Ακριβής προσδιορισμός υψομετρικών διαφορών με χρήση ολοκληρωμένων γεωδαιτικών σταθμών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ακριβής προσδιορισμός υψομετρικών διαφορών με χρήση ολοκληρωμένων γεωδαιτικών σταθμών"

Transcript

1 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 1-37 Ακριβής προσδιορισμός υψομετρικών διαφορών με χρήση ολοκληρωμένων γεωδαιτικών σταθμών E. ΛΑΜΠΡΟΥ Δρ Αγρόνομος και Τοπογράφος Μηχ. Ε.Μ.Π. Λέκτορας Ε.Μ.Π. Περίληψη Στην παρούσα εργασία προτείνεται και αναλύεται μια μέθοδος Τριγωνομετρικής Υψομετρίας Ακριβείας (ΤΡΥΑ) για τον προσδιορισμό υψομετρικών διαφορών μεταξύ προσιτών ή απρόσιτων σημείων, αξιοποιώντας τη δυνατότητα των σύγχρονων γεωδαιτικών σταθμών να μετρούν μήκη και χωρίς τη χρήση ανακλαστήρα (eflectorless). Αρχικά, γίνεται μια περιγραφή της ΤΡΥΑ και παρουσιάζεται ο απαιτούμενος εξοπλισμός για την εφαρμογή της. Ακολουθεί η θεωρητική ανάλυσή της ως προς τις ακρίβειες που μπορούν να επιτευχθούν. Μελετάται η επίδραση του σφάλματος των μετρούμενων μεγεθών (μήκη, γωνίες), της μεταβολής του συντελεστή γεωδαιτικής διάθλασης και της καμπυλότητας της γης, στην τελικά προσδιοριζόμενη υψομετρική διαφορά. Καταγράφονται χρήσιμες επισημάνσεις για την ορθή εφαρμογή της. Τέλος, στα συμπεράσματα αναφέρονται τα πλεονεκτήματα της ΤΡΥΑ και η επιλογή του γεωδαιτικού σταθμού, ώστε να επιτυγχάνεται η επιθυμητή ακρίβεια με το ελάχιστο κόστος. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο προσδιορισμός ορθομετρικών υψομετρικών διαφορών μεταξύ σημείων της φυσικής γήινης επιφάνειας (ΦΓΕ) οδηγεί στον προσδιορισμό της τρίτης διάστασης (H). Παραδοσιακά, ο προσδιορισμός ορθομετρικών υψομετρικών διαφορών μεταξύ υψομετρικών αφετηριών (ιpιres) γίνεται με τη μέθοδο της γεωμετρικής χωροστάθμησης, η οποία τα τελευταία χρόνια με την εμφάνιση των ψηφιακών χωροβατών και των αντίστοιχων κωδικοποιημένων σταδιών έχει βελτιώσει σημαντικά την ταχύτητα, αλλά και την ακρίβεια. Ο αντίστοιχος προσδιορισμός μεταξύ τριγωνομετρικών ή πολυγωνομετρικών σημείων, γίνεται με τη μέθοδο της Τριγωνομετρικής Υψομετρίας για συνήθης τοπογραφικές εργασίες. Για εργασίες υψηλής ακρίβειας χρησιμοποιείται η μέθοδος της Ειδικής Τριγωνομετρικής Υψομετρίας (ΕΤΥ) (μεταξύ υψομετρικών αφετηριών (ιpιres)) []. Οι μέθοδοι αυτές εφαρμόζονται σε υψομετρικές συνδέσεις, όπου είναι αδύνατη ή ασύμφορη η εφαρμογή της γεωμετρικής χωροστάθμησης (έντονες κλίσεις, μεγάλες αποστάσεις, φυσικά εμπόδια). Η εξέλιξη των ολοκληρωμένων γεωδαιτικών σταθμών, Υποβλήθηκε: Έγινε δεκτή: ώστε να μετρούν μήκη και χωρίς τη χρήση ανακλαστήρα, δίνει πια τη δυνατότητα άμεσης μέτρησης του μήκους και σε απρόσιτα σημεία, όπου πριν ήταν αδύνατο λόγω της αδυναμίας τοποθέτησης ανακλαστήρα. Στην παρούσα εργασία παρουσιάζεται μια μέθοδος Τριγωνομετρικής Υψομετρίας Ακριβείας (ΤΡΥΑ) με χρήση ολοκληρωμένων γεωδαιτικών σταθμών, που μετρούν μήκη και χωρίς τη χρήση ανακλαστήρα (eflectorless). Η ΤΡΥΑ μπορεί να εφαρμοσθεί για τον προσδιορισμό ορθομετρικών υψομετρικών διαφορών με ακρίβεια αντίστοιχη της γεωμετρικής χωροστάθμησης. Εφαρμόζεται μεταξύ σημείων της ΦΓΕ ή τεχνικών έργων που απέχουν μεγάλη ή μικρή απόσταση και είναι προσιτά ή απρόσιτα. Είναι, έτσι, εφικτή η υψομετρική σύνδεση σημείων, που τα χωρίζει κάποιο φυσικό ή τεχνητό εμπόδιο (π.χ. θάλασσα, ποτάμι, δρόμοι, κατασκευές), σημείων ενός τριγωνομετρικού ή πολυγωνομετρικού δικτύου η προσημασμένων σημείων σε τεχνικά έργα ή φυσικές κατασκευές. Η ΤΡΥΑ διαφοροποιείται από την ΕΤΥ, κυρίως γιατί μπορεί να εφαρμοστεί όχι μόνο μεταξύ υψομετρικών αφετηριών (ιpιres), αλλά και μεταξύ οποιονδήποτε άλλων σημείων προσιτών ή απρόσιτων. Σε ό,τι αφορά στις σκοπεύσεις στο αρχικό και τελικό σημείο, αυτές γίνονται χωρίς τη χρήση διηρημένων πήχεων (σταδίες), αλλά μετρώντας άμεσα τα αντίστοιχα μήκη και τις ζενίθιες γωνίες στο επιθυμητό σημείο. Αν τα σημεία δεν είναι και τα δύο ορατά από το γεωδαιτικό σταθμό, τότε απαιτούνται ενδιάμεσες στάσεις. Για τη μέτρηση του μήκους μεταξύ των ενδιάμεσων σημείων δεν είναι απαραίτητη η χρήση ανακλαστήρων, αλλά αρκούν και απλοί γωνιομετρικοί στόχοι. Επειδή οι μετρήσεις στις ενδιάμεσες στάσεις γίνονται ταυτόχρονα και αμοιβαία σε μετάβαση και επιστροφή, η τιμή κάθε επιμέρους υψομετρικής διαφοράς προκύπτει ως μέσος όρος των δύο τιμών. Έτσι, εξαλείφεται η επίδραση της μεταβολής του συντελεστή γεωδαιτικής διάθλασης και η επίδραση της καμπυλότητας της γης. Τέλος, η ΤΡΥΑ είναι απαλλαγμένη από το σφάλμα μέτρησης των υψών οργάνου και στόχου, αφού δεν χρειάζεται να μετρηθούν.

2 38 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 1- ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ Η = ορθομετρικό υψόμετρο = μετρούμενο μήκος = ζενίθια (κατακόρυφη) γωνία ΔΗ = ορθομετρική υψομετρική διαφορά κ = συντελεστής γεωδαιτικής διάθλασης = ακτίνα καμπυλότητας της γης = 6371Km σ = σφάλμα του μετρούμενου μήκους σ = σφάλμα της μετρούμενης ζενίθιας γωνίας σ ΔΗ = σφάλμα της προσδιοριζόμενης ορθομετρικής υψομετρικής διαφοράς.. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΥΨΟΜΕΤΡΙΑ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΤΡΥΑ).1. Περιγραφή της ΤΡΥΑ Με την εφαρμογή της Τριγωνομετρικής Υψομετρίας Ακριβείας προσδιορίζονται υψομετρικές διαφορές από άμεσες μετρήσεις μηκών () και ζενιθιών γωνιών (). Μεταξύ των προσιτών ή απρόσιτων σημείων Α, Β, που είναι και τα δύο ορατά από κάποια θέση εγκατάστασης του γεωδαιτικού σταθμού και δεν απέχουν μεγάλη απόσταση από αυτόν, μπορεί να εφαρμοστεί η ΤΡΥΑ με μια ενδιάμεση στάση οργάνου (σχήμα 1). Μετρούνται οι ζενίθιες γωνίες, Β και τα μήκη, Β και κατόπιν υπολογίζονται οι υψομετρικές διαφορές ΔΗ Α, ΔΗ Β, μεταξύ κάθε σημείου και του σημείου τομής των αξόνων του γεωδαιτικού σταθμού. Η υψομετρική διαφορά ΔΗ ΑΒ μεταξύ των σημείων Α, Β προκύπτει από τη σχέση: όπου cos cos (1 ) sin (1 ) sin (.1) (.) (.3) Σχήμα 1: Σχηματική παράσταση της ΤΡΥΑ με μια ενδιάμεση στάση οργάνου Fig. 1: ccurate trigonometric heighting using one instrument setting. Η σχέση. είναι η γνωστή σχέση υπολογισμού μιας υψομετρικής διαφοράς με τη μέθοδο της τριγωνομετρικής υψομετρίας, λαμβάνοντας υπόψη τη διόρθωση λόγω διάθλασης της οπτικής ακτίνας και της καμπυλότητας της γης [], [4]. Στην περίπτωση που τα σημεία Α και Β δεν είναι και τα δύο ορατά από κάποια θέση, όπου μπορεί να τοποθετηθεί ο γεωδαιτικός σταθμός, ή η μεταξύ τους απόσταση είναι μεγάλη, τότε μπορεί να εφαρμοστεί η παρακάτω διαδικασία (σχήμα ). Τοποθετείται σε τυχαία θέση, κοντά στο σημείο (σε απόσταση περίπου 0m) ο τρίποδας Τ 1 με τρικόχλιο και το γεωδαιτικό σταθμό (σχήμα α). Αντίστοιχο σύστημα με τρίποδα Τ, τρικόχλιο και γωνιομετρικό στόχο, τοποθετείται κοντά στο σημείο. Ο γεωδαιτικός σταθμός που βρίσκεται στον τρίποδα Τ 1 σκοπεύει, αρχικά, προς το σημείο Α και μετράται το μήκος και η ζενίθια γωνία. Στη συνέχεια, σκοπεύεται ο στόχος (Τ ) και μετράται το μήκος 1 και η ζενίθια γωνία 1. Κατόπιν, αλλάζουν θέση ο γωνιομετρικός στόχος και ο γεωδαιτικός σταθμός, οι οποίοι αποσπώνται από τα τρικόχλιά τους με προσοχή, χωρίς να επέλθει καμία μεταβολή στη θέση του κάθε συστήματος τρικόχλιο - τρίποδας. Ο γεωδαιτικός σταθμός, που βρίσκεται πια στον τρίποδα Τ (σχήμα β), μετρά (σε επιστροφή) το μήκος 1 και τη ζενίθια γωνία 1 προς το στόχο που βρίσκεται στον τρίποδα Τ 1. Ύστερα, σκοπεύοντας προς το σημείο μετράται το μήκος και η ζενίθια γωνία.

3 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No T 3 3 T 3 T T T T 3 3 T 34 3 T T 4 T 4 Σχήμα : Σχηματική παράσταση της ΤΡΥΑ με δύο ενδιάμεσες στάσεις. Fig. : pplication of accurate trigonometric heighting using two instrument settings. Η υψομετρική διαφορά ΔΗ ΑΒ μεταξύ των δύο σημείων προσδιορίζεται από τη σχέση: 1 1 (.4) όπου 1 1 cos 1 1 (1 ) sin 1 (.5) 1 1 cos 1 1 (1 ) sin 1 (.6) ενώ οι υψομετρικές διαφορές ΔΗ Α, ΔΗ Β, δίνονται από τις σχ..,.3, αντίστοιχα. Όταν δεν είναι δυνατός ο προσδιορισμός της υψομετρικής τους διαφοράς με δύο μόνο ενδιάμεσες στάσεις, τότε εφαρμόζεται η μέθοδος των τριών τριπόδων (σχήμα 3) και η τελική υψομετρική διαφορά προσδιορίζεται από τη σχέση: n i i-1,i T i,i-1 (.7) T Σχήμα 3: Σχηματική παράσταση της ΤΡΥΑ με περισσότερες από δύο στάσεις Fig. 3: pplication of accurate trigonometric heighting using more than two instrument settings... Ο γεωδαιτικός εξοπλισμός Για την εφαρμογή της ΤΡΥΑ με περισσότερες από δύο στάσεις είναι απαραίτητος ο ακόλουθος εξοπλισμός: - Ένας γεωδαιτικός σταθμός που έχει δυνατότητα μέτρησης μήκους και χωρίς τη χρήση ανακλαστήρα (eflectorless). - Δύο συστήματα γωνιομετρικού στόχου (στόχος, αντάπτορας τρικοχλίου, τρικόχλιο) (φωτ. 1), ή ανακλαστήρα (ανακλαστήρας, αντάπτορας τρικοχλίου, τρικόχλιο). - Τρεις τρίποδες Η επιλογή του γεωδαιτικού σταθμού εξαρτάται από την ακρίβεια μέτρησης των ζενίθιων γωνιών (±1, ±, ±3, ±5 ) που παρέχει, το βεληνεκές του, που σήμερα κυμαίνεται από 100m 1500m για μετρήσεις χωρίς ανακλαστήρα, το βάρος του και το κόστος του. Για την εφαρμογή της ΤΡΥΑ με μία μόνο στάση απαιτείται μόνο ο γεωδαιτικός σταθμός και ένας τρίποδας. T 3

4 , 3) (±1, ±, ±3, ±5),, 100m 1500m,. 40 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No x ij. = =. d 1 d ji ij ji y i ij.. 1: Φωτ. 1: Το σύστημα του γωνιομετρικού στόχου Fot 1: Target configuration. Fot 1: Target configuration Η επίδραση της διαφοράς του κατασκευαστικού. ύψους μεταξύ του γεωδαιτικού σταθμού και του στόχου. Αναφέρθηκε στα προηγούμενα ότι η ΤΡΥΑ είναι ανεξάρτητη της μέτρησης του ύψους οργάνου και ύψους στόχου.., ij Οι, επιμέρους υψομετρικές διαφορές ΔΗ ij, που υπολογίζονται, αναφέρονται μεταξύ ( του κέντρου του γεωδαιτικού, σταθμού, ) (σημείο τομής των αξόνων ΠΠ, ΔΔ, ΣΣ) και του, κέντρου του γωνιομετρικού στόχου, αντίστοιχα. Είναι δε ίσες με τις. αντίστοιχες μεταξύ των επιφανειών έδρασης των δύο τρικοχλίων.. Στην περίπτωση που το κατασκευαστικό ύψος d d 1 1 του γεωδαιτικού σταθμού και d d, του γωνιομετρικού στόχου, δηλαδή η απόσταση του κέντρου τους από την επιφάνεια έδρασής τους στο τρικόχλιο, είναι ίσα (d 1 = d ), τότε οι ζενίθιες γωνίες που μετρούνται σε μετάβαση και επιστροφή είναι παραπληρωματικές. Οι υψομετρικές διαφορές, που υπολογίζονται σε μετάβαση (ΔΗ ij ) και επιστροφή (ΔΗ ij ) είναι ίσες μεταξύ τους κατά απόλυτη τιμή. Τι συμβαίνει, όμως, αν τα κατασκευαστικά ύψη διαφέρουν, δηλ. d 1 d ; Επηρεάζεται η τελική υψομετρική διαφορά; Στην περίπτωση αυτή, οι δύο μετρούμενες ζενίθιες γωνίες δεν είναι παραπληρωματικές. Άρα, οι δύο υψομετρικές διαφορές (σε μετάβαση και επιστροφή) είναι άνισες. Η διαφορά τους προκύπτει από τη σχ..8 (σχήμα 4): 1 d x y ( d1 d ) ( d1 d ) ( d1 ) (.8) Η διαφορά των δύο επιμέρους υψομετρικών διαφορών είναι ίση με το διπλάσιο της διαφοράς μεταξύ του κατασκευαστικού ύψους του γεωδαιτικού σταθμού d 1 και του στόχου d. Κατά τον υπολογισμό της τελικής υψομετρικής διαφοράς, η οποία προκύπτει ως μέσος όρος των δύο τιμών μετάβασης και επιστροφής, η διαφορά αυτή εξαλείφεται (σχέση.9). Σχήμα 4: Η επίδραση του διαφορετικού κατασκευαστικού ύψους μεταξύ γεωδαιτικού σταθμού και γωνιομετρικού στόχου στον προσδιορισμό της υψομετρικής διαφοράς. Fig. 4: The effect of the different in manufacture height between the instrument and the target in the height difference calculation. ij 1 j d d 1 ij( ) ji( ) (cos ij ij d1 d ) (cos ji ji d1 d ) cos ij ij cos ji ji (.9) Η σύγκριση των επιμέρους υψομετρικών διαφορών σε μετάβαση και επιστροφή κρίνεται απαραίτητη, επειδή αποτελεί έναν έλεγχο της ορθότητας των μετρήσεων..4. Ανάλυση ακρίβειας H ακρίβεια με την οποία μπορεί να προσδιοριστεί η ορθομετρική υψομετρική διαφορά μεταξύ δύο σημείων με την ΤΡΥΑ, εξαρτάται από: i) την αβεβαιότητα μέτρησης του μήκους. ii) την αβεβαιότητα μέτρησης της ζενίθιας γωνίας. iii) τη μεταβολή της τιμής του συντελεστή γεωδαιτικής διάθλασης κ, κατά τη διάρκεια των μετρήσεων. Ενώ είναι ανεξάρτητη: i) της τιμής του συντελεστή γεωδαιτικής διάθλασης κ ii) της καμπυλότητα της γης iii) της αβεβαιότητας μέτρησης των υψών οργάνου και στόχου τα οποία δεν χρειάζεται να μετρηθούν.

5 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No Επίδραση της αβεβαιότητας μέτρησης του μήκους Το σφάλμα προσδιορισμού της υψομετρικής διαφοράς, λόγω της αβεβαιότητας του μετρούμενου μήκους, προκύπτει από την εφαρμογή του νόμου μετάδοσης σφαλμάτων σε κάποια από τις σχέσεις. ή.3, δηλαδή: cos ((1 ) sin ) cos ( ) (.10) Το σφάλμα αυτό εξαρτάται από το σφάλμα μέτρησης της ζενίθιας γωνίας (σ Ζ ), από την τιμή της ζενίθιας γωνίας () αλλά και από το μήκος (), όπως φαίνεται στα σχήματα 6 και 7..5 =500m Ο όρος (( 1 ) sin )) είναι της τάξης του m, άρα πάντοτε αμελητέος. () (mm) =300m =00m () (mm) =±5mm =±3mm =±mm (g) =0m (g) =100m =50m =10m Σχήμα 6: Σφάλμα στον προσδιορισμό της υψομετρικής διαφοράς σε συνάρτηση με το σφάλμα μέτρησης της ζενίθιας γωνίας (σ =±3 cc ) και το μήκος. Fig. 6: The error of the height difference determination correlated with the error in the enith angle (σ =±3 cc ) and the distance value. Σχήμα 5: Σφάλμα στον προσδιορισμό της υψομετρικής διαφοράς σε συνάρτηση με το σφάλμα μέτρησης του μήκους και την τιμή της ζενίθιας γωνίας. Fig. 5: The error of the height difference determination correlated with the error in the distance and the enith angle value. Στο σχήμα 5 παρουσιάζεται το σφάλμα στον προσδιορισμό μιας υψομετρικής διαφοράς ως συνάρτηση της αβεβαιότητας μέτρησης του μήκους για διάφορες τιμές ζενίθιας γωνίας. () (mm) 9 8 =500m =300m 4 =00m 3 =100m 1 =50m =0m 0 =10m (g).4. Επίδραση της αβεβαιότητας μέτρησης της ζενίθιας γωνίας Το σφάλμα προσδιορισμού της υψομετρικής διαφοράς, λόγω της αβεβαιότητας μέτρησης της ζενίθιας γωνίας, προκύπτει αντίστοιχα από την εφαρμογή του νόμου μετάδοσης σφαλμάτων σε κάποια από τις σχέσεις. ή.3 και είναι: ( sin ) ((1 ) sin ) sin ( ) (.11) Σχήμα 7: Σφάλμα στον προσδιορισμό της υψομετρικής διαφοράς σε συνάρτηση με το σφάλμα μέτρησης της ζενίθιας γωνίας (σ =±10 cc ) και το μήκος. Fig.7: The error of the height difference determination correlated with the error in the enith angle (σ =±10 cc ) and the distance value..4.3 Επίδραση της μεταβολής του συντελεστή γεωδαιτικής διάθλασης κ Ο όρος (( 1 ) sin ) είναι της τάξης του 10-4 m, άρα σχεδόν αμελητέος. Όταν η υψομετρική διαφορά προκύπτει με μετρήσεις από μια μόνο ενδιάμεση στάση οργάνου τότε μπορεί να θεωρηθεί ότι οι μετρήσεις προς τα σημεία Α και Β γίνονται

6 4 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 1- σε πολύ μικρό χρόνο δηλαδή ταυτόχρονα και επομένως δεν μεταβάλλεται η τιμή του συντελεστή γεωδαιτικής διάθλασης κ. Αν τα μήκη, Β και οι ζενίθιες γωνίες, Β είναι απαλείφεται από την τελική υψομετρική διαφορά και δεν την επηρεάζει. Στη γενικότερη περίπτωση των ενδιάμεσων στάσεων, κάθε επιμέρους υψομετρική διαφορά προσδιορίζεται ως μέσος όρος μεταξύ μετάβασης και επιστροφής. Θεωρώντας ότι κατά τη διάρκεια των δύο αυτών μετρήσεων η τιμή του συντελεστή γεωδαιτική διάθλασης παραμένει σταθερή, τότε η τελική τιμή της υψομετρικής διαφοράς είναι απαλλαγμένη από τη διόρθωση λόγω διάθλασης. Αυτό συμβαίνει γιατί ο όρος sin περιλαμβάνεται και στις δύο υψομετρικές διαφορές, οι οποίες έχουν αντίθετο πρόσημο. Έτσι, κατά τον υπολογισμό του μέσου όρου εξαλείφεται. () (mm) (g) =500m =300m =00m της ίδιας τάξης μεγέθους τότε ο όρος sin.4.4 Επίδραση της καμπυλότητας της γης Όταν πραγματοποιείται η ΤΡΥΑ με μια μόνο ενδιάμεση στάση οργάνου, αν τα μήκη και οι ζενίθιες γωνίες είναι της ίδιας τάξης μεγέθους, η επίδραση λόγω της καμπυλότητας της γης εξαλείφεται από την τελική υψομετρική διαφορά, αφού ο όρος sin υπάρχει και στις δύο επιμέρους υψομετρικές διαφορές, ενώ για μήκη μέχρι την τάξη των 50m η επίδρασή του είναι αμελητέα. Αν η ΤΡΥΑ εφαρμόζεται με περισσότερες ενδιάμεσες στάσεις τότε: - Οι αποστάσεις προς το αρχικό ή τελικό σημείο προς τα οποία γίνονται οι απ ευθείας σκοπεύσεις δεν ξεπερνούν τα 0m 30m. Σε αυτές τις αποστάσεις η επίδραση της καμπυλότητας της γης, όπως αναφέρθηκε, στην τιμή της υψομετρικής διαφοράς είναι αμελητέα. - Οι επιμέρους υψομετρικές διαφορές προκύπτουν ως μέσος όρος μεταξύ μετάβασης και επιστροφής. Έτσι ό όρος της διόρθωσης λόγω καμπυλότητας της γης sin περιλαμβάνεται και στις δύο επιμέρους προσδιοριζόμενες υψομετρικές διαφορές με αντίθετο όμως πρόσημο. Έτσι κατά τον υπολογισμό του μέσου όρου εξαλείφεται. Η τελική υψομετρική διαφορά λοιπόν είναι απαλλαγμένη από την επίδραση της καμπυλότητας της γης. Επίσης, το σφάλμα στις προσδιοριζόμενες υψομετρικές διαφορές, λόγω της μεταβολής της διεύθυνσης της κατακορύφου είναι αμελητέο. Για αποστάσεις μέχρι και 1000m η διόρθωση της μετρούμενης ζενίθιας γωνίας, λόγω μεταβολής της απόκλισης της κατακορύφου, είναι περίπου 3 cc [3]..4.5 Τελική ακρίβεια Σχήμα 8: Σφάλμα στον προσδιορισμό της υψομετρικής διαφοράς σε συνάρτηση με τη μεταβολή του συντελεστή γεωδαιτικής διάθλασης (δ κ =±0.05) κατά τη διάρκεια της μέτρησης. Fig. 8: The error of the height difference determination related to the change of the refraction coefficient κ (δ κ =±0.05), during the measurement. Στην αντίθετη περίπτωση παραμένει ένα σφάλμα στην προσδιοριζόμενη τιμή της υψομετρικής διαφοράς, που εξαρτάται από τη μεταβολή δ κ του συντελεστή γεωδαιτικής διάθλασης. Στο σχήμα 8, παρουσιάζεται το σφάλμα στον προσδιορισμό της υψομετρικής διαφοράς ως συνάρτηση της μεταβολής δ κ του συντελεστή γεωδαιτικής διάθλασης, του μήκους και της ζενίθιας γωνίας. Η τελική ακρίβεια, με την οποία μπορεί να προσδιοριστεί η υψομετρική διαφορά μεταξύ δύο σημείων Α και Β με την ΤΡΥΑ όταν πραγματοποιείται με μια μόνο ενδιάμεση στάση οργάνου είναι ίση με: (.1) Στην περίπτωση αυτή και αν σ =±3mm, σ Z =±3 cc,για μήκη = 00m και ζενίθιες γωνίες 90 g ή 110 g, τότε σ = ΔΗ Α σ =±1.1mm και επομένως σ ΔΗ =±1.5mm. Για δύο ενδιάμεσες στάσεις οργάνου και με την παραδοχή ότι σ = ΔΗ 1 Β ΔΗΑΒ σ, σ = σ ΔΗ από την εφαρμογή του νόμου μετάδοσης 1 ΔΗΑ ΔΗΒ σφαλμάτων στη σχέση.4 προκύπτει: 1 1 (.13)

7 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 1-43 Αν απαιτούνται n ενδιάμεσες στάσεις τότε η τελική ακρίβεια είναι: n 1 ij (.14) ν θεωρηθεί ότι έγιναν n = 4 ενδιάμεσες στάσεις και αν σ ΔΗ Α =±0.5mm (για μήκος 0m και ζενίθια γωνία 90g ή 110 g ). σ ΔΗ ij =±1.1mm (για μήκος 00m και ζενίθια γωνία 90g ή 110 g ). τότε η ακρίβεια προσδιορισμού της υψομετρικής διαφοράς είναι ίση με ± 1.5mm. min Σχήμα 9: Σκόπευση προς την υψομετρική αφετηρία (ιpιre) Fig. 9: The sighting to α benchmark. 3. ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ Για την ορθότερη και πληρέστερη εφαρμογή της ΤΡΥΑ είναι σκόπιμο να επισημανθούν τα εξής: Πριν την εκτέλεση των μετρήσεων είναι απαραίτητος ο μετρολογικός έλεγχος του χρησιμοποιούμενου εξοπλισμού (τρικόχλια, γεωδαιτικός σταθμός). Ο γεωδαιτικός σταθμός πρέπει να διαθέτει έλεγχο οριζοντίωσης με διπλό αντισταθμιστήρα, ώστε να ελέγχει και να διορθώνει τις τιμές των ζενίθιων γωνιών για μικρές αποκλίσεις του από την ορθή θέση. Τα τρικόχλια πρέπει προηγούμενα να έχουν ελεγχθεί εργαστηριακά ώστε η αεροστάθμη τους να βρίσκεται στο κανονικό της σημείο όταν είναι οριζόντια. Έτσι μόνο εξασφαλίζεται η σωστή λειτουργία του γεωδαιτικού σταθμού όταν τοποθετείται σε αυτά. Απαιτείται προσοχή στην ορθή οριζοντίωση των τρικοχλίων (ώστε ο πρωτεύοντας άξονας του οργάνου να είναι κατακόρυφος). Επιβάλλεται η διατήρηση της αρχικής θέσης κάθε συστήματος τρίποδας τρικόχλιο, κατά την εναλλαγή του γεωδαιτικού σταθμού και του γωνιομετρικού στόχου. Η μέτρηση των ζενιθιών γωνιών προς το αρχικό και τελικό σημείο αλλά και στις ενδιάμεσες στάσεις, καλό είναι να γίνεται σε δύο θέσεις τηλεσκοπίου, δηλαδή τουλάχιστον σε μια πλήρη περίοδο. Η επισήμανση των σημείων Α και Β πρέπει να είναι τέτοια ώστε να επιτρέπει τη μοναδικότητα της σκόπευσης. Μπορεί να επισημαίνονται με ειδικές διατάξεις (π.χ. αυτοκόλλητοι στόχοι, ορειχάλκινες πλάκες με υλοποιημένο το σημείο σκόπευσης, κ.α) ή να είναι φυσικά σημεία τέτοια ώστε να ορίζονται με μοναδικό τρόπο. Αν το αρχικό ή το τελικό σημείο είναι υψομετρική αφετηρία (ιpιre) τότε η μέτρηση προς αυτή πρέπει να εκτελείται με μοναδιαίο και σωστό τρόπο. H υλοποίηση των υψομετρικών αφετηριών γίνεται με τη χρήση ειδικών ορειχάλκινων κατασκευών (μπουλόνια). Η κατασκευή τους είναι τέτοια (κυλινδρική ή σφαιρική) ώστε να εδράζεται πάντοτε στο ίδιο μοναδικό σημείο ο υψομετρικός πήχης. Επομένως, το πρόβλημα ανάγεται στη σκόπευση αυτού του μοναδικού σημείου κατά τη μέτρηση του μήκους και της αντίστοιχης ζενίθιας γωνίας. Όπως φαίνεται και στο σχήμα 9, η θέση του σημείου αυτού μπορεί να οριστεί ως αυτή όπου το οριζόντιο σταυρόνημα του τηλεσκοπίου του γεωδαιτικού σταθμού εφάπτεται στο πάνω μέρος της ορειχάλκινης κατασκευής, έτσι ώστε η ένδειξη της ζενίθιας γωνίας να είναι η ελάχιστη. Η υψομετρική διαφορά, που προκύπτει ως μέσος όρος μεταξύ μετάβασης και επιστροφής δεν εξαρτάται από τη μεταβολή του συντελεστή γεωδαιτικής διάθλασης, μόνο αν οι μετρήσεις γίνονται ταυτόχρονα, δηλαδή όταν η εναλλαγή γεωδαιτικού σταθμού και γωνιομετρικού στόχου λαμβάνει χώρα σε μικρό χρονικό διάστημα λίγων λεπτών της ώρας. Αυτό είναι εφικτό όταν οι αποστάσεις σκόπευσης δεν είναι μεγάλες. Αν οι αποστάσεις σκόπευσης είναι μεγάλες και η εργασία απαιτεί υψηλή ακρίβεια, το πρόβλημα επιλύεται χρησιμοποιώντας δύο γεωδαιτικούς σταθμούς, ώστε η εναλλαγή τους με τους στόχους να γίνεται σε πραγματικά ελάχιστο χρόνο. 4. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Η εξέλιξη των ολοκληρωμένων γεωδαιτικών σταθμών ώστε να μετρούν μήκη και χωρίς τη χρήση ανακλαστήρα (eflectorless) δίνει τη δυνατότητα προσδιορισμού υψομετρικών διαφορών μεταξύ προσιτών ή απρόσιτων σημείων με ικανοποιητική ακρίβεια. Με την εφαρμογή της ΤΡΥΑ με μία ή περισσότερες στάσεις γεωδαιτικού σταθμού, μπορεί να υπολογιστεί με ικανοποιητική ακρίβεια η υψομετρική διαφορά μεταξύ των κορυφών ενός τριγωνομετρικού ή πολυγωνομετρι-

8 44 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 1- κού δικτύου, μεταξύ σημείων τεχνικών έργων, ή σημείων που βρίσκονται σε ιδιαίτερες θέσεις (ανοίγματα, έντονες κλίσεις, κατασκευές) σημείων που απέχουν μεταξύ τους μεγάλες ή μικρές αποστάσεις και βρίσκονται σε περιοχές με έντονο ή και ομαλό ανάγλυφο. Η ΤΡΥΑ είναι γρήγορη, ευέλικτη και εφαρμόζεται με την τοποθέτηση των τριπόδων σε τυχαίες θέσεις (δεν χρειάζεται κέντρωση). Επίσης, οι ενδιάμεσες θέσεις των τριπόδων είναι ανεξάρτητες της φυσικής διαδρομής (δρόμοι) και μπορούν να επιλέγονται με τέτοιο τρόπο ώστε να βελτιστοποιείται η ακολουθούμενη διαδρομή. Πλεονέκτημα της ΤΡΥΑ αποτελεί ο προσδιορισμός των επιμέρους υψομετρικών διαφορών ταυτόχρονα σε μετάβαση και επιστροφή. Έτσι, δεν χρειάζεται να επαναληφθεί η ίδια διαδρομή. Η τελική υψομετρική διαφορά είναι απαλλαγμένη από τα σφάλματα μέτρησης του ύψους οργάνου και του ύψους στόχου, αφού δεν συμμετέχουν στους υπολογισμούς. Επειδή πρακτικά οι μετρήσεις σε μετάβαση και επιστροφή γίνονται σε μικρό χρονικό διάστημα λίγων λεπτών της ώρας, μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι ταυτόχρονες και επομένως η τιμή του συντελεστή γεωδαιτικής διάθλασης κ παραμένει σταθερή. Έτσι, η προσδιοριζόμενη υψομετρική διαφορά, που προκύπτει ως μέσος όρος των δύο τιμών, είναι ανεξάρτητη της τιμής του συντελεστή γεωδαιτικής διάθλασης κ. Οι μετρήσεις γίνονται αμοιβαία σε μετάβαση και επιστροφή, συνεπώς η προσδιοριζόμενη υψομετρική διαφορά που προκύπτει ως μέσος όρος, είναι ανεξάρτητη της καμπυλότητας της γης. Αν το κατασκευαστικό ύψος του γεωδαιτικού σταθμού και του γωνιομετρικού στόχου είναι διαφορετικό δεν επηρεάζεται η τελικά εξαγόμενη υψομετρική διαφορά. Η ακρίβεια που μπορεί να επιτευχθεί με την ΤΡΥΑ είναι της τάξης του ± 1.5mm. Η ακρίβεια μέτρησης των ζενιθιών γωνιών που παρέχει ο γεωδαιτικός σταθμός είναι καθοριστική και βελτιώνει αισθητά την ακρίβεια υπολογισμού της τελικής υψομετρικής διαφοράς. Στις περιπτώσεις τοπικών τρισδιάστατων δικτύων όπου οι αποστάσεις δεν ξεπερνούν τα 100m, χρησιμοποιώντας γεωδαιτικό σταθμό ακρίβειας ±1 3 cc στις μετρήσεις ζενιθιών γωνιών και ±3mm στις μετρήσεις μηκών, η ακρίβεια προσδιορισμού της υψομετρικής διαφοράς μπορεί να φθάσει το ±0.5mm. Χρησιμοποιώντας ένα γεωδαιτικό σταθμό που παρέχει ακρίβεια μέτρησης του μήκους ±5mm και ακρίβεια μέτρησης ζενιθιών γωνιών ±5 15 cc, τότε η ακρίβεια προσδιορισμού της υψομετρικής διαφοράς είναι της τάξης των ±5mm. Οι υψομετρικές διαφορές που προσδιορίζονται μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως ανεξάρτητες παρατηρήσεις της υψομετρικής διαφοράς μεταξύ των σημείων τοπικών τρισδιάστατων δικτύων ελέγχου μικρομετακινήσεων. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. Αγατζά-Μπαλοδήμου Α.-Μ., «Θεωρία σφαλμάτων και Μ.Ε.Τ», Αθήνα 000, Διδακτικές σημειώσεις.. llan.l., «Practical Surveying and Computation», Laxton s, revised Second Edition Μπαλοδήμος Δ.- Δ., «Ανάπτυξη μεθόδου τριγωνομετρικής υψομετρίας για εργασίες υψηλής ακρίβειας», Αθήνα 1979, Τεχνικά Χρονικά (Ιουλ. Αύγ. Σεπτ.). 4. Μπαλοδήμος Δ.- Δ., Αραμπατζή Ο., «Υψομετρία», Αθήνα 004, Διδακτικές σημειώσεις. Ε. Λάμπρου, Λέκτορας Ε.Μ.Π, Διδάκτορας Μηχανικός Ε.Μ.Π., Σχολή Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών, Τομέας Τοπογραφίας, Εργαστήριο Γενικής Γεωδαισίας, Ηρώων Πολυτεχνείου 9, , Πολυτεχνειούπολη, Ζωγράφου.

9 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 1-45 Extended summary ccurate height difference determination using reflectorless total stations. E. LMOU ural & Surveying Engineer N.T.U. Lecturer at N.T.U.. bstract In this paper the method of ccurate Trigonometric Heighting (TH) is proposed and analyed. The application of TH is feasible using modern reflectorless total stations for the determination of the height difference between accessible or inaccessible points. Initially, the TH method is described. The instrumentation needed and a theoretical analysis of the achieved accuracy are presented. The influences of the error of the measured distances and angles, the change of the refraction coefficient κ, and the curvature of the earth on the final determined height difference are analysed. Useful suggestions for the proper application of TH are provided. The conclusions deal with the advantages of TH. lso, the best instrumentation combinations are given in order to achieve the desired accuracy. 1. INTOUCTION Orthometric height difference is measured traditionally with the spirit levelling method. ecently, the use of digital levels has provided significant improvements in speed and accuracy. lso, this determination may made using the trigonometric heighting method for limited accuracy applications, or the special trigonometric heighting method [] between benchmarks for precise applications. The manufacture of reflectorless total stations gives the opportunity of direct distance measurements to inaccessible points. method of accurate trigonometric heighting (TH) using reflectorless total stations is proposed. TH may be applied for the accurate determination of orthometric height differences with a degree of accuracy equivalent to that of spirit levelling. It may be applied not only between benchmarks, but also between any accessible or inaccessible points on the earth s surface. It is applicable between points on artificial structures, or points situated on both sides of a natural or artificial gap or obstacle. The measurements are carried out simultaneously and reciprocally between the instrument and the target positions in two directions (fore-back). Submitted: Mar ccepted: pr. 30, 007 The final result is free from the errors caused by the geodetic refraction coefficient κ, the earth s curvature and the instrument and target heights, which do not need to be measured.. CCUTE TIGONOMETIC HEIGHTING (TH) ccurate trigonometric heighting is based on direct measurements of distances () and enith angles () using reflectorless total stations. The single station of the method is presented in fig.1. It may be applied between accessible or inaccessible points, provided that they are both visible from the total station position. The orthometric height difference between points and is calculated by equations (.1), (.) and (.3). In the case that points and are not visible from the total station position or the distance between them is long, the procedure described in fig is applied. tripod bearing the total station is put close to point. nother tripod bearing the target is put close to point (fig. a).the total station measures the distance and the enith angle to point. Subsequently, the instrument sights to the target and measures the distance 1 and the enith angle 1. Then the total station and the target exchange positions above the tribraches. Special care is needed to avoid moving the tripod/ tribrach system during the exchange. The total station is put on tripod T, as the target is put on tripod (fig. b) and the corresponding elements ( 1, 1,, ) are measured. The height difference ΔΗ ΑΒ between the points and is determined by equation (.4), where the height differences ΔΗ Α, ΔΗ Β, ΔΗ 1 and ΔΗ 1 are calculated according to equations (.), (.3), (.5) and (.6). If more stations are needed between points and, the three tripod method [3] is applied (fig.3). In this case, the final height difference is calculated by equation (.7).

10 46 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 1- The precision of the TH is independent of: - The value of the geodetic refraction coefficient κ. - The curvature of the surface of the earth. - The height of the instrument and target. However, it depends on: - The distance accuracy. (Figure 5 illustrates the error of the height difference determination relative to the error in the distance measurement and the enith angle value). - The enith angle accuracy. (Figures 6 and 7 illustrate the error of the height difference determination relative to the error in the enith angle (σ =±3 cc and σ =±10 cc ) and the distance). - The change of the refraction coefficient κ during the measurements. (Figure 8 illustrates the error of the height difference determination relative to the change of the refraction coefficient κ (δκ=±0.05) during the measurements). Under the presupposition that the measurements at each station in both directions were carried out simultaneously, (within a short time), then there is no change in the refraction coefficient value. In this case, the final height difference is free of this error. Via the application of the variance-covariance law for one, two or more instrument settings, equations (.1),(.13),(.14) calculate the final precision σ ΔΗΑΒ of the height difference determination between the two points and. - The geodetic refraction coefficient κ. - The curvature of the earth. The accuracy provided by the total station for the enith angle measurement is significant, as it improves the final accuracy of the determined height difference. The achieved accuracy is of the order of ±1.5mm, for n = 4 instrument settings, by using a total station, which provides angular accuracy ±3 cc and distance accuracy ±3mm for distances of about 100 m. On the other hand, for the same instrument settings, by using a total station of angular accuracy of ±15 cc and distance accuracy ±5mm, the height difference determination will be of the order of ±5mm. 3. CONCLUSIONS eflectorless total stations provide us with the capability for direct determination of height differences between accessible or inaccessible points with adequate accuracy. Using accurate trigonometric heighting (TH), the height difference between any points situated in special positions, such as gaps in the earth, high inclination surfaces, rough surfaces, structures, trigonometric network points, can be determined. TH is quick, easy and convenient for application, as the measurements are carried out simultaneously and reciprocally in both directions. lso, the tripods are put in casual positions without the need for centring. This facilitates the procedure. The calculated height difference is independent of: - The measurement of the height of the instrument and target. - ifferences in manufacture height of the instrument and the target. Ε. Lambrou, Lecturer at N.T.U.., r Eng. N.T.U.., School of ural and Surveying Engineering, Section of Topography, Laboratory of General Geodesy, 9, Heroon Polytechniou str., , N.T.U.. Campus, Zografou, thens.

R7 R13 R14 R12 R11 R10 R

R7 R13 R14 R12 R11 R10 R ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΓΕΝΙΚΗΣ ΓΕΩ ΑΙΣΙΑΣ ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΟΥ ΥΨΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΙΚΤΥΟΥ ΤΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥΠΟΛΗΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΥΨΟΜΕΤΡΙΑ - ΧΩΡΟΣΤΑΘΜΗΣΗ

ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΥΨΟΜΕΤΡΙΑ - ΧΩΡΟΣΤΑΘΜΗΣΗ ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΥΨΟΜΕΤΡΙΑ - ΧΩΡΟΣΤΑΘΜΗΣΗ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Αναπληρωτής Καθηγητής Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής 3ο εξάμηνο http://eclass.uniwa.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

TEI Athens Department of Surveying Engineering. Ονοματεπώνυμο. Τίτλος εργασίας. 3rd EXERCISE

TEI Athens Department of Surveying Engineering. Ονοματεπώνυμο. Τίτλος εργασίας. 3rd EXERCISE 2013 TEI Athens Department of Surveying Engineering Ονοματεπώνυμο Τίτλος εργασίας 3rd EXERCISE Περιετόμενα Πρόλογος Abstract....σελ. 2 I. Εισαγφγή......σελ. 3 ΙΙ. Υυομετρία....σελ. 4 II.1 Γεφμετρική Φφροστάθμηση...σελ.

Διαβάστε περισσότερα

Ακριβής 3Δ Προσδιορισμός Θέσης των Σημείων του Κεντρικού Τομέα του Δικτύου LVD με τη μέθοδο του Σχετικού Στατικού Εντοπισμού

Ακριβής 3Δ Προσδιορισμός Θέσης των Σημείων του Κεντρικού Τομέα του Δικτύου LVD με τη μέθοδο του Σχετικού Στατικού Εντοπισμού Σχολή Μηχανικής και Τεχνολογίας Πτυχιακή εργασία Ακριβής 3Δ Προσδιορισμός Θέσης των Σημείων του Κεντρικού Τομέα του Δικτύου LVD με τη μέθοδο του Σχετικού Στατικού Εντοπισμού Χατζηιωάννου Ανδρέας Λεμεσός,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 5 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 5 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 5 0 Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής Υψομετρία Γνωστική περιοχή της Γεωδαισίας που έχει ως αντικείμενο τον προσδιορισμό υψομέτρων σε μεμονωμένα σημεία καθώς και υψομετρικών διαφορών μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 3 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 3 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 3 0 Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής Επίγειες Γεωδαιτικές Μετρήσεις Μήκη Γωνίες Υψομετρικές διαφορές Παράμετροι οργάνων μέτρησης Ανάγνωση/Μέτρηση Σφάλμα/Αβεβαιότητα Μήκη Μέτρηση Μήκους Άμεση

Διαβάστε περισσότερα

Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude

Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude Jan Behrens 2012-12-31 In this paper we shall provide a method to approximate distances between two points on earth

Διαβάστε περισσότερα

ΥΨΟΜΕΤΡΗΣΗ. hab = ο - ε.

ΥΨΟΜΕΤΡΗΣΗ. hab = ο - ε. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ: Π. Σαββαΐδης, Ι. Υφαντής, Κ. Λακάκης, ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΙΚΗΣ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑΣ ΓΙΑ ΤΟ ΤΜΗΜΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΩΝ Α. Π. Θ., Θεσσαλονίκη 2007 ΥΨΟΜΕΤΡΗΣΗ 1. H γεωµετρική χωροστάθµηση Στη γεωµετρική

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά Θέματα Γεωδαισίας- Υψομετρία

Ειδικά Θέματα Γεωδαισίας- Υψομετρία Ειδικά Θέματα Γεωδαισίας- Υψομετρία Λάμπρου Ευαγγελία, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Ε.Μ.Π., litsal@central.ntua.gr Πανταζής Γεώργιος, Αναπληρωτής Καθηγητής Ε.Μ.Π., gpanta@central.ntua.gr Άδεια χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS. NOTE: cos(α+β) cos α + cos β cos(α-β) cos α -cos β

3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS. NOTE: cos(α+β) cos α + cos β cos(α-β) cos α -cos β 3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS Page Theorem cos(αβ cos α cos β -sin α cos(α-β cos α cos β sin α NOTE: cos(αβ cos α cos β cos(α-β cos α -cos β Proof of cos(α-β cos α cos β sin α Let s use a unit circle

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΓΕΝΙΚΗΣ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΓΕΝΙΚΗΣ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΓΕΝΙΚΗΣ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΑΝΤΑΖΗΣ Δρ. Αγρονόμος & Τοπογράφος Μηχ. ΕΜΠ Αναπληρωτής Καθηγητής ΕΜΠ e-mail:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΔΙΚΤΥΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΔΙΚΤΥΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΔΙΚΤΥΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο ΠΑΛΙΟ http://eclass.survey.teiath.gr NEO

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΥΨΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΥΨΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΥΨΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Αναπληρωτής Καθηγητής Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής 3ο εξάμηνο http://eclass.uniwa.gr

Διαβάστε περισσότερα

Δυνατότητα Χρήσης Γεωμετρικών Υψομέτρων GPS σε Τρέχουσες Τοπογραφικές Εργασίες

Δυνατότητα Χρήσης Γεωμετρικών Υψομέτρων GPS σε Τρέχουσες Τοπογραφικές Εργασίες Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-2 2003, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 1-2 47 Δυνατότητα Χρήσης Γεωμετρικών Υψομέτρων GPS σε Τρέχουσες Τοπογραφικές Εργασίες Γ. Α. ΚΑΛΟΓΡΙΔΗΣ Β. Χ. ΝΤΖΟΥΦΡΑ Διπλ.

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =

Διαβάστε περισσότερα

Σύγκριση υψομετρικών τεχνικών στο δίκτυο Μεταλλικού

Σύγκριση υψομετρικών τεχνικών στο δίκτυο Μεταλλικού Σεμιναριακό Μάθημα Ασκήσεων Υπαίθρου (Ιούλιος 2016) Σύγκριση υψομετρικών τεχνικών στο δίκτυο Μεταλλικού Χ. Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Υψομετρικές τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

10. ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

10. ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 77 10. ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ολοκληρώνοντας την συνοπτική παρουσίαση των εννοιών και μεθόδων της Γεωδαιτικής Αστρονομίας θα κάνουμε μια σύντομη αναφορά στην αξιοποίηση των μεγεθών που προσδιορίστηκαν,

Διαβάστε περισσότερα

Προ-επεξεργασία, συνόρθωση και στατιστική ανάλυση δικτύων Μεταλλικού

Προ-επεξεργασία, συνόρθωση και στατιστική ανάλυση δικτύων Μεταλλικού Σεμιναριακό Μάθημα Ασκήσεων Υπαίθρου (Ιούλιος 2016) Προ-επεξεργασία, συνόρθωση και στατιστική ανάλυση δικτύων Μεταλλικού Χ. Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Δίκτυο

Διαβάστε περισσότερα

Section 8.3 Trigonometric Equations

Section 8.3 Trigonometric Equations 99 Section 8. Trigonometric Equations Objective 1: Solve Equations Involving One Trigonometric Function. In this section and the next, we will exple how to solving equations involving trigonometric functions.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΕΝΑ ΦΛΟΚΑ Επίκουρος Καθηγήτρια Τµήµα Φυσικής, Τοµέας Φυσικής Περιβάλλοντος- Μετεωρολογίας ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Πληθυσµός Σύνολο ατόµων ή αντικειµένων στα οποία αναφέρονται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΤΩΝ ΓΩΝΙΟΜΕΤΡΗΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΤΩΝ ΓΩΝΙΟΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΤΩΝ ΓΩΝΙΟΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Αναπληρωτής Καθηγητής Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής 3ο εξάμηνο http://eclass.uniwa.gr

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1 ο (2.5 μονάδες)

Θέμα 1 ο (2.5 μονάδες) Θέμα 1 ο (2.5 μονάδες) Α) Με τον γεωδαιτικό σταθμό της εταιρίας Pentax που εργαστήκατε στο εργαστήριο Τοπογραφίας υπάρχει δυνατότητα να κεντρώσετε και να οριζοντιώσετε το όργανο χωρίς τη χρήση της μπαταρίας;

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα. Περιεχόµενα... 7. Ευρετήριο Γραφηµάτων... 11. Ευρετήριο Εικόνων... 18. Κεφάλαιο 1

Περιεχόµενα. Περιεχόµενα... 7. Ευρετήριο Γραφηµάτων... 11. Ευρετήριο Εικόνων... 18. Κεφάλαιο 1 Περιεχόµενα Περιεχόµενα... 7 Ευρετήριο Γραφηµάτων... 11 Ευρετήριο Εικόνων... 18 Κεφάλαιο 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ... 19 Θεωρία... 19 1.1 Έννοιες και ορισµοί... 20 1.2 Μονάδες µέτρησης γωνιών και µηκών...

Διαβάστε περισσότερα

[1] P Q. Fig. 3.1

[1] P Q. Fig. 3.1 1 (a) Define resistance....... [1] (b) The smallest conductor within a computer processing chip can be represented as a rectangular block that is one atom high, four atoms wide and twenty atoms long. One

Διαβάστε περισσότερα

Σύγκριση υψομετρικών τεχνικών στο δίκτυο Μεταλλικού

Σύγκριση υψομετρικών τεχνικών στο δίκτυο Μεταλλικού Σεμιναριακό Μάθημα Ασκήσεων Υπαίθρου Σύγκριση υψομετρικών τεχνικών στο δίκτυο Μεταλλικού Χ. Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Υψομετρικές τεχνικές στο δίκτυο του

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά Θέματα Γεωδαισίας- Υπόγειες Αποτυπώσεις

Ειδικά Θέματα Γεωδαισίας- Υπόγειες Αποτυπώσεις Ειδικά Θέματα Γεωδαισίας- Υπόγειες Αποτυπώσεις Λάμπρου Ευαγγελία, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Ε.Μ.Π., litsal@central.ntua.gr Πανταζής Γεώργιος, Αναπληρωτής Καθηγητής Ε.Μ.Π., gpanta@central.ntua.gr Άδεια χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Προ-επεξεργασία, συνόρθωση και στατιστική ανάλυση δικτύου Μεταλλικού

Προ-επεξεργασία, συνόρθωση και στατιστική ανάλυση δικτύου Μεταλλικού Σεμιναριακό Μάθημα Ασκήσεων Υπαίθρου Προ-επεξεργασία, συνόρθωση και στατιστική ανάλυση δικτύου Μεταλλικού Χ. Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Δίκτυο Μεταλλικού Τ1-Τ10

Διαβάστε περισσότερα

CRASH COURSE IN PRECALCULUS

CRASH COURSE IN PRECALCULUS CRASH COURSE IN PRECALCULUS Shiah-Sen Wang The graphs are prepared by Chien-Lun Lai Based on : Precalculus: Mathematics for Calculus by J. Stuwart, L. Redin & S. Watson, 6th edition, 01, Brooks/Cole Chapter

Διαβάστε περισσότερα

1. Ηλεκτρικό μαύρο κουτί: Αισθητήρας μετατόπισης με βάση τη χωρητικότητα

1. Ηλεκτρικό μαύρο κουτί: Αισθητήρας μετατόπισης με βάση τη χωρητικότητα IPHO_42_2011_EXP1.DO Experimental ompetition: 14 July 2011 Problem 1 Page 1 of 5 1. Ηλεκτρικό μαύρο κουτί: Αισθητήρας μετατόπισης με βάση τη χωρητικότητα Για ένα πυκνωτή χωρητικότητας ο οποίος είναι μέρος

Διαβάστε περισσότερα

2. Μηχανικό Μαύρο Κουτί: κύλινδρος με μια μπάλα μέσα σε αυτόν.

2. Μηχανικό Μαύρο Κουτί: κύλινδρος με μια μπάλα μέσα σε αυτόν. Experiental Copetition: 14 July 011 Proble Page 1 of. Μηχανικό Μαύρο Κουτί: κύλινδρος με μια μπάλα μέσα σε αυτόν. Ένα μικρό σωματίδιο μάζας (μπάλα) βρίσκεται σε σταθερή απόσταση z από το πάνω μέρος ενός

Διαβάστε περισσότερα

Homework 8 Model Solution Section

Homework 8 Model Solution Section MATH 004 Homework Solution Homework 8 Model Solution Section 14.5 14.6. 14.5. Use the Chain Rule to find dz where z cosx + 4y), x 5t 4, y 1 t. dz dx + dy y sinx + 4y)0t + 4) sinx + 4y) 1t ) 0t + 4t ) sinx

Διαβάστε περισσότερα

7. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΖΙΜΟΥΘΙΟΥ

7. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΖΙΜΟΥΘΙΟΥ 61 7. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΖΙΜΟΥΘΙΟΥ Υπενθυμίζεται ότι αστρονομικό αζιμούθιο Α D μιας διεύθυνσης D, ως προς το σημείο (τόπο) Ο, ονομάζεται το μέτρο της δίεδρης γωνίας που σχηματίζεται μεταξύ του επιπέδου του

Διαβάστε περισσότερα

Potential Dividers. 46 minutes. 46 marks. Page 1 of 11

Potential Dividers. 46 minutes. 46 marks. Page 1 of 11 Potential Dividers 46 minutes 46 marks Page 1 of 11 Q1. In the circuit shown in the figure below, the battery, of negligible internal resistance, has an emf of 30 V. The pd across the lamp is 6.0 V and

Διαβάστε περισσότερα

7. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΖΙΜΟΥΘΙΟΥ

7. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΖΙΜΟΥΘΙΟΥ 63 7. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΖΙΜΟΥΘΙΟΥ Υπενθυμίζεται ότι αστρονομικό αζιμούθιο Α D μιας διεύθυνσης D, ως προς το σημείο (τόπο) Ο, ονομάζεται το μέτρο της δίεδρης γωνίας που σχηματίζεται μεταξύ του επιπέδου του

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ

ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών ΤΕ και Μηχανικών Τοπογραφίας & Γεωπληροφορικής ΤΕ κατεύθυνση Μηχανικών Τοπογραφίας και Γεωπληροφορικής ΤΕ Τοπογραφικά και

Διαβάστε περισσότερα

Review Test 3. MULTIPLE CHOICE. Choose the one alternative that best completes the statement or answers the question.

Review Test 3. MULTIPLE CHOICE. Choose the one alternative that best completes the statement or answers the question. Review Test MULTIPLE CHOICE. Choose the one alternative that best completes the statement or answers the question. Find the exact value of the expression. 1) sin - 11π 1 1) + - + - - ) sin 11π 1 ) ( -

Διαβάστε περισσότερα

derivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates

derivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates derivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates swapnizzle 03-03- :5:43 We begin by recognizing the familiar conversion from rectangular to spherical coordinates (note that φ is used

Διαβάστε περισσότερα

Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1.

Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1. Exercises 0 More exercises are available in Elementary Differential Equations. If you have a problem to solve any of them, feel free to come to office hour. Problem Find a fundamental matrix of the given

Διαβάστε περισσότερα

2 Composition. Invertible Mappings

2 Composition. Invertible Mappings Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,

Διαβάστε περισσότερα

ύο λόγια από τους συγγραφείς.

ύο λόγια από τους συγγραφείς. ύο λόγια από τους συγγραφείς. Το βιβλίο αυτό γράφτηκε από τους συγγραφείς με σκοπό να συμβάλουν στην εκπαιδευτική διαδικασία του μαθήματος της Τοπογραφίας Ι. Το βιβλίο είναι γραμμένο με τον απλούστερο

Διαβάστε περισσότερα

Προ-επεξεργασία και έλεγχος μετρήσεων δικτύου

Προ-επεξεργασία και έλεγχος μετρήσεων δικτύου Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2017-2018 Προ-επεξεργασία και έλεγχος μετρήσεων δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή,

Διαβάστε περισσότερα

Phys460.nb Solution for the t-dependent Schrodinger s equation How did we find the solution? (not required)

Phys460.nb Solution for the t-dependent Schrodinger s equation How did we find the solution? (not required) Phys460.nb 81 ψ n (t) is still the (same) eigenstate of H But for tdependent H. The answer is NO. 5.5.5. Solution for the tdependent Schrodinger s equation If we assume that at time t 0, the electron starts

Διαβάστε περισσότερα

Homework 3 Solutions

Homework 3 Solutions Homework 3 Solutions Igor Yanovsky (Math 151A TA) Problem 1: Compute the absolute error and relative error in approximations of p by p. (Use calculator!) a) p π, p 22/7; b) p π, p 3.141. Solution: For

Διαβάστε περισσότερα

PARTIAL NOTES for 6.1 Trigonometric Identities

PARTIAL NOTES for 6.1 Trigonometric Identities PARTIAL NOTES for 6.1 Trigonometric Identities tanθ = sinθ cosθ cotθ = cosθ sinθ BASIC IDENTITIES cscθ = 1 sinθ secθ = 1 cosθ cotθ = 1 tanθ PYTHAGOREAN IDENTITIES sin θ + cos θ =1 tan θ +1= sec θ 1 + cot

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0 Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής Γεωδαισία Μοιράζω τη γη (Γη + δαίομαι) Ακριβής Έννοια: Διαίρεση, διανομή /μέτρηση της Γής. Αντικείμενο της γεωδαισίας: Ο προσδιορισμός της μορφής, του

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για τις μετρήσεις πεδίου, βασικές συμβουλές και γενική περιγραφή εργασιών

Οδηγίες για τις μετρήσεις πεδίου, βασικές συμβουλές και γενική περιγραφή εργασιών Ενημερωτικό σεμινάριο για το μάθημα των Ασκήσεων Υπαίθρου Οδηγίες για τις μετρήσεις πεδίου, βασικές συμβουλές και γενική περιγραφή εργασιών (θεματικές ενότητες 4, 5, 6, 7) Χ. Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και

Διαβάστε περισσότερα

8. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΛΑΤΟΥΣ

8. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΛΑΤΟΥΣ 69 8. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΛΑΤΟΥΣ 8.1 Εισαγωγή Υπενθυμίζεται ότι το αστρονομικό πλάτος ενός τόπου είναι η γωνία μεταξύ της διεύθυνσης της κατακορύφου του τόπου και του επιπέδου του ουράνιου Ισημερινού. Ο προσδιορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο

Διαβάστε περισσότερα

Το χωροσταθμικό δίκτυο Αθηνών, προαστίων και περιχώρων. Το χθες και το σήμερα

Το χωροσταθμικό δίκτυο Αθηνών, προαστίων και περιχώρων. Το χθες και το σήμερα Το χωροσταθμικό δίκτυο Αθηνών, προαστίων και περιχώρων. Το χθες και το σήμερα Γ. Πανταζής Εργαστήριο Γενικής Γεωδαισίας, Τομέας Τοπογραφίας, Σχολή Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για τις μετρήσεις πεδίου, βασικές συμβουλές και γενική περιγραφή εργασιών

Οδηγίες για τις μετρήσεις πεδίου, βασικές συμβουλές και γενική περιγραφή εργασιών Εισαγωγικό σεμινάριο για το μάθημα των Ασκήσεων Υπαίθρου Οδηγίες για τις μετρήσεις πεδίου, βασικές συμβουλές και γενική περιγραφή εργασιών (θεματικές ενότητες 4, 5, 6, 7) Χ. Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και

Διαβάστε περισσότερα

HOMEWORK 4 = G. In order to plot the stress versus the stretch we define a normalized stretch:

HOMEWORK 4 = G. In order to plot the stress versus the stretch we define a normalized stretch: HOMEWORK 4 Problem a For the fast loading case, we want to derive the relationship between P zz and λ z. We know that the nominal stress is expressed as: P zz = ψ λ z where λ z = λ λ z. Therefore, applying

Διαβάστε περισσότερα

Χωροστάθμηση GNSS (Η αρχή του τέλους της κλασικής χωροστάθμησης;) Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος Τοπογράφος Μηχανικός Α.Π.Θ.

Χωροστάθμηση GNSS (Η αρχή του τέλους της κλασικής χωροστάθμησης;) Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος Τοπογράφος Μηχανικός Α.Π.Θ. Χωροστάθμηση GNSS (Η αρχή του τέλους της κλασικής χωροστάθμησης;) Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος Τοπογράφος Μηχανικός Α.Π.Θ. Αντικείμενο της παρουσίασης Σχέση συστημάτων υψών Γεωδαισίας και δυνατότητες

Διαβάστε περισσότερα

Areas and Lengths in Polar Coordinates

Areas and Lengths in Polar Coordinates Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΙ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ - ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΙ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ - ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΙ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ - ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr

Διαβάστε περισσότερα

Προ-επεξεργασία και έλεγχος μετρήσεων δικτύου

Προ-επεξεργασία και έλεγχος μετρήσεων δικτύου Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Προ-επεξεργασία και έλεγχος μετρήσεων δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ

Διαβάστε περισσότερα

Second Order Partial Differential Equations

Second Order Partial Differential Equations Chapter 7 Second Order Partial Differential Equations 7.1 Introduction A second order linear PDE in two independent variables (x, y Ω can be written as A(x, y u x + B(x, y u xy + C(x, y u u u + D(x, y

Διαβάστε περισσότερα

Θεοδόλιχος- ταχύµετρο τύπου WILD T16 ΠΡΟΣΟΧΗ στην ΑΣΦΑΛΕΙΑ ανθρώπων οργάνων οχηµάτων κτιρίων-εγκαταστάσεων φυτών 2

Θεοδόλιχος- ταχύµετρο τύπου WILD T16 ΠΡΟΣΟΧΗ στην ΑΣΦΑΛΕΙΑ ανθρώπων οργάνων οχηµάτων κτιρίων-εγκαταστάσεων φυτών 2 Η βασική τεχνική της Γεωδαισίας Με βάση µετρήσεις αποστάσεων γωνιών υψοµετρικών διαφορών Υπολογίζουµε τις διαστάσεις τη µορφή τη σχετική θέση σχηµάτων-σωµάτων στο επίπεδο/χώρο και τις µεταβολές τους 1

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΙ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ - ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΙ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ - ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΙ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ - ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr

Διαβάστε περισσότερα

Section 7.6 Double and Half Angle Formulas

Section 7.6 Double and Half Angle Formulas 09 Section 7. Double and Half Angle Fmulas To derive the double-angles fmulas, we will use the sum of two angles fmulas that we developed in the last section. We will let α θ and β θ: cos(θ) cos(θ + θ)

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτημα Ε Πρωτόκολλο μετρήσεων

Παράρτημα Ε Πρωτόκολλο μετρήσεων Παράρτημα Ε ----------------------------------------------------------------------------- Πρωτόκολλο μετρήσεων Αξιολόγηζη ςτομεηπικήρ πληποθοπίαρ συποζηαθμικού και ηπιγυνομεηπικού δικηύος ηηρ Δλλάδαρ ζηα

Διαβάστε περισσότερα

Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme

Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme. (a) Note: Award A for vertical line to right of mean, A for shading to right of their vertical line. AA N (b) evidence of recognizing symmetry

Διαβάστε περισσότερα

EE 570: Location and Navigation

EE 570: Location and Navigation EE 570: Location and Navigation INS Initialization Aly El-Osery Kevin Wedeward Electrical Engineering Department, New Mexico Tech Socorro, New Mexico, USA In Collaboration with Stephen Bruder Electrical

Διαβάστε περισσότερα

Τοπογραφία Γεωµορφολογία (Εργαστήριο) Ενότητα 5: Τοπογραφικά όργανα Γ ρ. Γρηγόριος Βάρρας

Τοπογραφία Γεωµορφολογία (Εργαστήριο) Ενότητα 5: Τοπογραφικά όργανα Γ ρ. Γρηγόριος Βάρρας Τοπογραφία Γεωµορφολογία (Εργαστήριο) Ενότητα 5: Τοπογραφικά όργανα Γ ρ. Γρηγόριος Βάρρας 1.1. ΧΩΡΟΒΑΤΗΣ Ο χωροβάτης είναι το Τοπογραφικό όργανο, που χρησιμοποιείται στη μέτρηση των υψομέτρων σημείων.

Διαβάστε περισσότερα

Finite Field Problems: Solutions

Finite Field Problems: Solutions Finite Field Problems: Solutions 1. Let f = x 2 +1 Z 11 [x] and let F = Z 11 [x]/(f), a field. Let Solution: F =11 2 = 121, so F = 121 1 = 120. The possible orders are the divisors of 120. Solution: The

Διαβάστε περισσότερα

ἁλωτά γίγνετ ἐπιμελείᾳ και πόνῳ ἄπαντα

ἁλωτά γίγνετ ἐπιμελείᾳ και πόνῳ ἄπαντα ἁλωτά γίγνετ ἐπιμελείᾳ και πόνῳ ἄπαντα ISBN 978-960-456-205-3 Copyright, Μάρτιος 2010, Ε. Λάμπρου, Γ. Πανταζής, Eκδόσεις Zήτη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του

Διαβάστε περισσότερα

EE512: Error Control Coding

EE512: Error Control Coding EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3

Διαβάστε περισσότερα

The Simply Typed Lambda Calculus

The Simply Typed Lambda Calculus Type Inference Instead of writing type annotations, can we use an algorithm to infer what the type annotations should be? That depends on the type system. For simple type systems the answer is yes, and

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ. Πτυχιακή εργασία ΟΛΙΣΘΗΡΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΜΑΚΡΟΥΦΗ ΤΩΝ ΟΔΟΔΤΡΩΜΑΤΩΝ ΚΥΚΛΟΦΟΡΙΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ. Πτυχιακή εργασία ΟΛΙΣΘΗΡΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΜΑΚΡΟΥΦΗ ΤΩΝ ΟΔΟΔΤΡΩΜΑΤΩΝ ΚΥΚΛΟΦΟΡΙΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Πτυχιακή εργασία ΟΛΙΣΘΗΡΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΜΑΚΡΟΥΦΗ ΤΩΝ ΟΔΟΔΤΡΩΜΑΤΩΝ ΚΥΚΛΟΦΟΡΙΑΣ Χριστοδούλου Αντρέας Λεμεσός 2014 2 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΣΡΙΚΗ ΣΕΚΜΗΡΙΩΗ ΣΟΤ ΙΕΡΟΤ ΝΑΟΤ ΣΟΤ ΣΙΜΙΟΤ ΣΑΤΡΟΤ ΣΟ ΠΕΛΕΝΔΡΙ ΣΗ ΚΤΠΡΟΤ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΤΣΟΜΑΣΟΠΟΙΗΜΕΝΟΤ ΤΣΗΜΑΣΟ ΨΗΦΙΑΚΗ ΦΩΣΟΓΡΑΜΜΕΣΡΙΑ

ΓΕΩΜΕΣΡΙΚΗ ΣΕΚΜΗΡΙΩΗ ΣΟΤ ΙΕΡΟΤ ΝΑΟΤ ΣΟΤ ΣΙΜΙΟΤ ΣΑΤΡΟΤ ΣΟ ΠΕΛΕΝΔΡΙ ΣΗ ΚΤΠΡΟΤ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΤΣΟΜΑΣΟΠΟΙΗΜΕΝΟΤ ΤΣΗΜΑΣΟ ΨΗΦΙΑΚΗ ΦΩΣΟΓΡΑΜΜΕΣΡΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΣΟΒΙΟ ΠΟΛΤΣΕΧΝΕΙΟ ΣΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ-ΣΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΟΜΕΑ ΣΟΠΟΓΡΑΦΙΑ ΕΡΓΑΣΗΡΙΟ ΦΩΣΟΓΡΑΜΜΕΣΡΙΑ ΓΕΩΜΕΣΡΙΚΗ ΣΕΚΜΗΡΙΩΗ ΣΟΤ ΙΕΡΟΤ ΝΑΟΤ ΣΟΤ ΣΙΜΙΟΤ ΣΑΤΡΟΤ ΣΟ ΠΕΛΕΝΔΡΙ ΣΗ ΚΤΠΡΟΤ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΤΣΟΜΑΣΟΠΟΙΗΜΕΝΟΤ

Διαβάστε περισσότερα

Second Order RLC Filters

Second Order RLC Filters ECEN 60 Circuits/Electronics Spring 007-0-07 P. Mathys Second Order RLC Filters RLC Lowpass Filter A passive RLC lowpass filter (LPF) circuit is shown in the following schematic. R L C v O (t) Using phasor

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Η ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΠΑΡΕΧΟΜΕΝΟΥ ΧΡΟΝΟΥ UTC ΑΠΟ ΤΟ ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΥ, ΣΕ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Η ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΠΑΡΕΧΟΜΕΝΟΥ ΧΡΟΝΟΥ UTC ΑΠΟ ΤΟ ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΥ, ΣΕ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΓΕΝΙΚΗΣ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΣ Η ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΠΑΡΕΧΟΜΕΝΟΥ ΧΡΟΝΟΥ UTC ΑΠΟ ΤΟ ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΥ, ΣΕ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

SCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES G11LMA Linear Mathematics Examination Solutions

SCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES G11LMA Linear Mathematics Examination Solutions SCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES GLMA Linear Mathematics 00- Examination Solutions. (a) i. ( + 5i)( i) = (6 + 5) + (5 )i = + i. Real part is, imaginary part is. (b) ii. + 5i i ( + 5i)( + i) = ( i)( + i)

Διαβάστε περισσότερα

1. Πόσοι αριθμοί μικρότεροι του διαιρούνται με όλους τους μονοψήφιους αριθμούς;

1. Πόσοι αριθμοί μικρότεροι του διαιρούνται με όλους τους μονοψήφιους αριθμούς; ΚΥΠΡΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΤΙΡΙ ΠΡΧΙΚΟΣ ΙΩΝΙΣΜΟΣ 7//2009 ΩΡ 0:00-2:00 ΟΗΙΣ. Να λύσετε όλα τα θέματα. Κάθε θέμα βαθμολογείται με 0 μονάδες. 2. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (επιτρέπεται η χρήση μολυβιού για τα

Διαβάστε περισσότερα

ANSWERSHEET (TOPIC = DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION #2. h 0 h h 0 h h 0 ( ) g k = g 0 + g 1 + g g 2009 =?

ANSWERSHEET (TOPIC = DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION #2. h 0 h h 0 h h 0 ( ) g k = g 0 + g 1 + g g 2009 =? Teko Classes IITJEE/AIEEE Maths by SUHAAG SIR, Bhopal, Ph (0755) 3 00 000 www.tekoclasses.com ANSWERSHEET (TOPIC DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION # Question Type A.Single Correct Type Q. (A) Sol least

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Διπλωματική Εργασία του φοιτητή του τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Ηλεκτρονικών

Διαβάστε περισσότερα

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- ----------------- Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 48 APPLICATIONS OF MATRICES AND DETERMINANTS

CHAPTER 48 APPLICATIONS OF MATRICES AND DETERMINANTS CHAPTER 48 APPLICATIONS OF MATRICES AND DETERMINANTS EXERCISE 01 Page 545 1. Use matrices to solve: 3x + 4y x + 5y + 7 3x + 4y x + 5y 7 Hence, 3 4 x 0 5 y 7 The inverse of 3 4 5 is: 1 5 4 1 5 4 15 8 3

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΝΑΥΤΙΛΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΝΟΜΙΚΟ ΚΑΙ ΘΕΣΜΙΚΟ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΚΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΚΜΕΤΑΛΛΕΥΣΗΣ ΠΛΟΙΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ που υποβλήθηκε στο

Διαβάστε περισσότερα

AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο

AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο Άσκηση 10 Σε ένα κατακόρυφο δίκτυο έχουν μετρηθεί, μέσω διπλής γεωμετρικής χωροστάθμησης, οι υψομετρικές διαφορές μεταξύ όλων των σημείων

Διαβάστε περισσότερα

Matrices and Determinants

Matrices and Determinants Matrices and Determinants SUBJECTIVE PROBLEMS: Q 1. For what value of k do the following system of equations possess a non-trivial (i.e., not all zero) solution over the set of rationals Q? x + ky + 3z

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ

ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007 ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΔΟΡΥΦΟΡΩΝ ΔΙΟΝΥΣΟΥ Ηρώων Πολυτεχνείου 9, 157 80 Ζωγράφος Αθήνα Τηλ.: 210 772 2666 2668, Fax: 210 772 2670 ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα είναι μικρότεροι το 1000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Διάρκεια: 3,5 ώρες Καλή

Διαβάστε περισσότερα

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ.

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ. Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο The time integral of a force is referred to as impulse, is determined by and is obtained from: Newton s 2 nd Law of motion states that the action

Διαβάστε περισσότερα

Section 1: Listening and responding. Presenter: Niki Farfara MGTAV VCE Seminar 7 August 2016

Section 1: Listening and responding. Presenter: Niki Farfara MGTAV VCE Seminar 7 August 2016 Section 1: Listening and responding Presenter: Niki Farfara MGTAV VCE Seminar 7 August 2016 Section 1: Listening and responding Section 1: Listening and Responding/ Aκουστική εξέταση Στο πρώτο μέρος της

Διαβάστε περισσότερα

the total number of electrons passing through the lamp.

the total number of electrons passing through the lamp. 1. A 12 V 36 W lamp is lit to normal brightness using a 12 V car battery of negligible internal resistance. The lamp is switched on for one hour (3600 s). For the time of 1 hour, calculate (i) the energy

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΛΟΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΥΤΟΝΟΜΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΛΟΗΓΗΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΥΨΗΛΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΟΡΘΟΦΩΤΟΓΡΑΦΙΩΝ ΓΕΩΡΓΙΚΩΝ ΕΚΤΑΣΕΩΝ

ΠΙΛΟΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΥΤΟΝΟΜΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΛΟΗΓΗΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΥΨΗΛΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΟΡΘΟΦΩΤΟΓΡΑΦΙΩΝ ΓΕΩΡΓΙΚΩΝ ΕΚΤΑΣΕΩΝ Σχολή Μηχανικής & Τεχνολογίας Τμήμα Πολιτικών & Μηχανικών Γεωπληροφορικής Μεταπτυχιακή διατριβή ΠΙΛΟΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΥΤΟΝΟΜΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΛΟΗΓΗΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΥΨΗΛΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΟΡΘΟΦΩΤΟΓΡΑΦΙΩΝ ΓΕΩΡΓΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Fourier Series. MATH 211, Calculus II. J. Robert Buchanan. Spring Department of Mathematics

Fourier Series. MATH 211, Calculus II. J. Robert Buchanan. Spring Department of Mathematics Fourier Series MATH 211, Calculus II J. Robert Buchanan Department of Mathematics Spring 2018 Introduction Not all functions can be represented by Taylor series. f (k) (c) A Taylor series f (x) = (x c)

Διαβάστε περισσότερα

Concrete Mathematics Exercises from 30 September 2016

Concrete Mathematics Exercises from 30 September 2016 Concrete Mathematics Exercises from 30 September 2016 Silvio Capobianco Exercise 1.7 Let H(n) = J(n + 1) J(n). Equation (1.8) tells us that H(2n) = 2, and H(2n+1) = J(2n+2) J(2n+1) = (2J(n+1) 1) (2J(n)+1)

Διαβάστε περισσότερα

Areas and Lengths in Polar Coordinates

Areas and Lengths in Polar Coordinates Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΛΗΛΕΠΙ ΡΑΣΗ ΜΟΡΦΩΝ ΛΥΓΙΣΜΟΥ ΣΤΙΣ ΜΕΤΑΛΛΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ

ΑΛΛΗΛΕΠΙ ΡΑΣΗ ΜΟΡΦΩΝ ΛΥΓΙΣΜΟΥ ΣΤΙΣ ΜΕΤΑΛΛΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τοµέας οµοστατικής Εργαστήριο Μεταλλικών Κατασκευών ΑΛΛΗΛΕΠΙ ΡΑΣΗ ΜΟΡΦΩΝ ΛΥΓΙΣΜΟΥ ΣΤΙΣ ΜΕΤΑΛΛΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ιπλωµατική Εργασία Ιωάννη Σ. Προµπονά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΑ ΗΜΙΑ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΝΑΥΤΙΚΟΥ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΑΚΑ ΗΜΙΑ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΝΑΥΤΙΚΟΥ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΚΑ ΗΜΙΑ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΝΑΥΤΙΚΟΥ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ :ΤΥΠΟΙ ΑΕΡΟΣΥΜΠΙΕΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΡΟΠΟΙ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΣΠΟΥ ΑΣΤΡΙΑ: ΕΥΘΥΜΙΑ ΟΥ ΣΩΣΑΝΝΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ : ΓΟΥΛΟΠΟΥΛΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 1 ΑΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ. Πτυχιακή Εργασία

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ. Πτυχιακή Εργασία ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Πτυχιακή Εργασία ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΩΝ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΤΟΥ ΦΡΑΓΜΑΤΟΣ ΤΟΥ ΚΟΥΡΗ ΣΤΗΝ ΚΥΠΡΟ ΜΕ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ Αθηνά Παντελίδου

Διαβάστε περισσότερα

1. Αφετηρία από στάση χωρίς κριτή (self start όπου πινακίδα εκκίνησης) 5 λεπτά µετά την αφετηρία σας από το TC1B KALO LIVADI OUT

1. Αφετηρία από στάση χωρίς κριτή (self start όπου πινακίδα εκκίνησης) 5 λεπτά µετά την αφετηρία σας από το TC1B KALO LIVADI OUT Date: 21 October 2016 Time: 14:00 hrs Subject: BULLETIN No 3 Document No: 1.3 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Αναπληρωτής Καθηγητής Πανεπιστημίου Δυτικής Αττικής 3ο εξάμηνο ΝΕΟ eclass http://eclass.uniwa.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις, Ασκήσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ES440/ES911: CFD. Chapter 5. Solution of Linear Equation Systems

ES440/ES911: CFD. Chapter 5. Solution of Linear Equation Systems ES440/ES911: CFD Chapter 5. Solution of Linear Equation Systems Dr Yongmann M. Chung http://www.eng.warwick.ac.uk/staff/ymc/es440.html Y.M.Chung@warwick.ac.uk School of Engineering & Centre for Scientific

Διαβάστε περισσότερα

DESIGN OF MACHINERY SOLUTION MANUAL h in h 4 0.

DESIGN OF MACHINERY SOLUTION MANUAL h in h 4 0. DESIGN OF MACHINERY SOLUTION MANUAL -7-1! PROBLEM -7 Statement: Design a double-dwell cam to move a follower from to 25 6, dwell for 12, fall 25 and dwell for the remader The total cycle must take 4 sec

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή εργασία

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή εργασία ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Πτυχιακή εργασία ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΟΣΤΟΥΣ-ΟΦΕΛΟΥΣ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΕΙΣΔΥΣΗ ΤΩΝ ΑΝΑΝΕΩΣΙΜΩΝ ΠΗΓΩΝ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΣΤΗΝ ΚΥΠΡΟ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 2030

Διαβάστε περισσότερα

Section 9.2 Polar Equations and Graphs

Section 9.2 Polar Equations and Graphs 180 Section 9. Polar Equations and Graphs In this section, we will be graphing polar equations on a polar grid. In the first few examples, we will write the polar equation in rectangular form to help identify

Διαβάστε περισσότερα