2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή

Transcript

1 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή Ο όρος Στατιστική εδεχομέως α προέρχεται από τη λατιική λέξη status (πολιτεία, κράτος) η οποία, χρησιμοποιήθηκε αρχικά για το χαρακτηρισμό αριθμητικώ δεδομέω που ααφέροται κυρίως στο πληθυσμό μιας χώρας. Μπορεί όμως α προέρχεται από τη αρχαία ελληική λέξη στατίζω (τοποθετώ, ταξιομώ, συμπεραίω). Με τη εμφάιση της Στατιστικής και στα πρώτα στάδια της αάπτυξής της οι άθρωποι τη ταύτισα με τη παράθεση τεράστιω πιάκω με δεδομέα σχετικά με τους θαάτους, τις γεήσεις, τους φόρους, τα προϊότα, τους άδρες σε στρατεύσιμη ηλικία κτλ., προσπαθώτας έτσι α περιγράψου διάφορα δημογραφικά, οικοομικά και πολιτικά φαιόμεα. Η αρχαιότερη ίσως συλλογή στατιστικώ στοιχείω θεωρείται η απογραφή πληθυσμού που έγιε το π.χ. στη Κία από το αυτοκράτορα Yao. Επίσης, στοιχειώδεις απογραφές φαίεται α έχου πραγματοποιηθεί από τους Σίες, τους Αιγυπτίους και τους Πέρσες. Ο όρος Στατιστική ααφέρεται επίσης και από το Σωκράτη (Ξεοφώτος Απομημοεύματα ) και από το Αριστοτέλη ( Πολιτεία ). Όπως γωρίζουμε απογραφή πληθυσμού είχε επίσης διαταχθεί και από το καίσαρα Αύγουστο στη περίοδο της γέησης του Χριστού. Στη αρχαιότητα, η συγκέτρωση στατιστικώ στοιχείω είχε στόχο το ετοπισμό τω πολιτώ που είχα υποχρέωση α υπηρετήσου ως πολεμιστές ή α πληρώσου φόρο. Συστηματική συλλογή δεδομέω για το πληθυσμό και τη οικοομία άρχισε κατά τη διάρκεια της Ααγέησης στις πόλεις Βεετία και Φλωρετία στη Ιταλία, και γρήγορα επεκτάθηκε και σε άλλες χώρες της Δυτικής Ευρώπης. Ο μεγάλος ρυθμός θησιμότητας στη Ευρώπη οφειλότα στις επιδημικές ασθέειες, στους πολέμους και στις λιμοκτοίες. Στις αρχικές καταγραφές τω θαάτω από τη παώλη, τη φοβερή ασθέεια που εμφαίστηκε το και κράτησε πάω από χρόια, προστέθηκα στη συέχεια και οι θάατοι από άλλες αιτίες. Στα ο Άγγλος εμπορευόμεος Graunt από δειγματοληπτική έρευα που έκαε σε οικογέειες του Λοδίου βρήκε ότι σε κάθε άτομα υπήρχα θάατοι. Χρησιμοποιώτας τους καταλόγους του Λοδίου, που έδια. θαάτους το, εκτίμησε το πληθυσμό του Λοδίου το έτος αυτό στα 7. άτομα.

2 Μια πραγματικά σπουδαία στατιστική απογραφή στη εποχή του Γουλιέλμου του Κατακτητή, στο τέλος του ου αιώα, ααφέρεται σε διάφορες μοάδες παραγωγής της Αγγλίας όπως μεταλλεία, ιχθυοτροφεία κ.ά. Από το ο έως το 9ο αιώα, η ραγδαία αάπτυξη του εμπορίου ώθησε τις πολιτειακές αρχές στη μελέτη οικοομικώ δεδομέω, όπως είαι το εξαγωγικό εμπόριο, το πλήθος και η δυαμικότητα τω βιομηχαιώ κτλ. Εώ παλαιότερα η Στατιστική ασχολείτο μόο με τη παράθεση τεράστιω πιάκω με δεδομέα και ααρίθμητω διαγραμμάτω, σήμερα μπορούμε α διακρίουμε σε μια στατιστική έρευα τρία στάδια: Τη συλλογή του στατιστικού υλικού, τη επεξεργασία και παρουσίασή του και τέλος τη αάλυση αυτού του υλικού και τη εξαγωγή χρήσιμω συμπερασμάτω. Τα τρία αυτά στάδια επιτυγχάοται με τη εφαρμογή καταλλήλω για κάθε περίπτωση στατιστικώ μεθόδω, όπως και με τη βοήθεια τω Υπολογιστώ, οι οποίοι σημείωσα τεράστια αάπτυξη στις μέρες μας. Συμπερασματικά λοιπό μπορούμε α δώσουμε ως ορισμό της Στατιστικής το συηθέστερο και πλέο γωστό ορισμό του R.A. Fsher (9-9), πατέρα της σύγχροης Στατιστικής: Στατιστική είαι έα σύολο αρχώ και μεθοδολογιώ για: το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομέω τη συοπτική και αποτελεσματική παρουσίασή τους τη αάλυση και εξαγωγή ατίστοιχω συμπερασμάτω. Ο κλάδος της Στατιστικής που ασχολείται με το πρώτο στόχο λέγεται σχεδιασμός πειραμάτω (expermental desgn) εώ, με το δεύτερο ασχολείται η περιγραφική στατιστική (descrpte statstcs), που αποτελεί και το ατικείμεο μελέτης μας στη συέχεια. Τέλος, η επαγωγική στατιστική ή στατιστική συμπερασματολογία (nferental statstcs) περιλαμβάει τις μεθόδους με τις οποίες γίεται η προσέγγιση τω χαρακτηριστικώ εός μεγάλου συόλου δεδομέω, με τη μελέτη τω χαρακτηριστικώ εός μικρού υποσυόλου τω δεδομέω. Έτσι α, για παράδειγμα, ο Διευθυτής εός σχολείου εξετάζοτας έα δείγμα απουσιώ τω μαθητώ από το σύολο τω απουσιώ εός τριμήου ααφέρει στο σύλλογο τω καθηγητώ ότι από τις απουσίες είαι αδικαιολόγητες, τότε απλώς περιγράφει αυτό που παρατήρησε. Α όμως ααφέρει ότι το % τω απουσιώ είαι αδικαιολόγητες, τότε συμπεραίει ότι το ποσοστό τω απουσιώ όλω τω μαθητώ του σχολείου είαι (περίπου) το ίδιο με αυτό του δείγματος. Προβαίει δηλαδή σε μια επαγωγή από το δείγμα στο πληθυσμό. Η Στατιστική σήμερα χρησιμοποιείται ευρύτατα σε όλους σχεδό τους τομείς της αθρώπιης δραστηριότητας. Βασικές έοιες της Στατιστικής έχου εισχωρήσει και εσωματωθεί σε όλες τις επιστήμες. Από τις Αθρωπιστικές, Νομικές και Κοιωικές Επιστήμες (Αρχαιολογία, Λαογραφία, Κοιωιολογία,

3 Δημογραφία, ), τις Φυσικές Επιστήμες (Φυσική, Χημεία, Αστροομία, ), τις Επιστήμες Υγείας (Ιατρική, Φαρμακευτική, Βιολογία, ), τις Τεχολογικές Επιστήμες (Μηχαολογία, Τοπογραφία, Ναυπηγική, ) μέχρι τις Επιστήμες Οικοομίας και Διοίκησης (Οικοομικά, Χρηματιστηριακά, Διαφήμηση, Marketng, ), βλέπουμε α υπεισέρχεται η Στατιστική είτε με τη αρχική περιγραφική μορφή της είτε με τις προηγμέες ααλυτικές τεχικές της. Η αάλυση στατιστικώ ερευώ είαι το κυριότερο εργαλείο έρευας σε έα μεγάλο φάσμα εφαρμογώ τω παραπάω επιστημώ. Οι έρευες τω αθρώπιω πληθυσμώ (συχά ααφερόμεες και ως δημοσκοπήσεις) αποτελού σπουδαίες πηγές βασικής γώσης τω κοιωικώ επιστημώ. Οικοομολόγοι, ψυχολόγοι, κοιωιολόγοι και πολιτικοί επιστήμοες μελετού ποικίλα θέματα όπως πρότυπα εσόδω-εξόδω τω οικογεειώ και τω επιχειρήσεω, τη επίδραση της επαγγελματικής απασχόλησης τω γυαικώ στη οικογεειακή ζωή, τις συγκοιωιακές και ταξιδιωτικές συήθειες τω κατοίκω μιας πόλης, τις προτιμήσεις τω ψηφοφόρω για τους υποψηφίους και τις θέσεις τους. Πολλά προβλήματα που ατιμετωπίζου σήμερα οι επιχειρήσεις αφορού τη διατήρηση, ατικατάσταση ή το κρίσιμο σημείο ατοχής συσκευώ ή προσωπικού. Ο διευθυτής μιας βιομηχαίας πρέπει α είαι σε θέση α καταοεί στατιστικές έρευες που αφορού τη ποιότητα του προϊότος και τη αποδοτικότητα της παραγωγικής διαδικασίας. Πρέπει επίσης α ατιλαμβάεται τη αποτελεσματικότητα της διαφήμισης και τις προτιμήσεις του κατααλωτή σε μια έρευα αγοράς. Συμβουλευόμεος και το στατιστικό μπορεί α πάρει σωστές αποφάσεις ααφορικά με τη επέκταση ή μη της επιχείρησης. Σήμερα κάθε γιατρός πρέπει α έχει βασικές γώσεις Στατιστικής που θα το βοηθήσου τόσο στη έρευα όσο και στη καθημεριή άσκηση του κάθε μορφής και είδους ιατρικού ή βιοϊατρικού, γεικότερα, επαγγέλματος. Η Εθική Στατιστική Υπηρεσία κάθε χώρας διεεργεί σε τακτά χροικά διαστήματα δειγματοληπτικές έρευες, για α πάρει πληροφορίες για το πληθωρισμό, τη απασχόληση και τη αεργία στη χώρα. Αάλογα με τα αποτελέσματα διαμορφώεται και η κυβερητική πολιτική στα θέματα αυτά. Πέρα από όλα αυτά, διαπιστώουμε ολοέα και περισσότερο α γίεται χρήση μεθόδω της Στατιστικής για τη υποστήριξη διάφορω θέσεω. Ακόμα και σε τηλεοπτικές ατιπαραθέσεις (κυρίως σε προεκλογικές περιόδους) βλέπουμε τους συομιλητές α κάου χρήση αριθμώ, στατιστικώ στοιχείω, γραφημάτω και διαγραμμάτω, για α δώσου εγκυρότητα στις απόψεις τους και α πείσου για τα λεγόμεά τους. Παραπάω έχου ααφερθεί ελάχιστα από τα πεδία εφαρμογώ της Στατιστικής. Προφαώς μια λεπτομερής περιγραφή όλω τω εφαρμογώ δε είαι δυατή. Η μελέτη όμως και η γώση της Στατιστικής βοηθά όχι μόο στη σωστή χρήση τω γωστώ μεθόδω αλλά και στη αάπτυξη έω τεχικώ για τη αποτελεσματικότερη εξαγωγή χρήσιμω συμπερασμάτω.. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 7

4 Πληθυσμός - Μεταβλητές Όπως ααφέρθηκε και προηγουμέως, αυτό που μας εδιαφέρει είαι α εξετάσουμε τα στοιχεία εός συόλου ως προς έα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους. Αυτό συμβαίει, για παράδειγμα, ότα εδιαφερόμαστε για: α) τις προτιμήσεις τω ψηφοφόρω ε όψει τω προσεχώ εκλογώ β) το αριθμό τω υπαλλήλω μιας επιχείρησης γ) το ύψος, το βάρος, τη ομάδα αίματος και το φύλο τω μαθητώ της Γ τάξης Λυκείου δ) τις συέπειες του καπίσματος στη υγεία τω καπιστώ κτλ. Σε καθέα από τα παραδείγματα αυτά έχουμε έα σύολο και θέλουμε α εξετάσουμε τα στοιχεία του ως προς έα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους. Έα τέτοιο σύολο λέγεται πληθυσμός (populaton). Τα στοιχεία του πληθυσμού συχά ααφέροται και ως μοάδες ή άτομα του πληθυσμού. Στο πρώτο παράδειγμα έχουμε το σύολο τω ψηφοφόρω και μας εδιαφέρει η προτίμησή τους, ποιο κόμμα π.χ. υποστηρίζου. Στο τρίτο παράδειγμα έχουμε το σύολο τω μαθητώ της Γ Λυκείου και μας εδιαφέρου τα τέσσερα χαρακτηριστικά τους: ύψος, βάρος, ομάδα αίματος και φύλο. Τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έα πληθυσμό λέγοται μεταβλητές (arables) και τις συμβολίζουμε συήθως με τα κεφαλαία γράμματα X, Y, Z, B,... Οι δυατές τιμές που μπορεί α πάρει μια μεταβλητή λέγοται τιμές της μεταβλητής. Από τη διαδοχική εξέταση τω ατόμω του πληθυσμού ως προς έα χαρακτηριστικό τους προκύπτει μια σειρά από δεδομέα, που λέγοται στατιστικά δεδομέα ή παρατηρήσεις. Τα στατιστικά δεδομέα δε είαι κατ αάγκη διαφορετικά. Για παράδειγμα, α εξετάζουμε τη ομάδα αίματος δέκα ατόμω, τα στατιστικά δεδομέα ή παρατηρήσεις που θα προκύψου μπορεί α είαι: Α, Α, Β, Α, ΑΒ, Ο, ΑΒ, ΑΒ, ΑΒ, Ο, Β. Οι δυατές όμως τιμές που μπορεί α πάρει η μεταβλητή ομάδα αίματος είαι οι εξής τέσσερις: Α, Β, ΑΒ και Ο. Τις μεταβλητές τις διακρίουμε:. Σε ποιοτικές ή κατηγορικές μεταβλητές, τω οποίω οι τιμές τους δε είαι αριθμοί. Τέτοιες είαι, για παράδειγμα, η ομάδα αίματος (με τιμές Α, Β, ΑΒ, Ο), το φύλο (με τιμές αγόρι, κορίτσι), οι συέπειες του καπίσματος (με τιμές καρδιακά οσήματα, καρκίος κτλ), όπως επίσης και η οικοομική κατάσταση και η υγεία τω αθρώπω (που μπορεί α χαρακτηριστεί ως κακή, μέτρια, καλή ή πολύ καλή), καθώς και το εδιαφέρο τω μαθητώ για τη Στατιστική, που μπορεί α χαρακτηριστεί ως υψηλό, μέτριο, χαμηλό ή μηδαμιό.

5 9. Σε ποσοτικές μεταβλητές, τω οποίω οι τιμές είαι αριθμοί και διακρίοται: ) Σε διακριτές μεταβλητές, που παίρου μόο μεμοωμέες τιμές. Τέτοιες μεταβλητές είαι, για παράδειγμα, ο αριθμός τω υπαλλήλω μιας επιχείρησης (με τιμές,, ), το αποτέλεσμα της ρίψης εός ζαριού (με τιμές,,,) κτλ. ) Σε συεχείς μεταβλητές, που μπορού α πάρου αποιαδήποτε τιμή εός διαστήματος πραγματικώ αριθμώ ( α, β). Τέτοιες μεταβλητές είαι το ύψος και το βάρος τω μαθητώ της Γ Λυκείου, ο χρόος που χρειάζοται οι μαθητές α απατήσου στα θέματα μιας εξέτασης, η διάρκεια μιας τηλεφωικής συδιάλεξης κτλ. Συλλογή Στατιστικώ Δεδομέω Έας τρόπος για α πάρουμε τις απαραίτητες πληροφορίες που χρειαζόμαστε για κάποιο πληθυσμό είαι α εξετάσουμε όλα τα άτομα (στοιχεία) του πληθυσμού ως προς το χαρακτηριστικό που μας εδιαφέρει. Η μέθοδος αυτή συλλογής τω δεδομέω καλείται απογραφή (census). Για παράδειγμα, η Στατιστική Υπηρεσία της χώρας μας (ΕΣΥΕ) κάει κάθε χρόια απογραφή του πληθυσμού, η οποία αποτελεί κύρια πηγή δεδομέω δημογραφικού, οικοομικού, εμπορικού και βιομηχαικού χαρακτήρα. Η τελευταία απογραφή έγιε το 99. Σε πολλές όμως περιπτώσεις η εξέταση όλω τω μοάδω του πληθυσμού είαι δύσκολη ή ακόμα και αδύατη. Έας υποψήφιος βουλευτής, για παράδειγμα, πρι από τις εκλογές είαι δύσκολο α εξετάσει όλους τους ψηφοφόρους, για α προσδιορίσει τι ατίληψη έχου για τις θέσεις του. Επίσης ο κόπος, ο χρόος και τα έξοδα που χρειάζοται για τη διεξαγωγή μιας απογραφής είαι πολλές φορές αρκετά μεγάλα, ιδίως ότα ο πληθυσμός που εξετάζεται είαι αρκετά μεγάλος. Εξάλλου έας κατασκευαστής εκρηκτικώ μηχαισμώ ή ηλεκτρικώ λυχιώ είαι αδύατο α δοκιμάζει όλους τους παραγόμεους μηχαισμούς, για α ελέγχει τη αποτελεσματικότητά τους, ή όλες τις παραγόμεες λυχίες για α ελέγχει το χρόο ζωής τους. Ομοίως ο γιατρός για α υπολογίσει τη αποτελεσματικότητα εός έου φαρμάκου στη καταπολέμηση μιας ασθέειας είαι αδύατο α περιμέει α δοκιμαστεί το φάρμακο σε όλα τα άτομα που πάσχου από τη συγκεκριμέη ασθέεια. Όπου λοιπό η απογραφή είαι δύσκολη, αδύατη ή οικοομικά και χροικά ασύμφορη, ο ερευητής μαζεύει πληροφορίες από κάποια μικρή ομάδα ή υποσύολο του πληθυσμού, το οποίο καλείται δείγμα. Κάει τις παρατηρήσεις

6 του στο δείγμα αυτό και μετά γεικεύει τα συμπεράσματά του για ολόκληρο το πληθυσμό. Τα συμπεράσματα όμως που θα προκύψου από τη μελέτη του δείγματος θα είαι αξιόπιστα, θα ισχύου δηλαδή με ικαοποιητική ακρίβεια για ολόκληρο το πληθυσμό, α η επιλογή του δείγματος γίει με σωστό τρόπο, ώστε το δείγμα α είαι, όπως λέμε, ατιπροσωπευτικό του πληθυσμού. Στη πράξη, έα δείγμα θεωρείται ατιπροσωπευτικό εός πληθυσμού, εά έχει επιλεγεί κατά τέτοιο τρόπο, ώστε κάθε μοάδα του πληθυσμού α έχει τη ίδια δυατότητα α επιλεγεί. Η επιλογή του ατιπροσωπευτικού δείγματος είαι εκ τω ω ουκ άευ. Αποτελεί πολύ σοβαρή και δύσκολη διαδικασία. Ο κακός σχεδιασμός και η εκτέλεση της στατιστικής έρευας, η μη ατιπροσωπευτικότητα του δείγματος, ο μη σωστός καθορισμός του μεγέθους του δείγματος αποτελού μερικά βασικά μειοεκτήματα στη διαδικασία επιλογής εός δείγματος. Από τη άλλη πλευρά, στις απογραφές απαιτείται συήθως μεγάλος αριθμός απογραφέω. Παρουσιάζεται έτσι η αάγκη πρόσληψης και εκπαίδευσης μεγάλου αριθμού υπαλλήλω. Λόγω του μεγάλου χρόου και κυρίως τω σηματικώ εξόδω που απαιτούται, πολλές φορές χρησιμοποιούται αεπαρκώς εκπαιδευμέοι απογραφείς με κίδυο α σημειώοται λάθη οφειλόμεα σ αυτούς. Για παράδειγμα, εκτιμάται ότι η επόμεη απογραφή του θα κοστίσει στο κρατικό προϋπολογισμό περίπου δις δραχμές. Αξίζει α σημειωθεί ότι μία προσεκτική επιλογή μικρότερου δείγματος είαι δυατό α δώσει καλύτερα αποτελέσματα από έα μεγαλύτερο δείγμα που δε έχει εκλεγεί κατάλληλα. Εδεικτικό είαι το παράδειγμα τω προεδρικώ εκλογώ τω ΗΠΑ το 9. Το περιοδικό Lterary Dgest χρησιμοποιώτας δείγμα.. ατόμω πρόβλεψε ίκη του Landon με ποσοστό 7%. Ατίθετα, το δημοσκοπικό γραφείο του G. Gallup χρησιμοποιώτας δείγμα. ατόμω πρόβλεψε το σωστό αποτέλεσμα που ήτα ίκη του Rooselt με ποσοστό %! Η παταγώδης αποτυχία της δημοσκόπησης του περιοδικού οφειλότα στο γεγοός ότι το δείγμα που επελέγη δε ήτα ατιπροσωπευτικό του πληθυσμού. Οι αρχές και οι μέθοδοι για τη συλλογή και αάλυση δεδομέω από πεπερασμέους πληθυσμούς είαι το ατικείμεο της Δειγματοληψίας (Samplng), που αποτελεί τη βάση της Στατιστικής. Γεικά, μπορούμε α πούμε ότι η οργάωση της συλλογής και επεξεργασίας τω σχετικώ δεδομέω και πληροφοριώ γίεται κατά τρόπο που για δεδομέη ακρίβεια α επιτυγχάεται το χαμηλότερο δυατό κόστος ή, ατιστρόφως, α εξασφαλίζεται η μέγιστη δυατή ακρίβεια τη οποία επιτρέπου τα μέσα που διαθέτουμε. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

7 . Ποιες από τις παρακάτω μεταβλητές είαι ποιοτικές και ποιες ποσοτικές; Από τις ποσοτικές ποιες είαι διακριτές και ποιες συεχείς; α) Βάρος στ) Τόπος καταγωγής β) Αριθμός τροχαίω ατυχημάτω ζ) Επάγγελμα γ) Φύλο η) Αριθμός παιδιώ στη οικογέεια δ) Οικογεειακή κατάσταση θ) Βαθμολογία στο σκάκι ε) Στάθμη της λίμης του Μαραθώα ι) Νούμερο γυαικείω παπουτσιώ.. Στις παρακάτω περιπτώσεις ποιες μπορεί α είαι οι μεταβλητές που μας εδιαφέρου; Να γίει η διάκρισή τους σε ποιοτικές ή ποσοτικές και α ααφερθού μερικές δυατές τιμές τους: α) Εξετάζουμε έα δείγμα υπαλλήλω μιας εταιρείας β) Εξετάζουμε έα δείγμα προϊότω από μια παραγωγή. γ) Εξετάζουμε έα δείγμα τηλεθεατώ. δ) Εξετάζουμε το χρόο συμμετοχής και το αριθμό πότω που επιτυγχάου οι καλαθοσφαιριστές μιας ομάδας σε έα αγώα.. Για α βρούμε ποιες εκπομπές στη τηλεόραση έχου τη μεγαλύτερη ακροαματικότητα αποφασίσαμε α πάρουμε δείγμα τηλεθεατώ. Ποιος είαι, κατά τη γώμη σας, ο καλύτερος από τους παρακάτω τρόπους, για α πάρουμε το δείγμα; Είαι καλύτερο α πάρουμε: α) μόο άδρες, β) μόο γυαίκες, γ) άτομα από τις μεγάλες πόλεις δ) άτομα μόο από τη επαρχία, ε) άτομα από διάφορες περιοχές.. Τι έχετε α παρατηρήσετε για τα παρακάτω επιλεγόμεα δείγματα; α) Για α βρούμε τα ποσοστά τω αδρώ και τω γυαικώ στη Ελλάδα, πηγαίουμε σε μια μεγάλη στρατιωτική μοάδα και ρωτάμε όλους τους στρατιώτες, πόσοι άδρες και πόσες γυαίκες υπάρχου στη οικογέειά τους. β) Κάποιος θέλει α σχηματίσει μια ιδέα για το αποτέλεσμα τω επερχόμεω βουλευτικώ εκλογώ. Τηλεφωεί λοιπό σε συγγεείς και φίλους του και τους ρωτάει σχετικά. γ) Για α εκτιμήσουμε το κατά κεφαλή εισόδημα τω Ελλήω παίρουμε έα δείγμα από το Κολωάκι τω Αθηώ. δ) Για α δούμε πώς διασκεδάζου οι έοι της χώρας μας επιλέγουμε κάποιους μαθητές από διάφορα Λύκεια της Αττικής. ε) Ο διευθυτής εός Λυκείου αποφάσισε α καταγράψει τους λόγους της απουσίας τω μαθητώ από το Λύκειο κατά τη διάρκεια της ακαδημαϊκής χροιάς. Γι αυτό το λόγο πήρε ως δείγμα όσους απουσίασα το Νοέμβριο.. ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

8 Στατιστικοί Πίακες Μετά τη συλλογή τω στατιστικώ δεδομέω είαι ααγκαία η κατασκευή συοπτικώ πιάκω ή γραφικώ παραστάσεω, ώστε α είαι εύκολη η καταόησή τους και η εξαγωγή σωστώ συμπερασμάτω. Η παρουσίαση τω στατιστικώ δεδομέω σε πίακες γίεται με τη κατάλληλη τοποθέτηση τω πληροφοριώ σε γραμμές και στήλες, με τρόπο που α διευκολύεται η σύγκριση τω στοιχείω και η καλύτερη εημέρωση του ααγώστη σχετικά με τη δομή του πληθυσμού που ερευάμε. Οι πίακες διακρίοται στους: α) γεικούς πίακες, οι οποίοι περιέχου όλες τις πληροφορίες που προκύπτου από μία στατιστική έρευα (συήθως με αρκετά λεπτομερειακά στοιχεία) και αποτελού πηγές στατιστικώ πληροφοριώ στη διάθεση τω επιστημόω-ερευητώ για παραπέρα αάλυση και εξαγωγή συμπερασμάτω, β) ειδικούς πίακες, οι οποίοι είαι συοπτικοί και σαφείς. Τα στοιχεία τους συήθως έχου ληφθεί από τους γεικούς πίακες. Κάθε πίακας που έχει κατασκευαστεί σωστά πρέπει α περιέχει: α) το τίτλο, που γράφεται στο επάω μέρος του πίακα και δηλώει με σαφήεια και συοπτικά το περιεχόμεο του πίακα, β) τις επικεφαλίδες τω γραμμώ και στηλώ, που δείχου συοπτικά τη φύση και τις μοάδες μέτρησης τω δεδομέω, γ) το κύριο σώμα (κορμό), που περιέχει διαχωρισμέα μέσα στις γραμμές και στις στήλες τα στατιστικά δεδομέα, δ) τη πηγή, που γράφεται στο κάτω μέρος του πίακα και δείχει τη προέλευση τω στατιστικώ στοιχείω, έτσι ώστε ο ααγώστης α αατρέχει σ αυτή, ότα επιθυμεί, για επαλήθευση στοιχείω ή για λήψη περισσότερω πληροφοριώ. Παρακάτω δίοται μερικοί στατιστικοί πίακες, που διευκριίζου τη εφαρμογή τω προηγούμεω εοιώ. Πίακας Πληθυσμός της Ελλάδος (σε εκατομμύρια) κατά μεγάλες ομάδες ηλικιώ Ηλικία (σε έτη) Απογραφή 97 Απογραφή 9 Απογραφή 99 Εκτίμηση 99 Εκτίμηση ,,,9,,9,,97,,,,99,, 7,, Πηγή: ΕΣΥΕ, 99 Πίακας Επιφάεια και πληθυσμός τω κατοικημέω ησιώ της Ελλάδας με πληθυσμό, κατά τη απογραφή του 99, άω τω. κατοίκω.

9 Κατοικημέες Επιφάεια Πληθυσμός κατά τις απογραφές ήσοι σε τ.χμ Κρήτη Εύβοια Λέσβος Ρόδος Χίος Κεφαλληία Κέρκυρα Σάμος Λήμος Ζάκυθος Νάξος Θάσος Λευκάδα Κως Κάλυμος Σαλαμία Σύρος Αίγια.,.,7.,99.,9,79 7,, 77,9 7,, 9,,7, 7,, 9,,9 77, Πηγή: ΕΣΥΕ, Απογραφή 99 Πίακας Εργατικά ατυχήματα κατά ομάδες ηλικιώ Έτη 99-9 Ηλικία Κάτω τω Σύολο 7 99 Πηγή: ΙΚΑ, Ελληικό Ιστιτούτο Υγιειής και Ασφάλειας τηςεργασίας Πίακας Χαρακτηριστικά μαθητώ Γ τάξης εός Λυκείου. Βαθμός Ύψος Ύψος

10 α.α Φύλο Ασχολία * Αριθμός αδελφώ μαθηματικώ Β λυκείου Ύψος (cm) Βάρος πατέρα (Kg) (cm) μητέρας (cm) K 7 7 A 7 K 7 K 7 K 7 K 7 K 7 9 A A 7 7 K 7 7 K 7 A 7 K A A K A A K A K 7 K 7 7 A 7 7 K 7 K A K 7 7 A 7 9 A A 9 7 A 7 7 K K 7 79 K 9 7 A A 7 7 A 9 7 K K 7 7 K 7 *: Υπολογιστές, :Αθλητισμός, :Διασκέδαση - Ντίσκο, :Μουσική, :Τηλεόραση -Κιηματογράφος, :Διάβασμα εξωσχολικώ βιβλίω, 7:Άλλο Πηγή: Δειγματοληπτική έρευα μεταξύ μαθητώ ου Λυκείου Αμαρουσίου (Σεπτ. 9). Πίακες Καταομής Συχοτήτω

11 Ας υποθέσουμε ότι x,...,, x xκ είαι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα εός δείγματος μεγέθους, κ. Στη τιμή x ατιστοιχίζεται η (απόλυτη) συχότητα (frequency), δηλαδή ο φυσικός αριθμός που δείχει πόσες φορές εμφαίζεται η τιμή x της εξεταζόμεης μεταβλητής Χ στο σύολο τω παρατηρήσεω. Είαι φαερό ότι το άθροισμα όλω τω συχοτήτω είαι ίσο με το μέγεθος του δείγματος, δηλαδή:... κ () Για παράδειγμα, για τη μεταβλητή Χ: αριθμός αδελφώ του πίακα οι συχότητες για τις τιμές x, x, x, x είαι, ατίστοιχα,,, 7, με. Ο υπολογισμός τω συχοτήτω γίεται με τη διαλογή τω παρατηρήσεω, όπως φαίεται στο παρακάτω πίακα. Διατρέχοτας με τη σειρά τη λίστα τω δεδομέω καταγράφουμε κάθε παρατήρηση με συμβολικό τρόπο σα μια γραμμή στη ατίστοιχη τιμή της μεταβλητής. Πίακας Καταομή συχοτήτω της μεταβλητής Χ: αριθμός αδελφώ τω μαθητώ του πίακα. Αριθμός αδελφώ x Διαλογή Συχότητα 7 Σχετική Συχότητα f,,,7,7 Σχετική Συχότητα f %,, 7, 7, Σύολο:,, Α διαιρέσουμε τη συχότητα με το μέγεθος του δείγματος, προκύπτει η σχετική συχότητα (relate frequency) f της τιμής x, δηλαδή f,,,..., κ. () Για τη σχετική συχότητα ισχύου οι ιδιότητες: () f για,,..., κ αφού. () f f... f, αφού κ κ... κ f f... f κ.... Συήθως, τις σχετικές συχότητες f τις εκφράζουμε επί τοις εκατό, οπότε

12 συμβολίζοται με f %, δηλαδή f % f. Για παράδειγμα, οι σχετικές συχότητες για τις τιμές x, x, x, x της μεταβλητής Χ: αριθμός αδελφώ είαι ατιστοίχως: 7 f,, f,, f, 7 και f, 7 με f f f f,,,7,7. f %, % % % % f % f % f % % Συεπώς % f. f, f 7,% και f % 7,% με Οι ποσότητες x,, f για έα δείγμα συγκετρώοται σε έα συοπτικό πίακα, που οομάζεται πίακας καταομής συχοτήτω ή απλά πίακας συχοτήτω. Για μια μεταβλητή, το σύολο τω ζευγώ x, ) λέμε ότι αποτελεί τη ( καταομή συχοτήτω και το σύολο τω ζευγώ x, f ), ή τω ζευγώ ( ( x, f %), τη καταομή τω σχετικώ συχοτήτω. Στο πίακα παρουσιάζοται οι καταομές συχοτήτω και σχετικώ συχοτήτω της μεταβλητής Χ: αριθμός αδελφώ τω μαθητώ του πίακα. Αθροιστικές Συχότητες Στη περίπτωση τω ποσοτικώ μεταβλητώ εκτός από τις συχότητες και f χρησιμοποιούται συήθως και οι λεγόμεες αθροιστικές συχότητες (cumulate frequences) N και οι αθροιστικές σχετικές συχότητες (cumulate relate frequences) F, οι οποίες εκφράζου το πλήθος και το ποσοστό ατίστοιχα τω παρατηρήσεω που είαι μικρότερες ή ίσες της τιμής x. Συχά οι F πολλαπλασιάζοται επί εκφραζόμεες έτσι επί τοις εκατό, δηλαδή F % F, βλέπε πίακα. Α οι τιμές x, x,..., xκ μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ είαι σε αύξουσα διάταξη, τότε η αθροιστική συχότητα της τιμής x είαι N.... Όμοια, η αθροιστική σχετική συχότητα είαι F f f... f, για,,..., κ. Για παράδειγμα, για τη μεταβλητή Χ: αριθμός αδελφώ του πίακα είαι N, N, N 7 και N, οπότε F f,, F f f, 7, F f f f, 9 και F f f f f, οπότε F % %, F % 7%, F % 9,% και F % %. Είαι φαερό ότι ισχύου οι σχέσεις: N, N N,..., κ N κ N κ

13 7 και f F, f F F,..., f κ Fκ Fκ. Πίακας Καταομή συχοτήτω και αθροιστικώ συχοτήτω της μεταβλητής αριθμός αδελφώ τω μαθητώ του πίακα. Αριθμός αδελφώ Συχότητα Σχετ. Συχ. Σχετ. Συχ. Αθροισ. Συχ. Αθροιστική Σχετ. Συχ. Αθροιστική Σχετ. Συχ. x f f % N F F % 7,,,7,7,, 7, 7, 7,,7,9,, 7, 9,, Σύολο:,, Γραφική Παράσταση Καταομής Συχοτήτω Τα στατιστικά δεδομέα παρουσιάζοται πολλές φορές και υπό μορφή γραφικώ παραστάσεω ή διαγραμμάτω. Οι γραφικές παραστάσεις παρέχου πιο σαφή εικόα του χαρακτηριστικού σε σχέση με τους πίακες, είαι πολύ πιο εδιαφέρουσες και ελκυστικές, χωρίς βέβαια α προσφέρου περισσότερη πληροφορία από εκείη που περιέχεται στους ατίστοιχους πίακες συχοτήτω. Επί πλέο με τα διαγράμματα διευκολύεται η σύγκριση μεταξύ ομοειδώ στοιχείω για το ίδιο ή για διαφορετικά χαρακτηριστικά. Υπάρχου διάφοροι τρόποι γραφικής παρουσίασης, αάλογα με το είδος τω δεδομέω που έχουμε. Όπως όμως οι στατιστικοί πίακες έτσι και τα στατιστικά διαγράμματα πρέπει α συοδεύοται από α) το τίτλο, β) τη κλίμακα με τις τιμές τω μεγεθώ που απεικοίζοται, γ) το υπόμημα που επεξηγεί συήθως τις τιμές της μεταβλητής και δ) τη πηγή τω δεδομέω. α) Ραβδόγραμμα Το ραβδόγραμμα (barchart) χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση τω τιμώ μιας ποιοτικής μεταβλητής. Το ραβδόγραμμα αποτελείται από ορθογώιες στήλες που οι βάσεις τους βρίσκοται πάω στο οριζότιο ή το κατακόρυφο άξοα. Σε κάθε τιμή της μεταβλητής Χ ατιστοιχεί μια ορθογώια στήλη της οποίας το ύψος είαι ίσο με τη ατίστοιχη συχότητα ή σχετική συχότητα. Έτσι έχουμε ατίστοιχα το ραβδόγραμμα συχοτήτω και το ραβδόγραμμα σχετικώ συχοτήτω. Τόσο η απόσταση μεταξύ τω στηλώ όσο και το μήκος τω βάσεώ τους καθορίζοται αυθαίρετα. Στο πίακα 7 έχουμε τη καταομή συχοτήτω της μεταβλητής Χ: απασχόληση στο

14 ελεύθερο χρόο και στα σχήματα (α), (β) τα ατίστοιχα ραβδογράμματα συχοτήτω και σχετικώ συχοτήτω. Πίακας 7 Καταομή συχοτήτω για τη απασχόληση στο ελεύθερο χρόο τους τω μαθητώ του πίακα. Απασχόληση Συχότητα Σχετική συχότητα Σχετική συχότητα x f f % 7 Υπολογιστές Αθλητισμός Διασκέδαση-τίσκο Μουσική Τηλεόραση-Κιηματογράφος. Διάβασμα εξωσχ. Βιβλίω Άλλο 9,7,,,7,,7, 7,,, 7,, 7,, Σύολο:,, Μερικές φορές σε έα ραβδόγραμμα συχοτήτω ο ρόλος τω δύο αξόω είαι δυατό α ατιστραφεί, όπως φαίεται στο σχήμα (β), που παριστάεται το ραβδόγραμμα σχετικώ συχοτήτω της ίδιας μεταβλητής. Α θέλουμε α συγκρίουμε το τρόπο που περού το ελεύθερο χρόο τους τα αγόρια και τα κορίτσια, τότε κατασκευάζουμε το ραβδόγραμμα σχετικώ συχοτήτω του σχήματος (γ), όπως προκύπτει από το πίακα. Άλλο Διάβασμα εξωσχ. βιβλ. Τηλεόραση Κιηματογρ. Μουσική Διασκέδαση Αθλητισμός H/Y Αθλητισμός Διασκέδαση - Ντίσκο Μουσική Τηλεόραση- Κιηματογρ. Διάβασμα εξωσχ. βιβλ. Άλλο Η/Υ,, f, (α) Ραβδόγραμμα συχοτήτω (α) και σχετικώ συχοτήτω (β) για τη απασχόληση τω μαθητώ του πίακα 7. (β)

15 9 f % Η/Υ Αθλητισμός Διασκέδαση Μουσική Αγόρια Τηλεόραση- Κιηματογράφος Κορίτσια Διάβασμα Άλλο εξωσχ. βιβλίω (γ) Ραβδόγραμμα σχετικώ συχοτήτω για τη απασχόληση τω μαθητώ του πίακα αάλογα με το φύλο. β) Διάγραμμα Συχοτήτω Στη περίπτωση που έχουμε μια ποσοτική μεταβλητή ατί του ραβδογράμματος χρησιμοποιείται το διάγραμμα συχοτήτω (lne dagram). Αυτό μοιάζει με το ραβδόγραμμα με μόη διαφορά ότι ατί α χρησιμοποιούμε συμπαγή ορθογώια υψώουμε σε κάθε x (υποθέτοτας ότι x x... xκ ) μία κάθετη γραμμή με μήκος ίσο προς τη ατίστοιχη συχότητα, όπως φαίεται στο σχήμα (α). Μπορούμε επίσης ατί τω συχοτήτω στο κάθετο άξοα α βάλουμε τις σχετικές συχότητες f, οπότε έχουμε το διάγραμμα σχετικώ συχοτήτω. Εώοτας τα σημεία ( x, ) ή ( x, f ) έχουμε το λεγόμεο πολύγωο συχοτήτω ή πολύγωο σχετικώ συχοτήτω, ατίστοιχα, που μας δίου μια γεική ιδέα για τη μεταβολή της συχότητας ή της σχετικής συχότητας όσο μεγαλώει η τιμή της μεταβλητής που εξετάζουμε, βλέπε σχήμα (β). αδέλφια (α) αδέλφια Διάγραμμα συχοτήτω (α) και πολύγωο συχοτήτω (β) για τη μεταβλητή αριθμός αδελφώ του πίακα. (β)

16 7 γ) Κυκλικό Διάγραμμα Το κυκλικό διάγραμμα (pechart) χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση τόσο τω ποιοτικώ όσο και τω ποσοτικώ δεδομέω, ότα οι διαφορετικές τιμές της μεταβλητής είαι σχετικά λίγες. Το κυκλικό διάγραμμα είαι έας κυκλικός δίσκος χωρισμέος σε κυκλικούς τομείς, τα εμβαδά ή,ισοδύαμα, τα τόξα τω οποίω είαι αάλογα προς τις ατίστοιχες συχότητες ή τις σχετικές συχότητες f τω τιμώ x της μεταβλητής. Α συμβολίσουμε με α το ατίστοιχο τόξο εός κυκλικού τμήματος στο κυκλικό διάγραμμα συχοτήτω, τότε α o o f για,,..., κ. Στο σχήμα παριστάεται το ατίστοιχο κυκλικό διάγραμμα σχετικώ συχοτήτω της απασχόλησης τω μαθητώ για τα δεδομέα του πίακα. Κυκλικό διάγραμμα σχετικώ συχοτήτω της απασχόλησης τω μαθητώ για τα δεδομέα του πίακα. Τηλεόραση - Κιηματ. (,%) Διάβασμα εξωσχ. βιβλ. (7,%) Άλλο (%) Η/Υ (7,%) Αθλητισμός (%) Μουσική (7,%) Διασκέδαση - Ντίσκο (%) δ) Σημειόγραμμα Ότα έχουμε λίγες παρατηρήσεις, η καταομή τους μπορεί α περιγραφεί με το σημειόγραμμα (dot dagram), στο οποίο οι τιμές παριστάοται γραφικά σα σημεία υπεράω εός οριζότιου άξοα. Στο σχήμα έχουμε το σημειόγραμμα τω χρόω (σε λεπτά),,,,,,,,,,7,,,, που χρειάστηκα δεκαπέτε μαθητές, για α λύσου έα πρόβλημα. 7 χρόος (σε λεπτά)

17 7 ε) Χροόγραμμα. Το χροόγραμμα ή χροολογικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική απεικόιση της διαχροικής εξέλιξης εός οικοομικού, δημογραφικού ή άλλου μεγέθους. Ο οριζότιος άξοας χρησιμοποιείται συήθως ως άξοας μέτρησης του χρόου και ο κάθετος ως άξοας μέτρησης της εξεταζόμεης μεταβλητής. Στο σχήμα έχουμε το χροόγραμμα του ποσοστού αεργίας στη χώρα μας από το 99 έως το 99. (Πηγή ΕΣΥΕ). Παρατηρούμε ότι στο γυαικείο πληθυσμό υπάρχει συστηματικά μεγαλύτερο ποσοστό αεργίας, γύρω στις εκατοστιαίες μοάδες. Στο διάστημα 99-9 το ποσοστό αεργίας έχει σταθεροποιηθεί γύρω στο,% για τους άδρες και γύρω στο % για τις γυαίκες. f % Θήλεις Σύολο Άρρεες Ποσοστά αεργίας στηελλάδα Ομαδοποίηση τω Παρατηρήσεω Οι πίακες συχοτήτω και κατ ααλογία τα ατίστοιχα διαγράμματα είαι δύσκολο α κατασκευαστού, ότα το πλήθος τω τιμώ μιας μεταβλητής είαι αρκετά μεγάλο. Αυτό μπορεί α συμβεί είτε στη περίπτωση μιας διακριτής μεταβλητής είτε, πολύ περισσότερο, στη περίπτωση μιας συεχούς μεταβλητής, όπου αυτή μπορεί α πάρει οποιαδήποτε τιμή στο διάστημα ορισμού της. Σ αυτές τις περιπτώσεις είαι απαραίτητο α ταξιομηθού (ομαδοποιηθού) τα δεδομέα σε μικρό πλήθος ομάδω, που οομάζοται και κλάσεις (class nterals), έτσι ώστε κάθε τιμή α αήκει μόο σε μία κλάση. Τα άκρα τω κλάσεω καλούται όρια τω κλάσεω (class boundares). Συήθως υιοθετούμε τη περίπτωση που μια κλάση περιέχει το κάτω άκρο της (κλειστή αριστερά) αλλά όχι το άω άκρο της (αοικτή δεξιά), δηλαδή που οι κλάσεις είαι της μορφής [, ). Οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης θεωρούται όμοιες, οπότε μπορού α ατιπροσωπευθού από τις κετρικές τιμές, τα κέτρα δηλαδή κάθε κλάσης. Το πρώτο βήμα στη ομαδοποίηση τω δεδομέω είαι η εκλογή του αριθμού κ τω ομάδω ή κλάσεω. Ο αριθμός αυτός συήθως ορίζεται αυθαίρετα από το ερευητή σύμφωα με τη πείρα του. Γεικά όμως μπορεί α χρησιμοποιηθεί ως οδηγός ο παρακάτω πίακας:

18 7 Μέγεθος δείγματος Αριθμός κλάσεω κ 7 Μέγεθος δείγματος 7 7 Αριθμός κλάσεω κ 9 Το δεύτερο βήμα είαι ο προσδιορισμός του πλάτους τω κλάσεω. Πλάτος μιας κλάσης οομάζεται η διαφορά του κατωτέρου από το αώτερο όριο της κλάσης. Στη πλειοότητα τω πρακτικώ εφαρμογώ οι κλάσεις έχου το ίδιο πλάτος. Φυσικά υπάρχου και περιπτώσεις όπου επιβάλλεται οι κλάσεις α έχου άισο πλάτος, όπως, για παράδειγμα, στις καταομές εισοδήματος, ημερώ απεργίας κτλ. Για α κατασκευάσουμε ισοπλατείς κλάσεις, χρησιμοποιούμε το εύρος (range) R του δείγματος, δηλαδή τη διαφορά της μικρότερης παρατήρησης από τη μεγαλύτερη παρατήρηση του συολικού δείγματος. Τότε υπολογίζουμε το πλάτος c τω κλάσεω διαιρώτας το εύρος R διά του αριθμού τω κλάσεω κ, στρογγυλεύοτας, α χρειαστεί για λόγους διευκόλυσης, πάτα προς τα πάω. Το επόμεο βήμα είαι η κατασκευή τω κλάσεω. Ξεκιώτας από τη μικρότερη παρατήρηση, ή για πρακτικούς λόγους λίγο πιο κάτω από τη μικρότερη παρατήρηση, και προσθέτοτας κάθε φορά το πλάτος c δημιουργούμε τις κ κλάσεις. Αυτοόητο είαι ότι η μεγαλύτερη τιμή του δείγματος θα (πρέπει α) αήκει οπωσδήποτε στη τελευταία κλάση. Τέλος, γίεται η διαλογή τω παρατηρήσεω. Το πλήθος τω παρατηρήσεω που προκύπτου από τη διαλογή για τη κλάση καλείται συχότητα της κλάσης αυτής ή συχότητα της κετρικής τιμής x,,,..., κ. Έστω, για παράδειγμα, ότι από τα δεδομέα του πίακα εξετάζουμε το ύψος τω μαθητώ. Το ύψος τω μαθητώ, όπως έχει καταγραφεί με τη σειρά, δίεται στο παρακάτω πίακα. Πίακας Το ύψος (σε cm) τω μαθητώ της Γ Λυκείου, όπως έχει καταγραφεί στο πίακα. Σε αγκύλες έχουμε τη μικρότερη και τη μεγαλύτερη τιμή. 7 [] [9] 7 Παρατηρούμε ότι το εύρος του δείγματος είαι R 9. Επειδή έχουμε παρατηρήσεις, χρησιμοποιούμε κ κλάσεις. Το πλάτος τω

19 7 κλάσεω είαι c R / κ /,. Α θεωρήσουμε ως αρχή της πρώτης κλάσης το, θα έχουμε το επόμεο πίακα 9. Πρέπει α προσεχτεί ότι: Καμία παρατήρηση δε μπορεί α μείει έξω από κάποια κλάση. Οι κετρικές τιμές διαφέρου μεταξύ τους όσο και το πλάτος τω κλάσεω, που εδώ είαι ίσο με. Μία παρατήρηση που συμπίπτει με το άω άκρο μιας κλάσης θα τοποθετηθεί κατά τη διαλογή στη αμέσως επόμεη κλάση. Για παράδειγμα, ο μαθητής με ύψος θα τοποθετηθεί στη πέμπτη κλάση [, ). Πίακας 9 Καταομές συχοτήτω (απόλυτω, σχετικώ, αθροιστικώ) για τα δεδομέα του πίακα. Κλάσεις [ - ) Κετρικές τιμές x Διαλογή Συχ. Σχετική Συχότητα f %,,, 7,,, Αθρ.συχ. N Αθρ. Σχετ. Συχ. F %,,,, 9,, Σύολο Ιστόγραμμα Συχοτήτω Η ατίστοιχη γραφική παράσταση εός πίακα συχοτήτω με ομαδοποιημέα δεδομέα γίεται με το λεγόμεο ιστόγραμμα (hstogram) συχοτήτω. Στο οριζότιο άξοα εός συστήματος ορθογωίω αξόω σημειώουμε, με κατάλληλη κλίμακα, τα όρια τω κλάσεω. Στη συέχεια, κατασκευάζουμε διαδοχικά ορθογώια (ιστούς), από καθέα από τα οποία έχει βάση ίση με το πλάτος της κλάσης και ύψος τέτοιο, ώστε το εμβαδό του ορθογωίου α ισούται με τη συχότητα της κλάσης αυτής. α) Κλάσεις Ίσου Πλάτους Θεωρώτας το πλάτος c ως μοάδα μέτρησης του χαρακτηριστικού στο οριζότιο άξοα, το ύψος κάθε ορθογωίου είαι ίσο προς τη συχότητα της ατίστοιχης κλάσης, έτσι ώστε α ισχύει πάλι ότι το εμβαδό τω ορθογωίω είαι ίσο με τις ατίστοιχες συχότητες. Επομέως, στο κατακόρυφο άξοα σε

20 7 έα ιστόγραμμα συχοτήτω βάζουμε τις συχότητες. Με αάλογο τρόπο κατασκευάζεται και το ιστόγραμμα σχετικώ συχοτήτω, οπότε στο κάθετο άξοα βάζουμε τις σχετικές συχότητες. Α στα ιστογράμματα συχοτήτω θεωρήσουμε δύο ακόμη υποθετικές κλάσεις, στη αρχή και στο τέλος, με συχότητα μηδέ και στη συέχεια εώσουμε τα μέσα τω άω βάσεω τω ορθογωίω, σχηματίζεται το λεγόμεο πολύγωο συχοτήτω (frequency polygon). Το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωο συχοτήτω και το οριζότιο άξοα είαι ίσο με το άθροισμα τω συχοτήτω, δηλαδή με το μέγεθος του δείγματος. Όμοια κατασκευάζεται από το ιστόγραμμα σχετικώ συχοτήτω και το πολύγωο σχετικώ συχοτήτω με εμβαδό ίσο με, (βλέπε σχήμα ). f,,,,,, 7 9 Υψος (σε cm) 7 9 Ύψος (σε cm) (α) (β) Ιστόγραμμα και πολύγωο (α) συχοτήτω και (β) σχετικώ συχοτήτω για τα δεδομέα του πίακα 9. Με το ίδιο τρόπο κατασκευάζοται και τα ιστογράμματα αθροιστικώ συχοτήτω και αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω. Α εώσουμε σε έα ιστόγραμμα αθροιστικώ συχοτήτω τα δεξιά άκρα (όχι μέσα) τω άω βάσεω τω ορθογωίω με ευθύγραμμα τμήματα βρίσκουμε το πολύγωο αθροιστικώ συχοτήτω (oge) της καταομής. Στο σχήμα 7 παριστάεται το ιστόγραμμα και το πολύγωο αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω για το ύψος τω μαθητώ του πίακα 9. β) Κλάσεις Άισου Πλάτους F,9,,7,,,,,, 7 9 Ύψος (σε cm) 7 Όπως προααφέραμε, συήθως επιλέγουμε κλάσεις ίσου πλάτους. Υπάρχου

21 7 όμως και περιπτώσεις που είαι απαραίτητο α έχουμε κλάσεις διαφορετικού πλάτους όπως, για παράδειγμα, στη καταάλωση ερού και ηλεκτρικού ρεύματος ή ακόμα και περιπτώσεις όπου οι συχότητες σε κάποιες κλάσεις α είαι πολύ μικρές οπότε γίεται συγχώευση κλάσεω. Έστω, για παράδειγμα, η διάρκεια Διάρκεια τηλεφ. σε sec (σε sec) τηλεφωημάτω που έγια τυχαία από έα κιητό - τηλέφωο, η οποία δίεται στο - διπλαό πίακα συχοτήτω. - Το ατίστοιχο ιστόγραμμα συχοτήτω κατασκευάζεται πάλι, έτσι ώστε - το εμβαδό κάθε ορθογωίου α ισούται με τη συχότητα της ατίστοιχης κλάσης. Άρα, α Συχότητα c είαι το πλάτος της κλάσης με συχότητα, το ύψος του ορθογωίου θα είαι υ, c,,..., κ. Επομέως, για τη κατασκευή του ιστογράμματος συχοτήτω χρειαζόμαστε τα πλάτη τω κλάσεω και τα ύψη τω ορθογωίω. Αυτά δίοται στο επόμεο πίακα. Σύολο Διάρκεια τηλεφ. σε sec Πλάτος κλάσης c Συχότητα Ύψος υ c,,,, Ύψος f υ * % c,,,, Τότε το ιστόγραμμα συχοτήτω δίεται στο σχήμα (α). Παρατηρούμε ότι το άθροισμα τω εμβαδώ όλω τω ορθογωίω είαι ίσο με το συολικό μέγεθος δείγματος, όπως δηλαδή συμβαίει και στο ιστόγραμμα με κλάσεις ίσου πλάτους. υ Διάρκεια τηλεφ. σε sec * υ (α) (β) Ιστόγραμμα συχοτήτω (α) και σχετικώ συχοτήτω (β)

22 7 της διάρκειας τηλεφωημάτω. Με αάλογο τρόπο κατασκευάζεται και το ιστόγραμμα σχετικώ συχοτήτω, (σχήμα (β)) αρκεί α χρησιμοποιήσουμε ως ύψος τω ορθογωίω το λόγο f τω σχετικώ συχοτήτω προς το πλάτος τω κλάσεω, δηλαδή υ * %. c Καμπύλες Συχοτήτω Εά υποθέσουμε ότι ο αριθμός τω κλάσεω για μια συεχή μεταβλητή είαι αρκετά μεγάλος (τείει στο άπειρο) και ότι το πλάτος τω κλάσεω είαι f,7,,,,7 7 9 Ύψος (σε cm) Καμπύλη συχοτήτω για το ύψος τω μαθητώ του πίακα 9 αρκετά μικρό (τείει στο μηδέ), τότε η πολυγωική γραμμή συχοτήτω τείει α πάρει τη μορφή μιας ομαλής καμπύλης, η οποία οομάζεται καμπύλη συχοτήτω (frequency cure), όπως δείχει το σχήμα 9. Οι καμπύλες συχοτήτω έχου μεγάλη εφαρμογή στη Στατιστική, όπου οι ιδιότητες τους μπορού α χρησιμοποιηθού για τη εξαγωγή χρήσιμω συμπερασμάτω. Η μορφή μιας καταομής συχοτήτω εξαρτάται από το πώς είαι καταεμημέες οι παρατηρήσεις σε όλη τη έκταση του εύρους τους. Μερικές χαρακτηριστικές καμπύλες συχοτήτω που συατάμε συχά στις εφαρμογές δίοται στο σχήμα. Η καταομή (β), με κωδωοειδή μορφή λέγεται καοική καταομή (normal dstrbuton) και παίζει σπουδαίο ρόλο στη Στατιστική. Ότα οι παρατηρήσεις καταέμοται ομοιόμορφα σε έα διάστημα [α, β], όπως στη καταομή (α), η καταομή λέγεται ομοιόμορφη. Ότα οι παρατηρήσεις δε είαι συμμετρικά καταεμημέες, η καταομή λέγεται ασύμμετρη με θετική ασυμμετρία όπως στη καταομή (γ) ή αρητική ασυμμετρία όπως στη καταομή (δ). (α) (β) (γ) (δ) Μερικές χαρακτηριστικές καταομές συχοτήτω

23 77 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Από το πολύγωο αθροιστικώ συχοτήτω του παρακάτω διαγράμματος α βρεθεί (α) το ύψος x *, κάτω από το οποίο αήκει το % τω μαθητώ (β) το ποσοστό p τω μαθητώ που έχου ύψος μέχρι και 7cm. ΛΥΣΗ α) Ακολουθούμε τη διαδρομή ΑΒ, όπως φαίεται στο διάγραμμα, και ξεκιώτας από το σημείο (,,) F πηγαίουμε παράλληλα προς,9 το άξοα x μέχρι το,,7 αθροιστικό διάγραμμα και, μετά κάθετα στο άξοα x, μέχρι το σημείο ( x *, Δ,). Το p=,,,, x * είαι το ζητούμεο B Γ ύψος. 7 β) Όμοια, ακολουθώτας τη x * = 7 9 διαδρομή ΓΔ από το σημείο (7, ) καταλήγουμε, όπως φαίεται στο σχήμα, στο σημείο (, p ). Το p, % είαι το ζητούμεο ποσοστό. A. Στο διπλαό ιστόγραμμα σχετικώ συχοτήτω σβήστηκε κατά λάθος το ορθογώιο της κλάσης [-). Εά είαι γωστό ότι δε υπάρχει μισθός άω τω $, α κατασκευάσετε το 7 9 ορθογώιο αυτό. Μισθός (σε εκατοτάδες $) ΛΥΣΗ Επειδή έχουμε έα ιστόγραμμα σχετικώ συχοτήτω ( f %), το άθροισμα τω εμβαδώ όλω τω ορθογωίω θα πρέπει α ισούται με. Το εμβαδό του πρώτου ορθογωίου είαι E ( ), του δεύτερου ορθογωίου E ( ), και του τέταρτου E ( ). Άρα, το εμβαδό του τρίτου ορθογωίου θα είαι E ( ). Επειδή το πλάτος του ορθογωίου είαι, το ύψος 7 του θα είαι /, όπως Μισθός (σε εκατοτάδες $) φαίεται στο διπλαό σχήμα. 9

24 7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Η βαθμολογία φοιτητώ στις εξετάσεις εός μαθήματος είαι: α) Να κατασκευάσετε το πίακα καταομής συχοτήτω και σχετικώ συχοτήτω (απολύτω και αθροιστικώ). β) Από το πίακα αυτό α εκτιμήσετε το ποσοστό τω φοιτητώ που πήρα βαθμό ) κάτω από τη βάση (μικρότερο του ) ) άριστα (9 ή ) ) τουλάχιστο 7 αλλά το πολύ 9.. Οι παραπάω φοιτητές ήτα ατίστοιχα αγόρια (Α) ή κορίτσια (Κ): Α Α Κ Α Κ Α Α Α Κ Κ Κ Κ Α Α Α Κ Α Κ Α Α Α Α Α Α Κ Κ Α Κ Α Κ Κ Κ Κ Α Κ Κ Α Α Α Α Α Α Κ Α Κ Κ Α Α Α Κ Να συμπληρώσετε το επόμεο πίακα χρησιμοποιώτας απόλυτες συχότητες. Βαθμολογία Φύλο < Σύολο Α Κ Σύολο. Να μετατρέψετε το προηγούμεο πίακα συχοτήτω της άσκησης σε πίακα σχετικώ συχοτήτω επί τοις εκατό: α) ως προς το σύολο τω φοιτητώ β) ως προς το φύλο (γραμμές) γ) ως προς τη βαθμολογία (στήλες).

25 79. Χρησιμοποιώτας το παρακάτω πίακα συχοτήτω, που δίει τη καταομή του αριθμού τω ημερώ απουσίας από τη εργασία τους λόγω ασθέειας εργατώ, α βρεθεί ο αριθμός και το ποσοστό τω εργατώ που απουσίασα: α) τουλάχιστο ημέρα β) πάω από ημέρες γ) από έως ημέρες δ) το πολύ ημέρες ε) ακριβώς ημέρες. Αριθμός ημερώ. Να συμπληρώσετε το παρακάτω πίακα. Συχότητα Αριθμός ημερώ 7 9 Συχότητα x Σύολο f N, F f % F %,. Να κατασκευάσετε το διάγραμμα συχοτήτω του βαθμού Μαθηματικώ για τα αγόρια και κορίτσια (χωριστά) του πίακα. 7. Τα δημοφιλέστερα ξέα μουσικά συγκροτήματα τω αγοριώ του πίακα ήσα: Metallca, Iron Maden, Άλλο, Scorpons, Oass, Άλλο, Άλλο, Rollng Stones, Metallca, Metallca, Rollng Stones, Metallca, Iron Maden, Iron Maden, Scorpons, Scorpons, Scorpons, Metallca. Να κατασκευάσετε α) το ραβδόγραμμα και β) το κυκλικό διάγραμμα σχετικώ συχοτήτω.. Σε έα κυκλικό διάγραμμα παριστάεται η βαθμολογία τω μαθητώ εός Γυμασίου σε τέσσερις κατηγορίες Άριστα, Λία Καλώς, Καλώς και Σχεδό Καλώς. Το % τω μαθητώ έχου επίδοση Λία Καλώς. Η γωία του κυκλικού τομέα για τη επίδοση Καλώς είαι. Οι μαθητές με βαθμό Σχεδό Καλώς είαι διπλάσιοι τω μαθητώ με Άριστα. Να μετατρέψετε το κυκλικό διάγραμμα σε ραβδόγραμμα σχετικώ συχοτήτω.

26 9. Από το 9 έως το 99 (Πρωταθλήματα Α Εθικής) ο Πααθηαϊκός έχει κατακτήσει τίτλους, ο Ολυμπιακός, η ΑΕΚ 9, ο ΠΑΟΚ και η Λάρισα. Να κατασκευάσετε το ραβδόγραμμα και το κυκλικό διάγραμμα σχετικώ συχοτήτω.. Παρακάτω δίοται τα μετάλλια που πήρα μερικές χώρες στο 7ο Ευρωπαϊκό Πρωτάθλημα Στίβου, το 99. Να παρασταθού τα δεδομέα αυτά σε έα ραβδόγραμμα. Χώρα Χρυσά Ασημέια Χάλκια Μ. Βρεταία Γερμαία Ρωσία Πολωία Ρουμαία Ουκραία Ιταλία Πορτογαλία Ισπαία Γαλλία Ελλάδα Τα κρούσματα δύο λοιμωδώ όσω από το 97 έως το 997 δίοται στο διπλαό πίακα. (Πηγή: ΕΚΕΠΑΠ.) Να κατασκευάσετε τα ατίστοιχα χροογράμματα και α τα σχολιάσετε. Έτος Έρπης ζωστήρ Ηπατίτιδα Α Τα παρακάτω δεδομέα ατιπροσωπεύου τη επίδοση υποψηφίω για τη πρόσληψή τους σε μια ιδιωτική σχολή (κλίμακα -) α) Να παραστήσετε τα δεδομέα σε έα πίακα συχοτήτω. β) Να κατασκευάσετε το διάγραμμα σχετικώ και αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω. γ) Α η σχολή θελήσει α πάρει όσους είχα επίδοση μεγαλύτερη ή ίση του, πόσους θα πάρει;

27 δ) Α η σχολή πάρει μόο το % τω υποψηφίω, τι επίδοση πρέπει α έχει κάποιος για α επιλεγεί;. Δίπλα δίεται μόο έα ορθογώιο από το ιστόγραμμα του ετήσιου εισοδήματος τω οικογεειώ μιας περιοχής. Τι ποσοστό οικογεειώ της περιοχής είχα εισόδημα.. δρχ. έως 7.. δρχ.; 7 εισόδημα (σε εκατομ. δρχ.). Έας μαθητής έκαε το διπλαό πολύγωο σχετικώ συχοτήτω για το ύψος τω αγοριώ της τάξης του και ο καθηγητής το διέγραψε σα λάθος. Είχε δίκιο ο καθηγητής; 7 ύψος (σε cm) 9 Β ΟΜΑΔΑΣ. Να κατασκευάσετε τα ατίστοιχα χροογράμματα για το πληθυσμό τω ησιώ α) Λέσβου, β) Θάσου, γ) Σαλαμίας με βάση τα δεδομέα του πίακα. Τι συμπέρασμα συάγετε;. Οι βεβαιωθέτες θάατοι από χρήση αρκωτικώ κατά τα έτη 9-99 (για το 99 έως Απριλίου) σύμφωα με το Οργαισμό κατά τω Ναρκωτικώ (ΟΚΑΝΑ) ήτα, 7,, 79, 79, 7,, 7,, και ατίστοιχα. Από αυτούς είχαμε 7,,,,,,, 7,, και μέχρι και ετώ,,,,, 7, 9, 7, 9, 9, 99 και από - ετώ και οι υπόλοιποι ήσα άω τω ετώ. Να παρασταθού τα δεδομέα αυτά σε μορφή πίακα.. Να παρασταθού τα παραπάω δεδομέα της άσκησης σε μορφή πίακα ααφορικά με το έτος και το φύλο τω ατόμω, α γωρίζουμε ότι από τους βεβαιωθέτες θαάτους από χρήση αρκωτικώ κατά τα έτη 9-99 οι,, 7,, 9,,,,, και 9 ατίστοιχα ήτα γυαίκες.. Το παρακάτω χροόγραμμα δίει τη σχετική συχότητα τω έω πτυχιούχω Μαθηματικώ σε όλη τη Ελλάδα από το 9 έως το 99 αάλογα με το φύλο. α) Μελετώτας προσεκτικά το χροόγραμμα αυτό ποιά συμπεράσματα εξάγοται; β) Ο συολικός αριθμός έω πτυχιούχω Μαθηματικώ το έτος 99 ήτα 79. Πόσες ήσα οι γυαίκες και πόσοι οι άδρες; γ) Ο αριθμός τω γυαικώ που έγια πτυχιούχοι Μαθηματικώ το έτος 97 ήσα 7. Πόσοι ήσα οι άδρες που έγια πτυχιούχοι

28 Μαθηματικοί το ίδιο έτος; δ) Πόσοι άδρες και πόσες γυαίκες πήρα πτυχίο Μαθηματικώ στη Ελλάδα το 9; % 9 7 Άδρες Γυαίκες έτη. Να δοθεί και α ερμηευτεί το χροόγραμμα τω δεδομέω του πίακα για κάθε ομάδα ηλικιώ.. Στο παρακάτω πίακα δίεται η καταομή συχοτήτω της συστολικής πίεσης γυαικώ ηλικίας 7- ετώ που χρησιμοποιού το φάρμακο Α για κάποια πάθηση και γυαικώ, αάλογης ηλικίας, που χρησιμοποιού το φάρμακο Β. α) Να συγκρίετε τα ποσοστά γυαικώ που παίρου τα φάρμακα Α και Β και έχου συστολική πίεση μεγαλύτερη ή ίση τω mm Hg β) Να κατασκευάσετε τα πολύγωα αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω, χρησιμοποιώτας τους ίδιους άξοες συτεταγμέω. Συστολική πίεση Φάρμακο Α Φάρμακο Β (σε mm Hg) Σύολο Πηγή: Υποθετικά δεδομέα

29 7. Οι χρόοι (σε λεπτά) που χρειάστηκα μαθητές α λύσου έα πρόβλημα δίοται παρακάτω:,,,,,,, 9,7,,7,7,,,,,,,,,,,,,9,,,,7,,,9 7,,9,9,,9,9,,,, 7,,,,9,9,7 9,, 7, α) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομέα σε κατάλληλο αριθμό κλάσεω. β) Να κατασκευάσετε το πίακα με τις συχότητες, f %, N, F %. γ) Να κατασκευάσετε το πολύγωο σχετικώ συχοτήτω και αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω.,7,9,,9,. ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Εισαγωγή Εκτός από τους στατιστικούς πίακες και τα διαγράμματα υπάρχου και αριθμητικά μέτρα με τα οποία μπορούμε α περιγράψουμε με συτομία μια καταομή συχοτήτω. Η γώση τω μέτρω αυτώ διευκολύει και τη παραπέρα στατιστική επεξεργασία τω δεδομέω. Έστω, για παράδειγμα, έας καθηγητής ο οποίος, για α συγκρίει δύο διαφορετικά τμήματα Α και Β της ίδιας τάξης ως προς τη επίδοσή τους σε έα μάθημα, πήρε τυχαία μαθητές από κάθε τμήμα. Η βαθμολογία τους στο μάθημα αυτό ήτα: Τμήμα Α: Τμήμα Β:. Τα διαγράμματα σχετικώ συχοτήτω δίοται στα σχήματα (α), (β). f % (A) f % (B) 7 9 Βαθμολογία (α) 7 9 Βαθμολογία Παρατηρούμε ότι η βαθμολογία και τω δύο τμημάτω είαι συγκετρωμέη (β)

30 γύρω στο, αλλά το δεύτερο τμήμα παρουσιάζει μεγαλύτερη διασπορά βαθμώ από το πρώτο. Δηλαδή, οι βαθμοί του Β τμήματος είαι περισσότερο διασκορπισμέοι γύρω από μια κετρική τιμή. Οι έοιες κετρική τιμή και διασπορά τω παρατηρήσεω μας δίου το ερέθισμα για έα ακόμα πιο σύτομο τρόπο περιγραφής της καταομής εός συόλου δεδομέω. Για α ορίσουμε δηλαδή κάποια μέτρα (αριθμητικά μεγέθη), που α μας δίου α) τη θέση του κέτρου τω παρατηρήσεω στο οριζότιο άξοα και β) τη διασπορά τω παρατηρήσεω, δηλαδή πόσο αυτές εκτείοται γύρω από το κέτρο τους. Τα πρώτα τα καλούμε μέτρα θέσης της καταομής (locaton measures), εώ τα δεύτερα μέτρα διασποράς ή μέτρα μεταβλητότητας (measures of arablty). Εκτός από τα μέτρα θέσης και διασποράς μιας καταομής πολλές φορές είαι απαραίτητος και ο προσδιορισμός κάποιω άλλω μέτρω, που καθορίζου τη μορφή της καταομής. Κατά πόσο δηλαδή η ατίστοιχη καμπύλη συχοτήτω είαι συμμετρική ή όχι ως προς τη ευθεία x x, για δεδομέο σημείο x του άξοα x. Τα μέτρα αυτά, που συήθως εκφράζοται σε συάρτηση με τα μέτρα θέσης και διασποράς, καλούται μέτρα ασυμμετρίας (measures of skewness). Υπολογίζοτας από έα σύολο A δεδομέω κάποια από τα αωτέρω μέτρα, μπορούμε α έχουμε μια σύτομη περιγραφή της μορφής της Γ καμπύλης συχοτήτω. Στο σχήμα B Δ οι καμπύλες συχοτήτω Α και Β είαι συμμετρικές με το ίδιο κέτρο x, αλλά η Β έχει μεγαλύτερη μεταβλητότητα από τη Α. Οι x x καμπύλες Γ και Δ είαι ασύμμετρες, με τη Γ όπως λέμε α παρουσιάζει θετική ασυμμετρία και τη Δ αρητική ασυμμετρία. Το κέτρο της Γ είαι αριστερότερα του x, εώ της Δ είαι δεξιότερα του x. Η Δ παρουσιάζει μεγαλύτερη μεταβλητότητα από τη Γ. Μέτρα Θέσης Τα πιο συηθισμέα μέτρα που χρησιμοποιούται για τη περιγραφή της θέσης εός συόλου δεδομέω πάω στο οριζότιο άξοα ox, εκφράζοτας τη κατά μέσο όρο απόστασή τους από τη αρχή τω αξόω, είαι ο αριθμητικός μέσος ή μέση τιμή (arthmetc mean or aerage), η διάμεσος (medan) και η κορυφή ή επικρατούσα τιμή (mode). α) Μέση Τιμή (x)

31 Η μέση τιμή εός συόλου παρατηρήσεω αποτελεί το σπουδαιότερο και χρησιμότερο μέτρο της Στατιστικής και ορίζεται ως το άθροισμα τω παρατηρήσεω διά του πλήθους τω παρατηρήσεω. Ότα σε έα δείγμα μεγέθους οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ είαι t, t,..., t, τότε η μέση τιμή συμβολίζεται με x και δίεται από τη σχέση: t x t... t t t () t όπου το σύμβολο παριστάει μια συτομογραφία του αθροίσματος t t... t και διαβάζεται άθροισμα τω t από έως. Συχά, ότα δε υπάρχει πρόβλημα σύγχυσης, συμβολίζεται και ως t ή ακόμα πιο απλά με t. x, x,..., xκ είαι οι τιμές της μεταβλητής Χ, κ ατίστοιχα, η μέση τιμή ορίζεται ισοδύαμα από τη Σε μια καταομή συχοτήτω, α με συχότητες,..., σχέση: x x x... κ x κ κ κ... x κ κ x () Η παραπάω σχέση ισοδύαμα γράφεται: όπου f οι σχετικές συχότητες. x x f κ κ x Για παράδειγμα, η μέση επίδοση τω μαθητώ στο τμήμα Α θα είαι σύμφωα με τη () x A... ή ισοδύαμα από το ατίστοιχο πίακα συχοτήτω σύμφωα με τη ().

32 Βαθμός x Συχότητα x Σύολο A x x x A. A Ομοίως, υπολογίζεται και η μέση επίδοση για το τμήμα Β, η οποία είαι πάλι x. B Επίσης, το μέσο ύψος τω μαθητώ της Γ Λυκείου του πίακα, σύμφωα 9 με τη σχέση () είαι x 7,9 cm. Για ευκολότερο όμως υπολογισμό χρησιμοποιούμε το πίακα συχοτήτω, όπως αυτός δίεται παρακάτω, ομαδοποιώτας τα δεδομέα σε κ κλάσεις. Α x είαι το κέτρο της κλάσης και η ατίστοιχη συχότητα, τότε σύμφωα με τη σχέση () η μέση τιμή θα είαι: x x 9 7, cm. Παρατηρούμε ότι οι δύο μέσες τιμές του ίδιου συόλου δεδομέω δε είαι ακριβώς οι ίδιες. Πού οφείλεται αυτή η, έστω και μικρή, διαφορά; Η διαφορά αυτή οφείλεται στο γεγοός ότι κατά τη Ύψος Κετρικές σε cm τιμές Συχότητα ομαδοποίηση υποθέσαμε ότι οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης είαι ομοιόμορφα καταεμημέες και ότι οι τιμές της μεταβλητής σε κάθε κλάση εκπροσωπούται από τη ατίστοιχη κετρική τιμή x. Η Σύολο x 9 υπόθεση αυτή σημαίει απώλεια πληροφοριώ για τις αρχικές τιμές. Χάουμε λοιπό λίγο ως προς στη ακρίβεια κερδίζουμε όμως χρόο! β) Σταθμικός Μέσος Στις περιπτώσεις που δίεται διαφορετική βαρύτητα (έμφαση) στις τιμές x, x,..., x εός συόλου δεδομέω, τότε ατί του αριθμητικού μέσου χρησιμοποιούμε το σταθμισμέο αριθμητικό μέσο ή σταθμικό μέσο x x

33 7 (weghted mean). Εά σε κάθε τιμή x, x,..., x δώσουμε διαφορετική βαρύτητα, που εκφράζεται με τους λεγόμεους συτελεστές στάθμισης (βαρύτητας) w, w,..., w, τότε ο σταθμικός μέσος βρίσκεται από το τύπο: x xw xw... xw w w... w xw w. Για παράδειγμα, με το έο σύστημα, για τη εισαγωγή εός μαθητή στη τριτοβάθμια εκπαίδευση θα συυπολογίζοται ο βαθμός x του απολυτηρίου του Ειαίου Λυκείου με συτελεστή (βάρος) w 7,, ο βαθμός x στο τεστ δεξιοτήτω με συτελεστή w, ο βαθμός x στο ο βασικό μάθημα με συτελεστή w και ο βαθμός x στο ο βασικό μάθημα με συτελεστή w,. Εά έας μαθητής πάρει τους βαθμούς x,, x, x 7 και x,, τότε ο σταθμικός μέσος της επίδοσης του θα είαι:, 7, 7,, 7 x,7. 7,, γ) Διάμεσος (δ) Οι χρόοι (σε λεπτά) που χρειάστηκα 9 μαθητές, για α λύσου έα πρόβλημα είαι:,,,,, 7,, 7, με μέση τιμή x 9. Παρατηρούμε όμως ότι οι οκτώ από τις εέα παρατηρήσεις είαι μικρότερες του 9 και μία (ακραία τιμή), η οποία επηρεάζει και τη μέση τιμή είαι, αρκετά μεγαλύτερη του 9. Αυτό σημαίει ότι η μέση τιμή δε εδείκυται ως μέτρο θέσης ( κέτρο ) τω παρατηρήσεω αυτώ. Ατίθετα, έα άλλο μέτρο θέσης που δε επηρεάζεται από ακραίες παρατηρήσεις είαι η διάμεσος (medan), η οποία ορίζεται ως εξής: Διάμεσος (δ) εός δείγματος παρατηρήσεω οι οποίες έχου διαταχθεί σε αύξουσα σειρά ορίζεται ως η μεσαία παρατήρηση, ότα το είαι περιττός αριθμός, ή ο μέσος όρος (ημιάθροισμα) τω δύο μεσαίω παρατηρήσεω ότα το είαι άρτιος αριθμός. Για παράδειγμα, για α βρούμε τη διάμεσο τω δεδομέω: α),,,,,,,,,,,, 9 β),,,,,,,,,,,, 9, 9 εργαζόμαστε ως εξής:

34 α) Έχουμε παρατηρήσεις, οι οποίες σε αύξουσα σειρά είαι: 9. Άρα, η διάμεσος είαι η μεσαία παρατήρηση (έβδομη στη σειρά), δ. β) Έχουμε παρατηρήσεις οι οποίες σε αύξουσα σειρά είαι: 9 9. Άρα, η διάμεσος είαι το ημιάθροισμα τω δύο μεσαίω παρατηρήσεω (της έβδομης και όγδοης στη σειρά), δηλαδή δ,. Παρατηρούμε ότι, η διάμεσος είαι η τιμή που χωρίζει έα σύολο παρατηρήσεω σε δύο ίσα μέρη ότα οι παρατηρήσεις αυτές τοποθετηθού με σειρά τάξης μεγέθους. Ακριβέστερα, η διάμεσος είαι η τιμή για τη οποία το πολύ % τω παρατηρήσεω είαι μικρότερες από αυτή και το πολύ % τω παρατηρήσεω είαι μεγαλύτερες από τη τιμή αυτή. Διάμεσος σε Ομαδοποιημέα Δεδομέα Θεωρούμε τα δεδομέα του ύψους τω μαθητώ στο πίακα 9 και το ατίστοιχο ιστόγραμμα αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω με τη πολυγωική γραμμή, σχήμα. Η διάμεσος, όπως ορίστηκε, ατιστοιχεί στη τιμή x δ της μεταβλητής Χ (στο οριζότιο άξοα), έτσι ώστε το % τω παρατηρήσεω α είαι μικρότερες ή ίσες του δ. Δηλαδή, η διάμεσος θα έχει αθροιστική σχετική συχότητα F %. Εφόσο στο κάθετο άξοα έχουμε τις αθροιστικές σχετικές συχότητες, από το σημείο Α (% τω παρατηρήσεω) φέρουμε τη AB // x και στη συέχεια τη BΓ x. Τότε, στο σημείο Γ ατιστοιχεί η διάμεσος δ τω παρατηρήσεω. Δηλαδή, δ F % A B Γ 7 9 x P Q δ Q P 9