Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών"

Transcript

1 Διαφορές μεταξύ Αφαλίεων Ζωής και Γενικών Ζωής Αφαλιμένο κεφάλαιο (γνωτό Ένα υμβάν 3 Μικρή εξέλιξη ζημιάς (πχ άνατος, το μααίνεις αμέως Γενικές Μπορεί να είναι γνωτό, μπορεί και όχι (πχ το πίτι αν κατατραφεί τελείως ξέρουμε πόο κάνει,το αυτοκίνητο, τις ατικές ευύνες δεν υπάρχει Όχι απαραίτητα ένα υμβάν (πχ τρακάριμα 3 Μακρά εξέλιξη ζημιών (πχ την ατική ευύνη εργοδοτών υπήρξε έκεη ε καρκινιγόνα χημικά και το γεγονός ανακοινώηκε χρόνια αργότερα Οι παράγοντες τιμολόγηης (rtg fctrs είναι προεγγίεις ε παράγοντες κινδύνου (rsk fctrs (πχ το αυτοκίνητο ένας παράγοντας κινδύνου είναι το πόο καλός οδηγός είναι ένας παράγοντας τιμολόγηης είναι και η ηλικία Αυτοκίνητο Η αφάλιη της ατικής ευύνης από αυτοκίνητα, κοπό έχει να καλύψει την επιβάρυνη της περιουίας του κατόχου ή του κυρίου του αυτοκινήτου με μια απαίτηη τρίτου η οποία προέρχεται από το αυτοκίνητο του αφαλιμένου Στην Ελλάδα, η αφάλιη αυτοκινήτων είναι υποχρεωτικήτα όρια είναι 5 για ωματικές βλάβες και για υλικές ζημιές Στην Αγγλία είναι χωρίς όρια Σε άλλες χώρες έχει όριο ανά άτομο ή ανά ατύχημα Ο αφαλιτής αναλαμβάνει να καλύψει τους παρακάτω κινδύνους: Τον κίνδυνο ατικής ευύνης για υλικές ζημιές, οι οποίες προκαλούνται ε τρίτους b Τον κίνδυνο ατικής ευύνης για ωματικές βλάβες, οι οποίες προκαλούνται ε τρίτους (όχι ε αυτούς οι οποίοι επιβαίνουν το αυτοκίνητο c Τον κίνδυνο ατικής ευύνης του αφαλιμένου προς τους επιβάτες του αυτοκινήτου (με εξαίρεη του οδηγού, είτε πααίνουν ωματικές ή υλικές ζημιές εξαιτίας του αυτοκινήτου d Ίδιες ζημιές του οχήματος με απαλλαγή ή χωρίς απαλλαγή e Πυρκαγιά του οχήματος

2 f Ολική κλοπή του οχήματος g Μερική κλοπή του οχήματος Για τη διαμόρφωη του αφαλίτρου υνήως λαμβάνουμε υπόψη τα ακόλουα τοιχεία και πληροφορίες: Η κατηγορία του οχήματος (ιδιωτικά επιβατικά, ταξί, φορτηγά δημοίας χρήεως, λεοφωρεία δημοίας χρήεως, μοτοικλέτες-μοτοποδήλατς, γερανοί-φορτωτέςγεοτρύπανα-κλπ,με διάφορες υποκατηγορίες b Η ιπποδύναμη του οχήματος c Η έδρα και ο χώρος χρήης του οχήματος(ατικά κέντρα d Οι αναλαμβανόμενοι κίνδυνοι και τα αφαλιζόμενα ποά έναντι του αφαλιζομένου e Η ηλικία του ιδιοκτήτη ή του οδηγού (πχ μέχρι ηλικίας 3 ετών έχουμε επιβάρυνη του αφαλιμένου κατά 3% f Τα χρόνια οδήγηης και έκδοης της άδειας οδήγηης g Η προιτορία του οχήματς, του οδηγού ή του ιδιοκτήτη (t Sstem, Bus Mlus, ατυχήματα (πχ αν ένας οδηγός δεν υποτεί ατύχηα α έχι % μείωη για κάε χρόνο μεανώταο όριο το 5% και αυξάνεται για κάε ζημιά κατά % με ανώτατο όριο το % h Το επάγγελμα Το φύλο Η εξέλιξη ζημιών τον κλάδο των αυοκινήτων, αν αφορά ατική ευύνη προς τρίτους είναι υνήως μεγάλη, ενώ για υλικές ζημιές είναι χετικά μικρή Πιο υχνά, οι μεγάλες ζημιές έρχονται από τετραπληγία (ψυχική οδίνη, έλλειψη ειοδήματος, ιατρικά έξοδα Η υγκέντρψη κινδύνου τα αυτοκίνητα υνήως παρατηρείται το χαλάζι Αφαλίεις Πυρός Οι αφαλίεις πυρός πιτιού μπορεί να αφορά είτετο κτίριο είτε το περιεχόμενο Η αφάλιη από πυρκαγιά εμφανίτηκε κυρίως μετά τη μεγάλη πυρκαγιά του Λονδίνου το 666 Με το βαικό αφαλιτήριο υμβόλαιο πυρός καλύπτονται οι ζημιές που προέρχονται από τις παρακάτω αιτίες από πυρκαγιά από κεραυνό 3 από βραχυκύκλωμα

3 4 από έκρηξη από φιάλη υγραερίου, ερμοίφωνα και λέβητα κεντρικής έρμανης 5 από έξοδα πυρόβεης από την πυροβετική υπηρεία 6 από γειτονική πυρκαγιά 7 από τζάκια και ανάφλεξη μαγειρικού κεύους 8 από απρόβλεπτα γεγονότα, εκτός από εξαιρέεις που αναφέρονται το αφαλιτήριο (όπως πόλεμος, τρομοκρατικές ενέργειες, εμφύλια ύρραξη, ραδιενέργεια, φορά, δόλος Στις τιμολογημένες προήκες ανήκουν οι κίνδυνοι από: ειμό b πολιτικές ταραχές και τρομοκρατικές ενέργειες c βραχυκύκλωμα από πτώη αεροπλάνου, πυρκαγιά από δάος, απώλεια ενοικίων, κίνδυνοι εκρήξεων Για να καοριτεί το αφάλιτρο ενός κινδύνου για πυρκαγιά α πρέπει να έχουμε τα εξής τοιχεία: το είδος και η φύη του αφαλιμένου αντικειμένου ή της οικοδομής (βιομηχανικός ή απλός κίνδυνος Την τοποεία του αντικειμένου (βλέπουμε τη υχνότητα κλοπών, αν απειλείται από πλημμύρα-τυφώνα 3 Την κατακευή του κτιρίου, τον αριμό ορόφων (μπετόν, ξύλα, κατακευή κεπής 4 Τη χρήη των γειτονικών κτιρίων 5 Τα μέτρα πυροπροταίας 6 Τη χρήη κτιρίου (πχ κατακευή πυροτεχνημάτων το υπόγειο 7 Τη ζώνη την οποία ανήκει, δηλαδή αν ανήκει τη ζώνη εκείνη που υπάρχει πυροπροταία (ταμοί πυροβετικής υπηρείας 8 Τη ζώνη την οποία ανήκει το ακίνητο χετικά με την επικινδυνότητα κάε περιοχής το έμα των ειμών 9 Επάγγελμα Ηλικία Το είδος έρμανης Η υγκέντρωη κινδύνου υνήως παρατηρείται ε ειμό ή καταιγίδα 3

4 Έκεης τον κίνδυνο (psed t Rsk Πολλές φορές είναι δύκολο να διαλέξουμε την πιο κατάλληλη μέοδο για τον υπολογιμό του χρόνου έκεης τον κίνδυνο ε αντιδιατολή με τις Αφαλίεις Ζωής όπου ο παρονοματής του δείκτη νηιμότητας-νοηρότητας εκφράζεται ε χρόνο ζωής έκεης τον κίνδυνο Παραδείγματα Αεροναυτιλία (Avt Isurce Δύκολο να ορίουμε ποιος δείκτης ζημιών είναι πιο κατάλληλος πχ (α ζημιές ανά αεροκάφος ανά έτος (β ζημιές ανά χιλιόμετρο (γ ζημιές ανά προεδαφίεις-προγειώεις (δ ζημιές ανά τόνο καταναλώιμα καύιμα Οδική Αφάλιη (Mtr Isurce (α Ζημιές ανά έτος αμαξώματος-δηλαδή ανά χρόνο ε έτη που ο αφαλιμένος είναι εκτεειμένος τον κίνδυνο (epsed t rsk (β Ζημιές ανά χιλιόμετρα οδήγηης Επίης, ανάλογα με τον κίνδυνο που έλουμε να καλύψουμε μπορεί να αλλάζει και ο υπολογιμός έκεης τον κίνδυνο Πχ, αν έλουμε δείκτη για την κλοπή αμαξιού τότε ως έκεη τον κίνδυνο α ήταν πιο κατάλληλος ο χρόνος ε έτη που ο αφαλιμένος είναι εκτεειμένος τον κίνδυνο παρά τα χιλιόμετρα οδήγηης Υπάρχουν γενικά δύο βαικές μέοδοι υπολογιμού της έκεης τον κίνδυνο Απογραφική Μέοδος (cesus methd Για πρακτικούς τρόπους είναι η μέοδος που χρηιμοποιείται πιο υχνά και αυτόματα επιτρέπει να υπάρχουν τερματιμοί-αποχωρήεις-νέα υμβόλαια κατά τη διάρκεια μιας έρευνας Ακριβής Μέοδος (Εct methd Πολύ δύκολη το χειριμό και την πράξηαπαιτεί αυτηρό και ακριβό μηχανογραφικό εξοπλιμό, αλλά μετρά με ακρίβεια (και όχι προεγγιτικά όπως έχουμε την απογραφική μέοδο την έκεη τον κίνδυνο 4

5 Παράδειγμα Έτω ότι τις παρακάτω ημερομηνίες έχουμε καταγράψει τον αριμό των υμβολαίων που βρίκονται ε ιχύ και έλουμε να εκτιμήουμε το ρυμό ζημιών αν ξέρουμε ότι ο αριμός ζημιών μέα το 998 ήταν 364 //98 56 /4/98 67 /7/ // // ( Ετω t ο αριμός των υμβολαίων το χρόνο t, μεταξύ //98-//99, τότε το t α μας δώει το χρόνο υνειφοράς της έκεης τον κίνδυνο το μικρό χρονικό διάτημα dt (υποέτουμε ότι ε αυτό το διάτημα το ρμηνεία: (α ο μέος αριμός υμβολαίων παραμένει ταερό τότε ( t dt (dt t ( t (β ο υνολικός χρόνος έκεης τον κίνδυνο Εδώ, γνωρίζουμε ότι ( 56, (,5 67, ( 5 689, ( , Αν υποέουμε ότι το τιμών ( t t ( dt ( 977 είναι γραμμικό ε κάε χρονικό διάτημα μεταξύ δύο γνωτών,5 ( t dt ( t dt ( t dt [ ( (,5 ],5 [ (,75 ( ] ( t dt 79,9 λ, ,33,9 όπου, λ η εκτίμηη του ρυμού ζημιών μέα το έτος αυτό τότε,5 5

6 Αφάλιτρα (rmums Tα αφάλιτρα μπορούν να διατυπωούν ως μια απεικόνιη από ένα ύνολο τμ (ή κατανομών ε πραγματικούς αριμούς: H[ Z ] Z ο κίνδυνος (ή η οικονομική απώλεια ως τμ το αφάλιτρο H [] η αρχή υπολογιμού αφαλίτρου Αρχές Υπολογιμού Αφαλίτρων Αρχή της Μαηματικής Ελπίδας Η πιο απλή μορφή είναι [ Z ] το κααρό αφάλιτρο κινδύνου (pure rsk premum Από τη εωρία κινδύνων γνωρίζουμε ότι αν εφαρμόουμε ως αρχή τη μέη τιμή του κινδύνου τότε έχουμε χρεοκοπία (ru ακόμη και με αρχικό απόεμα μεγάλο Έτι, έχουμε ότι (ύμφωνα με την ίδια αρχή ( δ [ Z ], όπου δ δηλώνει το περιώριο αφαλείας (securt ldg και εκφράζει την αβεβαιότητα ως προς την απόκλιη του Z από τη [ Z ] καώς και την αβεβαιότητααπόκλιη της εκτίμηης [ Z ] από παλιά τοιχεία ε χέη με την πραγματική, αλλά άγνωτη [ Z ] Αρχή της Τυπικής Απόκλιης και Διαποράς -ldg [ Z ] β [ Z ] -ldg [ Z ] γvr[ Z ] δώ δεχόματε ότι το περιώριο αφαλείας πρέπει να εξαρτάται από το βαμό απόκλιης του Z και όχι απλά να είναι ένα ποοτό της μέης τιμής [ Z ] Αρχή της Μέγιτης Απώλειας [ Z ] ( p M[ Z ], p p Αν M [ Z], τότε ο κίνδυνος Z είναι μη-αφαλίιμος Διαφορετικά μπορούμε να επιλέξουμε ένα ε> και να βρούμε το ελάχιτο για το οποίο ιχύει η ανιότητα 6

7 ( Z ε, δηλαδή να βρούμε ένα ημείο Χ πέραν του οποίου εωρούμε την πιανότητα αμελητέααν το ελάχιτο αυτό είναι ε p Z p ξ έτουμε [ ] ( ξε Αρχή της Μέης Τιμής f ( [ f ( Z ], όπου f μια υνεχής και αυτηρά μονότονη υνάρτηη το πεδίο οριμού του φραγμένου κινδύνου z Ελβετική Αρχή f (( p [ f ( z p],όπου f μια υνεχής και αυτηρά μονότονη υνάρτηη και p [,] Αν p, τότε έχουμε την αρχή της μέης τιμής Αρχή Orlcz z φ φ(, όπου φ υνάρτηη : φ > και φ Αρχή sscher z [ ze ] z [ ] e Αρχή της Ωφελιμότητας Η αρχή εκφράζει την πεποίηη ότι οι οικονομικές αποφάεις δε λαμβάνονται με γνώμονα την αντικειμενική αξία ενός χρηματικού ποού (πχ με βάη την αγορατική δύναμη του ποού, αλλά τη ημαία-ωφελιμότητα που έχει το ποό για το λήπτη της απόφαης Ο Berull αρχικά διατύπωε το νόμο της φίνουας οριακής ωφελιμότητας όπου ιχύει ότι η αύξηη την ωφελιμότητα (u από προαύξημα τον ήδη υπάρχοντα πλούτο είναι πάντα αντιτρόφως ανάλογη προς το Παραδείγματα τέτοιων υναρτήεων ωφελιμότητας είναι: u (, ( ( ( ( e,( > u, u l, u Και άτομα που τα χαρακτηρίζουν τέτοιου είδους υναρτήεις (δηλαδή όταν u > και u < λέγονται κινδυνοφόρα Στην άλλη πλευρά είναι ο κινδυνολάτρης όταν ιχύει u > και u > 7

8 u ( u (, u ( l (, u ( e, ( e Πχ, u Μαηματική Διατύπωη της Αρχής της Ωφελιμότητας Αν είναι ο κίνδυνος, G το αφάλιτρο και u η υνάρτηη ωφελιμότητας τότε το μέγιτο αφάλιτρο G m (άγνωτο που το άτομο είναι διατεειμένο να καταβάλει για να αφαλιτεί έναντι κινδύνου είναι: u ( G m [ u( ], όπου τα περιουιακά τοιχεία του ατόμου Επίης, το ελάχιτο αφάλιτρο G m προκειμένου να αφαλίει τον κίνδυνο είναι: που ο αφαλιτής είναι διατεειμένος να δεχτεί u ( [ u( G ] m, όπου τα περιουιακά τοιχεία του αφαλιτή Η υνήκη για ύναψη αφάλιης είναι αν Gm G m Τέλος, το μέγιτο ποό κ που είναι διατεειμένος κάποιος να καταβάλει την περίπτωη που αξιοόγεί το ενδεχόμενο να αποκτήει το δικαίωμα ε τυχαίο κέρδος χ (πχ ( [ ( ] λαχείο η αρχή είναι: u u k Πρόταη:Ένα κινδυνοφόρο άτομο είναι διατεειμένο να καταβάλει αφάλιτρο μεγαλύτερο από το [( ] για κίνδυνο Απόδειξη Από την Ανιότητα Jese ξέρουμε ότι: Αν X τμ και φ κυρτή, δηλαδή >, [ ] [ [ ] φ <, φ( X φ X και αν ιχύει ότι [ u( ] u[ [ ] ( u ( Gm [ u( ] G [] G m ( u m φ τότε [ ( X ] φ[ [ X ] φ και αν φ κοίλη, δηλαδή φ (πχ φ ( β τότε [ ( X ] φ[ [ X ]] φ Εδώ, ( [ ] u( [] u( Gm u( [] [] Αλλά ξέρουμε ότι ιχύει u u > Παράδειγμα Αν u ότι ( e και ~ ( μ, t τότε ξέρουμε ότι M ( t [ e ] μ t t e Τότε έχουμε 8

9 ( G ( ( G [ u( ] e e u G G [ ] e e e [ e ] e M ( G l( M ( G μ G μ δηλαδή, αρχή υπολογιμού ύμφωνα με το νόμο της διαποράς Έτι, διαπιτώνουμε ότι η αρχή της μαηματικής ελπίδας βρίκεται ε μεγάλη αναντιτοιχία με την οικονομική υμπεριφορά των ανρώπων Η εωρία της ωφελιμότητας αποτελεί μια απόπειρα να εξηγηούν οι αποκλίεις από την αρχή της μαματικής ελπίδας και ταυτόχρονα αντανακλά την αποψη ότι δεν ενδείκνυται η χρήη της μαηματικής ελπίδας τα χρηματικά ποά Το αφάλιτρο που καταβάλλεται τελικά από τον αφαλιμένο είναι μεγαλύτερο από αυτό που προκύπτει από την οποιαδήποτε αρχή υπολογιμού, διότι περιλαμβάνει προβλέψεις για έξοδα, προμήειες τυχόν διαμεολαβούντα πρόωπα και τυχόν φόρους και τέλη Επιυμητές Ιδιότητες των Υπολογιμού του Αφαλίτρων Για τις αρχές υπολογιμού των αφαλίτρων έχουν διατυπωεί διάφορες επιυμητές ιδιότητες όπως: [] ( z m z Η χέη m [] z ( z αντανακλά την ανάγκη να υπάρχει κάποιο περιώριο αφάλειας Η χέη αντανακλά το μη αέμιτο πλουτιμό του αφλιτή, ε διαφορετική περίπτωη α καιτουε περιττό τον υπολογιμό αφαλίτρου z z z ( ( ( z όπου ( z z αφάλιτρο για τον κίνδυνο ( z z ( ( c 3 z c z, c ταερά ( ( 4 zc c z, c ταερά 5 ( z z ( z ( z Στοιχεία από τη εωρία Πιανοτήτων και τη εωρία Bes Οριμός Αν Α και Β γεγονότα: B τότε η δεμευμένη πιανότητα του Α δεδομένου του Β να είναι ( A B ( ( A και ( B ( A B ( B B 9

10 Θεώρημα Bes ( ( A B Έτω Α και Β γεγονότα: B τότε Απόδειξη ( B A ( A B ( A ( A B ( B A (A ( B A ( A ( B τότε ( A B ( A B ( B ( B A ( A ( B Σημείωη: Εφόον η τιμή ( B ( A B c (A ή ( A B ( B A ( A δεν εξαρτάται από το Α μπορούμε να εωρήουμε ότι Θεώρημα Ολικής Πιανότητας Έτω A,, μετρήιμη οικογένεια γεγονότων: A A A, (ξένα μεταξύ τους Ω, όπου Ω δειγματικός χώρος, δηλαδή τα αποτελούν μια A διαμέριη του Ω τότε ιχύει ότι Απόδειξη ( B ( B A ( A ( B [ B Ω] B A ( B A { με { } { B A } { B A } B [ B A ] } B A [ A ] I A A B ξένα μεταξύ τους γιατί [ ] Οριμός Έτω Χ διακριτή τμ με τιμές [] [ ],, τότε η μέη τιμή της X είναι: Οριμός Η δεμευμένη μέη τιμή της Χ δεδομένου ενός γεγονότος A (δεδομένου λοτι το γεγονός αυτό έχει υνβεί είναι [ A ] [ A ]

11 Θεώρημα Αν A [ ], A, αποτελούν διαμέριη του Ω και διακριτή τμ με τότε [] [ A ] [ A ] Απόδειξη [] [ [ ] [ ( ( ] ( Από τον τύπο της ολικής πιανότητας έχουμε ότι A ] [ A ] ( [] ( A ( A [ A ] ( A ( A ( A ( A [ A ] Προέκταη του Θεωρήμα Bes Αν c, c,, c κ μια διαμέριη του Ω τότε ( c A ( A c ( c κ,,,,κ ( A c ( c Παράδειγμα Μια αφαλιτική εταιρία γενικών αφαλίεων για αυτοκίνητα χωρίζει τους οδηγούς ε Αφαλείς, Μέτριους και Κακούς και ξέρει ότι ( A, ( Μ 5, ( K 3 υμβολίουμε με Ε το ενδεχόμενο να έχει κανείς τουλάχιτον ένα δυτήχημα κατά τη διάρκεια του έτουςη εταιρεία ξέρει ότι: ( A 5, ( Μ 5, ( K 3 Ας άν ένας από τους αφαλιμένους της εταιρίας δεν έχει κανένα δυτήχημα κα`όλη τη διάρκεια ενός έτους, ποια η πιανότητα να είναι Αφαλής οδηγός; Λύη c ( A c ( A ( A c c c ( A ( A ( M ( M ( K ( K όχι και τόο μεγάλη πιανότητα

12 Θεωρήμα του Bes με όρους τμ ( f ( f ( ( f ( ( f ( f f f d Έτι, η -psterr κατανομή είναι ανάλογη της -prr κατανομής επί της υνάρτηης πιανοφανειας (lkelhd fuct Δεμευμένες τμ και κατανομές Έτω ε κιλά ενός τρέμματος και η ποότητα ε κιλά λιπάματος που χρηιμοποιείται Μια από τις πουδαίες χρήεις της υνκατανομής των (, είναι η πρόβλεψη της απόδοης δεδομένου ότι χρηιμοποιήηκε ποότητας Χ (πχ κιλά λίπαμα Μας ενδιαφέρουν λοιπόν οι υνάρτήεις της μορφής F ( ( Y X και ( Y X Οριμός Έτω διακριτή τμ z (, υναρτήεις Δεμευμένη μπ υπό υνήκες: με υνκατανομή ( z (, ( ( : [ Y X ] Ορίζουμε τις ακόλουες ( X, Y [ X ] (, (, ( ( Εφόον X b Δεμευμένη κ ή υπό υνήκη: (, (, F ( F ( : ( Y X ( { Y } { X } ( X (, X ( X Y ( Εφόον Παρατηρούμε ότι ( ( ( X, Y ( X ( X ( X Y X,

13 ( δηλαδή : η ( είναι μπ Μπορούμε λοιπόν να ορίουμε ως προς αυτήν την μπ μέη τιμή, διαπορά, ροπές, κλπ όπως και τις αδέμευτες κατανομές Οριμός ( Έτω διακριτή τμ, R Η υνάρτηη (ως προς μ ( [ Y X ] : ( : ( Y καλείται εμευμένη (ή υπουνήκες μέη τιμή της Υ όταν Χ εφόον υπάρχει, δηλαδή ( μέη τιμή ορίζεται η μέη τιμή της δεμευμένης κατανομής Δηλαδή αν δεμευμένη Ανάλογα ορίζονται η ροπογεννήτρια και οι ροπές τάξεως και έτι η δεμευμένη διαπορά ( ορίζεται ως η διαπορά της δεμευμένης κατανομής : : ως {( X } μ( ( Δ ( Y X : Y ( Y X ( ( Y X Y Y ( [ Y X ] Y Εξαιρετικά χρήιμη τις εφαρμογές είναι η ακόλουη μορφή του τύπου της ολικής πιανότητας: ( (, ( (, εφόον : ( Αν οι, είναι ανεξάρτητες τότε ( ( X, Y ( X ( X ( Y ( X Y και ανάλογα ( ( Y F ( F ( και [ Y X ] [ Y ] Y κλπ Παράδειγμα Έτω τμ ~ ( λ και ( μ ~ και έτω, ανεξάρτητες Αν z: να δείξετε ότι z z ~ Δ z, : λ, z,,, λ μ δηλαδή z z ( z ( p ( p,,,,, z Απόδειξη 3

14 Ξέρουμε ότι ( λ μ z ~ τότε ( z ( k z k zk z λ μ z k zk ( ( p ( p λ μ λ μ z ( k, z ( z ( k, z ( Z z e e λ k λ e μ z k! ( z ( λ μ ( λ μ z! μ! z ( ( ( z z k zk Επίης, μπορούμε να έχουμε ότι F k z k p p,,,, μ ( z [ Z z] zp ( z zp( p k Οριμός Έτω, τμ και έτω ότι : ( ορίζεται η μ ( [ Y X ] τυχαία μεταβλητή [ Y X ]: μ(, (δηλαδή υνάρτηη της, τότε ορίζουμε την τμ αν δεμευμένη μέη τιμή της Υ δεδομένης της Χ χωρίς να δεμεύουμε την Χ ε κάποιο υγκεκριμένο S Ανάλογα, ορίζουμε τις τμ της δεμευμένης ροπογεννήτριας και δεμευμένων ροπών τάξεως κ, πχ η δεμευμένη διαπορά της Υ δεδομένης της Χ είναι V [ Y X ]: (, ( : Δ( Y X όπου, S Στο προηγούμενο πχ βρήκαμε ότι ( z [ X Z z] zp μ και ( z Δ ( X Z z zp( p Επομένως, [ X Z] μ( z zp ( z Δ ( X Z zp( p [ [ X Z ] [ μ( z ] [ pz] p z [ z] p( λ μ λ [ ] z z Σχόλιο : Αυτή η χέη ιχύει γενικότερα z και Παρατηρούμε ότι Πρόταη [ ] [ Y ] Έτω, τμ και μ ( τότε [ Y X ] Απόδειξη 4

15 [ ] [ ] ( [ ] ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( [ ] Y X Y μ μ Η πρόταη αυτή είναι εξαιρετικά χρήιμη τη εωρία και τις εφαρμογές είναι δε ιχυρό εργαλείο για να υπολογίουμε δύκολες μέες τιμές Παράδειγμα Έτω με,,, ( λ ~ και ( p m, Δ ανεξάρτητη των άλλων Υπολογείτε την Λύη ( ( ( ( [ ] ( ( ( mp mp mp mp λ μ μ μ Για τη δεμευμένη διαπορά έχουμε το αντίτοιχο αποτέλεμα Πρόταη Έτω, τμ και τότε ( ( ( { } ( { } ( [ ] ( ( X Y X Y Y μ Δ Δ Δ Δ Απόδειξη ( { } ( ( [ ] { } ( { } ( { } ( [ ] { } ( ( [ ] ( [ ] [ ] { } ( ( ( X Y Y X Y X Y Y X Y Y X Y X Y X Y X Y X Y Δ Δ Δ Δ Στο πχ βρήκαμε ότι ( [ ] zp z Z X z μ και ( ( ( p zp z Z X z Δ τότε έχουμε ότι ( [ ] ( ( ( ( μ z λ p p z p p ( [ ] ( ( ( μ λ μ Δ Δ Δ p z p pz z και παρατηρούμε ότι ( [ ] ( ( ( [ ]( ( ( p p p p z z Δ Δ λ μ λ μ λ μ 5

16 Άκηη Να βρείτε την του πχ Δ Πόριμα Αν ανεξάρτητες τμ με ίδιες πρώτες και δεύτερες ροπές και αν ο αριμός των ζημιών Ν είναι ανεξάρτητος από το ύψος ζημιάς, τότε η αναμενόμενη τιμή της τμ S : είναι ( S S ( ( Απόδειξη ( ( ( ( ( ( ( ( ( S S Διαφορετικά, ( ( [ ] ( [ ] S S μ Αλλά,, οπότε ( ( ( S μ ( ( ( ( ( S Πόριμα ( ( ( ( ( ( Vr Vr S Vr Απόδειξη Από την πρόταη ( ( { } ( { } ( [ ] ( ( X Y X Y Y μ Δ Δ Δ Δ, αντικαιτούμε όπου ΥS και ΧΝ, τότε α έχουμε ( ( [ ] ( ( ( ( ( ( Vr Vr Vr Vr Vr Vr S Vr 6

17 Στοιχεία από τη εωρία Βes Έτω η παράμετρος (άγνωτη που έλουμε να εκτιμήουμε και ( f η πιανότητα που καορίζει την πιανότητα παρατήρηης διαφορετικών τιμών, κάτω από διαφορετικές τιμές της παραμέτρου Η εμελιώδης διαφορά με την κλαική τατιτική υμπεριματολογία είναι ότι η χρηιμοποιείται αν τυχαία ποότητα Η υμπεριματολογία κατά Βes βαίζεται την f ( και όχι την f (, δηλαδή βαίζεται την πιανότητα της κατανομής της παραμέτρου δεδομένης της και όχι της δεδομένης της παραμέτρου και για να επιτευχεί αυτό πρέπει να καορίουμε την -prr κατανομή f ( (prr prbblt dstrbut η οποία αντιπροωπεύει τις πεποιήεις μας για την κατανομή του προτού αποκτήουμε οποιαδήποτε πληροφορία για τα δεδομένα μας Έτι, η υμπεριματολογία κατά Βes βαίζεται την ( εξαρτάται (μέω του εωρήματος Βes : f ( f την -prr κατανομή της οποίας ( f ( ( f ( d f από τον τρόπο f καοριμού της -prr κατανομής f (, f ( f ( f ( όπου ( f η υνάρτηη πιανοφάνειας (lkelhd fuct Ο παρονοματής είναι υνάρτηη μόνο του, οπότε για δεδομένες παρατηρήεις είναι ταερά και ονομάζεται ταερά κανονικοποίηης Η ημερινή -psterr είναι η αυριανή -prr Το επόμενο ερώτημα που προκύπτει την Μπευζιανή εωρία είναι πως α μειώουμε την πληροφορία την -psterr κατανομή, ώτε να έχουμε μια μοναδική άριτη εκτιμήτρια Για τη λύη του προβλήματος α πρέπει να καορίουμε μια υνάρτηη απώλειας L (, η οποία α μετρά την ποινή μας όταν εκτιμούμε την παράμετρο μέω της αεκτιμήτρια Οι πιο υνιιμένες υναρτήεις είναι οι εξής: I Δευτεροβάμια Συνάρτηη Απώλειας (Qudrtc Lss L (, ( II Συνάρτηη Απώλειας Απολύτου Σφάλματος (Abslute rrr Lss L(, ( III - Απώλεια (Lss L g (, { h( ( ανα>, g> ανα< h> Σε κάε μία από τις παραπάνω περιπτώεις, με την ελαχιτοποίηη της -psterr αναμενόμενης απώλειας, δηλαδή την ελαχιτοποίηη της [ L(, ] μπορούμε να βρούμε 7

18 απλές μορφές για τους κανόνες αποφάεων του Βes, οι οποίες εωρούνται ημειακές εκτιμήεις για την παράμετρο, για τη υγκεκριμένη επιλογή της υνάρτηης απώλειας Παράδειγμα Αν L(, ( [( ] ( f ( τότε ( [ ] [ ] f ( ( ( f ( d [ ( ] [ ( ] f ( Vr ( [ ( ] d d d [ ( ] f ( Και ελαχιτοποιείται όταν (, δηλαδή η απόφαη ύμφωνα με τη εωρία του Βes είναι να εκτιμήουμε την παράμετρο μέω της αναμενόμενης τιμής της -psterr κατανομής και έτι η ελάχιτη αναμενόμενη απώλεια είναι η -psterr διακύμανη Ανάλογα αποτελέματα έχουμε όπως την Γραμμική υνάρτηη απώλειας ο εκτιμητής κατά Βes είναι η διάμεος της -psterr κατανομής (η υνάρτηη απώλειας απολύτου φάλματος είναι μία ειδική περίπτωη της γραμμικής υνάρτηης απώλειας αν έουμε hg και την - υνάρτηη απώλειας ο εκτιμητής κατά Βes είναι η κορυφή (mde της - psterr κατανομής Τέλος, παρατηρούμε ότι την Μπευζιανή υμπεριματολογία χρηιμοποιούμε έναν ταμιμένο μέο όρο της πιανοφάνειας (παρά την μεγιτοποίηή της με βάρη την -prr κατανομή Συζηγείς -prr κατανομές Η χρηιμοποίηη του εωρήματος του Βes υνεπάγεται αρκετές υπολογιτικές δυκολίες όταν είναι απαραίτητος πολλές φορές ο υπολογιμός της ταεράς κανονικοποίηης ( ( ( f f f ( f ( f ( d για τον υπολογιμό της f ( f Πολλές φορές προκύπτει ότι ακόμα και απλές επιλογές των -prr κατανομών μπορούν να οδηγήουν ε δύκολα (αριμητικά προβλήματα υπολογιμών τέτοιου είδους ολοκληρώματος Παρόλα αυτά ε πολλές περιπτώεις η απλοποίηη των υπολογιμών που προφέρουν περιπτώεις όπου καορίζουμε μια -prr κατανομή και η -psterr που προκύπτει να ανήκει την ίδια οικογένεια κατανομών είναι εντυπωιακή Τέτοιου είδους κατανομές λέγονται υζηγείς -prr κατανομές Μπορούμε να δείξουμε ότι η μόνη περίπτωη την οποία οι d 8

19 υζηγείς -prr κατανομές μπορούν να προκύψουν εύκολα είναι για τα μοντέλα δεδομένων τα οποία ανήκουν την εκετική οικογένεια κατανομών Ο παρακάτω πίνακας παρουιάζει πολλές από τις υνηιμένες υζηγείς -prr κατανομές Πιανοφάνεια -prr -psterr ~ Δ (, ~ Bet ( p, q ~ Bet( p, q ( ~ J ( ~ J ( p, q, ~ J (, ~ J ( p, q k ~ J ( p k, q ~ Bet p, q ~ Bet( p, q, ~ G( ( ~ AΔ ( r, ~ Bet ( p, q ~ Bet( p r, q r, ~, ~ b, c ~ cb τ, c τ c τ Όπου, τ και κ γνωτά, Δδιωνυμική, JΓάμμα, GΓεωμετρική και ΑΔΑρνητική Διωνυμική Κατανομή πρόγνωης Ως τώρα είδμε μεόδους εκτιμηης παραμέτρων Αυτό που μας ενδιαφέρει όμως τις Γενικές Αφαλίεις είναι η διεξαγωγή προβλέψεων χετικά με τις μελλοντικές τιμές των κααρών αφαλίτρων (ή των υχνοτήτων ζημιών Στη διεξαγωγή προβλέψεων για μελλοντικές τιμές με βάη την εκτίμηη μοντέλων έχουμε δύο πηγές αβεβαιότητας: I Αβεβαιότητα τις τιμές της παραμέτρου οι οποίες έχουν εκτιμηεί με βάη προηγούμενα δεδομένα και II Αβεβαιότητα η οποία οφείλεται το γεγονός ότι κάε μελλοντική τιμή από μόνη της ένα τυχαίο γεγονός Στην κλαική τατιτική είναι υνήες να προαρμόζουμε ένα μοντέλο τα ήδη υπάρχοντα δεδομένα και να κάνουμε προβλέψης με την υπόεη ότι το μοντέλο μας είναι ωτό και η διαδικαία αυτή ονομάζεται εκτιμητική προέγγιη (estmtve pprch Έτι, η προέγγιη αυτή α ήταν για παράδειγμα η εύρεη του εκτιμητή μεγίτης Πιανοφάνειας της παραμέτρου f, δηλαδή την κατανομή και η υμπεριματολογία α βαιζόταν την κατανομή ( εκτίμηης Αυτή, η προέγγιη τηρίζεται μόνο τη δεύτερη πηγή αβεβαιότητας Αντίετα, το 9

20 πλαίιο της εωρίας του Βes οι δύο πηγές αβεβαιότητας καταμερίζονται την αβεβαιότητα της εκτίμηης των παραμέτρων Ας υποέουμε ότι έχουμε τα δεδομένα ( πυκνότητας πιανότητας ( ή υνάρτηη πιανοφάνειας ( μιας μεταβλητής με υνάρτηη, και έλουμε να εξάγουμε υμπεράματα χετικά με την κατανομή της μελλοντικής τιμής μέα από τη διαδικαία αυτή Με μια -prr κατανομή f ( το εώρημα του Βes Bs Credblt Θεωρούμε ένα prtfl το οποίο αποτελείται από I- αφαλιμένους κινδύνους, έτω,,, I Σε μια προκαοριμένη αφαλιτική περίοδο, ο -κίνδυνος δημιουργεί : έναν ζημιών (clms έτω ( ν με ύψος ζημιών Y ( v,,, 3 τα οποία μαζί,μας δίνουν τη υνολική ζημιά Y ν ( ν Η βαική ιδέα για την τιμολόγηη του κινδύνου είναι ο προδιοριμός του κααρού (pure ή μαηματικού αφαλίτρου ( Ο κλαικός τρόπος υποέτει ότι, με βάη κάποια αντικείμενα ποοτικά χαρακτηριτικά, ο κίνδυνος μπορεί να ταξινομηεί ε ομοιογενή ομάδες κινδύνων και έτι από τη τατιτική εωρία (υγκεκριμένα από το νόμο των μ εγάλων αριμών να προδιοριτεί το κααρό αφάλιτρο με ακρίβεια Στην πραγματικότητα όμως είναι φανερό ότι ένας τεράτιος αριμός από παράγοντες (fctrs υνειφέρουν την εκτίμηη του αφαλίτρου αυτού Έτι, για να καταλήξουμε ε ομοιογενείς τάξεις (ως προς τον κίνδυνο α πρέπει να υποδιαιρέουμε το prtfl ε ένα μεγάλο αριμό τάξεων (clsses, με κίνδυνο να καταλήξουμε ναι μεν,ε αποδεκτές ομοιογενείς τάξεις, αλλά με μικρή τατιτική πληροφορία μέα ε κάε τέτοια τάξη Από την άλλη,αν δε χωρίουμε το prtfl τον απαραίτητο αριμό τάξεων τότε η αναγκαία ομοιογένεια ως προς την τιμολόγηη χάνεται Επιπροέτως,υπάρχει και το «αξίωμα» ή η άποψη ότι δεν μπορούμε να έχουμε ομοιογενείς τάξεις κινδύνων την αφάλιη, διότι κάποια χαρακτηριτικά που επιδρούν ε αυτήν την ομοιογένεια δε υμπεριλαμβάνονται γιατί

21 ίως είναι μη προδιορίιμα ποοτικά (πχ η οδική υμπεριφορά ενός ατόμου,η εργαιακή ατμόφαιρα μιας εταιρίας ίως είναι πρακτικά δύκολα να τα ελεκτούνε (πχ τα υνολικά χιλιόμετρα οδήγηης ενός αφαλιμένου ίως γιατί είναι ηικά μη αποδεκτά (πχ το φύλο ή η ενικότητα ενός αφαλιμένου τελικά ίως να μην υπάρχει τατιτική επάρκεια το υπούνολο των αφαλιμένων που εξετάζουμε Ωτόο, το πρόβλημα παραμένει τι πρέπει κάποιος να ξέρει και να κάνει έτι ώτε να βρει «δίκαια» αφάλιτρα Κατά γενική ομολογία ιχύουν τα εξής: Κάε έκεη τον κίνδυνο ενός υγκεκριμένου κινδύνου (αφαλιμένου επιδρά την τιμολόγηη Ωτόο, η παρατηρούμενη εμπειρία ζημιών ενός ατόμου είναι τόο περιοριτική για να είναι τατιτικά επαρκής, Κάε ατομικός κίνδυνος αποτελεί κομμάτι του υνολικού κινδύνου Η υνολική εμπειρία ζημιών πράγματι μας προφέρει επαρκή τατιτική πληροφορία και μπορεί να χρηιμοποιηεί για τον υπολογιμό ενός μέου αφαλίτρου Ωτόο, αυτή η πληροφορία δεν περιλαμβάνει και δεν αξιοποιεί ποιοτικά υτατικά για κάε μεμονωμένο κίνδυνο Διαιητικά, είναι φανερό ότι και οι δύο παραπάνω πηγές από πληροφορίες α πρέπει να χρηιμοποιηούν για μια δίκαιη τιμολόγηη των κινδύνων Αυτός είναι και ο κοπός της credblt εωρίας η οποία είναι (α ένα μαηματικό εργαλείο για την περιγραφή ομοιογενών ομάδων (β απαντά το ερώτημα πως μπορεί κάποιος να υνδυάει την ατομική και την ομαδική εμπειρία ζημιών (γ ανήκει μαηματικά την περιοχή της Μπευζιανής τατιτικής Έτω, ότι ένας ατομικός κίνδυνος δίνει υνολικές ζημιές,,,, όπου δηλώνει το ύψος της υνολικής ζημιάς την αφαλιτική -περίοδο (πχ -έτος Με βάη τις παρατηρήεις τις προηγούμενες περιόδους T (,,, έλουμε να προδιορίουμε το κααρό αφάλιτρο για τις υνολικές ζημιές ε μια μελλοντική περίοδο, έτω

22 Οι υνήεις υποέεις που κάνουμε είναι οι εξής: Α:Όλα είναι ιόνομα κατανεμημένα με (δεμευμένη υνάρτηη κατανομής ( Α: Οι τμ είναι (δεμευμένα ανεξάρτητες F Στην αφαλιτική πρακτική η κατανομή F είναι άγνωτη και διαφέρει από κίνδυνο ε κίνδυνο Αυτό είναι ιοδύναμο με ότι το είναι άγνωτο και διαφέρει από κίνδυνο ε κίνδυνο Γενικά, δηλώνουμε ότι το είναι τοιχείο ενός χώρου Θ και μπορεί να αποτελεί το «προφίλ κινδύνου» Οριμός : T ωτό ή δίκαιο ατομικό αφάλιτρο ενός κινδύνου με προφίλ κινδύνου είναι d ( μ( : [ ] ( Έτι, το πρόβλημα της ατομικής τιμολόγηης μπορεί να διατυπωεί ως ο προδιοριμός της ποότητας μ( Ωτόο, την αφαλιτική πρακτική τα και μ( είναι άγνωτα και έτι έχουμε να βρούμε μία εκτίμηη μ ( για το μ( Όπως αναφέραμε και πριν, κάε -κίνδυνος μέα ε ένα prtfl υλλογικό χαρακτηρίζεται από το ατομικό προφίλ κινδύνου, έτω Οι παράμετροι είναι τοιχεία ενός υνόλου Θ, όπου Θ είναι το ύνολο όλων των (άγνωτων προφίλ κινδύνων από τους κινδύνους που υπάρχουν το υλλογικό prtfl Στην ειδική περίπτωη ενός ομοιογενούς υλλογικού prtfl το Θ αποτελείται από ένα μόνο τοιχείο και αντιτοιχεί την κλαική εώρηη αφάλιης: κάε μέλος από το υλλογικό έχι ακριβώς το ίδιο προφίλ κινδύνου και έτι την ίδια υνάρτηη κατανομής για τις αντίτοιχες υνολικές ζημιές Ωτόο, οι ομάδες κινδύνων ή το υνολικό prtfl την αφάλιη είναι κυρίως ανομοιογενείς Με άλλα λόγια,οι -τιμές διαφορετικών κινδύνων από το υλλογικό ή την ομάδα δεν είναι όλες οι ίδιες, αλλά δείγματα από το ύνολο Θ Αλλά, παρόλο που οι κίνδυνοι της ομάδας είναι διαφορετικοί παρόλα αυτά έχουν όλοι κάτι κοινό, όλοι ανήκουν τον ίδιο υλλογικό κίνδυνο, δηλαδή είναι δείγματα από το ίδιο ύνολο Θ Η κατάταη αυτή αναφέρεται όταν λέμε ότι οι κίνδυνοι το υλλογικό είναι όμοιοι (smlr Οι υγκεκριμένες -τιμές που προδιορίζουν κάε κίνδυνο από το υλλογικό είναι τυπικά άγνωτοι τον αφαλιτή Αλλά, με βάη της εκ των προτέρων γνώης (prr kledge ή και της τατιτικής πληροφορίας ο αφαλιτής γνωρίζει κάτι γύρω από τη δομή των με αναφορά το υλλογικό Γνωρίζει, για παράδειγμα, ότι οι περιότεροι οδηγοί είναι καλοί κίνδυνοι και πάνια δημιουργούν ατύχημα και ότι ένα μικρό ποοτό αυτών δημιουργούν

23 υχνά ζημιές Τυπικώς, η πληροφορία αυτή μπορεί να υνοψιτεί από τη υνάρτηη κατανομής U( πάνω το χώρο Θ Έτι, ορίζουμε τη υνάρτηη κατανομής U( η οποία καλείται υνάρτηη δομής του υλλογικού Η δομή U( μπορεί να ερμηνευτεί ως: Εμπειρική υχνότητα αν εωρήουμε ότι τα του υλλογικού αποτελούν τυχαίο δείγμα ενός δεδομένου υνόλου Θ και τότε η υνάρτηη U( περιγράφει τις εξιδανικευμένες υχνότητες των πάνω το Θ Η ερμηνεία αυτή καλείται εμπειρική Μπευζιανή Υποκειμενική άποψη ή εμπειρία του αναλογιτή αν εωρήουμε τη υνάρτηη κατανομής U( ως περιγραφή των ατομικών μας πιτεύω ή μίας εκ των προτέρων γνώμης και εμπειρίας μας Η ερμηνεία αυτή καλείται κααρή Μπευζιανή Οριμός : Το υλλογικό αφάλιτρο ορίζεται ως; cll μ ο : μ( du ( Ε Θ[ Ε[ Θ]] Ε[ Θ ] Έτι, το υλλογικό αφάλιτρο αντιτοιχεί το μέο όρο, όλων των κινδύνων του υλλογικού, της αναμενόμενης ζημιάς ανά κίνδυνο Το αφάλιτρο αυτό υνήως, μπορεί να εκτιμηεί με μεγάλη ακρίβεια με βάη τις παρατηρήεις από το παρελόν και επίης καλείται και ως trff level Σημείωη: Το πιο ανταγωνιτικό αφάλιτρο είναι το ωτό ατομικό αφάλιτρο, διότι το υλλογικό αφάλιτρο δημιουργεί το πρόβλημα της αντιεπιλογής Παρατηρούμε ότι το υλλογικό αφάλιτρο είναι ένας αδέμευτος μέος και έτι ένας ταερός αριμός, ε αντίεη με το ατομικό αφάλιτρο το οποίο είναι μία τυχαία μεταβλητή d (υνάρτηη της τυχαίας μεταβλητής Θ : μ(θ, διότι p μ( Θ : Ε[ Θ] Επίης, παρατηρούμε ότι τα,, είναι μόνο δεμευμένα ανεξάρτητα, δεδομένου Θ και όχι αδέμευτα, διότι Cv(, [ Cv(, Θ] Cv[ [ Θ], Ε[ Θ]] Cv( μ( Θ, μ( Θ Vr( μ( Θ O κοπός μας είναι η εκτίμηη, για κάε κίνδυνο του ωτού αφαλίτρου μ(θ όο το δυνατόν με μεγαλύτερη ακρίβεια Ένας ενδεχόμενος εκτιμητής α ήταν το μ, δηλαδή το αφάλιτρο για το υγκεκριμένο κίνδυνο εκτιμάται από το μέο όρο της αναμενόμενης τιμής του υλλογικού Ο εκτιμητής αυτός είναι κατάλληλος όταν εωρούμε έναν νέο κίνδυνο για τον οποίο δεν υπάρχουν καόλου δεδομένα και έτι ιχυριζόματε ότι ο κίνδυνος αυτός ανήκει το 3

24 υλλογικό και ότι το προφίλ κινδύνου του διαλέχτηκε τυχαία από την κατανομή U( Ωτόο, ο εκτιμητής αυτός δε λαμβάνει υπόψιν την ατομική εμπειρία ζημιών Εάν έχουμε παρατηρήεις για το υγκεκριμένο κίνδυνο από -έτη, έτω T (,,, τότε αυτή η πληροφορία α έπρεπε να υνειφέρει τη διαδικαία εκτίμηης Αυτό μας φέρνει την ιδέα της τιμολόγηης (eperece rtg Η βέλτιτη εμπειρική τιμολόγηη εξαρτάται και από την ατομική εμπειρία ζημιών και καλείται Μπευζιανό αφάλιτρο Οριμός 3: T Μπευζιανό αφάλιτρο (βέλτιτο εμπειρικό αφάλιτρο ορίζεται ως: Bes ~ μ ( Θ : Ε[ μ( Θ ] δηλαδή ορίζεται ως η αναμενόμενη τιμή της psterr κατανομής της μ( και όπως γνωρίζουμε από την Bs τατιτική το Bes αφάλιτρο είναι το βέλτιτο αφάλιτρο ε χέη με τη δευτεροβάμια υνάρτηη απώλειας διότι μας δίνει την ελάχιτη δευτεροβάμια απώλεια (qudrtc lss που ορίζεται ως: ~ ( [( μ Θ μ ( Θ ] Πράγματι, αν μ (Θ ένας εκτιμητής του μ(θ τότε ~ [( μ( Θ μ( Θ ] [ [( μ( Θ ~ μ( Θ ~ μ ( Θ μ( Θ [( ( ~ ( ] [( ~ μ Θ μ Θ μ( Θ μ( Θ ] ]] και έτι ο εκτιμητής μ ( ~ μ ( [ μ( Θ ] έχει την ελάχιτη δευτεροβάμια απώλεια Εύκολα, μπορούμε να διαπιτώουμε ότι η δευτεροβάμια απώλεια του Μπευζιανού αφαλίτρου είναι: [( ~ μ ( Θ μ( Θ ] [ Vr[ μ( ]] και η δευτεροβάμια απώλεια του υλλογικού αφαλίτρου είναι [( μ ο μ( Θ ] Vr[ μ( Θ] [ Vr( μ( Θ ] Vr[ [ μ( Θ ]] Για τον προδιοριμό του Μπευζιανού αφαλίτρου πρέπει πρώτα να ορίουμε I τη δομική υνάρτηη U( II την οικογένεια των δεμευμένων κατανομών F : { F ( : Θ} 4

25 ss/gmm mdel Υποέτουμε ότι έλουμε να εκτιμήουμε τη υχνότητα των ζημιών για ένν κίνδυνο, όπου ο αριμός των ζημιών ακολουεί μία ss κατανομή με παράμετρο Λ Θεωρούμε το Λ ως τμ έτι ώτε να ακολουεί μία Gmm κατανομή με παραμέτρους α και β : ( Λ και Vr ( Λ β β Έτι, έτω τμ να εκφράζει τον αριμό ζημιών που α υμβούν το επόμενο έτος, οπότε η δεμευμένη κατανομή του Λ ~ ss( Λ ή Θ ~ ( Θ και η prr κατανομή του Λ είναι Gmm: Λ ~ J (, β O κοπός μας είναι να εκτιμήουμε την άγνωτη παράμετρο Λ Έτω ότι έχουμε - παρατηρήεις από δεδομένα προηγούμενων ετών:, υνήως τις υμβολίζουμε με (,,, T,, Τότε ο εκτιμητής κατά Βes ε χέη με τη δευτεροβάμια υνάρτηη απώλειας δεδομένου των είναι [ Λ ] και η psterr κατανομή του Λ είναι ανάλογη με f ( λ f ( λ f ( λ e λ λ β! e Γ( α λβ ( λβ Το οποίο πάλι ανάλογα με : ep{ ( β A λ λ, όπου A και f ( λ } μπορούμε να δούμε ότι η psterr κατανομή του ` [ ] Λ είναι Gmm με παραμέτρους και ` β ( β : Λ ~ z ( z β J (, β ( Λ β z ( z β Όπου z Δηλαδή, c zr ( z H, όπου R και β H β 5

26 Παρατηρούμε ότι η χέη ( Λ z ( z αναπαριτά ένα ταμιμένο μέο β εκτιμητών του Λ, το που βαίζεται τα δεδομένα μόνο, και του α/β που είναι η εκτίμηη του Λ (ε χέη με τη δευτεροβάμια υνάρτηη απώλειας Εάν δεν είχαμε καόλου δεδομένα Επίης εδώ ο υντελετής αξιοπιτίας z παίρνει τιμές το [, και είναι μία αύξουα υνάρτηη του -του ποού των διαέιμων δεδομένων και παίρνει την τιμή όταν και έτι υμπεραίνουμε ότι με την Μπευζιανή προέγγιη ποτέ δεν επιτυγχάνεται full credblt Τέλος, η κατανομή πρόβλεψης του δεδομένου του είναι αρνητική Δυωνυμική κατανομή με παραμέτρους κ [ ] και β p οπότε β ( / ( Λ z ( z, όπου β το υμβολίζει τον αριμό των ζημιών για το επόμενο έτος, αν έχουμε διαέιμα δεδομένα για -έτη και έτι ( είναι ο αναμενόμενος αριμός ζημιών για το επόμενο έτος δεδομένου των -ετών παρατηρήεων Αν, δηλαδή δεν έχουμε παρατηρήεις τότε [ ] [ ] { z } [ Λ] [ Λ ] β Επίης, παρατηρούμε τα εξής : F d [ Θ ] Θ, όπου Θ Λ μ ( Θ F cll [ Θ] : αναμενόμενη υχνότητα ζημιών του υλλογικού β [ Θ] β και από τη χέη Vr [ Θ] z χολιάζουμε ότι όο πιο μεγάλο είναι β, τόο β μειώνεται το z-υντελετής αξιοπιτίας, (δηλαδή όο πιο ομοιογενές είναι το υλλογικό prtfl τόο περιότερη βαρύτητα α δώουμε τη υλλογική εμπειρία για την τιμολόγηη του ατομικού κινδύνου Η δευτεροβάμια απώλεια του F cll Θ Θ Vr Θ β β cll F είναι : [ ] [( ] ( Η δευτεροβάμια απώλεια του είναι : [( Θ ] [ [( Θ Θ]] [ Vr( Θ] [ Θ] β και επειδή η δευτεροβάμια απώλεια του Bes F είναι μικρότερη από τη δευτεροβάμια απώλεια του Bes έχουμε και ότι : [( F Θ ] 6

27 H δευτεροβάμια απώλεια του Bes F είναι: [( F Bes Θ ] [ Vr( Θ ] ( β ( z z, όπου β β β β [ ] ( β ( β β ~ ΑΔ α, β β Bes cll Έτι, παρατηρούμε ότι [( F Θ ] ( z [( F Θ ] z [( Θ ] ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Ο εκτιμητής Βes ~ εξαρτάται από τη υνάρτηη δομής U (, το μοντέλο ss/gmm εξαρτάται από τις άγνωτες παραμέτρους α,β Οι παράμετροι αυτοί πρέπει να εκτιμηούν Ο επόμενος πίνακας μας δίνει τα Σουηδικά υγκεντρωτικά τοιχεία για την οδήγηη αυτοκινήτων του έτους 96 κ Ttl Αριμός υμβολαίων με κ-ζημιές Μπορούμε να εκτιμήουμε αμερόληπτα το μέο και τη διαπορά της υχνότητας ζημιών, έτω Ν I μ Ν ( Ν 96, 55 I I ( Ν ( 96, 79 I όπου I9853 (το πλήος των οδηγών και ( αριμός ζημιών για τον οδηγό το έτος 96 Επίης, ύμφωνα με το μοντέλο ss/gmm έχουμε: α μ Ν Ε[ Ν] Ε[ Ε[ Ν Θ]] Ε[ Θ] β 7

28 α Ν Vr[ ] [ Vr[ Θ]] Vr[ [ Θ]] [ Θ] Vr[ Θ] και β β ύμφωνα με τη μέοδο των ροπών ιχύει μ Ν μ Ν και α Ν Ν, οπότε, 55 και β α,79 α, και β 6,458 β β Έτι, αν αντικατατήουμε τις άγνωτες παραμέτρους α και β τον τύπο του εκτιμητή κατά Βes με τις τιμές α και β, όπου εκτιμήαμε από το υλλογικό χαρτοφυλάκιο παίρνουμε τον εμπειρικό Μπευζιανό εκτιμητή: F Bes emp β β α β β, όπου ο μέος των παρατηρήεων από ένα υγκεκριμένο κίνδυνο Για τον έλεγχο κατά πόο το Μπευζιανό μοντέλο προαρμόζει τα δεδομένα του Σουηδικού πίνακα ζημιών πρέπει να υπολογίουμε την αδέμευτη κατανομή του Ν: β κ κ Θ u! Γ( u β ( ( u( d e e d α κ ( β κ Γ ( Γ ( e d κ β β κ κ β Γ( κ! Γ ( κ! ( β Γ( κ! β β α κ κ β β p ( p, όπου p ~ ΑΔ( α, p ΑΔ α, κ β β ( Tώρα μπορούμε να υγκρίνουμε τις παρατηρούμενες τιμές με τις τιμές που α αναμέναμε αν τα δεδομένα ικανοποιούν την υπόεη της ss-gmm μοντελοποίηης Επίης, υγκρίνουμε τις παρατηρούμενες τιμές με τις τιμές που α αναμέναμε αν υποέουμε ότι έχουμε ένα ομοιογενές χαρτοφυλάκιο όπου όλα τα υμβόλαια έχουν την ίδια ss παράμετρο (προαρμομένη ss κατανομή κ Παρατηρήεις ss (λ,55 egtve Bml (α,, β6,

29 Ttl Είναι φανερό ότι η Αρνητική Διωνυμική κατανομή προαρμόζει καλύτερα τα δεδομένα (επιβεβαιώνεται με ένα -test Η παραπάνω μοντελοποίηη (ss- Gmm και τα παραπάνω δεδομένα χρηιμοποιήηκαν από τον FBchsel αν βάη για την κατακευή ενός υτήματος Bus-Mlus για την οδική αφάλιη ευύνης υπέρ τρίτων τη Σουηδία Ο κοπός του ήταν η τροποποίηη του ατομικού αφάλιτρο ύμφωνα με τον αναμενόμενο ρυμό ζημιών κάε ατομικού οδηγού Η ιδέα ήταν ότι αν ένας δεδομένος κίνδυνος αναμένεται να δώει διπλάιες ζημιές από το μέο οδηγό, τότε ο οδηγός αυτός πρέπει να πληρώει το διπλάιο αφάλιτρο από το μέο οδηγό (mlus%, καώς και ότι αν ο οδηγός αναμένεται να δώει τις μιές ζημιές από το μέο τότε α πρέπει να πάρει ένα bus5% Έτι, όριε τον παράγοντα Bus-Mlus: Bes F Bus Mlus Fctr, όπου λ, 55 ο μέος της υχνότητας ζημιών του λ χαρτοφυλακίου και κατακεύαε τον παρακάτω πίνακα: Bus-Mlus fctr \κ 3 87% 73% 6% 346% 76% 53% 9% 35% 3 68% 36% 5% 73% 4 6% 3% 85% 47% 5 56% 3% 69% 5% 6 5% 4% 55% 7% Όπου ο αριμός παρατηρούμενων ετών κ ο αριμός των παρατηρούμενων ζημιών J Στο μοντέλο ss- Gmm που έχουμε κατακευάει, υποέτουμε ότι για κάε την ίδια prr αναμενόμενη απώλεια Αυτή η υνήκη όμως δεν ιχύει πολλές φορές την πράξη Για παράδειγμα, εάν χρειαζόματε εκτιμήεις ρυμών νηιμότητας/ανικανότητας ε ομαδικές 9

30 αφαλίεις ζωής ή ε ομαδικές αφαλίεις ατυχήματος, τότε prr αναμενόμενος ρυμός α εξαρτάται από παράγοντες όπως είναι η ηλικία ή το φύλο Ένα άλλο παράδειγμα είναι όταν υπάρχουν αλλαγές τις υχνότητες ζημιών ε χέη με το χρόνο Ωτόο, το μοντέλο ss- Gmm μπορεί να τροποποιηεί έτι ώτε να υμπεριλάβει τη διαφοροποίηη ως προς την prr αναμενόμενη τιμή Έτι, καταρχήν εωρούμε το ακόλουο ιοδύναμο μοντέλο: ~ ( λ d όπου α λ prr αναμενόμενος ρυμός απώλειας (το εκφράζει β αναμενόμενες χετικές υχνότητες ~ Gmm κατανομή: ( και Vr (,δηλαδή ~ J (, J ( λβ, λβ α Παρατηρούμε τα εξής: F d ] λ [ F ] λ [ d λ λ V [ F ] β Ένας διαιητικά δείκτης της ανομοιογένειας του χαρτοφυλακίου είναι ο υντελετής μεταβλητότητας του d d F, δηλαδή cv r( F Vr( d και έτι τώρα η βλ d παράμετρος α έχει άμεη ερμηνεία εφόον (cv r( F Επίης, για την εκτίμηη του είναι φυικό να μοντελοποιούμε τις χετικές υχνότητες αντί τις απόλυτες υχνότητες που είχαμε το πρώτο μοντέλο μας: το λο καταλήγουμε ότι ~ F ~ F Bes ~ d ~ : με F [ F ] και αν διαιρέουμε τη χέη ( με λ ~ [ ] z v Παράδειγμα Σε ομαδική αφάλιη ζωής έλουμε να κατακευάουμε έναν πίνακα νηιμότητας για η d υγκεκριμένη ομάδα ατόμων (ηλικίας 5-65 Θεωρούμε τη χέη q q, όπου q τιμές από υναφή πίνακα νηιμότητας και d q τιμές για τον πίνακα νηιμότητας της ομάδας αυτής Επίης, εωρούμε ότι το ακολουεί μία Gmm κατανομή με μέο και cv(% Έχουμε τις ακόλουες παρατηρήεις από το παρελόν Παρατηρούμενος αριμός έκεης τον κίνδυνο ε έτη:65, Αναμενόμενος αριμός ανάτων βάη του υναφή πίνακα:5 3

31 Παρατηρούμενος αριμός ανάτων της ομάδας:5 Bes Bρείτε το του Λύη Bes 5 5 cv (, 5, 8 v 5 5 Σημείωη: Στο παράδειγμα αυτό ο χρόνος-έτος I έχει αντικαταταεί από τις ηλικίες όπου παρατηρούμενος αριμός ζημιών v λ ο -prr αναμενόμενος αριμός ζημιών z v v v λ β v Επίης, μπορούμε να γράψουμε v ~ F : ~ F ~ ~ και έτι z ( F Τώρα, μπορούμε να ειάγουμε το μοντέλο μας τις -prr διαφορές αν εωρήουμε ότι είναι ο παρατηρούμενος και λ ο -prr αναμενόμενος αριμός ζημιών του υγκεκριμένου κινδύνου και φτιάχνουμε τις ακόλουες υποέεις: ~ ( λ d όπου λ ο -prr αναμενόμενος αριμός ζημιών το έτος ή το υγκεκριμένο κίνδυνο ~ J (, με [ ] και Vr[ ] Έτι, έχουμε ότι : ~ F Bes ~ [ ] z v v, όπου παρατηρούμενος αριμός ζημιών v λ ο -prr αναμενόμενος αριμός ζημιών ~ F d v z και v cv r( [ ] λ ~ [ F ~ V [ F d d ] λ λ ] [cv r( ] ~ cv r[ F d ] 3

32 Παράδειγμα Θεωρούμε ένα ύνολο από αυτοκίνητα Με βάη τατιτικών δεδομένων γνωρίζουμε την αναμενόμενη prr υχνότητα ζημιών για 3 διαφορετικούς τύπους (Lrr, Delver, V, sseger cr Η διαφοροποίηη ε αυτούς τους τύπους αυτοκινήτων οφείλεται ε παράγοντες όπως: εκπαίδευη οδηγού, εξοπλιμός αυτοκινήτου κα Υποέτουμε ότι οι υποέεις του ss-gmm μοντέλου ικανοποιούνται και εκτιμούμε ότι οι διαφορές μεταξύ των τύπων αυτοκινήτου ως προς τη υχνότητα ζημιάς είναι περίπου % (δηλαδή cv ( % Α Προδιορίτε το Bes αφάλιτρο βαιμένοι τον αριμό ζημιών ε ένα έτος για τους 3 διαφορετικούς τύπους:3 lrres, 3 delver v, psseger crs H prr υχνότητα ζημιών για τους 3 τύπους ε % : Lrr:3, Delver v: και sseger cr: 75 B Πόο μεγάλη είναι η διόρωη εμπειρίας ε % εάν 6 ζημιές υνολικά παρατηρήηκαν ε ένα έτος ζημιές υνολικά παρατηρήηκαν ε δύο έτη C Φτιάξτε ένα γράφημα της prr κατανομής της και της psterr κατανομής της δεδομένου ότι ζημιές παρατηρήηκαν ε έτη Λύη Vehcle tpe psures f rsks prr υχνότητα ε % Lrr 3 3 9, Delver v 3 3, sseger cr 75,75 Ttl 7,75 Bes Α, όπου (cv ( 5 v αναμενόμενος αριμός ζημιών,, ο παρατηρούμενος αριμός ζημιών ε -έτη v v, 75 3 prr 9%, ν Bes,9, αν 6 6 B Έτι, Ο όρος, διόρωης εμπειρίας %,, v,89, αν 3

33 C ~ ( v prr κατανομή της ~ J (,, 5 psterr κατανομή της ~ J (, v με v 5, 5 Το Διωνυμικό/Βήτα Μοντέλο Στην ομαδική αφάλιη ζωής ή τις ομαδικές αφαλίεις ατυχημάτων μας ενδιαφέρει η υχνότητα ανικανότητας για τη υγκεκριμένη ομάδα Για ευκολία υποέτουμε ότι κάε μέλος της ομάδας έχει την ίδια πιανότητα να μείνει ανίκανος ανεξάρτητα από τους άλλους Ορίζουμε: αριμός που έμειναν ανίκανοι το έτος v αριμός μη ανίκανων την αρχή του έτους : v η παρατηρούμενη υχνότητα ανικανότητας του έτους Μας ενδιαφέρει η εκτίμηη του την αρχή της (-περιόδου Υποέτουμε τα εξής: ~ ( v, για κ,,,,v ή ιοδύναμα του εφόον το v είναι γνωτό v κ κ Δ d ( Θ ( ( κ v v κ ~ Bet(, b : u( B(, b ( b,,, b > b [ ],, vr( και όπου η αληινή πιανότητα ανικανότητας b ( b ( b που έλουμε να προδιορίουμε Η psterr πυκνότητα γίνεται: u( v b b v ( ( ( Έτι, η psterr πυκνότητα είναι και αυτή μια Bet κατανομή με παραμέτρους ` και b ` b v Έτι, ~ ` F Bes [ ] z ( z, όπου ` b` b v z και b v ή v F Bes b v 33

34 Παράδειγμα Σε εργατική ομαδική αφάλιη ατυχημάτων μας ενδιαφέρει η πιανότητα ανικανότητας Για χαρτοφυλάκιο υλλογικών υμβολαίων γνωρίζουμε ότι η πιανότητα ανικανότητας είναι % Οι πιανότητες αυτές ωτόο διαφόρων τύπων κινδύνων Χρηιμοποιώντας το Bet- Bml μοντέλο υποέτουμε ότι cv ( 5% Α Προδιορίτε τις παραμέτρους της prr κατανομής και φτιάξτε ένα γράφημα της prr πυκνότητας u( Bes Β Βρείτε τον εκτιμητή Bes για τον τύπο κινδύνου τον οποίο έχουμε παρατηρήεις 5 περιπτώεις ανικανότητας από τους αφαλιμένους C Η εταιρία α ήελε να διαχωρίει όλους τους τύπους κινδύνων ε 3 κλάεις-ομάδες και να εφαρμόει ε αυτούς τον ακόλουο κανόνα τιμολόγηης: Μία επιβάρυνη % εάν [,, ω ], 3 Mία έκπτωη % εάν [,, ω ], 7 όπου, δηλώνει τον παρατηρούμενο αριμό περιπτώεων ανικανότητας, ω, ο παρατηρούμενος αριμός ετών τον κίνδυνο (epsed t Rsk και η prr πιανότητα ανικανότητας Ποιος είναι αντίτοιχος κανόνας τιμολόγηης με όρους παρατηρούμενων αριμών περιπτώεων ανικανότητας: για κίνδυνο με 5 παρατηρούμενα έτη έκεης τον κίνδυνο για κίνδυνο με παρατηρούμενα έτη έκεης τον κίνδυνο Λύη Α ~ Bet(, b { [ ], b b cv (,5 ( b 3,95 b 39,5 Bes 3,95 5 Β 3,6% b v 3,95 39,5 C Bes 3,95 3,95 39,5 ω { %, εαν Bes ι Βes ι > 3% κανόνας τιμολόγηης %, εαν < 7% e I ω, 5, κανόνας τιμολόγηης { %, e εαν 8 %, εαν 34

35 II, ω, κανόνας τιμολόγηης 8 %, %, { e εαν εαν 3rml/rml Mdel Σε αυτό το μοντέλο α εκτιμήουμε το κααρό αφάλιτρο Έτω τμ να δηλώνει τις (υνολικές τελικές ζημιές για το επόμενο έτος από αυτόν τον κίνδυνο και έτω η κατανομή του να εξαρτάται από την τιμή της άγνωτης παραμέτρου, που τη εωρούμε ως τμ Τότε η υπό υνήκη κατανομή του δεδομένου α εωρούμε ότι είναι :, ( ~ και η prr κατανομή της εωρούμαι ότι είναι:, ( ~ μ, όπου έχουν γνωτές τιμές,, μ Το πραγματικό κααρό αφάλιτρο για αυτόν τον κίνδυνο (δηλαδή το κααρό αφάλιτρο αν γνωρίζαμε την τιμή του είναι ( και ε αυτήν την περίπτωη (,,, Υποέτουμε ότι έχουμε παρατηρήεις του από παρελόντα δεδομένα, έτω ή Το πρόβλημα τώρα είναι η εκτίμηη του ( δεδομένου των παρατηρήεων, δηλαδή τον Μπευζιανό εκτιμητή ε χέη με τη δευτεροβάμια υνάρτηη απώλειας : ] ] [ [ το οποίο ε αυτήν την περίπτωη είναι ο ] [ δηλαδή ο psterr μέος του δεδομένου (ο οποίος είναι ιοδύναμος με το μέο της κατανομής πρόγνωης, δηλαδή ] [ όπως α δούμε παρακάτω Η psterr πυκνότητα του είναι ανάλογη του ( ep ( ( ep ( μ f και καταλήγουμε, αγνοώντας όρους χωρίς, ότι είναι ανάλογη του ep μ και έτι διαπιτώνουμε ότι η psterr κατανομή του, ~ ν Έτι, μ μ ( ( z z { } (, όπου z Άρα, 35

36 C z R ( z H, όπου R, H μ Δηλαδή, η εκτίμηη του κααρού αφαλίτρου είναι ένας ταμιμένος μέος του μ και, όπου μ είναι η εκτίμηή του αν δεν είχαμε δεδομένα από τον κίνδυνο χ και είναι η εκτίμηη βάη μόνο παρατηρήεων Επίης, ο υντελετής αξιοπιτίας z κυμαίνεται το διάτημα [, και είναι αύξουα υνάρτηη ως προς και Μπορούμε να δείξουμε η μη-δεμευμένη κατανομή του είναι: { f ( f (, d f ( f ( d } Οι υνήεις Μπευζιανές υποέεις χειρίζονται τις τμ ~ ( μ, z ως ιόνομες (μη δεμευμένες κατανεμημένες και κάε έχει τη μη-δεμευμένη κατανομή του ~ ( μ, η οποία προδιορίζεται από την κατανομή των τμ και Τα επίης είναι ιόνομα (δεμευμένα το κατανεμημένα εφόον κάε έχει την κατανομή του ~ (, Επίης, υποέτουμε ότι τα είναι ανεξάρτητα δεδομένου, δηλαδή τα αλλά δεν έχουμε υποέει ότι τα μη δεμευμένα είναι και αυτά ανεξάρτητα Για να γίνει πιο κααρή αυτή η παρατήρηη ας υποέουμε ότι έχουμε τις ακόλουες τιμές για τις παραμέτρους, μ, Τότε αν γνωρίζουμε ότι το ~ (, έχει πάρει την τιμή 9 αυτό μας λέει, από την υπόεη ότι το είναι απίανο να πάρει τιμές έξω από το διάτημα (87,93 (διάτημα εμπιτούνης για το, εφόον ( 9 οπότε το είναι απίανο να πάρει τιμές έξω από το διάτημα (94,96 {( ~ (, } Δηλαδή γνωρίζοντας την τιμή του μας πληροφορεί κάτι για την κατανομή του και έτι, διαιητικά, τα, δεν είναι ανεξάρτητα Από την άλλη μεριά, έτω ότι ξέρουμε ότι 9, τότε γνωρίζοντας ότι το έχει πάρει την τιμή 9 δε μας πληροφορεί τίποτα για την κατανομή του Επίης, από το εώρημα που ακολουεί έχουμε ότι ο μέος της psterr κατανομής του ιούται με το μέο της κατανομής πρόγνωης του, εφόον ( μ(,,, 36

37 Θεώρημα Αν,, τ μ τέτοιες ώτε ( : μ( και είναι ανεξάρτητα τότε [,, ] ( μ(,, { [ μ( ]} Απόδειξη [,, ] [ [,,, ]] Λόγω (δεμευμένης ανεξαρτηίας των δεδομένου ιούται [ ],, ] [ μ(,, ] [ Δηλαδή, η εκτίμηη του πραγματικού κααρού αφαλίτρου ή υχνότητας ( ( δεδομένου του, [ [ ( ]] ε χέη με τη δευτεροβάμια υνάρτηη απώλειας είναι ίο με το μέο της κατανομής πρόγνωης του Τέλος, μπορούμε να χολιάουμε ότι ο Μπευζιανός εκτιμητής του κααρού αφαλίτρου δε α είναι γενικά γραμμικός ως προς τα παλιά δεδομένα καώς και ότι οι παράμετροι και χρειάζεται να προδιοριτούν με κάποιο τρόπο Κοινά χαρακτηριτικά των 3 μοντέλων Και τις 3 περιπτώεις το Bes αφάλιτρο είναι γραμμική υνάρτηη των παρατηρήεων και έτι το ορίζουμε ως credblt αφάλιτρο Και τις 3 ειδικές περιπτώεις μοντελοποίηης το ταμιμένος μέος: Bes μπορεί να εκφρατεί ως ένας Bes ( cll 3 Και τις 3 περιπτώεις η τάμη-βάρος δίνεται ως ταερή ποότητα α, όπου κ μια κατάλληλη κ 4 Και τις 3 περιπτώεις η δευτεροβάμια απώλεια του Bes αφαλίτρου δίνεται ως [( Bes ] ( [( cll ] [( ] 5 Και τις 3 περιπτώεις βρίκουμε ότι η psterr κατανομή του ανήκει την ίδια οικογένεια κατανομών με την prr κατανομή του, όπως α δούμε αυτή η ιδιότητα δε υνέβηκε κατά τύχη 37

38 Οριμός: Mια κατανομή λέγεται ότι είναι τύπου εκετική εάν μπορεί να εκφρατεί ως: b( f ( ep c(, / ea R, / Σημείωη: H παραπάνω κλάη κατανομών, εκετικού τύπου, έτω F { Θ} ep F : (μονοπαραμετρική περίπτωη καλύπτει μία μεγάλη κλάη οικογένειας κατανομών όπως : ss, Berull, Gmm, rml, verse-guss H κλάη των κατανομών αυτών παίζει πρωταρχικό ρόλο τα γενικευμένα γραμμικά μοντέλα, τα οποία αποτελούν τα εργαλεία για τον υπολογιμό αφαλίτρων εξαρτώμενα από διάφορους παράγοντες τιμολόγηης (rtg fctrs Κάε μία από τις οικογένειες κατανομών F ep χαρακτηρίζεται από τη μορφή που έχουν οι υναρτήεις b( και c( και έτι μπορούμε να τις υμβολίουμε ως b c F, ep Η παράμετρος αναφέρεται ως ccl παράμετρος Στη δική μας ανάλυη η μπορεί να ερμηνευτεί ως το rsk prfle που παίρνει τιμές από το Θ, (εδώ το είναι μιας διάταης και πραγματικό Η παράμετρος καλείται dspers παράμετρος και εωρείται ταερή Η ποότητα ω δηλώνει ένα prr γνωτό βάρος (eght ε χέη με τις παρατηρήεις μας Έτι, η παράμετρος ταερή για όλες τις παρατηρήεις, ενώ το βάρος μπορεί να διαφοροποιείται τα τοιχεία του διανύματος των παρατηρήεων είναι Θεώρημα: Υποέτουμε ότι για δεδομένο τα τοιχεία του διανύματος των παρατηρήεων,, είναι ανεξάρτητα με κατανομή F F καένα με την ίδια dspers ( παράμετρο και βάρος για,,, b, c ep b Θεωρούμε την οικογένεια u { u ( : γ (, τ R R } ep γ, όπου b( u γ ( ep d(, τ, Θ, δηλώνουν πυκνότητες κατανομών Τότε ιχύει ότι η τ b u ep b c F, ep είναι υζυγείς την 38

39 Απόδειξη:H psterr πυκνότητα της είναι b b b u ( ep ( ep / ( ep ( τ τ τ τ όπου και Παρατηρούμε, έτι ότι η psterr κατανομή, δεδομένου X είναι ξανά μία με παραμέτρους b u ep ` τ τ και ` τ τ Θεώρημα: Για την οικογένεια και τη υζυγή της οικογένεια έχουμε ότι : c b F, ep b u ep και ( ( b` p d { } b `` (, vr Θ β cll p γ ( cll Bes p p όπου και τ Σημείωη: Παρατηρούμε ότι το είναι ένας ταμιμένος μέος της ατομικής εμπειρίας ζημιών και του υλλογικού αφαλίτρου Είναι μία γραμμική υνάρτηη των παρατηρήεων και έτι ένα αφάλιτρο credblt (πολλές φορές τη βιβλιογραφία αναφέρεται και ως ect credblt Το εδώ παίζει το ρόλο του αριμού των παρατηρούμενων ετών Βαυε p 39

40 ret/gmm Mdel Μια υνήη υπόεη την ανταφάλιη είναι ότι το ύψος ζημιών από αυτές τις ζημιές που ξεπερνούν ένα δεδομένο όριο είναι ret κατανεμημένες Έτω,,, ( T το διάνυμα των παρατηρήεων ύψους ζημιών που ξεπερνούν το Υποέτουμε έτι ότι, ( ~ ret d με ( ( f και F ( για ( ( : ( μ ( ( ( ( : ( V Επίης, υποέτουμε ότι β β β Γ e u J ( ( :, ( ~ Η psterr γίνεται: β l ep η οποία είναι και αυτή μία Gmm κατανομή με παραμέτρους και ` ` `, ( ~, l ` β β β J και η Μπευζιανή εκτίμηη του είναι: [ ] ( β α β z z F ML Bes l ~, όπου ML l ο εκτιμητής μέγιτης πιανοφάνειας του και z l l β Δηλαδή, ο Μπευζιανός εκτιμητής του είναι ένας ταμιμένος μέος του εκτιμητή μέγιτης πιανοφάνειας και της prr αναμενόμενης τιμής ( β α Άκηη Θεωρούμε έναν ατομικό κίνδυνο, ο οποίος μπορεί να προκαλέει υνολικό ύψος ζημιάς, μέα ε ένα έτος, ή Ο κίνδυνος αυτός ανήκει ε ένα υλλογικό κίνδυνο που αποτελείται από 3 4

41 τύπους κινδύνων: καλός (65%, μέτριος (3%, κακός (5% Οι δεμευμένες πιανότητες δίνονται τον επόμενο πίνακα: { ( X Θ,,,,,3 } Συνολικό ύψος ζημιάς Καλός Μέτριος Κακός 97% 95% 9% 3% 5% % d cll Α Υπολογίτε p και p Bes Β Αν έχουμε εμπειρία ενός έτους τότε υπολογίτε το p για όλα τα δυνατά ενδεχόμενα (ύψος ζημιάς ή Bes C Αν έχουμε εμπειρία ετών υπολογίτε p για όλα τα δυνατά ενδεχόμενα Λύη Α Το ύνολο {καλός, μέτριος, κακός} αποτελεί το δειγματικό χώρο του Θ Η -prr πληροφορία ( καλός 65%, ( μέτριος 3%, d ( κακός 5%, p Θ ] : μ( Αν [ ( d καλός p [ καλός ] ( καλός ( καλός Έτ d p 3% 3 Έτι, καλός μέτριος κακός cll p d p 3 5 u( 65% 3% 5% 395 cll όπου p [ μ( ] [ [ Θ ]] u( [ Θ ] Β Από το εώρημα του Bes μπορούμε να υπολογίουμε τις psterr πιανότητες ( X Θ u( u( X, ι,,3 και {,} ( X Θ u( X καλός μέτριος κακός Bes p d p 3 5 u( 65,6% 9,7% 4,7% 39,4 u( 49,4% 38%,7% 464,56 4

42 Bes d d όπου p [ p ] [ μ ( ] u[( ] p,όπου p d μ c Οι παρατηρήεις τώρα είναι ένα διάνυμα διατάεων : (,, (,, 3 (,, 4 (, Bes Ξανά με το Bes μπορούμε να υπολογίουμε την psterr κατανομή u( και p : καλός μέτριος κακός Bes p d p 3 5 u( 66,3% 9,3% 4,4% 389,4 u( 5,% 37,8%,9% 459,3 u( 5,% 37,8%,9 459,3 3 u( 3,8% 4,8% 7,% 57,48 4 ( 4

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions)

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (amplig Distibutios) Ένα χαρακτηριτικό των επιτημονικών μελετών τις οποίες απαιτείται η χρήη των διαδικαιών της Στατιτικής Συμπεραματολογίας είναι η ύπαρξη τυχαιότητας

Διαβάστε περισσότερα

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 5 5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΙΓΜΑ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στην πράξη θέλουµε υχνά να βγάλουµε υµπεράµατα για µια µεγάλη οµάδα ατόµων ή αντικειµένων. Αντί να µελετήουµε ολόκληρη την οµάδα,

Διαβάστε περισσότερα

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1 Στατιτική υµπεραµατολογία για τη διαδικαία της ποιότητας Στο προηγούµενο κεφάλαιο κάναµε την παραδοχή και υποθέαµε ότι οι παράµετροι των κατανοµών των πιθανοτήτων άρα και οι παράµετροι της διαδικαίας ήταν

Διαβάστε περισσότερα

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς.

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς. 4 Εκτιµητική Σύνδεη θεωρίας πιθανοτήτων - περιγραφικής τατιτικής H περιγραφική τατιτική (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι αφορά κυρίως τη µελέτη κάποιων «µεγεθών» (πχ µέη τιµή, διαπορά, διάµεος, κοκ ενός «δείγµατος» υγκεκριµένων

Διαβάστε περισσότερα

1. Η κανονική κατανοµή

1. Η κανονική κατανοµή . Η κανονική κατανοµή Η κανονική κατανοµή είναι η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανοτήτων µε τις περιότερες εφαρµογές. Μελετήθηκε αρχικά από τον De Moire (667-754) και από τον Lple (749-87) οι οποίοι απέδειξαν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΕΝΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ Έχουμε ήδη δει την εκτιμητική ότι αν ο υπό μελέτη πληθυμός είναι κανονικός, τότε: [ Χi Χ] ( n 1) i= 1 = =

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιτημών του Ανθρώπου: Στατιτική Ενότητα 2: Βαίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιτημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευης και Αγωγής την Προχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουιάζονται οι βαικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : 009-010 ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευτρατία

Διαβάστε περισσότερα

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N(

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N( Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Αρκετά τρόφιμα περιέχουν το ιχνοτοιχείο ελήνιο το οποίο, όταν προλαμβάνεται ε μικρές ποότητες ημερηίως,

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Έτω Χ 1, Χ,..., Χ και Υ 1, Υ,..., Υ m δύο τυχαία δείγματα μεγέθους και m αντίτοιχα από δύο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 εκεµβρίου 2009 Η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανότητας της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιτικής, µε µεγάλο πεδίο εφαρµογών, είναι η κανονική κατανοµή. Η κατανοµή αυτή

Διαβάστε περισσότερα

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2 Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στην ενότητα «Από τις Πιθανότητες τη Στατιτική» εξηγήαμε ότι τη Στατιτική «όλα αρχίζουν από τα

Διαβάστε περισσότερα

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης 5 ιατήµατα Εµπιτούνης Στο προηγούµενο κεφάλαιο αχοληθήκαµε εκτενώς µε την εκτίµηη των παραµέτρων διαφόρων κατανοµών Για παράδειγµα είδαµε ότι η καλύτερη εκτιµήτρια για την εκτίµηη της µέης τιµής ενός κανονικού

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιτήμιο Πελοποννήου Εκτιμήεις Διατήματα Εμπιτούνης Έλεγχοι Υποθέεων Stefao G. Giakoumato Εκτιμητική Οι κατανομές των τατιτικών έχουν άγνωτες παραμέτρους, οι οποίες πρέπει να εκτιμηθούν Εκτιμητές ε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ Η ερµιονική εκποµπή ηλεκτρονίων είναι ένα φαινόµενο το οποίο βαίζεται η λειτουργία της λυχνίας κενού. Η δίοδος λυχνία κενού αποτελεί ορόηµο τον πολιτιµό του ύγχρονου ανρώπου

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός Μιχάλης Καλογεράκης 9 ο Εξάμηνο ΣΕΜΦΕ ΑΜ:987 Υπεύθυνος Άκηης: Κα Μανωλάτου Συνεργάτις: Ζάννα Βιργινία Ημερομηνία Διεξαγωγής:8//5 Άκηη 9 Εξαναγκαμένες ηλεκτρικές ταλαντώεις και υντονιμός ) Ειαγωγή: Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουνίου Θέμα ( μονάδες) Έτω αβγδ,,, και V = αβγδ,,,, όπου α= (,,), β= (,,), γ= (,5,), δ= (5,,). i)

Διαβάστε περισσότερα

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { }

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { } Πρόταη: Δίνεται η θετική τμ, δηλαδή 1 [ ] ανιότητα Mrkov: P{ } P > = Εάν >, έχουμε την Εάν υποθέουμε ότι η ~ f είναι υνεχής, τότε για κάθε > ιχύει ότι x f x dx x f x dx f x dx P [ ] = = { } Παρατηρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 16 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ Α. Περίπτωη Ενός Πληθυμού Αν μας ενδιαφέρει να κατακευάουμε ένα διάτημα εμπιτούνης για την διακύμανη ενός πληθυμού, χρηιμοποιούμε το γεγονός ότι αν

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012 Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής Μάθημα: Στατιτική Γραπτή Εξέταη Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. 6// ο Θέμα [] Η ποότητα, έτω Χ, φυτικών ινών που περιέχεται ε ψωμί ολικής άλεης με

Διαβάστε περισσότερα

σ.π.π. της 0.05 c 0.1

σ.π.π. της 0.05 c 0.1 6 Έλεγχοι Υποθέεων Σε αρκετές εφαρµογές παρουιάζεται η ανάγκη λήψης αποφάεων χετικών µε την κατανοµή ενός πληθυµού Πιο υγκεκριµένα, ε πολλές περιπτώεις πρέπει, βάει ενός τδ Χ, Χ,, Χ από έναν πληθυµό µε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ. Τυχαίες µεταβητές Ποές φορές ε ένα πείραµα τύχης δεν µας ενδιαφέρει ο δειγµατοχώρος του ο οποίος όπως είδαµε µπορεί να είναι και µη-αριθµητικό ύνοο αά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ Κωνταντινος Πετροπουλος Επικουρος Καηγητης Τμημα Μαηματικων Πανεπιτημιου Πατρων ΕΠΙΤΡΟΠΗ Φιλιππος Αλεβιζος Αναπληρωτης Καηγητης Τμημα Μαηματ

ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ Κωνταντινος Πετροπουλος Επικουρος Καηγητης Τμημα Μαηματικων Πανεπιτημιου Πατρων ΕΠΙΤΡΟΠΗ Φιλιππος Αλεβιζος Αναπληρωτης Καηγητης Τμημα Μαηματ ΚΥΡΙΑΚΗ Σ. ΓΕΩΡΓΙΑΔΟΥ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΑΠΟ ΕΝΑΝ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΟ ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Μεταπτυχιακη Διατριβη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Διατμηματικο Προγραμμα Μεταπτυχιακων Σπουδων «Μαηματικα

Διαβάστε περισσότερα

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Σχεδιαμός Στοιχείων Μηχανών ε μεταβαλλόμενα φορτία Μεταβαλλόμενα με τον χρόνο φορτία χαρακτηρίζονται τα φορτία που μεταβάλλουν το μέγεθος ή την διεύθυνη τους

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 3 Χρηματοοικονομική Διοίκηη Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 Γραπτή Εργαία Διαχείριη Χαρτοφυλακίου Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου ΕΟ3 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου Μάθημα 0: Απόδοη και κίνδυνος Σε αυτή την ενότητα θα μάθουμε να υπολογίζουμε την απόδοη και τον κίνδυνο κάθε αξιόγραφου. Ειδικότερα θα διαχωρίουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε.

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Γ Ε Ω Ρ Γ Ι Κ Ο Σ Π Ε Ι Ρ Α Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. Αν. Καθηγητής.Π.Θ. Υπ. ιδάκτορας Ορετιάδα 007 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο

Διαβάστε περισσότερα

4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές

4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές 4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές 4.. Η ομοιόμορφη διακριτή κατανομή. Εμφανίζεται τις περιπτώεις όπου η υπό εξέταη τ.μ. Χ παίρνει πεπεραμένο πήθος τιμών π.χ. Χ {,,...,} και όες οι πιθανότητες P

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή Κεφάλαιο 4 ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ 4. Ειαγωγή Στο προηγούμενο κεφάλαιο εξετάαμε πώς ένας επενδυτής που αποτρέφεται τον κίνδυνο απώλειας ειοδήματος επιλέγει επενδυτικά χέδια κάτω από υνθήκες αβεβαιότητας.

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ Ιχύς P 10 KW Στροφές ειόδου n 1450 τρ./λεπτό Σχέη μετάδοης i 4 Α. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΔΟΝΤΩΤΩΝ ΤΡΟΧΩΝ 1. Προωρινή εκλογή υλικού δοντιού: Για την επιλογή του υλικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ VIII. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΕ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΙΣ 1. Ειαγωγή Ήδη από το 180 είχε διαπιτωθεί ότι τα µεταλλικά υλικά, όταν καταπονούνται από επαναλαµβανόµενες ή χρονικά µεταβαλλόµενες

Διαβάστε περισσότερα

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού . Έλεγχος Υποθέεων. Έλεγχοι για την µέη τιµή πληθυµού Ας υποθέουµε ένα πληθυµό µε µέη τιµή (µ.τ.) µ και τυπική απόκλιη (τ.α.). Έχει δειχτεί το κεφ.0 ο έλεγχος µιας µηδενικής υπόθεης H 0 δεδοµένης µιας

Διαβάστε περισσότερα

12.1 Σχεδιασμός αξόνων

12.1 Σχεδιασμός αξόνων 1.1 Σχεδιαμός αξόνων Επιδιώκοντας τον χεδιαμό αξόνων αναζητούμε τις διαμέτρους τα διάφορα ημεία αλλαγής διατομών ή επιβολής φορτίων και τα μήκη του άξονα που αντιτοιχούν τις διαμέτρους, την ακτίνα καμπυλότητας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή... 11

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή... 11 Περιεχόμενα Πρόλογος... 7 Ειαγωγικό ημείωμα... 9 Κεφάλαιο : Ειαγωγή.... Η Παγκόμια Χρηματοπιτωτική Κρίη.... Το Αντικείμενο και ο Στόχος του Βιβλίου... 9.3 Η Δομή του Βιβλίου... 0 Κεφάλαιο : Η ιαχείριη

Διαβάστε περισσότερα

Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου

Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου n E( R ) ΣWE( R ) P i i i όπου: E(Ri) : αντιπροωπεύει την προδοκώµενη αποδοτικότητα από το τοιχείο i. Wi : το ποοτό που αντιπροωπεύει η αξία του τοιχείου αυτού τη υνολική αξία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Ελληνικό Στατιτικό Ιντιτούτο Πρακτικά 18 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιτικής (005) ελ.57-65 ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Γεώργιος Μενεξές, Άγγελος Μάρκος, Γιάννης Παπαδημητρίου

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη. Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 8 η διάλεξη Σφάλματα Ψηφιακός Έλεγχος Δυαδική αριθμητική και μήκος λέξης Ένας αριθμός μπορεί να αναπαραταθεί απο C+ bits που ονομάζονται λέξη. Το μήκος της λέξης είναι πάντα πεπεραμένο,

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων II. Στατιστική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ. Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Έλεγχος Υποθέσεων II. Στατιστική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ. Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Έλεγχος Υποθέεων II Στατιτική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Στατιτική ΙΙ Συμπεραματολογία Βαιμένη ε Ένα Δείγμα: Έλεγχοι υποθέεων Μέρος ο Εϖιλογή Μεγέθους είγατος για Έλεγχο του Μέου - 1 - Παράδειγα Δειγματοληψία

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1 Στατιτικοί Ελεγχοι Έλεγχος 1: Ζ-Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος : t - Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος 3: I -τετράγωνο Έλεγχος για την διακύµανη Έλεγχος 4: t-έλεγχος για την ύγκριη

Διαβάστε περισσότερα

1 Το Μεθοδολογικό Πλαίσιο Μέσου- ιακύμανσης... 11

1 Το Μεθοδολογικό Πλαίσιο Μέσου- ιακύμανσης... 11 Περιεχόμενα Πρόλογος... 7 Ειαγωγικό ημείωμα... 9 Το Μεθοδολογικό Πλαίιο Μέου- ιακύμανης.... Ειαγωγή.... Απόδοη και Κίνδυνος....3 Διαφοροποίηη Χαρτοφυλακίων... 5.4 Το Αποτελεματικό Μέτωπο... 7.5 Τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing Χάραξη γραφηµάτων/lb Grphng Η χάραξη ή γραφηµάτων (ή γραφικών παρατάεων είναι µια πολύ ηµαντική εργαία τη πειραµατική φυική. Γραφήµατα παρέχουν ένα αποδοτικό τρόπο για να απεικονίζεται η χέη µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια : Γιάννης Κουκούλης, Υποψήφιος ιδάκτορας ΕΜΠ Λίγα «Θεωρητικά»!!! Η παρούα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ. Καθηγητή Κων/νου Ευσταθίου, Εργαστήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιστηµίου Αθηνών

ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ. Καθηγητή Κων/νου Ευσταθίου, Εργαστήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιστηµίου Αθηνών ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Καθηγητή Κων/νου Ευταθίου, Εργατήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιτηµίου Αθηνών Η χρηιµότητα ενός αναλυτικού αποτελέµατος ποτέ δεν µπορεί να είναι καλύτερη από την ποιότητα του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1. Η Αγορά Κεφαλαίου Η αγορά κεφαλαίου αποτελεί ένα από τους ηµαντικότερους χρηµατοοικονοµικούς θεµούς

Διαβάστε περισσότερα

ιάστηµα εµπιστοσύνης της µ 1

ιάστηµα εµπιστοσύνης της µ 1 ιάτηµα εµπιτούνης της µ - µ δύο ανεξάρτητων τ.µ. X και X Μέες τιµές: µ και µ ιαπορές: και είγµα µεγέθους, από τον πληθυµό τηςx, X ειγµατικές µέες τιµές: και ειγµατικές διαπορές: και Θέλουµε ναεκτιµήουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Μέθοδος θαλάμων και στύλων Εφαρμογές. A. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ. Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ

ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Μέθοδος θαλάμων και στύλων Εφαρμογές. A. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ. Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ Μέθοδος και Εφαρμογές. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ Στύλων Παράδειγμα Ο χεδιαμός των τη μέθοδο και γίνεται με βάη τη θεωρία της υνειφέρουας ς Κάθε τύλος φέρει το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IΙ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ 1. Τάεις γύρω από ένα Σηµείο Όπως αναφέρθηκε ε προηγούµενη ενότητα, υχνά είναι πιο εύχρητο να αναλύονται οι τάεις γύρω από ένα ηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x,

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x, 69 Θα αποδείξουµε την υνέχεια- ως εφαρµογή του θεωρήµατος του Greenτην κατεύθυνη (ιι (ι του θεωρήµατος που χαρακτηρίζει τα υντηρητικά πεδία F : R R, όπου απλά υνεκτικός τόπος του R ( Θεώρηµα Αν R είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA ΜΕΛΟΣ ΤΗΣ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΚΑΙ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ (RSAI, ERSA) Οικονομική Κρίη και Πολιτικές Ανάπτυξης και Συνοχής 0ο Τακτικό Επιτημονικό

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

ειγματοληπτικές κατανομές

ειγματοληπτικές κατανομές ειγματοληπτικές καταομές Σκοπός της τατιτικής υμπεραματολογίας: η εξαγωγή ατικειμεικώ υμπεραμάτω για έα πληθυμό από περιοριμέο αριθμό δεδομέω (δείγμα). Με τη περιγραφική τατιτική υχά μπορούμε α βγάλουμε

Διαβάστε περισσότερα

S AB = m. S A = m. Υ = m

S AB = m. S A = m. Υ = m χολή αγρονόµων και τοπογράφων µηχανικών ο εξάµηνο Άκηη Απλοί γεωµετρικοί υπολογιµοί ίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓ που φαίνεται το χήµα. Στο ύπαιθρο µετρήθηκαν οι οριζόντιες πλευρές (µήκη) ΑΒ και Α. Επίης είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Τιμολόγηση Δικαιωμάτων σε συνεχή χρόνο Το μοντέλο των Black and Scholes

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Τιμολόγηση Δικαιωμάτων σε συνεχή χρόνο Το μοντέλο των Black and Scholes ΚΕΑΛΑΙΟ 6 Τιμολόγηη Δικαιμάτν ε υνεχή χρόνο Το μοντέλο τν Blk nd hol 6.. Το Μοντέλο τν Blk hol ή Blk hol Mon Έτ μια χρηματοοικονομική αγορά εξεταζόμενη το χρονικό διάτημα [0 ] για κάποιο δεδομένο Τ. Συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Θηκόγραμμα (box-plot) Γραφική παρουσίαση των μέτρων θέσης μιας μεταβλητής

Θηκόγραμμα (box-plot) Γραφική παρουσίαση των μέτρων θέσης μιας μεταβλητής Έχουε δει ότι ένα βαικό ειονέκτηα του αριθητικού έου είναι ότι είναι ευαίθητος ε ακραίες παρατηρήεις. Θηκόγραα (bo-plot) Γραφική παρουίαη των έτρων θέης ιας εταβλητής Ένας ιοταθιένος (p %) αριθητικός έος

Διαβάστε περισσότερα

όπου Z 1,Z 2,,Z n ανεξ. τ.μ. που ακολουθούν N(0,1), δηλαδή μ Δt + σ Δt Zi σ 2 Δt) για κάποιες σταθερές μ, σ 2. Οι τ.μ. Δ t Z1, Δt

όπου Z 1,Z 2,,Z n ανεξ. τ.μ. που ακολουθούν N(0,1), δηλαδή μ Δt + σ Δt Zi σ 2 Δt) για κάποιες σταθερές μ, σ 2. Οι τ.μ. Δ t Z1, Δt 5.3. Προομοίωη τιμών χρηματοοικονομικών προϊόντων Σε αυτή την παράγραφο θα εξετάουμε ένα μοντέλο που μπορεί να χρηιμοποιηθεί για την μελέτη της εξέλιξης των τιμών χρηματοοικονομικών προϊόντων (π.χ. μετοχές,

Διαβάστε περισσότερα

10. Στατιστικές συναρτήσεις και δειγματοληπτικές κατανομές

10. Στατιστικές συναρτήσεις και δειγματοληπτικές κατανομές Στατιτικές Συαρτήεις και Δειγματοληπτικές Καταομές 0 Στατιτικές υαρτήεις και δειγματοληπτικές καταομές Στο ειαγωγικό κεφάλαιο του Β Μέρους (8 ο Κεφάλαιο εξηγήαμε ότι τη Στατιτική «όλα αρχίζου από τα δεδομέα»

Διαβάστε περισσότερα

4 e. υ (Γ) υ (Δ) 1 (Ε) 1+ i

4 e. υ (Γ) υ (Δ) 1 (Ε) 1+ i . Αν τα 4 6 8 δ, i, d, i και d αντιτοιχούν όλα το ίδιο αποτελεματικό επιτόκιο, τότε i 6 i 6 4 4 d 4 8 d 8 6 4 e δ (Α) 3 υ (Β) υ (Γ) υ (Δ) (Ε) + i . Ένα 0ετές αφαλιτικό προϊόν εγγυάται απόδοη 7% τα πρώτα

Διαβάστε περισσότερα

(α) (β) (γ) Σχήμα Error! No text of specified style in document.-1: Ελικοειδή ελατήρια διαφόρων διατομών και μορφών

(α) (β) (γ) Σχήμα Error! No text of specified style in document.-1: Ελικοειδή ελατήρια διαφόρων διατομών και μορφών 11.6 Ελικοειδή θλιπτικά ελατήρια Στα προηγούμενο κεφάλαιο είδαμε αναλυτικά τα ελικοειδή κυλινδρικά ελατήρια υμπίεης, κυκλικής διατομής ύρματος. Στο Σχήμα 11-7 φαίνονται (α) κυλινδρικό ελατήριο υμπίεης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 015-016 Εαρινό Εξάµηνο ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Α.Α.Δράκος Διάλεξη 5 η 6 η. Υποδειγµα Ιορροπίας τις Κεφαλαιαγορές Υπόδειγµα Αποτίµηης Περιουιακών Στοιχείων Γραµµή Αξιογράφων Συντελετής βήτα

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Συχέτιη Διγαλάκης Βαίλης Η έννοια της υχέτιης Για τυχαίες μεταβλητές ΧΥ: Συχέτιη: ΕΧ Υ Συμμεταβλητότητα: Συντελετής υχέτιης: ρ / Έτω ΧΥ Τ.Μ. με ΥΧb και ΕΧμ Χ ΕΧ-μ Χ Χ Υπολογίτε

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2 Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας οµικών Κατακευών Εργατήριο Ωπλιµένου Σκυροδέµατος Κωνταντίνος Χαλιορής, ρ. Πολιτικός Μηχανικός, Λέκτορας τηλ./fax: 54107963 Ε-mail: haliori@ivil.duth.gr

Διαβάστε περισσότερα

Νόμος των Wiedemann-Franz

Νόμος των Wiedemann-Franz Άκηη 38 Νόμος των Widmann-Franz 38.1 Σκοπός Σκοπός της άκηης αυτής είναι η μέτρηη της ταθεράς Lorntz ε δύο διαφορετικά μέταα οι ιδιότητες των οποίων διαφέρουν ημαντικά. Η ταθερά του Lorntz μετράται μέω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο (.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ίνεται το παρακάτω ύνολο εκπαίδευης: ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάεις 3 Ιουνίου 005 ιάρκεια:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Αξιοπιστία μονάδων - συστημάτων στο χρόνο. Κατανομές χρόνων ζωής

Κεφάλαιο 2. Αξιοπιστία μονάδων - συστημάτων στο χρόνο. Κατανομές χρόνων ζωής Κεφάαιο Αξιοπιτία μονάδων - υτημάτων το χρόνο Κατανομές χρόνων ζωής Στο προηγούμενο κεφάαιο εξετάαμε την αξιοπιτία μονάδων ή υτημάτων τατικά δηαδή υποθέταμε ότι η μεέτη γίνονταν πάντα ε κάποια υγκεκριμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ

ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Μάριος Βαφειάδης Αν. Καθηγητής ΤΥΤΠ-ΑΠΘ Θεαλονίκη 0 ΕΙΣΑΓΩΓΗ...4 I. ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ...5. ΓΕΝΙΚΑ...5. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ...6 3. ΚΑΝΟΝΕΣ ΓΙΑ ΕΠΙΤΥΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π.

6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. 6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. ΑΣΚΗΣΗ 1 Θα χρηιμοποιηθούν οι χέεις που προκύπτουν από τη θεώρηη γραμμικής ιότροπης

Διαβάστε περισσότερα

3. Βασικά µαθηµατικά µεγέθη, συµβολισµοί και σχέσεις

3. Βασικά µαθηµατικά µεγέθη, συµβολισµοί και σχέσεις ρ.χ. Στρουθόπουλος, e-mail: stch@teise.g ΑΤΕΙ Σερρώ 3. Βαικά µαθηµατικά µεγέθη, υµβολιµοί και χέεις 3.. Πίακας τήλης Α το πλήθος τω προτύπω, το πλήθος τω χαρακτηριτικώ που µετράµε ε κάθε πρότυπο και Τ

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 5.1 : Η κανονική κατανοµή, όπου τ = (x-μ)/σ

Σχήµα 5.1 : Η κανονική κατανοµή, όπου τ = (x-μ)/σ 5 Μοντέλα θυάνου του Gauss Όπως προαναφέρθηκε η δηµοφιλέτερη µεθοδολογία υπολογιµού της ατµοφαιρικής διαποράς ε πρακτικές εφαρµογές βαίζεται την εξίωη θυάνου του Gauss. Κάτω από υγκεκριµένες υνθήκες, τα

Διαβάστε περισσότερα

PDF processed with CutePDF evaluation edition

PDF processed with CutePDF evaluation edition Κατανοµές ιαφάνειες ιαλέξεων - 0-0303 Περιεχόµενα της Ενότητας ειγµατοληψία και Κατανοµές Ενότητα η. ειγµατοληψία Πιθανοτικέςκαι και µη πιθανοτικές µέθοδοι. Εκτιµητές, ηµειακές εκτιµήεις, φάλµα δειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα του Green

Το θεώρηµα του Green 57 58 Το θεώρηµα του Green :, Υπενθυµίζουµε ότι µια απλή κλειτή καµπύλη [ ] κλειτή καµπύλη ( = ) ώτε ο περιοριµός [, ) R είναι µια να είναι απεικόνιη Μια απλή κλειτή καµπύλη του επιπέδου ονοµάζεται και

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Στοχαστικών Σηµάτων: Εκτίµηση Φάσµατος. Παραµετρικά µοντέλα

Θεωρία Στοχαστικών Σηµάτων: Εκτίµηση Φάσµατος. Παραµετρικά µοντέλα ΒΕΣ 6 Προαρµοτικά Συτήµατα τις Τηλεπικοιννίες Θερία Στοχατικών Σηµάτν: Εκτίµηη φάµατος, Παραµετρικά µοντέλα Ειαγγή Μοντέλα Στοχατικών Βιβλιογραφία Ενότητας uto []: Κεφάλαιo Widrow [985]: Chaptr 3 Hayi

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΔΙΚΕΣ/ ΟΜΟΙΟ-ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΕΣ 2010

ΚΛΑΔΙΚΕΣ/ ΟΜΟΙΟ-ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΕΣ 2010 ΚΛΑΔΙΚΕ ΟΜΟΙΟ-ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΕ 2010 ΚΛΑΔΟ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑ ΟΔΗΓΟΙ ΤΟΥΡΙΤΙΚΩΝ ΛΕΩΦΟΡΕΙΩΝ ΑΡΧΑΙΟΛΟΓΩΝ ΜΕΛΩΝ ΕΚΑ ΤΕΧΝΙΤΩΝ ΚΑΙ ΒΟΗΘΩΝ ΞΥΛΟΥΡΓΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΙΚΩΝ ΕΡΓΑΙΩΝ ΝΖΩΝΗ ΟΞΟΠΟΙΙΑ, ΠΟΤΟΠΟΙΙΑ, ΟΙΝΟΠΟΙΙΑ, ΟΙΝΟΠΝΕΥΜΑΤΟΠΟΙΙΑ,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΑΠΟ ΑΠΟΣΤΑΣΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΑΠΟ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΑΠΟ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ P-INF-003 : ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ : ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΓΕΝΕΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΤΕΤΑΡΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Είδη σφαλµάτων. Σφάλµατα στις παρατηρήσεις. Θεωρία Σφαλµάτων ΑΚΡΙΒΕΙΕΣ ΙΕΙΚΟΝΙΚΩΝ ΑΠΟ ΟΣΕΩΝ

Είδη σφαλµάτων. Σφάλµατα στις παρατηρήσεις. Θεωρία Σφαλµάτων ΑΚΡΙΒΕΙΕΣ ΙΕΙΚΟΝΙΚΩΝ ΑΠΟ ΟΣΕΩΝ Είδη φαλµάτων Σφάλµα µετρηµένη αληθής τιµή Τυχαία - Εµφανίζονται χεδόν ε όλες τις παρατηρήεις και ακολουθούν υνήθως κανονική κατανοµή. Συτηµατικά - Εµφανίζονται ε όλες τις παρατηρήεις και µπορεί να µοντελοποιηθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 1 ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ( Κυρίως επιλεγµένα και ελεύθερα µεταφραµένα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΑΜΧ ΕΛΕΓΧΟΣ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΒΛΑΒΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΣΚΕΥΗΣ Φ.Ο. ΣΤΟ ΠΡΩΗΝ ΚΤΙΡΙΟ ΚΕΤΕΣ ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΣ: ΛΓΟΣ (ΜΧ) ΒΑΡΛΑΜΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΙΟΥΛΙΟΣ 2006

ΣΤΕΑΜΧ ΕΛΕΓΧΟΣ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΒΛΑΒΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΣΚΕΥΗΣ Φ.Ο. ΣΤΟ ΠΡΩΗΝ ΚΤΙΡΙΟ ΚΕΤΕΣ ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΣ: ΛΓΟΣ (ΜΧ) ΒΑΡΛΑΜΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΙΟΥΛΙΟΣ 2006 ΣΤΕΑΜΧ ΕΛΕΓΧΟΣ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΒΛΑΒΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΣΚΕΥΗΣ Φ.Ο. ΣΤΟ ΠΡΩΗΝ ΚΤΙΡΙΟ ΚΕΤΕΣ ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΣ: ΛΓΟΣ (ΜΧ) ΒΑΡΛΑΜΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΙΟΥΛΙΟΣ 006 ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ: ΣΠΥΡΑΚΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΠΑΛΗΟΥ ΧΡΥΣΑΝΘΗ

Διαβάστε περισσότερα

2 i d i(x(i), y(i)),

2 i d i(x(i), y(i)), Κεφάλαιο 2 Σύγκλιη ακολουθιών και υνέχεια υνατήεων 2.1 Σύγκλιη ακολουθιών Στον Απειοτικό Λογιμό μελετήαμε τη ύγκλιη ακολουθιών παγματικών αιθμών. Με τον όο ακολουθία παγματικών αιθμών εννοούμε κάθε υνάτηη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 015-016 Εαρινό Εξάµηνο ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Α.Α.Δράκος Διάλεξη 3 η 4 η. Ανάλυη Θεωρίας Χαρτοφυλακίου 1. Αναµενόµενη Χρηιµότητα και Καµπύλες Αδιαφορίας. Κινδύνος και Απόδοη Χαρτοφυλακίου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ YIELD CRITERIA- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ Κριτήριο διαρροής είναι η µαθηµατική υνθήκη που περιγράφει την εντατική κατάταη ε ένα ηµείο της µάζας του υλικού, ώτε το ηµείο αυτό να υµβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΚΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΣΥΜΠΑΓΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΚΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΣΥΜΠΑΓΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΚΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΣΥΜΠΑΓΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑ. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Τα υπόγεια τεχνικά έργα έχουν γενικά μεγάλη διάρκεια ζωής. Τέτοια είναι οι ήραγγες, οι άλαμοι, οι αποήκες καυίμων, τα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εξίσωση Schrıdinger. Χρησιµότητα Εξαγωγή της εξίσωσης Schrıdinger. Περιοχές κυµατοδήγησης οπτικού παλµού

ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εξίσωση Schrıdinger. Χρησιµότητα Εξαγωγή της εξίσωσης Schrıdinger. Περιοχές κυµατοδήγησης οπτικού παλµού ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Εξίωη Schrıdinger Χρηιµότητα Εξαγωγή της εξίωης Schrıdinger Περιοχές κυµατοδήγηης οπτικού παλµού Αλληλεπίδραη µη γραµµικών φαινοµένων και διαποράς Αµελητέα η διαπορά και τα µη γραµµικά

Διαβάστε περισσότερα

Συµπληρωµατικές Ασκήσεις Στατιστικής ΙΙΙ

Συµπληρωµατικές Ασκήσεις Στατιστικής ΙΙΙ Boutsks MV 3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς Συµπηρωµατικές Ακήεις Στατιτικής ΙΙΙ ΚΕΦΑΛΑΙΑ -3 Άκ Η κατανοµή των βαρών των µαθητών ενός χοείου είναι κανονική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ Κουγιουµτζής ηµήτρης Γενικό Τµήµα, Πολυτεχνική Σχολή ΑΠΘ Θερινό Εξάµηνο 004 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ...4 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ...8. Περιγραφή τατιτικών δεδοµένων...8..

Διαβάστε περισσότερα

Δδά Διδάσκοντες: Δημήτριος Ρόζος, Επικ. Καθηγητής ΕΜΠ Τομέας Γεωλογικών Επιστημών, Σχολή Μηχανικών Μεταλλείων Μεταλλουργών

Δδά Διδάσκοντες: Δημήτριος Ρόζος, Επικ. Καθηγητής ΕΜΠ Τομέας Γεωλογικών Επιστημών, Σχολή Μηχανικών Μεταλλείων Μεταλλουργών ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9 15780 ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΑΘΗΝΑ Δδά Διδάκοντες: Δημήτριος Ρόζος, Επικ. Καθηγητής ΕΜΠ Τομέας Γεωλογικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΣΤΙΣ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΣΤΙΣ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΣΤΙΣ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ ΤΟΥ ΑΝΘΡΑΚΑ ΣΠΑΤΑΛΟΥ ΕΛΕΑΝΑ ΑΜ: /4 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΣ 7

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η απεικόνιη των εκβάεων ενός πειράµατος τύχης την ευθεία των πραγµατικών αριθµών οδηγεί την τυχαία µεταβλητή. 9 3 6 ( ω ω 9 36 44 Τα αποτελέµατα ενός πειράµατος τύχης ορίζουν

Διαβάστε περισσότερα

EKTIMHΣΗ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ

EKTIMHΣΗ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΟΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ» Μεταπτυχιακή ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ EKTIMHΣΗ ΚΙΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ» Μ. Κούτρας Μ.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ» Μ. Κούτρας Μ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας Σηειώεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ Μετάδοη Τάεων λόγω Επιβολής Φορτίων Σελίδα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ 8. Ειαγωγή Ένα ύνηθες αποτέλεµα των έργων Πολιτικού Μηχανικού είναι η επιβολή φορτίων το έδαφος

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο Μέχρι εδώ εξετάαµε την κίνηη ενός υλικού ηµείου υπό την επίδραη µιας δύναµης. Τα πράγµατα αλλάζουν δραµατικά αν αντί υλικού ηµείου έχοµε ένα τερεό ώµα. Η µελέτη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΕΣ ΣΥΜΒΑΣΕΙΣ 2011

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΕΣ ΣΥΜΒΑΣΕΙΣ 2011 ΕΠΙΧΕΙΡΗΙΑΚΕ ΥΜΒΑΕΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΗ ΥΝΑΨΗ ΠΑΠΑΤΡΑΤΟ 17/01/ ΤΡΙΕΤΗ -2013 ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΟΧΗ ΑΕΡΙΟΥ ΘΕΑΛΟΝΙΚΗ ΑΕ ΑΓΡΟΤΙΚΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟΙ ΛΕΥΚΟΛΙΘΟΙ 17/01/ ΔΙΕΤΗ 01/08/2010 31/07/2010 20/01/ ΑΟΡΙΤΟΥ ΑΠΟ 01/01/

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ»

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ» ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ.-.

Διαβάστε περισσότερα

6. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ

6. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ 6. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ Είναι φυικό ότι ο δειγματικός υντελετής R, ως μια τατιτική υνάτηη, είναι μιά τυχαία μεταβλητή. Οπως είπαμε ήδη μποεί να χηιμοποιηθεί αν εκτιμήτια του. Για να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων Στατιτικός έλεγχος υποθέεω. Βαικές έοιες. Στατιτικός έλεγχος υποθέεω για τη μέη τιμή εός πληθυμού.. Ο πληθυμός είαι καοικός.. Το μέγεθος του δείγματος είαι μεγάλο.3 Πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ και ιχύς

Διαβάστε περισσότερα

G G. = - +kr. 4 as. σ α s. Για τις ισχυρές αλληλεπιδράσεις ισχύει: 2. Η μορφή του δυναμικού μεταξύ δύο κουάρκ που χρησιμοποιείται συνηθέστερα είναι:

G G. = - +kr. 4 as. σ α s. Για τις ισχυρές αλληλεπιδράσεις ισχύει: 2. Η μορφή του δυναμικού μεταξύ δύο κουάρκ που χρησιμοποιείται συνηθέστερα είναι: Για τις ιχυρές αλληλεπιδράεις ιχύει: s gs 00 s = π Η μορφή του δυναμικού μεταξύ δύο κουάρκ που χρηιμοποιείται υνηθέτερα είναι: s V s = - kr r e - e Πειραματική μαρτυρία και για τους δύο όρους. Εγκλωβιμός

Διαβάστε περισσότερα