Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών"

Transcript

1 Διαφορές μεταξύ Αφαλίεων Ζωής και Γενικών Ζωής Αφαλιμένο κεφάλαιο (γνωτό Ένα υμβάν 3 Μικρή εξέλιξη ζημιάς (πχ άνατος, το μααίνεις αμέως Γενικές Μπορεί να είναι γνωτό, μπορεί και όχι (πχ το πίτι αν κατατραφεί τελείως ξέρουμε πόο κάνει,το αυτοκίνητο, τις ατικές ευύνες δεν υπάρχει Όχι απαραίτητα ένα υμβάν (πχ τρακάριμα 3 Μακρά εξέλιξη ζημιών (πχ την ατική ευύνη εργοδοτών υπήρξε έκεη ε καρκινιγόνα χημικά και το γεγονός ανακοινώηκε χρόνια αργότερα Οι παράγοντες τιμολόγηης (rtg fctrs είναι προεγγίεις ε παράγοντες κινδύνου (rsk fctrs (πχ το αυτοκίνητο ένας παράγοντας κινδύνου είναι το πόο καλός οδηγός είναι ένας παράγοντας τιμολόγηης είναι και η ηλικία Αυτοκίνητο Η αφάλιη της ατικής ευύνης από αυτοκίνητα, κοπό έχει να καλύψει την επιβάρυνη της περιουίας του κατόχου ή του κυρίου του αυτοκινήτου με μια απαίτηη τρίτου η οποία προέρχεται από το αυτοκίνητο του αφαλιμένου Στην Ελλάδα, η αφάλιη αυτοκινήτων είναι υποχρεωτικήτα όρια είναι 5 για ωματικές βλάβες και για υλικές ζημιές Στην Αγγλία είναι χωρίς όρια Σε άλλες χώρες έχει όριο ανά άτομο ή ανά ατύχημα Ο αφαλιτής αναλαμβάνει να καλύψει τους παρακάτω κινδύνους: Τον κίνδυνο ατικής ευύνης για υλικές ζημιές, οι οποίες προκαλούνται ε τρίτους b Τον κίνδυνο ατικής ευύνης για ωματικές βλάβες, οι οποίες προκαλούνται ε τρίτους (όχι ε αυτούς οι οποίοι επιβαίνουν το αυτοκίνητο c Τον κίνδυνο ατικής ευύνης του αφαλιμένου προς τους επιβάτες του αυτοκινήτου (με εξαίρεη του οδηγού, είτε πααίνουν ωματικές ή υλικές ζημιές εξαιτίας του αυτοκινήτου d Ίδιες ζημιές του οχήματος με απαλλαγή ή χωρίς απαλλαγή e Πυρκαγιά του οχήματος

2 f Ολική κλοπή του οχήματος g Μερική κλοπή του οχήματος Για τη διαμόρφωη του αφαλίτρου υνήως λαμβάνουμε υπόψη τα ακόλουα τοιχεία και πληροφορίες: Η κατηγορία του οχήματος (ιδιωτικά επιβατικά, ταξί, φορτηγά δημοίας χρήεως, λεοφωρεία δημοίας χρήεως, μοτοικλέτες-μοτοποδήλατς, γερανοί-φορτωτέςγεοτρύπανα-κλπ,με διάφορες υποκατηγορίες b Η ιπποδύναμη του οχήματος c Η έδρα και ο χώρος χρήης του οχήματος(ατικά κέντρα d Οι αναλαμβανόμενοι κίνδυνοι και τα αφαλιζόμενα ποά έναντι του αφαλιζομένου e Η ηλικία του ιδιοκτήτη ή του οδηγού (πχ μέχρι ηλικίας 3 ετών έχουμε επιβάρυνη του αφαλιμένου κατά 3% f Τα χρόνια οδήγηης και έκδοης της άδειας οδήγηης g Η προιτορία του οχήματς, του οδηγού ή του ιδιοκτήτη (t Sstem, Bus Mlus, ατυχήματα (πχ αν ένας οδηγός δεν υποτεί ατύχηα α έχι % μείωη για κάε χρόνο μεανώταο όριο το 5% και αυξάνεται για κάε ζημιά κατά % με ανώτατο όριο το % h Το επάγγελμα Το φύλο Η εξέλιξη ζημιών τον κλάδο των αυοκινήτων, αν αφορά ατική ευύνη προς τρίτους είναι υνήως μεγάλη, ενώ για υλικές ζημιές είναι χετικά μικρή Πιο υχνά, οι μεγάλες ζημιές έρχονται από τετραπληγία (ψυχική οδίνη, έλλειψη ειοδήματος, ιατρικά έξοδα Η υγκέντρψη κινδύνου τα αυτοκίνητα υνήως παρατηρείται το χαλάζι Αφαλίεις Πυρός Οι αφαλίεις πυρός πιτιού μπορεί να αφορά είτετο κτίριο είτε το περιεχόμενο Η αφάλιη από πυρκαγιά εμφανίτηκε κυρίως μετά τη μεγάλη πυρκαγιά του Λονδίνου το 666 Με το βαικό αφαλιτήριο υμβόλαιο πυρός καλύπτονται οι ζημιές που προέρχονται από τις παρακάτω αιτίες από πυρκαγιά από κεραυνό 3 από βραχυκύκλωμα

3 4 από έκρηξη από φιάλη υγραερίου, ερμοίφωνα και λέβητα κεντρικής έρμανης 5 από έξοδα πυρόβεης από την πυροβετική υπηρεία 6 από γειτονική πυρκαγιά 7 από τζάκια και ανάφλεξη μαγειρικού κεύους 8 από απρόβλεπτα γεγονότα, εκτός από εξαιρέεις που αναφέρονται το αφαλιτήριο (όπως πόλεμος, τρομοκρατικές ενέργειες, εμφύλια ύρραξη, ραδιενέργεια, φορά, δόλος Στις τιμολογημένες προήκες ανήκουν οι κίνδυνοι από: ειμό b πολιτικές ταραχές και τρομοκρατικές ενέργειες c βραχυκύκλωμα από πτώη αεροπλάνου, πυρκαγιά από δάος, απώλεια ενοικίων, κίνδυνοι εκρήξεων Για να καοριτεί το αφάλιτρο ενός κινδύνου για πυρκαγιά α πρέπει να έχουμε τα εξής τοιχεία: το είδος και η φύη του αφαλιμένου αντικειμένου ή της οικοδομής (βιομηχανικός ή απλός κίνδυνος Την τοποεία του αντικειμένου (βλέπουμε τη υχνότητα κλοπών, αν απειλείται από πλημμύρα-τυφώνα 3 Την κατακευή του κτιρίου, τον αριμό ορόφων (μπετόν, ξύλα, κατακευή κεπής 4 Τη χρήη των γειτονικών κτιρίων 5 Τα μέτρα πυροπροταίας 6 Τη χρήη κτιρίου (πχ κατακευή πυροτεχνημάτων το υπόγειο 7 Τη ζώνη την οποία ανήκει, δηλαδή αν ανήκει τη ζώνη εκείνη που υπάρχει πυροπροταία (ταμοί πυροβετικής υπηρείας 8 Τη ζώνη την οποία ανήκει το ακίνητο χετικά με την επικινδυνότητα κάε περιοχής το έμα των ειμών 9 Επάγγελμα Ηλικία Το είδος έρμανης Η υγκέντρωη κινδύνου υνήως παρατηρείται ε ειμό ή καταιγίδα 3

4 Έκεης τον κίνδυνο (psed t Rsk Πολλές φορές είναι δύκολο να διαλέξουμε την πιο κατάλληλη μέοδο για τον υπολογιμό του χρόνου έκεης τον κίνδυνο ε αντιδιατολή με τις Αφαλίεις Ζωής όπου ο παρονοματής του δείκτη νηιμότητας-νοηρότητας εκφράζεται ε χρόνο ζωής έκεης τον κίνδυνο Παραδείγματα Αεροναυτιλία (Avt Isurce Δύκολο να ορίουμε ποιος δείκτης ζημιών είναι πιο κατάλληλος πχ (α ζημιές ανά αεροκάφος ανά έτος (β ζημιές ανά χιλιόμετρο (γ ζημιές ανά προεδαφίεις-προγειώεις (δ ζημιές ανά τόνο καταναλώιμα καύιμα Οδική Αφάλιη (Mtr Isurce (α Ζημιές ανά έτος αμαξώματος-δηλαδή ανά χρόνο ε έτη που ο αφαλιμένος είναι εκτεειμένος τον κίνδυνο (epsed t rsk (β Ζημιές ανά χιλιόμετρα οδήγηης Επίης, ανάλογα με τον κίνδυνο που έλουμε να καλύψουμε μπορεί να αλλάζει και ο υπολογιμός έκεης τον κίνδυνο Πχ, αν έλουμε δείκτη για την κλοπή αμαξιού τότε ως έκεη τον κίνδυνο α ήταν πιο κατάλληλος ο χρόνος ε έτη που ο αφαλιμένος είναι εκτεειμένος τον κίνδυνο παρά τα χιλιόμετρα οδήγηης Υπάρχουν γενικά δύο βαικές μέοδοι υπολογιμού της έκεης τον κίνδυνο Απογραφική Μέοδος (cesus methd Για πρακτικούς τρόπους είναι η μέοδος που χρηιμοποιείται πιο υχνά και αυτόματα επιτρέπει να υπάρχουν τερματιμοί-αποχωρήεις-νέα υμβόλαια κατά τη διάρκεια μιας έρευνας Ακριβής Μέοδος (Εct methd Πολύ δύκολη το χειριμό και την πράξηαπαιτεί αυτηρό και ακριβό μηχανογραφικό εξοπλιμό, αλλά μετρά με ακρίβεια (και όχι προεγγιτικά όπως έχουμε την απογραφική μέοδο την έκεη τον κίνδυνο 4

5 Παράδειγμα Έτω ότι τις παρακάτω ημερομηνίες έχουμε καταγράψει τον αριμό των υμβολαίων που βρίκονται ε ιχύ και έλουμε να εκτιμήουμε το ρυμό ζημιών αν ξέρουμε ότι ο αριμός ζημιών μέα το 998 ήταν 364 //98 56 /4/98 67 /7/ // // ( Ετω t ο αριμός των υμβολαίων το χρόνο t, μεταξύ //98-//99, τότε το t α μας δώει το χρόνο υνειφοράς της έκεης τον κίνδυνο το μικρό χρονικό διάτημα dt (υποέτουμε ότι ε αυτό το διάτημα το ρμηνεία: (α ο μέος αριμός υμβολαίων παραμένει ταερό τότε ( t dt (dt t ( t (β ο υνολικός χρόνος έκεης τον κίνδυνο Εδώ, γνωρίζουμε ότι ( 56, (,5 67, ( 5 689, ( , Αν υποέουμε ότι το τιμών ( t t ( dt ( 977 είναι γραμμικό ε κάε χρονικό διάτημα μεταξύ δύο γνωτών,5 ( t dt ( t dt ( t dt [ ( (,5 ],5 [ (,75 ( ] ( t dt 79,9 λ, ,33,9 όπου, λ η εκτίμηη του ρυμού ζημιών μέα το έτος αυτό τότε,5 5

6 Αφάλιτρα (rmums Tα αφάλιτρα μπορούν να διατυπωούν ως μια απεικόνιη από ένα ύνολο τμ (ή κατανομών ε πραγματικούς αριμούς: H[ Z ] Z ο κίνδυνος (ή η οικονομική απώλεια ως τμ το αφάλιτρο H [] η αρχή υπολογιμού αφαλίτρου Αρχές Υπολογιμού Αφαλίτρων Αρχή της Μαηματικής Ελπίδας Η πιο απλή μορφή είναι [ Z ] το κααρό αφάλιτρο κινδύνου (pure rsk premum Από τη εωρία κινδύνων γνωρίζουμε ότι αν εφαρμόουμε ως αρχή τη μέη τιμή του κινδύνου τότε έχουμε χρεοκοπία (ru ακόμη και με αρχικό απόεμα μεγάλο Έτι, έχουμε ότι (ύμφωνα με την ίδια αρχή ( δ [ Z ], όπου δ δηλώνει το περιώριο αφαλείας (securt ldg και εκφράζει την αβεβαιότητα ως προς την απόκλιη του Z από τη [ Z ] καώς και την αβεβαιότητααπόκλιη της εκτίμηης [ Z ] από παλιά τοιχεία ε χέη με την πραγματική, αλλά άγνωτη [ Z ] Αρχή της Τυπικής Απόκλιης και Διαποράς -ldg [ Z ] β [ Z ] -ldg [ Z ] γvr[ Z ] δώ δεχόματε ότι το περιώριο αφαλείας πρέπει να εξαρτάται από το βαμό απόκλιης του Z και όχι απλά να είναι ένα ποοτό της μέης τιμής [ Z ] Αρχή της Μέγιτης Απώλειας [ Z ] ( p M[ Z ], p p Αν M [ Z], τότε ο κίνδυνος Z είναι μη-αφαλίιμος Διαφορετικά μπορούμε να επιλέξουμε ένα ε> και να βρούμε το ελάχιτο για το οποίο ιχύει η ανιότητα 6

7 ( Z ε, δηλαδή να βρούμε ένα ημείο Χ πέραν του οποίου εωρούμε την πιανότητα αμελητέααν το ελάχιτο αυτό είναι ε p Z p ξ έτουμε [ ] ( ξε Αρχή της Μέης Τιμής f ( [ f ( Z ], όπου f μια υνεχής και αυτηρά μονότονη υνάρτηη το πεδίο οριμού του φραγμένου κινδύνου z Ελβετική Αρχή f (( p [ f ( z p],όπου f μια υνεχής και αυτηρά μονότονη υνάρτηη και p [,] Αν p, τότε έχουμε την αρχή της μέης τιμής Αρχή Orlcz z φ φ(, όπου φ υνάρτηη : φ > και φ Αρχή sscher z [ ze ] z [ ] e Αρχή της Ωφελιμότητας Η αρχή εκφράζει την πεποίηη ότι οι οικονομικές αποφάεις δε λαμβάνονται με γνώμονα την αντικειμενική αξία ενός χρηματικού ποού (πχ με βάη την αγορατική δύναμη του ποού, αλλά τη ημαία-ωφελιμότητα που έχει το ποό για το λήπτη της απόφαης Ο Berull αρχικά διατύπωε το νόμο της φίνουας οριακής ωφελιμότητας όπου ιχύει ότι η αύξηη την ωφελιμότητα (u από προαύξημα τον ήδη υπάρχοντα πλούτο είναι πάντα αντιτρόφως ανάλογη προς το Παραδείγματα τέτοιων υναρτήεων ωφελιμότητας είναι: u (, ( ( ( ( e,( > u, u l, u Και άτομα που τα χαρακτηρίζουν τέτοιου είδους υναρτήεις (δηλαδή όταν u > και u < λέγονται κινδυνοφόρα Στην άλλη πλευρά είναι ο κινδυνολάτρης όταν ιχύει u > και u > 7

8 u ( u (, u ( l (, u ( e, ( e Πχ, u Μαηματική Διατύπωη της Αρχής της Ωφελιμότητας Αν είναι ο κίνδυνος, G το αφάλιτρο και u η υνάρτηη ωφελιμότητας τότε το μέγιτο αφάλιτρο G m (άγνωτο που το άτομο είναι διατεειμένο να καταβάλει για να αφαλιτεί έναντι κινδύνου είναι: u ( G m [ u( ], όπου τα περιουιακά τοιχεία του ατόμου Επίης, το ελάχιτο αφάλιτρο G m προκειμένου να αφαλίει τον κίνδυνο είναι: που ο αφαλιτής είναι διατεειμένος να δεχτεί u ( [ u( G ] m, όπου τα περιουιακά τοιχεία του αφαλιτή Η υνήκη για ύναψη αφάλιης είναι αν Gm G m Τέλος, το μέγιτο ποό κ που είναι διατεειμένος κάποιος να καταβάλει την περίπτωη που αξιοόγεί το ενδεχόμενο να αποκτήει το δικαίωμα ε τυχαίο κέρδος χ (πχ ( [ ( ] λαχείο η αρχή είναι: u u k Πρόταη:Ένα κινδυνοφόρο άτομο είναι διατεειμένο να καταβάλει αφάλιτρο μεγαλύτερο από το [( ] για κίνδυνο Απόδειξη Από την Ανιότητα Jese ξέρουμε ότι: Αν X τμ και φ κυρτή, δηλαδή >, [ ] [ [ ] φ <, φ( X φ X και αν ιχύει ότι [ u( ] u[ [ ] ( u ( Gm [ u( ] G [] G m ( u m φ τότε [ ( X ] φ[ [ X ] φ και αν φ κοίλη, δηλαδή φ (πχ φ ( β τότε [ ( X ] φ[ [ X ]] φ Εδώ, ( [ ] u( [] u( Gm u( [] [] Αλλά ξέρουμε ότι ιχύει u u > Παράδειγμα Αν u ότι ( e και ~ ( μ, t τότε ξέρουμε ότι M ( t [ e ] μ t t e Τότε έχουμε 8

9 ( G ( ( G [ u( ] e e u G G [ ] e e e [ e ] e M ( G l( M ( G μ G μ δηλαδή, αρχή υπολογιμού ύμφωνα με το νόμο της διαποράς Έτι, διαπιτώνουμε ότι η αρχή της μαηματικής ελπίδας βρίκεται ε μεγάλη αναντιτοιχία με την οικονομική υμπεριφορά των ανρώπων Η εωρία της ωφελιμότητας αποτελεί μια απόπειρα να εξηγηούν οι αποκλίεις από την αρχή της μαματικής ελπίδας και ταυτόχρονα αντανακλά την αποψη ότι δεν ενδείκνυται η χρήη της μαηματικής ελπίδας τα χρηματικά ποά Το αφάλιτρο που καταβάλλεται τελικά από τον αφαλιμένο είναι μεγαλύτερο από αυτό που προκύπτει από την οποιαδήποτε αρχή υπολογιμού, διότι περιλαμβάνει προβλέψεις για έξοδα, προμήειες τυχόν διαμεολαβούντα πρόωπα και τυχόν φόρους και τέλη Επιυμητές Ιδιότητες των Υπολογιμού του Αφαλίτρων Για τις αρχές υπολογιμού των αφαλίτρων έχουν διατυπωεί διάφορες επιυμητές ιδιότητες όπως: [] ( z m z Η χέη m [] z ( z αντανακλά την ανάγκη να υπάρχει κάποιο περιώριο αφάλειας Η χέη αντανακλά το μη αέμιτο πλουτιμό του αφλιτή, ε διαφορετική περίπτωη α καιτουε περιττό τον υπολογιμό αφαλίτρου z z z ( ( ( z όπου ( z z αφάλιτρο για τον κίνδυνο ( z z ( ( c 3 z c z, c ταερά ( ( 4 zc c z, c ταερά 5 ( z z ( z ( z Στοιχεία από τη εωρία Πιανοτήτων και τη εωρία Bes Οριμός Αν Α και Β γεγονότα: B τότε η δεμευμένη πιανότητα του Α δεδομένου του Β να είναι ( A B ( ( A και ( B ( A B ( B B 9

10 Θεώρημα Bes ( ( A B Έτω Α και Β γεγονότα: B τότε Απόδειξη ( B A ( A B ( A ( A B ( B A (A ( B A ( A ( B τότε ( A B ( A B ( B ( B A ( A ( B Σημείωη: Εφόον η τιμή ( B ( A B c (A ή ( A B ( B A ( A δεν εξαρτάται από το Α μπορούμε να εωρήουμε ότι Θεώρημα Ολικής Πιανότητας Έτω A,, μετρήιμη οικογένεια γεγονότων: A A A, (ξένα μεταξύ τους Ω, όπου Ω δειγματικός χώρος, δηλαδή τα αποτελούν μια A διαμέριη του Ω τότε ιχύει ότι Απόδειξη ( B ( B A ( A ( B [ B Ω] B A ( B A { με { } { B A } { B A } B [ B A ] } B A [ A ] I A A B ξένα μεταξύ τους γιατί [ ] Οριμός Έτω Χ διακριτή τμ με τιμές [] [ ],, τότε η μέη τιμή της X είναι: Οριμός Η δεμευμένη μέη τιμή της Χ δεδομένου ενός γεγονότος A (δεδομένου λοτι το γεγονός αυτό έχει υνβεί είναι [ A ] [ A ]

11 Θεώρημα Αν A [ ], A, αποτελούν διαμέριη του Ω και διακριτή τμ με τότε [] [ A ] [ A ] Απόδειξη [] [ [ ] [ ( ( ] ( Από τον τύπο της ολικής πιανότητας έχουμε ότι A ] [ A ] ( [] ( A ( A [ A ] ( A ( A ( A ( A [ A ] Προέκταη του Θεωρήμα Bes Αν c, c,, c κ μια διαμέριη του Ω τότε ( c A ( A c ( c κ,,,,κ ( A c ( c Παράδειγμα Μια αφαλιτική εταιρία γενικών αφαλίεων για αυτοκίνητα χωρίζει τους οδηγούς ε Αφαλείς, Μέτριους και Κακούς και ξέρει ότι ( A, ( Μ 5, ( K 3 υμβολίουμε με Ε το ενδεχόμενο να έχει κανείς τουλάχιτον ένα δυτήχημα κατά τη διάρκεια του έτουςη εταιρεία ξέρει ότι: ( A 5, ( Μ 5, ( K 3 Ας άν ένας από τους αφαλιμένους της εταιρίας δεν έχει κανένα δυτήχημα κα`όλη τη διάρκεια ενός έτους, ποια η πιανότητα να είναι Αφαλής οδηγός; Λύη c ( A c ( A ( A c c c ( A ( A ( M ( M ( K ( K όχι και τόο μεγάλη πιανότητα

12 Θεωρήμα του Bes με όρους τμ ( f ( f ( ( f ( ( f ( f f f d Έτι, η -psterr κατανομή είναι ανάλογη της -prr κατανομής επί της υνάρτηης πιανοφανειας (lkelhd fuct Δεμευμένες τμ και κατανομές Έτω ε κιλά ενός τρέμματος και η ποότητα ε κιλά λιπάματος που χρηιμοποιείται Μια από τις πουδαίες χρήεις της υνκατανομής των (, είναι η πρόβλεψη της απόδοης δεδομένου ότι χρηιμοποιήηκε ποότητας Χ (πχ κιλά λίπαμα Μας ενδιαφέρουν λοιπόν οι υνάρτήεις της μορφής F ( ( Y X και ( Y X Οριμός Έτω διακριτή τμ z (, υναρτήεις Δεμευμένη μπ υπό υνήκες: με υνκατανομή ( z (, ( ( : [ Y X ] Ορίζουμε τις ακόλουες ( X, Y [ X ] (, (, ( ( Εφόον X b Δεμευμένη κ ή υπό υνήκη: (, (, F ( F ( : ( Y X ( { Y } { X } ( X (, X ( X Y ( Εφόον Παρατηρούμε ότι ( ( ( X, Y ( X ( X ( X Y X,

13 ( δηλαδή : η ( είναι μπ Μπορούμε λοιπόν να ορίουμε ως προς αυτήν την μπ μέη τιμή, διαπορά, ροπές, κλπ όπως και τις αδέμευτες κατανομές Οριμός ( Έτω διακριτή τμ, R Η υνάρτηη (ως προς μ ( [ Y X ] : ( : ( Y καλείται εμευμένη (ή υπουνήκες μέη τιμή της Υ όταν Χ εφόον υπάρχει, δηλαδή ( μέη τιμή ορίζεται η μέη τιμή της δεμευμένης κατανομής Δηλαδή αν δεμευμένη Ανάλογα ορίζονται η ροπογεννήτρια και οι ροπές τάξεως και έτι η δεμευμένη διαπορά ( ορίζεται ως η διαπορά της δεμευμένης κατανομής : : ως {( X } μ( ( Δ ( Y X : Y ( Y X ( ( Y X Y Y ( [ Y X ] Y Εξαιρετικά χρήιμη τις εφαρμογές είναι η ακόλουη μορφή του τύπου της ολικής πιανότητας: ( (, ( (, εφόον : ( Αν οι, είναι ανεξάρτητες τότε ( ( X, Y ( X ( X ( Y ( X Y και ανάλογα ( ( Y F ( F ( και [ Y X ] [ Y ] Y κλπ Παράδειγμα Έτω τμ ~ ( λ και ( μ ~ και έτω, ανεξάρτητες Αν z: να δείξετε ότι z z ~ Δ z, : λ, z,,, λ μ δηλαδή z z ( z ( p ( p,,,,, z Απόδειξη 3

14 Ξέρουμε ότι ( λ μ z ~ τότε ( z ( k z k zk z λ μ z k zk ( ( p ( p λ μ λ μ z ( k, z ( z ( k, z ( Z z e e λ k λ e μ z k! ( z ( λ μ ( λ μ z! μ! z ( ( ( z z k zk Επίης, μπορούμε να έχουμε ότι F k z k p p,,,, μ ( z [ Z z] zp ( z zp( p k Οριμός Έτω, τμ και έτω ότι : ( ορίζεται η μ ( [ Y X ] τυχαία μεταβλητή [ Y X ]: μ(, (δηλαδή υνάρτηη της, τότε ορίζουμε την τμ αν δεμευμένη μέη τιμή της Υ δεδομένης της Χ χωρίς να δεμεύουμε την Χ ε κάποιο υγκεκριμένο S Ανάλογα, ορίζουμε τις τμ της δεμευμένης ροπογεννήτριας και δεμευμένων ροπών τάξεως κ, πχ η δεμευμένη διαπορά της Υ δεδομένης της Χ είναι V [ Y X ]: (, ( : Δ( Y X όπου, S Στο προηγούμενο πχ βρήκαμε ότι ( z [ X Z z] zp μ και ( z Δ ( X Z z zp( p Επομένως, [ X Z] μ( z zp ( z Δ ( X Z zp( p [ [ X Z ] [ μ( z ] [ pz] p z [ z] p( λ μ λ [ ] z z Σχόλιο : Αυτή η χέη ιχύει γενικότερα z και Παρατηρούμε ότι Πρόταη [ ] [ Y ] Έτω, τμ και μ ( τότε [ Y X ] Απόδειξη 4

15 [ ] [ ] ( [ ] ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( [ ] Y X Y μ μ Η πρόταη αυτή είναι εξαιρετικά χρήιμη τη εωρία και τις εφαρμογές είναι δε ιχυρό εργαλείο για να υπολογίουμε δύκολες μέες τιμές Παράδειγμα Έτω με,,, ( λ ~ και ( p m, Δ ανεξάρτητη των άλλων Υπολογείτε την Λύη ( ( ( ( [ ] ( ( ( mp mp mp mp λ μ μ μ Για τη δεμευμένη διαπορά έχουμε το αντίτοιχο αποτέλεμα Πρόταη Έτω, τμ και τότε ( ( ( { } ( { } ( [ ] ( ( X Y X Y Y μ Δ Δ Δ Δ Απόδειξη ( { } ( ( [ ] { } ( { } ( { } ( [ ] { } ( ( [ ] ( [ ] [ ] { } ( ( ( X Y Y X Y X Y Y X Y Y X Y X Y X Y X Y X Y Δ Δ Δ Δ Στο πχ βρήκαμε ότι ( [ ] zp z Z X z μ και ( ( ( p zp z Z X z Δ τότε έχουμε ότι ( [ ] ( ( ( ( μ z λ p p z p p ( [ ] ( ( ( μ λ μ Δ Δ Δ p z p pz z και παρατηρούμε ότι ( [ ] ( ( ( [ ]( ( ( p p p p z z Δ Δ λ μ λ μ λ μ 5

16 Άκηη Να βρείτε την του πχ Δ Πόριμα Αν ανεξάρτητες τμ με ίδιες πρώτες και δεύτερες ροπές και αν ο αριμός των ζημιών Ν είναι ανεξάρτητος από το ύψος ζημιάς, τότε η αναμενόμενη τιμή της τμ S : είναι ( S S ( ( Απόδειξη ( ( ( ( ( ( ( ( ( S S Διαφορετικά, ( ( [ ] ( [ ] S S μ Αλλά,, οπότε ( ( ( S μ ( ( ( ( ( S Πόριμα ( ( ( ( ( ( Vr Vr S Vr Απόδειξη Από την πρόταη ( ( { } ( { } ( [ ] ( ( X Y X Y Y μ Δ Δ Δ Δ, αντικαιτούμε όπου ΥS και ΧΝ, τότε α έχουμε ( ( [ ] ( ( ( ( ( ( Vr Vr Vr Vr Vr Vr S Vr 6

17 Στοιχεία από τη εωρία Βes Έτω η παράμετρος (άγνωτη που έλουμε να εκτιμήουμε και ( f η πιανότητα που καορίζει την πιανότητα παρατήρηης διαφορετικών τιμών, κάτω από διαφορετικές τιμές της παραμέτρου Η εμελιώδης διαφορά με την κλαική τατιτική υμπεριματολογία είναι ότι η χρηιμοποιείται αν τυχαία ποότητα Η υμπεριματολογία κατά Βes βαίζεται την f ( και όχι την f (, δηλαδή βαίζεται την πιανότητα της κατανομής της παραμέτρου δεδομένης της και όχι της δεδομένης της παραμέτρου και για να επιτευχεί αυτό πρέπει να καορίουμε την -prr κατανομή f ( (prr prbblt dstrbut η οποία αντιπροωπεύει τις πεποιήεις μας για την κατανομή του προτού αποκτήουμε οποιαδήποτε πληροφορία για τα δεδομένα μας Έτι, η υμπεριματολογία κατά Βes βαίζεται την ( εξαρτάται (μέω του εωρήματος Βes : f ( f την -prr κατανομή της οποίας ( f ( ( f ( d f από τον τρόπο f καοριμού της -prr κατανομής f (, f ( f ( f ( όπου ( f η υνάρτηη πιανοφάνειας (lkelhd fuct Ο παρονοματής είναι υνάρτηη μόνο του, οπότε για δεδομένες παρατηρήεις είναι ταερά και ονομάζεται ταερά κανονικοποίηης Η ημερινή -psterr είναι η αυριανή -prr Το επόμενο ερώτημα που προκύπτει την Μπευζιανή εωρία είναι πως α μειώουμε την πληροφορία την -psterr κατανομή, ώτε να έχουμε μια μοναδική άριτη εκτιμήτρια Για τη λύη του προβλήματος α πρέπει να καορίουμε μια υνάρτηη απώλειας L (, η οποία α μετρά την ποινή μας όταν εκτιμούμε την παράμετρο μέω της αεκτιμήτρια Οι πιο υνιιμένες υναρτήεις είναι οι εξής: I Δευτεροβάμια Συνάρτηη Απώλειας (Qudrtc Lss L (, ( II Συνάρτηη Απώλειας Απολύτου Σφάλματος (Abslute rrr Lss L(, ( III - Απώλεια (Lss L g (, { h( ( ανα>, g> ανα< h> Σε κάε μία από τις παραπάνω περιπτώεις, με την ελαχιτοποίηη της -psterr αναμενόμενης απώλειας, δηλαδή την ελαχιτοποίηη της [ L(, ] μπορούμε να βρούμε 7

18 απλές μορφές για τους κανόνες αποφάεων του Βes, οι οποίες εωρούνται ημειακές εκτιμήεις για την παράμετρο, για τη υγκεκριμένη επιλογή της υνάρτηης απώλειας Παράδειγμα Αν L(, ( [( ] ( f ( τότε ( [ ] [ ] f ( ( ( f ( d [ ( ] [ ( ] f ( Vr ( [ ( ] d d d [ ( ] f ( Και ελαχιτοποιείται όταν (, δηλαδή η απόφαη ύμφωνα με τη εωρία του Βes είναι να εκτιμήουμε την παράμετρο μέω της αναμενόμενης τιμής της -psterr κατανομής και έτι η ελάχιτη αναμενόμενη απώλεια είναι η -psterr διακύμανη Ανάλογα αποτελέματα έχουμε όπως την Γραμμική υνάρτηη απώλειας ο εκτιμητής κατά Βes είναι η διάμεος της -psterr κατανομής (η υνάρτηη απώλειας απολύτου φάλματος είναι μία ειδική περίπτωη της γραμμικής υνάρτηης απώλειας αν έουμε hg και την - υνάρτηη απώλειας ο εκτιμητής κατά Βes είναι η κορυφή (mde της - psterr κατανομής Τέλος, παρατηρούμε ότι την Μπευζιανή υμπεριματολογία χρηιμοποιούμε έναν ταμιμένο μέο όρο της πιανοφάνειας (παρά την μεγιτοποίηή της με βάρη την -prr κατανομή Συζηγείς -prr κατανομές Η χρηιμοποίηη του εωρήματος του Βes υνεπάγεται αρκετές υπολογιτικές δυκολίες όταν είναι απαραίτητος πολλές φορές ο υπολογιμός της ταεράς κανονικοποίηης ( ( ( f f f ( f ( f ( d για τον υπολογιμό της f ( f Πολλές φορές προκύπτει ότι ακόμα και απλές επιλογές των -prr κατανομών μπορούν να οδηγήουν ε δύκολα (αριμητικά προβλήματα υπολογιμών τέτοιου είδους ολοκληρώματος Παρόλα αυτά ε πολλές περιπτώεις η απλοποίηη των υπολογιμών που προφέρουν περιπτώεις όπου καορίζουμε μια -prr κατανομή και η -psterr που προκύπτει να ανήκει την ίδια οικογένεια κατανομών είναι εντυπωιακή Τέτοιου είδους κατανομές λέγονται υζηγείς -prr κατανομές Μπορούμε να δείξουμε ότι η μόνη περίπτωη την οποία οι d 8

19 υζηγείς -prr κατανομές μπορούν να προκύψουν εύκολα είναι για τα μοντέλα δεδομένων τα οποία ανήκουν την εκετική οικογένεια κατανομών Ο παρακάτω πίνακας παρουιάζει πολλές από τις υνηιμένες υζηγείς -prr κατανομές Πιανοφάνεια -prr -psterr ~ Δ (, ~ Bet ( p, q ~ Bet( p, q ( ~ J ( ~ J ( p, q, ~ J (, ~ J ( p, q k ~ J ( p k, q ~ Bet p, q ~ Bet( p, q, ~ G( ( ~ AΔ ( r, ~ Bet ( p, q ~ Bet( p r, q r, ~, ~ b, c ~ cb τ, c τ c τ Όπου, τ και κ γνωτά, Δδιωνυμική, JΓάμμα, GΓεωμετρική και ΑΔΑρνητική Διωνυμική Κατανομή πρόγνωης Ως τώρα είδμε μεόδους εκτιμηης παραμέτρων Αυτό που μας ενδιαφέρει όμως τις Γενικές Αφαλίεις είναι η διεξαγωγή προβλέψεων χετικά με τις μελλοντικές τιμές των κααρών αφαλίτρων (ή των υχνοτήτων ζημιών Στη διεξαγωγή προβλέψεων για μελλοντικές τιμές με βάη την εκτίμηη μοντέλων έχουμε δύο πηγές αβεβαιότητας: I Αβεβαιότητα τις τιμές της παραμέτρου οι οποίες έχουν εκτιμηεί με βάη προηγούμενα δεδομένα και II Αβεβαιότητα η οποία οφείλεται το γεγονός ότι κάε μελλοντική τιμή από μόνη της ένα τυχαίο γεγονός Στην κλαική τατιτική είναι υνήες να προαρμόζουμε ένα μοντέλο τα ήδη υπάρχοντα δεδομένα και να κάνουμε προβλέψης με την υπόεη ότι το μοντέλο μας είναι ωτό και η διαδικαία αυτή ονομάζεται εκτιμητική προέγγιη (estmtve pprch Έτι, η προέγγιη αυτή α ήταν για παράδειγμα η εύρεη του εκτιμητή μεγίτης Πιανοφάνειας της παραμέτρου f, δηλαδή την κατανομή και η υμπεριματολογία α βαιζόταν την κατανομή ( εκτίμηης Αυτή, η προέγγιη τηρίζεται μόνο τη δεύτερη πηγή αβεβαιότητας Αντίετα, το 9

20 πλαίιο της εωρίας του Βes οι δύο πηγές αβεβαιότητας καταμερίζονται την αβεβαιότητα της εκτίμηης των παραμέτρων Ας υποέουμε ότι έχουμε τα δεδομένα ( πυκνότητας πιανότητας ( ή υνάρτηη πιανοφάνειας ( μιας μεταβλητής με υνάρτηη, και έλουμε να εξάγουμε υμπεράματα χετικά με την κατανομή της μελλοντικής τιμής μέα από τη διαδικαία αυτή Με μια -prr κατανομή f ( το εώρημα του Βes Bs Credblt Θεωρούμε ένα prtfl το οποίο αποτελείται από I- αφαλιμένους κινδύνους, έτω,,, I Σε μια προκαοριμένη αφαλιτική περίοδο, ο -κίνδυνος δημιουργεί : έναν ζημιών (clms έτω ( ν με ύψος ζημιών Y ( v,,, 3 τα οποία μαζί,μας δίνουν τη υνολική ζημιά Y ν ( ν Η βαική ιδέα για την τιμολόγηη του κινδύνου είναι ο προδιοριμός του κααρού (pure ή μαηματικού αφαλίτρου ( Ο κλαικός τρόπος υποέτει ότι, με βάη κάποια αντικείμενα ποοτικά χαρακτηριτικά, ο κίνδυνος μπορεί να ταξινομηεί ε ομοιογενή ομάδες κινδύνων και έτι από τη τατιτική εωρία (υγκεκριμένα από το νόμο των μ εγάλων αριμών να προδιοριτεί το κααρό αφάλιτρο με ακρίβεια Στην πραγματικότητα όμως είναι φανερό ότι ένας τεράτιος αριμός από παράγοντες (fctrs υνειφέρουν την εκτίμηη του αφαλίτρου αυτού Έτι, για να καταλήξουμε ε ομοιογενείς τάξεις (ως προς τον κίνδυνο α πρέπει να υποδιαιρέουμε το prtfl ε ένα μεγάλο αριμό τάξεων (clsses, με κίνδυνο να καταλήξουμε ναι μεν,ε αποδεκτές ομοιογενείς τάξεις, αλλά με μικρή τατιτική πληροφορία μέα ε κάε τέτοια τάξη Από την άλλη,αν δε χωρίουμε το prtfl τον απαραίτητο αριμό τάξεων τότε η αναγκαία ομοιογένεια ως προς την τιμολόγηη χάνεται Επιπροέτως,υπάρχει και το «αξίωμα» ή η άποψη ότι δεν μπορούμε να έχουμε ομοιογενείς τάξεις κινδύνων την αφάλιη, διότι κάποια χαρακτηριτικά που επιδρούν ε αυτήν την ομοιογένεια δε υμπεριλαμβάνονται γιατί

21 ίως είναι μη προδιορίιμα ποοτικά (πχ η οδική υμπεριφορά ενός ατόμου,η εργαιακή ατμόφαιρα μιας εταιρίας ίως είναι πρακτικά δύκολα να τα ελεκτούνε (πχ τα υνολικά χιλιόμετρα οδήγηης ενός αφαλιμένου ίως γιατί είναι ηικά μη αποδεκτά (πχ το φύλο ή η ενικότητα ενός αφαλιμένου τελικά ίως να μην υπάρχει τατιτική επάρκεια το υπούνολο των αφαλιμένων που εξετάζουμε Ωτόο, το πρόβλημα παραμένει τι πρέπει κάποιος να ξέρει και να κάνει έτι ώτε να βρει «δίκαια» αφάλιτρα Κατά γενική ομολογία ιχύουν τα εξής: Κάε έκεη τον κίνδυνο ενός υγκεκριμένου κινδύνου (αφαλιμένου επιδρά την τιμολόγηη Ωτόο, η παρατηρούμενη εμπειρία ζημιών ενός ατόμου είναι τόο περιοριτική για να είναι τατιτικά επαρκής, Κάε ατομικός κίνδυνος αποτελεί κομμάτι του υνολικού κινδύνου Η υνολική εμπειρία ζημιών πράγματι μας προφέρει επαρκή τατιτική πληροφορία και μπορεί να χρηιμοποιηεί για τον υπολογιμό ενός μέου αφαλίτρου Ωτόο, αυτή η πληροφορία δεν περιλαμβάνει και δεν αξιοποιεί ποιοτικά υτατικά για κάε μεμονωμένο κίνδυνο Διαιητικά, είναι φανερό ότι και οι δύο παραπάνω πηγές από πληροφορίες α πρέπει να χρηιμοποιηούν για μια δίκαιη τιμολόγηη των κινδύνων Αυτός είναι και ο κοπός της credblt εωρίας η οποία είναι (α ένα μαηματικό εργαλείο για την περιγραφή ομοιογενών ομάδων (β απαντά το ερώτημα πως μπορεί κάποιος να υνδυάει την ατομική και την ομαδική εμπειρία ζημιών (γ ανήκει μαηματικά την περιοχή της Μπευζιανής τατιτικής Έτω, ότι ένας ατομικός κίνδυνος δίνει υνολικές ζημιές,,,, όπου δηλώνει το ύψος της υνολικής ζημιάς την αφαλιτική -περίοδο (πχ -έτος Με βάη τις παρατηρήεις τις προηγούμενες περιόδους T (,,, έλουμε να προδιορίουμε το κααρό αφάλιτρο για τις υνολικές ζημιές ε μια μελλοντική περίοδο, έτω

22 Οι υνήεις υποέεις που κάνουμε είναι οι εξής: Α:Όλα είναι ιόνομα κατανεμημένα με (δεμευμένη υνάρτηη κατανομής ( Α: Οι τμ είναι (δεμευμένα ανεξάρτητες F Στην αφαλιτική πρακτική η κατανομή F είναι άγνωτη και διαφέρει από κίνδυνο ε κίνδυνο Αυτό είναι ιοδύναμο με ότι το είναι άγνωτο και διαφέρει από κίνδυνο ε κίνδυνο Γενικά, δηλώνουμε ότι το είναι τοιχείο ενός χώρου Θ και μπορεί να αποτελεί το «προφίλ κινδύνου» Οριμός : T ωτό ή δίκαιο ατομικό αφάλιτρο ενός κινδύνου με προφίλ κινδύνου είναι d ( μ( : [ ] ( Έτι, το πρόβλημα της ατομικής τιμολόγηης μπορεί να διατυπωεί ως ο προδιοριμός της ποότητας μ( Ωτόο, την αφαλιτική πρακτική τα και μ( είναι άγνωτα και έτι έχουμε να βρούμε μία εκτίμηη μ ( για το μ( Όπως αναφέραμε και πριν, κάε -κίνδυνος μέα ε ένα prtfl υλλογικό χαρακτηρίζεται από το ατομικό προφίλ κινδύνου, έτω Οι παράμετροι είναι τοιχεία ενός υνόλου Θ, όπου Θ είναι το ύνολο όλων των (άγνωτων προφίλ κινδύνων από τους κινδύνους που υπάρχουν το υλλογικό prtfl Στην ειδική περίπτωη ενός ομοιογενούς υλλογικού prtfl το Θ αποτελείται από ένα μόνο τοιχείο και αντιτοιχεί την κλαική εώρηη αφάλιης: κάε μέλος από το υλλογικό έχι ακριβώς το ίδιο προφίλ κινδύνου και έτι την ίδια υνάρτηη κατανομής για τις αντίτοιχες υνολικές ζημιές Ωτόο, οι ομάδες κινδύνων ή το υνολικό prtfl την αφάλιη είναι κυρίως ανομοιογενείς Με άλλα λόγια,οι -τιμές διαφορετικών κινδύνων από το υλλογικό ή την ομάδα δεν είναι όλες οι ίδιες, αλλά δείγματα από το ύνολο Θ Αλλά, παρόλο που οι κίνδυνοι της ομάδας είναι διαφορετικοί παρόλα αυτά έχουν όλοι κάτι κοινό, όλοι ανήκουν τον ίδιο υλλογικό κίνδυνο, δηλαδή είναι δείγματα από το ίδιο ύνολο Θ Η κατάταη αυτή αναφέρεται όταν λέμε ότι οι κίνδυνοι το υλλογικό είναι όμοιοι (smlr Οι υγκεκριμένες -τιμές που προδιορίζουν κάε κίνδυνο από το υλλογικό είναι τυπικά άγνωτοι τον αφαλιτή Αλλά, με βάη της εκ των προτέρων γνώης (prr kledge ή και της τατιτικής πληροφορίας ο αφαλιτής γνωρίζει κάτι γύρω από τη δομή των με αναφορά το υλλογικό Γνωρίζει, για παράδειγμα, ότι οι περιότεροι οδηγοί είναι καλοί κίνδυνοι και πάνια δημιουργούν ατύχημα και ότι ένα μικρό ποοτό αυτών δημιουργούν

23 υχνά ζημιές Τυπικώς, η πληροφορία αυτή μπορεί να υνοψιτεί από τη υνάρτηη κατανομής U( πάνω το χώρο Θ Έτι, ορίζουμε τη υνάρτηη κατανομής U( η οποία καλείται υνάρτηη δομής του υλλογικού Η δομή U( μπορεί να ερμηνευτεί ως: Εμπειρική υχνότητα αν εωρήουμε ότι τα του υλλογικού αποτελούν τυχαίο δείγμα ενός δεδομένου υνόλου Θ και τότε η υνάρτηη U( περιγράφει τις εξιδανικευμένες υχνότητες των πάνω το Θ Η ερμηνεία αυτή καλείται εμπειρική Μπευζιανή Υποκειμενική άποψη ή εμπειρία του αναλογιτή αν εωρήουμε τη υνάρτηη κατανομής U( ως περιγραφή των ατομικών μας πιτεύω ή μίας εκ των προτέρων γνώμης και εμπειρίας μας Η ερμηνεία αυτή καλείται κααρή Μπευζιανή Οριμός : Το υλλογικό αφάλιτρο ορίζεται ως; cll μ ο : μ( du ( Ε Θ[ Ε[ Θ]] Ε[ Θ ] Έτι, το υλλογικό αφάλιτρο αντιτοιχεί το μέο όρο, όλων των κινδύνων του υλλογικού, της αναμενόμενης ζημιάς ανά κίνδυνο Το αφάλιτρο αυτό υνήως, μπορεί να εκτιμηεί με μεγάλη ακρίβεια με βάη τις παρατηρήεις από το παρελόν και επίης καλείται και ως trff level Σημείωη: Το πιο ανταγωνιτικό αφάλιτρο είναι το ωτό ατομικό αφάλιτρο, διότι το υλλογικό αφάλιτρο δημιουργεί το πρόβλημα της αντιεπιλογής Παρατηρούμε ότι το υλλογικό αφάλιτρο είναι ένας αδέμευτος μέος και έτι ένας ταερός αριμός, ε αντίεη με το ατομικό αφάλιτρο το οποίο είναι μία τυχαία μεταβλητή d (υνάρτηη της τυχαίας μεταβλητής Θ : μ(θ, διότι p μ( Θ : Ε[ Θ] Επίης, παρατηρούμε ότι τα,, είναι μόνο δεμευμένα ανεξάρτητα, δεδομένου Θ και όχι αδέμευτα, διότι Cv(, [ Cv(, Θ] Cv[ [ Θ], Ε[ Θ]] Cv( μ( Θ, μ( Θ Vr( μ( Θ O κοπός μας είναι η εκτίμηη, για κάε κίνδυνο του ωτού αφαλίτρου μ(θ όο το δυνατόν με μεγαλύτερη ακρίβεια Ένας ενδεχόμενος εκτιμητής α ήταν το μ, δηλαδή το αφάλιτρο για το υγκεκριμένο κίνδυνο εκτιμάται από το μέο όρο της αναμενόμενης τιμής του υλλογικού Ο εκτιμητής αυτός είναι κατάλληλος όταν εωρούμε έναν νέο κίνδυνο για τον οποίο δεν υπάρχουν καόλου δεδομένα και έτι ιχυριζόματε ότι ο κίνδυνος αυτός ανήκει το 3

24 υλλογικό και ότι το προφίλ κινδύνου του διαλέχτηκε τυχαία από την κατανομή U( Ωτόο, ο εκτιμητής αυτός δε λαμβάνει υπόψιν την ατομική εμπειρία ζημιών Εάν έχουμε παρατηρήεις για το υγκεκριμένο κίνδυνο από -έτη, έτω T (,,, τότε αυτή η πληροφορία α έπρεπε να υνειφέρει τη διαδικαία εκτίμηης Αυτό μας φέρνει την ιδέα της τιμολόγηης (eperece rtg Η βέλτιτη εμπειρική τιμολόγηη εξαρτάται και από την ατομική εμπειρία ζημιών και καλείται Μπευζιανό αφάλιτρο Οριμός 3: T Μπευζιανό αφάλιτρο (βέλτιτο εμπειρικό αφάλιτρο ορίζεται ως: Bes ~ μ ( Θ : Ε[ μ( Θ ] δηλαδή ορίζεται ως η αναμενόμενη τιμή της psterr κατανομής της μ( και όπως γνωρίζουμε από την Bs τατιτική το Bes αφάλιτρο είναι το βέλτιτο αφάλιτρο ε χέη με τη δευτεροβάμια υνάρτηη απώλειας διότι μας δίνει την ελάχιτη δευτεροβάμια απώλεια (qudrtc lss που ορίζεται ως: ~ ( [( μ Θ μ ( Θ ] Πράγματι, αν μ (Θ ένας εκτιμητής του μ(θ τότε ~ [( μ( Θ μ( Θ ] [ [( μ( Θ ~ μ( Θ ~ μ ( Θ μ( Θ [( ( ~ ( ] [( ~ μ Θ μ Θ μ( Θ μ( Θ ] ]] και έτι ο εκτιμητής μ ( ~ μ ( [ μ( Θ ] έχει την ελάχιτη δευτεροβάμια απώλεια Εύκολα, μπορούμε να διαπιτώουμε ότι η δευτεροβάμια απώλεια του Μπευζιανού αφαλίτρου είναι: [( ~ μ ( Θ μ( Θ ] [ Vr[ μ( ]] και η δευτεροβάμια απώλεια του υλλογικού αφαλίτρου είναι [( μ ο μ( Θ ] Vr[ μ( Θ] [ Vr( μ( Θ ] Vr[ [ μ( Θ ]] Για τον προδιοριμό του Μπευζιανού αφαλίτρου πρέπει πρώτα να ορίουμε I τη δομική υνάρτηη U( II την οικογένεια των δεμευμένων κατανομών F : { F ( : Θ} 4

25 ss/gmm mdel Υποέτουμε ότι έλουμε να εκτιμήουμε τη υχνότητα των ζημιών για ένν κίνδυνο, όπου ο αριμός των ζημιών ακολουεί μία ss κατανομή με παράμετρο Λ Θεωρούμε το Λ ως τμ έτι ώτε να ακολουεί μία Gmm κατανομή με παραμέτρους α και β : ( Λ και Vr ( Λ β β Έτι, έτω τμ να εκφράζει τον αριμό ζημιών που α υμβούν το επόμενο έτος, οπότε η δεμευμένη κατανομή του Λ ~ ss( Λ ή Θ ~ ( Θ και η prr κατανομή του Λ είναι Gmm: Λ ~ J (, β O κοπός μας είναι να εκτιμήουμε την άγνωτη παράμετρο Λ Έτω ότι έχουμε - παρατηρήεις από δεδομένα προηγούμενων ετών:, υνήως τις υμβολίζουμε με (,,, T,, Τότε ο εκτιμητής κατά Βes ε χέη με τη δευτεροβάμια υνάρτηη απώλειας δεδομένου των είναι [ Λ ] και η psterr κατανομή του Λ είναι ανάλογη με f ( λ f ( λ f ( λ e λ λ β! e Γ( α λβ ( λβ Το οποίο πάλι ανάλογα με : ep{ ( β A λ λ, όπου A και f ( λ } μπορούμε να δούμε ότι η psterr κατανομή του ` [ ] Λ είναι Gmm με παραμέτρους και ` β ( β : Λ ~ z ( z β J (, β ( Λ β z ( z β Όπου z Δηλαδή, c zr ( z H, όπου R και β H β 5

26 Παρατηρούμε ότι η χέη ( Λ z ( z αναπαριτά ένα ταμιμένο μέο β εκτιμητών του Λ, το που βαίζεται τα δεδομένα μόνο, και του α/β που είναι η εκτίμηη του Λ (ε χέη με τη δευτεροβάμια υνάρτηη απώλειας Εάν δεν είχαμε καόλου δεδομένα Επίης εδώ ο υντελετής αξιοπιτίας z παίρνει τιμές το [, και είναι μία αύξουα υνάρτηη του -του ποού των διαέιμων δεδομένων και παίρνει την τιμή όταν και έτι υμπεραίνουμε ότι με την Μπευζιανή προέγγιη ποτέ δεν επιτυγχάνεται full credblt Τέλος, η κατανομή πρόβλεψης του δεδομένου του είναι αρνητική Δυωνυμική κατανομή με παραμέτρους κ [ ] και β p οπότε β ( / ( Λ z ( z, όπου β το υμβολίζει τον αριμό των ζημιών για το επόμενο έτος, αν έχουμε διαέιμα δεδομένα για -έτη και έτι ( είναι ο αναμενόμενος αριμός ζημιών για το επόμενο έτος δεδομένου των -ετών παρατηρήεων Αν, δηλαδή δεν έχουμε παρατηρήεις τότε [ ] [ ] { z } [ Λ] [ Λ ] β Επίης, παρατηρούμε τα εξής : F d [ Θ ] Θ, όπου Θ Λ μ ( Θ F cll [ Θ] : αναμενόμενη υχνότητα ζημιών του υλλογικού β [ Θ] β και από τη χέη Vr [ Θ] z χολιάζουμε ότι όο πιο μεγάλο είναι β, τόο β μειώνεται το z-υντελετής αξιοπιτίας, (δηλαδή όο πιο ομοιογενές είναι το υλλογικό prtfl τόο περιότερη βαρύτητα α δώουμε τη υλλογική εμπειρία για την τιμολόγηη του ατομικού κινδύνου Η δευτεροβάμια απώλεια του F cll Θ Θ Vr Θ β β cll F είναι : [ ] [( ] ( Η δευτεροβάμια απώλεια του είναι : [( Θ ] [ [( Θ Θ]] [ Vr( Θ] [ Θ] β και επειδή η δευτεροβάμια απώλεια του Bes F είναι μικρότερη από τη δευτεροβάμια απώλεια του Bes έχουμε και ότι : [( F Θ ] 6

27 H δευτεροβάμια απώλεια του Bes F είναι: [( F Bes Θ ] [ Vr( Θ ] ( β ( z z, όπου β β β β [ ] ( β ( β β ~ ΑΔ α, β β Bes cll Έτι, παρατηρούμε ότι [( F Θ ] ( z [( F Θ ] z [( Θ ] ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Ο εκτιμητής Βes ~ εξαρτάται από τη υνάρτηη δομής U (, το μοντέλο ss/gmm εξαρτάται από τις άγνωτες παραμέτρους α,β Οι παράμετροι αυτοί πρέπει να εκτιμηούν Ο επόμενος πίνακας μας δίνει τα Σουηδικά υγκεντρωτικά τοιχεία για την οδήγηη αυτοκινήτων του έτους 96 κ Ttl Αριμός υμβολαίων με κ-ζημιές Μπορούμε να εκτιμήουμε αμερόληπτα το μέο και τη διαπορά της υχνότητας ζημιών, έτω Ν I μ Ν ( Ν 96, 55 I I ( Ν ( 96, 79 I όπου I9853 (το πλήος των οδηγών και ( αριμός ζημιών για τον οδηγό το έτος 96 Επίης, ύμφωνα με το μοντέλο ss/gmm έχουμε: α μ Ν Ε[ Ν] Ε[ Ε[ Ν Θ]] Ε[ Θ] β 7

28 α Ν Vr[ ] [ Vr[ Θ]] Vr[ [ Θ]] [ Θ] Vr[ Θ] και β β ύμφωνα με τη μέοδο των ροπών ιχύει μ Ν μ Ν και α Ν Ν, οπότε, 55 και β α,79 α, και β 6,458 β β Έτι, αν αντικατατήουμε τις άγνωτες παραμέτρους α και β τον τύπο του εκτιμητή κατά Βes με τις τιμές α και β, όπου εκτιμήαμε από το υλλογικό χαρτοφυλάκιο παίρνουμε τον εμπειρικό Μπευζιανό εκτιμητή: F Bes emp β β α β β, όπου ο μέος των παρατηρήεων από ένα υγκεκριμένο κίνδυνο Για τον έλεγχο κατά πόο το Μπευζιανό μοντέλο προαρμόζει τα δεδομένα του Σουηδικού πίνακα ζημιών πρέπει να υπολογίουμε την αδέμευτη κατανομή του Ν: β κ κ Θ u! Γ( u β ( ( u( d e e d α κ ( β κ Γ ( Γ ( e d κ β β κ κ β Γ( κ! Γ ( κ! ( β Γ( κ! β β α κ κ β β p ( p, όπου p ~ ΑΔ( α, p ΑΔ α, κ β β ( Tώρα μπορούμε να υγκρίνουμε τις παρατηρούμενες τιμές με τις τιμές που α αναμέναμε αν τα δεδομένα ικανοποιούν την υπόεη της ss-gmm μοντελοποίηης Επίης, υγκρίνουμε τις παρατηρούμενες τιμές με τις τιμές που α αναμέναμε αν υποέουμε ότι έχουμε ένα ομοιογενές χαρτοφυλάκιο όπου όλα τα υμβόλαια έχουν την ίδια ss παράμετρο (προαρμομένη ss κατανομή κ Παρατηρήεις ss (λ,55 egtve Bml (α,, β6,

29 Ttl Είναι φανερό ότι η Αρνητική Διωνυμική κατανομή προαρμόζει καλύτερα τα δεδομένα (επιβεβαιώνεται με ένα -test Η παραπάνω μοντελοποίηη (ss- Gmm και τα παραπάνω δεδομένα χρηιμοποιήηκαν από τον FBchsel αν βάη για την κατακευή ενός υτήματος Bus-Mlus για την οδική αφάλιη ευύνης υπέρ τρίτων τη Σουηδία Ο κοπός του ήταν η τροποποίηη του ατομικού αφάλιτρο ύμφωνα με τον αναμενόμενο ρυμό ζημιών κάε ατομικού οδηγού Η ιδέα ήταν ότι αν ένας δεδομένος κίνδυνος αναμένεται να δώει διπλάιες ζημιές από το μέο οδηγό, τότε ο οδηγός αυτός πρέπει να πληρώει το διπλάιο αφάλιτρο από το μέο οδηγό (mlus%, καώς και ότι αν ο οδηγός αναμένεται να δώει τις μιές ζημιές από το μέο τότε α πρέπει να πάρει ένα bus5% Έτι, όριε τον παράγοντα Bus-Mlus: Bes F Bus Mlus Fctr, όπου λ, 55 ο μέος της υχνότητας ζημιών του λ χαρτοφυλακίου και κατακεύαε τον παρακάτω πίνακα: Bus-Mlus fctr \κ 3 87% 73% 6% 346% 76% 53% 9% 35% 3 68% 36% 5% 73% 4 6% 3% 85% 47% 5 56% 3% 69% 5% 6 5% 4% 55% 7% Όπου ο αριμός παρατηρούμενων ετών κ ο αριμός των παρατηρούμενων ζημιών J Στο μοντέλο ss- Gmm που έχουμε κατακευάει, υποέτουμε ότι για κάε την ίδια prr αναμενόμενη απώλεια Αυτή η υνήκη όμως δεν ιχύει πολλές φορές την πράξη Για παράδειγμα, εάν χρειαζόματε εκτιμήεις ρυμών νηιμότητας/ανικανότητας ε ομαδικές 9

30 αφαλίεις ζωής ή ε ομαδικές αφαλίεις ατυχήματος, τότε prr αναμενόμενος ρυμός α εξαρτάται από παράγοντες όπως είναι η ηλικία ή το φύλο Ένα άλλο παράδειγμα είναι όταν υπάρχουν αλλαγές τις υχνότητες ζημιών ε χέη με το χρόνο Ωτόο, το μοντέλο ss- Gmm μπορεί να τροποποιηεί έτι ώτε να υμπεριλάβει τη διαφοροποίηη ως προς την prr αναμενόμενη τιμή Έτι, καταρχήν εωρούμε το ακόλουο ιοδύναμο μοντέλο: ~ ( λ d όπου α λ prr αναμενόμενος ρυμός απώλειας (το εκφράζει β αναμενόμενες χετικές υχνότητες ~ Gmm κατανομή: ( και Vr (,δηλαδή ~ J (, J ( λβ, λβ α Παρατηρούμε τα εξής: F d ] λ [ F ] λ [ d λ λ V [ F ] β Ένας διαιητικά δείκτης της ανομοιογένειας του χαρτοφυλακίου είναι ο υντελετής μεταβλητότητας του d d F, δηλαδή cv r( F Vr( d και έτι τώρα η βλ d παράμετρος α έχει άμεη ερμηνεία εφόον (cv r( F Επίης, για την εκτίμηη του είναι φυικό να μοντελοποιούμε τις χετικές υχνότητες αντί τις απόλυτες υχνότητες που είχαμε το πρώτο μοντέλο μας: το λο καταλήγουμε ότι ~ F ~ F Bes ~ d ~ : με F [ F ] και αν διαιρέουμε τη χέη ( με λ ~ [ ] z v Παράδειγμα Σε ομαδική αφάλιη ζωής έλουμε να κατακευάουμε έναν πίνακα νηιμότητας για η d υγκεκριμένη ομάδα ατόμων (ηλικίας 5-65 Θεωρούμε τη χέη q q, όπου q τιμές από υναφή πίνακα νηιμότητας και d q τιμές για τον πίνακα νηιμότητας της ομάδας αυτής Επίης, εωρούμε ότι το ακολουεί μία Gmm κατανομή με μέο και cv(% Έχουμε τις ακόλουες παρατηρήεις από το παρελόν Παρατηρούμενος αριμός έκεης τον κίνδυνο ε έτη:65, Αναμενόμενος αριμός ανάτων βάη του υναφή πίνακα:5 3

31 Παρατηρούμενος αριμός ανάτων της ομάδας:5 Bes Bρείτε το του Λύη Bes 5 5 cv (, 5, 8 v 5 5 Σημείωη: Στο παράδειγμα αυτό ο χρόνος-έτος I έχει αντικαταταεί από τις ηλικίες όπου παρατηρούμενος αριμός ζημιών v λ ο -prr αναμενόμενος αριμός ζημιών z v v v λ β v Επίης, μπορούμε να γράψουμε v ~ F : ~ F ~ ~ και έτι z ( F Τώρα, μπορούμε να ειάγουμε το μοντέλο μας τις -prr διαφορές αν εωρήουμε ότι είναι ο παρατηρούμενος και λ ο -prr αναμενόμενος αριμός ζημιών του υγκεκριμένου κινδύνου και φτιάχνουμε τις ακόλουες υποέεις: ~ ( λ d όπου λ ο -prr αναμενόμενος αριμός ζημιών το έτος ή το υγκεκριμένο κίνδυνο ~ J (, με [ ] και Vr[ ] Έτι, έχουμε ότι : ~ F Bes ~ [ ] z v v, όπου παρατηρούμενος αριμός ζημιών v λ ο -prr αναμενόμενος αριμός ζημιών ~ F d v z και v cv r( [ ] λ ~ [ F ~ V [ F d d ] λ λ ] [cv r( ] ~ cv r[ F d ] 3

32 Παράδειγμα Θεωρούμε ένα ύνολο από αυτοκίνητα Με βάη τατιτικών δεδομένων γνωρίζουμε την αναμενόμενη prr υχνότητα ζημιών για 3 διαφορετικούς τύπους (Lrr, Delver, V, sseger cr Η διαφοροποίηη ε αυτούς τους τύπους αυτοκινήτων οφείλεται ε παράγοντες όπως: εκπαίδευη οδηγού, εξοπλιμός αυτοκινήτου κα Υποέτουμε ότι οι υποέεις του ss-gmm μοντέλου ικανοποιούνται και εκτιμούμε ότι οι διαφορές μεταξύ των τύπων αυτοκινήτου ως προς τη υχνότητα ζημιάς είναι περίπου % (δηλαδή cv ( % Α Προδιορίτε το Bes αφάλιτρο βαιμένοι τον αριμό ζημιών ε ένα έτος για τους 3 διαφορετικούς τύπους:3 lrres, 3 delver v, psseger crs H prr υχνότητα ζημιών για τους 3 τύπους ε % : Lrr:3, Delver v: και sseger cr: 75 B Πόο μεγάλη είναι η διόρωη εμπειρίας ε % εάν 6 ζημιές υνολικά παρατηρήηκαν ε ένα έτος ζημιές υνολικά παρατηρήηκαν ε δύο έτη C Φτιάξτε ένα γράφημα της prr κατανομής της και της psterr κατανομής της δεδομένου ότι ζημιές παρατηρήηκαν ε έτη Λύη Vehcle tpe psures f rsks prr υχνότητα ε % Lrr 3 3 9, Delver v 3 3, sseger cr 75,75 Ttl 7,75 Bes Α, όπου (cv ( 5 v αναμενόμενος αριμός ζημιών,, ο παρατηρούμενος αριμός ζημιών ε -έτη v v, 75 3 prr 9%, ν Bes,9, αν 6 6 B Έτι, Ο όρος, διόρωης εμπειρίας %,, v,89, αν 3

33 C ~ ( v prr κατανομή της ~ J (,, 5 psterr κατανομή της ~ J (, v με v 5, 5 Το Διωνυμικό/Βήτα Μοντέλο Στην ομαδική αφάλιη ζωής ή τις ομαδικές αφαλίεις ατυχημάτων μας ενδιαφέρει η υχνότητα ανικανότητας για τη υγκεκριμένη ομάδα Για ευκολία υποέτουμε ότι κάε μέλος της ομάδας έχει την ίδια πιανότητα να μείνει ανίκανος ανεξάρτητα από τους άλλους Ορίζουμε: αριμός που έμειναν ανίκανοι το έτος v αριμός μη ανίκανων την αρχή του έτους : v η παρατηρούμενη υχνότητα ανικανότητας του έτους Μας ενδιαφέρει η εκτίμηη του την αρχή της (-περιόδου Υποέτουμε τα εξής: ~ ( v, για κ,,,,v ή ιοδύναμα του εφόον το v είναι γνωτό v κ κ Δ d ( Θ ( ( κ v v κ ~ Bet(, b : u( B(, b ( b,,, b > b [ ],, vr( και όπου η αληινή πιανότητα ανικανότητας b ( b ( b που έλουμε να προδιορίουμε Η psterr πυκνότητα γίνεται: u( v b b v ( ( ( Έτι, η psterr πυκνότητα είναι και αυτή μια Bet κατανομή με παραμέτρους ` και b ` b v Έτι, ~ ` F Bes [ ] z ( z, όπου ` b` b v z και b v ή v F Bes b v 33

34 Παράδειγμα Σε εργατική ομαδική αφάλιη ατυχημάτων μας ενδιαφέρει η πιανότητα ανικανότητας Για χαρτοφυλάκιο υλλογικών υμβολαίων γνωρίζουμε ότι η πιανότητα ανικανότητας είναι % Οι πιανότητες αυτές ωτόο διαφόρων τύπων κινδύνων Χρηιμοποιώντας το Bet- Bml μοντέλο υποέτουμε ότι cv ( 5% Α Προδιορίτε τις παραμέτρους της prr κατανομής και φτιάξτε ένα γράφημα της prr πυκνότητας u( Bes Β Βρείτε τον εκτιμητή Bes για τον τύπο κινδύνου τον οποίο έχουμε παρατηρήεις 5 περιπτώεις ανικανότητας από τους αφαλιμένους C Η εταιρία α ήελε να διαχωρίει όλους τους τύπους κινδύνων ε 3 κλάεις-ομάδες και να εφαρμόει ε αυτούς τον ακόλουο κανόνα τιμολόγηης: Μία επιβάρυνη % εάν [,, ω ], 3 Mία έκπτωη % εάν [,, ω ], 7 όπου, δηλώνει τον παρατηρούμενο αριμό περιπτώεων ανικανότητας, ω, ο παρατηρούμενος αριμός ετών τον κίνδυνο (epsed t Rsk και η prr πιανότητα ανικανότητας Ποιος είναι αντίτοιχος κανόνας τιμολόγηης με όρους παρατηρούμενων αριμών περιπτώεων ανικανότητας: για κίνδυνο με 5 παρατηρούμενα έτη έκεης τον κίνδυνο για κίνδυνο με παρατηρούμενα έτη έκεης τον κίνδυνο Λύη Α ~ Bet(, b { [ ], b b cv (,5 ( b 3,95 b 39,5 Bes 3,95 5 Β 3,6% b v 3,95 39,5 C Bes 3,95 3,95 39,5 ω { %, εαν Bes ι Βes ι > 3% κανόνας τιμολόγηης %, εαν < 7% e I ω, 5, κανόνας τιμολόγηης { %, e εαν 8 %, εαν 34

35 II, ω, κανόνας τιμολόγηης 8 %, %, { e εαν εαν 3rml/rml Mdel Σε αυτό το μοντέλο α εκτιμήουμε το κααρό αφάλιτρο Έτω τμ να δηλώνει τις (υνολικές τελικές ζημιές για το επόμενο έτος από αυτόν τον κίνδυνο και έτω η κατανομή του να εξαρτάται από την τιμή της άγνωτης παραμέτρου, που τη εωρούμε ως τμ Τότε η υπό υνήκη κατανομή του δεδομένου α εωρούμε ότι είναι :, ( ~ και η prr κατανομή της εωρούμαι ότι είναι:, ( ~ μ, όπου έχουν γνωτές τιμές,, μ Το πραγματικό κααρό αφάλιτρο για αυτόν τον κίνδυνο (δηλαδή το κααρό αφάλιτρο αν γνωρίζαμε την τιμή του είναι ( και ε αυτήν την περίπτωη (,,, Υποέτουμε ότι έχουμε παρατηρήεις του από παρελόντα δεδομένα, έτω ή Το πρόβλημα τώρα είναι η εκτίμηη του ( δεδομένου των παρατηρήεων, δηλαδή τον Μπευζιανό εκτιμητή ε χέη με τη δευτεροβάμια υνάρτηη απώλειας : ] ] [ [ το οποίο ε αυτήν την περίπτωη είναι ο ] [ δηλαδή ο psterr μέος του δεδομένου (ο οποίος είναι ιοδύναμος με το μέο της κατανομής πρόγνωης, δηλαδή ] [ όπως α δούμε παρακάτω Η psterr πυκνότητα του είναι ανάλογη του ( ep ( ( ep ( μ f και καταλήγουμε, αγνοώντας όρους χωρίς, ότι είναι ανάλογη του ep μ και έτι διαπιτώνουμε ότι η psterr κατανομή του, ~ ν Έτι, μ μ ( ( z z { } (, όπου z Άρα, 35

36 C z R ( z H, όπου R, H μ Δηλαδή, η εκτίμηη του κααρού αφαλίτρου είναι ένας ταμιμένος μέος του μ και, όπου μ είναι η εκτίμηή του αν δεν είχαμε δεδομένα από τον κίνδυνο χ και είναι η εκτίμηη βάη μόνο παρατηρήεων Επίης, ο υντελετής αξιοπιτίας z κυμαίνεται το διάτημα [, και είναι αύξουα υνάρτηη ως προς και Μπορούμε να δείξουμε η μη-δεμευμένη κατανομή του είναι: { f ( f (, d f ( f ( d } Οι υνήεις Μπευζιανές υποέεις χειρίζονται τις τμ ~ ( μ, z ως ιόνομες (μη δεμευμένες κατανεμημένες και κάε έχει τη μη-δεμευμένη κατανομή του ~ ( μ, η οποία προδιορίζεται από την κατανομή των τμ και Τα επίης είναι ιόνομα (δεμευμένα το κατανεμημένα εφόον κάε έχει την κατανομή του ~ (, Επίης, υποέτουμε ότι τα είναι ανεξάρτητα δεδομένου, δηλαδή τα αλλά δεν έχουμε υποέει ότι τα μη δεμευμένα είναι και αυτά ανεξάρτητα Για να γίνει πιο κααρή αυτή η παρατήρηη ας υποέουμε ότι έχουμε τις ακόλουες τιμές για τις παραμέτρους, μ, Τότε αν γνωρίζουμε ότι το ~ (, έχει πάρει την τιμή 9 αυτό μας λέει, από την υπόεη ότι το είναι απίανο να πάρει τιμές έξω από το διάτημα (87,93 (διάτημα εμπιτούνης για το, εφόον ( 9 οπότε το είναι απίανο να πάρει τιμές έξω από το διάτημα (94,96 {( ~ (, } Δηλαδή γνωρίζοντας την τιμή του μας πληροφορεί κάτι για την κατανομή του και έτι, διαιητικά, τα, δεν είναι ανεξάρτητα Από την άλλη μεριά, έτω ότι ξέρουμε ότι 9, τότε γνωρίζοντας ότι το έχει πάρει την τιμή 9 δε μας πληροφορεί τίποτα για την κατανομή του Επίης, από το εώρημα που ακολουεί έχουμε ότι ο μέος της psterr κατανομής του ιούται με το μέο της κατανομής πρόγνωης του, εφόον ( μ(,,, 36

37 Θεώρημα Αν,, τ μ τέτοιες ώτε ( : μ( και είναι ανεξάρτητα τότε [,, ] ( μ(,, { [ μ( ]} Απόδειξη [,, ] [ [,,, ]] Λόγω (δεμευμένης ανεξαρτηίας των δεδομένου ιούται [ ],, ] [ μ(,, ] [ Δηλαδή, η εκτίμηη του πραγματικού κααρού αφαλίτρου ή υχνότητας ( ( δεδομένου του, [ [ ( ]] ε χέη με τη δευτεροβάμια υνάρτηη απώλειας είναι ίο με το μέο της κατανομής πρόγνωης του Τέλος, μπορούμε να χολιάουμε ότι ο Μπευζιανός εκτιμητής του κααρού αφαλίτρου δε α είναι γενικά γραμμικός ως προς τα παλιά δεδομένα καώς και ότι οι παράμετροι και χρειάζεται να προδιοριτούν με κάποιο τρόπο Κοινά χαρακτηριτικά των 3 μοντέλων Και τις 3 περιπτώεις το Bes αφάλιτρο είναι γραμμική υνάρτηη των παρατηρήεων και έτι το ορίζουμε ως credblt αφάλιτρο Και τις 3 ειδικές περιπτώεις μοντελοποίηης το ταμιμένος μέος: Bes μπορεί να εκφρατεί ως ένας Bes ( cll 3 Και τις 3 περιπτώεις η τάμη-βάρος δίνεται ως ταερή ποότητα α, όπου κ μια κατάλληλη κ 4 Και τις 3 περιπτώεις η δευτεροβάμια απώλεια του Bes αφαλίτρου δίνεται ως [( Bes ] ( [( cll ] [( ] 5 Και τις 3 περιπτώεις βρίκουμε ότι η psterr κατανομή του ανήκει την ίδια οικογένεια κατανομών με την prr κατανομή του, όπως α δούμε αυτή η ιδιότητα δε υνέβηκε κατά τύχη 37

38 Οριμός: Mια κατανομή λέγεται ότι είναι τύπου εκετική εάν μπορεί να εκφρατεί ως: b( f ( ep c(, / ea R, / Σημείωη: H παραπάνω κλάη κατανομών, εκετικού τύπου, έτω F { Θ} ep F : (μονοπαραμετρική περίπτωη καλύπτει μία μεγάλη κλάη οικογένειας κατανομών όπως : ss, Berull, Gmm, rml, verse-guss H κλάη των κατανομών αυτών παίζει πρωταρχικό ρόλο τα γενικευμένα γραμμικά μοντέλα, τα οποία αποτελούν τα εργαλεία για τον υπολογιμό αφαλίτρων εξαρτώμενα από διάφορους παράγοντες τιμολόγηης (rtg fctrs Κάε μία από τις οικογένειες κατανομών F ep χαρακτηρίζεται από τη μορφή που έχουν οι υναρτήεις b( και c( και έτι μπορούμε να τις υμβολίουμε ως b c F, ep Η παράμετρος αναφέρεται ως ccl παράμετρος Στη δική μας ανάλυη η μπορεί να ερμηνευτεί ως το rsk prfle που παίρνει τιμές από το Θ, (εδώ το είναι μιας διάταης και πραγματικό Η παράμετρος καλείται dspers παράμετρος και εωρείται ταερή Η ποότητα ω δηλώνει ένα prr γνωτό βάρος (eght ε χέη με τις παρατηρήεις μας Έτι, η παράμετρος ταερή για όλες τις παρατηρήεις, ενώ το βάρος μπορεί να διαφοροποιείται τα τοιχεία του διανύματος των παρατηρήεων είναι Θεώρημα: Υποέτουμε ότι για δεδομένο τα τοιχεία του διανύματος των παρατηρήεων,, είναι ανεξάρτητα με κατανομή F F καένα με την ίδια dspers ( παράμετρο και βάρος για,,, b, c ep b Θεωρούμε την οικογένεια u { u ( : γ (, τ R R } ep γ, όπου b( u γ ( ep d(, τ, Θ, δηλώνουν πυκνότητες κατανομών Τότε ιχύει ότι η τ b u ep b c F, ep είναι υζυγείς την 38

39 Απόδειξη:H psterr πυκνότητα της είναι b b b u ( ep ( ep / ( ep ( τ τ τ τ όπου και Παρατηρούμε, έτι ότι η psterr κατανομή, δεδομένου X είναι ξανά μία με παραμέτρους b u ep ` τ τ και ` τ τ Θεώρημα: Για την οικογένεια και τη υζυγή της οικογένεια έχουμε ότι : c b F, ep b u ep και ( ( b` p d { } b `` (, vr Θ β cll p γ ( cll Bes p p όπου και τ Σημείωη: Παρατηρούμε ότι το είναι ένας ταμιμένος μέος της ατομικής εμπειρίας ζημιών και του υλλογικού αφαλίτρου Είναι μία γραμμική υνάρτηη των παρατηρήεων και έτι ένα αφάλιτρο credblt (πολλές φορές τη βιβλιογραφία αναφέρεται και ως ect credblt Το εδώ παίζει το ρόλο του αριμού των παρατηρούμενων ετών Βαυε p 39

40 ret/gmm Mdel Μια υνήη υπόεη την ανταφάλιη είναι ότι το ύψος ζημιών από αυτές τις ζημιές που ξεπερνούν ένα δεδομένο όριο είναι ret κατανεμημένες Έτω,,, ( T το διάνυμα των παρατηρήεων ύψους ζημιών που ξεπερνούν το Υποέτουμε έτι ότι, ( ~ ret d με ( ( f και F ( για ( ( : ( μ ( ( ( ( : ( V Επίης, υποέτουμε ότι β β β Γ e u J ( ( :, ( ~ Η psterr γίνεται: β l ep η οποία είναι και αυτή μία Gmm κατανομή με παραμέτρους και ` ` `, ( ~, l ` β β β J και η Μπευζιανή εκτίμηη του είναι: [ ] ( β α β z z F ML Bes l ~, όπου ML l ο εκτιμητής μέγιτης πιανοφάνειας του και z l l β Δηλαδή, ο Μπευζιανός εκτιμητής του είναι ένας ταμιμένος μέος του εκτιμητή μέγιτης πιανοφάνειας και της prr αναμενόμενης τιμής ( β α Άκηη Θεωρούμε έναν ατομικό κίνδυνο, ο οποίος μπορεί να προκαλέει υνολικό ύψος ζημιάς, μέα ε ένα έτος, ή Ο κίνδυνος αυτός ανήκει ε ένα υλλογικό κίνδυνο που αποτελείται από 3 4

41 τύπους κινδύνων: καλός (65%, μέτριος (3%, κακός (5% Οι δεμευμένες πιανότητες δίνονται τον επόμενο πίνακα: { ( X Θ,,,,,3 } Συνολικό ύψος ζημιάς Καλός Μέτριος Κακός 97% 95% 9% 3% 5% % d cll Α Υπολογίτε p και p Bes Β Αν έχουμε εμπειρία ενός έτους τότε υπολογίτε το p για όλα τα δυνατά ενδεχόμενα (ύψος ζημιάς ή Bes C Αν έχουμε εμπειρία ετών υπολογίτε p για όλα τα δυνατά ενδεχόμενα Λύη Α Το ύνολο {καλός, μέτριος, κακός} αποτελεί το δειγματικό χώρο του Θ Η -prr πληροφορία ( καλός 65%, ( μέτριος 3%, d ( κακός 5%, p Θ ] : μ( Αν [ ( d καλός p [ καλός ] ( καλός ( καλός Έτ d p 3% 3 Έτι, καλός μέτριος κακός cll p d p 3 5 u( 65% 3% 5% 395 cll όπου p [ μ( ] [ [ Θ ]] u( [ Θ ] Β Από το εώρημα του Bes μπορούμε να υπολογίουμε τις psterr πιανότητες ( X Θ u( u( X, ι,,3 και {,} ( X Θ u( X καλός μέτριος κακός Bes p d p 3 5 u( 65,6% 9,7% 4,7% 39,4 u( 49,4% 38%,7% 464,56 4

42 Bes d d όπου p [ p ] [ μ ( ] u[( ] p,όπου p d μ c Οι παρατηρήεις τώρα είναι ένα διάνυμα διατάεων : (,, (,, 3 (,, 4 (, Bes Ξανά με το Bes μπορούμε να υπολογίουμε την psterr κατανομή u( και p : καλός μέτριος κακός Bes p d p 3 5 u( 66,3% 9,3% 4,4% 389,4 u( 5,% 37,8%,9% 459,3 u( 5,% 37,8%,9 459,3 3 u( 3,8% 4,8% 7,% 57,48 4 ( 4

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 5 5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΙΓΜΑ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στην πράξη θέλουµε υχνά να βγάλουµε υµπεράµατα για µια µεγάλη οµάδα ατόµων ή αντικειµένων. Αντί να µελετήουµε ολόκληρη την οµάδα,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Έτω Χ 1, Χ,..., Χ και Υ 1, Υ,..., Υ m δύο τυχαία δείγματα μεγέθους και m αντίτοιχα από δύο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ Η ερµιονική εκποµπή ηλεκτρονίων είναι ένα φαινόµενο το οποίο βαίζεται η λειτουργία της λυχνίας κενού. Η δίοδος λυχνία κενού αποτελεί ορόηµο τον πολιτιµό του ύγχρονου ανρώπου

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 3 Χρηματοοικονομική Διοίκηη Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 Γραπτή Εργαία Διαχείριη Χαρτοφυλακίου Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Σχεδιαμός Στοιχείων Μηχανών ε μεταβαλλόμενα φορτία Μεταβαλλόμενα με τον χρόνο φορτία χαρακτηρίζονται τα φορτία που μεταβάλλουν το μέγεθος ή την διεύθυνη τους

Διαβάστε περισσότερα

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού . Έλεγχος Υποθέεων. Έλεγχοι για την µέη τιµή πληθυµού Ας υποθέουµε ένα πληθυµό µε µέη τιµή (µ.τ.) µ και τυπική απόκλιη (τ.α.). Έχει δειχτεί το κεφ.0 ο έλεγχος µιας µηδενικής υπόθεης H 0 δεδοµένης µιας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ VIII. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΕ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΙΣ 1. Ειαγωγή Ήδη από το 180 είχε διαπιτωθεί ότι τα µεταλλικά υλικά, όταν καταπονούνται από επαναλαµβανόµενες ή χρονικά µεταβαλλόµενες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1. Η Αγορά Κεφαλαίου Η αγορά κεφαλαίου αποτελεί ένα από τους ηµαντικότερους χρηµατοοικονοµικούς θεµούς

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1 Στατιτικοί Ελεγχοι Έλεγχος 1: Ζ-Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος : t - Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος 3: I -τετράγωνο Έλεγχος για την διακύµανη Έλεγχος 4: t-έλεγχος για την ύγκριη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Αξιοπιστία μονάδων - συστημάτων στο χρόνο. Κατανομές χρόνων ζωής

Κεφάλαιο 2. Αξιοπιστία μονάδων - συστημάτων στο χρόνο. Κατανομές χρόνων ζωής Κεφάαιο Αξιοπιτία μονάδων - υτημάτων το χρόνο Κατανομές χρόνων ζωής Στο προηγούμενο κεφάαιο εξετάαμε την αξιοπιτία μονάδων ή υτημάτων τατικά δηαδή υποθέταμε ότι η μεέτη γίνονταν πάντα ε κάποια υγκεκριμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΔΙΚΕΣ/ ΟΜΟΙΟ-ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΕΣ 2010

ΚΛΑΔΙΚΕΣ/ ΟΜΟΙΟ-ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΕΣ 2010 ΚΛΑΔΙΚΕ ΟΜΟΙΟ-ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΕ 2010 ΚΛΑΔΟ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑ ΟΔΗΓΟΙ ΤΟΥΡΙΤΙΚΩΝ ΛΕΩΦΟΡΕΙΩΝ ΑΡΧΑΙΟΛΟΓΩΝ ΜΕΛΩΝ ΕΚΑ ΤΕΧΝΙΤΩΝ ΚΑΙ ΒΟΗΘΩΝ ΞΥΛΟΥΡΓΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΙΚΩΝ ΕΡΓΑΙΩΝ ΝΖΩΝΗ ΟΞΟΠΟΙΙΑ, ΠΟΤΟΠΟΙΙΑ, ΟΙΝΟΠΟΙΙΑ, ΟΙΝΟΠΝΕΥΜΑΤΟΠΟΙΙΑ,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιστροφής στη Βραχοµηχανική

Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιστροφής στη Βραχοµηχανική Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιτροφής τη Βραχοµηχανική Appliaion of a paaboloid ieion in Rok Mehanis ΣΑΚΕΛΛΑΡΙΟΥ, Μ.Γ., ρ Μηχ., Π.Μ. & Α.Τ.Μ., Αναπληρωτής Καθηγητής, Ε.Μ.Π. ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Στο παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθυµίσεις Μηχανικής Παραµορφωσίµων Στερεών

Υπενθυµίσεις Μηχανικής Παραµορφωσίµων Στερεών Παράρτηµα Υπνθυµίις Μηχανικής Παραµορφωίµων Στρών 1. ΤΑΣΕΙΣ Οι ξωτρικές δυνάµις που πιβάλλονται ένα ώµα µπορούν να χωριθούν δύο κατηγορίς, τις καθολικές δυνάµις και τις πιφανιακές δυνάµις. Οι καθολικές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ. 5 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΠΑΚΕΤΑ Ι

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ. 5 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΠΑΚΕΤΑ Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ 5 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΠΑΚΕΤΑ Ι Ι ΑΣΚΩΝ ΣΤΕΛΙΟΣ ΖΗΜΕΡΑΣ Σάος 3 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ...3. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΑΝΑΛΥΤΗΣ...3.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΑΜΠΑΡΤΖΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΑΜΠΑΡΤΖΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΦΟΡΕΑΣ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΕΠΙΜΕΛΗΤΗΡΙΟ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Ε.)- ΤΜΗΜΑ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΚΡΗΤΗΣ Δ/ΝΣΗ: Εθνικής Αντιτάεως 105 71 306 ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΤΗΛΕΦΩΝΟ: 081-223997, 224595 FAX: 081-223997 E-mail: - Δ/νη το INTERNET: - ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:

Διαβάστε περισσότερα

συναρτησιακό μοντέλο: Ax=l+v (γεωμετρική απόσταση δορυφόρων-δέκτη) μετρήσεις: l στοχαστικό μοντέλο: W=σ 02 V (ψευδοαποστάσεις) (σ i =c cosecφ i )

συναρτησιακό μοντέλο: Ax=l+v (γεωμετρική απόσταση δορυφόρων-δέκτη) μετρήσεις: l στοχαστικό μοντέλο: W=σ 02 V (ψευδοαποστάσεις) (σ i =c cosecφ i ) Τύποι μετρήεων μέθοδοι δορυφορικού εντοπιμού μετρήεις ψευδοαποτάεων μετρήεις φάεων ΑΚΡΙΒΙΑ απόλυτος εντοπιμός χετικός εντοπιμός τατικός εντοπιμός κινηματικός εντοπιμός εκ των υτέρων εντοπιμός εντοπιμός

Διαβάστε περισσότερα

Προγράμματα Ασφάλισης Κατοικιών. Flexa / Complet / Oikos / Αστική Ευθύνη / Νομική Προστασία

Προγράμματα Ασφάλισης Κατοικιών. Flexa / Complet / Oikos / Αστική Ευθύνη / Νομική Προστασία Προγράμματα Ασφάλισης Κατοικιών Flexa / Complet / Oikos / Αστική Ευθύνη / Νομική Προστασία Περιεχόμενα 01 Ασφάλιση Κατοικίας Ενυπόθηκων Κατοικιών 01.1 Flexa...05 01.2 Complet...06 Oikos 01.3 Oikos Basic...09

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΦΑΛΙΣΗ ΦΩΤΟΒΟΛΤΑΪΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΑΣΦΑΛΙΣΗ ΦΩΤΟΒΟΛΤΑΪΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΣΦΑΛΙΣΗ ΦΩΤΟΒΟΛΤΑΪΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Κ. Παλαιολόγου 14 Ν. Σμύρνη 171 21 Τηλ. 210 9320900 Fax 210 9353565 e-mail:info@okto.gr web-site: www.okto.gr ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: 1. ΑΣΦΑΛΙΣΗ ΕΡΓΟΥ Κατά Παντός Κινδύνου Συναρμολόγησης

Διαβάστε περισσότερα

Ασφάλεια Επιχειρήσεων INTERAMERICAN Βusiness

Ασφάλεια Επιχειρήσεων INTERAMERICAN Βusiness www.interamerican.gr Ασφάλεια Επιχειρήσεων INTERAMERICAN Βusiness Εξασφαλίστε την επαγγελματική σας στέγη από κάθε κίνδυνο Η επιχείρησή σας λειτουργεί, ό,τι και αν συμβεί Τα προγράμματα INTERAMERICAN Business

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

DEMCO ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗ Ασφάλεια εν Κινήσει auto 1 1plus 2 3 4 αυτοκίνητα Ι.Χ.Ε.

DEMCO ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗ Ασφάλεια εν Κινήσει auto 1 1plus 2 3 4 αυτοκίνητα Ι.Χ.Ε. ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ Ασφάλιση Οχήματος Ι.Χ.Ε. (Αυτοκίνητα) Απλή Ασφαλιστική Κάλυψη «Ασφάλεια Εν Κινήσει 1» Αστική Ευθύνη για σωματικές βλάβες και υλικές ζημιές. Αστική ευθύνη για υλικές ζημιές σε οχήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΗ ΕΚ ΤΟΥ ΑΡΘΡΟΥ 11 Π.Δ. 190/2006 ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ ΑΠΟ ΤΟΝ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΟ ΔΙΑΜΕΣΟΛΑΒΗΤΗ ΣΑΣ

ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΗ ΕΚ ΤΟΥ ΑΡΘΡΟΥ 11 Π.Δ. 190/2006 ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ ΑΠΟ ΤΟΝ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΟ ΔΙΑΜΕΣΟΛΑΒΗΤΗ ΣΑΣ Προς τον/την κ. του ΕΠΩΝΥΜΙΑ : ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΠΟΛΗ FAX e mail ΑΡ.ΜΗΤΡΩΟΥ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΟΥ ΔΙΑΜΕΣΟΛΑΒΗΤΗ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΣΥΝΤΟΝΙΣΤΗΣ ΑΣΦ. ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΟΣ ΠΡΑΚΤΟΡΑΣ ΜΕΣΙΤΗΣ ΑΣΦΑΛΙΣΕΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΣΥΛΛΟΓΟΥ «ΦΙΛΩΝ ΙΔΡΥΜΑΤΟΣ ΜΕΙΖΟΝΟΣ ΕΛΛΗΝΙΣΜΟΥ» Α) ΑΣΦΑΛΙΣΗ ΟΧΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΚΙΝΗΤΑ

ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΣΥΛΛΟΓΟΥ «ΦΙΛΩΝ ΙΔΡΥΜΑΤΟΣ ΜΕΙΖΟΝΟΣ ΕΛΛΗΝΙΣΜΟΥ» Α) ΑΣΦΑΛΙΣΗ ΟΧΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΚΙΝΗΤΑ Τα ασφαλιστικά γραφεία FC BROKERS σε συνεργασία με αξιόπιστες Ελληνικές και Ξένες Ασφαλιστικές εταιρείες προσφέρουν προγράμματα ασφάλισης για τα μέλη του Συλλόγου Φίλων του Ιδρύματος Μείζονος Ελληνισμού.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙΠΟΤΑ ΕΝ ΕΙΝΑΙ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΟ ΟΤΑΝ ΠΡΟΚΕΙΤΑΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΣΑΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΕΝ ΟΙΚΩ

ΤΙΠΟΤΑ ΕΝ ΕΙΝΑΙ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΟ ΟΤΑΝ ΠΡΟΚΕΙΤΑΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΣΑΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΕΝ ΟΙΚΩ ΤΙΠΟΤΑ ΕΝ ΕΙΝΑΙ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΟ ΟΤΑΝ ΠΡΟΚΕΙΤΑΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΣΑΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΕΝ ΟΙΚΩ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΕΝ ΟΙΚΩ Οι κίνδυνοι που απειλούν το σπίτι σας και µαζί την ηρεµία της καθηµερινής σας ζωής είναι πολλοί. Ζηµιές

Διαβάστε περισσότερα

Ασφάλεια Kατοικίας INTERAMERICAN HOME

Ασφάλεια Kατοικίας INTERAMERICAN HOME www.interamerican.gr Ασφάλεια Kατοικίας INTERAMERICAN HOME Εξασφαλίστε το σπίτι σας και την ποιότητα της ζωής σας Τα στοιχεία της πραγματικότητας Αναμφισβήτητα, οι κίνδυνοι που απειλούν το σπίτι σας είναι

Διαβάστε περισσότερα

DEMCO ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗ Ασφάλεια εν Κινήσει 1 1plus 2 3 4 αγροτικά Ι.Χ.

DEMCO ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗ Ασφάλεια εν Κινήσει 1 1plus 2 3 4 αγροτικά Ι.Χ. Ασφάλιση Οχήματος Ι.Χ. (αγροτικά αυτοκίνητα) ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ Απλή Ασφαλιστική Κάλυψη «Ασφάλεια Εν Κινήσει 1» Αστική Ευθύνη για σωματικές βλάβες και υλικές ζημιές. Αστική ευθύνη για υλικές ζημιές

Διαβάστε περισσότερα

Εγκύκλιος 04/2015 ΘΕΜΑ: ΝΕΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ «ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΕΥΘΥΝΗΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ»

Εγκύκλιος 04/2015 ΘΕΜΑ: ΝΕΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ «ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΕΥΘΥΝΗΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ» Προς Όλους τους Συνεργάτες Από Κλάδο Αστικής Ευθύνης Αθήνα 16/6/2015 Εγκύκλιος 04/2015 ΘΕΜΑ: ΝΕΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ «ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΕΥΘΥΝΗΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ» Αγαπητοί Συνεργάτες, Στην προσπάθειά μας να διευκολύνουμε το έργο

Διαβάστε περισσότερα

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από pito ) Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΓΚΕΚΡΙΜΕΝΑ ΣΧΕ ΙΑ ΚΙΝΗΤΙΚΟΤΗΤΑΣ-ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΕΣ ΤΗΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗΣ EMAIL ΤΙΤΛΟΣ ΣΧΕ ΙΟΥ ΑΡΙΘΜΟ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ Σ

ΕΓΚΕΚΡΙΜΕΝΑ ΣΧΕ ΙΑ ΚΙΝΗΤΙΚΟΤΗΤΑΣ-ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΕΣ ΤΗΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗΣ EMAIL ΤΙΤΛΟΣ ΣΧΕ ΙΟΥ ΑΡΙΘΜΟ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ Σ ΕΓΚΕΚΡΙΜΕΝΑ ΧΕ ΙΑ ΚΙΝΗΤΙΚΟΤΗΤΑ-ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΕ ΤΗ Η ΕΚΠΑΙ ΕΥΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΡΤΙΗ Α/Α Α.Π ΚΩ ΙΚΟ ΜΑΤΟ ΙΚΑΙΧΟ - ΦΟΡΕΑ 2013 ΕΡΓΑΤΗΡΙΟ LEO03-01705 ΕΙ ΙΚΗ Η ΕΚΠΑΙ ΕΥΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΡΤΙΗ ΑΙΓΑΛΕΩ Ε.Ε.Ε.Ε.Κ. ΥΠΕΥΘΥΝΟ ΕΠΙΚΟΙΝΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IV. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ. Ειαγωγή Η θωρία πλαικόηας αχολίαι µ ην υµπριφορά ων µαλλικών υλικών, όαν οι παραµορφώις ίναι πλέον αρκά µγάλς και ο νόµος ου Hooke παύι να

Διαβάστε περισσότερα

Νέα προγράμματα Aσφάλισης Eπιχειρήσεων. INTERAMERICAN Business. Εξασφαλίζουν την επαγγελματική σας στέγη από κάθε κίνδυνο!

Νέα προγράμματα Aσφάλισης Eπιχειρήσεων. INTERAMERICAN Business. Εξασφαλίζουν την επαγγελματική σας στέγη από κάθε κίνδυνο! Νέα προγράμματα Aσφάλισης Eπιχειρήσεων INTERAMERICAN Business Εξασφαλίζουν την επαγγελματική σας στέγη από κάθε κίνδυνο! INTERAMERICAN Business Διασφαλίστε τα επαγγελματικά σας συμφέροντα από 4* το μήνα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΙΕΥΚΡΙΝΗΣΕΙΣ ΚΑΛΥΨΕΩΝ ΑΥΤΟΚΙΝΗΤΟΥ

ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΙΕΥΚΡΙΝΗΣΕΙΣ ΚΑΛΥΨΕΩΝ ΑΥΤΟΚΙΝΗΤΟΥ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΙΕΥΚΡΙΝΗΣΕΙΣ ΚΑΛΥΨΕΩΝ ΑΥΤΟΚΙΝΗΤΟΥ ΟΡΟΣ ΠΑΛΑΙΟΤΗΤΑΣ ΑΝΤΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ Σε περίπτωση υλικής ζηµιάς και µόνον εφόσον τα ανταλλακτικά του αυτοκινήτου αντικατασταθούν µε καινούρια, αφαιρείται παλαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑ.Λ. (ΟΜΑ Α Β ) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΕΥΤΕΡΑ, 22 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 201 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτημα α υπολογισμοί κύριων τάσεων

Παράρτημα α υπολογισμοί κύριων τάσεων Παράρημα α υπολογιμοί κύριων άεων Οι κύριες άεις μπορούν να υπολογιούν εύκολα αφού υπολογιούν πρώα, οι αναλλοίωες ου αποκλίνονος ανυή άεων:, καώς και η πρώη αναλλοίωη ου ανυή άεων Ι. Υπολογίζεαι αρχικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ, ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ, ΥΠΟΔΟΜΩΝ, ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΩΝ ΠΛΑΤΕΙΑ ΣΥΝΤΑΓΜΑΤΟΣ, ΑΘΗΝΑ

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ, ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ, ΥΠΟΔΟΜΩΝ, ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΩΝ ΠΛΑΤΕΙΑ ΣΥΝΤΑΓΜΑΤΟΣ, ΑΘΗΝΑ ΤΜΗΜ : ΚΤΡΤΙΗ ΕΤΗ. ΠΡΟΓΡΜ. ΔΗΜ. ΕΠΕΝΔ. ΤΜΗΜΤΡΧΗ : Δ. ΓΡΟΥΖΗ ΤΗΛ. 210-3332990 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕ : Ι.ΖΡΦΕΤ ΤΗΛ.210-3332864 ΝΡΤΗΤΕ ΤΟ ΔΙΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΤΙ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΝΠΤΥΞΗ, ΝΤΓΩΝΙΤΙΚΟΤΗΤ, ΥΠΟΔΟΜΩΝ, ΜΕΤΦΟΡΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΑΣΗ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΑΣΤΙΚΗΣ ΕΥΘΥΝΗΣ

ΠΡΟΤΑΣΗ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΑΣΤΙΚΗΣ ΕΥΘΥΝΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΑΣΤΙΚΗΣ ΕΥΘΥΝΗΣ ΓΕΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΩΔΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΛΗΠΤΗ ΤΗΣ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ / ΣΥΜΒΑΛΛΟΜΕΝΟΥ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ Ή ΕΠΩΝΥΜΙΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Α.Φ.Μ. Δ.Ο.Υ Α.Δ.Τ. ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΙ ΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΓΙΑ ΤΑ ΑΤΥΧΗΜΑΤΑ ΚΑΙ TA ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΥΓΕΙΑΣ ΠΟΥ ΣΥΝ ΕΟΝΤΑΙ ΜΕ ΤΗΝ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΙ ΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΓΙΑ ΤΑ ΑΤΥΧΗΜΑΤΑ ΚΑΙ TA ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΥΓΕΙΑΣ ΠΟΥ ΣΥΝ ΕΟΝΤΑΙ ΜΕ ΤΗΝ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 21 Νοεµβρίου 2014 ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΙ ΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΓΙΑ ΤΑ ΑΤΥΧΗΜΑΤΑ ΚΑΙ TA ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΥΓΕΙΑΣ ΠΟΥ ΣΥΝ ΕΟΝΤΑΙ ΜΕ ΤΗΝ ΕΡΓΑΣΙΑ Σκοπός της έρευνας ήταν η συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

1. Είτε σε μόνιμη κατοικία, 2. είτε σε εξοχική κατοικία.

1. Είτε σε μόνιμη κατοικία, 2. είτε σε εξοχική κατοικία. Λένορμαν 98 (2 ος όροφος) 10444 Αθήνα Τηλ.: 210 51 50 504-210 51 53 753 Fax: 210 51 39 626 e-mail: nicolako@otenet.gr info@prooptiki-insurance.gr website: www.prooptiki-insurance.gr Ασφάλιση Κατοικιών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΑΣΗ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΑΣΤΙΚΗΣ ΕΥΘΥΝΗΣ

ΠΡΟΤΑΣΗ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΑΣΤΙΚΗΣ ΕΥΘΥΝΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΑΣΤΙΚΗΣ ΕΥΘΥΝΗΣ ΓΕΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΩΔΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΛΗΠΤΗ ΤΗΣ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ / ΣΥΜΒΑΛΛΟΜΕΝΟΥ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ Ή ΕΠΩΝΥΜΙΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Α.Φ.Μ. Δ.Ο.Υ Α.Δ.Τ. ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑΣ ΝΟΜΟΣ ΤΗΛ.

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Βελτιώσεις / Τροποποιήσεις σε Προγράμματα Ασφάλισης Κατοικιών, Καταστημάτων και Εμπορικών Επιχειρήσεων

ΘΕΜΑ: Βελτιώσεις / Τροποποιήσεις σε Προγράμματα Ασφάλισης Κατοικιών, Καταστημάτων και Εμπορικών Επιχειρήσεων Προς Όλους τους Συνεργάτες μας Μάρτιος 2013 ΘΕΜΑ: Βελτιώσεις / Τροποποιήσεις σε Προγράμματα Ασφάλισης Κατοικιών, Καταστημάτων και Εμπορικών Επιχειρήσεων Αγαπητοί Συνεργάτες, Στα πλαίσια της διαρκούς προσπάθειάς

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΚΗΡΥΞΗ ΕΠΙΜΕΛΗΤΗΡΙΟ ΛΑΡΙΣΑΣ ΠΑΠΑΚΥΡΙΑΖΗ 44 ΛΑΡΙΣΑ ΤΗΛ.: 2410532447

ΠΡΟΚΗΡΥΞΗ ΕΠΙΜΕΛΗΤΗΡΙΟ ΛΑΡΙΣΑΣ ΠΑΠΑΚΥΡΙΑΖΗ 44 ΛΑΡΙΣΑ ΤΗΛ.: 2410532447 ΕΠΙΜΕΛΗΤΗΡΙΟ ΛΑΡΙΣΑΣ ΠΑΠΑΚΥΡΙΑΖΗ 44 ΛΑΡΙΣΑ ΤΗΛ.: 2410532447 ΠΡΟΚΗΡΥΞΗ Διαγωνισμού για την ασφάλιση των περιουσιακών στοιχείων του ΕΠΙΜΕΛΗΤΗΡΙΟΥ ΛΑΡΙΣΑΣ. Tο Επιμελητηρίου Λάρισας έχοντας υπόψη: 1) Τις διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Τα οικονομικά της Υγείας: μια >υσάρεστη επιστήμη ή ένα χρήσιμο εργαλείο για τις πολιτικές Υγείας;

Τα οικονομικά της Υγείας: μια >υσάρεστη επιστήμη ή ένα χρήσιμο εργαλείο για τις πολιτικές Υγείας; Τ οικονομικά της Υγείς: μι υάρετη επιτήμη ή έν χρήιμο εργλείο γι τις πολιτικές Υγείς; Ιωάννης Κυριόπουλος Κθηγητής Οικονομικών της Υγείς, Διευθυντής του Τομέ Οικονομικών της Υγείς, Εθνική Σχολή Δημόις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΚ ΞΑΝΘΗΣ. Μάθημα : Στατιστική Ι. Υποενότητα : Τρόποι και μέθοδοι δειγματοληψίας

ΙΕΚ ΞΑΝΘΗΣ. Μάθημα : Στατιστική Ι. Υποενότητα : Τρόποι και μέθοδοι δειγματοληψίας ΙΕΚ ΞΑΝΘΗΣ Μάθημα : Στατιστική Ι Υποενότητα : Τρόποι και μέθοδοι δειγματοληψίας Επαμεινώνδας Διαμαντόπουλος Ιστοσελίδα : http://users.sch.gr/epdiaman/ Email : epdiamantopoulos@yahoo.gr 1 Στόχοι της υποενότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ, ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ ΠΛΑΤΕΙΑ ΣΥΝΤΑΓΜΑΤΟΣ, ΑΘΗΝΑ

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ, ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ ΠΛΑΤΕΙΑ ΣΥΝΤΑΓΜΑΤΟΣ, ΑΘΗΝΑ ΤΜΗΜ : ΚΤΡΤΙΗ ΕΤΗ. ΠΡΟΓΡΜ. ΔΗΜ. ΕΠΕΝΔ. ΤΜΗΜΤΡΧΗ : Δ. ΓΡΟΥΖΗ ΤΗΛ. 210-3332990 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕ : Ε. ΚΟΡΔΩΗ ΤΗΛ.210-3332939/e.kordosi@mnec.gr ΝΡΤΗΤΕ ΤΟ ΔΙΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΤΙ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΝΠΤΥΞΗ, ΝΤΓΩΝΙΤΙΚΟΤΗΤ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΗ ΕΚ ΤΟΥ ΑΡΘΡΟΥ 11 Π.Δ. 190/2006 ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ ΑΠΟ ΤΟΝ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΟ ΔΙΑΜΕΣΟΛΑΒΗΤΗ ΣΑΣ

ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΗ ΕΚ ΤΟΥ ΑΡΘΡΟΥ 11 Π.Δ. 190/2006 ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ ΑΠΟ ΤΟΝ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΟ ΔΙΑΜΕΣΟΛΑΒΗΤΗ ΣΑΣ Αριθ... Προς τον/ την κ. του 1) ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΟΥ ΔΙΑΜΕΣΟΛΑΒΗΤΗ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ / ΕΠΩΝΥΜΙΑ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΠΕΡΙΟΧΗ / ΤΚ ΠΟΛΗ FAX e-mail Αρ. Μητρώου ΤΗΛΕΦΩΝΑ KINHTO website Επιµελητήριο 2) ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

3. Οι σχέσεις της Ελλάδας µε τους άλλους

3. Οι σχέσεις της Ελλάδας µε τους άλλους 3. Οι χέεις της Ελλάδας µε τους άλλους Οι χέεις της Ελλάδας µε τους γύρω της λαούς και τις ευρωπαϊκές υνάµεις καθορίζονται τη διάρκεια του 19 ου και των αρχών του 20 ού αιώνα από τον αλυτρωτιµό. Η προάρτηη

Διαβάστε περισσότερα

Business Value. Για την επιχείρησή σας, ασφαλώς! Ασφάλιση στα μέτρα σας! Ανάλυση Προγράμματος Εισαγωγή

Business Value. Για την επιχείρησή σας, ασφαλώς! Ασφάλιση στα μέτρα σας! Ανάλυση Προγράμματος Εισαγωγή Ανάλυση Προγράμματος Εισαγωγή Business Value Για την επιχείρησή σας, ασφαλώς! Η σημερινή γενιά, θέτει και πετυχαίνει συνεχώς υψηλότερους στόχους, λειτουργώντας με πλάνο και σχέδιο για να διασφαλίσει τα

Διαβάστε περισσότερα

Εξασφαλίζουν το σπίτι σας και όλα όσα σημαίνει για εσάς!

Εξασφαλίζουν το σπίτι σας και όλα όσα σημαίνει για εσάς! Νέα προγράμματα Ασφάλισης Κατοικίας INTERAMERICAN HOME Εξασφαλίζουν το σπίτι σας και όλα όσα σημαίνει για εσάς! Όταν κοιτάμε την πραγματικότητα κατάματα, λέμε τα πράγματα με το όνομά τους και προετοιμαζόμαστε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

Προγράμματα Ασφάλισης Οχημάτων. Basic / Triplex / Quattro / Minikasko / Teilkasko / Extensionkasko / Vollkasko / Αστική Ευθύνη

Προγράμματα Ασφάλισης Οχημάτων. Basic / Triplex / Quattro / Minikasko / Teilkasko / Extensionkasko / Vollkasko / Αστική Ευθύνη Προγράμματα Ασφάλισης Οχημάτων Basic / Triplex / Quattro / Minikasko / Teilkasko / Extensionkasko / Vollkasko / Αστική Ευθύνη 2 Περιεχόμενα 01 Προγράμματα Ασφάλισης Οχημάτων 01.1 Basic Simple...04 01.2

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πρόβλημα απουσιών στ)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πρόβλημα απουσιών στ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ο διευθυντής προσωπικού μιας μεγάλης εταιρείας πιστεύει ότι ίσως υφίσταται κάποια σχέση μεταξύ των ημερών απουσίας και της ηλικίας των εργαζομένων. Με βάση την υπόθεση αυτή ενδιαφέρεται να κατασκευάσει

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση Εταιρίας Ιανουάριος 2013

Παρουσίαση Εταιρίας Ιανουάριος 2013 Παρουσίαση Εταιρίας Ιανουάριος 2013 14 ο χλμ Θεσσαλονίκης Πολυγύρου 57001 Θέρμη Θεσσαλονίκη Τηλ.: 2310 466666 Fax: 2310 466549 www.interbrokers.gr Η Εταιρία Η INTERBROKERS Α.Ε. ιδρύθηκε το 1999 με αρχικό

Διαβάστε περισσότερα

3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών

3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών . Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών - Αναμενόμενη ή μέση τιμή μιας διακριτής τυχαίας μεταβητής. Θα ήταν αρκετά χρήσιμο να γνωρίζουμε γύρω από ποια τιμή «κυμαίνεται» η τ.μ. Χ. γύρω από την οποία «απώνεται»

Διαβάστε περισσότερα

(factor) (level) covariates 1.3

(factor) (level) covariates 1.3 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΜΕΡΟΣ Α ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Γ. ΤΖΑΒΕΛΑΣ . Εαγωγή.. Σκοός Ο κοός του Μαήατος αυτού είνα να εάγε τον αναγνώτη ε ία τάξη ταττκών οντέλων ου είνα φυκή γενίκευη των

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΑΣΗ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ. Επιχειρήσεων

ΠΡΟΤΑΣΗ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ. Επιχειρήσεων EFG Eurolife Α.Ε.Γ.Α. Λεωφόροs Συγγρού 209-211, 171 21 Νέα Σµύρνη Τnλ. 210 9303690, Fax 210 9303689 26 ης Οκτωβρίου 90, Porto Center, 546 28, Θεσσαλονίκη Tnλ. 2310 506340, Fax 2310 506220 ΠΡΟΤΑΣΗ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: 01 ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ: 002. Αναβάθµιση της ποιότητας της παρεχόµενη ς εκπαίδευσης (3)

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: 01 ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ: 002. Αναβάθµιση της ποιότητας της παρεχόµενη ς εκπαίδευσης (3) ΤΡΙΜΗΝΙΙΟ ΕΛΤΙΟ ΠΡΚΟΛΟΥΘΗΗ ΕΡΓΟΥ/ 2000-2006 ΤΡΙΜΗΝΙΙΟ ΕΛΤΙΟ ΠΡΚΟΛΟΥΘΗΗ ΕΡΓΟΥ ΤΜΗΜ (Ταυτότητα Έργου) ΕΠΙΧΕΙΡΗΙΚΟ ΠΡΟΓΡΜΜ: 01 ΕΠ ΕΚΠΙ ΕΥΗ ΚΙ ΡΧΙΚΗ ΕΠΓΓΕΛΜΤΙΚΗ ΚΤΡΤΙΗ (1) ΠΡΟΤΕΡΙΟΤΗΤ: 002 Προώθηση και βελτίωση

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς 2-2 2 Πιθανότητες Χρησιμοποιώντας την Στατιστική Βασικοί ορισμοί: Ενδεχόμενα, Δειγματικός χώρος και Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και το Κόστος

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και το Κόστος ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Κεφάλαιο 3 ο : Η Παραγωγή της Επιχείρησης και το Κόστος ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΝΙΚΟΣ Χ. ΤΖΟΥΜΑΚΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ Παραγωγή: είναι η διαδικασία με την οποία οι διάφοροι παραγωγικοί συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ:Β06 03 Στατιστική περιγραφική εφαρμοσμένη στην Ψυχοπαιδαγωγική ΘΕΜΑ: Μεταβλητές: ορισμοί, ποιοτικές μεταβλητές, ποσοτικές μεταβλητές,

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη: το χρηματοοικονομικό προφίλ της μεταποίησης στο Βορειοελλαδικό Τόξο.

Μελέτη: το χρηματοοικονομικό προφίλ της μεταποίησης στο Βορειοελλαδικό Τόξο. Μελέτη: το χρηματοοικονομικό προφίλ της μεταποίησης στο Βορειοελλαδικό Τόξο. Αποτελέσματα από την επεξεργασία 226 ισολογισμών ισάριθμων βιομηχανιών με έδρα την Ήπειρο, τη Μακεδονία και τη Θράκη Βασικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ, ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ ΠΛΑΤΕΙΑ ΣΥΝΤΑΓΜΑΤΟΣ, ΑΘΗΝΑ

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ, ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ ΠΛΑΤΕΙΑ ΣΥΝΤΑΓΜΑΤΟΣ, ΑΘΗΝΑ ΤΜΗΜ : ΚΤΡΤΙΗ ΕΤΗ. ΠΡΟΓΡΜ. ΔΗΜ. ΕΠΕΝΔ. ΤΜΗΜΤΡΧΗ : Δ. ΓΡΟΥΖΗ ΤΗΛ. 210-3332990 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕ : Ε. ΚΟΡΔΩΗ ΤΗΛ.210-3332939/e.kordosi@mnec.gr ΝΡΤΗΤΕ ΤΟ ΔΙΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΤΙ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΝΠΤΥΞΗ, ΝΤΓΩΝΙΤΙΚΟΤΗΤ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 Συνεχή Κλάσματα Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 5 Νοεμβρίου 204 Ορισμός και ιδιότητες: Ορισμός: Έστω a 0, a, a 2,...a n ανεξάρτητες μεταβλητές, n N σχηματίζουν την ακολουθία {[a 0, a,..., a n ] : n N} όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x) x είναι f (x) Β Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50]

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΦΛΩΡΟΣ -Φ- ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΩΡΑ ΔΕΝ ΜΕΝΕΙ ΚΑΝΕΙΣ ΑΝΑΣΦΑΛΙΣΤΟΣ!!

ΦΛΩΡΟΣ -Φ- ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΩΡΑ ΔΕΝ ΜΕΝΕΙ ΚΑΝΕΙΣ ΑΝΑΣΦΑΛΙΣΤΟΣ!! ΦΛΩΡΟΣ -Φ- ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΩΡΑ ΔΕΝ ΜΕΝΕΙ ΚΑΝΕΙΣ ΑΝΑΣΦΑΛΙΣΤΟΣ!! ΔΕΙΤΕ ΠΟΣΟ ΠΡΟΣΙΤΗ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΓΙΝΕΙ Η ΑΓΟΡΑ ΙΔΙΩΤΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΥΓΕΙΑΣ ΠΑΡΕΧΟΝΤΑΣ ΠΛΗΡΗ ΚΑΛΥΨΗ ΝΟΣΗΛΕΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΓΝΩΣΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελ Α Σχολικό βιβλίο σελ 6 Α Σχολικό βιβλίο σελ 9 Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ // - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΟΔΟΤΙΚΗ ΑΣΤΙΚΗ ΕΥΘΥΝΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Παράγων θεραπείας η Ιδιωτική Ασφάλιση

ΕΡΓΟΔΟΤΙΚΗ ΑΣΤΙΚΗ ΕΥΘΥΝΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Παράγων θεραπείας η Ιδιωτική Ασφάλιση ΕΡΓΟΔΟΤΙΚΗ ΑΣΤΙΚΗ ΕΥΘΥΝΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Παράγων θεραπείας η Ιδιωτική Ασφάλιση Του Γιώργου Κουτίνα (*) Είναι γεγονός πως η εντατικοποίηση της παραγωγικής διαδικασίας και οι ευρύτερες συνέπειες της παγκοσμιοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη:

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη: 4. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΥΠΟ ΑΒΕΒΑΙΑ ΖΗΤΗΣΗ Στις περισσότερες περιπτώσεις η ζήτηση είναι αβέβαια. Οι περιπτώσεις αυτές διαφέρουν ως προς το μέγεθος της αβεβαιότητας. Δηλαδή εάν η αβεβαιότητα είναι περιορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΠΛΑΤΕΙΑ ΣΥΝΤΑΓΜΑΤΟΣ, ΑΘΗΝΑ

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΠΛΑΤΕΙΑ ΣΥΝΤΑΓΜΑΤΟΣ, ΑΘΗΝΑ ΔΙΕΥΘΥΝΗ ΔΗΜΟΙΩΝ ΕΠΕΝΔΥΕΩΝ ΤΜΗΜ : ΚΤΡΤΙΗ ΕΤΗ. ΠΡΟΓΡΜ. ΔΗΜ. ΕΠΕΝΔ. ΤΜΗΜΤΡΧΗ : Δ. ΓΡΟΥΖΗ ΤΗΛ. 210-3332990 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕ :. ΤΖΧΡΗΤ ΤΗΛ.210-3332236 ΝΡΤΗΤΕ ΤΟ ΔΙΔΙΚΤΥΟ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΝΠΤΥΞΗ ΚΙ ΝΤΓΩΝΙΤΙΚΟΤΗΤ ΠΛΤΕΙ ΥΝΤΓΜΤΟ,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Προγράμματα Ασφάλισης Σκαφών Αναψυχής. Mare / Νομική Προστασία

Προγράμματα Ασφάλισης Σκαφών Αναψυχής. Mare / Νομική Προστασία Προγράμματα Ασφάλισης Σκαφών Αναψυχής Mare / Νομική Προστασία ΤΙΜΟΛΟΓΙΟ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΣΚΑΦΩΝ ΑΝΑΨΥΧΗΣ 2 3 01 Ασφαλίσεις Σκαφών Ο κλάδος ασφάλισης σκαφών περιλαμβάνει τις υποχρεωτικές από το νόμο καλύψεις αστικής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΠΛΑΤΕΙΑ ΣΥΝΤΑΓΜΑΤΟΣ, ΑΘΗΝΑ

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΠΛΑΤΕΙΑ ΣΥΝΤΑΓΜΑΤΟΣ, ΑΘΗΝΑ ΔΙΕΥΘΥΝΗ ΔΗΜΟΙΩΝ ΕΠΕΝΔΥΕΩΝ ΤΜΗΜ : ΚΤΡΤΙΗ ΕΤΗ. ΠΡΟΓΡΜ. ΔΗΜ. ΕΠΕΝΔ. ΤΜΗΜΤΡΧΗ : Δ. ΓΡΟΥΖΗ ΤΗΛ. 210-3332990 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕ :. ΤΖΧΡΗΤ ΤΗΛ.210-3332236 ΝΡΤΗΤΕ ΤΟ ΔΙΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΤΙ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΝΠΤΥΞΗ ΚΙ ΝΤΓΩΝΙΤΙΚΟΤΗΤ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α Πότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; Α Αν οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ, ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ, ΥΠΟΔΟΜΩΝ, ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΩΝ ΠΛΑΤΕΙΑ ΣΥΝΤΑΓΜΑΤΟΣ, ΑΘΗΝΑ

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ, ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ, ΥΠΟΔΟΜΩΝ, ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΩΝ ΠΛΑΤΕΙΑ ΣΥΝΤΑΓΜΑΤΟΣ, ΑΘΗΝΑ ΤΜΗΜΤΡΧΗ : Δ. ΓΡΟΥΖΗ ΤΗΛ. 210-3332990 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕ : Φ. ΝΙΚΟΛΟΥ ΤΗΛ.210-3332896/f.nikolaou@mnec.gr ΝΡΤΗΤΕ ΤΟ ΔΙΔΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΤΙ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΝΠΤΥΞΗ, ΝΤΓΩΝΙΤΙΚΟΤΗΤ, ΥΠΟΔΟΜΩΝ, ΜΕΤΦΟΡΩΝ ΚΙ ΔΙΚΤΥΩΝ ΠΛΤΕΙ

Διαβάστε περισσότερα

Σελ. 2 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΟΙΚΟΔΟΜΗΣ ΣΚΕΛΕΤΟΣ ΣΤΕΓΗΣ - ΜΠΕΤΟΝ ΑΡΜΕ ΜΕΤΑΛΛΙΚΟΣ ΞΥΛΙΝΟΣ ΑΛΛΟ

Σελ. 2 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΟΙΚΟΔΟΜΗΣ ΣΚΕΛΕΤΟΣ ΣΤΕΓΗΣ - ΜΠΕΤΟΝ ΑΡΜΕ ΜΕΤΑΛΛΙΚΟΣ ΞΥΛΙΝΟΣ ΑΛΛΟ ΠΡΟΤΑΣΗ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ ΚΩΔΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗ 1. ΓΕΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΛΗΠΤΗ ΤΗΣ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ / ΣΥΜΒΑΛΛΟΜΕΝΟΥ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ Ή ΕΠΩΝΥΜΙΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Α.Φ.Μ. Δ.Ο.Υ Α.Δ.Τ ΕΙΔΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕ ΤΟ SPSS To SPSS θα: - Κάνει πολύπλοκη στατιστική ανάλυση σε δευτερόλεπτα -

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008 Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 8 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 9.9.8. [] Μια βιομηχανία τροφίμων προμηθεύεται νωπά κοτόπουλα από τρεις διαφορετικούς παραγωγούς Α, Β, Γ. Το % των κοτόπουλων

Διαβάστε περισσότερα