Opis: Učenici mere obim Zemlje pomoću Eratostenovog eksperimenta iz trećeg veka p.n.e
|
|
- Θυώνη Αβραμίδης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Projekat Eratosten merenje obima Zemlje Opis: Učenici mere obim Zemlje pomoću Eratostenovog eksperimenta iz trećeg veka p.n.e Mesto Kikinda OŠ Sveti Sava Datum Vreme : solarno podne Latitude (širina) N Longitude (dužina) E ' 30" Nadmorska visina 75m Udaljenost od Ekvatora km Edukativni ciljevi: Kognitivni (saznajni): Da misli kritički i kreativno. Učenici uče o inovativnom načinu koji je Eratosten koristio da izračuna obim Zemlje. Emotivni (afektivni): Da odgovara, utiče i učestvuje. Učenici prate uputstva nastavnika i izračunavaju sami obim Zemlje. Psihomotorni: Da imitiraju i probaju. Učenici ponavljaju istu proceduru kao što je uradio Eratosten i pokušavaju da izmere obim Zemlje na isti način kao što je i on uradio. Nastavni materijal : Štap dužine 1m, traka za merenje, stabilna osnova za štap, sveska, goniometar i kalkulator (za merenje veličine uglova). Uputstvo za pripremu: 1. Eksperiment sprovode učenici u saradnji sa drugom školom na drugoj, što udaljenijoj lokaciji. 2. Programi "Google Earth" i "Stellarium" treba da su instalirani na računaru. 3. Nastavnik priprema malu prezentaciju sa slikama i videom koji će učenicima pomoći da razumeju eksperiment, prezentira osnovne matematičke principe koji će se koristiti, obavesti učenike kako i gde će se eksperiment održati. 4. Nakon završetka eksperimenta prezentovati slike i video škole sa kojom je sarađivano. 1. Uspostavljanje kontakta sa sadržajem i provociranje radoznalosti. Da li ste se zapitali koliki smo mi u odnosu na Zemlju? Pošto je Zamlja tako velika, da li je moguće izmeriti veličinu Zemlje bez satelita, recimo samo pomoći štapa, u našem dvorištu? Nastavnik pomoću programa "Google Earth" demonstrira delove Zemlje da učenici steknu utisak kako smo mali mi u odnosu na zemaljsku kuglu. Nastavnik objašnjava kako je Eratoste izmerio obim Zemlje pre godina koristeći štap, poziciju Sunca i udaljenost dva grada. Definisanje ciljeva i/ili pitanja iz tekućeg znanja Pitanja ili ciljevi se mogu zapisati da bi se videlo kasnije da li su ciljevi postignuti ili imamo odgovore na pitanja. Kako znamo da je Zemlja okrugla? Pošto je Zemlja okrugla, njen obim odgovara krugu. Koliko stepeni ima u celom krugu? Šta je luk kruga? Možemo li izračunati ceo obim ako znamo dužinu luka koji odgovara datom centralnom uglu? Ako imamo dve lokacije na Zemlji, čemu odgovara ugao između njih? Kako ga možemo izmeriti? Nastavnik Danilo Borovnica Strana 1
2 Vodič za nastavnika: Objasniti studentima da je još Aristotel verovao da je Zemlja okrugla. Do tog zaključka je došao posmatranjem Zemljine senke na Mesecu tokom pomračenja. Predstaviti kako ugaona udaljenost između dve lokacije može da se meri. Studenti moraju da shvate osnovnu ideju da ako znamo ugao i luk koji odgovara tom uglu, možemo izračunati ceo obim kruga. Učenici treba da razumeju da bismo uradili obračun moramo odrediti ugaono rastojanje između dve lokacije. Pitanje za formativno ocenjivanje: Eratosten je predpostavio da su sunčevi zraci paralelni. Međutim kad crtamo sunce uvek ga predstavljamo kao mali žuti krug sa zracima koji idu na sve strane. Šta je od ovoga tačno? Mogući odgovor: 1. Zraci su paralelni jer je Sunce jako daleko od Zemlje tj velika je razlika između udaljenosti na Zemlji u poređenju sa udaljnošću Zemlje od Sunca. 2. Zraci se razilaze (divergentni su) jer se Sunce posmatra kao tačkasti izvor. Pitanje za formativno ocenjivanje: Šta je lokalno podne? Kako se ono menja tokom godine? Mogući odgovori: 1. Lokalno podne je u po lokalnom vremenu.ono se ne menja u odnosu na lokaciju mesta. 2. Lokalno podne je srednje vreme između izlaska i zalaska Sunca. Kako se dužina dana povećava tako se lokalno podne pomera u kasnije sate. Vodič za nastavnika: Širina (latitude) utiče koliko je Sunce visoko na nebu. Dužina (longitude) utiče na vreme lokalnog podneva zbog razlike u vremenskim zonama. PISA zadatak. Istraživanje i razumevanje. Pitanje 1: Ohrabrite studente da opišu posmatrani fenomen. Zemlja je sfera, jer : Mogući odgovori: 1. Udaljenost između dve lokacije koje merimo kao ravnu liniju je u stvari luk. 2. Ako hodam po ekvatoru posle nekog vremena vratiću se na isto mesto. 3. Ima još mora i kopna iza horizonta. Pitanje 2: Sunčevi zraci izgledaju kao zraci svetla koji dolaze iz sferične sijalice. Mogući odgovori: 1. Dakle, posmatrač manji od sijalice i veoma dalkeo od nje posmatrao bi zrake kao paralelne. 2.Dakle sunčevi zraci nisu stvarno paralelni, ali što se više udaljavaju to se više razdvajaju 3. Dakle Sunčevi zraci pokazuju u svim pravcima. 2. Predlažemo uvodna objašnjenja i hipoteze Možemo li prethodni način izračunavanja obima koristiti da izračunamo obim Zemlje? Nastavnik pomaže učenicima da povežu krug sa obimom Zemlje. Da vidimo kako je to Eratosten uradio. Česte zablude: 1. Za dati ugao dužina luka je uvek ista. Ne. Zavisi i od poluprečnika. 2. Udaljenost sunca od datog mesta je uvek ista tokom celog dana. Ne Nastavnik Danilo Borovnica Strana 2
3 Eratostenova ideja Obim kruga na ekvatoru je 40, kilometara. Eratosten je znao da tokom letnjeg solsticija (dugodnevnice) 22-og juna, u lokalno podne, u drevnom Egiptu u mestu Sijena, na severnom povratniku*, sunce se pojavljuje u zenitu direktno iznad (pod pravim uglom). Rekli su mu da senka nekog čoveka koji gleda u dubok bunar će potpuno blokirati refleksiju sunca u podne. Većina ljudi bi verovatno ignorisala ovakvu vrstu informacije pošto bi im izgledala bez značaja. Kao rođeni naučnik on se upitao: Kako to da Sunce ne pokazuje senku u Sijeni tokom podneva tokom letnjeg solsticija dok u isto vreme u Aleksandriji sve stvari imaju senku? Eratosten je mislio ako je Zemlja ravna, onda sunčevi zraci bi bili vertikalni u oba grada u isto vreme. Tako je on zaključio da je Zemlja sfernog oblika. Još više, što je veća razdaljina između senki veća je krivina između dva grada. Predpostavljajući još i da je Sunce toliko daleko da njegove zrake možemo smatrati paralelnim, on je sproveo eksperiment. Postavio je štap vertikalno na zemlju, kada je Sunce dostiglo zenit izmerio je dužinu senke datog štapa. Pošto su zraci sunca paralelni ugao između štapa i zraka je jednak uglu između dva grada. Ovim merenjem našao je da u Aleksandriji ugao elevacije sunca 1/50 punog kruga (7 12') južno od zenita u isto vreme. Aleksandrija je severno od Siene pa je zaključio da je rastojenja od Aleksandrije do Siene jednako 1/50 obimu Zemlje. Takođe je procenio da je rastojanje između gradova 5000 stadija (793,8km). Pošto 793,8km odgovara uglu od 7 12' onda uglu od odgovara km. Ugaona razdaljina između Aleksandrije i Siene *Severni povratnik ili rakova obratnica je jedna od pet osnovnih paralela koje se označavaju na mapi Zemlje. To je najsevernija paralela na kojoj se Sunce u podne pojavljuje u zenitu. *Equnox ili ravnodnevnica je dan kada noć i obdanica traju jednako. Postoje prolećna i jesenja ravnodnevnica. Prolećna je uglavnom 21.marta i označava početak proleća na severnoj hemisferi, a jeseni na južnoj. Jesenja ravnodnevica je najčešće 23. septembra i označava početak jeseni na severnoj a proleća na južnoj hemisferi. *Tačan datum ravnodnevnice je dan kada Sunce tačno bude u gama (prolećna ravnodnevica) odnosno u omega tački (jesenja ravnodnevica), tj. kada preseče nebeski ekvator pri svom kretanju po ekliptici. *Nebeski ekvator je projekcija ekvatorijalne ravni Zemlje na nebesku sferu. *Ekliptika je eliptična orbita po kojoj se Zemlja kreće pri svojoj revoluciji oko Sunca. Ugao između Zemljinog ekvatora i ravni ekliptike iznosi (ovaj ugao se menja zbog precesije). Projekciju ove godišnje putanje vidimo kao prividno kretanje Sunca po nebeskoj sferi, gledano sa Zemlje. *Precesija (lat. praecessio prethođenje, kretanje unapred) je premeštanje tačke prolećnog (ili jesenjeg) ekvinokcijuma usled laganog zaokretanja pravca Zemljine ose, zbog čega se Sunce svakog dana vraća u tu tačku, čime ono završava svoje puno kretanje po ekliptici. Istovremeno s precesionim kretanjem, Zemljina osa doživljava i nutaciono kolebanje - nutaciju. Da bi izveli Eratostenov eksperiment trebaju nam dva posmatrača. Jedan u našem mestu i jedan na ekvatoru 21. juna kada je Sunce iznad glave posmatrača. Postoji i druga mogućnost. Na primer dva posmatrača na istom meridijanu. Staviće štap normalno na Zemlju i izmeriti dužinu sunčeve senke u istom momentu u podne. U ovom slučaju moramo znati razdaljinu između posmatrača mereno po meridijanu i uglove određene dužinom štapa i njegove senke u svakom mestu. Tako je γ=α-β. Nastavnik Danilo Borovnica Strana 3
4 Pitanje za formativno ocenjivanje: U ovoj aktivnosti vaš štap treba da postavite vertikalno u donosu na Zemlju. Ako štap postavljate na uzbrdici kako ćete postaviti štap? Vertikalno u odnosu na uzbrdicu? Mogući odgovori: 1. Da jer štap treba da bude postavljen vertikalno. 2. Ne, jer osa štapa mora da pokazuje na centar Zemlje. Vodič za nastavnika: Ovo je pitanje iz fizike. Putanja gravitacione sile počinje na samom mestu i pokazuje na centar Zemlje. Uzmimo klatno. Njegova osa je uvek normalna na centar Zemlje. Znači štap treba postaviti paralelno osi klatna. PISA zadatak. Predstavljanje i formulisanje. Pitanje 1: Ohrabrite studente biraju među različitim oblicima prezentovanja. Razlog za različitu dužinu senke štampa tokom dana na različitim mestima na Zemlji je zbog : Mogući odgovori: 1. Rotacije Zemlje oko sam sebe. 2. Pozicije Sunca na nebu 3. Rotacije Zemlje oko Sunca. Pitanje 2: Šta nam je potrebno da ponovimo Eratostenov eksperiment 20. marta : Mogući odgovori: 1. Tačne koordinate naše lokacije i vreme lokalnog podneva. 2. Udaljenost dve lokacije na istom meridijanu i vreme lokalnog podneva jedne od njih 3. Udaljenost naše lokacije od neke druge i vreme kada Sunce dostiže najvišu tačku na nebu. 3. Planiranje i izvođenje Jasno formulisana hipoteza olakšava planiranje radnog procesa. Planiranje uključuje određivanje redosleda aktivnosti i srednjoročnih ciljeva, koja oruđa i/ili podatke koristimo, jasno određena satnica i kako su aktivnosti podeljene između učesnika. Da vidimo koje činjenice su važne za naše istraživanje. Za vreme eksperimenta treba da: a) imamo na umu lokalno vreme partnerske škole i da uradimo eksperiment u isto vreme b) imamo na umu lokalno vreme partnerske škole i da uradimo eksperiment kada je Sunce na istoj poziciji u svakoj od škola c) koristimo štapove iste dužine d) imamo isti broj studenata koji rade eksperiment Da bi izmerili razdaljinu između dve škole treba da: a) Izmerimo direktnu razdaljinu između škola b) Izmerimo razdaljinu zasnovanu da mreži puteva c) Izmerimo razdaljinu između škola na istom meridijanu Da bi dobili dobre rezultate štap treba da: a) se drži u ruci b) je zaboden u zemlju c) fiksiran na tlu d) naslonjen na zid Za dužinu senke štapa treba da: a) napravimo nekoliko merenja i izračunamo srednju vrednost da izbegnemo grešku b) uzmemo najkraću vrednost zato što ćemo tada imati najmanju grešku c) uzmemo najkraću vrednost zato što je tada sunce u zenitu d) napravimo nekoliko merenja i izračunamo srednju vrednost zato što ne znamo tačno kada je sunce u zenitu Nastavnik Danilo Borovnica Strana 4
5 Vodič za nastavnika: 1. Korišćenjem programa izračunati vreme kada Sunce dostiže zenit za dati datum na datoj lokaciji. Ove godine eksperiment će biti 19. marta jedan dan pre prolećne ravnodnevnice. Dana 19.marta 2014 solarno lokalno podne je u 11:46 (rezultati dobijeni korišćenjem "Solar Calculatora" na web adresi i "Stellarium" softvera instaliranog sa "Stellarium" 1.1. U programu "Stellarium" izaberite sa pantljike na levoj strani Location Window ili "Prozor za lokaciju" ili F Ubacite vašu lokaciju, čekirajte na Use as default i pritisnite X (zatvorite prozor) Locirajte Sunce i kliknite na njega tako da vidite informacije na gornjem levom uglu ekrana Izaberite sa pantljike na levoj strani Time/Date ili "Prozor za datum i vreme" ili F Postavite datum merenja i menjajte vreme dok posmatrate vrednosti sunčevog azimuta. Cilj je menjati vreme dok azimut ne bude Zapišite dato vreme. 11:46 "Solar Calculator" 1.1. Unesite Location, Latitude (opciono), Longitude (obavezno), Time zone (Midlle Europe), Type calendar (Solar noon) i kliknite na Display calendar Ako je sve u redu kliknite na Continue i videćete kalendar za celu godinu. 2. Uzeti štap H dužine 1 metar i postaviti ga vertikalno na zemlju. Učenici provere dužinu štapa. 3. U vreme dogovoreno za eksperiment učenici beleže dužinu senke S štapa. Ovim merenjem oni računaju ugaonu udaljenost njihove lokacije i ekvatora. Ponoviti merenje pet puta i zapisati podatke u formi sa sajta. 4. Učenici računaju dužinu L preko pitagorine teoreme. L 2 = S 2 + H 2. Upisati vrednost. 5. Svaka pridružena škola obaveštava onu drugu putem mail-a i/ili Skype-a o uglu koji su izračunali. 5. Pomoću "Google maps" ili "Google Earth" izračunati udaljenost od pridužene škole mereno na istom meridijanu. Učenici zapisuju meru udaljenosti. Ako nema uparene škole može se uzeti virtuelna škola na ekvatoru sa eksperimentalnim podatkom 0 (dužina senke štapa merene u neko vreme). 1st Primary School of Argostoli 38, , Christina Tsimara mail@1dim-argost.kef.sch.gr Argostoli Kefalonia Senior High School of Deskeio 39, , Stefanos Ioannidis mail@lyk-pargas.pre.sch.gr Preveza 1st High Sshool of Preveza ,740242Vrachnoula Marianthi marvrachn@gmail.com Preveza 6. Na osnovu dva ugla dobijena u obe škole, rastojanja između škola i proporcije učenici izračunavaju obim (circumference) Zemlje i šalju podatke putem veb sajta i 7. Nastavnici obe škole prave slike ili video njihovog eksperimenta koji će kasnije razmeniti. Pitanje za formativno ocenjivanje: Da li možemo da odredimo liniju istok-zapad na osnovu posmatranja senke štapa tokom dana? Mogući odgovori: 1. Da, posmatranjme načina na koji se senka pomera tokom dana. 2. Ne, jer nemamo kompas. Vodič za nastavnika: Ovo je pitanje proverava prostornu orijentaciju studenta. Ovde primenjen koncept uvodi ih u to kako radi solarni kompas. Zabodete štap u zemlji i obeležavate vrh senke svakih minuta. Obeležena mesta daju duž ćiji početak je okrenut prema zapadu, a kraj prema istoku. Nastavnik Danilo Borovnica Strana 5
6 PISA zadatak. Planiranje i izvršavanje. Pitanje 1: Prvo podstknite učenike da nađu rešenje posmatranog problema. Ako treba da izaberete školu na istoj geografskoj dužini kao vaša, da biste uradili eksperiment, vi ćete : Mogući odgovori: 1. Izabrati školu što dalju od vaše. 2. Izabraćemo školu blizu ekvatora sa malom senkom štapa 3. Izabraćete školu koja je blizuda biste dobili što tačniju udaljenost između mesta. Pitanje 2: Budite sigurni da učenici mogu da pokažu rešenje i način kako su došli do njega. Kako ćemo biti sigurni da je štap normalan na tol tokom eksperimenta : Mogući odgovori: 1. Postaviću štap na plutajuću površinu u jezercetu. 2. Postaviću kvadrat ili trougao sa pravim uglom pored štapa 3. Uzeću libelu i postaviti pored štapa. Merenje udaljenosti sa "Google Earth" 1. Označi lokacije obe škole a) Nađi lokaciju tvoje škole. Možeš to uraditi ručno ili tako što ćeš ukucati ime lokacije i kliknuti na "Search". b) Kada si našao lokaciju upotrebi "Add Placemark" alatku da obeležiš lokaciju. Postavi pin na mesto lokacije i daj joj ime. Pritisni OK. c) Ponovi postupak za drugu školu. 2. Nađi zajednički meridijan a) Vrati se na prvi Placemark, klikni desnim klikom i izaberi Properties. b) Iskopiraj (copy) "Longitude" vrednost. c) Idi na drugi Placemark, klikni desnim klikom i izaberi Properties d) Kopiraj (paste) "Longitude" vrednost i pritisni OK. Drugi Placemark se sad pomerio, tako da su obe lokacije na istom meridijanu. 3. Izmeri udaljenost. a) Zumiraj tako da vidiš oba Placemarka. b) Izaberi "Ruler" (deseta ikona) c) Klikni na prvu lokaciju pa zatim na drugu. Sada se pojavi linija između ove dve lokacije. Klikni na "Save". d) Daj naziv ovom merenju udaljenosti i klikni na OK. e) Zumiraj na prvu lokaciju. Videćeš da linija koju si postavio nije tačno na mestu pina (vrha obeleživača). Desni klik i izaberi Properties. f) Mišem pomeri kraj linije da se poklopi sa krajem pina i klikni OK. g) Ponovi proceduru za drugu lokaciju. h) Desni klik na crvenu liniju i izaberi Properties. Izaberi tab meranja (measurement tab) i ovde ćeš videti udaljenost u kilometrima. 4. Analiza i interpretacija - Dobijanje rezultata iz podataka Pošto su podaci sakupljeni treba ih obraditi da bi dobili informacije iz njih. Zavisno od rezultata ovaj korak može biti veoma složen. Na osnovu dva ugla dobijena u obe škole, rastojanja između škola i proporcije učenici izračunavaju obim (circumference) Zemlje. Učenici ovo rade svako na svom radnom listu. PISA zadatak. Opažanje i refleksija. Pitanje 1: Ako ponovimo eksperiment sledeće godine : Mogući odgovori: 1. Dobićemo iste ili bolje rezultate prateći isti pristup i radeći više merenja 2. Dobićemo iste ili bolje rezultate ukoliko poboljšamo plan eksperimenta 3. Dobićemo slične rezultate ponavljajući isti postupak-pristup. Nastavnik Danilo Borovnica Strana 6
7 Pitanje 2: U dizajnu eskperimenta razmotrio bih sledeći važan faktor da smanjim grešku: Mogući odgovori: 1. Ispravno postavio štap 2. Tačnost urađenih merenja 3. Tačnost koordinata moje lokacije. 5. Zaključci i ocenjivanje (evaluacija) - Zaključiti i preneti rezultate/objašnjenja Proces ocenjivanja može biti olakšan prezentovanjem zaključaka široj publici, jer to dopušta ponavljanje i/ili potvrdu prezentovanih rezultata. Objašnjenje na osnovu dokaza. Učenici raspravljaju sa nastavnikom : Zašto je izmereni ugao jednak ugaonoj razdaljini od ekvatora? Zašto učenici moraju da vrše merenje u dato vreme? Uporedite vaša merenja sa stvarnom vrednošću obima Zemlje. Šta je izvor greške? Da li je uzet u obzir? Da li je eksperiment uspeo? Da možete da ponovite eksperiment, šta bi ste promenili? Razmatranje drugih objašnjenja. Učenici mogu doći do drugačijih ideja u vezi merenja: Dva merenja treba da se rade istovremeno. Razdaljina između dva grada treba da se meri direktno, a ne na istom meridijanu. Izemereni ugao nema ništa sa uglom. Nastavnik objašnjava zašto ovo nije tačno. Saopštavanje (deljenje) objašnjenja Učenici Treba da popune izveštaj u vezi sprovedenog eksperimenta Predstave njihova otkrića ostatku odeljenja Nastavnici Pokažu slike i video koji su poslali drugoj školi, zajedno sa rezultatima. Informišu učenike o drugim Eratostenovim otkrićima Informišu učenike o drugim računima koji mogu da se rade primenom istog matematičkog pristupa Nastavnik Danilo Borovnica Strana 7
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότερα1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραInženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότεραNovi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραINŽENJERSTVO NAFTE I GASA. 2. vežbe. 2. vežbe Tehnologija bušenja II Slide 1 of 50
INŽENJERSTVO NAFTE I GASA Tehnologija bušenja II 2. vežbe 2. vežbe Tehnologija bušenja II Slide 1 of 50 Proračuni trajektorija koso-usmerenih bušotina 2. vežbe Tehnologija bušenja II Slide 2 of 50 Proračun
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραMašinsko učenje. Regresija.
Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότεραZEMLJINA KRETANJA REVOLUCIJA ZEMLJE
ZEMLJINA KRETANJA REVOLUCIJA ZEMLJE KEPLEROVI ZAKONI PLANETARNIH KRETANJA Johan Kepler (1571-1630) nemaĉki matematiĉar i astronom nasledio Tiho Brehea na mestu kraljevskog matematiĉara. Ĉetiri godine je
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Διαβάστε περισσότεραTAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)
TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραMatematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραSTATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA
Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Διαβάστε περισσότεραAko prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:
Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ
Διαβάστε περισσότεραAntene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja:
Anene Transformacija EM alasa u elekrični signal i obrnuo Osnovne karakerisike anena su: dijagram zračenja, dobiak (Gain), radna učesanos, ulazna impedansa,, polarizacija, efikasnos, masa i veličina, opornos
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
Διαβάστε περισσότεραINTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραwwwmatematiranjecom TRIGONOMETRIJSKI KRUG Uglovi mogu da se mere u stepenima i radijanima Sa pojmom stepena smo se upoznali još u osnovnoj školi i ako se sećate, njega smo podelili na minute i sekunde(
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Planimetrija. Sličnost trouglova. GF 000 Dužine stranica trougla su 5cm, cm i 8cm. Dužina najduže stranice njemu sličnog
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραOBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na
OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE
Διαβάστε περισσότερα( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min
Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραPrividni položaji nebeskih tela
Prividni položaji nebeskih tela 1 Osnovni elementi nebeske sfere, horizontski koordinatni sistem Nebeska sfera predstavlja sferu jediničnog poluprečnika na koju se projektuju likovi svih nebeskih tela.
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραSistemi veštačke inteligencije primer 1
Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija
1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραBetonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
Διαβάστε περισσότεραSkup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }
VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραKonstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE
Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότερα10. STABILNOST KOSINA
MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg
Διαβάστε περισσότερα