Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών

Transcript

1 Διαφορές μεταξύ Αφαλίεων Ζωής και Γενικών Ζωής Αφαλιμένο κεφάλαιο (γνωτό Ένα υμβάν 3 Μικρή εξέλιξη ζημιάς (πχ άνατος, το μααίνεις αμέως Γενικές Μπορεί να είναι γνωτό, μπορεί και όχι (πχ το πίτι αν κατατραφεί τελείως ξέρουμε πόο κάνει,το αυτοκίνητο, τις ατικές ευύνες δεν υπάρχει Όχι απαραίτητα ένα υμβάν (πχ τρακάριμα 3 Μακρά εξέλιξη ζημιών (πχ την ατική ευύνη εργοδοτών υπήρξε έκεη ε καρκινιγόνα χημικά και το γεγονός ανακοινώηκε χρόνια αργότερα Οι παράγοντες τιμολόγηης (rtg fctrs είναι προεγγίεις ε παράγοντες κινδύνου (rsk fctrs (πχ το αυτοκίνητο ένας παράγοντας κινδύνου είναι το πόο καλός οδηγός είναι ένας παράγοντας τιμολόγηης είναι και η ηλικία Αυτοκίνητο Η αφάλιη της ατικής ευύνης από αυτοκίνητα, κοπό έχει να καλύψει την επιβάρυνη της περιουίας του κατόχου ή του κυρίου του αυτοκινήτου με μια απαίτηη τρίτου η οποία προέρχεται από το αυτοκίνητο του αφαλιμένου Στην Ελλάδα, η αφάλιη αυτοκινήτων είναι υποχρεωτικήτα όρια είναι 5 για ωματικές βλάβες και για υλικές ζημιές Στην Αγγλία είναι χωρίς όρια Σε άλλες χώρες έχει όριο ανά άτομο ή ανά ατύχημα Ο αφαλιτής αναλαμβάνει να καλύψει τους παρακάτω κινδύνους: Τον κίνδυνο ατικής ευύνης για υλικές ζημιές, οι οποίες προκαλούνται ε τρίτους b Τον κίνδυνο ατικής ευύνης για ωματικές βλάβες, οι οποίες προκαλούνται ε τρίτους (όχι ε αυτούς οι οποίοι επιβαίνουν το αυτοκίνητο c Τον κίνδυνο ατικής ευύνης του αφαλιμένου προς τους επιβάτες του αυτοκινήτου (με εξαίρεη του οδηγού, είτε πααίνουν ωματικές ή υλικές ζημιές εξαιτίας του αυτοκινήτου d Ίδιες ζημιές του οχήματος με απαλλαγή ή χωρίς απαλλαγή e Πυρκαγιά του οχήματος

2 f Ολική κλοπή του οχήματος g Μερική κλοπή του οχήματος Για τη διαμόρφωη του αφαλίτρου υνήως λαμβάνουμε υπόψη τα ακόλουα τοιχεία και πληροφορίες: Η κατηγορία του οχήματος (ιδιωτικά επιβατικά, ταξί, φορτηγά δημοίας χρήεως, λεοφωρεία δημοίας χρήεως, μοτοικλέτες-μοτοποδήλατς, γερανοί-φορτωτέςγεοτρύπανα-κλπ,με διάφορες υποκατηγορίες b Η ιπποδύναμη του οχήματος c Η έδρα και ο χώρος χρήης του οχήματος(ατικά κέντρα d Οι αναλαμβανόμενοι κίνδυνοι και τα αφαλιζόμενα ποά έναντι του αφαλιζομένου e Η ηλικία του ιδιοκτήτη ή του οδηγού (πχ μέχρι ηλικίας 3 ετών έχουμε επιβάρυνη του αφαλιμένου κατά 3% f Τα χρόνια οδήγηης και έκδοης της άδειας οδήγηης g Η προιτορία του οχήματς, του οδηγού ή του ιδιοκτήτη (t Sstem, Bus Mlus, ατυχήματα (πχ αν ένας οδηγός δεν υποτεί ατύχηα α έχι % μείωη για κάε χρόνο μεανώταο όριο το 5% και αυξάνεται για κάε ζημιά κατά % με ανώτατο όριο το % h Το επάγγελμα Το φύλο Η εξέλιξη ζημιών τον κλάδο των αυοκινήτων, αν αφορά ατική ευύνη προς τρίτους είναι υνήως μεγάλη, ενώ για υλικές ζημιές είναι χετικά μικρή Πιο υχνά, οι μεγάλες ζημιές έρχονται από τετραπληγία (ψυχική οδίνη, έλλειψη ειοδήματος, ιατρικά έξοδα Η υγκέντρψη κινδύνου τα αυτοκίνητα υνήως παρατηρείται το χαλάζι Αφαλίεις Πυρός Οι αφαλίεις πυρός πιτιού μπορεί να αφορά είτετο κτίριο είτε το περιεχόμενο Η αφάλιη από πυρκαγιά εμφανίτηκε κυρίως μετά τη μεγάλη πυρκαγιά του Λονδίνου το 666 Με το βαικό αφαλιτήριο υμβόλαιο πυρός καλύπτονται οι ζημιές που προέρχονται από τις παρακάτω αιτίες από πυρκαγιά από κεραυνό 3 από βραχυκύκλωμα

3 4 από έκρηξη από φιάλη υγραερίου, ερμοίφωνα και λέβητα κεντρικής έρμανης 5 από έξοδα πυρόβεης από την πυροβετική υπηρεία 6 από γειτονική πυρκαγιά 7 από τζάκια και ανάφλεξη μαγειρικού κεύους 8 από απρόβλεπτα γεγονότα, εκτός από εξαιρέεις που αναφέρονται το αφαλιτήριο (όπως πόλεμος, τρομοκρατικές ενέργειες, εμφύλια ύρραξη, ραδιενέργεια, φορά, δόλος Στις τιμολογημένες προήκες ανήκουν οι κίνδυνοι από: ειμό b πολιτικές ταραχές και τρομοκρατικές ενέργειες c βραχυκύκλωμα από πτώη αεροπλάνου, πυρκαγιά από δάος, απώλεια ενοικίων, κίνδυνοι εκρήξεων Για να καοριτεί το αφάλιτρο ενός κινδύνου για πυρκαγιά α πρέπει να έχουμε τα εξής τοιχεία: το είδος και η φύη του αφαλιμένου αντικειμένου ή της οικοδομής (βιομηχανικός ή απλός κίνδυνος Την τοποεία του αντικειμένου (βλέπουμε τη υχνότητα κλοπών, αν απειλείται από πλημμύρα-τυφώνα 3 Την κατακευή του κτιρίου, τον αριμό ορόφων (μπετόν, ξύλα, κατακευή κεπής 4 Τη χρήη των γειτονικών κτιρίων 5 Τα μέτρα πυροπροταίας 6 Τη χρήη κτιρίου (πχ κατακευή πυροτεχνημάτων το υπόγειο 7 Τη ζώνη την οποία ανήκει, δηλαδή αν ανήκει τη ζώνη εκείνη που υπάρχει πυροπροταία (ταμοί πυροβετικής υπηρείας 8 Τη ζώνη την οποία ανήκει το ακίνητο χετικά με την επικινδυνότητα κάε περιοχής το έμα των ειμών 9 Επάγγελμα Ηλικία Το είδος έρμανης Η υγκέντρωη κινδύνου υνήως παρατηρείται ε ειμό ή καταιγίδα 3

4 Έκεης τον κίνδυνο (psed t Rsk Πολλές φορές είναι δύκολο να διαλέξουμε την πιο κατάλληλη μέοδο για τον υπολογιμό του χρόνου έκεης τον κίνδυνο ε αντιδιατολή με τις Αφαλίεις Ζωής όπου ο παρονοματής του δείκτη νηιμότητας-νοηρότητας εκφράζεται ε χρόνο ζωής έκεης τον κίνδυνο Παραδείγματα Αεροναυτιλία (Avt Isurce Δύκολο να ορίουμε ποιος δείκτης ζημιών είναι πιο κατάλληλος πχ (α ζημιές ανά αεροκάφος ανά έτος (β ζημιές ανά χιλιόμετρο (γ ζημιές ανά προεδαφίεις-προγειώεις (δ ζημιές ανά τόνο καταναλώιμα καύιμα Οδική Αφάλιη (Mtr Isurce (α Ζημιές ανά έτος αμαξώματος-δηλαδή ανά χρόνο ε έτη που ο αφαλιμένος είναι εκτεειμένος τον κίνδυνο (epsed t rsk (β Ζημιές ανά χιλιόμετρα οδήγηης Επίης, ανάλογα με τον κίνδυνο που έλουμε να καλύψουμε μπορεί να αλλάζει και ο υπολογιμός έκεης τον κίνδυνο Πχ, αν έλουμε δείκτη για την κλοπή αμαξιού τότε ως έκεη τον κίνδυνο α ήταν πιο κατάλληλος ο χρόνος ε έτη που ο αφαλιμένος είναι εκτεειμένος τον κίνδυνο παρά τα χιλιόμετρα οδήγηης Υπάρχουν γενικά δύο βαικές μέοδοι υπολογιμού της έκεης τον κίνδυνο Απογραφική Μέοδος (cesus methd Για πρακτικούς τρόπους είναι η μέοδος που χρηιμοποιείται πιο υχνά και αυτόματα επιτρέπει να υπάρχουν τερματιμοί-αποχωρήεις-νέα υμβόλαια κατά τη διάρκεια μιας έρευνας Ακριβής Μέοδος (Εct methd Πολύ δύκολη το χειριμό και την πράξηαπαιτεί αυτηρό και ακριβό μηχανογραφικό εξοπλιμό, αλλά μετρά με ακρίβεια (και όχι προεγγιτικά όπως έχουμε την απογραφική μέοδο την έκεη τον κίνδυνο 4

5 Παράδειγμα Έτω ότι τις παρακάτω ημερομηνίες έχουμε καταγράψει τον αριμό των υμβολαίων που βρίκονται ε ιχύ και έλουμε να εκτιμήουμε το ρυμό ζημιών αν ξέρουμε ότι ο αριμός ζημιών μέα το 998 ήταν 364 //98 56 /4/98 67 /7/ // // ( Ετω t ο αριμός των υμβολαίων το χρόνο t, μεταξύ //98-//99, τότε το t α μας δώει το χρόνο υνειφοράς της έκεης τον κίνδυνο το μικρό χρονικό διάτημα dt (υποέτουμε ότι ε αυτό το διάτημα το ρμηνεία: (α ο μέος αριμός υμβολαίων παραμένει ταερό τότε ( t dt (dt t ( t (β ο υνολικός χρόνος έκεης τον κίνδυνο Εδώ, γνωρίζουμε ότι ( 56, (,5 67, ( 5 689, ( , Αν υποέουμε ότι το τιμών ( t t ( dt ( 977 είναι γραμμικό ε κάε χρονικό διάτημα μεταξύ δύο γνωτών,5 ( t dt ( t dt ( t dt [ ( (,5 ],5 [ (,75 ( ] ( t dt 79,9 λ, ,33,9 όπου, λ η εκτίμηη του ρυμού ζημιών μέα το έτος αυτό τότε,5 5

6 Αφάλιτρα (rmums Tα αφάλιτρα μπορούν να διατυπωούν ως μια απεικόνιη από ένα ύνολο τμ (ή κατανομών ε πραγματικούς αριμούς: H[ Z ] Z ο κίνδυνος (ή η οικονομική απώλεια ως τμ το αφάλιτρο H [] η αρχή υπολογιμού αφαλίτρου Αρχές Υπολογιμού Αφαλίτρων Αρχή της Μαηματικής Ελπίδας Η πιο απλή μορφή είναι [ Z ] το κααρό αφάλιτρο κινδύνου (pure rsk premum Από τη εωρία κινδύνων γνωρίζουμε ότι αν εφαρμόουμε ως αρχή τη μέη τιμή του κινδύνου τότε έχουμε χρεοκοπία (ru ακόμη και με αρχικό απόεμα μεγάλο Έτι, έχουμε ότι (ύμφωνα με την ίδια αρχή ( δ [ Z ], όπου δ δηλώνει το περιώριο αφαλείας (securt ldg και εκφράζει την αβεβαιότητα ως προς την απόκλιη του Z από τη [ Z ] καώς και την αβεβαιότητααπόκλιη της εκτίμηης [ Z ] από παλιά τοιχεία ε χέη με την πραγματική, αλλά άγνωτη [ Z ] Αρχή της Τυπικής Απόκλιης και Διαποράς -ldg [ Z ] β [ Z ] -ldg [ Z ] γvr[ Z ] δώ δεχόματε ότι το περιώριο αφαλείας πρέπει να εξαρτάται από το βαμό απόκλιης του Z και όχι απλά να είναι ένα ποοτό της μέης τιμής [ Z ] Αρχή της Μέγιτης Απώλειας [ Z ] ( p M[ Z ], p p Αν M [ Z], τότε ο κίνδυνος Z είναι μη-αφαλίιμος Διαφορετικά μπορούμε να επιλέξουμε ένα ε> και να βρούμε το ελάχιτο για το οποίο ιχύει η ανιότητα 6

7 ( Z ε, δηλαδή να βρούμε ένα ημείο Χ πέραν του οποίου εωρούμε την πιανότητα αμελητέααν το ελάχιτο αυτό είναι ε p Z p ξ έτουμε [ ] ( ξε Αρχή της Μέης Τιμής f ( [ f ( Z ], όπου f μια υνεχής και αυτηρά μονότονη υνάρτηη το πεδίο οριμού του φραγμένου κινδύνου z Ελβετική Αρχή f (( p [ f ( z p],όπου f μια υνεχής και αυτηρά μονότονη υνάρτηη και p [,] Αν p, τότε έχουμε την αρχή της μέης τιμής Αρχή Orlcz z φ φ(, όπου φ υνάρτηη : φ > και φ Αρχή sscher z [ ze ] z [ ] e Αρχή της Ωφελιμότητας Η αρχή εκφράζει την πεποίηη ότι οι οικονομικές αποφάεις δε λαμβάνονται με γνώμονα την αντικειμενική αξία ενός χρηματικού ποού (πχ με βάη την αγορατική δύναμη του ποού, αλλά τη ημαία-ωφελιμότητα που έχει το ποό για το λήπτη της απόφαης Ο Berull αρχικά διατύπωε το νόμο της φίνουας οριακής ωφελιμότητας όπου ιχύει ότι η αύξηη την ωφελιμότητα (u από προαύξημα τον ήδη υπάρχοντα πλούτο είναι πάντα αντιτρόφως ανάλογη προς το Παραδείγματα τέτοιων υναρτήεων ωφελιμότητας είναι: u (, ( ( ( ( e,( > u, u l, u Και άτομα που τα χαρακτηρίζουν τέτοιου είδους υναρτήεις (δηλαδή όταν u > και u < λέγονται κινδυνοφόρα Στην άλλη πλευρά είναι ο κινδυνολάτρης όταν ιχύει u > και u > 7

8 u ( u (, u ( l (, u ( e, ( e Πχ, u Μαηματική Διατύπωη της Αρχής της Ωφελιμότητας Αν είναι ο κίνδυνος, G το αφάλιτρο και u η υνάρτηη ωφελιμότητας τότε το μέγιτο αφάλιτρο G m (άγνωτο που το άτομο είναι διατεειμένο να καταβάλει για να αφαλιτεί έναντι κινδύνου είναι: u ( G m [ u( ], όπου τα περιουιακά τοιχεία του ατόμου Επίης, το ελάχιτο αφάλιτρο G m προκειμένου να αφαλίει τον κίνδυνο είναι: που ο αφαλιτής είναι διατεειμένος να δεχτεί u ( [ u( G ] m, όπου τα περιουιακά τοιχεία του αφαλιτή Η υνήκη για ύναψη αφάλιης είναι αν Gm G m Τέλος, το μέγιτο ποό κ που είναι διατεειμένος κάποιος να καταβάλει την περίπτωη που αξιοόγεί το ενδεχόμενο να αποκτήει το δικαίωμα ε τυχαίο κέρδος χ (πχ ( [ ( ] λαχείο η αρχή είναι: u u k Πρόταη:Ένα κινδυνοφόρο άτομο είναι διατεειμένο να καταβάλει αφάλιτρο μεγαλύτερο από το [( ] για κίνδυνο Απόδειξη Από την Ανιότητα Jese ξέρουμε ότι: Αν X τμ και φ κυρτή, δηλαδή >, [ ] [ [ ] φ <, φ( X φ X και αν ιχύει ότι [ u( ] u[ [ ] ( u ( Gm [ u( ] G [] G m ( u m φ τότε [ ( X ] φ[ [ X ] φ και αν φ κοίλη, δηλαδή φ (πχ φ ( β τότε [ ( X ] φ[ [ X ]] φ Εδώ, ( [ ] u( [] u( Gm u( [] [] Αλλά ξέρουμε ότι ιχύει u u > Παράδειγμα Αν u ότι ( e και ~ ( μ, t τότε ξέρουμε ότι M ( t [ e ] μ t t e Τότε έχουμε 8

9 ( G ( ( G [ u( ] e e u G G [ ] e e e [ e ] e M ( G l( M ( G μ G μ δηλαδή, αρχή υπολογιμού ύμφωνα με το νόμο της διαποράς Έτι, διαπιτώνουμε ότι η αρχή της μαηματικής ελπίδας βρίκεται ε μεγάλη αναντιτοιχία με την οικονομική υμπεριφορά των ανρώπων Η εωρία της ωφελιμότητας αποτελεί μια απόπειρα να εξηγηούν οι αποκλίεις από την αρχή της μαματικής ελπίδας και ταυτόχρονα αντανακλά την αποψη ότι δεν ενδείκνυται η χρήη της μαηματικής ελπίδας τα χρηματικά ποά Το αφάλιτρο που καταβάλλεται τελικά από τον αφαλιμένο είναι μεγαλύτερο από αυτό που προκύπτει από την οποιαδήποτε αρχή υπολογιμού, διότι περιλαμβάνει προβλέψεις για έξοδα, προμήειες τυχόν διαμεολαβούντα πρόωπα και τυχόν φόρους και τέλη Επιυμητές Ιδιότητες των Υπολογιμού του Αφαλίτρων Για τις αρχές υπολογιμού των αφαλίτρων έχουν διατυπωεί διάφορες επιυμητές ιδιότητες όπως: [] ( z m z Η χέη m [] z ( z αντανακλά την ανάγκη να υπάρχει κάποιο περιώριο αφάλειας Η χέη αντανακλά το μη αέμιτο πλουτιμό του αφλιτή, ε διαφορετική περίπτωη α καιτουε περιττό τον υπολογιμό αφαλίτρου z z z ( ( ( z όπου ( z z αφάλιτρο για τον κίνδυνο ( z z ( ( c 3 z c z, c ταερά ( ( 4 zc c z, c ταερά 5 ( z z ( z ( z Στοιχεία από τη εωρία Πιανοτήτων και τη εωρία Bes Οριμός Αν Α και Β γεγονότα: B τότε η δεμευμένη πιανότητα του Α δεδομένου του Β να είναι ( A B ( ( A και ( B ( A B ( B B 9

10 Θεώρημα Bes ( ( A B Έτω Α και Β γεγονότα: B τότε Απόδειξη ( B A ( A B ( A ( A B ( B A (A ( B A ( A ( B τότε ( A B ( A B ( B ( B A ( A ( B Σημείωη: Εφόον η τιμή ( B ( A B c (A ή ( A B ( B A ( A δεν εξαρτάται από το Α μπορούμε να εωρήουμε ότι Θεώρημα Ολικής Πιανότητας Έτω A,, μετρήιμη οικογένεια γεγονότων: A A A, (ξένα μεταξύ τους Ω, όπου Ω δειγματικός χώρος, δηλαδή τα αποτελούν μια A διαμέριη του Ω τότε ιχύει ότι Απόδειξη ( B ( B A ( A ( B [ B Ω] B A ( B A { με { } { B A } { B A } B [ B A ] } B A [ A ] I A A B ξένα μεταξύ τους γιατί [ ] Οριμός Έτω Χ διακριτή τμ με τιμές [] [ ],, τότε η μέη τιμή της X είναι: Οριμός Η δεμευμένη μέη τιμή της Χ δεδομένου ενός γεγονότος A (δεδομένου λοτι το γεγονός αυτό έχει υνβεί είναι [ A ] [ A ]

11 Θεώρημα Αν A [ ], A, αποτελούν διαμέριη του Ω και διακριτή τμ με τότε [] [ A ] [ A ] Απόδειξη [] [ [ ] [ ( ( ] ( Από τον τύπο της ολικής πιανότητας έχουμε ότι A ] [ A ] ( [] ( A ( A [ A ] ( A ( A ( A ( A [ A ] Προέκταη του Θεωρήμα Bes Αν c, c,, c κ μια διαμέριη του Ω τότε ( c A ( A c ( c κ,,,,κ ( A c ( c Παράδειγμα Μια αφαλιτική εταιρία γενικών αφαλίεων για αυτοκίνητα χωρίζει τους οδηγούς ε Αφαλείς, Μέτριους και Κακούς και ξέρει ότι ( A, ( Μ 5, ( K 3 υμβολίουμε με Ε το ενδεχόμενο να έχει κανείς τουλάχιτον ένα δυτήχημα κατά τη διάρκεια του έτουςη εταιρεία ξέρει ότι: ( A 5, ( Μ 5, ( K 3 Ας άν ένας από τους αφαλιμένους της εταιρίας δεν έχει κανένα δυτήχημα κα`όλη τη διάρκεια ενός έτους, ποια η πιανότητα να είναι Αφαλής οδηγός; Λύη c ( A c ( A ( A c c c ( A ( A ( M ( M ( K ( K όχι και τόο μεγάλη πιανότητα

12 Θεωρήμα του Bes με όρους τμ ( f ( f ( ( f ( ( f ( f f f d Έτι, η -psterr κατανομή είναι ανάλογη της -prr κατανομής επί της υνάρτηης πιανοφανειας (lkelhd fuct Δεμευμένες τμ και κατανομές Έτω ε κιλά ενός τρέμματος και η ποότητα ε κιλά λιπάματος που χρηιμοποιείται Μια από τις πουδαίες χρήεις της υνκατανομής των (, είναι η πρόβλεψη της απόδοης δεδομένου ότι χρηιμοποιήηκε ποότητας Χ (πχ κιλά λίπαμα Μας ενδιαφέρουν λοιπόν οι υνάρτήεις της μορφής F ( ( Y X και ( Y X Οριμός Έτω διακριτή τμ z (, υναρτήεις Δεμευμένη μπ υπό υνήκες: με υνκατανομή ( z (, ( ( : [ Y X ] Ορίζουμε τις ακόλουες ( X, Y [ X ] (, (, ( ( Εφόον X b Δεμευμένη κ ή υπό υνήκη: (, (, F ( F ( : ( Y X ( { Y } { X } ( X (, X ( X Y ( Εφόον Παρατηρούμε ότι ( ( ( X, Y ( X ( X ( X Y X,

13 ( δηλαδή : η ( είναι μπ Μπορούμε λοιπόν να ορίουμε ως προς αυτήν την μπ μέη τιμή, διαπορά, ροπές, κλπ όπως και τις αδέμευτες κατανομές Οριμός ( Έτω διακριτή τμ, R Η υνάρτηη (ως προς μ ( [ Y X ] : ( : ( Y καλείται εμευμένη (ή υπουνήκες μέη τιμή της Υ όταν Χ εφόον υπάρχει, δηλαδή ( μέη τιμή ορίζεται η μέη τιμή της δεμευμένης κατανομής Δηλαδή αν δεμευμένη Ανάλογα ορίζονται η ροπογεννήτρια και οι ροπές τάξεως και έτι η δεμευμένη διαπορά ( ορίζεται ως η διαπορά της δεμευμένης κατανομής : : ως {( X } μ( ( Δ ( Y X : Y ( Y X ( ( Y X Y Y ( [ Y X ] Y Εξαιρετικά χρήιμη τις εφαρμογές είναι η ακόλουη μορφή του τύπου της ολικής πιανότητας: ( (, ( (, εφόον : ( Αν οι, είναι ανεξάρτητες τότε ( ( X, Y ( X ( X ( Y ( X Y και ανάλογα ( ( Y F ( F ( και [ Y X ] [ Y ] Y κλπ Παράδειγμα Έτω τμ ~ ( λ και ( μ ~ και έτω, ανεξάρτητες Αν z: να δείξετε ότι z z ~ Δ z, : λ, z,,, λ μ δηλαδή z z ( z ( p ( p,,,,, z Απόδειξη 3

14 Ξέρουμε ότι ( λ μ z ~ τότε ( z ( k z k zk z λ μ z k zk ( ( p ( p λ μ λ μ z ( k, z ( z ( k, z ( Z z e e λ k λ e μ z k! ( z ( λ μ ( λ μ z! μ! z ( ( ( z z k zk Επίης, μπορούμε να έχουμε ότι F k z k p p,,,, μ ( z [ Z z] zp ( z zp( p k Οριμός Έτω, τμ και έτω ότι : ( ορίζεται η μ ( [ Y X ] τυχαία μεταβλητή [ Y X ]: μ(, (δηλαδή υνάρτηη της, τότε ορίζουμε την τμ αν δεμευμένη μέη τιμή της Υ δεδομένης της Χ χωρίς να δεμεύουμε την Χ ε κάποιο υγκεκριμένο S Ανάλογα, ορίζουμε τις τμ της δεμευμένης ροπογεννήτριας και δεμευμένων ροπών τάξεως κ, πχ η δεμευμένη διαπορά της Υ δεδομένης της Χ είναι V [ Y X ]: (, ( : Δ( Y X όπου, S Στο προηγούμενο πχ βρήκαμε ότι ( z [ X Z z] zp μ και ( z Δ ( X Z z zp( p Επομένως, [ X Z] μ( z zp ( z Δ ( X Z zp( p [ [ X Z ] [ μ( z ] [ pz] p z [ z] p( λ μ λ [ ] z z Σχόλιο : Αυτή η χέη ιχύει γενικότερα z και Παρατηρούμε ότι Πρόταη [ ] [ Y ] Έτω, τμ και μ ( τότε [ Y X ] Απόδειξη 4

15 [ ] [ ] ( [ ] ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( [ ] Y X Y μ μ Η πρόταη αυτή είναι εξαιρετικά χρήιμη τη εωρία και τις εφαρμογές είναι δε ιχυρό εργαλείο για να υπολογίουμε δύκολες μέες τιμές Παράδειγμα Έτω με,,, ( λ ~ και ( p m, Δ ανεξάρτητη των άλλων Υπολογείτε την Λύη ( ( ( ( [ ] ( ( ( mp mp mp mp λ μ μ μ Για τη δεμευμένη διαπορά έχουμε το αντίτοιχο αποτέλεμα Πρόταη Έτω, τμ και τότε ( ( ( { } ( { } ( [ ] ( ( X Y X Y Y μ Δ Δ Δ Δ Απόδειξη ( { } ( ( [ ] { } ( { } ( { } ( [ ] { } ( ( [ ] ( [ ] [ ] { } ( ( ( X Y Y X Y X Y Y X Y Y X Y X Y X Y X Y X Y Δ Δ Δ Δ Στο πχ βρήκαμε ότι ( [ ] zp z Z X z μ και ( ( ( p zp z Z X z Δ τότε έχουμε ότι ( [ ] ( ( ( ( μ z λ p p z p p ( [ ] ( ( ( μ λ μ Δ Δ Δ p z p pz z και παρατηρούμε ότι ( [ ] ( ( ( [ ]( ( ( p p p p z z Δ Δ λ μ λ μ λ μ 5

16 Άκηη Να βρείτε την του πχ Δ Πόριμα Αν ανεξάρτητες τμ με ίδιες πρώτες και δεύτερες ροπές και αν ο αριμός των ζημιών Ν είναι ανεξάρτητος από το ύψος ζημιάς, τότε η αναμενόμενη τιμή της τμ S : είναι ( S S ( ( Απόδειξη ( ( ( ( ( ( ( ( ( S S Διαφορετικά, ( ( [ ] ( [ ] S S μ Αλλά,, οπότε ( ( ( S μ ( ( ( ( ( S Πόριμα ( ( ( ( ( ( Vr Vr S Vr Απόδειξη Από την πρόταη ( ( { } ( { } ( [ ] ( ( X Y X Y Y μ Δ Δ Δ Δ, αντικαιτούμε όπου ΥS και ΧΝ, τότε α έχουμε ( ( [ ] ( ( ( ( ( ( Vr Vr Vr Vr Vr Vr S Vr 6

17 Στοιχεία από τη εωρία Βes Έτω η παράμετρος (άγνωτη που έλουμε να εκτιμήουμε και ( f η πιανότητα που καορίζει την πιανότητα παρατήρηης διαφορετικών τιμών, κάτω από διαφορετικές τιμές της παραμέτρου Η εμελιώδης διαφορά με την κλαική τατιτική υμπεριματολογία είναι ότι η χρηιμοποιείται αν τυχαία ποότητα Η υμπεριματολογία κατά Βes βαίζεται την f ( και όχι την f (, δηλαδή βαίζεται την πιανότητα της κατανομής της παραμέτρου δεδομένης της και όχι της δεδομένης της παραμέτρου και για να επιτευχεί αυτό πρέπει να καορίουμε την -prr κατανομή f ( (prr prbblt dstrbut η οποία αντιπροωπεύει τις πεποιήεις μας για την κατανομή του προτού αποκτήουμε οποιαδήποτε πληροφορία για τα δεδομένα μας Έτι, η υμπεριματολογία κατά Βes βαίζεται την ( εξαρτάται (μέω του εωρήματος Βes : f ( f την -prr κατανομή της οποίας ( f ( ( f ( d f από τον τρόπο f καοριμού της -prr κατανομής f (, f ( f ( f ( όπου ( f η υνάρτηη πιανοφάνειας (lkelhd fuct Ο παρονοματής είναι υνάρτηη μόνο του, οπότε για δεδομένες παρατηρήεις είναι ταερά και ονομάζεται ταερά κανονικοποίηης Η ημερινή -psterr είναι η αυριανή -prr Το επόμενο ερώτημα που προκύπτει την Μπευζιανή εωρία είναι πως α μειώουμε την πληροφορία την -psterr κατανομή, ώτε να έχουμε μια μοναδική άριτη εκτιμήτρια Για τη λύη του προβλήματος α πρέπει να καορίουμε μια υνάρτηη απώλειας L (, η οποία α μετρά την ποινή μας όταν εκτιμούμε την παράμετρο μέω της αεκτιμήτρια Οι πιο υνιιμένες υναρτήεις είναι οι εξής: I Δευτεροβάμια Συνάρτηη Απώλειας (Qudrtc Lss L (, ( II Συνάρτηη Απώλειας Απολύτου Σφάλματος (Abslute rrr Lss L(, ( III - Απώλεια (Lss L g (, { h( ( ανα>, g> ανα< h> Σε κάε μία από τις παραπάνω περιπτώεις, με την ελαχιτοποίηη της -psterr αναμενόμενης απώλειας, δηλαδή την ελαχιτοποίηη της [ L(, ] μπορούμε να βρούμε 7

18 απλές μορφές για τους κανόνες αποφάεων του Βes, οι οποίες εωρούνται ημειακές εκτιμήεις για την παράμετρο, για τη υγκεκριμένη επιλογή της υνάρτηης απώλειας Παράδειγμα Αν L(, ( [( ] ( f ( τότε ( [ ] [ ] f ( ( ( f ( d [ ( ] [ ( ] f ( Vr ( [ ( ] d d d [ ( ] f ( Και ελαχιτοποιείται όταν (, δηλαδή η απόφαη ύμφωνα με τη εωρία του Βes είναι να εκτιμήουμε την παράμετρο μέω της αναμενόμενης τιμής της -psterr κατανομής και έτι η ελάχιτη αναμενόμενη απώλεια είναι η -psterr διακύμανη Ανάλογα αποτελέματα έχουμε όπως την Γραμμική υνάρτηη απώλειας ο εκτιμητής κατά Βes είναι η διάμεος της -psterr κατανομής (η υνάρτηη απώλειας απολύτου φάλματος είναι μία ειδική περίπτωη της γραμμικής υνάρτηης απώλειας αν έουμε hg και την - υνάρτηη απώλειας ο εκτιμητής κατά Βes είναι η κορυφή (mde της - psterr κατανομής Τέλος, παρατηρούμε ότι την Μπευζιανή υμπεριματολογία χρηιμοποιούμε έναν ταμιμένο μέο όρο της πιανοφάνειας (παρά την μεγιτοποίηή της με βάρη την -prr κατανομή Συζηγείς -prr κατανομές Η χρηιμοποίηη του εωρήματος του Βes υνεπάγεται αρκετές υπολογιτικές δυκολίες όταν είναι απαραίτητος πολλές φορές ο υπολογιμός της ταεράς κανονικοποίηης ( ( ( f f f ( f ( f ( d για τον υπολογιμό της f ( f Πολλές φορές προκύπτει ότι ακόμα και απλές επιλογές των -prr κατανομών μπορούν να οδηγήουν ε δύκολα (αριμητικά προβλήματα υπολογιμών τέτοιου είδους ολοκληρώματος Παρόλα αυτά ε πολλές περιπτώεις η απλοποίηη των υπολογιμών που προφέρουν περιπτώεις όπου καορίζουμε μια -prr κατανομή και η -psterr που προκύπτει να ανήκει την ίδια οικογένεια κατανομών είναι εντυπωιακή Τέτοιου είδους κατανομές λέγονται υζηγείς -prr κατανομές Μπορούμε να δείξουμε ότι η μόνη περίπτωη την οποία οι d 8

19 υζηγείς -prr κατανομές μπορούν να προκύψουν εύκολα είναι για τα μοντέλα δεδομένων τα οποία ανήκουν την εκετική οικογένεια κατανομών Ο παρακάτω πίνακας παρουιάζει πολλές από τις υνηιμένες υζηγείς -prr κατανομές Πιανοφάνεια -prr -psterr ~ Δ (, ~ Bet ( p, q ~ Bet( p, q ( ~ J ( ~ J ( p, q, ~ J (, ~ J ( p, q k ~ J ( p k, q ~ Bet p, q ~ Bet( p, q, ~ G( ( ~ AΔ ( r, ~ Bet ( p, q ~ Bet( p r, q r, ~, ~ b, c ~ cb τ, c τ c τ Όπου, τ και κ γνωτά, Δδιωνυμική, JΓάμμα, GΓεωμετρική και ΑΔΑρνητική Διωνυμική Κατανομή πρόγνωης Ως τώρα είδμε μεόδους εκτιμηης παραμέτρων Αυτό που μας ενδιαφέρει όμως τις Γενικές Αφαλίεις είναι η διεξαγωγή προβλέψεων χετικά με τις μελλοντικές τιμές των κααρών αφαλίτρων (ή των υχνοτήτων ζημιών Στη διεξαγωγή προβλέψεων για μελλοντικές τιμές με βάη την εκτίμηη μοντέλων έχουμε δύο πηγές αβεβαιότητας: I Αβεβαιότητα τις τιμές της παραμέτρου οι οποίες έχουν εκτιμηεί με βάη προηγούμενα δεδομένα και II Αβεβαιότητα η οποία οφείλεται το γεγονός ότι κάε μελλοντική τιμή από μόνη της ένα τυχαίο γεγονός Στην κλαική τατιτική είναι υνήες να προαρμόζουμε ένα μοντέλο τα ήδη υπάρχοντα δεδομένα και να κάνουμε προβλέψης με την υπόεη ότι το μοντέλο μας είναι ωτό και η διαδικαία αυτή ονομάζεται εκτιμητική προέγγιη (estmtve pprch Έτι, η προέγγιη αυτή α ήταν για παράδειγμα η εύρεη του εκτιμητή μεγίτης Πιανοφάνειας της παραμέτρου f, δηλαδή την κατανομή και η υμπεριματολογία α βαιζόταν την κατανομή ( εκτίμηης Αυτή, η προέγγιη τηρίζεται μόνο τη δεύτερη πηγή αβεβαιότητας Αντίετα, το 9

20 πλαίιο της εωρίας του Βes οι δύο πηγές αβεβαιότητας καταμερίζονται την αβεβαιότητα της εκτίμηης των παραμέτρων Ας υποέουμε ότι έχουμε τα δεδομένα ( πυκνότητας πιανότητας ( ή υνάρτηη πιανοφάνειας ( μιας μεταβλητής με υνάρτηη, και έλουμε να εξάγουμε υμπεράματα χετικά με την κατανομή της μελλοντικής τιμής μέα από τη διαδικαία αυτή Με μια -prr κατανομή f ( το εώρημα του Βes Bs Credblt Θεωρούμε ένα prtfl το οποίο αποτελείται από I- αφαλιμένους κινδύνους, έτω,,, I Σε μια προκαοριμένη αφαλιτική περίοδο, ο -κίνδυνος δημιουργεί : έναν ζημιών (clms έτω ( ν με ύψος ζημιών Y ( v,,, 3 τα οποία μαζί,μας δίνουν τη υνολική ζημιά Y ν ( ν Η βαική ιδέα για την τιμολόγηη του κινδύνου είναι ο προδιοριμός του κααρού (pure ή μαηματικού αφαλίτρου ( Ο κλαικός τρόπος υποέτει ότι, με βάη κάποια αντικείμενα ποοτικά χαρακτηριτικά, ο κίνδυνος μπορεί να ταξινομηεί ε ομοιογενή ομάδες κινδύνων και έτι από τη τατιτική εωρία (υγκεκριμένα από το νόμο των μ εγάλων αριμών να προδιοριτεί το κααρό αφάλιτρο με ακρίβεια Στην πραγματικότητα όμως είναι φανερό ότι ένας τεράτιος αριμός από παράγοντες (fctrs υνειφέρουν την εκτίμηη του αφαλίτρου αυτού Έτι, για να καταλήξουμε ε ομοιογενείς τάξεις (ως προς τον κίνδυνο α πρέπει να υποδιαιρέουμε το prtfl ε ένα μεγάλο αριμό τάξεων (clsses, με κίνδυνο να καταλήξουμε ναι μεν,ε αποδεκτές ομοιογενείς τάξεις, αλλά με μικρή τατιτική πληροφορία μέα ε κάε τέτοια τάξη Από την άλλη,αν δε χωρίουμε το prtfl τον απαραίτητο αριμό τάξεων τότε η αναγκαία ομοιογένεια ως προς την τιμολόγηη χάνεται Επιπροέτως,υπάρχει και το «αξίωμα» ή η άποψη ότι δεν μπορούμε να έχουμε ομοιογενείς τάξεις κινδύνων την αφάλιη, διότι κάποια χαρακτηριτικά που επιδρούν ε αυτήν την ομοιογένεια δε υμπεριλαμβάνονται γιατί

21 ίως είναι μη προδιορίιμα ποοτικά (πχ η οδική υμπεριφορά ενός ατόμου,η εργαιακή ατμόφαιρα μιας εταιρίας ίως είναι πρακτικά δύκολα να τα ελεκτούνε (πχ τα υνολικά χιλιόμετρα οδήγηης ενός αφαλιμένου ίως γιατί είναι ηικά μη αποδεκτά (πχ το φύλο ή η ενικότητα ενός αφαλιμένου τελικά ίως να μην υπάρχει τατιτική επάρκεια το υπούνολο των αφαλιμένων που εξετάζουμε Ωτόο, το πρόβλημα παραμένει τι πρέπει κάποιος να ξέρει και να κάνει έτι ώτε να βρει «δίκαια» αφάλιτρα Κατά γενική ομολογία ιχύουν τα εξής: Κάε έκεη τον κίνδυνο ενός υγκεκριμένου κινδύνου (αφαλιμένου επιδρά την τιμολόγηη Ωτόο, η παρατηρούμενη εμπειρία ζημιών ενός ατόμου είναι τόο περιοριτική για να είναι τατιτικά επαρκής, Κάε ατομικός κίνδυνος αποτελεί κομμάτι του υνολικού κινδύνου Η υνολική εμπειρία ζημιών πράγματι μας προφέρει επαρκή τατιτική πληροφορία και μπορεί να χρηιμοποιηεί για τον υπολογιμό ενός μέου αφαλίτρου Ωτόο, αυτή η πληροφορία δεν περιλαμβάνει και δεν αξιοποιεί ποιοτικά υτατικά για κάε μεμονωμένο κίνδυνο Διαιητικά, είναι φανερό ότι και οι δύο παραπάνω πηγές από πληροφορίες α πρέπει να χρηιμοποιηούν για μια δίκαιη τιμολόγηη των κινδύνων Αυτός είναι και ο κοπός της credblt εωρίας η οποία είναι (α ένα μαηματικό εργαλείο για την περιγραφή ομοιογενών ομάδων (β απαντά το ερώτημα πως μπορεί κάποιος να υνδυάει την ατομική και την ομαδική εμπειρία ζημιών (γ ανήκει μαηματικά την περιοχή της Μπευζιανής τατιτικής Έτω, ότι ένας ατομικός κίνδυνος δίνει υνολικές ζημιές,,,, όπου δηλώνει το ύψος της υνολικής ζημιάς την αφαλιτική -περίοδο (πχ -έτος Με βάη τις παρατηρήεις τις προηγούμενες περιόδους T (,,, έλουμε να προδιορίουμε το κααρό αφάλιτρο για τις υνολικές ζημιές ε μια μελλοντική περίοδο, έτω

22 Οι υνήεις υποέεις που κάνουμε είναι οι εξής: Α:Όλα είναι ιόνομα κατανεμημένα με (δεμευμένη υνάρτηη κατανομής ( Α: Οι τμ είναι (δεμευμένα ανεξάρτητες F Στην αφαλιτική πρακτική η κατανομή F είναι άγνωτη και διαφέρει από κίνδυνο ε κίνδυνο Αυτό είναι ιοδύναμο με ότι το είναι άγνωτο και διαφέρει από κίνδυνο ε κίνδυνο Γενικά, δηλώνουμε ότι το είναι τοιχείο ενός χώρου Θ και μπορεί να αποτελεί το «προφίλ κινδύνου» Οριμός : T ωτό ή δίκαιο ατομικό αφάλιτρο ενός κινδύνου με προφίλ κινδύνου είναι d ( μ( : [ ] ( Έτι, το πρόβλημα της ατομικής τιμολόγηης μπορεί να διατυπωεί ως ο προδιοριμός της ποότητας μ( Ωτόο, την αφαλιτική πρακτική τα και μ( είναι άγνωτα και έτι έχουμε να βρούμε μία εκτίμηη μ ( για το μ( Όπως αναφέραμε και πριν, κάε -κίνδυνος μέα ε ένα prtfl υλλογικό χαρακτηρίζεται από το ατομικό προφίλ κινδύνου, έτω Οι παράμετροι είναι τοιχεία ενός υνόλου Θ, όπου Θ είναι το ύνολο όλων των (άγνωτων προφίλ κινδύνων από τους κινδύνους που υπάρχουν το υλλογικό prtfl Στην ειδική περίπτωη ενός ομοιογενούς υλλογικού prtfl το Θ αποτελείται από ένα μόνο τοιχείο και αντιτοιχεί την κλαική εώρηη αφάλιης: κάε μέλος από το υλλογικό έχι ακριβώς το ίδιο προφίλ κινδύνου και έτι την ίδια υνάρτηη κατανομής για τις αντίτοιχες υνολικές ζημιές Ωτόο, οι ομάδες κινδύνων ή το υνολικό prtfl την αφάλιη είναι κυρίως ανομοιογενείς Με άλλα λόγια,οι -τιμές διαφορετικών κινδύνων από το υλλογικό ή την ομάδα δεν είναι όλες οι ίδιες, αλλά δείγματα από το ύνολο Θ Αλλά, παρόλο που οι κίνδυνοι της ομάδας είναι διαφορετικοί παρόλα αυτά έχουν όλοι κάτι κοινό, όλοι ανήκουν τον ίδιο υλλογικό κίνδυνο, δηλαδή είναι δείγματα από το ίδιο ύνολο Θ Η κατάταη αυτή αναφέρεται όταν λέμε ότι οι κίνδυνοι το υλλογικό είναι όμοιοι (smlr Οι υγκεκριμένες -τιμές που προδιορίζουν κάε κίνδυνο από το υλλογικό είναι τυπικά άγνωτοι τον αφαλιτή Αλλά, με βάη της εκ των προτέρων γνώης (prr kledge ή και της τατιτικής πληροφορίας ο αφαλιτής γνωρίζει κάτι γύρω από τη δομή των με αναφορά το υλλογικό Γνωρίζει, για παράδειγμα, ότι οι περιότεροι οδηγοί είναι καλοί κίνδυνοι και πάνια δημιουργούν ατύχημα και ότι ένα μικρό ποοτό αυτών δημιουργούν

23 υχνά ζημιές Τυπικώς, η πληροφορία αυτή μπορεί να υνοψιτεί από τη υνάρτηη κατανομής U( πάνω το χώρο Θ Έτι, ορίζουμε τη υνάρτηη κατανομής U( η οποία καλείται υνάρτηη δομής του υλλογικού Η δομή U( μπορεί να ερμηνευτεί ως: Εμπειρική υχνότητα αν εωρήουμε ότι τα του υλλογικού αποτελούν τυχαίο δείγμα ενός δεδομένου υνόλου Θ και τότε η υνάρτηη U( περιγράφει τις εξιδανικευμένες υχνότητες των πάνω το Θ Η ερμηνεία αυτή καλείται εμπειρική Μπευζιανή Υποκειμενική άποψη ή εμπειρία του αναλογιτή αν εωρήουμε τη υνάρτηη κατανομής U( ως περιγραφή των ατομικών μας πιτεύω ή μίας εκ των προτέρων γνώμης και εμπειρίας μας Η ερμηνεία αυτή καλείται κααρή Μπευζιανή Οριμός : Το υλλογικό αφάλιτρο ορίζεται ως; cll μ ο : μ( du ( Ε Θ[ Ε[ Θ]] Ε[ Θ ] Έτι, το υλλογικό αφάλιτρο αντιτοιχεί το μέο όρο, όλων των κινδύνων του υλλογικού, της αναμενόμενης ζημιάς ανά κίνδυνο Το αφάλιτρο αυτό υνήως, μπορεί να εκτιμηεί με μεγάλη ακρίβεια με βάη τις παρατηρήεις από το παρελόν και επίης καλείται και ως trff level Σημείωη: Το πιο ανταγωνιτικό αφάλιτρο είναι το ωτό ατομικό αφάλιτρο, διότι το υλλογικό αφάλιτρο δημιουργεί το πρόβλημα της αντιεπιλογής Παρατηρούμε ότι το υλλογικό αφάλιτρο είναι ένας αδέμευτος μέος και έτι ένας ταερός αριμός, ε αντίεη με το ατομικό αφάλιτρο το οποίο είναι μία τυχαία μεταβλητή d (υνάρτηη της τυχαίας μεταβλητής Θ : μ(θ, διότι p μ( Θ : Ε[ Θ] Επίης, παρατηρούμε ότι τα,, είναι μόνο δεμευμένα ανεξάρτητα, δεδομένου Θ και όχι αδέμευτα, διότι Cv(, [ Cv(, Θ] Cv[ [ Θ], Ε[ Θ]] Cv( μ( Θ, μ( Θ Vr( μ( Θ O κοπός μας είναι η εκτίμηη, για κάε κίνδυνο του ωτού αφαλίτρου μ(θ όο το δυνατόν με μεγαλύτερη ακρίβεια Ένας ενδεχόμενος εκτιμητής α ήταν το μ, δηλαδή το αφάλιτρο για το υγκεκριμένο κίνδυνο εκτιμάται από το μέο όρο της αναμενόμενης τιμής του υλλογικού Ο εκτιμητής αυτός είναι κατάλληλος όταν εωρούμε έναν νέο κίνδυνο για τον οποίο δεν υπάρχουν καόλου δεδομένα και έτι ιχυριζόματε ότι ο κίνδυνος αυτός ανήκει το 3

24 υλλογικό και ότι το προφίλ κινδύνου του διαλέχτηκε τυχαία από την κατανομή U( Ωτόο, ο εκτιμητής αυτός δε λαμβάνει υπόψιν την ατομική εμπειρία ζημιών Εάν έχουμε παρατηρήεις για το υγκεκριμένο κίνδυνο από -έτη, έτω T (,,, τότε αυτή η πληροφορία α έπρεπε να υνειφέρει τη διαδικαία εκτίμηης Αυτό μας φέρνει την ιδέα της τιμολόγηης (eperece rtg Η βέλτιτη εμπειρική τιμολόγηη εξαρτάται και από την ατομική εμπειρία ζημιών και καλείται Μπευζιανό αφάλιτρο Οριμός 3: T Μπευζιανό αφάλιτρο (βέλτιτο εμπειρικό αφάλιτρο ορίζεται ως: Bes ~ μ ( Θ : Ε[ μ( Θ ] δηλαδή ορίζεται ως η αναμενόμενη τιμή της psterr κατανομής της μ( και όπως γνωρίζουμε από την Bs τατιτική το Bes αφάλιτρο είναι το βέλτιτο αφάλιτρο ε χέη με τη δευτεροβάμια υνάρτηη απώλειας διότι μας δίνει την ελάχιτη δευτεροβάμια απώλεια (qudrtc lss που ορίζεται ως: ~ ( [( μ Θ μ ( Θ ] Πράγματι, αν μ (Θ ένας εκτιμητής του μ(θ τότε ~ [( μ( Θ μ( Θ ] [ [( μ( Θ ~ μ( Θ ~ μ ( Θ μ( Θ [( ( ~ ( ] [( ~ μ Θ μ Θ μ( Θ μ( Θ ] ]] και έτι ο εκτιμητής μ ( ~ μ ( [ μ( Θ ] έχει την ελάχιτη δευτεροβάμια απώλεια Εύκολα, μπορούμε να διαπιτώουμε ότι η δευτεροβάμια απώλεια του Μπευζιανού αφαλίτρου είναι: [( ~ μ ( Θ μ( Θ ] [ Vr[ μ( ]] και η δευτεροβάμια απώλεια του υλλογικού αφαλίτρου είναι [( μ ο μ( Θ ] Vr[ μ( Θ] [ Vr( μ( Θ ] Vr[ [ μ( Θ ]] Για τον προδιοριμό του Μπευζιανού αφαλίτρου πρέπει πρώτα να ορίουμε I τη δομική υνάρτηη U( II την οικογένεια των δεμευμένων κατανομών F : { F ( : Θ} 4

25 ss/gmm mdel Υποέτουμε ότι έλουμε να εκτιμήουμε τη υχνότητα των ζημιών για ένν κίνδυνο, όπου ο αριμός των ζημιών ακολουεί μία ss κατανομή με παράμετρο Λ Θεωρούμε το Λ ως τμ έτι ώτε να ακολουεί μία Gmm κατανομή με παραμέτρους α και β : ( Λ και Vr ( Λ β β Έτι, έτω τμ να εκφράζει τον αριμό ζημιών που α υμβούν το επόμενο έτος, οπότε η δεμευμένη κατανομή του Λ ~ ss( Λ ή Θ ~ ( Θ και η prr κατανομή του Λ είναι Gmm: Λ ~ J (, β O κοπός μας είναι να εκτιμήουμε την άγνωτη παράμετρο Λ Έτω ότι έχουμε - παρατηρήεις από δεδομένα προηγούμενων ετών:, υνήως τις υμβολίζουμε με (,,, T,, Τότε ο εκτιμητής κατά Βes ε χέη με τη δευτεροβάμια υνάρτηη απώλειας δεδομένου των είναι [ Λ ] και η psterr κατανομή του Λ είναι ανάλογη με f ( λ f ( λ f ( λ e λ λ β! e Γ( α λβ ( λβ Το οποίο πάλι ανάλογα με : ep{ ( β A λ λ, όπου A και f ( λ } μπορούμε να δούμε ότι η psterr κατανομή του ` [ ] Λ είναι Gmm με παραμέτρους και ` β ( β : Λ ~ z ( z β J (, β ( Λ β z ( z β Όπου z Δηλαδή, c zr ( z H, όπου R και β H β 5

26 Παρατηρούμε ότι η χέη ( Λ z ( z αναπαριτά ένα ταμιμένο μέο β εκτιμητών του Λ, το που βαίζεται τα δεδομένα μόνο, και του α/β που είναι η εκτίμηη του Λ (ε χέη με τη δευτεροβάμια υνάρτηη απώλειας Εάν δεν είχαμε καόλου δεδομένα Επίης εδώ ο υντελετής αξιοπιτίας z παίρνει τιμές το [, και είναι μία αύξουα υνάρτηη του -του ποού των διαέιμων δεδομένων και παίρνει την τιμή όταν και έτι υμπεραίνουμε ότι με την Μπευζιανή προέγγιη ποτέ δεν επιτυγχάνεται full credblt Τέλος, η κατανομή πρόβλεψης του δεδομένου του είναι αρνητική Δυωνυμική κατανομή με παραμέτρους κ [ ] και β p οπότε β ( / ( Λ z ( z, όπου β το υμβολίζει τον αριμό των ζημιών για το επόμενο έτος, αν έχουμε διαέιμα δεδομένα για -έτη και έτι ( είναι ο αναμενόμενος αριμός ζημιών για το επόμενο έτος δεδομένου των -ετών παρατηρήεων Αν, δηλαδή δεν έχουμε παρατηρήεις τότε [ ] [ ] { z } [ Λ] [ Λ ] β Επίης, παρατηρούμε τα εξής : F d [ Θ ] Θ, όπου Θ Λ μ ( Θ F cll [ Θ] : αναμενόμενη υχνότητα ζημιών του υλλογικού β [ Θ] β και από τη χέη Vr [ Θ] z χολιάζουμε ότι όο πιο μεγάλο είναι β, τόο β μειώνεται το z-υντελετής αξιοπιτίας, (δηλαδή όο πιο ομοιογενές είναι το υλλογικό prtfl τόο περιότερη βαρύτητα α δώουμε τη υλλογική εμπειρία για την τιμολόγηη του ατομικού κινδύνου Η δευτεροβάμια απώλεια του F cll Θ Θ Vr Θ β β cll F είναι : [ ] [( ] ( Η δευτεροβάμια απώλεια του είναι : [( Θ ] [ [( Θ Θ]] [ Vr( Θ] [ Θ] β και επειδή η δευτεροβάμια απώλεια του Bes F είναι μικρότερη από τη δευτεροβάμια απώλεια του Bes έχουμε και ότι : [( F Θ ] 6

27 H δευτεροβάμια απώλεια του Bes F είναι: [( F Bes Θ ] [ Vr( Θ ] ( β ( z z, όπου β β β β [ ] ( β ( β β ~ ΑΔ α, β β Bes cll Έτι, παρατηρούμε ότι [( F Θ ] ( z [( F Θ ] z [( Θ ] ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Ο εκτιμητής Βes ~ εξαρτάται από τη υνάρτηη δομής U (, το μοντέλο ss/gmm εξαρτάται από τις άγνωτες παραμέτρους α,β Οι παράμετροι αυτοί πρέπει να εκτιμηούν Ο επόμενος πίνακας μας δίνει τα Σουηδικά υγκεντρωτικά τοιχεία για την οδήγηη αυτοκινήτων του έτους 96 κ Ttl Αριμός υμβολαίων με κ-ζημιές Μπορούμε να εκτιμήουμε αμερόληπτα το μέο και τη διαπορά της υχνότητας ζημιών, έτω Ν I μ Ν ( Ν 96, 55 I I ( Ν ( 96, 79 I όπου I9853 (το πλήος των οδηγών και ( αριμός ζημιών για τον οδηγό το έτος 96 Επίης, ύμφωνα με το μοντέλο ss/gmm έχουμε: α μ Ν Ε[ Ν] Ε[ Ε[ Ν Θ]] Ε[ Θ] β 7

28 α Ν Vr[ ] [ Vr[ Θ]] Vr[ [ Θ]] [ Θ] Vr[ Θ] και β β ύμφωνα με τη μέοδο των ροπών ιχύει μ Ν μ Ν και α Ν Ν, οπότε, 55 και β α,79 α, και β 6,458 β β Έτι, αν αντικατατήουμε τις άγνωτες παραμέτρους α και β τον τύπο του εκτιμητή κατά Βes με τις τιμές α και β, όπου εκτιμήαμε από το υλλογικό χαρτοφυλάκιο παίρνουμε τον εμπειρικό Μπευζιανό εκτιμητή: F Bes emp β β α β β, όπου ο μέος των παρατηρήεων από ένα υγκεκριμένο κίνδυνο Για τον έλεγχο κατά πόο το Μπευζιανό μοντέλο προαρμόζει τα δεδομένα του Σουηδικού πίνακα ζημιών πρέπει να υπολογίουμε την αδέμευτη κατανομή του Ν: β κ κ Θ u! Γ( u β ( ( u( d e e d α κ ( β κ Γ ( Γ ( e d κ β β κ κ β Γ( κ! Γ ( κ! ( β Γ( κ! β β α κ κ β β p ( p, όπου p ~ ΑΔ( α, p ΑΔ α, κ β β ( Tώρα μπορούμε να υγκρίνουμε τις παρατηρούμενες τιμές με τις τιμές που α αναμέναμε αν τα δεδομένα ικανοποιούν την υπόεη της ss-gmm μοντελοποίηης Επίης, υγκρίνουμε τις παρατηρούμενες τιμές με τις τιμές που α αναμέναμε αν υποέουμε ότι έχουμε ένα ομοιογενές χαρτοφυλάκιο όπου όλα τα υμβόλαια έχουν την ίδια ss παράμετρο (προαρμομένη ss κατανομή κ Παρατηρήεις ss (λ,55 egtve Bml (α,, β6,

29 Ttl Είναι φανερό ότι η Αρνητική Διωνυμική κατανομή προαρμόζει καλύτερα τα δεδομένα (επιβεβαιώνεται με ένα -test Η παραπάνω μοντελοποίηη (ss- Gmm και τα παραπάνω δεδομένα χρηιμοποιήηκαν από τον FBchsel αν βάη για την κατακευή ενός υτήματος Bus-Mlus για την οδική αφάλιη ευύνης υπέρ τρίτων τη Σουηδία Ο κοπός του ήταν η τροποποίηη του ατομικού αφάλιτρο ύμφωνα με τον αναμενόμενο ρυμό ζημιών κάε ατομικού οδηγού Η ιδέα ήταν ότι αν ένας δεδομένος κίνδυνος αναμένεται να δώει διπλάιες ζημιές από το μέο οδηγό, τότε ο οδηγός αυτός πρέπει να πληρώει το διπλάιο αφάλιτρο από το μέο οδηγό (mlus%, καώς και ότι αν ο οδηγός αναμένεται να δώει τις μιές ζημιές από το μέο τότε α πρέπει να πάρει ένα bus5% Έτι, όριε τον παράγοντα Bus-Mlus: Bes F Bus Mlus Fctr, όπου λ, 55 ο μέος της υχνότητας ζημιών του λ χαρτοφυλακίου και κατακεύαε τον παρακάτω πίνακα: Bus-Mlus fctr \κ 3 87% 73% 6% 346% 76% 53% 9% 35% 3 68% 36% 5% 73% 4 6% 3% 85% 47% 5 56% 3% 69% 5% 6 5% 4% 55% 7% Όπου ο αριμός παρατηρούμενων ετών κ ο αριμός των παρατηρούμενων ζημιών J Στο μοντέλο ss- Gmm που έχουμε κατακευάει, υποέτουμε ότι για κάε την ίδια prr αναμενόμενη απώλεια Αυτή η υνήκη όμως δεν ιχύει πολλές φορές την πράξη Για παράδειγμα, εάν χρειαζόματε εκτιμήεις ρυμών νηιμότητας/ανικανότητας ε ομαδικές 9

30 αφαλίεις ζωής ή ε ομαδικές αφαλίεις ατυχήματος, τότε prr αναμενόμενος ρυμός α εξαρτάται από παράγοντες όπως είναι η ηλικία ή το φύλο Ένα άλλο παράδειγμα είναι όταν υπάρχουν αλλαγές τις υχνότητες ζημιών ε χέη με το χρόνο Ωτόο, το μοντέλο ss- Gmm μπορεί να τροποποιηεί έτι ώτε να υμπεριλάβει τη διαφοροποίηη ως προς την prr αναμενόμενη τιμή Έτι, καταρχήν εωρούμε το ακόλουο ιοδύναμο μοντέλο: ~ ( λ d όπου α λ prr αναμενόμενος ρυμός απώλειας (το εκφράζει β αναμενόμενες χετικές υχνότητες ~ Gmm κατανομή: ( και Vr (,δηλαδή ~ J (, J ( λβ, λβ α Παρατηρούμε τα εξής: F d ] λ [ F ] λ [ d λ λ V [ F ] β Ένας διαιητικά δείκτης της ανομοιογένειας του χαρτοφυλακίου είναι ο υντελετής μεταβλητότητας του d d F, δηλαδή cv r( F Vr( d και έτι τώρα η βλ d παράμετρος α έχει άμεη ερμηνεία εφόον (cv r( F Επίης, για την εκτίμηη του είναι φυικό να μοντελοποιούμε τις χετικές υχνότητες αντί τις απόλυτες υχνότητες που είχαμε το πρώτο μοντέλο μας: το λο καταλήγουμε ότι ~ F ~ F Bes ~ d ~ : με F [ F ] και αν διαιρέουμε τη χέη ( με λ ~ [ ] z v Παράδειγμα Σε ομαδική αφάλιη ζωής έλουμε να κατακευάουμε έναν πίνακα νηιμότητας για η d υγκεκριμένη ομάδα ατόμων (ηλικίας 5-65 Θεωρούμε τη χέη q q, όπου q τιμές από υναφή πίνακα νηιμότητας και d q τιμές για τον πίνακα νηιμότητας της ομάδας αυτής Επίης, εωρούμε ότι το ακολουεί μία Gmm κατανομή με μέο και cv(% Έχουμε τις ακόλουες παρατηρήεις από το παρελόν Παρατηρούμενος αριμός έκεης τον κίνδυνο ε έτη:65, Αναμενόμενος αριμός ανάτων βάη του υναφή πίνακα:5 3

31 Παρατηρούμενος αριμός ανάτων της ομάδας:5 Bes Bρείτε το του Λύη Bes 5 5 cv (, 5, 8 v 5 5 Σημείωη: Στο παράδειγμα αυτό ο χρόνος-έτος I έχει αντικαταταεί από τις ηλικίες όπου παρατηρούμενος αριμός ζημιών v λ ο -prr αναμενόμενος αριμός ζημιών z v v v λ β v Επίης, μπορούμε να γράψουμε v ~ F : ~ F ~ ~ και έτι z ( F Τώρα, μπορούμε να ειάγουμε το μοντέλο μας τις -prr διαφορές αν εωρήουμε ότι είναι ο παρατηρούμενος και λ ο -prr αναμενόμενος αριμός ζημιών του υγκεκριμένου κινδύνου και φτιάχνουμε τις ακόλουες υποέεις: ~ ( λ d όπου λ ο -prr αναμενόμενος αριμός ζημιών το έτος ή το υγκεκριμένο κίνδυνο ~ J (, με [ ] και Vr[ ] Έτι, έχουμε ότι : ~ F Bes ~ [ ] z v v, όπου παρατηρούμενος αριμός ζημιών v λ ο -prr αναμενόμενος αριμός ζημιών ~ F d v z και v cv r( [ ] λ ~ [ F ~ V [ F d d ] λ λ ] [cv r( ] ~ cv r[ F d ] 3

32 Παράδειγμα Θεωρούμε ένα ύνολο από αυτοκίνητα Με βάη τατιτικών δεδομένων γνωρίζουμε την αναμενόμενη prr υχνότητα ζημιών για 3 διαφορετικούς τύπους (Lrr, Delver, V, sseger cr Η διαφοροποίηη ε αυτούς τους τύπους αυτοκινήτων οφείλεται ε παράγοντες όπως: εκπαίδευη οδηγού, εξοπλιμός αυτοκινήτου κα Υποέτουμε ότι οι υποέεις του ss-gmm μοντέλου ικανοποιούνται και εκτιμούμε ότι οι διαφορές μεταξύ των τύπων αυτοκινήτου ως προς τη υχνότητα ζημιάς είναι περίπου % (δηλαδή cv ( % Α Προδιορίτε το Bes αφάλιτρο βαιμένοι τον αριμό ζημιών ε ένα έτος για τους 3 διαφορετικούς τύπους:3 lrres, 3 delver v, psseger crs H prr υχνότητα ζημιών για τους 3 τύπους ε % : Lrr:3, Delver v: και sseger cr: 75 B Πόο μεγάλη είναι η διόρωη εμπειρίας ε % εάν 6 ζημιές υνολικά παρατηρήηκαν ε ένα έτος ζημιές υνολικά παρατηρήηκαν ε δύο έτη C Φτιάξτε ένα γράφημα της prr κατανομής της και της psterr κατανομής της δεδομένου ότι ζημιές παρατηρήηκαν ε έτη Λύη Vehcle tpe psures f rsks prr υχνότητα ε % Lrr 3 3 9, Delver v 3 3, sseger cr 75,75 Ttl 7,75 Bes Α, όπου (cv ( 5 v αναμενόμενος αριμός ζημιών,, ο παρατηρούμενος αριμός ζημιών ε -έτη v v, 75 3 prr 9%, ν Bes,9, αν 6 6 B Έτι, Ο όρος, διόρωης εμπειρίας %,, v,89, αν 3

33 C ~ ( v prr κατανομή της ~ J (,, 5 psterr κατανομή της ~ J (, v με v 5, 5 Το Διωνυμικό/Βήτα Μοντέλο Στην ομαδική αφάλιη ζωής ή τις ομαδικές αφαλίεις ατυχημάτων μας ενδιαφέρει η υχνότητα ανικανότητας για τη υγκεκριμένη ομάδα Για ευκολία υποέτουμε ότι κάε μέλος της ομάδας έχει την ίδια πιανότητα να μείνει ανίκανος ανεξάρτητα από τους άλλους Ορίζουμε: αριμός που έμειναν ανίκανοι το έτος v αριμός μη ανίκανων την αρχή του έτους : v η παρατηρούμενη υχνότητα ανικανότητας του έτους Μας ενδιαφέρει η εκτίμηη του την αρχή της (-περιόδου Υποέτουμε τα εξής: ~ ( v, για κ,,,,v ή ιοδύναμα του εφόον το v είναι γνωτό v κ κ Δ d ( Θ ( ( κ v v κ ~ Bet(, b : u( B(, b ( b,,, b > b [ ],, vr( και όπου η αληινή πιανότητα ανικανότητας b ( b ( b που έλουμε να προδιορίουμε Η psterr πυκνότητα γίνεται: u( v b b v ( ( ( Έτι, η psterr πυκνότητα είναι και αυτή μια Bet κατανομή με παραμέτρους ` και b ` b v Έτι, ~ ` F Bes [ ] z ( z, όπου ` b` b v z και b v ή v F Bes b v 33

34 Παράδειγμα Σε εργατική ομαδική αφάλιη ατυχημάτων μας ενδιαφέρει η πιανότητα ανικανότητας Για χαρτοφυλάκιο υλλογικών υμβολαίων γνωρίζουμε ότι η πιανότητα ανικανότητας είναι % Οι πιανότητες αυτές ωτόο διαφόρων τύπων κινδύνων Χρηιμοποιώντας το Bet- Bml μοντέλο υποέτουμε ότι cv ( 5% Α Προδιορίτε τις παραμέτρους της prr κατανομής και φτιάξτε ένα γράφημα της prr πυκνότητας u( Bes Β Βρείτε τον εκτιμητή Bes για τον τύπο κινδύνου τον οποίο έχουμε παρατηρήεις 5 περιπτώεις ανικανότητας από τους αφαλιμένους C Η εταιρία α ήελε να διαχωρίει όλους τους τύπους κινδύνων ε 3 κλάεις-ομάδες και να εφαρμόει ε αυτούς τον ακόλουο κανόνα τιμολόγηης: Μία επιβάρυνη % εάν [,, ω ], 3 Mία έκπτωη % εάν [,, ω ], 7 όπου, δηλώνει τον παρατηρούμενο αριμό περιπτώεων ανικανότητας, ω, ο παρατηρούμενος αριμός ετών τον κίνδυνο (epsed t Rsk και η prr πιανότητα ανικανότητας Ποιος είναι αντίτοιχος κανόνας τιμολόγηης με όρους παρατηρούμενων αριμών περιπτώεων ανικανότητας: για κίνδυνο με 5 παρατηρούμενα έτη έκεης τον κίνδυνο για κίνδυνο με παρατηρούμενα έτη έκεης τον κίνδυνο Λύη Α ~ Bet(, b { [ ], b b cv (,5 ( b 3,95 b 39,5 Bes 3,95 5 Β 3,6% b v 3,95 39,5 C Bes 3,95 3,95 39,5 ω { %, εαν Bes ι Βes ι > 3% κανόνας τιμολόγηης %, εαν < 7% e I ω, 5, κανόνας τιμολόγηης { %, e εαν 8 %, εαν 34

35 II, ω, κανόνας τιμολόγηης 8 %, %, { e εαν εαν 3rml/rml Mdel Σε αυτό το μοντέλο α εκτιμήουμε το κααρό αφάλιτρο Έτω τμ να δηλώνει τις (υνολικές τελικές ζημιές για το επόμενο έτος από αυτόν τον κίνδυνο και έτω η κατανομή του να εξαρτάται από την τιμή της άγνωτης παραμέτρου, που τη εωρούμε ως τμ Τότε η υπό υνήκη κατανομή του δεδομένου α εωρούμε ότι είναι :, ( ~ και η prr κατανομή της εωρούμαι ότι είναι:, ( ~ μ, όπου έχουν γνωτές τιμές,, μ Το πραγματικό κααρό αφάλιτρο για αυτόν τον κίνδυνο (δηλαδή το κααρό αφάλιτρο αν γνωρίζαμε την τιμή του είναι ( και ε αυτήν την περίπτωη (,,, Υποέτουμε ότι έχουμε παρατηρήεις του από παρελόντα δεδομένα, έτω ή Το πρόβλημα τώρα είναι η εκτίμηη του ( δεδομένου των παρατηρήεων, δηλαδή τον Μπευζιανό εκτιμητή ε χέη με τη δευτεροβάμια υνάρτηη απώλειας : ] ] [ [ το οποίο ε αυτήν την περίπτωη είναι ο ] [ δηλαδή ο psterr μέος του δεδομένου (ο οποίος είναι ιοδύναμος με το μέο της κατανομής πρόγνωης, δηλαδή ] [ όπως α δούμε παρακάτω Η psterr πυκνότητα του είναι ανάλογη του ( ep ( ( ep ( μ f και καταλήγουμε, αγνοώντας όρους χωρίς, ότι είναι ανάλογη του ep μ και έτι διαπιτώνουμε ότι η psterr κατανομή του, ~ ν Έτι, μ μ ( ( z z { } (, όπου z Άρα, 35

36 C z R ( z H, όπου R, H μ Δηλαδή, η εκτίμηη του κααρού αφαλίτρου είναι ένας ταμιμένος μέος του μ και, όπου μ είναι η εκτίμηή του αν δεν είχαμε δεδομένα από τον κίνδυνο χ και είναι η εκτίμηη βάη μόνο παρατηρήεων Επίης, ο υντελετής αξιοπιτίας z κυμαίνεται το διάτημα [, και είναι αύξουα υνάρτηη ως προς και Μπορούμε να δείξουμε η μη-δεμευμένη κατανομή του είναι: { f ( f (, d f ( f ( d } Οι υνήεις Μπευζιανές υποέεις χειρίζονται τις τμ ~ ( μ, z ως ιόνομες (μη δεμευμένες κατανεμημένες και κάε έχει τη μη-δεμευμένη κατανομή του ~ ( μ, η οποία προδιορίζεται από την κατανομή των τμ και Τα επίης είναι ιόνομα (δεμευμένα το κατανεμημένα εφόον κάε έχει την κατανομή του ~ (, Επίης, υποέτουμε ότι τα είναι ανεξάρτητα δεδομένου, δηλαδή τα αλλά δεν έχουμε υποέει ότι τα μη δεμευμένα είναι και αυτά ανεξάρτητα Για να γίνει πιο κααρή αυτή η παρατήρηη ας υποέουμε ότι έχουμε τις ακόλουες τιμές για τις παραμέτρους, μ, Τότε αν γνωρίζουμε ότι το ~ (, έχει πάρει την τιμή 9 αυτό μας λέει, από την υπόεη ότι το είναι απίανο να πάρει τιμές έξω από το διάτημα (87,93 (διάτημα εμπιτούνης για το, εφόον ( 9 οπότε το είναι απίανο να πάρει τιμές έξω από το διάτημα (94,96 {( ~ (, } Δηλαδή γνωρίζοντας την τιμή του μας πληροφορεί κάτι για την κατανομή του και έτι, διαιητικά, τα, δεν είναι ανεξάρτητα Από την άλλη μεριά, έτω ότι ξέρουμε ότι 9, τότε γνωρίζοντας ότι το έχει πάρει την τιμή 9 δε μας πληροφορεί τίποτα για την κατανομή του Επίης, από το εώρημα που ακολουεί έχουμε ότι ο μέος της psterr κατανομής του ιούται με το μέο της κατανομής πρόγνωης του, εφόον ( μ(,,, 36

37 Θεώρημα Αν,, τ μ τέτοιες ώτε ( : μ( και είναι ανεξάρτητα τότε [,, ] ( μ(,, { [ μ( ]} Απόδειξη [,, ] [ [,,, ]] Λόγω (δεμευμένης ανεξαρτηίας των δεδομένου ιούται [ ],, ] [ μ(,, ] [ Δηλαδή, η εκτίμηη του πραγματικού κααρού αφαλίτρου ή υχνότητας ( ( δεδομένου του, [ [ ( ]] ε χέη με τη δευτεροβάμια υνάρτηη απώλειας είναι ίο με το μέο της κατανομής πρόγνωης του Τέλος, μπορούμε να χολιάουμε ότι ο Μπευζιανός εκτιμητής του κααρού αφαλίτρου δε α είναι γενικά γραμμικός ως προς τα παλιά δεδομένα καώς και ότι οι παράμετροι και χρειάζεται να προδιοριτούν με κάποιο τρόπο Κοινά χαρακτηριτικά των 3 μοντέλων Και τις 3 περιπτώεις το Bes αφάλιτρο είναι γραμμική υνάρτηη των παρατηρήεων και έτι το ορίζουμε ως credblt αφάλιτρο Και τις 3 ειδικές περιπτώεις μοντελοποίηης το ταμιμένος μέος: Bes μπορεί να εκφρατεί ως ένας Bes ( cll 3 Και τις 3 περιπτώεις η τάμη-βάρος δίνεται ως ταερή ποότητα α, όπου κ μια κατάλληλη κ 4 Και τις 3 περιπτώεις η δευτεροβάμια απώλεια του Bes αφαλίτρου δίνεται ως [( Bes ] ( [( cll ] [( ] 5 Και τις 3 περιπτώεις βρίκουμε ότι η psterr κατανομή του ανήκει την ίδια οικογένεια κατανομών με την prr κατανομή του, όπως α δούμε αυτή η ιδιότητα δε υνέβηκε κατά τύχη 37

38 Οριμός: Mια κατανομή λέγεται ότι είναι τύπου εκετική εάν μπορεί να εκφρατεί ως: b( f ( ep c(, / ea R, / Σημείωη: H παραπάνω κλάη κατανομών, εκετικού τύπου, έτω F { Θ} ep F : (μονοπαραμετρική περίπτωη καλύπτει μία μεγάλη κλάη οικογένειας κατανομών όπως : ss, Berull, Gmm, rml, verse-guss H κλάη των κατανομών αυτών παίζει πρωταρχικό ρόλο τα γενικευμένα γραμμικά μοντέλα, τα οποία αποτελούν τα εργαλεία για τον υπολογιμό αφαλίτρων εξαρτώμενα από διάφορους παράγοντες τιμολόγηης (rtg fctrs Κάε μία από τις οικογένειες κατανομών F ep χαρακτηρίζεται από τη μορφή που έχουν οι υναρτήεις b( και c( και έτι μπορούμε να τις υμβολίουμε ως b c F, ep Η παράμετρος αναφέρεται ως ccl παράμετρος Στη δική μας ανάλυη η μπορεί να ερμηνευτεί ως το rsk prfle που παίρνει τιμές από το Θ, (εδώ το είναι μιας διάταης και πραγματικό Η παράμετρος καλείται dspers παράμετρος και εωρείται ταερή Η ποότητα ω δηλώνει ένα prr γνωτό βάρος (eght ε χέη με τις παρατηρήεις μας Έτι, η παράμετρος ταερή για όλες τις παρατηρήεις, ενώ το βάρος μπορεί να διαφοροποιείται τα τοιχεία του διανύματος των παρατηρήεων είναι Θεώρημα: Υποέτουμε ότι για δεδομένο τα τοιχεία του διανύματος των παρατηρήεων,, είναι ανεξάρτητα με κατανομή F F καένα με την ίδια dspers ( παράμετρο και βάρος για,,, b, c ep b Θεωρούμε την οικογένεια u { u ( : γ (, τ R R } ep γ, όπου b( u γ ( ep d(, τ, Θ, δηλώνουν πυκνότητες κατανομών Τότε ιχύει ότι η τ b u ep b c F, ep είναι υζυγείς την 38

39 Απόδειξη:H psterr πυκνότητα της είναι b b b u ( ep ( ep / ( ep ( τ τ τ τ όπου και Παρατηρούμε, έτι ότι η psterr κατανομή, δεδομένου X είναι ξανά μία με παραμέτρους b u ep ` τ τ και ` τ τ Θεώρημα: Για την οικογένεια και τη υζυγή της οικογένεια έχουμε ότι : c b F, ep b u ep και ( ( b` p d { } b `` (, vr Θ β cll p γ ( cll Bes p p όπου και τ Σημείωη: Παρατηρούμε ότι το είναι ένας ταμιμένος μέος της ατομικής εμπειρίας ζημιών και του υλλογικού αφαλίτρου Είναι μία γραμμική υνάρτηη των παρατηρήεων και έτι ένα αφάλιτρο credblt (πολλές φορές τη βιβλιογραφία αναφέρεται και ως ect credblt Το εδώ παίζει το ρόλο του αριμού των παρατηρούμενων ετών Βαυε p 39

40 ret/gmm Mdel Μια υνήη υπόεη την ανταφάλιη είναι ότι το ύψος ζημιών από αυτές τις ζημιές που ξεπερνούν ένα δεδομένο όριο είναι ret κατανεμημένες Έτω,,, ( T το διάνυμα των παρατηρήεων ύψους ζημιών που ξεπερνούν το Υποέτουμε έτι ότι, ( ~ ret d με ( ( f και F ( για ( ( : ( μ ( ( ( ( : ( V Επίης, υποέτουμε ότι β β β Γ e u J ( ( :, ( ~ Η psterr γίνεται: β l ep η οποία είναι και αυτή μία Gmm κατανομή με παραμέτρους και ` ` `, ( ~, l ` β β β J και η Μπευζιανή εκτίμηη του είναι: [ ] ( β α β z z F ML Bes l ~, όπου ML l ο εκτιμητής μέγιτης πιανοφάνειας του και z l l β Δηλαδή, ο Μπευζιανός εκτιμητής του είναι ένας ταμιμένος μέος του εκτιμητή μέγιτης πιανοφάνειας και της prr αναμενόμενης τιμής ( β α Άκηη Θεωρούμε έναν ατομικό κίνδυνο, ο οποίος μπορεί να προκαλέει υνολικό ύψος ζημιάς, μέα ε ένα έτος, ή Ο κίνδυνος αυτός ανήκει ε ένα υλλογικό κίνδυνο που αποτελείται από 3 4

41 τύπους κινδύνων: καλός (65%, μέτριος (3%, κακός (5% Οι δεμευμένες πιανότητες δίνονται τον επόμενο πίνακα: { ( X Θ,,,,,3 } Συνολικό ύψος ζημιάς Καλός Μέτριος Κακός 97% 95% 9% 3% 5% % d cll Α Υπολογίτε p και p Bes Β Αν έχουμε εμπειρία ενός έτους τότε υπολογίτε το p για όλα τα δυνατά ενδεχόμενα (ύψος ζημιάς ή Bes C Αν έχουμε εμπειρία ετών υπολογίτε p για όλα τα δυνατά ενδεχόμενα Λύη Α Το ύνολο {καλός, μέτριος, κακός} αποτελεί το δειγματικό χώρο του Θ Η -prr πληροφορία ( καλός 65%, ( μέτριος 3%, d ( κακός 5%, p Θ ] : μ( Αν [ ( d καλός p [ καλός ] ( καλός ( καλός Έτ d p 3% 3 Έτι, καλός μέτριος κακός cll p d p 3 5 u( 65% 3% 5% 395 cll όπου p [ μ( ] [ [ Θ ]] u( [ Θ ] Β Από το εώρημα του Bes μπορούμε να υπολογίουμε τις psterr πιανότητες ( X Θ u( u( X, ι,,3 και {,} ( X Θ u( X καλός μέτριος κακός Bes p d p 3 5 u( 65,6% 9,7% 4,7% 39,4 u( 49,4% 38%,7% 464,56 4

42 Bes d d όπου p [ p ] [ μ ( ] u[( ] p,όπου p d μ c Οι παρατηρήεις τώρα είναι ένα διάνυμα διατάεων : (,, (,, 3 (,, 4 (, Bes Ξανά με το Bes μπορούμε να υπολογίουμε την psterr κατανομή u( και p : καλός μέτριος κακός Bes p d p 3 5 u( 66,3% 9,3% 4,4% 389,4 u( 5,% 37,8%,9% 459,3 u( 5,% 37,8%,9 459,3 3 u( 3,8% 4,8% 7,% 57,48 4 ( 4