EKONOMETRIJA 1 (Regresinė analizė)
|
|
- Μαριάμ Λιάπης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 EKONOMETRIJA 1 Regresinė analizė Kontrolinis Sudarė M.Radavičius Kai kurių užduočių sprendimai KOMENTARAS. Kai kuriems uždaviniams tik nusakytos sprendimų gairės, kai kurie iš jų suskaidyti į smulkesnes paprastas užduotis, kurias jau galite padaryti savarankiškai, o kai kurie sprendimai net keliais variantais surašyti nuosekliai ir detaliai. Bet net pastaruoju atveju, kai tik suvoksite sprendimo kelią, pasistenkite tas užduotis padaryti patys ir tik po to nagrinėkite si ūlomus sprendimų b ūdus. 1 Užduotis. Duomenys x y z Kintamasis z {1, } aprašo dvi skirtingas situacijas: z = 1 ir z = pvz., moteris/vyras, Estija/Lietuva ir pan.. Abiem situacijom y-o regresinės priklausomybės nuo x-o funkcijos yra tiesinės ir jų reikšmės pradiniu momentu x = 0 sutampa, tačiau gali skirtis jų kitimo tendencijos posvirio koeficientai. a Sudarykite stebėjimų daugialypės tiesinės regresijos DTR modelį ir užrašykite jį matriciniu pavidalu. [3] b Raskite regresijos koeficientų mažiausių kvadratų įvertį MKĮ ˆβ. [5] c Įvertinkite paklaidų dispersiją, R ir ˆβ kovariacijų matricą. [5] d Patikrinkite hipotezę H 0, kad regresijos funkcijos abiem situacijom yra tos pačios. Čia ir toliau reikšmingumo lygmuo α = 0.1. [5] e Sukonstruokite y sąlyginio vidurkio f z x ir naujos jo reikšmes yx; z prognozės, kai x = 10, o z = 1 arba z =, γ-pasikliautinuosius intervalus su γ = 0.9. Abiem situacijom, kai z = 1 arba z =, patikrinkite hipotezes H 0 : f z 10 = 0 ir H 0 : y10; z = 0. [5] f Patikrinkite hipotezę H 0 : f 1 10 = 1, f 10 = 1. [7] 1 Užduoties Sprendimas. a, b, c, f 1a. Kadangi kalba eina apie regresiją, užrašome bendrą regresijos lygtį: y = fx + ε. Užduoties sąlygoje išskirtos dvi situacijos: kai z = 1 ir kai z =. Vadinasi, y = { f1 x + ε, jeigu z = 1, f x + ε, jeigu z =. Arba trumpai analitinė forma! y = f z x + ε. 1
2 Pasinaudoję tuo, kad abiem atvejais, y regresijos funkcijos atžvilgiu x yra tiesinės ir be to f 1 0 = f 0, galima užrašyti y = a + b z x + ε. 1 Taigi, turime 3 nežinomus parametrus a, b 1 ir b. Prediktorius prie kiekvieno iš jų pažymėkime atitinkamai u 0, u 1 ir u. Formaliai galime užrašyti y = au 0 + b 1 u 1 + b u + ε, ir šis reiškinys kiekvienam stebėjimui t.y., kiekvienai duomenų eilutei turėtų sutapti su 1. Nuosekliai sustatę x ir y skaitines reikšmes iš duotos duomenų lentelės į 1 priklausomai nuo to, ar z = 1 ar z =, ir atitinkamai parinkę u 0, u 1 ir u reikšmes lygybėje empirinis b ūdas!, gausime tokį matricinį pavidalą Apskaičiuojame = U U = a b 1 b ε1 ε ε3 ε4 ε5 ε6 ε7 ε8 =: Uβ + E., 3 U Y = 4, 63, Čia ir toliau trumpumo dėlei pažymime β := a, b 1, b. 1b. Mažiausių Kvadratų Įverčio MKĮ apskaičiavimas. Tai nuobodus darbas. Tačiau atliekant b ūtent tokį darbą ir buvo atrastas kompiuteris. Gal ką nors pavyks atrasti ir mums? Ką mes žinome apie MKĮ ˆβ? Jis tenkina tiesinę lygtį lygčių sistemą atžvilgiu β: U Uβ = U Y, 5 kurią, jeigu ranku = k šiuo atveju k = 3, galima išspręsti atžvilgiu β ir gauti ˆβ = U U 1 U Y. 6 m1 Matyt, paprasčiausias b ūdas rasti MKĮ yra išspręsti 3-ios eilės tiesinių lygčių sistemą atžvilgiu a, b 1 ir b, gaunamą iš 5: 8a +11b 1 +17b = 4 11a +53b 1 +0b = 63 17a +0b 1 +87b = 48. 7
3 Antrąją lygtį padauginę iš 11/53, o trečiąją iš 17/87 ir pridėję prie pirmosios lygties, randame a = 8 11 /53 17 / / /87 = / Iš antrosios ir trečiosios suskaičiuojame b , b Šio metodo tr ūkumas: šiame etape išvengę U U 1 skaičiavimo, nieko labai nesutaupėme, nes ją vis vien reiks skaičiuoti punkte 1c, norint įvertinti ˆβ kovariacijų matricą. Tačiau stropuoliui tai nėra labai didelė problema: užtenka tas pačias operacijas pakartoti 3 kartus, lygčių sistemos 7 dešninę pusę paeiliui pakeičiant į vienetinės matricos I 3 stulpelius vektorius- stulpelius. m Kadangi modelyje 1 yra laisvasis narys a, tai galima sumažinti verčiamos matricos eilę centruojant kintamuosius. Tuomet ˆb 1, ˆb = U U 1 U Ẏ. 8 Kadangi V := U U = N cov u1 šiuo atveju N = 8, tai ją paprasta apskaičiuoti is formulių u, u1 cov u 1, u 1 = u 1 u 1, cov u 1, u = u 1 u u 1 u, cov u, u = u u. u 9 Paprastas ir kvadratų sumas jau suskaičiavome formulėje 3. Taigi, cov u 1, u 1 = 53/8 11/8 = 303/64, Vėl gi Iš čia, 3 ir 4 cov u 1, u = 0/8 11/8 17/8 = 188/64, cov u, u = 87/8 17/8 = 407/64. N 1 U Ẏ = cov u 1, y, cov u, y. 10 cov u 1, y = 63/8 11/8 4/8 = 4/64, 11 cov u, y = 48/8 17/8 4/8 = 330/64. 1 Remiantis gautais paskaičiavimais bei formulėmis 8,9,10,11,11 ir suradus V 1 gauname atsakymą: ˆb 1, ˆb 0.51, 1.05, â = ȳ ˆb 1, ˆb u 1, u / Šio metodo tr ūkumas tas pats kaip ir m1: sutaupę kažkiek skaičiavimų šiame etape, punkte 1c turėsime už tai atidirbti. Bet galima tai padaryti ir dabar. 3
4 Centravę prediktorius u 1 ir u lygtyje gausime Tada a = ã b 1 ū 1 b ū, b 1 = b 1 ir b = b. Vadinasi, a 1 ū 1 ū ã b 1 = b1, T := b b Parametrų ã, b 1 ir b covariacinė matrica yra lygi y = ãu 0 + b 1 u 1 + b u + ε ū 1 ū σ 1 N U 1 U 1 N U 1 U 1 = σ N 0 0 V Pirmoje eilutėje ir stulpelyje nuliai gaunasi todėl, kad U 1 ir U yra statmeni 1 N. Matrica, esanti dešinėje lygybės 15 pusėje lengvai apverčiama: N reikia keisti į 1/N, o V į V 1, kuri iš principo jau yra suskaičiuota anksčiau. Pasinaudoję 14 ir 15 gausime cov ˆβ, ˆβ = σ T N V 1 T. Lieka "tik" σ pakeisti į s, sustatyti skaičius ir atlikti "elementarius" veiksmus. m3 Pasinaudosime blokinės matricos A B B D apverimo formule. Matricos A ir D yra simetrinės. Kadangi reiks apskaičiuoti matricos D atvirkštinę, tai geriau, kai ji yra kuo paparastesnė. Jeigu paprastesnė b ūtų matricaa, tai reiktų D ir A sukeisti vietomis tiesiog pačiose formulėse arba sukeičiant vietomis atitinkamas eilutes ir stulpelius pernumeruojant. Šiuo atveju U U = = A B Taigi, matrica D yra labai paprasta: diagonalinė. Atvirkštinės matricos atitinkami blokai Ā = A B D 1 B 1 = 8 11 / /87 1 = 1/ , B = ĀB D /53, 17/ , 0.08, B D. D = D 1 I B B /53/ /87/ /53/ /87/
5 Iš 6 ir 4 ˆβ Fuuuuuu......, atrodo, su skaičiavimais baigėm. 1c. Liekanų empirinę dispersiją galima suskaičiuoti tiesiogiai, pradžioje apskaičiavus stebėtų reikšmių prognozes, po to jų skirtumus, t.y. liekanas ir t.t. Tačiau taupant skaičiavimų sąnaudas geriau pasinaudoti formulėmis. Pvz., σ y = N 1 Ẏ = N 1 Y c1 N ȳ c, kuri teisinga bet kuriam c. Geriausia vietoje c imti "gražų" skaičių artimą vidurkiui. Šiuo atveju c = 5. σ y = 8 1 [ ] 1/4 = / Skaičiuojant prognozės dispersiją naudojamės 10 ir 1 Vadinasi, σ ŷ = N 1 b 1, b U Ẏ 0.51, 1.054/64, 330/64 / σ ˆε , s /5.77, R 5.08/6.81. Įvertinių ˆβ kovariacijų matricos įvertinį gausime matricą B := X X 1 padauginę iš s. Matrica B jau suskaičiuota: tai 3 3 matrica, kuri stovi iškart už pirmojo lygybės ženklo formulėje 16. Kaip ją paprasčiau apskaičiuoti atvejais m1 ir m jau aptarėme anksčiau. Visi hipotezių tikrinimo ir pasikliautinųjų intervalų radimo uždaviniai yra panašus. Todėl trumpai aptarsime tik sudėtingesnį atvejį 1f, kai nulinė hipotezė H 0 susideda iš dviejų tvirtinimų. 1f. Turime θ = f 1 10, f 10, { f1 10 = a + 10b 1, f 10 = a + 10b, { ˆf1 10 = â + 10ˆb , ˆf 10 = a + 10ˆb Vadinasi, H 0 lygčių apribojimų matrica yra T :=,
6 o θ 0 = 1, 1. Todėl B := = Pažymėkime ˆθ parametro θ įvertį suskaičiuotą 18. Fišerio statistika lygi F = 1/ ˆθ θ 0 B 1 ˆθ θ 0 s Palyginę šia reišmę su F, matome, kad atmesti hipotezę H 0 nėra pagrindo. Užduotis. Duoti trimačiai vektoriai X 1 = 1, 1,, X =, 1, 1 ir Y = 1,, 3. Rasti Y ortogonalią projekciją į plokštumą, einančią per taškus X 1, X ir 0, 0, 0. [4] Užduoties Sprendimas. Komentaras Šią užduotį padarė dauguma, nors ne visiems gerai sekėsi su aritmetika. Pagrindinė problema buvo susijusi su tašku 0, 0, 0, kurį daugumas norėjo įtraukti kaip vektorių-stulpelį į matricą X. Kad ši mintis J ūsų daugiau netrikdytų, užtenka suvokti, kad trimačių vektorių X 1 = 1, 1,, X =, 1, 1 su pradžiomis taške 0, 0, 0 generuotas tiesinis poerdvis yra plokštuma, kurioje šie vektoriai guli, ir tai yra plokštuma, einanti per 3 taškus X 1, X taškai sutapatinami su šių vektorių galais ir 0, 0, 0. Kadangi užduoties rasti projektorių nebuvo, tai galima buvo sutaupyti darbo sąnaudas skaičiavimus atliekant tokia pat tvarka kaip MKM e: X Y ; X X 1 b := X X 1 X Y Xb. 3 Užduotis. Tegu atsitiktinio taško x, y pasiskirstymo tankis px, y trikampyje S su virš ūnėmis A0, 0, B, 5 ir C4, yra pavidalo px, y = wx1 + y, x, y S, o x turi tolygų sąlyginį skirstinį prie sąlygos, kad y yra duotas. Čia wx yra tam tikra teigiama funkcija. Suraskite funkciją wx, regresijos funkcijas y atžvilgiu x, o taip pat x atžvilgiu y, ir užrašykite jas analitiškai. [1] 3 Užduoties Sprendimas. Tik vienas klausimas: wx radimas Kaip surasti funkciją wx? Aptarsime tik šį klausimą, nes visi, kas tik galėjo stengėsi, šį uždavinį ar jo dalį padarė. Nežinia kodėl buvo sunkumų su x-o atžvilgiu y regresijos funkcija. Juk sąlygoje yra pasakyta, kad sąlyginis x-o atžvilgiu y skirstinys yra tolygus! Vadinasi, reikėjo tik paimti ir surasti tiesės tiesių y = const atkarpos atkarpų srityje S vidurinį tašką. 6
7 Kadangi x-o atžvilgiu y sąlyginis skirstinys yra tolygus, jo pasiskirstymo tankis srityje S t.y., kai x, y S nepriklauso nuo x. Vadinasi, wx const =: w 0. Pažymėkime hx = min5x/, 8 3x/. Konstantą w 0 randame iš lygybės: 4 hx 1 = px, ydxdy = w 0 dx 1 + y dy S 0 x/ 4 x = w 0 hx 0 + h3 x x3 dx 3 4 = w 0 x / + 31x 4 /4 + /38 0 3x/4 /1 x 4 /96 4 = w /3 8/9 + 65/18 8/3 + 1/6 = w /18 = 1008w 0 /18 = 56w 0. Padėka tiems, kas patikrins ar nepadarėme aritmetinės klaidos. 4 Užduotis. Tarkime, kad duomenys x y tenkina modelį yt = β 0 + β 1 x + β x + εt, t = 1,..., 8, 1 ir išpildytos Gauso-Markovo salygos. Įvertinkite regresijos funkciją, jos išvestinę taške x = 1, maksimumo argumento reikšmę x max ir integralą intervale [0, 5]. Kurie iš minėtų įvertinių yra nepaslinktieji? efektyv ūs? [15] Patikrinkite hipotezę H 0 : x max = 1 ln ln / ln ir hipotezę, kad regresijos funkcija yra iškila. Čia ir toliau α = 0.1. [10+0] 4 Užduoties Sprendimas. Gairės Ši užduotis buvo skirta tiems, kurie "tingi" skaičiuoti. Jos esmė tame, kad pastebėjus, jog x įgyja tik 3 skirtingas reikšmes, b ūtent tiek, kiek yra nežinomų parametrų, galima išvengti matricų dauginimų ir vartaliojimų. Įvertinta regresijos kreivė funkcija turi eiti per taškus 0, ȳ 0, 1, ȳ 1 ir, ȳ, kur ȳ i yra sąlyginis aritmetinis kintamojo y vidurkis prie sąlygos, kad x yra lygus i, i = 0, 1, : ȳ 0 = /3 = 5, ȳ 1 = /3 = /3, ȳ = 4 + 1/ = 5/. Parametrų MKĮ ˆβ 0, ˆβ 1, ˆβ randame išprendę tiesinę lygčių sistemą: β 0 +1 β 1 +0 β = 5 =: ȳ 0 β 0 + β 1 +1 β = /3 =: ȳ 1 β 0 +4 β 1 + β = 5/ =: ȳ. Tuo tikslu iš 3-ios lygties atimame dvigubą -ąją lygtį ir gauname, kad ˆβ 0 = /3 5/ = 1 + 1/6. Iš 1-os randame ˆβ 1 = 7 1/6, o iš -os ˆβ = / /6 = 9 + 1/. Įvertinių nepaslinktumas ir efektyvumas. Kadangi tiek pati regresijos funkcija, tiek jos išvestinė bei integralas yra tiesinės funkcijos atžvilgiu nežinomų parametru β 0, β 1, β, tai jų 7
8 įvertiniai, gauti vietoje nežinomų parametrų įstačius jų MKĮ, yra pagal Gauso-Markovo teoremą nepaslinktieji ir efektyv ūs. Maksimumo taškasx max yra netiesinė nežinomu parametrų β 1 ir β funkcija ži ūr., žemiau ir todėl gali b ūti paslinktas taip ir yra!!! ir neefektyvus, nes jam Gauso-Markovo teorema negalioja. Kadangi įvertinta regresijos kreivė funkcija eina per taškus 0, ȳ 0, 1, ȳ 1 ir, ȳ, tai paklaidų dispersijos įvertis randamas taip jo apskaičiavimui nereikia žinoti ˆβ!!!: σ = [ /3 ] + 3/ /8 = 99/ s = 8/5 σ = 39/70 = 3 + 9/ Patikrinsime hipotezę H 0 : x max = x 0 =: 1 ln ln / ln. Kadangi x max = log β /β 1 ln, tai x max = x 0 ekvivalentu β 1 = β. Įstatę šį apribojimą į 1 gauname paprastosios tiesinės regresijos PTR modelį su nežinomais parametrais β 0 ir β 1 ir nauju prediktoriumi z = x x. Todėl MKM ˆβ 1 yra lygus cov ˆβ 1 = y, z σz = 1 0. Iš tikro. Kintamasis z įgyja tik skirtingas reikšmes: 1, kai x = 1 3 kartus, ir 0, kai x = 1 ir x =. Todėl σ z = 3/8 3/8 = 15/8, cov y, z = 3 ȳ 0 /8 ȳ 3/8 = 3 5/8 1/4 3/8 = 3/3 y reikšmės tokios pačios kaip ir 1-oje užduotyje, vadinasi ȳ jau buvo ten suskaičiuotas: ȳ = 5 + 1/4. Atrodo, truputėli įsijaučiau. Atsiprašau. Iš tikrųjų mums pačio MKĮ nereikia, o tik liekanų ε, gautų regresijos modelyje 1 taikant MKM su apribojimu β 1 = β, empirinės dispersijos σ ε. Turime R = [ĉory, z] ir σ ε = σ y1 R = σ y [ĉovy, z] /σ z = 6+13/16 1/0 3/ Taigi, šiuo atveju apribojimų skaičius m = 1 ir todėl Fišerio statistika yra lygi F = N σ ε σ s Tai ženkliai daugiau už F 1, , todėl hipotezę H 0 tenka atmesti. Nulinę hipotezę H 0 apie regresijos funkcijos iškilumą tiesmukiškai patikrinti nepavyksta, nes ji, skirtingai nuo atvejų nagrinėtų per paskaitas ar pratybas, yra sudėtingoji, t.y. neleidžia vienareikšmiškai nusakyti stebėjimų skirstinį. Todėl b ūtini tam tikri išvedžiojimai. Nesunku matyti, kad regresijos funkcija iškila tada ir tik tada, kai β 1 0. Todėl H 0 : β 1 0, o alternatyva yra H 1 : β 1 < 0. Konstruojant kriterijų nat ūralu vietojeh 0 nagrinėti kitą paprastąją!!! nulinę hipotezę H 0 : β 1 = 0, nes jeigu turimi duomenys liudys H 1 naudai prieš H 0, tai jie liudys ir prieš H 0 : juk H 0 yra pats "artimiausias" prie H 1 atvejis iš visų galimų H 0 variantų. Tai nėra matematiškai tikslus tvirtinimas, bet atitinka sveiką nuovoką. Todėl reikiamą kriterijų konstruojame remiantis įprasta t statistika hipotezei β 1 = 8
9 0 tikrinti, tik reikia atsižvelgti, kad alternatyva yra vienpusė ir todėl "dvipusė nelygybė" keičiama į "vienpusę" apatinę ir vietoje kvantilio t N k 1 α/ imamas kvantilis t N k 1 α. Liko tik apskaičiuoti t statistiką. Šį uždavinį sprendžiant tiesmukiškai reiktų, visų pirma, susidaryti plano matricą X, po to apskaičiuoti X X, paskui ją apversti ir t.t. Bet tai ne tinginio kelias. Todėl, visu pirma, pastebėsime, kad kai teisinga H 0 regresijos lygtis 1 virsta PTR modeliu. Taigi, analogiškai kaip 3, gauname σ ε = σ y [ĉory, x 1] σ x 1 = = /3 1+ 5/ Žinome, kad statistika F = t, o šiuo atveju statistikos t ženklas sutampa su ˆβ 1 ženklu. Vadinasi, remiantis 5 panašiai kaip 4, galime parašyti t = F = N σ ε σ /s 10 < t := t N k 1 α. 6 Taigi papuolame į kritinę sritį ir priversti H 0, o tuo pačiu ir H 0, atmesti. 5. Užduotis. Tegu yt = βxt + εt, xt > 0, t = 1,..., N, ir patenkintos Gauso- Markovo sąlygos. Apibrėžkime ˆβ 0 = ȳ x, ˆβ 1 = 1 N N t=1 z = 1 N zt, z {x, y}, N t=1 yt Nt=1 xt, xtyt ˆβ = Nt=1 x t. Palyginkite įvertinius ˆβ 0, ˆβ 1, ˆβ tarpusavyje ir ištirkite, prie kokių sąlygų jie yra nepaslinktieji [5], pagrįstieji [0] ir efektyv ūs [15]. [40] 5 Užduoties Sprendimas. Gairės: labai trumpai Trečiasis įvertinys ˆβ yra mažiausiųjų kvadaratų, todėl jis yra nepaslinktasis ir efektyvus. Kiti du taip pat yra nepaslinktieji ir be to tiesiniai, todėl pagal Gauso-Markovo teoremą gali b ūti efektyv ūs tik tada, kai sutampa su ˆβ. Iš čia nesunkiai išvedame, kad tai gali b ūti tik tada, kai yt c xt kuriam nors c 0. Patikrinkime, pvz., kad ˆβ 0 yra nepaslinktasis aišku, reikia reikalauti, kad x 0: E ˆβ 0 = Eȳ x = β x x = β. Pagrįstumui ištirti reikia suskaičiuoti dispersiją: D ˆβ 0 = Dȳ x = σ N x. Kad ˆβ 0 b ūtų pagrįstas reikia, kad dispersija artėtų į 0, kai N kad to užtenka išplaukia iš Čebyševo nelygybės. Vadinasi, reikia, kad N x. BAIGTA!!! 9
Matematika 1 4 dalis
Matematika 1 4 dalis Analizinės geometrijos elementai. Tiesės plokštumoje lygtis (bendroji, kryptinė,...). Taško atstumas nuo tiesės. Kampas tarp dviejų tiesių. Plokščiosios kreivės lygtis Plokščiosios
Διαβάστε περισσότεραDISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2
DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2010 m. vasario 23 d. Santrauka Antras laboratorinis darbas skirtas išmokti sudarinėti daugialypės
Διαβάστε περισσότεραDviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės
Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės Dalinės išvestinės Tarkime, kad dviejų kintamųjų funkcija (, )yra apibrėžta srityje, o taškas 0 ( 0, 0 )yra vidinis srities taškas. Jei fiksuosime argumento
Διαβάστε περισσότεραDISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 1
DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 1 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2010 m. vasario 9 d. Santrauka Pirmas laboratorinis darbas skirtas išmokti generuoti nesudėtingus
Διαβάστε περισσότεραVilniaus universitetas. Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS
Vilniaus universitetas Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS Vilnius 1992 T U R I N Y S 1. Vektorinė erdvė............................................. 3 2. Matricos rangas.............................................
Διαβάστε περισσότεραTemos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas
Pirmasis uždavinys Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas Uždavinio formulavimas a) Žinoma n = 50 tiriamo
Διαβάστε περισσότεραI.4. Laisvasis kūnų kritimas
I4 Laisvasis kūnų kitimas Laisvuoju kitimu vadinamas judėjimas, kuiuo judėtų kūnas veikiamas tik sunkio jėos, nepaisant oo pasipiešinimo Kūnui laisvai kintant iš nedidelio aukščio h (dau mažesnio už Žemės
Διαβάστε περισσότεραSpecialieji analizės skyriai
Specialieji analizės skyriai. Trigonometrinės Furje eilutės Moksle ir technikoje dažnai susiduriame su periodiniais reiškiniais, apibūdinamais periodinėmis laiko funkcijomis: f(t). 2 Paprasčiausia periodinė
Διαβάστε περισσότερα1.4. Rungės ir Kuto metodas
.4. RUNGĖS IR KUTO METODAS.4. Rungės ir Kuto metodas.4.. Prediktoriaus-korektoriaus metodas Palyginkime išreikštinį ir simetrinį Eulerio metodus. Pirmojo iš jų pagrindinis privalumas tas, kad išreikštinio
Διαβάστε περισσότεραI dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI ATSAKYMAI
008 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija Kiekvieno I dalies klausimo teisingas atsakymas vertinamas tašku. I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI
Διαβάστε περισσότεραElektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose
lktroų ir skylučių statistika puslaidiikiuos Laisvų laidumo lktroų gracija, t.y. lktroų prėjimas į laidumo juostą, gali vykti kaip iš dooriių lygmų, taip ir iš valtiės juostos. Gracijos procsas visuomt
Διαβάστε περισσότερα4.1 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n. Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai vektoriu
IV DEKARTO KOORDINAČIU SISTEMA VEKTORIAI 41 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai α = (a 1,, a n ) Be mums jau žinomu
Διαβάστε περισσότεραANALIZINĖ GEOMETRIJA III skyrius (Medžiaga virtualiajam kursui)
ngelė aškienė NLIZINĖ GEMETRIJ III skrius (Medžiaga virtualiajam kursui) III skrius. TIESĖS IR PLKŠTUMS... 5. Tiesės lgts... 5.. Tiesės [M, a r ] vektorinė lgtis... 5.. Tiesės [M, a r ] parametrinės lgts...
Διαβάστε περισσότερα1. Individualios užduotys:
IV. PAPRASTOSIOS DIFERENCIALINĖS LYGTYS. Individualios užduots: - trumpa teorijos apžvalga, - pavzdžiai, - užduots savarankiškam darbui. Pirmosios eilės diferencialinių lgčių sprendimas.. psl. Antrosios
Διαβάστε περισσότερα1 TIES ES IR PLOK TUMOS
G E O M E T R I J A Gediminas STEPANAUSKAS 1 TIES ES IR PLOK TUMOS 11 Plok²tumos ir ties es plok²tumoje normalin es lygtys 111 Vektorin e forma Plok²tumos α padetis koordina iu sistemos Oxyz atºvilgiu
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 3 dalis
Matematika 1 3 dalis Vektorių algebros elementai. Vektorių veiksmai. Vektorių skaliarinės, vektorinės ir mišriosios sandaugos ir jų savybės. Vektoriai Vektoriumi vadinama kryptinė atkarpa. Jei taškas A
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIJOS. veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena. a = {a 1,..., a n } ir b = {b 1,... b n } skaliarine sandauga
VII DAUGELIO KINTAMU JU FUNKCIJOS 71 Bendrosios sa vokos Iki šiol mes nagrinėjome funkcijas, apibrėžtas realiu skaičiu aibėje Nagrinėsime funkcijas, kurios apibrėžtos vektorinėse erdvėse Tarkime, kad R
Διαβάστε περισσότερα0.1. Bendrosios sąvokos
.1. BENDROSIOS SĄVOKOS 1.1. Bendrosios sąvokos.1.1. Diferencialinės lygtys su mažuoju parametru F ) x n),x n 1),...,x,x,t;ε =, xt;ε) C n T), T [,+ ), < ε ε ) F x n) t;ε),x n 1) t;ε),...,x t;ε),xt;ε),t;ε,
Διαβάστε περισσότεραIV. FUNKCIJOS RIBA. atvira. intervala. Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam,
41 Funkcijos riba IV FUNKCIJOS RIBA Taško x X aplinka vadiname bet koki atvira intervala, kuriam priklauso taškas x Taško x 0, 2t ilgio aplinka žymėsime tokiu būdu: V t (x 0 ) = ([x 0 t, x 0 + t) Sakykime,
Διαβάστε περισσότεραDiskrečioji matematika
VILNIAUS UNIVERSITETAS Gintaras Skersys Julius Andrikonis Diskrečioji matematika Pratybų medžiaga Versija: 28 m. sausio 22 d. Vilnius, 27 Turinys Turinys 2 Teiginiai. Loginės operacijos. Loginės formulės
Διαβάστε περισσότεραĮžanginių paskaitų medžiaga iš knygos
MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 1 Teiginio
Διαβάστε περισσότεραEkonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė
Ekonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė dėst. T. Rekašius, 2012 m. lapkričio 19 d. 1 Duomenys Visi trečiam laboratoriniam darbui reikalingi duomenys yra tekstinio formato failuose http://fmf.vgtu.lt/~trekasius/destymas/2012/ekomet_lab3_xx.dat,
Διαβάστε περισσότερα2008 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija
008 M MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA 008 m matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 7 uždavinių atsakymai I variantas Užd
Διαβάστε περισσότεραX galioja nelygyb f ( x1) f ( x2)
Monotonin s funkcijos Tegul turime funkciją f : A R, A R. Apibr žimas. Funkcija y = f ( x) vadinama monotoniškai did jančia (maž jančia) aib je X A, jei x1< x2 iš X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) ( f
Διαβάστε περισσότεραMATEMATINĖ LOGIKA. Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos
MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 Teiginio
Διαβάστε περισσότεραĮvadas į laboratorinius darbus
M A T E M A T I N Ė S T A T I S T I K A Įvadas į laboratorinius darbus Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2005 m. rugsėjo 26 d. Reziumė Laboratorinis darbas skirtas susipažinti su MS Excel priemonėmis
Διαβάστε περισσότεραIII. MATRICOS. DETERMINANTAI. 3.1 Matricos A = lentele žymėsime taip:
III MATRICOS DETERMINANTAI Realiu ju skaičiu lentele 3 Matricos a a 2 a n A = a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn vadinsime m n eilės matrica Trumpai šia lentele žymėsime taip: A = a ij ; i =,, m, j =,, n čia
Διαβάστε περισσότεραFDMGEO4: Antros eilės kreivės I
FDMGEO4: Antros eilės kreivės I Kęstutis Karčiauskas Matematikos ir Informatikos fakultetas 1 Koordinačių sistemos transformacija Antrosios eilės kreivių lgtis prastinsime keisdami (transformuodami) koordinačių
Διαβάστε περισσότεραKADETAS (VII ir VIII klasės)
ADETAS (VII ir VIII klasės) 1. E 10 000 Galima tikrinti atsakymus. adangi vidutinė kainasumažėjo, tai brangiausia papūga kainavo daugiau kaip 6000 litų. Vadinasi, parduotoji papūga kainavo daugiau kaip
Διαβάστε περισσότερα2.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS
.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS 5.. Pirmoji Bolcao Koši teorema. Jei fucija f tolydi itervale [a;b], itervalo galuose įgyja priešigų želų reišmes, tai egzistuoja tos tašas cc, ( ab ; ), uriame
Διαβάστε περισσότερα2015 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija. I dalis
PATVIRTINTA Ncionlinio egzminų centro direktorius 0 m. birželio d. įskymu Nr. (..)-V-7 0 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pgrindinė sesij I dlis Užd. Nr. 4 7
Διαβάστε περισσότεραPaprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS
Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Taikomosios matematikos institutas, Diferencialinių lygčių katedra Naugarduko g. 24, LT-3225
Διαβάστε περισσότεραVilijandas Bagdonavi ius. Julius Jonas Kruopis MATEMATIN E STATISTIKA
VILNIAUS UNIVERSITETO MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS Vilijandas Bagdonavi ius Julius Jonas Kruopis MATEMATIN E STATISTIKA Vadovelis IV DALIS DAUGIAMAT E STATISTIKA Vilniaus universiteto leidykla
Διαβάστε περισσότεραSpecialieji analizės skyriai
Specialieji analizės skyriai. Specialieji analizės skyriai Kompleksinio kinamojo funkcijų teorija Furje eilutės ir Furje integralai Operacinis skaičiavimas Lauko teorijos elementai. 2 Kompleksinio kintamojo
Διαβάστε περισσότερα1 Įvadas Neišspręstos problemos Dalumas Dalyba su liekana Dalumo požymiai... 3
Skaičių teorija paskaitų konspektas Paulius Šarka, Jonas Šiurys 1 Įvadas 1 1.1 Neišspręstos problemos.............................. 1 2 Dalumas 2 2.1 Dalyba su liekana.................................
Διαβάστε περισσότεραPaprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS
Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius,
Διαβάστε περισσότερα06 Geometrin e optika 1
06 Geometrinė optika 1 0.1. EIKONALO LYGTIS 3 Geometrinėje optikoje įvedama šviesos spindulio sąvoka. Tai leidžia Eikonalo lygtis, kuri išvedama iš banginės lygties monochromatinei bangai - Helmholtco
Διαβάστε περισσότερα0.1. Bendrosios sąvokos
0.1. BENDROSIOS SĄVOKOS 1 0.1. Bendrosios sąvokos 0.1.1. Diferencialinės lygtys su mažuoju parametru F ) x n),x n 1),...,x,x,t;ε = 0, xt;ε) C n T), T [0,+ ), 0 < ε ε 0 ) F x n) t;ε),x n 1) t;ε),...,x t;ε),xt;ε),t;ε
Διαβάστε περισσότεραMatematinės analizės konspektai
Matematinės analizės konspektai (be įrodymų) Marius Gedminas pagal V. Mackevičiaus paskaitas 998 m. rudens semestras (I kursas) Realieji skaičiai Apibrėžimas. Uždarųjų intervalų seka [a n, b n ], n =,
Διαβάστε περισσότερα4 laboratorinis darbas. PARAMETRŲ ĮVERČIAI IR STATISTINĖS HIPOTEZĖS
PARAMETRŲ ĮVERČIAI IR STATISTINĖS HIPOTEZĖS DARBO TIKSLAS - išstudijuoti parametrų taškiių ir itervaliių įverčių radimo, parametriių ir eparametriių hipotezių tikriimo uždaviius ir jų taikymą Teorijos
Διαβάστε περισσότεραLaboratorinis darbas Nr. 2
M A T E M A T I N Ė S T A T I S T I K A Laboratorinis darbas Nr. 2 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2005 m. spalio 23 d. Reziumė Antras laboratorinis darbas skirtas išmokti generuoti tikimybinių skirstinių
Διαβάστε περισσότερα2009 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 1 6 uždavinių atsakymai
M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus -6- įsakymu Nr. (..)-V-8 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO
Διαβάστε περισσότεραPaprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS
Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lgčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius,
Διαβάστε περισσότεραLIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA
LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA tema. APSKRITIMŲ GEOMETRIJA (00 0) Teorinę medžiagą parengė bei antrąją užduotį sudarė Vilniaus pedagoginio universiteto docentas Edmundas Mazėtis. Apskritimas tai
Διαβάστε περισσότεραVilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Informatikos katedra. Gintaras Skersys. Mokymo priemonė
Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Informatikos katedra Gintaras Skersys Klaidas taisančių kodų teorija Mokymo priemonė Vilnius 2005 I dalis Pagrindinės savokos 1 Įvadas Panagrinėkime
Διαβάστε περισσότεραRemigijus Leipus. Ekonometrija II. remis
Remigijus Leipus Ekonometrija II http://uosis.mif.vu.lt/ remis Vilnius, 2013 Turinys 1 Trendo ir sezoniškumo vertinimas bei eliminavimas 4 1.1 Trendo komponentės vertinimas ir eliminavimas........ 4 1.2
Διαβάστε περισσότεραAnalizės uždavinynas. Vytautas Kazakevičius m. lapkričio 1 d.
Analizės uždavinynas Vytautas Kazakevičius m. lapkričio d. ii Vienmatė analizė Faktorialai, binominiai koeficientai. Jei a R, n, k N {}, tai k! = 3 k, (k + )!! = 3 5 (k + ), (k)!! = 4 6 (k); a a(a ) (a
Διαβάστε περισσότεραVIII. FRAKTALINĖ DIMENSIJA. 8.1 Fraktalinės dimensijos samprata. Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis?
VIII FRAKTALINĖ DIMENSIJA 81 Fraktalinės dimensijos samprata Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis? Tarkime, kad duota atkarpa, kurios ilgis lygus 1 Padalykime šia atkarpa n lygiu daliu Akivaizdu, kad kiekvienos
Διαβάστε περισσότεραAIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS
AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS Aibės sąvoka ir pavyzdžiai Atskirų objektų rinkiniai, grupės, sistemos, kompleksai matematikoje vadinami aibėmis. Šie atskiri objektai vadinami aibės elementais. Kai elementas
Διαβάστε περισσότεραStatistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas
Statistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas DNR molekulių vaizdas DNR struktūros pakitimai. Keičiantis DNR molekulės formai keistųsi ir visos sistemos entropija. Mielėse esančio DNR struktūros
Διαβάστε περισσότερα04 Elektromagnetinės bangos
04 Elektromagnetinės bangos 1 0.1. BANGINĖ ŠVIESOS PRIGIMTIS 3 Šiame skyriuje išvesime banginę lygtį iš elektromagnetinio lauko Maksvelo lygčių. Šviesa yra elektromagnetinė banga, kurios dažnis yra optiniame
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARIOJI TEORIJA
ELEMENTARIOJI TEORIJA Pirmosios kombinatorikos þinios siekia senàsias Rytø ðalis, kuriose mokëta suskaièiuoti këlinius bei derinius ir sudarinëti magiðkuosius kvadratus, ypaè populiarius viduramþiais.
Διαβάστε περισσότερα2 laboratorinis darbas. TIKIMYBINIAI MODELIAI
laboratorns darbas laboratorns darbas. TIKIMYBINIAI MODELIAI DARBO TIKSLAS - šstudjuot atstktnų dydžų r vektorų skrstnus, skrstno (passkrstymo) funkcją, tanko funkcją, skatnes charakterstkas r jų savybes.
Διαβάστε περισσότεραTaikomieji optimizavimo metodai
Taikomieji optimizavimo metodai 1 LITERATŪRA A. Apynis. Optimizavimo metodai. V., 2005 G. Dzemyda, V. Šaltenis, V. Tiešis. Optimizavimo metodai, V., 2007 V. Būda, M. Sapagovas. Skaitiniai metodai : algoritmai,
Διαβάστε περισσότεραVILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA. Algoritmų teorija. Paskaitų konspektas
VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA Algoritmų teorija Paskaitų konspektas Dėstytojas: lekt. dr. Adomas Birštunas Vilnius 2015 TURINYS 1. Algoritmo samprata...
Διαβάστε περισσότεραVilius Stakėnas. Kodavimo teorija. Paskaitu. kursas
Vilius Stakėnas Kodavimo teorija Paskaitu kursas 2002 2 I vadas Informacija perduodama kanalais, kurie kartais iškraipo informacija Tarsime, kad tie iškraipymai yra atsitiktiniai, t y nėra nei sistemingi,
Διαβάστε περισσότερα1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai yra studentai galima išreikšti formule. 2 Ta pati teigini galima užrašyti ir taip. 3 Formulė U&B C reiškia, kad
45 DISKREČIOJI MATEMATIKA. LOGIKA. PAVYZDŽIAI Raidėmis U, B ir C pažymėti teiginiai: U = Vitas yra studentas ; B = Skirmantas yra studentas ; C = Jonas yra studentas. 1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai
Διαβάστε περισσότεραDirbtiniai neuroniniai tinklai
Dirbtiniai neuroniniai tinklai Š. Raudžio paskaitų konspektas Marius Gedminas 2003 m. pavasaris (VU MIF informatikos magistrantūros studijų 2 semestras) Šis konspektas rinktas LATEXu Š. Raudžio paskaitų
Διαβάστε περισσότεραModalumo logikos S4 kai kurios išsprendžiamos klasės
VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS INFORMATIKOS KATEDRA Magistro baigiamasis darbas Modalumo logikos S4 kai kurios išsprendžiamos klasės Some Decidable Classes of Modal Logic
Διαβάστε περισσότεραKetvirtos eilės Rungės ir Kutos metodo būsenos parametro vektoriaus {X} reikšmės užrašomos taip:
PRIEDAI 113 A priedas. Rungės ir Kuto metodas Rungės-Kutos metodu sprendiamos diferencialinės lygtys. Norint skaitiniu būdu išspręsti diferencialinę lygtį, reikia žinoti ieškomos funkcijos ir jos išvestinės
Διαβάστε περισσότεραSpalvos. Šviesa. Šviesos savybės. Grafika ir vizualizavimas. Spalvos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, Spalvos 1
Spalvos Grafika ir vizualizavimas Spalvos Šviesa Spalvos Spalvų modeliai Gama koregavimas Šviesa Šviesos savybės Vandens bangos Vaizdas iš šono Vaizdas iš viršaus Vaizdas erdvėje Šviesos bangos Šviesa
Διαβάστε περισσότεραJONAS DUMČIUS TRUMPA ISTORINĖ GRAIKŲ KALBOS GRAMATIKA
JONAS DUMČIUS (1905 1986) TRUMPA ISTORINĖ GRAIKŲ KALBOS GRAMATIKA 1975 metais rotaprintu spausdintą vadovėlį surinko klasikinės filologijos III kurso studentai Lina Girdvainytė Aistė Šuliokaitė Kristina
Διαβάστε περισσότερα1. Vektoriu veiksmai. Vektoriu skaliarinė, vektorinė ir mišrioji sandaugos
1. Vektoriu veiksmai. Vektoriu skaliarinė, vektorinė ir mišrioji sandaugos Vektoriu užrašymas MAPLE Vektorius MAPLE galime užrašyti daugeliu būdu. Juos grafiškai vaizduosime paketo Student[LinearAlgebra]
Διαβάστε περισσότεραMatematinis modeliavimas
ALGIRDAS AMBRAZEVIƒIUS Matematinis modeliavimas Vilniaus universitetas 2006 2 TURINYS 1 SKYRIUS PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI 4 11 Pagrindines s vokos 4 12 Fundamentaliu gamtos desniu taikymas 10
Διαβάστε περισσότεραDISKREČIOJI MATEMATIKA
VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS INFORMATIKOS KATEDRA Valdas Diči ūnas Gintaras Skersys DISKREČIOJI MATEMATIKA Mokymo priemonė Vilnius 2003 Įvadas Išvertus iš lotynu kalbos
Διαβάστε περισσότεραKLASIKIN E MECHANIKA
KLASIKIN E MECHANIKA Algirdas MATULIS Puslaidininkiu zikos institutas Vadoveliu serijos papildymas auk²tuju mokyklu tiksliuju mokslu specialybiu studentams Email: amatulis@takas.lt Mob.: +370 654 543 06
Διαβάστε περισσότεραMatematinė logika. 1 skyrius Propozicinės formulės. žodį, Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia
1 skyrius Matematinė logika Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia mintį, žodį, protą, sąvoką. Logika arba formalioji logika nagrinėja teisingo mąstymo dėsnius ir formas, kai samprotavimų turinys nėra
Διαβάστε περισσότεραATSITIKTINIAI PROCESAI. Alfredas Račkauskas. (paskaitų konspektas 2014[1] )
ATSITIKTINIAI PROCESAI (paskaitų konspektas 2014[1] ) Alfredas Račkauskas Vilniaus universitetas Matematikos ir Informatikos fakultetas Ekonometrinės analizės katedra Vilnius, 2014 Iš dalies rėmė Projektas
Διαβάστε περισσότεραV skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI
V skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI Uždirbtų palūkanų suma priklauso ne tik nuo palūkanų normos dydžio, bet ir nuo palūkanų kapitalizavimo dažnio Metinė palūkanų norma nevisada atspindi
Διαβάστε περισσότεραArenijaus (Arrhenius) teorija
Rūgštys ir bazės Arenijaus (Arrhenius) teorija Rūgštis: Bazė: H 2 O HCl(d) H + (aq) + Cl - (aq) H 2 O NaOH(k) Na + (aq) + OH - (aq) Tuomet neutralizacijos reakcija: Na + (aq) + OH - (aq) + H + (aq) + Cl
Διαβάστε περισσότερα1 iš 15 RIBOTO NAUDOJIMO
iš 5 PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriau 00-06-08 įakymu Nr. 6.-S- 00 m. matematiko valtybinio brando egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė eija 8 uždavinių atakymai Užd. Nr. 5 6 7
Διαβάστε περισσότερα1. Klasifikavimo su mokytoju metodai
1. Klasifikavimo su mokytoju metodai Klasifikacijos uždavinys yra atpažinimo uždavinys, kurio esmė pagal pateiktus objekto (vaizdo, garso, asmens, proceso) skaitinius duomenis priskirti ji kokiai nors
Διαβάστε περισσότεραAlgoritmai. Vytautas Kazakevičius
Algoritmai Vytautas Kazakevičius September 2, 27 2 Turinys Baigtiniai automatai 5. DBA.................................. 5.. Abėcėlė............................ 5..2 Automatai..........................
Διαβάστε περισσότεραAtsitiktinių paklaidų įvertinimas
4.4.4. tsitiktinių paklaidų įvertinimas tsitiktinės paklaidos įvertinamos nurodant du dydžius: pasikliaujamąjį intervalą ir pasikliaujamąją tikimybę. tsitiktinių paklaidų atveju, griežtai tariant, nėra
Διαβάστε περισσότεραII dalis Teisingas atsakymas į kiekvieną II dalies klausimą vertinamas 1 tašku g/mol
PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus 05 m. birželio 8 d. įsakymu Nr. (.3.)-V-73 05 M. CHEMIJOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA. Pagrindinė sesija I dalis Teisingas
Διαβάστε περισσότεραLIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 2014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ
LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ 014 m. birželio 5 d. matematikos valstybinį
Διαβάστε περισσότεραAPRAŠOMOJI STATISTIKA
STATISTIKA FILOLOGAMS 4 paskaita APRAŠOMOJI STATISTIKA Pagrindinės sąvokos Statistika keliareikšmė sąvoka. Skirtinos bent jau šios ryškios bei kartu skirtingos reikšmės: a) tokia duomenų apie valstybę,
Διαβάστε περισσότερα2018 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ
N A C I O N A L I N I S E G Z A M I N Ų C E N T R A S 018 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ 018 m. birželio 9 d. įvyko matematikos valstybinis brandos egzaminas.
Διαβάστε περισσότεραKengūra Užduotys ir sprendimai. Senjoras
Kengūra 2014 Užduotys ir sprendimai Senjoras KENGŪROS KONKURSO ORGANIZAVIMO KOMITETAS KENGŪRA 2014 TARPTAUTINIO MATEMATIKOS KONKURSO UŽDUOTYS IR SPRENDIMAI Autorius ir sudarytojas Aivaras Novikas Redaktorius
Διαβάστε περισσότεραFIZ 313 KOMPIUTERINĖ FIZIKA. Laboratorinis darbas FIZIKOS DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ SPRENDIMAS RUNGĖS KUTOS METODU
EUROPOS SĄJUNGA Europos socialinis fondas KURKIME ATEITĮ DRAUGE! 2004-2006 m. Bendrojo programavimo dokumento 2 prioriteto Žmogiškųjų išteklių plėtra 4 priemonė Mokymosi visą gyvenimą sąlygų plėtra Projekto
Διαβάστε περισσότεραTIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010
TIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010 Tikimybiu teorija nagrin eja atsitiktinius ivykius ir tu ivykiu tikimybes ivykio pasirodymo galimyb es mat, i²reik²t skai iumi p,
Διαβάστε περισσότεραPraeita paskaita. Grafika ir vizualizavimas Atkirtimai dvimatėje erdvėje. Praeita paskaita. 2D Transformacijos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, 2010
Praeita paskaita Grafika ir vizualizavimas Atkirtimai dvimatėje erdvėje Atkarpos Tiesės lgtis = mx+ b kur m krpties koeficientas, o b aukštis, kuriame tiesė kerta ašį Susikirtimo taško apskaičiavimui sulginamos
Διαβάστε περισσότεραTEORIJA. RINKTINIAI MATEMATIKOS SKYRIAI (Informatikos spec., 2 srautas, magistrantūra, 1 semestras) PROGRAMA. su skaidžia savybe skaičiu
GRAFU TEORIJA RINKTINIAI MATEMATIKOS SKYRIAI (Informatikos spec, 2 srautas, magistrantūra, 1 semestras) PROGRAMA 1 Pagrindinės sa vokos, pavyzdžiai Grafu veiksmai 2 Grafo parametru sa ryšiai 3 Jungiantysis
Διαβάστε περισσότεραeksponentinės generuojančios funkcijos 9. Grafu
DISKREČIOJI MATEMATIKA (2 semestras) KOMBINATORIKOS IR GRAFU TEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA I KOMBINATORIKA 1 Matematinės indukcijos ir Dirichlė principai 2 Dauginimo taisyklė,,skaičiuok dukart principas
Διαβάστε περισσότερα2.6. IŠVESTINĖ, DIFERENCIJAVIMAS
6 IŠVESTINĖ DIFERENCIJAVIMAS 61 Išvestiės sąvok Fukcijos išvestiės sąvok yr mtemtikos istrumets kurio reikšmę suku įvertiti Glbūt ti glim plygiti su vidus degimo vriklio sukūrimu Diferecijuoti pprsčiusis
Διαβάστε περισσότεραPav1 Žingsnio perdavimo funkcija gali būti paskaičiuota integruojant VIPF. Paskaičiavus VIPF FFT gaunamo amplitudinė_dažninė ch_ka.
Įvadas į filtrus Skaitmeniniai filtrai, tai viena iš svarbiausių siganalų apdorojimo dalių. Kadangi skaitmeniniai filtrai turi nepalyginamai daugiau pranašumų nei analoginiai filtrai, tai nulėmė jų populiarumą.
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINO PROGRAMA I. BENDROSIOS NUOSTATOS
PATVIRTINTA Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministro 0 m. liepos d. įsakymu Nr. V-97 (Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministro 04 m. gruodžio 9 d. įsakymo Nr. V- 7 redakcija) MATEMATIKOS
Διαβάστε περισσότεραMatematinės analizės egzamino klausimai MIF 1 kursas, Bioinformatika, 1 semestras,
MIF kurss, Bioinformtik, semestrs, 29 6 Tolydžios tške ir intervle funkciju pibrėžimi Teorem Jei f C[, ], f() = A , ti egzistuoj toks c [, ], kd f(c) = 2 Konverguojnčios ir diverguojnčios eikutės
Διαβάστε περισσότερα1. Įvadas į sistemas ir signalus. 1. Signalas, duomenys, informacija ir žinios
. Įvadas į sistemas ir signalus. Signalas, duomenys, informacija ir žinios Žodis signalas yra kilęs iš lotyniško žodžio signum ženklas. Signalas tai yra tai kas yra naudojama žiniai perduoti. Signalas
Διαβάστε περισσότεραKompiuterinė lazerių fizika. Viktorija Pyragaitė
Kompiuterinė lazerių fizika Viktorija Pyragaitė VILNIAUS UNIVERSITETAS FIZIKOS FAKULTETAS Viktorija Pyragaitė KOMPIUTERINĖ LAZERIŲ FIZIKA Elektroninis leidinys Mokomoji knyga Vilnius 2013 Apsvarstė ir
Διαβάστε περισσότεραy(t) S x(t) S dy dx E, E E T1 T2 T1 T2 1 T 1 T 2 2 T 2 1 T 2 2 3 T 3 1 T 3 2... V o R R R T V CC P F A P g h V ext V sin 2 S f S t V 1 V 2 V out sin 2 f S t x 1 F k q K x q K k F d F x d V
Διαβάστε περισσότεραPNEUMATIKA - vožtuvai
Mini vožtuvai - serija VME 1 - Tipas: 3/2, NC, NO, monostabilūs - Valdymas: Mechaninis ir rankinis - Nominalus debitas (kai 6 barai, Δp = 1 baras): 60 l/min. - Prijungimai: Kištukinės jungtys ø 4 žarnoms
Διαβάστε περισσότεραĮVADAS Į FINANSŲ SISTEMĄ
III. AKCIJOS, OBLIGACIJOS IR JŲ VERTINIMAS 5 ATEITIES VERTĖ, DABARTINĖ VERTĖ IR PALŪKANŲ NORMOS Turinys 5.1 Įvadas 5.2 Mokėjimų dabar ir ateityje vertė 5.2.1 Ateities vertė ir sudėtinė palūkanų norma 5.2.2
Διαβάστε περισσότεραFRANKO IR HERCO BANDYMAS
VILNIAUS UNIVERSITETAS Kietojo kūno elektronikos katedra Atomo ir branduolio fizikos laboratorija Laboratorinis darbas Nr. FRANKO IR HERCO BANDYMAS Parengė A. Poškus 013-08-31 Turinys Darbo tikslas 1.
Διαβάστε περισσότερα3 modulis. Funkcijos sąvoka. Laipsninė, rodiklinė ir logaritminė funkcija
P R O J E K T A S VP--ŠMM-0-V-0-00 MOKYMOSI KRYPTIES PASIRINKIMO GALIMYBIŲ DIDINIMAS -9 METŲ MOKINIAMS, II ETAPAS: GILESNIS MOKYMOSI DIFERENCIJAVIMAS IR INDIVIDUALIZAVIMAS, SIEKIANT UGDYMO KOKYBĖS, REIKALINGOS
Διαβάστε περισσότεραMONTE KARLO METODAS. Gediminas Stepanauskas IVADAS Sistemos Modeliai Modeliavimas ir Monte-Karlo metodas...
MONTE KARLO METODAS Gediminas Stepanauskas 2008 Turinys 1 IVADAS 4 1.1 Sistemos.............................. 4 1.2 Modeliai.............................. 5 1.3 Modeliavimas ir Monte-Karlo metodas.............
Διαβάστε περισσότεραM A T E M A T I K O S P R A K T I K U M A S S U M A T H C A D
LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS MATEMATIKOS KATEDRA Antanas Lapinskas M A T E M A T I K O S P R A K T I K U M A S S U M A T H C A D (MOKOMOJI KNYGA) AKADEMIJA 006 UDK 0049 (0754) Sudarė: doc dr Antanas
Διαβάστε περισσότεραŠotkio diodo voltamperinės charakteristikos tyrimas
VILNIAUS UNIVERSITETAS Kietojo kūno elektronikos katedra Krūvio pernašos vyksmų skaitinis modeliavimas Darbas Nr. 1 Šotkio diodo voltamperinės charakteristikos tyrimas Parengė A. Poškus 214-9-3 Turinys
Διαβάστε περισσότεραVilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas. Algirdas Ma iulis. Duomenu tyrimas. Paskaitu konspektas
Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Algirdas Ma iulis Duomenu tyrimas Paskaitu konspektas 2011 Turinys Ivadas 5 1 Pagrindines tikimybiu teorijos ir informacijos teorijos s vokos
Διαβάστε περισσότεραLIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINU CENTRAS MATEMATIKA m. valstybinio brandos egzamino uþduotis
LIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINU CENTRAS MATEMATIKA 006 m. valstybinio brandos egzamino uþduotis Pagrindinë sesija 006 m. geguþës 17 d. Trukmë 3 val. Nacionalinis
Διαβάστε περισσότερα