ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟ ΕΛΕΓΧΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2. Τρύφων Κουσιουρής

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟ ΕΛΕΓΧΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2. Τρύφων Κουσιουρής"

Transcript

1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟ ΕΛΕΓΧΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τρύφων Κουσιουρής Ακ. Έτος 5-6

2 ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σχήµα Ας θεωρηθεί το σύστηµα του ανεστραµµένου εκκρεµούς που φαίνεται στο Σχήµα (α). Ράβδος µήκους L, µε µάζα m οµοιόµορφα κατανεµηµένη κατά µήκος της και ροπή αδρανείας J ως προς το κέντρο µάζας της (το µέσον της ράβδου) µπορεί να περιστραφεί περί οριζόντιο άξονα ο οποίος είναι σταθερά στερεωµένος σε φορείο µάζης M το οποίο κινείται επάνω σε ευθεία γραµµή του οριζοντίου επιπέδου χωρίς τριβές. Μετράται η µετατόπιση x του φορείου και η γωνία θ της ράβδου ως προς την κατακόρυφο. Α) Να γραφούν οι εξισώσεις καταστάσεως του συστήµατος ως προς το διάνυσµα ξ(t)= x x θ θ Β) Να γραµµικοποιηθεί το σύστηµα στην περιοχή του σηµείου ξ=. Γ) Να ευρεθεί η µήτρα συναρτήσεων µεταφοράς. ) Να ευρεθούν οι πόλοι και τα µηδενικά της συνάρτησης µεταφοράς Θ(s)/F(s). Λύση Έστω Α η δύναµη που ασκεί το φορείο στη ράβδο του εκκρεµούς, η οποία αναλύεται σε οριζόντια συνιστώσα Α x και κατακόρυφη συνιστώσα A y. Οι συντεταγµένες του κέντρου µάζης της ράβδου θα είναι (x m, y m ) = (x + Lηµθ, Lσυνθ) Εφαρµόζοντας την αρχή D Alembert για τις οριζόντιες και κατακόρυφες δυνάµεις και τις ροπές στη ράβδο, λαµβάνονται Οριζόντιες δυνάµεις: Κατακόρυφες δυνάµεις: d A -m dt x Τ. (x+lηµθ)= d Ay -mg m (Lσυνθ)= dt

3 Ροπές: -AxLσυνθ + ΑyLηµθ -J = dt Από την αρχή δράσης-αντίδρασης του Νεύτωνα, που είναι ειδική περίπτωση της αρχής D Alembert, η ράβδος θα ασκεί στο φορείο δύναµη Α. Έστω Β η δύναµη που ασκεί το έδαφος στο φορείο. Αυτή θα είναι κατακόρυφη, επειδή δεν υπάρχουν τριβές. Εφαρµόζοντας την αρχή D Alembert στις κατακόρυφες και οριζόντιες δυνάµεις, λαµβάνονται. Οριζόντιες δυνάµεις: Κατακόρυφες δυνάµεις: dx x d θ F(t) - A - M = dt -Ay - Β = Επιλύοντας ως προς Α x, A y από και αντικαθιστώντας προκύπτουν οι εξισώσεις που περιγράφουν το µοντέλο ως εξής dx d F(t) = M + m (x+lηµθ) dt dt d d d θ -mlσυνθ (x+lηµθ) + Lηµθ[mg + m (Lσυνθ)]- J = dt dt dt Αναπτύσσοντας τις παραγώγους, οι εξισώσεις γίνονται. dx dx... F(t) = M + m - ml ηµθ (θ ) + mlσυνθθ dt dt..... [-ml συν θ -mlηµ θ -J]θ +mglηµθ -mlηµθσυνθ(θ ) -mlσυνθ x o + ml ηµθσυνθ(θ ) = J θ +mglηµθ -mlσυνθ x= όπου J o = J + ml είναι η ροπή αδρανείας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της. Αντικαθιστώντας τις µεταβλητές µε τις συνιστώσες του διανύσµατος καταστάσεως, λαµβάνονται (M+m)ξ + ml(συνξ )ξ = F(t) + ml (ηµξ )ξ 3 4 mlσυνξ3ξ +Jξ 4=mgLηµξ Επιλύοντας ως προς τις παραγώγους των συνιστωσών του διανύσµατος καταστάσεως, λαµβάνονται ξ = ξ -J ξ mlηµξ mlgσυνξ ηµξ -J ξ + F = f (ξ,f) o o = + -J o(m+m) + m L συν ξ3 -J o(m+m) + m L συν ξ3 ξ = ξ 3 4 ξ mlσυνξ ηµξ -(M+m)mgLηµξ mlσυνξ ξ F = f (ξ,f) = + 4 -J o(m+m) + m L συν ξ3 -J o(m+m) + m L συν ξ3 3

4 Για F= το σηµείο ξ =ξ =ξ 3 =ξ 4 = είναι σηµείο ισορροπίας και το σύστηµα µπορεί να γραµµικοποιηθεί στην περιοχή του. Θα είναι f ξ 4 f = = ξ 4 4 f mlg[συν ξ3-ηµ ξ 3] m Lgσυν ξ3ηµ ξ 3 F= = ( ) ξ 4 + ( ) F+ + F= = ξ 3 ξ= [-J o(m+m) + m L συν ξ 3] [-J o(m+m) + m Lσυν ξ 3] ξ= f ξ ( ) o F= 4 ξ= mlg = -J (M+m) + m L = ξ = f -J = F -J (M+m) + m Lσυν ξ o F= F= ξ= o 3 ξ= o Οµοίως για την f 4 θα έχουµε -Jo = -J (M+m) + m L f ξ o F= = ( ) ξ 4 + ( ) F-(M+m)mgL F= 3 ξ= o 3 ξ= 4 4 f = = ξ f συνξ [-J (M+m) + m L συν ξ ] + m L συνξ ηµ ξ ξ [-J (M+m) + m L συν ξ ] -(M+m)mgL = -J (M+m) + m L f ξ ( ) F= 4 F= ξ= ξ= o = ξ = f4 mlσυνξ = F -J (M+m) + m L συν 3 F= ξ= o ml = ξ -J (M+m) m L F= 3 ξ= o + Οι εξισώσεις καταστάσεως του γραµµικοποιηµένου συστήµατος θα είναι 4

5 -J mlg o -J -J o(m+m) + m L o(m+m) + m L ξ= ξ+ F -(M+m)mgL ml -J -J o(m+m) + m L o(m+m) + m L Η µήτρα συναρτήσεων µεταφοράς θα είναι ξ ξ 3 y= = ξ s -J -m L g o s -J o + o(m+m) + m L -J (M+m) m L G(s)= = s (M+m)mgL ml s -J -J o(m+m) + m L o(m+m) + m L = (M+m)mgL s s + -J o (M+m)+m L Θα είναι s+ -J o ( - (M+m)mgL M+m)+m L mlg ml + -J (M+m)+m L -J (M+m)+m L ml o o s -J o (M+m)+m L ml s Θ(s) -J o (M+m)+m L ml = = F(s) (M+m)mgL s (-J o(m+m)+m L )+(M+m)mgL s s + -J o (M+m)+m L Παρατηρείται ότι η Θ(s)/F(s) δεν εµφανίζει µηδενικά, καθώς αυτά απλοποιούνται µε πόλους ενώ οι πόλοι της είναι πραγµατικοί και συµµετρικοί ως προς την αρχή. ΠΡΟΒΛΗΜΑ Για το ανεστραµµένο κωνικό δοχείο του Σχήµατος η παροχή q(t) της εκροής είναι ανάλογη της τετραγωνικής ρίζας του ύψους του υγρού εντός του δοχείου. 5

6 Q(t) h q(t) Σχήµα Α) Να γραφούν οι εξισώσεις καταστάσεως του συστήµατος, εάν µετράται η διαφορική πίεση στη βάση του δοχείου σε σχέση µε την ατµοσφαιρική πίεση. Β) Εάν είναι επιθυµητό το ύψος του υγρού στο δοχείο να είναι σταθερό (h ), να γραφούν οι εξισώσεις του γραµµικοποιηµένου µοντέλου Γ) Να ευρεθεί η µοναδιαία βηµατική απόκριση του γραµµικοποιηµένου µοντέλου του συστήµατος. ) Να συγκρίνετε τις τελικές τιµές του ύψους του συστήµατος και του γραµµικοποιηµένου µοντέλου του. Λύση A) Η διαφορική πίεση στη βάση του δοχείου θα είναι Ο όγκος του υγρού εντός του δοχείου p=ρgh V=π (hεφθ) h/3 Ο ρυθµός της αύξησης του όγκου του υγρού εντός του δοχείου θα είναι ίσος µε την παροχή τροφοδοσίας µείον την παροχή εκροής, δηλαδή = = h = { π h εφ θ} = Q(t)-a h dt dh dt dh 3 dt dt dv dv dh d π εφ θ 3 dh dh 6

7 Εάν θεωρηθεί ως κατάσταση το ύψος h του υγρού εντός του δοχείου, οι εξισώσεις καταστάσεως του συστήµατος θα είναι 3 dh -a - = h + Q(t)=f(h,Q) dt πh εφ θ πh εφ θ p= ρgh B) Για να είναι το ύψος του υγρού h, η παροχή τροφοδοσίας πρέπει να είναι Εάν τεθούν Q(t)=a h x=h-h, u=q(t)-q (t), y=p-p, οι εξισώσεις του γραµµικοποιηµένου µοντέλου θα είναι όπου x=ax+bu y=cx -5 f a 3 3 A= h=h =- ( ) h + Q(t)h h=h = h Q=Q πεφ θ πεφ θ Q=Q 3a 5/ 3 -a 5/ h + a h (-)h = h πεφ θ πεφ θ πεφ θ f Β= = = Q πh εφ θ πh εφ θ h=h h=h Q=Q Q=Q C=ρg Γ) Για το γραµµικοποιηµένο µοντέλο θα είναι x()=. Εφαρµόζοντας µετασχηµατισµό Laplace, λαµβάνεται ή ισοδύναµα και Η έξοδος του συστήµατος θα είναι B (s+a)x(s)=βu(s)= s h h B B/A B/A X(s)= = = a a s(s+a) s (s+a) s (s+a) h h = a a -At x(t) - e u(t) y=ρgx 7

8 ) Καθώς ο χρόνος τείνει στο άπειρο, το γραµµικοποιηµένο σύστηµα προβλέπει ύψος του υγρού εντός του δοχείου h h L( ) = h + a Για το προς έλεγχο σύστηµα, εάν εφαρµοστεί η βηµατική διέγερση, η παροχή της εισόδου θα είναι Q=Q + Το ύψος του υγρού εντός του δοχείου στη µόνιµη κατάσταση θα είναι Q+ Q++Q h NL = + + h ( ) = =h a a a a Παρατηρείται διαφορά ύψους η οποία οφείλεται στο γεγονός ότι το εµβαδόν της οριζόντιας διατοµής του κωνικού δοχείου µεταβάλλεται µε το ύψος ενώ στο γραµµικοποιηµένο µοντέλο θεωρείται σταθερό. ΠΡΟΒΛΗΜΑ Η δεξαµενή του σχήµατος τροφοδοτείται από ανοικτό κανάλι στο οποίο η ταχύτητα του υγρού v είναι ανεξάρτητη της παροχής Q. Η παροχή ελέγχεται από ηλεκτροβάνα η οποία είναι τοποθετηµένη σε απόσταση d από τη δεξαµενή, προκαλώντας καθυστέρηση Τ=d/v. Εάν η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος είναι H(s) 5 G(s)= = Q(s) s+ και του ελεγκτή K(s)= s+ 8

9 α) Να σχεδιαστεί το διάγραµµα Nyquist του συστήµαταος ανοικτού βρόχου για καθυστέρηση Τ της επιλογής σας. β) Να ευρεθεί η µέγιστη απόσταση στην οποία µπορεί να τοποθετηθαί η ηλεκτροβάνα, εάν η ταχύτητα του υγρού είναι.5m/s. Λύση Τ= Τ= Το διάγραµµα Nyquist της συνάρτησης µεταφοράς ανοικτου βρόχου 5 P(s)=G(s)K(s)= e (s+)(s+) φαίνεται στα ανωτέρω σχήµατα για Τ= και Τ=.sec αντίστοιχα. Καθώς ο παράγων e -st δεν αλλάζει το µέτρο της Q(s) και ελαττώνει τη φάση της, όταν Τ=. ελαττώνεται το περιθώριο φάσης και εµφανίζεται σπειροειδές το διάγραµµα Nyquist στις υψηλές συχνότητες. Β) Από το διάγραµµα Nyquist της P(s) όταν Τ= προκύπτει ότι το περιθώριο φάσης είναι 8 ο ή ισοδύναµα θ m =.4rad. Η κυκλική συχνότητα ω για την οποία το διάγραµµα Nyquist της P(s) τέµνει τήν περιφέρεια του µοναδιαίου κύκλου θα δίδεται από τη σχέση 5 5 P(jω ) = = = (jω +)(jω +) ω + ω + -st ή ισοσύναµα από την οποία προκύπτει ω + ω 4 = 4 4* ± + ± ω = = =

10 Συνεπώς ω =4.456rad/sec Επειδή θ.4 ω m T= = =.34sec Η µέγιστη απόσταση στην οποία µπορεί να τοποθετηθεί ο ενεργοποιητής θα είναι d max =vt=.5m/sec*.34sec=.47m. ΠΡΟΒΛΗΜΑ Εάν η συνάρτηση µεταφοράς συστήµατος είναι Λύση s-3 G(s)= (s-)(s+a). Χρησιµοποιώντας το κριτήριο Routh να ευρεθεί εάν υπάρχουν τιµές του κέρδους του ελεγκτή K(s+b) K(s)= s ώστε το σύστηµα κλειστού βρόχου να είναι ασυµπτωτικά ευσταθές.. Για ένα συνδυασµό a,b που το αντισταθµισµένο σύστηµα µπορεί να ευσταθειοποιηθεί να σχεδιαστεί ο γεωµετρικός τόπος των πόλων του συστήµατος κλειστού βρόχου. Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του συστήµατος κλειστού βρόχου θα είναι 3 ψ c(s)=s(s-)(s+a)+k(s-3)(s+b)=s +(a+k-)s +(-a+kb-3k)s-3bk () Κατασκευάζεται η διάταξη Routh ως εξής s 3 Kb-3K-a s a+k- -3Kb s s (Kb-3K-a)(a+K-)+3bK a+k- -3Kb Για να είναι το αντισταθµισµένο σύστηµα ευσταθές πρέπει να ισχύουν οι ανισότητες a+k-> -3Kb> (Kb-3K-a)(a+K-)+3bK=f(K)=K (b-3)+k(ab-4a+b+3)+a(-a)> (.α) (.β) (.γ)

11 Από τις σχέσεις (.β) και (.γ) προκύπτει Kb-3K-a> (3) διαφορετικά άθροισµα αρνητικών αριθµών θα είναι µεγαλύτερο του µηδενός. Από τη σχέση (.γ) προκύπτουν δύο περιπτώσεις. η Περίπτωση Από τη σχέση (.α) πρέπει Από τη σχέση (3), καθώς b-3<, πρέπει Και συνεπώς Κ> και b<. (4) K>-a (5) K<a/(b-3) (6) a< (7) Οι σχέσεις (5) και (6) συναληθεύουν µόνο εάν -a<a/(b-3) ή ισοδύναµα καθώς b-3< (-a)(b-3)-a=b-ab+a-3> (8) Η σχέση (8) είναι αδύνατη καθώς άθροισµα αρνητικών αριθµών προκύπτει µεγαλύτερο του µηδενός. Στην περίπτωση αυτή δεν υπάρχει λύση του προβλήµατος. η Περίπτωση Από τη σχέση (.α) προκύπτει Aπό τη σχέση (3) προκύπτει K(b-3)>a> και επειδή K< Από τη σχέση (.α) προκύπτει Από τη σχέση (3) προκύπτει καθώς b<3 Για να συναληθεύουν οι σχέσεις () και (3) πρέπει ή ισοδύναµα καθώς b<3 Κ< και b> (9) a>-k> () b<3 () Κ>-a () K<a/(b-3) (3) -a<a/(b-3) (4) a-(-a)(b-3)=ab+3-b-a< (5) Ας θεωρηθεί η σχέση (.γ). Καθώς b-3<, το τριώνυµο ως προς Κ θα ικανοποιεί τη σχέση όταν το Κ βρίσκεται µεταξύ των ριζών του. Αυτό συνεπάγεται ότι η διακρίνουσα του τριωνύµου =(ab-4a+b+3) -4(b-3)a(-a)> Το γινόµενο των ριζών του τριωνύµου είναι a(a-)/(b-3), δηλαδή θετικό, και οι ρίζες είναι οµόσηµες. Για να είναι και οι δύο αρνητικές πρέπει το άθροισµά τους να είναι αρνητικό, δηλαδή (6)

12 Είναι ab-4a+b+3< (7) f(k) K=-a =(-a) (b-3)+(-a)(ab-4a+b+3)+a(-a)=3b(-a)< (8) a a ab f(k) a =( ) (b-3)+( )(ab-4a+b+3)+a(-a)= < K= b-3 b-3 b-3 b-3 δηλαδή το (-a) και το a/(b-3) είναι εκτός των ριζών του τριωνύµου. Για να ικανοποιείται η () και η (.γ)πρέπει το -a να είναι µικρότερο από τη µικρότερη ρίζα του τριωνύµου και επειδή ισχύει η (8), πρέπει ab-4a+b+3 (-a)<- (b-3) (9) -ab+a+4b-3> () Για να ικανοποιείται η (3) και η (.γ)πρέπει το a/(b-3) να είναι µεγαλύτερο από τη µεγαλύτερη ρίζα του τριωνύµου και επειδή ισχύει η (9), πρέπει Εάν επιλεγούν a ab-4a+b+3 >- -ab+a-b-3> () b-3 (b-3) το Κ πρέπει να είναι µεταξύ των ριζών του τριωνύµου, δηλαδή και το Κ πρέπει να είναι στο διάστηµα (-6.5,-3.3) a=8 () b=.5 (3) -6.5<Κ<-3.3 (4) -8=-7<Κ (5) Κ< (6) Β) Ο γεωµετρικός τόπος των πόλων του συστήµατος κλειστού βρόχου φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα.

13 5 4 3 s A xi g a Im Real Axis ΠΡΟΒΛΗΜΑ ίδεται το σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς και έλεγχο όπως στο Σχήµα. G(s)=, a> (s-a) R(s) Σ + _ K(s) U(s) G(s) Y( s) Α) Να δειχθεί ότι το σύστηµα δεν µπορεί να ευσταθειοποιηθεί µε αντισταθµιστή PI. Β) Να δειχθεί ότι το σύστηµα µπορεί να ευσταθειοποιηθεί µε αντισταθµιστή PID. Λύση Α) Καθώς ο ελεγκτής PI µπορεί να γραφεί K Ks+K K(s+b) = = i i K(s)=K+ s s s το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του αντισταθµισµένου συστήµατος θα είναι 3 ψ c(s)=s(s-a) +K(s+b)=s -as +(a +K)s+Kb Επειδή a>, οι συντελεστές του s 3 και s είναι ετερόσηµοι και το σύστηµα κλειστού βρόχου δεν µπορεί να είναι ασυµπτωτικά ευσταθές, σύµφωνα µε το θεώρηµα του Stodola. 3

14 Β) Καθώς ο ελεγκτής PID µπορεί να γραφεί K K(s)=K a+ s Ks+K + Ks s K i a i d + Kds = = (s +bs+c) s το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του αντισταθµισµένου συστήµατος θα είναι 3 ψ c(s)=s(s-a) +K(s +bs+c)=s +(K-a)s +(a +Kb)s+Kc Για τον έλεγχο της ευστάθειας του αντισταθµισµένου συστήµατος χρησιµοποιείται η διάταξη Routh. s 3 a +Kb s K-a Kc s (K-a)(a +Kb)-Kc K-a s Kc Για ευστάθεια του συστήµατος κλειστού βρόχου πρέπει να ισχύουν οι ανισότητες K-a> Kc> 3 (K-a)(a +Kb)-Kc=K b+k(a -ab-c)-a > Θεωρώντας Κ>, c>, από την πρώτη ανισότητα λαµβάνεται K>a Θεωρώντας b>, η Τρίτη ανισότητα επαληθεύεται όταν το Κ ευρίσκεται εκτός των ριζών του 3 τριωνύµου f(x)=x b+x(a -ab-c)-a. Επειδή η διακρίνουσα του τριωνύµου είναι 3 =(a -ab-c) +8a b> αυτό θα έχει δύο πραγµατικές ρίζες και µάλιστα ετερόσηµες καθώς το γινόµενο των ριζών είναι αρνητικό. Συνεπώς για K>Max a, το αντισταθµισµένο σύστηµα θα είναι ευσταθές. 3 -(a -ab-c)+ (a -ab-c) +8a b b ΠΡΟΒΛΗΜΑ ίδεται το σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς 4

15 -s+ G(s)= (s+) και έλεγχο όπως στο Σχήµα. K(s) G(s) R(s) U(s) Y( s) Σ + _ Να προσδιοριστεί ελεγκτής s-z K(s)=K s-p ώστε το σύστηµα κλειστού βρόχου να εµφανίζει µηδενικό σφάλµα σε βηµατικές διεγέρσεις. Λύση Εάν K = lim G(s)K(s) p s το σφάλµα µόνιµης κατάστασης σε βηµατική διέγερση θα είναι e ss(βηµ)= +K Για να µηδενίζεται το e ss (βηµ) πρέπει να απειρίζεται το K p και συνεπώς η G(s)K(s) να έχει πόλο στο. Από αυτό προκύπτει άµεσα ότι p= Για να εφαρµόζεται το θεώρηµα της τελικής τιµής και να ισχύουν τα ανωτέρω πρέπει το σύστηµα κλειστού βρόχου να είναι ασυµπτωτικά ευσταθές. Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του αντισταθµισµένου συστήµατος θα είναι ψ c (s)=s(s+) +K(-s+)(s-z)=s 3 +(-K)s +(+K+Kz)s-Kz για τη µελέτη της ευστάθειας του αντισταθµισµένου συστήµατος χρησιµοποιείται η διάταξη Routh. s 3 +K+Kz s -K -Kz p s s (-Κ)(+Κ+Κz)+Kz -K -Kz Για ασυµπτωτική ευστάθεια απαιτείται η ικανοποίηση των ακόλουθων ανισοτήτων 5

16 Από την πρώτη ανισότητα λαµβάνεται -Κ> -Κz> (-Κ)(+Κ+Κz)+Kz=K (-z-)+k(6z+3)+> Κ< Από τη δεύτερη ανισότητα προκύπτει Κz<. ιακρίνονται δύο περιπτώσεις. Α) Κ> και εποµένως z<. Από την τρίτη ανισότητα το τριώνυµο ως προς Κ πρέπει να είναι θετικό. Α) Εάν z+>, ή ισοδύναµα z>-, το τριώνυµο έχει αρνητικό γινόµενο ριζών. Αυτό σηµαίνει ότι έχει πραγµατικές και ετερόσηµες ρίζες. Καθώς ο συντελεστής του µεγιστοβάθµιου όρου είναι αρνητικός, η ανισότητα θα ισχύει µεταξύ των ριζών του τριωνύµου.τελικά πρέπει <K<Min, 6z+3+ (6z+3) +8(z+) (z+) Α) Εάν z+<, ή ισοδύναµα z<-, ο συντελεστής του µεγιστοβάθµιου όρου του τριωνύµου είναι θετικός και η ανισότητα θα ισχύει πάντοτε, εάν το τριώνυµο έχει µιγαδικές ρίζες, ή θα ισχύει εκτός των ριζών, εάν το τριώνυµο έχει πραγµατικές ρίζες. Η διακρίνουσα του τριωνύµου είναι =(6z+3) +8(z+)=36z +5z+5> επειδή το τριώνυµο του z έχει µιγαδικές ρίζες. Συνεπώς η Τρίτη ανισότητα θα ισχύει εκτός των ριζών του τριωνύµου του Κ. Καθώς 6z+3<6z+6=3(z+)< το τριώνυµο του Κ θα έχει θετικό γινόµενο ριζών και αρνητικό άθροισµα ριζών. Εποµένως και οι δύο ρίζες θα είναι αρνητικές και η ευστάθεια εξασφαλίζεται εάν <Κ<. Β) Κ< και συνεπώς z>. Το τριώνυµο του Κ έχει θετικό άθροισµα ριζών και αρνητικό γινόµενο ριζών. Εποµένως έχειδύο πραγµατικές ετερόσηµες ρίζες. Επειδή ο συντελεστής του µεγιστοβάθµιου όρου του είναι αρνητικός, η ανισότητα θα ισχύει µεταξύ των ριζών του τριωνύµου του Κ, δηλαδή 6z+3- (6z+3) +8(z+) 6z+3+ (6z+3) +8(z+) <K< (z+) (z+) Οι ανισότητες συναληθεύουν στο διάστηµα Από την ανωτέρω ανάλυση, λαµβάνοντας 6z+3- (6z+3) +8(z+) <K< (z+) z=-.5 6

17 6(-.5)+3+ (6(-.5)+3) +8((-.5)+) <K<Min, =.44 ((-.5)+) Λαµβάνοντας Κ=, ο ελεγκτής θα είναι s+.5 K(s)= s ΠΡΟΒΛΗΜΑ ίδεται σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς G(s)=K (s+a)(s +bs+c). Να σχεδιαστεί το ασυµπτωτικό διάγραµµα Bode πλάτους της G(s) εάν είναι γνωστό ότι δεν διαθέτει οριζόντιο τµήµα. Να γραφούν οι σχέσεις τις οποίες πρέπει να ικανοποιούν οι παράµετροι a,b,c.. Εάν στο σύστηµα εφαρµοστεί η διέγερση Λύση u(t)=*ηµ(t)+*ηµ(6t) και το ασυµπτωτικό διάγραµµα Bode πλάτους της G(s) του ερωτήµατος () χρησιµοποιηθεί για την πρόβλεψη των πλατών των συνιστωσών της y(t) στη µόνιµη κατάσταση, να γραφεί για ποιές σχέσεις των παραµέτρων a,b,c τα πλάτη αυτά είναι ίσα (για όλες τις δυνατές περιπτώσεις) και να επιλεγούν τιµές των a,b,c ώστε να συµβαίνει αυτό σε κάθε περίπτωση. s 7

18 6 C 5 M M 4 B 3 L L D A Ο παράγοντας s είναι ευθεία µε κλίση 4db/δεκάδα. Εάν η G(s) έχει τρείς διακεκριµένους πραγµατικούς πόλους, το ασυµπτωτικό διάγραµµα θα έχει οριζόντιο τµήµα, το οποίο είναι µη αποδεκτό. Άρα η G(s) θα έχει διπλό πραγµατικό πόλο ή µιγαδικούς πόλους από τον δευτεροβάθµιο παράγοντα. Εάν η διακρίνουσα =b -4c, ο δευτεροβάθµιος όρος έχει δύο µιγαδικές ρίζες ή διπλή πραγµατική (τα ασυµπτωτικά διαγράµµατα δεν διαφέρουν). Το σηµείο θλάσης για τις µιγαδικές ρίζες θα είναι στην κυκλική συχνότητα c ενώ για τον πρωτοβάθµιο παράγοντα το σηµείο θλάσης θα είναι στην κυκλική συχνότητα a. Για να µην έχει το διάγραµµα οριζόντιο τµήµα θα πρέπει Στην περίπτωση αυτή θα ισχύουν οι ανισότητες Εάν c a c a και b-4c =b -4c>, ο δευτεροβάθµιος παράγοντας έχει δύο πραγµατικές ρίζες και συνεπώς γράφεται (s+p )(s+p ) µε p <p. Για να µην έχει οριζόντιο τµήµα το διάγραµµα, το a πρέπει να ταυτίζεται µε το p. Στην περίπτωση αυτή θα ισχύουν οι σχέσεις b+ b -4c a= και b-4c> Το ασυµπτωτικό διάγραµµα Bode της G(s) θα έχει τη µορφή του σχήµατος. Β) Εφαρµόζοντας την αρχή της επαλληλίας για τις δύο ηµιτονοειδείς διεγέρσεις, η έξοδος του συστήµατος στη µόνιµη κατάσταση θα είναι 8

19 y(t)=* G(j) ηµ(t+arg{g(j)})+* G(j6) ηµ(6t arg{g(j6)}) Για να είναι τα πλάτη των δύο συνιστωσών ίσα πρέπει να ισχύει G(j) = G(j6) Αυτό είναι ισοδύναµο µε το να είναι οι εικόνες των κυκλικών συχνοτήτων και 6 στην ίδια τεταγµένη στο ασυµπτωτικό διάγραµµα Bode. ύο περιπτώσεις µπορούν να συµβούν. Η κυκλική συχνότητα είναι µικρότερη από την µικρότερη κυκλική συχνότητα θλάσης ω θ (Σηµείο L στο σχήµα). Για να ισχύει η ισότητα των πλατών θα πρέπει 4(λογωθ-λογ)+(λογωθ λογω θ) (λογ6 λογω θ) =. Η κυκλική συχνότητα είναι µεγαλύτερη από την µικρότερη κυκλική συχνότητα θλάσης ω θ (Σηµείο Μ στο σχήµα). Για να ισχύει η ισότητα των πλατών θα πρέπει ή ισοδύναµα από την οποία προκύπτει (λογωθ λογ) (λογ6 λογω θ) = ωθ 6 = ω θ ωθ = 4 Εάν επιλεγούν µιγαδικοί πόλοι µία λύση είναι ως εξής: Από την ω θ =4 προκύπτει c=6 Από την ω θ =< µπορεί να επιλεγεί ω θ =a=5 Από την <, b <4c και µπορεί να ληφθεί b=. ΠΡΟΒΛΗΜΑ ίδεται σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς (s+a) G(s)=K (s +bs+c). Να σχεδιαστεί το ασυµπτωτικό διάγραµµα Bode πλάτους της G(s) εάν είναι γνωστό ότι διαθέτει τµήµα µε θετική κλίση και δεν διαθέτει οριζόντιο τµήµα για κυκλικές συχνότητες µεγαλύτερες από το µικρότερο σηµείο θλάσης. Να γραφούν οι σχέσεις τις οποίες πρέπει να ικανοποιούν οι παράµετροι a,b,c.. Εάν στο σύστηµα εφαρµοστεί η διέγερση Λύση u(t)=*ηµ(t)+*ηµ(6t) και το ασυµπτωτικό διάγραµµα Bode πλάτους της G(s) του ερωτήµατος () χρησιµοποιηθεί για την πρόβλεψη των πλατών των συνιστωσών της y(t) στη µόνιµη κατάσταση, να γραφεί για ποιές σχέσεις των παραµέτρων a,b,c τα πλάτη αυτά είναι ίσα (για όλες τις δυνατές περιπτώσεις) και να επιλεγούν τιµές των a,b,c ώστε να συµβαίνει αυτό σε κάθε περίπτωση. 9

20 3 C 5 5 A B D Ο πρωτοβάθµιος όρος του αριθµητή έχει κυκλική συχνότητα θλάσης ω z =a. Ο δευτεροβάθµιος όρος στον παρονοµαστή έχει µία κυκλική συχνότητα θλάσης ω p= c εάν έχει µιγαδικές ρίζες ή δύο κυκλικές συχνότητες θλάσης ω ˆ ˆ p,ωpεάν έχει πραγµατικές ρίζες. Άν ο δευτεροβάθµιος όρος στον παρονοµαστή έχει πραγµατικές ρίζες και Min{ ω ˆ ˆ p,ωp} < ω z, το ασυµπτωτικό διάγραµµα Bode δεν θα έχει τµήµα µε θετική κλίση και η περίπτωση αυτή απορρίπτεται. Εάν τα ω ˆ ˆ p,ωpείναι διακεκριµένα, στο µεταξύ τους διάστηµα το διάγραµµα θα είναι οριζόντιο και η περίπτωση αυτή απορρίπτεται. Εποµένως ο παρονοµαστής θα έχει µιγαδικές ρίζες ή διπλή πραγµατική και το ασυµπτωτικό διάγραµµα Bode της G(s) φαίνεται στο σχήµα. Οι σχέσεις που πρέπει να ικανοποιούνται είναι c a και b-4c Β) Εφαρµόζοντας την αρχή της επαλληλίας για τις δύο ηµιτονοειδείς διεγέρσεις, η έξοδος του συστήµατος στη µόνιµη κατάσταση θα είναι y(t)=* G(j) ηµ(t+arg{g(j)})+* G(j6) ηµ(6t arg{g(j6)}) Για να είναι τα πλάτη των δύο συνιστωσών ίσα πρέπει να ισχύει G(j) = G(j6) Αυτό είναι ισοδύναµο µε το να είναι οι εικόνες των κυκλικών συχνοτήτων και 6 στην ίδια τεταγµένη στο ασυµπτωτικό διάγραµµα Bode. Τρείς περιπτώσεις µπορούν να συµβούν. Η κυκλική συχνότητα είναι µικρότερη από την µικρότερη κυκλική συχνότητα θλάσης ω z (Σηµείο B στο σχήµα). Για να ισχύει η ισότητα των πλατών θα πρέπει (λογωz -λογ)+ (λογωp λογω z) (λογ6 λογω p) =. Η κυκλική συχνότητα είναι µεγαλύτερη από την µικρότερη κυκλική συχνότητα θλάσης ω z (Σηµείο B στο σχήµα). Για να ισχύει η ισότητα των πλατών θα πρέπει (λογωp λογ) (λογ6 λογω p) =

21 ή ισοδύναµα από την οποία προκύπτει ωp 6 = ω p ωp = 4 3. Η κυκλική συχνότητα 6 είναι µικρότερη από την µικρότερη κυκλική συχνότητα θλάσης ω z (Σηµείο B στο σχήµα). H ισότητα των πλατών θα ισχύει χωρίς περιορισµούς. Εάν επιλεγεί η τρίτη περίπτωση, θα είναι: Από την ω z >6 προκύπτει a>6. είναι δυνατόν να ληφθεί a=. Από την c a = µπορεί να επιλεγεί c=5x 6. Από την <, b <4c και µπορεί να ληφθεί b=. ΠΡΟΒΛΗΜΑ Στο σύστηµα ελέγχου του Σχήµατος ο ελεγκτής σχεδιάστηκε για την ονοµαστική τιµή G (s) της G(s) ώστε η συµπληρωµατική συνάρτηση ευαισθησίας να είναι T(s)= s +s+ K(s) G(s) R(s) U(s) Y( s) Σ + _ α) Να προσδιοριστεί το σφάλµα µόνιµης κατάστασης σε µοναδιαία βηµατική διέγερση. Β) Να προσδιοριστεί το πλάτος της απόκρισης y(t) στη µόνιµη κατάσταση, εάν η διέγερση είναι ηµιτονοειδής µε κυκλική συχνότητα ω. Γ) Εάν Λύση G(s)=G (s)[+m(s)] όπου η µεταβολή είναι ευσταθής και M(jω) ω ω 6 + να προσδιοριστεί το µέγιστο πλάτος του ερωτήµατος (Β) για όλη την οικογένεια των προς έλεγχο συστηµάτων και η κυκλική συχνότητα στην οποία συµβαίνει αυτό.

22 Α) Η συµπληρωµατική συνάρτηση ευαισθησίας θα είναι G (s)k(s) T (s)=-s (s)=- = =H (s) +G (s)k(s) +G (s)k(s) όπου H(s) η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος κλειστού βρόχου. Για µοναδιαία βηµατική διέγερση θα είναι s +s E(s)=R(s)-Y(s)=R(s)[-H (s)]= [-H (s)]= s s s +s+ Επειδή η se(s) έχει όλους τους πόλους της στο αριστερό ηµιεπίπεδο, από το θεώρηµα της τελικής τιµής λαµβάνεται s +s lim r(t)= lim se(s)= lim = t s s s+s+ Β) Στη µόνιµη κατάσταση η έξοδος του συστήµατος θα είναι ηµιτονοειδής συνάρτηση της ίδιας συχνότητας µε την είσοδο και πλάτος πολλαπλασιασµένο επί το µέτρο της συνάρτησης µεταφοράς στην κυκλική συχνότητα της διέγερσης. Καθώς η H (s) έχει µέτρο H(jω) = = = s +s+ (-ω ) +4ω +ω s=jω Καθώς η συνάρτηση του µέτρου είναι µονοτόνως φθίνουσα, το µέγιστο πλάτος θα εµφανίζεται στην κυκλική συχνότητα ω= και θα είναι ίσο µε Α, όπου Α το πλάτος της διέγερσης. Γ) Καθώς θα είναι G(s)K(s) H(s)= = +G (s)k(s) s +s+ G (s)k(s) = s +s και θα ισχύει G(jω)K(jω)-G (jω)k(jω) = M(jω) = R (jω) +jω 4+ω 6+ω δηλαδή το G(jω)K(jω) θα βρίσκεται εντός κύκλου µε κέντρο το σηµείο G (jω)k(jω) και ακτίνα R. Με το κάτωθι πρόγραµµα σε περιβάλλον MATLAB clear all for K=: zt(k)=exp(i*pi*(k-)/99); ztr(k)=real(zt(k)); zti(k)=imag(zt(k)); end

23 for I=: omega(i)=3+.*(i-); center(i)=/(-omega(i)^+*i*omega(i)); radius(i)=/sqrt(4+omega(i)^)/sqrt(6+omega(i)^); for K=: t(i,k)=center(i)+radius(i)*exp(i**pi*(k-)/99); h(i,k)=abs(t(i,k)/(+t(i,k))); tr(i,k)=real(t(i,k)); ti(i,k)=imag(t(i,k)); end end plot(tr,ti,'g',ztr,zti,'b',tr,-ti,'g',ztr,-zti,'b') axis equal κατασκευάζεται η ζώνη στην οποία βρίσκεται το G(jω)K(jω) όπως στο ακόλουθο σχήµα Για κάθε κυκλική συχνότητα ω προσδιορίζεται η µέγιστη τιµή του µέτρου της Η(jω) που εµφανίζεται στην περιφέρεια του κύκλου. Το διάγραµµα του µέγιστου µέτρου συναρτήσει της κυκλικής συχνότητας φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα

24 από το οποίο προκύπτει ότι η µέγιστη τιµή είναι.944 και συµβαίνει όταν ω=5.75 rad/sec. ΠΡΟΒΛΗΜΑ Χρησιµοποιώντας µετασχηµατισµό Ζ, να προδιοριστεί η ακολουθία y(k) η οποία ικανοποιεί την εξίσωση διαφορών y(k+)-.5y(k+)+.5y(k)=u(k+) όπου u(k) είναι η µοναδιαία βηµατική απόκριση για k=, y()=.5 και y(-)=. Λύση Εφαρµόζοντας µετασχηµατισµό Ζ λαµβάνεται z Y(z)-z y()-zy()-.5[zy(z)-zy()]+.5y(z)=zu(z)-zu() () Για την εύρεση της y() εφαρµόζεται η αναδροµική σχέση για k=-. Αντικαθιστώντας στην (), λαµβάνεται y()=.5y()-.5y(-)+u()= =.5 () z z z- z- (z -.5z+.5)Y(z)=.5z +.5z-.75z+z -z=.5z +.5z+ Επιλύοντας ως προς Y(z) θα είναι.5z +.5z+.5z(z +) Y(z)= z- = (z -.5z+.5) (z-) (z-.5) z (3) (4) Αναλύοντας την Y(z)/z σε απλά κλάσµατα, λαµβάνεται ή ισοδύναµα Y(z) K K K.5 - z z-.5 z- (z-) z-.5 z- (z-) 3 = + + = + +.5z -z z Y(z)= + + z-.5 z- (z-) Λαµβάνοντας τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Ζ η y(k) προκύπτει k y(k)=.5(.5) + k- (5) (6) (7) ΠΡΟΒΛΗΜΑ Χρησιµοποιώντας µετασχηµατισµό Ζ, 4

25 A) Να ευρεθεί ο µέγιστος και ο ελάχιστος αριθµός χωρίων, στα οποία διαιρείται ένα επίπεδο από n ευθείες που ανήκουν σ αυτό. B) Να ευρεθεί ο µέγιστος αριθµός χωρίων, στα οποία διαιρείται ο τριδιάστατος χώρος από n επίπεδα που ανήκουν σ αυτόν. Λύση Α) Έστω ότι στο επίπεδο υπάρχουν n ευθείες οι οποίες διαιρούν το επίπεδο σε f(n) χωρία. Ας θεωρηθεί η (n+) ευθεία η οποία τέµνει κ από τις n ευθείες του επιπέδου. Επί της (n+) ευθείας δηµιουργούνται από τα κ σηµεία τοµής κ+ διαστήµατα. Κάθε ένα από αυτά διαιρεί ένα υπάρχον χωρίο σε δύο, δηµιουργεί δηλαδή κ+ νέα χωρία. Είναι προφανές ότι ο µέγιστος αριθµός εµφανίζεται όταν η (n+) ευθεία τέµνει και τις n ευθείες ενώ ο ελάχιστος αριθµός προκύπτει όταν η (n+) ευθεία δεν τέµνει καµµία από τις n ευθείες. Συνεπώς οι αναδροµικές σχέσεις που ικανοποιούν ο µέγιστος και ο ελάχιστος αριθµός χωρίων θα είναι ως εξής f (n+)-f (n)=n+ () max min max f (n+)-f (n)= min Εάν δεν υπάρχει καµµία ευθεία στο επίπεδο, το επίπεδο θα έχει ένα χωρίο και συνεπώς θα είναι f ()=f ()=f()= (3) min max Εφαρµόζοντας µετασχηµατισµό Ζ στην () για την αρχική συνθήκη που περιγράφεται στην (3), λαµβάνεται z z z{f max (z)-f max ()}-F max (z)=(z-)f max (z)-z= Z { n+ } = + (4) (z-) z- από την οποία προκύπτει 3 z -z +z z(z+) z z max 3 3 F (z) = = + + (5) (z-) (z-) (z-) z- Λαµβάνοντας αντίστροφο µετασχηµατισµό Ζ προσδιορίζεται z(z+) z z n n f max (n) = Z + + = (6) (z-) (z-) z- () Εφαρµόζοντας µετασχηµατισµό Ζ στην () για την αρχική συνθήκη που περιγράφεται στην (3), λαµβάνεται από την οποία προκύπτει z z{f min (z)-f min ()}-F min (z)=(z-)f min (z)-z= Z {} = (7) z- Λαµβάνοντας αντίστροφο µετασχηµατισµό Ζ προσδιορίζεται z z F min (z) = + (8) (z-) z- z z f min (n) = Z + =n+ (z-) z- (9) 5

26 Β) Έστω ότι στο χώρο υπάρχουν n επίπεδα ται οποία διαιρούν το χώρο σε g(n) χωρία. Ας θεωρηθεί το (n+) επίπεδο το οποίο τέµνει κ από τα n επίπεδα του χώρου. Επί του (n+) επιπέδου δηµιουργούνται από τις κ ευθείες τοµής f(κ) επίπεδα χωρία. Κάθε ένα από αυτά διαιρεί ένα υπάρχον χωρίο του χώρου σε δύο, δηµιουργεί δηλαδή f(κ) νέα χωρία στο χώρο. Είναι προφανές ότι ο µέγιστος αριθµός εµφανίζεται όταν το (n+) επίπεδο τέµνει και τα n επίπεδα. Συνεπώς η αναδροµική σχέση που ικανοποιεί ο µέγιστος αριθµός χωρίων θα είναι ως εξής n n g max (n+)-g max (n)=f(n)= + + Εάν δεν υπάρχει κανένα επίπεδο στο χώρο, ο χώρος θα έχει ένα χωρίο και συνεπώς θα είναι () g max ()= () Εφαρµόζοντας µετασχηµατισµό Ζ στην () για την αρχική συνθήκη που περιγράφεται στην (), λαµβάνεται 3 z-z+z z{g max (z)-g max ()}-G max (z)=(z-)g max (z)-z=f max (z) = () 3 (z-) από την οποία προκύπτει z z -z +z z -z +z G max (z) = + = (3) 4 4 z- (z-) (z-) Για το Ζ µετασχηµατισµό της k 3 θα είναι Z (4) 4 dz (z-) (z-) (z-) d z(z+) (z+)(z-) -3(z-) z(z+) z +4z +z {k }= Z{kk }=-z =-z = 3 6 Από τους πίνακες µετασχηµατισµών λαµβάνονται 4 3 z z -3z +3z -z Z {}= = (5) 4 z- (z-) 3 Z z z -z + {k}= = 4 (z-) (z-) z (6) 3 z(z+) z -z {k }= = 3 Z (z-) (z-) (7) 4 Ο αριθµητής της σχέσεως (3) µπορεί να γραφεί συναρτήσει των αριθµητών των σχέσεων (4), (5), (6) και (7) ως εξής z -z +z = K (z -3z +3z -z)+k (z -z +z)+k (z -z) + K (z +4z +z) Εξισώνοντας τους οµοιοβάθµιους συντελεστές στα δύο µέλη της εξισώσεως λαµβάνονται Κ = (8) (9.α) -3Κ +Κ +Κ 3 +Κ 4 =- (9.β) 6

27 3Κ -Κ +4Κ 4 = (9.γ) -Κ +Κ -Κ 3 +Κ 4 = (9.δ) Επιλύοντας το σύστηµα προσδιορίζονται τα Κ i ως εξής [Κ Κ Κ 3 Κ 4 ]=[ 5/6 /6] () Η σχέση (3) γράφεται 4 3 z-z+z 5 3 G max (z) Z{} Z{k} Z{k } 4 = = + + () (z-) 6 6 Λαµβάνοντας αντίστροφους µετασχηµατισµούς Ζ στα δύο µέλη της () ευρίσκεται 5 g max (n) + n+ n = () ΠΡΟΒΛΗΜΑ A) Να σχεδιαστεί ο Γεωµετρικός Τόπος των Ριζών του συστήµατος µε συνάρτηση µεταφοράς. (+s) G(s)= (+5s)(+s)s Β) Να ευρεθεί ελεγκτής της µορφής s+z K(s)=K s+p ώστε το σύστηµα κλειστού βρόχου να έχει πόλους στα σηµεία -±j. Να ευρεθεί η θέση των άλλων πόλων του. µ Λύση Ο Γεωµετρικός τόπος των ριζών της G(s) φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα και βρίσκεται µε την εφαρµογή των κανόνων κατασκευής του ως εξής: 7

28 A xi s g a Im -.5 s A xi g a Im Real Axis Γεωµετρικός Τόπος των Ριζών της G(s) Real Axis Λεπτοµέρεια Γεωµετρικού Τόπου των Ριζών. Ο γεωµετρικός τόπος έχει τέσσερις κλάδους. Τα ακόλουθα διαστήµατα επί του πραγµατικού άξονα είναι τµήµατα του γεωµετρικού τόπου (-,-], [-.,-.] Ένας κλάδος του γεωµετρικού τόπου αρχίζει από το σηµείο. και καταλήγει στο σηµείο.. Οι τρείς άλλοι κλάδοι εκκινούν από τα σηµεία,, και καταλήγουν στο άπειρο. Οι γωνίες των ασυµπτώτων είναι o o (+κ)x8 (+κ)x8 θ= = κ=,, n-m 3 δηλαδή είναι 6 ο, 8 ο και 3 ο ή -6 ο. Η τετµηµένη του σηµείου τοµής των ασυµπτώτων είναι n m p- i zλ i= λ= -+(-.)++-(-.) -. σ= = = =.367 n-m 3 3 Η γωνίες αναχώρησης από τον πόλο s= θα είναι m n 8(+k)+ (p -z ) (p -p ) = 9 k = j λ j i O λ= i= i j φ p = = O = 7 k = Τα σηµεία τοµής δύο κλάδων του γεωµετρικού τόπου δίδονται από τη σχέση 8

29 4 3-5s +6s +s d d G(s) s+ = =- =- ds ds ds (s+) dk (s +8s +s)(s+)-(5s +6s +s ) 4 3 5s +4s +8s +s =- = (s+) από την οποία λαµβάνονται = 4 3 Για s= - 5s +6s +s K = =- s= = G(s) s+ 4 3 Για s=-.69-5s +6s +s K = =- s=-.69 =.63 G(s) s+ Αποδεκτή τιµή Μη αποδεκτή τιµή Για s=-.+j.68 Για s= -.-j s +6s +s K = =- s=-.+j.68 =.63+j.7 G(s) s s +6s +s K = =- s=-.-j.68 =.63-j.7 G(s) s+ Μη αποδεκτή τιµή Μη αποδεκτή τιµή Για την εύρεση των σηµείων τοµής µε το φανταστικά άξονα χρησιµοποιείται η διάταξη Routh για το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του συστήµατος κλειστού βρόχου ψ c(s)=5s +6s +s +K(s+)=5s +6s +s +Ks+K s 4 5 Κ s 3 6 Κ s 6-5K 6 Κ s s 6-5K K-6K -5K 6 +4K = 6-5K 6-5K 6 Κ Οι ρίζες του είναι Κ= και Κ=.48 5Κ +4Κ= 9

30 Για Κ=, το βοηθητικό πολυώνυµο είναι και το σηµείο τοµής είναι το s=j Για Κ=.48, το βοηθητικό πολυώνυµο είναι και το σηµείο τοµής είναι το s=j.83 6-K B(s)= s +K = s 6 K= 6-5K B(s)= s +K K=.48 =.6s B) Για να είναι το σηµείο -j σηµείο του γεωµετρικού τόπου του συστήµατος G(s)K(s) πρέπει Καθώς o arg{ G(-+j)K(-+j) } =arg{ G(-+j) } +arg{ K(-+j) } =-8 { } { } { } { } { } arg G(-+j) =Arg -+j-(-.) -Arg -+j-(-.) -Arg -+j-(-) -Arg -+j-() = = *35 = ο ελεγκτής πρέπει να ινκανοποιεί τη σχέση o o o o o o o { } ( { } { }) arg Κ(-+j) =µ Arg -+j-(z) -Arg -+j-(p) =-8 -( ) = o.5 M.5 θ s A xi g a Im -.5 p z Real Axis Εάν µ=, η γωνία θ του σχήµατος πρέπει να είναι ίση µε ο. Αυτό σηµαίνει ότι το µηδενικό πρέπει να τοποθετηθεί στο δεξιό ηµιεπίπεδο και ο πόλος στο αριστερό ηµιεπίπεδο. Στην περίπτωση αυτή το διάστηµα [,z] θα είναι τµήµα του γεωµετρικού τόπου και το σύστηµα κλειστού βρόχου θα είναι ασταθές. Εάν µ=, η γωνία θ του σχήµατος πρέπει να είναι ίση µε ο. Εάν επιλεγεί z=-. 3

31 η θέση του πόλου θα είναι p = -.-xεφ(38.66 ο )-xεφ(49.67 ο )= = -.7 Ο γεωµετρικός τόπος της G(s)K(s) φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα. s A xi g a Im A xi s g a Im Real Axis Γεωµετρικός Τόπος G(s)K(s) Real Axis Λεπτοµέρεια στην περιοχή του µηδενός. Το Κ για το σηµείο +j προκύπτει K=.87 = (-+j+.) G(-+j) (-+j+.7) Για την τιµή αυτή του Κ οι υπόλοιποι πόλοι του αντισταθµισµένου συστήµατος θα είναι στις θέσεις. και.5±j.7. ΠΡΟΒΛΗΜΑ Α) Να δειχθεί ότι ο γεωµετρικός τόπος συστήµατος µε συνάρτηση µεταφοράς ανοικτού βρόχου K G(s)K= s(s +cs+) είναι τµήµα του πραγµατικού άξονα και τµήµα της υπερβολής µε εξίσωση y =3x +4cx+ Β) Να δειχθεί ότι η τιµή του κέρδους σε κάθε σηµείο της υπερβολής είναι (y +x )(x+c) Λύση Έστω x+jy σηµείο του γεωµετρικού τόπου των ριζών. Θα ισχύει 3

32 -K= = G(x+jy) (x+jy)[(x+jy) +c(x+jy)+]= =x(x -y )+cx +x-xy -cy +j[y(x -y +cx+)+x(xy+cy)] Χωρίζοντας πραγµατικά και φανταστικά µέρη λαµβάνονται Από την τελευταία σχέση λαµβάνεται είτε -K=x(x -y )+cx +x-xy -cy =y(x -y +cx+)+x(xy+cy) y= c 4c =(x -y +cx+)+x(x+c)=3x -y +4cx+=3 x+ -y Η τελευταία σχέση γράφεται c c 4c y+ 3 x+ y- 3 x+ = η οποία είναι εξίσωση υπερβολής µε ασύµπτωτες τις ευθείες Για το Κ θα είναι K=-x(x -y )-cx -x+xy +cy c y= ± 3 x+ 3 = -x +xy -cx -x(-3x +y -4cx)+xy +cy = 3 3 = x +cx +xy +cy = (x +y )(x+c) Αξίζει να παρατηρηθούν τα ακόλουθα. Ανάλογα µε το πρόσηµο του (-4c /3) ο γεωµετρικός τόπος βρίσκεται στην οξεία ή την αµβλεία γωνία που σχηµατίζουν οι ασύµπτωτες.. Αν (-4c /3)=, οι ασύµπτωτες αποτελούν τµήµατα του γεωµετρικού τόπου. 3. Το σηµείο (,) είναι σηµείο του τόπου ανεξάρτητα της τιµής του c. ΠΡΟΒΛΗΜΑ ίδεται σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς και έλεγχος όπως στο Σχήµα µε K(s)=K. G(s)= (s+a)(s+) R(s) Σ + _ K(s) U(s) G(s) Y( s) 3

33 Α) Να ευρεθούν τιµές των Κ,a ώστε το σύστηµα κλειστού βρόχου να έχει Χρόνο µεγίστου t p.57sec. Χρόνο αποκαταστάσεως % t s sec. Β) Για a της επιλογής σας να ευρεθεί η τιµή του Κ ώστε το σύστηµα κλειστού βρόχου να ικανοποιεί τις προδιαγραφές του ερωτήµατος (Α) και να εµφανίζει τη µέγιστη επι τοις εκατό υπερπήδηση. Λύση Το σύστηµα κλειστού βρόχου θα έχει δύο πόλους και δεν θα έχει µηδενικά. Οι προδιαγραφές της βηµατικής απόκρισης προσδιορίζουν τη θέση των πόλων του αντισταθµιςένου συστήµατος. Από τον χρόνο κορυφής προκύπτει π t p =.57sec ω d ω d δηλαδή το φανταστικό µέρος των πόλων θα είναι µικότερο ή ίσο του. Από το χρόνο αποκατάστασης λαµβάνεται 4 t= s sec ζω n ζω n δηλαδή το πραγµατικό µέρος των πόλων θα πρέπει να είναι µικρότερο ή ίσο του. Είναι γνωστό ότι ο γεωµετρικός τόπος του συστήµατος θα είναι το ευθύγραµµο τµήµα του πραγµατικού άξονα [-a,-] και η µεσοκάθετός του, όπως στο σχήµα. 33

34 3 B s A xi g a Im - A φ Real Axis Για να είναι και οι δύο πόλοι του αντισταθµισµένου συστήµατος στην επιθυµητή περιοχή πρέπει να ληφθεί a -3 Εάν ληφθεί a=-4, όπως στο σχήµα, και οι δύο πόλοι θα είναι στην επιθυµητή περιοχή για Κ Α Κ Κ Β όπου Κ Α, Κ Β είναι οι τιµές του Κ που αντιστοιχούν στα σηµεία Α και Β του γεωµετρικού τόπου. Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του συστήµατος κλειστού βρόχου θα είναι ψ c(s)=(s+)(s+4)+k=s +5s+4+K Στο σηµείο Α η µία ρίζα του ψ c (s) είναι. Καθώς ψ c (-)=4+5(-)+4+Κ=-+Κ= το Κ Α προκύπτει ίσο µε. Στο σηµείο Β οι ρίζες του ψ c (s) είναι.5±j. Καθώς το γινόµενο των ριζών του τριωνύµου είναι 4+Κ, θα είναι προκύπτει αµέσως ότι Κ Β =6.5. (Στη γενική περίπτωση θα είναι (-.5+j)(-.5-j)=.5 + =6.5+4=K+4 Κ Α =a- 34

35 Β) Η επι τοις εκατό υπερπήδηση είναι a+ K B= +4-a ). Καθώς M=exp p -ζπ -ζ ζπ -π -ζ - -ζπ dmp -ζ =exp < dζ -ζ -ζ το Mp είναι φθίνουσα συνάρτηση του ζ. Επειδή το ζ είναι ίσο µε το συνηµίτονο της γωνίας φ, όπου φ όπως στο σχήµα, η µέγιστη υπερπήδηση θα συµβαίνει όταν οι πόλοι του συστήµατος κλειστού βρόχου θα είναι στο Β και το συζυγές του. Στην περίπτωση αυτή θα είναι και η µέγιστη υπερπήδηση προκύπτει.5.5 ζ= = = ή.97%. -ζπ M p =exp ζ=.78 =.97 -ζ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Στο ανωτέρω Σχήµα τα συστήµατα Σ, Σ περιγράφονται σε µορφή εξισώσεων καταστάσεως από τις τριάδες των µητρών (A,B,C ) και (A,B,C ). 35

36 u + + (A,B,C ) y + + (A,B,C ) y u Α) Να γραφούν οι εξισώσεις καταστάσεως του συνολικού συστήµατος. Β) Να αποδειχθεί ότι το ολικό σύστηµα είναι ελέγξιµο και παρατηρήσιµο εάν και µόνο εάν τα Σ,Σ είναι ελέγξιµα και παρατηρήσιµα. Γ) Εάν u (καταργείται σαν είσοδος) να δειχθεί (µπορεί να χρησιµοποιηθεί και Λύση παράδειγµα) ότι η ελεγξιµότητα και η παρατηρησιµότητα των Σ,Σ είναι αναγκαία συνθήκη για την ελεγξιµότητα και την παρατηρησιµότητα του ολικού συστήµατος αλλά όχι ικανή. Για το σύστηµα Σ θα ισχύει Για το σύστηµα Σ θα ισχύει Θεωρώντας x =Ax +B (u +y )=Ax +Bu +BC x x =A x +B (u +y )=A x +B u +B C x x u y x= u= y= x u y οι εξισώσεις καταστάσεως του συστήµατος κλειστού βρόχου θα είναι A BC B C x= x+ u y= x BC A B C Β) Για την απόδειξη της πρότασης θα χρησιµοποιηθούν τα ακόλουθα λήµµατα. Λήµµα : Μπορεί να γραφεί k k k- k- (A+BF) B=A B+A BM,kB+A BM,kB+...+BMk,kB 36

37 Η απόδειξη γίνεται µε επαγωγή. Για k= είναι Ας υποτεθεί ότι η σχέση ισχύει για k-, δηλαδή Θα είναι και η σχέση ισχύει µε (A+BF)B=AB+BFB=AB+BM,B k- k- k- k-3 (A+BF) B=A B+A BM,k-B+A BM,k-B+...+BMk-,k-B k k- (A+BF) B=(A+BF)(A+BF) B= A B+A BM B+A BM B+...+ABM B+ k k- k-,k-,k- k-,k- BFA B+BFA BM B+BFA BM B+...+BFBM B k- k- k-3,k-,k- k-,k- M =M i=,,...,k- i,k- i,k M =FA +FA BM +FA BM +...+FBM k- k- k-3 k,k,k-,k- k-,k- Λήµµα : Το ζεύγος (Α,Β) είναι ελέγξιµο εάν και µόνο εάν το ζεύγος (Α+BF,B) είναι ελέγξιµο Απόδειξη Η µήτρα ελεγξιµότητος του ζεύγους (Α+ΒF,B) γράφεται µε χρήση και του λήµµατος n- B (A+BF)B (A+BF) B (A+BF) B = I M, M,B Mn-,n-B I M M B I, n-,n- n- = B AB A B A B I Mn-3,n-B Καθώς η δεξιά µήτρα στο δεύτερο µέλος είναι οµαλή, θα είναι n- n- rank B (A+BF)B (A+BF) B (A+BF) B =rank B AB A B A B και το λήµµα απεδείχθη. Για την απόδειξη του (Β) ας θεωρηθεί ότι στο σύστηµα κλειστού βρόχου εφαρµόζεται η µήτρα F= -C -C Η µήτρα Α+BF θα είναι A BC B -C A A+BF= BC A + B = -C A Για τη µήτρα ελεγξιµότητος θα ισχύει 37

38 n- B A B A B B A B A B n- rank Β (Α+BF)B (Α+BF) B =rank n- B AB A B =rank B n- A B A B Για να είναι το σύστηµα κλειστού βρόχου ελέγξιµο πρέπει και αρκεί η τελευταία µήτρα να έχει ανεξάρτητες γραµµές και αυτό είναι δυνατόν εάν και µόνον εάν τα συστήµατα Σ και Σ είναι ελέγξιµα. Η απόδειξη της παρατηρησιµότητας είναι άµεση καθώς η παρατηρησιµότητα του ζεύγους (Α,C) είναι ισοδύναµη µε την ελεγξιµότητα του ζεύγους (Α Τ,C T ). Γ) Η αναγκαιότητα της υπόθεσης είναι προφανής, καθώς κατάργηση της u είναι ισοδύναµη µε τη διατήρησή της και µηδενισµό της για κάθε χρονική στιγµή. Για την ικανότητα, είναι δυνατόν να θεωρηθεί το σύστηµα µε A =A =B =B =C =, C =. Τότε x= x+ u y= x Αν και τα ζεύγη (Α,Β ) και (Α,Β ) είναι ελέγξιµα, το ζεύγος (Α,Β) δεν είναι ελέγξιµο. ΠΡΟΒΛΗΜΑ Α) Να δειχθεί ότι ο γεωµετρικός τόπος συστήµατος συνεχούς η διακριτού χρόνου µε συνάρτηση µεταφοράς ανοικτού βρόχου η οποία έχει ένα µηδενικό και δύο πόλους είναι τµήµα του πραγµατικού άξονα και κύκλος ή τόξο κύκλου. Β) Να ευρεθεί το κέντρο και η ακτίνα του κύκλου. Λύση Έστω s+a G(s)= () s+bs+c η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος. Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του συστήµατος κλειστού βρόχου θα είναι ψ c(s)=s +bs+c+k(s+a)=s +(b+k)s+c+ka () Έστω x+jy ένα σηµείο του τόπου. Από τη συνθήκη προκύπτουν οι σχέσεις ψ c(x+jy)=x -y +jxy+bx+jby+c+kx+jky+ka= (3) x -y +bx+c+kx+ka= (4.α) 38

39 xy+by+ky= Από τη σχέση (4.β) προκύπτουν δύο περιπτώσεις (4.β) η Περίπτωση y= (5) Από τη σχέση (4.α) προκύπτει x +bx+c K=- x -a (6) x+a δηλαδή για κάθε πραγµατικό x υπάρχει Κ θετικό ή αρνητικό για το οποίο ισχύει η (6). Για να είναι το Κ θετικό θα πρέπει Εάν ο αριθµητής είναι θετικός (το x εκτός των πραγµατικών ριζών του τριωνύµου του παρονοµαστή, ή το τριώνυµο έχει µιγαδικές ρίζες) ο παρονοµαστής πρέπει να είναι αρνητικός, δηλαδή το x πρέπει να είναι αριστερά του µηδενικού. Εάν ο αριθµητής είναι αρνητικός (το x µεταξύ των πραγµατικών ριζών του τριωνύµου του παρονοµαστή) ο παρονοµαστής πρέπει να είναι θετικός, δηλαδή το x πρέπει να είναι δεξιά του µηδενικού. η Περίπτωση x+b+k= ή Αντικαθιστώντας την τιµή του Κ στην σχέση (4.α), λαµβάνεται ή ισοδύναµα Κ=-x-b (7) x -y +bx+c+(-x-b)(x+a)=-x -y -ax+c-ab= (8) (x+a) +y =c-ab+a (9) Εάν c-ab+a είναι θετικό, η σχέση (9) είναι η εξίσωση κύκλου µε κέντρο το σηµείο δηλαδή το µηδενικό και ακτίνα (-a,), διαφορετικά η περίπτωση αυτή δεν δίδει λύση. Αξίζει να παρατηρηθεί ότι R= c-ab+a () c-ab+a = s +bs+c () και συνεπώς ο κύκλος θα είναι τµήµα του γεωµετρικού τόπου εάν το τριώνυµο του παρονοµαστή έχει µιγαδικές ρίζες ή εάν έχει πραγµατικές ρίζες και το µηδενικό βρίσκεται εκτός των ριζών. s=-a ΠΡΟΒΛΗΜΑ ιακριτό σύστηµα περιγράφεται από τις εξισώσεις καταστάσεως 39

40 x(k+)=αx(k)+βu(k) y(k)=cx(k) Α) Να ευρεθεί η συνθήκη ώστε να είναι δυνατή η µετάβαση από το σηµείο x() σε οποιοδήποτε σηµείο του χώρου κατάστασης µε κατάλληλη επιλογή της εισόδου. Β) Να δειχθεί ότι εάν n είναι η διάσταση του χώρου καταστάσεων για την µετάβαση αυτή, εάν είναι δυνατή, δεν απαιτούνται περισσότερα από n βήµατα. Γ) Να ευρεθεί ο ελάχιστος αριθµός βηµάτων για να επιτυγχάνεται πάντα αυτή η µετάβαση. ) Να προσδιοριστεί η u(κ) η οποία µεταφέρει το διάνυσµα καταστάσεως από τη θέση [ ] Τ στη θέση [ ] Τ 3 Α= Β= Λύση Α) Εφαρµόζοντας τις εξισώσεις καταστάσεως διαδοχικά, προκύπτει u(k-) u(k-) k- k k-i- k k- x(k)=α x()+ A Bu(i) = Α x()+ B AB A B A B u(k-3) i= u() Για να µπορεί να είναι το x(k) οποιοδήποτε διάνυσµα του χώρου κατάστασης, η εξίσωση πρέπει να έχει πάντοτε λύση, δηλαδή u(k-) u(k-) u() k k- x(k)-α x()= B AB A B A B u(k-3) k- { } rank B AB A B A B =n όπου n είναι η διάσταση του χώρου καταστάσεων. Αυτό σηµαίνει ότι σε k βήµατα έχει επιτευχθεί το διάνυσµα x(k). Β) Λαµβάνοντας υπόψη το θεώρηµα των Caley-Hamilton, επειδή οι µήτρες Α n+j, j=,, µπορούν να εκφραστούν σαν γραµµικοί συνδυασµοί των µητρών Ι,Α,..., Α n-, δεν απαιτείται να θεωρηθεί k µεγαλύτερο του n και η συνθήκη για την επίτευξη οιουδήποτε σηµείου του χώρου κατάστασης είναι 4

41 n- { } rank B AB A B A B =n Γ) Έστω λ ο ελάχιστος ακέραιος ο οποίος ικανοποιεί τη συνθήκη λ- { } rank B AB A B A B =n Ο αριθµός αυτός µπορεί να ευρεθεί προσδιορίζοντας διαδοχικά τους βαθµούς των µητρών [B], [B AB], [B AB A B] κλπ µέχρις ότου ευρεθεί µήτρα πλήρους βαθµού. Είναι προφανές ότι σε λ βήµατα είναι δυνατόν να επιτευχθεί οιοδήποτε σηµείο του χώρου κατάστασης. ) Είναι Rank{[B]}= 3 7 rank{ [ B AB ]} =rank =4 4 Συνεπώς λ= και το σηµείο [ ] Τ µπορεί να επιτευχθεί σε δύο βήµατα. Θα είναι από την οποία προκύπτει k x(k)-α x()= u() 3 7 u() = u() 4 u() u() - u() = = = u() - u() 4 ΠΡΟΒΛΗΜΑ ίδεται σύστηµα συνεχούς χρόνου µε συνάρτηση µεταφοράς G(s)= (s+)(s+) 4

42 Α) Να προσδιοριστεί η συνάρτηση µεταφοράς G d (z) του συστήµατος διακριτού χρόνου που προκύπτει από δειγµατοληψία του συστήµατος µε περίοδο Τ= και διατηρητή µηδενικής τάξεως. Β) Να σχεδιαστεί το διάγραµµα Bode του διακριτού συστήµατος. Γ) Εφαρµόζοντας το µετασχηµατισµό z- w= Tz+ να σχεδιαστούν τα διαγράµµατα Bode της G(s) και της Ĝ(w)= G (z) d z=f(w) ) Στο διακριτό σύστηµα εφαρµόζεται ελεγκτής, όπως στο Σχήµα.. r A/D K D/A u G(s) y + Να προσδιοριστούν οι τιµές του Κ ώστε το σύστηµα κλειστού βρόχου να είναι ευσταθές µε χρήση του κριτηρίου του Jury.. Ε) Να σχεδιαστεί ο γεωµετρικός τόπος των ριζών του διακριτοποιηµένου συστήµατος. Λύση A) Θα είναι G(z)=(-z) d Z L (-z) s(s+)(s+) = Z L + + s (s+) (s+) = - -t -t - z -z z = (-z ) Z {(-e +e )u(t)} = (-z ) + + -T -T z- z-e z-e Για Τ= η συνάρτηση µεταφοράς του διακριτοποιηµένου συστήµατος γίνεται - z -z z - G(z)=(-z) z -z z d + + (-z) -T -T = + + = z- z-e z-e z- z-.368 z-.35.4z+.48 = (z-.368)(z-.35) Β) Για z=e jωτ το διάγραµµα Bode φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα το οποίο πραγµατοποιήθηκε µε το πρόγραµµα σε περιβάλλον MATLAB for K=: 4

43 t(k)=.*(.3)^k; z(k)=exp(t(k)*i); g(k)=(.4*z(k)+.48)/(z(k)-.368)/(z(k)-.35); gr(k)=real(g(k)); gi(k)=imag(g(k)); bodem(k)=*log(sqrt(gr(k)^+gi(k)^)); end semilogx(t,bodem,'g') axis equal Γ) Το z συναρτήσει του w θα είναι T + w +w z= = T - w -w Αντικαθιστώντας στην G d (z) λαµβάνεται.4z+.48 (-w)(.5w+.96) Ĝ(w)=G (z) = = (z-.368)(z-.35) (.368w+.64)(.35w+.73) d +w +w z= z= -w -w Στο ακόλουθο σχήµα φαίνονται τα διαγράµµατα Bode της G(s) και της από το ακόλουθο πρόγραµµα σε περιβάλλον MATLAB. for K=: t(k)=.*(.3)^k; omega(k)=i*t(k); z(k)=exp(t(k)*i); g(k)=/(omega(k)+)/(omega(k)+); gr(k)=real(g(k)); gi(k)=imag(g(k)); bodem(k)=*log(sqrt(gr(k)^+gi(k)^)); Ĝ(w) που προκύψανε 43

44 gh(k)=(- omega(k))*(.5*omega(k)+.96)/(.368*omega(k)+.64)/(.35*omega(k) +.73); ghr(k)=real(gh(k)); ghi(k)=imag(gh(k)); bodemh(k)=*log(sqrt(ghr(k)^+ghi(k)^)); end semilogx(t,bodem,'g',t,bodemh,'b') axis equal ) Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του συστήµατος κλειστού βρόχου είναι ψ c(z)=(z-.368)(z-.35)+k(.4z+.48)=z +(.4K-.5)z+.48K+.5 Το κριτήριο του Jury έχει τετριµµένη µορφή ως εξής Γραµµή z z z.48k+.5.4k-.5.4k-.5.48k+.5 Για να είναι το σύστηµα κλιστού βρόχου ευσταθές πρέπει να ισχύουν οι ανισότητες. f()=+(.4k-.5)+.48k+.5=.548k+.55> (-) f(-)=+(-.4k+.5)+.48k+.5=-.5k+.55>.48k+.5 < Από την πρώτη ανισότητα προκύπτει Κ>-.4 Από τη δεύτερη ανισότητα προκύπτει Κ<6.5 Από την Τρίτη ανισότητα προκύπτει <.48Κ+.5< ή ισοδύναµα Κ>-7.9 και Κ<6.49. Οι ανισότητες συναληθεύουν για -.4<Κ<6.5 44

45 Ε) Ο γεωµετρικός τόπος των πόλων του αντισταθµισµένου συστήµατος κατασκευάζεται όπως και στην περίπτωση συστήµατος συνεχούς χρόνου. Θα είναι κύκλος µε κέντρο το σηµείο z=-.48/.4=-.37 και τµήµατα του πραγµατικού άξονα. Ο γεωµετρικός τόπος φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα s A xi g a Im Real Axis ΠΡΟΒΛΗΜΑ Οι εξισώσεις που περιγράφουν το σύστηµα δύο δοχείων είναι οι εξής: x -.97 x.63 x = =Ax+Bu(t)= + u x x y=x = x [ ] x Α) Να γραφούν οι εξισώσεις του διακριτού συστήµατος που προκύπτει από τη δειγµατοληψία του µε περίοδο Τ= και χρήση διατηρητή µηδενικής τάξεως. Β) Να προσδιοριστεί η συνάρτηση µεταφοράς του διακριτού συστήµατος. Γ) Να εξεταστεί η ελεγξιµότητα και η παρατηρησιµότητα του διακριτού συστήµατος συναρτήσει του Τ. ) Να ευρεθεί η χρονική απόκριση του συστήµατος συνεχούς χρόνου και του συστήµατος διακριτού χρόνου σε βηµατική διέγερση και να συγκριθούν ως προς το σφάλµα µόνιµης κατάστασης. Λύση Α) Οι εξισώσεις του διακριτοποιηµένου συστήµατος θα είναι AT AT - x d(k+)=adx d+bdu(k)=e x d+(e -I)A Bu(k) 45

46 όπου Τ είναι η περίοδος της δειγµατοληψίας. Για την εύρεση της e At χρησιµοποιείται το θεώρηµα των Caley-Hamilton. Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο της µήτρας Α είναι Από την s+.97 ψ(s)=det(si-a)=det =(s+.97)(s+.9) -.78 s+.9 st e =a +as για s=-.97 και s=-.9 λαµβάνεται το σύστηµα των εξισώσεων από το οποίο προκύπτει και.97 a -.9t = e.9 a -.97t e = t -.97t.97e.9e a t -.97t a e e -.97t At e e =ai+aa=.6(e -.9t e -.97t ) e -.9t Συνεπώς -.97x AT e.79 A=e d = -.9x -.97x -.9x =.6(e e ) e.8.86 B=e d ( ) IAB= = = AT - Β) Η συνάρτηση µεταφοράς του διακριτοποιηµένου συστήµατος θα είναι - z G(z)=C[zI-A]B= d d d [ ] = -.8 z z z+.6 = [ ] =.8.97 z-.79 z-.86 ( z-.79)( z-.86) z ( )( ) 46

47 Γ) Για την ελεγξιµότητα του διακριτοποιηµένου συστήµατος εξετάζεται ο βαθµός της µήτρας [ ] ( ) ( ) AT - AT AT - P c= Bd AdB d = e -I A B e e -I A B Καθώς οι µήτρες e At και (e At -I)A - αντιµετατίθενται, η µήτρα ελεγξιµότητας γράφεται. ( ) AT - AT P= c e -I A B e B Οι ιδιοτιµές της µήτρας e At είναι e -.97t και e -.9t. Καθώς για κάθε t>, e -.97t < και e -.9t <, οι ιδιοτιµές της e At -Ι, οι οποίες είναι e -.97t - και e -.9t - δεν µηδενίζονται και συνεπώς η µήτρα e At -Ι είναι οµαλή και θα έχει βαθµό ίσο µε δύο. Εποµένως το σύστηµα θα είναι ελέγξιµο εάν και µόνο εάν Για να χάνει βαθµό η τελευταία µήτρα πρέπει = AT rank B e B At e B=λΒ δηλαδή το Β πρέπει να είναι ιδιοδιάνυσµα της µήτρας e At. Καθώς τα ιδιοδιανύσµατα της e At ταυτίζονται µε τα ιδιοδιανύσµατα της µήτρας Α, το διακριτοποιηµένο σύστηµα θα είναι ελέγξιµο εάν και µόνο εάν rank[ B ΑB] =. Η τελευταία είναι η συνθήκη ελεγξιµότητας του συστήµατος συνεχούς χρόνου και το διακριτοποιηµένο σύστηµα θα είναι ελέγξιµο για κάθε Τ. Αξίζει να τονιστεί ότι στη γενική περίπτωση ελεγξιµότητα του συστήµατος συνεχούς χρόνου δεν συνεπάγεται την ελεγξιµότητα του διακριτοποιηµένου συστήµατος. ) Η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος συνεχούς χρόνου θα είναι - - s G(s)=C[sI-A] B= = [ ] -.78 s+.9-4 s x = [ ] =.78 s+.97 s+.9 ( s+.97)( s+.9) s+.9 ( )( ) Για την τελική τιµή της εξόδου σε βηµατική διέγερση, εφαρµόζοντας το θεώρηµα της τελικής τιµής του µετασχηµατισµού Laplace, λαµβάνεται x y ss (βηµ)= lim{ y(t) } u(t)=u(t) = lim{ sy(s) } = lim sg(s) =G()= =.845 t s s s.97.9 ( )( ) Για την τελική τιµή της εξόδου του διακριτοποιηµένου συστήµατος σε βηµατική διέγερση,εφαρµόζοντας το θεώρηµα της τελικής τιµής του µετασχηµατισµού Ζ, λαµβάνεται 47

48 z lim{ y (kt)} = lim {(-z )Y (z)} = lim (-z )G (z) = z-.56 = G ()= = d u(kt)=u(kt) d d k z z d (.)(.4) Στο ακόλουθο σχήµα φαίνονται οι βηµατικές αποκρίσεις του συστήµατος συνεχούς χρόνου και του διακριτοποιηµένου συστήµατος. Οι τελικές τιµές προκύπτουν ίσες. Η διαφορά που εµφανίστηκε οφείλεται στις στρογγυλεύσεις κατά τη διακριτοποίηση του συστήµατος. Step Response From: U() e d itu m pl A ) ( Y T o: Time (sec.) 48

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια 6 Nicol Tptouli Ευστάθεια και θέση πόλων Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα

Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα 1. Ευστάθεια συστημάτων Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα Κατά την ανάλυση και σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου, η ευστάθεια αποτελεί έναν πολύ σημαντικό παράγοντα και, γενικά, είναι επιθυμητό

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Laplace

Μετασχηματισμοί Laplace Μετασχηματισμοί Laplace Ιδιότητες μετασχηματισμών Laplace Βασικά ζεύγη μετασχηματισμών Laplace f(t) F(s) δ(t) 1 u(t) 1 / s t 1 / s 2 t n n! / s n1 e αt, α>0 1 / (s α) te αt, α>0 1 / (s α) 2 ημωt ω / (s

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ 7 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ Δρ. Γιωργος Μαϊστρος Παράγοντας ης τάξης (+jωτ) Αντιστοιχεί σε πραγματικό πόλο: j j j Έτσι το μέτρο: ιαγράμματα χρήση ασυμπτώτων τομή τους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ Σημαντική πληροφορία για τη συμπεριφορά και την ευστάθεια ενός γραμμικού συστήματος, παίρνεται, μελετώντας την απόκρισή του

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Φυσικής Εργαστήριο Ηλεκτρονικής ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Κ. Ψυχαλίνος Πάτρα 005 . METAΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE. Ορισμοί Μετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο συχνότητας.

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε.

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. 3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. Στην εισαγωγή δείξαμε ότι η διαφορική εξίσωση του γραμμικού, χρονικά αναλλοίωτου συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου με διαφορική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αρµονική Απόκριση & ιαγράµµατα Bode

Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αρµονική Απόκριση & ιαγράµµατα Bode ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Συστηµάτν Αυτοµάτου Ελέγχου: Αρµονική Απόκριση & ιαγράµµατα Bode 6 Ncolas Tsaatsouls Εισαγγή ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς x και y ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α) x - + y = - + - y β) y + = 3 - ( + ) x γ) 4y - 3y - x = - 5x + 9 δ) (x

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τίτλος Μαθήματος

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τίτλος Μαθήματος ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Τίτλος Μαθήματος Ενότητα : Μετασχηματισμός LAPLACE (Laplace Tranform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ. Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ. Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Κ. ΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ - Α. ΧΡΗΣΤΙ ΟΥ Κ. ΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ - Α. ΧΡΗΣΤΙ ΟΥ Οκτώβριος 011 MATLAB

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου 2013-14 (Ιούνιος 2014)

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου 2013-14 (Ιούνιος 2014) Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου 201314 (Ιούνιος 2014) ΘΕΜΑ 1 Ο (3,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό λειτουργικό διάγραμμα που περιγράφει ένα αναγνωριστικό αυτοκινούμενο

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μιγαδικοί Αριθμοί Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος Τηλ. 40598 Κεφ. ο ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ. Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας 6 Ncola Tapaoul Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο 4 Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform) Μετασχηµατισµός Ζ (-traform) Εργαλείο ανάλυσης σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου ιεργασία ανάλογη του Μετ/σµού Laplace Απόκριση συχνότητας Εφαρµογές επίλυση γραµµικών εξισώσεων διαφορών µε σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα από τους μιγαδικούς

Θέματα από τους μιγαδικούς 6/0/0 Θέματα από τους μιγαδικούς Μπάμπης Στεργίου Σεπτέμβριος 0 Θέμα ο ***Οι λύσεις έγιναν από τον Αλέξη Μιχαλακίδη Δίνονται τα σύνολα : A C/ και α) Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α BwC/w,A β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση Ηλεκτρονικών Κυκλωμάτων RF

Σχεδίαση Ηλεκτρονικών Κυκλωμάτων RF ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Σχεδίαση Ηλεκτρονικών Κυκλωμάτων F Ενότητα: Φίλτρα και Επαναληπτικές Ασκήσεις Στυλιανός Μυτιληναίος Τμήμα Ηλεκτρονικής, Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Εξεταστικής Περιόδου Σεπτεμβρίου 2014

Λύσεις θεμάτων Εξεταστικής Περιόδου Σεπτεμβρίου 2014 Λύσεις θεμάτων Εξεταστικής Περιόδου Σεπτεμβρίου 204 ΘΕΜΑ Ο (2,0 μονάδες) Η διαδικασία διεύθυνσης ενός αυτοκινήτου κατά την οδήγησή του μπορεί να περιγραφεί με ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου κλειστού βρόχου.

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ Η συνάρτηση y αχ + βχ + γ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y αx + βx + γ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y αx + βx + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

Αναλογικά φίλτρα. Για να επιτύχουµε µια επιθυµητή απόκριση χρειαζόµαστε σηµαντικά λιγότερους συντελεστές γιαένα IIR φίλτροσεσχέσηµετοαντίστοιχο FIR.

Αναλογικά φίλτρα. Για να επιτύχουµε µια επιθυµητή απόκριση χρειαζόµαστε σηµαντικά λιγότερους συντελεστές γιαένα IIR φίλτροσεσχέσηµετοαντίστοιχο FIR. Τα IIR φίλτρα είναι επαναληπτικά ή αναδροµικά, µε την έννοια ότι δείγµατα της εξόδου χρησιµοποιούνται από το σύστηµα για τον υπολογισµό τν νέν τιµών της εξόδου σε επόµενες χρονικές στιγµές. Για να επιτύχουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΣΤΕΛΙΟΥ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΟΥ ΤΟΛΗ 5-6 Επιμέλεια : Νικόλαος Σαμπάνης Στο φυλλάδιο περιέχονται όλες οι βασικές Μεθοδολογίες

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η χρονική απόκριση μπορεί να ληφθεί από αναλυτικά μέσα όπως η μέθοδος μετασχηματισμού Laplace, εναλλακτικά δε μπορεί να χρησιμοποιηθεί εξομοίωση από Η/Υ. Η προσέγγιση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να αποδειχθεί ότι οι γεωμετρικές εικόνες των μιγαδικών ριζών της εξίσωσης (συν θ)z (4συνθ)z + (5 συν θ) = 0 με θ π, π κινούνται σε υπερβολή, της οποίας να ευρεθούν τα στοιχεί ΑΣΚΗΣΗ Στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ

ΤΕΙ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ ΤΕΙ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Τ.Ε Πτυχιακή εργασία ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΘΕΣΗΣ ΓΡΑΦΙΔΑΣ ΕΚΤΥΠΩΤΗ ΕΚΠΟΝΗΣΗ: ΚΟΛΙΩΤΣΑ ΜΑΡΙΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΤΣΙΡΙΓΩΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ξεφυλλίζοντας τα σχολικά βιβλία της Α και Β Λυκείου θα συναντήσουμε τις παρακάτω 10 "βασικές" συναρτήσεις των οποίων τη γραφική παράσταση πρέπει να γνωρίζουμε:

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

M m l B r mglsin mlcos x ml 2 1) Να εισαχθεί το µοντέλο στο simulink ορίζοντας από πριν στο MATLAB τις µεταβλητές Μ,m,br

M m l B r mglsin mlcos x ml 2 1) Να εισαχθεί το µοντέλο στο simulink ορίζοντας από πριν στο MATLAB τις µεταβλητές Μ,m,br ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ένα σύστηµα εκκρεµούς όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα: Πάνω στη µάζα Μ επιδρά µια οριζόντια δύναµη F l την οποία και θεωρούµε σαν είσοδο στο σύστηµα. Έξοδος του συστήµατος θεωρείται η απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014 Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 14 Άσκηση: Ηλεκτρικό πεδίο διακριτών φορτίων Δύο ίσα θετικά φορτία q βρίσκονται σε απόσταση α μεταξύ τους. Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου,

Διαβάστε περισσότερα