ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ. Ενότητα 2 η Βαθµοί Ελευθερίας Στερεού Σώµατος & Κινηµατικοί Περιορισµοί

Transcript

1 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ Ενότητα 2 η Βαθµοί Ελευθερίας Στερεού Σώµατος & Κινηµατικοί Περιορισµοί

2 Αναπαράσταση µηχανισµού Η µονογραµµική απεικόνιση χρησιµοποιείται για την απλοποιηµένη αναπαράσταση σύνθετων πραγµατικών µηχανισµών Πραγµατική κατασκευή Μονογραµµική απεικόνιση

3 Αναπαράσταση µηχανισµού Σε απλούς µηχανισµούς, µε τη βοήθεια της µονογραµµικής απεικόνισης, γίνεται κατανοητός ο τρόπος λειτουργίας (κινητικότητα) του µηχανισµού. Σε σύνθετους µηχανισµούς, αυτό δεν είναι προφανές και απαιτείται η διατύπωση ενός συστηµατικού τρόπου για τον υπολογισµό της κινητικότητας (Mobility) ενός Μονογραµµική µηχανισµού (εύρεση πλήθους απεικόνιση Βαθµών Ελευθερίας µηχανισµού).

4 Περί κινητικότητας Έστω το αδρανειακό σύστηµα αναφορά x I O I y I και έστω το υλικό σηµείο Α. Η κίνηση του Α ως προς το x I O I y I ορίζεται πλήρως µέσω της οριζόντιας µετατόπισης u x,a και της κατακόρυφης µετατόπισης u y,a (2 ανεξάρτητες κινηµατικές µεταβλητές = 2 ΒΕ). Οµοίως για το υλικό Σηµείο Β. Άρα το ζεύγος των υλικών σηµείων Α,Β διαθέτει 2+2=4 Β.Ε. Έστω ότι µεταξύ των σηµείων Α,Β τοποθετείται µία πλήρως άκαµπτη ράβδος. Αυτό σηµαίνει ότι η απόσταση µεταξύ των Α,Β θα παραµένει πάντοτε σταθερή. Η απόσταση αυτή περιγράφεται από 1 εξίσωση, η οποία συσχετίζει τους Β.Ε. των Α,Β. Άρα, για το σύστηµα Α,Β,άκαµπτη ράβδος ισχύει: 4 1 = 3ΒΕ. Οµοίως, ένα απολύτως στερεό σώµα (n υλικά σηµεία), διαθέτει: - 3 Β.Ε. στο επίπεδο, (µετατοπίσεις u x,u y και στροφή θ z ) - 6 Β.Ε. στο χώρο (µετατοπίσεις u x,u y,u z και στροφές θ x,θ y,θ z ) Τοποθετούµε σωµατοπαγές σύστηµα αναφοράς στο κέντρο µάζας G του απολύτως στερεού σώµατος.

5 Περί κινητικότητας (συνέχεια) Έστω το αδρανειακό σύστηµα αναφορά x I O I y I και έστω τα υλικά σηµεία Α και Β. Η κίνηση του Α ως προς το x I O I y I ορίζεται πλήρως µέσω της οριζόντιας µετατόπισης u x,a και της κατακόρυφης µετατόπισης u y,a (2 ανεξάρτητες κινηµατικές µεταβλητές = 2 ΒΕ). Η κίνηση του Β ως προς το x I O I y I ορίζεται πλήρως µέσω της οριζόντιας µετατόπισης u x,β και της κατακόρυφης µετατόπισης u y,β (2 ανεξάρτητες κινηµατικές µεταβλητές = 2 ΒΕ). Άρα το ζεύγος των υλικών σηµείων Α,Β διαθέτει 2+2=4 Β.Ε. Έστω ότι µεταξύ των σηµείων Α,Β παρεµβάλλεται γραµµικό ελατήριο σταθεράς k. Το ελατήριο αυτό συνδέει, µεν, τα σηµεία Α και Β µεταξύ τους, ωστόσο επιτρέπει τη σχετική τους µετακίνηση, λόγω ελαστικότητας. Η συσχέτιση των σηµείων Α και Β λόγω ελαστικότητας, δεν περιορίζει την κινητικότητα των σηµείων αυτών. Άρα, το σύστηµα Α,Β,ελατήριο διαθέτει 4ΒΕ.

6 Περί κινητικότητας (συνέχεια) Έστω ότι η απεικονιζόµενη άκαµπτη δοκός αρθρώνεται στο σηµείο Α. Η δοκός περιστρέφεται περί του σηµείου Α (1 ΒΕ), αλλά δεν µετατοπίζεται (δέσµευση της δυνατότητας οριζόντιας και κατακόρυφης µετατόπισης, δηλαδή δεσµεύονται 2 ΒΕ). Συνεπώς, η απεικονιζόµενη κατασκευή διαθέτει 1 ΒΕ. Έστω ότι, στο άκρο Β, προστίθεται ένα γραµµικό ελατήριο κατά την κατακόρυφη διεύθυνση. Η άκαµπτη δοκός και πάλι έχει τη δυνατότητα της περιστροφής περί του σηµείου Α. Λόγω ελαστικότητας, το ελατήριο προβάλει κάποια αντίσταση (όχι άπειρη) στην κατακόρυφη κίνηση του άκρου Β. Το ανωτέρω σύστηµα δοκός-ελατήριο διαθέτει 1 Β.Ε. Έστω ότι, στο άκρο Β, αντί του ελατηρίου τοποθετείται µία πλήρως άκαµπτη ράβδος. Η άκαµπτη ράβδος προβάλει άπειρη αντίσταση στην κατακόρυφη κίνηση του άκρου Β, το οποίο και υποχρεώνεται σε ακινησία. Το ανωτέρω σύστηµα δοκός-άκαµπτη ράβδος διαθέτει 0 Β.Ε.

7 Ορισµός: Οι ανεξάρτητες κινήσεις ενός απολύτως στερεού σώµατος καλούνται Βαθµοί Ελευθερίας (ΒΕ) του σώµατος. 2 (επίπεδο) 3 (χώρος)

8 Κινηµατικοί περιορισµοί: περιορισµοί µεταξύ στερών σωµάτων που προκαλούν µείωση των (ΒΕ) του συστήµατος των σώµατος Κινηµατικοί περιορισµοί Στο επίπεδο (2 ) Στο χώρο (3 )

9 Κινηµατικοί περιορισµοί Έστω (Μ1) και (Μ2) δύο µέλη ενός µηχανισµού και (Σ12) η µεταξύ τους κινηµατική σύνδεση Η (Σ12) καλείται κινηµατική σύνδεση ανωτέρας τάξεως όταν καµπύλη ή επιφάνεια του (Μ1) συνεργάζεται, αντίστοιχα, µε καµπύλη ή επιφάνεια του (Μ2) Η (Σ12) καλείται κινηµατική σύνδεση κατωτέρας τάξεως όταν σηµείο, γραµµή ή επίπεδο του (Μ1) συνεργάζεται, αντίστοιχα, µε σηµείο, γραµµή ή επίπεδο του (Μ2)

10 Z Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό Έτος Κινηµατικοί περιορισµοί στο χώρο Εµποδίζονται οι µετατοπίσεις κατά x, y, z (δεσµεύονται 3 Β.Ε.) θ z θ y Y θ x X Επιτρέπεται η στροφή περί τους x-, y- και z- άξονες (3 µηδεσµευµένοι Β.Ε. ) Η σφαιρική άρθρωση διαθέτει (3) Β.Ε.: θ x θ y θ z Σφαιρική άρθρωση (Spherical pair: S-pair)

11 Z u z Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό Έτος Κινηµατικοί περιορισµοί στο χώρο Εµποδίζονται οι στροφές Y περί τους άξονες x, z και θ η µετατόπιση κατά y y (δεσµεύονται 3 Β.Ε.) u x X Επιτρέπεται η µετατόπιση κατά x, z και η στροφή περί τον y-άξονα (3 µηδεσµευµένοι Β.Ε. ) Η επίπεδη άρθρωση διαθέτει (3) Β.Ε.: u x u z θ y Επίπεδη άρθρωση (Planar pair: P-pair)

12 Z Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό Έτος Κινηµατικοί περιορισµοί στο χώρο Εµποδίζονται οι στροφές Y περί τους άξονες x, z και οι µετατοπίσεις κατά x, z (δεσµεύονται 4 Β.Ε.) u y θ y X Επιτρέπεται η µετατόπιση κατά y και η στροφή περί τον y-άξονα (2 µηδεσµευµένοι Β.Ε. ) Η κυλινδρική άρθρωση διαθέτει (2) Β.Ε.: u y θ y Κυλινδρική άρθρωση (Cylindrical pair: C-pair)

13 Z Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό Έτος Κινηµατικοί περιορισµοί στο χώρο Εµποδίζονται οι στροφές Y περί τους άξονες x, z και οι µετατοπίσεις κατά x, y, z (δεσµεύονται 5 Β.Ε.) θ y X Επιτρέπεται η στροφή περί τον y-άξονα (1 µηδεσµευµένος Β.Ε. ) Η περιστροφική Με χρήση ασφαλιστικών άρθρωση διαθέτει (1) δακτυλίων εµποδίζεται η κατακόρυφη µετατόπιση Β.Ε.: θ y Περιστροφική άρθρωση (Revolute pair: R-pair)

14 Η παρουσία της ελικοειδούς διαµόρφωσης µετατρέπει την περιστροφή θ y σε µεταφορά u y Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό Έτος Κινηµατικοί περιορισµοί στο χώρο Y θ y Εµποδίζονται οι στροφές περί τους άξονες x, z και οι µετατοπίσεις κατά x, y, z (δεσµεύονται 5 Β.Ε.) Επιτρέπεται η στροφή περί τον y-άξονα (1 µηδεσµευµένος Β.Ε. ) Z X Η κοχλιωτή άρθρωση διαθέτει (1) Β.Ε.: θ y Κοχλιωτή ή ελικοειδής άρθρωση (Screw pair: H-pair)

15 Y Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό Έτος Κινηµατικοί περιορισµοί στο επίπεδο Εµποδίζονται οι µετατοπίσεις κατά x και y (δεσµεύονται 2 Β.Ε.) θ z Επιτρέπεται η στροφή περί τον z-άξονα (µη-δεσµευµένος Β.Ε.) Η περιστροφική X άρθρωση στο επίπεδο διαθέτει (1) Β.Ε.: θ z Περιστροφική άρθρωση στο επίπεδο (planar revolute pair: R-pair)

16 Κινηµατικοί περιορισµοί στο επίπεδο Εµποδίζονται η µετατόπιση κατά y και η στροφή περί του z-άξονα (δεσµεύονται 2 Β.Ε.) Επιτρέπεται η µετατόπιση κατά x (1 µηδεσµευµένος Β.Ε.) Y X u x Η πρισµατική άρθρωση στο επίπεδο διαθέτει (1) Β.Ε.: u x Πρισµατική ή γραµµική άρθρωση στο επίπεδο (planar prismatic pair: P-pair)

17 Κινηµατικοί περιορισµοί στο επίπεδο Εµποδίζεται η µετατόπιση κατά τη διεύθυνση n-n (κάθετη διεύθυνση) (δεσµεύεται 1 Β.Ε.) Επιτρέπεται η µετατόπιση κατά τη διεύθυνση t-t (εφαπτοµενική διεύθυνση) και η στροφή περί τον z-άξονα (2 µη-δεσµευµένοι Β.Ε.) t-t n-n θ z Η άρθρωση ανωτέρας τάξεως στο επίπεδο διαθέτει (2) Β.Ε.: u t-t θ z Άρθρωση ανωτέρας τάξεως (higher pair) στο επίπεδο

18 Εύρεση (ΒΕ) επίπεδου µηχανισµού Το πλήθος των Βαθµών Ελευθερίας (ΒΕ) ενός επίπεδου µηχανισµού υπολογίζεται µε τη βοήθεια της εξίσωσης Kutzbach: F = 3(n-1) 2f 1 f 2 F = πλήθος (ΒΕ) του µηχανισµού n = πλήθος µελών (περιλαµβάνεται και η βάση) f 1 = πλήθος συνδέσεων που διαθέτουν (1-ΒΕ) f 2 = πλήθος συνδέσεων που διαθέτουν (2-ΒΕ) Συλλογιστική: Από το συνολικό πλήθος ΒΕ του µηχανισµού, διαγράφονται οι δεσµευµένοι ΒΕ

19 Εύρεση (ΒΕ) επίπεδου µηχανισµού Εάν F<0 τότε ο εξεταζόµενος µηχανισµός είναι απολύτως στερεό σώµα και υπερ-ορισµένος (υπερστατικός) Εάν F=0 τότε ο εξεταζόµενος µηχανισµός είναι απολύτως στερεό σώµα Εάν F>0 τότε το πλήθος των Βαθµών Ελευθερίας (ΒΕ) του εξεταζοµένου µηχανισµού ισούται µε F Αντίστοιχη συλλογιστική ισχύει και για τους µηχανισµούς στο χώρο

20 (ΒΕ) επίπεδου µηχανισµού: παράδειγµα 1 ο! Προσοχή! D & E: λειτουργούν ως µία άρθρωση διότι έχουν κοινό άξονα άρθρωσης n = 4 (µέλη 1,2,3 & βάση 4) f 1 = 4 (στις θέσεις A, B, C, D) f 2 = 0 F = 3 (4-1) = 1

21 (ΒΕ) επίπεδου µηχανισµού: παράδειγµα 2 ο C C A B D B A D n = 4 (3 + 1 βάση) f 1 = 4 (στις θέσεις A,C,D [περιστροφικές αρθρώσεις] και B [πρισµατική άρθρωση]) f 2 = 0 F = 3 (4-1) = 1

22 5 A 6 Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό Έτος (ΒΕ) επίπεδου µηχανισµού: παράδειγµα 3 ο 4 E C D 3 6 Β Προσοχή: Στη θέση C συντρέχουν τρία µέλη (2,3,4), άρα στη θέση C υπολογίζονται 2 αρθρώσεις Προσοχή: Στη θέση E, τα µέλη 4,5 συνδέονται µε µία περιστροφική άρθρωση και τα µέλη 5,6 µε µία πρισµατική άρθρωση, άρα στη θέση Ε υπολογίζονται 2 αρθρώσεις n = 6 (5 + 1 βάση) f 1 = 7 (A,B,C,C,D,E,E) f 2 = 0 F = 3 (6-1) = 1

23 (ΒΕ) επίπεδου µηχανισµού: παράδειγµα 4 ο! Προσοχή! - Η σύνδεση στη θέση Β αφορά στη συνεργασία δύο καµπυλών, άρα πρόκειται για σύνδεση ανωτέρας τάξεως. -Οµοίως για τη θέση D. -Στη θέση 4, υπάρχει πρισµατική άρθρωση n = 4 (3 + 1 βάση) f 1 = 3 (A,C,4) f 2 = 2 (B,D) F = 3 (4-1) = 1

24 (ΒΕ) επίπεδου µηχανισµού: παράδειγµα 5 ο n = 8 (7 + 1 βάση) f 1 = 9 (A,B,C,D,E,F,G,H,I) f 2 = 0 F = 3

25 (ΒΕ) επίπεδου µηχανισµού: παράδειγµα 6 ο n = 8 (6 + 1 τριγωνική πλάκα + 1 βάση) f 1 = 9 (C 1,Β 1,Α 1,Α 2,Β 2, C 2, Α 3,Β 3,C 3 ) f 2 = 0 F = 3 Μηχανισµός µε 3 (ΒΕ) & κινητή τριγωνική πλάκα

26 Κάθε σκέλος αποτελείται από δύο µέλη, συνδεόµενα µεταξύ τους µε µία πρισµατική άρθρωση A (ΒΕ) επίπεδου µηχανισµού: παράδειγµα 7 ο E Σκέλος #1 Σκέλος #2 Σκέλος #3 B D Πλατφόρµα Stewart µε 3 (ΒΕ) C n = 8 (1+3Σκέλη 2µέλη/σκέλος + 1 βάση) f 1 = 9 C,D,E,A,A,B, πρισµατική σε Σκέλη#1,#2,#3 f 2 = 0 F = 3

27 (ΒΕ) επίπεδου µηχανισµού: παράδειγµα 8 ο A n = 8 Σκέλος #3 Σκέλος#2 F E (3 Σκέλη 2µέλη/σκέλος + 1 τριγωνική πλάκα + 1 βάση) D f 1 = 9 B Η τριγωνική πλάκα είναι ισόπλευρη C Σκέλος #1 Πλατφόρµα Stewart µε 3 (ΒΕ) (A,B,C,D,E,F, πρισµατική σε Σκέλη #1,#2,#3) f 2 = 0 F = 3

28 Παράδειγµα 3 µηχανισµού: Πλατφόρµα Stewart 6-3 Κάθε σκέλος αποτελείται από δύο µέλη, συνδεόµενα µεταξύ τους µε µία πρισµατική άρθρωση Σκέλη 6 σκέλη 2µέλη/σκέλος + 1 κάτω πλάκα + 1 άνω πλάκα = 14 µέλη µε 6 ΒΕ/µέλος, άρα: Σύνολο Β.Ε. = (14-1) 6 = 78 Σύνδεση κάτω σκέλη κάτω πλάκα: 6 στροφικές αρθρώσεις, δεσµεύονται όλες οι µετατοπίσεις και η στροφή περί του άξονα του σκέλους, άρα δεσµεύονται 6 4 = 24ΒΕ Σύνδεση κάτω σκέλη άνω σκέλη: 6 πρισµατικές αρθρώσεις, επιτρέπεται η µετατόπιση κατά διεύθυνση σκέλους και στροφή περί άξονα σκέλους, άρα δεσµεύονται 6 4 = 24ΒΕ Σύνδεση άνω σκέλη άνω πλάκα: 6 στροφικές αρθρώσεις, δεσµεύονται όλες οι µετατοπίσεις και η στροφή περί του άξονα του σκέλους, άρα δεσµεύονται 6 4 = 24ΒΕ Σύνολο δεσµευµένων Β.Ε. = 2 24 = 72

29 Παράδειγµα µηχανισµού: Εκσκαφέας Νύξη #1: Προσοχή στη θέση Q Θεωρώντας ότι η καµπίνα του χειριστή δεν περιστρέφεται, µπορείτε να υπολογίσετε τους Β.Ε. του εκσκαφέα; Νύξη #2: Προσοχή στις πρισµατικές αρθρώσεις