Οι Ερωτήσεις στην ιδασκαλία των Μαθηµατικών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Οι Ερωτήσεις στην ιδασκαλία των Μαθηµατικών"

Transcript

1 Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ : Οι Ερωτήσεις στην ιδασκαλία των Μαθηµατικών ηµήτρης Ι. Μπουνάκης Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικών Το άρθρο αυτό περιέχει σε ολοκληρωµένη µορφή την οµιλία µου µε τίτλο «Οι ερωτήσεις στη ιδασκαλία των Μαθηµατικών», που έγινε στα πλαίσια της ηµερίδας «ιδακτικής Μαθηµατικών και Παιδαγωγικών» που πραγµατοποιήθηκε στις 15 Οκτωβρίου 009 στο Ηράκλειο. Στόχος της οµιλίας µου ήταν η ευαισθητοποίηση του καθηγητή στο σηµαντικό θέµα των ερωτήσεων που υποβάλλονται κατά τη διάρκεια της διδασκαλίας στη τάξη και η παροχή χρήσιµων στοιχείων σχετικά µε την σύνταξη και διατύπωση των ερωτήσεων. Με χαρά θα δεχθώ για συζήτηση διορθώσεις ή συµπληρώσεις στο σηµαντικό αυτό θέµα που καθηµερινά µας απασχολεί. Συνοπτικά το θέµα κινείται γύρω από τους εξής άξονες: Ο ρόλος των ερωτήσεων στη διαδικασία «διδασκαλία µάθηση Είδη ερωτήσεων, χαρακτηριστικά καλών ερωτήσεων Οι Ερωτήσεις του Καθηγητή Οι Απαντήσεις του Καθηγητή 1. Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ ΣΤΗ Ι ΑΣΚΑΛΙΑ Είναι φανερό ότι η ερώτηση αποτελεί ένα ιδιαίτερα σηµαντικό µέρος του γραπτού και του προφορικού λόγου και συµβάλει στην καλύτερη επικοινωνία και προπάντων την κατανόηση και συνεννόηση των ανθρώπων. Πολύ σπουδαιότερος είναι ο ρόλος των ερωτήσεων κατά την διάρκεια της διαδικασίας «διδασκαλία µάθηση», αφού σ αυτή την περίπτωση, δεν πρόκειται για µια απλή επικοινωνία, αλλά για µια ανώτερη πνευµατική εργασία και προσπάθεια µε σκοπό την κατάκτηση νέων γνώσεων και δεξιοτήτων και όχι µόνο. Γενικά στην διαδικασία διδασκαλία- µάθηση, οι ερωτήσεις χρησιµοποιούνται σε δυο φάσεις: στον έλεγχο των γνώσεων ή την αξιολόγηση του µαθητή και στην διδασκαλία. Εδώ θα ασχοληθούµε µόνο µε τις ερωτήσεις στη δεύτερη φάση.

2 . Ι. Μ.- Σ.Σ.Μ.- Οι Ερωτήσεις στην ιδασκαλία των Μαθηµατικών Στη φάση της διδασκαλίας οι ερωτήσεις (ή ερωτήσεις - υποδείξεις) γίνονται στην τάξη, κυρίως από τον καθηγητή, για να βοηθήσουν τους µαθητές στην κατάκτηση των στόχων του µαθήµατος. Φυσικά κατά την διδασκαλία γίνονται προς τους µαθητές όχι µόνο ερωτήσεις, αλλά και παροτρύνσεις, προτροπές, νύξεις τις οποίες µπορούµε να τις εντάξουµε στο γενικό πνεύµα των ερωτήσεων-ερεθισµάτων. Ο προτρεπτικός ρόλος των ερωτήσεων προς τη µάθηση µπορεί να πάρει διάφορες µορφές, οι οποίες συχνά δεν είναι άµεσα ορατές, όπως: Να παρακινήσουν σε ένα νέο αντικείµενο διδασκαλίας π.χ. «πως θα βρούµε µια σχέση µεταξύ της διαµέσου µ α τριγώνου και των πλευρών του;» Να παρακινήσουν την συνεργασία ή αλληλεπίδραση µεταξύ των µαθητών: π.χ. «ο τρόπος λύσης της Μαρίας είναι καλύτερος από του Κώστα;» Να προκαλέσουν, π.χ. «Οι διαγώνιες ορθογωνίου φαίνονται ίσες, µπορείτε να το αποδείξετε;» Να βοηθήσουν στη κατανόηση των µεθόδων, π.χ. «Ποια µέθοδο (ή τρόπο) χρησιµοποιήσαµε για να λύσουµε αυτό το πρόβληµα;» Να βοηθήσουν τους µαθητές να αξιολογούν: π.χ. «Νοµίζεις ότι η µέθοδός σου είναι κατάλληλη και για άλλους είδους πρόβληµα» Να ενθαρρύνουν τη διάθεση για εξερεύνηση: π.χ. «Αν δυο τρίγωνα έχουν δυο πλευρές ίσες µια προς µια και µια γωνία ίση είναι ίσα;» ή «το περίκεντρο τριγώνου βρίσκεται πάντα στο εσωτερικό του;» Να ενθαρρύνουν ερωτήσεις από τους ίδιους τους µαθητές: π.χ. «Αυτό το θεώρηµα ποιες ερωτήσεις σας δηµιουργεί» π.χ. Πυθαγόρειο (αντίστροφο, µη ορθογώνιο κλπ), Θ. Βοlzano (αντίστροφο, αρκεί η εποπτική απόδειξη κλπ). Να κάνουν διάγνωση: πως το βρήκες αυτό Γιάννη; Να αυξήσουν την ικανότητα µεταφοράς της γνώσης: π.χ. «Πως θα µπορούσατε να χρησιµοποιήσετε το εµβαδόν τριγώνου για να υπολογίσετε το εµβαδόν τραπεζίου;»

3 . Ι. Μ.- Σ.Σ.Μ.- Οι Ερωτήσεις στην ιδασκαλία των Μαθηµατικών 3 ΙΙ. ΕΙ Η ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ Με κριτήριο τον βαθµό ενεργοποίησης της σκέψης που χρειάζεται για να µελετηθεί και να απαντηθεί µια ερώτηση, διακρίνουµε δυο βασικές κατηγορίες ερωτήσεων. 1. Ερωτήσεις αποµνηµόνευσης Είναι ερωτήσεις στις οποίες οι µαθητές για να απαντήσουν πρέπει να ανακαλέσουν απλά από τη µνήµη διάφορες γνώσεις ή δεξιότητες. Στην κατηγορία αυτή µπορούν να ενταχθούν και οι λεγόµενες «συγκλίνουσες» ερωτήσεις οι οποίες οδηγούν την σκέψη των ερωτώµενων σε στενά πλαίσια. Οι ερωτήσεις της κατηγορίας αυτής είναι συνήθως του τύπου «πότε;», «τι;» «πως;», «ποια είναι η τιµή της παράστασης», «λύσετε την εξίσωση» κλπ. Παραδείγµατα: Πότε ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές; Τι κάνουµε για να λύσουµε µια εξίσωση α βαθµού; Να λύσετε τη εξίσωση 5χ + = (χ - 1) Πως απαλείφουµε τους παρανοµαστές µιας εξίσωσης; Πότε η δευτεροβάθµια εξίσωση έχει ρίζες ίσες; Να βρείτε τoν µιγαδικό ω = i 009. Πότε µια συνάρτηση f(t) λέµε ότι παραγωγίζεται σ ένα σηµείο ξ;. Ερωτήσεις σκέψης - κρίσης, Με τις ερωτήσεις αυτές ζητούνται από τους µαθητές νοητικές δεξιότητες, λογικά συµπεράσµατα, επινόηση κ.λ.π., δηλαδή η απάντησή τους είναι αποτέλεσµα σκέψης ή/και προβληµατισµού σε διάφορα επίπεδα. Στην κατηγορία αυτή µπορούν να ενταχθούν, ως ερωτήσεις ανωτέρου επιπέδου, και οι «αποκλίνουσες» ή ανοικτές ερωτήσεις µε ανοικτό ορίζοντα αναζήτησης, που αποτελούν ερέθισµα και παρότρυνση για ελεύθερη σκέψη και αυτενεργό δηµιουργία. Συνήθως είναι του τύπου «γιατί;», «πως;», «τι νοµίζετε;», «για ποιο λόγο;», «να εξετάσετε», «το ζητούµενο σας φέρνει στη σκέψη κάποια γνωστή πρόταση;». Οι ερωτήσεις της κατηγορίας αυτής είναι περισσότερο διδακτικές και είναι καλό να µην απουσιάζουν από µια διδασκαλία. Παραδείγµατα: Αν δυο ποσά δεν είναι αντιστρόφως ανάλογα, τότε είναι ανάλογα; (εξηγείστε, δώστε (αντι)παράδειγµα) Να υπολογίσετε τον αριθµό α= ( 5) (0,). Γιατί το ορθόκεντρο ενός αµβλυγωνίου τριγώνου βρίσκεται εκτός του τριγώνου; Για ποιο λόγο ένα τετράγωνο έχει κάθετες τις διαγώνιες;

4 . Ι. Μ.- Σ.Σ.Μ.- Οι Ερωτήσεις στην ιδασκαλία των Μαθηµατικών 4 (ανοικτή ερώτηση) Ο καθηγητής παίρνοντας αφορµή από µια λανθασµένη 4 6 α γ α+ γ πράξη π.χ. + = ρωτά: σε ποια περίπτωση ισχύει + = ; β δ β+ δ Πως συνδέονται οι µιγαδικοί z, w όταν οι εικόνες τους είναι σηµεία συνευθειακά µε την αρχή του µιγαδικού επιπέδου; Αν ισχύει φ(χ) 009 για κάθε χ R, τότε η συνάρτηση φ έχει µέγιστο; Ένα σηµείο καµπής µιας συνάρτησης φ, είναι ακρότατο για την φ ; Με κάποια προϋπόθεση ίσως; Μπορεί ένα σηµείο καµπής, µιας διπλά παραγωγίσιµης συνάρτησης, να είναι τοπ. ακρότατο; Στην διδασκαλία ο καθηγητής πρέπει να απευθύνει προς τους µαθητές ερωτήσεις και από τα δυο είδη, µε προτίµηση στις ερωτήσεις κρίσεως. Οι ερωτήσεις κρίσεως απαιτούν από τον καθηγητή συνήθως περισσότερη δουλειά κατά τον σχεδιασµό του µαθήµατος, αλλά ο διδακτικός τους ρόλος είναι σπουδαίος και αναντικατάστατος. ΙΙΙ. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ Κύρια χαρακτηριστικά των καλών διδακτικών ερωτήσεων, εκτός από την λογική ή/και επιστηµονική εγκυρότητα που θεωρείται αυτονόητη, είναι η σαφήνεια, το ενδιαφέρον, η γενικότητα, η φυσικότητα και να έχουν συγκεκριµένο στόχο. 1. Σαφήνεια - Ενδιαφέρον Οι ερωτήσεις πρέπει να ναι σαφείς, σύντοµες και χωρίς επιστηµονικές αµφισβητήσεις. Να είναι διατυπωµένες απλά µε λέξεις κατανοητές στους µαθητές, µε καλή γλωσσική διατύπωση και να προκαλούν όσο είναι δυνατόν το ενδιαφέρον των µαθητών (όχι τετριµµένες ή ανιαρές ή αρκετά δύσκολες). Επίσης να ναι ανάλογες µε τις γνώσεις και το πνευµατικό επίπεδο των µαθητών, ώστε να γίνουν κατανοητές και να µπορούν να απαντηθούν από αυτούς. Ένα λάθος που κάνουµε συχνά, είναι να θεωρούµε δεδοµένο και κατανοητό και για τους µαθητές το «δικό µας µαθηµατικό λεξιλόγιο» που και κόπο και χρόνο χρειαστήκαµε για να µπορούµε να το χειριζόµαστε µε άνεση. Εδώ χρειάζεται προσοχή, ιδίως στις νέες έννοιες που συναντούµε στα µαθήµατα: οι µαθητές µας διδάσκονται µαθηµατικά για πρώτη φορά στη ζωή τους και δεν είναι ίδιοι µε αυτούς µε διδάξαµε τα προηγούµενα χρόνια (ενώ βρίσκονται στο ίδιο περίπου πνευµατικό επίπεδο). Έτσι για παράδειγµα, αν ρωτήσουµε τους µαθητές στις πρώτες τάξεις του Γυµνασίου - ίσως και στην Α Λυκείου- «να συγκρίνετε τα κλάσµατα ( ή τα τρίγωνα )»- κάτι προφανές για µας - πολλοί µαθητές ίσως να µην καταλάβουν τι ακριβώς τους ζητείται (αν δεν έχει γίνει κατανοητή η έννοια του ρήµατος «συγκρίνω» στα συγκεκριµένα µαθηµατικά αντικείµενα) µε όλες τις συνέπειες.

5 . Ι. Μ.- Σ.Σ.Μ.- Οι Ερωτήσεις στην ιδασκαλία των Μαθηµατικών 5 Παραδείγµατα ασαφών ερωτήσεων: 1. Να εκτελέσετε τις πράξεις (x - 1) + (x - 1) + (1 - x)(x - 1) Καλύτερα: Να φέρετε την παράσταση Π = (x-1) + (x-1) +(1-x)(x-1) σε µορφή πολυωνύµου διατεταγµένου κατά τις φθίνουσες δυνάµεις της µεταβλητής του, ή Να εκτελέσετε όλες τις (αλγεβρικές) πράξεις απλοποιώντας όσο είναι δυνατόν την παράσταση Π = (x-1) + (x-1) +(1-x)(x-1) ή (ακόµη καλύτερα, από άποψη σαφήνειας αλλά και ενδιαφέροντος) Να αποδείξετε ότι (x - 1) + (x - 1) + (1 - x)(x - 1) = x.. Να συµπληρώσετε την ισότητα α 3 + 3αβ + 3α β + β 3 = Καλύτερα: Να συµπληρώσετε την ισότητα α 3 + 3α. + 3α + β 3 = (α + ) 3, ή Να γράψετε το ανάπτυγµα της παράστασης (α + β) 3, ή Να γράψετε την παράσταση α 3 + 3αβ + 3α β + β 3 µε την µορφή µιας δύναµης. 3. Αν α 0 τότε α 0 Σ - Λ ; Εδώ δεν έχουµε µια πρόταση, αλλά πολλές (προτασιακός τύπος).για α = 0 είναι αληθής ενώ για α<0 ψευδής. Μπορεί να δοθεί διαφορετικά: Για κάθε α 0 ισχύει α 0, Σ- Λ (Λ), ή Υπάρχει α 0 µε α 0, Σ- Λ (Σ) 4. Αν Π= x x+ 1+ x + x+ 1 µε x <1 να βρείτε την παράσταση Π. Καλύτερα: Να αποδείξετε ότι, αν x <1 τότε x x+ 1+ x + x+ 1 =, ή Να απλοποιήσετε όσο είναι δυνατόν την παράσταση Π = x x+ 1+ x + x+ 1, όταν x < 1, ή Να δείξετε ότι η παράσταση Π = x x+ 1+ x + x+ 1 είναι ανεξάρτητη του x (ή σταθερή).

6 . Ι. Μ.- Σ.Σ.Μ.- Οι Ερωτήσεις στην ιδασκαλία των Μαθηµατικών 6. Γενικότητα Με δεδοµένο το ενδιαφέρον για µάθηση, οι γενικές ερωτήσεις είναι ερεθίσµατα για δραστηριοποίηση των διανοητικών δυνάµεων του µαθητή και επιτρέπουν µεγάλα περιθώρια αυτενέργειας. Μετά τις γενικές ερωτήσεις και ανάλογα µε την πρόοδο των µαθητών, µπορούν να γίνουν βαθµιαία λιγότερο γενικές - ειδικές ερωτήσεις µέχρι να υπάρξει ανταπόκριση στο νου των µαθητών. Πάντως πρέπει αποφεύγουµε, όσο το επιτρέπει ο χρόνος, να δίνουµε απάντηση σε ερώτηση που µπορεί να δοθεί από τους µαθητές. Ας δούµε ένα παράδειγµα: Οι µαθητές (Γ Γυµνασίου ή Α Λυκείου-Γεωµετρία) εργάζονται να αποδείξουν - σε άσκηση ή θεώρηµα - ότι δυο ευθύγραµµα τµήµατα π.χ. ΑΒ, ΚΛ είναι ίσα. Ο Καθηγητής τους δίνει από την αρχή την ερώτησηυπόδειξη: «εξετάσετε αν είναι ίσα τα τρίγωνα ΚΛΜ, ΑΒ», Σ αυτό το είδος της βοήθειας (όπως λέει και ο G.Polya), υπάρχουν ορισµένες αντιρρήσεις: α. Αν η ερώτηση-υπόδειξη γίνει κατανοητή, αφ ενός λίγη δουλειά µένει στο µαθητή, αφ ετέρου την βλέπει σαν «αφύσικη ταχυδακτυλουργία»- δύσκολα θα καταλάβει πως ήλθε η ιδέα στον καθηγητή. β. Η υπόδειξη είναι πολύ ειδική και έτσι, αν ακόµη ο µαθητής µπορέσει να την χρησιµοποιήσει για την συγκεκριµένη άσκηση, τίποτα δεν θα µάθει για µελλοντικά προβλήµατα. γ. Αν ο µαθητής δεν αντιληφθεί που οδηγεί η ερώτηση, δεν βοηθά εκεί, που η βοήθεια είναι πολύ αναγκαία και µπορούσε να δοθεί µε µια γενική ερώτηση: «γνωρίζετε κανένα θεώρηµα ή άσκηση µε παρόµοιο συµπέρασµα;» ή, αν δεν προχωρήσουν, «µπορείτε να χρησιµοποιήσετε δυο ίσα τρίγωνα;». Πάντως και οι ειδικές ερωτήσεις µπορούν να χρησιµοποιούνται στην διδασκαλία, αφού πρώτα γίνουν γενικές ερωτήσεις και δεν υπάρξει ανταπόκριση από τους µαθητές ή όταν δεν υπάρχει αρκετός χρόνος. 3. Φυσικότητα - Στόχος Χαρακτηρίζουν την ερώτηση-υπόδειξη που γίνεται την κατάλληλη χρονική στιγµή, δηλαδή όταν ο µαθητής χρειάζεται κάποια βοήθεια για να προχωρήσει την εργασία του και υπηρετούν τον στόχο της ενεργοποίησης της σκέψης του µαθητή. Σε διαφορετική περίπτωση, ίσως η ερώτηση περάσει απαρατήρητη. Έτσι π.χ., αν ο µαθητής (γνωρίζοντας το ζητούµενο σε ένα πρόβληµα) έχει προχωρήσει και κάτι χρειάζεται ακόµη, είναι σκόπιµο να του δοθεί και η ερώτηση-υπόδειξη: Χρησιµοποίησες όλα τα δεδοµένα; Ή, ποια είναι τα δεδοµένα; Ή, ποια είναι η υπόθεση;

7 . Ι. Μ.- Σ.Σ.Μ.- Οι Ερωτήσεις στην ιδασκαλία των Μαθηµατικών 7 Τα χαρακτηριστικά αυτά τα έχουν όλες οι ερωτήσεις-υποδείξεις του καταλόγου του βιβλίου «Πώς να το λύσω» του G. Polya που παρουσιάσαµε πέρυσι (βλ. ιδακτικό Υλικό Λυκείου µε αρ. πρ. 46, (Οι ερωτήσεις αυτές είναι αρκετά χρήσιµο να δίνονται στην αρχή κάθε χρόνου στους µαθητές από την Γ Γυµνασίου και προπάντων να γίνεται αναφορά σ αυτές όταν χρησιµοποιούνται στην τάξη ώστε να γίνουν συνήθεια). ΙV. Ο ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΕΡΩΤΑ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΕΙΣ Οι ερωτήσεις - υποδείξεις του καθηγητή είναι συνάρτηση των γνώσεων του, της εµπειρίας, της προσωπικότητάς του, των στόχων του µαθήµατος αλλά και της διάθεσης και του ενθουσιασµού του για διδασκαλία των Μαθηµατικών. Έτσι δεν υπάρχει µια ορισµένη τεχνική για σύνταξη καλών ερωτήσεων, υπάρχουν όµως ορισµένες αρχές, οι οποίες από την παιδαγωγική ψυχολογία, τη διδακτική των Μαθηµατικών αλλά και την εµπειρία θεωρούνται χρήσιµες για µια αποτελεσµατικότερη διδασκαλία. 1. Οι ερωτήσεις πρέπει να απευθύνονται σ όλους τους µαθητές της τάξης. Με τον τρόπο αυτό θα υπάρχει για όλους ερέθισµα για κινητοποίηση της σκέψης. Μετά αναφέρουµε το όνοµα του µαθητή που θέλει να απαντήσει, αλλά πρέπει να δίνουµε το λόγο και να παρακινούµε να απαντήσουν και οι µαθητές που δεν σηκώνουν συχνά το χέρι τους. Ειδικά από τους αδύνατους ή αποθαρρυµένους µαθητές, καλό είναι να ζητούµε απαντήσεις σε ευκολότερες ερωτήσεις (αλλά να µην γίνεται αυτό πάντα). Αυτό σε συνδυασµό µε άλλα µέτρα (λεκτικές επιβραβεύσεις, βαθµολογία), είναι δυνατόν να οδηγήσει σε ενθάρρυνση και τόνωση της αυτοπεποίθησης των µαθητών αυτών, ώστε να µην µένουν στο «περιθώριο του µαθήµατος» µε όλες τις αρνητικές συνέπειες. Επίσης είναι προτιµότερο να προηγείται της ερώτησης η έκφραση «ποιος θα µας πει» ή «για να δούµε ποιος θα µας πει» και όχι «ποιος θα µου πει». Άνεση χρόνου. Ανάλογα µε την δυσκολία της ερώτησης, πρέπει να µεσολαβεί ένα χρονικό διάστηµα µέχρι την απάντηση, για να «πάθουν» και να σκεφτούν όλοι οι µαθητές της τάξης. ιαφορετικά είναι πολύ πιθανό οι µαθητές να απαντούν στην τύχη ή να απαντούν σε άλλη ερώτηση ή να δίνουν απάντηση πολύ συχνά οι λίγοι καλοί µαθητές της τάξης. 3. Να αποφεύγονται οι συνεχόµενες ερωτήσεις. Έτσι θα υπάρχει άνεση για σκέψη και εργασία του µαθητή. Το φαινόµενο των συνεχόµενων ερωτήσεων, στην οξεία του µορφή, γνωστό και σαν «βροχή ερωτήσεων» το συναντούµε συνήθως στην καθαυτό ερωτηµατική µορφή διδασκαλίας, η οποία πρέπει γενικά να αποφεύγεται, αφού ο µαθητής παρακολουθεί,

8 . Ι. Μ.- Σ.Σ.Μ.- Οι Ερωτήσεις στην ιδασκαλία των Μαθηµατικών 8 κυριολεκτικά «σέρνεται» από την σκέψη του δασκάλου και δεν σκέπτεται αυτοδύναµα και εποµένως δεν µπορεί να αναπτύξει δική του σκέψη και πορεία µάθησης. Συνήθως στην µορφή αυτή διδασκαλίας, για να «κερδηθεί χρόνος», ο καθηγητής δίνει σχεδόν αµέσως και την απάντηση, κάτι παιδαγωγικά και διδακτικά απαράδεκτο όταν γίνεται κατά σύστηµα. Πάντως από τον συνεχή µονόλογο «προτιµότερη» είναι η διδασκαλία αυτή, έστω και αν οι µαθητές δεν απαντούν ή οι ερωτήσεις τίθενται για να απαντώνται από τον καθηγητή, χάριν της προόδου και του «ζωηρέµατος» του µαθήµατος. Οι µορφές αυτές διδασκαλίας είναι πια καιρός να τεθούν γενικά στο περιθώριο, και να αντικατασταθούν από την καθοδηγούµενη αυτενέργεια ή στην οµαδοσυνεργατική µορφή διδασκαλίας. ΤΙ ΑΛΛΟ ΝΑ ΑΠΟΦΕΥΓΟΥΜΕ 4. Να αποφεύγουµε ς ερωτήσεις όπως: «το καταλάβατε;», όπως και την ερώτηση «έχει κανείς να ρωτήσει κάτι», ιδίως όταν δεν υπάρχει αρκετός χρόνος. Η εµπειρία δείχνει ότι οι ωραίες αυτές ερωτήσεις, στην πράξη δεν προσφέρουν τίποτα και δίνουν ψευδείς εντυπώσεις στο δάσκαλο. Συνήθως, όλοι µαζί οι µαθητές απαντούν «ναι» ή σπάνια ερωτά κάποιος µαθητής, ακόµη και αν δεν έχει γίνει κατανοητό µέρος ή όλο το µάθηµα. Πάντως πρέπει να ενθαρρύνουµε τους µαθητές να διατυπώνουν τις απορίες ή ερωτήσεις τους είτε µέσα στη τάξη είτε στο διάλειµµα. Ο καλύτερος τρόπος για να διαπιστώσουµε αν έχει γίνει κατανοητό το µάθηµα, µερικά ή ολικά, είναι να δώσουµε µερικές -προτιµότερο γραπτές - ερωτήσεις κατανόησης ή απλές ασκήσεις στο τέλος του µαθήµατος. Φυσικά µια πιο έγκυρη αξιολόγηση µπορεί να γίνει µε ένα τεστ ή διαγώνισµα. 5. Να µην θέτουµε ερωτηµατικές αντωνυµίες στο τέλος των ερωτήσεων, όπως π.χ. «και µετά κάνοµε τι;» αλλά στην αρχή. Τέτοιες ερωτήσεις, όταν µάλιστα επαναλαµβάνονται συχνά, δηµιουργούν νευρικότητα, εκτός του ότι ηχούν άσχηµα. 6. Να αποφεύγονται οι ερωτήσεις που χρειάζονται µονολεκτική απάντηση, οι «ψευδοερωτήσεις» καθώς και οι διαζευκτικές ερωτήσεις. Οι µαθητές συνήθως στις ερωτήσεις αυτές απαντούν µε πιθανότητα, χωρίς να σκεφτούν. 7. Να χρησιµοποιούνται όσο είναι δυνατόν, ρήµατα που φανερώνουν συγκεκριµένες ενέργειες ή πράξεις. Ειδικά, καλό είναι να χρησιµοποιούνται όσο το δυνατόν λιγότερο τα αόριστα και µε πολλές έννοιες ρήµατα «πρέπει», «έχουµε», «κάνουµε», και όταν τα χρησιµοποιούµε να διευκρινίζουµε περισσότερο τη σηµασία τους, όπως π.χ. Τι πρέπει να κάνουµε τώρα; (να βγάλουµε τις παρενθέσεις ή να κάνουµε τις πράξεις ή να βρούµε την τιµή της παράστασης κ.ά).

9 . Ι. Μ.- Σ.Σ.Μ.- Οι Ερωτήσεις στην ιδασκαλία των Μαθηµατικών 9 Ειδικά µε το «πρέπει», που µε τόση ευκολία βγαίνει από τα χείλη των µαθητών -και όχι µόνο - απαιτείται προσοχή και φειδώ στη χρήση του, επειδή το «µαθηµατικό πρέπει» εκφράζει (µόνο) αναγκαία συνθήκη ( να το διασαφηνίζουµε και να το τονίζουµε αυτό) και οι µαθητές την εκλαµβάνουν συχνά και ως ικανή. π.χ. Για να είναι οι γωνίες ω και φ παραπληρωµατικές πρέπει να είναι ορθές. Για να είναι η συνάρτηση φ γν. αύξουσα σ ένα διάστηµα πρέπει φ (x) > 0 για κάθε x.. 8. Οι ερωτήσεις δεν πρέπει να περιέχουν την απάντηση. Πολλές φορές µε πρόθεση λίγο ή πολύ να βοηθήσουµε τους µαθητές, κάνουµε ερωτήσεις που περιέχουν µερικά την απάντηση (ή ακόµη χειρότερα δίνουµε την απάντηση πριν καν σκεφτούν οι µαθητές ). Αυτό συµβαίνει π.χ. όταν γίνονται ειδικές ερωτήσεις (µε µπόλικη βοήθεια).χωρίς να αποκλείουµε και αυτές τις ερωτήσεις, η συστηµατική χρήση τους δεν βοηθά την µάθηση και προπάντων την πνευµατική εξέλιξη του µαθητή. Όσες λιγότερες τέτοιου είδους ερωτήσεις γίνονται κατά την διδασκαλία, τόσο το καλύτερο. Παραδείγµατα: Τι είδους γωνίες είναι οι γωνίες ενός οξυγωνίου τριγώνου; Πως λέγεται µια εξίσωση που δεν έχει λύση; Ποια γινόµενα πρέπει να είναι ίσα ώστε να ισχύει η ισότητα 9. Να αποφεύγονται τέλος απαξιωτικές ή επιτιµητικές εκφράσεις για οποιοδήποτε µαθητή που δεν απαντά ή απαντά λάθος. Στην περίπτωση αυτή µπορούµε να επαναδιατυπώσουµε την ερώτηση, ή να πούµε στο µαθητή να το ξανασκεφτεί, ή να προσπαθήσει κι άλλο (και ερευνούµε για ποιο λόγο απάντησε λάθος - µήπως κάτι στη διδασκαλία µας δεν πήγε καλά- ή µήπως απάντησε σε άλλη ερώτηση κλπ. Αυτό είναι ιδιαίτερα σηµαντικό για την διδακτική ανατροφοδότηση και βελτίωση του καθηγητή)) Επισηµαίνουµε ακόµη την αντιστοιχία που πρέπει να υπάρχει µεταξύ των ερωτήσεων αξιολόγησης και των ερωτήσεων οι οποίες γίνονται κατά στην διδασκαλία και µε τις οποίες «εκπαιδεύονται και εθίζονται» οι µαθητές: αν στην διδασκαλία µας π.χ. κυριαρχούν οι ερωτήσεις αποµνηµόνευσης αντίστοιχες ερωτήσεις πρέπει να κυριαρχούν και στις ερωτήσεις αξιολόγησης κλπ. α β γ = δ ;

10 . Ι. Μ.- Σ.Σ.Μ.- Οι Ερωτήσεις στην ιδασκαλία των Μαθηµατικών 10 V. Ο ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΑΠΑΝΤΑ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΕΙΣ Γενικά ο καθηγητής στις απαντήσεις του πρέπει να αποφεύγει : Να απαντά σε ερώτηση, όταν η απάντηση µπορεί να δοθεί από τους µαθητές (ίσως και µε λίγη βοήθεια) Να απαντά σε ερωτήσεις εκτός θέµατος ή που αποµακρύνουν από το θέµα. Μπορεί όµως καλέσει τον µαθητή στο διάλειµµα για συζήτηση. Να απαντά βιαστικά πριν ολοκληρωθεί η απάντηση του µαθητή. Να απαντά όταν δεν είναι σίγουρος για την απάντησή του. Πρέπει να έχει το θάρρος να πει «δεν ξέρω την απάντηση!, Θα σας απαντήσω στο επόµενο µάθηµα» (αλλά να µην ξεχάσει να απαντήσει!..) Να απαντά στις ερωτήσεις του Αν δεν απαντά κανείς µαθητής, περιµένουµε λίγο περισσότερο ή επαναδιατυπώνουµε την ερώτηση, δίνοντας µεγαλύτερη βοήθεια (πιο ειδική ερώτηση) Να επαναλαµβάνει τις ερωτήσεις του Οι µαθητές εθίζονται και δεν προσέχουν τις ερωτήσεις. Να διακόπτει την απάντηση του µαθητή. Επίσης πρέπει η απάντησή µας - σε οποιαδήποτε ερώτηση µαθητή να γίνεται σε ήρεµο τόνο και να µην συνοδεύεται ποτέ από οποιοδήποτε απαξιωτικό ή επιτιµητικό χαρακτηρισµό ή αλαζονικό ύφος. Ακόµη και µια «παιδαριώδη» ή «γελοία» ερώτηση - αν δεν γίνεται σκόπιµα και αυτό το καταλαβαίνουµε - για τον καθηγητή έχει την αξία της και µπορεί να του δώσει χρήσιµα στοιχεία για τη πορεία µάθησης του µαθητή. Να ενθαρρύνουµε τους µαθητές να κάνουν ερωτήσεις Η διατύπωση οποιωνδήποτε σχετικών µε το µάθηµα ερωτήσεων και αποριών από τους µαθητές συµβάλλει στην ουσιαστική µάθηση και πρέπει να ενθαρρύνουµε τους µαθητές να τις κάνουν τόσο προς εµάς όσο και προς τους άλλους συµµαθητές τους. Ειδικά όµως τις «καλές» ερωτήσεις πάντα βέβαια στα µαθητικά πλαίσια- πρέπει και να τις επαινούµε π.χ. καλή ερώτηση! Παραφράζοντας γνωστό απόφθεγµα µπορούµε να πούµε ότι «Μια καλή ερώτηση αξίζει όσο χίλιες απαντήσεις» Επίσης καλό είναι να ζητούµε από την τάξη να αξιολογήσει µια απάντηση ενός µαθητή, αντί να το κάνουµε εµείς. Εθίζουµε έτσι τους µαθητές µας στην αξιολόγηση

11 . Ι. Μ.- Σ.Σ.Μ.- Οι Ερωτήσεις στην ιδασκαλία των Μαθηµατικών 11 απόψεων και επιχειρηµάτων, αλλά και ο µαθητής έρχεται θετικά στο επίκεντρο της τάξης, κάτι που τον ενθαρρύνει και συµβάλλει στην τόνωση της αυτοπεποίθησής του. Είναι συχνό το φαινόµενο να περνούν µεγάλα χρονικά διαστήµατα όπου οι µαθητές δεν κάνουν καµία, έστω διευκρινιστική, ερώτηση. Αυτό είναι ένα σηµάδι που πρέπει να µας ανησυχεί και καλό είναι να ψάξουµε τα αίτιά του Ενίσχυση της ερευνητικής διάθεσης των µαθητών Ένας δύσκολος, αλλά ιδιαίτερα σηµαντικός στόχος της διδασκαλίας, είναι να δηµιουργήσουµε ή να ενισχύσουµε το ενδιαφέρον των µαθητών για την έρευνα, στα πλαίσια πάντα των δυνατοτήτων τους, ιδίως στο Λύκειο. Ο στόχος αυτός µάλιστα, δεν είναι πάντα εύκολος ή αυτονόητος ακόµη και για τους άριστους ή/και επιµελείς µαθητές. Πολλές είναι οι περιπτώσεις που µαθητές απλά «καλοί ή και µέτριοι» εξελίχθησαν πολύ ως ενήλικες επιστηµονικά ή κοινωνικά. Μέσα λοιπόν στο µικρό αλλά βασικό «πνευµατικό φυτώριο» του Λυκείου καλό είναι να ενισχύουµε στο µέτρο του δυνατού και την ερευνητική διάθεση των µαθητών µας και τα µαθηµατικά είναι το µοναδικό σχεδόν µάθηµα που προσφέρει πολλές ευκαιρίες γι αυτό. Και στον τοµέα αυτόν µερικές καλές ερωτήσεις µπορούν να βοηθήσουν σε ένα βαθµό. Να µερικές τέτοιες ερωτήσεις, που δεν είναι βέβαια και οι µοναδικές: ώσε µας ένα διαφορετικό παράδειγµα. Το πιστεύεις αυτό πραγµατικά, Καίτη; Πως είσαι βέβαιος γι αυτό Νίκο; Τι εννοείς µε αυτό; Προσπάθησε να το πεις µε άλλο τρόπο. Τι θα συνέβαινε αν τροποποιούσαµε τα δεδοµένα; Μπορούµε άραγε αυτό το αποτέλεσµα να το απλοποιήσουµε; Γιατί άραγε στο βιβλίο υπάρχει αυτός ο περιορισµός; Μήπως δεν χρειάζεται; Μπορεί να το αποδείξει κανείς µε διαφορετικό τρόπο; Με πιο κοµψό τρόπο; Μπορείτε να διατυπώσετε ένα Γενικότερο ή Ειδικότερο ή Ανάλογο πρόβληµα. Επίλογος Από τα παραπάνω γίνεται φανερό ότι η διδακτική ερώτηση, δεν είναι µια τυχαία έκφραση, αλλά µια σπουδαία και δυναµική διδακτική πρόταση που απαιτεί την φροντίδα του εκπαιδευτικού. Η συστηµατική χρήση των παραπάνω αρχών που αναφέραµε, πιστεύω ότι θα βοηθήσει στην µόνιµη και αυθόρµητη σύνταξη καλών διδακτικών ερωτήσεων, πράγµα που θα συµβάλει σε ένα βαθµό σε µια πιο αποτελεσµατική διδασκαλία. Προς την κατεύθυνση αυτή, είναι χρήσιµο ορισµένες ερωτήσεις-κλειδιά του µαθήµατος - να σχεδιάζονται από πριν, ώστε να ενεργοποιούν την σκέψη και αυτενέργεια των µαθητών, αλλά και τον καθηγητή να βοηθούν να προχωρήσει σύµφωνα µε την διαδικασία που προγραµµάτισε. Εκτός από την διδακτική πλευρά των ερωτήσεων κατά την διδασκαλία, µεγάλη σηµασία έχει το όλο πλαίσιο, µέσα στο οποίο καλείται να σκεφτεί και να απαντήσει ο µαθητής - είτε εκφραστεί είτε όχι. Η απάντηση του µαθητή και γενικότερα η πνευµατική του κινητοποίηση, εξαρτάται από την ετοιµότητά του για µάθηση, τα κίνητρα που διαθέτει, το ρεπερτόριο των γνώσεων και δεξιοτήτων του, την

12 . Ι. Μ.- Σ.Σ.Μ.- Οι Ερωτήσεις στην ιδασκαλία των Μαθηµατικών 1 µεθόδευση της διδασκαλίας και από τους παρακάτω παράγοντες που θα αναφέρουµε επιγραµµατικά: Α. Την ύπαρξη δηµοκρατικού - φιλικού (αλλά όχι πολύ ανεκτικού ή «αναρχικού») κλίµατος στην τάξη. Β. Την στάση που τηρεί ο Καθηγητής και η τάξη στην περίπτωση που ένα µαθητής απαντήσει «λάθος» ή δεν απαντήσει. Σε καµιά περίπτωση δεν επιτρέπεται η επίπληξη (ας έχουµε υπόψη και την γνωστή ρήση: «δεν υπάρχουν λανθασµένες απαντήσεις, αλλά λανθασµένες ερωτήσεις». Επίσης να µην ξεχνάµε ότι ο µαθητής ορισµένες φορές απαντά σε άλλη ερώτηση, µη αντιλαµβανόµενος το νόηµα της ερώτησης που του γίνεται. Από την άλλη µεριά ο καθηγητής πρέπει να καρτερεί την ευκαιρία για επιβράβευση, ιδίως σε αδύνατους µαθητές, ανάλογα µε την δυσκολία της ερώτησης ή του προβλήµατος. Γ. Την ύπαρξη θετικού αυτοσυναισθήµατος για κάθε µαθητή, δηλαδή αν ο µαθητής έχει διαµορφώσει ένα σύνολο πεποιθήσεων και στάσεων ευνοϊκών για τον εαυτό του. Τελειώνοντας, πρέπει να έχουµε υπόψη ότι οι ερωτήσεις δεν πρέπει να κυριαρχούν στην διδασκαλία, αλλά να συνδυάζονται µε παροτρύνσεις προς τους µαθητές και ανάθεση εργασιών µέσα στη τάξη στην κατεύθυνση της όσο το δυνατόν µεγαλύτερης (καθοδηγούµενης) αυτενέργειας. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. Εξαρχάκος Θ., ιδακτική Μαθηµατικών, Ελληνικά γράµµατα, αµαλάς Γ., ιδακτική των Μαθηµατικών. Αθήνα ερβίσης Σ., Σύγχρονη Γενική ιδακτική. Θεσσαλονίκη Κασσωτάκης Μ., Η αξιολόγηση της επίδοσης των µαθητών. Εκδόσεις Γρηγόρη. Αθήνα Πατεράκης Α., Σηµειώσεις ειδικής διδακτικής Μαθηµατικών. 6. Polya G., Πώς να το λύσω, εκδόσεις Καρδαµίτσα, Αθήνα Φλουρής Γ. - Gagne R., Θεµελιώδεις αρχές της µάθησης και της διδασκαλίας, Αθήνα Τουµάσης Χ., ιδακτική Μαθηµατικών. Gutenberg, Αθήνα Μπουνάκης., Οι ερωτήσεις στη διδασκαλία. ΕΥΚΛΕΙ ΗΣ Γ τεύχος 17, Μπουνάκης., «Προγραµµατισµός της διδασκαλίας - συµβολή στη διδακτική αντιµετώπιση του Κεφαλαίου Συναρτήσεις (Β Γυµνασίου), ΕΥΚΛΕΙ ΗΣ Γ τεύχος 18, HENRY M., ιδακτική µαθηµατικών, Μαθηµατικό τµήµα Πανεπιστηµίου Αθηνών. * * *

Τίτλος μαθήματος: ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΚΑΙ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗ ΣΤΗ ΣΧΟΛΙΚΗ ΤΑΞΗ. Ενότητα 3 Η ΕΡΩΤΗΣΗ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ

Τίτλος μαθήματος: ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΚΑΙ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗ ΣΤΗ ΣΧΟΛΙΚΗ ΤΑΞΗ. Ενότητα 3 Η ΕΡΩΤΗΣΗ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ Τίτλος μαθήματος: ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΚΑΙ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗ ΣΤΗ ΣΧΟΛΙΚΗ ΤΑΞΗ Ενότητα 3 Η ΕΡΩΤΗΣΗ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ Οι ερωτήσεις στη διδασκαλία Α) Η ερώτηση του εκπαιδευτικού Β) Η ερώτηση του μαθητή Α) Η

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται: 4.4 Ερωτήσεις διάταξης Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:! µία σειρά από διάφορα στοιχεία και! µία πρόταση / κανόνας ή οδηγία και ζητείται να διαταχθούν τα στοιχεία µε βάση την πρόταση αυτή. Οι ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ : «ιδακτικό υλικό Μαθηµατικών Γ Γυµνασίου» Aγαπητοί συνάδελφοι,

ΘΕΜΑ : «ιδακτικό υλικό Μαθηµατικών Γ Γυµνασίου» Aγαπητοί συνάδελφοι, ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ /ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ.Ε. Ν. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ηµήτριος Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Μαναριώτης Σχολικός Σύμβουλος 4 ης Περιφέρειας Ν. Αχαϊας Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥ ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ ΚΑΙ ΓΡΑΦΩ ΣΤΗΝ Α ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ

Χρήστος Μαναριώτης Σχολικός Σύμβουλος 4 ης Περιφέρειας Ν. Αχαϊας Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥ ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ ΚΑΙ ΓΡΑΦΩ ΣΤΗΝ Α ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥ ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ ΚΑΙ ΓΡΑΦΩ ΣΤΗΝ Α ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ Η καλλιέργεια της ικανότητας για γραπτή έκφραση πρέπει να αρχίζει από την πρώτη τάξη. Ο γραπτός λόγος χρειάζεται ως μέσο έκφρασης. Βέβαια,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 7 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1 Αν z 1, z είναι µιγαδικοί αριθµοί, να αποδειχθεί ότι: z 1 z = z 1 z. Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεία y

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 11. Έστω η παράσταση Α = [(30 : 6) 2] 2 [(15 5) : 3 + 2 2 6] 3 (2 5 3 3 + 2 1 ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α Αν Α = 30, i) να αναλύσετε τον αριθµό Α σε γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014 Θέμα 1 ο A. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: Ρ(Α Β) = Ρ(Α) +

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΡΧ. ΜΑΚΑΡΙΟΥ Γ - ΠΛΑΤΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 015 ΒΑΘΜΟΣ : ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αριθμητικά.. ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 1/6/015 ΒΑΘΜΟΣ:... ΤΑΞΗ: Α Ολογράφως:... ΧΡΟΝΟΣ: ώρες

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Γραπτές ανακεφαλαιωτικές προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις στα Μαθηµατικά Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος, ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Για τον υπολογισµό του βαθµού της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.α) ίνεται η συνάρτηση F() f() + g(). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F () f () + g

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΟΔΗΓΙΕΣ: α) Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. β) Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού. γ) Να γράφετε μόνο με μπλε μελάνι. (Για τα σχήματα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΡΦΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ. PDF created with pdffactory Pro trial version www.pdffactory.com

ΜΟΡΦΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ. PDF created with pdffactory Pro trial version www.pdffactory.com ΜΟΡΦΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ Αφηγηματική προσέγγιση: Αποτελεί τη βασική μορφή των δασκαλοκεντρικών μεθόδων διδασκαλίας. Ο δάσκαλος δίνει τις πληροφορίες, ενώ οι μαθητές του παρακολουθούν μένοντας αμέτοχοι και κρατώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κ. Τζιρώνης, Θ. Τζουβάρας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συµπλήρωµα στις λύσεις των ασκήσεων του βιβλίου Περιλαµβάνει λύσεις ή υποδείξεις για ασκήσεις του βιβλίου που αφορούν κυρίως προβλήµατα των οποίων η επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013 ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 3 Εισαγωγή Μέσα Μαΐου και ο πυρετός των Πανελλαδικών όλο και ανεβαίνει! Οι μαθητές ξεκοκαλίζουν τα βιβλία για να ανακαλύψουν δύσκολα θέματα διαφορετικά από αυτά που κυκλοφορούν

Διαβάστε περισσότερα

α. η παροχή γενικής παιδείας, β. η καλλιέργεια των δεξιοτήτων του μαθητή και η ανάδειξη των

α. η παροχή γενικής παιδείας, β. η καλλιέργεια των δεξιοτήτων του μαθητή και η ανάδειξη των ΔΕΠΠΣ ΑΠΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ α. η παροχή γενικής παιδείας, β. η καλλιέργεια των δεξιοτήτων του μαθητή και η ανάδειξη των ενδιαφερόντων του, γ. η εξασφάλιση ίσων ευκαιριών και δυνατοτήτων μάθησης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΑΣΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΕΝΑΝΤΙ ΤΗΣ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΜΕ Η ΧΩΡΙΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ

ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΑΣΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΕΝΑΝΤΙ ΤΗΣ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΜΕ Η ΧΩΡΙΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ 556 3 Ο ΣΥΝΕ ΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΑΣΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΕΝΑΝΤΙ ΤΗΣ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΜΕ Η ΧΩΡΙΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ Ματούλας Γεώργιος άσκαλος Σ Ευξινούπολης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά) 9 ΘΕΡΙΝΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( η σειρά) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω η συνάρτηση f με f() ημ. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f () συν Β. Πότε μια συνάρτηση f λέμε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

O ρόλος των ερωτήσεων τύπου Σωστού Λάθους και η αναγκαιότητα μετεξέλιξής τους. ΚΑΡΔΑΜΙΤΣΗΣ ΣΠΥΡΟΣ Πρότυπο Πειραματικό Λύκειο Αναβρύτων

O ρόλος των ερωτήσεων τύπου Σωστού Λάθους και η αναγκαιότητα μετεξέλιξής τους. ΚΑΡΔΑΜΙΤΣΗΣ ΣΠΥΡΟΣ Πρότυπο Πειραματικό Λύκειο Αναβρύτων O ρόλος των ερωτήσεων τύπου Σωστού Λάθους και η αναγκαιότητα μετεξέλιξής τους. ΚΑΡΔΑΜΙΤΣΗΣ ΣΠΥΡΟΣ Πρότυπο Πειραματικό Λύκειο Αναβρύτων 01. Εισαγωγή Εκπαιδευτικό υλικό ΚΕΕ για την αξιολόγηση των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

(f(x)+g(x)) =f (x)+g (x), x R

(f(x)+g(x)) =f (x)+g (x), x R ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιµες στο IR, να αποδείξετε ότι (()+g()) ()+g (), R Μονάδες 7 Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΥΜΝΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΣΙ ΓΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 11 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και τρείς ασκήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Εξαρτάται η συχνότητα από τη µάζα στην Απλή Αρµονική Ταλάντωση;

Εξαρτάται η συχνότητα από τη µάζα στην Απλή Αρµονική Ταλάντωση; Εξαρτάται η συχνότητα από τη µάζα στην Απλή Αρµονική Ταλάντωση; Ξεκινώντας θα ήθελα να θυµίσω κάποια στοιχεία που σχετίζονται µε τον ορισµό της συχνότητας σε ένα περιοδικό φαινόµενο, άρα και στην ΑΑΤ.

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Ι Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.

Θεώρημα Ι Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Τα πιο κάτω θεωρήματα καθώς και το Θεώρημα Ι σ. 104 είναι SOS όχι μόνο για θεωρία αλλά και για χρήση στις ασκήσεις, οπότε πρέπει να κατανοήσετε τι λένε, να ξέρετε την απόδειξη και να είστε έτοιμοι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο .4 ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ 0 Ο 45 Ο 60 Ο ΘΕΩΡΙ. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί 0 ο, 45 ο, 60 ο : ηµίτονο συνηµίτονο εφαπτοµένη 0 ο 45 ο 60 ο ΣΚΗΣΕΙΣ. Στο διπλανό πίνακα, σε κάθε πληροφορία της στήλης, να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ: ΛΕΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΗ ΛΕΚΤΙΚΗ. ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: 3. Δημιουργία και Βελτίωση Κοινωνικού Εαυτού

ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ: ΛΕΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΗ ΛΕΚΤΙΚΗ. ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: 3. Δημιουργία και Βελτίωση Κοινωνικού Εαυτού ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ: ΛΕΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΗ ΛΕΚΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: 3. Δημιουργία και Βελτίωση Κοινωνικού Εαυτού ΥΠΟΕΝΟΤΗΤΑ: 3.2. Ανάπτυξη Κοινωνικών Δεξιοτήτων και Σχέσεων ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου ΧΡΟΝΟΣ: 1 διδακτική περίοδος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ. Δίνεται η συνάρτηση f (). Να βρείτε για ποιες τιμές του δεν ορίζεται η συνάρτηση f. Να βρείτε τον αριθμό f ( ). Να δείξετε ότι f () I. Δίνεται η εξίσωση με η οποία έχει ρίζες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x) x είναι f (x) Β Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Εισαγωγή Η χώρα μας απέκτησε Νέα Προγράμματα Σπουδών και Νέα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς x και y ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α) x - + y = - + - y β) y + = 3 - ( + ) x γ) 4y - 3y - x = - 5x + 9 δ) (x

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Διδακτέα-εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί Ενδεικτικός Προγραμματισμός ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί 12 περίοδοι Δείκτες επιτυχίας: Ορίζουν την έννοια της νιοστής ρίζας ενός αριθμού α και αποδεικνύουν τις ιδιότητες ριζών, όταν ν N, ν 0, 1, α R

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικό λογισμικό: Αβάκιο Χελωνόκοσμος Δραστηριότητα 1: «Διερευνώντας τα παραλληλόγραμμα»

Εκπαιδευτικό λογισμικό: Αβάκιο Χελωνόκοσμος Δραστηριότητα 1: «Διερευνώντας τα παραλληλόγραμμα» Εκπαιδευτικό λογισμικό: Αβάκιο Χελωνόκοσμος Δραστηριότητα 1: «Διερευνώντας τα παραλληλόγραμμα» Φύλλο δασκάλου 1.1 Ένταξη δραστηριότητας στο πρόγραμμα σπουδών Τάξη: Ε και ΣΤ Δημοτικού. Γνωστικά αντικείμενα:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΣΗ ΚΑΙ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ

ΜΑΘΗΣΗ ΚΑΙ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΜΑΘΗΣΗ ΚΑΙ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ Δρ Κορρές Κωνσταντίνος Θεωρίες μάθησης Ευνοϊκές συνθήκες για τη μάθηση Μέθοδοι διδασκαλίας Διδακτικές προσεγγίσεις (Ι) Συμπεριφορικές Θεωρίες μάθησης Για τους εκπροσώπους της Σχολής

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΛΟΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ - Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΣΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ (ενδεικτικά)

ΠΙΛΟΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ - Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΣΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ (ενδεικτικά) ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ Διεξαγωγή μικρής έρευνας στο Γυμνάσιο Β' Γυμνασίου Διδάσκουσα: Ασπράκη Γαβριέλλα Νεοελληνική Γλώσσα email: gabby.aspraki@gmail.com ΠΙΛΟΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ - Η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

f f x f x = x x x f x f x0 x

f f x f x = x x x f x f x0 x 1 Παράγωγος 1. για να βρω την παράγωγο της f σε διάστηµα χρησιµοποιώ βασικές παραγώγους και κανόνες παραγωγισης. για να βρω την παράγωγο σε σηµείο αλλαγής τύπου η σε άκρο διαστήµατος δουλεύω µε ορισµό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:...

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/06/2015 ΤΑΞΗ: A Αριθμητικά... ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat 4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το Θεώρημα Fermat και στη συνέχεια την απόδειξή του. Ακολούθως εξετάζεται η χρήση του στον εντοπισμό πιθανών τοπικών

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη Επιθυµητής Συµπεριφοράς Στη Σχολική Τάξη

Ανάπτυξη Επιθυµητής Συµπεριφοράς Στη Σχολική Τάξη Ανάπτυξη Επιθυµητής Συµπεριφοράς Στη Σχολική Τάξη Ελισάβετ Γεωργίου D.Ed.-M.A. Σχολικός Σύµβουλος Π.Ε. «Ουδείς εκών κακός» Σωκράτης Εάν ανατρέξουµε στην ιστορία της σχολικής µάθησης, θα δούµε ότι από αρχαιοτάτων

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα