ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟ ΕΛΕΓΧΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2. Τρύφων Κουσιουρής

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟ ΕΛΕΓΧΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2. Τρύφων Κουσιουρής"

Transcript

1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟ ΕΛΕΓΧΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τρύφων Κουσιουρής Ακ. Έτος 5-6

2 ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σχήµα Ας θεωρηθεί το σύστηµα του ανεστραµµένου εκκρεµούς που φαίνεται στο Σχήµα (α). Ράβδος µήκους L, µε µάζα m οµοιόµορφα κατανεµηµένη κατά µήκος της και ροπή αδρανείας J ως προς το κέντρο µάζας της (το µέσον της ράβδου) µπορεί να περιστραφεί περί οριζόντιο άξονα ο οποίος είναι σταθερά στερεωµένος σε φορείο µάζης M το οποίο κινείται επάνω σε ευθεία γραµµή του οριζοντίου επιπέδου χωρίς τριβές. Μετράται η µετατόπιση x του φορείου και η γωνία θ της ράβδου ως προς την κατακόρυφο. Α) Να γραφούν οι εξισώσεις καταστάσεως του συστήµατος ως προς το διάνυσµα ξ(t)= x x θ θ Β) Να γραµµικοποιηθεί το σύστηµα στην περιοχή του σηµείου ξ=. Γ) Να ευρεθεί η µήτρα συναρτήσεων µεταφοράς. ) Να ευρεθούν οι πόλοι και τα µηδενικά της συνάρτησης µεταφοράς Θ(s)/F(s). Λύση Έστω Α η δύναµη που ασκεί το φορείο στη ράβδο του εκκρεµούς, η οποία αναλύεται σε οριζόντια συνιστώσα Α x και κατακόρυφη συνιστώσα A y. Οι συντεταγµένες του κέντρου µάζης της ράβδου θα είναι (x m, y m ) = (x + Lηµθ, Lσυνθ) Εφαρµόζοντας την αρχή D Alembert για τις οριζόντιες και κατακόρυφες δυνάµεις και τις ροπές στη ράβδο, λαµβάνονται Οριζόντιες δυνάµεις: Κατακόρυφες δυνάµεις: d A -m dt x Τ. (x+lηµθ)= d Ay -mg m (Lσυνθ)= dt

3 Ροπές: -AxLσυνθ + ΑyLηµθ -J = dt Από την αρχή δράσης-αντίδρασης του Νεύτωνα, που είναι ειδική περίπτωση της αρχής D Alembert, η ράβδος θα ασκεί στο φορείο δύναµη Α. Έστω Β η δύναµη που ασκεί το έδαφος στο φορείο. Αυτή θα είναι κατακόρυφη, επειδή δεν υπάρχουν τριβές. Εφαρµόζοντας την αρχή D Alembert στις κατακόρυφες και οριζόντιες δυνάµεις, λαµβάνονται. Οριζόντιες δυνάµεις: Κατακόρυφες δυνάµεις: dx x d θ F(t) - A - M = dt -Ay - Β = Επιλύοντας ως προς Α x, A y από και αντικαθιστώντας προκύπτουν οι εξισώσεις που περιγράφουν το µοντέλο ως εξής dx d F(t) = M + m (x+lηµθ) dt dt d d d θ -mlσυνθ (x+lηµθ) + Lηµθ[mg + m (Lσυνθ)]- J = dt dt dt Αναπτύσσοντας τις παραγώγους, οι εξισώσεις γίνονται. dx dx... F(t) = M + m - ml ηµθ (θ ) + mlσυνθθ dt dt..... [-ml συν θ -mlηµ θ -J]θ +mglηµθ -mlηµθσυνθ(θ ) -mlσυνθ x o + ml ηµθσυνθ(θ ) = J θ +mglηµθ -mlσυνθ x= όπου J o = J + ml είναι η ροπή αδρανείας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της. Αντικαθιστώντας τις µεταβλητές µε τις συνιστώσες του διανύσµατος καταστάσεως, λαµβάνονται (M+m)ξ + ml(συνξ )ξ = F(t) + ml (ηµξ )ξ 3 4 mlσυνξ3ξ +Jξ 4=mgLηµξ Επιλύοντας ως προς τις παραγώγους των συνιστωσών του διανύσµατος καταστάσεως, λαµβάνονται ξ = ξ -J ξ mlηµξ mlgσυνξ ηµξ -J ξ + F = f (ξ,f) o o = + -J o(m+m) + m L συν ξ3 -J o(m+m) + m L συν ξ3 ξ = ξ 3 4 ξ mlσυνξ ηµξ -(M+m)mgLηµξ mlσυνξ ξ F = f (ξ,f) = + 4 -J o(m+m) + m L συν ξ3 -J o(m+m) + m L συν ξ3 3

4 Για F= το σηµείο ξ =ξ =ξ 3 =ξ 4 = είναι σηµείο ισορροπίας και το σύστηµα µπορεί να γραµµικοποιηθεί στην περιοχή του. Θα είναι f ξ 4 f = = ξ 4 4 f mlg[συν ξ3-ηµ ξ 3] m Lgσυν ξ3ηµ ξ 3 F= = ( ) ξ 4 + ( ) F+ + F= = ξ 3 ξ= [-J o(m+m) + m L συν ξ 3] [-J o(m+m) + m Lσυν ξ 3] ξ= f ξ ( ) o F= 4 ξ= mlg = -J (M+m) + m L = ξ = f -J = F -J (M+m) + m Lσυν ξ o F= F= ξ= o 3 ξ= o Οµοίως για την f 4 θα έχουµε -Jo = -J (M+m) + m L f ξ o F= = ( ) ξ 4 + ( ) F-(M+m)mgL F= 3 ξ= o 3 ξ= 4 4 f = = ξ f συνξ [-J (M+m) + m L συν ξ ] + m L συνξ ηµ ξ ξ [-J (M+m) + m L συν ξ ] -(M+m)mgL = -J (M+m) + m L f ξ ( ) F= 4 F= ξ= ξ= o = ξ = f4 mlσυνξ = F -J (M+m) + m L συν 3 F= ξ= o ml = ξ -J (M+m) m L F= 3 ξ= o + Οι εξισώσεις καταστάσεως του γραµµικοποιηµένου συστήµατος θα είναι 4

5 -J mlg o -J -J o(m+m) + m L o(m+m) + m L ξ= ξ+ F -(M+m)mgL ml -J -J o(m+m) + m L o(m+m) + m L Η µήτρα συναρτήσεων µεταφοράς θα είναι ξ ξ 3 y= = ξ s -J -m L g o s -J o + o(m+m) + m L -J (M+m) m L G(s)= = s (M+m)mgL ml s -J -J o(m+m) + m L o(m+m) + m L = (M+m)mgL s s + -J o (M+m)+m L Θα είναι s+ -J o ( - (M+m)mgL M+m)+m L mlg ml + -J (M+m)+m L -J (M+m)+m L ml o o s -J o (M+m)+m L ml s Θ(s) -J o (M+m)+m L ml = = F(s) (M+m)mgL s (-J o(m+m)+m L )+(M+m)mgL s s + -J o (M+m)+m L Παρατηρείται ότι η Θ(s)/F(s) δεν εµφανίζει µηδενικά, καθώς αυτά απλοποιούνται µε πόλους ενώ οι πόλοι της είναι πραγµατικοί και συµµετρικοί ως προς την αρχή. ΠΡΟΒΛΗΜΑ Για το ανεστραµµένο κωνικό δοχείο του Σχήµατος η παροχή q(t) της εκροής είναι ανάλογη της τετραγωνικής ρίζας του ύψους του υγρού εντός του δοχείου. 5

6 Q(t) h q(t) Σχήµα Α) Να γραφούν οι εξισώσεις καταστάσεως του συστήµατος, εάν µετράται η διαφορική πίεση στη βάση του δοχείου σε σχέση µε την ατµοσφαιρική πίεση. Β) Εάν είναι επιθυµητό το ύψος του υγρού στο δοχείο να είναι σταθερό (h ), να γραφούν οι εξισώσεις του γραµµικοποιηµένου µοντέλου Γ) Να ευρεθεί η µοναδιαία βηµατική απόκριση του γραµµικοποιηµένου µοντέλου του συστήµατος. ) Να συγκρίνετε τις τελικές τιµές του ύψους του συστήµατος και του γραµµικοποιηµένου µοντέλου του. Λύση A) Η διαφορική πίεση στη βάση του δοχείου θα είναι Ο όγκος του υγρού εντός του δοχείου p=ρgh V=π (hεφθ) h/3 Ο ρυθµός της αύξησης του όγκου του υγρού εντός του δοχείου θα είναι ίσος µε την παροχή τροφοδοσίας µείον την παροχή εκροής, δηλαδή = = h = { π h εφ θ} = Q(t)-a h dt dh dt dh 3 dt dt dv dv dh d π εφ θ 3 dh dh 6

7 Εάν θεωρηθεί ως κατάσταση το ύψος h του υγρού εντός του δοχείου, οι εξισώσεις καταστάσεως του συστήµατος θα είναι 3 dh -a - = h + Q(t)=f(h,Q) dt πh εφ θ πh εφ θ p= ρgh B) Για να είναι το ύψος του υγρού h, η παροχή τροφοδοσίας πρέπει να είναι Εάν τεθούν Q(t)=a h x=h-h, u=q(t)-q (t), y=p-p, οι εξισώσεις του γραµµικοποιηµένου µοντέλου θα είναι όπου x=ax+bu y=cx -5 f a 3 3 A= h=h =- ( ) h + Q(t)h h=h = h Q=Q πεφ θ πεφ θ Q=Q 3a 5/ 3 -a 5/ h + a h (-)h = h πεφ θ πεφ θ πεφ θ f Β= = = Q πh εφ θ πh εφ θ h=h h=h Q=Q Q=Q C=ρg Γ) Για το γραµµικοποιηµένο µοντέλο θα είναι x()=. Εφαρµόζοντας µετασχηµατισµό Laplace, λαµβάνεται ή ισοδύναµα και Η έξοδος του συστήµατος θα είναι B (s+a)x(s)=βu(s)= s h h B B/A B/A X(s)= = = a a s(s+a) s (s+a) s (s+a) h h = a a -At x(t) - e u(t) y=ρgx 7

8 ) Καθώς ο χρόνος τείνει στο άπειρο, το γραµµικοποιηµένο σύστηµα προβλέπει ύψος του υγρού εντός του δοχείου h h L( ) = h + a Για το προς έλεγχο σύστηµα, εάν εφαρµοστεί η βηµατική διέγερση, η παροχή της εισόδου θα είναι Q=Q + Το ύψος του υγρού εντός του δοχείου στη µόνιµη κατάσταση θα είναι Q+ Q++Q h NL = + + h ( ) = =h a a a a Παρατηρείται διαφορά ύψους η οποία οφείλεται στο γεγονός ότι το εµβαδόν της οριζόντιας διατοµής του κωνικού δοχείου µεταβάλλεται µε το ύψος ενώ στο γραµµικοποιηµένο µοντέλο θεωρείται σταθερό. ΠΡΟΒΛΗΜΑ Η δεξαµενή του σχήµατος τροφοδοτείται από ανοικτό κανάλι στο οποίο η ταχύτητα του υγρού v είναι ανεξάρτητη της παροχής Q. Η παροχή ελέγχεται από ηλεκτροβάνα η οποία είναι τοποθετηµένη σε απόσταση d από τη δεξαµενή, προκαλώντας καθυστέρηση Τ=d/v. Εάν η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος είναι H(s) 5 G(s)= = Q(s) s+ και του ελεγκτή K(s)= s+ 8

9 α) Να σχεδιαστεί το διάγραµµα Nyquist του συστήµαταος ανοικτού βρόχου για καθυστέρηση Τ της επιλογής σας. β) Να ευρεθεί η µέγιστη απόσταση στην οποία µπορεί να τοποθετηθαί η ηλεκτροβάνα, εάν η ταχύτητα του υγρού είναι.5m/s. Λύση Τ= Τ= Το διάγραµµα Nyquist της συνάρτησης µεταφοράς ανοικτου βρόχου 5 P(s)=G(s)K(s)= e (s+)(s+) φαίνεται στα ανωτέρω σχήµατα για Τ= και Τ=.sec αντίστοιχα. Καθώς ο παράγων e -st δεν αλλάζει το µέτρο της Q(s) και ελαττώνει τη φάση της, όταν Τ=. ελαττώνεται το περιθώριο φάσης και εµφανίζεται σπειροειδές το διάγραµµα Nyquist στις υψηλές συχνότητες. Β) Από το διάγραµµα Nyquist της P(s) όταν Τ= προκύπτει ότι το περιθώριο φάσης είναι 8 ο ή ισοδύναµα θ m =.4rad. Η κυκλική συχνότητα ω για την οποία το διάγραµµα Nyquist της P(s) τέµνει τήν περιφέρεια του µοναδιαίου κύκλου θα δίδεται από τη σχέση 5 5 P(jω ) = = = (jω +)(jω +) ω + ω + -st ή ισοσύναµα από την οποία προκύπτει ω + ω 4 = 4 4* ± + ± ω = = =

10 Συνεπώς ω =4.456rad/sec Επειδή θ.4 ω m T= = =.34sec Η µέγιστη απόσταση στην οποία µπορεί να τοποθετηθεί ο ενεργοποιητής θα είναι d max =vt=.5m/sec*.34sec=.47m. ΠΡΟΒΛΗΜΑ Εάν η συνάρτηση µεταφοράς συστήµατος είναι Λύση s-3 G(s)= (s-)(s+a). Χρησιµοποιώντας το κριτήριο Routh να ευρεθεί εάν υπάρχουν τιµές του κέρδους του ελεγκτή K(s+b) K(s)= s ώστε το σύστηµα κλειστού βρόχου να είναι ασυµπτωτικά ευσταθές.. Για ένα συνδυασµό a,b που το αντισταθµισµένο σύστηµα µπορεί να ευσταθειοποιηθεί να σχεδιαστεί ο γεωµετρικός τόπος των πόλων του συστήµατος κλειστού βρόχου. Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του συστήµατος κλειστού βρόχου θα είναι 3 ψ c(s)=s(s-)(s+a)+k(s-3)(s+b)=s +(a+k-)s +(-a+kb-3k)s-3bk () Κατασκευάζεται η διάταξη Routh ως εξής s 3 Kb-3K-a s a+k- -3Kb s s (Kb-3K-a)(a+K-)+3bK a+k- -3Kb Για να είναι το αντισταθµισµένο σύστηµα ευσταθές πρέπει να ισχύουν οι ανισότητες a+k-> -3Kb> (Kb-3K-a)(a+K-)+3bK=f(K)=K (b-3)+k(ab-4a+b+3)+a(-a)> (.α) (.β) (.γ)

11 Από τις σχέσεις (.β) και (.γ) προκύπτει Kb-3K-a> (3) διαφορετικά άθροισµα αρνητικών αριθµών θα είναι µεγαλύτερο του µηδενός. Από τη σχέση (.γ) προκύπτουν δύο περιπτώσεις. η Περίπτωση Από τη σχέση (.α) πρέπει Από τη σχέση (3), καθώς b-3<, πρέπει Και συνεπώς Κ> και b<. (4) K>-a (5) K<a/(b-3) (6) a< (7) Οι σχέσεις (5) και (6) συναληθεύουν µόνο εάν -a<a/(b-3) ή ισοδύναµα καθώς b-3< (-a)(b-3)-a=b-ab+a-3> (8) Η σχέση (8) είναι αδύνατη καθώς άθροισµα αρνητικών αριθµών προκύπτει µεγαλύτερο του µηδενός. Στην περίπτωση αυτή δεν υπάρχει λύση του προβλήµατος. η Περίπτωση Από τη σχέση (.α) προκύπτει Aπό τη σχέση (3) προκύπτει K(b-3)>a> και επειδή K< Από τη σχέση (.α) προκύπτει Από τη σχέση (3) προκύπτει καθώς b<3 Για να συναληθεύουν οι σχέσεις () και (3) πρέπει ή ισοδύναµα καθώς b<3 Κ< και b> (9) a>-k> () b<3 () Κ>-a () K<a/(b-3) (3) -a<a/(b-3) (4) a-(-a)(b-3)=ab+3-b-a< (5) Ας θεωρηθεί η σχέση (.γ). Καθώς b-3<, το τριώνυµο ως προς Κ θα ικανοποιεί τη σχέση όταν το Κ βρίσκεται µεταξύ των ριζών του. Αυτό συνεπάγεται ότι η διακρίνουσα του τριωνύµου =(ab-4a+b+3) -4(b-3)a(-a)> Το γινόµενο των ριζών του τριωνύµου είναι a(a-)/(b-3), δηλαδή θετικό, και οι ρίζες είναι οµόσηµες. Για να είναι και οι δύο αρνητικές πρέπει το άθροισµά τους να είναι αρνητικό, δηλαδή (6)

12 Είναι ab-4a+b+3< (7) f(k) K=-a =(-a) (b-3)+(-a)(ab-4a+b+3)+a(-a)=3b(-a)< (8) a a ab f(k) a =( ) (b-3)+( )(ab-4a+b+3)+a(-a)= < K= b-3 b-3 b-3 b-3 δηλαδή το (-a) και το a/(b-3) είναι εκτός των ριζών του τριωνύµου. Για να ικανοποιείται η () και η (.γ)πρέπει το -a να είναι µικρότερο από τη µικρότερη ρίζα του τριωνύµου και επειδή ισχύει η (8), πρέπει ab-4a+b+3 (-a)<- (b-3) (9) -ab+a+4b-3> () Για να ικανοποιείται η (3) και η (.γ)πρέπει το a/(b-3) να είναι µεγαλύτερο από τη µεγαλύτερη ρίζα του τριωνύµου και επειδή ισχύει η (9), πρέπει Εάν επιλεγούν a ab-4a+b+3 >- -ab+a-b-3> () b-3 (b-3) το Κ πρέπει να είναι µεταξύ των ριζών του τριωνύµου, δηλαδή και το Κ πρέπει να είναι στο διάστηµα (-6.5,-3.3) a=8 () b=.5 (3) -6.5<Κ<-3.3 (4) -8=-7<Κ (5) Κ< (6) Β) Ο γεωµετρικός τόπος των πόλων του συστήµατος κλειστού βρόχου φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα.

13 5 4 3 s A xi g a Im Real Axis ΠΡΟΒΛΗΜΑ ίδεται το σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς και έλεγχο όπως στο Σχήµα. G(s)=, a> (s-a) R(s) Σ + _ K(s) U(s) G(s) Y( s) Α) Να δειχθεί ότι το σύστηµα δεν µπορεί να ευσταθειοποιηθεί µε αντισταθµιστή PI. Β) Να δειχθεί ότι το σύστηµα µπορεί να ευσταθειοποιηθεί µε αντισταθµιστή PID. Λύση Α) Καθώς ο ελεγκτής PI µπορεί να γραφεί K Ks+K K(s+b) = = i i K(s)=K+ s s s το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του αντισταθµισµένου συστήµατος θα είναι 3 ψ c(s)=s(s-a) +K(s+b)=s -as +(a +K)s+Kb Επειδή a>, οι συντελεστές του s 3 και s είναι ετερόσηµοι και το σύστηµα κλειστού βρόχου δεν µπορεί να είναι ασυµπτωτικά ευσταθές, σύµφωνα µε το θεώρηµα του Stodola. 3

14 Β) Καθώς ο ελεγκτής PID µπορεί να γραφεί K K(s)=K a+ s Ks+K + Ks s K i a i d + Kds = = (s +bs+c) s το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του αντισταθµισµένου συστήµατος θα είναι 3 ψ c(s)=s(s-a) +K(s +bs+c)=s +(K-a)s +(a +Kb)s+Kc Για τον έλεγχο της ευστάθειας του αντισταθµισµένου συστήµατος χρησιµοποιείται η διάταξη Routh. s 3 a +Kb s K-a Kc s (K-a)(a +Kb)-Kc K-a s Kc Για ευστάθεια του συστήµατος κλειστού βρόχου πρέπει να ισχύουν οι ανισότητες K-a> Kc> 3 (K-a)(a +Kb)-Kc=K b+k(a -ab-c)-a > Θεωρώντας Κ>, c>, από την πρώτη ανισότητα λαµβάνεται K>a Θεωρώντας b>, η Τρίτη ανισότητα επαληθεύεται όταν το Κ ευρίσκεται εκτός των ριζών του 3 τριωνύµου f(x)=x b+x(a -ab-c)-a. Επειδή η διακρίνουσα του τριωνύµου είναι 3 =(a -ab-c) +8a b> αυτό θα έχει δύο πραγµατικές ρίζες και µάλιστα ετερόσηµες καθώς το γινόµενο των ριζών είναι αρνητικό. Συνεπώς για K>Max a, το αντισταθµισµένο σύστηµα θα είναι ευσταθές. 3 -(a -ab-c)+ (a -ab-c) +8a b b ΠΡΟΒΛΗΜΑ ίδεται το σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς 4

15 -s+ G(s)= (s+) και έλεγχο όπως στο Σχήµα. K(s) G(s) R(s) U(s) Y( s) Σ + _ Να προσδιοριστεί ελεγκτής s-z K(s)=K s-p ώστε το σύστηµα κλειστού βρόχου να εµφανίζει µηδενικό σφάλµα σε βηµατικές διεγέρσεις. Λύση Εάν K = lim G(s)K(s) p s το σφάλµα µόνιµης κατάστασης σε βηµατική διέγερση θα είναι e ss(βηµ)= +K Για να µηδενίζεται το e ss (βηµ) πρέπει να απειρίζεται το K p και συνεπώς η G(s)K(s) να έχει πόλο στο. Από αυτό προκύπτει άµεσα ότι p= Για να εφαρµόζεται το θεώρηµα της τελικής τιµής και να ισχύουν τα ανωτέρω πρέπει το σύστηµα κλειστού βρόχου να είναι ασυµπτωτικά ευσταθές. Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του αντισταθµισµένου συστήµατος θα είναι ψ c (s)=s(s+) +K(-s+)(s-z)=s 3 +(-K)s +(+K+Kz)s-Kz για τη µελέτη της ευστάθειας του αντισταθµισµένου συστήµατος χρησιµοποιείται η διάταξη Routh. s 3 +K+Kz s -K -Kz p s s (-Κ)(+Κ+Κz)+Kz -K -Kz Για ασυµπτωτική ευστάθεια απαιτείται η ικανοποίηση των ακόλουθων ανισοτήτων 5

16 Από την πρώτη ανισότητα λαµβάνεται -Κ> -Κz> (-Κ)(+Κ+Κz)+Kz=K (-z-)+k(6z+3)+> Κ< Από τη δεύτερη ανισότητα προκύπτει Κz<. ιακρίνονται δύο περιπτώσεις. Α) Κ> και εποµένως z<. Από την τρίτη ανισότητα το τριώνυµο ως προς Κ πρέπει να είναι θετικό. Α) Εάν z+>, ή ισοδύναµα z>-, το τριώνυµο έχει αρνητικό γινόµενο ριζών. Αυτό σηµαίνει ότι έχει πραγµατικές και ετερόσηµες ρίζες. Καθώς ο συντελεστής του µεγιστοβάθµιου όρου είναι αρνητικός, η ανισότητα θα ισχύει µεταξύ των ριζών του τριωνύµου.τελικά πρέπει <K<Min, 6z+3+ (6z+3) +8(z+) (z+) Α) Εάν z+<, ή ισοδύναµα z<-, ο συντελεστής του µεγιστοβάθµιου όρου του τριωνύµου είναι θετικός και η ανισότητα θα ισχύει πάντοτε, εάν το τριώνυµο έχει µιγαδικές ρίζες, ή θα ισχύει εκτός των ριζών, εάν το τριώνυµο έχει πραγµατικές ρίζες. Η διακρίνουσα του τριωνύµου είναι =(6z+3) +8(z+)=36z +5z+5> επειδή το τριώνυµο του z έχει µιγαδικές ρίζες. Συνεπώς η Τρίτη ανισότητα θα ισχύει εκτός των ριζών του τριωνύµου του Κ. Καθώς 6z+3<6z+6=3(z+)< το τριώνυµο του Κ θα έχει θετικό γινόµενο ριζών και αρνητικό άθροισµα ριζών. Εποµένως και οι δύο ρίζες θα είναι αρνητικές και η ευστάθεια εξασφαλίζεται εάν <Κ<. Β) Κ< και συνεπώς z>. Το τριώνυµο του Κ έχει θετικό άθροισµα ριζών και αρνητικό γινόµενο ριζών. Εποµένως έχειδύο πραγµατικές ετερόσηµες ρίζες. Επειδή ο συντελεστής του µεγιστοβάθµιου όρου του είναι αρνητικός, η ανισότητα θα ισχύει µεταξύ των ριζών του τριωνύµου του Κ, δηλαδή 6z+3- (6z+3) +8(z+) 6z+3+ (6z+3) +8(z+) <K< (z+) (z+) Οι ανισότητες συναληθεύουν στο διάστηµα Από την ανωτέρω ανάλυση, λαµβάνοντας 6z+3- (6z+3) +8(z+) <K< (z+) z=-.5 6

17 6(-.5)+3+ (6(-.5)+3) +8((-.5)+) <K<Min, =.44 ((-.5)+) Λαµβάνοντας Κ=, ο ελεγκτής θα είναι s+.5 K(s)= s ΠΡΟΒΛΗΜΑ ίδεται σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς G(s)=K (s+a)(s +bs+c). Να σχεδιαστεί το ασυµπτωτικό διάγραµµα Bode πλάτους της G(s) εάν είναι γνωστό ότι δεν διαθέτει οριζόντιο τµήµα. Να γραφούν οι σχέσεις τις οποίες πρέπει να ικανοποιούν οι παράµετροι a,b,c.. Εάν στο σύστηµα εφαρµοστεί η διέγερση Λύση u(t)=*ηµ(t)+*ηµ(6t) και το ασυµπτωτικό διάγραµµα Bode πλάτους της G(s) του ερωτήµατος () χρησιµοποιηθεί για την πρόβλεψη των πλατών των συνιστωσών της y(t) στη µόνιµη κατάσταση, να γραφεί για ποιές σχέσεις των παραµέτρων a,b,c τα πλάτη αυτά είναι ίσα (για όλες τις δυνατές περιπτώσεις) και να επιλεγούν τιµές των a,b,c ώστε να συµβαίνει αυτό σε κάθε περίπτωση. s 7

18 6 C 5 M M 4 B 3 L L D A Ο παράγοντας s είναι ευθεία µε κλίση 4db/δεκάδα. Εάν η G(s) έχει τρείς διακεκριµένους πραγµατικούς πόλους, το ασυµπτωτικό διάγραµµα θα έχει οριζόντιο τµήµα, το οποίο είναι µη αποδεκτό. Άρα η G(s) θα έχει διπλό πραγµατικό πόλο ή µιγαδικούς πόλους από τον δευτεροβάθµιο παράγοντα. Εάν η διακρίνουσα =b -4c, ο δευτεροβάθµιος όρος έχει δύο µιγαδικές ρίζες ή διπλή πραγµατική (τα ασυµπτωτικά διαγράµµατα δεν διαφέρουν). Το σηµείο θλάσης για τις µιγαδικές ρίζες θα είναι στην κυκλική συχνότητα c ενώ για τον πρωτοβάθµιο παράγοντα το σηµείο θλάσης θα είναι στην κυκλική συχνότητα a. Για να µην έχει το διάγραµµα οριζόντιο τµήµα θα πρέπει Στην περίπτωση αυτή θα ισχύουν οι ανισότητες Εάν c a c a και b-4c =b -4c>, ο δευτεροβάθµιος παράγοντας έχει δύο πραγµατικές ρίζες και συνεπώς γράφεται (s+p )(s+p ) µε p <p. Για να µην έχει οριζόντιο τµήµα το διάγραµµα, το a πρέπει να ταυτίζεται µε το p. Στην περίπτωση αυτή θα ισχύουν οι σχέσεις b+ b -4c a= και b-4c> Το ασυµπτωτικό διάγραµµα Bode της G(s) θα έχει τη µορφή του σχήµατος. Β) Εφαρµόζοντας την αρχή της επαλληλίας για τις δύο ηµιτονοειδείς διεγέρσεις, η έξοδος του συστήµατος στη µόνιµη κατάσταση θα είναι 8

19 y(t)=* G(j) ηµ(t+arg{g(j)})+* G(j6) ηµ(6t arg{g(j6)}) Για να είναι τα πλάτη των δύο συνιστωσών ίσα πρέπει να ισχύει G(j) = G(j6) Αυτό είναι ισοδύναµο µε το να είναι οι εικόνες των κυκλικών συχνοτήτων και 6 στην ίδια τεταγµένη στο ασυµπτωτικό διάγραµµα Bode. ύο περιπτώσεις µπορούν να συµβούν. Η κυκλική συχνότητα είναι µικρότερη από την µικρότερη κυκλική συχνότητα θλάσης ω θ (Σηµείο L στο σχήµα). Για να ισχύει η ισότητα των πλατών θα πρέπει 4(λογωθ-λογ)+(λογωθ λογω θ) (λογ6 λογω θ) =. Η κυκλική συχνότητα είναι µεγαλύτερη από την µικρότερη κυκλική συχνότητα θλάσης ω θ (Σηµείο Μ στο σχήµα). Για να ισχύει η ισότητα των πλατών θα πρέπει ή ισοδύναµα από την οποία προκύπτει (λογωθ λογ) (λογ6 λογω θ) = ωθ 6 = ω θ ωθ = 4 Εάν επιλεγούν µιγαδικοί πόλοι µία λύση είναι ως εξής: Από την ω θ =4 προκύπτει c=6 Από την ω θ =< µπορεί να επιλεγεί ω θ =a=5 Από την <, b <4c και µπορεί να ληφθεί b=. ΠΡΟΒΛΗΜΑ ίδεται σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς (s+a) G(s)=K (s +bs+c). Να σχεδιαστεί το ασυµπτωτικό διάγραµµα Bode πλάτους της G(s) εάν είναι γνωστό ότι διαθέτει τµήµα µε θετική κλίση και δεν διαθέτει οριζόντιο τµήµα για κυκλικές συχνότητες µεγαλύτερες από το µικρότερο σηµείο θλάσης. Να γραφούν οι σχέσεις τις οποίες πρέπει να ικανοποιούν οι παράµετροι a,b,c.. Εάν στο σύστηµα εφαρµοστεί η διέγερση Λύση u(t)=*ηµ(t)+*ηµ(6t) και το ασυµπτωτικό διάγραµµα Bode πλάτους της G(s) του ερωτήµατος () χρησιµοποιηθεί για την πρόβλεψη των πλατών των συνιστωσών της y(t) στη µόνιµη κατάσταση, να γραφεί για ποιές σχέσεις των παραµέτρων a,b,c τα πλάτη αυτά είναι ίσα (για όλες τις δυνατές περιπτώσεις) και να επιλεγούν τιµές των a,b,c ώστε να συµβαίνει αυτό σε κάθε περίπτωση. 9

20 3 C 5 5 A B D Ο πρωτοβάθµιος όρος του αριθµητή έχει κυκλική συχνότητα θλάσης ω z =a. Ο δευτεροβάθµιος όρος στον παρονοµαστή έχει µία κυκλική συχνότητα θλάσης ω p= c εάν έχει µιγαδικές ρίζες ή δύο κυκλικές συχνότητες θλάσης ω ˆ ˆ p,ωpεάν έχει πραγµατικές ρίζες. Άν ο δευτεροβάθµιος όρος στον παρονοµαστή έχει πραγµατικές ρίζες και Min{ ω ˆ ˆ p,ωp} < ω z, το ασυµπτωτικό διάγραµµα Bode δεν θα έχει τµήµα µε θετική κλίση και η περίπτωση αυτή απορρίπτεται. Εάν τα ω ˆ ˆ p,ωpείναι διακεκριµένα, στο µεταξύ τους διάστηµα το διάγραµµα θα είναι οριζόντιο και η περίπτωση αυτή απορρίπτεται. Εποµένως ο παρονοµαστής θα έχει µιγαδικές ρίζες ή διπλή πραγµατική και το ασυµπτωτικό διάγραµµα Bode της G(s) φαίνεται στο σχήµα. Οι σχέσεις που πρέπει να ικανοποιούνται είναι c a και b-4c Β) Εφαρµόζοντας την αρχή της επαλληλίας για τις δύο ηµιτονοειδείς διεγέρσεις, η έξοδος του συστήµατος στη µόνιµη κατάσταση θα είναι y(t)=* G(j) ηµ(t+arg{g(j)})+* G(j6) ηµ(6t arg{g(j6)}) Για να είναι τα πλάτη των δύο συνιστωσών ίσα πρέπει να ισχύει G(j) = G(j6) Αυτό είναι ισοδύναµο µε το να είναι οι εικόνες των κυκλικών συχνοτήτων και 6 στην ίδια τεταγµένη στο ασυµπτωτικό διάγραµµα Bode. Τρείς περιπτώσεις µπορούν να συµβούν. Η κυκλική συχνότητα είναι µικρότερη από την µικρότερη κυκλική συχνότητα θλάσης ω z (Σηµείο B στο σχήµα). Για να ισχύει η ισότητα των πλατών θα πρέπει (λογωz -λογ)+ (λογωp λογω z) (λογ6 λογω p) =. Η κυκλική συχνότητα είναι µεγαλύτερη από την µικρότερη κυκλική συχνότητα θλάσης ω z (Σηµείο B στο σχήµα). Για να ισχύει η ισότητα των πλατών θα πρέπει (λογωp λογ) (λογ6 λογω p) =

21 ή ισοδύναµα από την οποία προκύπτει ωp 6 = ω p ωp = 4 3. Η κυκλική συχνότητα 6 είναι µικρότερη από την µικρότερη κυκλική συχνότητα θλάσης ω z (Σηµείο B στο σχήµα). H ισότητα των πλατών θα ισχύει χωρίς περιορισµούς. Εάν επιλεγεί η τρίτη περίπτωση, θα είναι: Από την ω z >6 προκύπτει a>6. είναι δυνατόν να ληφθεί a=. Από την c a = µπορεί να επιλεγεί c=5x 6. Από την <, b <4c και µπορεί να ληφθεί b=. ΠΡΟΒΛΗΜΑ Στο σύστηµα ελέγχου του Σχήµατος ο ελεγκτής σχεδιάστηκε για την ονοµαστική τιµή G (s) της G(s) ώστε η συµπληρωµατική συνάρτηση ευαισθησίας να είναι T(s)= s +s+ K(s) G(s) R(s) U(s) Y( s) Σ + _ α) Να προσδιοριστεί το σφάλµα µόνιµης κατάστασης σε µοναδιαία βηµατική διέγερση. Β) Να προσδιοριστεί το πλάτος της απόκρισης y(t) στη µόνιµη κατάσταση, εάν η διέγερση είναι ηµιτονοειδής µε κυκλική συχνότητα ω. Γ) Εάν Λύση G(s)=G (s)[+m(s)] όπου η µεταβολή είναι ευσταθής και M(jω) ω ω 6 + να προσδιοριστεί το µέγιστο πλάτος του ερωτήµατος (Β) για όλη την οικογένεια των προς έλεγχο συστηµάτων και η κυκλική συχνότητα στην οποία συµβαίνει αυτό.

22 Α) Η συµπληρωµατική συνάρτηση ευαισθησίας θα είναι G (s)k(s) T (s)=-s (s)=- = =H (s) +G (s)k(s) +G (s)k(s) όπου H(s) η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος κλειστού βρόχου. Για µοναδιαία βηµατική διέγερση θα είναι s +s E(s)=R(s)-Y(s)=R(s)[-H (s)]= [-H (s)]= s s s +s+ Επειδή η se(s) έχει όλους τους πόλους της στο αριστερό ηµιεπίπεδο, από το θεώρηµα της τελικής τιµής λαµβάνεται s +s lim r(t)= lim se(s)= lim = t s s s+s+ Β) Στη µόνιµη κατάσταση η έξοδος του συστήµατος θα είναι ηµιτονοειδής συνάρτηση της ίδιας συχνότητας µε την είσοδο και πλάτος πολλαπλασιασµένο επί το µέτρο της συνάρτησης µεταφοράς στην κυκλική συχνότητα της διέγερσης. Καθώς η H (s) έχει µέτρο H(jω) = = = s +s+ (-ω ) +4ω +ω s=jω Καθώς η συνάρτηση του µέτρου είναι µονοτόνως φθίνουσα, το µέγιστο πλάτος θα εµφανίζεται στην κυκλική συχνότητα ω= και θα είναι ίσο µε Α, όπου Α το πλάτος της διέγερσης. Γ) Καθώς θα είναι G(s)K(s) H(s)= = +G (s)k(s) s +s+ G (s)k(s) = s +s και θα ισχύει G(jω)K(jω)-G (jω)k(jω) = M(jω) = R (jω) +jω 4+ω 6+ω δηλαδή το G(jω)K(jω) θα βρίσκεται εντός κύκλου µε κέντρο το σηµείο G (jω)k(jω) και ακτίνα R. Με το κάτωθι πρόγραµµα σε περιβάλλον MATLAB clear all for K=: zt(k)=exp(i*pi*(k-)/99); ztr(k)=real(zt(k)); zti(k)=imag(zt(k)); end

23 for I=: omega(i)=3+.*(i-); center(i)=/(-omega(i)^+*i*omega(i)); radius(i)=/sqrt(4+omega(i)^)/sqrt(6+omega(i)^); for K=: t(i,k)=center(i)+radius(i)*exp(i**pi*(k-)/99); h(i,k)=abs(t(i,k)/(+t(i,k))); tr(i,k)=real(t(i,k)); ti(i,k)=imag(t(i,k)); end end plot(tr,ti,'g',ztr,zti,'b',tr,-ti,'g',ztr,-zti,'b') axis equal κατασκευάζεται η ζώνη στην οποία βρίσκεται το G(jω)K(jω) όπως στο ακόλουθο σχήµα Για κάθε κυκλική συχνότητα ω προσδιορίζεται η µέγιστη τιµή του µέτρου της Η(jω) που εµφανίζεται στην περιφέρεια του κύκλου. Το διάγραµµα του µέγιστου µέτρου συναρτήσει της κυκλικής συχνότητας φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα

24 από το οποίο προκύπτει ότι η µέγιστη τιµή είναι.944 και συµβαίνει όταν ω=5.75 rad/sec. ΠΡΟΒΛΗΜΑ Χρησιµοποιώντας µετασχηµατισµό Ζ, να προδιοριστεί η ακολουθία y(k) η οποία ικανοποιεί την εξίσωση διαφορών y(k+)-.5y(k+)+.5y(k)=u(k+) όπου u(k) είναι η µοναδιαία βηµατική απόκριση για k=, y()=.5 και y(-)=. Λύση Εφαρµόζοντας µετασχηµατισµό Ζ λαµβάνεται z Y(z)-z y()-zy()-.5[zy(z)-zy()]+.5y(z)=zu(z)-zu() () Για την εύρεση της y() εφαρµόζεται η αναδροµική σχέση για k=-. Αντικαθιστώντας στην (), λαµβάνεται y()=.5y()-.5y(-)+u()= =.5 () z z z- z- (z -.5z+.5)Y(z)=.5z +.5z-.75z+z -z=.5z +.5z+ Επιλύοντας ως προς Y(z) θα είναι.5z +.5z+.5z(z +) Y(z)= z- = (z -.5z+.5) (z-) (z-.5) z (3) (4) Αναλύοντας την Y(z)/z σε απλά κλάσµατα, λαµβάνεται ή ισοδύναµα Y(z) K K K.5 - z z-.5 z- (z-) z-.5 z- (z-) 3 = + + = + +.5z -z z Y(z)= + + z-.5 z- (z-) Λαµβάνοντας τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Ζ η y(k) προκύπτει k y(k)=.5(.5) + k- (5) (6) (7) ΠΡΟΒΛΗΜΑ Χρησιµοποιώντας µετασχηµατισµό Ζ, 4

25 A) Να ευρεθεί ο µέγιστος και ο ελάχιστος αριθµός χωρίων, στα οποία διαιρείται ένα επίπεδο από n ευθείες που ανήκουν σ αυτό. B) Να ευρεθεί ο µέγιστος αριθµός χωρίων, στα οποία διαιρείται ο τριδιάστατος χώρος από n επίπεδα που ανήκουν σ αυτόν. Λύση Α) Έστω ότι στο επίπεδο υπάρχουν n ευθείες οι οποίες διαιρούν το επίπεδο σε f(n) χωρία. Ας θεωρηθεί η (n+) ευθεία η οποία τέµνει κ από τις n ευθείες του επιπέδου. Επί της (n+) ευθείας δηµιουργούνται από τα κ σηµεία τοµής κ+ διαστήµατα. Κάθε ένα από αυτά διαιρεί ένα υπάρχον χωρίο σε δύο, δηµιουργεί δηλαδή κ+ νέα χωρία. Είναι προφανές ότι ο µέγιστος αριθµός εµφανίζεται όταν η (n+) ευθεία τέµνει και τις n ευθείες ενώ ο ελάχιστος αριθµός προκύπτει όταν η (n+) ευθεία δεν τέµνει καµµία από τις n ευθείες. Συνεπώς οι αναδροµικές σχέσεις που ικανοποιούν ο µέγιστος και ο ελάχιστος αριθµός χωρίων θα είναι ως εξής f (n+)-f (n)=n+ () max min max f (n+)-f (n)= min Εάν δεν υπάρχει καµµία ευθεία στο επίπεδο, το επίπεδο θα έχει ένα χωρίο και συνεπώς θα είναι f ()=f ()=f()= (3) min max Εφαρµόζοντας µετασχηµατισµό Ζ στην () για την αρχική συνθήκη που περιγράφεται στην (3), λαµβάνεται z z z{f max (z)-f max ()}-F max (z)=(z-)f max (z)-z= Z { n+ } = + (4) (z-) z- από την οποία προκύπτει 3 z -z +z z(z+) z z max 3 3 F (z) = = + + (5) (z-) (z-) (z-) z- Λαµβάνοντας αντίστροφο µετασχηµατισµό Ζ προσδιορίζεται z(z+) z z n n f max (n) = Z + + = (6) (z-) (z-) z- () Εφαρµόζοντας µετασχηµατισµό Ζ στην () για την αρχική συνθήκη που περιγράφεται στην (3), λαµβάνεται από την οποία προκύπτει z z{f min (z)-f min ()}-F min (z)=(z-)f min (z)-z= Z {} = (7) z- Λαµβάνοντας αντίστροφο µετασχηµατισµό Ζ προσδιορίζεται z z F min (z) = + (8) (z-) z- z z f min (n) = Z + =n+ (z-) z- (9) 5

26 Β) Έστω ότι στο χώρο υπάρχουν n επίπεδα ται οποία διαιρούν το χώρο σε g(n) χωρία. Ας θεωρηθεί το (n+) επίπεδο το οποίο τέµνει κ από τα n επίπεδα του χώρου. Επί του (n+) επιπέδου δηµιουργούνται από τις κ ευθείες τοµής f(κ) επίπεδα χωρία. Κάθε ένα από αυτά διαιρεί ένα υπάρχον χωρίο του χώρου σε δύο, δηµιουργεί δηλαδή f(κ) νέα χωρία στο χώρο. Είναι προφανές ότι ο µέγιστος αριθµός εµφανίζεται όταν το (n+) επίπεδο τέµνει και τα n επίπεδα. Συνεπώς η αναδροµική σχέση που ικανοποιεί ο µέγιστος αριθµός χωρίων θα είναι ως εξής n n g max (n+)-g max (n)=f(n)= + + Εάν δεν υπάρχει κανένα επίπεδο στο χώρο, ο χώρος θα έχει ένα χωρίο και συνεπώς θα είναι () g max ()= () Εφαρµόζοντας µετασχηµατισµό Ζ στην () για την αρχική συνθήκη που περιγράφεται στην (), λαµβάνεται 3 z-z+z z{g max (z)-g max ()}-G max (z)=(z-)g max (z)-z=f max (z) = () 3 (z-) από την οποία προκύπτει z z -z +z z -z +z G max (z) = + = (3) 4 4 z- (z-) (z-) Για το Ζ µετασχηµατισµό της k 3 θα είναι Z (4) 4 dz (z-) (z-) (z-) d z(z+) (z+)(z-) -3(z-) z(z+) z +4z +z {k }= Z{kk }=-z =-z = 3 6 Από τους πίνακες µετασχηµατισµών λαµβάνονται 4 3 z z -3z +3z -z Z {}= = (5) 4 z- (z-) 3 Z z z -z + {k}= = 4 (z-) (z-) z (6) 3 z(z+) z -z {k }= = 3 Z (z-) (z-) (7) 4 Ο αριθµητής της σχέσεως (3) µπορεί να γραφεί συναρτήσει των αριθµητών των σχέσεων (4), (5), (6) και (7) ως εξής z -z +z = K (z -3z +3z -z)+k (z -z +z)+k (z -z) + K (z +4z +z) Εξισώνοντας τους οµοιοβάθµιους συντελεστές στα δύο µέλη της εξισώσεως λαµβάνονται Κ = (8) (9.α) -3Κ +Κ +Κ 3 +Κ 4 =- (9.β) 6

27 3Κ -Κ +4Κ 4 = (9.γ) -Κ +Κ -Κ 3 +Κ 4 = (9.δ) Επιλύοντας το σύστηµα προσδιορίζονται τα Κ i ως εξής [Κ Κ Κ 3 Κ 4 ]=[ 5/6 /6] () Η σχέση (3) γράφεται 4 3 z-z+z 5 3 G max (z) Z{} Z{k} Z{k } 4 = = + + () (z-) 6 6 Λαµβάνοντας αντίστροφους µετασχηµατισµούς Ζ στα δύο µέλη της () ευρίσκεται 5 g max (n) + n+ n = () ΠΡΟΒΛΗΜΑ A) Να σχεδιαστεί ο Γεωµετρικός Τόπος των Ριζών του συστήµατος µε συνάρτηση µεταφοράς. (+s) G(s)= (+5s)(+s)s Β) Να ευρεθεί ελεγκτής της µορφής s+z K(s)=K s+p ώστε το σύστηµα κλειστού βρόχου να έχει πόλους στα σηµεία -±j. Να ευρεθεί η θέση των άλλων πόλων του. µ Λύση Ο Γεωµετρικός τόπος των ριζών της G(s) φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα και βρίσκεται µε την εφαρµογή των κανόνων κατασκευής του ως εξής: 7

28 A xi s g a Im -.5 s A xi g a Im Real Axis Γεωµετρικός Τόπος των Ριζών της G(s) Real Axis Λεπτοµέρεια Γεωµετρικού Τόπου των Ριζών. Ο γεωµετρικός τόπος έχει τέσσερις κλάδους. Τα ακόλουθα διαστήµατα επί του πραγµατικού άξονα είναι τµήµατα του γεωµετρικού τόπου (-,-], [-.,-.] Ένας κλάδος του γεωµετρικού τόπου αρχίζει από το σηµείο. και καταλήγει στο σηµείο.. Οι τρείς άλλοι κλάδοι εκκινούν από τα σηµεία,, και καταλήγουν στο άπειρο. Οι γωνίες των ασυµπτώτων είναι o o (+κ)x8 (+κ)x8 θ= = κ=,, n-m 3 δηλαδή είναι 6 ο, 8 ο και 3 ο ή -6 ο. Η τετµηµένη του σηµείου τοµής των ασυµπτώτων είναι n m p- i zλ i= λ= -+(-.)++-(-.) -. σ= = = =.367 n-m 3 3 Η γωνίες αναχώρησης από τον πόλο s= θα είναι m n 8(+k)+ (p -z ) (p -p ) = 9 k = j λ j i O λ= i= i j φ p = = O = 7 k = Τα σηµεία τοµής δύο κλάδων του γεωµετρικού τόπου δίδονται από τη σχέση 8

29 4 3-5s +6s +s d d G(s) s+ = =- =- ds ds ds (s+) dk (s +8s +s)(s+)-(5s +6s +s ) 4 3 5s +4s +8s +s =- = (s+) από την οποία λαµβάνονται = 4 3 Για s= - 5s +6s +s K = =- s= = G(s) s+ 4 3 Για s=-.69-5s +6s +s K = =- s=-.69 =.63 G(s) s+ Αποδεκτή τιµή Μη αποδεκτή τιµή Για s=-.+j.68 Για s= -.-j s +6s +s K = =- s=-.+j.68 =.63+j.7 G(s) s s +6s +s K = =- s=-.-j.68 =.63-j.7 G(s) s+ Μη αποδεκτή τιµή Μη αποδεκτή τιµή Για την εύρεση των σηµείων τοµής µε το φανταστικά άξονα χρησιµοποιείται η διάταξη Routh για το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του συστήµατος κλειστού βρόχου ψ c(s)=5s +6s +s +K(s+)=5s +6s +s +Ks+K s 4 5 Κ s 3 6 Κ s 6-5K 6 Κ s s 6-5K K-6K -5K 6 +4K = 6-5K 6-5K 6 Κ Οι ρίζες του είναι Κ= και Κ=.48 5Κ +4Κ= 9

30 Για Κ=, το βοηθητικό πολυώνυµο είναι και το σηµείο τοµής είναι το s=j Για Κ=.48, το βοηθητικό πολυώνυµο είναι και το σηµείο τοµής είναι το s=j.83 6-K B(s)= s +K = s 6 K= 6-5K B(s)= s +K K=.48 =.6s B) Για να είναι το σηµείο -j σηµείο του γεωµετρικού τόπου του συστήµατος G(s)K(s) πρέπει Καθώς o arg{ G(-+j)K(-+j) } =arg{ G(-+j) } +arg{ K(-+j) } =-8 { } { } { } { } { } arg G(-+j) =Arg -+j-(-.) -Arg -+j-(-.) -Arg -+j-(-) -Arg -+j-() = = *35 = ο ελεγκτής πρέπει να ινκανοποιεί τη σχέση o o o o o o o { } ( { } { }) arg Κ(-+j) =µ Arg -+j-(z) -Arg -+j-(p) =-8 -( ) = o.5 M.5 θ s A xi g a Im -.5 p z Real Axis Εάν µ=, η γωνία θ του σχήµατος πρέπει να είναι ίση µε ο. Αυτό σηµαίνει ότι το µηδενικό πρέπει να τοποθετηθεί στο δεξιό ηµιεπίπεδο και ο πόλος στο αριστερό ηµιεπίπεδο. Στην περίπτωση αυτή το διάστηµα [,z] θα είναι τµήµα του γεωµετρικού τόπου και το σύστηµα κλειστού βρόχου θα είναι ασταθές. Εάν µ=, η γωνία θ του σχήµατος πρέπει να είναι ίση µε ο. Εάν επιλεγεί z=-. 3

31 η θέση του πόλου θα είναι p = -.-xεφ(38.66 ο )-xεφ(49.67 ο )= = -.7 Ο γεωµετρικός τόπος της G(s)K(s) φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα. s A xi g a Im A xi s g a Im Real Axis Γεωµετρικός Τόπος G(s)K(s) Real Axis Λεπτοµέρεια στην περιοχή του µηδενός. Το Κ για το σηµείο +j προκύπτει K=.87 = (-+j+.) G(-+j) (-+j+.7) Για την τιµή αυτή του Κ οι υπόλοιποι πόλοι του αντισταθµισµένου συστήµατος θα είναι στις θέσεις. και.5±j.7. ΠΡΟΒΛΗΜΑ Α) Να δειχθεί ότι ο γεωµετρικός τόπος συστήµατος µε συνάρτηση µεταφοράς ανοικτού βρόχου K G(s)K= s(s +cs+) είναι τµήµα του πραγµατικού άξονα και τµήµα της υπερβολής µε εξίσωση y =3x +4cx+ Β) Να δειχθεί ότι η τιµή του κέρδους σε κάθε σηµείο της υπερβολής είναι (y +x )(x+c) Λύση Έστω x+jy σηµείο του γεωµετρικού τόπου των ριζών. Θα ισχύει 3

32 -K= = G(x+jy) (x+jy)[(x+jy) +c(x+jy)+]= =x(x -y )+cx +x-xy -cy +j[y(x -y +cx+)+x(xy+cy)] Χωρίζοντας πραγµατικά και φανταστικά µέρη λαµβάνονται Από την τελευταία σχέση λαµβάνεται είτε -K=x(x -y )+cx +x-xy -cy =y(x -y +cx+)+x(xy+cy) y= c 4c =(x -y +cx+)+x(x+c)=3x -y +4cx+=3 x+ -y Η τελευταία σχέση γράφεται c c 4c y+ 3 x+ y- 3 x+ = η οποία είναι εξίσωση υπερβολής µε ασύµπτωτες τις ευθείες Για το Κ θα είναι K=-x(x -y )-cx -x+xy +cy c y= ± 3 x+ 3 = -x +xy -cx -x(-3x +y -4cx)+xy +cy = 3 3 = x +cx +xy +cy = (x +y )(x+c) Αξίζει να παρατηρηθούν τα ακόλουθα. Ανάλογα µε το πρόσηµο του (-4c /3) ο γεωµετρικός τόπος βρίσκεται στην οξεία ή την αµβλεία γωνία που σχηµατίζουν οι ασύµπτωτες.. Αν (-4c /3)=, οι ασύµπτωτες αποτελούν τµήµατα του γεωµετρικού τόπου. 3. Το σηµείο (,) είναι σηµείο του τόπου ανεξάρτητα της τιµής του c. ΠΡΟΒΛΗΜΑ ίδεται σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς και έλεγχος όπως στο Σχήµα µε K(s)=K. G(s)= (s+a)(s+) R(s) Σ + _ K(s) U(s) G(s) Y( s) 3

33 Α) Να ευρεθούν τιµές των Κ,a ώστε το σύστηµα κλειστού βρόχου να έχει Χρόνο µεγίστου t p.57sec. Χρόνο αποκαταστάσεως % t s sec. Β) Για a της επιλογής σας να ευρεθεί η τιµή του Κ ώστε το σύστηµα κλειστού βρόχου να ικανοποιεί τις προδιαγραφές του ερωτήµατος (Α) και να εµφανίζει τη µέγιστη επι τοις εκατό υπερπήδηση. Λύση Το σύστηµα κλειστού βρόχου θα έχει δύο πόλους και δεν θα έχει µηδενικά. Οι προδιαγραφές της βηµατικής απόκρισης προσδιορίζουν τη θέση των πόλων του αντισταθµιςένου συστήµατος. Από τον χρόνο κορυφής προκύπτει π t p =.57sec ω d ω d δηλαδή το φανταστικό µέρος των πόλων θα είναι µικότερο ή ίσο του. Από το χρόνο αποκατάστασης λαµβάνεται 4 t= s sec ζω n ζω n δηλαδή το πραγµατικό µέρος των πόλων θα πρέπει να είναι µικρότερο ή ίσο του. Είναι γνωστό ότι ο γεωµετρικός τόπος του συστήµατος θα είναι το ευθύγραµµο τµήµα του πραγµατικού άξονα [-a,-] και η µεσοκάθετός του, όπως στο σχήµα. 33

34 3 B s A xi g a Im - A φ Real Axis Για να είναι και οι δύο πόλοι του αντισταθµισµένου συστήµατος στην επιθυµητή περιοχή πρέπει να ληφθεί a -3 Εάν ληφθεί a=-4, όπως στο σχήµα, και οι δύο πόλοι θα είναι στην επιθυµητή περιοχή για Κ Α Κ Κ Β όπου Κ Α, Κ Β είναι οι τιµές του Κ που αντιστοιχούν στα σηµεία Α και Β του γεωµετρικού τόπου. Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του συστήµατος κλειστού βρόχου θα είναι ψ c(s)=(s+)(s+4)+k=s +5s+4+K Στο σηµείο Α η µία ρίζα του ψ c (s) είναι. Καθώς ψ c (-)=4+5(-)+4+Κ=-+Κ= το Κ Α προκύπτει ίσο µε. Στο σηµείο Β οι ρίζες του ψ c (s) είναι.5±j. Καθώς το γινόµενο των ριζών του τριωνύµου είναι 4+Κ, θα είναι προκύπτει αµέσως ότι Κ Β =6.5. (Στη γενική περίπτωση θα είναι (-.5+j)(-.5-j)=.5 + =6.5+4=K+4 Κ Α =a- 34

35 Β) Η επι τοις εκατό υπερπήδηση είναι a+ K B= +4-a ). Καθώς M=exp p -ζπ -ζ ζπ -π -ζ - -ζπ dmp -ζ =exp < dζ -ζ -ζ το Mp είναι φθίνουσα συνάρτηση του ζ. Επειδή το ζ είναι ίσο µε το συνηµίτονο της γωνίας φ, όπου φ όπως στο σχήµα, η µέγιστη υπερπήδηση θα συµβαίνει όταν οι πόλοι του συστήµατος κλειστού βρόχου θα είναι στο Β και το συζυγές του. Στην περίπτωση αυτή θα είναι και η µέγιστη υπερπήδηση προκύπτει.5.5 ζ= = = ή.97%. -ζπ M p =exp ζ=.78 =.97 -ζ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Στο ανωτέρω Σχήµα τα συστήµατα Σ, Σ περιγράφονται σε µορφή εξισώσεων καταστάσεως από τις τριάδες των µητρών (A,B,C ) και (A,B,C ). 35

36 u + + (A,B,C ) y + + (A,B,C ) y u Α) Να γραφούν οι εξισώσεις καταστάσεως του συνολικού συστήµατος. Β) Να αποδειχθεί ότι το ολικό σύστηµα είναι ελέγξιµο και παρατηρήσιµο εάν και µόνο εάν τα Σ,Σ είναι ελέγξιµα και παρατηρήσιµα. Γ) Εάν u (καταργείται σαν είσοδος) να δειχθεί (µπορεί να χρησιµοποιηθεί και Λύση παράδειγµα) ότι η ελεγξιµότητα και η παρατηρησιµότητα των Σ,Σ είναι αναγκαία συνθήκη για την ελεγξιµότητα και την παρατηρησιµότητα του ολικού συστήµατος αλλά όχι ικανή. Για το σύστηµα Σ θα ισχύει Για το σύστηµα Σ θα ισχύει Θεωρώντας x =Ax +B (u +y )=Ax +Bu +BC x x =A x +B (u +y )=A x +B u +B C x x u y x= u= y= x u y οι εξισώσεις καταστάσεως του συστήµατος κλειστού βρόχου θα είναι A BC B C x= x+ u y= x BC A B C Β) Για την απόδειξη της πρότασης θα χρησιµοποιηθούν τα ακόλουθα λήµµατα. Λήµµα : Μπορεί να γραφεί k k k- k- (A+BF) B=A B+A BM,kB+A BM,kB+...+BMk,kB 36

37 Η απόδειξη γίνεται µε επαγωγή. Για k= είναι Ας υποτεθεί ότι η σχέση ισχύει για k-, δηλαδή Θα είναι και η σχέση ισχύει µε (A+BF)B=AB+BFB=AB+BM,B k- k- k- k-3 (A+BF) B=A B+A BM,k-B+A BM,k-B+...+BMk-,k-B k k- (A+BF) B=(A+BF)(A+BF) B= A B+A BM B+A BM B+...+ABM B+ k k- k-,k-,k- k-,k- BFA B+BFA BM B+BFA BM B+...+BFBM B k- k- k-3,k-,k- k-,k- M =M i=,,...,k- i,k- i,k M =FA +FA BM +FA BM +...+FBM k- k- k-3 k,k,k-,k- k-,k- Λήµµα : Το ζεύγος (Α,Β) είναι ελέγξιµο εάν και µόνο εάν το ζεύγος (Α+BF,B) είναι ελέγξιµο Απόδειξη Η µήτρα ελεγξιµότητος του ζεύγους (Α+ΒF,B) γράφεται µε χρήση και του λήµµατος n- B (A+BF)B (A+BF) B (A+BF) B = I M, M,B Mn-,n-B I M M B I, n-,n- n- = B AB A B A B I Mn-3,n-B Καθώς η δεξιά µήτρα στο δεύτερο µέλος είναι οµαλή, θα είναι n- n- rank B (A+BF)B (A+BF) B (A+BF) B =rank B AB A B A B και το λήµµα απεδείχθη. Για την απόδειξη του (Β) ας θεωρηθεί ότι στο σύστηµα κλειστού βρόχου εφαρµόζεται η µήτρα F= -C -C Η µήτρα Α+BF θα είναι A BC B -C A A+BF= BC A + B = -C A Για τη µήτρα ελεγξιµότητος θα ισχύει 37

38 n- B A B A B B A B A B n- rank Β (Α+BF)B (Α+BF) B =rank n- B AB A B =rank B n- A B A B Για να είναι το σύστηµα κλειστού βρόχου ελέγξιµο πρέπει και αρκεί η τελευταία µήτρα να έχει ανεξάρτητες γραµµές και αυτό είναι δυνατόν εάν και µόνον εάν τα συστήµατα Σ και Σ είναι ελέγξιµα. Η απόδειξη της παρατηρησιµότητας είναι άµεση καθώς η παρατηρησιµότητα του ζεύγους (Α,C) είναι ισοδύναµη µε την ελεγξιµότητα του ζεύγους (Α Τ,C T ). Γ) Η αναγκαιότητα της υπόθεσης είναι προφανής, καθώς κατάργηση της u είναι ισοδύναµη µε τη διατήρησή της και µηδενισµό της για κάθε χρονική στιγµή. Για την ικανότητα, είναι δυνατόν να θεωρηθεί το σύστηµα µε A =A =B =B =C =, C =. Τότε x= x+ u y= x Αν και τα ζεύγη (Α,Β ) και (Α,Β ) είναι ελέγξιµα, το ζεύγος (Α,Β) δεν είναι ελέγξιµο. ΠΡΟΒΛΗΜΑ Α) Να δειχθεί ότι ο γεωµετρικός τόπος συστήµατος συνεχούς η διακριτού χρόνου µε συνάρτηση µεταφοράς ανοικτού βρόχου η οποία έχει ένα µηδενικό και δύο πόλους είναι τµήµα του πραγµατικού άξονα και κύκλος ή τόξο κύκλου. Β) Να ευρεθεί το κέντρο και η ακτίνα του κύκλου. Λύση Έστω s+a G(s)= () s+bs+c η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος. Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του συστήµατος κλειστού βρόχου θα είναι ψ c(s)=s +bs+c+k(s+a)=s +(b+k)s+c+ka () Έστω x+jy ένα σηµείο του τόπου. Από τη συνθήκη προκύπτουν οι σχέσεις ψ c(x+jy)=x -y +jxy+bx+jby+c+kx+jky+ka= (3) x -y +bx+c+kx+ka= (4.α) 38

39 xy+by+ky= Από τη σχέση (4.β) προκύπτουν δύο περιπτώσεις (4.β) η Περίπτωση y= (5) Από τη σχέση (4.α) προκύπτει x +bx+c K=- x -a (6) x+a δηλαδή για κάθε πραγµατικό x υπάρχει Κ θετικό ή αρνητικό για το οποίο ισχύει η (6). Για να είναι το Κ θετικό θα πρέπει Εάν ο αριθµητής είναι θετικός (το x εκτός των πραγµατικών ριζών του τριωνύµου του παρονοµαστή, ή το τριώνυµο έχει µιγαδικές ρίζες) ο παρονοµαστής πρέπει να είναι αρνητικός, δηλαδή το x πρέπει να είναι αριστερά του µηδενικού. Εάν ο αριθµητής είναι αρνητικός (το x µεταξύ των πραγµατικών ριζών του τριωνύµου του παρονοµαστή) ο παρονοµαστής πρέπει να είναι θετικός, δηλαδή το x πρέπει να είναι δεξιά του µηδενικού. η Περίπτωση x+b+k= ή Αντικαθιστώντας την τιµή του Κ στην σχέση (4.α), λαµβάνεται ή ισοδύναµα Κ=-x-b (7) x -y +bx+c+(-x-b)(x+a)=-x -y -ax+c-ab= (8) (x+a) +y =c-ab+a (9) Εάν c-ab+a είναι θετικό, η σχέση (9) είναι η εξίσωση κύκλου µε κέντρο το σηµείο δηλαδή το µηδενικό και ακτίνα (-a,), διαφορετικά η περίπτωση αυτή δεν δίδει λύση. Αξίζει να παρατηρηθεί ότι R= c-ab+a () c-ab+a = s +bs+c () και συνεπώς ο κύκλος θα είναι τµήµα του γεωµετρικού τόπου εάν το τριώνυµο του παρονοµαστή έχει µιγαδικές ρίζες ή εάν έχει πραγµατικές ρίζες και το µηδενικό βρίσκεται εκτός των ριζών. s=-a ΠΡΟΒΛΗΜΑ ιακριτό σύστηµα περιγράφεται από τις εξισώσεις καταστάσεως 39

40 x(k+)=αx(k)+βu(k) y(k)=cx(k) Α) Να ευρεθεί η συνθήκη ώστε να είναι δυνατή η µετάβαση από το σηµείο x() σε οποιοδήποτε σηµείο του χώρου κατάστασης µε κατάλληλη επιλογή της εισόδου. Β) Να δειχθεί ότι εάν n είναι η διάσταση του χώρου καταστάσεων για την µετάβαση αυτή, εάν είναι δυνατή, δεν απαιτούνται περισσότερα από n βήµατα. Γ) Να ευρεθεί ο ελάχιστος αριθµός βηµάτων για να επιτυγχάνεται πάντα αυτή η µετάβαση. ) Να προσδιοριστεί η u(κ) η οποία µεταφέρει το διάνυσµα καταστάσεως από τη θέση [ ] Τ στη θέση [ ] Τ 3 Α= Β= Λύση Α) Εφαρµόζοντας τις εξισώσεις καταστάσεως διαδοχικά, προκύπτει u(k-) u(k-) k- k k-i- k k- x(k)=α x()+ A Bu(i) = Α x()+ B AB A B A B u(k-3) i= u() Για να µπορεί να είναι το x(k) οποιοδήποτε διάνυσµα του χώρου κατάστασης, η εξίσωση πρέπει να έχει πάντοτε λύση, δηλαδή u(k-) u(k-) u() k k- x(k)-α x()= B AB A B A B u(k-3) k- { } rank B AB A B A B =n όπου n είναι η διάσταση του χώρου καταστάσεων. Αυτό σηµαίνει ότι σε k βήµατα έχει επιτευχθεί το διάνυσµα x(k). Β) Λαµβάνοντας υπόψη το θεώρηµα των Caley-Hamilton, επειδή οι µήτρες Α n+j, j=,, µπορούν να εκφραστούν σαν γραµµικοί συνδυασµοί των µητρών Ι,Α,..., Α n-, δεν απαιτείται να θεωρηθεί k µεγαλύτερο του n και η συνθήκη για την επίτευξη οιουδήποτε σηµείου του χώρου κατάστασης είναι 4

41 n- { } rank B AB A B A B =n Γ) Έστω λ ο ελάχιστος ακέραιος ο οποίος ικανοποιεί τη συνθήκη λ- { } rank B AB A B A B =n Ο αριθµός αυτός µπορεί να ευρεθεί προσδιορίζοντας διαδοχικά τους βαθµούς των µητρών [B], [B AB], [B AB A B] κλπ µέχρις ότου ευρεθεί µήτρα πλήρους βαθµού. Είναι προφανές ότι σε λ βήµατα είναι δυνατόν να επιτευχθεί οιοδήποτε σηµείο του χώρου κατάστασης. ) Είναι Rank{[B]}= 3 7 rank{ [ B AB ]} =rank =4 4 Συνεπώς λ= και το σηµείο [ ] Τ µπορεί να επιτευχθεί σε δύο βήµατα. Θα είναι από την οποία προκύπτει k x(k)-α x()= u() 3 7 u() = u() 4 u() u() - u() = = = u() - u() 4 ΠΡΟΒΛΗΜΑ ίδεται σύστηµα συνεχούς χρόνου µε συνάρτηση µεταφοράς G(s)= (s+)(s+) 4

42 Α) Να προσδιοριστεί η συνάρτηση µεταφοράς G d (z) του συστήµατος διακριτού χρόνου που προκύπτει από δειγµατοληψία του συστήµατος µε περίοδο Τ= και διατηρητή µηδενικής τάξεως. Β) Να σχεδιαστεί το διάγραµµα Bode του διακριτού συστήµατος. Γ) Εφαρµόζοντας το µετασχηµατισµό z- w= Tz+ να σχεδιαστούν τα διαγράµµατα Bode της G(s) και της Ĝ(w)= G (z) d z=f(w) ) Στο διακριτό σύστηµα εφαρµόζεται ελεγκτής, όπως στο Σχήµα.. r A/D K D/A u G(s) y + Να προσδιοριστούν οι τιµές του Κ ώστε το σύστηµα κλειστού βρόχου να είναι ευσταθές µε χρήση του κριτηρίου του Jury.. Ε) Να σχεδιαστεί ο γεωµετρικός τόπος των ριζών του διακριτοποιηµένου συστήµατος. Λύση A) Θα είναι G(z)=(-z) d Z L (-z) s(s+)(s+) = Z L + + s (s+) (s+) = - -t -t - z -z z = (-z ) Z {(-e +e )u(t)} = (-z ) + + -T -T z- z-e z-e Για Τ= η συνάρτηση µεταφοράς του διακριτοποιηµένου συστήµατος γίνεται - z -z z - G(z)=(-z) z -z z d + + (-z) -T -T = + + = z- z-e z-e z- z-.368 z-.35.4z+.48 = (z-.368)(z-.35) Β) Για z=e jωτ το διάγραµµα Bode φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα το οποίο πραγµατοποιήθηκε µε το πρόγραµµα σε περιβάλλον MATLAB for K=: 4

43 t(k)=.*(.3)^k; z(k)=exp(t(k)*i); g(k)=(.4*z(k)+.48)/(z(k)-.368)/(z(k)-.35); gr(k)=real(g(k)); gi(k)=imag(g(k)); bodem(k)=*log(sqrt(gr(k)^+gi(k)^)); end semilogx(t,bodem,'g') axis equal Γ) Το z συναρτήσει του w θα είναι T + w +w z= = T - w -w Αντικαθιστώντας στην G d (z) λαµβάνεται.4z+.48 (-w)(.5w+.96) Ĝ(w)=G (z) = = (z-.368)(z-.35) (.368w+.64)(.35w+.73) d +w +w z= z= -w -w Στο ακόλουθο σχήµα φαίνονται τα διαγράµµατα Bode της G(s) και της από το ακόλουθο πρόγραµµα σε περιβάλλον MATLAB. for K=: t(k)=.*(.3)^k; omega(k)=i*t(k); z(k)=exp(t(k)*i); g(k)=/(omega(k)+)/(omega(k)+); gr(k)=real(g(k)); gi(k)=imag(g(k)); bodem(k)=*log(sqrt(gr(k)^+gi(k)^)); Ĝ(w) που προκύψανε 43

44 gh(k)=(- omega(k))*(.5*omega(k)+.96)/(.368*omega(k)+.64)/(.35*omega(k) +.73); ghr(k)=real(gh(k)); ghi(k)=imag(gh(k)); bodemh(k)=*log(sqrt(ghr(k)^+ghi(k)^)); end semilogx(t,bodem,'g',t,bodemh,'b') axis equal ) Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του συστήµατος κλειστού βρόχου είναι ψ c(z)=(z-.368)(z-.35)+k(.4z+.48)=z +(.4K-.5)z+.48K+.5 Το κριτήριο του Jury έχει τετριµµένη µορφή ως εξής Γραµµή z z z.48k+.5.4k-.5.4k-.5.48k+.5 Για να είναι το σύστηµα κλιστού βρόχου ευσταθές πρέπει να ισχύουν οι ανισότητες. f()=+(.4k-.5)+.48k+.5=.548k+.55> (-) f(-)=+(-.4k+.5)+.48k+.5=-.5k+.55>.48k+.5 < Από την πρώτη ανισότητα προκύπτει Κ>-.4 Από τη δεύτερη ανισότητα προκύπτει Κ<6.5 Από την Τρίτη ανισότητα προκύπτει <.48Κ+.5< ή ισοδύναµα Κ>-7.9 και Κ<6.49. Οι ανισότητες συναληθεύουν για -.4<Κ<6.5 44

45 Ε) Ο γεωµετρικός τόπος των πόλων του αντισταθµισµένου συστήµατος κατασκευάζεται όπως και στην περίπτωση συστήµατος συνεχούς χρόνου. Θα είναι κύκλος µε κέντρο το σηµείο z=-.48/.4=-.37 και τµήµατα του πραγµατικού άξονα. Ο γεωµετρικός τόπος φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα s A xi g a Im Real Axis ΠΡΟΒΛΗΜΑ Οι εξισώσεις που περιγράφουν το σύστηµα δύο δοχείων είναι οι εξής: x -.97 x.63 x = =Ax+Bu(t)= + u x x y=x = x [ ] x Α) Να γραφούν οι εξισώσεις του διακριτού συστήµατος που προκύπτει από τη δειγµατοληψία του µε περίοδο Τ= και χρήση διατηρητή µηδενικής τάξεως. Β) Να προσδιοριστεί η συνάρτηση µεταφοράς του διακριτού συστήµατος. Γ) Να εξεταστεί η ελεγξιµότητα και η παρατηρησιµότητα του διακριτού συστήµατος συναρτήσει του Τ. ) Να ευρεθεί η χρονική απόκριση του συστήµατος συνεχούς χρόνου και του συστήµατος διακριτού χρόνου σε βηµατική διέγερση και να συγκριθούν ως προς το σφάλµα µόνιµης κατάστασης. Λύση Α) Οι εξισώσεις του διακριτοποιηµένου συστήµατος θα είναι AT AT - x d(k+)=adx d+bdu(k)=e x d+(e -I)A Bu(k) 45

46 όπου Τ είναι η περίοδος της δειγµατοληψίας. Για την εύρεση της e At χρησιµοποιείται το θεώρηµα των Caley-Hamilton. Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο της µήτρας Α είναι Από την s+.97 ψ(s)=det(si-a)=det =(s+.97)(s+.9) -.78 s+.9 st e =a +as για s=-.97 και s=-.9 λαµβάνεται το σύστηµα των εξισώσεων από το οποίο προκύπτει και.97 a -.9t = e.9 a -.97t e = t -.97t.97e.9e a t -.97t a e e -.97t At e e =ai+aa=.6(e -.9t e -.97t ) e -.9t Συνεπώς -.97x AT e.79 A=e d = -.9x -.97x -.9x =.6(e e ) e.8.86 B=e d ( ) IAB= = = AT - Β) Η συνάρτηση µεταφοράς του διακριτοποιηµένου συστήµατος θα είναι - z G(z)=C[zI-A]B= d d d [ ] = -.8 z z z+.6 = [ ] =.8.97 z-.79 z-.86 ( z-.79)( z-.86) z ( )( ) 46

47 Γ) Για την ελεγξιµότητα του διακριτοποιηµένου συστήµατος εξετάζεται ο βαθµός της µήτρας [ ] ( ) ( ) AT - AT AT - P c= Bd AdB d = e -I A B e e -I A B Καθώς οι µήτρες e At και (e At -I)A - αντιµετατίθενται, η µήτρα ελεγξιµότητας γράφεται. ( ) AT - AT P= c e -I A B e B Οι ιδιοτιµές της µήτρας e At είναι e -.97t και e -.9t. Καθώς για κάθε t>, e -.97t < και e -.9t <, οι ιδιοτιµές της e At -Ι, οι οποίες είναι e -.97t - και e -.9t - δεν µηδενίζονται και συνεπώς η µήτρα e At -Ι είναι οµαλή και θα έχει βαθµό ίσο µε δύο. Εποµένως το σύστηµα θα είναι ελέγξιµο εάν και µόνο εάν Για να χάνει βαθµό η τελευταία µήτρα πρέπει = AT rank B e B At e B=λΒ δηλαδή το Β πρέπει να είναι ιδιοδιάνυσµα της µήτρας e At. Καθώς τα ιδιοδιανύσµατα της e At ταυτίζονται µε τα ιδιοδιανύσµατα της µήτρας Α, το διακριτοποιηµένο σύστηµα θα είναι ελέγξιµο εάν και µόνο εάν rank[ B ΑB] =. Η τελευταία είναι η συνθήκη ελεγξιµότητας του συστήµατος συνεχούς χρόνου και το διακριτοποιηµένο σύστηµα θα είναι ελέγξιµο για κάθε Τ. Αξίζει να τονιστεί ότι στη γενική περίπτωση ελεγξιµότητα του συστήµατος συνεχούς χρόνου δεν συνεπάγεται την ελεγξιµότητα του διακριτοποιηµένου συστήµατος. ) Η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος συνεχούς χρόνου θα είναι - - s G(s)=C[sI-A] B= = [ ] -.78 s+.9-4 s x = [ ] =.78 s+.97 s+.9 ( s+.97)( s+.9) s+.9 ( )( ) Για την τελική τιµή της εξόδου σε βηµατική διέγερση, εφαρµόζοντας το θεώρηµα της τελικής τιµής του µετασχηµατισµού Laplace, λαµβάνεται x y ss (βηµ)= lim{ y(t) } u(t)=u(t) = lim{ sy(s) } = lim sg(s) =G()= =.845 t s s s.97.9 ( )( ) Για την τελική τιµή της εξόδου του διακριτοποιηµένου συστήµατος σε βηµατική διέγερση,εφαρµόζοντας το θεώρηµα της τελικής τιµής του µετασχηµατισµού Ζ, λαµβάνεται 47

48 z lim{ y (kt)} = lim {(-z )Y (z)} = lim (-z )G (z) = z-.56 = G ()= = d u(kt)=u(kt) d d k z z d (.)(.4) Στο ακόλουθο σχήµα φαίνονται οι βηµατικές αποκρίσεις του συστήµατος συνεχούς χρόνου και του διακριτοποιηµένου συστήµατος. Οι τελικές τιµές προκύπτουν ίσες. Η διαφορά που εµφανίστηκε οφείλεται στις στρογγυλεύσεις κατά τη διακριτοποίηση του συστήµατος. Step Response From: U() e d itu m pl A ) ( Y T o: Time (sec.) 48

ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Σεπτέμβριος 2008)

ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Σεπτέμβριος 2008) ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Σεπτέμβριος 008) Για τον Γεωμετρικό Τόπο των Ριζών της συνάρτησης μεταφοράς as + s + 9 G(s) s(s 5)(s + b) με Κ>0 δίδεται ότι η τομή των ασυμπτώτων είναι το σημείο σ -(0+Ν 0 ) όπου Ν 0 το τελευταίο

Διαβάστε περισσότερα

Στα θέματα πολλαπλής επιλογής η λανθασμένη απάντηση βαθμολογείται αρνητικά όσο και η ορθή. Επιτρέπεται η χρήση του βιβλίου των Dorf & Bishop

Στα θέματα πολλαπλής επιλογής η λανθασμένη απάντηση βαθμολογείται αρνητικά όσο και η ορθή. Επιτρέπεται η χρήση του βιβλίου των Dorf & Bishop Ε.Μ.Π. ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ: Σ. Ε. Ρ. ΜΑΘΗΜΑ: Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο ΕΞΑΜΗΝΟ: 5 ο ΚΑΘΗΓΗΤEΣ: Τ. Γ. Κουσιουρής Γ. Παπαβασιλόπουλος Αριθμός Μητρώου Ονοματεπώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

10 2a 1 0 x. 1) Να εξεταστεί η ελεγξιμότητα και η παρατηρησιμότητα του συστήματος για τις διάφορες

10 2a 1 0 x. 1) Να εξεταστεί η ελεγξιμότητα και η παρατηρησιμότητα του συστήματος για τις διάφορες Ε.Μ.Π. ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ: Σ. Ε. Ρ. ΜΑΘΗΜΑ: Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο Κ-Ω ΕΞΑΜΗΝΟ: 5 ο Ονοματεπώνυμο ΚΑΘΗΓΗΤEΣ: Τ. Γ. Κουσιουρής Γ. Παπαβασιλόπουλος ΠΕΡΙΟΔΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗΣ. ΘΕΜΑ Βαθμολογία Βαθμός Σπουδαστή ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ

ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗΣ. ΘΕΜΑ Βαθμολογία Βαθμός Σπουδαστή ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Ε.Μ.Π. ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ: Σ. Ε. Ρ. ΜΑΘΗΜΑ: Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο ΕΞΑΜΗΝΟ: 5 ο ΚΑΘΗΓΗΤEΣ: Τ. Γ. Κουσιουρής Γ.Π. Παπαβασιλόπουλος Γ. Ρηγάτος ΠΕΡΙΟΔΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟ ΕΛΕΓΧΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Τρύφων Κουσιουρής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟ ΕΛΕΓΧΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Τρύφων Κουσιουρής ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟ ΕΛΕΓΧΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τρύφων Κουσιουρής Ακ. Έτος 005-006 ΠΡΟΒΛΗΜΑ ίδονται τα συστήµατα Σ, Σ µε συναρτήσεις µεταφοράς s+ -s+ G (s)= G (s)= s +s+ s +s+ α) Να προσδιοριστεί η βηµατική απόκριση

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα:

Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: 1 Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: Όπου Κ R α) Να βρεθεί η περιγραφή στο χώρο κατάστασης και η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΑΡΟΝ ΕΠΙΣΤΡΕΦΕΤΑΙ. ΘΕΜΑ Βαθμολογία Βαθμός Σπουδαστή ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ

ΤΟ ΠΑΡΟΝ ΕΠΙΣΤΡΕΦΕΤΑΙ. ΘΕΜΑ Βαθμολογία Βαθμός Σπουδαστή ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Ε.Μ.Π. ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ: Σ. Ε. Ρ. ΜΑΘΗΜΑ: Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο ΕΞΑΜΗΝΟ: 5 ο ΠΕΡΙΟΔΟΣ: Σεπτεμβρίου ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 7/0/009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 3 ώρες Αριθμός Μητρώου

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου (Ιούνιος 2015)

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου (Ιούνιος 2015) Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου 204 5 (Ιούνιος 205) ΘΕΜΑ Ο (4,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα ενός συστήματος. α. Να προσδιοριστούν οι τιμές

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια 6 Nicol Tptouli Ευστάθεια και θέση πόλων Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Ακαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης

Ακαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΚΕΣ 1: ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 5 6, Εαρινό Εξάµηνο Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Το τρέχον έγγραφο αποτελεί υπόδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης Ψηφιακός Έλεγχος Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Έστω γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα διακριτού χρόνου: ( + ) = + x k Ax k Bu k Εφαρμόζουμε γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

(είσοδος) (έξοδος) καθώς το τείνει στο.

(είσοδος) (έξοδος) καθώς το τείνει στο. Υπενθυμίζουμε ότι αν ένα σύστημα είναι ευσταθές, τότε η απόκριση είναι άθροισμα μίας μεταβατικής και μίας μόνιμης. Δηλαδή, αν το σύστημα είναι ευσταθές όπου και Είθισται, σε ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια συστημάτων

Ευστάθεια συστημάτων 1. Ευστάθεια συστημάτων Ευστάθεια συστημάτων Κατά την ανάλυση και σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου, η ευστάθεια αποτελεί έναν πολύ σημαντικό παράγοντα και, γενικά, είναι επιθυμητό να έχουμε ευσταθή

Διαβάστε περισσότερα

Ακαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης

Ακαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΚΕΣ : ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 5 6, Εαρινό Εξάµηνο Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Το τρέχον έγγραφο αποτελεί υπόδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Laplace

Μετασχηματισμοί Laplace Μετασχηματισμοί Laplace Ιδιότητες μετασχηματισμών Laplace Βασικά ζεύγη μετασχηματισμών Laplace f(t) F(s) δ(t) 1 u(t) 1 / s t 1 / s 2 t n n! / s n1 e αt, α>0 1 / (s α) te αt, α>0 1 / (s α) 2 ημωt ω / (s

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 10 η διάλεξη Ασκήσεις. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 10 η διάλεξη Ασκήσεις. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 10 η διάλεξη Ασκήσεις Ψηφιακός Έλεγχος 1 Άσκηση1 Ασκήσεις Επιθυμούμε να ελέγξουμε την γωνία ανύψωσης μιας κεραίας για να παρακολουθείται η θέση ενός δορυφόρου. Το σύστημα της κεραίας και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016

ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016 ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 016 Θέμα 1. α) (Μον.1.5) Αποδείξτε ότι αν το σύστημα στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 11: ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΝΟΤΗΤΑ 11: ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΗΜΕΘΟΔΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 9 η : Σχεδίαση ελεγκτών με το γεωμετρικό τόπο ριζών. Παναγιώτης Σεφερλής

Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 9 η : Σχεδίαση ελεγκτών με το γεωμετρικό τόπο ριζών. Παναγιώτης Σεφερλής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9 η : Σχεδίαση ελεγκτών με το γεωμετρικό τόπο ριζών Παναγιώτης Σεφερλής Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα

Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα 1. Ευστάθεια συστημάτων Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα Κατά την ανάλυση και σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου, η ευστάθεια αποτελεί έναν πολύ σημαντικό παράγοντα και, γενικά, είναι επιθυμητό

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ενότητα #4: Ευστάθεια Συστημάτων Κλειστού Βρόχου με τη Μέθοδο του Τόπου Ριζών Δημήτριος Δημογιαννόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟ ΕΛΕΓΧΟ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. Τρύφων Κουσιουρής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟ ΕΛΕΓΧΟ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. Τρύφων Κουσιουρής ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟ ΕΛΕΓΧΟ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Τρύφων Κουσιουρής Ακ. Έτος 5-6 ΜΑΡΤΙΟΣ 5 ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Μάρτιος 5) Οι εξισώσεις που περιγράφουν τη θέρµανση ενός δωµατίου είναι οι εξής: x 4. 7. x 7. u w x = +

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 14: Κριτήριο Nyquist Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 2015

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 2015 Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 20 ΘΕΜΑ Ο (4,0 μονάδες). Να προσδιοριστεί η συνάρτηση μεταφοράς / του συστήματος που περιγράφεται από το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα. (2,0

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιουνίου v 3 (t) - i 2 (t)

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιουνίου v 3 (t) - i 2 (t) Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιουνίου 2015 ΘΕΜΑ 1 Ο (6,0 μονάδες) Δίνεται το κύκλωμα του σχήματος, όπου v 1 (t) είναι η είσοδος και v 3 (t) η έξοδος. Να θεωρήσετε μηδενικές αρχικές συνθήκες. v 1

Διαβάστε περισσότερα

. Οι ιδιοτιμές του 3 3 canonical-πίνακα είναι οι ρίζες της. , β) η δεύτερη είσοδος επηρεάζει μόνο το μεσαίο 3 3 πίνακα και

. Οι ιδιοτιμές του 3 3 canonical-πίνακα είναι οι ρίζες της. , β) η δεύτερη είσοδος επηρεάζει μόνο το μεσαίο 3 3 πίνακα και ο ΘΕΜΑ [6. βαθμοί] 5 u x x + u Ax + Bu Έστω συνεχές σύστημα 4 5 3 u3 y [ ] x. [ β] Ποιες είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα Α; 5 Με το ακόλουθο partinioning του πίνακα A οι ιδιοτιμές του είναι 4 5 eig(a) eig(

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ Ύλη µαθήµατος. Lead-Lag ελεγκτές 2. PID ελεγκτές (95%) (εκτός διαγράµµατα Nyquist-Nichols) ιακριτός & Ψηφιακός Αυτόµατος Έλεγχος ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Εργαστήριο Matlab LABview : συλλογή και αποστολή

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ Σημαντική πληροφορία για τη συμπεριφορά και την ευστάθεια ενός γραμμικού συστήματος, παίρνεται, μελετώντας την απόκρισή του

Διαβάστε περισσότερα

x R, να δείξετε ότι: i)

x R, να δείξετε ότι: i) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας. Τόπος Ριζών Διάγραµµα Bode Διάγραµµα Nyquist Ψηφιακός PID

Κεφάλαιο 6. Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας. Τόπος Ριζών Διάγραµµα Bode Διάγραµµα Nyquist Ψηφιακός PID Κεφάλαιο 6 Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας u Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας Τόπος Ριζών Διάγραµµα Bode Διάγραµµα Nyquist Ψηφιακός PID Τόπος Ριζών Για τον τόπο των ριζών δεν χρειάζεται καµία ιδιαίτερη

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Γεωµετρικός Τόπος Ριζών

Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Γεωµετρικός Τόπος Ριζών ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Γεωµετρικός Τόπος Ριζών 6 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος []: Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ 7 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ Δρ. Γιωργος Μαϊστρος Παράγοντας ης τάξης (+jωτ) Αντιστοιχεί σε πραγματικό πόλο: j j j Έτσι το μέτρο: ιαγράμματα χρήση ασυμπτώτων τομή τους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ασκήσεις Πράξης

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ασκήσεις Πράξης Α.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ T.E. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΑΞΗΣ Καθηγητής: Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Καθ. Εφαρμογών: Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ Συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Β: Ευστάθεια Συστήματος (Β Μέρος) Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τ.Τ Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα #5: Σχεδιασμός ελεγκτών με τη μέθοδο του Τόπου Ριζών 2 Δ. Δημογιαννόπουλος, dimogian@teipir.gr Επ. Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Β: Ευστάθεια Συστήματος (Α Μέρος) Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευστάθειας και αστάθειας συστημάτων με το περιβάλλον Matlab

Μελέτη ευστάθειας και αστάθειας συστημάτων με το περιβάλλον Matlab ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Εργαστηριακές Ασκήσεις με χρήση του λογισμικού Matlab Μελέτη ευστάθειας και αστάθειας συστημάτων με το περιβάλλον Matlab ΣΚΟΠΟΣ: Ο βασικός σκοπός της άσκησης αυτής είναι η μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρείστε το σύστηµα του ανεστραµµένου εκκρεµούς-οχήµατος του Σχ. 1 το οποίο περιγράφεται από το δυναµικό µοντέλο

Θεωρείστε το σύστηµα του ανεστραµµένου εκκρεµούς-οχήµατος του Σχ. 1 το οποίο περιγράφεται από το δυναµικό µοντέλο ΨΣΕ 3 η Εργαστηριακή Άσκηση Γραµµικοποιήση µε ανατροφοδότηση εξόδου και έλεγχος Κινούµενου Ανεστραµµένου Εκκρεµούς Θεωρείστε το σύστηµα του ανεστραµµένου εκκρεµούς-οχήµατος του Σχ. το οποίο περιγράφεται

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ Ε. Μ. Πολυτεχνείο Εργαστήριο Ηλεκτρονικής ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ Γ. ΠΑΠΑΝΑΝΟΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ : Συναρτήσεις Δικτύων Βασικοί ορισμοί Ας θεωρήσουμε ένα γραμμικό, χρονικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE

ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE Δρ Γιώργος Μαϊστρος, Χημικός Μηχανικός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Φυσικής Εργαστήριο Ηλεκτρονικής ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Κ. Ψυχαλίνος Πάτρα 005 . METAΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE. Ορισμοί Μετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο συχνότητας.

Διαβάστε περισσότερα

Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να:

Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: ορίσουµε το Μετασχηµατισµό Laplace (ML) και το Μονόπλευρο Μετασχηµατισµό Laplace (MML) και να περιγράψουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου 4 ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (9//4) Θέματα 4 ης Ομάδας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP_4_866 [παράγραφος

Διαβάστε περισσότερα

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ & ΜΗΧ/ΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ & ΜΗΧ/ΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ & ΜΗΧ/ΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Mάθηµα: "ΘΕΩΡΙΑ ΙΚΤΥΩΝ" ( ο εξάµηνο) Ακαδ. Έτος: - ο Τµήµα (Κ-Μ), ιδάσκων: Κ. Τζαφέστας Λύσεις ης Σειράς Ασκήσεων Άσκηση - (I-

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Υποθέστε ότι ο ρυθμός ροής από ένα ακροφύσιο είναι γραμμική συνάρτηση της διαφοράς στάθμης στα δύο άκρα του ακροφυσίου.

Υποθέστε ότι ο ρυθμός ροής από ένα ακροφύσιο είναι γραμμική συνάρτηση της διαφοράς στάθμης στα δύο άκρα του ακροφυσίου. ΕΡΩΤΗΜΑ Δίνεται το σύστημα δεξαμενών του διπλανού σχήματος, όπου: q,q : h,h : Α : R : οι παροχές υγρού στις δύο δεξαμενές, τα ύψη του υγρού στις δύο δεξαμενές, η διατομή των δεξαμενών και η αντίσταση ροής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης

Δυναμική Μηχανών I. Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης Δυναμική Μηχανών I 5 5 Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα

Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα u u u u Ευστάθεια Ευστάθεια κατά Lyapunov Ασυµπτωτική Ευστάθεια Κριτήρια Ευστάθειας Ελεγξιµότητα Παρατηρησιµότητα Επίδραση της Δειγµατοληψίας στην Ελεγξιµότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

Βαθμολογία Προβλημάτων ΘΕΜΑ 1 ΘΕΜΑ 2.1 ΘΕΜΑ 2.2 ΘΕΜΑ 2.3 ΘΕΜΑ 3.1 ΘΕΜΑ 3.2 ΘΕΜΑ 4 ΘΕΜΑ 5.1 ΘΕΜΑ 5.2

Βαθμολογία Προβλημάτων ΘΕΜΑ 1 ΘΕΜΑ 2.1 ΘΕΜΑ 2.2 ΘΕΜΑ 2.3 ΘΕΜΑ 3.1 ΘΕΜΑ 3.2 ΘΕΜΑ 4 ΘΕΜΑ 5.1 ΘΕΜΑ 5.2 1 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 14 ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ Η ΑΝΑΤΥΠΩΣΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΙΝ ΤΗΝ Ιουνίου 008 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ - Τελική εξέταση Ιουνίου 008 Να επιστραφεί η εκφώνηση των θεμάτων (υπογεγραμμένη από

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 11 η : Σχεδίαση ελεγκτών στο πεδίο του χώρου μεταβλητών κατάστασης. Παναγιώτης Σεφερλής

Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 11 η : Σχεδίαση ελεγκτών στο πεδίο του χώρου μεταβλητών κατάστασης. Παναγιώτης Σεφερλής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα η : Σχεδίαση ελεγκτών στο πεδίο του χώρου μεταβλητών κατάστασης Παναγιώτης Σεφερλής Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αρµονική Απόκριση & ιαγράµµατα Bode

Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αρµονική Απόκριση & ιαγράµµατα Bode ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Συστηµάτν Αυτοµάτου Ελέγχου: Αρµονική Απόκριση & ιαγράµµατα Bode 6 Ncolas Tsaatsouls Εισαγγή ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε.

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. 3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. Στην εισαγωγή δείξαμε ότι η διαφορική εξίσωση του γραμμικού, χρονικά αναλλοίωτου συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου με διαφορική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Βασικές Έννοιες Σήματα Κατηγορίες Σημάτων Συνεχούς/ Διακριτού Χρόνου, Αναλογικά/ Ψηφιακά Μετασχηματισμοί Σημάτων Χρόνου: Αντιστροφή, Κλιμάκωση, Μετατόπιση Πλάτους Βασικά

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Απόκριση Συχνότητας Αναλογικών Σ.Α.Ε Διαγράμματα BODE Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΩΝ ΠΟΛΩΝ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞΟΔΟΥ Y(s) ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΝΩΡΙΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΧΡΟΝΙΚΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ ΣΕ ΕΙΣΟΔΟ ΜΟΝΑΔΙΑΙΑΣ ΒΑΘΜΙΔΑΣ

ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΩΝ ΠΟΛΩΝ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞΟΔΟΥ Y(s) ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΝΩΡΙΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΧΡΟΝΙΚΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ ΣΕ ΕΙΣΟΔΟ ΜΟΝΑΔΙΑΙΑΣ ΒΑΘΜΙΔΑΣ ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΩΝ ΠΟΛΩΝ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞΟΔΟΥ Y(s) 1 Πόλος στην αρχή των αξόνων: 2 Πόλος στον αρνητικό πραγματικό ημιάξονα: 3 Πόλος στον θετικό πραγματικό ημιάξονα: 4 Συζυγείς πόλοι πάνω

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3)

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3) Παράδειγµα 1: Έστω ένα σύστηµα που περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση () +2 () 29 () +42()=() (1) µε µηδενικές αρχικές συνθήκες. (δηλαδή ()(0) = () (0)=()(0)=0) (2) Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Β: Ευστάθεια Συστήματος (Γ Μέρος) Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Λαμβάνοντας επιπλέον και την βαρύτητα, η επιτάχυνση του σώματος έχει συνιστώσες

Λαμβάνοντας επιπλέον και την βαρύτητα, η επιτάχυνση του σώματος έχει συνιστώσες Μικρό σώμα μάζας m κινείται μέσα σε βαρυτικό πεδίο με σταθερά g και επιπλέον κάτω από την επίδραση μιας δύναμης με συνιστώσες F x = 2κm και F y = 12λmt 2 όπου κ και λ είναι θετικές σταθερές σε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου (Ιούνιος 2014)

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου (Ιούνιος 2014) Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικς περιόδου χειμερινού εξαμνου 201314 (Ιούνιος 2014) ΘΕΜΑ 1 Ο (2,0 μονάδες) Να σχεδιαστεί το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα του για τον ηλεκτρικό θερμοσίφωνα του σχματος. Είσοδος

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 11. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 11. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 11 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Γραμμικοποίηση Ευστάθεια Απόκριση Συστημάτων 1 Β.Ε. που περιγράφονται από ΣΔΕ 1 ης τάξης 2 Πρόβλημα/Ερώτημα

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Ευστάθεια Συστημάτων Ελέγχου Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

α) () z i z iz i Αν z i τότε i( yi) i + + y y y ( y) i i y + 4y + 4, y y 4. Άρα z i. 4 β) ( z) z i z z i z ( i) z, οπότε ( z ) i z z Άρα z z γ) Αν z τ

α) () z i z iz i Αν z i τότε i( yi) i + + y y y ( y) i i y + 4y + 4, y y 4. Άρα z i. 4 β) ( z) z i z z i z ( i) z, οπότε ( z ) i z z Άρα z z γ) Αν z τ Λυμένα θέματα στους Μιγαδικούς αριθμούς. Δίνονται οι μιγαδικοί z, w και u z w. α) Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός z είναι φανταστικός αν και μόνο αν ισχύει z z. β) Αν για τους z και w ισχύει: z + w z w,

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

!q j. = T ji Kάθε πίνακας µπορεί να γραφεί σαν άθροισµα ενός συµµετρικού και ενός αντι-συµµετρικού πίνακα

!q j. = T ji Kάθε πίνακας µπορεί να γραφεί σαν άθροισµα ενός συµµετρικού και ενός αντι-συµµετρικού πίνακα Συστήματα με Ν βαθμούς ελευθερίας ΦΥΣ 211 - Διαλ.25 1 Ø Συστήµατα µε Ν βαθµούς ελευθερίας που βρίσκονται κοντά σε µια θέση ισσορροπίας τους συµπεριφέρονται σαν Ν ανεξάρτητοι αρµονικοί ταλαντωτές Γιατί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93 ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 5.. Εισαγωγή Η παρουσία εξωτερικών διεγέρσεων σε ένα σύστηµα πολλών Β.Ε. δηµιουργεί σ'

Διαβάστε περισσότερα