Μια εισαγωγή στην Fractal Γεωμετρία (Μορφοκλασματική Γεωμετρία)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μια εισαγωγή στην Fractal Γεωμετρία (Μορφοκλασματική Γεωμετρία)"

Transcript

1 Μια εισαγωγή στην Fractal Γεωμετρία (Μορφοκλασματική Γεωμετρία) Το σύνολο του Mandelbrot. Το πολυπλοκότερο και εντυπωσιακότερο σύνολο των μαθηματικών Διημερίδα Μαθηματικών Ηράκλειο, 7-8 Μαρτίου 2014 Επιμέλεια - Παρουσίαση: Γιάννης Μοσχονάς (Μαθηματικός)

2 Εισαγωγή «Τα σύννεφα δεν είναι σφαίρες, τα βουνά δεν είναι κώνοι, οι ακτές δεν είναι κύκλοι και ο φλοιός του δέντρου δεν είναι ομαλός, ούτε η αστραπή ταξιδεύει σε μια ευθεία γραμμή!» Benoit Mandelbrot (The Fractal Geometry of Nature)

3 Τι είναι το Fractal Με τον διεθνή όρο fractal, (ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο βαθμό μεγέθυνσης, κι έτσι συχνά αναφέρεται σαν «απείρως περίπλοκο». Το fractal παρουσιάζεται ως «μαγική εικόνα» που όσες φορές και να μεγεθυνθεί οποιοδήποτε τμήμα του θα συνεχίζει να παρουσιάζει ένα εξίσου περίπλοκο σχέδιο με μερική ή ολική επανάληψη του αρχικού. Χαρακτηριστικό επομένως των fractals είναι η λεγόμενη αυτό-ομοιότητα (self-similarity) σε κάποιες δομές τους, η οποία εμφανίζεται σε διαφορετικά επίπεδα μεγέθυνσης.

4 Ένα Fractal πεντάγωνο

5 Τι είναι το Fractal Ο όρος προτάθηκε από τον Μπενουά Μάντελμπρο(Benoît Mandelbrot) το 1975 και προέρχεται από τη λατινική λέξη Fractus που σημαίνει «σπασμένος», «θρυμματισμένος» «κατακερματισμένος». Ήδη από τα τέλη της δεκαετίας του 1960, αλλά κυρίως την επόμενη δεκαετία, ο Mandelbrot φρόντισε να προσφέρει έναν αρκετά ευρύ αλλά μαθηματικά ακριβή ορισμό τους καθώς και των ιδιαίτερων ιδιοτήτων τους (αυτό-ομοιότητα, κλασματική διάσταση, μικρή επιφάνεια fractal αλλά άπειρη σε μήκος περίμετρος).

6 Η έννοια της αυτοομοιότητας Αυτοόμοιο είναι ένα αντικείμενο του οποίου τα μέρη από τα οποία αποτελείται μοιάζουν(είναι όμοια) με το σύνολο(το αντικείμενο). Αυτή η επανάληψη των ακανόνιστων λεπτομερειών ή σχηματισμών, συμβαίνει προοδευτικά σε μικρότερες κλίμακες και είναι δυνατόν να συνεχίσουν απεριόριστα έτσι ώστε, κάθε τμήμα ενός τμήματος όταν μεγεθυνθεί να μοιάζει βασικά με το συνολικό αντικείμενο. Ουσιαστικά ένα αυτοόμοιο αντικείμενο παραμένει αναλλοίωτο σε αλλαγές κλίμακας. Το φαινόμενο αυτό είναι εύκολο να παρατηρηθεί στις νιφάδες του χιονιού, στο φλοιό των δέντρων και στις ακτογραμμές.

7 Η έννοια της αυτοομοιότητας Η έννοια της αυτοομοιότητας εμφανίζεται και σε κάποια γεωμετρικά σχήματα της κλασικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας τα οποία δεν είναι Fractals.

8 Τα fractals σε πολλές περιπτώσεις μπορεί να προκύψουν από τύπο που δηλώνει αριθμητική, μαθηματική ή λογική επαναληπτική διαδικασία ή συνδυασμό αυτών. Η πιο χαρακτηριστική ιδιότητα των fractals είναι ότι είναι γενικά περίπλοκα ως προς τη μορφή τους, δηλαδή εμφανίζουν ανωμαλίες στη μορφή σε σχέση με τα συμβατικά γεωμετρικά σχήματα. Κατά συνέπεια δεν είναι αντικείμενα τα οποία μπορούν να οριστούν με τη βοήθεια της ευκλείδειας γεωμετρίας. Αυτό υποδεικνύεται από το ότι τα fractals, όπως έχει αναφερθεί παραπάνω, έχουν λεπτομέρειες, οι οποίες όμως γίνονται ορατές μόνο μετά από μεγέθυνσή τους σε κάποια κλίμακα.

9 Για να γίνει αντιληπτός αυτός ο διαχωρισμός των fractals σε σχέση με την ευκλείδεια γεωμετρία, αναφέρουμε ότι, αν μεγεθύνουμε κάποιο αντικείμενο το οποίο μπορεί να οριστεί με την ευκλείδεια γεωμετρία, παραδείγματος χάριν την περιφέρεια μιας έλλειψης, αυτή μετά από αλλεπάλληλες μεγεθύνσεις θα εμφανίζεται απλά ως ευθύγραμμο τμήμα. Η συμβατική ιδέα της καμπυλότητας η οποία αντιπροσωπεύει το αντίστροφο της ακτίνας ενός προσεγγίζοντος κύκλου, δεν μπορεί ωφέλιμα να ισχύσει στα fractals επειδή αυτή εξαφανίζεται κατά τη μεγέθυνση. Αντίθετα, σε ένα fractal, θα εμφανίζονται κατόπιν μεγεθύνσεων λεπτομέρειες που δεν ήταν ορατές σε μικρότερη κλίμακα μεγέθυνσης.

10 Διαφορές ανάμεσα στην Fractal και την Ευκλείδεια Γεωμετρία Ενώ τα στοιχεία της παραδοσιακής Ευκλείδειας Γεωμετρίας (Ευθεία, κύκλος, σφαίρα κ.λ.π.) είναι κατευθείαν ορατά και επεξεργάσιμα, τα στοιχεία της Fractal Γεωμετρίας δεν οδηγούν τον εαυτό τους σε απευθείας παρατήρηση. Οι βασικές διαφορές των Fractals αντικειμένων από εκείνα τα απλά σχήματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας εντοπίζονται κυρίως σε δυο παράγοντες:

11 Διαφορές ανάμεσα στην Fractal και την Ευκλείδεια Γεωμετρία 1) Οι αναπαραστάσεις είναι αυτοόμοιες. Έτσι, αν κοιτάξουμε ένα μικρό τμήμα ενός Fractal θα δούμε ότι είναι όμοιο με ένα μεγαλύτερο τμήμα. Αν μεγεθύνουμε το μικρό τμήμα θα παρατηρήσουμε ότι και αυτό περιέχει και πάλι μικρά όμοια τμήματα με το αρχικό κ.ο.κ. 2) Οι Fractals εικόνες είναι ανεξάρτητες από τις αλλαγές της κλίμακας και αντίθετα με τα Ευκλείδεια σχήματα δεν έχουν ένα χαρακτηριστικό μέγεθος μέτρησης.

12 Οι βασικές ιδιότητες ενός Fractal συνόλου 1) Έχει λεπτομερή δομή, δηλαδή λεπτομέρεια σε αυθαίρετα μικρές κλίμακες. 2) Είναι τόσο ανώμαλο, ώστε να μην μπορεί να περιγραφεί με την κλασική Ευκλείδεια Γεωμετρία, τόσο τοπικά όσο και ολικά. 3) Συχνά έχει κάποια μορφή αυτοομοιότητας ίσως προσεγγιστική ή στατιστική. 4) Η διάσταση του συνήθως είναι μεγαλύτερη από την τοπολογική διάσταση. 5) Σε πολλές περιπτώσεις κατασκευάζεται με πολύ απλό τρόπο, αρκετές φορές με επαναληπτικές μεθόδους.

13 Τα Fractals της Φύσης Fractals απαντώνται και στη φύση, χωρίς όμως να υπάρχει άπειρη λεπτομέρεια στη μεγέθυνση όπως στα fractals που προκύπτουν από μαθηματικές σχέσεις. Ως παραδείγματα fractals στη φύση, αναφέρονται το σχέδιο των νιφάδων του χιονιού, τα φύλλα των φυτών ή οι διακλαδώσεις των αιμοφόρων αγγείων.

14 Τα Fractals της Φύσης

15 Τα Fractals της Φύσης

16 Τα Fractals της Φύσης

17 Τα Fractals της Φύσης

18 Τα Fractals της Φύσης

19 Τα Fractals της Φύσης

20 Τα Fractals της Φύσης Για να κατανοήσουμε καλύτερα την αναγκαιότητα εισαγωγής των fractals αναφέρουμε το εξής παράδειγμα: Η περίμετρος της Κρήτης εννοείται ότι είναι ορισμένη. Ωστόσο, αν χρησιμοποιήσουμε ακρίβεια ενός μέτρου για να την μετρήσουμε, θα την βρούμε μικρότερη από ότι πραγματικά είναι γιατί δεν θα μπορέσουμε να μετρήσουμε τις κοιλότητες που είναι μικρότερες του ενός μέτρου. Αν μετρήσουμε με ακρίβεια ενός εκατοστού, πάλι θα χάσουμε ορισμένες κοιλότητες. Έτσι καταλήγουμε σε απειροστά μικρή μονάδα μέτρησης και η περίμετρος της Κρήτης θα γίνει άπειρη. Η επιφάνεια όμως της Κρήτης, η έκτασή της δηλαδή, είναι ορισμένη. Το παράδοξο αυτό, το οποίο η Ευκλείδεια Γεωμετρία αδυνατεί να εξηγήσει, αντιμετωπίζεται με την θεωρία των fractals.

21 Τι ακριβώς είναι τα fractals και γιατί αυτά τα γοητευτικά γεωμετρικά αντικείμενα απασχολούν τους πιο διαφορετικούς κλάδους της επιστήμης: από τη μικροφυσική μέχρι την κυτταρική βιολογία και από την αστροφυσική μέχρι την ανθρώπινη ανατομία; Τα fractals είναι μια γενίκευση των κλασικών γεωμετρικών σχημάτων (τρίγωνα, ορθογώνια, παραλληλόγραμμα, πυραμίδες κ.τ.λ.) σε μη κανονικά και συχνά πολύπλοκα «γεωμετρικά» σχήματα, τα οποία είτε βρίσκονται στη φύση είτε κατασκευάζονται από τον άνθρωπο για διάφορες εφαρμογές ή απλώς για την ομορφιά τους. Έτσι, η fractal Γεωμετρία μας επιτρέπει να περιγράφουμε ικανοποιητικά και να απεικονίζουμε πολύπλοκες φυσικές δομές όπως τα φύλλα των δέντρων, τα φτερά των πουλιών, το νεφρό του ανθρώπου, μονοκύτταρους οργανισμούς, πυρήνες κυττάρων αλλά και σύννεφα, ποτάμια, γαλαξίες.

22 Η Φύση δημιουργεί αντιγράφοντας Φαίνεται ότι τα fractals είναι μια από τις δημιουργικές δυνάμεις στη φύση. Και εννοούμε αυτή την τάση της αυτο-ομοιότητας που υπάρχει διάχυτη είτε σε φανερό είτε σε αφαιρετικό επίπεδο. Ένα κλαδί ενός δένδρου είναι όμοιο με το δένδρο, μια λεπτομέρεια ενός βουνού είναι όμοια με το βουνό κοιτώντας το από μακριά, μια ριπή του ανέμου δημιουργεί κυματάκια όμοια με το μεγάλο κύμα που τα κουβαλάει, το γράφημα της διακύμανσης τιμών του χρηματιστηρίου είναι όμοιο αν το δούμε σε ημερήσια βάση και στη λεπτομέρεια του μέσα σε μια ώρα, και άλλα πολλά φαινόμενα κουβαλάνε την ιδιότητα της αυτο-ομοιότητας.

23 Η Φύση δημιουργεί αντιγράφοντας Τι είναι τελικά η αυτοομοότητα; Μα η απόδειξη ότι όλα στη φύση παράγοντα από ένα απλό κανόνα, μια απλή πληροφορία που εφαρμόζεται κάθε φορά σε διαφορετική κλίμακα. Δεν θα μπορούσε να ήταν διαφορετικά. Οι σημαντικές πληροφορίες στη φύση, αυτές που αξίζει οι οργανισμοί να μεταδίδουν στους απογόνους τους, αυτές που περιέχονται στους σπόρους των φυτών και καθορίζουν πως το φυτό θα αναπτυχθεί πρέπει τελικά να είναι πολύ λίγες. Οι καλύτερες συνταγές στη φύση είναι αυτές που εφαρμόζονται σε πολλές κλίμακες. Άρα αυτoόμοιες, δηλαδή fractal.

24 Όπως στην κλασική Γεωμετρία, που το ενδιαφέρον της βρίσκεται στις εφαρμογές που αυτή έχει στη φύση, π.χ. ελλείψεις που περιγράφουν τις τροχιές των πλανητών(κατά προσέγγιση) η σφαίρα που περιγράφει το σχήμα της γης (κατά προσέγγιση πάλι), το ίδιο συμβαίνει και με την Fractal Γεωμετρία. Δηλαδή, πολλά φυσικά αντικείμενα περιγράφονται ως Fractals, όπως τα σύννεφα, οι ακτογραμμές, η κίνηση στα υγρά κ.λ.π. Στην πραγματικότητα όμως τίποτα από όλα αυτά δεν είναι Fractal. Τα χαρακτηριστικά του εμφανίζονται όταν ειδωθούν σε αρκετά μικρές κλίμακες. Όμως κατά προσέγγιση μπορούν να θεωρηθούν ως Fractals και να περιγραφούν αρκετά καλά από αυτά.

25 Τα Fractals είναι ανθρώπινη επινόηση; Δεν υπάρχουν πραγματικά Fractals στη φύση, όπως δεν υπάρχουν ευθείες γραμμές και κύκλοι! Πάντως, πολλά φυσικά φαινόμενα, όπως π.χ. η κίνηση Brown περιγράφονται αρκετά καλά βάσει της Fractal Γεωμετρίας. Επίσης, η θεωρία των fractals βρίσκει εφαρμογές στην Φυσική, την Βιολογία την Γεωλογία, την Αρχιτεκτονική, την Αστρονομία, την Οικονομία, την Μουσική και την Ζωγραφική, επειδή η δομές τους προσομοιάζουν αρκετά με τις δομές των στοιχείων του φυσικού κόσμου.

26 Μαθηματικά Fractals Το σύνολο Cantor

27 Μαθηματικά Fractals Η σκόνη του Cantor

28 Μαθηματικά Fractals Η συνάρτηση του Weierstrass

29 Μαθηματικά Fractals

30 Μαθηματικά Fractals Η ακολουθία του Fibonacci

31 Μαθηματικά Fractals Η καμπύλη του Koch Τα Τέσσερα στάδια της παραγωγής μιας καμπύλης Koch.

32 Μαθηματικά Fractals Το τρίγωνο του Sierprinski Ένα τρίγωνο Sierpinski μετά από πέντε υποδιαιρέσεις

33 Μαθηματικά Fractals Το τετράεδρο του Sierprinski Τα Δύο στάδια της δημιουργίας του τετραέδρου Sierpinski

34 Μαθηματικά Fractals Το δέντρο του Πυθαγόρα

35 Μαθηματικά Fractals Το δέντρο του Πυθαγόρα

36 Μαθηματικά Fractals Ένα εξάγωνο fractal

37 Μαθηματικά Fractals Ένα δωδεκάγωνο fractal

38 Μαθηματικά Fractals Η μεγάλη Βρετανία με fractal

39 Τα fractals στη φυσική και βιολογία Καταρχήν τα fractals ξεκίνησαν σαν ένα αντικείμενο των καθαρών μαθηματικών, επινόημα της ανθρώπινης φαντασίας. Δεν πέρασε πολύς καιρός όμως, για να αναδειχτούν ως ένα από τα σημαντικότερα εργαλεία για την κατανόηση πολλών μηχανισμών του φυσικού κόσμου και την επιτυχή μίμηση τους μέσω των υπολογιστών.

40 Τα fractals στη φυσική και βιολογία Η πρώτη εφαρμογή των fractals ήταν η λύση του προβλήματος του ηχητικών παράσιτων που δημιουργούνται κατά τις τηλεφωνικές συνομιλίες. Αυτά τα παράσιτα διαπίστωσε ο Mandelbrot ότι είναι ηλεκτρικές διαταραχές που εμφανίζονται ομαδοποιημένες. Ανάλογη ομαδοποίηση παρατήρησε και στα λάθη κατά την ηλεκτρική μεταβίβαση των δεδομένων των υπολογιστών. Η διαπίστωση ήταν ότι οι ομαδοποιήσεις αυτές και τα κενά μεταξύ τους θύμιζαν καταπληκτικά την δομή του συνόλου Cantor.

41 Τα fractals στη φυσική και βιολογία O Mandelbrot απέδωσε και στο σύμπαν ένα μοντέλο δομής ενός τρισδιάστατου συνόλου Cantor. Το μοντέλο αυτό σίγουρα δεν είναι καθόλου ρεαλιστικό όμως κατάφερε να ερμηνεύσει με επιτυχία την μέχρι τώρα ανεξήγητη κατανομή της αστρικής ύλης στο σύμπαν μας.

42 Σπουδαίες εφαρμογές των fractals Για πολλά χρόνια μας απασχολούσε το ερώτημα για το πώς όμοια σωματίδια συνενώνονται για να δημιουργήσουν διάφορες δομές. Για παράδειγμα, πως ενώνονται οι κρύσταλλοι από τις σταγόνες της βροχής για να σχηματίσουν μια χιονονιφάδα; Γιατί αυτή έχει εξαγωνικό σχήμα; Με την χρήση των fractals αναπτύχθηκαν διάφορα μοντέλα που προσεγγίζουν αυτές τις μορφές. Έγινε φανερό το ότι αν το σχήμα θα είναι πιο πυκνό και σφαιρικό ή πιο αραιό και διακλαδιζόμενο, εξαρτάται από τον τρόπο κίνησης των σωματιδίων.

43 Σπουδαίες εφαρμογές των fractals Ένα άλλο πρόβλημα είναι αυτό της διάχυσης. Είναι ένα πρόβλημα όπου ένα υλικό που ευνοεί την διάχυση ανταγωνίζεται κάποιο άλλο που την εμποδίζει. Το πετρέλαιο διαχέεται στα διάφορα πετρώματα. Άλλα είναι πορώδη και ευνοούν την διάχυση και άλλα όχι. Με ένα πρόγραμμα γραφικών υπολογιστή, μπορούμε να εξομοιώσουμε την διαδικασία της διάχυσης, που έχει fractal δομή. Καταλαβαίνουμε πόσο σημαντική είναι αυτή η γνώση για την αναζήτηση πετρελαίου.

44 Σπουδαίες εφαρμογές των fractals Άλλα προβλήματα διάχυσης πολύ σημαντικά για την ζωή μας που παρουσιάζουν fractal συμπεριφορά, είναι η εξάπλωση των επιδημιών σε έναν πληθυσμό (π.χ. σε ένα φυτώριο δέντρων), η εξάπλωση των πυρκαγιών στα δάση, ακόμα και ο τρόπος διάλυσης κάποιων ουσιών μέσα σε κάποιες άλλες όπως είναι η διάλυση των κόκκων του καφέ στο νερό. Στους ζωντανούς οργανισμούς τα fractals δίνουν κανόνες και μοντέλα για το πώς αναπτύσσεται το νευρικό τους σύστημα, ο εγκέφαλος, ή ακόμα και το σύστημα των αρτηριών και φλεβών.

45 Ο ρόλος των Η/Υ στη δημιουργία Fractals Οι υπολογιστές έχουν συμβάλει σημαντικά στη σχετική έρευνα, διότι μπορούν να υπολογίζουν τα διάφορα στάδια της εξέλιξης του εν λόγω δυναμικού συστήματος. Δηλαδή, μας παρέχουν τη δυνατότητα άμεσης ψηφιακής προσομοίωσης των θεωρητικών και φυσικών καταστάσεων που μελετάμε. Όπως αποδεικνύεται, ορισμένα fractals έχουν μια εγγενή σχέση με το χάος λόγω του επαναληπτικού τρόπου κατασκευής τους (δυναμικό σύστημα).

46 Η «εκμετάλλευση» των fractals Αξίζει όμως να αναφερθεί ότι, παράλληλα με αυτές τις σημαντικές επιστημονικές εξελίξεις, υπάρχει πολύς τσαρλατανισμός και μόδα σχετικά με τα fractals. «Η ευκολία πρόσβασης στην εικόνα, η γοητεία που ασκούν αυτές οι παράξενες γεωμετρικές δομές και η συνήθης ψευτοφιλοσοφική διαπλοκή που συχνά συνοδεύει κάποιες μαθηματικές επινοήσεις - όπως π.χ. η θεωρία καταστροφών, το χάος, η γεωμετρία των fractals - αποτελούν τις αιτίες πολλών παρανοήσεων σχετικά με τις δυνατότητες αλλά και τα πεδία εφαρμογής αυτών των νέων επιστημονικών θεωριών». (Αλέξης Μπακόπουλος Καθηγητής Μαθηματικών στο ΕΜΠ)

47 Το σύνολο του Mandelbrot Η ύπαρξη της σχέσης μεταξύ χάους και της Γεωμετρίας των Fractals γίνεται αντιληπτή αν εξετάσουμε το σύνολο του Mandelbrot. Θεωρείται ως το πολυπλοκότερο και το πιο εντυπωσιακό σύνολο των μαθηματικών. Πρόκειται για ένα παράδειγμα τάξης που επικρατεί στο χάος.

48 Το σύνολο του Mandelbrot Το διάσημο πλέον σύνολο του είναι μια περιοχή ορίων. Είναι ένα σύνορο, ανάμεσα στο σκοτεινό εσωτερικό του που αντιπροσωπεύει το 0 και στο γαλάζιο εξωτερικό του που είναι το άπειρο. Εκεί στο όριο διαδραματίζεται ένας ολόκληρος κόσμος με στροβίλους, πλοκάμια, μαύρες τρύπες και μικρότερα σύνολα Mandelbrot με τα ίδια ακριβώς χαρακτηριστικά.

49 Το σύνολο του Mandelbrot

50 Το σύνολο του Mandelbrot

51 Το σύνολο του Mandelbrot

52 Το σύνολο του Mandelbrot

53 Το σύνολο του Mandelbrot

54 Το σύνολο του Mandelbrot

55 Το σύνολο του Mandelbrot Υπάρχει όμως και η περίπτωση η ακολουθία των αριθμών που προκύπτει μετά την επιλογή του c, να έχει κάποιους αρχικούς όρους της μέσα στον κλειστό κυκλικό δίσκο κέντρουο(0,0) και ακτίνας 2 και οι υπόλοιποι να απομακρύνονται έξω από τον δίσκο προς το άπειρο. Στην περίπτωση αυτή μετράμε πόσοι όροι της ακολουθίας είναι μέσα στον παραπάνω κυκλικό δίσκο. Ανάλογα με το πόσοι είναι βάφουμε το αρχικό σημείο C με ένα μοναδικό χρώμα.

56 Το σύνολο του Mandelbrot Με τη βοήθεια και της εξέλιξης των γραφικών στους Η/Υ χρωματίζουμε την εικόνα του C στο μιγαδικό επίπεδο με ένα χρώμα ανάλογα με την ταχύτητα που «ξεφεύγει» από την αρχή C=0. Φανταστείτε ότι όλα τα σημεία στο επίπεδο «έλκονται» από το άπειρο και από το σύνολο του Mandelbrot. Έτσι, καταλαβαίνουμε γιατί: Α) Σημεία μακριά από το σύνολο κινούνται ταχύτερα προς το άπειρο. Β) Σημεία κοντά στο σύνολο κινούνται αργά προς το άπειρο. Γ) Σημεία εντός του συνόλου δεν ξεφεύγουν ποτέ. (Ελκυστικά και αποθητικά σημεία του συνόλου)

57 Το σύνολο του Mandelbrot Τα διαφορετικά χρώματα που πλαισιώνουν το σύνολο του Mandelbrot αντιστοιχούν στις διαφορετικές ταχύτητες «διαφυγής» των ακολουθιών που αποκλίνουν προς το άπειρο, χρησιμοποιώντας έναν αλγόριθμο του χρόνου διαφυγής. Περιοχές με τον ίδιο χρόνο «διαφυγής» έχουν το ίδιο χρώμα. Αυτό δημιουργεί τις ομόκεντρες μορφές, που χρωματίζονται σύμφωνα με την ταχύτητα διαφυγών.

58 Το σύνολο του Mandelbrot Έτσι δημιουργούμε το τελικό αποτέλεσμα της ζωγραφικής μας αν εξαντλήσουμε όλα τα σημεία του επιπέδου (ρητορικό σχήμα..) βάφοντας τα με τον παραπάνω κανόνα, δημιουργείται το σύνολο του Mandelbrot.

59 Το σύνολο του Mandelbrot με Geogebra

60 Zoom στο σύνολο του Mandelbrot

61 Zoom στο σύνολο του Mandelbrot

62 Zoom στο σύνολο του Mandelbrot

63 Zoom στο σύνολο του Mandelbrot

64 Ιδιότητες του συνόλου Mandelbrot Αυστηρό μαθηματικό ορισμό για το σύνολο του Mandelbort αποφεύγουν να δίνουν οι επιστήμονες και αντί αυτού προσδιορίζουν τις ιδιότητες που χαρακτηρίζουν σύνολο Mandelbrot : 1) Δεν είναι κενό σύνολο. 2) Είναι συνεκτικό. Δηλαδή δεν μπορεί να χωριστεί σε δύο αποκομμένα μέρη. 3) Είναι συμπαγές. Δηλαδή κλειστό και φραγμένο σύνολο. 4) Είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα χ χ, αφού για κάθε μιγαδικό c που ανήκει στο σύνολο ανήκει και ο συζυγής του επίσης.

65 Εντυπωσιακές εικόνες

66 Εντυπωσιακές εικόνες

67 Εντυπωσιακές εικόνες

68 Εντυπωσιακές εικόνες

69 Εντυπωσιακές εικόνες

70 Εντυπωσιακές εικόνες

71 Εντυπωσιακές εικόνες

72 Προγράμματα παραγωγής Fractal συνόλων Μια μεγάλη λίστα μπορείτε να βρείτε εδώ (http://www.dmoz.org/science/math/chaos_and _Fractals/Software) Mountain 3D (http://cjain.free.fr/enpage.php) Chaos Pro (http://www.chaospro.de) Fractal Surf (http://www.fractsurf.de/e_index2.html) Fractal Terrain Maker (http://www.gameprogrammer.com/fractal.html#install)

73 Benoit Mandelbrot Ο Μπενουά Μάντελμπροτ ήταν ένας από τους πιο κοσμοπολίτες επιστήμονες. Ήταν εβραίος λιθουανικής καταγωγής, αλλά είχε γεννηθεί το 1924 στην Πολωνία. Πριν από τον Β Παγκόσμιο Πόλεμο οι γονείς του μετανάστευσαν στη Γαλλία, όπου ζούσε ο θείος του, διάσημος μαθηματικός και αυτός.

74 Benoit Mandelbrot Ο Μάντελμπροτ σπούδασε στη Γαλλία και έπειτα από επισκέψεις σε διάφορα ερευνητικά κέντρα και πανεπιστήμια, προσελήφθη στο ερευνητικό κέντρο Τόμας Γουότσον της ΙΒΜ στη Νέα Υόρκη. Επειτα από 35 χρόνια εργασίας στην ΙΒΜ μετακινήθηκε στο Πανεπιστήμιο Γέιλ,όπου και τελείωσε την καριέρα του ως καθηγητής στην έδρα Στέρλινγκ. Πέθανε στις 14 Οκτωβρίου 2010 από καρκίνο στο πάγκρεας.

75 Πηγές The Fractal Geometry of Nature, (Benoit B. Mandelbrot) Ο Ταραγμένος καθρέφτης Fractals Η νέα γεωμετρική προσέγγιση του κόσμου μας z2qcbahxkg Μαθηματικές σελίδες της Ειρήνης Μια πολύ καλή διατριβή της Ελένης Ρουμελιώτου Roumeliotou.pdf Νίκος Λυγερός

76 Που θα βρείτε την παρουσίαση Ολόκληρη η παρουσίαση θα «ανέβει» από αύριο 8/3/2014 στην ιστοσελίδα μου:

77 Επίλογος «Όντας μία γλώσσα, τα Μαθηματικά μπορούν να χρησιμοποιηθούν όχι μόνον για να πληροφορήσουν αλλά, μεταξύ άλλων πραγμάτων, για να σαγηνεύσουν» Benoit Β. Mandelbrot Σας ευχαριστώ!

Fractals: Μια νέα ματιά στον κόσμο μας του Τεύκρου Μιχαηλίδη

Fractals: Μια νέα ματιά στον κόσμο μας του Τεύκρου Μιχαηλίδη Fractals: Μια νέα ματιά στον κόσμο μας του Τεύκρου Μιχαηλίδη Στις 14 Οκτωβρίου 2010 έφυγε από τη ζωή ο Μπενουά Μάντελμπροτ (Benoît Mandelbrot), ο άνθρωπος που έδωσε το όνομά του σ ένα από τα πιο περίπλοκα

Διαβάστε περισσότερα

Η επιστημονική και καλλιτεχνική δημιουργία ως αρωγοί στην εκπαιδευτική διαδικασία

Η επιστημονική και καλλιτεχνική δημιουργία ως αρωγοί στην εκπαιδευτική διαδικασία Η επιστημονική και καλλιτεχνική δημιουργία ως αρωγοί στην εκπαιδευτική διαδικασία Β. Δρακόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Ε.Κ.Π.Α. Σχολή Θετικών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT

ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT Βασιλίσιν Μιχάλης, Δέφτο Χριστίνα, Ιλινιούκ Ίον, Κάσα Μαρία, Κουζμίδου Ελένη, Λαμπαδάς Αλέξης, Μάνε Χρισόστομος, Μάρκο Χριστίνα, Μπάμπη Χριστίνα, Σακατελιάν Λίλιτ, Σαχμπαζίδου

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασμός Συνεργασία - Παρουσίαση Αριθμός μαθητών Ώρες Λειτουργίας Διάρκεια Προγράμματος Κόστος συμμετοχής

Σχεδιασμός Συνεργασία - Παρουσίαση Αριθμός μαθητών Ώρες Λειτουργίας Διάρκεια Προγράμματος Κόστος συμμετοχής Τέχνη & Μαθηματικά Μια παράλληλη περιήγηση στα Μαθηματικά της Τέχνης και την Τέχνη των Μαθηματικών Σχεδιασμός Άρης Μαυρομμάτης Αποστόλης Παπανικολάου Συνεργασία - Παρουσίαση Ναταλία Κωτσάνη Γιώργος Μαυρομμάτης

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασμός Αριθμός μαθητών Ώρες Λειτουργίας Διάρκεια Προγράμματος Κόστος συμμετοχής

Σχεδιασμός Αριθμός μαθητών Ώρες Λειτουργίας Διάρκεια Προγράμματος Κόστος συμμετοχής Τέχνη & Μαθηματικά Μια παράλληλη περιήγηση στα Μαθηματικά της Τέχνης και την Τέχνη των Μαθηματικών Σχεδιασμός Άρης Μαυρομμάτης Αποστόλης Παπανικολάου Αριθμός μαθητών έως 75 άτομα ανά δίωρο Ώρες Λειτουργίας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003 Λευκωσία, Κύπρος Τηλ: 22378101- Φαξ:22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Η Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Μακρή EFIAP. www.michalismakri.com

Μιχάλης Μακρή EFIAP. www.michalismakri.com Μιχάλης Μακρή EFIAP www.michalismakri.com Γιατί κάποιες φωτογραφίες είναι πιο ελκυστικές από τις άλλες; Γιατί κάποιες φωτογραφίες παραμένουν κρεμασμένες σε γκαλερί για μήνες ή και για χρόνια για να τις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΛΩΣΣΑΡΙΟ ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΩΝ ΟΡΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΤΑΞΕΙΣ Α ΚΑΙ Β

ΓΛΩΣΣΑΡΙΟ ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΩΝ ΟΡΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΤΑΞΕΙΣ Α ΚΑΙ Β ΓΛΩΣΣΑΡΙΟ ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΩΝ ΟΡΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΤΑΞΕΙΣ Α ΚΑΙ Β ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο έγγραφο παρουσιάζονται οι ορισμοί λέξεων που αντιπροσωπεύουν έννοιες που απαντώνται στις ενότητες των τάξεων Α και Β. Η ερμηνείες που δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

Η νέα ενότητα χρωμάτων για το μάθημα των καλλιτεχνικών: "Winterbild"

Η νέα ενότητα χρωμάτων για το μάθημα των καλλιτεχνικών: Winterbild Η νέα ενότητα χρωμάτων για το μάθημα των καλλιτεχνικών: "Winterbild" Καλλιτεχνική ζωγραφική με τις νερομπογιές Κ12 Με την Pelikan η ζωγραφική γίνεται μια μοναδική εμπειρία: Αυτός είναι και ο λόγος για

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Ορισμός κανονικού πολυγώνου) Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα Κ. Σ. Δ. Μ. Ο. Μ. Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας. Η κοινότητα στεγαζόταν

Διαβάστε περισσότερα

Πώς μπορούμε να δημιουργούμε γεωμετρικά σχέδια με τη Logo;

Πώς μπορούμε να δημιουργούμε γεωμετρικά σχέδια με τη Logo; Κεφάλαιο 2 Εισαγωγή Πώς μπορούμε να δημιουργούμε γεωμετρικά σχέδια με τη Logo; Η Logo είναι μία από τις πολλές γλώσσες προγραμματισμού. Κάθε γλώσσα προγραμματισμού έχει σκοπό τη δημιουργία προγραμμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

94 Η χρήση των νευρωνικών µοντέλων για την κατανόηση της δοµής και λειτουργίας τού εγκεφάλου. = l b. K + + I b. K - = α n

94 Η χρήση των νευρωνικών µοντέλων για την κατανόηση της δοµής και λειτουργίας τού εγκεφάλου. = l b. K + + I b. K - = α n Nευροφυσιολογία Η μονάδα λειτουργίας του εγκεφάλου είναι ένας εξειδικευμένος τύπος κυττάρου που στη γλώσσα της Νευροφυσιολογίας ονομάζεται νευρώνας. Το ηλεκτρονικό μικροσκόπιο αποκαλύπτει ότι ο ειδικός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ 1.1 Να δοθεί ο ορισμός του προβλήματος καθώς και τρία παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος παίρνει καθορισμένη τιμή. Ηλεκτρικό πεδίο Ηλεκτρικό πεδίο ονομάζεται ο χώρος, που σε κάθε σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ: Μια ενδιαφέρουσα σταδιοδρομία

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ: Μια ενδιαφέρουσα σταδιοδρομία ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ: Μια ενδιαφέρουσα σταδιοδρομία N. Μισυρλής (e-mail: nmis@di.uoa.gr) Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Parallel Scientific Computing Laboratory (PSCL)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1.Εντολές κίνησης

Κεφάλαιο 1.Εντολές κίνησης Προγραμματίζω με το ΒΥΟΒ 1 Κεφάλαιο 1.Εντολές κίνησης Από το μάθημα της Φυσικής γνωρίζουμε ότι κίνηση σημαίνει αλλαγή της θέσης ενός αντικειμένου. Οι εντολές κίνησης που μας παρέχει το ΒΥΟΒ χωρίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός: Έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων τέτοιων ώστε το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου από τις δύο εστίες να είναι σταθερό.

Ορισμός: Έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων τέτοιων ώστε το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου από τις δύο εστίες να είναι σταθερό. Η κατασκευή με τις δύο πινέζες και το νήμα Στη δραστηριότητα αυτή θα εξερευνήσετε ίσως την πλέον κοινή μέθοδο κατασκευής μιας έλλειψης. Προκειμένου να θέσετε το πλαίσιο για την κατασκευή αυτή, πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΤΕΧΝΩΝ Ενότητα: Ανεικονική Σύνθεση (Ασκήσεις Εξεταστικών Δοκιμίων 2006-2009)

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΤΕΧΝΩΝ Ενότητα: Ανεικονική Σύνθεση (Ασκήσεις Εξεταστικών Δοκιμίων 2006-2009) ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΤΕΧΝΩΝ Ενότητα: Ανεικονική Σύνθεση (Ασκήσεις Εξεταστικών Δοκιμίων 2006-2009) Αρ. μαθήματος: 1 ο (1 από 5π). Ανεικονική / Μη Ρεαλιστική Σύνθεση με χρώμα Εκπαιδευτικός:

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων

Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Ιωάννης Λιακόπουλος 1, Χαράλαμπος Λυπηρίδης 2 1 Μαθητής B Λυκείου, Εκπαιδευτήρια «Ο Απόστολος Παύλος» liakopoulosjohn0@gmail.com, 2 Μαθητής

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Όνομα Ομάδας:... Μέλη της ομάδας :...... Τάξη:... Ημερομηνία επίσκεψης:...

Όνομα Ομάδας:... Μέλη της ομάδας :...... Τάξη:... Ημερομηνία επίσκεψης:... Φυτά της Αλυκής και προσαρμογές στην Ξηρασία Όνομα Ομάδας:... Μέλη της ομάδας :...... Σχολείο:... Τάξη:... Ημερομηνία επίσκεψης:... Καταγραφή Περιβαλλοντικών συνθηκών Καλή σας μέρα. Ονομάζομαι Άγγελος

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΓΡΑΦΙΑ ΜΕ ΤΟ GOOGLE EARTH: Η ΕΥΡΩΠΗ

ΓΕΩΓΡΑΦΙΑ ΜΕ ΤΟ GOOGLE EARTH: Η ΕΥΡΩΠΗ 1 ΓΕΩΓΡΑΦΙΑ ΜΕ ΤΟ GOOGLE EARTH: Η ΕΥΡΩΠΗ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΑΘΗΤΗ Κώστας Κύρος ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1 1. Ανοίξτε το λογισμικό Google Earth και προσπαθήστε να εντοπίσετε τη θέση της Ευρώπης στη Γη. Κατόπιν για να

Διαβάστε περισσότερα

Εκτίμηση μη-γραμμικών χαρακτηριστικών

Εκτίμηση μη-γραμμικών χαρακτηριστικών Εκτίμηση μη-γραμμικών χαρακτηριστικών Μη-γραμμικά χαρακτηριστικά ή αναλλοίωτα μέτρα Διάσταση. Ευκλείδια. Τοπολογική 3. Μορφοκλασματική (συσχέτισης, πληροφορίας, μέτρησης κουτιών, ) Εκθέτες Lypunov (μεγαλύτερος,

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ

ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΞΑΝΘΗ 2013, 2 ο ΣΕΚ ΞΑΝΘΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΗΣ : ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΟΥΤΙΔΗΣ Μαθηματικός www.kutidis.gr ΑΠΡΙΛΙΟΣ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 Τι

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04-05 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς C για τους οποίους ισχύει: - = + Im() και τη συνάρτηση f : w f ( w), όπου w C, w - και f (w) = w ) Να

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem)

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Τι είναι το Πρόβλημα της Πινακοθήκης; Σας ανήκει μια πινακοθήκη και επιθυμείτε να τοποθετήσετε κάμερες ασφαλείας έτσι ώστε όλη η γκαλερί να είναι προστατευμένη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

Έτσι όµως η λέξη χάος εκφράζει κάτι κοινό για όλους: Την αστάθεια και την αταξία

Έτσι όµως η λέξη χάος εκφράζει κάτι κοινό για όλους: Την αστάθεια και την αταξία Στον αιώνα που µας αποχαιρέτησε τρεις ήταν οι µεγάλες επιστηµονικές επαναστάσεις: η σχετικότητα, η κβαντική µηχανική και η θεωρία του χάους. Η πρώτη βρήκε τη σχέση του χώρου και του χρόνου, η δεύτερη την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 ΑΝΔΡΕΑΣ Λ. ΠΕΤΡΑΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΥΧΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y = x ΔΕΥΤΕΡΗ

Διαβάστε περισσότερα

Σταυρούλα Πατσιοµίτου

Σταυρούλα Πατσιοµίτου ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ- ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ&

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

ΩΡΙΩΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΤΡΑΣ

ΩΡΙΩΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΤΡΑΣ ΩΡΙΩΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΤΡΑΣ Κ. Ν. Γουργουλιάτος ΜΑΥΡΕΣ ΤΡΥΠΕΣ Η ΒΑΣΙΚΗ ΙΔΕΑ Αντικείμενα που εμποδίζουν την διάδοση φωτός από αυτά Πρωτοπροτάθηκε γύρω στα 1783 (John( John Michell) ως αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

Να φύγει ο Ευκλείδης;

Να φύγει ο Ευκλείδης; Να φύγει ο Ευκλείδης; Σωτήρης Ζωιτσάκος Βαρβάκειο Λύκειο Μαθηματικά στα ΠΠΛ Αθήνα 2014 Εισαγωγικά Dieudonné: «Να φύγει ο Ευκλείδης». Douglas Quadling: «Ο Ευκλείδης έχει φύγει, αλλά στο κενό που άφησε πίσω

Διαβάστε περισσότερα

Νηπιαγωγείο - Δημοτικό

Νηπιαγωγείο - Δημοτικό Νηπιαγωγείο - Δημοτικό Το πρόγραμμα «Τέχνη και Μαθηματικά» για το νηπιαγωγείο δημοτικό, αποτελείται από τρία διδακτικά μέρη, δύο εκ των οποίων είναι κοινά για τους μαθητές όλων των τάξεων (Μέρη Α & Β )

Διαβάστε περισσότερα

Σας αποστέλλουμε τις προτεινόμενες απαντήσεις που αφορούν τα θέματα της Βιολογίας Γενικής Παιδείας των Ημερησίων Γενικών Λυκείων και ΕΠΑΛ (Ομάδας Β ).

Σας αποστέλλουμε τις προτεινόμενες απαντήσεις που αφορούν τα θέματα της Βιολογίας Γενικής Παιδείας των Ημερησίων Γενικών Λυκείων και ΕΠΑΛ (Ομάδας Β ). Αθήνα, 20/5/2015 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΑ ΕΝΩΣΗ ΒΙΟΕΠΙΣΤΗΜΟΝΩΝ Σας αποστέλλουμε τις προτεινόμενες απαντήσεις που αφορούν τα θέματα της Βιολογίας Γενικής Παιδείας των Ημερησίων Γενικών Λυκείων και ΕΠΑΛ (Ομάδας Β ). Η

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ

Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ Προγραμματισμός και Αλγόριθμοι Από το και τημ Χελώμα στημ Ευριπίδης Βραχνός http://evripides.mysch.gr/ 2014 2015 1 Προγραμματισμός Ζάννειο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πειραιά Ενότητα:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΟ είναι η προσπίπτουσα ακτίνα. Ο είναι η διαθλωµένη ακτίνα. ΟΚ είναι η κάθετη στο σηµείο πρόσπτωσης. α : είναι η γωνία πρόσπτωσης δ : είναι η γωνία

ΑΟ είναι η προσπίπτουσα ακτίνα. Ο είναι η διαθλωµένη ακτίνα. ΟΚ είναι η κάθετη στο σηµείο πρόσπτωσης. α : είναι η γωνία πρόσπτωσης δ : είναι η γωνία 1 2 Ανάκλασης Νόµος Ανάκλασης Ακτίνα πρόσπτωσης Κάθετη Ακτίνα ανάκλασης Νόµος Ανάκλασης: η γωνία πρόσπτωσης (α) ισούται µε τη γωνία ανάκλασης (β) α = β α β Επίπεδο κάτοπτρο ε α β α: Γωνίαπρόσπτωσης β:γωνίαανάκλασης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

THE JEWISH MUSEUM BERLIN

THE JEWISH MUSEUM BERLIN ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤ0ΝΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΠΤΙΚΟΑΚΟΥΣΤΙΚΕΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΠΟΛΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Γ.ΠΑΠΑΚΩΣΤΑΝΤΙΝΟΥ THE JEWISH MUSEUM BERLIN ΈΝΑ FILM ΤΩΝ: STAN NEUMANN KAI RICHARD COPANS

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας. Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο

Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας. Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο Πρώτη νύχτα Μονάδα Όνειρα ( εργασία ) Η έννοια του απείρου Φρόυντ Κλάσματα Αριθμητικό σύστημα ( εργασία

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά 1 Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ3 www.p-theodoropoulos.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή εξετάζεται εντός του πλαισίου της Διδακτικής των

Διαβάστε περισσότερα

Η ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΟΣΜΩΝ

Η ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΟΣΜΩΝ Η ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΟΣΜΩΝ Του Αλέκου Χαραλαμπόπουλου Όπως διατυπώθηκε στην κοσμοθεωρία μας ΤΟ ΙΔΙΟΝ, ο κόσμος μας, το σύμπαν μας είναι μία ολογραφία, περίπου ένα επίπεδο τετράγωνο. Υπάρχουν έξι

Διαβάστε περισσότερα

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Το παραμύθι της Επιπεδίας

Το παραμύθι της Επιπεδίας Το παραμύθι της Επιπεδίας Ιστορία του J.Weeks, βασισμένη σε ιδέες του μυθιστορήματος Flatland: a romance in many dimensions, του E.A.Abbott, το οποίο δημοσιεύτηκε το 1884, και στο οποίο βασίστηκε το κινηματογραφικό

Διαβάστε περισσότερα

2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης. Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007

2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης. Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007 2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007 Περίληψη Η Αλίκη µισεί τα µαθηµατικά και θεωρεί πως δε χρησιµεύουν σε τίποτα. Μια µέρα που κάθεται και διαβάζει στο πάρκο, ένα παράξενο άτοµο την προσκαλεί

Διαβάστε περισσότερα

Υλικά, Γραμμές και Τεχνικές στο Ελεύθερο Σχέδιο

Υλικά, Γραμμές και Τεχνικές στο Ελεύθερο Σχέδιο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο Α Υλικά, Γραμμές και Τεχνικές στο Ελεύθερο Σχέδιο Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να γνωρίσουν οι μαθητές τα υλικά που χρειάζονται για το ελεύθερο σχέδιο και τον τρόπο που θα τα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2010 2011.

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2010 2011. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ /ΥΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α Να διατηρηθεί µέχρι... Βαθµός Ασφαλείας...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ Δραστηριότητα 1 Εξερευνώντας το σχηματισμό των ψηφιδωτών. Ένα Ολλανδός ζωγράφος, ο M.C. Escher ( 1898-1972 ), έφτιαχνε ζωγραφικούς πίνακες χρησιμοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Prost S: Οδοποιΐα Σιδηροδρομική Υδραυλικά έργα

Prost S: Οδοποιΐα Σιδηροδρομική Υδραυλικά έργα Prost S: Οδοποιΐα Σιδηροδρομική Υδραυλικά έργα Χαρακτηριστικά Οριζοντιογραφία Στο γραφικό περιβάλλον της εφαρμογής είναι δυνατή η σχεδίαση οριζοντιογραφιών δρόμων, σιδηροδρομικών γραμμών, ανοικτών και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 13 ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΜΕ ΣΥΜΒΑΤΙΚΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ

ΕΝΟΤΗΤΑ 13 ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΜΕ ΣΥΜΒΑΤΙΚΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 13 ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΜΕ ΣΥΜΒΑΤΙΚΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΜΕΤΡΗΣΗ Εκτίμηση και μέτρηση Μ1.1 Συγκρίνουν και σειροθετούν αντικείμενα με βάση το ύψος, το μήκος,

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 4.10: Οπτικά Αποθηκευτικά Μέσα

Μάθημα 4.10: Οπτικά Αποθηκευτικά Μέσα Κεφάλαιο 4 ο Ο Προσωπικός Υπολογιστής Μάθημα 4.10: Οπτικά Αποθηκευτικά Μέσα Όταν ολοκληρώσεις το κεφάλαιο θα μπορείς: Να εξηγείς τις αρχές λειτουργίας των οπτικών αποθηκευτικών μέσων. Να περιγράφεις τον

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο.

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 63 6. Άσκηση 6 Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. 6.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης αυτής, καθώς και των δύο εποµένων, είναι η γνωριµία των σπουδαστών

Διαβάστε περισσότερα

Ερευνητική Εργασία με θέμα: «Ερευνώντας τα χρονικά μυστικά του Σύμπαντος»

Ερευνητική Εργασία με θέμα: «Ερευνώντας τα χρονικά μυστικά του Σύμπαντος» Ερευνητική Εργασία με θέμα: «Ερευνώντας τα χρονικά μυστικά του Σύμπαντος» Σωτήρης Τσαντίλας (PhD, MSc), Μαθηματικός Αστροφυσικός Σύντομη περιγραφή: Χρησιμοποιώντας δεδομένα από το διαστημικό τηλεσκόπιο

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Αριστοτέλης Μακρίδης Μαθηµατικός, Επιµορφωτής των Τ.Π.Ε Αποσπασµένος στην ενδοσχολική

Διαβάστε περισσότερα

Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων

Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ ΚΑΙ ΟΙ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ Δημήτρης Δεληκαράογλου Αναπλ. Καθ., Σχολή Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επισκ.

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Γ - Δ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012

Γ - Δ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012 1. Ποια από τις πιο κάτω προτάσεις είναι ΛΑΝΘΑΣΜΕΝΗ; Α. 8 7 > 7 6 Β. 8 5 < 6 7 Γ. 7 0 < 8 8 Δ. 1 7 > 1 8 Ε. 60 7 > 60 8 2. Ο αδύναμος κρίκος μιας αλυσίδας είναι ο 7 ος από την αρχή της και ο 11 ος από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΒΙΟΛΟΓΙΑ. 25 Ιανουαρίου 2014 ΛΥΚΕΙΟ:... ΟΜΑΔΑ ΜΑΘΗΤΩΝ: 2... 3... ΜΟΝΑΔΕΣ:

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΒΙΟΛΟΓΙΑ. 25 Ιανουαρίου 2014 ΛΥΚΕΙΟ:... ΟΜΑΔΑ ΜΑΘΗΤΩΝ: 2... 3... ΜΟΝΑΔΕΣ: ΒΙΟΛΟΓΙΑ 25 Ιανουαρίου 2014 ΛΥΚΕΙΟ:..... ΟΜΑΔΑ ΜΑΘΗΤΩΝ: 1.. 2..... 3..... ΜΟΝΑΔΕΣ: ΜΕΡΟΣ Α Κυτταρική ανάπτυξη και διάχυση ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ Διάχυση: Με τον όρο διάχυση, γενικά, χαρακτηρίζουμε την τάση

Διαβάστε περισσότερα

Η εξέλιξη της γεωμετρικής σκέψης από τον Ευκλείδη μέχρι σήμερα

Η εξέλιξη της γεωμετρικής σκέψης από τον Ευκλείδη μέχρι σήμερα Η εξέλιξη της γεωμετρικής σκέψης από τον Ευκλείδη μέχρι σήμερα Βασίλειος Παπαντωνίου Ομ. Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών bipapant@math.upatras.gr Επίκεντρο της παρουσίασης Η εξέλιξη της μαθηματικής σκέψης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2015 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΟ

ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΟ Το κεφάλαιο αυτό γράφτηκε από το Βαγγέλη Δρίβα Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με την συμμετρία στο επίπεδο. Αυτή έχει την έννοια της μεταφοράς όλων των σημείων ενός αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα»

Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα» Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα» Α] Ασκήσεις κλειστού τύπου (Σωστό Λάθος) Για τον Πλάτωνα οι καθολικές έννοιες, τα «καθόλου», δεν είναι πράγματα ξεχωριστά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Καθορισμός και διαχείριση διδακτέας ύλης των Μαθηματικών των Επαγγελματικών Λυκείων, για το σχολικό έτος 2013-14

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Καθορισμός και διαχείριση διδακτέας ύλης των Μαθηματικών των Επαγγελματικών Λυκείων, για το σχολικό έτος 2013-14 Βαθμός Ασφαλείας: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ Να διατηρηθεί μέχρι: Βαθ. Προτεραιότητας: ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel.

Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel. Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel. Έντυπο Α Φύλλα εργασίας Μαθητή Διαμαντής Κώστας Τερζίδης Σωτήρης 31/1/2008 Φύλλο εργασίας 1. Ομάδα: Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες Χρήσης. Εισαγωγή. Δεδομένα του Συστήματος

Οδηγίες Χρήσης. Εισαγωγή. Δεδομένα του Συστήματος Οδηγίες Χρήσης Εισαγωγή Η εφαρμογή Aratos Disaster Control είναι ένα Γεωγραφικό Πληροφοριακό Σύστημα, σκοπός του οποίου είναι η απεικόνιση δεδομένων καταστροφών(πυρκαγιές), ακραίων καιρικών συνθηκών (πλημμύρες)

Διαβάστε περισσότερα

Αρχή της απροσδιοριστίας και διττή σωματιδιακή και κυματική φύση της ύλης.

Αρχή της απροσδιοριστίας και διττή σωματιδιακή και κυματική φύση της ύλης. 1 Αρχή της απροσδιοριστίας και διττή σωματιδιακή και κυματική φύση της ύλης. Μέχρι τις αρχές του 20ου αιώνα υπήρχε μια αντίληψη για τη φύση των πραγμάτων βασισμένη στις αρχές που τέθηκαν από τον Νεύτωνα

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΔΤΣΙΚΗ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ ΠΑΙΔΑΓΨΓΙΚΗ ΦΟΛΗ ΥΛΨΡΙΝΑ ΣΜΗΜΑ ΜΕΣΑΠΣΤΦΙΑΚΨΝ ΠΟΤΔΨΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΔΤΣΙΚΗ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ ΠΑΙΔΑΓΨΓΙΚΗ ΦΟΛΗ ΥΛΨΡΙΝΑ ΣΜΗΜΑ ΜΕΣΑΠΣΤΦΙΑΚΨΝ ΠΟΤΔΨΝ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΔΤΣΙΚΗ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ ΠΑΙΔΑΓΨΓΙΚΗ ΦΟΛΗ ΥΛΨΡΙΝΑ ΣΜΗΜΑ ΜΕΣΑΠΣΤΦΙΑΚΨΝ ΠΟΤΔΨΝ ΔΙΠΛΨΜΑΣΙΚΗ ΕΡΓΑΙΑ ΣΗ ΑΝΑΣΑΙΑ ΚΑΡΑΚΨΣΑ ΓΝΨΡΙΜΙΑ ΜΕ ΣΑ ΥΡΑΚΣΑΛ ΠΡΟΣΑΗ ΔΙΔΑΚΑΛΙΑ ΣΟΤ ΣΗ ΔΕΤΣΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΤΗ ΕΠΙΒΛΕΠΟΝΣΕ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Περιμένης Κυριάκος Καθηγητής Τεχνολογίας Υπ/ντής 3 ου ΓΕΛ Κερατσινίου perimeniskiriakos@windowslive.

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Περιμένης Κυριάκος Καθηγητής Τεχνολογίας Υπ/ντής 3 ου ΓΕΛ Κερατσινίου perimeniskiriakos@windowslive. Η ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Περιμένης Κυριάκος Καθηγητής Τεχνολογίας Υπ/ντής 3 ου ΓΕΛ Κερατσινίου perimeniskiriakos@windowslive.com Ο Ρόλος του Εκπαιδευτικού Στηρίζει τους μαθητές στην αξιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμίας από

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

της ΓΕΩΛΟΓΙΚΗΣ ΠΥΞΙΔΑΣ

της ΓΕΩΛΟΓΙΚΗΣ ΠΥΞΙΔΑΣ Οδηγίες Χρήσης της ΓΕΩΛΟΓΙΚΗΣ ΠΥΞΙΔΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΚΤΟΝΙΚΗΣ και ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΕΩΝ Αθήνα 2010-1- Με τη γεωλογική πυξίδα μπορούμε να μετρήσουμε τα στοιχεία των επιπέδων των γεωλογικών επιφανειών

Διαβάστε περισσότερα

Περιοχή εργασίας. Τμ. Γραφιστικής (Γραφιστική με Η/Υ - In Design) 2

Περιοχή εργασίας. Τμ. Γραφιστικής (Γραφιστική με Η/Υ - In Design) 2 Περιοχή εργασίας A. Παράθυρο εγγράφου B. Συγκέντρωση πινάκων συμπτυγμένων σε εικονίδια Γ. Γραμμή τίτλου πίνακα Δ. Γραμμή μενού E. Γραμμή επιλογών Στ. Παλέτα εργαλείων Ζ. Κουμπί σύμπτυξης σε εικονίδια Η.

Διαβάστε περισσότερα

Στα 1849 ο Sir David Brewster περιγράφει τη μακροσκοπική μηχανή λήψης και παράγονται οι πρώτες στερεοσκοπικές φωτογραφίες (εικ. 5,6).

Στα 1849 ο Sir David Brewster περιγράφει τη μακροσκοπική μηχανή λήψης και παράγονται οι πρώτες στερεοσκοπικές φωτογραφίες (εικ. 5,6). ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΑ Η στερεοσκοπία είναι μια τεχνική που δημιουργεί την ψευδαίσθηση του βάθους σε μια εικόνα. Στηρίζεται στο ότι η τρισδιάστατη φυσική όραση πραγματοποιείται διότι κάθε μάτι βλέπει το ίδιο αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΔ 200: ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΥ ΙΙ. Ακαδημαϊκό Έτος 2011 2012, Χειμερινό Εξάμηνο Διδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης

ΕΣΔ 200: ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΥ ΙΙ. Ακαδημαϊκό Έτος 2011 2012, Χειμερινό Εξάμηνο Διδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟΥ ΕΣΔ 200: ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΥ ΙΙ Ακαδημαϊκό Έτος 2011 2012, Χειμερινό Εξάμηνο Διδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ . ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. β. Αν Re ( ) 0, τότε: 4 i. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w = + είναι πραγματικός και ισχύει 4 w 4. ii. Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτικές ενότητες Στόχος

Διδακτικές ενότητες Στόχος Η διδασκαλία του τριγωνομετρικού κύκλου με τον παραδοσιακό τρόπο στον πίνακα, είναι μία διαδικασία όχι εύκολα κατανοητή για τους μαθητές, με αποτέλεσμα τη μηχανική παπαγαλίστικη χρήση των τύπων της τριγωνομετρίας.

Διαβάστε περισσότερα

Η μεταβλητή "χρόνος" στη δημογραφική ανάλυση - το διάγραμμα του Lexis

Η μεταβλητή χρόνος στη δημογραφική ανάλυση - το διάγραμμα του Lexis Η μεταβλητή "χρόνος" στη δημογραφική ανάλυση - το διάγραμμα του Lexis Η αναφορά στο χρόνο Αναφερόμενοι στο χρόνο, θα πρέπει κατ αρχάς να τονίσουμε ότι αυτός μπορεί να είναι είτε το ημερολογιακό έτος, είτε

Διαβάστε περισσότερα

Κινητό Τηλέφωνο. Δέσποινα-Μαλεβή. Μαθήτρια Α1 Γυμνασίου, Ελληνικό Κολλέγιο Θεσσαλονίκης. Επιβλέπων Καθηγητής: Κωνσταντίνος Παρασκευόπουλος

Κινητό Τηλέφωνο. Δέσποινα-Μαλεβή. Μαθήτρια Α1 Γυμνασίου, Ελληνικό Κολλέγιο Θεσσαλονίκης. Επιβλέπων Καθηγητής: Κωνσταντίνος Παρασκευόπουλος Κινητό Τηλέφωνο Δέσποινα-Μαλεβή Μαθήτρια Α1 Γυμνασίου, Ελληνικό Κολλέγιο Θεσσαλονίκης Επιβλέπων Καθηγητής: Κωνσταντίνος Παρασκευόπουλος Καθηγητής Πληροφορικής Ελληνικού Κολλεγίου Θεσσαλονίκης 1.Περίληψη

Διαβάστε περισσότερα