Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Transcript

1 MĂSURI RELE Cursul Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν() = fdµ, este bine definită şi este numărabil aditivă. În plus, ν ( ) = 0. Dar ν nu este o măsură întrucât ia valori în R şi nu în [0, ]. Cu toate acestea, importanţa funcţiei ν ne determină să definim următoarea noţiune: Definiţia 15.1 Fie (, ) un spaţiu măsurabil. O funcţie de mulţime ν : R se numeşte măsură reală dacă 1. ν este numărabil aditivă; 2. ν ( ) = 0. Observaţia 15.2 Orice măsură reală este finit aditivă. Propoziţia 15.3 Fie (, ) un spaţiu măsurabil şi ν : R o măsură reală pe. tunci ν() (, ] sau ν() [, ). Demonstraţie. Dacă măsura ν este finită, atunci ν() (, ). Presupunem în continuare că ν ia şi valori infinite. Fie aşa încât ν() = şi fie o mulţime arbitrară B. tunci avem: ν( B) = ν( (B \ )) = ν() + ν(b \ ) = + ν(b \ ) = = ν(b ( \ B)) = ν(b) + ν( \ B), de unde deducem că ν(b) (dacă ν(b) =, cum valoarea ν(b)+ν(\b) există, rezultă ν(b)+ν(\b) =, ceea ce este fals). În concluzie, dacă există aşa încât ν() =, atunci ν() (, ]. În mod analog, se arată că dacă există aşa încât ν() =, atunci ν() [, ). Exemplul 15.4 Fie (, ) un spaţiu măsurabil. 1. Orice măsură µ : [0, ] este de asemenea o măsură reală, pe care o vom mai numi şi măsură nenegativă. 2. Fie µ 1, µ 2 : [0, ) două măsuri finite. tunci funcţia de mulţime ν = µ 1 µ 2 este o măsură reală. Exemplul 15.5 Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi fie f : R o funcţie -măsurabilă aşa încât f are integrală pe. tunci funcţia de mulţime ν : R, ν() = fdµ, este o măsură reală. În continuare vom stabili condiţii suficiente în care o măsură reală să poată fi reprezentată sub această formă integrală. Mai întâi vom reprezenta o măsură reală ca diferenţa a două măsuri nenegative. Lema 15.6 Fie (, ) un spaţiu măsurabil şi ν : R o măsură reală pe. tunci B, C astfel încât Demonstraţia poate fi citită în [P1], pag ν (B) = inf {ν () } şi ν (C) = sup {ν () }. Teorema 15.7 (Teorema de descompunere a lui Jordan) Fie (, ) un spaţiu măsurabil şi fie o măsură reală ν : R. Considerăm funcţiile de mulţime ν +, ν : [0, ], definite prin ν + (M) = sup {ν (), M}, ν (M) = inf {ν (), M}. tunci ν + şi ν sunt două măsuri nenegative, dintre care cel puţin una este finită şi ν = ν + ν. 112

2 MĂSURI RELE Demonstraţie. Din Propoziţia 15.3, ν() (, ] sau ν() [, ). Este suficient deci să demonstrăm teorema doar pentru unul dintre cele două cazuri. În celălalt caz, vom aplica rezultatul obţinut măsurii ν. Vom presupune în continuare că ν() (, ]. Fie o mulţime M. Cum M, rezultă ν + (M) ν ( ) = 0. De asemenea avem inf {ν (), M} ν ( ) = 0, de unde deducem că ν (M) 0. Deci ν + şi ν sunt bine definite. Din Lema 15.6, B astfel încât ν (B) = inf {ν () }. tunci < ν (B) ν ( ) = 0 şi deci ν (B) este finită. Vom arăta în continuare că ν (M B) 0, M. Să presupunem că M astfel ca ν (M B) > 0. Deoarece ν (B) = ν (B M) + ν (B cm), iar ν (B) este finită, rezultă că ν (B M) şi ν (B cm) sunt finite şi cum ν (M B) > 0, rezultă ν (B) > ν (B cm). Dar aceasta este în contradicţie cu faptul că ν (B) = inf {ν () }. Prin urmare, ν (M B) 0, M. (143) Printr-un raţionament asemănător vom arăta că ν (M cb) 0, M. Să presupunem că M astfel ca ν (M cb) < 0. tunci < ν(b) ν (M cb) < 0 şi deci ν (M cb) este finită. Deoarece ν (M B) = ν (M cb) + ν (B), iar ν (B) este finită, rezultă că ν (M B) < ν(b), ceea ce este în contradicţie cu definiţia lui ν (B). Prin urmare, Fie acum M şi fie astfel încât M. tunci avem ν () = ν ( B) }{{} 0 (din (143)) ν (M cb) 0, M. (144) + ν ( cb) ν ( cb) ν ( cb) + ν ((M\) cb) = ν (M cb). }{{} 0 (din (144)) De aici obţinem ν + (M) = sup {ν (), M} ν (M cb). Pe de altă parte, M cb cu M cb M şi deci ν + (M) ν (M cb). Prin urmare avem ν + (M) = ν (M cb). De asemenea, ν () = ν ( B) + ν ( cb) }{{} 0 (din (144)) ν ( B) ν ( B) + ν ((M\) B) = ν (M B). }{{} 0 (din (143)) De aici obţinem inf {ν (), M} ν (M B). Deoarece M B cu M B M, rezultă ν (M B) inf {ν (), M}. tunci inf {ν (), M} = ν (M B) şi deci ν (M) = ν (M B). m demonstrat că M, ν + (M) = ν (M cb) şi ν (M) = ν (M B). (145) Cum ν este numărabil aditivă, din (145) rezultă că ν + şi ν sunt numărabil aditive. De asemenea, ν + ( ) = ν ( ) = ν ( ) = 0. Deci ν + şi ν sunt măsuri nenegative. Pentru orice M, ν(m) = ν(m cb) + ν(m B) = ν + (M) ν (M), adică ν = ν + ν. Din (143) avem < ν (M B) 0, M şi deci ν este finită. Descompunerea ν = ν + ν, dată de teorema anterioară, se numeşte descompunerea Jordan a măsurii ν. Măsura ν + se numeşte partea pozitivă sau variaţia pozitivă a măsurii ν, iar ν se numeşte partea negativă sau variaţia negativă a măsurii ν. Funcţia de mulţime ν : [0, ], ν = ν + + ν este o măsură nenegativă, numită variaţia totală a măsurii ν. Observaţia 15.8 Dacă ν 0, atunci ν + = ν şi ν = 0. Deci ν = ν + = ν. Observaţia 15.9 Reprezentarea măsurii reale ν ca diferenţă a două măsuri nenegative nu este unică. Întradevăr, dacă λ este o măsură finită, atunci ν = (ν + + λ) (ν + λ) şi deci obţinem o altă descompunere a măsurii ν. Observaţia Funcţia de mulţime ν () nu este în general numărabil aditivă. Mai exact, ( n ) cu n m =, pentru n m, avem ( ) ν n = ν ( n ) ν ( n ). n N Deci aplicaţia ν () nu coincide cu ν, care este numărabil aditivă. Dar, pentru orice, are loc inegalitatea ν() = ν + () ν () ν + () + ν () = ν + () + ν () = ν (), adică ν() ν (). 113

3 MĂSURI RELE Observaţia Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi fie f : R o funcţie -măsurabilă. Funcţia de mulţime ν : R, ν() = f dµ, are proprietatea: tunci este justificată definirea următoarei noţiuni:, µ () = 0 ν () = 0. Definiţia Fie (, ) un spaţiu măsurabil, µ : [0, ] o măsură nenegativă şi ν : R o măsură reală. Spunem că ν este absolut continuă în raport cu µ, şi notăm acest lucru cu ν µ, dacă, µ () = 0 ν () = 0. Propoziţia Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură şi ν : R o măsură reală. tunci ν µ ν µ. Demonstraţie. = : Vom presupune prin absurd că ν µ şi ν µ. Rezultă că cu µ () = 0 şi ν () > 0. tunci ν + () + ν () > 0 şi deci ν + () > 0 sau ν () > 0. Să presupunem că ν + () > 0. Ţinând seama de definiţia lui ν +, B astfel încât B şi ν (B) > 0. Deoarece B, avem µ (B) µ () şi cum µ () = 0, obţinem µ (B) = 0. Dar ν µ şi atunci ν (B) = 0; contradicţie cu ν (B) > 0. Deci ν µ. = : Presupunem că ν µ şi fie aşa încât µ () = 0. tunci ν () = 0 şi cum ν () = ν + () + ν (), obţinem ν + () = ν () = 0. Deci ν() = ν + () ν () = 0. În concluzie, ν µ. Teorema Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură şi ν : R o măsură reală finită. tunci ν µ dacă şi numai dacă ε > 0, δ > 0 astfel încât cu µ () < δ, ν () < ε. Demonstraţie. = : Vom demonstra prin reducere la absurd. Presupunem că ν µ, dar ε > 0 astfel încât δ > 0, δ cu µ ( δ ) < δ şi ν ( δ ) ε. tunci, pentru orice n N, luăm δ = 1 2 n şi deci n astfel încât µ ( n ) < 1 2 n şi ν ( n) ε. Pentru orice n N, considerăm mulţimea B n = k n k şi fie B = B n = lim sup n. n N n N tunci, n N, avem: 1 µ (B n ) µ ( k ) 2 k = 1 2 n 1, de unde rezultă µ (B n ) 0. Deoarece 0 µ(b) µ(b n ), n N, obţinem că µ (B) = 0. k=n De asemenea, n N, avem ε ν ( n ) ν ( n ) n Bn ν (B n ). Deoarece ν este finită, ν este de asemenea finită şi deci este continuă pe şiruri descendente. tunci ε lim ν (B n) = ν (B). Pe de altă parte, cum ν µ, din propoziţia anterioară obţinem ν µ şi cum µ (B) = 0, rezultă ν (B) = 0; contradicţie cu ε ν (B)! = : Presupunem că k=n ε > 0, δ > 0 astfel încât cu µ () < δ, ν () < ε. Fie o mulţime astfel încât µ () = 0. tunci µ () < δ şi deci ν () < ε. Prin urmare, ν () < ε, ε > 0, de unde deducem că ν () = 0. Deci ν µ. Observaţia Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură şi ν 1, ν 2 : R, două măsuri reale astfel încât ν 1 µ şi ν 2 µ. Dacă ν = ν 1 ν 2 este bine definită, atunci ν µ. Teorema (Teorema lui Radon-Nikodym) Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi σ-finită şi fie ν : R o măsură reală astfel încât ν µ. tunci există o funcţie -măsurabilă, f : R, astfel încât ν () = fdµ,. 114

4 MĂSURI RELE Demonstraţie. Etapa I. Presupunem că ν() [0, ], iar µ() < şi ν() <. Fie mulţimea F = {f M(, ) f 0 şi fdµ ν(), }. Cum f F, fdµ ν() <, avem F L(,, µ). Pentru f, g F, definim relaţia f g f g µ-a.p.t.. tunci (F, ) este o mulţime parţial ordonată (antisimetria este în raport cu relaţia de egalitate µ-a.p.t.). Vom arăta că (F, ) este inductiv ordonată, adică orice lanţ din (F, ) este majorat. Fie L F, un lanţ în raport cu relaţia, şi fie α = sup{ gdµ g L}. Există atunci un şir (g n ) L aşa încât g n dµ α. Pentru un n N, avem g n dµ g n+1 dµ. Deoarece g n, g n+1 L, iar (L, ) este lanţ, avem g n g n+1 sau g n+1 g n. Dacă g n g n+1, atunci g n g n+1 µ-a.p.t.. Dacă g n+1 g n, atunci g n+1 g n µ-a.p.t., de unde g n+1 dµ g n dµ. Cum g n dµ g n+1 dµ, obţinem g n+1 dµ = g n dµ şi deci (g n g n+1 )dµ = 0. Cum g n g n+1 0 µ-a.p.t., obţinem g n g n+1 = 0 µ-a.p.t. şi deci g n = g n+1 µ-a.p.t.. Prin urmare g n g n+1 µ-a.p.t.. Fie E n = {x g n (x) > g n+1 (x)}. tunci E n şi µ(e n ) = 0. Urmează că E = n NE n şi µ(e) = 0. Fie g = sup g n. Deoarece (g n ) M(, ) şi g n 0, n N, urmează g M(, ) şi g 0. Cum pentru orice n N µ-a.p.t. x ce, g n (x) g n+1 (x), n N, avem g n (x) g(x). Deci g n g. µ-a.p.t. De asemenea, pentru, întrucât g n g n+1 µ-a.p.t., avem g n χ g n+1 χ µ-a.p.t. şi întrucât g n g, µ-a.p.t. avem g n χ gχ. plicândvarianta generalizată a teoremei Lebesgue-Beppo-Levi (vezi Teorema 11.22) şirului (g n χ ), obţinem că lim g n χ dµ = gχ dµ, adică lim g n dµ = gdµ. Dar g n F, n N, şi atunci g n dµ ν(), n N. Trecând la limită în ultima inegalitate, obţinem gdµ ν(). Prin urmare, g F. Pentru =, mai obţinem α = lim g n dµ = gdµ. De asemenea, din definiţia lui g, g n g, n N, adică g n g, n N. rătăm că g este majorant al mulţimii L, în raport cu relaţia. Fie h L. Dacă există n N astfel încât h g n, cum g n g, rezultă h g. Dacă nu există n N astfel încât h g n, ţinând seama că L este un lanţ, pentru fiecare n N, g n h, adică g n h µ-a.p.t.. Trecând la limită µ-a.p.t. în ultima inegalitate, obţinem g h µ-a.p.t.. De aici rezultă α = gdµ hdµ α, adică gdµ = hdµ. Prin urmare, (h g)dµ = 0 şi cum h g 0 µ-a.p.t., rezultă h = g µ-a.p.t.. Deci, şi în acest caz h g. Prin urmare, g este majorant al mulţimii L şi deci (F, ) este inductiv ordonată. tunci, din Lema lui Zorn, (F, ) are elemente maximale. Fie f F, un element maximal, şi fie funcţia de mulţime λ : [0, ], λ() = ν() fdµ,. Deoarece f F, λ este bine definită. Cum ν este o măsură, iar funcţia fdµ este tot o măsură (vezi Corolarul 11.20), funcţia λ este o măsură. În plus, dacă µ() = 0, întrucât ν µ, avem ν() = 0 şi cum fdµ = 0, rezultă λ() = 0. În concluzie, λ µ. Vom arăta că λ() = 0. Presupunem prin absurd că λ() > 0. Întrucât λ() ν() <, există a > 0 aşa încât µ() < aλ(). Cum µ şi λ sunt măsuri finite, este bine definită măsura reală φ = µ aλ. tunci φ() < 0 şi φ µ. Din demonstraţia teoremei de descompunere a lui Jordan, pentru φ, există o mulţime B aşa încât tunci, pentru orice, avem: 1 a χ Bdµ = 1 χ B χ dµ = 1 a a φ( B) 0 şi φ( cb) 0,. (146) χ B dµ = 1 µ( B). a Dar, din prima inegalitate din (146), avem φ( B) = µ( B) aλ( B) 0, de unde 1 µ( B) λ( B) a 1 λ() = ν() fdµ. Prin urmare, a χ Bdµ ν() fdµ, de unde ( 1 a χ B + f)dµ ν(). 115

5 MĂSURI RELE De aici rezultă că 1 a χ B + f F şi cum f 1 a χ B + f, iar f este element maximal în (F, ), urmează că f = 1 a χ B + f µ-a.p.t.. Cum f L(,, µ), f este finită µ-a.p.t. şi atunci χ B = 0 µ-a.p.t.. Deci µ(b) = χ B dµ = 0. Deoarece φ µ, obţinem φ(b) = 0, de unde φ() = φ(b) + φ(cb) = φ(cb). Luând în inegalitatea a doua din (146) =, obţinem φ(cb) 0; contradicţie cu φ() < 0. Deci presupunerea făcută este falsă şi atunci λ() = 0. Urmează că λ() = 0,, adică ν () = fdµ,. Etapa II. Presupunem că ν() [0, ], iar µ() < şi ν este σ-finită. Deoarece ν este σ-finită, există un şir ( n ) astfel încât ν( n ) <, n N, şi = n N n. Fără să restrîngem generalitatea, putem presupune că m n =, pentru m n (altfel, vom aplica Propoziţia 1.17). Pentru fiecare n N, considerăm funcţia de mulţime ν n : [0, ], ν n () = ν( n ),. Deoarece ν este o măsură şi ν µ, ν n este o măsură şi ν n µ. În plus, ν n() = ν( n ) <, deci ν n este o măsură finită. plicând etapa I măsurilor ν n, obţinem că n N, f n M(, ) aşa încât ν n () = f n dµ,. Fie funcţia f =, obţinem Dar f n. Deoarece (f n ) M(, ), avem f M(, ), iar din Corolarul 11.17, pentru orice f n dµ = f n dµ = ν n () = fdµ. ν( n ) = ν( n N ν () = fdµ,. n ) = ν( ) = ν(). Prin urmare, avem: Etapa III. Presupunem că ν() [0, ], iar µ() <. Fie M = {M ν M este σ-finită}, unde M = { M }. Deoarece M, M =. Fie β = sup{µ(m) M M} şi fie un şir (M n ) M aşa încât µ(m n ) β. Fie M = n NM n. tunci avem M. Cum n N, ν Mn este σ-finită, ( n,k ) k N aşa încât ν( n,k M n ) <, k N, şi M n = n,k M n ). Rezultă M = k N( M n = n,k M n ) = n N n N k N( ( n,k M n ) M, unde n,k M n n N k N şi ν( n,k M n M) = ν( n,k M n ) <, n, k N. Prin urmare, M M. Din M n M, rezultă µ(m n ) µ(m) β, n N, de unde, prin trecere la limită, obţinem β µ(m) β, adică µ(m) = β. Deoarece ν M îndeplineşte condiţiile etapei II, relativ la spaţiul cu măsură (M, M, µ M ), există o funcţie M -măsurabilă h : M R aşa încât ν ( M) = hdµ,. M Fie f = hχ M + χ cm. Cum M şi h este M -măsurabilă, f este -măsurabilă. Pentru orice, avem: fdµ = hχ M dµ + χ cm dµ = hdµ + dµ = ν ( M) + µ ( cm). M Dacă µ( cm) = 0, deoarece ν µ, avem ν( cm) = 0 şi atunci ν ( M) + µ ( cm) = ν ( M) = = ν ( M) + ν ( cm) = ν(). Dacă µ( cm) > 0, atunci ν( cm) =. Într-adevăr, dacă presupunem că ν( cm) <, rezultă M ( cm) M şi atunci µ(m ( cm)) β. tunci β µ(m ( cm)) = µ(m)+µ( cm) µ(m) = β, de unde µ(m) + µ( cm) = µ(m). Cum 0 µ(m) µ() <, din egalitatea anterioară, obţinem µ( cm) = 0; contradicţie cu µ( cm) > 0. Deci ν( cm) =. Deoarece = ν( cm) ν(), ν() = şi atunci ν ( M) + µ ( cm) = = ν(). cm 116

6 MĂSURI RELE În concluzie, avem: ν () = fdµ,. Etapa IV. Presupunem că ν() [0, ], iar µ este σ-finită. Deoarece µ este σ-finită, ( n ) aşa încât µ( n ) <, n N, = n N n şi m n =, pentru m n. Pentru fiecare n N, ν n îndeplineşte condiţiile etapei III, relativ la spaţiul cu măsură ( n, n, µ n ), şi atunci există o funcţie n -măsurabilă h n : n R aşa încât ν ( n ) = h n dµ,. n Pentru fiecare n N, fie f n = h n χ n. Considerăm funcţia f = f M(, ), iar din Corolarul 11.17, pentru orice, obţinem: fdµ = Prin urmare, avem: f n dµ = n h n dµ = f n. ν( n ) = ν( n N ν () = fdµ,. Deoarece (f n ) M(, ), avem n ) = ν( ) = ν(). Etapa V. Presupunem că ν() R, iar µ este σ-finită. Din Teorema de descompunere a lui Jordan (Teorema 15.7), există două măsuri nenegative, ν +, ν : [0, ], din care cel puţin una este finită, aşa încât ν = ν + ν. tunci, din etapa IV, pentru măsurile ν + şi ν, există funcţiile f 1, f 2 : R, -măsurabile, astfel încât ν + () = f 1 dµ, ν () = f 2 dµ,. Dacă ν + este finită, atunci f 1 L(,, µ) şi deci f 1 este finită µ-a.p.t.. Modificând eventual valorile infinite ale lui f 1 cu 0, putem presupune că f 1 este finită. Prin urmare, este bine definită funcţia f = f 1 f 2, care este -măsurabilă şi, ν() = ν + () ν () = f 1 dµ f 2 dµ = fdµ. Dacă ν este finită, se arată analog. Prin urmare, ν () = fdµ,. Observaţia Funcţia f, din teorema anterioară, este unică până la o mulţime µ-neglijabilă. Într-adevăr, dacă există o altă funcţie -măsurabilă, g, astfel încât ν () = gdµ,, atunci fdµ = gdµ,, de unde f = g, µ-a.p.t.. Funcţia f, din teorema de mai sus, se numeşte derivata Radon-Nikodym a măsurii ν în raport cu măsura µ sau densitatea lui ν în raport cu µ şi o vom nota cu dµ. Observaţia Dacă ν este finită, atunci f este finită µ-a.p.t. şi înlocuind valorile infinite ale lui f cu valori finite, putem presupune că f este finită. 2. Dacă măsura ν este pozitivă, atunci funcţia f este pozitivă µ-a.p.t. şi înlocuind valorile negative ale lui f cu 0, putem presupune că f 0. Observaţia Demonstraţia teoremei lui Radon-Nikodym utilizează Lema lui Zorn şi, în consecinţă, este neconstructivă. 117

7 MĂSURI RELE Teorema (Teorema de schimbare a măsurii în integrala Lebesgue) Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi σ-finită şi fie ν : [0, ] o măsură nenegativă şi completă astfel încât ν µ. Dacă f L(,, µ), atunci avem f = f Demonstraţie. Deoarece sunt îndeplinite condiţiile teoremei lui Radon-Nikodym, ν() = dµ,. dµ Cum ν este nenegativă, putem presupune că dµ 0. Etapa I. Să considerăm mai întâi f de forma χ T, unde T. tunci avem: f = χ T = ν (T ) = dµ dµ = χ T dµ dµ = f T Etapa II. Presupunem că f este -etajată. tunci există a 1,..., a n R aşa încât f() = {a 1,..., a n } şi n i = f 1 ({a i }), i 1, n. Deci f = a i χ i. Fie. Pentru fiecare i 1, n, din etapa I, avem Prin sumare obţinem: f = i=1 i=1 χ i = χ i n a i χ i = i=1 n a i χ i dµ dµ = f Etapa III. Presupunem că funcţia f este nenegativă. Cum f este -măsurabilă, din Teorema de aproximare a funcţiilor măsurabile cu funcţii etajate (Teorema 10.1), (f n ) E(, ) aşa încât f n 0 şi f n f n+1, n N, p iar f n f. Deoarece dµ 0 şi f n f, rezultă f n dµ f dµ. plicând Teorema lui Lebesgue-Beppo-Levi (Teorema 11.15) şirului (f n ), în spaţiul cu măsură (,, ν), şi şirului (f n ), în spaţiul cu măsură (,, µ), obţinem dµ lim f n = f şi lim f n dµ dµ = f Din etapa II, pentru fiecare n N, avem şi trecând la limită, obţinem f n = f n dµ dµ f = f Etapa IV. Presupunem acum că f este o funcţie oarecare. tunci f = f + f, unde f + şi f sunt partea pozitivă şi partea negativă a funcţiei f. Cum f +, f L() şi f +, f 0, din etapa III rezultă f + = f + dµ şi f = f dµ Prin urmare avem: f = f + f = f + dµ dµ f dµ dµ = f Definiţia Considerăm (, ) un spaţiu măsurabil. 1. Fie µ, ν : [0, ] două măsuri nenegative. Spunem că µ este singulară în raport cu ν, şi notăm cu µ ν, dacă astfel încât µ () = ν (\) = Fie µ, ν : R două măsuri reale. Spunem că µ este singulară în raport cu ν, şi notăm cu µ ν, dacă µ ν. Observaţia Relaţia este simetrică. 118

8 MĂSURI RELE Propoziţia Considerăm (, ) un spaţiu măsurabil. 1. Fie µ, ν 1, ν 2 : [0, ] trei măsuri nenegative aşa încât funcţia de mulţime ν = ν 1 ν 2 este bine definită. Dacă ν 1 µ şi ν 2 µ, atunci ν µ. 2. Fie µ : [0, ] o măsură nenegativă şi ν : R o măsură reală. Dacă ν µ şi ν µ, atunci ν = 0. Demonstraţie. 1. Deoarece ν 1 µ, 1 astfel încât µ ( 1 ) = ν 1 (\ 1 ) = 0. De asemenea, deoarece ν 2 µ, 2 astfel încât µ ( 2 ) = ν 2 (\ 2 ) = 0. Fie = 1 2. tunci şi µ () = 0. Cum \ \ 1, iar ν 1 este o măsură nenegativă şi deci este izotonă, rezultă 0 ν 1 (\) ν 1 (\ 1 ) = 0. Deci ν 1 (\) = 0. nalog, ν 2 (\) = 0. tunci ν(\) = ν 1 (\) ν 2 (\) = 0. Prin urmare, ν µ. 2. Cum ν µ (iar ν este o măsură reală), conform definiţiei avem ν µ. Cum µ 0, µ = µ şi deci ν µ. tunci, astfel încât µ () = ν (\) = 0. Deoarece ν µ, din Propoziţia obţinem ν µ şi cum µ () = 0, avem ν () = 0. tunci ν () = ν () + ν (\) = 0, de unde ν = 0. Prin urmare ν +, ν = 0 şi deci ν = 0. Teorema (Teorema de descompunere a lui Lebesgue) Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi σ-finită şi ν : R o măsură reală finită. tunci există şi sunt unice două măsuri ν a, ν s : R astfel încât ν a µ, ν s µ şi ν = ν a + ν s. Demonstraţie. Existenţa: Etapa I. Presupunem mai întâi că ν este nenegativă şi fie m = µ + ν. tunci m este o măsură nenegativă şi σ- finită, iar µ m şi ν m. stfel, din Teorema lui Radon-Nikodym, există o funcţie -măsurabilă, f : R, astfel încât µ () = fdm. Cum µ 0, putem presupune că f 0. Considerăm mulţimea E = {x f(x) > 0}. Cum f 0, ce = {x f(x) = 0}. Deoarece f este - măsurabilă, E. De asemenea, avem ν () = ν ( E) + ν ( ce),. Considerăm funcţiile ν a, ν s : [0, ], definite prin ν a = ν ( E) şi ν s = ν ( ce). tunci ν = ν a + ν s. rătăm în continuare că ν a µ şi ν s µ. Fie cu µ () = 0. Rezultă fdm = 0 şi cum f 0, obţinem f = 0 m-a.p.t. pe. Prin urmare m (E ) = 0. Cum ν m, obţinem ν (E ) = 0, adică ν a () = 0. Deci ν a µ. Pe de altă parte, ν s (E) = ν (E ce) = ν ( ) = 0, iar µ (ce) = fdm = 0. Deci ν s (E) = µ (ce) = 0, adică ν s µ. Etapa II. Presupunem acum că ν este cu valori reale. tunci, din Teorema de descompunere a lui Jordan (Teorema 15.7), ν = ν + ν. Deoarece ν este finită, măsurile ν + şi ν sunt finite. Cum ν + este o măsură nenegativă, din etapa I, există ν a +, ν s + două măsuri nenegative aşa încât ν + = ν a + + ν s +, iar ν a + µ şi ν s + µ. nalog, există νa, νs două măsuri nenegative aşa încât ν = νa + νs, iar νa µ şi νs µ. Deoarece ν + şi ν sunt finite, iar ν + = ν a + + ν s + şi ν = νa + νs, rezultă că ν a +, ν s +, νa şi νs sunt finite. tunci sunt bine definite funcţiile ν a = ν a + νa şi ν s = ν s + νs. cestea sunt măsuri reale şi ν = ν a + ν s. Cum ν a + µ şi νa µ, rezultă imediat că ν a µ. Deoarece ν s + µ şi νs µ, din Propoziţia 15.23(1) obţinem ν s µ. Unicitatea: Presupunem că există funcţiile ν a, ν s : R astfel încât ν a µ, ν s µ, ν = ν a + ν s şi de asemenea, există funcţiile ν a, ν s : R astfel încât ν a µ, ν s µ, ν = ν a + ν s. tunci avem ν a ν a = ν s not. ν s = λ. Deoarece ν a µ şi ν a µ, rezultă λ µ. Deoarece ν s µ şi ν s µ, obţinem λ µ. tunci, din Propoziţia 15.23(2) rezultă λ = 0, adică ν a = ν a şi ν s = ν s. Din Teorema de descompunere a lui Lebesgue şi din Teorema lui Radon-Nikodym obţinem: Corolar Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi σ-finită şi ν : R o măsură reală finită. tunci există o funcţie -măsurabilă f : R şi există o unică măsura reală ν s : R astfel încât ν s µ şi ν () = fdµ + ν s (),. ce 119