Οι Ερωτήσεις στην ιδασκαλία των Μαθηµατικών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Οι Ερωτήσεις στην ιδασκαλία των Μαθηµατικών"

Transcript

1 Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ : Οι Ερωτήσεις στην ιδασκαλία των Μαθηµατικών ηµήτρης Ι. Μπουνάκης Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικών Το άρθρο αυτό περιέχει σε ολοκληρωµένη µορφή την οµιλία µου µε τίτλο «Οι ερωτήσεις στη ιδασκαλία των Μαθηµατικών», που έγινε στα πλαίσια της ηµερίδας «ιδακτικής Μαθηµατικών και Παιδαγωγικών» που πραγµατοποιήθηκε στις 15 Οκτωβρίου 009 στο Ηράκλειο. Στόχος της οµιλίας µου ήταν η ευαισθητοποίηση του καθηγητή στο σηµαντικό θέµα των ερωτήσεων που υποβάλλονται κατά τη διάρκεια της διδασκαλίας στη τάξη και η παροχή χρήσιµων στοιχείων σχετικά µε την σύνταξη και διατύπωση των ερωτήσεων. Με χαρά θα δεχθώ για συζήτηση διορθώσεις ή συµπληρώσεις στο σηµαντικό αυτό θέµα που καθηµερινά µας απασχολεί. Συνοπτικά το θέµα κινείται γύρω από τους εξής άξονες: Ο ρόλος των ερωτήσεων στη διαδικασία «διδασκαλία µάθηση Είδη ερωτήσεων, χαρακτηριστικά καλών ερωτήσεων Οι Ερωτήσεις του Καθηγητή Οι Απαντήσεις του Καθηγητή 1. Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ ΣΤΗ Ι ΑΣΚΑΛΙΑ Είναι φανερό ότι η ερώτηση αποτελεί ένα ιδιαίτερα σηµαντικό µέρος του γραπτού και του προφορικού λόγου και συµβάλει στην καλύτερη επικοινωνία και προπάντων την κατανόηση και συνεννόηση των ανθρώπων. Πολύ σπουδαιότερος είναι ο ρόλος των ερωτήσεων κατά την διάρκεια της διαδικασίας «διδασκαλία µάθηση», αφού σ αυτή την περίπτωση, δεν πρόκειται για µια απλή επικοινωνία, αλλά για µια ανώτερη πνευµατική εργασία και προσπάθεια µε σκοπό την κατάκτηση νέων γνώσεων και δεξιοτήτων και όχι µόνο. Γενικά στην διαδικασία διδασκαλία- µάθηση, οι ερωτήσεις χρησιµοποιούνται σε δυο φάσεις: στον έλεγχο των γνώσεων ή την αξιολόγηση του µαθητή και στην διδασκαλία. Εδώ θα ασχοληθούµε µόνο µε τις ερωτήσεις στη δεύτερη φάση.

2 . Ι. Μ.- Σ.Σ.Μ.- Οι Ερωτήσεις στην ιδασκαλία των Μαθηµατικών Στη φάση της διδασκαλίας οι ερωτήσεις (ή ερωτήσεις - υποδείξεις) γίνονται στην τάξη, κυρίως από τον καθηγητή, για να βοηθήσουν τους µαθητές στην κατάκτηση των στόχων του µαθήµατος. Φυσικά κατά την διδασκαλία γίνονται προς τους µαθητές όχι µόνο ερωτήσεις, αλλά και παροτρύνσεις, προτροπές, νύξεις τις οποίες µπορούµε να τις εντάξουµε στο γενικό πνεύµα των ερωτήσεων-ερεθισµάτων. Ο προτρεπτικός ρόλος των ερωτήσεων προς τη µάθηση µπορεί να πάρει διάφορες µορφές, οι οποίες συχνά δεν είναι άµεσα ορατές, όπως: Να παρακινήσουν σε ένα νέο αντικείµενο διδασκαλίας π.χ. «πως θα βρούµε µια σχέση µεταξύ της διαµέσου µ α τριγώνου και των πλευρών του;» Να παρακινήσουν την συνεργασία ή αλληλεπίδραση µεταξύ των µαθητών: π.χ. «ο τρόπος λύσης της Μαρίας είναι καλύτερος από του Κώστα;» Να προκαλέσουν, π.χ. «Οι διαγώνιες ορθογωνίου φαίνονται ίσες, µπορείτε να το αποδείξετε;» Να βοηθήσουν στη κατανόηση των µεθόδων, π.χ. «Ποια µέθοδο (ή τρόπο) χρησιµοποιήσαµε για να λύσουµε αυτό το πρόβληµα;» Να βοηθήσουν τους µαθητές να αξιολογούν: π.χ. «Νοµίζεις ότι η µέθοδός σου είναι κατάλληλη και για άλλους είδους πρόβληµα» Να ενθαρρύνουν τη διάθεση για εξερεύνηση: π.χ. «Αν δυο τρίγωνα έχουν δυο πλευρές ίσες µια προς µια και µια γωνία ίση είναι ίσα;» ή «το περίκεντρο τριγώνου βρίσκεται πάντα στο εσωτερικό του;» Να ενθαρρύνουν ερωτήσεις από τους ίδιους τους µαθητές: π.χ. «Αυτό το θεώρηµα ποιες ερωτήσεις σας δηµιουργεί» π.χ. Πυθαγόρειο (αντίστροφο, µη ορθογώνιο κλπ), Θ. Βοlzano (αντίστροφο, αρκεί η εποπτική απόδειξη κλπ). Να κάνουν διάγνωση: πως το βρήκες αυτό Γιάννη; Να αυξήσουν την ικανότητα µεταφοράς της γνώσης: π.χ. «Πως θα µπορούσατε να χρησιµοποιήσετε το εµβαδόν τριγώνου για να υπολογίσετε το εµβαδόν τραπεζίου;»

3 . Ι. Μ.- Σ.Σ.Μ.- Οι Ερωτήσεις στην ιδασκαλία των Μαθηµατικών 3 ΙΙ. ΕΙ Η ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ Με κριτήριο τον βαθµό ενεργοποίησης της σκέψης που χρειάζεται για να µελετηθεί και να απαντηθεί µια ερώτηση, διακρίνουµε δυο βασικές κατηγορίες ερωτήσεων. 1. Ερωτήσεις αποµνηµόνευσης Είναι ερωτήσεις στις οποίες οι µαθητές για να απαντήσουν πρέπει να ανακαλέσουν απλά από τη µνήµη διάφορες γνώσεις ή δεξιότητες. Στην κατηγορία αυτή µπορούν να ενταχθούν και οι λεγόµενες «συγκλίνουσες» ερωτήσεις οι οποίες οδηγούν την σκέψη των ερωτώµενων σε στενά πλαίσια. Οι ερωτήσεις της κατηγορίας αυτής είναι συνήθως του τύπου «πότε;», «τι;» «πως;», «ποια είναι η τιµή της παράστασης», «λύσετε την εξίσωση» κλπ. Παραδείγµατα: Πότε ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές; Τι κάνουµε για να λύσουµε µια εξίσωση α βαθµού; Να λύσετε τη εξίσωση 5χ + = (χ - 1) Πως απαλείφουµε τους παρανοµαστές µιας εξίσωσης; Πότε η δευτεροβάθµια εξίσωση έχει ρίζες ίσες; Να βρείτε τoν µιγαδικό ω = i 009. Πότε µια συνάρτηση f(t) λέµε ότι παραγωγίζεται σ ένα σηµείο ξ;. Ερωτήσεις σκέψης - κρίσης, Με τις ερωτήσεις αυτές ζητούνται από τους µαθητές νοητικές δεξιότητες, λογικά συµπεράσµατα, επινόηση κ.λ.π., δηλαδή η απάντησή τους είναι αποτέλεσµα σκέψης ή/και προβληµατισµού σε διάφορα επίπεδα. Στην κατηγορία αυτή µπορούν να ενταχθούν, ως ερωτήσεις ανωτέρου επιπέδου, και οι «αποκλίνουσες» ή ανοικτές ερωτήσεις µε ανοικτό ορίζοντα αναζήτησης, που αποτελούν ερέθισµα και παρότρυνση για ελεύθερη σκέψη και αυτενεργό δηµιουργία. Συνήθως είναι του τύπου «γιατί;», «πως;», «τι νοµίζετε;», «για ποιο λόγο;», «να εξετάσετε», «το ζητούµενο σας φέρνει στη σκέψη κάποια γνωστή πρόταση;». Οι ερωτήσεις της κατηγορίας αυτής είναι περισσότερο διδακτικές και είναι καλό να µην απουσιάζουν από µια διδασκαλία. Παραδείγµατα: Αν δυο ποσά δεν είναι αντιστρόφως ανάλογα, τότε είναι ανάλογα; (εξηγείστε, δώστε (αντι)παράδειγµα) Να υπολογίσετε τον αριθµό α= ( 5) (0,). Γιατί το ορθόκεντρο ενός αµβλυγωνίου τριγώνου βρίσκεται εκτός του τριγώνου; Για ποιο λόγο ένα τετράγωνο έχει κάθετες τις διαγώνιες;

4 . Ι. Μ.- Σ.Σ.Μ.- Οι Ερωτήσεις στην ιδασκαλία των Μαθηµατικών 4 (ανοικτή ερώτηση) Ο καθηγητής παίρνοντας αφορµή από µια λανθασµένη 4 6 α γ α+ γ πράξη π.χ. + = ρωτά: σε ποια περίπτωση ισχύει + = ; β δ β+ δ Πως συνδέονται οι µιγαδικοί z, w όταν οι εικόνες τους είναι σηµεία συνευθειακά µε την αρχή του µιγαδικού επιπέδου; Αν ισχύει φ(χ) 009 για κάθε χ R, τότε η συνάρτηση φ έχει µέγιστο; Ένα σηµείο καµπής µιας συνάρτησης φ, είναι ακρότατο για την φ ; Με κάποια προϋπόθεση ίσως; Μπορεί ένα σηµείο καµπής, µιας διπλά παραγωγίσιµης συνάρτησης, να είναι τοπ. ακρότατο; Στην διδασκαλία ο καθηγητής πρέπει να απευθύνει προς τους µαθητές ερωτήσεις και από τα δυο είδη, µε προτίµηση στις ερωτήσεις κρίσεως. Οι ερωτήσεις κρίσεως απαιτούν από τον καθηγητή συνήθως περισσότερη δουλειά κατά τον σχεδιασµό του µαθήµατος, αλλά ο διδακτικός τους ρόλος είναι σπουδαίος και αναντικατάστατος. ΙΙΙ. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ Κύρια χαρακτηριστικά των καλών διδακτικών ερωτήσεων, εκτός από την λογική ή/και επιστηµονική εγκυρότητα που θεωρείται αυτονόητη, είναι η σαφήνεια, το ενδιαφέρον, η γενικότητα, η φυσικότητα και να έχουν συγκεκριµένο στόχο. 1. Σαφήνεια - Ενδιαφέρον Οι ερωτήσεις πρέπει να ναι σαφείς, σύντοµες και χωρίς επιστηµονικές αµφισβητήσεις. Να είναι διατυπωµένες απλά µε λέξεις κατανοητές στους µαθητές, µε καλή γλωσσική διατύπωση και να προκαλούν όσο είναι δυνατόν το ενδιαφέρον των µαθητών (όχι τετριµµένες ή ανιαρές ή αρκετά δύσκολες). Επίσης να ναι ανάλογες µε τις γνώσεις και το πνευµατικό επίπεδο των µαθητών, ώστε να γίνουν κατανοητές και να µπορούν να απαντηθούν από αυτούς. Ένα λάθος που κάνουµε συχνά, είναι να θεωρούµε δεδοµένο και κατανοητό και για τους µαθητές το «δικό µας µαθηµατικό λεξιλόγιο» που και κόπο και χρόνο χρειαστήκαµε για να µπορούµε να το χειριζόµαστε µε άνεση. Εδώ χρειάζεται προσοχή, ιδίως στις νέες έννοιες που συναντούµε στα µαθήµατα: οι µαθητές µας διδάσκονται µαθηµατικά για πρώτη φορά στη ζωή τους και δεν είναι ίδιοι µε αυτούς µε διδάξαµε τα προηγούµενα χρόνια (ενώ βρίσκονται στο ίδιο περίπου πνευµατικό επίπεδο). Έτσι για παράδειγµα, αν ρωτήσουµε τους µαθητές στις πρώτες τάξεις του Γυµνασίου - ίσως και στην Α Λυκείου- «να συγκρίνετε τα κλάσµατα ( ή τα τρίγωνα )»- κάτι προφανές για µας - πολλοί µαθητές ίσως να µην καταλάβουν τι ακριβώς τους ζητείται (αν δεν έχει γίνει κατανοητή η έννοια του ρήµατος «συγκρίνω» στα συγκεκριµένα µαθηµατικά αντικείµενα) µε όλες τις συνέπειες.

5 . Ι. Μ.- Σ.Σ.Μ.- Οι Ερωτήσεις στην ιδασκαλία των Μαθηµατικών 5 Παραδείγµατα ασαφών ερωτήσεων: 1. Να εκτελέσετε τις πράξεις (x - 1) + (x - 1) + (1 - x)(x - 1) Καλύτερα: Να φέρετε την παράσταση Π = (x-1) + (x-1) +(1-x)(x-1) σε µορφή πολυωνύµου διατεταγµένου κατά τις φθίνουσες δυνάµεις της µεταβλητής του, ή Να εκτελέσετε όλες τις (αλγεβρικές) πράξεις απλοποιώντας όσο είναι δυνατόν την παράσταση Π = (x-1) + (x-1) +(1-x)(x-1) ή (ακόµη καλύτερα, από άποψη σαφήνειας αλλά και ενδιαφέροντος) Να αποδείξετε ότι (x - 1) + (x - 1) + (1 - x)(x - 1) = x.. Να συµπληρώσετε την ισότητα α 3 + 3αβ + 3α β + β 3 = Καλύτερα: Να συµπληρώσετε την ισότητα α 3 + 3α. + 3α + β 3 = (α + ) 3, ή Να γράψετε το ανάπτυγµα της παράστασης (α + β) 3, ή Να γράψετε την παράσταση α 3 + 3αβ + 3α β + β 3 µε την µορφή µιας δύναµης. 3. Αν α 0 τότε α 0 Σ - Λ ; Εδώ δεν έχουµε µια πρόταση, αλλά πολλές (προτασιακός τύπος).για α = 0 είναι αληθής ενώ για α<0 ψευδής. Μπορεί να δοθεί διαφορετικά: Για κάθε α 0 ισχύει α 0, Σ- Λ (Λ), ή Υπάρχει α 0 µε α 0, Σ- Λ (Σ) 4. Αν Π= x x+ 1+ x + x+ 1 µε x <1 να βρείτε την παράσταση Π. Καλύτερα: Να αποδείξετε ότι, αν x <1 τότε x x+ 1+ x + x+ 1 =, ή Να απλοποιήσετε όσο είναι δυνατόν την παράσταση Π = x x+ 1+ x + x+ 1, όταν x < 1, ή Να δείξετε ότι η παράσταση Π = x x+ 1+ x + x+ 1 είναι ανεξάρτητη του x (ή σταθερή).

6 . Ι. Μ.- Σ.Σ.Μ.- Οι Ερωτήσεις στην ιδασκαλία των Μαθηµατικών 6. Γενικότητα Με δεδοµένο το ενδιαφέρον για µάθηση, οι γενικές ερωτήσεις είναι ερεθίσµατα για δραστηριοποίηση των διανοητικών δυνάµεων του µαθητή και επιτρέπουν µεγάλα περιθώρια αυτενέργειας. Μετά τις γενικές ερωτήσεις και ανάλογα µε την πρόοδο των µαθητών, µπορούν να γίνουν βαθµιαία λιγότερο γενικές - ειδικές ερωτήσεις µέχρι να υπάρξει ανταπόκριση στο νου των µαθητών. Πάντως πρέπει αποφεύγουµε, όσο το επιτρέπει ο χρόνος, να δίνουµε απάντηση σε ερώτηση που µπορεί να δοθεί από τους µαθητές. Ας δούµε ένα παράδειγµα: Οι µαθητές (Γ Γυµνασίου ή Α Λυκείου-Γεωµετρία) εργάζονται να αποδείξουν - σε άσκηση ή θεώρηµα - ότι δυο ευθύγραµµα τµήµατα π.χ. ΑΒ, ΚΛ είναι ίσα. Ο Καθηγητής τους δίνει από την αρχή την ερώτησηυπόδειξη: «εξετάσετε αν είναι ίσα τα τρίγωνα ΚΛΜ, ΑΒ», Σ αυτό το είδος της βοήθειας (όπως λέει και ο G.Polya), υπάρχουν ορισµένες αντιρρήσεις: α. Αν η ερώτηση-υπόδειξη γίνει κατανοητή, αφ ενός λίγη δουλειά µένει στο µαθητή, αφ ετέρου την βλέπει σαν «αφύσικη ταχυδακτυλουργία»- δύσκολα θα καταλάβει πως ήλθε η ιδέα στον καθηγητή. β. Η υπόδειξη είναι πολύ ειδική και έτσι, αν ακόµη ο µαθητής µπορέσει να την χρησιµοποιήσει για την συγκεκριµένη άσκηση, τίποτα δεν θα µάθει για µελλοντικά προβλήµατα. γ. Αν ο µαθητής δεν αντιληφθεί που οδηγεί η ερώτηση, δεν βοηθά εκεί, που η βοήθεια είναι πολύ αναγκαία και µπορούσε να δοθεί µε µια γενική ερώτηση: «γνωρίζετε κανένα θεώρηµα ή άσκηση µε παρόµοιο συµπέρασµα;» ή, αν δεν προχωρήσουν, «µπορείτε να χρησιµοποιήσετε δυο ίσα τρίγωνα;». Πάντως και οι ειδικές ερωτήσεις µπορούν να χρησιµοποιούνται στην διδασκαλία, αφού πρώτα γίνουν γενικές ερωτήσεις και δεν υπάρξει ανταπόκριση από τους µαθητές ή όταν δεν υπάρχει αρκετός χρόνος. 3. Φυσικότητα - Στόχος Χαρακτηρίζουν την ερώτηση-υπόδειξη που γίνεται την κατάλληλη χρονική στιγµή, δηλαδή όταν ο µαθητής χρειάζεται κάποια βοήθεια για να προχωρήσει την εργασία του και υπηρετούν τον στόχο της ενεργοποίησης της σκέψης του µαθητή. Σε διαφορετική περίπτωση, ίσως η ερώτηση περάσει απαρατήρητη. Έτσι π.χ., αν ο µαθητής (γνωρίζοντας το ζητούµενο σε ένα πρόβληµα) έχει προχωρήσει και κάτι χρειάζεται ακόµη, είναι σκόπιµο να του δοθεί και η ερώτηση-υπόδειξη: Χρησιµοποίησες όλα τα δεδοµένα; Ή, ποια είναι τα δεδοµένα; Ή, ποια είναι η υπόθεση;

7 . Ι. Μ.- Σ.Σ.Μ.- Οι Ερωτήσεις στην ιδασκαλία των Μαθηµατικών 7 Τα χαρακτηριστικά αυτά τα έχουν όλες οι ερωτήσεις-υποδείξεις του καταλόγου του βιβλίου «Πώς να το λύσω» του G. Polya που παρουσιάσαµε πέρυσι (βλ. ιδακτικό Υλικό Λυκείου µε αρ. πρ. 46, (Οι ερωτήσεις αυτές είναι αρκετά χρήσιµο να δίνονται στην αρχή κάθε χρόνου στους µαθητές από την Γ Γυµνασίου και προπάντων να γίνεται αναφορά σ αυτές όταν χρησιµοποιούνται στην τάξη ώστε να γίνουν συνήθεια). ΙV. Ο ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΕΡΩΤΑ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΕΙΣ Οι ερωτήσεις - υποδείξεις του καθηγητή είναι συνάρτηση των γνώσεων του, της εµπειρίας, της προσωπικότητάς του, των στόχων του µαθήµατος αλλά και της διάθεσης και του ενθουσιασµού του για διδασκαλία των Μαθηµατικών. Έτσι δεν υπάρχει µια ορισµένη τεχνική για σύνταξη καλών ερωτήσεων, υπάρχουν όµως ορισµένες αρχές, οι οποίες από την παιδαγωγική ψυχολογία, τη διδακτική των Μαθηµατικών αλλά και την εµπειρία θεωρούνται χρήσιµες για µια αποτελεσµατικότερη διδασκαλία. 1. Οι ερωτήσεις πρέπει να απευθύνονται σ όλους τους µαθητές της τάξης. Με τον τρόπο αυτό θα υπάρχει για όλους ερέθισµα για κινητοποίηση της σκέψης. Μετά αναφέρουµε το όνοµα του µαθητή που θέλει να απαντήσει, αλλά πρέπει να δίνουµε το λόγο και να παρακινούµε να απαντήσουν και οι µαθητές που δεν σηκώνουν συχνά το χέρι τους. Ειδικά από τους αδύνατους ή αποθαρρυµένους µαθητές, καλό είναι να ζητούµε απαντήσεις σε ευκολότερες ερωτήσεις (αλλά να µην γίνεται αυτό πάντα). Αυτό σε συνδυασµό µε άλλα µέτρα (λεκτικές επιβραβεύσεις, βαθµολογία), είναι δυνατόν να οδηγήσει σε ενθάρρυνση και τόνωση της αυτοπεποίθησης των µαθητών αυτών, ώστε να µην µένουν στο «περιθώριο του µαθήµατος» µε όλες τις αρνητικές συνέπειες. Επίσης είναι προτιµότερο να προηγείται της ερώτησης η έκφραση «ποιος θα µας πει» ή «για να δούµε ποιος θα µας πει» και όχι «ποιος θα µου πει». Άνεση χρόνου. Ανάλογα µε την δυσκολία της ερώτησης, πρέπει να µεσολαβεί ένα χρονικό διάστηµα µέχρι την απάντηση, για να «πάθουν» και να σκεφτούν όλοι οι µαθητές της τάξης. ιαφορετικά είναι πολύ πιθανό οι µαθητές να απαντούν στην τύχη ή να απαντούν σε άλλη ερώτηση ή να δίνουν απάντηση πολύ συχνά οι λίγοι καλοί µαθητές της τάξης. 3. Να αποφεύγονται οι συνεχόµενες ερωτήσεις. Έτσι θα υπάρχει άνεση για σκέψη και εργασία του µαθητή. Το φαινόµενο των συνεχόµενων ερωτήσεων, στην οξεία του µορφή, γνωστό και σαν «βροχή ερωτήσεων» το συναντούµε συνήθως στην καθαυτό ερωτηµατική µορφή διδασκαλίας, η οποία πρέπει γενικά να αποφεύγεται, αφού ο µαθητής παρακολουθεί,

8 . Ι. Μ.- Σ.Σ.Μ.- Οι Ερωτήσεις στην ιδασκαλία των Μαθηµατικών 8 κυριολεκτικά «σέρνεται» από την σκέψη του δασκάλου και δεν σκέπτεται αυτοδύναµα και εποµένως δεν µπορεί να αναπτύξει δική του σκέψη και πορεία µάθησης. Συνήθως στην µορφή αυτή διδασκαλίας, για να «κερδηθεί χρόνος», ο καθηγητής δίνει σχεδόν αµέσως και την απάντηση, κάτι παιδαγωγικά και διδακτικά απαράδεκτο όταν γίνεται κατά σύστηµα. Πάντως από τον συνεχή µονόλογο «προτιµότερη» είναι η διδασκαλία αυτή, έστω και αν οι µαθητές δεν απαντούν ή οι ερωτήσεις τίθενται για να απαντώνται από τον καθηγητή, χάριν της προόδου και του «ζωηρέµατος» του µαθήµατος. Οι µορφές αυτές διδασκαλίας είναι πια καιρός να τεθούν γενικά στο περιθώριο, και να αντικατασταθούν από την καθοδηγούµενη αυτενέργεια ή στην οµαδοσυνεργατική µορφή διδασκαλίας. ΤΙ ΑΛΛΟ ΝΑ ΑΠΟΦΕΥΓΟΥΜΕ 4. Να αποφεύγουµε ς ερωτήσεις όπως: «το καταλάβατε;», όπως και την ερώτηση «έχει κανείς να ρωτήσει κάτι», ιδίως όταν δεν υπάρχει αρκετός χρόνος. Η εµπειρία δείχνει ότι οι ωραίες αυτές ερωτήσεις, στην πράξη δεν προσφέρουν τίποτα και δίνουν ψευδείς εντυπώσεις στο δάσκαλο. Συνήθως, όλοι µαζί οι µαθητές απαντούν «ναι» ή σπάνια ερωτά κάποιος µαθητής, ακόµη και αν δεν έχει γίνει κατανοητό µέρος ή όλο το µάθηµα. Πάντως πρέπει να ενθαρρύνουµε τους µαθητές να διατυπώνουν τις απορίες ή ερωτήσεις τους είτε µέσα στη τάξη είτε στο διάλειµµα. Ο καλύτερος τρόπος για να διαπιστώσουµε αν έχει γίνει κατανοητό το µάθηµα, µερικά ή ολικά, είναι να δώσουµε µερικές -προτιµότερο γραπτές - ερωτήσεις κατανόησης ή απλές ασκήσεις στο τέλος του µαθήµατος. Φυσικά µια πιο έγκυρη αξιολόγηση µπορεί να γίνει µε ένα τεστ ή διαγώνισµα. 5. Να µην θέτουµε ερωτηµατικές αντωνυµίες στο τέλος των ερωτήσεων, όπως π.χ. «και µετά κάνοµε τι;» αλλά στην αρχή. Τέτοιες ερωτήσεις, όταν µάλιστα επαναλαµβάνονται συχνά, δηµιουργούν νευρικότητα, εκτός του ότι ηχούν άσχηµα. 6. Να αποφεύγονται οι ερωτήσεις που χρειάζονται µονολεκτική απάντηση, οι «ψευδοερωτήσεις» καθώς και οι διαζευκτικές ερωτήσεις. Οι µαθητές συνήθως στις ερωτήσεις αυτές απαντούν µε πιθανότητα, χωρίς να σκεφτούν. 7. Να χρησιµοποιούνται όσο είναι δυνατόν, ρήµατα που φανερώνουν συγκεκριµένες ενέργειες ή πράξεις. Ειδικά, καλό είναι να χρησιµοποιούνται όσο το δυνατόν λιγότερο τα αόριστα και µε πολλές έννοιες ρήµατα «πρέπει», «έχουµε», «κάνουµε», και όταν τα χρησιµοποιούµε να διευκρινίζουµε περισσότερο τη σηµασία τους, όπως π.χ. Τι πρέπει να κάνουµε τώρα; (να βγάλουµε τις παρενθέσεις ή να κάνουµε τις πράξεις ή να βρούµε την τιµή της παράστασης κ.ά).

9 . Ι. Μ.- Σ.Σ.Μ.- Οι Ερωτήσεις στην ιδασκαλία των Μαθηµατικών 9 Ειδικά µε το «πρέπει», που µε τόση ευκολία βγαίνει από τα χείλη των µαθητών -και όχι µόνο - απαιτείται προσοχή και φειδώ στη χρήση του, επειδή το «µαθηµατικό πρέπει» εκφράζει (µόνο) αναγκαία συνθήκη ( να το διασαφηνίζουµε και να το τονίζουµε αυτό) και οι µαθητές την εκλαµβάνουν συχνά και ως ικανή. π.χ. Για να είναι οι γωνίες ω και φ παραπληρωµατικές πρέπει να είναι ορθές. Για να είναι η συνάρτηση φ γν. αύξουσα σ ένα διάστηµα πρέπει φ (x) > 0 για κάθε x.. 8. Οι ερωτήσεις δεν πρέπει να περιέχουν την απάντηση. Πολλές φορές µε πρόθεση λίγο ή πολύ να βοηθήσουµε τους µαθητές, κάνουµε ερωτήσεις που περιέχουν µερικά την απάντηση (ή ακόµη χειρότερα δίνουµε την απάντηση πριν καν σκεφτούν οι µαθητές ). Αυτό συµβαίνει π.χ. όταν γίνονται ειδικές ερωτήσεις (µε µπόλικη βοήθεια).χωρίς να αποκλείουµε και αυτές τις ερωτήσεις, η συστηµατική χρήση τους δεν βοηθά την µάθηση και προπάντων την πνευµατική εξέλιξη του µαθητή. Όσες λιγότερες τέτοιου είδους ερωτήσεις γίνονται κατά την διδασκαλία, τόσο το καλύτερο. Παραδείγµατα: Τι είδους γωνίες είναι οι γωνίες ενός οξυγωνίου τριγώνου; Πως λέγεται µια εξίσωση που δεν έχει λύση; Ποια γινόµενα πρέπει να είναι ίσα ώστε να ισχύει η ισότητα 9. Να αποφεύγονται τέλος απαξιωτικές ή επιτιµητικές εκφράσεις για οποιοδήποτε µαθητή που δεν απαντά ή απαντά λάθος. Στην περίπτωση αυτή µπορούµε να επαναδιατυπώσουµε την ερώτηση, ή να πούµε στο µαθητή να το ξανασκεφτεί, ή να προσπαθήσει κι άλλο (και ερευνούµε για ποιο λόγο απάντησε λάθος - µήπως κάτι στη διδασκαλία µας δεν πήγε καλά- ή µήπως απάντησε σε άλλη ερώτηση κλπ. Αυτό είναι ιδιαίτερα σηµαντικό για την διδακτική ανατροφοδότηση και βελτίωση του καθηγητή)) Επισηµαίνουµε ακόµη την αντιστοιχία που πρέπει να υπάρχει µεταξύ των ερωτήσεων αξιολόγησης και των ερωτήσεων οι οποίες γίνονται κατά στην διδασκαλία και µε τις οποίες «εκπαιδεύονται και εθίζονται» οι µαθητές: αν στην διδασκαλία µας π.χ. κυριαρχούν οι ερωτήσεις αποµνηµόνευσης αντίστοιχες ερωτήσεις πρέπει να κυριαρχούν και στις ερωτήσεις αξιολόγησης κλπ. α β γ = δ ;

10 . Ι. Μ.- Σ.Σ.Μ.- Οι Ερωτήσεις στην ιδασκαλία των Μαθηµατικών 10 V. Ο ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΑΠΑΝΤΑ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΕΙΣ Γενικά ο καθηγητής στις απαντήσεις του πρέπει να αποφεύγει : Να απαντά σε ερώτηση, όταν η απάντηση µπορεί να δοθεί από τους µαθητές (ίσως και µε λίγη βοήθεια) Να απαντά σε ερωτήσεις εκτός θέµατος ή που αποµακρύνουν από το θέµα. Μπορεί όµως καλέσει τον µαθητή στο διάλειµµα για συζήτηση. Να απαντά βιαστικά πριν ολοκληρωθεί η απάντηση του µαθητή. Να απαντά όταν δεν είναι σίγουρος για την απάντησή του. Πρέπει να έχει το θάρρος να πει «δεν ξέρω την απάντηση!, Θα σας απαντήσω στο επόµενο µάθηµα» (αλλά να µην ξεχάσει να απαντήσει!..) Να απαντά στις ερωτήσεις του Αν δεν απαντά κανείς µαθητής, περιµένουµε λίγο περισσότερο ή επαναδιατυπώνουµε την ερώτηση, δίνοντας µεγαλύτερη βοήθεια (πιο ειδική ερώτηση) Να επαναλαµβάνει τις ερωτήσεις του Οι µαθητές εθίζονται και δεν προσέχουν τις ερωτήσεις. Να διακόπτει την απάντηση του µαθητή. Επίσης πρέπει η απάντησή µας - σε οποιαδήποτε ερώτηση µαθητή να γίνεται σε ήρεµο τόνο και να µην συνοδεύεται ποτέ από οποιοδήποτε απαξιωτικό ή επιτιµητικό χαρακτηρισµό ή αλαζονικό ύφος. Ακόµη και µια «παιδαριώδη» ή «γελοία» ερώτηση - αν δεν γίνεται σκόπιµα και αυτό το καταλαβαίνουµε - για τον καθηγητή έχει την αξία της και µπορεί να του δώσει χρήσιµα στοιχεία για τη πορεία µάθησης του µαθητή. Να ενθαρρύνουµε τους µαθητές να κάνουν ερωτήσεις Η διατύπωση οποιωνδήποτε σχετικών µε το µάθηµα ερωτήσεων και αποριών από τους µαθητές συµβάλλει στην ουσιαστική µάθηση και πρέπει να ενθαρρύνουµε τους µαθητές να τις κάνουν τόσο προς εµάς όσο και προς τους άλλους συµµαθητές τους. Ειδικά όµως τις «καλές» ερωτήσεις πάντα βέβαια στα µαθητικά πλαίσια- πρέπει και να τις επαινούµε π.χ. καλή ερώτηση! Παραφράζοντας γνωστό απόφθεγµα µπορούµε να πούµε ότι «Μια καλή ερώτηση αξίζει όσο χίλιες απαντήσεις» Επίσης καλό είναι να ζητούµε από την τάξη να αξιολογήσει µια απάντηση ενός µαθητή, αντί να το κάνουµε εµείς. Εθίζουµε έτσι τους µαθητές µας στην αξιολόγηση

11 . Ι. Μ.- Σ.Σ.Μ.- Οι Ερωτήσεις στην ιδασκαλία των Μαθηµατικών 11 απόψεων και επιχειρηµάτων, αλλά και ο µαθητής έρχεται θετικά στο επίκεντρο της τάξης, κάτι που τον ενθαρρύνει και συµβάλλει στην τόνωση της αυτοπεποίθησής του. Είναι συχνό το φαινόµενο να περνούν µεγάλα χρονικά διαστήµατα όπου οι µαθητές δεν κάνουν καµία, έστω διευκρινιστική, ερώτηση. Αυτό είναι ένα σηµάδι που πρέπει να µας ανησυχεί και καλό είναι να ψάξουµε τα αίτιά του Ενίσχυση της ερευνητικής διάθεσης των µαθητών Ένας δύσκολος, αλλά ιδιαίτερα σηµαντικός στόχος της διδασκαλίας, είναι να δηµιουργήσουµε ή να ενισχύσουµε το ενδιαφέρον των µαθητών για την έρευνα, στα πλαίσια πάντα των δυνατοτήτων τους, ιδίως στο Λύκειο. Ο στόχος αυτός µάλιστα, δεν είναι πάντα εύκολος ή αυτονόητος ακόµη και για τους άριστους ή/και επιµελείς µαθητές. Πολλές είναι οι περιπτώσεις που µαθητές απλά «καλοί ή και µέτριοι» εξελίχθησαν πολύ ως ενήλικες επιστηµονικά ή κοινωνικά. Μέσα λοιπόν στο µικρό αλλά βασικό «πνευµατικό φυτώριο» του Λυκείου καλό είναι να ενισχύουµε στο µέτρο του δυνατού και την ερευνητική διάθεση των µαθητών µας και τα µαθηµατικά είναι το µοναδικό σχεδόν µάθηµα που προσφέρει πολλές ευκαιρίες γι αυτό. Και στον τοµέα αυτόν µερικές καλές ερωτήσεις µπορούν να βοηθήσουν σε ένα βαθµό. Να µερικές τέτοιες ερωτήσεις, που δεν είναι βέβαια και οι µοναδικές: ώσε µας ένα διαφορετικό παράδειγµα. Το πιστεύεις αυτό πραγµατικά, Καίτη; Πως είσαι βέβαιος γι αυτό Νίκο; Τι εννοείς µε αυτό; Προσπάθησε να το πεις µε άλλο τρόπο. Τι θα συνέβαινε αν τροποποιούσαµε τα δεδοµένα; Μπορούµε άραγε αυτό το αποτέλεσµα να το απλοποιήσουµε; Γιατί άραγε στο βιβλίο υπάρχει αυτός ο περιορισµός; Μήπως δεν χρειάζεται; Μπορεί να το αποδείξει κανείς µε διαφορετικό τρόπο; Με πιο κοµψό τρόπο; Μπορείτε να διατυπώσετε ένα Γενικότερο ή Ειδικότερο ή Ανάλογο πρόβληµα. Επίλογος Από τα παραπάνω γίνεται φανερό ότι η διδακτική ερώτηση, δεν είναι µια τυχαία έκφραση, αλλά µια σπουδαία και δυναµική διδακτική πρόταση που απαιτεί την φροντίδα του εκπαιδευτικού. Η συστηµατική χρήση των παραπάνω αρχών που αναφέραµε, πιστεύω ότι θα βοηθήσει στην µόνιµη και αυθόρµητη σύνταξη καλών διδακτικών ερωτήσεων, πράγµα που θα συµβάλει σε ένα βαθµό σε µια πιο αποτελεσµατική διδασκαλία. Προς την κατεύθυνση αυτή, είναι χρήσιµο ορισµένες ερωτήσεις-κλειδιά του µαθήµατος - να σχεδιάζονται από πριν, ώστε να ενεργοποιούν την σκέψη και αυτενέργεια των µαθητών, αλλά και τον καθηγητή να βοηθούν να προχωρήσει σύµφωνα µε την διαδικασία που προγραµµάτισε. Εκτός από την διδακτική πλευρά των ερωτήσεων κατά την διδασκαλία, µεγάλη σηµασία έχει το όλο πλαίσιο, µέσα στο οποίο καλείται να σκεφτεί και να απαντήσει ο µαθητής - είτε εκφραστεί είτε όχι. Η απάντηση του µαθητή και γενικότερα η πνευµατική του κινητοποίηση, εξαρτάται από την ετοιµότητά του για µάθηση, τα κίνητρα που διαθέτει, το ρεπερτόριο των γνώσεων και δεξιοτήτων του, την

12 . Ι. Μ.- Σ.Σ.Μ.- Οι Ερωτήσεις στην ιδασκαλία των Μαθηµατικών 1 µεθόδευση της διδασκαλίας και από τους παρακάτω παράγοντες που θα αναφέρουµε επιγραµµατικά: Α. Την ύπαρξη δηµοκρατικού - φιλικού (αλλά όχι πολύ ανεκτικού ή «αναρχικού») κλίµατος στην τάξη. Β. Την στάση που τηρεί ο Καθηγητής και η τάξη στην περίπτωση που ένα µαθητής απαντήσει «λάθος» ή δεν απαντήσει. Σε καµιά περίπτωση δεν επιτρέπεται η επίπληξη (ας έχουµε υπόψη και την γνωστή ρήση: «δεν υπάρχουν λανθασµένες απαντήσεις, αλλά λανθασµένες ερωτήσεις». Επίσης να µην ξεχνάµε ότι ο µαθητής ορισµένες φορές απαντά σε άλλη ερώτηση, µη αντιλαµβανόµενος το νόηµα της ερώτησης που του γίνεται. Από την άλλη µεριά ο καθηγητής πρέπει να καρτερεί την ευκαιρία για επιβράβευση, ιδίως σε αδύνατους µαθητές, ανάλογα µε την δυσκολία της ερώτησης ή του προβλήµατος. Γ. Την ύπαρξη θετικού αυτοσυναισθήµατος για κάθε µαθητή, δηλαδή αν ο µαθητής έχει διαµορφώσει ένα σύνολο πεποιθήσεων και στάσεων ευνοϊκών για τον εαυτό του. Τελειώνοντας, πρέπει να έχουµε υπόψη ότι οι ερωτήσεις δεν πρέπει να κυριαρχούν στην διδασκαλία, αλλά να συνδυάζονται µε παροτρύνσεις προς τους µαθητές και ανάθεση εργασιών µέσα στη τάξη στην κατεύθυνση της όσο το δυνατόν µεγαλύτερης (καθοδηγούµενης) αυτενέργειας. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. Εξαρχάκος Θ., ιδακτική Μαθηµατικών, Ελληνικά γράµµατα, αµαλάς Γ., ιδακτική των Μαθηµατικών. Αθήνα ερβίσης Σ., Σύγχρονη Γενική ιδακτική. Θεσσαλονίκη Κασσωτάκης Μ., Η αξιολόγηση της επίδοσης των µαθητών. Εκδόσεις Γρηγόρη. Αθήνα Πατεράκης Α., Σηµειώσεις ειδικής διδακτικής Μαθηµατικών. 6. Polya G., Πώς να το λύσω, εκδόσεις Καρδαµίτσα, Αθήνα Φλουρής Γ. - Gagne R., Θεµελιώδεις αρχές της µάθησης και της διδασκαλίας, Αθήνα Τουµάσης Χ., ιδακτική Μαθηµατικών. Gutenberg, Αθήνα Μπουνάκης., Οι ερωτήσεις στη διδασκαλία. ΕΥΚΛΕΙ ΗΣ Γ τεύχος 17, Μπουνάκης., «Προγραµµατισµός της διδασκαλίας - συµβολή στη διδακτική αντιµετώπιση του Κεφαλαίου Συναρτήσεις (Β Γυµνασίου), ΕΥΚΛΕΙ ΗΣ Γ τεύχος 18, HENRY M., ιδακτική µαθηµατικών, Μαθηµατικό τµήµα Πανεπιστηµίου Αθηνών. * * *

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ : «ιδακτικό υλικό Μαθηµατικών Γ Γυµνασίου» Aγαπητοί συνάδελφοι,

ΘΕΜΑ : «ιδακτικό υλικό Μαθηµατικών Γ Γυµνασίου» Aγαπητοί συνάδελφοι, ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ /ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ.Ε. Ν. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ηµήτριος Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 7 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1 Αν z 1, z είναι µιγαδικοί αριθµοί, να αποδειχθεί ότι: z 1 z = z 1 z. Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεία y

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο .4 ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ 0 Ο 45 Ο 60 Ο ΘΕΩΡΙ. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί 0 ο, 45 ο, 60 ο : ηµίτονο συνηµίτονο εφαπτοµένη 0 ο 45 ο 60 ο ΣΚΗΣΕΙΣ. Στο διπλανό πίνακα, σε κάθε πληροφορία της στήλης, να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΑΣΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΕΝΑΝΤΙ ΤΗΣ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΜΕ Η ΧΩΡΙΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ

ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΑΣΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΕΝΑΝΤΙ ΤΗΣ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΜΕ Η ΧΩΡΙΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ 556 3 Ο ΣΥΝΕ ΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΑΣΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΕΝΑΝΤΙ ΤΗΣ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΜΕ Η ΧΩΡΙΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ Ματούλας Γεώργιος άσκαλος Σ Ευξινούπολης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΔΟΥ ΛΥΚΟΠΟΥΛΩΝ ΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Η ΠΡΟΟΔΟΣ ΤΟΥ ΚΛΑΔΟΥ ΛΥΚΟΠΟΥΛΩΝ Στον Προσκοπισµό οι νέοι έχουν την ευκαιρία να αποκτήσουν µια σειρά από εµπειρίες που συµβάλλουν στην φυσιολογική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ. Δίνεται η συνάρτηση f (). Να βρείτε για ποιες τιμές του δεν ορίζεται η συνάρτηση f. Να βρείτε τον αριθμό f ( ). Να δείξετε ότι f () I. Δίνεται η εξίσωση με η οποία έχει ρίζες

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ 1 3.6 ΕΜΝ ΚΥΚΛΙΚΥ ΤΜΕ ΘΕΩΡΙ 1. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας µ ο : Ε = πρ. µ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου και π ο γνωστός αριθµός. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας α rad: Ε = 1 αρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:...

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/06/2015 ΤΑΞΗ: A Αριθμητικά... ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2010 2011.

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2010 2011. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ /ΥΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α Να διατηρηθεί µέχρι... Βαθµός Ασφαλείας...

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Δημήτρης Μπουνάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών dimitrmp@sch.gr Ηράκλειο, Οκτώβριος 2010 ΘΕΜΑ : ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ : ΣΧΕΔΙΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Αγωγή Ε-ΣΤ ηµοτικού: Τα νέα βιβλία εκπαιδευτικού και µαθητή

Φυσική Αγωγή Ε-ΣΤ ηµοτικού: Τα νέα βιβλία εκπαιδευτικού και µαθητή Φυσική Αγωγή Ε-ΣΤ ηµοτικού: Τα νέα βιβλία εκπαιδευτικού και µαθητή ρ. Νικόλαος ιγγελίδης Λέκτορας στη ιδακτική της Φυσικής Αγωγής Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας, ΤΕΦΑΑ Συγγραφείς του έργου Θεοδωράκης Ιωάννης,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x) x είναι f (x) Β Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: . Σχολικό βιβλίο σελ.9. Σχολικό βιβλίο σελ.88 3. Σχολικό βιβλίο σελ.5. α) Λ Β. β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5/5/5 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: Έστω z=+yi. Κάνοντας πράξεις στη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημερομηνία: 25 Μαΐου 2015

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημερομηνία: 25 Μαΐου 2015 Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημερομηνία: 5 Μαΐου 5 Απαντήσεις Θεμάτων Θέμα Α Α. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο σελ. 94

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους.

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Νίκος Γ. Τόμπρος Ενότητα : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Περιεχόμενα ενότητας Τριγωνομετρικοί οξείας γωνίας αριθμοί Διδακτικοί στόχοι Διδακτικές οδηγίες - επισημάνσεις Πρέπει οι μαθητές να γνωρίζουν:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΓΕΝΙΚΑ Βασικός στόχος είναι η ανατροφοδότηση της εκπαιδευτικής διαδικασίας και ο εντοπισμός των μαθησιακών ελλείψεων με σκοπό τη βελτίωση της παρεχόμενης σχολικής εκπαίδευσης. Ειδικότερα

Διαβάστε περισσότερα

Οι µαθητές δήλωσαν ολογράφως το σχολείο τους. Τα δεδοµένα κωδικοποιήθηκαν ως εξής : ΠΙΝΑΚΑΣ 1

Οι µαθητές δήλωσαν ολογράφως το σχολείο τους. Τα δεδοµένα κωδικοποιήθηκαν ως εξής : ΠΙΝΑΚΑΣ 1 3 ΙΙ. ΤΟ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΚΑΙ ΤΑ Ε ΟΜΕΝΑ. Σχολείο Οι µαθητές δήλωσαν ολογράφως το σχολείο τους. Τα δεδοµένα κωδικοποιήθηκαν ως εξής : ΠΙΝΑΚΑΣ 1 Συχνότητα Γυµνάσιο 773 37.93% Λύκειο 1006 49.36% ΤΕΕ 259 12.71%

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Δρ. Βασίλειος Σάλτας 1, Αλέξης Ηλιάδης 2, Ιωάννης Μουστακέας 3 1 Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών, Επιστημονικός Συνεργάτης ΑΣΠΑΙΤΕ Σαπών coin_kav@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ Τρίγωνα - Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες και τις πλευρές - Ύψη τριγώνου

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ Τρίγωνα - Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες και τις πλευρές - Ύψη τριγώνου ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ Τρίγωνα - Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες και τις πλευρές - Ύψη τριγώνου Κανέλλα Κούτση ΚΣΕ 7ο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ»

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» Νικόλαος Μπαλκίζας 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός του σχεδίου μαθήματος είναι να μάθουν όλοι οι μαθητές της τάξης τις έννοιες της ισοδυναμίας των κλασμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Το ιδακτικό Υλικό στο Κεφάλαιο των Πιθανοτήτων της Γ τάξης του ηµοτικού: Τρόπος Κατανόησης και ιαχείρισής του από Μαθητές και ασκάλους Χρυσάνθη Σκουµπουρδή και Φραγκίσκος Καλαβάσης Περίληψη Στην εργασία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α 1 1. α) Να γίνει γινόµενο το τριώνυµο λ -3λ+. β) Να βρεθεί το λ έτσι ώστε η εξίσωση λ(λχ-1)χ(3λ-)-λ i) να είναι αδύνατη ii) να είναι αόριστη iii) να έχει µία µόνο λύση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά 1 Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ3 www.p-theodoropoulos.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή εξετάζεται εντός του πλαισίου της Διδακτικής των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel.

Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel. Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel. Έντυπο Α Φύλλα εργασίας Μαθητή Διαμαντής Κώστας Τερζίδης Σωτήρης 31/1/2008 Φύλλο εργασίας 1. Ομάδα: Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = //

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = // 1 5.6 5.9 ΘΩΡΙ 1., µέσα των, = //. µέσο της και // µέσο της 3. = και ////Ζ = Ζ Ζ. Ο γ. τόπος της µεσοπαράλληλης Έστω ε η µεσοπαράλληλη των ε 1, ε. Τότε ισχύουν : i) άθε σηµείο της ε ισαπέχει από τις ε

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική της φυσικής αγωγής Ι. (Πρακτική άσκηση στα δημοτικά σχολεία)

Διδακτική της φυσικής αγωγής Ι. (Πρακτική άσκηση στα δημοτικά σχολεία) Διδακτική της φυσικής αγωγής Ι (Πρακτική άσκηση στα δημοτικά σχολεία) Διδάσκοντες Παπαϊωάννου Αθανάσιος, Αναπληρωτής Καθηγητής Διγγελίδης Νικόλαος, Επίκουρος καθηγητής Πλαϊνός Χρήστος Μαγγουρίτσα Γωγώ

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτικές ενότητες Στόχος

Διδακτικές ενότητες Στόχος Η διδασκαλία του τριγωνομετρικού κύκλου με τον παραδοσιακό τρόπο στον πίνακα, είναι μία διαδικασία όχι εύκολα κατανοητή για τους μαθητές, με αποτέλεσμα τη μηχανική παπαγαλίστικη χρήση των τύπων της τριγωνομετρίας.

Διαβάστε περισσότερα

Απόστολος Μιχαλούδης

Απόστολος Μιχαλούδης ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΩΝ Ανάπτυξη και εφαρμογή διδακτικών προσομοιώσεων Φυσικής σε θέματα ταλαντώσεων και κυμάτων Απόστολος Μιχαλούδης υπό την επίβλεψη του αν. καθηγητή Ευριπίδη Χατζηκρανιώτη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 ΑΝΔΡΕΑΣ Λ. ΠΕΤΡΑΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΥΧΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y = x ΔΕΥΤΕΡΗ

Διαβάστε περισσότερα

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Αριστοτέλης Μακρίδης Μαθηµατικός, Επιµορφωτής των Τ.Π.Ε Αποσπασµένος στην ενδοσχολική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΕΣ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕ ΤΟ ΑΒΑΚΙΟ/E-SLATE

ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΕΣ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕ ΤΟ ΑΒΑΚΙΟ/E-SLATE Θέµα ιερεύνησης: Σχεδιασµός γραµµάτων Μπορώ να φτιάξω το δικό µου επεξεργαστή κειµένου; Στη διερεύνηση αυτή οι µαθητές καλούνται να κατασκευάσουν µια γραµµατοσειρά µε όλα τα κεφαλαία γράµµατα του ελληνικού

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΟΠΟΙ ΚΑΙ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΣΤΟΧΩΝ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ. Σακελλαρίου Κίμων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΤΕΦΑΑ, Τρίκαλα

ΣΚΟΠΟΙ ΚΑΙ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΣΤΟΧΩΝ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ. Σακελλαρίου Κίμων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΤΕΦΑΑ, Τρίκαλα ΕΠΕΑΕΚ: ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΟΥ ΤΕΦΑΑ, ΠΘ - ΑΥΤΕΠΙΣΤΑΣΙΑ ΣΚΟΠΟΙ ΚΑΙ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΣΤΟΧΩΝ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ Σακελλαρίου Κίμων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΤΕΦΑΑ, Τρίκαλα ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Pos matome Griko: Το εκπαιδευτικό υλικό. Β Επίπεδο για ενηλίκους. Μαριάννα Κατσογιάννου, Γλωσσολόγος, Καθηγήτρια, Παν/μιο Κύπρου

Pos matome Griko: Το εκπαιδευτικό υλικό. Β Επίπεδο για ενηλίκους. Μαριάννα Κατσογιάννου, Γλωσσολόγος, Καθηγήτρια, Παν/μιο Κύπρου Pos matome Griko: Το εκπαιδευτικό υλικό. Β Επίπεδο για ενηλίκους Μαριάννα Κατσογιάννου, Γλωσσολόγος, Καθηγήτρια, Παν/μιο Κύπρου Χαιρετίζοντας την σημερινή εκδήλωση εκ μέρους του Πανεπιστημίου Κύπρου, θα

Διαβάστε περισσότερα

Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο Μαθηματικών Δυτικής Θεσσαλονίκης gthom@otenet.gr ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχουν γίνει αρκετές απόπειρες στο παρελθόν για τη διδασκαλία στοιχείων της μαθηματικής λογικής

Διαβάστε περισσότερα

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ξ εκινώντας τη προσπάθεια μου να γράψω αυτό το βιβλίο αναρωτιόμουν πως

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

Η βαθµολόγηση των γραπτών στα Μαθηµατικά

Η βαθµολόγηση των γραπτών στα Μαθηµατικά 1 Η βαθµολόγηση των γραπτών στα Μαθηµατικά Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Όπως γνωρίζουµε η αξιολόγηση των µαθητών είναι µέρος της διδακτικής διαδικασίας

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΚΑΙ ΑΝΟΙΚΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΑΘΗΝΑ 2000 12 Η συγγραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 Tel. 6165-617784 - Fax: 64105 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Κάπως έτσι ονειρεύτηκα την Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση!!! Μπορεί όμως και να ήταν.

Κάπως έτσι ονειρεύτηκα την Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση!!! Μπορεί όμως και να ήταν. Ένα όνειρο που ονειρεύεσαι μόνος είναι απλά ένα όνειρο. Ένα όνειρο που ονειρεύεσαι με άλλους μαζί είναι πραγματικότητα. John Lennon Κάπως έτσι ονειρεύτηκα την Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση!!! Μπορεί όμως

Διαβάστε περισσότερα

Κατανόηση γραπτού λόγου

Κατανόηση γραπτού λόγου Κατανόηση γραπτού λόγου Επίπεδο Γ Τρίτη διδακτική πρόταση Πονοκέφαλος και θυμός Ενδεικτική διάρκεια: Ομάδα-στόχος: Διδακτικός στόχος: 1 διδακτική ώρα ενήλικες κατανόηση της δομής του κειμένου και δείκτες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα