ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ"

Transcript

1 Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου ΘΕΩΡΙΑ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ Το σύολο C τω µιγδικώ ριθµώ είι έ υπερσύολο του συόλου R τω πργµτικώ ριθµώ, στο οποίο: Επεκτείοτι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισµού έτσι, ώστε έχου τις ίδιες ιδιότητες όπως κι στο R, µε το µηδέ () είι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης κι το έ () το ουδέτερο στοιχείο του πολλπλσισµού, Υπάρχει έ στοιχείο i τέτοιο, ώστε i =, Κάθε στοιχείο z του C γράφετι κτά µοδικό τρόπο µε τη µορφή z = + i, όπου, R ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ + i = γ + δi = γ κι = δ + i = = κι = ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ Κάθε µιγδικό ριθµό z= + i µπορούµε το τιστοιχίσουµε στο σηµείο M (, ) εός κρτεσιού επιπέδου Ές µιγδικός z = + i πριστάετι επίσης κι µε τη διυσµτική κτί, OM uuuur, του σηµείου M (, ) ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ(+,-,, ) Γι τη πρόσθεση δύο µιγδικώ ριθµώ + i κι γ + δiέχουµε: ( + i) + ( γ + δi) = ( + γ ) + ( + δ ) i Γι τη φίρεση του µιγδικού ριθµού γ + δi πό το + i, επειδή ο τίθετος του µιγδικού γ + δi είι ο µιγδικός γ δi, έχουµε: ( + i) ( γ + δi) = ( + i) + ( γ δi) = ( γ ) + ( δ ) i ηλδή: ( + i) ( γ + δi) = ( γ ) + ( δ ) i M(,) ή Μ(z) Ο a Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

2 Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Γρφική πράστση πρόσθεσης: Α M (, ) κι M (, ) γ δ είι οι εικόες τω + i κι γ + δi τιστοίχως στο µιγδικό επίπεδο, τότε το άθροισµ ( + i) + ( γ + δi) = ( + γ ) + ( + δ ) i πριστάετι µε το σηµείο M ( + γ, + δ ) uuuur uuuur uuuuur Εποµέως, OM = OM + OM, δηλδή: M(+γ, +δ) M (γ,δ) M (,) Ο Η διυσµτική κτί του θροίσµτος τω µιγδικώ + i κι γ + δi είι το άθροισµ τω διυσµτικώ κτίω τους Γρφική πράστση διφοράς: Επίσης, η διφορά ( + i) ( γ + δi) = ( γ ) + ( δ ) i πριστάετι µε το σηµείο N( γ, δ ) uuur uuuur uuuuur Εποµέως, ON = OM OM, δηλδή: Ο Μ (γ,δ) Μ (,) Ν( γ, δ) 3 Η διυσµτική κτί της διφοράς τω µιγδικώ + i κι γ + δi είι η διφορά τω διυσµτικώ κτίω τους Γι το πολλπλσισµό δύο µιγδικώ + i κι γ + δi έχουµε: ( + i)( γ + δi) = ( γ + δi) + i( γ + δi) = γ + δi + γ i + ( i)( δi) = = γ + δ + γ + δ = γ + δ + γ δ = ( γ δ ) + ( δ + γ ) ηλδή: ( + i)( γ + δi) = ( γ δ ) + ( δ + γ ) i i i i i i i Ειδικότερ, έχουµε: ( + i)( i) = + Ο ριθµός i λέγετι συζυγής του + i κι συµολίζετι µε + i ηλδή: + i = i Μ 3 ( γ, δ) Επειδή είι κι i = + i, οι + i, i λέγοτι συζυγείς µιγδικοί + i Τέλος, γι εκφράσουµε το πηλίκο, όπου γ + δi, γ + δi στη µορφή κ + λi, πολλπλσιάζουµε τους όρους του κλάσµτος µε το συζυγή του προοµστή κι έχουµε: Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

3 Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου 3 + i ( + i)( γ δi) ( γ + δ ) + ( γ δ ) i γ + δ γ δ = = = + i γ + δi ( γ + δi)( γ δi) γ + δ γ + δ γ + δ + i γ + δ γ δ ηλδή, = + i γ + δi γ + δ γ + δ ΥΝΑΜΗ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Οι δυάµεις εός µιγδικού z µε εκθέτη κέριο ορίζοτι όπως κριώς οι δυάµεις τω πργµτικώ ηλδή: z =, µε z z z = z = z z, z = 443 z z z z φορές =, όπου Ν *,z z, υ = i, υ = = = = = = = -, υ = i, υ = 3 4ρ+ υ 4ρ υ 4 ρ υ ρ υ υ i i i i ( i ) i i i ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ : Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Γι έ µιγδικό ριθµό z=+i ορίζουµε ως συζυγή του ριθµού z το µιγδικό z = i Ι ΙΟΤΗΤΕΣ Στο µιγδικό επίπεδο οι εικόες M (, ) κι M (, ) δύο συζυγώ µιγδικώ z = + i κι z = i είι σηµεί συµµετρικά ως Ο προς το πργµτικό άξο M(z) 4 Ισχύει: ( z ) ορισµού) = z (φού ( i) = + i µε εφρµογή του M (z) Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

4 Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου 4 Γι δύο συζυγείς µιγδικούς ριθµούς z = + i κι z = i ισχύει : z + z = z z = i Α z = + i κι z = γ + δi είι δυο µιγδικοί ριθµοί, τότε: z + z = z + z z z = z z 3 z z = z z z z = z z 4 Οι ιδιότητες υτές µπορού ποδειχτού µε εκτέλεση τω πράξεω Γι πράδειγµ έχουµε: Απόδειξη της : z + z = ( + i) + ( γ + δi) = ( + γ ) + ( + δ ) i = ( + γ ) ( + δ )i = ( i) + ( γ δi) = z + z 5 z + z + L+ z = z + z + L + z (Γείκευση της ) 6 z z z = z z z (Γείκευση της 3) 7 ( z ) = ( z ) ( είι z = z = = z = z, κι εφρµόσουµε τη ιδιότητ 6) ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ: z + z + γ = µε,,γ R, > Tότε η εξίσωση έχει δύο πργµτικές λύσεις: ± z, = = Tότε έχει µι διπλή πργµτική λύση: z = < Tότε, επειδή = = =,η εξίσωση γράφετι: ( )( ) i ( ) i 4 4 ( ) i z + = Άρ οι λύσεις της είι: ± i z, =, οι οποίες είι συζυγείς µιγδικοί ριθµοί Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

5 Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου 5 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 5 Ορίζουµε ως µέτρο του z τη πόστση του M πό uuuur τη ρχή O, δηλδή z = OM = + z M(,) Ι ΙΟΤΗΤΕΣ Ο a ύο προφείς ιδιότητες πό τ πρπάω είι: z = z = z = z z = z z Α z, z είι µιγδικοί ριθµοί, τότε z z = z z z z = z z Απόδειξη: Πράγµτι, έχουµε: z z = z z z z = z z ( z z)( z z) = z z z z z z z z = z z z z κι, επειδή η τελευτί ισότητ ισχύει, θ ισχύει κι η ισοδύµη ρχική Αάλογ ποδεικύετι κι η δεύτερη ιδιότητ Γεικά, ποδεικύετι ότι : z z z = z z z κι = z z Από τη γωστή µς τριγωική ισότητ κι πό τη γεωµετρική ερµηεί του θροίσµτος z + z κι της διφοράς z z δύο µιγδικώ προκύπτει ότι: z z z + z z + z λλά κι ότι z z z z z + z Επίσης, είι uuur φερό ότι το µέτρο του διύσµτος ON είι ίσο µε το µέτρο του διύσµτος Ο M 3 ( z ) M (z ) M (z ) N(z z ) M(z +z ) 6 Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

6 Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου 6 uuuuuur M M Εποµέως: Το µέτρο της διφοράς δύο µιγδικώ είι ίσο µε τη πόστση τω εικόω τους ηλδή: ( MM ) = z z Η εξίσωση z z = ρ, µε ρ> κι z = + i πριστάει το κύκλο µε κέτρο το σηµείο Κ ( z) κι κτί ρ Ειδικά η εξίσωση z = ρ, µε ρ> πριστάει κύκλο µε κέτρο τη ρχή τω ξόω Ο(,) κι κτί ρ Ο K(, ) Η εξίσωση z z = z z, όπου z = + i, z = + i, πριστάει τη µεσοκάθετο του Β τµήµτος µε άκρ τ σηµεί Α ( ) κι ( ) z z B(, ) A(, ) Η έοι της πργµτικής συάρτησης ΟΡΙΣΜΟΣ Ο Έστω Α έ υποσύολο του R Οοµάζουµε πργµτική συάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α µι διδικσί (κό) f, µε τη οποί κάθε στοιχείο A τιστοιχίζετι σε έ µόο πργµτικό ριθµό Το οοµάζετι τιµή της f στο κι συµολίζετι µε f ( ) Ισότητ συρτήσεω ΟΡΙΣΜΟΣ ύο συρτήσεις f κι g λέγοτι ίσες ότ: έχου το ίδιο πεδίο ορισµού Α κι γι κάθε A ισχύει f ( ) = g( ) ( ηλδή το ίδιο τύπο) Έστω τώρ f, g δύο συρτήσεις µε πεδί ορισµού Α, Β τιστοίχως κι Γ έ υποσύολο τω Α κι Β Α γι κάθε Γ ισχύει f ( ) = g( ), τότε λέµε ότι οι συρτήσεις f κι g είι ίσες στο σύολο Γ Ο Γ 678 B A Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

7 Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου 7 Πράξεις µε συρτήσεις Ορίζουµε ως άθροισµ f + g, διφορά f - g, γιόµεο f g κι πηλίκο f g δύο συρτήσεω f, g τις συρτήσεις µε τύπους ( f + g)( ) = f ( ) + g( ) ( f g)( ) = f ( ) g( ) ( f g)( ) = f ( ) g( ) f ( ) = g f ( ) g( ) Το πεδίο ορισµού τω f πεδίω ορισµού D f κι + g, f g κι f g είι η τοµή D f Dg τω D g τω συρτήσεω f κι g τιστοίχως, εώ το πεδίο ορισµού της f g είι το D f Dg, εξιρουµέω τω τιµώ του που µηδείζου το προοµστή g( ), δηλδή το σύολο { A κι B, µε ( ) } Σύθεση συρτήσεω ΟΡΙΣΜΟΣ g δηλδή D D { g( ) } f = Α f, g είι δύο συρτήσεις µε πεδίο ορισµού Α, Β τιστοίχως, τότε οοµάζουµε σύθεση της f µε τη g, κι τη συµολίζουµε µε gof, τη συάρτηση µε τύπο ( gof )( ) = g( f ( )) g f(a) B A f f() g(b) go f g g( f()) A Το πεδίο ορισµού της gof ποτελείτι πό όλ τ στοιχεί του πεδίου ορισµού της f γι τ οποί το f ( ) ήκει στο πεδίο ορισµού της g ηλδή είι το σύολο A = { A f ( ) A } Είι φερό ότι η gof ορίζετι gof f g A, δηλδή f ( A) B gof Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

8 Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Μοοτοί συάρτησης ΟΡΙΣΜΟΣ 8 Μι συάρτηση f λέγετιf() : γησίως ύξουσ σ έ δ ι ά σ τ η µ του πεδίου ορισµού της, ότ γι οποιδήποτε, µε < ισχύει: f ( ) < f ( ) γησίως φθίουσ σ έ δ ι ά σ τ η µ του πεδίου ορισµού της, ότ γι οποιδήποτε, µε < ισχύει: f ( ) > f ( ) Ακρόττ συάρτησης ΟΡΙΣΜΟΣ Μι συάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α θ λέµε ότι: Προυσιάζει στο A (ολικό) µέγιστο, το f ( ), ότ f ( ) f ( ) γι κάθε A Προυσιάζει στο A (ολικό) ελάχιστο, το f ( ), ότ f ( ) f ( ) γι κάθε A Συάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Μι συάρτηση f : A R λέγετι συάρτηση, ότ γι οποιδήποτε, A ισχύει η συεπγωγή:, τότε ( ) f ( ) f ( ) Με πγωγή σε άτοπο ποδεικύετι ότι: Μι συάρτηση f : A R είι συάρτηση, κι µόο γι οποιδήποτε, A ισχύει η συεπγωγή: f f ( ) = ( ), τότε = Ατίστροφη συάρτηση Έστω µι συάρτηση f : A R Α υποθέσουµε ότι υτή είι, τότε γι κάθε στοιχείο του συόλου τιµώ, f ( A ), της f υπάρχει µοδικό στοιχείο του =f() O Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

9 Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου 9 πεδίου ορισµού της Α γι το οποίο ισχύει f ( ) = Εποµέως ορίζετι µι συάρτηση g: f ( A) R µε τη οποί κάθε f ( A) τιστοιχίζετι στο µοδικό A γι το οποίο ισχύει f ( ) = Από το τρόπο που ορίστηκε η g προκύπτει ότι: έχει πεδίο ορισµού το σύολο τιµώ f ( A ) της f, έχει σύολο τιµώ το πεδίο ορισµού Α της f κι ισχύει η ισοδυµί: f ( ) = g( ) = Αυτό σηµίει ότι, η f τιστοιχίζει το στο, τότε η g τιστοιχίζει το στο κι τιστρόφως ηλδή η g είι η τίστροφη διδικσί της f Γι το λόγο υτό η g λέγετι τίστροφη συάρτηση της f κι συµολίζετι µε f Εποµέως έχουµε f ( ) = f ( ) = A g()= f g f(a) =f() Οι γρφικές πρστάσεις C κι C τω συρτήσεω f κι είι συµµετρικές ως προς τη ευθεί = που διχοτοµεί τις γωίες O κι O Όρι lim f ( ) =l lim f ( ) = lim f ( ) =l () () lim f ( ) =l lim( f ( ) l ) = lim f ( ) =l lim f ( + h) =l h ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΑΠΟ ΕΞΙΑ ΚΑΙ ΑΠΟ ΑΡΙΣΤΕΡΑ ΣΤΟ R Α µι συάρτηση f είι ορισµέη σε έ σύολο της µορφής (, ) (, ), τότε ισχύει η ισοδυµί: lim f ( ) =l + lim f ( ) = lim f ( ) =l + ΟΡΙΟ ΜΟΝΟ ΑΠΟ ΕΞΙΑ ΣΤΟ R f Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

10 Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Α µι συάρτηση f είι ορισµέη σε έ διάστηµ της µορφής (, ), λλά δε ορίζετι σε διάστηµ της µορφής (, ), τότε ορίζουµε: lim f ( ) = lim f ( ) + ΟΡΙΟ ΜΟΝΟ ΑΠΟ ΑΡΙΣΤΕΡΑ ΣΤΟ R Α µι συάρτηση f είι ορισµέη σε έ διάστηµ της µορφής (, ), λλά δε ορίζετι σε διάστηµ της µορφής (, ), τότε ορίζουµε: lim f ( ) = lim f ( ) Όριο τυτοτικής - στθερής συάρτησης lim = lim c = c Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ Όριο κι διάτξη ΘΕΩΡΗΜΑ ο Α Α lim f ( ) >, τότε f ( ) > κοτά στο (Σχ ) lim f ( ) <, τότε f ( ) < κοτά στο (Σχ ) ΘΕΩΡΗΜΑ ο Α οι συρτήσεις f, g έχου όριο στο κι ισχύει f ( ) g( ) κοτά στο, τότε lim f ( ) lim g( ) Όρι κι πράξεις ΘΕΩΡΗΜΑ Α υπάρχου τ όρι τω συρτήσεω f κι g στο, τότε: lim( f ( ) + g( )) = lim f ( ) + lim g( ) lim( κ f ( )) = κ lim f ( ), γι κάθε στθερά κ R Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

11 Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου 3 lim( f ( ) g( )) = lim f ( ) lim g( ) f ( ) lim f ( ) 4 lim =, εφόσο g ( ) lim g ( ) lim g ( ) 5 6 lim f ( ) = lim f ( ) lim k f ( ) = k lim f ( ), εφόσο f ( ) κοτά στο lim[ f ( )] = lim f ( ), * N lim = lim P ( ) = P ( ) P( ) P( ) =, εφόσο Q( ) lim Q ( ) Q ( ) Κριτήριο πρεµολής ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω οι συρτήσεις f, g, h Α h( ) f ( ) g( ) κοτά στο κι lim h( ) = lim g( ) =l, τότε : lim f ( ) Tριγωοµετρικά όρι ηµ, γι κάθε R (η ισότητ ισχύει µόο ότ = ) limηµ = ηµ limσυ = συ =l Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

12 Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου ) ) ηµ lim = συ lim = Όριο σύθετης συάρτησης lim f ( g( )) = lim f ( u) u u ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ (ΑΠΕΙΡΟ) ΟΡΙΟ ΣΤΟ R lim f ( ) = + lim f ( ) = lim f ( ) = + + lim f ( ) = lim f ( ) = lim f ( ) = + Ι ΙΟΤΗΤΕΣ Α Α Α Α lim f ( ) lim f ( ) = +, τότε f ( ) > κοτά στο, εώ =, τότε f ( ) < κοτά στο lim f ( ) = +, τότε lim f ( ) =, τότε lim( f ( )) =, εώ lim f ( ) = + ή, τότε lim( f ( )) = + lim = ( ) f lim f ( ) = κι f ( ) > κοτά στο, τότε εώ lim f ( ) = κι f ( ) < κοτά στο,τότε lim f ( ) lim ( ) f = +, = Α lim f ( ) = + ή, τότε lim f ( ) = + Α lim f ( ) = +, τότε lim k f ( ) = + Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

13 Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου 3 Α στο R ΘΕΩΡΗΜΑ ο (όριο θροίσµτος) το όριο της f είι: R R κι το όριο της g είι: τότε το όριο της f Α στο R, + g είι: ; ; ΘΕΩΡΗΜΑ ο (όριο γιοµέου) το όριο της f είι: κι το όριο της g είι: τότε το όριο της fg είι: προσδιόριστες µορφές ( + ) ( + ), ( ) ( ), ± ± > < > < ; ; ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ Στη περίπτωση υτή λέµε ότι η f έχει στο + όριο το l κι γράφουµε lim f ( ) =l + το g( ) υξάετι περιόριστ Στη περίπτωση υτή λέµε ότι η g έχει στο + όριο το + κι γράφουµε lim g( ) = + + το h( ) µειώετι περιόριστ Στη περίπτωση υτή λέµε ότι η h έχει στο + όριο το κι γράφουµε lim h( ) = Όριο πολυωυµικής κι ρητής συάρτησης Γι τη πολυωυµική συάρτηση + P( ) = + + L +, µε = ισχύει: lim P( ) = lim ( ) κι lim P( ) lim ( ) + Όριο ρητής συάρτησης: + Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

14 Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου L+ + Γι τη ρητή συάρτηση f ( ) =, κ κ κ + κ + L+ +, ισχύει: κ lim f ( ) = lim + + κ κι lim f ( ) = lim κ κ κ Όρι εκθετικής - λογριθµικής συάρτησης Αποδεικύετι ότι: Α > (Σχ 6), τότε =a lim =, lim + = + =log a lim log =, lim log + = + O Α < < (Σχ 6), τότε =a lim = +, lim = lim log + = +, lim log + Πεπερσµέο όριο κολουθίς = Η έοι της κολουθίς είι γωστή πό προηγούµεες τάξεις Συγκεκριµέ: ΟΡΙΣΜΟΣ O =log a Ακολουθί οοµάζετι κάθε πργµτική συάρτηση * :N R ΟΡΙΣΜΟΣ Θ λέµε ότι η κολουθί ( ) έχει όριο το l R κι θ γράφουµε * lim =l, ότ γι κάθε ε >, υπάρχει N τέτοιο, ώστε γι κάθε > ισχύει l < ε Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

15 Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισµός της συέχεις ΟΡΙΣΜΟΣ 5 Εστω µι συάρτηση f κι έ σηµείο του πεδίου ορισµού της Θ λέµε ότι η f είι συεχής στο, ότ lim f ( ) = f ( ) Μί συάρτηση f που είι συεχής σε όλ τ σηµεί του πεδίου ορισµού της, θ λέγετι, πλά, συεχής συάρτηση Πράξεις µε συεχείς συρτήσεις ΘΕΩΡΗΜΑ Α οι συρτήσεις f κι g είι συεχείς στο, τότε είι συεχείς στο κι οι συρτήσεις: f f + g, c f, όπου c R, f g, g, f κι f µε τη προϋπόθεση ότι ορίζοτι σε έ διάστηµ που περιέχει το ΘΕΩΡΗΜΑ Α η συάρτηση f είι συεχής στο κι η συάρτηση g είι συεχής στο f ( ), τότε η σύθεσή τους gof είι συεχής στο Συέχει συάρτησης σε διάστηµ κι σικά θεωρήµτ ΟΡΙΣΜΟΣ Μι συάρτηση f θ λέµε ότι είι συεχής σε έ οικτό διάστηµ (, ), ότ είι συεχής σε κάθε σηµείο του (, ) (Σχ) Μι συάρτηση f θ λέµε ότι είι συεχής σε έ κλειστό διάστηµ [, ], ότ είι συεχής σε κάθε σηµείο του (, ) κι επιπλέο lim f ( ) = f ( ) κι lim f ( ) = f ( ) (Σχ) + Αάλογοι ορισµοί διτυπώοτι γι διστήµτ της µορφής (, ], [, ) Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

16 Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου 6 Θεώρηµ του Bolzano Στο διπλό σχήµ έχουµε τη γρφική πράστση µις συεχούς συάρτησης f στο [, ] Επειδή τ σηµεί A(,f()) κι B(, f ( )) ρίσκοτι εκτέρωθε του άξο, η γρφική πράστση της f τέµει το άξο σε έ τουλάχιστο σηµείο f() O f(a) a Α(,f()) B(,f()) ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω µι συάρτηση f, ορισµέη σε έ κλειστό διάστηµ [, ] Α: η f είι συεχής στο [, ] κι, επιπλέο, ισχύει f ( ) f ( ) <, τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο, (, ) τέτοιο, ώστε f ( ) = ηλδή, υπάρχει µι, τουλάχιστο, ρίζ της εξίσωσης f ( ) = στο οικτό διάστηµ (, ) ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω µι συάρτηση f, η οποί είι ορισµέη σε έ κλειστό διάστηµ [, ] Α: η f είι συεχής στο [, ] κι f ( ) f ( ) τότε, γι κάθε ριθµό η µετξύ τω f ( ) κι f ( ) υπάρχει ές, τουλάχιστο (, ) τέτοιος, ώστε f ( ) = η ΑΠΟ ΕΙΞΗ Ας υποθέσουµε ότι f ( ) < f ( ) Τότε θ ισχύει f ( ) < η < f ( ) Α θεωρήσουµε τη συάρτηση g( ) = f ( ) η, [, ], πρτηρούµε ότι: η g είι συεχής στο [, ] κι f() g( ) g( ) <, η φού g( ) = f ( ) η < κι g( ) = f ( ) η > f(a) Α(,f()) Εποµέως, σύµφω µε το θεώρηµ του Bolzano, υπάρχει (, ) τέτοιο, ώστε g( ) = f ( ) η =, οπότε f ( ) = η O a B(,f()) =η Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

17 Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου 7 Η εικό f ( ) εός διστήµτος µέσω µις συεχούς κι µη στθερής συάρτησης f είι διάστηµ ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέγιστης κι ελάχιστης τιµής) Α f είι συεχής συάρτηση στο [, ], τότε η f πίρει στο [, ] µι µέγιστη τιµή Μ κι µι ελάχιστη τιµή m (Σχδ) A µι συάρτηση f είι γησίως ύξουσ κι συεχής σε έ οικτό διάστηµ (, ), τότε το σύολο τιµώ της στο διάστηµ υτό είι το διάστηµ ( Α, Β ) (Σχ), όπου Α = lim f ( ) κι B = lim f ( ) + Α, όµως, η f είι γησίως φθίουσ κι συεχής στο (, ), τότε το σύολο τιµώ της στο διάστηµ υτό είι το διάστηµ ( B, A ) (Σχ) ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Μι συάρτηση f λέµε ότι είι πργωγίσιµη σ έ σηµείο του f ( ) f ( ) πεδίου ορισµού της, υπάρχει το lim κι είι πργµτικός ριθµός Το όριο υτό οοµάζετι πράγωγος της f στο κι συµολίζετι µε f ( ) f ( ) f ( ) ηλδή: f ( ) = lim Η f είι πργωγίσιµη στο, κι µόο υπάρχου στο R τ f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) όρι lim, lim κι είι ίσ + Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

18 Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου ΟΡΙΣΜΟΣ 8 Έστω f µι συάρτηση κι A(, f ( )) έ σηµείο της C f Α f ( ) f ( ) υπάρχει το lim κι είι ές πργµτικός ριθµός λ, τότε ορίζουµε ως εφπτοµέη της C f στο σηµείο της Α, τη ευθεί ε που διέρχετι πό το Α κι έχει συτελεστή διεύθυσης λ ηλδή τη f ( ) = f ( ) ευθεί µε εξίσωση : ( ) ΘΕΩΡΗΜΑ Α µι συάρτηση f είι πργωγίσιµη σ έ σηµείο, τότε είι κι συεχής στο σηµείο υτό ΑΠΟ ΕΙΞΗ f ( ) f ( ) Γι έχουµε f ( ) f ( ) = ( ), οπότε f ( ) f ( ) lim[ f ( ) f ( )] = lim ( ) f ( ) f ( ) = lim lim( ) = f ( ) =,(φού η f είι πργωγίσιµη στο ) Εποµέως, lim f ( ) = f ( ), δηλδή η f είι συεχής στο ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Έστω f µι συάρτηση µε πεδίο ορισµού έ σύολο Α Θ λέµε ότι: H f είι πργωγίσιµη στο Α ή, πλά, πργωγίσιµη, ότ είι πργωγίσιµη σε κάθε σηµείο A Η f είι πργωγίσιµη σε έ οικτό διάστηµ (, ) του πεδίου ορισµού της, ότ είι πργωγίσιµη σε κάθε σηµείο (, ) Η f είι πργωγίσιµη σε έ κλειστό διάστηµ [, ] του πεδίου ορισµού της, ότ είι πργωγίσιµη στο (, ) κι επιπλέο ισχύει lim + f ( ) f ( ) R κι lim f ( ) f ( ) R Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

19 Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου 9 Έστω f µι συάρτηση µε πεδίο ορισµού Α κι A τo σύολο τω σηµείω του Α στ οποί υτή είι πργωγίσιµη Ατιστοιχίζοτς κάθε A στο f ( ), ορίζουµε τη συάρτηση f : A R f ( ), η οποί οοµάζετι πρώτη πράγωγος της f ή πλά πράγωγος της f H πρώτη πράγωγος της f συµολίζετι κι µε df d που διάζετι τε εφ προς τε χι Γι πρκτικούς λόγους τη πράγωγο συάρτηση = f ( ) θ τη συµολίζουµε κι µε = ( f ( )) Α υποθέσουµε ότι το Α είι διάστηµ ή έωση διστηµάτω, τότε η πράγωγος της f, υπάρχει, λέγετι δεύτερη πράγωγος της f κι συµολίζετι µε f Επγωγικά ορίζετι η ιοστή πράγωγος της f, µε 3, κι ( ) συµολίζετι µε f ( ) ( ) ηλδή f = [ f ], 3 Πράγωγος µερικώ σικώ συρτήσεω Εστω η στθερή συάρτηση f ( ) πργωγίσιµη στο R κι ισχύει f ( ) = c, c R Η συάρτηση f είι =, δηλδή ( c ) = Απόδειξη: Πράγµτι, είι έ σηµείο του R, τότε γι f ( ) f ( ) c c f ( ) f ( ) ισχύει: = = Εποµέως lim =, δηλδή ( c ) = Έστω η συάρτηση f ( ) R κι ισχύει f ( ) = Η συάρτηση f είι πργωγίσιµη στο =, δηλδή ( ) = Απόδειξη: Πράγµτι, είι έ σηµείο του R, τότε γι f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ισχύει: = = Εποµέως lim = lim=, δηλδή ( ) = Έστω η συάρτηση f ( ) =, {,} N Η συάρτηση f είι πργωγίσιµη στο R κι ισχύει v v =, δηλδή ( ) f ( ) = v Απόδειξη: Πράγµτι, είι έ σηµείο του R, τότε γι ισχύει: Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

20 Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου f ( ) f ( ) ( )( ) = = = + + +, οπότε f ( ) f ( ) lim = lim( ) = =, δηλδή ( ) = Έστω η συάρτηση f ( ) στο (, + ) κι ισχύει = Η συάρτηση f είι πργωγίσιµη f ( ) =, δηλδή ( ) = Απόδειξη: Πράγµτι, είι έ σηµείο του (, + ), τότε γι ισχύει: ( )( + ) ( )( ) ( )( ) f ( ) f ( ) = = = + + = +, οπότε f ( ) f ( ) lim = lim = +, δηλδή ( ) = Έστω συάρτηση f ( ) = ηµ Η συάρτηση f είι πργωγίσιµη στο R κι ισχύει f ( ) = συ, δηλδή ( ηµ ) = συ (Χωρίς πόδειξη) Έστω η συάρτηση f ( ) = συ Η συάρτηση f είι πργωγίσιµη στο R κι ισχύει f ( ) = ηµ, δηλδή ( συ ) = ηµ (Χωρίς πόδειξη) Έστω η συάρτηση f ( ) = e Αποδεικύετι ότι η f είι πργωγίσιµη στο R κι ισχύει f ( ) = e, δηλδή ( e ) = e (Χωρίς πόδειξη) Έστω η συάρτηση f ( ) = ln Αποδεικύετι ότι η f είι πργωγίσιµη στο (, + ) κι ισχύει (Χωρίς πόδειξη) f ( ) =, δηλδή (ln ) = Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

21 Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ Α οι συρτήσεις f, g είι πργωγίσιµες στο, τότε η συάρτηση f + gείι πργωγίσιµη στο κι ισχύει: ( f + g) ( ) = f ( ) + g ( ) Απόδειξη: Γι, ισχύει: ( f + g)( ) ( f + g)( ) f ( ) + g( ) f ( ) g( ) f ( ) f ( ) = = + g( ) g( ) Επειδή οι συρτήσεις f, g είι πργωγίσιµες στο, έχουµε: ( f + g)( ) ( f + g)( ) f ( ) f ( ) g( ) g( ) lim = lim + lim = f ( ) + g ( ), δηλδή ( f + g) ( ) = f ( ) + g ( ) ΘΕΩΡΗΜΑ Α οι συρτήσεις f, g είι πργωγίσιµες στο, τότε κι η συάρτηση f g είι πργωγίσιµη στο κι ισχύει: ( f g) ( ) = f ( ) g( ) + f ( ) g ( ) Απόδειξη: (Εκτός ύλης) Α f είι πργωγίσιµη συάρτηση σ έ διάστηµ κι c R, επειδή ( c ) =, σύµφω µε το θεώρηµ () έχουµε: ( cf ( )) = cf ( ) ΘΕΩΡΗΜΑ 3 Α οι συρτήσεις f, g είι πργωγίσιµες στο κι g( ), τότε κι η συάρτηση f g είι πργωγίσιµη στο κι ισχύει: f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f g f g g = [ g( )] Η πόδειξη πρλείπετι (Εκτός ύλης) Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

22 Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Έστω η συάρτηση f ( ) πργωγίσιµη στο ( ) = =, * R κι ισχύει * N Η συάρτηση f είι ( ) =, δηλδή f * Απόδειξη: Πράγµτι, γι κάθε R () ( ) έχουµε: ( ) = = = = ( ) Έστω η συάρτήση f ( ) = εφ Η συάρτηση f είι πργωγίσιµη f ( ) =, δηλδή συ στο R = R { συ = } κι ισχύει ( εφ) = συ Απόδειξη: Πράγµτι, γι κάθε R έχουµε: ηµ ( ηµ ) συ ηµ ( συ ) συ συ + ηµ ηµ ( εφ) = = = συ συ συ συ + ηµ = = συ συ Έστω η συάρτηση f ( ) = σφ Η συάρτηση f είι πργωγίσιµη f ( ) =, δηλδή ηµ στο R = R { ηµ = } κι ισχύει ( σφ) = ηµ ΘΕΩΡΗΜΑ 4 Α η συάρτηση g είι πργωγίσιµη στο κι η f είι πργωγίσιµη στο g( ), τότε η συάρτηση f g είι πργωγίσιµη στο κι ισχύει ( f g) ( ) = f ( g( )) g ( ) Η συάρτηση f ( ) κι ισχύει =, R Z είι πργωγίσιµη στο (, + ) ( ) =, δηλδή f ( ) = ln Απόδειξη: Πράγµτι, = = e κι θέσουµε u = ln, τότε u u u ln έχουµε = e Εποµέως, = ( e ) = e u = e = = Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

23 Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου 3 Η συάρτηση f ( ) =, > είι πργωγίσιµη στο R κι ισχύει f ( ) = ln, δηλδή ( ) = ln Απόδειξη: Πράγµτι, έχουµε u = e Εποµέως, Η συάρτηση f ( ) = ln, ισχύει (ln ) = ln e = = κι θέσουµε u = ln, τότε = = = = u u ln ( e ) e u e ln ln * R είι πργωγίσιµη στο * R κι Απόδειξη: Πράγµτι >, τότε (ln ) = (ln ) =, εώ <, τότε ln = ln( ), οπότε, θέσουµε = ln( ) κι u =, έχουµε = ln u Εποµέως, = (ln u) = u = ( ) = u κι άρ (ln ) = ( u ) = u u ( εφu) = u συ u ( u) = u ( σφu) = u u ηµ u ( ηµ u) = συ u u u u ( e ) = e u ( συ u) = ηµ u u u u ( ) = ln u ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ (ln u ) = u u Α δύο µετλητά µεγέθη, συδέοτι µε τη σχέση = f ( ), ότ f είι µι συάρτηση πργωγίσιµη στο, τότε οοµάζουµε ρυθµό µετολής του ως προς το στο σηµείο τη πράγωγο f ( ) Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

24 Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου ΘΕΩΡΗΜΑ (Rolle) 4 Α µι συάρτηση f είι: συεχής στο κλειστό διάστηµ [, ] πργωγίσιµη στο οικτό διάστηµ (, ) κι f ( ) = f ( ) τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ (, ) τέτοιο, ώστε: f ( ξ ) = Γεωµετρικά, υτό σηµίει ότι υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ (, ) τέτοιο, ώστε η εφπτοµέη της C στο M ( ξ, f ( ξ )) είι πράλληλη στο άξο τω f Μ(ξ,f(ξ)) Α(,f()) Β(,f()) O ξ ξ ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέσης Τιµής ιφορικού Λογισµού ΘΜΤ) Α µι συάρτηση f είι: συεχής στο κλειστό διάστηµ [, ] κι πργωγίσιµη στο οικτό διάστηµ (, ) τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ (, ) τέτοιο, ώστε: f ( ) f ( ) f ( ξ ) = Γεωµετρικά, υτό σηµίει ότι υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ (, ) τέτοιο, ώστε η εφπτοµέη της γρφικής πράστσης της f στο σηµείο M ( ξ, f ( ξ )) είι πράλληλη της ευθείς ΑΒ M(ξ,f(ξ)) A(a,f(a)) Β(,f()) Συέπειες του Θεωρήµτος της Μέσης τιµής ΘΕΩΡΗΜΑ (Στθερής Συάρτησης) Ο a ξ ξ Έστω µι συάρτηση f ορισµέη σε έ διάστηµ Α η f είι συεχής στο κι f ( ) = γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σηµείο του, τότε η f είι στθερή σε όλο το διάστηµ ΑΠΟ ΕΙΞΗ Αρκεί ποδείξουµε ότι γι οποιδήποτε, f ( ) = f ( ) Πράγµτι ισχύει Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

25 Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου 5 Α =, τότε προφώς f ( ) = f ( ) Α <, τότε στο διάστηµ [, ] η f ικοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήµτος µέσης τιµής Εποµέως, υπάρχει ξ (, ) τέτοιο, ώστε f ( ξ ) = f ( ) f ( ) () Επειδή το ξ είι εσωτερικό σηµείο του, ισχύει f ( ξ ) =,οπότε, λόγω της (), είι f ( ) = f ( ) Α <, τότε οµοίως ποδεικύετι ότι f ( ) = f ( ) Σε όλες, λοιπό, τις περιπτώσεις είι f ( ) = f ( ) ΠΟΡΙΣΜΑ Έστω δυο συρτήσεις f, g ορισµέες σε έ διάστηµ Α οι f, g είι συεχείς στο κι f ( ) = g ( ) γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σηµείο του, τότε υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε γι κάθε ΑΠΟ ΕΙΞΗ f ( ) = g( ) + c ισχύει: Η συάρτηση f g είι συεχής στο κι γι κάθε εσωτερικό σηµείο ισχύει ( f g) ( ) = f ( ) g ( ) = Εποµέως, σύµφω µε το πρπάω θεώρηµ, η συάρτηση f g είι στθερή στο Άρ, υπάρχει στθερά C τέτοι, ώστε γι κάθε ισχύει f ( ) g( ) = c, οπότε f ( ) = g( ) + c Μοοτοί συάρτησης ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω µι συάρτηση f, η οποί είι σ υ ε χ ή ς σε έ διάστηµ Α f ( ) > σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σηµείο του, τότε η f είι γησίως ύξουσ σε όλο το Α f ( ) < σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σηµείο του, τότε η f είι γησίως φθίουσ σε όλο το ΑΠΟ ΕΙΞΗ Αποδεικύουµε το θεώρηµ στη περίπτωση που είι f ( ) > Έστω, µε < Θ δείξουµε ότι f ( ) < f ( ) Πράγµτι, στο διάστηµ [, ] η f ικοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

26 Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου 6 f ( ) f ( ) Εποµέως, υπάρχει ξ (, ) τέτοιο, ώστε f ( ξ ) =, οπότε έχουµε: f ( ) f ( ) = f ( ξ )( ) Επειδή f ( ξ ) > κι >, έχουµε f ( ) f ( ) >, οπότε f ( ) < f ( ) Στη περίπτωση που είι f ( ) < εργζόµστε λόγως Ολοκληρωτικός Λογισµός Αρχική συάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f µι συάρτηση ορισµέη σε έ διάστηµ Αρχική συάρτηση ή πράγουσ της f στο () οοµάζετι κάθε συάρτηση F που είι πργωγίσιµη στο κι ισχύει F ( ) = f ( ), γι κάθε ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω f µι συάρτηση ορισµέη σε έ διάστηµ Α F είι µι πράγουσ της f στο, τότε όλες οι συρτήσεις της µορφής : G( ) = F( ) + c, c R, είι πράγουσες της f στο κι κάθε άλλη πράγουσ G της f στο πίρει τη µορφή G( ) = F( ) + c, c R ΑΠΟ ΕΙΞΗ Κάθε συάρτηση της µορφής G( ) = F( ) + c, όπου c R, είι µι πράγουσ της f στο, φού G ( ) = ( F( ) + c) = F ( ) = f ( ), γι κάθε Έστω G είι µι άλλη πράγουσ της f στο Τότε γι κάθε ισχύου F ( ) = f ( ) κι G ( ) = f ( ), οπότε G ( ) = F ( ), γι κάθε Άρ, σύµφω µε το πόρισµ του Θεωρήµτος Στθερής Συάρτησης, υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε G( ) = F( ) + c, γι κάθε Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

27 Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου 7 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΑΡΑΓΟΥΣΩΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Α/Α Συάρτηση Πράγουσες f ( ) = G( ) = c, c R, f ( ) = G( ) = + c, c R 3 f ( ) 4 f ( ) 5 f ( ) 6 f ( ) 7 f ( ) 8 f ( ) = G( ) = ln + c, c R = G( ) + = + c, c R + G = + c c R = συ ( ) ηµ, G = + c c R = ηµ ( ) συ, = G( ) = εφ + c, c R συ = G( ) = σφ + c, c R ηµ 9 f ( ) = e G( ) = e + c, c R f ( ) = G( ) = + c, c R ln Σηµείωση: Οι τύποι του πίκ υτού ισχύου σε κάθε διάστηµ στο οποίο οι πρστάσεις του που εµφίζοτι έχου όηµ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ ΠΑΡΑΓΟΥΣΩΝ Α οι συρτήσεις F κι G είι πράγουσες τω f κι g τιστοίχως κι ο λ είι ές πργµτικός ριθµός, τότε: i) Η συάρτηση F + G είι µι πράγουσ της συάρτησης f + g κι ii) Η συάρτηση λf είι µι πράγουσ της συάρτησης λf Η έοι του ορισµέου ολοκληρώµτος Το όριο lim f ( ξκ ) οοµάζετι ορισµέο ολοκλήρωµ της κ= συεχούς συάρτησης f πό το στο, συµολίζετι µε f ( ) d κι διάζετι ολοκλήρωµ της f πό το στο ηλδή, Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

28 Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου 8 f ( ) d = lim f ( ξκ ) κ= Από τους ορισµούς του εµδού κι του ορισµέου ολοκληρώµτος προκύπτει ότι: Α f ( ) γι κάθε [, ], τότε το ολοκλήρωµ f ( ) d = f ( ) d f ( ) d = f ( ) d δίει το εµδό E( Ω ) του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f το άξο κι τις ευθείες = κι = (διπλό σχήµ ) ηλδή, f ( ) d = E( Ω) Εποµέως: Α f ( ), τότε f ( ) d O =f() Ω Ιδιότητες του ορισµέου ολοκληρώµτος ΘΕΩΡΗΜΑ ο (γρµµικότητ) Έστω f, g σ υ ε χ ε ί ς συρτήσεις στο [, ] κι λ, µ R Τότε ισχύου : λ f ( ) d = λ f ( ) d [ f ( ) + g( )] d = f ( ) d + g( ) d κι γεικά [ λ f ( ) + µ g( )] d = λ f ( ) d + µ g( ) d ΘΕΩΡΗΜΑ ο Α η f είι σ υ ε χ ή ς σε διάστηµ κι,, γ, τότε γ ισχύει: f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d γ Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

29 Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου ΘΕΩΡΗΜΑ 3ο 9 Έστω f µι σ υ ε χ ή ς συάρτηση σε έ διάστηµ [, ] Α f ( ) γι κάθε [, ] κι η συάρτηση f δε είι πτού µηδέ στο διάστηµ υτό, τότε f ( ) d > = Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( ) f ( t) dt ΘΕΩΡΗΜΑ Α f είι µι συεχής συάρτηση σε έ διάστηµ κι είι έ σηµείο του, τότε η συάρτηση F( ) = f ( t) dt,, είι µι πράγουσ της f στο ηλδή ισχύει: f ( t) dt = f ( ), γι κάθε a ( ) ΘΕΩΡΗΜΑ (Θεµελιώδες θεώρηµ του ολοκληρωτικού λογισµού) Έστω f µι συεχής συάρτηση σ έ διάστηµ [, ] Α G είι µι πράγουσ της f στο [, ], τότε f ( t) dt = G( ) G( ) ΑΠΟ ΕΙΞΗ Σύµφω µε το προηγούµεο θεώρηµ, η συάρτηση = είι µι πράγουσ της f στο [, ] F( ) f ( t) dt Επειδή κι η G είι µι πράγουσ της f στο [, ], θ υπάρχει c R τέτοιο, ώστε G( ) = F( ) + c () Από τη (), γι =, έχουµε G( ) = F( ) + c = f ( t) dt + c = c, οπότε c = G( ) Εποµέως, G( ) = F( ) + G( ), οπότε, γι =, έχουµε G( ) = F( ) + G( ) = f ( t) dt + G( ) κι άρ f ( t) dt = G( ) G( ) Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

30 Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Μέθοδοι ολοκλήρωσης 3 Κτά πράγοτες f ( ) g ( ) d = [ f ( ) g( )] f ( ) g( ) d, όπου f, g είι συεχείς συρτήσεις στο [, ] Αλλγή µετλητής ( ή Ατικτάστση) u f ( g( )) g ( ) d = f ( u) du, όπου f, g είι u συεχείς συρτήσεις, u = g( ), du = g ( ) d κι u = g( ), u = g( ) ΕΜΒΑ ΟΝ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΧΩΡΙΟΥ Στο ορισµό του ορισµέου ολοκληρώµτος είδµε ότι, µι συάρτηση f είι συεχής σε έ διάστηµ [, ] κι f ( ) γι κάθε [, ], τότε το εµδό του χωρίου Ω που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της f, τις ευθείες =, = κι το άξο είι: E( ) f ( ) d Ω = Έστω, τώρ, δυο συρτήσεις f κι g, συεχείς στο διάστηµ [, ] µε f ( ) g( ) γι κάθε [, ] κι Ω το χωρίο που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις τω f, g κι τις ευθείες = κι = =f() =f() O =f() Ω Ω =g() Ω =g() Ω O () Πρτηρούµε ότι O () Ε( Ω ) = Ε( Ω ) Ε( Ω ) = f ( ) d g( ) d = ( f ( ) g( )) d O (γ) Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

31 Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου 3 Εποµέως, E( Ω ) = ( f ( ) g( )) d () Ο τύπος () ρέθηκε µε τη προϋπόθεση ότι: (i) f ( ) g( ) γι κάθε [, ] κι (ii) οι f, g είι µη ρητικές στο [, ] Θ ποδείξουµε, τώρ, ότι ο τύπος () ισχύει κι χωρίς τη υπόθεση (ii) Πράγµτι, επειδή οι συρτήσεις f, g είι συεχείς στο [, ], θ υπάρχει ριθµός c R τέτοιος ώστε f ( ) + c g( ) + c, γι κάθε [, ] Είι φερό ότι το χωρίο Ω (Σχ ) έχει το ίδιο εµδό µε το χωρίο Ω (Σχ ) =f() Ω =f()+c Ω =g()+c O () =g() Εποµέως, σύµφω µε το τύπο (), έχουµε: Ε( Ω ) = Ε( Ω ) = [( f ( ) + c) ( g( ) + c)] d = ( f ( ) g( )) d Άρ, E( Ω ) = ( f ( ) g( )) d Με τη οήθει του προηγούµεου τύπου µπορούµε υπολογίσουµε το εµδό του χωρίου Ω που περικλείετι πό το άξο, τη γρφική πράστση µις συάρτησης g, µε g( ) γι κάθε [, ] κι τις ευθείες = κι = Πράγµτι, επειδή ο άξος είι η γρφική πράστση της συάρτησης f ( ) =, έχουµε E( Ω ) = ( f ( ) g( )) d = [ g( )] d g( ) d = Εποµέως, γι µι συάρτηση g ισχύει g( ) γι κάθε [, ], τότε E( Ω ) = g( ) d O () O Ω =g() Ότ η διφορά f ( ) g( ) δε διτηρεί στθερό πρόσηµο στο [, ], τότε το εµδό Ω =g() =f() Ω 3 Ω Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός O γ δ

32 Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου 3 του χωρίου Ω που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις τω f, g κι τις ευθείες = κι = είι ίσο µε το άθροισµ τω εµδώ τω χωρίω Ω, Ω κι Ω 3 ηλδή, Ε( Ω ) = Ε( Ω ) + Ε( Ω ) +Ε( Ω 3) γ δ = ( f ( ) g( )) d + ( g( ) f ( )) d + ( f ( ) g( )) d γ γ δ = f ( ) g( ) d + f ( ) g( ) d + f ( ) g( ) d γ δ = f ( ) g( ) d Εποµέως, E( Ω ) = f ( ) g( ) d δ Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

ΜΑΡΙΑ ΓΚΟΥΝΤΑΡΟΠΟΥΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΡΙΑ ΓΚΟΥΝΤΑΡΟΠΟΥΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η διυσμτική κτί του θροίσμτος τω μιγδικώ i κι γ δi είι το άθροισμ τω διυσμτικώ κτίω τους Α M κι M γ δ είι οι εικόες τω i κι γ δi τιστοίχως

Διαβάστε περισσότερα

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj Qwφιertuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψertuςiopasdρfghjklzcvbn mqwertuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι qπςπζwωeτrtuτioρμpκaλsdfghςj ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ klzcvλοπbnmqwertuiopasdfghjklz ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΥΠΟΙ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΥΠΟΙ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΥΠΟΙ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου R τω πργμτικώ ριθμώ, στο οποίο: Επεκτείοτι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού έτσι,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρήματα και προτάσεις με τις αποδείξεις τους

Θεωρήματα και προτάσεις με τις αποδείξεις τους Θεωρήμτ κι προτάσεις με τις ποδείξεις τους Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγώ: Α i κι i δ γ είι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: 3 4 Αποδεικύοτι με εφρμογή του ορισμού κι πράξεις Γι πράδειγμ έχουμε: i δ γ δi γ i i i

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία σε 99 Ερωτήσεις

Η Θεωρία σε 99 Ερωτήσεις Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Η Θεωρί σε 99 Ερωτήσεις Ορισμοί, Θεωρήμτ 4 Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισιμοί θεωρήμτ με πτήσεις Μ Ππγρηγοράκης Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Ερωτήσεις Θεωρίς

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης

Η θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης Η θεωρί στ Μθημτικά κτεύθυσης Σελίδ πό 3 Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήμτ Αποδείξεις Α Μιγδικοί ριθμοί Πότε δυο μιγδικοί είι ίσοι κι πότε ές μιγδικός είι ίσος με ; Δύο μιγδικοί ριθμοί i κι γ δi είι

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέµατα Θεωρίας Γ Λυκείου

Επαναληπτικά θέµατα Θεωρίας Γ Λυκείου Επληπτικά θέµτ Θεωρίς Γ Λυκείου Α i κι γ δi είι δυο µιγδικοί ριθµοί τότε: 3 4 Οι ιδιότητες υτές µπορού ποδειχτού µε εκτέλεση τω πράξεω Γι πράδειγµ έχουµε: i γ δi γ δ i γ δ i i γδi Οι πρπάω ιδιότητες κι

Διαβάστε περισσότερα

1o ΓΕ.Λ. Λιβαδειάς Μαθηματικά Προσανατολισμού Ορισμοί Θεωρήματα- Αποδείξεις- Γεωμετρικές ερμηνείες- Σχόλια Αντιπαραδείγματα - Παρατηρήσεις.

1o ΓΕ.Λ. Λιβαδειάς Μαθηματικά Προσανατολισμού Ορισμοί Θεωρήματα- Αποδείξεις- Γεωμετρικές ερμηνείες- Σχόλια Αντιπαραδείγματα - Παρατηρήσεις. o ΓΕΛ Λιδειάς Μθημτικά Προστολισμού Ορισμοί Θεωρήμτ- Αποδείξεις- Γεωμετρικές ερμηείες- Σχόλι Ατιπρδείγμτ - Πρτηρήσεις* ΟΡΙΣΜΟΣ ος πργμτική συάρτησησελ5 Έστω Α έ υποσύολο του Οομάζουμε πργμτική συάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πως ορίζετι το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου R τω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Υπάρχει ένα στοιχείο i τέτοιο, ώστε i 1, Κάθε στοιχείο z του γράφεται κατά μοναδικό τρόπο με τη μορφή i, όπου,

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Υπάρχει ένα στοιχείο i τέτοιο, ώστε i 1, Κάθε στοιχείο z του γράφεται κατά μοναδικό τρόπο με τη μορφή i, όπου, ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ποιο είι το Σύολο τω Μιγδικώ Αριθμώ; Το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργμτικώ ριθμώ, στο οποίο: Επεκτείοτι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού έτσι, ώστε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΖΕΜΠΕΛΙΚΟΥ ΚΑΤΕΡΙΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΤΖΕΜΠΕΛΙΚΟΥ ΚΑΤΕΡΙΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΘΕΜΑ Α, είι µιγδικοί ριθµοί, τότε κι κι επειδή η τελευτί σχέση ισχύει, θ ισχύει κι η ισοδύη ρχικική. Αάλογ ποδεικύετι κι η δεύτερη ιδιότητ ΘΕΜΑ Όριο πολυωυµικής συάρτησης Α -... P πολυώυµο του κι R, δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλει - Κ Μυλωάκης Ν δείξετε ότι: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ i γ δi γ δ δ γ i Γι το πολλπλσισμό δύο μιγδικώ i κι γ δi έχουμε: i γ δi γ δi i γ δi γ δi γi i δi γ δi γi δi γ δi γi δ γ δ

Διαβάστε περισσότερα

α+ βi, όπου α, ii) Ο µιγαδικός α+ βi είναι ίσος µε το µηδέν αν και µόνο αν α= 0 και β = 0

α+ βi, όπου α, ii) Ο µιγαδικός α+ βi είναι ίσος µε το µηδέν αν και µόνο αν α= 0 και β = 0 Επιµέλει: Βιτσξής Μιχάλης ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ- ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περίοδος: - Τι οοµάζουµε µιγδικό ριθµό Μιγδικός ριθµός είι κάθε ριθµός που έχει τη µορφή + i, όπου, R κι i Τι λέγετι πργµτικό κι τι φτστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η προύσ εργσί μµου δε στοχεύει πλά στο κυήγι του 5,δηλδή τω μµοάδω του

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ (των οποίων πρέπει να ξέρουμε & τις αποδείξεις) από το σχολικό βιβλίο της ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ & ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ Λυκείου

ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ (των οποίων πρέπει να ξέρουμε & τις αποδείξεις) από το σχολικό βιβλίο της ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ & ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ Λυκείου Θεωρήμτ θετικής-τεχολογικής κτεύθυσης ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ (τω οποίω πρέπει ξέρουμε & τις ποδείξεις πό το σχολικό βιβλίο της ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ & ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ Λυκείου υ υ όπου υ το υπόλοιπο της διίρεσης του με

Διαβάστε περισσότερα

, µε α και β, πραγµατικούς αριθµούς. Τα στοιχεία του C λέγονται µιγαδικοί αριθµοί και το C σύνολο των µιγαδικών αριθµών. Εποµένως:

, µε α και β, πραγµατικούς αριθµούς. Τα στοιχεία του C λέγονται µιγαδικοί αριθµοί και το C σύνολο των µιγαδικών αριθµών. Εποµένως: ΘΕΩΡΙΑ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ Γωρίζουµε ότι η δευτεροάθµι εξίσωση µε ρητική δικρίουσ δε έχει λύση στο σύολο R τω πργµτικώ ριθµώ Ειδικότερ η εξίσωση = δε έχει λύση στο σύολο R τω πργµτικώ ριθµώ, φού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Όλη η θεωρί γι τις πελλήιες Εξετάσεις Κ Κρτάλη 28 με Δημητριάδος Τηλ 242 32 598 Περιεχόμε ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 2 2 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 2

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης :

Η θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης : Σελίδ πό 45 Η θεωρί στ Μθημτικά κτεύθυσης : Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήμτ Αποδείξεις Α Μιγδικοί ριθμοί Πότε δυο μιγδικοί είι ίσοι κι πότε ές μιγδικός είι ίσος με ; Δύο μιγδικοί ριθμοί ισχύει: βi

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης :

Η θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης : Σελίδ πό 5 Η θεωρί στ Μθημτικά κτεύθυσης : Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήμτ Αποδείξεις Α Μιγδικοί ριθμοί Πότε δυο μιγδικοί είι ίσοι κι πότε ές μιγδικός είι ίσος με ; Δύο μιγδικοί ριθμοί ισχύει: βi

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου 2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ. Το Σύνολο των Μιγαδικών Αριθµών

Μαθηματικά Γ Λυκείου 2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ. Το Σύνολο των Μιγαδικών Αριθµών Μθημτικά Γ Λυκείου Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Το Σύολο τω Μιγδικώ Αριθµώ Το σύολο τω µιγδικώ ριθµώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργµτικώ ριθµώ, στο οποίο: Επεκτείοτι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θεωρία & Σχόλια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θεωρία & Σχόλια Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετικής & Τεχολογικής Κτεύθυσης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θεωρί & Σχόλι 4 5 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ http://ddethr Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Τι είι το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργμτικώ

Διαβάστε περισσότερα

Επανάληψη Τελευταίας Στιγμής

Επανάληψη Τελευταίας Στιγμής Επάληψη Τελευτίς Στιγμής kanellopoulos@otmailcom 5/4/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θεωρί γι τις εξετάσεις Ορισμοί εοιώ & Θεωρήμτ χωρίς πόδειξη Μ Ι Γ Α Δ Ι Κ Ο Ι Πότε δύο μιγδικοί ριθμοί i κι γ δi είι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: 3. 3.4 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Εμδό προλικού χωρίου Έστω ότι θέλουμε ρούμε

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Τι οομάζετι πληθυσμός μις σττιστικής έρευς; Οομάζετι το σύολο τω τικειμέω (έμψυχω ή άψυχω γι τ οποί συλλέγοτι στοιχεί.. Τι οομάζετι άτομο

Διαβάστε περισσότερα

1.6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ x

1.6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ x ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7 6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ Στο σχήμ 4 έχουμε τη γρφιή πράστση μις συάρτησης οτά στο Πρτηρούμε ότι, θώς το ιούμεο με οποιοδήποτε τρόπο πάω στο άξο πλησιάζει το πργμτιό ριθμό, οι

Διαβάστε περισσότερα

AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Αποδείξεις Θεωρίς Γ Λυκείου Κτεύθυσης Θέμ 1 ο [σελ 167 σχ. Βιβλίου] P 1 Έστω το πολυώυμο Έχουμε 1 1 1 lim P lim... AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ρρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλει: Οµάδ Μθηµτικώ της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ευτέρ, 7 Μ ου Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω f μι συεχής συάρτηση σε έ διάστημ [, β]. Α G είι μι πράγουσ

Διαβάστε περισσότερα

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ) ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τ σύολ τω ριθµώ είι τ εξής : ) Οι φυσικοί ριθµοί : Ν {0,,,,... } ) Οι κέριοι ριθµοί : Ζ {...,,,, 0,,,,... } ) Οι ρητοί ριθµοί : Q ρ / κ ρ, κ Z, Z 0 4) Οι άρρητοι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ. Πόσα είδη ορίων υπάρχουν; Τι είναι το +, - ; Τι ονοµάζουµε γειτονιά ή περιοχή του x o ; Τι ονοµάζουµε γειτονιά του +, - ;

ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ. Πόσα είδη ορίων υπάρχουν; Τι είναι το +, - ; Τι ονοµάζουµε γειτονιά ή περιοχή του x o ; Τι ονοµάζουµε γειτονιά του +, - ; ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ Πόσ είδη ορίω υπάρχου; Υπάρχει όριο στο κι είι πργµτικός ριθµός (πεπερσµέο) Υπάρχει όριο στο κι είι, - (µη πεπερσµέο) Υπάρχει όριο στο ή - κι είι πργµτικός ριθµός. Υπάρχει όριο στο ή -

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. N ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy Aς πάρουµε µι

Διαβάστε περισσότερα

1.7 OΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ

1.7 OΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ Στ πράτω σχήμτ έχουμε τις γρφιές πρστάσεις τριώ συρτήσεω, g, h σε έ διάστημ της μορφής, 8 l a C g C g h γ C h Πρτηρούμε ότι θώς το υξάετι περιόριστ με

Διαβάστε περισσότερα

α β α < β ν θετικός ακέραιος.

α β α < β ν θετικός ακέραιος. Τυτότητες ( ± ) ± ( ± ) ± ± ( ± ) m (γ) γ γγ - (-)() - (-)( ) - (-)( - - - - ) Α. Βσικές γώσεις ()( - ) ()( - - - - - - ) ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΠΕΡΙΤΤΟ. γ --γ-γ [(-) (-γ) (γ-) ] γ -γ (γ)[(-) (-γ) (γ-) ] Αισώσεις. Οι

Διαβάστε περισσότερα

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ (Επλήψεις Συμπληρώσεις) Εισγωγή Στο Γυμάσιο μάθμε ότι οι πργμτικοί ριθμοί ποτελούτι πό τους ρητούς κι τους άρρητους ριθμούς κι πριστάοτι με

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ. 5-6 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ http://cutemathswordpresscom/ Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η προύσ εργσί μµου δε στοχεύει

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Η Έοι του Ορίου Ορισμός Ότ οι τιμές μις συάρτησης f προσεγγίζου όσο θέλουμε έ πργμτικό ριθμό, κθώς το προσεγγίζει με οποιοδήποτε τρόπο το ριθμό, τότε γράφουμε:

Διαβάστε περισσότερα

+ 4 µε x >0. x = f(x) f(t) dt. Άρα από κριτήριο παρεµβολής lim f(t) dt = 4.

+ 4 µε x >0. x = f(x) f(t) dt. Άρα από κριτήριο παρεµβολής lim f(t) dt = 4. 993 ΘΕΜΑΤΑ. ίετι η συάρτηση f() = + + µε >. ) Ν εξετάσετε τη µοοτοί της συάρτησης f. β) Ν υπολογίσετε το lim f(t) dt. + + ) Έχουµε f () = () + ( + ) ( + ) + = + (+ ) ( + ) = - 3 + + = - 3 . + +

Διαβάστε περισσότερα

( 0) = lim. g x - 1 -

( 0) = lim. g x - 1 - ν ν ΘΕΜΑ Η πολυωνυµική συνάρτηση ν + ν + + + έχει όριο στο R κι ισχύει lim ν ν Έχουµε lim + + + lim ν ν ν ν lim ν + lim ν + ν ν ν lim + ν lim + + lim + lim ν ν ν + ν + + Εποµένως, lim ΘΕΜΑ Η ρητή συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Ειίου Λυκείου Θετική Κτεύθυση ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Αδρεδάκης Στυλιός Κτσργύρης Βσίλειος Μέτης Στέφος Μπρουχούτς Κω/ος Ππστυρίδης Στύρος Πολύζος Γεώργιος Κθηγητής Πεπιστημίου Αθηώ Κθηγητής Β/θμις

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Θεωρία & Σχόλια

Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Θεωρία & Σχόλια Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Άλγερ κι Στοιχεί Πιθοτήτω Θεωρί & Σχόλι 014 015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ. ηµχ = ηµθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ+π-θ, κ Z συνχ = συνθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ-θ, κ Z εφχ = εφθ χ=κπ+θ, κ Z σφχ = σφθ χ=κπ+θ, κ Z

ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ. ηµχ = ηµθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ+π-θ, κ Z συνχ = συνθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ-θ, κ Z εφχ = εφθ χ=κπ+θ, κ Z σφχ = σφθ χ=κπ+θ, κ Z ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τριγωοµετρικές εξισώσεις ηµχ = ηµθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ+π-θ, κ Z συχ = συθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ-θ, κ Z εφχ = εφθ χ=κπ+θ, κ Z σφχ = σφθ χ=κπ+θ, κ Z Βσικές τριγ. εξισώσεις ηµx = 0

Διαβάστε περισσότερα

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ Διγώνισμ Θέμ Α Α Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση f = ln,, είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f = Μονάδες 7 Α Πότε μί συνάρτηση f λέμε ότι είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Α Πότε

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις. Παρατήρηση Ισχύουν οι επόµενες ισότητες: Προσέχουµε: Αν α 0και ν θετικός ακέραιος τότε η µη αρνητική ρίζα της εξίσωσης.

Παρατηρήσεις. Παρατήρηση Ισχύουν οι επόµενες ισότητες: Προσέχουµε: Αν α 0και ν θετικός ακέραιος τότε η µη αρνητική ρίζα της εξίσωσης. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Α κι θετικός κέριος τότε η µη ρητική ρίζ της εξίσωσης λέγετι ιοστή ρίζ του κι συµολίζετι. ηλδή = Γράφουµε: = = ( ) = κι = Πρτηρήσεις. Ο συµολισµός έχει όηµ µόο ότ. Στη πράστση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής - Τεχνολογική Κατεύθυνσης

Μαθηματικά Θετικής - Τεχνολογική Κατεύθυνσης o Γεικό Λύκειο Χίω 8-9 Γ τάξη Τμήμ Μθημτικά Θετικής - Τεχολογική Κτεύθυσης γ Ασκήσεις γι λύση Μ Πγρηγοράκης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Μ ΠΑΠΑΓΡΗΓΟΡΑΚΗΣ 56 Α) Ν υολογίσετε τ:

Διαβάστε περισσότερα

just ( u) Πατρόκλου 66 Ίλιον

just ( u) Πατρόκλου 66 Ίλιον just f ( u) du it Πτρόκλου 66 Ίλιον 637345 6944 www.group group-aei aei.gr Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βρδούκς Ν χρκτηρίσετε τ πρκάτω, σηµειώνοντς Σ (σωστό) ή Λ (λάθος). Αν z, z C, τοτε zz = zz. Η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Ε 1. Διαφορικός λογισμός (Κανόνες παραγώγισης)

Ε 1. Διαφορικός λογισμός (Κανόνες παραγώγισης) Ε Διαφορικός λογισμός Καόες παραγώγισης Σελίδα από Πότε μια συάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της ; Μια συάρτηση λέμε ότι είαι παραγωγίσιμη σ έα σημείο του πεδίου ορισμού της,

Διαβάστε περισσότερα

Α2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3

Α2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3 Βθμός: /25 Τεστ Μθημτικών Εξετζόμενος-η: Προσντολισμού, Γ Λυκείου Θεωρί 1 Κθηγητής: Ιορδάνης Χτζηνικολάου Συνρτήσεις Θέμ Α Α1. Ν ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων f κι f 1 είνι συμμετρικές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο.. Οι πράξεις πρόσθεση κι πολλπλσισµός κι οι ιδιότητές τους. Πρόσθεση Πολλπλσισµός Ιδιότητ.. Ατιµετθετική (γ)()γ (γ)()γ Προσετιρική (γ)γ Επιµεριστική 0. Ουδέτερο

Διαβάστε περισσότερα

Α) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές

Α) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές . ίνετι η συνάρτηση f() e. Α) Ν ποδείξετε ότι η νιοστή πράγωγος της συνάρτησης f µπορεί ν πάρει τη µορφή (ν) f () ( + ν + ν )e όπου ν ν είνι συντελεστές εξρτηµένοι πό το ν τους οποίους κι ν υπολογίσετε.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές Θεωρήμτ, Προτάσεις, Εφρμογές Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγών: Αν z i κι z γ δi είνι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: Μέτρο: z z z z z z z z 3 z z z z 4 z z z z Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε z z z z z z z z 3

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: 747344 747395 email:info@orosimoeu wwworosimoeu ISBN: 978-68-873--4 ΕΚΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ Δ. Αρχική συνάρτηση ή πράγουσ της f στο Δ ονομάζετι κάθε συνάρτηση F που είνι πργωγίσιμη στο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

Π ρ ό λ ο γ ο ς. Το βιβλίο αυτό γράφτηκε με στόχο την πληρέστερη προετοιμασία των μαθητών μας.

Π ρ ό λ ο γ ο ς. Το βιβλίο αυτό γράφτηκε με στόχο την πληρέστερη προετοιμασία των μαθητών μας. Π ρ ό λ ο γ ο ς Το ιλίο υτό γράφτηκε με στόχο τη πληρέστερη προετοιμσί τω μθητώ μς. Περιέχει συοπτική θεωρί,πρωτότυπες σκήσεις λλά κι θέμτ εξετάσεω τω τελευτίω ετώ του σχολείου μς. Ελπίζουμε ποτελέσει

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ

ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ Ρίζες πργμτικώ ριθμώ Τετργωική ρίζ πργμτικού ριθμού Ορισμός: Η τετργωική ρίζ εός μη ρητικού ριθμού είι ο μη ρητικός ριθμός β που ότ υψωθεί στο τετράγωο μς δίει το, δηλδή: = β β =,, β Πρτήρηση: Η ορίζετι

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήρια 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ

Φροντιστήρια 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ ΟΡΟΣΗΜΟ Άλγεβρ Β Λυκείου Επιμέλει: Σεμσίρης Αριστείδης -- Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ - - Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Άλγεβρ Β Λυκείου Περιέχει Συοπτική Θεωρί Μεθοδολογί Ασκήσεω Λυμέες Ασκήσεις Λυμέ

Διαβάστε περισσότερα

ν παραγοντες 1 ( ) β β α β α α α γ + β γ = α+ γ γ

ν παραγοντες 1 ( ) β β α β α α α γ + β γ = α+ γ γ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ υάµεις Ορισµός =... πργοτες 1 = = 1µε Ιδιότητες µ = µ : = µ ( ) = = = ( ) µ µ + µ = µε µε, Αλγερικές πρστάσεις Επιµεριστική ιδιότητ γωγή οµοίω όρω. γ + γ = + γ ( ) Χρήσιµες ιδιότητες τω πράξεω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο. Παράγραφος 1.1. Ποιο πείραμα λέγεται αιτιοκρατικό και ποιο πείραμα τύχης;

ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο. Παράγραφος 1.1. Ποιο πείραμα λέγεται αιτιοκρατικό και ποιο πείραμα τύχης; ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Πράγρφος 1.1 Ποιο πείρμ λέγετι ιτιοκρτικό κι ποιο πείρμ τύχης; Τι οομάζουμε χώρο εός πειράμτος τύχης; Τι λέμε εδεχόμεο εός πειράμτος τύχης; Ποιο εδεχόμεο λέγετι πλό κι ποιο σύθετο;

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί των εννοιών Τύποι και ιδιότητες Βασική μεθοδολογία

Ορισμοί των εννοιών Τύποι και ιδιότητες Βασική μεθοδολογία Θάση Π. Ξέου Απρίτητο βοήθημ γι κάθε μθητή Λυκείου Ορισμοί τω εοιώ Τύποι κι ιδιότητες Βσική μεθοδολογί ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Πρόλογος Τ ο βιβλιράκι που κρτάς στ χέρι σου, μοδικό στη ελληική βιβλιογρφί, θ σου φεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 30 Αµφιάλη 43890-43

Διαβάστε περισσότερα

114 ασκήσεις ένα ερώτημα - σε όλη την ύλη. x και g x ln 1 2x ln x. ισχύει η σχέση: είναι περιττή και ισχύει ότι. f x x 2 2x, για κάθε x

114 ασκήσεις ένα ερώτημα - σε όλη την ύλη. x και g x ln 1 2x ln x. ισχύει η σχέση: είναι περιττή και ισχύει ότι. f x x 2 2x, για κάθε x Ν εξετάσετε ν είνι ίσες οι συνρτήσεις f() N ποδείξετε ότι f g, ότν γι κάθε Η συνάρτηση f : f,. 4 σκήσεις έν ερώτημ - σε όλη την ύλη ln κι g ln ln ισχύει η σχέση: είνι περιττή κι ισχύει ότι 4 Ν οριστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Κωνστντόπουλος Κων/νος Μθημτικός ΜSc ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κτεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ -ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΤΟΥ ου ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΘΕΜΑ Α Α. (i) Βλέπε σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης ΡΩ-Ρ ΡΩ διότητες: Ρ Πρδείγµτ:. υπολογίσετε τ πρκάτω ολοκληρώµτ: 5 d d συν π ( + ) d 4 Π ΡΩ ΡΩΩ. d c 6. d. d. d 4. d 5. συνd f '( ) d f ( ) + c. ηµ συν

Διαβάστε περισσότερα

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui qwertyuiopasdfghjklzcvbnmq wertyuiopasdfghjklzcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzcvbnmqwerty ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ uiopasdfghjklzcvbnmqwertyui ΟΛΟΚΛΗΡΩΤ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το έχουν πρώτη και δεύτερη παράγωγο και g(x) f(α) g(α) f(x) g (x) για κάθε x { α}

ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το έχουν πρώτη και δεύτερη παράγωγο και g(x) f(α) g(α) f(x) g (x) για κάθε x { α} 1997 ΘΕΜΑΤΑ 1 ίνοντι οι πργµτικές συνρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το έχουν πρώτη κι δεύτερη πράγωγο κι πργµτικός ριθµός Θέτουµε Α f() g(), που γι κάθε Έστω κι Β f () Α g () Αν φ g() είνι πργµτική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνί: Μ. Τετάρτη Απριλίου ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδ 7 την πόδειξη του Θεωρήµτος. Α. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν,

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα

α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.5. ΘΕΜΑ Α A. Έστω μι συνάρτηση f η οποί είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ.

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει α είαι σε θέση: 1 Να μπορεί α βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύολο τιμώ της τη τιμή της σε έα σημείο x 2

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 23

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 23 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο, πργωγίσιμη στο κι γι κάθε ισχύει f f ( ) d = e e e Α) Ν ποδείξετε ότι: f = e i) η f είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει ii) f() = e Β)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: 3 η ΤΑΞΗ ΕΠΑ.Λ. (Β ΟΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II Ηµεροµηνί: Μ. Τετάρτη Απριλίου ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδ 7 την πόδειξη του Θεωρήµτος. Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Β Γενικό μέρος των συνρτήσεων Τι λέμε σύνολο τιμών μις συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Σύνολο τιμών της λέμε το σύνολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Ατί προλόγου: Το προτειόμεο Κριτήριο Αξιολόγησης δε φέρετι στη θεωρί που πιτείτι στο ο κι ο θέμ, λλά φορού τ θέμτ διβθμισμέης

Διαβάστε περισσότερα

γ λυκειου κεφαλαιο 3 κεφαλαιο 3 κεφαλαιο 3 κεφαλαιο 3 κεφαλαιο 3 κεφαλαιο3 ολοκληρωτικος λογισμος επιμελεια : τακης τσακαλακος T Ш τ

γ λυκειου κεφαλαιο 3 κεφαλαιο 3 κεφαλαιο 3 κεφαλαιο 3 κεφαλαιο 3 κεφαλαιο3 ολοκληρωτικος λογισμος επιμελεια : τακης τσακαλακος T Ш τ γ λυκειου ` κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο ολοκληρωτικος λογισμος ειμελει : τκης τσκλκος T Ш τ 017 ... ρχικη συρτηση... ορισμεο ολοκληρωμ... η συρτηση F()=... εμδο ειεδου χωριου T Ш τ ΟΡΙΣΜΕΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ. I. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν έχει σηµεία που να βρίσκονται πάνω από τον άξονα. x x.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ. I. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν έχει σηµεία που να βρίσκονται πάνω από τον άξονα. x x. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o ΘΕΜΑΤΑ Θεωρούµε τη συνάρτηση ( ) = ( + ) ( + ) µε κι. I. Ν ποδείξετε ότι η γρφική πράστση της δεν έχει σηµεί που ν ρίσκοντι πάνω πό τον άξον. II. Ν ποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 3 Αµφιάλη 4389-43

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo. Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΙΑΤΑΞΗ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΙΑΤΑΞΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΙΑΤΑΞΗ ΘΕΩΡΗΜΑ : Α µι συάρτηση f είι ορισµέη κι συεχής στο διάστηµ [, ] µε f() γι κάθε [, ] τότε: f()d ΘΕΩΡΗΜΑ : Α f, g είι συρτήσεις ορισµέες κι συεχείς στο [, ] κι f() g(), γι κάθε [,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΕΜΕ ΛΕΠΤΟΚΑΡΥΑ ΠΙΕΡΙΑΣ 0 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Αργύρης Φελλούρης Απληρωτής Κθηγητής ΕΜΠ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Στο Κεφάλιο υτό θεωρούμε γωστές τις σικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με (z ) = κι (z ) = Αν f() ( z )( z )( z )( z ) = κι f(i ) = 64 8i, τότε ν ποδείξετε ότι: ) f( i )

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τάξη Γ Κεφάλιο Ολοκληρωτικός Λογισμός Θεωρί-Μεθοδολογί-Ασκήσεις Κεφάλιο 3 Ολοκληρωτικός Λογισμός Σε κάθε μί πό τις πρκάτω περιπτώσεις ορίζετι πό τη γρφική πράστση μις τουλάχιστον συνάρτησης κι πό κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ.

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ. 995 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικοί ριθµοί κ, λ µε κ < λ κι η συνάρτηση f() ( κ) 5 ( λ) µε. Ν ποδείξετε ότι: ) f () f() 5 κ, γι κάθε κ κι λ. λ ) Η συνάρτηση g() ln f() στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω στο διάστηµ

Διαβάστε περισσότερα

ολοκληρωτικος λογισμος

ολοκληρωτικος λογισμος γ λυκειου ` κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο ολοκληρωτικος λογισμος επιμελει : τκης τσκλκος 7 ... ρχικη συνρτηση... ορισμενο ολοκληρωμ... η συνρτηση F()= f()d... εμδον επιπεδου χωριου γιτι...

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 2 - 7 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. ίνετι η συνάρτηση f η οποί είνι συνεχής στο διάστηµ [, ]. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, τέτοιο, ώστε: ξ f(d=ξf(ξ. ( Θ. Rolle στην F(= f( d. ίνετι

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ

1.5 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 57 5 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ Όριο κι διάτξη Γι το όριο κι τη διάτξη οδεικύετι ότι ισχύου τ ρκάτω θεωρήμτ ΘΕΩΡΗΜΑ ο Α >, τότε > κοτά στο Σχ 8 Α

Διαβάστε περισσότερα

4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A 4ο Επνληπτικό διγώνισμ στ Μθημτικά κτεύθυνσης της Γ Λυκείου 7-8 Θέμ A Α Έστω η συνάρτηση Ν ποδείξετε ότι η είνι πργωγίσιμη στο,, δηλδή κι ισχύει Ν ποδείξετε ότι η δεν είνι πργωγίσιμη στο μονάδες 7 A Ν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ τοποθετημένους σε μ γραμμές και v στήλες. Το σύμβολο. λέγεται πίνακας διάστασης μ x ν. α α

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ τοποθετημένους σε μ γραμμές και v στήλες. Το σύμβολο. λέγεται πίνακας διάστασης μ x ν. α α ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Θεωρούμε μ ριθμούς ij, i,,, μ κι j,,, τοποθετημέους σε μ γρμμές κι v στήλες Το σύμολο μ μ λέγετι πίκς διάστσης μ Οι ριθμοί ij λέγοτι στοιχεί του πίκ Α Ο πίκς Α μπορεί συμολιστεί ως Α[ [

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μθητής που έχει μελετήσει το κεφάλιο υτό θ πρέπει ν είνι σε θέση:. Ν γνωρίζει τις έννοιες πράγουσ ή ρχική συνάρτηση, όριστο ολοκλήρωμ κι ν μπορεί ν υπολογίζει πλά όριστ ολοκληρώμτ με τη οήθει των μεθόδων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ Φ4 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΛΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ ΚΕΝΤΡΙΚ 3ο ΓΕΝΙΚ ΛΥΚΕΙ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤ-ΛΑΘΣ ΠΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΓΗΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΥ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α &

Διαβάστε περισσότερα

4o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

4o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 wwwaskisopolisgr ΘΕΜΑ A 4o Επνληπτικό Διγώνισμ 6 Διάρκει: ώρες Α Έστω μι συνάρτηση f πργωγίσιμη σ έν διάστημ,, με εξίρεση ίσως έν σημείο του f διτηρεί πρόσημο στο,,, ν,στο οποίο όμως η f είνι συνεχής Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A Έστω µι συνάρτηση, η οποί είνι συνεχς σε έν διάστηµ Ν ποδείξετε ότι: Αν >0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η είνι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Άλγεβρας Συμπληρωματικές Προτάσεις και Αποδείξεις στην Άλγεβρα της Α Λυκείου

Εργαστήριο Άλγεβρας Συμπληρωματικές Προτάσεις και Αποδείξεις στην Άλγεβρα της Α Λυκείου Συμπληρωμτικές Προτάσεις κι Αποδείξεις στη Άλγεβρ της Α Λυκείου Μπορεί πρχθεί κι διεμηθεί ελεύθερ ρκεί διτηρηθεί η μορφή του. Προλεγόμε Η διδσκλί ποδείξεω στη Άλγεβρ της Α Τάξης μπορεί υποβοηθηθεί ο δάσκλος

Διαβάστε περισσότερα