DODATAK C Numeričko rešavanje jednačina

Transcript

1 OT Numerčo rešavaje jedača. Numerčo rešavaje jede jedače U žejersm proračuma se često susrećemo sa problemom rešavaja ee jedače po epozatoj odoso alažeja ule ucje pr čemu je moguće aaltčo rešavaje. Geometrjs rešeje l ore jed. predstavlja prese rve sa - osom. Iteraco proces Prblžo rešeje jedače se dobja poavljam orgovajem procee orea a baz jede l vše prethodh procea vredost ucje za te procee. Taav račus proces se azva teraco proces jegov rezultat je z uzastoph sucesvh procea l aprosmacja orea: tj. z vredost... oga azvamo teraco z. Nulta procea polaza procea tražeog rešeja oja je eophoda. Formula ojom se z jede l vše prethodh procea dobja ova zove se teracoa ormula. Specjalo ao se ova procea aprosmacja dobja samo a baz prethode procee teracoa ormula se može prazat ao:... je F... ucju F ćemo zvat teracoa ucja.o teraco z overgra tražeom rešeju α: lm α 3 ažemo da teraco proces overgra a tražeom rešeju α jedače. ore α predstavlja u slučaju overgetog teracoog procesa taču agomlavaja teracoog za... odoso za svao ma olo hoćemo malo ε može se ać tavo oje zavs od ε da važ: α < ε > ε 4

2 rugm rečma u tou overgetog teracoog procesa se možemo olo god hoćemo blzu ε prblžt tačom rešeju jedače ao zvedemo dovoljo vel broj teracja > U lteratur se mogu ać razlčte umerče metode rešavaja jedača tj. razlčte teracoe ormule m ćemo prazat dve od jh. etoda tagete U ool tače dobjee u -toj teracj aprosmramo rvu jeom tagetom t povučeom u toj tač: t 5 pa sledeću proceu orea alazmo z presea tagete t sa osom odale sled teracoa ormula metode tagete l Njut-Rasoove metode Newto-Raphso:....6 y y α Sla Geometrjsa terpretacja metode tagete etoda seate Umesto tagete u tač povlačmo sečcu roz dve posledje procee odoso u teracou ormulu metode tagete 6 uvodmo aprosmacju: 3

3 što daje teracou ormulu :... 7 Nagb sečce: s α - Sla. Geometrjsa terpretacja metode seate Očgledo metod zahteva dve procee. ruga procea malm pomerajem od polaze procee recmo : ±. se može dobt 7a Izbor polaze procee rterjuma za oočaje teracoog procesa Polaza procea rešeja jedače je eophoda za otpočjaje teracoog procesa. Uolo je polaza procea bolja očeuje se maj broj eophodh teracja. U pras do je se dolaz : a osovu sustva l pozavaja rešeja slčog problema l a osovu graa ucje rug pratč problem je ada preut overgeta teraco postupa. Uslov završeta teracoog procesa 4 ma samo teorets arater α je epozato ao pratč zlaz rterjum se orste: < ε 8a < δ 8b 4

4 < ε 8c gde su ε ε δ zadate toleracje to ε ε - dozvoljee grace apsoluth odstupaja δ - dozvoljea graca relatvog odstupaja a - mal broj može se uzet δ čjm se dodavajem a zbegava deljeje ulom - overlow u slučaju da je tača vredost orea ada se odabra rterjum overgecje zadovolj račus proces se preda ao prblžo rešeje jedače. usvaja se posledja procea. Toleracje ε δ se braju a osovu željee tačost rešeja majuć u vdu vezu zmeđu apsolute greše broja tačh decmala relatve greše broja sgurh cara dodata.. Tao ao želmo rešeje a d sgurh decmala ao zlaz rtterjum bra se.8a a toleracja uzma: ε.5 d ao želmo rešeje a s sgurh cara ao zlaz rtterjum bra se.8b a toleracja uzma vd jed..: δ.5 s Treba reć da predložee toleracje e garatuju u opštem slučaju željeu tačost rešeja zato h je eophodo provert: Toleracja se smaj l puta poov proraču. o se dva rešeja zaoružea a d decmala odoso a s sguru cru polope dobl smo rešeje sa željeom tačošću. U protvom treba poovt opsa postupa. PRIER. Reacja steze amojaa N 3 NH H 3 se zvod u ataltčom reatoru a prtsu p 4bar pr čemu se reatat uvode u molsom odosu N : H : 4. Izlaza temperatura je 5. o se pretpostav uspostavljaje reacoe ravoteže u reatoru stepe overzje azota < < se dobja rešavajem uslova reacoe ravoteže: Potrebo je odredt ravotež stepe overzje azota sa tačošću od 3 decmale.rešt problem metodom tagete sa polazom proceom a.5 b. athcad ajl 5

5 : 36 Umesto polaze moze se resavat joj evvaleta jedaca cja je leva straa: Potreba je ucja prvog zvoda : : d d : d Toleracja u rterjumu overgecje8a: ε :.5 3 a Polaza procea: teracje : :.. 7 :.5 : d Uocavamo overgecju teracoog za odoso teracoog postupa. Iteraco z : Prema rterjumu overgecje reseje je dobjeo u 7. teracj b : teracje : Postavaje vetora : :.. 7 : d Prema rterjumu overgecje reseje je dobjeo u 4. teracj Rešavaje jedače u athcad-u Za rešavaje eleare jedače u atcadu se orste ucja root oja zahteva prethodo l pr samom pozvu desau ucju čju ulu tražmo polazu proceu rešeja. Ova ucja se bazra a metod seate a ao rterjum overgecje orst.8c Solve bloc o se ea jedača rešava oršćejem athcad ucje pratča provera da l je zadata toleracja TOL dovoljo mala da garatuje d sgurh decmala u rešeju može se zvršt poavljajem proračua uz zato maju toleracju recmo puta od zadate. Uolo se prv drug rezultat ao zaoružvaja a d decmala slažu a 6

6 prvh d decmala zač da je odabraa toleracja bla adevata. Slčo pr zboru parametra TOL oj garatuje s sgurh cara u rezultatu rterjum je da se zaoruže rezultat dobje sa dve vredost TOL slažu a prvh s začajh cara PRIER. Rešt problem desa u PRIERU sa polazom proceom.5 oršćejem root ucje provert da l toleracja TOL garatuje rešeje sa 5 sgurh cara. athcad ajl : 36 : Reseje sa "stadardom" deault toleracjom TOL 3 :.5 : root.945 Provera toleracje TOL :. :.5 : root.945 Reseja se slazu a 6 sgurh cara pa je stadarda toleracja. dovolja PRIER 3. Treba zračuat sa preczošću od 3 sgure cre sadržaj vlage mas.% u žele bomboama tao da atvost vode a u bomboama oja se račua po ormul : a log.7 mols udeo vode 9 ma vredost.7. omboe sadrže destrozu želat vodu pr čemu a 4g destroze dolaz 7.5g želata. Traž se mase udeo vode oga ćemo da ozačmo sa g. Neophodo je da mol. udeo vode zrazmo ao ucju jeog maseog udela. U tom clju ao bazu proračua ćemo uzet 4g destroze. o je mase udeo vode u bomboama g a olča vode a 4g destroze oda je : g g g Sada možemo da odredmo mols udeo vode ao: G gde su moleulse mase vode destroze želata. ao želat ma G mogo veću mol. masu od destroze G >> posledj sabra u meocu gorjeg zraza možemo da zaemarmo jer je zato maj od ostala dva. Tao usvajamo prblžu ormulu: 4 7

7 u oju treba ubact zraz za u ucj od g. ada dobje zraz zamemo umesto u jedaču 9 jaso je da ćemo dobt jedu elearu jedaču po g čjm rešavajem uz a. 7 dobjamo traže sadržaj vlage. Rešeje u athcad-u ajl 3 : 8 : 8 g g 47.5 g : g : a g g 4 :.7 g :. Pomocu root : g : log a g.7 g g :. g : root g g g.44 Proveravamo toleracju: TOL :. g :. g : root g g g.5 TOL :. g :. g : root g g g.53 TOL :. g :. g : root g g g.53 oaca rezultat : g.5 Pomocu Solve bloa : g :. Gve log a g.7 g g : Fd g g.5 g.5% Numerčo rešavaje sstema elearh jedača Potrebo je sa željeom tačošću ać rešeje sstema elearh jedača: 8

8 odoso ać vredost epozath... tao da bude zadovoljeo uslova 9. ao od jede eleare jedača rešeje se traž teratvo tj. uzastopm orgovajem procea epozath... tj. vetora em algortmom. eđutm rešavaje problema zbora dovoljo dobre polaze procee [ ] T overgecje a željeom od u opštem slučaju vše rešeja problem multcplteta rešeja je zato složeje od sstema ego od jede jedače. Njut-Raso ova metoda a b polazeć od procee vetora rešeja dobjeog u -toj teracj dobl ovu proceu svau od ucja u sstemu 9 aprosmramo Tajlorovm polomom prvog stepea dobjeog razvjajem oo tače.. ~ Tao određujemo z uslova da leare ucje... ~ budu jedae ul: o dešemo orecje epozath:... odoso orecju epozatog vetora: gorje leare jedače po epozatm orecjama... se mogu u matrčom oblu apsat ao:

9 J ale u svaoj teracj se rad alažeja orecja vredost epozath rešava sstem learh jedača čja je matrca Jaobjeva matrca oja sadrž prve zvode svh ucja po svm promeljvma j L L L J zračuate u tač. Rešavaje sstema jedača u athcad-u Za rešavaje sstema elearh jedača u athcad-u se orst Solve loc. Pr pozvaju ucje Fd moguće je brat jeda od tr teratve metode za rešavaje sstema desm lom a Fd: etod ojugovah gradjeata oj traž ou vredost vetora epozath za oju suma vadrata vredost ucja.b ma mmum. Leveberg - arvart-ova Leveberg - arquardt modacja Njut- Rasoove metode. vaz - Njutova metoda modacja Njut- Rasoove metode. PRIER 4. U reatoru se odgravaju sledeće povrate reacje: Z X Y X Počete ocetracje mol/l supstac su :.5 Z Y X o se pretpostav uspostavljaje reacoe ravoteže ocetracje zadovoljavaju sledeće uslove: 3 c X Z c Y X c Treba zračuat rajj sastav ao su ostate ravoteže: c c c

10 a b se odredo rajj sastav dale 7 epozath eophodo je mat još 4 ezavse jedače. To su stehometrjse relacje: Rešeje u athcad-u ajl 4 Z Y Y Y X Z c :.6 c :.63 c 3 : 5 :.5 :.5 Proracu rajjeg sastava: Polaze procee: : X : Z : Gve X X Z X Z X Z X Z Z X Z c c jedace oje se resavajudobjee elmacjom 4 ocetracje pomocu stehometrje Z Z X c 3 Fd X Z Postupa e overgra! Pousaj da se res evvaleta sstem jedostavje struture bez razlomaa: Gve X Z c Z X Z X X Z c X Z X Z Z c 3 Z X Postupa overgra: X Z : Fd X Z X Z Leveberg-arquardt ov metod

11 Izracuavaje ostalh ocetracja: : Z Y : X Z : Y : Y Ravotez sastav sstema: X Y Z Sledec ac resavaja problema je evvaleta : Resava se 7 jedaca sa 7 epozath - e vrs se prethoda elmacja 4 promeljve Pol. procee: : : : : X : Y : Z : Gve c X Y c jedace oje se resavaju Z c 3 X Y Z Y X Z Y X Y Z : Fd X Y Z X Y Z

12 ZI. Izračuat gustu vazduha a prtsu p 5atm temperatur 5 z Va der Valsove jedače staja: a p v v b RT T u v molsa zaprema gasa m 3 mol Parametr a b u jedač za vazduh maju vredost: 5 3 a.348 Pa m mol b.366 m 3 mol Polazu proceu zračuat z jedače dealog gasa. rajj rezultat prazat sa odgovarajućm brojem začajh cara majuć u vdu tačost polazh podataa.. Za procejvaje molsh zaprema v gasova a umerem prtscma orst se Vrjala jedača staja: pv J z R RT v v mol Potrebo je zračuat molsu zapremu zopropaola a T 473 p 5 Pa sa preczošću od četr začaje cre. Za zopropaol a T 473 parametr vrjal oecjet maju vredost : m mol.6 m mol a Grač poazat da jedača a datm uslovma daje dva rešeja oja b mogla da maju zčog smsla Pomoć: rešeja treba da prpadaju tervalu < v< RT p. Treba ać oba rešeja sa tačošću od 4 sgure cre.rešt problem - pomoću ucje root - pomoću Solve bloc-a provert usvojeu toleracju. b oj od dobjeh orea u posmatraom tervalu treba prhvatt ao molsu zapremu zopropaola zašto? 3. rza taložeja čvrste serče čestce u eom ludu data je jedačama: w g ρ ρ d.4 Re 4 s 4 gde je s.7 3 sρ Re g - ubrzaje zemlje teže ρ ρ s - gusta luda gusta čestce d - preč čestce s - oecjet treja wdρ Re µ Gvozdea sera čestca preča d.5mm guste ρ s 786 g/m 3 pada roz vazduh čja su svojstva: ρ.3 g/m 3 µ.79-5 Pa s. a Odredt brzu padaja gvozdee čestce sa preczošću od 3 sgure cre - pomoću root ucje 3

13 - pomoću Solve bloc-a b Odredt sa stom preczošću brzu padaja gvozdee čestce roz vodu µ Pas 4. roz čelču cev λ 5 m uutrašjeg polupreča.8cm deblje.cm struj vodea para temperature. Potrebo je zračuat deblju zolacje δ od λ.38 m tao da temperatura spoljje površe zolovae cev e berglasa prevazlaz 4 ao je temperatura oole 5. oecjet prelaza toplote sa paru a uutrašj zd cev je α 7 m a sa spoljje površe cev u atmoseru α m. 5. ate su vredost specčh toplota c p J g azota a prtsu p bar razlčtm temperaturama: T c p Potrebo je zračuat do oje temperature T se ohlad azot počete temperature T 85 ao mu se a prtsu bar odvede toplota u zosu od q 7 J/g rešavajuć jedaču eergetsog blasa: q T T c t dt p Podtegralu ucju aprosmrat ubm splajom psple jedaču rešt pomoću ucje root. Provert da l stadarda vredost toleracje TOL. obezbeđuje dobjaje rešeja sa tačošću od dve decmale. 4