ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ & ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ Διαπανεπιστημιακό Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ MΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ KAI ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ & ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ Διαπανεπιστημιακό Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΖΙΩΤΗ ΣΤΥΛΙΑΝΗ Επιβλέπων καθηγητής: Φιλίππου Γεώργιος Ιούνιος 2008

2 2

3 3 Ευχαριστίες Η παρούσα διπλωματική εργασία γράφτηκε στα πλαίσια της ολοκλήρωσης των σπουδών μου στο Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών, με τίτλο «Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών». Θα ήθελα να απευθύνω θερμές ευχαριστίες στον επιβλέποντα καθηγητή μου κ. Γεώργιο Φιλίππου για την πολύτιμη βοήθειά του, κατά τη διάρκεια της εκπόνησης της παρούσας εργασίας. Ευχαριστώ επίσης και τους κ. Θεοδόσιο Ζαχαριάδη και Νικόλαο Κλαουδάτο για τις συμβουλές τους ως μέλη της τριμελούς επιτροπής μου. Επίσης ευχαριστώ ολόψυχα την διευθύντρια του σχολείου στο οποίο χρειάστηκε να χορηγήσω τα τεστ και να εφαρμόσω τη διδακτική παρέμβαση που σχεδίασα, καθώς και την συνάδελφο μαθηματικό, διδάσκουσα των τμημάτων στα οποία δίδαξα κατά τη διάρκεια της παρέμβασης. Την εργασία αυτή την αφιερώνω στον αγαπημένο μου σύζυγο και στην μητέρα μου, που μου συμπαραστάθηκαν με κάθε δυνατό τρόπο κατά την διάρκεια των σπουδών μου στο μεταπτυχιακό πρόγραμμα.

4 4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ.. 6 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ 7 ΠΕΡΙΛΗΨΗ... 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ I: ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Εισαγωγή Σκοπός και ερευνητικά ερωτήματα Αναγκαιότητα Σημαντικότητα της έρευνας ΚΕΦΑΛΑΙΟ II: ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΤΗΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑΣ Περίληψη Η έννοια της συνάρτησης και οι δυσκολίες που συναντούν οι μαθητές 19 Η θεωρία των προτύπων και η έννοια της συνάρτησης Η επίλυση και κατασκευή μαθηματικού προβλήματος και η έννοια της συνάρτησης... Η Μάθηση μέσω της ΕΜΠ 30 Ομαδοσυνεργατική διδασκαλία. 32 Εννοιολογικοί ορισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ III: ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 36 Α ΜΕΡΟΣ: ΠΑΡΑΝΟΗΣΕΙΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 36 Μέσα συλλογής δεδομένων Διαδικασία εκτέλεσης της έρευνας 38 Βαθμολόγηση γραπτών δοκιμίων.. 39 Β ΜΕΡΟΣ: Η ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΑΣΗ ΚΑΙ Η ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΗΣ.. 41 Διαδικασία πειραματικής εφαρμογής της διδακτικής παρέμβασης.. 42 Η 1 η φάση της διδακτικής παρέμβασης Η 2 η φάση της διδακτικής παρέμβασης Η 3 η φάση της διδακτικής παρέμβασης... 44

5 5 Η 4 η φάση της διδακτικής παρέμβασης Συλλογή δεδομένων Αξιολόγηση της διδακτικής παρέμβασης Στατιστικές τεχνικές.. 49 ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV: ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 52 Περίληψη Α ΜΕΡΟΣ: ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΝΟΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ.. 52 Ανάλυση ποιοτικών δεδομένων Παρατηρήσεις επί των συνεντεύξεων 63 Β ΜΕΡΟΣ: Η ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΗΣ ΤΗΣ ΠΑΡΕΜΒΑΣΗΣ.. 67 Η Αξιολόγηση της Διδακτικής Παρέμβασης. 67 Αποτελέσματα της τελικής αξιολόγησης.. 75 ΚΕΦΑΛΑΙΟ V: ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΣΥΖΗΤΗΣΗ 83 Περίληψη Οι παρανοήσεις των μαθητών σχετικά με την έννοια της συνάρτησης 83 Η διδακτική παρέμβαση και η επίδρασή της. 85 Συζήτηση Εισηγήσεις για περαιτέρω έρευνες 89 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Το διαγνωστικό τεστ 93 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β. Η Διδακτική Παρέμβαση. 98 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ. Φύλλα Εργασίας και Διαγωνίσματα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Δ. Γεωμετρικά σχήματα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ε. Χάρτες ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΣΤ. Προβλήματα για προαιρετικές επεκτάσεις ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΑΝΑΦΟΡΕΣ.. 147

6 6 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Πίνακας 1 Συντελεστές συσχέτισης γνώσης ορισμού συνάρτησης με συνιστώσες ικανότητας αναπαράστασης (διαγνωστικό τεστ) Πίνακας 2 Η μεταβολή της ικανότητας αναπαράστασης, ΕΜΠ και ΚΜΠ ανάλογα με τη γνώση του ορισμού της συνάρτησης (διαγνωστικό τεστ).. 57 Πίνακας 3 Συγκρίσεις της ικανότητας ΕΜΠ, ΚΜΠ, αναπαράστασης, μετάβασης από μία αναπαράσταση σε μία άλλη και μαθηματικής επίδοσης (διαγνωστικό τεστ) 59 Πίνακας 4 Λανθασμένες απαντήσεις στις ερωτήσεις του διαγνωστικού τεστ Πίνακας 5 Συντελεστές συσχέτισης γνώσης ορισμού συνάρτησης με συνιστώσες ικανότητας αναπαράστασης στο τελικό τεστ 76 Πίνακας 6 Η μεταβολή της ικανότητας αναπαράστασης, ΕΜΠ και ΚΜΠ ανάλογα με τη γνώση του ορισμού της συνάρτησης (τελικό τεστ).. 77 Πίνακας 7 Συγκρίσεις της ικανότητας ΕΜΠ, ΚΜΠ, αναπαράστασης, μετάβασης από μία αναπαράσταση σε μία άλλη και μαθηματικής επίδοσης (τελικό τεστ).. 78 Πίνακας 8 Συγκρίσεις της γνώσης του ορισμού, της γραμμικής ως πρότυπο, της ικανότητας αναπαράστασης, της ΕΜΠ και ΚΜΠ μεταξύ διαγνωστικού και τελικού τεστ. 79

7 7 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ Διάγραμμα 1 Μη συνεχόμενη γραμμή που είναι συνάρτηση (έργο 3 i) 54 Διάγραμμα 2 Παραβολή με άξονα συμμετρίας τον χ χ (έργο 3 ii) Διάγραμμα 3 Μη συνεχόμενη γραμμή που δεν είναι συνάρτηση (έργο 3 iii) 54 Διάγραμμα 4 Πίνακας τιμών συνάρτησης (έργο 3 iv ).. 54 Διάγραμμα 5 Πίνακας τιμών όπου δύο χ αντιστοιχούν στο ίδιο ψ (έργο 3 v) 54 Διάγραμμα 6 Πίνακας τιμών όπου το ίδιο χ αντιστοιχεί σε δύο διαφορετικά ψ (έργο 3 vi) Διάγραμμα 7 Διασκορπισμένα σημεία που αντιστοιχούν σε συνάρτηση (έργο 3 vii) 55 Διάγραμμα 8 Διασκορπισμένα σημεία που δεν αντιστοιχούν σε συνάρτηση (έργο 3 viii) Διάγραμμα 9 Μετάβαση από τύπο σε πίνακα τιμών (έργο 4) 55 Διάγραμμα 10 Μετάβαση από γραφική παράσταση σε τύπο (έργο 5) 55 Διάγραμμα 11 Μετάβαση από πίνακα τιμών σε τύπο (έργο 6 i).. 55 Διάγραμμα 12 Επίδοση των μαθητριών στο τεστ της 2 ης φάσης της διδακτικής παρέμβασης 68 Διάγραμμα 13 Επίδοση των μαθητριών στο ανακεφαλαιωτικό διαγώνισμα 68 Διάγραμμα 14 Συμβάντα κατά τη διάρκεια της παρέμβασης.. 69

8 8 Διάγραμμα 15 Επίπεδο γνώσης του ορισμού της συνάρτησης στα δύο τεστ.. 80 Διάγραμμα 16 Η γραμμική συνάρτηση ως πρότυπο στα δύο τεστ.. 81 Διάγραμμα 17 Η ικανότητα μετάβασης από τον πίνακα στον τύπο της συνάρτησης στα δύο τεστ. 81 Διάγραμμα 18 Η ικανότητα ΚΜΠ στα δύο τεστ.. 81

9 9 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Έχει προκύψει από έρευνες ότι μαθητές που παρακολούθησαν ένα παραδοσιακό Αναλυτικό Πρόγραμμα (Α.Π.) ανέπτυξαν μία πολύ περιορισμένη κατανόηση των συναρτήσεων και είχαν δυσκολίες και σημαντικές παρανοήσεις στην έννοια της συνάρτησης. Διαπιστώθηκε επίσης, ότι τα κριτήρια στα οποία βασίζονται οι μαθητές, για να διακρίνουν αν μία σχέση είναι συνάρτηση ή όχι, εξαρτώνται περισσότερο από τυπικά παραδείγματα που λειτουργούν ως πρότυπα (prototypes) και από συσχετίσεις όπως η συσχέτιση συνάρτηση-τύπος ή συνάρτηση-καμπύλη. Αυτό αποτελεί την αιτία πολλών παρανοήσεων. Είναι αξιοσημείωτο ότι πολλοί ερευνητές θεωρούν ως βασικό στόχο της εκπαίδευσης την ανάπτυξη της ευφυΐας του μαθητή, ένα στόχο που προωθείται μέσω της επίλυσης μαθηματικού προβλήματος (ΕΜΠ). Επιπλέον, το ουσιαστικό χαρακτηριστικό στην κατασκευή της μαθηματικής γνώσης είναι η δημιουργία σχέσεων, πράγμα που αποτελεί αφετηρία για την ΕΜΠ. Έτσι, αφού οι συναρτήσεις είναι τα μαθηματικά εργαλεία που χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν σχέσεις μεταξύ μεταβλητών, τότε οι συναρτήσεις είναι ο πυρήνας της ΕΜΠ. Με βάση τις πιο πάνω παραδοχές διαμορφώθηκαν οι σκοποί της παρούσας μελέτης που ήταν: Πρώτον, να εντοπίσει και να καταγράψει τις παρανοήσεις που έχουν οι μαθητές της Γ Γυμνασίου στην Ελλάδα στην έννοια της συνάρτησης και δεύτερον, να αναπτύξει και να εφαρμόσει πειραματικά μια διδακτική παρέμβαση με βάση την ΕΜΠ, η οποία να συντελεί στην βελτίωση του επιπέδου κατανόησης της έννοιας αυτής. Στο πρώτο μέρος της έρευνας έγινε η διερεύνηση των παρανοήσεων μέσω ενός διαγνωστικού τεστ, που δόθηκε απροειδοποίητα σε 48 μαθήτριες της Γ Γυμνασίου ιδιωτικού σχολείου των Βορείων Προαστίων της Αττικής στην αρχή της σχολικής χρονιάς. Στο δεύτερο μέρος, με βάση τα ευρήματα του διαγνωστικού τεστ, σχεδιάστηκε και δοκιμάστηκε πειραματικά μία διδακτική παρέμβαση σε 49 μαθήτριες της Β Γυμνασίου του ίδιου σχολείου, βασισμένη στη διδασκαλία μέσω της ΕΜΠ. Η παρέμβαση κράτησε 15 διδακτικές περιόδους και εστιάστηκε στην έννοια της συνάρτησης και σε ειδικές περιπτώσεις συναρτήσεων ψ=αχ, ψ=αχ+β και ψ=α/χ. Το επόμενο σχολικό έτος χορηγήθηκε στις μαθήτριες που παρακολούθησαν την διδακτική παρέμβαση το ίδιο τεστ με το διαγνωστικό, ώστε να ελεγχθεί η

10 10 επίδραση της παρέμβασης στην κατανόηση της έννοιας της συνάρτησης. Από το διαγνωστικό τεστ, διαπιστώθηκε ότι οι μαθήτριες της Γ Γυμνασίου δεν γνωρίζουν τον ορισμό της συνάρτησης και ότι η γραμμική συνάρτηση λειτουργεί για αυτές ως πρότυπο. Προκειμένου να αναγνωρίσουν αν μία γραφική παράσταση ή ένας πίνακας τιμών είναι ή όχι συνάρτηση δεν καταφεύγουν στον ορισμό, αλλά αναφέρονται σε ιδιότητες της γραμμικής συνάρτησης και σε συσχετίσεις του τύπου συνάρτηση-τύπος. Τέλος, η ικανότητά τους στην επίλυση και κατασκευή μαθηματικού προβλήματος βρίσκεται σε ιδιαίτερα χαμηλό επίπεδο, ακόμα και των μαθητριών με υψηλή επίδοση στα μαθηματικά. Κατά τη διάρκεια της διδακτικής παρέμβασης ήταν φανερό ότι οι μαθήτριες χρησιμοποιούσαν τη γραμμική συνάρτηση ως πρότυπο. Ταυτόχρονα προέκυψε ότι κατά την επίλυση προβλημάτων οι συμμετέχουσες έδιναν περισσότερη προσοχή στην εφαρμογή αλγορίθμων και διαδικασιών και λιγότερο στην εννοιολογική κατανόηση. Επιπλέον, στα πρωτότυπα προβλήματα οι μαθήτριες επιστράτευαν στρατηγικές επίλυσης μαθηματικού προβλήματος, όπως η πινακοποίηση των δεδομένων, η αναφορά σε ένα παλαιότερο παρόμοιο πρόβλημα και η διατύπωση και ο έλεγχος εικασιών. Τέλος, από το τελικό τεστ διαπιστώθηκε ότι οι μαθήτριες που διδάχθηκαν την πειραματική παρέμβαση είχαν καλύτερη επίδοση σε όλα τα έργα, αλλά η διαφορά δεν ήταν στατιστικά σημαντική, παρά μόνο στην ικανότητα ΕΜΠ. Παρατηρήθηκε επίσης, βελτίωση στην ικανότητα ΚΜΠ. Η επίδοση των μαθητριών στην μετάβαση από τον τύπο στον πίνακα τιμών ήταν σημαντικά υψηλότερη στο διαγνωστικό τεστ, κάτι που πιθανόν αποτελεί ένδειξη ότι στις μαθήτριες που συμμετείχαν σε αυτό η διαδικαστική γνώση υπερείχε της εννοιολογικής. Η διδακτική παρέμβαση έδωσε στις μαθήτριες την δυνατότητα να εμπλακούν ενεργητικά σε δραστηριότητες μάθησης και όχι να είναι απλοί δέκτες πληροφοριών. Ωστόσο, η επίδραση της διδακτικής παρέμβασης δεν φάνηκε να είναι σημαντική. Εικάζεται ότι δύο ήταν οι βασικές αιτίες: πρώτον, ότι οι μαθήτριες αντιμετώπισαν την παρέμβαση σαν ένα ευχάριστο διάλειμμα από τα μαθήματά τους, αφού ήταν δεδομένο πως δεν επρόκειτο να αξιολογηθούν και δεύτερον, ότι η εξοικείωση με έναν τέτοιο τρόπο διδασκαλίας επέρχεται όταν εφαρμόζεται συστηματικά και όχι αποσπασματικά.

11 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Η έννοια της συνάρτησης είναι θεμελιώδης έννοια του αναλυτικού προγράμματος των σχολικών μαθηματικών. Η κατανόησή της σε βάθος είναι αναγκαία προϋπόθεση για να μπορούν οι μαθητές να ανταποκριθούν με επιτυχία στις απαιτήσεις της Άλγεβρας, της Ανάλυσης και του Απειροστικού Λογισμού υψηλότερου επιπέδου, χρησιμοποιώντας τις ήδη υπάρχουσες γνώσεις τους. Παράλληλα, έρευνες έχουν δείξει ότι η ικανότητα επίλυσης μαθηματικού προβλήματος (ΕΜΠ) συσχετίζεται θετικά με την κατανόηση των εννοιών. Η παρούσα μελέτη εξέτασε τις παρανοήσεις που έχουν οι μαθητές της Γ Γυμνασίου της Ελλάδας σχετικά με την έννοια της συνάρτησης, συσχέτισε τις παρανοήσεις που εντοπίστηκαν με την ΕΜΠ και την ΚΜΠ και πρότεινε μέθοδο διδασκαλίας για την αποφυγή των παρανοήσεων αυτών. Εισαγωγή Ο Eisenberg (αναφορά στον Hitt, 1998) δηλώνει ότι η ιδέα να βοηθήσουμε τους μαθητές να αναπτύξουν την έννοια της συνάρτησης πρέπει να είναι ένας από τους κύριους στόχους του Αναλυτικού Προγράμματος (Α.Π.). Η επιτυχία του στόχου αυτού δεν είναι εύκολη, δεδομένης της ποικιλίας των αναπαραστάσεων που σχετίζονται με την έννοια αυτή. Ένα πρώτο βήμα για την επίτευξη του στόχου αυτού θα μπορούσε να είναι η πραγματοποίηση έρευνας με στόχο τη διερεύνηση των παρανοήσεων και δυσκολιών αυτών, μέσω της εμπλοκής των μαθητών σε προβληματικές καταστάσεις, που η επίλυσή τους στηρίζεται ή εμπλέκει την έννοια της συνάρτησης. Με βάση τα αποτελέσματα μίας τέτοιας έρευνας θα μπορούσαμε να οδηγηθούμε στην ανάπτυξη διδακτικών παρεμβάσεων που θα βοηθήσουν τους μαθητές να ξεπεράσουν τις δυσκολίες αυτές. Σ αυτήν την προσπάθεια εντάσσεται και η παρούσα έρευνα που επιδιώκει να εντοπίσει τα γνωστικά εμπόδια που συναντούν οι μαθητές όταν διαπραγματεύονται την έννοια της συνάρτησης, πώς αυτά τα εμπόδια επηρεάζουν την ικανότητά τους να επιλύουν αλλά και να κατασκευάζουν μαθηματικά προβλήματα και αν η διδασκαλία μέσω της ΕΜΠ βοηθάει στην

12 12 υπέρβαση των εμποδίων αυτών. Τα μαθηματικά προβλήματα που δόθηκαν στους μαθητές κατά τη διάρκεια της παρέμβασης, ήταν είτε προβλήματα που βρίσκονταν στα σχολικά βιβλία (προβλήματα ρουτίνας), είτε προβλήματα τα οποία οι μαθητές δεν έχουν αντιμετωπίσει πιο πριν (πρωτότυπα προβλήματα). Η έννοια της συνάρτησης είναι ουσιαστική για την άλγεβρα και συγκαταλέγεται ανάμεσα στις πιο σημαντικές έννοιες των μαθηματικών (O Callaghan, 1998). Οι συναρτήσεις εμφανίζονται με ποικίλες αναπαραστάσεις όπως είναι οι ισότητες, οι πίνακες τιμών και οι γραφικές παραστάσεις (Fey, 1984). Έρευνες με συμμετέχοντες μαθητές που παρακολούθησαν ένα παραδοσιακό Α.Π. έδειξαν ότι οι μαθητές ανέπτυξαν μία πολύ περιορισμένη κατανόηση των συναρτήσεων (Dreyfus & Eisenberg, 1983). Σύμφωνα με τους Artigue & Didirem (1997) τα κριτήρια που εφαρμόζουν οι μαθητές ώστε να αποφανθούν αν μία σχέση είναι συνάρτηση ή όχι εξαρτώνται περισσότερο από τυπικά παραδείγματα που λειτουργούν ως πρότυπα (prototypes) και από συσχετίσεις όπως η συσχέτιση συνάρτηση-τύπος ή συνάρτηση-καμπύλη. Έτσι, το ίδιο αντικείμενο μπορεί να θεωρηθεί συνάρτηση ή όχι, ανάλογα με την αναπαράστασή του. Έχει γίνει σημαντική συζήτηση σχετικά με τη διάκριση ανάμεσα στην έννοια, έτσι όπως ορίζεται από τον τυπικό ορισμό και στην εικόνα της έννοιας, έτσι όπως αναπαρίσταται στο νου του ατόμου ως αποτέλεσμα των διαδικασιών μάθησης (Vinner, 1983). Η Thompson (1985) ισχυρίζεται ότι στόχος της εκπαίδευσης είναι να αναπτύξει την ευφυΐα μέσω της ΕΜΠ και ότι το ουσιαστικό χαρακτηριστικό στην κατασκευή της μαθηματικής γνώσης είναι η δημιουργία σχέσεων. Το χαρακτηριστικό αυτό είναι το σημείο αφετηρίας για την ΕΜΠ. Επεκτείνοντας τον ισχυρισμό αυτό ο O Callaghan (1998) συμπεραίνει ότι αφού οι συναρτήσεις είναι τα μαθηματικά εργαλεία που χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν σχέσεις μεταξύ μεταβλητών, τότε οι συναρτήσεις είναι ο πυρήνας της ΕΜΠ. Οι Blake, Hurley & Arenz (1995) ισχυρίζονται ότι η σκέψη που αναπτύσσουν τα παιδιά όταν έρχονται αντιμέτωπα με ένα πρόβλημα καθώς και η εύρεση της λύσης του προβλήματος είναι πολύ σημαντικότερη από τα παραδοσιακά μαθηματικά, όπου οι μαθητές μαθαίνουν να υπολογίζουν και να απομνημονεύουν ανούσια πράγματα. Οι Grabinger & Dunlap (2002) διαπίστωσαν ότι οι μαθητές μέσω της

13 13 παραδοσιακής μεθόδου διδασκαλίας δεν έχουν καταφέρει να αποκτήσουν την ικανότητα να ρυθμίζουν ή να τροποποιούν τη γνωστική τους δραστηριότητα. Οι μαθητές δεν μπορούν να οικοδομήσουν ή να αναπτύξουν τη μάθησή τους χωρίς να γενικεύσουν κάτι μέσω της ενεργού εμπλοκής τους. Η λύση του προβλήματος, καταλήγουν οι Grabinger & Dunlap (2002), δημιουργεί τις προϋποθέσεις για ενεργή εμπλοκή. Όμως, σύμφωνα με τον Polya (1957), ο λύτης δεν αρκεί να βρει την λύση του προβλήματος, αλλά έχοντας μπροστά του τη λύση, είναι ωφέλιμο να διερευνήσει τη μέθοδο που τον οδήγησε σε αυτή, να δει τη σκοπιμότητά της και να προσπαθήσει να τη χρησιμοποιήσει για άλλα προβλήματα. Αν, λοιπόν, λάβουμε υπόψη και τον ορισμό της ΚΜΠ του Silver (1994), ο οποίος αναφέρει ότι η ΚΜΠ περιλαμβάνει την υποβολή νέων προβλημάτων και ερωτήσεων με στόχο την διερεύνηση μιας δοσμένης κατάστασης, όπως και την αναδιατύπωση ενός προβλήματος κατά τη διάρκεια επίλυσής του, συμπεραίνουμε ότι η ικανότητα ΕΜΠ σχετίζεται με την ικανότητα ΚΜΠ. Η ΚΜΠ είναι μία σημαντική συνιστώσα του αναλυτικού προγράμματος των μαθηματικών και πρέπει να είναι η καρδιά της μαθηματικής δραστηριότητας, όμως, παρά τη συμβολή της στην ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης, δεν της έχει δοθεί η πρέπουσα προσοχή από τη μαθηματική κοινότητα (English,1997a). Τέλος, η ΚΜΠ είναι ένα βήμα παραπάνω σε σχέση με την κατανόηση μιας έννοιας, αφού, σύμφωνα με την English (1997b), συμβάλει στην ανακάλυψη πολλών στοιχείων σχετικών με την κατανόηση και τις δεξιότητες του ατόμου που κατασκευάζει-υποβάλει το πρόβλημα. Σκοπός και ερευνητικά ερωτήματα Στην Ελλάδα, η έννοια της συνάρτησης εισάγεται στην Β Γυμνασίου μέσω προβλημάτων αναλόγων ποσών. Στην ίδια τάξη γίνεται και η διαπραγμάτευση της γραμμικής συνάρτησης και της συνάρτησης αντιστρόφως αναλόγων ποσών. Είναι χαρακτηριστικό ότι η γραμμική συνάρτηση ψ=αχ+β δεν αντιμετωπίζεται ως μία συνάρτηση που παίρνει διαφορετικές μορφές, ανάλογα με τις τιμές των α και β, αλλά αρχικά γίνεται η μελέτη της συνάρτησης ψ=αχ των αναλόγων ποσών και στη συνέχεια, σε ξεχωριστή ενότητα, γίνεται η μελέτη της συνάρτησης ψ=αχ+β. Η μελέτη αυτών των συναρτήσεων περιορίζεται στην κατασκευή του πίνακα τιμών και της

14 14 γραφικής παράστασης της κάθε συνάρτησης. Η συνάρτηση δευτέρου βαθμού εισάγεται στην επόμενη τάξη, ενώ αναλυτική μελέτη των συναρτήσεων γίνεται στην Α Λυκείου. Ο πρώτος σκοπός της έρευνας ήταν να εντοπίσει και αναλύσει τις δυσκολίες που συναντούν μαθήτριες της Γ Γυμνασίου ιδιωτικού σχολείου των Βορείων Προαστίων της Αττικής στην έννοια της συνάρτησης και να συσχετίσει τις δυσκολίες αυτές με την ικανότητά τους να επιλύουν και να κατασκευάζουν μαθηματικά προβλήματα σχετικά με την έννοια αυτή. Ο απώτερος σκοπός της έρευνας ήταν να αναπτύξει και εφαρμόσει σε μαθήτριες της Β Γυμνασίου του ίδιου ιδιωτικού σχολείου μία διδακτική παρέμβαση με βάση την ΕΜΠ. Κριτήριο επιτυχίας της παρέμβασης θεωρήθηκε η βελτιωμένη επίδοση των υποκειμένων στο ίδιο δοκίμιο, όταν στις αρχές της επόμενης σχολικής χρονιάς θα ήταν μαθήτριες της Γ Γυμνασίου. Δηλαδή ο βαθμός στον οποίο θα αποφεύγονταν οι παρανοήσεις και τα σφάλματα που διαπιστώθηκαν αρχικά. Ειδικότερα, τα ερευνητικά ερωτήματα της έρευνας ήταν τα εξής: 1. Σε ποιο βαθμό οι μαθητές της Γ τάξης του Γυμνασίου γνωρίζουν τον ορισμό της έννοιας της συνάρτησης; 2. Πώς συσχετίζεται η γνώση του ορισμού της συνάρτησης με την ικανότητα αναπαράστασης μίας συνάρτησης; 3. Υπάρχει σχέση ανάμεσα στο επίπεδο γνώσης του ορισμού της συνάρτησης και στην ικανότητά αναπαράστασης, ΕΜΠ και ΚΜΠ; 4. Όταν οι μαθητές μπορούν να αναπαραστήσουν μία συνάρτηση είναι σε θέση να επιλύσουν και ένα σχετικό μαθηματικό πρόβλημα; 5. Σε ποιο βαθμό η γραμμική συνάρτηση αποτελεί πρότυπο για τους μαθητές και πώς αυτό συσχετίζεται με την ΕΜΠ; 6. Μπορούν οι μαθητές να επιλύουν και να κατασκευάζουν μαθηματικά προβλήματα; Η ικανότητα ΕΜΠ συσχετίζεται με την ικανότητα ΚΜΠ; 7. Η διδασκαλία της έννοιας της συνάρτησης μέσω της ΕΜΠ βοηθάει τους μαθητές να κατανοήσουν τον ορισμό της συνάρτησης, να βελτιώσουν την ικανότητα αναπαράστασης μίας συνάρτησης, να έχουν καλύτερη επίδοση στην ΕΜΠ και στην ΚΜΠ και να μη χρησιμοποιούν την γραμμική συνάρτηση ως πρότυπο;

15 15 Αναγκαιότητα Σημαντικότητα της έρευνας Παλαιότερες έρευνες έχουν αναδείξει τις δυσκολίες που συναντούν μαθητές του Γυμνασίου, αλλά και πρωτοετείς φοιτητές, στην έννοια της συνάρτησης και ειδικότερα όταν καλούνται να διαπραγματευτούν τις διαφορετικές αναπαραστάσεις της έννοιας αυτής (Artigue & Didirem, 1997; O Callaghan, 1998; Zachariades, Christou & Papageorgiou, 2001). Δυσκολίες με την έννοια της συνάρτησης και τις αναπαραστάσεις της φαίνονται να έχουν ακόμα και καθηγητές των μαθηματικών μέσης εκπαίδευσης. Οι δυσκολίες αυτές, αφορούν τόσο στην κατανόηση των διαφορετικών αναπαραστάσεων (Hitt, 1998), όσο και σε ότι έχει να κάνει με την κατάλληλη οργάνωση της διδασκαλίας όταν καλούνται να την διδάξουν (Llinares, 2000). Όμως, από την ανασκόπηση της βιβλιογραφίας φάνηκε ότι αυτές οι παρανοήσεις-δυσκολίες σε λίγες έρευνες έχουν συσχετιστεί με την ΕΜΠ, και σχεδόν καθόλου με την ΚΜΠ. Έτσι, θεωρήθηκε αναγκαίο, εφόσον οι προαναφερόμενες δυσκολίες έχουν παρατηρηθεί είτε άτυπα, από τις εμπειρίες μάχιμων καθηγητών μέσης εκπαίδευσης, είτε τυπικά, μέσα από έρευνες που έχουν πραγματοποιηθεί και στον ελλαδικό χώρο, να συσχετιστούν με την ικανότητα των μαθητών Γυμνασίου στην ΕΜΠ και στην ΚΜΠ. Έχει παρατηρηθεί ότι τα μαθηματικά προβλήματα δυσκολεύουν τους μαθητές, διότι δεν μπορούν να τα επιλύσουν αλγοριθμικά, πράγμα που έχουν συνηθίσει να κάνουν σε άλλες ασκήσεις. Αν η δυσκολία αυτή συνδυαστεί με τον ισχυρισμό ότι η Άλγεβρα είναι κατά κύριο λόγο η μελέτη μοτίβων και σχέσεων (Thorton, 2001), τότε προβάλλει η ανάγκη να διερευνηθεί ο συσχετισμός των δυσκολιών στην έννοια της συνάρτησης με την ικανότητα ΕΜΠ. Επιπλέον, είναι ενδιαφέρον να διερευνηθεί σε τι επίπεδο η ΚΜΠ, ως μία ανώτερη νοητική λειτουργία, μπορεί να φτάσει στους μαθητές Γυμνασίου. Η παρατήρηση και διαπίστωση, όμως, κάποιων δυσκολιών δεν αρκεί για να δώσει λύσεις. Η Cramer (2001) ισχυρίζεται ότι ανεξαρτήτως της ηλικίας των μαθητών, τα μαθηματικά θα πρέπει να ενσωματωθούν σε προβλήματα που περιλαμβάνουν συγκεκριμένα μοντέλα. Επίσης, συμπληρώνει ότι οι μαθητές θα πρέπει αρχικά να μάθουν να χρησιμοποιούν μη τυπική μαθηματική γλώσσα για να περιγράφουν μοτίβα και συναρτησιακές σχέσεις, πριν αρχίσουν να χρησιμοποιούν την συμβολική-τυπική μαθηματική γλώσσα. Οι μαθητές θα πρέπει να αποκτήσουν

16 16 την ικανότητα να εντοπίζουν τις ομοιότητες και τις διαφορές αυτών των προβλημάτων. Επομένως, θεωρήθηκε απαραίτητο να διερευνηθεί αν μία διδακτική παρέμβαση για την έννοια της συνάρτησης, οργανωμένη με βάση την ΕΜΠ, που θα εξοικειώνει τους μαθητές με το συναρτησιακό τρόπο σκέψης, βοηθάει τους μαθητές να κατανοήσουν την έννοια της συνάρτησης χωρίς να τους οδηγεί σε παρανοήσεις, κάνοντας ευκολότερη τη μετάβαση στα πιο τυπικά μαθηματικά. Η διδασκαλία μέσω της ΕΜΠ εντάσσεται σύμφωνα με τους Grabinger & Dunlap (2002) στα περιβάλλοντα ενεργού μάθησης, γνωστά ως REALs (Rich Environments for Active Learning). Στα περιβάλλοντα αυτά χρησιμοποιούνται διαδικασίες μάθησης που αντί απλώς να μεταφέρουν τη γνώση στους μαθητές, τους εμπλέκουν σε μία συνεχή συνεργατική διαδικασία οικοδόμησης και ανασχηματισμού της κατανόησης ως μίας φυσικής συνέπειας των εμπειριών τους και της αλληλεπίδρασής τους με το περιβάλλον. Πιο συγκεκριμένα, η μάθηση μέσω της επίλυσης προβλήματος είναι η μάθηση που αποκτιέται από την προσπάθεια κατανόησης και ανάλυσης ενός προβλήματος. Οι Grabinger & Dunlap (2002) αναφέρονται στην άποψη της Scardamalia και των συνεργατών της, που πιστεύουν ότι οι παθητικοί και ανώριμοι μαθητές έχουν συγκεκριμένα χαρακτηριστικά που τους εμποδίζουν στο να γίνουν επιδέξιοι λύτες προβλημάτων. Ένα πρώτο χαρακτηριστικό είναι ότι οι μαθητές όταν καλούνται να επιλύσουν προβλήματα, έχουν την τάση να σκέφτονται ενότητες των μαθηματικών και όχι τους στόχους του προβλήματος και έτσι δεν μπορούν να διακρίνουν τη σχέση της διαδικασίας μάθησης με τη ζωή τους. Πράγματι, συχνά διαπιστώνουμε ότι οι μαθητές όταν τους δίνεται ένα πρόβλημα δεν σκέφτονται στρατηγικές επίλυσης του προβλήματος, αλλά προσπαθούν να δουν αν όσα έχουν διδαχθεί στα πρόσφατα μαθήματα μπορούν να εφαρμοστούν στο συγκεκριμένο πρόβλημα χωρίς να προσπαθούν να κατανοήσουν το πρόβλημα αυτό. Ένα δεύτερο χαρακτηριστικό των μαθητών είναι ότι εστιάζουν σε επιφανειακά χαρακτηριστικά ενός προβλήματος και δεν εξετάζουν το πρόβλημα σε βάθος. Ο Greer (1997) υποστηρίζει ότι όταν τα παιδιά απαντούν σε λεκτικά προβλήματα δεν λαμβάνουν υπόψη τους την κοινή λογική και τις ευλογοφανείς ρεαλιστικές καταστάσεις, αλλά απαντούν επιφανειακά με λέξειςκλειδιά. Τρίτο χαρακτηριστικό αποτελεί το γεγονός ότι οι μαθητές σταματούν να εργάζονται πάνω στο πρόβλημα μόλις το επιλύσουν, χωρίς να ανατρέξουν στα βήματα επίλυσης που εφάρμοσαν και έτσι να βεβαιωθούν ότι το έχουν κατανοήσει.

17 17 Τέλος, θεωρούν ότι η μάθηση είναι αθροιστική και δεν επιδιώκουν να εμπλουτίσουν και να μεταφέρουν την ήδη υπάρχουσα γνώση τους. Οι Vosniadou-Verschaffel (2004) αναφέρουν σχετικά ότι η προϋπάρχουσα γνώση βάζει περιορισμούς στον τρόπο με τον οποίο ερμηνεύουμε τις πληροφορίες. Αν προσπαθήσουμε να κατανοήσουμε μία γνώση που είναι ριζικά διαφορετική από την προϋπάρχουσα γνώση, τότε οδηγούμαστε σε παρανοήσεις. Έτσι, για να είναι σε θέση οι μαθητές να αντικαταστήσουν την εικόνα της έννοιας που έχουν στο μυαλό τους με επιστημονικά αποδεκτές απόψεις, θα πρέπει να νοιώσουν δυσαρέσκεια για τις ήδη υπάρχουσες γνώσεις, οι νέες έννοιες να είναι κατανοητές και να εμφανιστούν αρχικά εύλογες. Σύμφωνα με τους Grabinger & Dunlap (2002) η διδασκαλία μέσω της επίλυσης προβλήματος εξαλείφει αυτές τις αδυναμίες, ενθαρρύνοντας την αυτοκατευθυνόμενη μάθηση. Είναι αναγκαίο, λοιπόν, να διερευνηθεί αν μία τέτοιας μορφής διδασκαλία συμβάλλει όντως στην εξάλειψη των παρανοήσεων και αδυναμιών. Ο O Callaghan (1998) συμφωνεί με την άποψη ότι η έννοια της συνάρτησης είναι το κλειδί της Δυτικής κουλτούρας και συνεχίζει πως οι Harel & Dubinsky (1992) θεωρούν ότι οι συναρτήσεις είναι κεντρικής σημασίας για τη διδακτική των μαθηματικών. Επομένως, σύμφωνα με την Cramer (2001), από τη στιγμή που οι μαθητές εισάγονται στις πρώτες τάξεις του Δημοτικού Σχολείου, είναι καλό να έχουν πολλαπλές εμπειρίες ανακάλυψης μοτίβων. Οι εμπειρίες αυτές θα τους βοηθήσουν στο μέλλον να μεταπηδήσουν στη μελέτη της συνάρτησης (NCTM, 1989) και θα κάνει πιο ομαλή τη μετάβαση από την Αριθμητική στην Άλγεβρα και στη συνέχεια στην Ανάλυση. Έχουν πραγματοποιηθεί αρκετές έρευνες με σκοπό τη διερεύνηση των παρανοήσεων στην έννοια της συνάρτησης (Dreyfus & Eisenberg, 1983; Boers-van Oosterum, 1990; Kieran, 1990; Schwarz & Dreyfus, 1995; Zachariades, Christou,& Papageorgiou, 2001). Επίσης, υπάρχουν προτάσεις διδασκαλίας με στόχο να ξεπεραστούν οι δυσκολίες που οι μαθητές συναντούν στην έννοια της συνάρτησης (Haimes, 1996; Quinn, 1997; Llinares, 2000;Thomas, 2000; Cramer, 2001; Manouchehri, 2001). Οι περισσότερες από τις προτάσεις αυτές, όμως, έχουν εφαρμοστεί είτε σε λίγους μαθητές (μελέτη περίπτωσης), είτε ως ένα πρόγραμμα ξεχωριστό από το ισχύον Αναλυτικό Πρόγραμμα. Είναι γεγονός ότι όταν ο καθηγητής καλείται να διδάξει μαθηματικές έννοιες όπως αυτή της συνάρτησης, βρίσκεται απέναντι σε ένα δίλημμα. Από τη μία μεριά,

18 18 σύμφωνα με τον Llinares (2000), η ανάγκη οι μαθητές να επιτύχουν μία σε βάθος κατανόηση των μαθηματικών εννοιών, οδηγεί τον καθηγητή στο να υιοθετήσει μία κατασκευαστική προσέγγιση στη μάθηση. Από την άλλη μεριά, ένα αναλυτικό πρόγραμμα που στοχεύει στο χειρισμό διαδικασιών καθώς και η μεγάλη ποσότητα της ύλης που πρέπει να καλυφθεί σε συγκεκριμένο χρόνο, οδηγούν τον καθηγητή στην άποψη ότι δεν είναι αναγκαίο οι μαθητές να μάθουν το γιατί (know whatεννοιολογική κατανόηση), αλλά να επικεντρωθούν περισσότερο στη διαδικαστική γνώση (know how), δηλαδή στο να μάθουν οι μαθητές το πώς πρέπει να κάνουν κάτι, χωρίς να ξέρουν το γιατί. Θεωρήθηκε, λοιπόν, σημαντικό να διερευνηθεί αν η διδασκαλία της συνάρτησης μέσω της επίλυσης προβλήματος μπορεί να εφαρμοστεί στις πραγματικές συνθήκες του ελληνικού σχολείου και να συντελέσει στην κατανόηση της έννοιας της συνάρτησης. Για να εξεταστεί, όμως, αν η διδασκαλία μέσω της ΕΜΠ είναι καλύτερη από την παραδοσιακή διδασκαλία, δεν αρκεί η πειραματική εφαρμογή μίας διδακτικής παρέμβασης, αλλά είναι αναγκαία και η εκτίμηση των αποτελεσμάτων. Πιο συγκεκριμένα, πρέπει να εξεταστεί αν μετά από μία τέτοια παρέμβαση, οι μαθητές έχουν κατανοήσει την έννοια της συνάρτησης, δεν έχουν την γραμμική συνάρτηση ως πρότυπο και είναι σε θέση να επιλύουν και να κατασκευάζουν μαθηματικά προβλήματα. Για να απαντηθούν τα πιο πάνω ερωτήματα κρίθηκε αναγκαίο να αξιολογηθεί συγκριτικά το αποτέλεσμα της διδακτικής παρέμβασης με ένα δοκίμιο. Η παρούσα έρευνα επιχείρησε να εντοπίσει τις παρανοήσεις των μαθητών στην έννοια της συνάρτησης, οι οποίες θεωρούνται σημαντικές για τη μετάβαση από την Άλγεβρα στην Ανάλυση. Η διδασκαλία μέσω της επίλυσης μαθηματικού προβλήματος είναι ένας τρόπος που συμβάλει στην αποφυγή των παρανοήσεων αυτών, αφού εμπλέκει τους μαθητές στη διαδικασία της μάθησης και τους μετατρέπει από απλούς δέκτες σε «δημιουργούς» της γνώσης. Έτσι, η έρευνα αυτή εξέτασε κατά πόσον η μέθοδος διδασκαλίας επηρεάζει την εννοιολογική κατανόηση των μαθητών και αν η γνώση που αποκτούν παραμένει ενεργή σε βάθος χρόνου. Άλλοι παράγοντες που θεωρείται ότι επηρεάζουν την εννοιολογική κατανόηση των μαθητών όπως, οι πεποιθήσεις των καθηγητών των μαθηματικών και τα συναισθήματα των παιδιών για τα μαθηματικά αλλά και για τον διδάσκοντα, δεν εξετάστηκαν σε αυτή την έρευνα.

19 19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΤΗΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑΣ Περίληψη Από την ανασκόπηση της βιβλιογραφίας φαίνεται ότι με τη διδασκαλία της έννοιας της συνάρτησης μέσω της ΕΜΠ είναι δυνατόν να επιτευχθεί τόσο η καλύτερη κατανόηση της έννοιας όσο και η ανάπτυξη της ικανότητας ΕΜΠ. Το συμπέρασμα αυτό προέκυψε από έρευνες που έχουν δείξει ότι σε ένα παραδοσιακό Α.Π. οι μαθητές ανέπτυξαν μία πολύ περιορισμένη κατανόηση των συναρτήσεων, η εννοιολογική γνώση υπολειπόταν της διαδικαστικής και δεν μπορούσαν να εφαρμόσουν τη γνώση τους στην επίλυση προβληματικών καταστάσεων (Boers-van Oosterum, 1990; Kieran, 1990). Επίσης παρατηρήθηκε ότι οι μαθητές είχαν δυσκολία στο να μεταβαίνουν από τη μία αναπαράσταση της συνάρτησης σε μία άλλη και να αναγνωρίσουν κατά πόσο μία σχέση μπορεί να θεωρηθεί συνάρτηση ή όχι, ανάλογα με την αναπαράστασή της (Schwarz & Dreyfus, 1995; Artigue & Didirem, 1997). Ακόμα, ερευνητές της διδακτικής των μαθηματικών υποστηρίζουν ότι οι συναρτήσεις είναι ο πυρήνας της ΕΜΠ και ότι η ΚΜΠ συμβάλει στην ανακάλυψη πολλών στοιχείων σχετικών με την κατανόηση και τις δεξιότητες του ατόμου που κατασκευάζει-υποβάλει το πρόβλημα (English, 1997; O Callaghan, 1998). Τέλος, οι Grabinger & Dunlap (2002) ισχυρίζονται ότι οι μαθητές δεν μπορούν να οικοδομήσουν ή να αναπτύξουν τη μάθησή τους χωρίς να γενικεύσουν κάτι μέσω της ενεργού εμπλοκής τους και καταλήγουν ότι η λύση προβλήματος δημιουργεί τις προϋποθέσεις για ενεργή εμπλοκή. Στο κεφάλαιο αυτό συνοψίζονται τα αποτελέσματα ερευνών που αναφέρονται στην έννοια της συνάρτησης και τις δυσκολίες των μαθητών με την έννοια αυτή, τη θεωρία των προτύπων, την επίλυση και κατασκευή μαθηματικού προβλήματος και τη σχέση της με την έννοια της συνάρτησης, τη μάθηση μέσω της ΕΜΠ και την ομαδοσυνεργατική διδασκαλία. Η έννοια της συνάρτησης και οι δυσκολίες που συναντούν οι μαθητές Σύμφωνα με τον Youschkevitch (1977) οι απόψεις σχετικά με το πότε ανακαλύφθηκε η έννοια της συνάρτησης ποικίλουν. Άλλοι θεωρούν τον Καρτέσιο ως τον πρώτο που επινόησε την έννοια της συνάρτησης με την εισαγωγή των συντεταγμένων, άλλοι πάλι επισημαίνουν σημεία συναρτησιακής σκέψης στα μαθηματικά των Αρχαίων Ελλήνων. Είναι γεγονός πάντως ότι ο κλασικός ορισμός της συνάρτησης αποδίδεται είτε στον Dirichlet (1837), είτε στον Lobatchevsky (1834), αν και αυτή η άποψη μπορεί να θεωρηθεί ανακριβής, αφού η γενική έννοια της συνάρτησης ως σχέση μεταξύ δύο συνόλων διατυπώθηκε πολύ νωρίτερα, περί τα

20 20 μέσα του 18 ου αιώνα. Οι βασικές περίοδοι εξέλιξης της έννοιας της συνάρτησης μέχρι τα μέσα του 19 ου αιώνα, είναι οι εξής (Youschkevitch, 1977, σελ. 39): 1. Αρχαιότητα: η περίοδος όπου η μελέτη συγκεκριμένων περιπτώσεων αλληλεξάρτησης δύο ποσοτήτων δεν οδήγησε στις έννοιες των μεταβλητών και των ποσοτήτων. 2. Μεσαίωνας: η περίοδος όπου αυτές οι γενικές έννοιες αρχικά εκφράστηκαν γεωμετρικά και μηχανικά, αλλά κάθε συγκεκριμένη περίπτωση αλληλεξάρτησης δύο ποσοτήτων ορίστηκε με προφορική περιγραφή ή με ένα γράφημα, όχι πάντως με τύπο. 3. Η Μοντέρνα περίοδος: η περίοδος όπου άρχισαν να αναδύονται αναλυτικές εκφράσεις των συναρτήσεων. Φαίνεται ότι η μαθηματική σκέψη στην Αρχαιότητα, παρά το προχωρημένο επίπεδο που είχε φτάσει σε πλείστους τομείς, δεν οδηγήθηκε σε μία γενική έννοια της συνάρτησης. Είναι χαρακτηριστικό ότι στο πεδίο των εφαρμογών της εποχής, και ιδιαίτερα στην αστρονομία, ο κύριος στόχος ήταν η πινακοποίηση των συναρτήσεων, που τότε τις αντιλαμβάνονταν ως σχέσεις μεταξύ συνόλων. Ακόμα και στα τέλη του 16 ου αιώνα μ.χ. οι συναρτήσεις παριστάνονταν είτε προφορικά, είτε με γράφημα, είτε με πίνακες τιμών. Η εισαγωγή του τύπου της συνάρτησης έγινε αργότερα και ήταν μία επανάσταση για την εξέλιξη των μαθηματικών (Youschkevitch, 1977). Ο Gerson (2008) υποστηρίζει ότι υπάρχει διαφορά μεταξύ του μαθηματικού ορισμού μίας έννοιας και του τρόπου με τον οποίο ένας μαθητής κατανοεί την έννοια αυτή. Η εικόνα της έννοιας της συνάρτησης μπορεί να περιλαμβάνει τη διαδικασία παραγωγής στοιχείων - «βάζεις έναν αριθμό και σου βγάζει κάποιον άλλο» ή ότι «αν φέρεις κάθετη στον άξονα χ χ τέμνει τη γραφική παράσταση το πολύ σε ένα σημείο». Μπορεί επίσης η έννοια της συνάρτησης για μερικούς μαθητές να ταυτίζεται με το σύμβολο «f(χ)». Είναι πολύ πιθανό η εικόνα μίας έννοιας στο μυαλό του μαθητή να μην περιλαμβάνει τον μαθηματικό ορισμό της έννοιας. Ο Gerson (2008) συνεχίζει διατυπώνοντας την άποψη ότι οι μαθητές συχνά δυσκολεύονται κατά τη μετάβαση από μία αναπαράσταση της συνάρτησης σε μία άλλη. Είναι δε αξιοσημείωτο ότι, ακόμα και όταν οι μαθητές μπορούν να μεταβούν με ευκολία από τη μία αναπαράσταση στην άλλη, συχνά δυσκολεύονται να μεταφέρουν τις πληροφορίες που έχουν από τη μία αναπαράσταση ως γνώση για μια άλλη αναπαράσταση. Για

21 21 παράδειγμα, στη γραμμική συνάρτηση ψ=αχ+β, ενώ οι μαθητές, όταν έχουν τον τύπο αναφέρουν ότι το α αποτελεί την κλίση της ευθείας, ωστόσο δεν συσχετίζουν την κλίση με την εφαπτομένη της γωνίας που η ευθεία, δηλαδή η γραφική παράσταση της συνάρτησης, σχηματίζει με τον άξονα Οχ. Στην πραγματικότητα οι μαθητές αντιμετωπίζουν τις αναπαραστάσεις μίας συνάρτησης ως ανεξάρτητες μεταξύ τους. Ειδικότερα, οι μαθητές βρίσκουν δυσκολία στη μετάφραση της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης και στη σύνδεσή της με άλλες αναπαραστάσεις της συνάρτησης. Συχνά οι μαθητές βρίσκουν παρόμοιες δυσκολίες και στην αναπαράσταση μιας συνάρτησης με πίνακα τιμών. Σύμφωνα με την Sajka (2003) βασική αιτία, των δυσκολιών που οι μαθητές συναντούν με την έννοια της συνάρτησης, είναι η διπλή της φύση. Η συνάρτηση μπορεί να γίνει κατανοητή με δύο τρόπους. Ο ένας τρόπος είναι ως αντικείμενο και ο άλλος ως διαδικασία. Για παράδειγμα, ο τύπος της συνάρτησης ψ=f(χ)=2χ+3 μας λέει συγχρόνως δύο πράγματα: πρώτον, πώς μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή της συνάρτησης (του ψ) για συγκεκριμένη τιμή του χ (διαδικασία) και δεύτερον, περιλαμβάνει το σύνολο των ζευγών (χ, ψ) για ολόκληρο το πεδίο ορισμού της συνάρτησης (αντικείμενο). Επίσης, η Sierpinska (1992) τονίζει ότι για την κατανόηση της συνάρτησης χρειάζεται ευελιξία διότι, για παράδειγμα, το f(χ) αντιπροσωπεύει και το όνομα μιας συνάρτησης, αλλά και την τιμή της συνάρτησης f. Η ερμηνεία του συμβόλου αυτού εξαρτάται από το πλαίσιο μέσα στο οποίο αναφέρεται και είναι κάτι που μπορεί να μπερδέψει τους αρχάριους μαθητές. Πολλοί δάσκαλοι και ερευνητές ισχυρίζονται ότι ο ορισμός της συνάρτησης ως σχέσης μεταξύ μεταβλητών είναι πιο ευκολονόητος για τους μαθητές, διότι ανταποκρίνεται καλύτερα στη διαίσθησή τους για την συνάρτηση (Vinner & Dreyfus, 1989). Επιπλέον, η Sierpinska (1992) προτείνει σε πρώτο στάδιο οι συναρτήσεις να παρουσιάζονται ως μοντέλα σχέσεων, αφού έτσι πρωτοεμφανίστηκαν στην ιστορία. Κάτι τέτοιο βρίσκει σύμφωνη και την Sfard (1995) που ισχυρίζεται ότι αν εξετάσουμε προσεκτικά τις δυσκολίες που συναντούν οι μαθητές, θα παρατηρήσουμε ότι σε κάποιο βαθμό η οντογένεση αναπαράγει τη φυλογένεση. Δηλαδή, οι δυσκολίες που αντιμετωπίζει ένα άτομο στα διάφορα στάδια ανάπτυξης της γνώσης είναι ανάλογες με εκείνες τις δυσκολίες που συνάντησαν οι πρώτοι δημιουργοί στη φάση της αρχικής οικοδόμησης της γνώσης. Οι πιο συνηθισμένες αναπαραστάσεις μιας συνάρτησης είναι με τύπο, με

22 22 πίνακα τιμών και με γραφική παράσταση (Fey, 1984). Οι μαθητές θα πρέπει να είναι σε θέση να παριστάνουν τις συναρτήσεις και με τους τρεις αυτούς τρόπους, αλλά και να μπορούν να μεταβαίνουν από τη μια αναπαράσταση στην άλλη (O Callaghan, 1998). Έρευνες με συμμετέχοντες μαθητές που παρακολούθησαν ένα παραδοσιακό Α.Π. έδειξαν ότι, εκτός του ότι οι μαθητές ανέπτυξαν μία πολύ περιορισμένη κατανόηση των συναρτήσεων (Dreyfus & Eisenberg, 1983), επιπλέον η εννοιολογική γνώση υπολειπόταν της διαδικαστικής (Boers-van Oosterum, 1990). Έτσι, οι μαθητές δεν μπορούσαν να εφαρμόσουν τη γνώση τους στην επίλυση προβληματικών καταστάσεων (Kieran, 1990). Επίσης, οι μαθητές φάνηκαν να έχουν δυσκολία στο να μεταβαίνουν από τη μία αναπαράσταση της συνάρτησης σε μία άλλη (Schwarz & Dreyfus, 1995). Οι Artigue & Didirem (1997) θεωρούν ότι τα κριτήρια στα οποία βασίζονται οι μαθητές ώστε να διακρίνουν αν μία σχέση είναι συνάρτηση ή όχι, διαφέρουν από τον τυπικό ορισμό της έννοιας και αυτό ισχύει ακόμα και για μαθητές που φαίνεται να γνωρίζουν τον τυπικό ορισμό της συνάρτησης. Αυτά τα κριτήρια εξαρτώνται περισσότερο από τυπικά παραδείγματα που λειτουργούν ως πρότυπα (prototypes) και από συσχετίσεις όπως η συσχέτιση συνάρτηση-τύπος ή συνάρτηση-καμπύλη. Έτσι, το ίδιο αντικείμενο μπορεί να θεωρηθεί συνάρτηση ή όχι, ανάλογα με την αναπαράστασή του. Η θεωρία των προτύπων και η έννοια της συνάρτησης Η Βοσνιάδου (2005) επισημαίνει ότι οι έννοιες είναι οργανωμένες σε ευρύτερες εννοιολογικές δομές. Η πιο διαδεδομένη πρόταση σχετικά με τη φύση των εννοιών, είναι γνωστή ως κλασική άποψη. Η θεωρία αυτή περιγράφει τις έννοιες ως ένα σύνολο αναγκαίων και επαρκών καθοριστικών γνωρισμάτων, που ορίζουν σαφώς ποιες περιπτώσεις ανήκουν σε μια δεδομένη εννοιολογική κατηγορία και ποιες όχι. Όμως, συνεχίζει η Βοσνιάδου (2005), ο Wittgenstein (1958) έδειξε ότι σπάνια ένα γνώρισμα ταιριάζει εξίσου καλά σε όλα τα μέλη μιας κατηγορίας. Έτσι, μια απόπειρα να τροποποιηθεί η κλασική άποψη είναι «να θεωρήσουμε ότι οι έννοιες αποτελούνται όχι από ορισμένα καθοριστικά γνωρίσματα, αλλά ότι οργανώνονται γύρω από συγκεκριμένα πρότυπα ή υποδείγματα. Η θεωρία αυτή είναι γνωστή ως θεωρία των προτύπων (Rosch, 1976)» (Βοσνιάδου, 2005). Σύμφωνα με τη θεωρία αυτή ένα

23 23 αντικείμενο κρίνεται αν ανήκει ή όχι σε μία κατηγορία, ανάλογα με την ομοιότητά του με τα πρότυπα μέλη μιας κατηγορίας. Με βάση τη θεωρία αυτή, οδηγούμαστε συχνά σε αντιφατικά συμπεράσματα, όπως για παράδειγμα ότι οι ελιές είναι φρούτα γιατί έχουν κοινές ιδιότητες με τα μήλα και το μήλο είναι ένα πρότυπο της κατηγορίας των φρούτων (Schwarz & Hershkowitz, 1999). Γεννάται λοιπόν το ερώτημα: Πώς αποφασίζουμε τι είδους ομοιότητες είναι σημαντικές; Ωστόσο, οι μαθηματικές έννοιες ορίζονται με τρόπο που δεν αφήνει τέτοια περιθώρια αμφιβολίας. Το πρόβλημα εγείρεται στη φάση της εισαγωγής μιας έννοιας, μέχρι να οδηγηθεί ο μαθητής στον τυπικό ορισμό. Οι Schwarz & Hershkowitz (1999) ισχυρίζονται ότι παρόμοια ζητήματα εγείρονται και στην περίπτωση της διδακτικής των μαθηματικών. Έχει γίνει σημαντική συζήτηση σχετικά με τη διάκριση ανάμεσα στην έννοια, έτσι όπως ορίζεται από τον τυπικό ορισμό και στην εικόνα της έννοιας, έτσι όπως αναπαρίσταται στο νου του ατόμου ως αποτέλεσμα των διαδικασιών μάθησης (Vinner, 1983). Πιο συγκεκριμένα, οι Vinner & Dreyfus (1989) βρήκαν ότι φοιτητές του πανεπιστημίου, για να διακρίνουν αν μία γραφική παράσταση ή ένας τύπος είναι συνάρτηση, δεν στηρίζονταν στον τυπικό ορισμό της συνάρτησης. Επίσης, κάποιες ιδιότητες της γραμμικής συνάρτησης, αλλά και της συνάρτησης δευτέρου βαθμού λειτουργούσαν ως πρότυπα. Είχαν ως σημείο αναφοράς την εικόνα της έννοιας αντί του μαθηματικού ορισμού της. Έτσι, αφού οι μαθητές στηρίζονται στην εικόνα της έννοιας ώστε να αποφασίσουν αν μία σχέση είναι ή όχι συνάρτηση, είναι πολύ σημαντικό η εικόνα της έννοιας που θα αναπτύξουν να είναι πλούσια και ακριβής. Στο σημείο αυτό είναι σημαντικό να επισημανθεί ότι σύμφωνα με το Α.Π. στην Ελλάδα, η εισαγωγή στην έννοια της συνάρτησης στην Β Γυμνασίου γίνεται κυρίως μέσω της συνάρτησης των αναλόγων ποσών. Κάτι τέτοιο δημιουργεί το υπόβαθρο ώστε οι μαθητές να δημιουργήσουν την εικόνα της έννοιας της συνάρτησης με βάση τη συνάρτηση των αναλόγων ποσών. Η επίλυση και κατασκευή μαθηματικού προβλήματος και η έννοια της συνάρτησης Η Thompson (1985) ισχυρίζεται ότι στόχος της εκπαίδευσης είναι να αναπτύξει την ευφυΐα μέσω της ΕΜΠ και ότι το ουσιαστικό χαρακτηριστικό στην

24 24 κατασκευή της μαθηματικής γνώσης είναι η δημιουργία σχέσεων. Το χαρακτηριστικό αυτό είναι το σημείο αφετηρίας για την ΕΜΠ. Επεκτείνοντας τον ισχυρισμό αυτό ο O Callaghan (1998) συμπεραίνει ότι αφού οι συναρτήσεις είναι τα μαθηματικά εργαλεία που χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν σχέσεις μεταξύ μεταβλητών, τότε οι συναρτήσεις είναι ο πυρήνας της ΕΜΠ. Είναι γεγονός ότι λίγος διδακτικός χρόνος αφιερώνεται στη διδασκαλία ΕΜΠ, με αποτέλεσμα, όπως σχολιάζουν οι Harskamp & Suhre (2006), οι μαθητές να έχουν μεγάλη δυσκολία στην επίλυση πρωτότυπων προβλημάτων. Ερευνητές (Garofalo & Lester, 1985; Schoenfeld, 1987; Van Streun, 2000) επισημαίνουν ότι η αποτυχία των μαθητών στην ΕΜΠ δεν είναι συνήθως αποτέλεσμα έλλειψης μαθηματικής γνώσης, αλλά συχνότερα είναι αποτέλεσμα αναποτελεσματικής χρήσης της μαθηματικής γνώσης. Οι Harskamp & Suhre (2007) επίσης επισημαίνουν, ότι σύμφωνα με τον Schoenfeld (1992) οι μαθητές χρειάζεται να μάθουν να θέτουν στόχους και να αυτορυθμίζουν τη συμπεριφορά τους κατά τη διαδικασία επίλυσης προβλήματος, ώστε με αυτό τον τρόπο να βελτιώσουν την ικανότητά τους στην επίλυση πρωτότυπων μαθηματικών προβλημάτων, δηλαδή προβλημάτων τα οποία δεν βρίσκονται στα σχολικά τους βιβλία. Οι Blake, Hurley & Arenz (1995) ισχυρίζονται ότι η σκέψη που αναπτύσσουν τα παιδιά όταν έρχονται αντιμέτωπα με ένα πρόβλημα καθώς και η εύρεση της λύσης του προβλήματος είναι πολλή σημαντικότερη από τα παραδοσιακά μαθηματικά, όπου οι μαθητές μαθαίνουν να υπολογίζουν και να απομνημονεύουν ανούσια πράγματα. Συνεχίζοντας αναφέρουν ότι, σύμφωνα με τον Taylor (1995), τα μαθηματικά βοηθούν στην κατανόηση εννοιών μέσω της μάθησης ΕΜΠ. Τότε τα παιδιά επιτυγχάνουν σε δραστηριότητες μαθηματικής φύσης και κατανοούν τη χρησιμότητα των μαθηματικών, ενώ συγχρόνως νοιώθουν ευχάριστα. Οι Blake, Hurley & Arenz (1995) επισημαίνουν ότι τα παιδιά αντί να χρησιμοποιούν προσχεδιασμένες μαθηματικές δραστηριότητες, μπορούν να χρησιμοποιούν τη μαθηματική σκέψη ώστε να ανακαλύπτουν έννοιες μέσα στις καθημερινές τους δραστηριότητες. Η εστίαση σε διαδικασίες ΕΜΠ μπορεί να βοηθήσει τους μαθητές να συνδέσουν έννοιες και να δημιουργήσουν έτσι μία στερεή βάση για το μέλλον σε σχέση με τη μάθηση των μαθηματικών. Η έμφαση σε τέτοιου είδους δραστηριότητες αναπτύσσει την ικανότητα των παιδιών να κατανοούν και να εφαρμόζουν μαθηματικές έννοιες και σε άλλες επιστήμες.

25 25 Σύμφωνα με την Bullock (1988), ένα σημαντικό αποτέλεσμα της εμπλοκής των παιδιών σε προβληματικές καταστάσεις είναι ότι χρησιμοποιούν ενεργά το μυαλό τους καθώς αναζητούν τις πιθανές απαντήσεις. Η Bullock (1988) επίσης σημειώνει ότι τα παιδιά είναι ανάγκη να αναπτύξουν την ικανότητά τους στην ΕΜΠ έτσι ώστε στο μέλλον να είναι σε θέση να χρησιμοποιήσουν τα πνευματικά τους εργαλεία ώστε να λύνουν διαφόρων ειδών προβλήματα που θα αντιμετωπίσουν στη ζωή τους, όπως προσωπικά, κοινωνικά και επαγγελματικά. Ο απώτερος στόχος είναι να αναπτύξουν μία τέτοια στάση απέναντι στην ΕΜΠ ώστε να θέλουν να βρίσκουν, να γενικεύουν και να επιλύουν προβλήματα. Αυτός πρέπει να είναι και ο στόχος της εκπαίδευσης. Η Bullock (1988) τελειώνει επισημαίνοντας ότι η εμπλοκή των παιδιών σε μία ποικιλία προβληματικών καταστάσεων, τους δίνει την ευκαιρία να δίνουν απαντήσεις σε κάποιες περιπτώσεις που ανταποκρίνονται στο επίπεδό τους και στο δικό τους ρυθμό μάθησης. Επίσης, μία τέτοιου είδους εμπλοκή κεντρίζει το ενδιαφέρον των μαθητών, ενθαρρύνει την αναζήτηση και την επιμονή και επιπλέον δίνει στους μαθητές την ευκαιρία να προσπαθούν συνεχώς, μαθαίνοντας έτσι ότι η επανάληψη είναι απαραίτητη για την επιτυχία. Οι Grabinger & Dunlap (2002) δηλώνουν ότι οι μαθητές μέσω της παραδοσιακής μεθόδου διδασκαλίας δεν έχουν καταφέρει να αποκτήσουν την ικανότητα να ρυθμίζουν ή να τροποποιούν τη γνωστική τους δραστηριότητα. Έχουν μάθει κάποιες συγκεκριμένες στρατηγικές, όπως η απομνημόνευση, και τις εφαρμόζουν σε κάθε περίσταση. Έρευνες, όμως, έχουν δείξει ότι η γνώση είναι πιο πιθανόν να είναι ενεργή και χρήσιμη όταν αποκτιέται σε ένα περιβάλλον ΕΜΠ παρά σε ένα περιβάλλον παραδοσιακής διδασκαλίας. Οι μαθητές δεν μπορούν να οικοδομήσουν ή να αναπτύξουν τη μάθησή τους χωρίς να γενικεύσουν κάτι μέσω της ενεργού εμπλοκής τους. Η λύση του προβλήματος, καταλήγουν οι Grabinger & Dunlap (2002), δημιουργεί τις προϋποθέσεις για ενεργή εμπλοκή. Εξάλλου οι Elia, Panaoura, Eracleous & Gagatsis (2006) επισημαίνουν ότι η κατανόηση μιας έννοιας είναι στενά συνδεδεμένη με την ΕΜΠ, αφού έχει να κάνει με τις διαδικασίες που χρησιμοποιούνται για την γενίκευση κάποιων απαντήσεων με στόχο τη μετατροπή μίας κατάστασης ώστε να επιτευχθεί ένας στόχος ή να συμπληρωθεί ένα κενό. Μία διαγραμματική αναπαράσταση της ΕΜΠ δίνει η Burton (1980) και φαίνεται στο σχήμα 1. Από το διάγραμμα φαίνεται ότι η ΕΜΠ ως μέθοδος διδασκαλίας στοχεύει στην μάθηση των μαθηματικών λαμβάνοντας υπόψη τις

26 26 ιδιαιτερότητες των μαθητών, προκαλώντας θετικά συναισθήματα στα παιδιά και αναπτύσσοντας παράλληλα τις δεξιότητες και τις διαδικασίες ώστε ο μαθητής να γίνει ικανός λύτης προβλημάτων. Σχήμα 1 Η ΕΜΠ ως μέθοδος διδασκαλίας Λαμβάνει υπόψη τις ιδιαιτερότητες των μαθητών Αναπτύσσει τις δεξιότητες και διαδικασίες της ΕΜΠ Προκαλεί θετικά συναισθήματα στους μαθητές Η μάθηση των Μαθηματικών Η Burton(1980), θέλοντας να υποστηρίξει τη διδασκαλία μέσω ΕΜΠ, διακρίνει τη μάθηση σε τρεις τύπους. Ονομάζει μάθηση σχετικά με (learning about) αυτή τη μάθηση που συνήθως επιτυγχάνεται στο σχολείο, όπου ο μαθητής είναι δέκτης πληροφοριών. Δεύτερη ορίζει τη μάθηση να κάνω (learning to do) που έχει στόχο την ανάπτυξη δεξιοτήτων. Όμως, η άποψη της ανακαλυπτικής μάθησης υποστηρίζει ότι πάνω από τους προηγούμενους δύο τύπους μάθησης είναι ο τρίτος τύπος μάθησης που είναι η βιωματική μάθηση (learning to be), όπου το παιδί αναπτύσσει τη δομή της σκέψης του και επεκτείνει τις αξίες, τις στάσεις και τη συμπεριφορά του προσαρμόζοντάς τις σε ένα πλαίσιο μοντέλων, πληροφοριών και δεξιοτήτων που είναι διαθέσιμες. Αυτός ο τρίτος τύπος μάθησης αποκτιέται, σύμφωνα με την Burton (1980), μέσω της παρατήρησης και της αλληλεπίδρασης, δηλαδή μέσω της ΕΜΠ. Από τη μάθηση αυτή εξαρτώνται και οι άλλοι δύο τύποι μάθησης. Είναι πεποίθηση της Burton ότι ένα ισχυρό κίνητρο για τη μάθηση είναι τα παιδιά να βλέπουν τη σχέση που έχει η νέα γνώση και τη χρησιμότητά της όταν η έννοια, η πληροφορία ή η δεξιότητα συνδυάζονται με τις δομές που ήδη έχουν στο μυαλό τους. Ένας τέτοιος συνδυασμός επιτυγχάνεται σε μεγάλο βαθμό μέσω της ΕΜΠ.

27 27 Η έννοια της συνάρτησης, όντας στενά συνδεδεμένη με την ΕΜΠ, σύμφωνα με τον O Callaghan (1998) συνίσταται σε τέσσερις επιμέρους ικανότητες μέσω των οποίων ελέγχεται το επίπεδο κατανόησης της έννοιας, που είναι οι εξής: 1. Μοντελοποίηση (modeling): η ικανότητα αναπαράστασης της προβληματικής κατάστασης με τη χρήση συναρτήσεων. 2. Ερμηνεία (interpreting): η αντίστροφη διαδικασία κατά την οποία ερμηνεύονται οι διαφορετικές αναπαραστάσεις των συναρτήσεων με όρους πραγματικής ζωής. 3. Μεταφορά (translating): η ικανότητα μετάβασης από μία αναπαράσταση σε μία άλλη. 4. Πραγμάτωση (reifying): η δημιουργία ενός νοητικού αντικειμένου το οποίο τώρα πια αντιμετωπίζεται σαν μία ολότητα που έχει συγκεκριμένες ιδιότητες και το οποίο μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε διαδικασίες ανώτερου επιπέδου. Η πραγμάτωση θεωρείται ο τελικός στόχος της διδασκαλίας της συνάρτησης, αλλά σύμφωνα με τη Sfard (1989) είναι μία πραγματικά δύσκολη διαδικασία που εμπεριέχει μία τέτοιου επιπέδου κατανόηση της έννοιας που λίγοι μαθητές μπορούν να επιτύχουν. Οι Harskamp & Suhre (2006) δείχνουν τη συσχέτιση της κατανόησης της συνάρτησης με την ικανότητα ΕΜΠ επισημαίνοντας ότι όταν εισάγονται οι συναρτήσεις, οι περισσότεροι μαθητές μαθαίνουν να τις αντιμετωπίζουν ως κανόνες που συνδέουν κάθε τιμή του χ με μία μόνο τιμή του ψ (Kieran, 1992). Σε αυτό το επίπεδο οι μαθητές είναι σε θέση να φτιάξουν πίνακα τιμών της συνάρτησης. Επιπλέον, προβλήματα που απαιτούν γνώση των συναρτήσεων σε αυτό το στάδιο επιλύονται με τη χρήση πινάκων και τη στρατηγική δοκιμή και λάθος. Σε ένα ανώτερο επίπεδο, οι μαθητές μαθαίνουν ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων είναι πιο αποτελεσματικές όταν αναζητούν κάποια χαρακτηριστικά των συναρτήσεων (π.χ. σημεία τομής με άξονες, μέγιστα ή ελάχιστα κ.α.). Μπορεί έτσι να μάθουν ότι χρησιμοποιώντας ένα γράφημα μπορούν να λύσουν αρκετά πρακτικά προβλήματα. Όταν, τέλος, κάποια προβλήματα το απαιτήσουν, οι μαθητές θα μάθουν ότι χρειάζεται να εκτελέσουν αλγεβρικές πράξεις σε ισότητες και τύπους συναρτήσεων. Σε αυτό το στάδιο οι μαθητές είναι ικανοί να λύσουν προβλήματα αναλυτικά, χρησιμοποιώντας αλγόριθμους. Όμως, αυτό είναι ένα στάδιο στο οποίο

28 28 δεν φτάνουν όλοι οι μαθητές (Harskamp & Suhre, 2006), ενώ και αυτοί που φτάνουν δεν εγκαταλείπουν τελείως τη χρήση των γραφημάτων και των πινάκων κατά την ΕΜΠ. Η επιλογή των μεθόδων επίλυσης προβλημάτων φαίνεται να εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά του προβλήματος. Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι οι ικανότητες που, σύμφωνα με τον O Callaghan (1998), συνιστούν το μοντέλο της συνάρτησης, παρέχουν τις κατάλληλες ευρετικές για την ΕΜΠ, αλλά και το αντίστροφο, δηλαδή κατάλληλα προβλήματα μπορούν να οδηγήσουν σε λύσεις που απαιτούν μία ανώτερη κατανόηση της έννοιας της συνάρτησης και άρα στην ανακάλυψη της γνώσης. Μέσα από αυτή την αμφίδρομη σχέση μοντέλου συνάρτησης και ΕΜΠ φαίνεται πως είναι δυνατόν να επιτευχθεί τόσο η καλύτερη κατανόηση της έννοιας όσο και η ανάπτυξη της ικανότητας ΕΜΠ. Η σημαντικότητα της ΕΜΠ ως μέσου για τη διδασκαλία των μαθηματικών είναι εμφανής. Ο Polya (1957) αναλύοντας τα στάδια επίλυσης μαθηματικού προβλήματος, ανάμεσα στις ευρετικές που προτείνει αναφέρει και την εύρεση ενός βοηθητικού προβλήματος, που είναι ένα πρόβλημα που θεωρεί ο λύτης με στόχο όχι τη λύση του, αλλά την εξέτασή του, η οποία ελπίζει να τον οδηγήσει στη λύση του αρχικού προβλήματος. Το αρχικό πρόβλημα αποτελεί το στόχο, ενώ το βοηθητικό αποτελεί ένα μέσο για να φτάσουμε σε αυτόν το στόχο. Η επινόηση ενός βοηθητικού προβλήματος, που γίνεται όταν το αρχικό μοιάζει άλυτο, αποτελεί μία σημαντική νοητική διεργασία. Η όλη διαδικασία της επινόησης ενός καθαρά νέου προβλήματος που υποβοηθά την επίλυση ενός άλλου προβλήματος, καθώς και η θεώρηση ενός στόχου, που ουσιαστικά είναι μέσο για έναν άλλο στόχο, αποτελούν ένα υψηλό επίτευγμα της νόησης. Όμως, σύμφωνα με τον Polya (1957), ο λύτης δεν αρκεί να βρει την λύση του προβλήματος, αλλά έχοντας μπροστά του τη λύση, είναι ωφέλιμο να διερευνήσει τη μέθοδο που τον οδήγησε σε αυτή, να δει τη σκοπιμότητά της και να προσπαθήσει να τη χρησιμοποιήσει για άλλα προβλήματα. Τότε μπορεί να ανακαλύψει καινούρια και ενδιαφέροντα πράγματα. Η ανασκόπηση και διερεύνηση της λύσης, που ο Polya θεωρεί ως τέταρτο στάδιο της διαδικασίας ΕΜΠ, βοηθάει τον λύτη να αποκτήσει μία καλά οργανωμένη γνώση, έτοιμη να την χρησιμοποιήσει και να αναπτύξει την ικανότητα ΕΜΠ (Πατρώνης, 1998). Παραλληλίζοντας όλα τα παραπάνω με τον ορισμό που σύμφωνα με την English (1997b) δίνει ο Silver (1994) για την ΚΜΠ, συμπεραίνουμε ότι η ικανότητα ΕΜΠ συσχετίζεται άμεσα με την