ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟ ΕΛΕΓΧΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2. Τρύφων Κουσιουρής

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟ ΕΛΕΓΧΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2. Τρύφων Κουσιουρής"

Transcript

1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟ ΕΛΕΓΧΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τρύφων Κουσιουρής Ακ. Έτος 5-6

2 ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σχήµα Ας θεωρηθεί το σύστηµα του ανεστραµµένου εκκρεµούς που φαίνεται στο Σχήµα (α). Ράβδος µήκους L, µε µάζα m οµοιόµορφα κατανεµηµένη κατά µήκος της και ροπή αδρανείας J ως προς το κέντρο µάζας της (το µέσον της ράβδου) µπορεί να περιστραφεί περί οριζόντιο άξονα ο οποίος είναι σταθερά στερεωµένος σε φορείο µάζης M το οποίο κινείται επάνω σε ευθεία γραµµή του οριζοντίου επιπέδου χωρίς τριβές. Μετράται η µετατόπιση x του φορείου και η γωνία θ της ράβδου ως προς την κατακόρυφο. Α) Να γραφούν οι εξισώσεις καταστάσεως του συστήµατος ως προς το διάνυσµα ξ(t)= x x θ θ Β) Να γραµµικοποιηθεί το σύστηµα στην περιοχή του σηµείου ξ=. Γ) Να ευρεθεί η µήτρα συναρτήσεων µεταφοράς. ) Να ευρεθούν οι πόλοι και τα µηδενικά της συνάρτησης µεταφοράς Θ(s)/F(s). Λύση Έστω Α η δύναµη που ασκεί το φορείο στη ράβδο του εκκρεµούς, η οποία αναλύεται σε οριζόντια συνιστώσα Α x και κατακόρυφη συνιστώσα A y. Οι συντεταγµένες του κέντρου µάζης της ράβδου θα είναι (x m, y m ) = (x + Lηµθ, Lσυνθ) Εφαρµόζοντας την αρχή D Alembert για τις οριζόντιες και κατακόρυφες δυνάµεις και τις ροπές στη ράβδο, λαµβάνονται Οριζόντιες δυνάµεις: Κατακόρυφες δυνάµεις: d A -m dt x Τ. (x+lηµθ)= d Ay -mg m (Lσυνθ)= dt

3 Ροπές: -AxLσυνθ + ΑyLηµθ -J = dt Από την αρχή δράσης-αντίδρασης του Νεύτωνα, που είναι ειδική περίπτωση της αρχής D Alembert, η ράβδος θα ασκεί στο φορείο δύναµη Α. Έστω Β η δύναµη που ασκεί το έδαφος στο φορείο. Αυτή θα είναι κατακόρυφη, επειδή δεν υπάρχουν τριβές. Εφαρµόζοντας την αρχή D Alembert στις κατακόρυφες και οριζόντιες δυνάµεις, λαµβάνονται. Οριζόντιες δυνάµεις: Κατακόρυφες δυνάµεις: dx x d θ F(t) - A - M = dt -Ay - Β = Επιλύοντας ως προς Α x, A y από και αντικαθιστώντας προκύπτουν οι εξισώσεις που περιγράφουν το µοντέλο ως εξής dx d F(t) = M + m (x+lηµθ) dt dt d d d θ -mlσυνθ (x+lηµθ) + Lηµθ[mg + m (Lσυνθ)]- J = dt dt dt Αναπτύσσοντας τις παραγώγους, οι εξισώσεις γίνονται. dx dx... F(t) = M + m - ml ηµθ (θ ) + mlσυνθθ dt dt..... [-ml συν θ -mlηµ θ -J]θ +mglηµθ -mlηµθσυνθ(θ ) -mlσυνθ x o + ml ηµθσυνθ(θ ) = J θ +mglηµθ -mlσυνθ x= όπου J o = J + ml είναι η ροπή αδρανείας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της. Αντικαθιστώντας τις µεταβλητές µε τις συνιστώσες του διανύσµατος καταστάσεως, λαµβάνονται (M+m)ξ + ml(συνξ )ξ = F(t) + ml (ηµξ )ξ 3 4 mlσυνξ3ξ +Jξ 4=mgLηµξ Επιλύοντας ως προς τις παραγώγους των συνιστωσών του διανύσµατος καταστάσεως, λαµβάνονται ξ = ξ -J ξ mlηµξ mlgσυνξ ηµξ -J ξ + F = f (ξ,f) o o = + -J o(m+m) + m L συν ξ3 -J o(m+m) + m L συν ξ3 ξ = ξ 3 4 ξ mlσυνξ ηµξ -(M+m)mgLηµξ mlσυνξ ξ F = f (ξ,f) = + 4 -J o(m+m) + m L συν ξ3 -J o(m+m) + m L συν ξ3 3

4 Για F= το σηµείο ξ =ξ =ξ 3 =ξ 4 = είναι σηµείο ισορροπίας και το σύστηµα µπορεί να γραµµικοποιηθεί στην περιοχή του. Θα είναι f ξ 4 f = = ξ 4 4 f mlg[συν ξ3-ηµ ξ 3] m Lgσυν ξ3ηµ ξ 3 F= = ( ) ξ 4 + ( ) F+ + F= = ξ 3 ξ= [-J o(m+m) + m L συν ξ 3] [-J o(m+m) + m Lσυν ξ 3] ξ= f ξ ( ) o F= 4 ξ= mlg = -J (M+m) + m L = ξ = f -J = F -J (M+m) + m Lσυν ξ o F= F= ξ= o 3 ξ= o Οµοίως για την f 4 θα έχουµε -Jo = -J (M+m) + m L f ξ o F= = ( ) ξ 4 + ( ) F-(M+m)mgL F= 3 ξ= o 3 ξ= 4 4 f = = ξ f συνξ [-J (M+m) + m L συν ξ ] + m L συνξ ηµ ξ ξ [-J (M+m) + m L συν ξ ] -(M+m)mgL = -J (M+m) + m L f ξ ( ) F= 4 F= ξ= ξ= o = ξ = f4 mlσυνξ = F -J (M+m) + m L συν 3 F= ξ= o ml = ξ -J (M+m) m L F= 3 ξ= o + Οι εξισώσεις καταστάσεως του γραµµικοποιηµένου συστήµατος θα είναι 4

5 -J mlg o -J -J o(m+m) + m L o(m+m) + m L ξ= ξ+ F -(M+m)mgL ml -J -J o(m+m) + m L o(m+m) + m L Η µήτρα συναρτήσεων µεταφοράς θα είναι ξ ξ 3 y= = ξ s -J -m L g o s -J o + o(m+m) + m L -J (M+m) m L G(s)= = s (M+m)mgL ml s -J -J o(m+m) + m L o(m+m) + m L = (M+m)mgL s s + -J o (M+m)+m L Θα είναι s+ -J o ( - (M+m)mgL M+m)+m L mlg ml + -J (M+m)+m L -J (M+m)+m L ml o o s -J o (M+m)+m L ml s Θ(s) -J o (M+m)+m L ml = = F(s) (M+m)mgL s (-J o(m+m)+m L )+(M+m)mgL s s + -J o (M+m)+m L Παρατηρείται ότι η Θ(s)/F(s) δεν εµφανίζει µηδενικά, καθώς αυτά απλοποιούνται µε πόλους ενώ οι πόλοι της είναι πραγµατικοί και συµµετρικοί ως προς την αρχή. ΠΡΟΒΛΗΜΑ Για το ανεστραµµένο κωνικό δοχείο του Σχήµατος η παροχή q(t) της εκροής είναι ανάλογη της τετραγωνικής ρίζας του ύψους του υγρού εντός του δοχείου. 5

6 Q(t) h q(t) Σχήµα Α) Να γραφούν οι εξισώσεις καταστάσεως του συστήµατος, εάν µετράται η διαφορική πίεση στη βάση του δοχείου σε σχέση µε την ατµοσφαιρική πίεση. Β) Εάν είναι επιθυµητό το ύψος του υγρού στο δοχείο να είναι σταθερό (h ), να γραφούν οι εξισώσεις του γραµµικοποιηµένου µοντέλου Γ) Να ευρεθεί η µοναδιαία βηµατική απόκριση του γραµµικοποιηµένου µοντέλου του συστήµατος. ) Να συγκρίνετε τις τελικές τιµές του ύψους του συστήµατος και του γραµµικοποιηµένου µοντέλου του. Λύση A) Η διαφορική πίεση στη βάση του δοχείου θα είναι Ο όγκος του υγρού εντός του δοχείου p=ρgh V=π (hεφθ) h/3 Ο ρυθµός της αύξησης του όγκου του υγρού εντός του δοχείου θα είναι ίσος µε την παροχή τροφοδοσίας µείον την παροχή εκροής, δηλαδή = = h = { π h εφ θ} = Q(t)-a h dt dh dt dh 3 dt dt dv dv dh d π εφ θ 3 dh dh 6

7 Εάν θεωρηθεί ως κατάσταση το ύψος h του υγρού εντός του δοχείου, οι εξισώσεις καταστάσεως του συστήµατος θα είναι 3 dh -a - = h + Q(t)=f(h,Q) dt πh εφ θ πh εφ θ p= ρgh B) Για να είναι το ύψος του υγρού h, η παροχή τροφοδοσίας πρέπει να είναι Εάν τεθούν Q(t)=a h x=h-h, u=q(t)-q (t), y=p-p, οι εξισώσεις του γραµµικοποιηµένου µοντέλου θα είναι όπου x=ax+bu y=cx -5 f a 3 3 A= h=h =- ( ) h + Q(t)h h=h = h Q=Q πεφ θ πεφ θ Q=Q 3a 5/ 3 -a 5/ h + a h (-)h = h πεφ θ πεφ θ πεφ θ f Β= = = Q πh εφ θ πh εφ θ h=h h=h Q=Q Q=Q C=ρg Γ) Για το γραµµικοποιηµένο µοντέλο θα είναι x()=. Εφαρµόζοντας µετασχηµατισµό Laplace, λαµβάνεται ή ισοδύναµα και Η έξοδος του συστήµατος θα είναι B (s+a)x(s)=βu(s)= s h h B B/A B/A X(s)= = = a a s(s+a) s (s+a) s (s+a) h h = a a -At x(t) - e u(t) y=ρgx 7

8 ) Καθώς ο χρόνος τείνει στο άπειρο, το γραµµικοποιηµένο σύστηµα προβλέπει ύψος του υγρού εντός του δοχείου h h L( ) = h + a Για το προς έλεγχο σύστηµα, εάν εφαρµοστεί η βηµατική διέγερση, η παροχή της εισόδου θα είναι Q=Q + Το ύψος του υγρού εντός του δοχείου στη µόνιµη κατάσταση θα είναι Q+ Q++Q h NL = + + h ( ) = =h a a a a Παρατηρείται διαφορά ύψους η οποία οφείλεται στο γεγονός ότι το εµβαδόν της οριζόντιας διατοµής του κωνικού δοχείου µεταβάλλεται µε το ύψος ενώ στο γραµµικοποιηµένο µοντέλο θεωρείται σταθερό. ΠΡΟΒΛΗΜΑ Η δεξαµενή του σχήµατος τροφοδοτείται από ανοικτό κανάλι στο οποίο η ταχύτητα του υγρού v είναι ανεξάρτητη της παροχής Q. Η παροχή ελέγχεται από ηλεκτροβάνα η οποία είναι τοποθετηµένη σε απόσταση d από τη δεξαµενή, προκαλώντας καθυστέρηση Τ=d/v. Εάν η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος είναι H(s) 5 G(s)= = Q(s) s+ και του ελεγκτή K(s)= s+ 8

9 α) Να σχεδιαστεί το διάγραµµα Nyquist του συστήµαταος ανοικτού βρόχου για καθυστέρηση Τ της επιλογής σας. β) Να ευρεθεί η µέγιστη απόσταση στην οποία µπορεί να τοποθετηθαί η ηλεκτροβάνα, εάν η ταχύτητα του υγρού είναι.5m/s. Λύση Τ= Τ= Το διάγραµµα Nyquist της συνάρτησης µεταφοράς ανοικτου βρόχου 5 P(s)=G(s)K(s)= e (s+)(s+) φαίνεται στα ανωτέρω σχήµατα για Τ= και Τ=.sec αντίστοιχα. Καθώς ο παράγων e -st δεν αλλάζει το µέτρο της Q(s) και ελαττώνει τη φάση της, όταν Τ=. ελαττώνεται το περιθώριο φάσης και εµφανίζεται σπειροειδές το διάγραµµα Nyquist στις υψηλές συχνότητες. Β) Από το διάγραµµα Nyquist της P(s) όταν Τ= προκύπτει ότι το περιθώριο φάσης είναι 8 ο ή ισοδύναµα θ m =.4rad. Η κυκλική συχνότητα ω για την οποία το διάγραµµα Nyquist της P(s) τέµνει τήν περιφέρεια του µοναδιαίου κύκλου θα δίδεται από τη σχέση 5 5 P(jω ) = = = (jω +)(jω +) ω + ω + -st ή ισοσύναµα από την οποία προκύπτει ω + ω 4 = 4 4* ± + ± ω = = =

10 Συνεπώς ω =4.456rad/sec Επειδή θ.4 ω m T= = =.34sec Η µέγιστη απόσταση στην οποία µπορεί να τοποθετηθεί ο ενεργοποιητής θα είναι d max =vt=.5m/sec*.34sec=.47m. ΠΡΟΒΛΗΜΑ Εάν η συνάρτηση µεταφοράς συστήµατος είναι Λύση s-3 G(s)= (s-)(s+a). Χρησιµοποιώντας το κριτήριο Routh να ευρεθεί εάν υπάρχουν τιµές του κέρδους του ελεγκτή K(s+b) K(s)= s ώστε το σύστηµα κλειστού βρόχου να είναι ασυµπτωτικά ευσταθές.. Για ένα συνδυασµό a,b που το αντισταθµισµένο σύστηµα µπορεί να ευσταθειοποιηθεί να σχεδιαστεί ο γεωµετρικός τόπος των πόλων του συστήµατος κλειστού βρόχου. Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του συστήµατος κλειστού βρόχου θα είναι 3 ψ c(s)=s(s-)(s+a)+k(s-3)(s+b)=s +(a+k-)s +(-a+kb-3k)s-3bk () Κατασκευάζεται η διάταξη Routh ως εξής s 3 Kb-3K-a s a+k- -3Kb s s (Kb-3K-a)(a+K-)+3bK a+k- -3Kb Για να είναι το αντισταθµισµένο σύστηµα ευσταθές πρέπει να ισχύουν οι ανισότητες a+k-> -3Kb> (Kb-3K-a)(a+K-)+3bK=f(K)=K (b-3)+k(ab-4a+b+3)+a(-a)> (.α) (.β) (.γ)

11 Από τις σχέσεις (.β) και (.γ) προκύπτει Kb-3K-a> (3) διαφορετικά άθροισµα αρνητικών αριθµών θα είναι µεγαλύτερο του µηδενός. Από τη σχέση (.γ) προκύπτουν δύο περιπτώσεις. η Περίπτωση Από τη σχέση (.α) πρέπει Από τη σχέση (3), καθώς b-3<, πρέπει Και συνεπώς Κ> και b<. (4) K>-a (5) K<a/(b-3) (6) a< (7) Οι σχέσεις (5) και (6) συναληθεύουν µόνο εάν -a<a/(b-3) ή ισοδύναµα καθώς b-3< (-a)(b-3)-a=b-ab+a-3> (8) Η σχέση (8) είναι αδύνατη καθώς άθροισµα αρνητικών αριθµών προκύπτει µεγαλύτερο του µηδενός. Στην περίπτωση αυτή δεν υπάρχει λύση του προβλήµατος. η Περίπτωση Από τη σχέση (.α) προκύπτει Aπό τη σχέση (3) προκύπτει K(b-3)>a> και επειδή K< Από τη σχέση (.α) προκύπτει Από τη σχέση (3) προκύπτει καθώς b<3 Για να συναληθεύουν οι σχέσεις () και (3) πρέπει ή ισοδύναµα καθώς b<3 Κ< και b> (9) a>-k> () b<3 () Κ>-a () K<a/(b-3) (3) -a<a/(b-3) (4) a-(-a)(b-3)=ab+3-b-a< (5) Ας θεωρηθεί η σχέση (.γ). Καθώς b-3<, το τριώνυµο ως προς Κ θα ικανοποιεί τη σχέση όταν το Κ βρίσκεται µεταξύ των ριζών του. Αυτό συνεπάγεται ότι η διακρίνουσα του τριωνύµου =(ab-4a+b+3) -4(b-3)a(-a)> Το γινόµενο των ριζών του τριωνύµου είναι a(a-)/(b-3), δηλαδή θετικό, και οι ρίζες είναι οµόσηµες. Για να είναι και οι δύο αρνητικές πρέπει το άθροισµά τους να είναι αρνητικό, δηλαδή (6)

12 Είναι ab-4a+b+3< (7) f(k) K=-a =(-a) (b-3)+(-a)(ab-4a+b+3)+a(-a)=3b(-a)< (8) a a ab f(k) a =( ) (b-3)+( )(ab-4a+b+3)+a(-a)= < K= b-3 b-3 b-3 b-3 δηλαδή το (-a) και το a/(b-3) είναι εκτός των ριζών του τριωνύµου. Για να ικανοποιείται η () και η (.γ)πρέπει το -a να είναι µικρότερο από τη µικρότερη ρίζα του τριωνύµου και επειδή ισχύει η (8), πρέπει ab-4a+b+3 (-a)<- (b-3) (9) -ab+a+4b-3> () Για να ικανοποιείται η (3) και η (.γ)πρέπει το a/(b-3) να είναι µεγαλύτερο από τη µεγαλύτερη ρίζα του τριωνύµου και επειδή ισχύει η (9), πρέπει Εάν επιλεγούν a ab-4a+b+3 >- -ab+a-b-3> () b-3 (b-3) το Κ πρέπει να είναι µεταξύ των ριζών του τριωνύµου, δηλαδή και το Κ πρέπει να είναι στο διάστηµα (-6.5,-3.3) a=8 () b=.5 (3) -6.5<Κ<-3.3 (4) -8=-7<Κ (5) Κ< (6) Β) Ο γεωµετρικός τόπος των πόλων του συστήµατος κλειστού βρόχου φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα.

13 5 4 3 s A xi g a Im Real Axis ΠΡΟΒΛΗΜΑ ίδεται το σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς και έλεγχο όπως στο Σχήµα. G(s)=, a> (s-a) R(s) Σ + _ K(s) U(s) G(s) Y( s) Α) Να δειχθεί ότι το σύστηµα δεν µπορεί να ευσταθειοποιηθεί µε αντισταθµιστή PI. Β) Να δειχθεί ότι το σύστηµα µπορεί να ευσταθειοποιηθεί µε αντισταθµιστή PID. Λύση Α) Καθώς ο ελεγκτής PI µπορεί να γραφεί K Ks+K K(s+b) = = i i K(s)=K+ s s s το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του αντισταθµισµένου συστήµατος θα είναι 3 ψ c(s)=s(s-a) +K(s+b)=s -as +(a +K)s+Kb Επειδή a>, οι συντελεστές του s 3 και s είναι ετερόσηµοι και το σύστηµα κλειστού βρόχου δεν µπορεί να είναι ασυµπτωτικά ευσταθές, σύµφωνα µε το θεώρηµα του Stodola. 3

14 Β) Καθώς ο ελεγκτής PID µπορεί να γραφεί K K(s)=K a+ s Ks+K + Ks s K i a i d + Kds = = (s +bs+c) s το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του αντισταθµισµένου συστήµατος θα είναι 3 ψ c(s)=s(s-a) +K(s +bs+c)=s +(K-a)s +(a +Kb)s+Kc Για τον έλεγχο της ευστάθειας του αντισταθµισµένου συστήµατος χρησιµοποιείται η διάταξη Routh. s 3 a +Kb s K-a Kc s (K-a)(a +Kb)-Kc K-a s Kc Για ευστάθεια του συστήµατος κλειστού βρόχου πρέπει να ισχύουν οι ανισότητες K-a> Kc> 3 (K-a)(a +Kb)-Kc=K b+k(a -ab-c)-a > Θεωρώντας Κ>, c>, από την πρώτη ανισότητα λαµβάνεται K>a Θεωρώντας b>, η Τρίτη ανισότητα επαληθεύεται όταν το Κ ευρίσκεται εκτός των ριζών του 3 τριωνύµου f(x)=x b+x(a -ab-c)-a. Επειδή η διακρίνουσα του τριωνύµου είναι 3 =(a -ab-c) +8a b> αυτό θα έχει δύο πραγµατικές ρίζες και µάλιστα ετερόσηµες καθώς το γινόµενο των ριζών είναι αρνητικό. Συνεπώς για K>Max a, το αντισταθµισµένο σύστηµα θα είναι ευσταθές. 3 -(a -ab-c)+ (a -ab-c) +8a b b ΠΡΟΒΛΗΜΑ ίδεται το σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς 4

15 -s+ G(s)= (s+) και έλεγχο όπως στο Σχήµα. K(s) G(s) R(s) U(s) Y( s) Σ + _ Να προσδιοριστεί ελεγκτής s-z K(s)=K s-p ώστε το σύστηµα κλειστού βρόχου να εµφανίζει µηδενικό σφάλµα σε βηµατικές διεγέρσεις. Λύση Εάν K = lim G(s)K(s) p s το σφάλµα µόνιµης κατάστασης σε βηµατική διέγερση θα είναι e ss(βηµ)= +K Για να µηδενίζεται το e ss (βηµ) πρέπει να απειρίζεται το K p και συνεπώς η G(s)K(s) να έχει πόλο στο. Από αυτό προκύπτει άµεσα ότι p= Για να εφαρµόζεται το θεώρηµα της τελικής τιµής και να ισχύουν τα ανωτέρω πρέπει το σύστηµα κλειστού βρόχου να είναι ασυµπτωτικά ευσταθές. Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του αντισταθµισµένου συστήµατος θα είναι ψ c (s)=s(s+) +K(-s+)(s-z)=s 3 +(-K)s +(+K+Kz)s-Kz για τη µελέτη της ευστάθειας του αντισταθµισµένου συστήµατος χρησιµοποιείται η διάταξη Routh. s 3 +K+Kz s -K -Kz p s s (-Κ)(+Κ+Κz)+Kz -K -Kz Για ασυµπτωτική ευστάθεια απαιτείται η ικανοποίηση των ακόλουθων ανισοτήτων 5

16 Από την πρώτη ανισότητα λαµβάνεται -Κ> -Κz> (-Κ)(+Κ+Κz)+Kz=K (-z-)+k(6z+3)+> Κ< Από τη δεύτερη ανισότητα προκύπτει Κz<. ιακρίνονται δύο περιπτώσεις. Α) Κ> και εποµένως z<. Από την τρίτη ανισότητα το τριώνυµο ως προς Κ πρέπει να είναι θετικό. Α) Εάν z+>, ή ισοδύναµα z>-, το τριώνυµο έχει αρνητικό γινόµενο ριζών. Αυτό σηµαίνει ότι έχει πραγµατικές και ετερόσηµες ρίζες. Καθώς ο συντελεστής του µεγιστοβάθµιου όρου είναι αρνητικός, η ανισότητα θα ισχύει µεταξύ των ριζών του τριωνύµου.τελικά πρέπει <K<Min, 6z+3+ (6z+3) +8(z+) (z+) Α) Εάν z+<, ή ισοδύναµα z<-, ο συντελεστής του µεγιστοβάθµιου όρου του τριωνύµου είναι θετικός και η ανισότητα θα ισχύει πάντοτε, εάν το τριώνυµο έχει µιγαδικές ρίζες, ή θα ισχύει εκτός των ριζών, εάν το τριώνυµο έχει πραγµατικές ρίζες. Η διακρίνουσα του τριωνύµου είναι =(6z+3) +8(z+)=36z +5z+5> επειδή το τριώνυµο του z έχει µιγαδικές ρίζες. Συνεπώς η Τρίτη ανισότητα θα ισχύει εκτός των ριζών του τριωνύµου του Κ. Καθώς 6z+3<6z+6=3(z+)< το τριώνυµο του Κ θα έχει θετικό γινόµενο ριζών και αρνητικό άθροισµα ριζών. Εποµένως και οι δύο ρίζες θα είναι αρνητικές και η ευστάθεια εξασφαλίζεται εάν <Κ<. Β) Κ< και συνεπώς z>. Το τριώνυµο του Κ έχει θετικό άθροισµα ριζών και αρνητικό γινόµενο ριζών. Εποµένως έχειδύο πραγµατικές ετερόσηµες ρίζες. Επειδή ο συντελεστής του µεγιστοβάθµιου όρου του είναι αρνητικός, η ανισότητα θα ισχύει µεταξύ των ριζών του τριωνύµου του Κ, δηλαδή 6z+3- (6z+3) +8(z+) 6z+3+ (6z+3) +8(z+) <K< (z+) (z+) Οι ανισότητες συναληθεύουν στο διάστηµα Από την ανωτέρω ανάλυση, λαµβάνοντας 6z+3- (6z+3) +8(z+) <K< (z+) z=-.5 6

17 6(-.5)+3+ (6(-.5)+3) +8((-.5)+) <K<Min, =.44 ((-.5)+) Λαµβάνοντας Κ=, ο ελεγκτής θα είναι s+.5 K(s)= s ΠΡΟΒΛΗΜΑ ίδεται σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς G(s)=K (s+a)(s +bs+c). Να σχεδιαστεί το ασυµπτωτικό διάγραµµα Bode πλάτους της G(s) εάν είναι γνωστό ότι δεν διαθέτει οριζόντιο τµήµα. Να γραφούν οι σχέσεις τις οποίες πρέπει να ικανοποιούν οι παράµετροι a,b,c.. Εάν στο σύστηµα εφαρµοστεί η διέγερση Λύση u(t)=*ηµ(t)+*ηµ(6t) και το ασυµπτωτικό διάγραµµα Bode πλάτους της G(s) του ερωτήµατος () χρησιµοποιηθεί για την πρόβλεψη των πλατών των συνιστωσών της y(t) στη µόνιµη κατάσταση, να γραφεί για ποιές σχέσεις των παραµέτρων a,b,c τα πλάτη αυτά είναι ίσα (για όλες τις δυνατές περιπτώσεις) και να επιλεγούν τιµές των a,b,c ώστε να συµβαίνει αυτό σε κάθε περίπτωση. s 7

18 6 C 5 M M 4 B 3 L L D A Ο παράγοντας s είναι ευθεία µε κλίση 4db/δεκάδα. Εάν η G(s) έχει τρείς διακεκριµένους πραγµατικούς πόλους, το ασυµπτωτικό διάγραµµα θα έχει οριζόντιο τµήµα, το οποίο είναι µη αποδεκτό. Άρα η G(s) θα έχει διπλό πραγµατικό πόλο ή µιγαδικούς πόλους από τον δευτεροβάθµιο παράγοντα. Εάν η διακρίνουσα =b -4c, ο δευτεροβάθµιος όρος έχει δύο µιγαδικές ρίζες ή διπλή πραγµατική (τα ασυµπτωτικά διαγράµµατα δεν διαφέρουν). Το σηµείο θλάσης για τις µιγαδικές ρίζες θα είναι στην κυκλική συχνότητα c ενώ για τον πρωτοβάθµιο παράγοντα το σηµείο θλάσης θα είναι στην κυκλική συχνότητα a. Για να µην έχει το διάγραµµα οριζόντιο τµήµα θα πρέπει Στην περίπτωση αυτή θα ισχύουν οι ανισότητες Εάν c a c a και b-4c =b -4c>, ο δευτεροβάθµιος παράγοντας έχει δύο πραγµατικές ρίζες και συνεπώς γράφεται (s+p )(s+p ) µε p <p. Για να µην έχει οριζόντιο τµήµα το διάγραµµα, το a πρέπει να ταυτίζεται µε το p. Στην περίπτωση αυτή θα ισχύουν οι σχέσεις b+ b -4c a= και b-4c> Το ασυµπτωτικό διάγραµµα Bode της G(s) θα έχει τη µορφή του σχήµατος. Β) Εφαρµόζοντας την αρχή της επαλληλίας για τις δύο ηµιτονοειδείς διεγέρσεις, η έξοδος του συστήµατος στη µόνιµη κατάσταση θα είναι 8

19 y(t)=* G(j) ηµ(t+arg{g(j)})+* G(j6) ηµ(6t arg{g(j6)}) Για να είναι τα πλάτη των δύο συνιστωσών ίσα πρέπει να ισχύει G(j) = G(j6) Αυτό είναι ισοδύναµο µε το να είναι οι εικόνες των κυκλικών συχνοτήτων και 6 στην ίδια τεταγµένη στο ασυµπτωτικό διάγραµµα Bode. ύο περιπτώσεις µπορούν να συµβούν. Η κυκλική συχνότητα είναι µικρότερη από την µικρότερη κυκλική συχνότητα θλάσης ω θ (Σηµείο L στο σχήµα). Για να ισχύει η ισότητα των πλατών θα πρέπει 4(λογωθ-λογ)+(λογωθ λογω θ) (λογ6 λογω θ) =. Η κυκλική συχνότητα είναι µεγαλύτερη από την µικρότερη κυκλική συχνότητα θλάσης ω θ (Σηµείο Μ στο σχήµα). Για να ισχύει η ισότητα των πλατών θα πρέπει ή ισοδύναµα από την οποία προκύπτει (λογωθ λογ) (λογ6 λογω θ) = ωθ 6 = ω θ ωθ = 4 Εάν επιλεγούν µιγαδικοί πόλοι µία λύση είναι ως εξής: Από την ω θ =4 προκύπτει c=6 Από την ω θ =< µπορεί να επιλεγεί ω θ =a=5 Από την <, b <4c και µπορεί να ληφθεί b=. ΠΡΟΒΛΗΜΑ ίδεται σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς (s+a) G(s)=K (s +bs+c). Να σχεδιαστεί το ασυµπτωτικό διάγραµµα Bode πλάτους της G(s) εάν είναι γνωστό ότι διαθέτει τµήµα µε θετική κλίση και δεν διαθέτει οριζόντιο τµήµα για κυκλικές συχνότητες µεγαλύτερες από το µικρότερο σηµείο θλάσης. Να γραφούν οι σχέσεις τις οποίες πρέπει να ικανοποιούν οι παράµετροι a,b,c.. Εάν στο σύστηµα εφαρµοστεί η διέγερση Λύση u(t)=*ηµ(t)+*ηµ(6t) και το ασυµπτωτικό διάγραµµα Bode πλάτους της G(s) του ερωτήµατος () χρησιµοποιηθεί για την πρόβλεψη των πλατών των συνιστωσών της y(t) στη µόνιµη κατάσταση, να γραφεί για ποιές σχέσεις των παραµέτρων a,b,c τα πλάτη αυτά είναι ίσα (για όλες τις δυνατές περιπτώσεις) και να επιλεγούν τιµές των a,b,c ώστε να συµβαίνει αυτό σε κάθε περίπτωση. 9

20 3 C 5 5 A B D Ο πρωτοβάθµιος όρος του αριθµητή έχει κυκλική συχνότητα θλάσης ω z =a. Ο δευτεροβάθµιος όρος στον παρονοµαστή έχει µία κυκλική συχνότητα θλάσης ω p= c εάν έχει µιγαδικές ρίζες ή δύο κυκλικές συχνότητες θλάσης ω ˆ ˆ p,ωpεάν έχει πραγµατικές ρίζες. Άν ο δευτεροβάθµιος όρος στον παρονοµαστή έχει πραγµατικές ρίζες και Min{ ω ˆ ˆ p,ωp} < ω z, το ασυµπτωτικό διάγραµµα Bode δεν θα έχει τµήµα µε θετική κλίση και η περίπτωση αυτή απορρίπτεται. Εάν τα ω ˆ ˆ p,ωpείναι διακεκριµένα, στο µεταξύ τους διάστηµα το διάγραµµα θα είναι οριζόντιο και η περίπτωση αυτή απορρίπτεται. Εποµένως ο παρονοµαστής θα έχει µιγαδικές ρίζες ή διπλή πραγµατική και το ασυµπτωτικό διάγραµµα Bode της G(s) φαίνεται στο σχήµα. Οι σχέσεις που πρέπει να ικανοποιούνται είναι c a και b-4c Β) Εφαρµόζοντας την αρχή της επαλληλίας για τις δύο ηµιτονοειδείς διεγέρσεις, η έξοδος του συστήµατος στη µόνιµη κατάσταση θα είναι y(t)=* G(j) ηµ(t+arg{g(j)})+* G(j6) ηµ(6t arg{g(j6)}) Για να είναι τα πλάτη των δύο συνιστωσών ίσα πρέπει να ισχύει G(j) = G(j6) Αυτό είναι ισοδύναµο µε το να είναι οι εικόνες των κυκλικών συχνοτήτων και 6 στην ίδια τεταγµένη στο ασυµπτωτικό διάγραµµα Bode. Τρείς περιπτώσεις µπορούν να συµβούν. Η κυκλική συχνότητα είναι µικρότερη από την µικρότερη κυκλική συχνότητα θλάσης ω z (Σηµείο B στο σχήµα). Για να ισχύει η ισότητα των πλατών θα πρέπει (λογωz -λογ)+ (λογωp λογω z) (λογ6 λογω p) =. Η κυκλική συχνότητα είναι µεγαλύτερη από την µικρότερη κυκλική συχνότητα θλάσης ω z (Σηµείο B στο σχήµα). Για να ισχύει η ισότητα των πλατών θα πρέπει (λογωp λογ) (λογ6 λογω p) =

21 ή ισοδύναµα από την οποία προκύπτει ωp 6 = ω p ωp = 4 3. Η κυκλική συχνότητα 6 είναι µικρότερη από την µικρότερη κυκλική συχνότητα θλάσης ω z (Σηµείο B στο σχήµα). H ισότητα των πλατών θα ισχύει χωρίς περιορισµούς. Εάν επιλεγεί η τρίτη περίπτωση, θα είναι: Από την ω z >6 προκύπτει a>6. είναι δυνατόν να ληφθεί a=. Από την c a = µπορεί να επιλεγεί c=5x 6. Από την <, b <4c και µπορεί να ληφθεί b=. ΠΡΟΒΛΗΜΑ Στο σύστηµα ελέγχου του Σχήµατος ο ελεγκτής σχεδιάστηκε για την ονοµαστική τιµή G (s) της G(s) ώστε η συµπληρωµατική συνάρτηση ευαισθησίας να είναι T(s)= s +s+ K(s) G(s) R(s) U(s) Y( s) Σ + _ α) Να προσδιοριστεί το σφάλµα µόνιµης κατάστασης σε µοναδιαία βηµατική διέγερση. Β) Να προσδιοριστεί το πλάτος της απόκρισης y(t) στη µόνιµη κατάσταση, εάν η διέγερση είναι ηµιτονοειδής µε κυκλική συχνότητα ω. Γ) Εάν Λύση G(s)=G (s)[+m(s)] όπου η µεταβολή είναι ευσταθής και M(jω) ω ω 6 + να προσδιοριστεί το µέγιστο πλάτος του ερωτήµατος (Β) για όλη την οικογένεια των προς έλεγχο συστηµάτων και η κυκλική συχνότητα στην οποία συµβαίνει αυτό.

22 Α) Η συµπληρωµατική συνάρτηση ευαισθησίας θα είναι G (s)k(s) T (s)=-s (s)=- = =H (s) +G (s)k(s) +G (s)k(s) όπου H(s) η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος κλειστού βρόχου. Για µοναδιαία βηµατική διέγερση θα είναι s +s E(s)=R(s)-Y(s)=R(s)[-H (s)]= [-H (s)]= s s s +s+ Επειδή η se(s) έχει όλους τους πόλους της στο αριστερό ηµιεπίπεδο, από το θεώρηµα της τελικής τιµής λαµβάνεται s +s lim r(t)= lim se(s)= lim = t s s s+s+ Β) Στη µόνιµη κατάσταση η έξοδος του συστήµατος θα είναι ηµιτονοειδής συνάρτηση της ίδιας συχνότητας µε την είσοδο και πλάτος πολλαπλασιασµένο επί το µέτρο της συνάρτησης µεταφοράς στην κυκλική συχνότητα της διέγερσης. Καθώς η H (s) έχει µέτρο H(jω) = = = s +s+ (-ω ) +4ω +ω s=jω Καθώς η συνάρτηση του µέτρου είναι µονοτόνως φθίνουσα, το µέγιστο πλάτος θα εµφανίζεται στην κυκλική συχνότητα ω= και θα είναι ίσο µε Α, όπου Α το πλάτος της διέγερσης. Γ) Καθώς θα είναι G(s)K(s) H(s)= = +G (s)k(s) s +s+ G (s)k(s) = s +s και θα ισχύει G(jω)K(jω)-G (jω)k(jω) = M(jω) = R (jω) +jω 4+ω 6+ω δηλαδή το G(jω)K(jω) θα βρίσκεται εντός κύκλου µε κέντρο το σηµείο G (jω)k(jω) και ακτίνα R. Με το κάτωθι πρόγραµµα σε περιβάλλον MATLAB clear all for K=: zt(k)=exp(i*pi*(k-)/99); ztr(k)=real(zt(k)); zti(k)=imag(zt(k)); end

23 for I=: omega(i)=3+.*(i-); center(i)=/(-omega(i)^+*i*omega(i)); radius(i)=/sqrt(4+omega(i)^)/sqrt(6+omega(i)^); for K=: t(i,k)=center(i)+radius(i)*exp(i**pi*(k-)/99); h(i,k)=abs(t(i,k)/(+t(i,k))); tr(i,k)=real(t(i,k)); ti(i,k)=imag(t(i,k)); end end plot(tr,ti,'g',ztr,zti,'b',tr,-ti,'g',ztr,-zti,'b') axis equal κατασκευάζεται η ζώνη στην οποία βρίσκεται το G(jω)K(jω) όπως στο ακόλουθο σχήµα Για κάθε κυκλική συχνότητα ω προσδιορίζεται η µέγιστη τιµή του µέτρου της Η(jω) που εµφανίζεται στην περιφέρεια του κύκλου. Το διάγραµµα του µέγιστου µέτρου συναρτήσει της κυκλικής συχνότητας φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα

24 από το οποίο προκύπτει ότι η µέγιστη τιµή είναι.944 και συµβαίνει όταν ω=5.75 rad/sec. ΠΡΟΒΛΗΜΑ Χρησιµοποιώντας µετασχηµατισµό Ζ, να προδιοριστεί η ακολουθία y(k) η οποία ικανοποιεί την εξίσωση διαφορών y(k+)-.5y(k+)+.5y(k)=u(k+) όπου u(k) είναι η µοναδιαία βηµατική απόκριση για k=, y()=.5 και y(-)=. Λύση Εφαρµόζοντας µετασχηµατισµό Ζ λαµβάνεται z Y(z)-z y()-zy()-.5[zy(z)-zy()]+.5y(z)=zu(z)-zu() () Για την εύρεση της y() εφαρµόζεται η αναδροµική σχέση για k=-. Αντικαθιστώντας στην (), λαµβάνεται y()=.5y()-.5y(-)+u()= =.5 () z z z- z- (z -.5z+.5)Y(z)=.5z +.5z-.75z+z -z=.5z +.5z+ Επιλύοντας ως προς Y(z) θα είναι.5z +.5z+.5z(z +) Y(z)= z- = (z -.5z+.5) (z-) (z-.5) z (3) (4) Αναλύοντας την Y(z)/z σε απλά κλάσµατα, λαµβάνεται ή ισοδύναµα Y(z) K K K.5 - z z-.5 z- (z-) z-.5 z- (z-) 3 = + + = + +.5z -z z Y(z)= + + z-.5 z- (z-) Λαµβάνοντας τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Ζ η y(k) προκύπτει k y(k)=.5(.5) + k- (5) (6) (7) ΠΡΟΒΛΗΜΑ Χρησιµοποιώντας µετασχηµατισµό Ζ, 4

25 A) Να ευρεθεί ο µέγιστος και ο ελάχιστος αριθµός χωρίων, στα οποία διαιρείται ένα επίπεδο από n ευθείες που ανήκουν σ αυτό. B) Να ευρεθεί ο µέγιστος αριθµός χωρίων, στα οποία διαιρείται ο τριδιάστατος χώρος από n επίπεδα που ανήκουν σ αυτόν. Λύση Α) Έστω ότι στο επίπεδο υπάρχουν n ευθείες οι οποίες διαιρούν το επίπεδο σε f(n) χωρία. Ας θεωρηθεί η (n+) ευθεία η οποία τέµνει κ από τις n ευθείες του επιπέδου. Επί της (n+) ευθείας δηµιουργούνται από τα κ σηµεία τοµής κ+ διαστήµατα. Κάθε ένα από αυτά διαιρεί ένα υπάρχον χωρίο σε δύο, δηµιουργεί δηλαδή κ+ νέα χωρία. Είναι προφανές ότι ο µέγιστος αριθµός εµφανίζεται όταν η (n+) ευθεία τέµνει και τις n ευθείες ενώ ο ελάχιστος αριθµός προκύπτει όταν η (n+) ευθεία δεν τέµνει καµµία από τις n ευθείες. Συνεπώς οι αναδροµικές σχέσεις που ικανοποιούν ο µέγιστος και ο ελάχιστος αριθµός χωρίων θα είναι ως εξής f (n+)-f (n)=n+ () max min max f (n+)-f (n)= min Εάν δεν υπάρχει καµµία ευθεία στο επίπεδο, το επίπεδο θα έχει ένα χωρίο και συνεπώς θα είναι f ()=f ()=f()= (3) min max Εφαρµόζοντας µετασχηµατισµό Ζ στην () για την αρχική συνθήκη που περιγράφεται στην (3), λαµβάνεται z z z{f max (z)-f max ()}-F max (z)=(z-)f max (z)-z= Z { n+ } = + (4) (z-) z- από την οποία προκύπτει 3 z -z +z z(z+) z z max 3 3 F (z) = = + + (5) (z-) (z-) (z-) z- Λαµβάνοντας αντίστροφο µετασχηµατισµό Ζ προσδιορίζεται z(z+) z z n n f max (n) = Z + + = (6) (z-) (z-) z- () Εφαρµόζοντας µετασχηµατισµό Ζ στην () για την αρχική συνθήκη που περιγράφεται στην (3), λαµβάνεται από την οποία προκύπτει z z{f min (z)-f min ()}-F min (z)=(z-)f min (z)-z= Z {} = (7) z- Λαµβάνοντας αντίστροφο µετασχηµατισµό Ζ προσδιορίζεται z z F min (z) = + (8) (z-) z- z z f min (n) = Z + =n+ (z-) z- (9) 5

26 Β) Έστω ότι στο χώρο υπάρχουν n επίπεδα ται οποία διαιρούν το χώρο σε g(n) χωρία. Ας θεωρηθεί το (n+) επίπεδο το οποίο τέµνει κ από τα n επίπεδα του χώρου. Επί του (n+) επιπέδου δηµιουργούνται από τις κ ευθείες τοµής f(κ) επίπεδα χωρία. Κάθε ένα από αυτά διαιρεί ένα υπάρχον χωρίο του χώρου σε δύο, δηµιουργεί δηλαδή f(κ) νέα χωρία στο χώρο. Είναι προφανές ότι ο µέγιστος αριθµός εµφανίζεται όταν το (n+) επίπεδο τέµνει και τα n επίπεδα. Συνεπώς η αναδροµική σχέση που ικανοποιεί ο µέγιστος αριθµός χωρίων θα είναι ως εξής n n g max (n+)-g max (n)=f(n)= + + Εάν δεν υπάρχει κανένα επίπεδο στο χώρο, ο χώρος θα έχει ένα χωρίο και συνεπώς θα είναι () g max ()= () Εφαρµόζοντας µετασχηµατισµό Ζ στην () για την αρχική συνθήκη που περιγράφεται στην (), λαµβάνεται 3 z-z+z z{g max (z)-g max ()}-G max (z)=(z-)g max (z)-z=f max (z) = () 3 (z-) από την οποία προκύπτει z z -z +z z -z +z G max (z) = + = (3) 4 4 z- (z-) (z-) Για το Ζ µετασχηµατισµό της k 3 θα είναι Z (4) 4 dz (z-) (z-) (z-) d z(z+) (z+)(z-) -3(z-) z(z+) z +4z +z {k }= Z{kk }=-z =-z = 3 6 Από τους πίνακες µετασχηµατισµών λαµβάνονται 4 3 z z -3z +3z -z Z {}= = (5) 4 z- (z-) 3 Z z z -z + {k}= = 4 (z-) (z-) z (6) 3 z(z+) z -z {k }= = 3 Z (z-) (z-) (7) 4 Ο αριθµητής της σχέσεως (3) µπορεί να γραφεί συναρτήσει των αριθµητών των σχέσεων (4), (5), (6) και (7) ως εξής z -z +z = K (z -3z +3z -z)+k (z -z +z)+k (z -z) + K (z +4z +z) Εξισώνοντας τους οµοιοβάθµιους συντελεστές στα δύο µέλη της εξισώσεως λαµβάνονται Κ = (8) (9.α) -3Κ +Κ +Κ 3 +Κ 4 =- (9.β) 6

27 3Κ -Κ +4Κ 4 = (9.γ) -Κ +Κ -Κ 3 +Κ 4 = (9.δ) Επιλύοντας το σύστηµα προσδιορίζονται τα Κ i ως εξής [Κ Κ Κ 3 Κ 4 ]=[ 5/6 /6] () Η σχέση (3) γράφεται 4 3 z-z+z 5 3 G max (z) Z{} Z{k} Z{k } 4 = = + + () (z-) 6 6 Λαµβάνοντας αντίστροφους µετασχηµατισµούς Ζ στα δύο µέλη της () ευρίσκεται 5 g max (n) + n+ n = () ΠΡΟΒΛΗΜΑ A) Να σχεδιαστεί ο Γεωµετρικός Τόπος των Ριζών του συστήµατος µε συνάρτηση µεταφοράς. (+s) G(s)= (+5s)(+s)s Β) Να ευρεθεί ελεγκτής της µορφής s+z K(s)=K s+p ώστε το σύστηµα κλειστού βρόχου να έχει πόλους στα σηµεία -±j. Να ευρεθεί η θέση των άλλων πόλων του. µ Λύση Ο Γεωµετρικός τόπος των ριζών της G(s) φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα και βρίσκεται µε την εφαρµογή των κανόνων κατασκευής του ως εξής: 7

28 A xi s g a Im -.5 s A xi g a Im Real Axis Γεωµετρικός Τόπος των Ριζών της G(s) Real Axis Λεπτοµέρεια Γεωµετρικού Τόπου των Ριζών. Ο γεωµετρικός τόπος έχει τέσσερις κλάδους. Τα ακόλουθα διαστήµατα επί του πραγµατικού άξονα είναι τµήµατα του γεωµετρικού τόπου (-,-], [-.,-.] Ένας κλάδος του γεωµετρικού τόπου αρχίζει από το σηµείο. και καταλήγει στο σηµείο.. Οι τρείς άλλοι κλάδοι εκκινούν από τα σηµεία,, και καταλήγουν στο άπειρο. Οι γωνίες των ασυµπτώτων είναι o o (+κ)x8 (+κ)x8 θ= = κ=,, n-m 3 δηλαδή είναι 6 ο, 8 ο και 3 ο ή -6 ο. Η τετµηµένη του σηµείου τοµής των ασυµπτώτων είναι n m p- i zλ i= λ= -+(-.)++-(-.) -. σ= = = =.367 n-m 3 3 Η γωνίες αναχώρησης από τον πόλο s= θα είναι m n 8(+k)+ (p -z ) (p -p ) = 9 k = j λ j i O λ= i= i j φ p = = O = 7 k = Τα σηµεία τοµής δύο κλάδων του γεωµετρικού τόπου δίδονται από τη σχέση 8

29 4 3-5s +6s +s d d G(s) s+ = =- =- ds ds ds (s+) dk (s +8s +s)(s+)-(5s +6s +s ) 4 3 5s +4s +8s +s =- = (s+) από την οποία λαµβάνονται = 4 3 Για s= - 5s +6s +s K = =- s= = G(s) s+ 4 3 Για s=-.69-5s +6s +s K = =- s=-.69 =.63 G(s) s+ Αποδεκτή τιµή Μη αποδεκτή τιµή Για s=-.+j.68 Για s= -.-j s +6s +s K = =- s=-.+j.68 =.63+j.7 G(s) s s +6s +s K = =- s=-.-j.68 =.63-j.7 G(s) s+ Μη αποδεκτή τιµή Μη αποδεκτή τιµή Για την εύρεση των σηµείων τοµής µε το φανταστικά άξονα χρησιµοποιείται η διάταξη Routh για το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του συστήµατος κλειστού βρόχου ψ c(s)=5s +6s +s +K(s+)=5s +6s +s +Ks+K s 4 5 Κ s 3 6 Κ s 6-5K 6 Κ s s 6-5K K-6K -5K 6 +4K = 6-5K 6-5K 6 Κ Οι ρίζες του είναι Κ= και Κ=.48 5Κ +4Κ= 9

30 Για Κ=, το βοηθητικό πολυώνυµο είναι και το σηµείο τοµής είναι το s=j Για Κ=.48, το βοηθητικό πολυώνυµο είναι και το σηµείο τοµής είναι το s=j.83 6-K B(s)= s +K = s 6 K= 6-5K B(s)= s +K K=.48 =.6s B) Για να είναι το σηµείο -j σηµείο του γεωµετρικού τόπου του συστήµατος G(s)K(s) πρέπει Καθώς o arg{ G(-+j)K(-+j) } =arg{ G(-+j) } +arg{ K(-+j) } =-8 { } { } { } { } { } arg G(-+j) =Arg -+j-(-.) -Arg -+j-(-.) -Arg -+j-(-) -Arg -+j-() = = *35 = ο ελεγκτής πρέπει να ινκανοποιεί τη σχέση o o o o o o o { } ( { } { }) arg Κ(-+j) =µ Arg -+j-(z) -Arg -+j-(p) =-8 -( ) = o.5 M.5 θ s A xi g a Im -.5 p z Real Axis Εάν µ=, η γωνία θ του σχήµατος πρέπει να είναι ίση µε ο. Αυτό σηµαίνει ότι το µηδενικό πρέπει να τοποθετηθεί στο δεξιό ηµιεπίπεδο και ο πόλος στο αριστερό ηµιεπίπεδο. Στην περίπτωση αυτή το διάστηµα [,z] θα είναι τµήµα του γεωµετρικού τόπου και το σύστηµα κλειστού βρόχου θα είναι ασταθές. Εάν µ=, η γωνία θ του σχήµατος πρέπει να είναι ίση µε ο. Εάν επιλεγεί z=-. 3

31 η θέση του πόλου θα είναι p = -.-xεφ(38.66 ο )-xεφ(49.67 ο )= = -.7 Ο γεωµετρικός τόπος της G(s)K(s) φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα. s A xi g a Im A xi s g a Im Real Axis Γεωµετρικός Τόπος G(s)K(s) Real Axis Λεπτοµέρεια στην περιοχή του µηδενός. Το Κ για το σηµείο +j προκύπτει K=.87 = (-+j+.) G(-+j) (-+j+.7) Για την τιµή αυτή του Κ οι υπόλοιποι πόλοι του αντισταθµισµένου συστήµατος θα είναι στις θέσεις. και.5±j.7. ΠΡΟΒΛΗΜΑ Α) Να δειχθεί ότι ο γεωµετρικός τόπος συστήµατος µε συνάρτηση µεταφοράς ανοικτού βρόχου K G(s)K= s(s +cs+) είναι τµήµα του πραγµατικού άξονα και τµήµα της υπερβολής µε εξίσωση y =3x +4cx+ Β) Να δειχθεί ότι η τιµή του κέρδους σε κάθε σηµείο της υπερβολής είναι (y +x )(x+c) Λύση Έστω x+jy σηµείο του γεωµετρικού τόπου των ριζών. Θα ισχύει 3

32 -K= = G(x+jy) (x+jy)[(x+jy) +c(x+jy)+]= =x(x -y )+cx +x-xy -cy +j[y(x -y +cx+)+x(xy+cy)] Χωρίζοντας πραγµατικά και φανταστικά µέρη λαµβάνονται Από την τελευταία σχέση λαµβάνεται είτε -K=x(x -y )+cx +x-xy -cy =y(x -y +cx+)+x(xy+cy) y= c 4c =(x -y +cx+)+x(x+c)=3x -y +4cx+=3 x+ -y Η τελευταία σχέση γράφεται c c 4c y+ 3 x+ y- 3 x+ = η οποία είναι εξίσωση υπερβολής µε ασύµπτωτες τις ευθείες Για το Κ θα είναι K=-x(x -y )-cx -x+xy +cy c y= ± 3 x+ 3 = -x +xy -cx -x(-3x +y -4cx)+xy +cy = 3 3 = x +cx +xy +cy = (x +y )(x+c) Αξίζει να παρατηρηθούν τα ακόλουθα. Ανάλογα µε το πρόσηµο του (-4c /3) ο γεωµετρικός τόπος βρίσκεται στην οξεία ή την αµβλεία γωνία που σχηµατίζουν οι ασύµπτωτες.. Αν (-4c /3)=, οι ασύµπτωτες αποτελούν τµήµατα του γεωµετρικού τόπου. 3. Το σηµείο (,) είναι σηµείο του τόπου ανεξάρτητα της τιµής του c. ΠΡΟΒΛΗΜΑ ίδεται σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς και έλεγχος όπως στο Σχήµα µε K(s)=K. G(s)= (s+a)(s+) R(s) Σ + _ K(s) U(s) G(s) Y( s) 3

33 Α) Να ευρεθούν τιµές των Κ,a ώστε το σύστηµα κλειστού βρόχου να έχει Χρόνο µεγίστου t p.57sec. Χρόνο αποκαταστάσεως % t s sec. Β) Για a της επιλογής σας να ευρεθεί η τιµή του Κ ώστε το σύστηµα κλειστού βρόχου να ικανοποιεί τις προδιαγραφές του ερωτήµατος (Α) και να εµφανίζει τη µέγιστη επι τοις εκατό υπερπήδηση. Λύση Το σύστηµα κλειστού βρόχου θα έχει δύο πόλους και δεν θα έχει µηδενικά. Οι προδιαγραφές της βηµατικής απόκρισης προσδιορίζουν τη θέση των πόλων του αντισταθµιςένου συστήµατος. Από τον χρόνο κορυφής προκύπτει π t p =.57sec ω d ω d δηλαδή το φανταστικό µέρος των πόλων θα είναι µικότερο ή ίσο του. Από το χρόνο αποκατάστασης λαµβάνεται 4 t= s sec ζω n ζω n δηλαδή το πραγµατικό µέρος των πόλων θα πρέπει να είναι µικρότερο ή ίσο του. Είναι γνωστό ότι ο γεωµετρικός τόπος του συστήµατος θα είναι το ευθύγραµµο τµήµα του πραγµατικού άξονα [-a,-] και η µεσοκάθετός του, όπως στο σχήµα. 33

34 3 B s A xi g a Im - A φ Real Axis Για να είναι και οι δύο πόλοι του αντισταθµισµένου συστήµατος στην επιθυµητή περιοχή πρέπει να ληφθεί a -3 Εάν ληφθεί a=-4, όπως στο σχήµα, και οι δύο πόλοι θα είναι στην επιθυµητή περιοχή για Κ Α Κ Κ Β όπου Κ Α, Κ Β είναι οι τιµές του Κ που αντιστοιχούν στα σηµεία Α και Β του γεωµετρικού τόπου. Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του συστήµατος κλειστού βρόχου θα είναι ψ c(s)=(s+)(s+4)+k=s +5s+4+K Στο σηµείο Α η µία ρίζα του ψ c (s) είναι. Καθώς ψ c (-)=4+5(-)+4+Κ=-+Κ= το Κ Α προκύπτει ίσο µε. Στο σηµείο Β οι ρίζες του ψ c (s) είναι.5±j. Καθώς το γινόµενο των ριζών του τριωνύµου είναι 4+Κ, θα είναι προκύπτει αµέσως ότι Κ Β =6.5. (Στη γενική περίπτωση θα είναι (-.5+j)(-.5-j)=.5 + =6.5+4=K+4 Κ Α =a- 34

35 Β) Η επι τοις εκατό υπερπήδηση είναι a+ K B= +4-a ). Καθώς M=exp p -ζπ -ζ ζπ -π -ζ - -ζπ dmp -ζ =exp < dζ -ζ -ζ το Mp είναι φθίνουσα συνάρτηση του ζ. Επειδή το ζ είναι ίσο µε το συνηµίτονο της γωνίας φ, όπου φ όπως στο σχήµα, η µέγιστη υπερπήδηση θα συµβαίνει όταν οι πόλοι του συστήµατος κλειστού βρόχου θα είναι στο Β και το συζυγές του. Στην περίπτωση αυτή θα είναι και η µέγιστη υπερπήδηση προκύπτει.5.5 ζ= = = ή.97%. -ζπ M p =exp ζ=.78 =.97 -ζ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Στο ανωτέρω Σχήµα τα συστήµατα Σ, Σ περιγράφονται σε µορφή εξισώσεων καταστάσεως από τις τριάδες των µητρών (A,B,C ) και (A,B,C ). 35

36 u + + (A,B,C ) y + + (A,B,C ) y u Α) Να γραφούν οι εξισώσεις καταστάσεως του συνολικού συστήµατος. Β) Να αποδειχθεί ότι το ολικό σύστηµα είναι ελέγξιµο και παρατηρήσιµο εάν και µόνο εάν τα Σ,Σ είναι ελέγξιµα και παρατηρήσιµα. Γ) Εάν u (καταργείται σαν είσοδος) να δειχθεί (µπορεί να χρησιµοποιηθεί και Λύση παράδειγµα) ότι η ελεγξιµότητα και η παρατηρησιµότητα των Σ,Σ είναι αναγκαία συνθήκη για την ελεγξιµότητα και την παρατηρησιµότητα του ολικού συστήµατος αλλά όχι ικανή. Για το σύστηµα Σ θα ισχύει Για το σύστηµα Σ θα ισχύει Θεωρώντας x =Ax +B (u +y )=Ax +Bu +BC x x =A x +B (u +y )=A x +B u +B C x x u y x= u= y= x u y οι εξισώσεις καταστάσεως του συστήµατος κλειστού βρόχου θα είναι A BC B C x= x+ u y= x BC A B C Β) Για την απόδειξη της πρότασης θα χρησιµοποιηθούν τα ακόλουθα λήµµατα. Λήµµα : Μπορεί να γραφεί k k k- k- (A+BF) B=A B+A BM,kB+A BM,kB+...+BMk,kB 36

37 Η απόδειξη γίνεται µε επαγωγή. Για k= είναι Ας υποτεθεί ότι η σχέση ισχύει για k-, δηλαδή Θα είναι και η σχέση ισχύει µε (A+BF)B=AB+BFB=AB+BM,B k- k- k- k-3 (A+BF) B=A B+A BM,k-B+A BM,k-B+...+BMk-,k-B k k- (A+BF) B=(A+BF)(A+BF) B= A B+A BM B+A BM B+...+ABM B+ k k- k-,k-,k- k-,k- BFA B+BFA BM B+BFA BM B+...+BFBM B k- k- k-3,k-,k- k-,k- M =M i=,,...,k- i,k- i,k M =FA +FA BM +FA BM +...+FBM k- k- k-3 k,k,k-,k- k-,k- Λήµµα : Το ζεύγος (Α,Β) είναι ελέγξιµο εάν και µόνο εάν το ζεύγος (Α+BF,B) είναι ελέγξιµο Απόδειξη Η µήτρα ελεγξιµότητος του ζεύγους (Α+ΒF,B) γράφεται µε χρήση και του λήµµατος n- B (A+BF)B (A+BF) B (A+BF) B = I M, M,B Mn-,n-B I M M B I, n-,n- n- = B AB A B A B I Mn-3,n-B Καθώς η δεξιά µήτρα στο δεύτερο µέλος είναι οµαλή, θα είναι n- n- rank B (A+BF)B (A+BF) B (A+BF) B =rank B AB A B A B και το λήµµα απεδείχθη. Για την απόδειξη του (Β) ας θεωρηθεί ότι στο σύστηµα κλειστού βρόχου εφαρµόζεται η µήτρα F= -C -C Η µήτρα Α+BF θα είναι A BC B -C A A+BF= BC A + B = -C A Για τη µήτρα ελεγξιµότητος θα ισχύει 37

38 n- B A B A B B A B A B n- rank Β (Α+BF)B (Α+BF) B =rank n- B AB A B =rank B n- A B A B Για να είναι το σύστηµα κλειστού βρόχου ελέγξιµο πρέπει και αρκεί η τελευταία µήτρα να έχει ανεξάρτητες γραµµές και αυτό είναι δυνατόν εάν και µόνον εάν τα συστήµατα Σ και Σ είναι ελέγξιµα. Η απόδειξη της παρατηρησιµότητας είναι άµεση καθώς η παρατηρησιµότητα του ζεύγους (Α,C) είναι ισοδύναµη µε την ελεγξιµότητα του ζεύγους (Α Τ,C T ). Γ) Η αναγκαιότητα της υπόθεσης είναι προφανής, καθώς κατάργηση της u είναι ισοδύναµη µε τη διατήρησή της και µηδενισµό της για κάθε χρονική στιγµή. Για την ικανότητα, είναι δυνατόν να θεωρηθεί το σύστηµα µε A =A =B =B =C =, C =. Τότε x= x+ u y= x Αν και τα ζεύγη (Α,Β ) και (Α,Β ) είναι ελέγξιµα, το ζεύγος (Α,Β) δεν είναι ελέγξιµο. ΠΡΟΒΛΗΜΑ Α) Να δειχθεί ότι ο γεωµετρικός τόπος συστήµατος συνεχούς η διακριτού χρόνου µε συνάρτηση µεταφοράς ανοικτού βρόχου η οποία έχει ένα µηδενικό και δύο πόλους είναι τµήµα του πραγµατικού άξονα και κύκλος ή τόξο κύκλου. Β) Να ευρεθεί το κέντρο και η ακτίνα του κύκλου. Λύση Έστω s+a G(s)= () s+bs+c η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος. Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του συστήµατος κλειστού βρόχου θα είναι ψ c(s)=s +bs+c+k(s+a)=s +(b+k)s+c+ka () Έστω x+jy ένα σηµείο του τόπου. Από τη συνθήκη προκύπτουν οι σχέσεις ψ c(x+jy)=x -y +jxy+bx+jby+c+kx+jky+ka= (3) x -y +bx+c+kx+ka= (4.α) 38

39 xy+by+ky= Από τη σχέση (4.β) προκύπτουν δύο περιπτώσεις (4.β) η Περίπτωση y= (5) Από τη σχέση (4.α) προκύπτει x +bx+c K=- x -a (6) x+a δηλαδή για κάθε πραγµατικό x υπάρχει Κ θετικό ή αρνητικό για το οποίο ισχύει η (6). Για να είναι το Κ θετικό θα πρέπει Εάν ο αριθµητής είναι θετικός (το x εκτός των πραγµατικών ριζών του τριωνύµου του παρονοµαστή, ή το τριώνυµο έχει µιγαδικές ρίζες) ο παρονοµαστής πρέπει να είναι αρνητικός, δηλαδή το x πρέπει να είναι αριστερά του µηδενικού. Εάν ο αριθµητής είναι αρνητικός (το x µεταξύ των πραγµατικών ριζών του τριωνύµου του παρονοµαστή) ο παρονοµαστής πρέπει να είναι θετικός, δηλαδή το x πρέπει να είναι δεξιά του µηδενικού. η Περίπτωση x+b+k= ή Αντικαθιστώντας την τιµή του Κ στην σχέση (4.α), λαµβάνεται ή ισοδύναµα Κ=-x-b (7) x -y +bx+c+(-x-b)(x+a)=-x -y -ax+c-ab= (8) (x+a) +y =c-ab+a (9) Εάν c-ab+a είναι θετικό, η σχέση (9) είναι η εξίσωση κύκλου µε κέντρο το σηµείο δηλαδή το µηδενικό και ακτίνα (-a,), διαφορετικά η περίπτωση αυτή δεν δίδει λύση. Αξίζει να παρατηρηθεί ότι R= c-ab+a () c-ab+a = s +bs+c () και συνεπώς ο κύκλος θα είναι τµήµα του γεωµετρικού τόπου εάν το τριώνυµο του παρονοµαστή έχει µιγαδικές ρίζες ή εάν έχει πραγµατικές ρίζες και το µηδενικό βρίσκεται εκτός των ριζών. s=-a ΠΡΟΒΛΗΜΑ ιακριτό σύστηµα περιγράφεται από τις εξισώσεις καταστάσεως 39

40 x(k+)=αx(k)+βu(k) y(k)=cx(k) Α) Να ευρεθεί η συνθήκη ώστε να είναι δυνατή η µετάβαση από το σηµείο x() σε οποιοδήποτε σηµείο του χώρου κατάστασης µε κατάλληλη επιλογή της εισόδου. Β) Να δειχθεί ότι εάν n είναι η διάσταση του χώρου καταστάσεων για την µετάβαση αυτή, εάν είναι δυνατή, δεν απαιτούνται περισσότερα από n βήµατα. Γ) Να ευρεθεί ο ελάχιστος αριθµός βηµάτων για να επιτυγχάνεται πάντα αυτή η µετάβαση. ) Να προσδιοριστεί η u(κ) η οποία µεταφέρει το διάνυσµα καταστάσεως από τη θέση [ ] Τ στη θέση [ ] Τ 3 Α= Β= Λύση Α) Εφαρµόζοντας τις εξισώσεις καταστάσεως διαδοχικά, προκύπτει u(k-) u(k-) k- k k-i- k k- x(k)=α x()+ A Bu(i) = Α x()+ B AB A B A B u(k-3) i= u() Για να µπορεί να είναι το x(k) οποιοδήποτε διάνυσµα του χώρου κατάστασης, η εξίσωση πρέπει να έχει πάντοτε λύση, δηλαδή u(k-) u(k-) u() k k- x(k)-α x()= B AB A B A B u(k-3) k- { } rank B AB A B A B =n όπου n είναι η διάσταση του χώρου καταστάσεων. Αυτό σηµαίνει ότι σε k βήµατα έχει επιτευχθεί το διάνυσµα x(k). Β) Λαµβάνοντας υπόψη το θεώρηµα των Caley-Hamilton, επειδή οι µήτρες Α n+j, j=,, µπορούν να εκφραστούν σαν γραµµικοί συνδυασµοί των µητρών Ι,Α,..., Α n-, δεν απαιτείται να θεωρηθεί k µεγαλύτερο του n και η συνθήκη για την επίτευξη οιουδήποτε σηµείου του χώρου κατάστασης είναι 4

41 n- { } rank B AB A B A B =n Γ) Έστω λ ο ελάχιστος ακέραιος ο οποίος ικανοποιεί τη συνθήκη λ- { } rank B AB A B A B =n Ο αριθµός αυτός µπορεί να ευρεθεί προσδιορίζοντας διαδοχικά τους βαθµούς των µητρών [B], [B AB], [B AB A B] κλπ µέχρις ότου ευρεθεί µήτρα πλήρους βαθµού. Είναι προφανές ότι σε λ βήµατα είναι δυνατόν να επιτευχθεί οιοδήποτε σηµείο του χώρου κατάστασης. ) Είναι Rank{[B]}= 3 7 rank{ [ B AB ]} =rank =4 4 Συνεπώς λ= και το σηµείο [ ] Τ µπορεί να επιτευχθεί σε δύο βήµατα. Θα είναι από την οποία προκύπτει k x(k)-α x()= u() 3 7 u() = u() 4 u() u() - u() = = = u() - u() 4 ΠΡΟΒΛΗΜΑ ίδεται σύστηµα συνεχούς χρόνου µε συνάρτηση µεταφοράς G(s)= (s+)(s+) 4

42 Α) Να προσδιοριστεί η συνάρτηση µεταφοράς G d (z) του συστήµατος διακριτού χρόνου που προκύπτει από δειγµατοληψία του συστήµατος µε περίοδο Τ= και διατηρητή µηδενικής τάξεως. Β) Να σχεδιαστεί το διάγραµµα Bode του διακριτού συστήµατος. Γ) Εφαρµόζοντας το µετασχηµατισµό z- w= Tz+ να σχεδιαστούν τα διαγράµµατα Bode της G(s) και της Ĝ(w)= G (z) d z=f(w) ) Στο διακριτό σύστηµα εφαρµόζεται ελεγκτής, όπως στο Σχήµα.. r A/D K D/A u G(s) y + Να προσδιοριστούν οι τιµές του Κ ώστε το σύστηµα κλειστού βρόχου να είναι ευσταθές µε χρήση του κριτηρίου του Jury.. Ε) Να σχεδιαστεί ο γεωµετρικός τόπος των ριζών του διακριτοποιηµένου συστήµατος. Λύση A) Θα είναι G(z)=(-z) d Z L (-z) s(s+)(s+) = Z L + + s (s+) (s+) = - -t -t - z -z z = (-z ) Z {(-e +e )u(t)} = (-z ) + + -T -T z- z-e z-e Για Τ= η συνάρτηση µεταφοράς του διακριτοποιηµένου συστήµατος γίνεται - z -z z - G(z)=(-z) z -z z d + + (-z) -T -T = + + = z- z-e z-e z- z-.368 z-.35.4z+.48 = (z-.368)(z-.35) Β) Για z=e jωτ το διάγραµµα Bode φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα το οποίο πραγµατοποιήθηκε µε το πρόγραµµα σε περιβάλλον MATLAB for K=: 4

43 t(k)=.*(.3)^k; z(k)=exp(t(k)*i); g(k)=(.4*z(k)+.48)/(z(k)-.368)/(z(k)-.35); gr(k)=real(g(k)); gi(k)=imag(g(k)); bodem(k)=*log(sqrt(gr(k)^+gi(k)^)); end semilogx(t,bodem,'g') axis equal Γ) Το z συναρτήσει του w θα είναι T + w +w z= = T - w -w Αντικαθιστώντας στην G d (z) λαµβάνεται.4z+.48 (-w)(.5w+.96) Ĝ(w)=G (z) = = (z-.368)(z-.35) (.368w+.64)(.35w+.73) d +w +w z= z= -w -w Στο ακόλουθο σχήµα φαίνονται τα διαγράµµατα Bode της G(s) και της από το ακόλουθο πρόγραµµα σε περιβάλλον MATLAB. for K=: t(k)=.*(.3)^k; omega(k)=i*t(k); z(k)=exp(t(k)*i); g(k)=/(omega(k)+)/(omega(k)+); gr(k)=real(g(k)); gi(k)=imag(g(k)); bodem(k)=*log(sqrt(gr(k)^+gi(k)^)); Ĝ(w) που προκύψανε 43

44 gh(k)=(- omega(k))*(.5*omega(k)+.96)/(.368*omega(k)+.64)/(.35*omega(k) +.73); ghr(k)=real(gh(k)); ghi(k)=imag(gh(k)); bodemh(k)=*log(sqrt(ghr(k)^+ghi(k)^)); end semilogx(t,bodem,'g',t,bodemh,'b') axis equal ) Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του συστήµατος κλειστού βρόχου είναι ψ c(z)=(z-.368)(z-.35)+k(.4z+.48)=z +(.4K-.5)z+.48K+.5 Το κριτήριο του Jury έχει τετριµµένη µορφή ως εξής Γραµµή z z z.48k+.5.4k-.5.4k-.5.48k+.5 Για να είναι το σύστηµα κλιστού βρόχου ευσταθές πρέπει να ισχύουν οι ανισότητες. f()=+(.4k-.5)+.48k+.5=.548k+.55> (-) f(-)=+(-.4k+.5)+.48k+.5=-.5k+.55>.48k+.5 < Από την πρώτη ανισότητα προκύπτει Κ>-.4 Από τη δεύτερη ανισότητα προκύπτει Κ<6.5 Από την Τρίτη ανισότητα προκύπτει <.48Κ+.5< ή ισοδύναµα Κ>-7.9 και Κ<6.49. Οι ανισότητες συναληθεύουν για -.4<Κ<6.5 44

45 Ε) Ο γεωµετρικός τόπος των πόλων του αντισταθµισµένου συστήµατος κατασκευάζεται όπως και στην περίπτωση συστήµατος συνεχούς χρόνου. Θα είναι κύκλος µε κέντρο το σηµείο z=-.48/.4=-.37 και τµήµατα του πραγµατικού άξονα. Ο γεωµετρικός τόπος φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα s A xi g a Im Real Axis ΠΡΟΒΛΗΜΑ Οι εξισώσεις που περιγράφουν το σύστηµα δύο δοχείων είναι οι εξής: x -.97 x.63 x = =Ax+Bu(t)= + u x x y=x = x [ ] x Α) Να γραφούν οι εξισώσεις του διακριτού συστήµατος που προκύπτει από τη δειγµατοληψία του µε περίοδο Τ= και χρήση διατηρητή µηδενικής τάξεως. Β) Να προσδιοριστεί η συνάρτηση µεταφοράς του διακριτού συστήµατος. Γ) Να εξεταστεί η ελεγξιµότητα και η παρατηρησιµότητα του διακριτού συστήµατος συναρτήσει του Τ. ) Να ευρεθεί η χρονική απόκριση του συστήµατος συνεχούς χρόνου και του συστήµατος διακριτού χρόνου σε βηµατική διέγερση και να συγκριθούν ως προς το σφάλµα µόνιµης κατάστασης. Λύση Α) Οι εξισώσεις του διακριτοποιηµένου συστήµατος θα είναι AT AT - x d(k+)=adx d+bdu(k)=e x d+(e -I)A Bu(k) 45

46 όπου Τ είναι η περίοδος της δειγµατοληψίας. Για την εύρεση της e At χρησιµοποιείται το θεώρηµα των Caley-Hamilton. Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο της µήτρας Α είναι Από την s+.97 ψ(s)=det(si-a)=det =(s+.97)(s+.9) -.78 s+.9 st e =a +as για s=-.97 και s=-.9 λαµβάνεται το σύστηµα των εξισώσεων από το οποίο προκύπτει και.97 a -.9t = e.9 a -.97t e = t -.97t.97e.9e a t -.97t a e e -.97t At e e =ai+aa=.6(e -.9t e -.97t ) e -.9t Συνεπώς -.97x AT e.79 A=e d = -.9x -.97x -.9x =.6(e e ) e.8.86 B=e d ( ) IAB= = = AT - Β) Η συνάρτηση µεταφοράς του διακριτοποιηµένου συστήµατος θα είναι - z G(z)=C[zI-A]B= d d d [ ] = -.8 z z z+.6 = [ ] =.8.97 z-.79 z-.86 ( z-.79)( z-.86) z ( )( ) 46

47 Γ) Για την ελεγξιµότητα του διακριτοποιηµένου συστήµατος εξετάζεται ο βαθµός της µήτρας [ ] ( ) ( ) AT - AT AT - P c= Bd AdB d = e -I A B e e -I A B Καθώς οι µήτρες e At και (e At -I)A - αντιµετατίθενται, η µήτρα ελεγξιµότητας γράφεται. ( ) AT - AT P= c e -I A B e B Οι ιδιοτιµές της µήτρας e At είναι e -.97t και e -.9t. Καθώς για κάθε t>, e -.97t < και e -.9t <, οι ιδιοτιµές της e At -Ι, οι οποίες είναι e -.97t - και e -.9t - δεν µηδενίζονται και συνεπώς η µήτρα e At -Ι είναι οµαλή και θα έχει βαθµό ίσο µε δύο. Εποµένως το σύστηµα θα είναι ελέγξιµο εάν και µόνο εάν Για να χάνει βαθµό η τελευταία µήτρα πρέπει = AT rank B e B At e B=λΒ δηλαδή το Β πρέπει να είναι ιδιοδιάνυσµα της µήτρας e At. Καθώς τα ιδιοδιανύσµατα της e At ταυτίζονται µε τα ιδιοδιανύσµατα της µήτρας Α, το διακριτοποιηµένο σύστηµα θα είναι ελέγξιµο εάν και µόνο εάν rank[ B ΑB] =. Η τελευταία είναι η συνθήκη ελεγξιµότητας του συστήµατος συνεχούς χρόνου και το διακριτοποιηµένο σύστηµα θα είναι ελέγξιµο για κάθε Τ. Αξίζει να τονιστεί ότι στη γενική περίπτωση ελεγξιµότητα του συστήµατος συνεχούς χρόνου δεν συνεπάγεται την ελεγξιµότητα του διακριτοποιηµένου συστήµατος. ) Η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος συνεχούς χρόνου θα είναι - - s G(s)=C[sI-A] B= = [ ] -.78 s+.9-4 s x = [ ] =.78 s+.97 s+.9 ( s+.97)( s+.9) s+.9 ( )( ) Για την τελική τιµή της εξόδου σε βηµατική διέγερση, εφαρµόζοντας το θεώρηµα της τελικής τιµής του µετασχηµατισµού Laplace, λαµβάνεται x y ss (βηµ)= lim{ y(t) } u(t)=u(t) = lim{ sy(s) } = lim sg(s) =G()= =.845 t s s s.97.9 ( )( ) Για την τελική τιµή της εξόδου του διακριτοποιηµένου συστήµατος σε βηµατική διέγερση,εφαρµόζοντας το θεώρηµα της τελικής τιµής του µετασχηµατισµού Ζ, λαµβάνεται 47

48 z lim{ y (kt)} = lim {(-z )Y (z)} = lim (-z )G (z) = z-.56 = G ()= = d u(kt)=u(kt) d d k z z d (.)(.4) Στο ακόλουθο σχήµα φαίνονται οι βηµατικές αποκρίσεις του συστήµατος συνεχούς χρόνου και του διακριτοποιηµένου συστήµατος. Οι τελικές τιµές προκύπτουν ίσες. Η διαφορά που εµφανίστηκε οφείλεται στις στρογγυλεύσεις κατά τη διακριτοποίηση του συστήµατος. Step Response From: U() e d itu m pl A ) ( Y T o: Time (sec.) 48

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ 7 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ Δρ. Γιωργος Μαϊστρος Παράγοντας ης τάξης (+jωτ) Αντιστοιχεί σε πραγματικό πόλο: j j j Έτσι το μέτρο: ιαγράμματα χρήση ασυμπτώτων τομή τους

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Φυσικής Εργαστήριο Ηλεκτρονικής ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Κ. Ψυχαλίνος Πάτρα 005 . METAΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE. Ορισμοί Μετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο συχνότητας.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform) Μετασχηµατισµός Ζ (-traform) Εργαλείο ανάλυσης σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου ιεργασία ανάλογη του Μετ/σµού Laplace Απόκριση συχνότητας Εφαρµογές επίλυση γραµµικών εξισώσεων διαφορών µε σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να αποδειχθεί ότι οι γεωμετρικές εικόνες των μιγαδικών ριζών της εξίσωσης (συν θ)z (4συνθ)z + (5 συν θ) = 0 με θ π, π κινούνται σε υπερβολή, της οποίας να ευρεθούν τα στοιχεί ΑΣΚΗΣΗ Στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

Σχήμα Χαμηλοδιαβατά φίλτρα:

Σχήμα Χαμηλοδιαβατά φίλτρα: ΦΙΛΤΡΑ 6.. ΦΙΛΤΡΑ Το φίλτρο είναι ένα σύστημα του οποίου η απόκριση συχνότητας παίρνει σημαντικές τιμές μόνο για συγκεκριμένες ζώνες του άξονα συχνοτήτων. Στο Σχήμα 6.6 δείχνουμε την απόκριση συχνότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B 4 Εργο και Ενέργεια 4.1 Εργο σε µία διάσταση Το έργο µιας σταθερής δύναµης F x, η οποία ασκείται σε ένα σώµα που κινείται σε µία διάσταση x, ορίζεται ως W = F x x Εργο ύναµης = ύναµη Μετατόπιση Εχουµε

Διαβάστε περισσότερα

Αναλογικά φίλτρα. Για να επιτύχουµε µια επιθυµητή απόκριση χρειαζόµαστε σηµαντικά λιγότερους συντελεστές γιαένα IIR φίλτροσεσχέσηµετοαντίστοιχο FIR.

Αναλογικά φίλτρα. Για να επιτύχουµε µια επιθυµητή απόκριση χρειαζόµαστε σηµαντικά λιγότερους συντελεστές γιαένα IIR φίλτροσεσχέσηµετοαντίστοιχο FIR. Τα IIR φίλτρα είναι επαναληπτικά ή αναδροµικά, µε την έννοια ότι δείγµατα της εξόδου χρησιµοποιούνται από το σύστηµα για τον υπολογισµό τν νέν τιµών της εξόδου σε επόµενες χρονικές στιγµές. Για να επιτύχουµε

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ 33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

M m l B r mglsin mlcos x ml 2 1) Να εισαχθεί το µοντέλο στο simulink ορίζοντας από πριν στο MATLAB τις µεταβλητές Μ,m,br

M m l B r mglsin mlcos x ml 2 1) Να εισαχθεί το µοντέλο στο simulink ορίζοντας από πριν στο MATLAB τις µεταβλητές Μ,m,br ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ένα σύστηµα εκκρεµούς όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα: Πάνω στη µάζα Μ επιδρά µια οριζόντια δύναµη F l την οποία και θεωρούµε σαν είσοδο στο σύστηµα. Έξοδος του συστήµατος θεωρείται η απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ . ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. β. Αν Re ( ) 0, τότε: 4 i. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w = + είναι πραγματικός και ισχύει 4 w 4. ii. Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

για τις οποίες ισχύει ( )

για τις οποίες ισχύει ( ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΜΗΤΑΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ, ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ . Έστω οι συναρτήσεις f, g: για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι -. β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής.

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. Ο πύραυλος καίει τα καύσιμα που αρχικά βρίσκονται μέσα του και εκτοξεύει τα καυσαέρια προς τα πίσω. Τα καυσαέρια δέχονται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ιατηρητικές δυνάµεις Στο υποκεφάλαιο.4 είδαµε ότι, για µονοδιάστατες κινήσεις στον άξονα x, όλες οι δυνάµεις της µορφής F F(x) είναι διατηρητικές. Για κίνηση λοιπόν στις τρεις διαστάσεις, µπορούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ- Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ- ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κυριακή, 0 Μαΐου 05 Ώρα : 0:0 - :00 ΘΕΜΑ 0 (µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 18/11/2011 ΚΕΦ. 10

ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 18/11/2011 ΚΕΦ. 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 1 ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Μέτρο εξωτερικού γινομένου 2 C A B C ABsin διανυσμάτων A και B Ιδιότητες εξωτερικού γινομένου A B B A εν είναι αντιμεταθετικό.

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ENOTHTA. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο. Πώς προσδιορίζουμε τη θέση των αντικειμένων; A O M B ' y P Ì(,y) Ð Για τον προσδιορισμό της θέσης πάνω σε μία ευθεία πρέπει να έχουμε ένα σημείο της

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φυσική Κατεύθυνσης Β Λυκείου ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Β Θέµα ο Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση σε κάθε µία από τις παρακάτω ερωτήσεις: Σε ισόχωρη αντιστρεπτή θέρµανση ιδανικού αερίου, η

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός)

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) 4 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) Κυριακή, 5 Απριλίου, 00, Ώρα:.00 4.00 Προτεινόμενες Λύσεις Άσκηση ( 5 μονάδες) Δύο σύγχρονες πηγές, Π και Π, που απέχουν μεταξύ τους

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα.

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1 Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. Α2. Για τον προσδιορισμό μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα απαιτείται να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας. Γιώργος Νικολιδάκης

Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας. Γιώργος Νικολιδάκης Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας Γιώργος Νικολιδάκης 9/18/2013 1 Κωνικές Τομές Είναι καμπύλες που σχηματίζονται καθώς επίπεδα τέμνουν με διάφορες γωνίες επιφάνειες κώνων. Παραβολή Έλλειψη -κύκλος Υπερβολή

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18) Άσκηση 1. Α) Στο κύκλωμα του παρακάτω σχήματος την χρονική στιγμή t=0 sec ο διακόπτης κλείνει. Βρείτε τα v c και i c. Οι πυκνωτές είναι αρχικά αφόρτιστοι. Β)

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 7 Ο Μετασχηματισμός Z Βασικές Ιδιότητες Καθηγητής Χριστόδουλος Χαμζάς Ο Μετασχηματισμός Ζ Γιατί χρειαζόμαστε τον Μετασχηματισμό Ζ; Ανάγει την επίλυση των αναδρομικών

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1 ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : (α) Ταχύτητα ΚΜ: u KM = mu + mu m = u + u Εποµένως u = u u + u = u u, u = u u + u = u u (β) Διατήρηση ορµής στο ΚΜ: mu + mu = mv + mv u + u = V + V = 0 V = V

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 7 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1 Αν z 1, z είναι µιγαδικοί αριθµοί, να αποδειχθεί ότι: z 1 z = z 1 z. Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεία y

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 Tel. 6165-617784 - Fax: 64105 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f ()= για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κεφάλαιο M6 Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κυκλική κίνηση Αναπτύξαµε δύο µοντέλα ανάλυσης στα οποία χρησιµοποιούνται οι νόµοι της κίνησης του Νεύτωνα. Εφαρµόσαµε τα µοντέλα αυτά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις Ελατηρίου Απλή αρµονική κίνηση Ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή Σχέση απλού αρµονικού ταλαντωτή και κυκλικής κίνησης Το απλό εκκρεµές Περιεχόµενα 14 Το φυσικό εκκρεµές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015 Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 000-05 Περιεχόµενα Θέµατα Επαναληπτικών 05............................................. 3 Θέµατα 05......................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα