Οι Ερωτήσεις στην ιδασκαλία των Μαθηµατικών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Οι Ερωτήσεις στην ιδασκαλία των Μαθηµατικών"

Transcript

1 Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ : Οι Ερωτήσεις στην ιδασκαλία των Μαθηµατικών ηµήτρης Ι. Μπουνάκης Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικών Το άρθρο αυτό περιέχει σε ολοκληρωµένη µορφή την οµιλία µου µε τίτλο «Οι ερωτήσεις στη ιδασκαλία των Μαθηµατικών», που έγινε στα πλαίσια της ηµερίδας «ιδακτικής Μαθηµατικών και Παιδαγωγικών» που πραγµατοποιήθηκε στις 15 Οκτωβρίου 009 στο Ηράκλειο. Στόχος της οµιλίας µου ήταν η ευαισθητοποίηση του καθηγητή στο σηµαντικό θέµα των ερωτήσεων που υποβάλλονται κατά τη διάρκεια της διδασκαλίας στη τάξη και η παροχή χρήσιµων στοιχείων σχετικά µε την σύνταξη και διατύπωση των ερωτήσεων. Με χαρά θα δεχθώ για συζήτηση διορθώσεις ή συµπληρώσεις στο σηµαντικό αυτό θέµα που καθηµερινά µας απασχολεί. Συνοπτικά το θέµα κινείται γύρω από τους εξής άξονες: Ο ρόλος των ερωτήσεων στη διαδικασία «διδασκαλία µάθηση Είδη ερωτήσεων, χαρακτηριστικά καλών ερωτήσεων Οι Ερωτήσεις του Καθηγητή Οι Απαντήσεις του Καθηγητή 1. Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ ΣΤΗ Ι ΑΣΚΑΛΙΑ Είναι φανερό ότι η ερώτηση αποτελεί ένα ιδιαίτερα σηµαντικό µέρος του γραπτού και του προφορικού λόγου και συµβάλει στην καλύτερη επικοινωνία και προπάντων την κατανόηση και συνεννόηση των ανθρώπων. Πολύ σπουδαιότερος είναι ο ρόλος των ερωτήσεων κατά την διάρκεια της διαδικασίας «διδασκαλία µάθηση», αφού σ αυτή την περίπτωση, δεν πρόκειται για µια απλή επικοινωνία, αλλά για µια ανώτερη πνευµατική εργασία και προσπάθεια µε σκοπό την κατάκτηση νέων γνώσεων και δεξιοτήτων και όχι µόνο. Γενικά στην διαδικασία διδασκαλία- µάθηση, οι ερωτήσεις χρησιµοποιούνται σε δυο φάσεις: στον έλεγχο των γνώσεων ή την αξιολόγηση του µαθητή και στην διδασκαλία. Εδώ θα ασχοληθούµε µόνο µε τις ερωτήσεις στη δεύτερη φάση.

2 . Ι. Μ.- Σ.Σ.Μ.- Οι Ερωτήσεις στην ιδασκαλία των Μαθηµατικών Στη φάση της διδασκαλίας οι ερωτήσεις (ή ερωτήσεις - υποδείξεις) γίνονται στην τάξη, κυρίως από τον καθηγητή, για να βοηθήσουν τους µαθητές στην κατάκτηση των στόχων του µαθήµατος. Φυσικά κατά την διδασκαλία γίνονται προς τους µαθητές όχι µόνο ερωτήσεις, αλλά και παροτρύνσεις, προτροπές, νύξεις τις οποίες µπορούµε να τις εντάξουµε στο γενικό πνεύµα των ερωτήσεων-ερεθισµάτων. Ο προτρεπτικός ρόλος των ερωτήσεων προς τη µάθηση µπορεί να πάρει διάφορες µορφές, οι οποίες συχνά δεν είναι άµεσα ορατές, όπως: Να παρακινήσουν σε ένα νέο αντικείµενο διδασκαλίας π.χ. «πως θα βρούµε µια σχέση µεταξύ της διαµέσου µ α τριγώνου και των πλευρών του;» Να παρακινήσουν την συνεργασία ή αλληλεπίδραση µεταξύ των µαθητών: π.χ. «ο τρόπος λύσης της Μαρίας είναι καλύτερος από του Κώστα;» Να προκαλέσουν, π.χ. «Οι διαγώνιες ορθογωνίου φαίνονται ίσες, µπορείτε να το αποδείξετε;» Να βοηθήσουν στη κατανόηση των µεθόδων, π.χ. «Ποια µέθοδο (ή τρόπο) χρησιµοποιήσαµε για να λύσουµε αυτό το πρόβληµα;» Να βοηθήσουν τους µαθητές να αξιολογούν: π.χ. «Νοµίζεις ότι η µέθοδός σου είναι κατάλληλη και για άλλους είδους πρόβληµα» Να ενθαρρύνουν τη διάθεση για εξερεύνηση: π.χ. «Αν δυο τρίγωνα έχουν δυο πλευρές ίσες µια προς µια και µια γωνία ίση είναι ίσα;» ή «το περίκεντρο τριγώνου βρίσκεται πάντα στο εσωτερικό του;» Να ενθαρρύνουν ερωτήσεις από τους ίδιους τους µαθητές: π.χ. «Αυτό το θεώρηµα ποιες ερωτήσεις σας δηµιουργεί» π.χ. Πυθαγόρειο (αντίστροφο, µη ορθογώνιο κλπ), Θ. Βοlzano (αντίστροφο, αρκεί η εποπτική απόδειξη κλπ). Να κάνουν διάγνωση: πως το βρήκες αυτό Γιάννη; Να αυξήσουν την ικανότητα µεταφοράς της γνώσης: π.χ. «Πως θα µπορούσατε να χρησιµοποιήσετε το εµβαδόν τριγώνου για να υπολογίσετε το εµβαδόν τραπεζίου;»

3 . Ι. Μ.- Σ.Σ.Μ.- Οι Ερωτήσεις στην ιδασκαλία των Μαθηµατικών 3 ΙΙ. ΕΙ Η ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ Με κριτήριο τον βαθµό ενεργοποίησης της σκέψης που χρειάζεται για να µελετηθεί και να απαντηθεί µια ερώτηση, διακρίνουµε δυο βασικές κατηγορίες ερωτήσεων. 1. Ερωτήσεις αποµνηµόνευσης Είναι ερωτήσεις στις οποίες οι µαθητές για να απαντήσουν πρέπει να ανακαλέσουν απλά από τη µνήµη διάφορες γνώσεις ή δεξιότητες. Στην κατηγορία αυτή µπορούν να ενταχθούν και οι λεγόµενες «συγκλίνουσες» ερωτήσεις οι οποίες οδηγούν την σκέψη των ερωτώµενων σε στενά πλαίσια. Οι ερωτήσεις της κατηγορίας αυτής είναι συνήθως του τύπου «πότε;», «τι;» «πως;», «ποια είναι η τιµή της παράστασης», «λύσετε την εξίσωση» κλπ. Παραδείγµατα: Πότε ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές; Τι κάνουµε για να λύσουµε µια εξίσωση α βαθµού; Να λύσετε τη εξίσωση 5χ + = (χ - 1) Πως απαλείφουµε τους παρανοµαστές µιας εξίσωσης; Πότε η δευτεροβάθµια εξίσωση έχει ρίζες ίσες; Να βρείτε τoν µιγαδικό ω = i 009. Πότε µια συνάρτηση f(t) λέµε ότι παραγωγίζεται σ ένα σηµείο ξ;. Ερωτήσεις σκέψης - κρίσης, Με τις ερωτήσεις αυτές ζητούνται από τους µαθητές νοητικές δεξιότητες, λογικά συµπεράσµατα, επινόηση κ.λ.π., δηλαδή η απάντησή τους είναι αποτέλεσµα σκέψης ή/και προβληµατισµού σε διάφορα επίπεδα. Στην κατηγορία αυτή µπορούν να ενταχθούν, ως ερωτήσεις ανωτέρου επιπέδου, και οι «αποκλίνουσες» ή ανοικτές ερωτήσεις µε ανοικτό ορίζοντα αναζήτησης, που αποτελούν ερέθισµα και παρότρυνση για ελεύθερη σκέψη και αυτενεργό δηµιουργία. Συνήθως είναι του τύπου «γιατί;», «πως;», «τι νοµίζετε;», «για ποιο λόγο;», «να εξετάσετε», «το ζητούµενο σας φέρνει στη σκέψη κάποια γνωστή πρόταση;». Οι ερωτήσεις της κατηγορίας αυτής είναι περισσότερο διδακτικές και είναι καλό να µην απουσιάζουν από µια διδασκαλία. Παραδείγµατα: Αν δυο ποσά δεν είναι αντιστρόφως ανάλογα, τότε είναι ανάλογα; (εξηγείστε, δώστε (αντι)παράδειγµα) Να υπολογίσετε τον αριθµό α= ( 5) (0,). Γιατί το ορθόκεντρο ενός αµβλυγωνίου τριγώνου βρίσκεται εκτός του τριγώνου; Για ποιο λόγο ένα τετράγωνο έχει κάθετες τις διαγώνιες;

4 . Ι. Μ.- Σ.Σ.Μ.- Οι Ερωτήσεις στην ιδασκαλία των Μαθηµατικών 4 (ανοικτή ερώτηση) Ο καθηγητής παίρνοντας αφορµή από µια λανθασµένη 4 6 α γ α+ γ πράξη π.χ. + = ρωτά: σε ποια περίπτωση ισχύει + = ; β δ β+ δ Πως συνδέονται οι µιγαδικοί z, w όταν οι εικόνες τους είναι σηµεία συνευθειακά µε την αρχή του µιγαδικού επιπέδου; Αν ισχύει φ(χ) 009 για κάθε χ R, τότε η συνάρτηση φ έχει µέγιστο; Ένα σηµείο καµπής µιας συνάρτησης φ, είναι ακρότατο για την φ ; Με κάποια προϋπόθεση ίσως; Μπορεί ένα σηµείο καµπής, µιας διπλά παραγωγίσιµης συνάρτησης, να είναι τοπ. ακρότατο; Στην διδασκαλία ο καθηγητής πρέπει να απευθύνει προς τους µαθητές ερωτήσεις και από τα δυο είδη, µε προτίµηση στις ερωτήσεις κρίσεως. Οι ερωτήσεις κρίσεως απαιτούν από τον καθηγητή συνήθως περισσότερη δουλειά κατά τον σχεδιασµό του µαθήµατος, αλλά ο διδακτικός τους ρόλος είναι σπουδαίος και αναντικατάστατος. ΙΙΙ. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ Κύρια χαρακτηριστικά των καλών διδακτικών ερωτήσεων, εκτός από την λογική ή/και επιστηµονική εγκυρότητα που θεωρείται αυτονόητη, είναι η σαφήνεια, το ενδιαφέρον, η γενικότητα, η φυσικότητα και να έχουν συγκεκριµένο στόχο. 1. Σαφήνεια - Ενδιαφέρον Οι ερωτήσεις πρέπει να ναι σαφείς, σύντοµες και χωρίς επιστηµονικές αµφισβητήσεις. Να είναι διατυπωµένες απλά µε λέξεις κατανοητές στους µαθητές, µε καλή γλωσσική διατύπωση και να προκαλούν όσο είναι δυνατόν το ενδιαφέρον των µαθητών (όχι τετριµµένες ή ανιαρές ή αρκετά δύσκολες). Επίσης να ναι ανάλογες µε τις γνώσεις και το πνευµατικό επίπεδο των µαθητών, ώστε να γίνουν κατανοητές και να µπορούν να απαντηθούν από αυτούς. Ένα λάθος που κάνουµε συχνά, είναι να θεωρούµε δεδοµένο και κατανοητό και για τους µαθητές το «δικό µας µαθηµατικό λεξιλόγιο» που και κόπο και χρόνο χρειαστήκαµε για να µπορούµε να το χειριζόµαστε µε άνεση. Εδώ χρειάζεται προσοχή, ιδίως στις νέες έννοιες που συναντούµε στα µαθήµατα: οι µαθητές µας διδάσκονται µαθηµατικά για πρώτη φορά στη ζωή τους και δεν είναι ίδιοι µε αυτούς µε διδάξαµε τα προηγούµενα χρόνια (ενώ βρίσκονται στο ίδιο περίπου πνευµατικό επίπεδο). Έτσι για παράδειγµα, αν ρωτήσουµε τους µαθητές στις πρώτες τάξεις του Γυµνασίου - ίσως και στην Α Λυκείου- «να συγκρίνετε τα κλάσµατα ( ή τα τρίγωνα )»- κάτι προφανές για µας - πολλοί µαθητές ίσως να µην καταλάβουν τι ακριβώς τους ζητείται (αν δεν έχει γίνει κατανοητή η έννοια του ρήµατος «συγκρίνω» στα συγκεκριµένα µαθηµατικά αντικείµενα) µε όλες τις συνέπειες.

5 . Ι. Μ.- Σ.Σ.Μ.- Οι Ερωτήσεις στην ιδασκαλία των Μαθηµατικών 5 Παραδείγµατα ασαφών ερωτήσεων: 1. Να εκτελέσετε τις πράξεις (x - 1) + (x - 1) + (1 - x)(x - 1) Καλύτερα: Να φέρετε την παράσταση Π = (x-1) + (x-1) +(1-x)(x-1) σε µορφή πολυωνύµου διατεταγµένου κατά τις φθίνουσες δυνάµεις της µεταβλητής του, ή Να εκτελέσετε όλες τις (αλγεβρικές) πράξεις απλοποιώντας όσο είναι δυνατόν την παράσταση Π = (x-1) + (x-1) +(1-x)(x-1) ή (ακόµη καλύτερα, από άποψη σαφήνειας αλλά και ενδιαφέροντος) Να αποδείξετε ότι (x - 1) + (x - 1) + (1 - x)(x - 1) = x.. Να συµπληρώσετε την ισότητα α 3 + 3αβ + 3α β + β 3 = Καλύτερα: Να συµπληρώσετε την ισότητα α 3 + 3α. + 3α + β 3 = (α + ) 3, ή Να γράψετε το ανάπτυγµα της παράστασης (α + β) 3, ή Να γράψετε την παράσταση α 3 + 3αβ + 3α β + β 3 µε την µορφή µιας δύναµης. 3. Αν α 0 τότε α 0 Σ - Λ ; Εδώ δεν έχουµε µια πρόταση, αλλά πολλές (προτασιακός τύπος).για α = 0 είναι αληθής ενώ για α<0 ψευδής. Μπορεί να δοθεί διαφορετικά: Για κάθε α 0 ισχύει α 0, Σ- Λ (Λ), ή Υπάρχει α 0 µε α 0, Σ- Λ (Σ) 4. Αν Π= x x+ 1+ x + x+ 1 µε x <1 να βρείτε την παράσταση Π. Καλύτερα: Να αποδείξετε ότι, αν x <1 τότε x x+ 1+ x + x+ 1 =, ή Να απλοποιήσετε όσο είναι δυνατόν την παράσταση Π = x x+ 1+ x + x+ 1, όταν x < 1, ή Να δείξετε ότι η παράσταση Π = x x+ 1+ x + x+ 1 είναι ανεξάρτητη του x (ή σταθερή).

6 . Ι. Μ.- Σ.Σ.Μ.- Οι Ερωτήσεις στην ιδασκαλία των Μαθηµατικών 6. Γενικότητα Με δεδοµένο το ενδιαφέρον για µάθηση, οι γενικές ερωτήσεις είναι ερεθίσµατα για δραστηριοποίηση των διανοητικών δυνάµεων του µαθητή και επιτρέπουν µεγάλα περιθώρια αυτενέργειας. Μετά τις γενικές ερωτήσεις και ανάλογα µε την πρόοδο των µαθητών, µπορούν να γίνουν βαθµιαία λιγότερο γενικές - ειδικές ερωτήσεις µέχρι να υπάρξει ανταπόκριση στο νου των µαθητών. Πάντως πρέπει αποφεύγουµε, όσο το επιτρέπει ο χρόνος, να δίνουµε απάντηση σε ερώτηση που µπορεί να δοθεί από τους µαθητές. Ας δούµε ένα παράδειγµα: Οι µαθητές (Γ Γυµνασίου ή Α Λυκείου-Γεωµετρία) εργάζονται να αποδείξουν - σε άσκηση ή θεώρηµα - ότι δυο ευθύγραµµα τµήµατα π.χ. ΑΒ, ΚΛ είναι ίσα. Ο Καθηγητής τους δίνει από την αρχή την ερώτησηυπόδειξη: «εξετάσετε αν είναι ίσα τα τρίγωνα ΚΛΜ, ΑΒ», Σ αυτό το είδος της βοήθειας (όπως λέει και ο G.Polya), υπάρχουν ορισµένες αντιρρήσεις: α. Αν η ερώτηση-υπόδειξη γίνει κατανοητή, αφ ενός λίγη δουλειά µένει στο µαθητή, αφ ετέρου την βλέπει σαν «αφύσικη ταχυδακτυλουργία»- δύσκολα θα καταλάβει πως ήλθε η ιδέα στον καθηγητή. β. Η υπόδειξη είναι πολύ ειδική και έτσι, αν ακόµη ο µαθητής µπορέσει να την χρησιµοποιήσει για την συγκεκριµένη άσκηση, τίποτα δεν θα µάθει για µελλοντικά προβλήµατα. γ. Αν ο µαθητής δεν αντιληφθεί που οδηγεί η ερώτηση, δεν βοηθά εκεί, που η βοήθεια είναι πολύ αναγκαία και µπορούσε να δοθεί µε µια γενική ερώτηση: «γνωρίζετε κανένα θεώρηµα ή άσκηση µε παρόµοιο συµπέρασµα;» ή, αν δεν προχωρήσουν, «µπορείτε να χρησιµοποιήσετε δυο ίσα τρίγωνα;». Πάντως και οι ειδικές ερωτήσεις µπορούν να χρησιµοποιούνται στην διδασκαλία, αφού πρώτα γίνουν γενικές ερωτήσεις και δεν υπάρξει ανταπόκριση από τους µαθητές ή όταν δεν υπάρχει αρκετός χρόνος. 3. Φυσικότητα - Στόχος Χαρακτηρίζουν την ερώτηση-υπόδειξη που γίνεται την κατάλληλη χρονική στιγµή, δηλαδή όταν ο µαθητής χρειάζεται κάποια βοήθεια για να προχωρήσει την εργασία του και υπηρετούν τον στόχο της ενεργοποίησης της σκέψης του µαθητή. Σε διαφορετική περίπτωση, ίσως η ερώτηση περάσει απαρατήρητη. Έτσι π.χ., αν ο µαθητής (γνωρίζοντας το ζητούµενο σε ένα πρόβληµα) έχει προχωρήσει και κάτι χρειάζεται ακόµη, είναι σκόπιµο να του δοθεί και η ερώτηση-υπόδειξη: Χρησιµοποίησες όλα τα δεδοµένα; Ή, ποια είναι τα δεδοµένα; Ή, ποια είναι η υπόθεση;

7 . Ι. Μ.- Σ.Σ.Μ.- Οι Ερωτήσεις στην ιδασκαλία των Μαθηµατικών 7 Τα χαρακτηριστικά αυτά τα έχουν όλες οι ερωτήσεις-υποδείξεις του καταλόγου του βιβλίου «Πώς να το λύσω» του G. Polya που παρουσιάσαµε πέρυσι (βλ. ιδακτικό Υλικό Λυκείου µε αρ. πρ. 46, (Οι ερωτήσεις αυτές είναι αρκετά χρήσιµο να δίνονται στην αρχή κάθε χρόνου στους µαθητές από την Γ Γυµνασίου και προπάντων να γίνεται αναφορά σ αυτές όταν χρησιµοποιούνται στην τάξη ώστε να γίνουν συνήθεια). ΙV. Ο ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΕΡΩΤΑ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΕΙΣ Οι ερωτήσεις - υποδείξεις του καθηγητή είναι συνάρτηση των γνώσεων του, της εµπειρίας, της προσωπικότητάς του, των στόχων του µαθήµατος αλλά και της διάθεσης και του ενθουσιασµού του για διδασκαλία των Μαθηµατικών. Έτσι δεν υπάρχει µια ορισµένη τεχνική για σύνταξη καλών ερωτήσεων, υπάρχουν όµως ορισµένες αρχές, οι οποίες από την παιδαγωγική ψυχολογία, τη διδακτική των Μαθηµατικών αλλά και την εµπειρία θεωρούνται χρήσιµες για µια αποτελεσµατικότερη διδασκαλία. 1. Οι ερωτήσεις πρέπει να απευθύνονται σ όλους τους µαθητές της τάξης. Με τον τρόπο αυτό θα υπάρχει για όλους ερέθισµα για κινητοποίηση της σκέψης. Μετά αναφέρουµε το όνοµα του µαθητή που θέλει να απαντήσει, αλλά πρέπει να δίνουµε το λόγο και να παρακινούµε να απαντήσουν και οι µαθητές που δεν σηκώνουν συχνά το χέρι τους. Ειδικά από τους αδύνατους ή αποθαρρυµένους µαθητές, καλό είναι να ζητούµε απαντήσεις σε ευκολότερες ερωτήσεις (αλλά να µην γίνεται αυτό πάντα). Αυτό σε συνδυασµό µε άλλα µέτρα (λεκτικές επιβραβεύσεις, βαθµολογία), είναι δυνατόν να οδηγήσει σε ενθάρρυνση και τόνωση της αυτοπεποίθησης των µαθητών αυτών, ώστε να µην µένουν στο «περιθώριο του µαθήµατος» µε όλες τις αρνητικές συνέπειες. Επίσης είναι προτιµότερο να προηγείται της ερώτησης η έκφραση «ποιος θα µας πει» ή «για να δούµε ποιος θα µας πει» και όχι «ποιος θα µου πει». Άνεση χρόνου. Ανάλογα µε την δυσκολία της ερώτησης, πρέπει να µεσολαβεί ένα χρονικό διάστηµα µέχρι την απάντηση, για να «πάθουν» και να σκεφτούν όλοι οι µαθητές της τάξης. ιαφορετικά είναι πολύ πιθανό οι µαθητές να απαντούν στην τύχη ή να απαντούν σε άλλη ερώτηση ή να δίνουν απάντηση πολύ συχνά οι λίγοι καλοί µαθητές της τάξης. 3. Να αποφεύγονται οι συνεχόµενες ερωτήσεις. Έτσι θα υπάρχει άνεση για σκέψη και εργασία του µαθητή. Το φαινόµενο των συνεχόµενων ερωτήσεων, στην οξεία του µορφή, γνωστό και σαν «βροχή ερωτήσεων» το συναντούµε συνήθως στην καθαυτό ερωτηµατική µορφή διδασκαλίας, η οποία πρέπει γενικά να αποφεύγεται, αφού ο µαθητής παρακολουθεί,

8 . Ι. Μ.- Σ.Σ.Μ.- Οι Ερωτήσεις στην ιδασκαλία των Μαθηµατικών 8 κυριολεκτικά «σέρνεται» από την σκέψη του δασκάλου και δεν σκέπτεται αυτοδύναµα και εποµένως δεν µπορεί να αναπτύξει δική του σκέψη και πορεία µάθησης. Συνήθως στην µορφή αυτή διδασκαλίας, για να «κερδηθεί χρόνος», ο καθηγητής δίνει σχεδόν αµέσως και την απάντηση, κάτι παιδαγωγικά και διδακτικά απαράδεκτο όταν γίνεται κατά σύστηµα. Πάντως από τον συνεχή µονόλογο «προτιµότερη» είναι η διδασκαλία αυτή, έστω και αν οι µαθητές δεν απαντούν ή οι ερωτήσεις τίθενται για να απαντώνται από τον καθηγητή, χάριν της προόδου και του «ζωηρέµατος» του µαθήµατος. Οι µορφές αυτές διδασκαλίας είναι πια καιρός να τεθούν γενικά στο περιθώριο, και να αντικατασταθούν από την καθοδηγούµενη αυτενέργεια ή στην οµαδοσυνεργατική µορφή διδασκαλίας. ΤΙ ΑΛΛΟ ΝΑ ΑΠΟΦΕΥΓΟΥΜΕ 4. Να αποφεύγουµε ς ερωτήσεις όπως: «το καταλάβατε;», όπως και την ερώτηση «έχει κανείς να ρωτήσει κάτι», ιδίως όταν δεν υπάρχει αρκετός χρόνος. Η εµπειρία δείχνει ότι οι ωραίες αυτές ερωτήσεις, στην πράξη δεν προσφέρουν τίποτα και δίνουν ψευδείς εντυπώσεις στο δάσκαλο. Συνήθως, όλοι µαζί οι µαθητές απαντούν «ναι» ή σπάνια ερωτά κάποιος µαθητής, ακόµη και αν δεν έχει γίνει κατανοητό µέρος ή όλο το µάθηµα. Πάντως πρέπει να ενθαρρύνουµε τους µαθητές να διατυπώνουν τις απορίες ή ερωτήσεις τους είτε µέσα στη τάξη είτε στο διάλειµµα. Ο καλύτερος τρόπος για να διαπιστώσουµε αν έχει γίνει κατανοητό το µάθηµα, µερικά ή ολικά, είναι να δώσουµε µερικές -προτιµότερο γραπτές - ερωτήσεις κατανόησης ή απλές ασκήσεις στο τέλος του µαθήµατος. Φυσικά µια πιο έγκυρη αξιολόγηση µπορεί να γίνει µε ένα τεστ ή διαγώνισµα. 5. Να µην θέτουµε ερωτηµατικές αντωνυµίες στο τέλος των ερωτήσεων, όπως π.χ. «και µετά κάνοµε τι;» αλλά στην αρχή. Τέτοιες ερωτήσεις, όταν µάλιστα επαναλαµβάνονται συχνά, δηµιουργούν νευρικότητα, εκτός του ότι ηχούν άσχηµα. 6. Να αποφεύγονται οι ερωτήσεις που χρειάζονται µονολεκτική απάντηση, οι «ψευδοερωτήσεις» καθώς και οι διαζευκτικές ερωτήσεις. Οι µαθητές συνήθως στις ερωτήσεις αυτές απαντούν µε πιθανότητα, χωρίς να σκεφτούν. 7. Να χρησιµοποιούνται όσο είναι δυνατόν, ρήµατα που φανερώνουν συγκεκριµένες ενέργειες ή πράξεις. Ειδικά, καλό είναι να χρησιµοποιούνται όσο το δυνατόν λιγότερο τα αόριστα και µε πολλές έννοιες ρήµατα «πρέπει», «έχουµε», «κάνουµε», και όταν τα χρησιµοποιούµε να διευκρινίζουµε περισσότερο τη σηµασία τους, όπως π.χ. Τι πρέπει να κάνουµε τώρα; (να βγάλουµε τις παρενθέσεις ή να κάνουµε τις πράξεις ή να βρούµε την τιµή της παράστασης κ.ά).

9 . Ι. Μ.- Σ.Σ.Μ.- Οι Ερωτήσεις στην ιδασκαλία των Μαθηµατικών 9 Ειδικά µε το «πρέπει», που µε τόση ευκολία βγαίνει από τα χείλη των µαθητών -και όχι µόνο - απαιτείται προσοχή και φειδώ στη χρήση του, επειδή το «µαθηµατικό πρέπει» εκφράζει (µόνο) αναγκαία συνθήκη ( να το διασαφηνίζουµε και να το τονίζουµε αυτό) και οι µαθητές την εκλαµβάνουν συχνά και ως ικανή. π.χ. Για να είναι οι γωνίες ω και φ παραπληρωµατικές πρέπει να είναι ορθές. Για να είναι η συνάρτηση φ γν. αύξουσα σ ένα διάστηµα πρέπει φ (x) > 0 για κάθε x.. 8. Οι ερωτήσεις δεν πρέπει να περιέχουν την απάντηση. Πολλές φορές µε πρόθεση λίγο ή πολύ να βοηθήσουµε τους µαθητές, κάνουµε ερωτήσεις που περιέχουν µερικά την απάντηση (ή ακόµη χειρότερα δίνουµε την απάντηση πριν καν σκεφτούν οι µαθητές ). Αυτό συµβαίνει π.χ. όταν γίνονται ειδικές ερωτήσεις (µε µπόλικη βοήθεια).χωρίς να αποκλείουµε και αυτές τις ερωτήσεις, η συστηµατική χρήση τους δεν βοηθά την µάθηση και προπάντων την πνευµατική εξέλιξη του µαθητή. Όσες λιγότερες τέτοιου είδους ερωτήσεις γίνονται κατά την διδασκαλία, τόσο το καλύτερο. Παραδείγµατα: Τι είδους γωνίες είναι οι γωνίες ενός οξυγωνίου τριγώνου; Πως λέγεται µια εξίσωση που δεν έχει λύση; Ποια γινόµενα πρέπει να είναι ίσα ώστε να ισχύει η ισότητα 9. Να αποφεύγονται τέλος απαξιωτικές ή επιτιµητικές εκφράσεις για οποιοδήποτε µαθητή που δεν απαντά ή απαντά λάθος. Στην περίπτωση αυτή µπορούµε να επαναδιατυπώσουµε την ερώτηση, ή να πούµε στο µαθητή να το ξανασκεφτεί, ή να προσπαθήσει κι άλλο (και ερευνούµε για ποιο λόγο απάντησε λάθος - µήπως κάτι στη διδασκαλία µας δεν πήγε καλά- ή µήπως απάντησε σε άλλη ερώτηση κλπ. Αυτό είναι ιδιαίτερα σηµαντικό για την διδακτική ανατροφοδότηση και βελτίωση του καθηγητή)) Επισηµαίνουµε ακόµη την αντιστοιχία που πρέπει να υπάρχει µεταξύ των ερωτήσεων αξιολόγησης και των ερωτήσεων οι οποίες γίνονται κατά στην διδασκαλία και µε τις οποίες «εκπαιδεύονται και εθίζονται» οι µαθητές: αν στην διδασκαλία µας π.χ. κυριαρχούν οι ερωτήσεις αποµνηµόνευσης αντίστοιχες ερωτήσεις πρέπει να κυριαρχούν και στις ερωτήσεις αξιολόγησης κλπ. α β γ = δ ;

10 . Ι. Μ.- Σ.Σ.Μ.- Οι Ερωτήσεις στην ιδασκαλία των Μαθηµατικών 10 V. Ο ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΑΠΑΝΤΑ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΕΙΣ Γενικά ο καθηγητής στις απαντήσεις του πρέπει να αποφεύγει : Να απαντά σε ερώτηση, όταν η απάντηση µπορεί να δοθεί από τους µαθητές (ίσως και µε λίγη βοήθεια) Να απαντά σε ερωτήσεις εκτός θέµατος ή που αποµακρύνουν από το θέµα. Μπορεί όµως καλέσει τον µαθητή στο διάλειµµα για συζήτηση. Να απαντά βιαστικά πριν ολοκληρωθεί η απάντηση του µαθητή. Να απαντά όταν δεν είναι σίγουρος για την απάντησή του. Πρέπει να έχει το θάρρος να πει «δεν ξέρω την απάντηση!, Θα σας απαντήσω στο επόµενο µάθηµα» (αλλά να µην ξεχάσει να απαντήσει!..) Να απαντά στις ερωτήσεις του Αν δεν απαντά κανείς µαθητής, περιµένουµε λίγο περισσότερο ή επαναδιατυπώνουµε την ερώτηση, δίνοντας µεγαλύτερη βοήθεια (πιο ειδική ερώτηση) Να επαναλαµβάνει τις ερωτήσεις του Οι µαθητές εθίζονται και δεν προσέχουν τις ερωτήσεις. Να διακόπτει την απάντηση του µαθητή. Επίσης πρέπει η απάντησή µας - σε οποιαδήποτε ερώτηση µαθητή να γίνεται σε ήρεµο τόνο και να µην συνοδεύεται ποτέ από οποιοδήποτε απαξιωτικό ή επιτιµητικό χαρακτηρισµό ή αλαζονικό ύφος. Ακόµη και µια «παιδαριώδη» ή «γελοία» ερώτηση - αν δεν γίνεται σκόπιµα και αυτό το καταλαβαίνουµε - για τον καθηγητή έχει την αξία της και µπορεί να του δώσει χρήσιµα στοιχεία για τη πορεία µάθησης του µαθητή. Να ενθαρρύνουµε τους µαθητές να κάνουν ερωτήσεις Η διατύπωση οποιωνδήποτε σχετικών µε το µάθηµα ερωτήσεων και αποριών από τους µαθητές συµβάλλει στην ουσιαστική µάθηση και πρέπει να ενθαρρύνουµε τους µαθητές να τις κάνουν τόσο προς εµάς όσο και προς τους άλλους συµµαθητές τους. Ειδικά όµως τις «καλές» ερωτήσεις πάντα βέβαια στα µαθητικά πλαίσια- πρέπει και να τις επαινούµε π.χ. καλή ερώτηση! Παραφράζοντας γνωστό απόφθεγµα µπορούµε να πούµε ότι «Μια καλή ερώτηση αξίζει όσο χίλιες απαντήσεις» Επίσης καλό είναι να ζητούµε από την τάξη να αξιολογήσει µια απάντηση ενός µαθητή, αντί να το κάνουµε εµείς. Εθίζουµε έτσι τους µαθητές µας στην αξιολόγηση

11 . Ι. Μ.- Σ.Σ.Μ.- Οι Ερωτήσεις στην ιδασκαλία των Μαθηµατικών 11 απόψεων και επιχειρηµάτων, αλλά και ο µαθητής έρχεται θετικά στο επίκεντρο της τάξης, κάτι που τον ενθαρρύνει και συµβάλλει στην τόνωση της αυτοπεποίθησής του. Είναι συχνό το φαινόµενο να περνούν µεγάλα χρονικά διαστήµατα όπου οι µαθητές δεν κάνουν καµία, έστω διευκρινιστική, ερώτηση. Αυτό είναι ένα σηµάδι που πρέπει να µας ανησυχεί και καλό είναι να ψάξουµε τα αίτιά του Ενίσχυση της ερευνητικής διάθεσης των µαθητών Ένας δύσκολος, αλλά ιδιαίτερα σηµαντικός στόχος της διδασκαλίας, είναι να δηµιουργήσουµε ή να ενισχύσουµε το ενδιαφέρον των µαθητών για την έρευνα, στα πλαίσια πάντα των δυνατοτήτων τους, ιδίως στο Λύκειο. Ο στόχος αυτός µάλιστα, δεν είναι πάντα εύκολος ή αυτονόητος ακόµη και για τους άριστους ή/και επιµελείς µαθητές. Πολλές είναι οι περιπτώσεις που µαθητές απλά «καλοί ή και µέτριοι» εξελίχθησαν πολύ ως ενήλικες επιστηµονικά ή κοινωνικά. Μέσα λοιπόν στο µικρό αλλά βασικό «πνευµατικό φυτώριο» του Λυκείου καλό είναι να ενισχύουµε στο µέτρο του δυνατού και την ερευνητική διάθεση των µαθητών µας και τα µαθηµατικά είναι το µοναδικό σχεδόν µάθηµα που προσφέρει πολλές ευκαιρίες γι αυτό. Και στον τοµέα αυτόν µερικές καλές ερωτήσεις µπορούν να βοηθήσουν σε ένα βαθµό. Να µερικές τέτοιες ερωτήσεις, που δεν είναι βέβαια και οι µοναδικές: ώσε µας ένα διαφορετικό παράδειγµα. Το πιστεύεις αυτό πραγµατικά, Καίτη; Πως είσαι βέβαιος γι αυτό Νίκο; Τι εννοείς µε αυτό; Προσπάθησε να το πεις µε άλλο τρόπο. Τι θα συνέβαινε αν τροποποιούσαµε τα δεδοµένα; Μπορούµε άραγε αυτό το αποτέλεσµα να το απλοποιήσουµε; Γιατί άραγε στο βιβλίο υπάρχει αυτός ο περιορισµός; Μήπως δεν χρειάζεται; Μπορεί να το αποδείξει κανείς µε διαφορετικό τρόπο; Με πιο κοµψό τρόπο; Μπορείτε να διατυπώσετε ένα Γενικότερο ή Ειδικότερο ή Ανάλογο πρόβληµα. Επίλογος Από τα παραπάνω γίνεται φανερό ότι η διδακτική ερώτηση, δεν είναι µια τυχαία έκφραση, αλλά µια σπουδαία και δυναµική διδακτική πρόταση που απαιτεί την φροντίδα του εκπαιδευτικού. Η συστηµατική χρήση των παραπάνω αρχών που αναφέραµε, πιστεύω ότι θα βοηθήσει στην µόνιµη και αυθόρµητη σύνταξη καλών διδακτικών ερωτήσεων, πράγµα που θα συµβάλει σε ένα βαθµό σε µια πιο αποτελεσµατική διδασκαλία. Προς την κατεύθυνση αυτή, είναι χρήσιµο ορισµένες ερωτήσεις-κλειδιά του µαθήµατος - να σχεδιάζονται από πριν, ώστε να ενεργοποιούν την σκέψη και αυτενέργεια των µαθητών, αλλά και τον καθηγητή να βοηθούν να προχωρήσει σύµφωνα µε την διαδικασία που προγραµµάτισε. Εκτός από την διδακτική πλευρά των ερωτήσεων κατά την διδασκαλία, µεγάλη σηµασία έχει το όλο πλαίσιο, µέσα στο οποίο καλείται να σκεφτεί και να απαντήσει ο µαθητής - είτε εκφραστεί είτε όχι. Η απάντηση του µαθητή και γενικότερα η πνευµατική του κινητοποίηση, εξαρτάται από την ετοιµότητά του για µάθηση, τα κίνητρα που διαθέτει, το ρεπερτόριο των γνώσεων και δεξιοτήτων του, την

12 . Ι. Μ.- Σ.Σ.Μ.- Οι Ερωτήσεις στην ιδασκαλία των Μαθηµατικών 1 µεθόδευση της διδασκαλίας και από τους παρακάτω παράγοντες που θα αναφέρουµε επιγραµµατικά: Α. Την ύπαρξη δηµοκρατικού - φιλικού (αλλά όχι πολύ ανεκτικού ή «αναρχικού») κλίµατος στην τάξη. Β. Την στάση που τηρεί ο Καθηγητής και η τάξη στην περίπτωση που ένα µαθητής απαντήσει «λάθος» ή δεν απαντήσει. Σε καµιά περίπτωση δεν επιτρέπεται η επίπληξη (ας έχουµε υπόψη και την γνωστή ρήση: «δεν υπάρχουν λανθασµένες απαντήσεις, αλλά λανθασµένες ερωτήσεις». Επίσης να µην ξεχνάµε ότι ο µαθητής ορισµένες φορές απαντά σε άλλη ερώτηση, µη αντιλαµβανόµενος το νόηµα της ερώτησης που του γίνεται. Από την άλλη µεριά ο καθηγητής πρέπει να καρτερεί την ευκαιρία για επιβράβευση, ιδίως σε αδύνατους µαθητές, ανάλογα µε την δυσκολία της ερώτησης ή του προβλήµατος. Γ. Την ύπαρξη θετικού αυτοσυναισθήµατος για κάθε µαθητή, δηλαδή αν ο µαθητής έχει διαµορφώσει ένα σύνολο πεποιθήσεων και στάσεων ευνοϊκών για τον εαυτό του. Τελειώνοντας, πρέπει να έχουµε υπόψη ότι οι ερωτήσεις δεν πρέπει να κυριαρχούν στην διδασκαλία, αλλά να συνδυάζονται µε παροτρύνσεις προς τους µαθητές και ανάθεση εργασιών µέσα στη τάξη στην κατεύθυνση της όσο το δυνατόν µεγαλύτερης (καθοδηγούµενης) αυτενέργειας. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. Εξαρχάκος Θ., ιδακτική Μαθηµατικών, Ελληνικά γράµµατα, αµαλάς Γ., ιδακτική των Μαθηµατικών. Αθήνα ερβίσης Σ., Σύγχρονη Γενική ιδακτική. Θεσσαλονίκη Κασσωτάκης Μ., Η αξιολόγηση της επίδοσης των µαθητών. Εκδόσεις Γρηγόρη. Αθήνα Πατεράκης Α., Σηµειώσεις ειδικής διδακτικής Μαθηµατικών. 6. Polya G., Πώς να το λύσω, εκδόσεις Καρδαµίτσα, Αθήνα Φλουρής Γ. - Gagne R., Θεµελιώδεις αρχές της µάθησης και της διδασκαλίας, Αθήνα Τουµάσης Χ., ιδακτική Μαθηµατικών. Gutenberg, Αθήνα Μπουνάκης., Οι ερωτήσεις στη διδασκαλία. ΕΥΚΛΕΙ ΗΣ Γ τεύχος 17, Μπουνάκης., «Προγραµµατισµός της διδασκαλίας - συµβολή στη διδακτική αντιµετώπιση του Κεφαλαίου Συναρτήσεις (Β Γυµνασίου), ΕΥΚΛΕΙ ΗΣ Γ τεύχος 18, HENRY M., ιδακτική µαθηµατικών, Μαθηµατικό τµήµα Πανεπιστηµίου Αθηνών. * * *

Τίτλος μαθήματος: ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΚΑΙ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗ ΣΤΗ ΣΧΟΛΙΚΗ ΤΑΞΗ. Ενότητα 3 Η ΕΡΩΤΗΣΗ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ

Τίτλος μαθήματος: ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΚΑΙ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗ ΣΤΗ ΣΧΟΛΙΚΗ ΤΑΞΗ. Ενότητα 3 Η ΕΡΩΤΗΣΗ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ Τίτλος μαθήματος: ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΚΑΙ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗ ΣΤΗ ΣΧΟΛΙΚΗ ΤΑΞΗ Ενότητα 3 Η ΕΡΩΤΗΣΗ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ Οι ερωτήσεις στη διδασκαλία Α) Η ερώτηση του εκπαιδευτικού Β) Η ερώτηση του μαθητή Α) Η

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται: 4.4 Ερωτήσεις διάταξης Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:! µία σειρά από διάφορα στοιχεία και! µία πρόταση / κανόνας ή οδηγία και ζητείται να διαταχθούν τα στοιχεία µε βάση την πρόταση αυτή. Οι ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

4. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ

4. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 4. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Με τις ερωτήσεις του τύπου αυτού καλείται ο εξεταζόµενος να επιλέξει την ορθή απάντηση από περιορισµένο αριθµό προτεινόµενων απαντήσεων ή να συσχετίσει µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Με τις ερωτήσεις του τύπου αυτού καλείται ο εξεταζόμενος να επιλέξει την ορθή απάντηση από περιορισμένο αριθμό προτεινόμενων απαντήσεων ή να συσχετίσει μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Η παιδαγωγική διάσταση των πολλών τρόπων επίλυσης ενός προβλήµατος ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Μία χαρακτηριστική ιδιότητα των Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ. Γεώργιος Ν. Πριµεράκης Σχ. Σύµβουλος ΠΕ03

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ. Γεώργιος Ν. Πριµεράκης Σχ. Σύµβουλος ΠΕ03 ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ Γεώργιος Ν. Πριµεράκης Σχ. Σύµβουλος ΠΕ03 1 Η αξιολόγηση (µπορεί να) αναφέρεται στον εκπαιδευτικό, στο µαθητή, στο Αναλυτικό Πρόγραµµα, στα διδακτικά υλικά στη σχολική µονάδα ή (και) στο θεσµό

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή.

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή. Σενάριο 6. Συµµεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 1 4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση µε έναν άγνωστο: Ονοµάζουµε µία ισότητα η οποία περιέχει αριθµούς και ένα γράµµα που είναι ο άγνωστος της εξίσωσης.. Λύση ή ρίζα της εξίσωσης : Είναι ο αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Γραπτών Απολυτήριων Εξετάσεων Στο Μάθημα των Μαθηματικών Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 2007 Σχ. Έτος ΤΑΞΗ Γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα Γραπτών Απολυτήριων Εξετάσεων Στο Μάθημα των Μαθηματικών Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 2007 Σχ. Έτος ΤΑΞΗ Γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Θέματα Γραπτών Απολυτήριων Εξετάσεων Στο Μάθημα των Μαθηματικών Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 007 Σχ. Έτος 006-007 ΤΑΞΗ Γ ΘΕΩΡΙΑ 1. α.) Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες : 3 ( α + β ) = ( β ) = α 3 3 3 β.) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2012

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2012 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011 2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2012 ΜΑΘΗΜΑ : Μαθηματικά ΒΑΘΜΟΣ ΤΑΞΗ : Β ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΣ : ΔΙΑΡΚΕΙΑ : 2 ώρες ΟΛΟΓΡΑΦΩΣ : ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 15.06.2012 ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ/ΤΡΙΑΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων 1. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις µόνο µε αριθµούς, λέγεται αριθµητική παράσταση. Παράδειγµα: + + 1 =. είναι µια αριθµητική παράσταση, το αποτέλεσµα των

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Μαναριώτης Σχολικός Σύμβουλος 4 ης Περιφέρειας Ν. Αχαϊας Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥ ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ ΚΑΙ ΓΡΑΦΩ ΣΤΗΝ Α ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ

Χρήστος Μαναριώτης Σχολικός Σύμβουλος 4 ης Περιφέρειας Ν. Αχαϊας Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥ ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ ΚΑΙ ΓΡΑΦΩ ΣΤΗΝ Α ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥ ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ ΚΑΙ ΓΡΑΦΩ ΣΤΗΝ Α ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ Η καλλιέργεια της ικανότητας για γραπτή έκφραση πρέπει να αρχίζει από την πρώτη τάξη. Ο γραπτός λόγος χρειάζεται ως μέσο έκφρασης. Βέβαια,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 016-17 1. Τι ονομάζεται αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται κάθε έκφραση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών και μεταβλητών.. Τι ονομάζεται αριθμητική τιμή αλγεβρικής

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Στέφανος Κεΐσογλου Σχολικός σύμβουλος ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Στέφανος Κεΐσογλου Σχολικός σύμβουλος ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Στέφανος Κεΐσογλου Σχολικός σύμβουλος ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολείο: Ημερομηνία: / / Β Λυκείου τμήμα.. Καθηγητής/τρια:Τάξη: Α) Το θέμα και το μαθησιακό περιβάλλον. 1) Το γνωστικό

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Γραπτές ανακεφαλαιωτικές προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις στα Μαθηµατικά Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος, ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Για τον υπολογισµό του βαθµού της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΡΦΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ. PDF created with pdffactory Pro trial version www.pdffactory.com

ΜΟΡΦΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ. PDF created with pdffactory Pro trial version www.pdffactory.com ΜΟΡΦΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ Αφηγηματική προσέγγιση: Αποτελεί τη βασική μορφή των δασκαλοκεντρικών μεθόδων διδασκαλίας. Ο δάσκαλος δίνει τις πληροφορίες, ενώ οι μαθητές του παρακολουθούν μένοντας αμέτοχοι και κρατώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΝΑΡΙΟ: Εφαπτομένη οξείας γωνίας στη Β Γυμνασίου

ΣΕΝΑΡΙΟ: Εφαπτομένη οξείας γωνίας στη Β Γυμνασίου ΣΕΝΑΡΙΟ: Εφαπτομένη οξείας γωνίας στη Β Γυμνασίου Συγγραφέας: Κοπατσάρη Γεωργία Ημερομηνία: Φλώρινα, 5-3-2014 Γνωστική περιοχή: Μαθηματικά (Γεωμετρία) Β Γυμνασίου Προτεινόμενο λογισμικό: Προτείνεται να

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση της διδακτικής πράξης

Αξιολόγηση της διδακτικής πράξης Αξιολόγηση της διδακτικής πράξης 1 } Ορισµός: Απόδοση αξίας Απόδοση προσήµου σε κάτι που αξιολογείται Σύγκρισης δύο πραγµάτων } Αξιολόγηση Αποτίµηση στόχου (σύγκριση του στόχου µε το αποτέλεσµα) Σηµασία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ : «ιδακτικό υλικό Μαθηµατικών Γ Γυµνασίου» Aγαπητοί συνάδελφοι,

ΘΕΜΑ : «ιδακτικό υλικό Μαθηµατικών Γ Γυµνασίου» Aγαπητοί συνάδελφοι, ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ /ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ.Ε. Ν. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ηµήτριος Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 7 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1 Αν z 1, z είναι µιγαδικοί αριθµοί, να αποδειχθεί ότι: z 1 z = z 1 z. Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεία y

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Β Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Β Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Β Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Ερωτήσεις θεωρίας Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Δώστε ένα παράδειγμα σχετικό με την έννοια της μεταβλητής 2. Να αναφέρετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΠΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΑΠΟ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑ

ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΠΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΑΠΟ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΠΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΑΠΟ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑ Το στιγμιότυπο που παρουσιάζεται εδώ πρόκυψε πέντε λεπτά πριν από τη λήξη μιας διδακτικής ώρας η οποία ήταν αφιερωμένη σε μια γενική επανάληψη του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ

Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Εκτός της Ευκλείδειας γεωµετρίας υπάρχουν και άλλες γεωµετρίες µη Ευκλείδιες.Οι γεω- µετρίες αυτές διαφοροποιούνται σε ένα ή περισσότερα

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα).

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα). τάξης είναι ένα από τα στοιχεία που το καθιστούν σηµαντικό. Ο εκπαιδευτικός πρέπει να λάβει σοβαρά υπόψη του αυτές τις παραµέτρους και να προσαρµόσει το σενάριο ανάλογα. Ιδιαίτερα όταν εφαρµόσει το σενάριο

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

είναι «πνευματοκτόνος» εγκαθιστά την κυριαρχία του εκπαιδευτικού στην τάξη εισάγει το αντικείμενο που επιθυμεί ο εκπαιδευτικός καθορίζει δογματικά

είναι «πνευματοκτόνος» εγκαθιστά την κυριαρχία του εκπαιδευτικού στην τάξη εισάγει το αντικείμενο που επιθυμεί ο εκπαιδευτικός καθορίζει δογματικά είναι «πνευματοκτόνος» εγκαθιστά την κυριαρχία του εκπαιδευτικού στην τάξη εισάγει το αντικείμενο που επιθυμεί ο εκπαιδευτικός καθορίζει δογματικά τους στόχους μάθησης δεν αφήνει παρά ελάχιστα περιθώρια

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α Έστω μία συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 11. Έστω η παράσταση Α = [(30 : 6) 2] 2 [(15 5) : 3 + 2 2 6] 3 (2 5 3 3 + 2 1 ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α Αν Α = 30, i) να αναλύσετε τον αριθµό Α σε γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

Άθροισµα γωνιών τριγώνου, γωνίες ισοπλεύρου, ισοσκελούς τριγώνου και εξωτερική γωνία τριγώνου στην Α Γυµνασίου

Άθροισµα γωνιών τριγώνου, γωνίες ισοπλεύρου, ισοσκελούς τριγώνου και εξωτερική γωνία τριγώνου στην Α Γυµνασίου ΣΕΝΑΡΙΟ «Προσπάθησε να κάνεις ένα τρίγωνο» Άθροισµα γωνιών τριγώνου, γωνίες ισοπλεύρου, ισοσκελούς τριγώνου και εξωτερική γωνία τριγώνου στην Α Γυµνασίου Ηµεροµηνία: Φλώρινα, 6-5-2014 Γνωστική περιοχή:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.α) ίνεται η συνάρτηση F() f() + g(). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F () f () + g

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κ. Τζιρώνης, Θ. Τζουβάρας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συµπλήρωµα στις λύσεις των ασκήσεων του βιβλίου Περιλαµβάνει λύσεις ή υποδείξεις για ασκήσεις του βιβλίου που αφορούν κυρίως προβλήµατα των οποίων η επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

«Η παιδαγωγική αξία της αξιολόγησης του μαθητή» Δρ. Χριστίνα Παπαζήση Σχολική Σύμβουλος Φυσικών Επιστημών

«Η παιδαγωγική αξία της αξιολόγησης του μαθητή» Δρ. Χριστίνα Παπαζήση Σχολική Σύμβουλος Φυσικών Επιστημών «Η παιδαγωγική αξία της αξιολόγησης του μαθητή» Δρ. Χριστίνα Παπαζήση Σχολική Σύμβουλος Φυσικών Επιστημών Ρωτώ τον εαυτό μου Κάνε αυτήν την απλή ερώτηση στον εαυτό σου, κάθε πρωί στην πορεία σου για το

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014 Θέμα 1 ο A. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: Ρ(Α Β) = Ρ(Α) +

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

VAN HIELE GEOMETRY TEST * (USISKIN) ΟΔΗΓΙΕΣ

VAN HIELE GEOMETRY TEST * (USISKIN) ΟΔΗΓΙΕΣ VAN HIELE GEOMETRY TEST * (USISKIN) ΟΔΗΓΙΕΣ Μην γυρίσετε την επόμενη σελίδα πριν σας το πουν. Για το test αυτό πρέπει να γνωρίζετε ότι: Δεν επηρεάζει τη βαθμολογία σου στο σχολείο. Χρησιμοποιείται αποκλειστικά

Διαβάστε περισσότερα

Βοηθήστε τη ΕΗ. Ένα µικρό νησί απέχει 4 χιλιόµετρα από την ακτή και πρόκειται να συνδεθεί µε τον υποσταθµό της ΕΗ που βλέπετε στην παρακάτω εικόνα.

Βοηθήστε τη ΕΗ. Ένα µικρό νησί απέχει 4 χιλιόµετρα από την ακτή και πρόκειται να συνδεθεί µε τον υποσταθµό της ΕΗ που βλέπετε στην παρακάτω εικόνα. Γιώργος Μαντζώλας ΠΕ03 Βοηθήστε τη ΕΗ Η προβληµατική της Εκπαιδευτικής ραστηριότητας Η επίλυση προβλήµατος δεν είναι η άµεση απόκριση σε ένα ερέθισµα, αλλά ένας πολύπλοκος µηχανισµός στον οποίο εµπλέκονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

Σχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2

Σχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2 A. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Στα Μαθηµατικά χρησιµοποιούµε προτάσεις οι οποίες µπορούν να χαρακτηριστούν ως αληθείς (α) ή ψευδείς (ψ). Τις προτάσεις συµβολίζουµε µε τα τελευταία µικρά γράµµατα του Λατινικού αλφαβήτου:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Σύντομο ιστορικό σημείωμα: Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών, αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο (~600 π.χ.). Ο Θαλής απέδειξε, ότι η διάμετρος διαιρεί τον κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος

Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος 3. 3.9 ΘΕΩΡΙ. Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος 2. Είδη τριγώνων Ως προς τις πλευρές : Σκαληνό, ισοσκελές, ισόπλευρο. Ως προς τις γωνίες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii)

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii) ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1-13 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ομόσημοι και ποιοι ετερόσημοι; 1 Δίνονται οι αριθμοί: 1,,.1,,, 9, + 3, 3 3.1 Ποιοι από αυτούς είναι θετικοί και ποιοι αρνητικοί;.

Διαβάστε περισσότερα

α. η παροχή γενικής παιδείας, β. η καλλιέργεια των δεξιοτήτων του μαθητή και η ανάδειξη των

α. η παροχή γενικής παιδείας, β. η καλλιέργεια των δεξιοτήτων του μαθητή και η ανάδειξη των ΔΕΠΠΣ ΑΠΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ α. η παροχή γενικής παιδείας, β. η καλλιέργεια των δεξιοτήτων του μαθητή και η ανάδειξη των ενδιαφερόντων του, γ. η εξασφάλιση ίσων ευκαιριών και δυνατοτήτων μάθησης

Διαβάστε περισσότερα

1. Τίτλος: Οι κρυµµένοι τριγωνοµετρικοί αριθµοί Συγγραφέας Βλάστος Αιµίλιος. Γνωστική περιοχή των µαθηµατικών: Τριγωνοµετρία

1. Τίτλος: Οι κρυµµένοι τριγωνοµετρικοί αριθµοί Συγγραφέας Βλάστος Αιµίλιος. Γνωστική περιοχή των µαθηµατικών: Τριγωνοµετρία 1. Τίτλος: Οι κρυµµένοι τριγωνοµετρικοί αριθµοί Συγγραφέας Βλάστος Αιµίλιος Γνωστική περιοχή των µαθηµατικών: Τριγωνοµετρία Θέµα- Σκεπτικό της δραστηριότητας. Η ιδέα πάνω στην οποία έχει στηριχτεί ο σχεδιασµός

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 12. Κώνσταντινος Π. Χρήστου 1

Μάθηµα 12. Κώνσταντινος Π. Χρήστου 1 Μάθηµα 12 Κώνσταντινος Π. Χρήστου 1 Προϊόν της αξιολόγησης Process product research Ορισµός των παραγόντων που καθιστούν τη διδασκαλία αποτελεσµατική Εξαρτάται από τους στόχους, την ιδεολογία, τα ιδεώδη

Διαβάστε περισσότερα

Το σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί με τη χρήση του Cabri Geometry II.

Το σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί με τη χρήση του Cabri Geometry II. 9.2.3 Σενάριο 6. Συμμεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωμετρία Β Λυκείου. Συμμεταβολή μεγεθών. Εμβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστημα συντεταγμένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη

Διαβάστε περισσότερα

Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Γ Γυμνασίου» των Δημητρίου Αργυράκη, Παναγιώτη Βουργάνα, Κωνσταντίνου Μεντή, Σταματούλας Τσικοπούλου, Μιχαήλ Χρυσοβέργη, έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτές Συναρτήσεις και Ανισώσεις Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο e-mail: zenon7@otenetgr Ιούλιος-Αύγουστος 2004 Περίληψη Το σχολικό ϐιβλίο της Γ Λυκείου ορίζει σαν κυρτή (αντ κοίλη)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΑΣΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΕΝΑΝΤΙ ΤΗΣ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΜΕ Η ΧΩΡΙΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ

ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΑΣΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΕΝΑΝΤΙ ΤΗΣ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΜΕ Η ΧΩΡΙΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ 556 3 Ο ΣΥΝΕ ΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΑΣΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΕΝΑΝΤΙ ΤΗΣ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΜΕ Η ΧΩΡΙΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ Ματούλας Γεώργιος άσκαλος Σ Ευξινούπολης

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ. Σύνδεση της εμπειρίας των μαθητών με το διδακτικό αντικείμενο

ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ. Σύνδεση της εμπειρίας των μαθητών με το διδακτικό αντικείμενο 1 ΠΕΚ ΠΑΤΡΩΝ Α' ΦΑΣΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗΣ 2010-2011 ΕΚΠ/ΚΩΝ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΗΣ: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ ΠΑΠΑΣΑΒΒΑΣ ΔΙΠΛ. ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ Ε.Μ.Π., Msc Υ/ΝΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα

Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα Σενάριο 3. Τα µέσα των πλευρών τριγώνου Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα τριγώνων, τριγωνοµετρικοί αριθµοί περίµετρος και εµβαδόν.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για τη διδασκαλία µαθηµάτων Πληροφορικής του Ενιαίου Λυκείου

Οδηγίες για τη διδασκαλία µαθηµάτων Πληροφορικής του Ενιαίου Λυκείου Οδηγίες για τη διδασκαλία µαθηµάτων Πληροφορικής του Ενιαίου Λυκείου Εγγραφο Γ2/4769/4-9-1998 ΣΧΕΤ. 2794/23-6-98 έγγραφο του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου Σας αποστέλλουµε οδηγίες για τη διδασκαλία των µαθηµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρµοσµένη ιδακτική των Φυσικών Επιστηµών (Πρακτικές Ασκήσεις Β Φάσης)

Εφαρµοσµένη ιδακτική των Φυσικών Επιστηµών (Πρακτικές Ασκήσεις Β Φάσης) Πανεπιστήµιο Αιγαίου Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης Μιχάλης Σκουµιός Εφαρµοσµένη ιδακτική των Φυσικών Επιστηµών (Πρακτικές Ασκήσεις Β Φάσης) Παρατήρηση ιδασκαλίας και Μοντέλο Συγγραφής Έκθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης Επιμορφωτικό Εργαστήριο Διδακτικής των Μαθηματικών Του Δημήτρη Ντρίζου Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου, Κεφάλαιο 1ο

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου, Κεφάλαιο 1ο 1 Ερωτήσεις θεωρίας Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1. Τι ονομάζουμε μονώνυμο;. Τι ονομάζουμε ρητή αλγεβρική παράσταση; 3. Ποιες τιμές δεν μπορούν να πάρουν οι μεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΡΧ. ΜΑΚΑΡΙΟΥ Γ - ΠΛΑΤΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 015 ΒΑΘΜΟΣ : ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αριθμητικά.. ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 1/6/015 ΒΑΘΜΟΣ:... ΤΑΞΗ: Α Ολογράφως:... ΧΡΟΝΟΣ: ώρες

Διαβάστε περισσότερα

Σχέδιο Μαθήματος - "Ευθεία Απόδειξη"

Σχέδιο Μαθήματος - Ευθεία Απόδειξη Σχέδιο Μαθήματος - "Ευθεία Απόδειξη" ΤΑΞΗ: Α Λυκείου Μάθημα: Άλγεβρα Τίτλος Ενότητας: Μέθοδοι Απόδειξης - Ευθεία απόδειξη Ώρες Διδασκαλίας: 1. Σκοποί Να κατανοήσουν οι μαθητές την διαδικασία της ευθείας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 90 Α. Πότε μια αλγεβρική παράσταση λέγεται μονώνυμο και από ποια μέρη αποτελείται; Β. Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια;. Τι λέγεται πολυώνυμο; Θέμα ο Α. Να διατυπώσετε την πρόταση που είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση δραστηριότητας- φύλλο εργασίας

Ανάλυση δραστηριότητας- φύλλο εργασίας Ανάλυση δραστηριότητας- φύλλο εργασίας Τίτλος : Δύο δραστηριότητες σε ευθεία-κύκλο. α) Η «χρυσή ευθεία» β) οι γεωμετρικοί τόποι μιας οικογένειας κύκλων. Τάξη: Δίωρο μάθημα σε μαθητές Β λυκείου σε αίθουσα

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o A. Θεωρία σελ. 7 Β. Θεωρία σελ. 47 Γ. α. Σωστό β. Σωστό γ. Σωστό δ. Λάθος (βρίσκεται "κάτω" από τη γραφική παράσταση) ε. Λάθος (π.χ. ()

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

4 η ΕΚΑ Α. = g(t)dt, x [0, 1] i) είξτε ότι F(x) > 0 για κάθε x (0, 1] ii) είξτε ότι f(x)g(x) > F(x) για κάθε x (0, 1] και G(x) για κάθε x (0, 1]

4 η ΕΚΑ Α. = g(t)dt, x [0, 1] i) είξτε ότι F(x) > 0 για κάθε x (0, 1] ii) είξτε ότι f(x)g(x) > F(x) για κάθε x (0, 1] και G(x) για κάθε x (0, 1] ΜΑΘΗΜΑ 48 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 η ΕΚΑ Α 3. Έστω f συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο [, ], µε f() >. ίνεται επίσης συνάρτηση g συνεχής στο [, ], για την οποία ισχύει g() > για κάθε [, ] Ορίζουµε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013 ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 3 Εισαγωγή Μέσα Μαΐου και ο πυρετός των Πανελλαδικών όλο και ανεβαίνει! Οι μαθητές ξεκοκαλίζουν τα βιβλία για να ανακαλύψουν δύσκολα θέματα διαφορετικά από αυτά που κυκλοφορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα