TRANSFORMACIJE HEMIJSKE ENERGIJE U ELEKTRIČNU - ELEKTROHEMIJA. hemijska reakcija je izvor energije

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "TRANSFORMACIJE HEMIJSKE ENERGIJE U ELEKTRIČNU - ELEKTROHEMIJA. hemijska reakcija je izvor energije"

Transcript

1 TRANSFORMACIJE HEMIJSKE ENERGIJE U ELEKTRIČNU - ELEKTROHEMIJA hemijska reakcija je izvor energije Baterija koristi spontanu hemijsku reakciju koja je praćena promenom slobodne Gibbs-ove energije G (ΔG < 0!) na račun koje proizvodi električnu energiju DAJE STRUJU Elektrohemija je deo fizičke hemije koji se bavi proučavanjem relacija izmedju hemijske promene i električnog rada.

2 Voltina baterija (voltin stub) godina Cu i Zn u kontaktu preko elektrolita (natopljen karton) daju struju (napon oko 1.1V)

3 na kontaktu dvaju metala uspostavlja se potencijalska razlika na račun koje se iz elementa dobija električna energija Voltin niz metala: svaki prethodni metal u nizu naelektriše se pozitivno pri dodiru sa ma kojim sledećim metalom. (+) Al, Zn, Sn, Cd, Pb, Bi, Hg, Fe, Cu, Ag, Au, U, Tl, Pt, Pd (-) Zašto se ovo događa?

4 Podsećanje Oksidoredukcija je prelazak elektrona sa jedne hemijske vrste na drugu. Terminologija: termin Primer: Zn (s) + 2 H + (aq) Zn 2+ (aq) + H2 (g) oksidacija * otpuštanje elektrona * redukciono sredstvo je oksidovano * oksidacioni broj raste redukcija * primanje elektrona * oksidaciono sredstvo je redukovano * oksidacioni broj se smanjuje * Zn gubi elektrone * Zn je redukciono sredstvo i oksiduje se * oksidacioni broj Zn raste sa 0 na +2 * H + jon dobija elektron * H + jon je oksidaciono sredstvo i redukuje se * oksidacioni broj H + jona pada sa + 1 na 0.

5 Elektrolitička disocijacija je spontani proces u kome pod uticajem rastvarača dolazi do nastanka ekvivalentne količine pozitivnih i negativnih jona u rastvoru G H TS G < 0 sistema sistema sistema U slučaju NaCl, disocijacija je blago endotermna, ali je S 0, i zato je ova reakcija spontana! Supstance koje grade jone rastvarajući se u datom rastvaraču, najčešće vodi, nazivaju se elektrolitima. Tipičan primer: rastvorne soli kao što je NaCl

6 Ako se metalna pločica od cinka uroni u rastvor Cu 2+ jona, u rastvoru će teći reakcija: Zn (s) + Cu 2+ (aq) Zn 2+ (aq) + Cu (s) Proces teče spontano, u rastvoru neke bakrove soli na cinkanu pločicu će se izdvajati bakar.

7 Zn (s) + Cu 2+ (aq) Zn 2+ (aq) + Cu (s) Posle izvesnog vremena rastvor bakarnih jona - svetliji, na pločici cinka - metalni talog: metalni bakar koji se izdvojio. Posle više sati, Zn elektroda postaje lakša, a Cu elektroda teža. U ovakvom sistemu, nema oslobodjene energije, nema struje. Da bi se dobila struja, mora se izvršiti razdvajanje elektrodnih prostora - formiranje polućelija koje su spojene žicom i provodnim mostom.

8 Razlika hemijskog i elektrohemijskog sistema Elektroni direktno prelaze sa Zn na Cu Elektroni prelaze sa Zn kroz spoljašnje kolo na Cu Tok elektrona kroz spoljašnje kolo (struja) može se iskoristiti za RAD

9 Polućelije su u kontaktu preko SONOG MOSTA Soni most omogućava tok struje, a sprečava mešanje rastvora Soni most je najčešće želatinozna masa puna elektrolita (KCl, NaCl)

10 Galvanske (Voltine) ćelije: sastoje se od anode, katode i rastvora elektrolita. Anoda je elektroda na kojoj se odvija oksidaciona polureakcija elektroni napuštaju elektrolit (ćeliju) na anodi. Katoda je elektroda na kojoj se odvija redukciona polureakcija elektroni ulaze u ćeliju na katodi Ukupna rakcija može se razdvojiti na dve polu-reakcije: Cu 2+ +2e- Cu Zn Zn e-

11 Zapis elektrohemijske ćelije Zn (s)zn 2+ (aq)cu 2+ (aq)cu(s) Oksidaciona polureakcija je: Zn (s) Zn 2+ (aq) + 2e- Redukciona polurakcija je: Cu 2+ (aq) +2e- Cu (s) Ukupno: Zn (s) + Cu 2+ (aq) Zn 2+ (aq) + Cu (s) Po konvenciji, oksidaciona polućelija se predstavlja na levoj strani.

12 Zašto i koliko dugo radi galvanska ćelija? Zašto elektroni teku od cinka ka bakru? Zn (s) Zn 2+ (aq) + 2e- Cu (s) Cu 2+ (aq) + 2e- Zn otpušta elektrone lakše od Cu, Zn ima veću potencijalnu energiju koja je u stanju da gura elektrone kroz kolo kada se ono zatvori. Ta razlika potencijalnih energija (električnih potencijala) izmedju elektroda zove se napon otvorenog kola ili elektromotorna sila ćelije. Spontana rakcija dešava se kao rezultat različitih sposobnosti metala da odaju elektrone i sposobnosti elektrona da teku kroz kolo. Razlika potencijala, EMS je u slučaju galvanskih ćelija pozitivna, odnosno, EMS > 0, a G < 0. Što je pozitivnija EMS, negativnija je G, i reakcija teče duže u desno. Galvanska ćelija prozivodi elektricitet sve dok koncentracije reaktanata i produkata ne dostignu svoje ravnotežne vrednosti, kada G postaje = 0 i reakcija prestaje.

13 Po definiciji, kada dve elektrode imaju potencijalsku razliku od 1 volta (V) jedan džul energije se oslobodi (jedan džul rada se može ostvariti) kada jedan kulon naelektrisanja prodje izmedju elektroda: 1 V = 1 J / 1 C Jedan elektron ima naelektrisanje od C, a jedan kulon je jednak naelektrisanju elektrona. Standardni potencijal galvanske ćelije Standardna elektromotorna sila EMS 0 : potencijalska razlika merena pri - T = 298 K, - kroz ćeliju ne teče struja, - sve komponente su u njihovim standardnim stanjima: P = 1 atm za gasove, c = 1 M za tečne reaktante, elektrode su od čistih čvrstih supstanci. Za: Zn (s)zn2+(aq)cu2+(aq)cu(s) ćeliju, EMS 0 = 1.1 V

14 Standardni elektrodni potencijali Za bilo koju galvansku ćeliju, standardna EMS jednaka je razlici izmedju standardnih elektrodnih potencijala katode (desne polu-ćelije) i anode (leve polu-ćelije): E 0 ćelije = 0 katode - 0 anode Standardni potencijal polu-reakcije - sve komponente u standardnim stanjima (kada je koncentracija elektrolita jednaka 1M). Po konvenciji, standardni elektrodni potencijal (ili standardni potencijal polu-reakcije) se odnosi na redukciju: Oksidovana forma + ne- Redukovana forma 0 Redukovana forma Oksidovana forma + ne- - 0 Ukupna redoks reakcija je zbir dve polu-reakcije, tako da je ukupni potencijal ćelije (EMS) jednak razlici potencijala dve polurakcije

15 Možemo da merimo samo razliku potencijala dve elektrode, odnosno EMS 0! Standardna referentna polu-ćelija njen standardni elektrodni potencijal definisan je kao 0 referentno =0. Standardna referentna polu-ćelija je standardna vodonikova elektroda Definisani standardni potencijal nam omogućava da odredimo potencijal nepoznate polu-ćelije.

16 Standardna vodonična elektroda Standardna referentna polu-ćelija njen standardni elektrodni potencijal definisan je kao 0 referentno = 0. posebno napravljena platina (u obliku pločice, najčešće) uronjena u 1 M rastvor jake kiseline H + (aq), oko koje je atmosfera gasnog H 2 na P = 1 atm. U referentnoj polu-ćeliji: 2 H + (aq, 1 M) + 2 e- H2 (g, 1 atm) H + (1.0M) H 2 (1atm) 2H + + 2e H 2 E = 0.00 V

17

18 Kada se H2 oksiduje, referentna vodonikova polu-ćelija je anoda: EMS 0 = 0 katode - 0 anode = 0 nepoznato - 0 referentno = 0 nepoznato - 0 = 0 nepoznato Kada se H+ redukuje, refrentna polu-ćelija je katoda: EMS 0 = 0 katode - 0 anode = 0 referentno - 0 nepoznato = 0-0 nepoznato = - 0 nepoznato Na ovaj način definisani, svi drugi potencijali nepoznatih polu-ćelija (elektroda) su relativne vrednosti u odnosu na standardni potencijal referentne polu-ćelije. Relativne jačine oksidacionih i redukcionih sredstava Što je pozitivnija vrednost 0,to reakcija ima izraženiju tendenciju da se odigra onako kako je napisana: Tabela standardnih elektrodnih potencijala nastaje uz sledeća pravila:

19 - Sve vrednosti su relativne u odnosu na standardnu vodonikovu elektrodu: 2 H + (aq, 1 M) + 2 e- H2 (g, 1 atm) 0 = 0.00 V - Po konvenciji, sve polu-reakcije se pišu kao redukcije (reaktanti su oksidaciona sredstva, a produkti su redukciona sredstva). - 0 vrednost data u tabeli odnosi se na reakciju kako je napisana. Što je pozitivnija vrednost 0, veća je tendencija za konkretnu polu-reakciju da se odigra kao što je napisana. - Polu-reakcija se piše kao ravnoteža da ukaže na to da se ta polu-reakcija može odigrati kao redukcija ali i kao oksidacija (što znači, na katodi, ili na anodi) zavisno od uslova i standardnog potencijala druge polureakcije. Standardni elektrodni potencijal menja znak uvek kada se reakcija odvija u suprotnom smeru. - U tabeli, jačina oksidacionih sredstava (reaktanti) raste sa dna ka vrhu tabele, a jačina redukcionih sredstava (produkti) raste sa vrha ka dnu.

20 Što je pozitivnija vrednost 0, veća je tendencija za konkretnu polu-reakciju da se odigra kao što je napisana.

21 Pažnja! Zn (s) Zn 2+ (aq) + 2e- Zn (s) redukovani oblik, oksidaciono sredstvo Zn 2+ oksidovani oblik, redukciono sredstvo Vrednost redukcionog potencijala 0 data u tabeli odnosi se na reakciju kako je napisana (redukciju). Što je pozitivnija vrednost 0, veća je tendencija za konkretnu polu-reakciju da se odigra kao što je napisana. Zn 2+ (aq) + 2e - Zn(s) E red = V 2H + + 2e - H 2 E red = 0.00 V 0 za H je veće, dakle Zn će se oksidovati u ovom slučaju E = 0 - (-0.76) = 0.76 V

22 Zn 2+ (aq) + 2e - Zn(s) E red = V 2H + + 2e - H 2 E red = 0.00 V 0 za H je veće, dakle Zn će se oksidovati u ovom slučaju Anoda oksidacija Katoda redukcija

23 Što je pozitivnija vrednost 0, veća je tendencija za konkretnu polu-reakciju da se odigra kao što je napisana.

24 Relativna reaktivnost metala Metali koji su u tabeli iznad standardne vodonikove polureakcije ne mogu da redukuju H +, jer u kombinaciji sa vodonikovom polu-reakcijom daju negativnu vrednost za potencijal cele ćelije. Metal čiji je standardni redukcioni potencijal negativniji, redukovaće metal čiji je standardni redukcioni potencijal manje negativan

25 Mogu se naći dva načina računanja E E o cell = E o kat E o anod ili E o cell = E o ox + E o red Zn(s) Zn 2+ (aq) + 2 e- Cu 2+ (aq) +2e- Cu(s) E o ox = - E o red = 0.76 V E o red = 0.34 V E o cell = E o kat - E o anod E o cell = E o ox + E o red E o cell =0.34 (-0.76) = 1.1V E o cell = 0, = 1.1V Pišu se redukcioni potencijali Piše se Redukcioni potencijal za redukcionu polureakciju Oksidacioni potencijal za oksidacionu polureakciju E o ox = - E o red Za jednu polureakciju

26 Slobodna energija i električni rad - termodinamičke veličine i elektrohemijska merenja

27 struja = kretanje naelektrisanja Jačina struje (Amper, A) količina naelektrisanja u sekundi A= C/s naelektrisanje 1 e - = x C q = n F naelektrisanje (C) = mol x Faradej (C/mol) F = kulona /mol Faradejeva konstanta 1 mol e - elektrona ima naelektrisanje od C Omh-ov zakon U = IR Napon(V) = struja(a) x otpor () Napomena: napon uobičajeno ima oznaku U, u elektrohemiji je uobičajeno da se potencijal ili napon ćelije označava sa E, dok se potencijal elektrode označaa sa.

28 Potencijal galvanske ćelije i promena slobodne energije Šta pokreće elektrone da se kreću od anode ka katodi? Energetska razlika izmedju dva poluprocesa. Promena slobodne energije redoks reakcije data je maksimalnim korisnim radom koji sistem oslobadja i predaje okolini kao električni rad: ΔG = - W Za spontanu reakciju vrednost ΔG je negativna, jer se vrednost ΔG smanjuje kada sistem obavlja rad. Količina električnog rada iskazuje se proizvodom količine elektriciteta i naponom: W=qE Pošto je q= zf, gde je q naelektrisanje jednog mola elektrona, Fradejeva konstanta F = kulona /mol a z označava broj molova elektrona koji se u reakciji prenesu Električni rad će biti dat: W = z F E EMS je elektromotorna sila (emf), potencijal ćelije ili napon ćelije. ΔG = - z F E ΔG o = - z F E o 1J = 1C 1V u standardnim uslovima

29 G = -RT lnk G = -zfe -zfe = -RT lnk Ako uzmemo dekadni logaritam umesto lnk, log K -zfe = RT log K E 2.3RT zf log K Pri standardnim uslovima, 25 C (298K), i zamenom Faradejeve konstante dobiće se: E z log K

30 Za posmatranu ćeliju Zn(s) + Cu 2+ (aq) Zn 2+ (aq) + Cu(s) log E K log n nfe 2.303RT K (2)(96487)(1.1) (2.303)(8.314)(298) 37.1 K=1 x K>1 K veće od jedinice proces je spontan

31 G = -RT lnk G = -zfe G 0 K E 0 reakcija < 0 > 1 > 0 spontana ravnoteža > 0 < 1 < 0 nespontana

32 0 0 ) ( S T G P G = -zfe P T E zf S 0 0 Kako je H 0 = G 0 + T S 0 P T E zft zfe H Iz merenja E možemo dobiti termodinamičke funkcije

33 Potencijal pojedinačne elektrode Promena Gibbs-ove potencijalne energije koja se dogadja pri prlasku elektrona iz rastvora na metal (redukcija) jednaka je razlici hemijskih potencijala u dve faze: G M R 0 M 0 R RT ln a M RT ln a R M - čvrst metal R jon metala u rastvoru G 0 M 0 R RT ln a a M R

34 G 0 M 0 R RT ln a a M R zf Za prelazak jona iz rastvora na metal jednačina dobija konačni oblik Nernst-ove jednačine elektrohemijskog potencijala: 0 RT ln zf a a oks red 0 RT ln zf c c oks red

35 Koncentracione galvanske ćelije Koncentracione galvanske ćelije koriste spontanu tendenciju mešanja istoimenih rastvora različitih koncentracija da bi se dobila električna energija. U slučaju galvanske koncentracione ćelije, dva rastvora iste supstance različitih koncentracija nisu fizički izmešani, već se nalaze u dva odvojena elektrodna prostora, a proces njihovog mešanja dešava se tokom rada ćelije. Neka se u ćeliji odigravaju dve iste polu-reakcije, ali u suprotnim smerovima: Cu e- Cu i Cu Cu e- Standardni potencijali su isti, ali suprotnih znakova, pa je ukupni potencijal ćelije = 0 (standardni potencijali podrazumevaju koncentraciju elektrolita = 1 M). Medjutim, ako su koncentracije Cu 2+ (aq) u različitim elektrodnim prostorima različite, tada je EMS 0, jer potencijal pojedinačne elektrode po Nernstovoj jednačini zavisi od koncentracije jona u rastvoru. 0 RT ln zf c c oks red

36 Oksidaciona polu-reakcija je: Cu (s) Cu 2+ (aq, 0.10 M) + 2 e- Redukciona polu-reakcija je: Cu 2+ (aq, 1.0 M) + 2 e- Cu (s) Ukupna rakcija u ćeliji je: Cu 2+ (aq, 1.0 M) Cu 2+ (aq, 0.10M) EMS EMS 0 katode RT ln 2F anode Cu Cu 2 2 conc razbl 0 katode 0V 2 Cu RT 2 Cu RT ln 2F V ln 2 conc 0 anode ln 2F 0.10M V 1.0M 1 razbl

37 Laboratorijsko merenje ph Merenje ph izvodi se u galvanskoj ćeliji koja je bazirana na H2/H+ polu-reakciji. U katodnom prostoru je standardna vodonična elektroda, dok je u anodnom prostoru ista elektroda, ali sa nepoznatom koncentracijom H+ jona. Polureakcije i ukupna reakcija su: H2 (g, 1 atm) 2 H+ (aq, nepoznata c) + 2 e- (anoda) 2 H+ (aq, 1M) + 2 e- H2 (g, 1 atm) (katoda) 2 H+ (aq, 1M) 2 H+ (aq, nepoznata c) EMS =? EMS katode anode 0 katode 2 RT H tan 0 H s dard RT ln anode ln 2F H 2F H 2 2 nepoznat 2 Zamenom: i: H katode anode EMS V EMS 0V log V log 2 H H 2 H V ph nepoznato 2 nepoznato 2 s tandard 1 s tan dard M V 0V log 2 H 2 nepoznato 2 1

38 U praksi se umesto standardne vodonične kao referentna elektroda primenjuje zasićena kalomelova elektroda čiji je potencijal na T = 298K jednak V; i staklena elektroda kao indikatorska (Ag/AgCl uronjen u HCl rastvor koncentracije 1M, koja meri ph na temelju razlike koncentracije H+ jona unutar i izvan elektrode).

39 Elektrolitičke ćelije - energija iz okruženja se koristi da bi se proizvela nespontana reakcija (G >0). - U ćeliji, električna energija iz spoljašnjeg izvora koristi se da se reaktanti na nižem energetskom nivou prevedu u produkte na višem energetskom novou. okruženje vrši rad na ovakvom sistemu. Elektrolitička ćelija energija se uzima iz okruženja da bi se ostvarila nespontana reakcija; okruženje (spoljašnji izvor struje) vrši rad na sistemu Oksidaciona polu-reakcija A- A + e- Redukciona polu-reakcija e- + B+ B Ukupna reakcija u ćeliji A- + B+ A + B; G > 0

40 Elektrolitička ćelija Nespontana reakcija Troši struju Galvanska ćelija Spontana reakcija Daje struju

41 Faradejev zakon elektrolize I Faradejev zakon: Masa materijala koji je produkovan na svakoj od elektroda direktno je proporcionalna količini naelektrisanja proteklog kroz ćeliju. m = k q Ovo je uočeno pre znanja o stukturi atoma, jona...

42 Razmotrimo elektrolizu vodenog rastvora neke soli srebra. Ag + (aq) + e - Ag(s) 1 mol e - 1 mol Ag Ako sistemu dovedemo jedan mol e -, dobićemo jedan mol metalnog Ag. Naelektrisanje jednog mola elektrona = (1.60 x C/ e - )(6.02 x e - / mol) = 96,500 C/mol e - = 1 F (Faradej, Faradejeva konstanta)

43 Razmotrimo elektrolizu vodenog rastvora neke soli cinka. Zn 2+ (aq) + 2e - Zn(s) 1 mol e - 1/2 mol Zn Ako sistemu dovedemo jedan mol e - (1 F), dobićemo pola mola metalnog Zn. Dakle, zf izdvaja 1 mol supstance M = zk F m=kq (u opštem slučaju) M molarna masa m=qm/zf q=it

44 Elektrohemijski procesi u komercijalnim baterijama Postoji nekoliko vrsta baterija: Primarne su one koje se ne mogu puniti, pošto u njima elektroliti dostignu svoje ravnotežne koncentracije a EMS postane jednaka 0. Sekundarne baterije se mogu puniti, primenom električne energije koja izaziva suprotnu redoks reakciju onoj koja daje energiju. Gorive baterije (gorive ćelije) su one u kojima se struja dobija kao rezultat sagorevanja nekog goriva, reaktanti su kiseonik i neko gorivo.

45 Olovni akumulator - Sekundarna baterija 6 olovno-kiselih baterija od kojih svaka ima napon od 2 V, povezane redno. Svaka ćelija ima dva olovna okvira sa elektrodnim materijalima: anoda je sundjerasto olovo, a katoda je od PbO2. Okviri su uronjeni u rastvor 4.5 M H2SO4. Kada se ćelija prazni, ona proizvodi struju, odnosno, funkcioniše kao galvanska ćelija. Anodna reakcija Pb(s) + SO4 2- (aq) PbSO4(s) + 2ekatodna reakcija: PbO2(s) + 4H+(aq) + SO4 2- (aq) +2e- PbSO4(s) + 2H2O(l) Ukupna ćelijska reakcija je: PbO2(s) + Pb(s) + 2H 2 SO 4 2- (aq) 2 PbSO 4 (s) + 2H 2 O(l) EMS = 2 V Kada se akumulator puni, on uzima električnu energiju kao elektrolitička ćelija, tako da su i polu-reakcije i ukupna reakcija u njemu suprotni prethodno datim.

46 Gorive ćelije Ove baterije koriste proces sagorevanja, čiju energiju pretvaraju u električnu energiju. 2H 2 4H + + 4e - O 2 + 4H + + 4e - 2H 2 O 2H 2 + O 2 2H 2 O 0,7 V

47 Prednosti Čisti i prenosivi izvori struje, mnoge od gorivih ćelija ne proizvode polutante. Gorive ćelije su vrlo efikasne, jer konvertuju oko 75% energije hemijskih veza u električnu struju. Nasuprot tome, jedna termo elektrana konvertuje od 35% do 40% od hemijskih veza uglja u elektricitet. Mašina automobila ima još manju konverziju: ona prevodi oko 25% energije hemijskih veza goriva u kretanje kola. Mane Za razliku od običnih baterija, gorive ćelije ne mogu da čuvaju energiju, već je proizvode samo tokom procesa sagorevanja. Elektrodni materijali ne traju dugo i skupi su.

48 Korozija Korozija je redoks reakcija u kojoj metal izložen okružujućoj sredini formira neželjenu supstancu. Svi metali sem platine i zlata su termodinamički pogodni da se oksiduju na sobnoj temperaturi.

49 Korozija je prirodni, spontani proces koji se sastoji u hemijskoj transfromaciji metala u svoje soli ili okside pod uticajem okolne sredine koja ima elektrolitičke osobine. Štete od korozije su ogromne, jer ona se dešava na vozilima, brodovima, zgradama, mostovima 1. Gvozdeni predmet neće korodirati u suvom vazduhu; prisustvo vlage je neophodno. 2. Gvozdeni predmet neće korodirati u vodi bez vazduha; dakle, za proces korozije gvoždja neophodan je kiseonik. 3. Gvozdeni predmet brže korodira u jonskim rastvorima i to na nižem ph (odnosno, na višoj koncentraciji H + jona). 4. Korozija se uvek javlja na više mesta na jednom istom predmetu. 5. Gvozdeni predmet korodira brže kada je u kontaktu sa manje aktivnim metalom kao što je Cu, a sporije kada je u kontaktu sa više aktivnim metalom kao što je Zn. Elektrolitička sredina koja podržava koroziju: atmosferska vlaga u kojoj su rastvoreni neki od gasova: SO2, SO3, NO, NO2, CO2, H2S, NH3 Zemlja je pogodna za koroziju jer dugo zadržava vlagu, i predstavlja bogat izvor više ili manje rastvornih mineralnih komponenti.

50 Korozija gvoždja Budući da je (Fe 2+ /Fe) < (O 2 /H 2 O) gvoždje može biti oksidovano kiseonikom. katoda O2(g) + 4H + (aq) + 4e- 2H2O(l) odnosno: u kiseloj sredini, O2(g) + 2H2O(aq) + 4e- 4OH-(l), u alkalnoj sredini. Anoda Fe(s) Fe 2+ (aq) + 2e-. Fe 2+ koje je prvobitno nastalo će se dalje oksidovati do Fe 3+ koje formira rdju, Fe 2 O 3 xh 2 O(s).

51

52 Zaštita Fe Korozija se sprečava proizvodnjom čelika Korozija se može sprečiti prevlačenjem metala premazima ili prevlačenjem sa drugim metalom (mogu se koristiti metali koji u kontaktu sa Fe čine da se ono ponaša više kao katoda): Galvanizacija - Fe prevučeno sa Zn. Zn štiti gvoždje (Zn je anoda dok je Fe je katoda) Zn 2+ (aq) + 2e- Zn(s), E(Zn 2+ /Zn) = V Fe 2+ (aq) + 2e- Fe(s), E(Fe 2+ /Fe) = V Tanak sloj Zn prevučen preko Fe mora da oksiduje pre nego što Fe počne da rdja.

53 Korozija gvoždja: katodna zaštita zinkom Fe(s) Fe 2+ (aq) + 2e - E ox = 0.44 V Zn(s) Zn 2+ (aq) + 2e - E ox = 0.76 V

54 Korozija gvoždja: kalaj ne štiti Fe od korozije Fe(s) Fe 2+ (aq) + 2e - Sn(s) Sn 2+ (aq) + 2e - E ox = 0.44 V E ox = 0.14 V

55 Da bi se zaštitili cevovodi, dodaje se takozvana žrtvujuća anoda. Cevovod je katoda: Mg 2+ (aq) +2e - Mg(s), E(Mg 2+ /Mg) = V Fe 2+ (aq) + 2e - Fe(s), E(Fe 2+ /Fe) = V

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

SADRŽAJ PREDMETA PREDAVANJA ~ PRINCIPI HEMIJSKE RAVNOTEŽE ~ KISELINE, BAZE I SOLI RAVNOTEŽA U VODENIM RASTVORIMA ~ RAVNOTEŽA U HETEROGENIM SISTEMIMA

SADRŽAJ PREDMETA PREDAVANJA ~ PRINCIPI HEMIJSKE RAVNOTEŽE ~ KISELINE, BAZE I SOLI RAVNOTEŽA U VODENIM RASTVORIMA ~ RAVNOTEŽA U HETEROGENIM SISTEMIMA SADRŽAJ PREDMETA PREDAVANJA ~ PRINCIPI HEMIJSKE RAVNOTEŽE ~ KISELINE, BAZE I SOLI RAVNOTEŽA U VODENIM RASTVORIMA ~ RAVNOTEŽA U HETEROGENIM SISTEMIMA SLABO RASTVORLJIVA JEDINJENJA PROIZVOD RASTVORLJIVOSTI

Διαβάστε περισσότερα

IV RAČUNSKE VEŽBE RAVNOTEŽE U REDOKS SISTEMIMA

IV RAČUNSKE VEŽBE RAVNOTEŽE U REDOKS SISTEMIMA IV RAČUNSKE VEŽBE RAVNOTEŽE U REDOKS SISTEMIMA Redoks reakcije su reakcije razmene elektrona. U ovim reakcijama dolazi do promene oksidacionog broja supstanci koje učestvuju u procesu oksidacije i redukcije.

Διαβάστε περισσότερα

REAKCIJE OKSIDO-REDUKCIJE (REDOKS REAKCIJE)

REAKCIJE OKSIDO-REDUKCIJE (REDOKS REAKCIJE) REAKCIJE OKSIDO-REDUKCIJE (REDOKS REAKCIJE) OKSIDACIJA - REAKCIJE SA KISEONIKOM i NASTANAK OKSIDA... Najpoznatije takve reakcije jesu reakcije SAGOREVANJA! 2 Ca(s) + O 2 (g) 2 CaO(s) 2 H 2 (g) + O 2 (g)

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

-ELEKTROHEMIJA- OSNOVNI PRINCIPI REDOKS REAKCIJA

-ELEKTROHEMIJA- OSNOVNI PRINCIPI REDOKS REAKCIJA -ELEKTROHEMIJA- OSNOVNI PRINCIPI REDOKS REAKCIJA ŠTA SU TO REDOKS REAKCIJE? KAKVE SU REDOKS REAKCIJE? REDOKS PO ČEMU SE RAZLIKUJU U ODNOSU NA DRUGE REAKCIJE? Redoks je termin koji označava reakcije u kojima

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

U unutrašnja energija H entalpija S entropija G 298. G Gibsova energija TERMOHEMIJA I TERMODINAMIKA HEMIJSKA TERMODINAMIKA

U unutrašnja energija H entalpija S entropija G 298. G Gibsova energija TERMOHEMIJA I TERMODINAMIKA HEMIJSKA TERMODINAMIKA HEMIJSKA TERMODINAMIKA Bavi se energetskim promenama pri odigravanju hemijskih reakcija. TERMODINAMIČKE FUNKCIJE STANJA U unutrašnja energija H entalpija S entropija Ako su određene na standardnom pritisku

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

površina metala se naelektriše negativno u odnosu na rastvor. Metal je jače redukciono sredstvo a njegovi joni slabije oksidaciono sredstvo.

površina metala se naelektriše negativno u odnosu na rastvor. Metal je jače redukciono sredstvo a njegovi joni slabije oksidaciono sredstvo. ELEKTROHEMIJA II GRANIČNA OBLAST DODIRA ELEKTRODA-ELEKTROLIT Uranjanjem metala u vodeni rastvor njegovih jona nastaje REDOKS SISTEM: M s = M z+ aq + ze Pri rastvaranju, joni sa površine metala prelaze

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA. IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

Kiselo bazni indikatori

Kiselo bazni indikatori Kiselo bazni indikatori Slabe kiseline ili baze koje imaju različite boje nejonizovanog i jonizovanog oblika u rastvoru Primer: slaba kiselina HIn(aq) H + (aq) + In (aq) nejonizovani oblik jonizovani oblik

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Termohemija. C(s) + O 2 (g) CO 2 (g) H= -393,5 kj

Termohemija. C(s) + O 2 (g) CO 2 (g) H= -393,5 kj Termohemija Termodinamika proučava energiju i njene promene Termohemija grana termodinamike odnosi izmeñu hemijske reakcije i energetskih promena koje se pri tom dešavaju C(s) + O 2 (g) CO 2 (g) H= -393,5

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Električne struje. Električne struje. Električne struje. Električne struje

Električne struje. Električne struje. Električne struje. Električne struje Električna struja (AP47-5) Elektromotorna sila (AP5-53) Omov zakon za deo provodnika i otpor provodnika (AP53-6) Omov zakon za prosto električno kolo (AP6-63) Kirhofova pravila (AP63-66) Vezivanje otpornika

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTRIČNA STRUJA KROZ TEKUĆINE. Elektrolitička disocijacija. čista destilirana voda izolator, uz npr. NaCl bolja vodljivost

ELEKTRIČNA STRUJA KROZ TEKUĆINE. Elektrolitička disocijacija. čista destilirana voda izolator, uz npr. NaCl bolja vodljivost ELEKTRIČNA STRUJA KROZ TEKUĆINE Elektrolitička disocijacija čista destilirana voda izolator, uz npr. NaCl bolja vodljivost otopine kiselina, lužina ili soli = elektroliti pozitivni i negativni ioni povećavaju

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

Reverzibilni procesi

Reverzibilni procesi Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Pregled pojmova veličina i njihovih jedinica koje se koriste pri osnovnim izračunavanjima u hemiji dat je u Tabeli 1. Tabela 1. Veličine i njihove jedinice

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

RAD, SNAGA I ENERGIJA

RAD, SNAGA I ENERGIJA RAD, SNAGA I ENERGIJA SADRŢAJ 1. MEHANIĈKI RAD SILE 2. SNAGA 3. MEHANIĈKA ENERGIJA a) Kinetiĉka energija b) Potencijalna energija c) Ukupna energija d) Rad kao mera za promenu energije 4. ZAKON ODRŢANJA

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

HEMIJSKE RAVNOTEŽE. a = f = f c.

HEMIJSKE RAVNOTEŽE. a = f = f c. II RAČUNSKE VEŽBE HEMIJSKE RAVNOTEŽE TEORIJSKI DEO I POJAM AKTIVNOSTI JONA Razblaženi rastvori (do 0,1 mol/dm ) u kojima je interakcija između čestica rastvorene supstance zanemarljiva ponašaju se kao

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI HEMIJSKE TERMODINAMIKE I TERMOHEMIJA

OSNOVI HEMIJSKE TERMODINAMIKE I TERMOHEMIJA OSNOVI HEMIJSKE TERMODINAMIKE I TERMOHEMIJA OSNOVI HEMIJSKE TERMODINAMIKE Hemjska termodnamka proučava promene energje (toplotn efekat) pr odgravanju hemjskh reakcja. MATERIJA ENERGIJA? Energja je dskontnualna

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove. Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =

Διαβάστε περισσότερα

Kemijska ravnoteža. dr.sc. M. Cetina, doc. Tekstilno-tehnološki fakultet, Zavod za primijenjenu kemiju

Kemijska ravnoteža. dr.sc. M. Cetina, doc. Tekstilno-tehnološki fakultet, Zavod za primijenjenu kemiju Kemijska ravnoteža Svaka povratna ili reverzibilna reakcija može se općenito prikazati sljedećom jednadžbom: m A + n B o C + p D. v = k [A] m [B] n v = k [C] o [D] p U trenutku kada se brzine reakcije

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

UKUPAN BROJ OSVOJENIH BODOVA

UKUPAN BROJ OSVOJENIH BODOVA ŠIFRA DRŽAVNO TAKMIČENJE II razred UKUPAN BROJ OSVOJENIH BODOVA Test regledala/regledao...... Podgorica,... 008. godine 1. Izračunati steen disocijacije slabe kiseline, HA, ako je oznata analitička koncentracija

Διαβάστε περισσότερα

SREDNJA ŠKOLA HEMIJA

SREDNJA ŠKOLA HEMIJA SREDNJA ŠKOLA EMIJA Zadatak broj Bodovi 1. 8 2. 8 3. 6 4. 10 5. 10 6. 8 7. 6 8. 10 9. 8 10. 8 11. 10 12. 8 Ukupno 100 Za izradu testa planirano je 150 minuta. U toku izrade testa učenici mogu koristiti

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

A B C D. v v k k. k k

A B C D. v v k k. k k Brzina kemijske reakcije proporcionalna je aktivnim masama reagirajućih tvari!!! 1 A B C D v2 1 1 2 2 o C D m A B v m n o p v v k k m A B o C D p C a D n A a B A B C D 1 2 1 2 o m p n 1 2 n v v k k K a

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A

Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

= T 2. AgBr (s) + ½ Cl 2(g) + ½ Br 2(g) = AgCl (s) O (l) O (g) +1/2O 2(g) H 2(g) =H 2. značaj navođenja agregatnog stanja

= T 2. AgBr (s) + ½ Cl 2(g) + ½ Br 2(g) = AgCl (s) O (l) O (g) +1/2O 2(g) H 2(g) =H 2. značaj navođenja agregatnog stanja TERMOEMIJA Termohemija proučava toplotne promene koje prate hemijske reakcije, fazne prelaze (topljenje, isparavanje, sublimacija, polimorfne promene), rastvaranje supstance, razblaživanje rastvora itd.

Διαβάστε περισσότερα

Drugi zakon termodinamike

Drugi zakon termodinamike Drugi zakon termodinamike Uvod Drugi zakon termodinamike nije univerzalni prirodni zakon, ne važi za sve sisteme, naročito ne za neobične sisteme (mikrouslovi, svemirski uslovi). Zasnovan je na zajedničkom

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

MIKRO-NANO FLUIDIKA 8. UVOD U ELEKTROHEMIJU

MIKRO-NANO FLUIDIKA 8. UVOD U ELEKTROHEMIJU MIKRO-NANO FLUIDIKA Handout 4 2012/2013 8. UVOD U ELEKTROHEMIJU Elektrohemija je grana hemije koja proučava hemijske reakcije koje se dešavaju na granici izmeďu električnog provodnika (metalne, poluprovodničke

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 1. U kojim od spojeva ispod je iznos pada napona na otporniku R=100 Ω približno 0V?

Zadatak 1. U kojim od spojeva ispod je iznos pada napona na otporniku R=100 Ω približno 0V? Zadatak 1. U kojim od spojeva ispod je iznos pada napona na otporniku R=100 Ω približno 0V? a) b) c) d) e) Odgovor: a), c), d) Objašnjenje: [1] Ohmov zakon: U R =I R; ako je U R 0 (za neki realni, ne ekstremno

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

panagiotisathanasopoulos.gr

panagiotisathanasopoulos.gr . Παναγιώτης Αθανασόπουλος Χηµικός ιδάκτωρ Παν. Πατρών. Οξειδοαναγωγή Παναγιώτης Αθανασόπουλος Χημικός, Διδάκτωρ Πανεπιστημίου Πατρών 95 Χηµικός ιδάκτωρ Παν. Πατρών 96 Χηµικός ιδάκτωρ Παν. Πατρών. Τι ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design

Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design Supplemental Material for Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design By H. A. Murdoch and C.A. Schuh Miedema model RKM model ΔH mix ΔH seg ΔH

Διαβάστε περισσότερα