ΜΑΝΟΣ ΔΟΥΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΟΥΡΕΜΠΑΝΑΣ

Transcript

1 ΜΑΝΟΣ ΔΟΥΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΟΥΡΕΜΠΑΝΑΣ

2 Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Α Σ.. Να συμπληρώσετε τα κενά : i) (α μ ) ν = ii) (κ.λ) ν = iii) α μ.α ν = iv) α μ : α ν =. v) (α : β) ν =.. vi) α -ν = a vii)... viii) a... i) a... a )... ( α>, β>).. ( α>, β>). Πότε δυο αριθμοί λέγονται αντίθετοι ;. Πότε δυο αριθμοί λέγονται αντίστροφοι ; Έχουν όλοι οι αριθμοί αντίστροφο ;. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α ;. Με τι ισούται ο αντίθετος του αντιθέτου ; 6. Με τι ισούται ο αντίστροφος του αντιστρόφου ; 7. Τι είναι μονώνυμο; 8. Ποια μονώνυμα είναι όμοια; 9. Πως προσθέτουμε όμοια μονώνυμα;. Πως πολλαπλασιάζουμε δύο ή περισσότερα μονώνυμα;. Τι είναι πολυώνυμο;. Πως προσθέτουμε πολυώνυμα ;. Πως πολλαπλασιάζουμε μονώνυμο επί πολυώνυμο;. Πως πολλαπλασιάζουμε δυο πολυώνυμα;. Να αποδείξετε ότι (α+β) = α + αβ + β 6. Να αποδείξετε ότι (α-β) = α - αβ + β 7. Να αποδείξετε ότι (α+β)(α-β) = α - β 8. Να αποδείξετε ότι (α+β) = α + α β + αβ + β 9. Να αποδείξετε ότι (α-β) = α - α β + αβ - β. Πως βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. δύο ή περισσότερων πολυωνύμων ;. Να γράψετε τον τύπο που μας δίνει τις λύσεις της εξίσωσης : α + β + γ =, α.. Ποια ποσότητα λέγεται διακρίνουσα ;. Ποιά είναι τα κριτήρια ισότητας τριγώνων ; Διατυπώστε τα.. Τι γνωρίζετε για τα σημεία της μεσοκαθέτου ενός ευθυγράμμου τμήματος ; Ποια είναι η χαρακτηριστική τους ιδιότητα ;. Τι γνωρίζετε για τα σημεία της διχοτόμου μιας γωνίας; Ποια είναι η χαρακτηριστική τους ιδιότητα ; 6.

3 7. Τι σχέση έχουν μεταξύ τους οι τριγωνομετρικοί αριθμοί δυό παραπληρωματικών τόξων ; 8. Συμπληρώστε τις σχέσεις : i) ημ(π-χ) =... ii) συν(π-χ) =... iii) εφ(π-χ) =... iv) ημ(π+χ) =... v) συν(π+χ) =... vi) εφ(π+χ) =... vii) ημ(-χ) =... viii) συν(-χ) =... i) εφ(-χ) = Αποδείξτε ότι ημ χ + συν χ =. Αποδείξτε ότι εφχ =

4 . Να βρεθούν τα αναπτύγματα : ( + ), ( ), ( + ), ( + ), (α β), ( ), (-α β), (- + ). Να βρεθούν τα αναπτύγματα : ( )( + ), ( )(+ ), ( + )( ), ( + )( ), (α + β)(-α +β), ( + )( ),. Να βρεθούν τα αναπτύγματα : (α + ), ( ), (- ), ( ). Να γίνουν οι πράξεις : I) ( + ) ( + )( ) ( ) II) ( + ) ( + )( ) ( + ) III) ( + ) ( ) ( ). Ν αποδείξετε τις ταυτότητες α) (α + β) + (α β) = (α + β ) β) (α β) (α + β) = - αβ 6. Nα παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις : i. 6 + ii. α α + iii. α + α α iv Nα παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις : i) + ii) + iii) iv) + v) vi) + vii) Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

5 viii) 8 i) 7 +, 8. Nα παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις : i) + 9 ii) + iii) iv) v) 8 vi) vii) ( ) 9 viii) 7 i) ) + 9. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις : i) α αβ + β γ ii) iii) +. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: i) - 9 ii) α β α + iii) Να λυθούν οι εξισώσεις : i) = ii) + = iii) = iv) + = v) = vi) + 8 = vii) = viii) + = i) = ) = i) ( )( 7 + ) = ii) ( )( 9) = iii) ( )( + ) =. Να λυθούν οι εξισώσεις : i) = ii) + = iii) 6 = iv) = v) = vi) = vii) = viii) + 8 =

6 i) = ) + + = i) + 6 = ii) = iii) + = iv) + =. Να λυθούν οι εξισώσεις : i) 8 ii) iii) iv) v) 7 7 vi) 6 7 vii). Να λυθούν οι εξισώσεις : i) ii) iii) iv) v) vi) vii) + =.. Έστω οτι έχουμε το τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ. Προεκτείνουμε τις πλευρές ΒΑ και ΓΑ έτσι ώστε ΑΕ = ΑΒ και ΑΖ = ΑΓ. Να δείξετε οτι ΒΓ = ΖΕ.

7 6. Θεωρούμε το τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω Μ το μέσο της ΑΓ. Προεκτείνουμε το ΒΜ έτσι ώστε ΜΖ = ΒΜ. Να δείξετε οτι ΑΖ = ΒΓ. 7. Θεωρούμε το τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω Ε, Ζ τα μέσα των ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Προεκτείνουμε τα ΒΖ, ΓΕ έτσι ώστε ΖΗ = ΒΖ και ΕΘ = ΓΕ. Να δείξετε οτι ΑΘ = ΑΗ. 8. Θεωρούμε το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Προεκτείνουμε την ΒΓ προς την πλευρά του Β κατά ΒΔ και προς την πλευρά του Γ κατά ΓΕ έτσι ώστε ΒΔ = ΓΕ. Να αποδείξετε οτι το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές. 9. Θεωρούμε το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και Μ το μέσο της ΒΓ. Προεκτείνουμε την ΑΒ κατά ΒΔ και την ΑΓ κατά ΓΕ έτσι ώστε ΒΔ = ΓΕ. Να αποδείξετε οτι ΜΔ = ΜΕ.. Θεωρούμε το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Προεκτείνουμε την ΒΓ προς την πλευρά του Β κατά ΒΔ και προς την πλευρά του Γ κατά ΓΕ έτσι ώστε ΒΔ = ΓΕ. Επιπλέον, προεκτείνουμε την ΑΒ κατά ΒΖ και την ΑΓ κατά ΓΗ έτσι ώστε ΒΖ = ΓΗ. Να αποδείξετε οτι ΔΖ = ΕΗ.. Θεωρούμε το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και οι διάμεσοι του ΒΖ και ΓΕ. Να δείξετε οτι ΒΖ = ΓΕ.. Θεωρούμε το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και οι διχοτόμοι του ΒΖ και ΓΕ. Να δείξετε οτι ΒΖ = ΓΕ.

8 . Θεωρούμε το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και Μ το μέσο της ΒΓ. Προεκτείνουμε την ΒΑ κατά ΑΕ και την ΓΑ κατά ΑΖ έτσι ώστε ΑΕ = ΑΖ. Να δείξετε οτι ΜΖ = ΜΕ.. Έστω το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και Μ το μέσο της ΒΓ. Παίρνουμε σημείο Δ της ΑΒ και σημείο Ε της ΑΓ έτσι ώστε Α Δ = Α Β και Α Ε = Α Γ. Να δείξετε οτι το τρίγωνο ΜΔΕ είναι ισοσκελές.. Θεωρούμε το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και τα ύψη του ΒΕ και ΓΖ. Να δείξετε οτι ΒΕ = ΓΖ. 6. Έστω το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και Μ το μέσο της ΒΓ. Φέρνουμε το ΜΔ κάθετο στην ΑΒ και το ΜΕ κάθετο στην ΑΓ. Να αποδείξετε οτι ΜΔ = ΜΕ. ο 7. Έστω το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( ˆΑ = 9 ) και Μ το μέσο της ΒΓ. Προεκτείνουμε την ΑΜ κατά το τμήμα ΜΔ έτσι ώστε ΜΔ = ΑΜ. Να αποδείξετε οτι: i) τα τρίγωνα ΜΒΔ, ΑΜΓ είναι ίσα, ii) τα τρίγωνα ΜΔΓ, ΑΒΜ είναι ίσα, 8. Θεωρούμε το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και Μ το μέσο της ΒΓ. Φέρνουμε τα τμήματα ΜΔ, ΜΕ κάθετα στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Να δείξετε οτι: i) ΜΔ = ΜΕ, ii) ˆ ˆ Α Μ Δ = Α Μ Ε. 9. Έστω η γωνία ˆ O. Πάνω στην Ο παίρνουμε τα τμήματα ΟΑ, ΟΒ και πάνω στην Ο παίρνουμε τα τμήματα ΟΓ, ΟΔ, έτσι ώστε ΟΑ = ΟΓ και ΟΒ = ΟΔ. Αν Κ είναι το σημείο τομής των ΒΓ, ΑΔ να δείξετε οτι: i) τα τρίγωνα ΟΒΓ, ΟΔΑ είναι ίσα, ii) τα τρίγωνα ΟΒK, ΟΔK είναι ίσα, iii) η ΟΚ είναι διχοτόμος της O ˆ.. Nα υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων (i) Α = ημ(9 ) συν, (ii) B = εφ(8 ) + εφ, (iii)γ = ημ(8 ) συν(9 ), (iv) Δ = συν(8 ) + ημ(9 ),. Να υπολογισθεί η παράσταση :. Να βρείτε το πρόσημο της παράστασης. Να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των τόξων ο, ο, ο.. Να υπολογισθούν οι παραστάσεις : Α = (ημ9 συν8 ).(ημ7 εφ8 ), Β = (ημ8 + ημ7 )-(συν8 συν6 ).. Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας θ αν συνθ = 6. Αν 8 7 και 8, να βρείτε το συνω και την εφω. και 9 ο <θ<8 ο

9 7. Αν 7 6 και 8. Να υπολογισθούν οι παραστάσεις : 8 6 8,, να υπολογίσετε την παράσταση Eξετάστε αν υπάρχει γωνία ω έτσι ώστε να είναι ταυτόχρονα. Να αποδείξετε ότι : i. (συνω - ημω) + ημω.συνω = ii. (ημω + συνω) + (συνω ημω) =. iii. συν α ημ α = συν α iv. v. vi. + + =. Να λυθούν τα συστήματα: i) = και ii) iii) 8 iv) v) vi) 6 vii) viii)

10 i) ) 6 i) ii) iii). Να λυθούν τα συστήματα : i) ii) iii)

11 ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Περιόδου Μαϊου Α ΜΕΡΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο : Παραγρ..,.,.,.,.,.6,.7,.8,.9,. Κεφάλαιο ο : Παραγρ..,.,.,. Κεφάλαιο ο : Παραγρ..,. Β ΜΕΡΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο ο : Παράγρ..,.,.,. Κεφάλαιο ο : Παράγρ..,.,.