ANALIZĂ MATEMATICĂ Noţiuni teoretice şi probleme rezolvate. Mircea Olteanu

Transcript

1 @

2

3 ANALIZĂ MATEMATICĂ Noţiui teoretice şi probleme rezolvate Mircea Olteau

4

5 Cupris Serii de umere 7. Noţiui teoretice Serii cu termei pozitivi Serii cu termei oarecari Spaţii metrice. Cotiuitate 9. Noţii teoretice Spaţii metrice Teorema cotracţiei Fucţii cotiue Spaţii ormate şi operatori liiari Şiruri de fucţii. Fucţii elemetare Noţiui teoretice Şiruri şi serii de fucţii Formula lui Taylor. Serii Taylor Serii de puteri, fucţii elemetare Fucţii difereţiabile 7 4. Noţiui teoretice Derivate parţiale şi difereţiala Difereţiala fucţiei compuse Extreme locale Fucţii implicite Extreme cu legături Itegrale improprii şi cu parametri 6 5. Noţiui teoretice Itegrale improprii Itegrale cu parametri

6 6 Măsură şi itegrală 8 6. Noţiui teoretice Fucţii itegrabile Serii Fourier Operatori pe spaţii Hilbert Itegrale duble şi triple 9 7. Noţiui teoretice Itegrale duble Itegrale triple Itegrale curbiliii şi de suprafaţă Noţiui teoretice Itegrale curbiliii Itegrale de suprafaţă Formule itegrale Noţiui teoretice Formula Gree-Riema Formula Gauss-Ostrogradski Formula lui Stokes Exemple de teste petru exame 89. Aaliză matematică I Aaliză matematică II

7 Itroducere Această lucrare este rezultatul cursurilor şi semiariilor de aaliză matematică ţiute de autor studeţilor ailor îtâi ai Facultăţilor de Automatică şi Electroică di Uiversitatea Politehica Bucureşti. Cartea este structurată î zece capitole, coţiâd exerciţii rezolvate care acoperă programa cursului de aaliză di primul şi al doilea semestru. Î ultimul capitol sut exemple de subiecte propuse la exameele de aaliză matematică. Fiecare capitol îcepe cu o secţiue teoretică ce coţie pricipalele oţiui şi rezultate ecesare rezolvării exerciţiilor. Desigur, petru îţelegerea coceptelor fudametale ale aalizei este ecesară o pregătire teoretică suplimetară. Petru aceasta, sut recomadate cursurile care se adresează studeţilor di îvătămâtul superior tehic; o listă cu acestea se găseşte î bibliografia de la sfârşit, îdeosebi lucrările [4], [6], [9]. De asemeea, se recomadă cosultarea şi a altor culegeri de probleme, de exemplu [], [], [3], [4]. 5

8 6

9 Capitolul Serii de umere. Noţiui teoretice Relaţii Dacă M este o mulţime arbitrară evidă, orice submulţime ρ M M se umeşte relaţie pe M. Se otează xρy dacă (x, y) ρ. Relaţia ρ se umeşte: reflexivă dacă xρx, x M; simetrică dacă xρy yρx; atisimetrică dacă xρy şi yρx x = y; trazitivă dacă xρy şi yρz xρz. O relaţie se umeşte relaţie de ordie dacă este reflexivă, atisimetrică şi trazitivă. Relaţia de ordie ρ (pe mulţimea M) se umeşte totală (sau se mai spue că mulţimea M este total ordoată) dacă petru orice x, y M rezultă xρy sau yρx. Î cele ce urmează (M, ) este o mulţime total ordoată, iar X este o submulţime evidă a lui M. U elemet a M se umeşte majorat al mulţimii X dacă x a, x X. Dacă mulţimea majoraţilor lui X este evidă, atuci X se umeşte majorată. U elemet b M se umeşte miorat al lui X dacă b x, x X. Mulţimea X se umeşte miorată dacă mulţimea mioraţilor săi este evidă. Mulţimea X se umeşte mărgiită dacă este şi majorată şi miorată. Dacă X este o submulţime majorată a lui M, atuci u elemet α M se umeşte margiea superioară a lui X dacă: i. x α, x X; (α este majorat). ii. dacă x γ, x X, atuci α γ; (α este cel mai mic majorat). 7

10 8 CAPITOLUL. SERII DE NUMERE Aalog se defieşte margiea iferioară a uei mulţimi miorate. Notaţiile uzuale petru margiea superioară şi margiea iferioară ale lui X (dacă există) sut sup X şi, respectiv, if X. Mulţimi de umere Mulţimea N = {,,,...} a umerelor aturale se defieşte axiomatic după cum urmează (axiomele lui Peao): i. există s : N N fucţie ijectivă (fucţia succesor); ii. există N astfel îcât fucţia s : N N \ {} este bijectivă; iii. petru orice submulţime A N cu proprietăţile N şi s() A, N, rezultă A = N (pricipiul iducţiei matematice). Mulţimea umerelor îtregi este Z = {...,,,,,,...}, iar mulţimea umerelor raţioale este: Q = { m m, Z,, cu coveţia m = p k dacă mk = p}. Pri defiiţie, mulţimea umerelor reale R satisface axiomele următoare: i. structura algebrică: există două operaţii (aduarea şi îmulţirea, otate + şi ) astfel îcât (R, +, ) este corp comutativ; ii. structura de ordie: există o relaţie de ordie totală pe R (otată ), compatibilă cu operaţiile algebrice: x y x + z y + z, x, y, z R x y xy, x, y R. iii. axioma margiii superioare (Cator): orice submulţime evidă şi majorată a lui R are o margie superioară î R. { x dacă x Modulul uui umăr real x R este x = x dacă x < Mulţimea C a umerelor complexe este mulţimea perechilor ordoate de umere reale, C = R R. Cu operaţiile (a, b) + (c, d) = (a + b, c + d) şi (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc), (C, +, ) este corp comutativ. Se otează i = (, ) şi idetificâd perechile de forma (a, ) cu umărul real a, orice umăr complex z C se scrie z = a + ib, a, b R; pri calcul direct se obţie i =. Modulul umărului complex z = a + ib este, pri defiiţie, z = a + b ; proprietăţile modulului sut: i. z, z C

11 .. NOŢIUNI TEORETICE 9 ii. z = z = iii. z + w z + w, z, w C iv. zw = z w, z, w C. Fie z C, z ; argumetul (redus) al lui z este, pri defiiţie, ughiul ϕ [, π) făcut de semidreptele Ox şi Oz (î ses trigoometric pozitiv). Forma trigoometrică a lui z este z = z (cos ϕ + si ϕ). Şiruri de umere U şir de umere reale (complexe) este orice aplicaţie x : N R(respectiv C); otaţia uzuală este x() = x, N. Dacă ϕ : N N este o fucţie strict crescătoare, atuci x ϕ() se umeşte subşir al şirului x. U şir de umere reale (sau complexe) se umeşte coverget dacă există u umăr real (respectiv complex) a cu proprietatea: ɛ >, N(ɛ) N astfel îcât N(ɛ), x a < ɛ. Î acest caz, umărul a se umeşte limita şirului şi se otează a = lim x. Dacă există, limita este uică. U şir este coverget dacă şi umai dacă orice subşir al său este coverget. Şirul x (de umere reale sau complexe) se umeşte mărgiit dacă există M > astfel îcât x M, N. Şirul x de umere reale se umeşte mooto dacă N, x x + (crescător), sau N, x x + (descrescător). Orice şir coverget este mărgiit. Petru şiruri de umere reale are loc şi următorul rezultat (teorema lui Weierstrass): Orice şir mooto şi mărgiit este coverget; dacă şirul este crescător, atuci limita este margiea sa superioară (sup x ), iar dacă şirul este descrescător, atuci limita este margiea sa iferioară (if x ). U şir x se umeşte şir Cauchy (sau fudametal) dacă: ɛ >, N(ɛ) N astfel îcât, m N(ɛ), x x m < ɛ. Mulţimea umerelor reale are următoarea proprietate de completitudie (criteriul geeral al lui Cauchy de covergeţă): U şir de umere reale este coverget (î R) dacă şi umai dacă este şir Cauchy. Mulţimea umerelor raţioale u are această proprietate: ( de exemplu, şirul (crescător şi mărgiit de umere raţioale) x = + ) este şir Cauchy, dar u are limită raţioală. Î schimb, există lim x R.

12 CAPITOLUL. SERII DE NUMERE Şirurile de umere complexe covergete (Cauchy) se pot caracteriza cu ajutorul şirurilor de umere reale covergete (respectiv Cauchy): i. z = x + iy este şir (de umere complexe) coverget dacă şi umai dacă şirurile (de umere reale) x şi y sut şiruri covergete. Î acest caz, lim z = lim x + i lim y. ii. z = x + iy este şir Cauchy î C dacă şi umai dacă x şi y sut şiruri Cauchy î R. Mulţimea umerelor complexe are (ca şi mulţimea umerelor reale) proprietatea de completitudie: u şir de umere complexe este coverget dacă şi umai dacă este şir Cauchy. Se spue că u şir de umere reale x are limita dacă: M >, N M N astfel îcât N M, x > M. Şirul de umere reale x are limita dacă: M <, N M N astfel îcât N M, x < M. U şir de umere complexe z are limita dacă: M >, N M N astfel îcât N M, z > M. Serii de umere Fie x u şir de umere complexe şi fie s = x k şirul sumelor parţiale asociat. Seria x se umeşte covergetă dacă şirul s este şir coverget; î caz cotrar seria se umeşte divergetă. Dacă seria este covergetă, atuci limita şirului s este suma seriei, otată x. Seria x se umeşte absolut covergetă dacă seria x este serie covergetă. Orice serie absolut covergetă este covergetă, reciproca fiid falsă. Dacă x = u + iv, u R, v R, atuci seria x este covergetă dacă şi umai dacă seriile u şi v sut ambele covergete. Dăm î cotiuare două exemple remarcabile de serii. Seria geometrică Fie z C (umit raţie) şi fie seria geometrică z. Atuci seria este covergetă dacă şi umai dacă z <. I acest caz suma seriei este: z = z. k=

13 .. NOŢIUNI TEORETICE Evidet, dacă z = seria este divergetă; petru orice z C, z şirul sumelor parţiale este: s = k= z k = z+ z, z. De aici rezultă că s este coverget dacă şi umai dacă z <. Seria lui Riema (seria armoică geeralizată) Fie α R şi fie seria α. Seria dată este covergetă dacă şi umai dacă α > ; î particular, seria armoică este divergetă. Fie α. Vom demostra că şirul sumelor parţiale s este emărgiit, deci diverget; petru orice N, avem iegalităţile: s = + α + 3 α α ( (... + ) ( ) ) = +. Fie acum α > ; este suficiet să arătăm că şirul sumelor parţiale este mărgiit (fiid crescător, rezultă coverget). Petru orice N avem iegalităţile: ( s = + α + ) ( 3 α + 4 α + 5 α + 6 α + ) 7 α ( ) + ( )α + ( )α α + α α α ( )α = = + α + (α ) + 3(α ) De aici rezultă că şirul s este mărgiit. α. ( )(α ) α

14 CAPITOLUL. SERII DE NUMERE Criterii de covergeţă petru serii de umere. Criteriul geeral al lui Cauchy. Fie z C u şir de umere complexe; atuci seria z este covergetă dacă şi umai dacă ε >, N(ε) N cu proprietatea z + + z z +p < ε, N(ε), p N.. Criteriul comparaţiei Fie u v. a. Dacă seria u este covergetă, atuci şi seria v este covergetă. b. Dacă seria v este divergetă, atuci şi seria u este divergetă. 3. Criteriul de comparaţie la limită Fie u > şi v >. u a. Dacă lim există şi este u umăr real eul, atuci cele două serii v au aceeaşi atură. b. Î particular, dacă v =, atuci obţiem criteriul de comparaţie la α limită cu seria lui Riema: Fie l = lim α u. i. Dacă α > şi l R, ( l poate fi şi ), atuci seria u este covergetă. ii. Dacă α şi l >,(l poate fi şi ) atuci seria u este divergetă. 4. Criteriul raportului (al lui D Alembert) u + Fie u > ; presupuem că există lim = l u a. Dacă l <, atuci seria u este covergetă. b. Dacă l >, atuci seria u este divergetă. O variată (mai geerală) a acestui criteriu este: Dacă există c (, ) şi N astfel îcât u + u < c,, atuci seria u este covergetă. 5. Criteriul rădăciii (al lui Cauchy) Fie u > ; presupuem că există lim u = l. a. Dacă l <, atuci seria u este covergetă.

15 .. NOŢIUNI TEORETICE 3 b. Dacă l >, atuci seria u este divergetă. O variată (mai geerală) a acestui criteriu este: Dacă există c (, ) şi N astfel îcât u < c,, atuci seria u este covergetă. 6. Criteriul Raabe-Duhamel Fie u ( > ; presupuem ) că există lim u = l. u + a. Dacă l >, atuci seria u este covergetă. b. Dacă l <, atuci seria u este divergetă. 7. Criteriul logaritmic l u Fie u > ; presupuem că există lim l = l. a. Dacă l >, atuci seria u este covergetă. b. Dacă l <, atuci seria u este divergetă. 8. Criteriul codesării Fie u u +, N. Atuci seriile u şi u au aceeaşi atură. 9. Criteriul itegral Fie f : (, ) [, ) o fucţie descrescătoare şi fie şirul a = f(t)dt. Atuci seria f() este covergetă dacă şi umai dacă şirul a este coverget.. Criteriul lui Leibiz Fie u şi fie seria alterată ( ) u. Dacă şirul u este descrescător şi are limita zero, atuci seria este covergetă.. Criteriul Abel-Dirichlet Fie a u şir descrescător cu a şi fie u u şir de umere complexe

16 4 CAPITOLUL. SERII DE NUMERE astfel îcât şirul sumelor parţiale u k este mărgiit. Atuci seria k= este covergetă. a u Covergeţă codiţioată O serie covergetă u se umeşte ecodiţioat covergetă dacă petru orice permutare (fucţie bijectivă) σ : N N, seria u σ() este de asemeea covergetă; altfel, seria se umeşte codiţioat covergetă. Dăm î cotiuare două rezultate remarcabile cu privire la covergeţa codiţioată: Teorema lui Dirichlet Orice serie absolut covergetă este ecodiţioat covergetă. Teorema lui Riema Fiid date o serie covergetă, dar u absolut covergetă şi S R {± }, atuci există o permutare a termeilor seriei iiţiale astfel îcât suma oii serii să fie S. Aproximarea sumelor seriilor covergete Evidet, suma uei serii covergete se poate aproxima cu termeii şirului sumelor parţiale. Dăm mai jos două rezultate î acest ses. Aproximarea sumelor seriilor cu termei pozitivi Fie u şi fie k astfel îcât u + < k <, N. Dacă S u este suma seriei covergete u, iar s = u este suma primilor N + termei, atuci: S s < k k u. k= Aproximarea sumelor seriilor alterate Fie N( ) u o serie alterată covergetă, şi fie S suma sa. Dacă S = ( ) k u k este suma primilor + termei, atuci k= S S u +.

17 .. SERII CU TERMENI POZITIVI 5. Serii cu termei pozitivi Să se studieze atura următoarelor serii cu termei pozitivi defiite de şirul x (exerciţiile -3):. x = ( 3 ) 3 + Seria diverge; se aplică criteriul ecesar: lim x = 3 e.. x =! Seria coverge; se apoate aplica criteriul comparaţiei: x, 4. lim 3 x =, deci seria co- 3. x = +. Aplicăm criteriul de comparaţie la limită: verge. 4. x = 3 + 3, a R a lim α x = lim α a ( 3 ( + ) + 3 ( + ) + 3 ). Alegâd α = a + 3, se obţie limita 3 (fiită şi eulă) şi deci, coform criteriului de comparaţie la limită, seria este covergetă dacă şi umai dacă a > x = a +, a R Se amplifică cu cojugata şi se procedează ca î exemplul precedet. 6. x = ( l + ) Se compară la limită cu ; seria este divergetă.

18 6 CAPITOLUL. SERII DE NUMERE 7. x = ( ) l Se compară la limită cu. 8. x = a l ( + b ), a, b R Se compară la limită cu b a. l( + ) 9. x = 3 + Petru orice α (, 3 ) se obţie lim α x = şi deci seria este covergetă.. x =! Aplicăm criteriul lui D Alembert: deci seria coverge. x + lim x ( ) a. x =!, a R Se aplică criteriul raportului: x + lim x ( ) = lim = + e <, ( = lim a = + ) a e Dacă a < e, atuci seria este covergetă; dacă a > e, atuci seria este divergetă. Petru a = e, aplicăm criteriul lui Raabe-Duhamel: ( ) (( ) lim x + ) = lim x + e = (( = + ) ) e = e lim ( + ) e. Ultima limită se calculează aplicâd regula lui L Hopital: ( + x) x e ( + x) x [x ( + x) l( + x)] lim = lim x x x x = e ;

19 .. SERII CU TERMENI POZITIVI 7 rezultă că seria este divergetă. Observaţie: petru a = e, divergeţa seriei se poate demostra şi aplicâd criteriul ecesar: şirul x u coverge la zero.. x = (!) ()! Seria este covergetă; se aplică criteriul raportului. ( ) a(a )...(a + ) 3. x = ( + ), a Z. (a + )(a + )...(a + + ) Aplicâd criteriul raportului, rezultă: x + ( + 3)(a ) lim = lim =. Cu criteriul Raabe-Duhamel, x ( + )(a + + ) ( ) se obţie: lim x = 4a + 3. Dacă a > x, atuci seria coverge; dacă a <, seria diverge; dacă a =, atuci x = + şi deci + seria diverge.! 4. x = (a + )(a + )...(a + ), a >. Criteriul raportului u decide; aplicâd criteriul Raabe-Duhamel, se obtie: ( ) ( ) lim x a + + = lim x = a, + + deci petru a < seria diverge, iar petru a > coverge; dacă a =, se obţie seria armoică (divergetă) ( ) 5. x = Seria este divegetă (criteriul Raabe-Duhamel). 6. x = ( ) Se aplică criteriul lui Raabe-Duhamel: seria este covergetă. ( 7. x = 3 l )

20 8 CAPITOLUL. SERII DE NUMERE Criteriul rădăciii u decide; aplicâd criteriul logaritmic, se obţie: deci seria coverge. lim l( 3 l ) l ( ) + 8. x = 3 + Seria coverge; se aplică criteriul rădăciii. ( ) a + 9. x =, a >, b > b + Aplicâd criteriul rădăciii se obţie: lim x = a b. = 3, Dacă a < b, atuci seria coverge, iar dacă a > b seria diverge. Dacă a = b, atuci seria diverge (criteriul ecesar). {. x = a dacă par a, a > dacă impar Aplicâd criteriul rădăciii, se obţie lim x = a, deci dacă a <, seria este covergetă, iar dacă a >, seria este divergetă; petru a =, seria este divergetă (criteriul ecesar). Să mai observăm că petru această serie, criteriul raportului u decide.. x = x = cos π l( + ) si π l( + ) = si π l( + ) <. x = l l( + ) π l( + ) <, deci seria coverge.

21 .. SERII CU TERMENI POZITIVI 9 x < l = l deci seria coverge. ( ) l(l ) 3. x =. l Se aplica criteriul logaritmic: deci seria diverge.. Se aplică acum criteriul logaritmic: ( ) l ( ) l l(l ) lim = lim =, l l lim l(l ) l (l ) l (l(l )) = lim l =, 4. x =. ( Di iegalitatea > + ), 3 rezultă >, deci seria este divergetă. 5. x = l. Se aplică criteriul itegral: lim deci seria diverge. dx = lim l(l ) l(l )) =, x l x 6. x = l Seria coverge (se aplică criteriul itegral). 7. x = a (!), a > ()! Se aplică criteriul raportului: x + x = a( + ) ( + )( + ) a 4.

22 CAPITOLUL. SERII DE NUMERE Rezultă că petru a (, 4) seria coverge, iar petru a > 4, seria diverge. Petru a = 4, se aplică criteriul Raabe-Duhamel: ( ) ( ) x ( + )( + ) lim = lim x + 4( + ) =, deci seria diverge. a(a + )...(a + ) 8. x = b(b + )...(b + ) (c ), a >, b >, c > Se aplică criteriul raportului: x + lim x a + = lim (c ) = c, b + deci petru < c < 3 seria coverge, şi petru c > 3 seria diverge; dacă c = 3, se aplică criteriul Raabe-Duhamel şi rezultă: dacă b a < seria diverge, dacă b a >, seria coverge. Dacă b a =, atuci seria este divergetă (seria armoică). 9. x = p l q, p >, q >. Dacă p >, atuci seria coverge petru orice q > deoarece (se aplică criteriul comparaţiei): x p. Dacă p =, se aplică criteriul itegral: seria coverge dacă şi umai dacă q >. Dacă p < se aplică criteriul de codesare: seria are aceeaşi atură cu seria cu termeul geeral q (p ) l q, care este divergetă petru orice q > (se poate aplica criteriul raportului). 3. x = α si π, α R Aplicâd criteriul de comparaţie la limită, rezultă că seria are aceeaşi atură cu seria α+.

23 .3. SERII CU TERMENI OARECARI.3 Serii cu termei oarecari Să se studieze covergeţa şi absolut covergeţa seriilor defiite de şirul x (exerciţiile 3-5): 3. x = ( ) Seria u este absolut covergetă (seria modulelor este seria armoică), dar este covergetă (cu criteriul lui Leibiz): este descrescător la. { 3. x = dacă impar dacă par Să observăm mai îtâi că u se poate aplica criteriul lui Leibiz; şirul { a = dacă impar dacă par tide la zero dar u este descrescător. Vom arăta acum că seria este divergetă, deci codiţia de mootoie di ipoteza criteriului lui Leibiz este ecesară. Şirul sumelor parţiale are u subşir diverget: ( s = ) ( ), deci seria este divergetă (coform criteriului ecesar). { dacă impar 33. x = dacă par 3 Seria este absolut covergetă. { dacă impar Pe de altă parte, şirul a = u este descrescător, dacă par 3 ceea ce arată că criteriul lui Leibiz u este ecesar petru covergeţa uei serii alterate. 34. x = ( ) Seria este divergetă: se aplică criteriul ecesar.

24 CAPITOLUL. SERII DE NUMERE ( 35. x = si π ) + Seria este alterată: ( x = ( ) si π ) + π = ( ) si + +. Seria este covergetă (cu criteriul lui Leibiz). si x 36. x =, x R Dacă x = kπ, k Z, atuci x =, N; presupuem î cotiuare că x kπ, k Z. Arătăm mai îtâi că seria u este absolut covergetă: x = si(x) si (x) = cos(x), N. Deci, presupuâd pri absurd că seria dată ar fi absolut covergetă, ar rezulta (cu criteriul de comparaţie) că şi seria cos(x) ar fi covergetă. Seria cos(x) este covergetă (aplicăm criteriul Abel Dirichlet): fie a = şi u = cos(x). Atuci a este descrescător la, iar u are şirul sumelor parţiale mărgiit: cos(x) = si(x) cos( + )x si x si x. k= Rezultă că şi seria ar trebui să fie covergetă, fiid suma a două serii covergete: cotradicţie. Arătăm acum că seria este covergetă, tot cu criteriul Abel-Dirichlet; fie a = şi u = si(x). Atuci a este descrescător la, iar u are şirul sumelor parţiale mărgiit: si(kx) = k= si x si (+)x si x si x. si x 37. x = α, x R, α R Dacă x = kπ, k Z, atuci x = ; presupuem x kπ, k Z. Dacă α,

25 .3. SERII CU TERMENI OARECARI 3 atuci x u coverge la, deci seria diverge. Presupuem α >. Dacă α >, atuci seria este absolut covergetă (cu criteriul de comparaţie): x α. Dacă α (, ], atuci seria u este absolut covergetă (am demostrat î exerciţiul aterior că petru α = seria u este absolut covergetă), dar este covergetă (cu criteriul Abel-Dirichlet). 38. x = ( ) si Seria u este absolut covergetă (se compară la limită cu seria armoică). Seria este alterată; vom demostra că şirul a = si este descrescător la, deci seria coverge. Evidet a ; petru a arăta că a este descrescător (îcepâd de la u rag suficiet de mare), fie fucţia f(x) = x x si x. Calculăm f (x) = x x ( ( l x) si x cos x Petru a studia semul derivatei (petru x mare ), calculăm: lim ( l x) si x x cos si x = + lim x x x ). l x x =, deci f (x) < petru x suficiet de mare, deci şirul a este descrescător. ( + i) 39. x = 3 Seria este absolut covergetă: x = ( + i) 3 = ( ) 5, ultima serie fiid covergetă (criteriul raportului sau al rădăciii). 4. x = + i Seria este divergetă; x = + i = i + = 3 + i +.

26 4 CAPITOLUL. SERII DE NUMERE Seriile + şi u sut ambele covergete (prima diverge, + a doua coverge), deci seria di euţ diverge. 4. x = ( + i) Seria este absolut covergetă: x = seria armoică. 4. x = z, z C ; se compară la limită cu ( + ) Dacă z <, atuci seria este absolut covergetă (cu criteriul raportului). Dacă z >, atuci seria este divergetă, deoarece x u coverge la. Studiem acum cazul z = ; fie z = e it, t R. Atuci x = eit = cos(t) + i si(t). Seria u este absolut covergetă deoarece x =. Dacă t = kπ, k Z, atuci seria este divergetă: x =. Dacă t kπ, atuci seriile cos(t) şi si(t) sut ambele covergete (cu criteriul Abel-Dirichlet, ca î exerciţiul 36). 43. x = z!, z C Seria este absolut covergetă. 44. x = z α, z C, α R Dacă z <, seria este absolut covergetă petru orice α R; dacă z >, atuci seria este divergetă petru orice α R. Dacă z =, şi α >, seria coverge absolut, iar dacă α, seria diverge. I cazul z = şi α (, ] se procedează ca î exerciţiile 36,37 şi x = si ( + i( ) l + )

27 .3. SERII CU TERMENI OARECARI 5 Seria este covergetă deoarece seriile: si şi ( ) l ( + ) sut covergete (se aplică criteriul de comparaţie la limită cu şi, respectiv, criteriul lui Leibiz); seria u este absolut covergetă (se aplică criteriul de comparaţie la limită cu petru seria modulelor). 46. x = a + ( ), a R Dacă a = seria este covergetă dar u este absolut covergetă. Dacă a, atuci seria este divergetă. 47. x = a 3 + b( ) 3 + Dacă b = seria este absolut covergetă petru orice a R. Dacă b, atuci seria este covergetă dar u este absolut covergetă a R. 48. x = şi x = Seria este divergetă: (x + x ) =. 49. x = 3 şi x = 5 Seria este absolut covergetă: x = x = 5 3 şi x = 5 3 Seria este covergetă dar u absolut covergetă: + + x ) = (x ( 5 3 ) = 5 (5 3)(5 ).

28 6 CAPITOLUL. SERII DE NUMERE 5. Î seria covergetă ( ) + = să se permute 4 ordiea termeilor astfel îcât să se obţiă o serie covergetă dar cu o altă sumă. Seria ( ) + este covergetă şi suma sa este u umăr eul S >. Meţioăm că suma acestei serii este l, dar acest rezultat u se va folosi î raţioametul următor. Fie deci: = S Îmulţid egalitatea de mai sus cu, rezultă: = S Îsumăm acum cele două egalităţi grupâd termeii astfel: ( + + ) + ( ) + ( ) ( + 8 ) + ( ) = 3 S. Seria de mai sus este (după efectuarea calculelor di parateze): = 3 S, care este o permutare a seriei iiţiale. Să se aproximeze cu o eroare mai mică decât ɛ sumele seriilor defiite de şirul x (exerciţiile 5-56) 5. x = ( ), ɛ = 3! Î cazul seriilor alterate, eroarea este mai mică decât primul terme eglijat; deci cea mai mică soluţie a iecuaţiei x < ɛ este ragul primului terme eglijat. Obţiem:! < 3 = 7, deci 6 ( ) k S =, k! k=

29 .3. SERII CU TERMENI OARECARI x = ( ) 3, ɛ =. 3 > = 4, deci S 54. x =!, ɛ = 3 3 k= Dacă S este suma seriei şi s = k S s = deci S, =, 675. k!, atuci ( + )! + ( + )! +...! < 3 = 6, 55. x =!, ɛ = 4 Fie S suma seriei şi s suma primilor termei. Aplicăm rezultatul cu privire la aproximarea uei serii cu termei pozitivi (a se vedea secţiuea teoretică); petru aceasta, evaluăm: x + = x + < = k,, 6 k deci S s x k =! 5 < 4 = 5. 5 Aproximarea cerută este S s 5 = k =, k! k= 56. x = 4 ()!, ɛ = 6 Aplicăm acelaşi procedeu ca î exerciţiul aterior: ( ) x + 4 = x + ( + )( + ) < = k, k Rezultă S s x k 56 x ; di codiţia: x k k = 56 x < 6, rezultă 4, deci S x + x + x 3 + x 4 =, 56.

30 8 CAPITOLUL. SERII DE NUMERE

31 Capitolul Spaţii metrice. Cotiuitate. Noţii teoretice Spaţii metrice Fie X o mulţime evidă; o aplicaţie d : X X R se umeşte distaţă (metrică) pe X dacă: i. d(x, y), x, y R ii. d(x, y) = x = y. iii. d(x, y) = d(y, x) x, y X. iv. d(x, z) d(x, y) + d(y, z). Perechea (X, d) se umeşte spaţiu metric. Dacă Y X este o submulţime evidă, atuci (Y, d) se umeşte subspaţiu metric idus. U şir x X se umeşte coverget dacă există a X astfel îcât ɛ >, ɛ N cu proprietatea d(x, a) < ɛ, ɛ. Î acest caz a se umeşte limita şirului şi se otează a = lim x sau x a. U şir x X se umeşte şir Cauchy (fudametal) dacă ɛ >, ɛ N astfel îcât d(x, x m ) < ɛ,, m ɛ. U spaţiu metric se umeşte complet dacă orice şir Cauchy este coverget. Fie d şi d două distaţe pe o aceeaşi mulţime X. Metricele d şi d se umesc echivalete dacă există α > şi β > astfel îcât d (x, y) αd (x, y) βd (x, y), x, y X. I acest caz, (dacă d şi d sut echivalete), se demostrează că u şir x X este coverget (respectiv Cauchy) î spaţiul metric (X, d ) dacă şi 9

32 3 CAPITOLUL. SPAŢII METRICE. CONTINUITATE umai dacă este coverget (respectiv Cauchy) î spaţiul metric (X, d ). Mulţimi remarcabile î spaţii metrice Fie a X şi r > ; bila deschisă de cetru a şi rază r este, pri defiiţie, mulţimea B(a, r) = {x X d(a, x) < r}. Sfera de cetru a şi rază r este defiită pri S(a, r) = {x X d(a, x) = r, iar bila îchisă de cetru a şi rază r este B(a, r) = B(a, r) S(a, r) = {x X d(x, a) r}. O submulţime D X se umeşte deschisă dacă a D, r > astfel îcât B(a, r) D. O submulţime F X se umeşte îchisă dacă X \ D (complemetara) este mulţime deschisă. Se poate demostra următoarea caracterizare cu şiruri a mulţimilor îchise: F este îchisă dacă şi umai dacă petru orice şir coverget x F rezultă lim x F. O submulţime M X se umeşte mărgiită dacă există a X şi r > astfel îcât M B(a, r). O mulţime K X se umeşte compactă dacă petru orice familie de mulţimi deschise (D i ) i J cu proprietatea i J D i K, I J, I fiită astfel îcât i I D i K. Spaţiul metric X se umeşte coex dacă u există două submulţimi simulta deschise (sau îchise) D şi D cu proprietăţile: D, D, X = D D şi D D =. O submulţime A X se umeşte coexă dacă spaţiul metric (idus) (A, d) este coex. Rezultă următoarea caracterizare a submulţimilor coexe: o submulţime A X este coexă dacă şi umai dacă u există două submulţimi deschise D şi D astfel îcât D D =, D A, D A şi A D D. Fie A X şi fie a X. Puctul a se umeşte puct de acumulare al mulţimii A dacă petru orice r >, avem B(a, r) A \ {a} =. Caracterizarea cu şiruri a puctelor de acumulare este:

33 .. NOŢINI TEORETICE 3 Puctul a X este puct de acumulare al mulţimii A dacă şi umai dacă există u şir x A astfel îcât x a N şi lim x = a. U puct al mulţimii A se umeşte puct izolat al lui A dacă u este puct de acumulare al lui A. Mulţimea A se umeşte perfectă dacă este îchisă şi u coţie pucte izolate. Mulţimile fiite u au pucte de acumulare. Î plus, se poate demostra că orice mulţime perfectă este eumărabilă. Fucţii cotiue Fie (X, d) şi (Y, d ) două spaţii metrice. O aplicaţie f : X Y se umeşte cotiuă î puctul a X dacă ɛ >, δ ɛ > astfel îcât x X cu proprietatea d(x, a) < δ ɛ rezultă d (f(x), f(a)) < ɛ. O formulare echivaletă (cu şiruri) este: f este cotiuă î a dacă şi umai dacă petru orice şir x X cu proprietatea lim x = a, rezultă lim f(x ) = f(a). Fucţia f se umeşte cotiuă (pe X) dacă este cotiuă î orice puct a X. Caracterizarea fucţiilor cotiue Următoarele afirmaţii sut echivalete: i. Aplicaţia f : X Y este cotiuă. ii. Aplicaţia f îtoarce mulţimi deschise î mulţimi deschise, i.e.: petru orice submulţime deschisă D Y rezultă că f (D) este submulţime deschisă î X. iii. Aplicaţia f îtoarce mulţimi îchise î mulţimi îchise, i.e. petru orice submulţime îchisă D Y rezultă că f (D) este submulţime îchisă î X. Uiform cotiuitate O aplicaţie f : X Y se umeşte uiform cotiuă (pe X) dacă: ɛ >, δ ɛ > astfel îcât d(x, y) < δ ɛ d (f(x), f(y)) < ɛ. Proprietăţi ale fucţii cotiue Fie f : X Y o fucţie cotiuă; atuci: Dacă A este mulţime compactă atuci f(a) este mulţime compactă. Dacă X este coex, atuci f(x) este coex (ca subspaţiu al lui Y ). Dacă X este spaţiu metric compact, atuci f este uiform cotiuă pe X.

34 3 CAPITOLUL. SPAŢII METRICE. CONTINUITATE Pricipiul cotracţiei, metoda aproximaţiilor succesive Fie (X, d) u spaţiu metric şi fie f : X X. Aplicaţia f se umeşte cotracţie (pe X) dacă există k [, ) astfel îcât: d(f(x), f(y)) k d(x, y), x, y X. Numărul k se umeşte factor de cotracţie. Teorema de puct fix a lui Baach Fie (X, d) u spaţiu metric complet şi fie f : X X o cotracţie de factor k. Atuci există u uic puct ξ X astfel îcât f(ξ) = ξ. Puctul ξ de mai sus se umeşte puct fix al aplicaţiei f. Costrucţia lui se face astfel: fie x X, arbitrar fixat şi fie şirul (umit şirul aproximaţiilor succesive) defiit pri recureţă x + = f(x ). Se demostrează că şirul x este coverget şi limita sa este puctul fix căutat. Î plus, are loc formula (evaluarea erorii): d(x, ξ) Exemple uzuale de spaţii metrice k k d(x, x ), N. a. Mulţimea umerelor reale, R, este spaţiu metric cu distaţa uzuală d(x, y) = x y, x, y R. Se poate demostra că sigurele mulţimi coexe di R sut itervalele. b. Pe mulţimea umerelor complexe, C, distaţa uzuală este d(z, w) = z w, z, w C. c. Fie R = {x = (x, x,..., x ) x j R}. Distaţa uzuală (euclidiaă): d (x, y) = (x k y k ), ude x = (x, x,..., x ), y = (y, y,..., y ). k= Î R o mulţime este compactă dacă şi umai dacă este îchisă şi mărgiită. d. Fie C = {x = (x, x,..., x ) x j C}. Distaţa uzuală (euclidiaă): cu otaţii evidete. d (x, y) = x k y k, k=

35 .. NOŢINI TEORETICE 33 e. Fie l (N) = {x : N R x() < }. Geeralizarea distaţei euclidiee la cazul ifiit dimesioal (pe l (N)) este d(x, y) = x() y(). f. Fie A şi fie M(A) = {f : A R f mărgiită}. Distaţa supremum pe spaţiul fucţiilor mărgiite este d (f, g) = sup f(x) g(x). x A g. Fie a, b R şi fie C[a, b] = {f : [a, b] R f cotiuă}. Distaţa uzuală pe spaţiul fucţiilor cotiue este d (f, g) = sup f(x) g(x). x [a,b] h. Mai geeral, dacă X este u spaţiu metric compact, atuci mulţimea fucţiilor cotiue C(X) = {f : X R f cotiuă} este spaţiu metric cu distaţa d (f, g) = sup x X f(x) g(x). i. Fie B = {, } codul (alfabetul) biar. Pe produsul cartezia defiim distaţa Hammig: B = {(x, x,...x ) x j B, j =,,..., } d((x, x,..., x ), (y, y,..., y )) = x j y j. j= Distaţa Hammig măsoară de fapt umărul de ecoicideţe ditre elemetele (x, x,..., x ) şi (y, y,..., y ). j. Orice mulţime evidă A se{ poate orgaiza ca spaţiu metric (discret) dacă x y cu distaţa discretă ρ(x, y) = dacă x = y Spaţii ormate Fie X u spaţiu vectorial complex (sau real). O aplicaţie : X [, ) cu proprietăţile: a. x + y x + y b. αx = α x c. x = x =, petru orice x, y X şi α C, se umeşte ormă. O aplicaţie care verifică

36 34 CAPITOLUL. SPAŢII METRICE. CONTINUITATE doar codiţiile a şi b se umeşte semiormă. Perechea (X, ) se umeşte spaţiu ormat. Orice spaţiu ormat este şi spaţiu metric, distaţa ditre x şi y fiid, pri defiiţie, d(x, y) = x y Dacă î plus orice şir Cauchy este coverget, atuci (X, ) se umeşte spaţiu Baach (sau spaţiu ormat complet). Se poate demostra că operaţiile algebrice sut cotiue: dacă lim x = x şi lim y = y, atuci lim (x + y ) = x + y şi aalog petru îmulţirea cu scalari. Exemple de spaţii ormate i. Spaţiile vectoriale R şi C sut spaţii Baach cu orma euclidiaă: x = x j. ii. Spaţiile de şiruri l p (Z) şi l p (N) Fie p R, p, fixat şi fie j= l p (Z) = {x : Z C ; x() p este covergetă}. Z Facem precizarea că dacă (a ) Z este u şir de umere complexe idexat după Z, atuci seria a este covergetă dacă seriile a şi Z = sut amâdouă covergete. Cu operaţiile uzuale cu şiruri, l p (Z) este spaţiu vectorial. Norma este ( ) x p = x() p p. Z Se demostrează că (l p (Z), p ) este spaţiu Baach. Aalog se defiesc spaţiile l p (N) = {x : N C ; x() p < }. = a = iii. Spaţiul şirurilor mărgiite Fie l (Z) = {x : Z C ; x şir mărgiit }. Cu operaţiile uzuale, l (Z) este spaţiu vectorial. Aplicaţia x = sup x() este ormă, iar (l (Z), ) este spaţiu Baach. Aalog se defieşte spaţiul l (N). Z

37 .. NOŢINI TEORETICE 35 iv. Spaţiul fucţiilor cotiue Fie D u spaţiu metric compact (caz particular: D = [a, b], a, b R) şi fie C(D) = {f : D C ; f cotiuă}. Cu operaţiile uzuale, C(D) este spaţiu vectorial. Structura de spaţiu Baach este defiită de orma supremum: f = sup f(t). t D v. Spaţiul fucţiilor mărgiite Fie A ; spaţiul vectorial al fucţiilor mărgiite M(A) = {f : A R f mărgiită } este spaţiu Baach cu orma supremum: f = sup t A f(t). Serii ît-u spaţiu ormat Fie (X, ) u spaţiu ormat şi fie (x ) N u şir de elemete di X. Spuem că seria x este covergetă la x X (umit î acest caz N suma seriei) dacă şirul sumelor parţiale, s = x k coverge la x. Seria k= x se umeşte absolut covergetă dacă seria (de umere reale şi pozitive) x este covergetă. Cu o demostraţie asemăătoare celei N de N la serii de umere reale se poate arăta că îtr-u spaţiu Baach orice serie absolut covergetă este covergetă, reciproca fiid, î geeral, falsă. Operatori liiari Fie (X, ) şi (Y, ) două ormate; o aplicaţie T : X Y se umeşte aplicaţie liiară (sau operator liiar) dacă: T (αx + βy) = αt (x) + βt (y), x, y X, α, β C. Operatorul T se umeşte liiar şi cotiuu dacă, î plus, aplicaţia T este şi cotiuă. Mulţimea operatorilor liiari şi cotiui de la X î Y se otează cu L(X, Y ). Cu operaţiile uzuale: (T + S)(x) = T (x) + S(x), (α T )(x) = αt (x), α C, x X, mulţimea L(X, Y ) este spaţiu vectorial.

38 36 CAPITOLUL. SPAŢII METRICE. CONTINUITATE Petru orice aplicaţie liiară T : X Y, se demostrează că următoarele afirmaţii sut echivalete: a. T este cotiuă. b. T este cotiuă î X. c. există M > astfel îcât: x X, T (x) M x. Spaţiul vectorial L(X, Y ) se orgaizează ca spaţiu ormat cu orma: Au loc următoarele egalităţi: T = if{m > T (x) M x }. T = sup{ T x x } = sup{ T x x = }. Di defiiţie rezultă: T x T x T L(X), x X. Se demostrează de asemeea iegalitatea: T S T S, T, S L(X). Dacă Y este spaţiu Baach, atuci (L(X, Y ), ) este spaţiu Baach. Dacă Y este corpul scalarilor (R sau C) atuci L(X, C) se otează X şi se umeşte dualul spaţiului X, iar elemetele lui se umesc fucţioale liiare şi cotiue. Î cazul X = Y, otăm L(X) = L(X, X). Spectru, valori proprii, vectori proprii Î cotiuare presupuem că X este spaţiu Baach. Petru orice operatori T, S L(X) se defieşte produsul (compuerea): (T S)(x) = T (S(x)), x X. U operator T L(X) se umeşte iversabil dacă există T L(X) astfel îcât T S = I, ude, am otat cu I operatorul idetic: Ix = x, x X. U rezultat fudametal (teorema lui Baach) afirmă că u operator T este iversabil dacă şi umai dacă este bijectiv. Petru orice T L(X), mulţimea: σ(t ) = {λ C operatorul λi T u este iversabil} se umeşte spectrul operatorului T. Se demostrează că spectrul este mulţime evidă şi compactă iclusă î {λ C λ T }.

39 .. SPAŢII METRICE 37 Numărul r(t ) = sup{ λ λ σ(t )} se umeşte raza spectrală a operatorului T ; evidet, r(t ) T şi, î plus, are loc formula razei spectrale: Submulţimea: r(t ) = lim T. σ p (T ) = {λ σ(t ) operatorul λi T u este ijectiv} se umeşte spectrul puctual (sau mulţimea valorilor proprii). Dacă λ σ p (T ), atuci există x X, x, astfel îcât T x = λx. Î acest caz vectorul x se umeşte vector propriu al lui T asociat valorii proprii λ. Dacă X este u spaţiu Baach fiit dimesioal, (C sau R ) atuci spectrul coicide cu mulţimea valorilor proprii şi σ p (T ) = σ(t ) = {λ C P T (λ) = }, ude, P T este poliomul caracteristic al operatorului T.. Spaţii metrice. Să se demostreze că următoarele aplicaţii sut metrici pe R, echivalete cu distaţa euclidiaă: a. d ((x, y ), (x, y )) = x x + y y. b. d ((x, y ), (x, y )) = max{ x x, y y }. Se verifică direct defiiţia distaţei. Fie d distaţa euclidiaă pe R şi fie (x, y) R ; di iegalităţile: x + y x + y ( x + y ), rezultă: ( x + y ) max{ x, y } x + y, d ((x, y ), (x, y )) d ((x, y ), (x, y )) d ((x, y ), (x, y )) şi respectiv d ((x, y ), (x, y )) d ((x, y ), (x, y )) d ((x, y ), (x, y )).

40 38 CAPITOLUL. SPAŢII METRICE. CONTINUITATE. Să se geeralizeze exemplul de mai sus î cazurile R şi C. 3. Să se caracterizeze şirurile covergete şi şirurile Cauchy îtr-u spaţiu metric discret. Să se demostreze că orice spaţiu metric discret este complet. Fie (X, d) u spaţiu metric discret şi fie x u şir î X; fie < ε <. Dacă x a, atuci există ε N astfel îcât d(x, a) < ε <, ε, deci d(x, a) =, ε ; rezultă că şirul x este costat (îcepâd de la u rag). U raţioamet similar se aplică şi î cazul şirurilor Cauchy. 4. Pe mulţimea umerelor raţioale, Q, cosiderăm distaţa uzuală (idusă di R), d(x, y) = x y. Să se demostreze că spaţiul metric (Q, d) u este complet. (. Fie şirul de umere raţioale x = + ) Se ştie că î R şirul x este coverget la e R \ Q. Rezultă că x este şir Cauchy î R, deci şi î Q; dacă x ar fi coverget î Q, atuci î R ar avea două limite, ceea ce costituie o cotradicţie. 5. Mulţimea lui Cator Notăm cu I itervalul [, ]. Elimiăm di I itervalul di mijloc, ( 3, 3 ) şi otăm [ I =, ] [ ] 3 3, mulţimea astfel obţiută. Cotiuăm procedeul: di fiecare di itervalele [, 3 ], [ 3, ] elimiăm itervalul di mijloc şi otăm cu I mulţimea rezultată: [ I =, ] [ 9 9, 3 [ 6 9] 9, 7 [ ] 8 9] 9,. Cotiuâd procedeul, se obţie u şir de mulţimi I, I, I,... cu proprietăţile: i. I I I... ii. I este reuiuea a itervale, fiecare de lugime 3. Pri defiiţie, mulţimea lui Cator este itersecţia: C = I. Să se demostreze următoarele proprietăţi: a. C este mulţime compactă. b. Mulţimea C u coţie itervale. c. Mulţimea lui Cator este perfectă (u coţie pucte izolate); î particular, rezultă că C u este mulţime umărabilă. N

41 .. SPAŢII METRICE 39 a. Mulţimea C este mărgiită (iclusă î [, ]) şi îchisă (itersecţie de mulţimi îchise). b. Di costrucţie, rezultă: ( 3k + C 3 m, 3k + ) 3 m =, k, m N. ( ) Dar, orice iterval (α, β) coţie u iterval de forma 3k+ 3, 3k+ m 3 dacă m m este ales cu codiţia 3 m < β α 6. Rezultă că mulţimea C u coţie itervale. c. Fie a C şi fie S u iterval arbitrar care-l coţie pe a; petru orice N, fie J acel iterval al lui I care-l coţie pe a. Alegem suficiet de mare astfel îcât J S; dacă otăm cu x acel capăt al itervalului J diferit de a, rezultă x C S, x a,. 6. Fie spaţiul metric (R, d ), fie x m = (x m, xm,..., xm ) u şir de elemete di R şi a = (a, a,..., a ) R. Atuci: lim x m = a (î R ) m Se aplică iegalităţile: x m j a j d (x m, a) 7. Fie a, b R, a < b. a. Să se demostreze că d (f, g) = lim m xm k = a k (î R), k {,,..., }. x m k a k, j {,,..., }. k= b a f(x) g(x) dx este distaţă pe mulţimea fucţiilor cotiue C[a, b]. b. Să se demostreze că orice şir f C([a, b]) coverget î raport cu distaţa d este coverget şi î raport cu distaţa d, dar reciproca este falsă. a. Se verifică direct defiiţia (se folosesc proprietăţile modulului şi ale itegralei). b. Fie f, f C([a, b]) astfel îcât d (f, f). Atuci: d (f, f) = b a f (x) f(x) dx (b a) d (f, f).

42 4 CAPITOLUL. SPAŢII METRICE. CONTINUITATE Petru a arăta că reciproca este falsă, fie şirul f (x) = + x. Atuci f î raport cu distaţa d, dar u coverge î raport cu d. 8. Fie (X, d) u spaţiu metric complet şi fie A X; să se demostreze că spaţiul metric idus (A, d) este complet dacă şi umai dacă A este submulţime îchisă î X. Se foloseşte caracterizarea cu şiruri a mulţimilor îchise. Presupuem mai îtâi că A este îchisă. Dacă x A este u şir Cauchy (î X), atuci există (deoarece X este complet) x X astfel îcât x x. Dar A este îchisă, deci x A. Implicaţia iversă o lăsăm ca exerciţiu. 9. a. Să se demostreze că aplicaţia d : R R [, ), d(x, y) = arctgx arctgy, x, y R, este distaţă pe R. b. Spaţiul metric (R, d) u este complet. a. Fucţia arctg este ijectivă, deci d(x, y) = x = y. b. Şirul x = este şir Cauchy î raport cu distaţa d: ( ) d(x, x m ) = arctg arctg m = m arctg, + m dacă m,. Presupuâd, pri absurd, că şirul x este coverget la a R, atuci d(x, a) ; pe de altă parte: cotradicţie. d(x, a) = arctg arctg a = ( ) ( = a arctg + a a) arctg, a R,. Exemplul de mai sus se poate geeraliza astfel: fie X o mulţime evidă arbitrară, fie f : X R şi fie d : X X [, ), d(x, y) = f(x) f(y). Atuci d este distaţă pe X dacă şi umai dacă fucţia f este ijectivă.

43 .. SPAŢII METRICE 4. I spaţiul metric (R, d ) cosiderăm submulţimile: A = {(x, y) R < x + y }, B = {(x, y) R x + y }, D = {(x, y) R x + y <, x >, y > }, E = {( {(x, y) ) R ax + by } + c =, a, b, c R costate fixate}, F =, R N, G = F {(, )}. Să se precizeze dacă mulţimile sut deschise, îchise, mărgiite, coexe sau compacte. A este mulţime mărgiită şi coexă, dar u este deschisă şi ici îchisă. B este compactă şi coexă. D este deschisă, coexă şi mărgiită. E este îchisă, coexă şi emărgiită. F este mărgiită, dar u este deschisă, ici îchisă şi ici coexă. G este mulţime compactă.. Să se dea u exemplu de submulţime î R care este coexă, dar u este coexă pri arce (o submulţime M a uui spaţiu metric X se umeşte coexă pri arce dacă petru orice x, y M există a, b R şi o fucţie cotiuă γ : [a, b] M astfel îcât γ(a) = x şi γ(b) = y). U exemplu este : {( H = x, si ) R x (, ]} {(, y) R y [, ]}. x 3. Să se arate că îtr-u spaţiu metric itersecţia uei familii ifiite de mulţimi deschise u este eapărat deschisă şi reuiuea uei familii ifiite de mulţimi îchise u este eapărat îchisă. Fie, de exemplu, î spaţiul metric R mulţimile deschise ( D =, ), N. Atuci D = {}. Î acelaşi spaţiu metric, fie mulţimile îchise F = [, ], N. Atuci F = (, ).

44 4 CAPITOLUL. SPAŢII METRICE. CONTINUITATE.3 Teorema cotracţiei 4. Să se decidă dacă următoarele fucţii sut cotracţii pe mulţimile idicate: a. f(x) = si x, x R. b. f(x) = l x, x [e, ). c. f(x) = arctg x, x R. d. f(x) = x 5( + x ), x R. e. f(x) = x + x, x R. Soluţii a. Fucţia f(x) = si x u este cotracţie pe R. Presupuâd pri absurd că ar exista k (, ) astfel îcât si x si y k x y, x, y R, atuci, î particular petru y =, se obţie si x k x, x R; rezultă si x că lim k <, cotradicţie. Fucţia sius este totuşi cotracţie pe x x orice iterval îchis care u coţie umere de forma kπ, k Z (petru demostraţie se poate aplica teorema lui Lagrage). b. Fucţia f(x) = l x este cotracţie pe [e, ); di teorema lui Lagrage rezultă: l x l y ( sup c e ) x y x y, x, y R. c e c. Fucţia f(x) = arctg x u este cotracţie pe R; fie, pri absurd, k (, ) astfel îcât arctg x arctg y k x y, x, y R. Î particular petru arctg x y = rezultă arctg x k x, x R şi deci lim k <, x x cotradicţie. Fucţia f(x) = arctg x este cotracţie pe orice iterval I petru care u este puct de acumulare, deoarece, pe u astfel de iterval are loc iegalitatea sup f (x) <. x I d. Fucţia u este cotracţie pe R; raţioamet similar cu exemplele a şi c de mai sus. e. Fucţia este cotracţie pe R. 5. Să se aproximeze cu o eroare mai mică decât 3 soluţia reală a ecuaţiei x 3 + 4x =. Ecuaţia are o sigură soluţie reală, ξ (, ). Vom aplica metoda aproximaţiilor succesive. Fie X = [, ] şi f : X X, f(x) = x +4. Ecuaţia

45 .3. TEOREMA CONTRACŢIEI 43 este echivaletă cu f(x) = x, iar spaţiul metric X este complet (cu metrica uzuală idusă di R); demostrăm acum că f este cotracţie pe X. Derivata este f (x) = x, iar sup (x +4) x X f (x) = f () = 5 <, deci f este cotracţie cu factorul factorul de cotracţie k = 5. Şirul aproximaţiilor succesive este x =, x + = f(x ) = x + 4 ; evaluarea erorii: x ξ < k k x x = ( ) 3, 5 ( ) 6 65 =, deci ξ x 3 = f Aceeaşi ecuaţie se poate rezolva aproximativ şi folosid cotracţia g(x) = 4 ( x3 ), x [, ]. Î acest caz factorul de cotracţie este k = sup g (x) = 3. Metoda aproximaţiilor succesive coverge mult x (,) 4 mai îcet î acest caz, ξ x Să se calculeze cu o eroare mai mică decât 3 soluţia reală a ecuaţiei x 3 + x =. Ecuaţia are o sigură soluţie reală ξ (, ) şi este echivaletă cu x = f(x), ude f(x) = ( x + ) este cotracţie pe [, ], cu factorul de cotracţie k = Să se calculeze cu o eroare mai mică decât 3 soluţia reală a ecuaţiei x 5 + x 5 =. Ecuaţia are o sigură soluţie reală ξ (, ). Scriem ecuaţia sub forma echivaletă x = 5 5 x; aplicaţia f(x) = 5 5 x este cotracţie pe [, ] cu factorul de cotracţie k = Fie a (, ). Să se costruiască u şir al aproximaţiilor succesive petru soluţia di (, ) a ecuaţiei xe x = a. Scriem ecuaţia sub forma x = φ(x), cu φ(x) = ae x. Atuci φ : [, ] [, ] este o cotracţie (cu factorul a). 9. Ecuaţia lui Kepler Să se costruiască u şir care coverge la (uica) soluţie a ecuaţiei x = q si x + m, q (, ), m R.

46 44 CAPITOLUL. SPAŢII METRICE. CONTINUITATE Fucţia f : R R, f(x) = q si x + m este cotracţie: sup f (x) = q <, x R deci ecuaţia x = f(x) are o soluţie uică ξ R. Petru orice x R, şirul x + = f(x ) = q si x + m coverge la ξ, eroarea la pasul fiid: x ξ < q q x x.. Fie a, b, c R; î ce codiţii se poate aplica metoda aproximaţiilor succesive ecuaţiei: x = a si x + b cos x + c? Fie f : R R, f(x) = a si x + b cos x + c. Fucţia f se poate scrie sub forma: f(x) = ( ) a + b a a + b si x + b a + b cos x + c = = a + b si(x + φ) + c, cu φ R bie ales. Rezultă că aplicaţia f este cotracţie dacă şi umai dacă a + b < ; dacă această ipoteză este adevărată, atuci u şir al aproximaţiilor succesive este (de exemplu) x =, x + = f(x ). Eroarea ( ) a + b la pasul este cel mult b + c. a + b. Să se demostreze că petru orice a (, ) şi petru orice fucţie cotiuă h : [, ] R există o sigură fucţie cotiuă u : [, ] R astfel îcât u(x) = h(x) + a si u(x), x [, ]. Studiem ecuaţia î spaţiul metric (C([, ]), d )). Fie aplicaţia F : C([, ]) C([, ]), (F (f))(x) = h(x) + a si f(x), x [, ]. Este suficiet să demostrăm că F este cotracţie (fucţia u di cocluzie este puctul fix al cotracţiei). Fie f, g C([, ]); atuci: d (F (f), F (g)) = sup a(si f(x) si g(x)) a d (f, g), x [,]

47 .3. TEOREMA CONTRACŢIEI 45 deci F este cotracţie cu factorul a.. Sisteme liiare Fie A = (a ij ) o matrice pătratică de ordiul N cu elemete a ij R, i, j {,,.., } şi fie b i R, i {,,..., }. Petru ce valori ale parametrului λ R se poate aplica metoda aproximaţiilor succesive sistemului liiar: x i = λ a ik x k + b i, i? k= Fie d ua di distaţele echivalete pe R (a se vedea exerciţiile şi ) şi fie ( ) T : R R, T (x, x,.., x ) = λ a k x k + b,..., a k x k + b. Se impue codiţia ca T să fie cotracţie şi se obţi valorile cerute petru λ. Vom face î cotiuare calculul petru distaţa euclidiaă, d = d. Petru orice vectori x = (x, x,..., x ) şi y = (y, y,..., y ) di R, avem (aplicăm iegalitatea lui Schwarz): k= k= d (T (x), T (y)) = λ ( a ik (x k y k )) i= λ (( ) ( )) a ik (x k y k ) = λ a ik d (x, y). i= k= k= i= k= k= Deci T este cotracţie dacă şi umai dacă λ a ik i= k= 3. Să se rezolve exerciţiul aterior î raport cu distaţele d şi d. 4. Ecuaţii itegrale de tip Fredholm Fie a, b R, a < b şi fie K : [a, b] [a, b] R o fucţie cotiuă (umită ucleu). Petru orice fucţie cotiuă f : [a, b] R şi petru orice λ R, fie ecuaţia (cu ecuoscuta φ): b φ(x) = λ K(x, y)φ(y)dy + f(x), x [a, b]. a Să se afle petru ce valori ale lui λ R se poate aplica metoda aproximaţiilor succesive ecuaţiei cosiderate..

48 46 CAPITOLUL. SPAŢII METRICE. CONTINUITATE Studiem ecuaţia î spaţiul Baach (C([a, b]), d ). Fie aplicaţia b U : C([a, b]) C([a, b]), (Uφ)(x) = λ K(x, y)φ(y)dy + f(x). a Ecuaţia Fredholm se scrie U(φ) = φ. Petru orice φ, ψ C([a, b]), calculăm: ude, am otat K = d (Uφ, Uψ) = sup (Uφ)(x) (Uψ)(x) = x [a,b] b = sup λ K(x, y)(φ(y) ψ(y))dy x [a,b] a b λ sup K(x, y) φ(y) ψ(y) dy x [a,b] a b λ K φ(y) ψ(y) dy, a sup K(x, y). Rezultă deci (x,y) [a,b] d (Uφ, Uψ) λ K (b a)d (φ, ψ), φ, ψ C([a, b]). Aplicaţia U este cotracţie dacă şi umai dacă λ <. Î (b a) K această ipoteză, costruim u şir al aproximaţiilor succesive: fie φ C([a, b]) şi φ + = Uφ. Calculăm primii termei ai şirului: b φ (x) = (Uφ )(x) = λ K(x, y)φ (y)dy + f(x), x [a, b]. a ( b ) b φ (x) = (Uφ )(x) = λ K(x, y) λ K(y, t)φ (t)dt + f(y) dy + f(x) = a a b b b = f(x) + λ K(x, y)f(y)dy + λ K(x, y)k(y, t)φ (t)dtdy = a a a b ( b ) b = f(x) + λ K(x, y)f(y)dy + λ φ (t) K(x, y)k(y, t)dy dt. a a a Defiim ucleele iterate: K (x, y) = K(x, y),

49 .3. TEOREMA CONTRACŢIEI 47 K (x, y) = K 3 (x, y) = b a b a K(x, t)k (t, y)dt, K(x, t)k (t, y)dt,... K (x, y) = b a K(x, t)k (t, y)dt. Cu aceste otaţii, soluţia ecuaţiei Fredholm este: ξ(x) = f(x) + b λ K (x, y)f(y)dy, x [a, b]. a Fie R(x, y, λ) = λ K + (x, y) rezolveta ecuaţiei; atuci: b ξ(x) = f(x) + λ R(x, y, λ)f(y)dy. a 5. Să se determie λ R astfel îcât ecuaţiei φ(x) = λ xyφ(y)dy + x să i se poată aplica metoda aproximaţiilor succesive şi, î acest caz, să se rezolve ecuaţia. Cu otaţiile di exerciţiul precedet, a =, b =, K : [, ] [, ] R, K(x, y) = xy, f(x) = x şi K =. Aplicaţia U defiită pri (Uφ)(x) = λ xyφ(y)dy + x este cotracţie dacă şi umai dacă λ <. Î acest caz, ucleele iterate sut: K (x, y) = K (x, y) = K(x, y) = xy, K(x, t)k (t, y)dt = K 3 (x, y) = Î geeral, K = xy. Rezultă: 3 R(x, y, λ) = 3 xt ydt = 3 xy. ( λ 3 ) xy = 3xy 3 λ, xt ydt = 3 xy,

50 48 CAPITOLUL. SPAŢII METRICE. CONTINUITATE şi deci soluţia (uică) a ecuaţiei este ξ(x) = x + λ 3xy 3 λ y dy = x + 3λ 4(3 λ) x. 6. Metoda lui Newto Fie a, b R şi fie f : [a, b] R o fucţie de două ori derivabilă astfel îcât f (x), x [a, b]. Presupuem că ecuaţia f(x) = are o soluţie ξ [a, b]. Metoda lui Newto aproximează ξ cu şirul aproximaţiilor succesive geerat de cotracţia g(x) = x f(x) f. Să se găsească o codiţie (x) suficietă petru a se putea aplica metoda aproximaţiilor succesive şi să se iterpreteze geometric metoda. Codiţia g (x) k < (petru ca g să fie cotracţie) este echivaletă cu f(x)f (x) < k(f (x)), x [a, b]. Dacă această codiţie este îdepliită, atuci şirul aproximaţiilor succesive este x = x f(x ) f (x ). Geometric, x este abscisa puctului de itersecţie al tagetei la graficul fucţiei f î puctul (x, f(x )) cu axa Ox. Îtr-adevăr, ecuaţia tagetei este y f(x ) = f (x )(x x ) şi petru y = se obţie x. 7. Fie a > şi p N. Să se aplice metoda lui Newto petru a costrui u şir al aproximaţiilor succesive petru p a. Fie f(x) = x p a şi g(x) = x f(x) f (x) = ( (p )x + ax p). Aplicaţia g p este cotracţie pe u iterval care coţie p a: g (x) = p p ax p < p a <, x > p p. I cocluzie, petru a costrui u şir al aproximaţiilor succesive, trebuie ca primul terme, x, să fie ales astfel îcât x > p a..4 Fucţii cotiue 8. Să se studieze cotiuitatea i zero fucţiei { x[ f(x) = x ], x (, ], x =