Ιδιότητες της ευθείας παλινδρόµησης

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ιδιότητες της ευθείας παλινδρόµησης"

Ἀριστόδημε Λιάπης
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Ιδιότητες της ευθείας παλινδρόµησης Ηευθεία παλινδρόµησης περνάει από το σηµείο αφού a b, a b ( b ) b b ( ) ( ) + b u u a b a b Αυτό όµως προϋποθέτει την ύπαρξη του a. Αν δηλαδή υποχρεώσουµε την ευθεία παλινδρόµησης να περάσει από την αρχή των αξόνων τότε η ιδιότητα αυτή δεν ισχύει

2 y b a + b + u a + b b + u y b + u y b yu yu ( b ) u b u b ( y b ) b y b b b b εν υπάρχει συσχέτιση µεταξύ y και u u u a b εν υπάρχει συσχέτιση µεταξύ και u

3 Συντελεστής προσδιορισµού Ο συντελεστής προσδιορισµού (coeffcet of determato) είναι ένα µέτρο του βαθµού προσαρµογής (goodess of ft) της ευθείας παλινδρόµησης στις παρατηρήσεις του δείγµατος. Συµβολίζεται µε r (στην περίπτωση της πολλαπλής παλινδρόµησης µε R ). Οαριθµητικός µέσος µιας µεταβλητής είναι η καλλίτερη πρόβλεψη όταν η µόνη διαθέσιµη πληροφορία είναι οι τιµές της ίδιας της µεταβλητής. Η Χ µπορεί να θεωρηθεί ότι ερµηνεύει την Υ στον βαθµό που συµβάλλει στην πρόβλεψή της πέρα από τον µέσο

4 Υ u a + b Χ Χ ( ) Συνολικό Άθροισµα Τετραγώνων (Total Sum of Squares) - TSS. Αντιπροσωπεύει την συνολική διακύµανση του Υ.

5 ( ) Ερµηνευόµενο Άθροισµα Τετραγώνων (Regresso Sum of Squares) - RSS. Αντιπροσωπεύει την διακύµανση του Υ που ερµηνεύεται από την ευθεία παλινδρόµησης. ( ) u To Άθροισµα Τετραγώνων των σφαλµάτων (Error Sum of Squares) - ESS. Αντιπροσωπεύει την διακύµανση του Υ που δεν ερµηνεύεται από την ευθεία παλινδρόµησης. Αποδεικνύεται ότι TSSRSS+ESS

6 Συντελεστής Συντελεστής Προσδιορισµού Προσδιορισµού r RSS TSS ESS TSS r r r y y b y b y b y b S S

7 Παράδειγµα: ( ) ( ) r ( ) 345. ( ) r b S 35 7 S

8 Συντελεστής συσχέτισης Ο συντελεστής συσχέτισης (correlato coeffcet) µας δίνει τον βαθµό γραµµικής συσχέτισης ανάµεσα σε δύο µεταβλητές χωρίς να ενδιαφέρεται για την αιτιώδη σχέση που µπορεί να υπάρχει µεταξύ τους. Συµβολίζεται µε το r και συνδέεται άµεσα µε τον συντελεστή προσδιορισµού αφού r ± r r y y r var cov, var

9 Ιδιότητες. r. r r,, 3. Είναι ένα µέτρο γραµµικής συσχέτισης. Έτσι όταν r δεν συνεπάγεται αναγκαστικά ότι οι δύο µεταβλητές είναι ανεξάρτητες. a b + r b S S a + b r b S S r bb

10 Παράδειγµα: y y y r y y r bb

11 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήµατα εµπιστοσύνης για τα a και b Υπόθεση: ut ~ N(, σ ) Επειδή κάθε γραµµικός µετασχηµατισµός µιας τυχαίας µεταβλητής που ακολουθεί την κανονική κατανοµή είναι επίσης τυχαία µεταβλητή µε κανονική κατανοµή, το ακολουθεί την κανονική κατανοµή αφού a+ b + u Για τον ίδιο λόγο τόσο το a όσο και το b είναι τυχαίες µεταβλητές που ακολουθούν την κανονική κατανοµή

12 ~, a N a + σ ~, b N b σ

13 Στατιστικός έλεγχος του b Z b b b b σ b Z N σ ~, t b b S b b b σ u σ Παράδειγµα: S a. H : b (α.5) 38 8 S b. 7 t b b S b 3. Από τους πίνακες t 54. / 776. Η υπόθεση H απορρίπτεται

14 Στατιστικός έλεγχος του a Z a a a a σa σ + Z ~ N(, ) t a a S b a a σ Παράδειγµα: S a. H : a (α.5) 38 8 S b. 7 t a a Από τους πίνακες t 54. / S a Η υπόθεση H δεν απορρίπτεται

15 ιαστήµατα εµπιστοσύνης για το a και b P ( t t t ) α α /, α /, ( /, /, ) Pb S t b b+ S t b α b α α b ± S t /, b α ± a α /, a S t Παράδειγµα: S a. b S t b b + S t b α/, b α/, 38 8 S b. 7 a S t a a + S t a α/, a α/, b a b a. 4

16 Προβλέψεις Ένα από τα πεδία εφαρµογής της ανάλυσης παλινδρόµησης είναι και η πρόβλεψη (Forecastg) της εξαρτηµένης µεταβλητής για συγκεκριµένη τιµή της ανεξάρτητης. ιακρίνουµε δύο είδη προβλέψεων: (α) Την πρόβλεψη της µέσης τιµής του Υ όταν ΧΧ. Αυτό ισοδυναµεί µε κάποιο σηµείο πάνω στην γραµµή παλινδρόµησης του πληθυσµού. (β) Την πρόβλεψη της συγκεκριµένης τιµής του Υ όταν ΧΧ. Και στις δύο περιπτώσεις υπολογίζεται ένα διάστηµα εµπιστοσύνης µέσα στο οποίο βρίσκεται η πραγµατική τιµή του πληθυσµού.

17 Πρόβλεψη της µέσης τιµής του Υ Όταν a + b ˆ E( ) E( ) E Αρα το αποτελεί µια αµερόληπτη εκτίµηση του Var σ + Τα όρια µέσα στα οποία βρίσκεται το όσο περισσότερο απέχει η Χ από την µέση τιµή τόσο µεγαλύτερη είναι η διακύµανση και λιγότερο ακριβής η πρόβλεψη E( ) ± Zα σ + ή / ± t α /, σ +

18 Παράδειγµα: σ 934. Ζητείται η προβλεπόµενη µέση τιµή του Υ στον πληθυσµό όταν Χ65 και Χ. Η πρώτη τιµή βρίσκεται κοντά στην µέση τιµή ενώ η δεύτερη βρίσκεται σε µεγαλύτερη απόσταση E 65 ± ( ) E E ( ) ± ( ) 97. E

19 Πρόβλεψη συγκεκριµένης τιµής του Υ Όταν και a + b το λάθος της πρόβλεψης ( ) ( ) ( ) E Ea a + Eb b + Eu Αρα το αποτελεί µια αµερόληπτη εκτίµηση του σ σ + + ή S σ + + όσο περισσότερο απέχει η Χ από την µέση τιµή τόσο µεγαλύτερη είναι η διακύµανση και λιγότερο ακριβής η πρόβλέψη.

20 tα σ + + tα σ /, /, + + t α/, σ tα/, σ + + Ηπρόβλεψη συγκεκριµένης τιµής γίνεται µε µικρότερη ακρίβεια απ ότι η πρόβλεψη της µέσης τιµής Παράδειγµα: ±

21 ιάγραµµα 8.9: ιαστήµατα Εµπιστοσύνης των προβλέψεων της Υ Ŷ ± tα / s Ŷ Ŷ b + b Ŷ ± tα / s Ŷ

22 Ελαστικότητα Ελαστικότητα Η ελαστικότητα (της Υ ως προς την Χ) ισούται µε τον λόγο µεταξύ της ποσοστιαίας µεταβολής της Υ ως προς τη ποσοστιαία µεταβολή της Χ δηλαδή: b b ˆ / / / / b / Μέση ελαστικότητα

Σχετικά έγγραφα

Οικονομετρία. Απλή Παλινδρόμηση. Ιδιότητες της ευθείας παλινδρόμησης και συντελεστής προσδιορισμού. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης

Οικονομετρία. Απλή Παλινδρόμηση. Ιδιότητες της ευθείας παλινδρόμησης και συντελεστής προσδιορισμού. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Οικονομετρία Απλή Παλινδρόμηση Ιδιότητες της ευθείας παλινδρόμησης και συντελεστής προσδιορισμού Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης Μαθησιακοί Στόχοι Γνώση και κατανόηση