Câmp de probabilitate II
|
|
- Ωρίων Ἀλφαῖος Αναγνωστάκης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1
2 1 Sistem complet de evenimente 2 Schema lui Poisson Schema lui Bernoulli (a bilei revenite) Schema hipergeometrică (a bilei neîntoarsă) 3 4
3 Sistem complet de evenimente
4 Definiţia 1.1 O familie de evenimente {A i, i = 1, 2,..., n } formează un sistem complet de evenimente dacă au loc proprietăţile: (i) P(A i ) > 0, i {1, 2,..., n}; (ii) A i A j =, i j; n (iii) E = A i. i=1 Dacă E = {e 1,, e n } este finită, atunci mulţimea evenimentelor elementare {e i }, i = 1, 2,..., n formează un sistem complet de evenimente. Dacă A este un eveniment, atunci A şi A formează un sistem complet de evenimente.
5 Definiţia 1.1 O familie de evenimente {A i, i = 1, 2,..., n } formează un sistem complet de evenimente dacă au loc proprietăţile: (i) P(A i ) > 0, i {1, 2,..., n}; (ii) A i A j =, i j; n (iii) E = A i. i=1 Dacă E = {e 1,, e n } este finită, atunci mulţimea evenimentelor elementare {e i }, i = 1, 2,..., n formează un sistem complet de evenimente. Dacă A este un eveniment, atunci A şi A formează un sistem complet de evenimente.
6 Definiţia 1.1 O familie de evenimente {A i, i = 1, 2,..., n } formează un sistem complet de evenimente dacă au loc proprietăţile: (i) P(A i ) > 0, i {1, 2,..., n}; (ii) A i A j =, i j; n (iii) E = A i. i=1 Dacă E = {e 1,, e n } este finită, atunci mulţimea evenimentelor elementare {e i }, i = 1, 2,..., n formează un sistem complet de evenimente. Dacă A este un eveniment, atunci A şi A formează un sistem complet de evenimente.
7 Formula probabilităţii totale Teorema 1.1 Dacă {A i, i = 1, 2,..., n } este un sistem complet de evenimente şi X K este un eveniment arbitrar, atunci P(X) = Demonstraţie. n X = X E = X ( A i ) = P(X) = i=1 n i=1 n P(A i ) P(X A i ). (1.1) i=1 n (X A i ), (X A i ) (X A j ) =, i j i=1 P(X A i ) = n P(A i ) P(X A i ). i=1
8 Formula probabilităţii totale Teorema 1.1 Dacă {A i, i = 1, 2,..., n } este un sistem complet de evenimente şi X K este un eveniment arbitrar, atunci P(X) = Demonstraţie. n X = X E = X ( A i ) = P(X) = i=1 n i=1 n P(A i ) P(X A i ). (1.1) i=1 n (X A i ), (X A i ) (X A j ) =, i j i=1 P(X A i ) = n P(A i ) P(X A i ). i=1
9 Formula lui Bayes Teorema 1.2 Dacă {A i, i = 1, 2,..., n} este un sistem complet de evenimente şi X K este un eveniment arbitrar, atunci pentru orice i = 1, 2,..., n are loc Demonstraţie. P(A i X) = P(A i) P(X A i ). (1.2) n P(A j ) P(X A j ) j=1 P(A i X) = P(X A i) P(X) = P(A i) P(X A i ). n P(A j ) P(X A j ) j=1
10 Formula lui Bayes Teorema 1.2 Dacă {A i, i = 1, 2,..., n} este un sistem complet de evenimente şi X K este un eveniment arbitrar, atunci pentru orice i = 1, 2,..., n are loc Demonstraţie. P(A i X) = P(A i) P(X A i ). (1.2) n P(A j ) P(X A j ) j=1 P(A i X) = P(X A i) P(X) = P(A i) P(X A i ). n P(A j ) P(X A j ) j=1
11 Exemplu Sistem complet de evenimente Într-un canal de comunicaţii se transmite 0 sau 1 cu probabilităţile p şi respectiv q = 1 p. Recepţionerul face erori de decizie cu probabilitatea ε. Să se determine cu ce probabilitate se recepţionează 1. Dacă semnalul recepţionat este 1, cu ce probabilitate a fost transmis 0? A 0 ="s-a transmis 0"; A 1 ="s-a transmis 1" {A 0, A 1 } formează un sistem complet de evenimente. A ="s-a recepţionat 1". P(A) = P(A 0 ) P(A A 0 )+P(A 1 ) P(A A 1 ) = p ε+(1 p) (1 ε). P(A 0 A) = P(A 0) P(A A 0 ). P(A)
12 Exemplu Sistem complet de evenimente Într-un canal de comunicaţii se transmite 0 sau 1 cu probabilităţile p şi respectiv q = 1 p. Recepţionerul face erori de decizie cu probabilitatea ε. Să se determine cu ce probabilitate se recepţionează 1. Dacă semnalul recepţionat este 1, cu ce probabilitate a fost transmis 0? A 0 ="s-a transmis 0"; A 1 ="s-a transmis 1" {A 0, A 1 } formează un sistem complet de evenimente. A ="s-a recepţionat 1". P(A) = P(A 0 ) P(A A 0 )+P(A 1 ) P(A A 1 ) = p ε+(1 p) (1 ε). P(A 0 A) = P(A 0) P(A A 0 ). P(A)
13
14 Schema lui Poisson Se dau n urne U 1, U 2,..., U n care conţin bile albe şi bile negre în proporţii date. Din fiecare urnă U i, i = 1, n se extrage câte o bilă. p i = prob. ca bila extrasă să fie albă U i q i = prob. ca bila extrasă să fie neagră, p i + q i = 1. A = "se obţin k bile albe (şi evident n k bile negre)". Atunci P(A) = coeficientul lui x k din polinomul n (p i x + q i ) = (p 1 x + q 1 ) (p 2 x + q 2 )... (p n x + q n ) (2.1) i=1
15 Schema lui Poisson Se dau n urne U 1, U 2,..., U n care conţin bile albe şi bile negre în proporţii date. Din fiecare urnă U i, i = 1, n se extrage câte o bilă. p i = prob. ca bila extrasă să fie albă U i q i = prob. ca bila extrasă să fie neagră, p i + q i = 1. A = "se obţin k bile albe (şi evident n k bile negre)". Atunci P(A) = coeficientul lui x k din polinomul n (p i x + q i ) = (p 1 x + q 1 ) (p 2 x + q 2 )... (p n x + q n ) (2.1) i=1
16 Condiţii ale unui experiment Poisson: 1. Există n efectuări în condiţii diferite ale unui experiment. 2. Fiecare experiment are exact două rezultate posibile. 3. Probabilităţile celor două rezultate sunt diferite pe parcursul repetărilor. 4. Repetările sunt independente una de cealaltă.
17 Exemplu Sistem complet de evenimente Trei semnale sunt recepţionate corect cu probabilităţile 0, 8; 0, 7 şi respectiv 0, 9. Să se determine cu ce probabilitate două semnale sunt recepţionate corect. coeficientul lui x 2 din polinomul P(A) = 0, 398. (0, 8 x + 0, 2) (0, 7 x + 0, 3) (0, 9 x + 0, 1).
18 Exemplu Sistem complet de evenimente Trei semnale sunt recepţionate corect cu probabilităţile 0, 8; 0, 7 şi respectiv 0, 9. Să se determine cu ce probabilitate două semnale sunt recepţionate corect. coeficientul lui x 2 din polinomul P(A) = 0, 398. (0, 8 x + 0, 2) (0, 7 x + 0, 3) (0, 9 x + 0, 1).
19 Schema lui Bernoulli (a bilei revenite) Dintr-o urnă cu a bile albe şi b bile negre, extragem cu repunere n bile, n a + b. Atunci A = "se obţin k bile albe (şi evident n k bile negre)". p = "schema binomială" P(A) = C k n p k q n k, (2.2) a a + b, q = b a + b ; 0 k a.
20 Schema lui Bernoulli (a bilei revenite) Dintr-o urnă cu a bile albe şi b bile negre, extragem cu repunere n bile, n a + b. Atunci A = "se obţin k bile albe (şi evident n k bile negre)". p = "schema binomială" P(A) = C k n p k q n k, (2.2) a a + b, q = b a + b ; 0 k a.
21 Condiţii ale unui experiment binomial (cu întoarcere): 1. Există n repetări identice ale unui experiment. 2. Fiecare repetare are exact două rezultate posibile. 3. Probabilităţile celor două rezultate rămân constante pe parcursul repetărilor. 4. Repetările sunt independente una de cealaltă.
22 Exemplu Sistem complet de evenimente Se aruncă două zaruri de 10 ori. Care este probabilitatea ca de 4 ori să apară suma 7? p = 6 36 = 1 6, q = 5 6, n = 10, k = 4 ( ) 1 4 ( ) 5 6 P(A) = C
23 Exemplu Sistem complet de evenimente Se aruncă două zaruri de 10 ori. Care este probabilitatea ca de 4 ori să apară suma 7? p = 6 36 = 1 6, q = 5 6, n = 10, k = 4 ( ) 1 4 ( ) 5 6 P(A) = C
24 Schema lui Bernoulli cu mai multe stări Dintr-o urnă cu bile de s N culori, extragem cu repunere n bile. Probabilitatea de a extrage k i bile de culoare i, i = 1, 2,..., s, k k s = n este p n;k1,k 2,...,k s = n! k 1! k 2!... k s! pk 1 1 pk pks s, (2.3) p i este probabilitatea de a extrage o bilă de culoare i, p 1 + p p s = 1.
25 Exemplu Sistem complet de evenimente Se aruncă un zar de 10 ori. Care este probabilitatea ca exact de 2 ori să apară faţa cu un punct şi exact de 3 ori să apară faţa cu două puncte? Avem: n = 10, k 1 = 2, k 2 = 3, k 3 = 5, p 1 = 1 6, p 2 = 1 6, p 3 = 4 6 = 2 3, iar probabilitatea cerută este: ( ) 10! 1 2 ( ) 1 3 ( ) 2 5 2! 3! 5!
26 Exemplu Sistem complet de evenimente Se aruncă un zar de 10 ori. Care este probabilitatea ca exact de 2 ori să apară faţa cu un punct şi exact de 3 ori să apară faţa cu două puncte? Avem: n = 10, k 1 = 2, k 2 = 3, k 3 = 5, p 1 = 1 6, p 2 = 1 6, p 3 = 4 6 = 2 3, iar probabilitatea cerută este: ( ) 10! 1 2 ( ) 1 3 ( ) 2 5 2! 3! 5!
27 Schema hipergeometrică (a bilei neîntoarsă) Dintr-o urnă cu a bile albe şi b bile negre, extragem fără repunere n bile, n a + b. Atunci A = "se obţin k bile albe (şi evident n k bile negre)". P(A) = Ck a C n k b Ca+b n. (2.4)
28 Schema hipergeometrică (a bilei neîntoarsă) Dintr-o urnă cu a bile albe şi b bile negre, extragem fără repunere n bile, n a + b. Atunci A = "se obţin k bile albe (şi evident n k bile negre)". P(A) = Ck a C n k b Ca+b n. (2.4)
29 Schema hipergeometrică cu mai multe stări Într-o urnă sunt bile de s N culori, a i bile au culoarea i, i = 1, 2,..., s. Extragem fără repunere n bile. Probabilitatea de e extrage k i bile de culoarea i, k 1 + k k s = n este p k 1,k 2...k s a 1,a 2...,a s = Ck 1 a s a 1 C k 2 a 2... C ks C k 1+k k s a 1 +a a s (2.5)
30 Exemplu Sistem complet de evenimente Intr-un lot de 100 de articole se află 80 corespunzătoare, 15 cu defecţiuni remediabile şi 5 rebuturi. Alegem 6 articole. Cu ce probabilitate 3 articole sunt bune, 2 cu defecţiuni remediabile şi 1 articol este rebut? 1) extragerile se fac cu repunere: cazul schemei Bernoulli generalizată ( ) 6! 80 3 P(A) = 3! 2! 1! 100 ( ) extragerile se fac fără repunere: cazul schemei hipergeometrice generalizată P(A) = C3 80 C2 15 C1 5 C ) 2 ( )
31 Exemplu Sistem complet de evenimente Intr-un lot de 100 de articole se află 80 corespunzătoare, 15 cu defecţiuni remediabile şi 5 rebuturi. Alegem 6 articole. Cu ce probabilitate 3 articole sunt bune, 2 cu defecţiuni remediabile şi 1 articol este rebut? 1) extragerile se fac cu repunere: cazul schemei Bernoulli generalizată ( ) 6! 80 3 P(A) = 3! 2! 1! 100 ( ) extragerile se fac fără repunere: cazul schemei hipergeometrice generalizată P(A) = C3 80 C2 15 C1 5 C ) 2 ( )
32
33 σ-algebră Sistem complet de evenimente Definiţia 3.1 Fie E o mulţime oarecare nevidă şi fie K P(E), K. Mulţimea de părţi K se numeşte σ-algebră dacă satisface următoarele condiţii: (i) A K A K; (ii) A n K, n N avem A n K.
34 Proprietăţi 1. E, K. K A K A K 2. A n K, n N avem A n K. A A = E K = E K A n K A n K A n = A n K 3. A, B K A \ B K. A \ B = A B K. A n K.
35 Proprietăţi 1. E, K. K A K A K 2. A n K, n N avem A n K. A A = E K = E K A n K A n K A n = A n K 3. A, B K A \ B K. A \ B = A B K. A n K.
36 Proprietăţi 1. E, K. K A K A K 2. A n K, n N avem A n K. A A = E K = E K A n K A n K A n = A n K 3. A, B K A \ B K. A \ B = A B K. A n K.
37 Proprietăţi 1. E, K. K A K A K 2. A n K, n N avem A n K. A A = E K = E K A n K A n K A n = A n K 3. A, B K A \ B K. A \ B = A B K. A n K.
38 Proprietăţi 1. E, K. K A K A K 2. A n K, n N avem A n K. A A = E K = E K A n K A n K A n = A n K 3. A, B K A \ B K. A \ B = A B K. A n K.
39 Proprietăţi 1. E, K. K A K A K 2. A n K, n N avem A n K. A A = E K = E K A n K A n K A n = A n K 3. A, B K A \ B K. A \ B = A B K. A n K.
40 Def. funcţia de probabilitate; Kolmogorov Definiţia 3.2 Fie E o mulţime şi fie K o σ-algebră de părţi ale lui E. O funcţie P : K [ 0, 1 ] care satisface următoarele proprietăţi: (i) P(E) = 1; (ii) (A n ) n K, A n A m =, n m avem ( ) P A n = P(A n ), se numeşte probabilitate. (E, K, P) se numeşte câmp infinit de probabilitate.
41
42 Având cunoscută măsura unui domeniu din R, R 2 sau R 3 vom avea în vedere în cele ce urmează probleme ce implică probabilităţi geometrice în care factorul aleator depinde de măsura domeniului considerat. Presupunem că un "punct aleator" se află într-un domeniu posibil E R n, n = 1, 2, 3 iar probabilitatea ca acesta să se afle într-un anumit domeniu, depinde de mărimea µ (măsura) acestui domeniu; mărimea este o lungime (n = 1), o arie (n = 2) sau respectiv un volum (n = 3). Probabilitatea ca "punctul aleator" să se afle într-un domeniu favorabil D E este P(D) = µ(d) µ(e). (4.1)
43 Exemplu Sistem complet de evenimente Pe cadranul unui osciloscop, care este un pătrat cu latura a > 0 apare aleator un semnal luminos. Cu ce probabilitate acesta apare la o distanţă d a faţă de centrul ecranului? 2 Domeniul posibil este interiorul pătratului cu aria a 2. Domeniul favorabil este interiorul cercului cu centrul 0 şi raza a 2, al cărui centru coincide cu centrul pătratului. Deci P = ( a 2 π 2) a 2 = π 4.
44 Exemplu Sistem complet de evenimente Pe cadranul unui osciloscop, care este un pătrat cu latura a > 0 apare aleator un semnal luminos. Cu ce probabilitate acesta apare la o distanţă d a faţă de centrul ecranului? 2 Domeniul posibil este interiorul pătratului cu aria a 2. Domeniul favorabil este interiorul cercului cu centrul 0 şi raza a 2, al cărui centru coincide cu centrul pătratului. Deci P = ( a 2 π 2) a 2 = π 4.
45 Exemplu Sistem complet de evenimente O bandă magnetică are lungimea de 200 m şi conţine două mesaje înregistrate pe două piste; pe prima pistă se află un mesaj de 30 m, iar pe a doua de 50 m, ale căror poziţii pe bandă nu se cunosc precis. Din cauza unei defecţiuni, după primii 80 m trebuie îndepărtaţi 10 m de bandă. Găsiţi probabilităţile evenimentelor: A "nici o înregistrare nu este afectată"; B "prima înregistrare este afectată şi a doua nu"; C "a doua înregistrare este afectată şi prima nu"; D "ambele înregistrări sunt afectate".
46 Fie x, y coordonata la care poate începe prima respectiv a doua înregistrare; x [0, 170], y [0, 150]. pentru ca prima înregistrare să nu fie afectată, trebuie ca x [0, 50] [90, 170], pentru cea de-a doua trebuie ca y [0, 30] [90, 150]. Pentru fiecare eveniment considerat probabilitatea se calculează ca raportul ariei domeniului marcat corespunzător din figură şi aria domeniului total posibil (vezi figura (1)). Figure:
47 Exemplu Sistem complet de evenimente Două semnale de lungime t < 1 2 sunt transmise în intervalul de timp [0, 1]; fiecare poate să înceapă în orice moment al intervalului [0, 1 t]. Dacă semnalele se suprapun, chiar şi parţial, se distorsionează şi nu pot fi receptate. Găsiţi probabilitatea ca semnalele să fie recepţionate fără distorsionări.
48 Fie x momentul la care poate să înceapă primul semnal şi y momentul începerii celui de-al doilea. Domeniul posibil este un pătrat de latură 1 t. Pentru a nu se distorsiona transmiterea este necesar ca distanţa dintre momentele de începere ale semnalelor să fie mai mare decât lungimea unui semnal, deci iar domeniul favorabil este A = { (x, y); x y > t }. Probabilitatea cerută este (1 2t)2 (1 t) 2.
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότερα1 Câmp finit de probabilitate Formule de calcul într-un câmp de probabilitate... 10
Cuprins Câmp finit de probabilitate 5. Formule de calcul într-un câmp de probabilitate.......... 5. Formule de calcul într-un câmp de probabilitate...........3 Scheme clasice de probabilitate...................
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραRĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραI3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs
I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs Ştefan Balint, Eva Kaslik, Simina Mariş Cuprins Experienţǎ şi evenimente aleatoare 3 2 Eveniment sigur. Eveniment imposibil 3 3 Evenimente contrare 4 4 Evenimente compatibile.
Διαβάστε περισσότεραI3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs
I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs Ştefan Balint, Eva Kaslik, Simina Mariş Cuprins Experienţǎ şi evenimente aleatoare 3 2 Eveniment sigur. Eveniment imposibil 3 3 Evenimente contrare 4 4 Evenimente compatibile.
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραTEORIA PROBABILITĂŢILOR UNIVERSITATEA TEHNICĂ GH. ASACHI,
Ariadna Lucia Pletea Liliana Popa TEORIA PROBABILITĂŢILOR UNIVERSITATEA TEHNICĂ GH. ASACHI, IAŞI 999 Cuprins Introducere 5 Câmp de probabilitate 7. Câmp finit de evenimente...........................
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότερα5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Διαβάστε περισσότεραCURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.
Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότερα3 Distribuţii discrete clasice
3 Distribuţii discrete clasice 3.1 Distribuţia Bernoulli Probabil cel mai simplu tip de variabilă aleatoare discretă, variabila aleatoare Bernoulli modelează efectuareaunui experiment în care poate apare
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE TEST 2.4.1 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Rezolvare: 1. Alcadienele sunt hidrocarburi
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Διαβάστε περισσότεραSă se arate că n este număr par. Dan Nedeianu
Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)
Διαβάστε περισσότεραf(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραGeometrie computationala 2. Preliminarii geometrice
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,
Διαβάστε περισσότεραElemente de Teoria. Chapter Spaţiu de probabilitate
Chapter 1 Elemente de Teoria Probabilităţilor 1.1 Spaţiu de probabilitate Pentru a defini conceptul de spaţiu de probabilitate, vom considera un experiment, al carui rezultat nu se poate preciza cu siguranţă
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότερα1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR
1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότερα8 Intervale de încredere
8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότερα5.1. Noţiuni introductive
ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραCercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!)
Cercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!) Prof. ION CĂLINESCU,CNDG, Câmpulung Voi prezenta o abordare simplă a determinării cercului lui Euler, pe baza unei probleme de loc geometric. Preliminarii:
Διαβάστε περισσότερα7 Distribuţia normală
7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare
Διαβάστε περισσότεραTransformata Laplace
Tranformata Laplace Tranformata Laplace generalizează ideea tranformatei Fourier in tot planul complex Pt un emnal x(t) pectrul au tranformata Fourier ete t ( ω) X = xte dt Pt acelaşi emnal x(t) e poate
Διαβάστε περισσότεραFig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
Διαβάστε περισσότεραINTERPOLARE. y i L i (x). L(x) = i=0
INTERPOLARE Se dau punctele P 0, P 1,..., P n in plan sau in spatiu, numite noduri si avand vectorii de pozitie r 0, r 1,..., r n. Problemă. Să se găsească o curbă (dintr-o anumită familie) care să treacă
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραTEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Διαβάστε περισσότερα* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Διαβάστε περισσότεραAlgebra si Geometrie Seminar 9
Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni
Διαβάστε περισσότεραCum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme
Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.
Διαβάστε περισσότεραComponente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
Διαβάστε περισσότεραREACŢII DE ADIŢIE NUCLEOFILĂ (AN-REACŢII) (ALDEHIDE ŞI CETONE)
EAŢII DE ADIŢIE NULEFILĂ (AN-EAŢII) (ALDEIDE ŞI ETNE) ompușii organici care conțin grupa carbonil se numesc compuși carbonilici și se clasifică în: Aldehide etone ALDEIDE: Formula generală: 3 Metanal(formaldehida
Διαβάστε περισσότεραErori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:
Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,
Διαβάστε περισσότεραAsist. Dr. Oana Captarencu. otto/pn.html.
Reţele Petri şi Aplicaţii p. 1/45 Reţele Petri şi Aplicaţii Asist. Dr. Oana Captarencu http://www.infoiasi.ro/ otto/pn.html otto@infoiasi.ro Reţele Petri şi Aplicaţii p. 2/45 Evaluare Nota finala: 40%
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραComponente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 4. Măsurarea parametrilor mărimilor electrice
Laborator 4 Măsurarea parametrilor mărimilor electrice Obiective: o Semnalul sinusoidal, o Semnalul dreptunghiular, o Semnalul triunghiular, o Generarea diferitelor semnale folosind placa multifuncţională
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραCapitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25
Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 LAGĂRELE CU ALUNECARE!" 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.!" 25.2.Funcţionarea lagărelor cu alunecare.! 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.
Διαβάστε περισσότεραTRIUNGHIUL. Profesor Alina Penciu, Școala Făgăraș, județul Brașov A. Definitii:
TRIUNGHIUL Profesor lina Penciu, Școala Făgăraș, județul rașov Daca, si sunt trei puncte necoliniare, distincte doua câte doua, atunci ( ) [] [] [] se numeste triunghi si se noteaza cu Δ. Orice Δ determina
Διαβάστε περισσότεραII. 5. Probleme. 20 c 100 c = 10,52 % Câte grame sodă caustică se găsesc în 300 g soluţie de concentraţie 10%? Rezolvare m g.
II. 5. Problee. Care ete concentraţia procentuală a unei oluţii obţinute prin izolvarea a: a) 0 g zahăr în 70 g apă; b) 0 g oă cautică în 70 g apă; c) 50 g are e bucătărie în 50 g apă; ) 5 g aci citric
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότερα3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
Διαβάστε περισσότεραUnitatea atomică de masă (u.a.m.) = a 12-a parte din masa izotopului de carbon
ursul.3. Mării şi unităţi de ăsură Unitatea atoică de asă (u.a..) = a -a parte din asa izotopului de carbon u. a.., 0 7 kg Masa atoică () = o ărie adiensională (un nuăr) care ne arată de câte ori este
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii
Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1
Διαβάστε περισσότεραAPLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR. Călinici Tudor 2016
APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR Călinici Tudor 2016 OBIECTIVE EDUCAŢIONALE Prezentarea conceptelor fundamentale ale teoriei calculului probabilitaţilor Evenimente independente Probabilități
Διαβάστε περισσότεραLucian Maticiuc SEMINAR Conf. dr. Lucian Maticiuc. Capitolul VI. Integrala triplă. Teoria:
Capitolul I: Integrala triplă Conf. dr. Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Analiza Matematică II, Semestrul II Conf. dr. Lucian MATICIUC Teoria: SEMINAR 3 Capitolul I. Integrala
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότεραReflexia şi refracţia luminii.
Reflexia şi refracţia luminii. 1. Cu cat se deplaseaza o raza care cade sub unghiul i =30 pe o placa plan-paralela de grosime e = 8,0 mm si indicele de refractie n = 1,50, pe care o traverseaza? Caz particular
Διαβάστε περισσότερα