Σύνθεση ή σύζευξη ταλαντώσεων;

Transcript

1 Σύνθεση ή σύζευξη ταλαντώσεων; Σώμα Σ μάζας προσδένεται στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Πάνω στο πρώτο σώμα στερεώνεται δεύτερο ελατήριο σταθεράς, στο ελεύθερο άκρο του οποίου προσδένεται δεύτερο σώμα Σ μάζας όπως στο σχήμα. Σ Σ Η τριβή μεταξύ των δύο σωμάτων καθώς και η τριβή μεταξύ του σώματος Σ και το δαπέδου θεωρείται αμελητέα. Αρχικά τα δύο σώματα ηρεμούν και τα ελατήρια έχουν το φυσικό τους μήκος. Προκαλούμε μια διαταραχή στο σύστημα και το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί. Α) Να βρεθούν οι διαφορικές εξισώσεις για τις παραμορφώσεις των δύο ελατηρίων. Β) Θεωρούμε ότι και και ότι την στιγμή t0 τα σώματα είναι ακίνητα ενώ τα ελατήρια έχουν επιμηκύνσεις Α, Α. B) Να βρείτε την εξίσωση της παραμόρφωσης κάθε ελατηρίου συναρτήσει του χρόνου. B) Να κάνετε την γραφική παράσταση της ενέργειας των συστημάτων Σώμα - Ελατήριο και Σώμα Ελατήριο συναρτήσει του χρόνου στην περίπτωση που Α 0 ή Α 0 Απάντηση Θεωρούμε μια τυχαία θέση στην οποία τα ελατήρια έχουν παραμορφωθεί κατά,. Η μετατοπίσεις των σωμάτων Σ και Σ είναι και + αντιστοίχως. Το σώμα Σ δέχεται από το ελατήριο σταθεράς δύναμη F - και από το ελατήριο σταθεράς δύναμη F. Το σώμα Σ δέχεται από το ελατήριο σταθεράς δύναμη F -. F F F Σ Σ

2 Από τον δεύτερο νόμο του Newton για το σώμα Σ έχουμε ότι: a F F Από τον δεύτερο νόμο του Newton για το σώμα Σ έχουμε ότι: () a F ( + ) + () Αντικαθιστώντας την () στην () έχουμε ότι: + () Το σύστημα των () και () αποτελεί ένα γραμμικό ομογενές σύστημα διαφορικών εξισώσεων δευτέρας τάξης. Για την επίλυσή του θα ακολουθήσουμε την μέθοδο των κανονικών τρόπων ταλάντωσης ( noral odes). Θεωρούμε ότι και τα δύο ελατήρια ταλαντώνονται με την ίδια γωνιακή συχνότητα ω και την ίδια φάση. Αναζητούμε δηλαδή λύση της μορφής B sinω t ω ω ω B sin t Οι εξισώσεις () και () γίνονται: Οι εξισώσεις (α) και (β) αποτελούν ένα γραμμικό σύστημα με αγνώστους τα,. Για να έχει μη τετριμμένη λύση θα πρέπει η ορίζουσα των συντελεστών να είναι μηδέν. 0 (α) (β) (5) Η εξίσωση (5) είναι μια δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς ω. Μπορούμε να αποδείξουμε ότι, ανεξαρτήτως των τιμών των παραμέτρων, έχει πάντα δύο ρίζες θετικές και άνισες. Για να απλοποιήσουμε τις πράξεις θα περιοριστούμε στην περίπτωση που,,,. Αντικαθιστώντας στην (5) έχουμε ότι:

3 5 ω ω ή ω Οι δύο παραπάνω γωνιακές συχνότητες είναι οι γωνιακές συχνότητες των κανονικών τρόπων ταλάντωσης. Αντικαθιστώντας ωω στην (α) έχουμε ότι: + 0 Επομένως μια λύση του συστήματος είναι η Bsinωt c sin t ω B sinω t Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να αποδείξουμε ότι μια δεύτερη λύση είναι η c cos t ω Αντικαθιστώντας ωω στην (α) έχουμε ότι: + 0 Άρα μια λύση είναι η c sinωt και μια ακόμη η c cos t ω Επειδή το σύστημα των (), () είναι γραμμικό ομογενές, το άθροισμα των ανωτέρω τεσσάρων λύσεων είναι λύση. Επειδή δε περιέχει αυθαίρετες σταθερές είναι η γενική λύση. Συνεπώς c sin t c cos t c sin t c cos t ω + ω + ω + ω csin ω t + ccos ω t + csin ω t + ccos ωt c sinω t+ c cosωt c sinω t c cosω t Την στιγμή t0 ισχύει ότι A και A. Επομένως A c + c, A c + c A+ A A A Από τις σχέσεις αυτές προκύπτει ότι c και c Παραγωγίζοντας τις σχέσεις (6) έχουμε ότι: (6)

4 c ω cosωt c ω sin ω t + c ω cos ω t c ω sin ω t c ω cos ωt c ω sin ωt c ω cos ω t + c ω sin ω t Την στιγμή t0 ισχύει ότι 0. Επομένως cω+ cω 0, cω cω 0. Από αυτές συμπεραίνουμε ότι c c 0. Τελικά A+ A A A cos ω t + cos ωt A+ A A A cosωt cosωt Παρατηρήσεις και σχόλια. Αν κάθε σύστημα ελατήριο μάζα εκτελούσε ανεξάρτητη ταλάντωση τότε η γωνιακή του συχνότητα θα ήταν. Ως αποτέλεσμα της αλληλεπίδρασης των δύο συστημάτων κάθε σώμα εκτελεί μια σύνθετη κίνηση, η οποία είναι υπέρθεση δύο ταλαντώσεων με γωνιακές συχνότητες ω και ω. Επειδή στο παράδειγμά μας ο λόγος των συχνοτήτων των κανονικών τρόπων ταλάντωσης είναι ρητός αριθμός, η κίνηση κάθε σώματος είναι περιοδική συνάρτηση του χρόνου. Με τυχαίες τιμές των παραμέτρων ο παραπάνω λόγος είναι άρρητος με αποτέλεσμα οι συναρτήσεις (t), (t) να μην είναι περιοδικές.. Οι ενέργειες των δύο συστημάτων Ελατήριο Σώμα και Ελατήριο Σώμα είναι E K + Uελ() v + + E K + Uελ v + ( + ) + (). Για την δοθείσα σχέση μεταξύ των παραμέτρων και Α 0 η γραφική παράσταση των ενεργειών των δύο συστημάτων συναρτήσει του χρόνου είναι (7)

5 5. Εργαζόμενοι ομοίως στην περίπτωση που περίπτωση που,,, οι συχνότητες των κανονικών τρόπων ταλάντωσης είναι ω και ω. Η γενική λύση του συστήματος των () και () είναι: c sin t c cos t c sin t c cos t ω + ω + ω + ω A A A+ A Με μηδενικές ταχύτητες την στιγμή t0 έχουμε: c c 0, c και c. A A A+ A cos ω t + cos ωt A A A+ A cos ω t + cos ωt Θεωρώντας και πάλι ότι Α 0 οι γραφικές παραστάσεις είναι: Παρατηρούμε ότι δύο συναρτήσεις δεν είναι «απόλυτα περιοδικές». Το γεγονός αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι ο λόγος των δύο γωνιακών συχνοτήτων είναι άρρητος. 6. Παρά το γεγονός ότι το σύστημα είναι αρκετά απλό, δεν μπορεί να οριστεί η έννοια «ενέργεια ταλάντωσης». Αντιθέτως εξακολουθούν να ορίζονται οι έννοιες δυναμική ενέργεια ελατηρίου και κινητική ενέργεια σώματος. Το γεγονός αυτό, κατά την άποψή μου, συνηγορεί ότι η έννοια που έχουμε ορίσει στον απλό αρμονικό ταλαντωτή δεν είναι μια φυσική πραγματικότητα αλλά ένα ολοκλήρωμα της κίνησης χωρίς ιδιαίτερη φυσική υπόσταση. orfiatis@sch.gr 5