ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 17. siječnja 2013.
|
|
- Ἐλιακείμ Δυοβουνιώτης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 17. siječnja 01. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJERE- NSTVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN. Zadatak B-1.1. cijeli broj. Pokažite da je za n N rezultat skraćivanja razlomka n+1 4n+ + 6n+ n 4n+1 Izlučimo u brojniku i nazivniku zajednički faktor i skratimo razlomak. n+1 4n+ + 6n+ = n 4n+1 n+1 (1 n+ + 4n+ ) = ( boda) n (1 n+1 ) (1 n+1 ) = ( boda) (1 n+1 ) (1bod za skraćivanje n+1 i n, a drugi bod za prepoznavanje kvadrata binoma) (1 n+1 ) = n+ Kako je n prirodan broj, dobiveni je izraz cijeli broj. Zadatak B-1.. n. Dokažite da je izraz n 5 5n + 4n djeljiv sa 10 za sve prirodne brojeve n 5 5n + 4n = n(n 4 5n + 4) = n(n 4 4n + 4 n ) = n[n (n 1) 4(n 1)] = n(n 1)(n 4) = n(n + 1)(n 1)(n + )(n ) = (n )(n 1)n(n + 1)(n + ) ( boda) Dobiveni je izraz umnožak pet uzastopnih cijelih brojeva. Medu njima je jedan koji je djeljiv s, jedan koji je djeljiv s, jedan s 4, te jedan koji je djeljiv s 5. Stoga je njihov umnožak djeljiv sa 4 5 = 10. ( boda) 1
2 Zadatak B-1.. Nad stranicama AC i BC jednakostraničnog trokuta ABC konstruirani su prema van kvadrati ACDE i BCF G. Ako je AB = 4 cm, koliko iznosi opseg dobivenog šesterokuta ABGF DE? Stranice šesterokuta (i kvadrata) BG, GF, DE, EA imaju istu duljinu kao i stranica AB, trokuta ABC. Stoga opseg šesterokuta ABGF DE računamo kao o = 5 AB + DF Duljinu stranice DF računamo iz jednakokračnog trokuta CF D. Kut DCF = = 10, a P CF = 60 pa je trokut CF C je jednakostraničan, duljine stranice 4 cm. Tada je duljina P F jednaka duljini visine trokuta CF C, a DF = P F. DF = 4 = 4. Tada je traženi opseg o = = (0 + 4 ) cm. ( boda) Zadatak B-1.4. Trgovac je odlučio nabaviti suhe šljive za daljnju prodaju. Za polovinu svog trenutno raspoloživog novca kupio je šljive kod proizvodača čija je cijena 0 kn za kilogram. S drugom je polovinom novca otišao do drugog proizvodača i uspio kupiti za polovinu količine šljiva više nego kod prvog. Šljive je izmiješao. Po kojoj cijeni za kilogram treba trgovac sada prodavati šljive kako bi zaradio 5 kn po prodanom kilogramu šljiva? Uvedimo sljedeće oznake. x količina kupljenih šljiva kod 1. proizvodača (u kilogramima) x + 1 x količina kupljenih šljiva kod. proizvodača (u kilogramima)
3 c cijena kod drugog proizvodača c cijena mješavine. Tada je x 0 = (x + 1 ) x c, odnosno c = 0 kn. Cijenu mješavine računamo iz sljedeće jednakosti. x 0 + (x + 1 ) x 0 = (x + x + 1 ) x c. ( boda) Nakon sredivanja dobivamo 10x = 5xc. Slijedi c = 4 kn. Da bi trgovac zaradio 5 kn po prodanom kilogramu, šljive mora prodavati po = 9 kn za kilogram. Zadatak B-1.5. Ako zbroju znamenaka nekog dvoznamenkastog broja dodamo kvadrat tog zbroja, dobit ćemo ponovno taj dvoznamenkasti broj. Odredite sve takve dvoznamenkaste brojeve. Neka je dvoznamenkasti broj xy = 10x + y. Tada vrijedi x + y + (x + y) = 10x + y, x 0. ( boda) Odatle je (x + y) = 9x. Dakle, umnožak prve znamenke i broja 9 je kvadrat zbroja znamenaka. Lako ćemo ispisati sve umnoške broja 9 s 1,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9 i provjeriti koji su od njih kvadrati prirodnih brojeva. Kvadrati se dobiju za x = 1, x = 4 i x = = 9, 9 4 = 6, 9 9 = 81. ( boda) Tada za x = 1 iz (x + y) = 9x slijedi y =, a xy = 1. Analogno se dobije za x = 4, xy = 4 i za x = 9, xy = 90. ( boda) Traženi dvoznamenkasti brojevi su : 1, 4 i 90. Napomena. Ako je netko pogodio sva tri broja, bez postupka dati boda. Ako je netko ispisao sve dvoznamenkaste brojeve i tako dobio rješenje, dati svih 6 bodova. Zadatak B-1.6. Marko pokušava pogoditi tri broja koja su zamislile i zapisale Andrea, Barbara i Dora. Ne žele mu otkriti koliko ti brojevi imaju znamenaka, već samo da su sva tri broja zapisana različitim znamenkama u rastućem poretku. Svaka je znamenka, osim nule, negdje korištena. Nakon nekoliko postavljenih pitanja Marko je doznao da Andrein i Barbarin broj imaju zajedničke jedino znamenke i 8, Andrein i Dorin jedino znamenke 8 i 9, a Barbarin i Dorin jedino znamenku 8. Svaku od znamenaka 1,,, 4, 8 i
4 9 koristila je Andrea ili Barbara (barem jedna od njih dvije). Isto tako svaku od znamenaka 1,,, 5, 6, 7, 8, 9 koristila je Andrea ili Dora, a svaku od znamenaka, 4, 5, 6, 7, 8, 9 koristila je Barbara ili Dora. Marko je saznao dovoljno i sada može pogoditi brojeve. Koji je broj zamislila koja od djevojaka? Zadatak rješavamo koristeći skupove i Vennove dijagrame. Neka je A skup znamenaka broja kojeg je zamislila Andrea, B skup znamenaka broja kojeg je zamislila Barbara i D skup znamenaka broja kojeg je zamislila Dora. Tražimo skupove brojeva A, B, D sa sljedećim svojstvima. A B = {, 8} A D = {8, 9} B D = {8} ( boda) A B = {1,,, 4, 8, 9} A D = {1,,, 5, 6, 7, 8, 9} B D = {, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ( boda) Iz prve tri jednakosti zaključujemo da je znamenka 6 zajednička svim skupovima. Nakon toga je lako pomoću Vennovih dijagrama doći do skupova A, B, D. ( boda) Konačno A = {1,,, 8, 9}, B = {, 4, 8}, D = {5, 6, 7, 8, 9}, što znači da je Andrea zamislila broj 189, Barbara broj 48, a Dora broj ( boda) 4
5 Zadatak B-1.7. Neka je ABCD četverokut kojemu su svi kutovi manji od 180. Stranice AD, CD i dijagonala BD, su jednakih duljina, mjera kuta ADB jednaka je mjeri kuta DCA i mjera kuta CBD jednaka je mjeri kuta BAC. Odredite mjere kutova četverokuta ABCD. Označimo ADB = DCA = α, CBD = BAC = β. Trokut DAC je jednakokračan jer je DA = DC. Stoga je DAC = DCA = α. Trokut DAB je jednakokračan jer je DA = DB. Stoga je DAB = DBA = α + β. Trokut BDC je jednakokračan jer je DC = DB. Stoga je DBC = DCB = β. Odatle je ACB = β α. U trokutu ABC vrijedi Dakle, 4β = 180, β = 45. β + α + β + β + β α = 180. Iz trokuta ADB slijedi α = 90, α = 0. (α + β) + α =
6 Kutovi četverokuta su DAB = α + β = 75 DCB = β = 45 CBA = α + β = 10 ADC = = 10 ( boda) 6
7 ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE. razred srednja škola B varijanta 17. siječnja 01. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJERENSTVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN. Zadatak B-.1. Zadan je kompleksni broj z = (x+i ) 4. Odredite sve realne brojeve x 1 i za koje je z = 8. Izračunajmo modul kompleksnog broja z. (x + i ) 4 z = 1 i = x + i 4 1 i = ( x + ) 4 = (x + ). ( boda) Budući da je z = 8, slijedi Kako je x realan broj, rješenja su brojevi x = ±1. (x + ) = 8 / x + = ±4 x = 1 ili x = 7 ( boda) Zadatak B-.. Jedno rješenje jednadžbe ax + bx + 5 = 0 je pet puta veće od drugog. Koeficijenti a i b su prirodni brojevi manji od 0. Odredite sve takve jednadžbe. Iz danog uvjeta x 1 = 5x i Vieteovih formula x 1 + x = b a slijedi x 1 x = c a 6x = b a 5x = 5 a. ( boda) Izrazimo li iz prve jednakosti x i uvrstimo u drugu dobit ćemo ( b ) = 1 6a a, 7
8 tj. b = 6a. ( boda) Kako su a i b prirodni brojevi, a može biti jedino kvadrat nekog prirodnog broja. Obzirom da su a i b manji od 0, slijedi a = 1, b = 6 ili a = 4, b = 1 ili a = 9, b = 18. Rješenje su jednadžbe x + 6x + 5 = 0, 4x + 1x + 5 = 0 i 9x + 18x + 5 = 0. Zadatak B-.. U nekom je gradu 10 restorana i n kazališta. Jedna je grupa turista provela nekoliko dana u tom gradu. Tijekom svog boravka posjećivali su restorane i kazališta. Na kraju svog boravka ustanovili su da su svaki restoran posjetila 4 turista, a u svakom je kazalištu bilo po 6 turista. Ako je svaki turist posjetio točno 5 restorana i kazališta, odredite koliko ima kazališta u gradu. Neka je t ukupan broj turista. Broj posjeta restoranima je t 5 = ( boda) Tada je t = 8. Analogno je broj posjeta kazalištu t = 6 n. Slijedi da je t = n, odnosno n = 4, što znači da je u gradu točno 4 kazališta. ( boda) 8
9 Zadatak B-.4. U deltoid kojemu su duljine dijagonala d 1 = 4 cm i d = 8 cm upisan je pravokutnik tako da su njegove stranice paralelne s dijagonalama deltoida. Odredite dimenzije tako upisanog pravokutnika koji ima najveću površinu. Neka su x,y duljine stranica pravokutnika. Kako je y d 1 i x d iz sličnosti trokuta slijedi d 1 : y = d ( ) : d x ( ili 4 : y = 4 : 4 x ) ( boda) Sada je Površina je najveća za y = d 1(d x) d ili y = 4 x. P = P (x) = x (4 x) = 4x x. ( boda) x M = 4 = 4 cm ( ) y M = 4 4 = 1 cm. Dakle, najveću moguću površinu ima pravokutnik sa stranicama x = 4 cm i y = 1 cm. Zadatak B-.5. Razlika duljina osnovica jednakokračnog trapeza iznosi 10 cm. Duljina njegovog kraka je aritmetička sredina duljina osnovica. Izračunajte duljine stranica trapeza ako omjer duljina visine na osnovicu i veće osnovice iznosi :. 9
10 Zadano je Iz ovog sustava jednadžbi slijedi a c = 10 a + c = b v a =. b = a 5 i v = a. Pitagorin poučak daje pa je Slijedi kvadratna jednadžba ( ) a c b = + v (a 5) = 5 + a 18a = 0, čije je jedino moguće rješenje a = 18 cm. Tada je b = a 5 = 1 cm, c = a 10 = 8 cm. ( ) a. Zadatak B-.6. Za svaki od tri realna broja vrijedi da zbroj jednog od njih i umnoška preostalih dvaju iznosi. Odredite sve trojke takvih brojeva. Treba riješiti sustav jednadžbi a + bc = b + ac = c + ab =. 10
11 Oduzmimo prve dvije jednadžbe. a b + bc ac = 0 a b c(a b) = 0 (a b)(1 c) = 0 Imamo dva slučaja: a = b ili c = slučaj Ako je a = b tada iz druge dvije jednadžbe sustava slijedi a + ac = c + a =. Oduzimanjem jednadžbi dobivamo a c a(a c) = 0 (a c)(1 a) = 0 Ponovno imamo dva slučaja: a = c ili a = 1. Za a = c iz prve jednadžbe sustava dobivamo a + a = a + a = 0. Slijedi a = 1 ili a =. Kako je a = b = c slijedi (a, b, c) = (1, 1, 1) ili (a, b, c) = (,, ). Za a = 1, a tada i b = 1 iz prve jednadžbe sustava slijedi 1 + c = c = 1, što daje isto rješenje (a, b, c) = (1, 1, 1)..slučaj Ako je c = 1 iz druge dvije jednadžbe sustava slijedi a + b = 1 + ab = što vodi na kvadratnu jednadžbu a a + 1 = 0, s rješenjem a = 1. Slijedi da je b = 1 pa ponovno dobivamo rješenje (a, b, c) = (1, 1, 1). Jedina rješenja su (1, 1, 1) i (,, ). Napomena: Za bilo koji način svodenja na sustav dvije jednadžbe s dvije nepoznanice, a bez daljnjeg 11
12 postupka dati boda. Ako su rješenja pogodena dati boda (za svako rješenje po 1). Zadatak B-.7. Zadan je kompleksan broj w = i. Odredite sve kompleksne brojeve oblika z = n + ni, gdje je n Z i vrijedi ( z ) Re < 0.4, Im(z w) < 4. w Odredimo prvo količnik z w i umnožak z w. z w = n + ni i + i + i = n ni + n i n 10 ( z ) Njegov realni dio je Re w = n n 10 + n + n i 10 = n n. 10 z w = (n + ni) ( + i) = n n + ( n + n )i. Njegov je imaginarni dio Im(z w) = n + n. Treba riješiti sustav nejednadžbi odnosno { Re ( z w) < 0.4 Im(z w) < 4 { n n 10 < 4 10 n + n < 4 Nakon sredivanja imamo { n n + 4 < 0 n n 4 < 0 ( boda) Rješenje prve nejednadžbe su svi cijeli brojevi n za koje vrijedi n < 4 ili n > 1. Rješenje druge nejednadžbe su svi cijeli brojevi n za koje je 1 < n < 4. Presjek ovih skupova rješenja je skup {, }. Prema tome traženi kompleksni brojevi su 4 + i ili 9 + i. 1
13 ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE. razred srednja škola B varijanta 17. siječnja 01. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJERE- NSTVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN. Zadatak B-.1. Riješite jednadžbu log x 8 + log 4x 4 + log x = 0. Da bi jednadžba imala smisla mora biti x > 0, x 1, x 1 4, x 1. Početnu jednadžbu pišemo u obliku Uvedimo supstituciju t = log x. log x + + log x log x t + + t t = 0 = 0 Odatle dobivamo jednadžbu 6t + 1t + 6 = 0 kojoj su rješenja t 1 = i t =. Nadalje je log x =, pa je x 1 =, log x =, pa je x =. ( Ili zapis pomoću korijena x 1 = 1 = 4, x 1 = 1 ) = 8 4. Zadatak B-.. Matko ima 8 kuglica i vagu. Sve su kuglice potpuno iste veličine i boje, ali jedna kuglica ima veću masu od ostalih 7. Može li Matko pomoću točno dva mjerenja, vagom koja nema utege, odrediti koja je to kuglica? Obrazložite. Razdijelit ćemo kuglice u tri skupine - dvije skupine po tri kuglice i jedna s dvije kuglice. Prvo mjerenje. Stavit ćemo skupine s kuglice na svaki kraj vage. Ako je vaga u ravnoteži, onda je svih 6 kuglica koje se nalaze na vagi jednake mase. Očito je tada tražena kuglica jedna od preostale dvije iz treće skupine. ( boda) To ćemo lako utvrditi drugim mjerenjem ako na svaki kraj vage stavimo po jednu kuglicu. 1
14 Ako vaga pri prvom mjerenju nije u ravnoteži, tražena se kuglica nalazi u težoj skupini. Iz te ćemo skupine uzeti dvije kuglice za drugo mjerenje, na svaku stranu vage po jednu kuglicu. Ako je medu njima tražena kuglica, vaga će pokazati koja je veće mase, a ako nije, tada je kuglica s većom masom ona koja je preostala iz te skupine. Zadatak B-.. Odredite realne brojeve a, b i c za koje je funkcija f(x) = ax + bx c sin x cos x neparna. f(x) = ax + bx c sin x cos x = ax + bx c sin x. f( x) = a( x) + b( x) c sin ( x) = ax bx + c sin x. Iz f( x) = f(x) za svaki x R, slijedi ax bx + c sin x = ax bx + c sin x ax = ax. Ovo je ispunjeno za sve realne brojeve x ako je ( boda) a = 0, b R, c R ( boda) Zadatak B-.4. Ako je cos α + cos β = 1 i sin α + sin β = 1, koliko iznosi cos(α β)? 4 Kvadriramo svaku od jednadžbi cos α + cos β = 1, sin α + sin β = 1 4. Tada je cos α + cos α cos β + cos β = 1 4 sin α + sin α sin β + sin β = 1 16 ( boda) Zbrajanjem ovih dviju jednadžbi dobivamo 1 + cos(α β) + 1 =
15 Odavde je ( boda) cos(α β) = 7 16 cos(α β) = 7 ( boda) Zadatak B-.5. Zadana je funkcija f(x) = cos x + 4 cos x +. Odredite skup svih vrijednosti koje funkcija f može poprimiti. Tražimo najmanju i najveću vrijednost funkcije f. Zapišimo funkciju f u pogodnijem obliku f(x) = cos x + 4 cos x + = ( cos x 1) + 4 cos x + = ( cos x + 1) ( boda) Funkcija f će imati najveću vrijednost kada kosinus ima najveću vrijednost, odnosno kada je cos x = 1. Dakle, maksimum je ( + 1) = 9. Minimum je očito 0 jer je f(x) 0, za sve x R, a f(x) = 0 za cos x = 0.5. (Ili gledamo kao apscisu tjemena grafa kvadratne funkcije.) Zaključak f(x) [0, 9]. Zadatak B-.6. Na intervalu 0, π riješite sustav jednadžbi cos x cos y = cos y sin x. sin y = sin y Zbrajanjem danih jednadžbi imamo. cos x cos y + sin x sin y = Nakon množenja sa sin y cos y slijedi sin x cos y + cos x sin y = sin y cos y sin(x + y) = sin y Imamo dva slučaja: 15
16 Prvi slučaj. Iz x + y = y slijedi x = y, pa imamo sin x sin x = sin x sin x = 1 sin x = 1 Jednadžba sin x = ± 0, na π ima rješenje x 1 = π 4. Jedno je rješenje sustava x = π 4, y = π 4. ( boda) Drugi slučaj. Iz x + y = π y slijedi x = π y, pa je sin(π y) = sin y sin y sin y sin y = sin y sin y 4 sin y = sin y sin y 4 sin y = sin y 6 sin y = sin y = 1 sin y = 1 Jednadžba sin y = ± 0, na π ima rješenje y 1 = π 4. A to nam opet daje isto rješenje sustava. Drugo rješenje. Na isti način svodimo sustav na jednadžbu sin(x + y) = sin y. Ovu jednadžbu možemo riješiti koristeći formule pretvorbe. Tada je Slijedi sin(x + y) sin y = 0 cos x + y sin x y = 0. cos x + y x + y = 0 ili sin x y = π ili x y = 0. = 0. 16
17 Odatle je x = π y ili x = y. Dalje ide analogno kao i u prvom rješenju. Zadatak B-.7. Duljina stranice jednakostraničnog trokuta iznosi 6 cm. Njegovim je težištem povučena paralela s jednom od stranica. Izračunajte obujam uspravne prizme čija je baza nastali trapez, a duljina visine prizme jednaka je duljini visine trapeza. Odredite kosinus kuta kojeg prostorna dijagonala prizme zatvara s ravninom baze. (Ako je označen jasno kut izmedu dijagonale i baze) ( boda) Kako težište dijeli težišnicu u omjeru : 1, a težišnica se podudara s visinom jednakostraničnog trokuta, to je visina dobivenog trapeza h = 1 6 = cm. Isto tako vrijedi ( boda) Površina trapeza je Obujam prizme je c a = c = 6 = 4 cm. B = a + c h = 5 cm. V = B h = 5 = 15 cm. 17
18 Kako bismo mogli izračunati traženi kosinus, izračunajmo duljinu dijagonale baze i duljinu prostorne dijagonale. d = 5 + ( ) = 8 cm. D = 8 + ( ) = 1 cm. Sada je cos ϕ = d D =
19 ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred srednja škola B varijanta 17. siječnja 01. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJERENSTVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN. Zadatak B-4.1. Odredite onaj član u razvoju binoma ( ) 1 x y y, x, y > 0 x koji sadrži x i y s istim eksponentom. U razvoju binoma ( x y y x ) 1 opći je član ( 1 k ) a 1 k b k, gdje je x a = = 1 1 x y 1 6, y b = y x = 1 x y. Sada je ( ) 1 a 1 k b k = k = ( 1 k ( 1 k ) ( ) k x y 1 6 )( 1) k ( 1 k k ( 1 x 1 6 y 1 ) k ) ( ) ( ) x 1 k k 6 y k 1 + k 6 ( boda) Kako bi x i y imali isti eksponent vrijedi sljedeće 1 k Odatle dobivamo k = 9 pa je traženi član ( ) 1 9 k 6 = k k. 1 x 5 y 5. ( boda) 19
20 Zadatak B-4.. U jednoj je skupini, od ukupno 11 učenika svaka četvrta osoba djevojka. U drugoj je skupini ukupno 5 učenika, a omjer broja mladića i djevojaka iznosi : 1. U obje je skupine jednak broj djevojaka. Kako je to moguće i koliko je u tom slučaju djevojaka u svakoj skupini? Odredimo bazu sustava u kojem je zadatak moguć (b) = 1 5 (b) (b + b + ) = 4(5b + ) ( boda) b 17b 6 = 0 b = 6. ( boda) Zadatak je moguć u sustavu s bazom 6. Broj djevojaka označimo s x. Tada je 1 5 (6) = x = x x = 11 U dekadskom sustavu broj djevojaka je 11. U sustavu s bazom 6 broj djevojaka je 15. Priznati bilo koji od ta dva odgovora. Zadatak B-4.. Odredite sve brojeve z C koji su rješena jednadžbe z + i 01 = 0. Izračunajte površinu lika čiji su vrhovi u Gaussovoj ravnini odredeni rješenjima te jednadžbe. z + i 01 = 0 z = i 01 z = i Prikažimo i u trigonometrijskom obliku. i = cos π + i sin π. 0
21 Tada je z = π i = cos + kπ + i sin Dakle, rješenja jednadžbe su sljedeći brojevi π + kπ, k = 0, 1,. z 1 = cos π + i sin π = i; z = cos 7π 6 + i sin 7π 6 = 1 i; z = cos 11π 6 + i sin 11π 6 = 1 i. Oni odreduju vrhove jednakostraničnog trokuta ) ( ) Z 1 (0, 1), Z (, 1, Z, 1. Duljina stranice tog trokuta iznosi Tada njegova površina iznosi a = Z Z = P = a 4 =. =. 4 Zadatak B-4.4. tangensu. Odredite vrijednost sinusa broja, kojemu je kosinus jednak njegovom Ako je cos x = tg x, tada je cos x = sin x cos x, x π + kπ, k Z 1
22 Slijedi Tada je Rješenja dobivene kvadratne jednadžbe su Kako je sin x [ 1, 1], jedino rješenje je cos x = sin x, 1 sin x = sin x ili sin x + sin x 1 = 0. ( boda) sin x = t, t + t 1 = 0. t 1, = 1 ± 5. sin x = Zadatak B-4.5. Nad tetivom AB kružnice k(s, r) konstruirana su s iste strane tetive dva jednakokračna trokuta kojima je zajednička osnovica tetiva AB. Jednom je treći vrh središte S, a drugom točka C na kružnici. Ako je omjer njihovih površina : ( + ) izračunajte mjeru kuta izmedu krakova trokuta ABS. Prvo rješenje. Slika. Neka je a = AB. Ako visinu na osnovicu trokuta ABS označimo s x, onda je visina trokuta ABC jednaka r + x. Vrijedi x = r cos a. Za površine danih trokuta vrijedi (r+x) a x a = +.
23 Nakon sredivanja tog izraza slijedi Odatle je Tada je α = 60. Drugo rješenje. r x + 1 = + 1 x r = cos a =. ( boda) Slika. Površina manjeg trokuta ABS je P 1 = 1 r sin α, a površina većeg trokuta ABC je P = P 1 + P ASC = 1 r sin α + 1 ( r sin 180 α ) = = 1 r sin α cos α + r sin α = = r sin α (cos α ) + 1 Sada je 1 P 1 : P = r α sin α ( r sin α cos α + 1) = sin cos α ( ( boda) sin α cos α + 1) cos α cos α + 1 = α = 60 + Zadatak B-4.6. Izračunajte površinu četverokuta omedenog zajedničkim tangentama krivulja x + y = i 4x 9y = 6. Slika. ( boda) Krivulja x + y 1 = 1 je elipsa i vrijedi a =, b = 1. Koristeći uvjet dodira a k +b = l pravca i elipse, dobivamo k + 1 = l.( )
24 Krivulja x 9 y 4 = 1 je hiperbola i vrijedi a = 9, b = 4. Koristeći uvjet dodira a k b = l pravca i hiperbole dobivamo 9k 4 = l.( ) Iz sustava što ga čine jednadžbe (*) i (**) dobivamo rješenja: 5 17 k 1, = ± 7 i l 1, = ± 7 Jednadžbe zajedničkih tangenti su 5 17 t 1,,,4... y = ± 7 x ± y = ± 7 x 7 Izračunajmo njihove odsječke na koordinatnim osima. ( boda) Na osi x za y = 0 dobivamo Na osi y, za x = 0 dobivamo Tada je tražena površina 17 x 1, = 5 17 d 1 = x x 1 = y 1, = ± 7 17 d 1 = y y 1 = 7. P = 1 d 1d = =
25 Zadatak B-4.7. Dokažite da za svaki prirodni broj n vrijedi jednakost n 1 1 n = 1 n n n. Zadanu jednakost dokažimo matematičkom indukcijom. Provjerimo tvrdnju za n = = = 1. Baza indukcije je zadovoljena. ( boda) Pretpostavimo da zadana jednakost vrijedi za neki proizvoljan prirodni broj n te dokažimo da vrijedi i za njegovog sljedbenika n + 1. ( boda) Treba dokazati da je n 1 1 n + 1 n n + = 1 n n n + 1 n n +. Krenimo od lijeve strane gornje jednakosti i primjenimo na ovaj izraz pretpostavku indukcije ( n 1 1 ) + 1 n n n + = ( 1 = n n ) + 1 n n n + = ( boda) = 1 n n + 1 ( 1 n n ) = n + = 1 n n + 1 n n +. ( boda) Time smo pokazali da tvrdnja vrijedi za n + 1, a tada i za svaki prirodni broj n. 5
6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραOPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja
OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače 00. 4. razred-rješenja. 00 + 00 + 00 3 + 00 4 + 00 = 00 ( + + 3 + 4 + ) = 00 = 300... UKUPNO 4 BODA. 96 8 : 4 + 0 ( 68 66 ) = 96 7 + 0 = 89 + 0 = 09...
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 4. veljače 2010.
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 4. veljače 010. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJEREN- STVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραRADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Poreč, 25.travnja-27.travnja razred-rješenja
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Poreč, 5.travnja-7.travnja 01. 5. razred-rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN
Διαβάστε περισσότεραŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 24. siječnja razred rješenja
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. siječnja 011. 4. razred rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I
Διαβάστε περισσότεραOPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
Ministarstvo znanosti, obrazovanja i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A kategorija
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραOPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 9. siječnja 009. 1. Riješi nejednadžbu x + x Rješenje. 1 u skupu prirodnih brojeva. x + x 1 x + x + 0 x x < 0 x
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραRJEŠENJA ZA 4. RAZRED
RJEŠENJA ZA 4. RAZRED OVDJEJEDANJEDANNAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA- ČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK OCI- JENITI I BODOVATI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN.
Διαβάστε περισσότεραŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 15. ožujka 2010.
ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 15. ožujka 010. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJEREN- STVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Šibenik, 2.travnja-4.travnja razred-rješenja
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Šibenik, travnja-4travnja 014 5 razred-rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE. razred srednja škola B kategorija Pula, 30. ožujka 009. Zadatak B-.. (0 bodova) Tomislav i ja, reče Krešimir, možemo završiti posao za 0 dana. No, ako bih radio s Ivanom
Διαβάστε περισσότεραZdaci iz trigonometrije trokuta Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih:
Zdaci iz trigonometrije trokuta... 1. Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih: a) a = 1 cm, α = 66, β = 5 ; b) a = 7.3 cm, β =86, γ = 51 ; c) b = 13. cm, α =1 48`, β =13 4`; d) b = 44.5 cm, α
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότερα4 Sukladnost i sličnost trokuta
4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }
Διαβάστε περισσότεραOp cinsko natjecanje Osnovna ˇskola 4. razred
9 1. Općinsko natjecanje Općinsko (gradsko) natjecanje je prvi stupanj natjecanja koji se organizira po jedinstvenim kriterijima Državnog povjerenstva za matematička natjecanja. Godine 1996. ono je održano
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότερα2n 2, 2n, 2n + 2. a = 2n 2, b = 2n, c = 2n + 2. a b c. a P =
Zadatak (Tomislav gimnazija) Nađite sve pravokutne trokute čije su stranice tri uzastopna parna roja Rješenje inačica pća formula za parne rojeve je n n N udući da se parni rojevi povećavaju za možemo
Διαβάστε περισσότεραOpćinsko natjecanje. 4. razred
9 1. Općinsko natjecanje iklus susreta i natjecanja mladih matematičara, učenika osnovnih i srednjih škola Republike Hrvatske i u 1998. godini sastojao se od školskih natjecanja, gradskih i općinskih natjecanja,
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότεραŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE. 4. razred osnovna škola. 23. veljače Odredi zbroj svih neparnih dvoznamenkastih prirodnih brojeva.
MINISTARSTVO ZNANOSTI, OBRAZOVANJA I ŠPORTA REPUBLIKE HRVATSKE AGENCIJA ZA ODGOJ I OBRAZOVANJE HRVATSKO MATEMATIČKO DRUŠTVO ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 1. Na pitanje koliko
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραRijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5
Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz
Διαβάστε περισσότεραŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 27. siječnja 2014.
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 7. siječnja 014. AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJERENSTVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα> 0 svakako zadovoljen.
Elektrotehnički fakultet u Sarajevu akademska 0/3 ŠIFRA KANDIDATA _ Zadatak Za koje vrijednosti parametra ( ) + 3 = 0 m x mx oba iz skupa i suprotnog znaka? m su rješenja kvadratne jednačine a) m > 3 b)
Διαβάστε περισσότερα4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότεραŠKOLSKO (GRADSKO) NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 4. veljače 2010.
ŠKOLSKO (GRADSKO) NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 4. veljače 2010. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJEREN- STVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable
Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Infimum i supremum skupa Zadatak 1. Neka je S = (, 1) [1, 7] {10}. Odrediti: (a) inf S, (b) sup S. (a) inf S =, (b) sup S = 10.
Διαβάστε περισσότεραmogućih vrijednosti rs3. Za m, n N, mn+1 m 2 +n 2 m2 + n 2 mn + 1 je kvadrat prirodnog broja.
r1. Neka je n fiksan prirodan broj. Neka je k bilo koji prirodan broj ne veći od n i neka je S skup nekih k različitih prostih brojeva. Ivica i Marica igraju naizmjenično sljedeću igru. Svako od njih bira
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 9. ožujka 2007.
Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 9. ožujka 007. 1. Izračunaj:
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραPRIMJERI ZADATAKA ZA TEST IZ MATEMATIKE
PRIMJERI ZADATAKA ZA TEST IZ MATEMATIKE . 0.: 0.0 0. 0.0 je: 5000 0.0 5 0.00. Izračunajte 0.% od : 0. 4 0. 0.0 0.00 0.. Skratite razlomak a a a 4a + 4 + a a a a a a 0.77 4. Rješenje jednadžbe =. 5 je -
Διαβάστε περισσότερα1. Skup kompleksnih brojeva
1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skupovibrojeva... 2 2. Skup kompleksnih brojeva................................. 5 3. Zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva..................... 8 4. Kompleksno konjugirani
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραLjetno kolo 2017./2018.
Ljetno kolo 217./218. ŠKOLA EKIPA KATEGORIJA POVJERENIK NATJECANJA C3 R. IME I PREZIME UČENIKA RAZRED IME I PREZIME MENTORA 1. 2. 3.. ODGOVORI: 1. 11. 26. 2. 12. 27. 3. 13. 28.. 1. 29. 5. 15. 3. 6. 16.
Διαβάστε περισσότεραx + y + z = 2 (x + y)(y + z)+(y + z)(z + x)+(z + x)(x + y) =1 x 2 (y + z)+y 2 (z + x)+z 2 (x + y) = 6
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A kategorija,. svibnja 2007. Rješenja Zadatak 1A-1. Na - dite realna rješenja sustava jednadžbi: x + y + z = 2 (x + y)(y + z)+(y + z)(z + x)+(z
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo znanosti, obrazovanja i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo. 29. siječnja 2009.
Ministarstvo znanosti, obrazovanja i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 9. siječnja 009. UPUTE: Na poledini
Διαβάστε περισσότερα2s v A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 E. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 E. 0
17 1989 1 1.1. Ako je v = gt + v 0 i s = g 2 t2 + v 0 t, onda je t jednak A. 2s B. v + v 0 2s C. v v 0 s D. v v 0 2s v E. 2s v 1.2. Broj rješenja jednadžbe x + 1 x = 10 u skupu realnih brojeva x R, iznosi
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A kategorija 30. ožujka 2009.
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE. razred srednja škola A kategorija 30. ožujka 009. Zadatak A-.. Odredi sve trojke uzastopnih neparnih prirodnih brojeva čiji je zbroj kvadrata jednak nekom četveroznamenkastom
Διαβάστε περισσότερα