή, ένα νησί και μια βραχονησίδα, δηλαδή μια ευθεία, έναν κύκλο και ένα σημείο. Στις δέκα παραπάνω περιπτώσεις ουσιαστικά έχουμε να βρούμε το σημείο που ισαπέχει από τρία δοσμένα γεωμετρικά αντικείμενα (Σημείο, Κύκλο, Ευθεία) ή να βρούμε το κέντρο του κύκλου που εφάπτεται σε αυτά, δηλαδή, ουσιαστικά, να ασχοληθούμε με το Απολλώνιο πρόβλημα. Μια πρώτη επαφή ο αναγνώστης με το πρόβλημα, που έθεσε ο Απολλώνιος πριν από 1800 περίπου χρόνια, μπορεί να έχει στη διεύθυνση [1]. Σχήμα 10 Σχήμα 11 i) Στοιχειώδεις περιπτώσεις: Οι περιπτώσεις 1) και 2) αποτελούν στοιχειώδεις περιπτώσεις. Η περίπτωση 1) ουσιαστικά είναι η εύρεση ενός σημείου που απέχει εξ ίσου από τρία γνωστά σημεία, ήτοι η εύρεση του περίκεντρου ενός τριγώνου. Η περίπτωση 2) επίσης στοιχειωδώς είναι εύρεση ενός σημείου που απέχει εξίσου από τρεις ευθείες, δηλαδή έχουμε να προσδιορίσουμε το έκκεντρο ενός τρίγωνου (σημείο τομής των διχοτόμων) ή ε- νός παράκεντρου (σημείο τομής δύο εξωτερικών διχοτόμων και μιας εσωτερικής). Στην κατηγορία των στοιχειωδών περιπτώσεων ανήκει και ένα τμήμα της περίπτωσης 3), δηλαδή της περίπτωσης όπου τα τρία νησιά είναι ίσα. Στην περίπτωση αυτή ουσιαστικά έχουμε να προσδιορίσουμε το σημείο που απέχει εξίσου από τρεις ίσους κύκλους, που μετατρέπεται στην εύρεση του σημείου που απέχει εξίσου από τα κέντρα των τριών κύκλων, δηλαδή το περίκεντρο του τριγώνου του οποίου αυτά είναι κορυφές. ii) Άλλες περιπτώσεις: Ελαφρά πιο σύνθετη είναι η περίπτωση 4), όπου πρέπει να βρούμε το κέντρο του κύκλου που απέχει εξίσου από μια ευθεία και δυο σημεία. Αναφέρεται στο Θεώρημα 1 ότι τα σύνορα ακτής- 10

11 βραχονησίδας είναι τμήμα μιας παραβολής. Έτσι, το τριεθνές σε τούτη την περίπτωση είναι το σημείο τομής δυο παραβολών (Σχήμα 10). Φυσικά το εν λόγω σημείο ανήκει και στη μεσοκάθετη των δυο βραχονησίδων. Στην περίπτωση 5) το τριεθνές είναι το σημείο τομής δυο υπερβολών (Σχήμα 11), αφού από το Θεώρημα 2, τα σημεία που απέχουν εξίσου από ένα νησί και μια βραχονησίδα ανήκουν σε υπερβολή. Βέβαια, εδώ εμφανίζεται ένα πλήθος από σημεία τομής των δυο υπερβολών, όμως εύκολα αυτά αποκλείονται, αφού βρίσκονται τουλάχιστον στον έναν κλάδο της υπερβολή που α- πέχει εξίσου από τη βραχονησίδα και το πλέον απομακρυσμένο σημείο του νησιού (Παρατήρηση 2). Σχήμα 12 Σχήμα 13 Η περίπτωση 7) φαίνεται στο Σχήμα 12, όπου περιοχές ΙΙ και ΙΙΙ περιέχουν τα σημεία που βρίσκονται πλησιέστερα στις δυο ακτές, ενώ τα σημεία της περιοχής Ι είναι εκείνα που βρίσκονται πλησιέστερα στο νησί (Κ,ρ) (κύκλος). Εδώ έχουμε δύο τριεθνή, που είναι τα σημεία, όπου τέμνονται οι παραβολές με εστίες το κέντρο Κ του κύκλου και διευθετούσα μια φανταστική παράλληλη προς τις ακτογραμμές-ευθείες στο εσωτερικό των χωρών, σε απόσταση ίση με την ακτίνα του κύκλου και περνά η διχοτόμος της γωνία που σχηματίζουν οι ακτές, υπό την προϋπόθεση ότι και τα δυο σημεία απέχουν από τα τρία κράτη λιγότερο από 12 ν.μ. Η περίπτωση 6) είναι όμοια με την 7). Η μόνη διαφορά είναι το γεγονός ότι οι παραβολές έχουν ως διευθετούσες τις ακτογραμμές και όχι μια φανταστική παράλληλη προς αυτές στο εσωτερικό των χωρών, σε απόσταση ίση με την ακτίνα του κύκλου. Παρόμοια και εδώ τα τριεθνή είναι δύο, με τη ίδια προϋπόθεση. Τέλος οι περιπτώσεις 8) και 3) με νησιά διαφορετικού μεγέθους και οι περιπτώσεις 9) και 10) εύκολα μπορούν να ενταχθούν στις προηγούμενες 11

12 περιπτώσεις. Έτσι, η περίπτωση 8) και η περίπτωση 3) με νησιά διαφορετικού μεγέθους είναι παρόμοια με την περίπτωση 5), οπότε το τριεθνές θα είναι η τομή δύο υπερβολών, δηλαδή εκείνων των συνόρων που σχηματίζονται από τα δύο ζευγάρια νησί-βραχονησίδα. Προφανώς από το σημείο αυτό θα διέρχεται και το σύνορο των άλλων δύο νησιών. Οι 9) και 10) είναι όμοιες με την 4) σε συνδυασμό με την 7). Δηλαδή, τα τριεθνή είναι τα σημεία τομής δύο παραβολών. Σχήμα 14. Σχήμα 15. iii) Η ειδική περίπτωση του εσωτερικού του κύκλου. Στη συνέχεια θα δούμε και άλλες περιπτώσεις εύρεσης τριεθνούς. Ήδη έχει αναφερθεί ότι, όταν η ακτή μας είναι κόλπος, βρισκόμαστε στο εσωτερικό ενός κύκλου και ο κόλπος είναι ένα τόξο του κύκλου. Οι περιπτώσεις τώρα αυξάνονται ιδιαίτερα. Ενδεικτικά θα αναφέρουμε μερικές. Ειδικότερα: 1) Κόλπος, ακτή, ακτή: Επειδή το κοινό σύνορο των κόλπου-ακτής είναι παραβολή, Θεώρημα 5, το τριεθνές θα είναι η τομή δύο παραβολών και από το σημείο αυτό θα διέρχεται η διχοτόμος των ακτών. Παρόλο που η τομή των παραβολών μας δίνει δύο σημεία, το τριεθνές είναι ένα, Σχήμα 13. 2) Κόλπος, κόλπος, κόλπος: Αφού το κοινό σύνορο των κόλπουκόλπου είναι υπερβολή, Θεώρημα 9, τότε το τριεθνές θα είναι η τομή δύο υπερβολών και από το σημείο αυτό θα διέρχεται η τρίτη υ- περβολή. 3) Κόλπος, ακτή, νησί: Το τριεθνές σε τούτη την περίπτωση είναι το σημείο τομής των παραβολών κόλπος-ακτή (Θεώρημα 6) και νησίακτή (Θεώρημα 1). Από το σημείο αυτό διέρχεται και η έλλειψη κόλπος-νησί, Σχήμα 14. 4) Κόλπος, κόλπος, νησί: Ήδη έχει αναφερθεί ότι το σύνορο κόλποςνησί είναι έλλειψη, οπότε το τριεθνές θα βρίσκεται στην τομή των 12

13 ελλείψεων, απ όπου θα διέρχεται και η υπερβολή του συνόρου κόλπος-κόλπος (Σχήμα 15). Ένα μεγάλο πλήθος περιπτώσεων δεν αναφέρθηκε, π.χ. όλες εκείνες οι περιπτώσεις που έχουν σχέση με βραχονησίδες. Όμως, γενικά, είναι παρόμοιες με τις προηγούμενες και ως εκ τούτου όσες δεν αναφέρονται και πέσουν στην αντίληψη του αναγνώστη, θα αφεθούν ως άσκηση γι αυτόν. 4. Συμπερασματικά: Αναφερθήκαμε στον καθορισμό των συνόρων σε υγρές περιοχές (π.χ. χωρικά ύδατα) και στον προσδιορισμό του τριεθνούς, μέσα από τις κωνικές τομές αλλά και τα προβλήματα του Απολλώνιου. Σήμερα, για τον καθορισμό των συνόρων χρησιμοποιούνται τα διαγράμματα Voronoi καθώς και αλγόριθμοι της Υπολογιστικής Γεωμετρίας [9], όμως αυτό καθόλου δεν ακυρώνει τις κωνικές τομές με την κλασσική τους έννοια. Οι γράφοντες πιστεύουν ότι το παραπάνω θέμα ή τμήμα αυτού μπορούν να το διαπραγματευτούν οι μαθητές της Β Λυκείου σε project είτε του Β εξαμήνου είτε ολόκληρου το σχολικού έτους. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. Βικιπαίδεια, 2. Γενικό Επιτελείο Εθνικής Άμυνας, Οργάνωση, Στοιχεία Οργάνωσης Γενικού Επιτελείου Στρατού, Α Κλάδος, Επεξηγήσεις Όρων, Διεύθυνση Πληροφοριών Ασφάλειας, Διεθνείς συμβάσεις, 3. Χαρίκλεια Τσιόγκα, «ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ: Από τα Συμπτώματα στη Γενική Εξίσωση 2ου Βαθμού Ιστορική Παράθεση και Διδακτικές Προσεγγίσεις», μεταπτυχιακή εργασία, Διαπανεπιστημιακό Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών, Παν/μιων Αθηνών-Κύπρου, Δ. Μπουνάκης, «Ιστορία και μελέτη με Ευκλείδεια μέσα των Κωνικών τομών», μεταπτυχιακή εργασία, Μαθηματικό τμήμα του Πανεπιστημίου Κρήτης, (http://web-server.math.uoc.gr:1080/erevna/diplomatikes/bounakis_mde.pdf) 5. J. L. Coolidge, «History of the conic sections and quadric surfaces», Oxford University Press, Dandelin spheres, 7. Ch. Taylor, An Introduction to the Ancient and Modern Geometry of Conics, Deighton, Bell and co.,

14 8. Αδαμόπουλος, Βισκαδουράκης, Γαβαλάς, Πολύζος, Σβέρκος, «Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης Β Λυκείου», ΟΕΔΒ, Γ. Τζούμας, «Υπολογιστική Γεωμετρία για Καμπύλα Αντικείμενα. Διαγράμματα Voronoi στο Επίπεδο». PhD thesis, National & Kapodistrian Univ. Athens, Μ. Τζούμας, «Οι γνωστές άγνωστες κωνικές τομές», Πρακτικά 26ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας, , Μ. Τζούμας, «Οι κωνικές τομές από την άποψη της στοιχειώδους Ευκλείδειας Γεωμετρίας», Ευκλείδης γ', 75(2011), Απολλώνιος, Κωνικά, Τόµος Α, Β, Γ,, µετάφραση Ε. Σ. Σταµάτη, Έκδοση Τ.Ε.Ε., Αθήνα1975, Δ. Μπουνάκης, «H Ευκλείδεια Γεωμετρία είναι και εδώ : Οι Κωνικές Τομές της Β' Λυκείου», Ευκλείδης γ', 73(2010),

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1)Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας ; Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 2)Να

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδεια Γεωμετρία

Ευκλείδεια Γεωμετρία Ευκλείδεια Γεωμετρία Γεωμετρία Γεω + μετρία Γη + μετρώ Οι πρώτες γραπτές μαρτυρίες γεωμετρικών γνώσεων ανάγονται στην τρίτη με δεύτερη χιλιετία π.χ. και προέρχονται από τους λαούς της αρχαίας Αιγύπτου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες.

Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες. Μαθηματικά A Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες. 1. Τι λέμε σημείο; Η άκρη του μολυβιού μας, οι κορυφές ενός σχήματος, η μύτη μιας βελόνας, μας δίνουν την έννοια του σημείου. 2. Τι λέμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

Οι γνωστές άγνωστες κωνικές τοµές

Οι γνωστές άγνωστες κωνικές τοµές Οι γνωστές άγνωστες κωνικές τοµές Μιχαήλ Τζούµας Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικών Ιωσήφ Ρωγών και Βεΐκου 302 00 Μεσολόγγι mtzoumas@sch.gr Περίληψη Οι κωνικές τοµές (κ.τ.) και ειδικότερα η Παραβολή, η Έλλειψη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός)

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) Τρίγωνα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) www.peira.gr asepfreedom@yahoo.gr 1 3.1 Στοιχεία και είδη τριγώνων 2 Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει τρεις κορυφές Α, Β, Γ, τρεις πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ και τρεις γωνίες Β ΑΓ,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής 9 3 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ Ορισμός Παραβολής Έστω μια ευθεία δ και ένα σημείο Ε εκτός της δ Ονομάζεται παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου τα οποία

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Γεωμετρικές κατασκευές Στα αιτήματα του Ευκλείδη περιλαμβάνονται μόνο τρία που αναφέρονται στη δυνατότητα κατασκευής ενός σχήματος. Ηιτήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία 2014 2015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ιδακτέα εξεταστέα ύλη σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Πηγή έμπνευσης για την κατασκευή προβλημάτων της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.

Κωνικές τομές. Πηγή έμπνευσης για την κατασκευή προβλημάτων της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Κωνικές τομές. Πηγή έμπνευσης για την κατασκευή προβλημάτων της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Σπύρος Παναγιωτόπουλος Καθηγητής Μαθηματικών ΓΕΛ Σπερχειάδας 351 00 Λαμία spegepana@gmail.com Μιχαήλ Τζούμας Σχ.

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1)Δύο ισόπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων www.askisopolis.gr η έκδοση - - 0 Μεταβολές από την προηγούμενη έκδοση Αφαιρέθηκαν οι ασκήσεις _90, _900 και _907 Αλλαγές: Στην άσκηση _909 άλλαξε το β ερώτημα, στην

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις σωστού-λάθους

Ερωτήσεις σωστού-λάθους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Α ΜΕΡΟΣ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΚΕΦ ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Φυλλάδιο ο Κεφ..: Η Έννοια του Μιγαδικού Αριθμού Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο C των Mιγαδικών Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης

«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Τομέας Παιδαγωγικής Ιστορίας, και Φιλοσοφίας των Μαθηματικών «Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης 01-0-016 ΘΕΜΑ 1α [] Σε τυχαίο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α=90 Ο ) η διχοτόμος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Τι ονοµάζουµε γωνία σε ένα επίπεδο; Tι ονοµάζουµε κορυφή µιας γωνίας και τι πλευρά µιας γωνίας; Πότε δύο σχήµατα λέγονται ίσα; Τι ονοµάζουµε απόσταση δύο σηµείων; Τι ονοµάζουµε µέσο ενός ευθυγράµµου τµήµατος;

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

Παράλληλες Ευθείες. Αθανασίου Δημήτριος (Μαθηματικός)

Παράλληλες Ευθείες. Αθανασίου Δημήτριος (Μαθηματικός) Παράλληλες Ευθείες Αθανασίου Δημήτριος (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 4.1 Εισαγωγή 2 ΟΡΙΣΜΟΣ Δυο ευθείες ε 1 και ε 2 που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κοινό σημείο λέγονται παράλληλες

Διαβάστε περισσότερα

Ανακτήθηκε από την ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 16691

Ανακτήθηκε από την ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ  ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 16691 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 16691 1.. 2.. 1.,. ( ) ( ) (2 ).. ( ) (5 ),,. ; ; 2.,,. 3.,.,,. (,,,, ). : ), ) ),, ),...1 16692 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 4. 5.. 6. (,, ). 1.,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.6 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ 11.8 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Εμβαδόν κυκλικού δίσκου) Θεωρούμε

Διαβάστε περισσότερα

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8.

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8. ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ 1) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής αν έχει: i) Εστιακή απόσταση γ=0 και άξονα β=16, 5 ii) Άξονα α=16 και εκκεντρότητα ε=. 4 ) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής,

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Παραβολής

Μεθοδολογία Παραβολής Μεθοδολογία Παραβολής Παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια σταθερή ευθεία, την επονομαζόμενη διευθετούσα (δ), και από ένα σταθερό σημείο Ε που λέγεται εστία της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Γεωμετρία Αˊ Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Κεφάλαιο 3 ο :Τρίγωνα 1. Τι λέγονται κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Για ευκολία οι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ 8. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής με κορυφή το (0, 0) στις παρακάτω περιπτώσεις: α) είναι συμμετρική ως προς το θετικό ημιάξονα Οx και έχει παράμετρο p = 5 β)

Διαβάστε περισσότερα

Ημερομηνία: Τρίτη 17 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Ημερομηνία: Τρίτη 17 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Ημερομηνία: Τρίτη 17 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα κάθε πρότασης και δίπλα σε κάθε γράμμα

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (29)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (29) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (29) -2- Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα

Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. + και. ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 67ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ "Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ" ΣΑΒΒΑΤΟ, 20 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2007

Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. + και. ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 67ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 20 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2007 GR. 06 79 - Athens - HELLAS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ "Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ" Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Να προσδιορίσετε τους φυσικούς αριθμούς ν που είναι τέτοιοι ώστε ο αριθμός 42 2 ν + να είναι ακέραιος. 2. Θεωρούμε οξεία γωνία ΑΟΒ και

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

4. Πολύγωνα Πολύγωνο ονομάζεται κάθε κλειστά γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα

4. Πολύγωνα Πολύγωνο ονομάζεται κάθε κλειστά γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα 4. Πολύγωνα Πολύγωνο ονομάζεται κάθε κλειστά γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα Όταν όλες οι πλευρές και οι εσωτερικές γωνίες του πολύγωνου είναι ίσες, τότε λέγεται κανονικό

Διαβάστε περισσότερα

II ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ. Κεφ.3ο: Τρίγωνα 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων

II ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ. Κεφ.3ο: Τρίγωνα 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΛΗΣ (version 22-10-2016) Τα παρακάτω προέρχονται (με δικές μου αλλαγές μορφοποίησης προσθήκες και σχολιασμό) από το έγγραφο (σελ.15 και μετά) με Αριθμό Πρωτοκόλλου 150652/Δ2, που

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R Κεφάλαιο 4ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Α. ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση ( x x ) + ( y y ) = k, k R είναι πάντοτε εξίσωση κύκλου. o o. * Η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ SOS ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Θέμα ο Να γράψετε και να αποδείξετε την σχέση της διανυσματικής ακτίνας του μέσου ενός τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 3 διδακτικές ώρες ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ : Μία ώρα στον ορισμό τη επίκεντρης

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Διδακτέα-εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος: 016-017 Μαθηματικός Περιηγητής:

Διαβάστε περισσότερα

«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης

«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Τομέας Παιδαγωγικής Ιστορίας, και Φιλοσοφίας των Μαθηματικών «Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης 0-0-06 ΘΕΜΑ α [] Σε τυχαίο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α=90 Ο ) η διχοτόμος

Διαβάστε περισσότερα

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: Μαρούσι Ιστοσελίδα: Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο:

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: Μαρούσι Ιστοσελίδα:  Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=ΒΓ. Φέρνουμε το ΑΕ ΒΓ και έστω Ζ,Η τα μέσα των ΔΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Ν.δ.ο. α) το ΖΓΒΗ είναι ρόμβος ( 9 μον.) β) ΗΖ=ΗΕ ( 8 μον.) γ)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 67 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 9 ΕΚΕΜΒΡΙΟΥ Β τάξη Λυκείου

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 67 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 9 ΕΚΕΜΒΡΙΟΥ Β τάξη Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 10 6165-10617784 - Fax: 10 64105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 )

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες µη κυρτή ευθεία ( ) πλήρης (4 ) κυρτή, οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) συµπληρωµατικές παραπληρωµατικές φ ω ω

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και το 3.2 Ασκήσεις: 1-8 Θεωρία ως και το 3.4 Ασκήσεις: 9-13 Θεωρία ως και το 3.7 Ασκήσεις: 14-29

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ.1.1. Σημείο - Ευθύγραμμο τμήμα - Ευθεία - Ημιευθεία - Επίπεδο - Ημιεπίπεδο. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / 1. Σχεδιάστε το ευθύγραμμο τμήμα Α και το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ A B Γ Δ 2.

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο. ΘΕΜΑ 2 Ο : Δίνεται ΑΒΓ ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) τρίγωνο.αν ΒΔ και ΓΕ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο. ΘΕΜΑ 2 Ο : Δίνεται ΑΒΓ ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) τρίγωνο.αν ΒΔ και ΓΕ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και ΔΙΩΝΙΣΜ 1 Ο ΘΕΜ 1 Ο : ) Να αποδείξετε ότι : Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα τα των δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίση με το μισό της.(13 μονάδες) ) Να χαρακτηρίσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο - ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 2 Ο

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο - ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 2 Ο ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο - ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 2 Ο Άσκηση 1 (2_18984) Θεωρούμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ. (α) Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι όμοια και να δικαιολογήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Πρόκειται να δώσουμε τον ορισμό των κωνικών τομών και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ: Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ ΣΚΙΩΝ.

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ: Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ ΣΚΙΩΝ. ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ: Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ ΣΚΙΩΝ. Πρακτικές και καινοτοµίες στην εκπαίδευση και στην έρευνα. ηµήτρης Θεοδωράκης 1 ο ΓΕΛ Μεσολογγίου dtheodorakis@sch.gr Σπύρος Στίγκας 4 ο ΓΕΛ Αγρινίου sstigkas@sch.gr

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. Τα σηµεία Β και Γ είναι σηµεία του επιπέδου p, η ΒΓ είναι ευθεία του p. Η ΒΓ τέµνει την ΑΜ στον

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. Τα σηµεία Β και Γ είναι σηµεία του επιπέδου p, η ΒΓ είναι ευθεία του p. Η ΒΓ τέµνει την ΑΜ στον Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. Τα σηµεία και είναι σηµεία του επιπέδου, η είναι ευθεία του. Η τέµνει την Μ στον Μ Ν Ν. Το Ν σαν σηµείο της ανήκει στο, άρα και το Μ σαν σηµείο της Ν ανήκει στο. B. Έστω ε µια ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

Σύνθετα θέματα (version )

Σύνθετα θέματα (version ) .-. Σύνθετα θέματα (version --06) Σ. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, η διχοτόμος του ΒΔ και η εξωτερική διχοτόμος του Βx. Θεωρούμε δύο σημεία Ε και Κ της πλευράς ΑΒ. Αν ο κύκλος (Ε,ΕΒ) τέμνει τη ΒΔ στο Ζ, ενώ ο κύκλος

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα