Μετασχηματισμοί Laplace

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μετασχηματισμοί Laplace"

Transcript

1 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Μετασχηματισμοί Laplace Ο μετασχηματισμός Laplace μας επιτρέπει να μετατρέψουμε γραμμικές διαφορικές με σταθερούς συντελεστές και ολοκληρωτικοδιαφορικές εξισώσεις σε αλγεβρικές εξισώσεις, των οποίων η επίλυση είναι ευκολότερη. Ο μετασχηματισμός Laplace είναι ένας τελεστής, ο οποίος μετασχηματίζει μία συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής, συνήθως ως προς το χρόνο, σε μία συνάρτηση της μιγαδικής μεταβλητής s σύμφωνα με τον ακόλουθο ορισμό: st L{f (t)} = F(s) = e f (t)dt (A.) 0 όπου L συμβολίζει το μετασχηματισμό Laplace και F(s) τη συνάρτηση της μιγαδικής μεταβλητής s = σ + iω, i =. Ο μετασχηματισμός Laplace της f(t) υπάρχει όταν το αόριστο ολοκλήρωμα (A.) συγκλίνει. Το τελευταίο θα ισχύει εάν η συνάρτηση f(t) είναι φραγμένη, δηλαδή για κάποιες πεπερασμένες θετικές τιμές των Μ και σ ικανοποιείται η ακόλουθη ανισότητα: σt f (t) e dt M 0 Επομένως, ο μετασχηματισμός Laplace της t e δεν υπάρχει αφού η συνάρτηση f(t) = δεν ικανοποιεί την παραπάνω ανισότητα. Αντίθετα, η συνάρτηση μετασχηματιστεί κατά Laplace. t e t e μπορεί να Έστω ότι L{f(t)} = F(s). Τότε ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της F(s) είναι επίσης ένας γραμμικός ολοκληρωτικός μετασχηματισμός που ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα των Fourier Mellin ως εξής: 437

2 438 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων L - {F(s)} = c+ iω lim e st F(s)ds πi ω = f(t) (A.) c iω όπου L - συμβολίζει τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace, και c είναι μια πραγματική σταθερά. Α. Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Laplace Στη συνέχεια, παρουσιάζονται οι σημαντικότερες ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace. Γραμμικότητα. Ο μετασχηματισμός Laplace του γραμμικού αθροίσματος δύο συναρτήσεων f (t) και f (t) ισούται με το γραμμικό άθροισμα των μετασχηματισμένων συναρτήσεων F (s) και F (s). Συγκεκριμένα, L{ α f (t) f (t)} { f (t) f (t)}e st + α = α + α dt = αf (s) + αf (s) (A.3) 0 Μετασχηματισμός Laplace πρώτης παραγώγου. Ο μετασχηματισμός Laplace της πρώτης παραγώγου της συνάρτησης f(t) δίνεται από τη σχέση: d(f (t) df L = e st dt dt = sf(s) f (0) (A.4) dt 0 όπου f(0) είναι η αρχική τιμή της συνάρτησης. Απόδειξη: Με τη βοήθεια του τύπου ολοκλήρωσης κατά παράγοντες λαμβάνουμε: b f (x)g (x)dx = f (x)g(x) a f a df (t) df L = = e st dt f (t)e st dt dt 0 b b a (x)g(x)dx f (t) 0 0 d dt ( e st ) dt = f (0) s f (t)e st dt sf(s) f (0) 0 + = Μετασχηματισμός Laplace παραγώγου n-τάξης. Ο μετασχηματισμός Laplace της n- παραγώγου της συνάρτησης f(t) είναι:

3 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 439 d n f (t) = s dt n L n n n () (n ) (n ) F(s) s f (0) s f (0)... sf (0) f (0) (A.5) όπου f (n) (0) είναι η τιμή της n-παραγώγου της συνάρτησης f(t) για t=0. Μετασχηματισμός Laplace του ολοκληρώματος μιας συνάρτησης. Ο μετασχηματισμός t Laplace του ορισμένου ολοκληρώματος f (t )dt δίνεται από τη σχέση: 0 t L f (t )dt = F(s) (A.6) 0 s Απόδειξη: Από τον ορισμό (A.) έχουμε: t t t st d L f (t )dt e f (t )dt dt st ( e = = ) f (t )dt dt = s dt t t st st st d e f (t )dt e f (t )dt dt e f (t)dt F(s) s + = = s dt s s Μετατόπιση στο πεδίο του χρόνου. Έστω οι χρονικές συναρτήσεις f(t) και f(t-τ). Η f(t τ) θα είναι ίση με την προς τα δεξιά χρονικά μετατοπισμένη συνάρτηση f(t), όπου τ είναι η χρονική σταθερά μετατόπισης (βλέπε Εικόνα Α.). Ο μετασχηματισμός Laplace της μετατοπισμένης συνάρτησης f(t-τ) θα δίνεται από την ακόλουθη σχέση: Εικόνα Α.: Μετατόπιση συνάρτησης στο πεδίο του χρόνου.

4 440 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων L{f (t τ)} = e sτ F(s) (A.7) Απόδειξη: Αν θέσουμε t' = t τ, θα έχουμε L { f (t τ )} = f (t τ)e st dt = e sτ f (t')e st ' dt ' 0 Όμως, για t'<0 ισχύει: f(t')=0. Συνεπώς, { } = sτ L f(t τ) e F(s) τ Μετατόπιση στο πεδίο της μιγαδικής μεταβλητής. Αντίστοιχα, για τη μετατόπιση στο μιγαδικό επίπεδο θα ισχύει: L{e at f (t)} = F(s + a) (A.8) Απόδειξη: Από τον ορισμό (A.) έχουμε: L{e at f (t)} = f (t)e at e st dt = f (t)e (s+ a)t dt = F(s + a) 0 0 Αλλαγή χρονικής κλίμακας. Μια άλλη ιδιότητα του μετασχηματισμού Laplace είναι εκείνη που σχετίζεται με την αλλαγή της κλίμακας χρόνου. Η συνάρτηση f(at) διαφέρει από την f(t) στην κλίμακα χρόνου κατά a μονάδες. Για τις δύο αυτές συναρτήσεις ισχύει η σχέση: L{f(at)} = a F s a (A.9) Απόδειξη: Από τον ορισμό (A.) έχουμε: s (at) st L{f(at)} = f(at)e dt= f(at)e a d(at) a 0 0 Αν εφαρμόσουμε το μετασχηματισμό λ = at, θα έχουμε 0 s λ a s L{f (at)} = L{f (λ)} = f (λ)e d(λ) F a = a a

5 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 44 Το θεώρημα της αρχικής τιμής. Το θεώρημα αυτό αναφέρεται στη συμπεριφορά μιας συνάρτησης f(t) καθώς t 0, γι αυτό ονομάζεται θεώρημα της αρχικής τιμής. Με την προϋπόθεση ότι η πρώτη παράγωγος f () (t) μπορεί να μετασχηματισθεί κατά Laplace, το θεώρημα αυτό διατυπώνεται ως εξής: lim f (t) = lim sf(s) (A.0) t 0 s Απόδειξη: Από την εξίσωση (A.4) παρατηρούμε ότι το όριο του ολοκληρώματος df e st dt για t 0 θα είναι ίσο με μηδέν. Αντίστοιχα, το όριο του τρίτου μέρους στην dt 0 εξίσωση (A.4) για s είναι: lim[sf(s) f (0)] = 0 ή s limf(t) = lim sf(s) t 0 s Το θεώρημα της τελικής τιμής. Το θεώρημα αυτό αναφέρεται στη συμπεριφορά της συνάρτησης f(t) καθώς t, γι αυτό και ονομάζεται θεώρημα της τελικής τιμής. Με την προϋπόθεση ότι η f () (t) μπορεί να μετασχηματισθεί κατά Laplace και ο παρονομαστής της ρητής συνάρτησης sf(s) δεν έχει ρίζες στον άξονα των φανταστικών αριθμών ή στο δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο, το θεώρημα αυτό διατυπώνεται ως εξής: lim f (t) = limsf(s) (A.) t s 0 Απόδειξη: Υπολογίζουμε πρώτα το όριο του δεύτερου όρου στην εξίσωση (Α.4) για t και s 0. t () st () () lim f (t)e dt = f (t)dt = lim f (λ)dλ = lim[f(t) f(0)] = limf(t) f(0) s 0 t t t Ακολούθως, υπολογίζουμε το όριο του τρίτου μέρους στην εξίσωση (A.4). lim[sf(s) f (0)] = lim sf(s) f (0) s 0 s 0 Εξισώνοντας τα δύο παραπάνω αποτελέσματα, λαμβάνουμε τη σχέση (A.). Παρατήρηση: Τα θεωρήματα της αρχικής και της τελικής τιμής επιτρέπουν τον προσδιορισμό της αρχικής και τελικής τιμής της συνάρτησης f(t), χωρίς να υπολογίσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της F(s).

6 44 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Πολλαπλασιασμός συνάρτησης επί t. Στην περίπτωση αυτή, ισχύει η σχέση: d L{tf(t)} = F(s) (A.) ds Απόδειξη. Διαφορίζοντας την εξίσωση (A.) ως προς s λαμβάνουμε: d F(s) ds = 0 tf (t)e st dt = = L{tf(t)} που είναι ακριβώς η εξίσωση (A.). Στη γενική περίπτωση, θα ισχύει η σχέση: n L{t n d f(t)} = ( ) n F(s) (A.3) dsn Διαίρεση συνάρτησης δια t. Στην περίπτωση αυτή, ισχύει η σχέση: f(t) L = F(s)ds t (A.4) s Απόδειξη. Αν ολοκληρώσουμε την (A.) από s έως προκύπτει: = = F(s)ds f (t)e σtdt dσ f(t)e σtdσ dt s s 0 0 s f(t) σt f(t) st f(t) de dt e = dt L t = = t t 0 s 0 Α. Μετασχηματισμοί Laplace Βασικών Συναρτήσεων Μοναδιαία βηματική συνάρτηση. Η γραφική παράσταση της μοναδιαίας βηματικής συνάρτησης παρουσιάζεται στην Εικόνα Α.. Η μαθηματική διατύπωση της μοναδιαίας βηματικής συνάρτησης είναι: 0, t < 0 f(t) = H (t) = (A.5), t > 0

7 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 443 Εικόνα Α.: Μοναδιαία βηματική συνάρτηση. Ο μετασχηματισμός Laplace της μοναδιαίας βηματικής συνάρτησης (A.5) εύκολα υπολογίζεται από την εφαρμογή της εξίσωσης (A.): st st st L{H(t)} = e H(t)dt = e dt = e = s s (A.6) Ανάλογα, ο μετασχηματισμός Laplace της μοναδιαίας βηματικής συνάρτησης που εφαρμόζεται την χρονική στιγμή t o >0, είναι: L{H(t st t )} e o 0 = (A.7) s Γενικά, εάν f(t) είναι μια βηματική συνάρτηση μεγέθους a, 0, t < t f(t) = aη(t t o) = a, t > t o o (A.8) τότε, η μετασχηματισμένη κατά Laplace συνάρτηση F(s) θα είναι: a L{f (t)} = e st o (A.9) s Μοναδιαία συνάρτηση πύλης. Η γραφική παράσταση της μοναδιαίας συνάρτησης πύλης παρουσιάζεται στην Εικόνα Α.3. Η αλγεβρική έκφραση της μοναδιαίας συνάρτησης πύλης είναι:

8 444 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Εικόνα Α.3: Μοναδιαία συνάρτηση πύλης. 0, t < 0 f(t) = / b, 0 < t < b = H(t) H(t b) b b 0, t > b (A.0) Συνεπώς, ο μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης (A.0) είναι: 0 sb st sb e L{f(t)} = H(t) H(t b) e dt e b b = = (A.) bs bs b s Συνάρτηση μοναδιαίου στιγμιαίου παλμού. Η συνάρτηση Dirac δέλτα, δ(t), ορίζεται από το όριο της μοναδιαίας συνάρτησης πύλης για b 0. Η γραφική παράσταση της μοναδιαίας παλμικής συνάρτησης δίνεται στην Εικόνα Α.4. Εικόνα Α.4: Μοναδιαία παλμική συνάρτηση.

9 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 445 Η αλγεβρική διατύπωση της μοναδιαίας παλμικής συνάρτησης είναι:, t = 0 δ (t) = (A.) 0, t 0 Το ολοκλήρωμα της δ(t) όταν ο χρόνος μεταβάλλεται από σε +, είναι: + ε δ(t)dt = δ(t)dt = (A.3) ε Ο μετασχηματισμός Laplace της δ(t) εύκολα προκύπτει από την εξίσωση (A.) για b 0. Συνεπώς, υπολογίζοντας το όριο της εξίσωσης (A.) για b 0, λαμβάνουμε: sb sb e d( e )/db se L{ δ (t)} = lim = lim = lim = (A.4) b 0b s b 0 d(sb) db b 0 s Επικλινής συνάρτηση με κλίση a. Η γραφική παράσταση της επικλινούς συνάρτησης δίνεται στην Εικόνα Α.5. Η αλγεβρική έκφραση της επικλινούς συνάρτησης με κλίση a είναι: sb f(t) = ath(t) (A.5) Συνεπώς, ο μετασχηματισμός Laplace της επικλίνους συνάρτησης είναι: st a L {f (t)} = L{atH(t)} = ate dt = 0 s (A.6) Εικόνα Α.5: Επικλινής συνάρτηση.

10 446 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Πολυωνυμική συνάρτηση ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή. Έστω f(t) είναι μια εκθετική συνάρτηση ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή t, της μορφής: f(t) = a t n (A.7) όπου n είναι κάποιος ακέραιος θετικός αριθμός. Ο μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης (A.7) είναι: L{at n an! } = (A.8) sn + Hμιτονοειδής Συνάρτηση. Έστω f(t) είναι μια ημιτονοειδής συνάρτηση με πλάτος a. f(t) = asin(ωt) (A.9) Εύκολα αποδεικνύεται ότι ο μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης (A.9) είναι: L{asin(ωt)} = s aω + ω (A.30) Έστω η συνημιτονοειδής συνάρτηση με πλάτος a. f(t) = acos(ωt) (A.3) Ο αντίστοιχος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης (A.3) θα είναι: L{acos(ωt)} = s as + ω (A.3) Εκθετική συνάρτηση. Έστω η εκθετική συνάρτηση f (t) = e at (A.33) Ο μετασχηματισμός Laplace της εκθετικής συνάρτησης είναι: L{e at } = e at e st dt = e (s+ a)t = (A.34) s + a 0 s + a 0 Στον Πίνακα Α. παρουσιάζονται οι μετασχηματισμοί Laplace, F(s), τυπικών χρονικών συναρτήσεων, f(t).

11 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 447 Πίνακας Α.: Μετασχηματισμοί Laplace διαφορικών και γινομένων f(t) L{f(t)} = F(s) f(t) L{f(t)} = F(s) df dt sf(s) f(0) t df dt df(s) s ds + df(s) ds df dt s F(s) sf(0) f (0) t df dt s df(s) ds sf(s) + f(0) t df dt s df(s) ds F(s) t df dt s df(s) ds F(s) + 4s df(s) ds + Στον Πίνακα Α. παρουσιάζονται οι μετασχηματισμοί Laplace των διαφορικών όρων (df/dt) και (d f/dt ) καθώς και των γινομένων τους με την ανεξάρτητη μεταβλητή t (και t ). Οι μετασχηματισμοί αυτοί μας επιτρέπουν να επιλύσουμε ορισμένες κατηγορίες γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με μη σταθερούς συντελεστές. Πίνακας Α.: Μετασχηματισμοί Laplace τυπικών χρονικών συναρτήσεων, f(t) α/α F(s) f(t). /s Η(t). /s t 3. /s n t n /(n )! 4. (s+ α) αt e 5. e t/τ τs + τ 6. (s + α) 7. n (s + α) (n =,,...) te αt t n e αt (n )! 8. (s + α)(s + b) (e αt e bt ) (b α) 9. s (s + α)(s + b) 0. b s + b (be bt αe αt ) (b α) sin bt

12 448 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Πίνακας Α. (συνέχεια): α/α F(s) f(t). b s b. s s + b 3. s s b 4. b (s + α) + b 5. s + α (s + α) + b sinh bt cos bt cosh bt e αt sin bt e αt cos bt Γ(k) 6. k s (k 0) t k Γ(k) 7. k (s + α) (k 0) t k αt e 8. f(s+α) e t f (t) 9. e bs f (s) f(t-b) και f(t) = 0 για t<b α Παράδειγμα Α.: Εφαρμογή του μετασχηματισμού Laplace στην επίλυση διαφορικών εξισώσεων Άσκηση : Να μετασχηματίσετε κατά Laplace την ακόλουθη ολοκληρωτική-διαφορική εξίσωση: t dy + 3y(t) = a y(t )dt dt 0 Λύση: ; y(0) = yo Από την εφαρμογή των ιδιοτήτων των μετασχηματισμών Laplace (βλέπε εξισώσεις (A.4) και (A.6)) λαμβάνουμε: a sy(s) y(0) + 3Y(s) = Y(s) s

13 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 449 και Y(s) = sy(0) s + 3s a Άσκηση : Να μετασχηματίσετε κατά Laplace την ακόλουθη διαφορική εξίσωση: Λύση: dy 3 dy dy y(t) = 4u(t) ; y(0) = y'(0) = y''(0) = 0 dt dt dt Από την εφαρμογή της εξίσωσης (A.5), λαμβάνουμε: sy(s) 3 s y(0) Y(s) = sy(0) 4U(s) s3+ s + 3s+ y(0) + (s Y(s) s y(0) y(0) ) + 3(sY(s) y(0)) + Y(s) = 4U(s) Παράδειγμα Α.: Εφαρμογή του θεωρήματος της αρχικής τιμής Να υπολογίσετε την αρχική τιμή της συνάρτησης f(t), από τη μετασχηματισμένη συνάρτησή της F(s): (s )(s + ) F(s) = s(s+ 3)(s 4) Λύση: Σύμφωνα με το θεώρημα της αρχικής τιμής, η αρχική τιμή της συνάρτησης f(t=0) υπολογίζεται ως εξής: s(s )(s+ ) s lim f (t) = lim sf(s) = lim = lim = lim s = t 0 s s s(s+ 3)(s 4) s s s s s s Παράδειγμα Α.3: Εφαρμογή του θεωρήματος της τελικής τιμής Θεωρούμε μια διεργασία πρώτης τάξης στην οποία εισάγεται μια βηματική μεταβολή μεγέθους a. Όπως θα δούμε στο Κεφάλαιο 5, η μετασχηματισμένη μεταβλητή εξόδου, Y(s), της διεργασίας θα δίνεται από την ακόλουθη εξίσωση:

14 450 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Kp a Y(s) = τs+ s Να υπολογίσετε την τελική τιμή της y(t) για t. Λύση: Η τελική τιμή της y(t) για τελικής τιμής. t προκύπτει από την εφαρμογή του θεωρήματος της Ka p lim (y(t)) = lim(s Y(s)) = lim = Kpa τs+ t s 0 s 0 Παράδειγμα Α.4: Μετασχηματισμός Laplace περιοδικής συνάρτησης Δίνεται η περιοδική συνάρτηση f(t), η οποία ισούται με το άθροισμα των χρονικά μετατοπισμένων συναρτήσεων f (t), f (t T), κλπ. f(t) = f (t)h(t) + f (t T)H(t T) + f (t T)H(t T) + όπου Τ είναι η περίοδος της συνάρτησης f (t). Να υπολογίσετε το μετασχηματισμό Laplace της f(t). Λύση: Σύμφωνα με την εξίσωση (A.7), ο μετασχηματισμός Laplace της παραπάνω συνάρτησης θα είναι: L{f(t)} = F (s) + F (s)e -st + F (s)e -st + = F (s)( + e -st + e -st F(s) + ) = e st Α.3 Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace μιας συνάρτησης Y(s) δίνεται από τη σχέση (A.). Επειδή όμως ο υπολογισμός του ολοκληρώματος (Α.) είναι συνήθως δύσκολος και χρονοβόρος, ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της Y(s) υπολογίζεται με τη βοήθεια κατάλληλων μεθόδων που θα αναλύσουμε στη συνέχεια. Συγκεκριμένα, στην περίπτωση που η Y(s) είναι μια ρητή συνάρτηση (και αυτή είναι η περίπτωση που θα μας απασχολήσει), τότε η συνάρτηση Y(s) δύναται να αναλυθεί σε άθροισμα μερικών

15 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 45 κλασμάτων. Ακολούθως, ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης Y(s) υπολογίζεται εύκολα με τη βοήθεια των αποτελεσμάτων του Πίνακα Α.. Επομένως, κύριος σκοπός μας είναι η ανάπτυξη μιας ρητής συνάρτησης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων. Για το σκοπό αυτό, θεωρούμε τη ρητή συνάρτηση: b(s) b s + b s b s + b Y(s) = = a(s) a s a s... a s a m m m m o n n n + n o ; όπου n>m (A.35) Έστω z, z,, z m και p, p,, p n είναι οι ρίζες των πολυωνύμων b(s) και a(s), αντίστοιχα. Συνεπώς, η εξίσωση (A.35) γράφεται: Y(s) b(s) b (s z )(s z )...(s z ) m m = = a(s) a n (s p )(s p )...(s p n) (A.36) Εάν οι ρίζες p, p,, p n είναι διακεκριμένες, τότε η εξίσωση (A.36) αναλύεται στους ακόλουθους όρους: b(s) k k kn Y(s) = = a(s) (s p ) (s p ) (s p ) n (A.37) Ακολούθως, υπολογίζουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της εξίσωσης (A.37): k k kn L {Y(s)} L L... L = (s p ) (s p ) (s p ) n (A.38) Τελικά, με τη βοήθεια του Πίνακα Α. λαμβάνουμε: tp tp tp y(t) L {Y(s)} k n e k e... k ne = = (A.39) Α.3. Προσδιορισμός των Συντελεστών k, k,, k n Πραγματικές ρίζες: Στην περίπτωση που οι ρίζες του πολυωνύμου του παρονομαστή, a(s), είναι πραγματικές και διακεκριμένες, τότε οι συντελεστές k i στην εξίσωση (A.37) υπολογίζονται από την ακόλουθη σχέση για i =,,, n. b(s) b(s) k i = (s p i) = a(s) a (s p )(s p ) (s p ) (s p ) s= p i n i n (s p ) i s= p i (A.40)

16 45 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Παράδειγμα Α.5: Υπολογισμός του L - {Y(s)}: Περίπτωση πραγματικών διακεκριμένων ριζών Να υπολογίσετε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της ακόλουθης συνάρτησης: s s 6 s s 6 3 Y(s) = = s s s + (s )(s + )(s ) Λύση: Από την εφαρμογή της σχέσης (A.37) λαμβάνουμε: s s 6 k k k Y(s) = = (s )(s + )(s ) s s + s Ακολούθως, από την εξίσωση (A.40), υπολογίζουμε τους συντελεστές k, k και k 3. k = (s s 6) (s ) (s + )(s ) (s ) s= 6 = = 3 ( ) k (s s 6) = (s ) (s + ) (s ) (s + ) s= + 6 = = ( )( 3) 3 k 3 Συνεπώς, (s s 6) = (s )(s + ) (s ) 4 y(t) = 3e e e 3 3 t t t (s ) s= = = ()(3) 3

17 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 453 Η επαλήθευση του τελευταίου αποτελέσματος μπορεί να γίνει με τη βοήθεια του παραπάνω προγράμματος σε MatLab. Μιγαδικές ρίζες: Εάν το πολυώνυμο του παρονομαστή της Y(s) (βλέπε εξίσωση (A.36)) έχει ένα ζευγάρι συζυγών μιγαδικών ριζών, (π.χ., p και p ), τότε η Y(s) αναλύεται ως εξής: b(s) ks + k k3 kn Y(s) = = a(s) (s p )(s p ) (s p ) (s p ) 3 n (A.4) Ο υπολογισμός των k και k μπορεί να γίνει από την ακόλουθη σχέση: b(s) (s p )(s p ) = (k s + k ) (A.4) = a(s) s p s= p Θεωρούμε τώρα το ζεύγος των συζυγών μιγαδικών ριζών p = α+ βi και p = α βi. Συνεπώς, η συνεισφορά των ριζών p και p στη χρονική απόκριση της y(t) θα είναι : ks+ k ks+ k ks+ k = = (s p )(s p ) [s ( α+ βi)][s ( α βi)] (s + α) + β k(s+ α) k α + k k (s+ α) k k α = = + (s + α) + β (s + α) + β (s + α) + β (A.43) Ακολούθως, με τη βοήθεια του Πίνακα Α., υπολογίζουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace του τελευταίου αθροίσματος. ks + k k αt kα L k αt e cos(βt) e = + sin(βt) (s p )(s p ) β (A.44) Παράδειγμα Α.6: Υπολογισμός του L - {Y(s)}: Περίπτωση συζυγών μιγαδικών ριζών Να υπολογίσετε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της ακόλουθης συνάρτησης: Y(s) = Λύση: s+ + s s 5 Οι ρίζες του πολυωνύμου του παρονομαστή είναι p = + i, p = i. Στην περίπτωση

18 454 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων αυτή, -α = και β = Α. Ακολούθως, από την εφαρμογή της εξίσωσης (A.4), υπολογίζουμε τους συντελεστές k και k Α. s+ (s s + 5) (s p )(s p ) s= p = ks+ k = s p Άρα, k = και k =. Αντικαθιστώντας τις τιμές των k, k, -α και β στην εξίσωση (A.44) λαμβάνουμε: y(t) = et cos(t) + etsin(t) Εναλλακτικά, η μετασχηματισμένη συνάρτηση Y(s) γράφεται: s+ Y(s) = [s ( + i)][s ( i)] και σύμφωνα με την εξίσωση (A.39) λαμβάνουμε: y(t) = k e + k e (+ i)t ( i)t Ακολούθως, από την εφαρμογή της εξίσωσης (A.40) υπολογίζουμε τους συντελεστές k και k Α. k s+ + i (+ i) + i i i i = = = = = = (s ( i)) + i + i 4i i i s=+ i Παρόμοια, υπολογίζεται η τιμή του συντελεστή k, k Συνεπώς, s+ + i = = (s ( + i)) s= i t y(t) i e( + i)t + = + i e ( i)t = e (( i)e it + ( + i)e it ) Σύμφωνα με την ταυτότητα του Euler θα ισχύει: iα e = cosα + isinα Τελικά, η χρονική συνάρτηση y(t) γράφεται:

19 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 455 t t o = + = +, φ = tan ( ) = 45 y(t) e (cost sin t) e sin(t φ) Παρατήρηση: Στην παραπάνω εξίσωση χρησιμοποιήθηκε η τριγωνομετρική ταυτότητα: αcos b + αsin b = αsin(b + φ) ; α = (α + α ) ; φ = tan (α / α ) Η επαλήθευση του αποτελέσματος μπορεί να γίνει με τη βοήθεια του ακόλουθου προγράμματος σε MatLab. Επαναλαμβανόμενες ρίζες: Στην περίπτωση που το πολυώνυμο a(s) έχει μία επαναλαμβανόμενη ρίζα τάξης r, τότε οι συντελεστές k, k, k r υπολογίζονται ως εξής: b(s) k k k k k Y(s) = a(s) = (s p ) + (s p ) + + (s p ) + + (s p ) + (s p ) r r n n r r n n (A.45) b(s) k (s p ) a(s) r r = (A.46) s= p d b(s) k r = (s p ) ds a(s) r s= p (A.47) dr b(s) k r = (s p r ) (r )! ds a(s) s= p (A.48) Από τον Πίνακα Α., εύκολα υπολογίζεται ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace του όρου /(s p ) n,

20 456 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων L n = (s p ) n t e (n )! pt (A.49) Παράδειγμα Α.7: Υπολογισμός του L - {Y(s)}: Επαναλαμβανόμενες ρίζες Να υπολογισθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της Y(s) = s + s+ 3 (s + ) 3 Λύση: Σύμφωνα με τα ανωτέρω, η Υ(s) γράφεται: k 3 k k Y(s) = + + (s + ) 3 (s + ) (s + ) Υπολογισμός των k, k, k 3 : k 3 s + s+ 3 3 = (s + ) = s + s+ 3 = + 3= 3 s= (s + ) s= k = ds (s + ) d (s + s+ 3) 3 (s + ) 3 s= = s + = 0 s= k Άρα, (s ) 3 + = = (3 )! ds (s + ) d (s + s+ 3) = 3 s= y(t) = t L {Y(s)} L L e e (t )e (s + ) s +! = t t t + = + = + 3 Η επαλήθευση του τελευταίου αποτελέσματος μπορεί να γίνει με τη βοήθεια του ακόλουθου προγράμματος σε MatLab.

21 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 457 A.3. Θεώρημα Συνέλιξης Πολλές φορές, μια συνάρτηση F(s) μπορεί να γραφεί ισοδύναμα ως γινόμενο δύο συναρτήσεων, δηλαδή των G(s) και H(s). F(s) = G(s)H(s) (A.50) Εάν οι αντίστροφοι μετασχηματισμοί Laplace των G(s) και Η(s) είναι g(t) και h(t) αντίστοιχα, τότε ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της F(s), δηλαδή η f(t), δύναται να υπολογισθεί με τη βοήθεια του ολοκληρώματος της συνέλιξης: f(t) = L - {F (s)} = L - {G(s)H(s)} = t 0 0 t g(τ)h(t τ)dτ = g(t τ)h(τ)dτ (A.5) Οι δύο παραπάνω ισοδυναμες διατυπώσεις του θεωρήματος υποδηλώνουν ότι το ολοκλήρωμα της συνέλιξης είναι συμμετρικό. Παράδειγμα Α.8: Εφαρμογή του θεωρήματος συνέλιξης Με τη βοήθεια του θεωρήματος συνέλιξης να υπολογίσετε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της F(s): F(s) = Λύση: s (s+ ) Θεωρούμε ότι G(s) = /(s ) και H(s) = /(s+) Α. Σύμφωνα με τον Πίνακα Α., οι αντίστροφοι μετασχηματισμοί Laplace των G(s) και H(s) είναι:

22 458 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων g(t) = L - {/s } = t ; h(t) = L - {/(s+) } = te t Συνεπώς, σύμφωνα με την εξίσωση (A.5) έχουμε: f(t) = t (t τ) τ(t τ)e dτ = te t 0 t t τ t τ τe dτ e τ edτ 0 0 = t τ t t τ t τ t te e (τ ) e τ e e (τ ) t = (t ) + (t + )e Α.4 Θεώρημα Heaviside Θεωρούμε τη ρητή συνάρτηση Laplace, Y(s): b(s) Y(s) = (A.5) a(s) όπου τα b(s) και a(s) είναι πολυώνυμα του s. Η τάξη του πολυωνύμου a(s) είναι μεγαλύτερη εκείνης του πολυωνύμου b(s). Eπιθυμούμε να υπολογίσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της Y(s). Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις: Πραγματικές διακεκριμένες ρίζες: Στην περίπτωση αυτή, η Y(s) γράφεται υπό τη μορφή, b(s) b(s) Y(s) = = a(s) a (s)(s p ) i i (A.53) όπου a(s)είναι i το πηλίκο a(s) / (s-p i ). Η συνεισφορά της ρίζας p i στη συνολική χρονική απόκριση της y(t) θα είναι: b(s) y (t) e pi b(p ) y (t) = e (A.54) pt i i = a(s) ή pt i pi i da(s) / ds s = pi s = pi Επαναλαμβανόμενη ρίζα πολλαπλότητας r: Στην περίπτωση αυτή, η Y(s) γράφεται: b(s) b(s) φ(s) Y(s) = = = a(s) a(s)(s p) (s p) r i i i r (A.55) Η συνεισφορά της ρίζας p i πολλαπλότητας r στη y(t) θα είναι:

23 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 459 d r φ /dsr dr φ /dsr t dφ /ds tr tr y p (t) = φ(p i i ) e (r )! (r )!!! pi pi p (r )! (r )! i = e (A.56) (r j)! (j )! r r j r j (j ) pt d φ /ds t i j = pi Μιγαδικές ρίζες: Για συζυγείς μιγαδικές ρίζες α ± iβ (όπου β είναι ένας θετικός πραγματικός αριθμός), ο τετραγωνικός όρος [(s + α) + β ] εμφανίζεται στον παρονομαστή της Y(s), δηλαδή pt i b(s) b(s) ψ(s) Y(s) = = = a(s) a (s)[(s + α) + β ] (s+ α) + β i (A.57) Η συνεισφορά των μιγαδικών ριζών α± β στη y(t) θα δίνεται από την εξίσωση (A.58): e αt y (t) (ψ cosβt ψ sinβt) β α± iβ = i + r (A.58) όπου ψ r και ψ i είναι το πραγματικό και το μιγαδικό μέρος της ψ(s) για s =-α+iβ. Παράδειγμα Α.9: Εφαρμογή του θεωρήματος Heaviside Άσκηση : Να υπολογισθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης: Y(s) = s+ 5 s + 5s+ 4 Λύση: Όλες οι ρίζες του πολυωνύμου a(s) είναι πραγματικές και διακεκριμένες. s+ 5 k k Y(s) = = + (s + )(s + 4) s + s + 4 Συνεπώς, k s = = = s s= ; k s = = = s s= 4 4 t y(t) = e e 3 3 4t

24 460 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Η επαλήθευση του τελευταίου αποτελέσματος μπορεί να γίνει με τη βοήθεια προγράμματος σε MatLab. Άσκηση : Να υπολογισθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης: Y(s) = s+ + + s (s 4s 5) Λύση: Το πολυώνυμο a(s) έχει μία ρίζα με πολλαπλότητα δύο (p = p = 0) και ένα ζευγάρι συζυγών μιγαδικών ριζών (p 3 = + i, p 4 = i). Συνεπώς, η Y(s) αναλύεται στους ακόλουθους όρους: όπου, s+ k k k k Y(s) = = s (s 4s 5) s s (s p ) (s p ) k = φ(s) = s s= 0 s+ s = = = 0, (s + 4s + 5) s= 0 dφ(s) d s + k = = = 0,04! ds s= 0 ds (s + 4s + 5) s= 0 ψ(s) = s+ + + s (s 4s 5) (s p )(s p ) 3 4 s+ = s και α=, β= Συνεπώς, η συνεισφορά του ζεύγους των μιγαδικών ριζών στη y(t) θα δίνεται από την ακόλουθη σχέση:

25 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 46 t e y a+ ib(t) = (ψicos t + ψrsin t) όπου ψ r και ψ i είναι το πραγματικό και μιγαδικό μέρος της ψ(s). ψ(s) s+ + i+ i (i )(3+ 4i) 7 i = = = = = s 4 4i 3 4i (3 4i)(3+ 4i) 5 + i + i 7 ψr = = 0, 8 ; ψi = = 0, Συνεπώς, με βάση τα παραπάνω αποτελέσματα, η y(t) είναι: y(t) = 0,04 + 0,t 0,04e t t cos t 0,8e Η επαλήθευση του τελευταίου αποτελέσματος μπορεί να γίνει με τη βοήθεια προγράμματος σε MatLab. sin t Άσκηση 3: Να υπολογισθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης: Y(s) = s(s3+ 6s + s + 6) Λύση: Όλες οι ρίζες του πολυωνύμου του παρονομαστή της Y(s) είναι πραγματικές και διακεκριμένες. k k k 3 k4 Y(s) = = s(s + )(s + )(s + 3) s s + s + s + 3

26 46 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Σύμφωνα με την εξίσωση (A.54) υπολογίζουμε τους συντελεστές k, k, k 3 και k 4. k k k k 3 4 Συνεπώς, = = (s + )(s + )(s + 3) 6 s= s= 0 = = = s(s + )(s + 3) ( )()() = = = s(s + )(s + 3) ( )( )() s= = = = s(s + )(s + ) ( 3)( )( ) 6 s= 3 y(t) = e + e e 6 6 t t 3t Η επαλήθευση του τελευταίου αποτελέσματος μπορεί να γίνει με τη βοήθεια του παραπάνω προγράμματος σε MatLab. Άσκηση 4: Να λυθεί η διαφορική εξίσωση: dy 5 4y H(t) dt + =, y(0) = Λύση: Λαμβάνοντας το μετασχηματισμό Laplace της διαφορικής εξίσωσης, προκύπτει:

27 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 463 5sY(s) 5y(0) + 4Y(s) = s 5s + 5s + k k Y(s) = = = + s(5s + 4) 5s(s + 0,8) s s + 0,8 5s + k = = = 0,5 5(s + 0,8) s= 0 5s + ; k = = 0, 5 5s s= 0,8 Συνεπώς, 0,8t y(t) = 0,5( + e ) Η επαλήθευση του τελευταίου αποτελέσματος μπορεί να γίνει με τη βοήθεια του ακόλουθου προγράμματος σε MatLab. Άσκηση 5: Να υπολογισθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης: Y(s) = Λύση: 3 s + 3s+ 6 Το πολυώνυμο του παρονομαστή έχει ένα ζεύγος συζυγών μιγαδικών ριζών,,5± i 5 /. 3 3 ψ(s) Y(s) = = = s + 3s+ 6 (s +,5) + 0,5 5 (s+ α) + β ( ) όπου α =, 5, β = 0,5 5. Επειδή ψ(s) = 3, προκύπτει ότι ψ r = 3 και ψ i = 0. Συνεπώς, σύμφωνα με την εξίσωση (A.58), λαμβάνουμε:

28 464 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων,5t,5t e 6e y(t) = (ψicos(0,5 5t) + ψrsin(0,5 5t)) = sin(0,5 5) 5 5 Η επαλήθευση του τελευταίου αποτελέσματος μπορεί να γίνει με τη βοήθεια του ακόλουθου προγράμματος σε MatLab. Άσκηση 6: Να βρεθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης: 0 Y(s) = (s + 4)(s + ) 3 Λύση: Η a(s) έχει μία ρίζα με πολλαπλότητα ένα και μία ρίζα με πολλαπλότητα τρία. 0 k 3 k k k4 Y(s) = = (s + 4)(s + ) 3 (s + ) 3 (s + ) s + s k3 = φ(s) = 5 s= s+ 4 = s= ; k dφ(s) d 0 5 = = =! ds ds s + 4 s= s= k dφ(s) d 0 5 = = =!! s 4 4 ds ds + s= s= 0 5 = = 4 ; k4 3 (s + ) s= 4

29 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 465 Συνεπώς, σύμφωνα με τις εξισώσεις (A.54) και (A.56) λαμβάνουμε: y(t) = 5 t e 5 te + 5 e 5 e 4 4 t t t 4t Η επαλήθευση του τελευταίου αποτελέσματος μπορεί να γίνει με τη βοήθεια του ακόλουθου προγράμματος σε MatLab. Άσκηση 7: Να υπολογισθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης: Y(s) = + + s 9s 9 s3+ 7s + 4s+ 8 Λύση: Όλες οι ρίζες είναι πραγματικές και διακεκριμένες. Επομένως, Y(s) k k k 3 s + 7s + 4s + 8 (s + )(s + )(s + 4) s + s + s + 4 s + 9s+ 9 s + 9s+ 9 = = = k s + 9s = = = (s + )(s + 4) 3 3 s= k Συνεπώς, s + 9s+ 9 5 = = (s + )(s + 4) s= ; k 3 s + 9s+ 9 = = (s + )(s + ) 6 s= 4 5 y(t) = e e e 3 6 t t 4t

30 466 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Η επαλήθευση του τελευταίου αποτελέσματος μπορεί να γίνει με τη βοήθεια προγράμματος σε MatLab. Άσκηση 8: Να υπολογισθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης: e 0,5s s s 6s+ 3 ss s+ Y(s) = Λύση: Η Υ(s) γράφεται, e 0,5s s Υ(s) = (s 3) + (s ) + Σύμφωνα με τον Πίνακα Α., έχουμε: L = (s 3) + 3t sin(t)e και s L (s ) + t cos(t)e = Από την εφαρμογή του θεωρήματος της χρονικής μετατόπισης συνάρτησης, λαμβάνουμε: L e (s 3) και τελικά, 0,5s + = sin((t 0,5))e 3(t 0,5) H(t 0,5) 3(t 0.5) t y(t) = sin((t 0,5))e H(t 0,5) cos(t)e Η επαλήθευση του τελευταίου αποτελέσματος μπορεί να γίνει με τη βοήθεια προγράμματος σε MatLab.

31 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 467 Άσκηση 9: Να λυθεί η διαφορική εξίσωση: Λύση: d y dy dx y= 3 + x ; y(0)=0, y (0)=0 και x(t)=e 3t dt dt dt Η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης x(t) είναι: dx(t)/ dt = 3e 3t Ακολούθως, προκύπτει: λαμβάνοντας το μετασχηματισμό Laplace της διαφορικής εξίσωσης, 7 s Y(s) + 4sY(s) + 4Y(s) = s+ 3 7 k k k 3 Y(s) = = + + (s + 3)(s + ) (s + ) s + s k = = 7 s+ 3 s = Συνεπώς, ; d 7 k = ds (s 3) = 7 + s = 7 k = = 7 (s ) = ; 3 + s 3 t t 3t y(t) = 7te + 7e 7e Η επαλήθευση του τελευταίου αποτελέσματος μπορεί να γίνει με τη βοήθεια προγράμματος σε MatLab.

32 468 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Άσκηση 0: Να λυθεί η διαφορική εξίσωση: d y dy y = H(t) ; y(0)=0, y (0)=0 dt dt Λύση: Λαμβάνοντας το μετασχηματισμό Laplace της διαφορικής εξίσωσης, προκύπτει: sy(s) + 3sY(s) + Y(s) = s Y(s) k k k 3 s(s + 3s + ) s(s + )(s + ) s s + s + = = = + + k Συνεπώς, = = (s + )(s + ) s= 0 k = = = s(s + ) ( )() ; s= ; k = = s(s + ) s= t y(t) = e + e t Η επαλήθευση του τελευταίου αποτελέσματος μπορεί να γίνει με τη βοήθεια προγράμματος σε MatLab.

33 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 469 Άσκηση : Να λυθεί η διαφορική εξίσωση: 3 dy dy + = 0 ; y(0) = y (0) = 0, y (0) = 3 dt dt Λύση: Λαμβάνοντας το μετασχηματισμό Laplace της διαφορικής εξίσωσης, προκύπτει: s 3Y(s) sy(s) Y(s) + = = s(s + ) Το πολυώνυμο του παρονομαστή έχει μια πραγματική ρίζα στη θέση s = 0 και ένα ζεύγος συζυγών μιγαδικών ριζών, 0 ± i. Άρα, y(t) = y o (t) + y -0±li (t) y 0t o(t) = e = s + s= 0 0t i i r y ± (t) = e [ψ cos t + ψ sin t] όπου ψ(s) = /s και ψ(i) = /i = i ψ r = 0, ψ i = -. Συνεπώς, y(t) = cost Άσκηση : Να υπολογισθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης: Y(s) = (s + )(s + ) s3 s 9s 7

34 470 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Λύση: Διαιρώντας τον αριθμητή με τον παρονομαστή λαμβάνουμε: s+ 3 k k Y(s) = s+ + = s+ + + (s + )(s + ) s + s + όπου (s + 3)(s + ) k = = (s + )(s + ) = s ; (s + 3)(s + ) k = = (s + )(s + ) = Ο μετασχηματισμός Laplace της δ(t) είναι, ενώ της dδ(t)/dt είναι s. Επομένως, ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της Y(s) είναι: d t y(t) = δ(t) + δ(t) + e e dt t s

35 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 47 Τι πρέπει να γνωρίζω Τι είναι μετασχηματισμός Laplace; Ποιες κατηγορίες διαφορικών εξισώσεων επιλύονται με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Laplace; Ποια είναι η ιδιότητα της γραμμικότητας; Ποιος είναι ο μετασχηματισμός Laplace της παραγώγου n-τάξης, d n f/dt n ; Ποιος είναι ο μετασχηματισμός Laplace της χρονικά μετατοπισμένης συνάρτησης f(t T); Ποιο είναι το θεώρημα της αρχικής τιμής; Ποιο είναι το θεώρημα της τελικής τιμής; Ποιος είναι ο μετασχηματισμός Laplace βηματικής συνάρτησης μεγέθους α; Ποιος είναι ο μετασχηματισμός Laplace της μοναδιαίας συνάρτησης πύλης; Ποιος είναι ο μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης Dirac, δ(t); Ποιος είναι ο μετασχηματισμός Laplace της επικλινούς συνάρτησης f(t) = αt; Ποιος είναι ο μετασχηματισμός Laplace της εκθετικής συνάρτησης f(t) = e -αt ; Ποιος είναι ο μετασχηματισμός Laplace της ημιτονοειδούς (αsinωt) και συνημιτονοειδούς συνάρτησης (αcosωt); Πως υπολογίζεται ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της ρητής συνάρτησης Y(s) για τις περιπτώσεις (i) διακεκριμένων πραγματικών ριζών, (ii) επαναλαμβανόμενων ριζών και (iii) συζυγών μιγαδικών ριζών; Διατυπώστε το θεώρημα της συνέλιξης. Διατυπώστε το θεώρημα Heaviside για διακεκριμένες πραγματικές ρίζες, επαναλαμβανόμενες και συζυγείς μιγαδικές.

36 47 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Ασκήσεις Άσκηση A.: Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των παρακάτω περιοδικών συναρτήσεων: Άσκηση Α.: Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης: f(t) e cos0t t 6e = t 4 + (t 0) για t >0 Άσκηση Α.3: Να αποδείξετε ότι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της F(s), F(s) = s(s+ ) είναι: f(t) = t + ( + t)e t με τη βοήθεια του θεωρήματος Heaviside.

37 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 473 Άσκηση Α.4: Να αποδείξετε ότι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της F(s), F(s) = (s + a)(s + b) είναι: f(t) = e at + (b a) e bt (a b) Άσκηση Α.5: Να αποδείξετε ότι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της F(s), s + 3s 4 F(s) = (s )(s + s + ) είναι: f(t) = e t + e t cos(t) + e t sin(t) Άσκηση Α.6: α) Με τη βοήθεια του ολοκληρώματος συνέλιξης να δείξετε ότι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης Y(s) =, δίνεται από το F(s) G(s) ολοκλήρωμα του Volterra, y(t) = f(t) + t y(u)g(t u)du. 0 β) Με βάση την απόδειξη του ερωτήματος (α) να δείξετε ότι η λύση του ολοκληρώματος Volterra y(t) = sin(t) + t 0 sin[(t u)]y(u)du είναι: y(t) = 3sin(t) sin( t) Άσκηση Α.7: Να δείξετε ότι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων: α) 3 s(s + ) s ; β) (s + )(s + 4) είναι: (α) f(t) = e t (t+) t e t και (β) f(t) = [cos(t) cos(t)] 3

38 474 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Άσκηση Α.8: Να υπολογίσετε την αρχική και τελική τιμή της y(t) από την ακόλουθη μετασχηματισμένη συνάρτηση, Y(s): Y(s) = + s3 4s 5 s 3(s + s+ ) Άσκηση Α.9: Να βρεθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων: α) (s + )(s + )(s + 3) ; β) (s + a)(s + b) ; γ) s+ + s(s 4) δ) [(s + a) + b ] ; ε) e s s + ; στ) e s st Άσκηση Α.0: Να βρεθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων: α) Y(s) = 0 (s + 0)(s + s + ) ; β) Y(s) = (s + s ) s(s + 3s + ) γ) Y(s) = s+ 3 s + 3s+ s+ 4 Άσκηση Α.: Να επιλύσετε τις παρακάτω διαφορικές εξισώσεις με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Laplace: α) dy 3 dy dy dt 3 dt dt y= H(t) ; y(0) = y (0) = y (0) = 0 β) dy dy 3 + y= e t ; y (0) dt dt =, y(0) = γ) dy 3 dy dy dx y= x ; y(0) = y (0) = 0, y (0) = όπου x(t) = 5sin t. dt 3 dt dt dt β + β Άσκηση Α.: α) Να αποδείξετε ότι η y(t) AL {( s) s } Kummer: = είναι λύση της εξίσωσης

39 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 475 dy dy t + ( t) + βy= 0 dt dt όπου Α και β είναι κάποιες σταθερές. β) Να δείξετε ότι στην περίπτωση που β = y(t) = A(t ) και για την περίπτωση που β = t y(t) = A t+! Άσκηση Α.3: (Θέμα εξετάσεων Απρίλιος 006) Με τη βοήθεια των μετασχηματισμών Laplace να επιλύσετε τις παρακάτω διαφορικές εξισώσεις: α) β) dy dy y= sint, y(0) = 0 και y(0) = 0 dt dt 3 dy dy dy t y= e, y(0) = 0, y(0) = 0 και y(0) = 0 3 dt dt dt

40 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ Εισαγωγή στο MATLAB Γ. Eισαγωγή Γ.. Τι είναι το Πρόγραμμα MATLAB Το πρόγραμμα MATLAB αποτελεί ένα τεχνικό υπολογιστικό περιβάλλον μέσω του οποίου μπορούν να επιλυθούν υψηλού επιπέδου μαθηματικά προβλήματα αριθμητικής ανάλυσης, υπολογισμού πινάκων, επεξεργασίας σήματος και πλήθος άλλων εφαρμογών παρέχοντας τη δυνατότητα οπτικοποίηση των αποτελεσμάτων. Η ονομασία του προγράμματος MATLAB προέρχεται από τη σύνθεση των λέξεων Matrix Laboratory καθώς το πρόγραμμα αρχικά σχεδιάστηκε ώστε να διευκολύνει τους υπολογισμούς μεταξύ πινάκων, με την ουσιαστική διαφοροποίηση από τις υπόλοιπες γλώσσες προγραμματισμού να μην απαιτεί εκ των προτέρων διαστασιολόγησή τους. Το πρόγραμμα MATLAB είναι ιδιαίτερα διαδεδομένο και βρίσκει εφαρμογή τόσο στα πανεπιστήμια σε προπτυχιακό επίπεδο με καθαρά διδακτικό σκοπό, καθώς και σε μεταπτυχιακό επίπεδο για ερευνητικούς σκοπούς, όσο και στις βιομηχανίες για την επίλυση προβλημάτων μηχανικής. Βασικό πλεονέκτημά του αποτελεί η εύκολη χρήση και η μεγάλη επεκτασιμότητα αφενός από το ίδιο το πρόγραμμα MATLAB που εξελίσσεται διαρκώς παρουσιάζοντας ανανεωμένες εκδόσεις, αφετέρου δε από τους χρήστες του προγράμματος που μπορούν να προσθέσουν εξειδικευμένες ρουτίνες για τα επιμέρους προβλήματα που μελετούν. Μεγάλο ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι επιπρόσθετες συλλογές συναρτήσεων που προσαρτώνται στο κυρίως πρόγραμμα και αφορούν στα εξειδικευμένα πεδία επιστημών, επεκτείνοντας τις δυνατότητες του προγράμματος MATLAB. Οι συλλογές αυτές καλούνται από το πρόγραμμα toolboxes (εργαλειοθήκες) και καλύπτουν πλήθος εφαρμογών. 497

41 498 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Γ.. Ξεκινώντας το Πρόγραμμα MATLAB Αφού ολοκληρωθεί η εγκατάσταση του προγράμματος, το MATLAB ξεκινάει μέσω του αρχείου MATLAB.exe που βρίσκεται στο φάκελο όπου εγκαταστάθηκε το πρόγραμμα MATLAB ή μέσω της συντόμευσης του αρχείου που δημιουργήθηκε στο περιβάλλον εργασίας μετά την εγκατάσταση. Το γραφικό περιβάλλον του προγράμματος MATLAB είναι πλήρως συμβατό με το πρότυπο των Windows-based προγραμμάτων. Το περιβάλλον εργασίας του προγράμματος MATLAB αποτελείται από τρία εσωτερικά παράθυρα εντός της κλασικής δομής των προγραμμάτων Windows με το χαρακτηριστικό Εικόνα Γ.: Το περιβάλλον εργασίας του προγράμματος MATLAB.

42 Εισαγωγή στο MATLAB 499 μενού επιλογών (File, Edit κλπ). Το πλήκτρο Start που διακρίνεται στην κάτω αριστερή γωνία του παραθύρου παρέχει την εύκολη πλοήγηση στα toolboxes και στα αρχεία βοήθειας του προγράμματος MATLAB. Το βασικό παράθυρο εντός του οποίου δίνονται όλες οι εντολές και εμφανίζονται τα αποτελέσματα είναι το Command Window. Το σημείο εισαγωγής των εντολών είναι μετά το σύμβολο >>, το οποίο ονομάζεται prompt. Στο παράθυρο Command History καταγράφεται το σύνολο των στοιχείων που πληκτρολόγησε ο χρήστης στο Command Window με χρονική σειρά. Στο τρίτο παράθυρο περιλαμβάνονται τρεις καρτέλες:. Current Directory Browser που παρέχει την εύκολη πλοήγηση στους φακέλους του υπολογιστή μας. Εναλλακτικά, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη συντόμευση αυτού που βρίσκεται κάτω από το μενού των επιλογών.. Workspace όπου καταγράφονται όλες οι μεταβλητές που δημιουργήθηκαν κατά τη χρήση του προγράμματος και ορίστηκαν στο Command Window. 3. Launch pad που παρέχει την πρόσβαση σε εργαλειοθήκες, demos και συνοδευτικές οδηγίες χρήσης του προγράμματος MATLAB, λειτουργίες που επιτυγχάνονται και μέσω του Start button. Το μενού επιλογών προσφέρει την εύκολη πρόσβαση σε πλήθος εντολών οι οποίες μπορούν επίσης να εκφραστούν μέσα από το Command Window με κατάλληλο ορισμό. Παρακάτω παρατίθεται μία σύντομη αναφορά στις κυριότερες εντολές του μενού επιλογών πέραν αυτών που εύκολα κανείς μπορεί να αναγνωρίσει. Το μενού File περιλαμβάνει εντολές για τη δημιουργία νέων αρχείων, άνοιγμα ήδη υπαρχόντων αρχείων, αποθήκευση και έξοδο από το πρόγραμμα. Η επιλογή New στο συγκεκριμένο μενού εμφανίζει τέσσερις επιπλέον επιλογές:. M-File : Ανοίγει έναν επεξεργαστή κειμένου, Editor, όπου δομείται από το χρήστη ο κώδικας για ένα πρόγραμμα που έπειτα μπορεί να αποθηκευτεί ως anyname.m. Η επέκταση του αρχείου,.m, δηλώνει ότι πρόκειται για αρχείο του προγράμματος MATLAB. Αντί του επεξεργαστή κειμένου που προτείνει το πρόγραμμα MATLAB μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιοσδήποτε άλλος επεξεργαστής κειμένου όπως το Word ή το Wordpad μέσω της εντολής Preferences εντός του M-File.. Figure : Εμφανίζει το παράθυρο όπου παρουσιάζονται οι γραφικές παραστάσεις του προγράμματος MATLAB.

43 500 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων 3. Model : Εμφανίζει το παράθυρο δημιουργίας νέων μοντέλων στο πακέτο Simulink toolbox. 4. GUI Graphic User Interface : Εμφανίζει τον οδηγό δημιουργίας νέου γραφικού περιβάλλοντος για την παρουσίαση μιας εργασίας. Γ..3 Επιτρεπτοί Χαρακτήρες κατά τον Προγραμματισμό σε MATLAB Η γλώσσα που χρησιμοποιεί το πρόγραμμα MATLAB, (κώδικας), γράφεται μόνο με χαρακτήρες τους οποίους αναγνωρίζει το πρόγραμμα. Οι επιτρεπτοί χαρακτήρες για τη σύνταξη όλων των εντολών είναι οι: α) λατινικοί χαρακτήρες, β) αριθμητικοί χαρακτήρες και γ) αριθμητικοί τελεστές και παραθέτονται στους Πίνακες Γ., Γ., Γ.3 και Γ.4. Πίνακας Γ.: Λογικοί τελεστές Τελεστής & & Λειτουργία Λογικό και Λογικό ή & Λογικό και για πίνακες γραμμή Λογικό ή για πίνακες γραμμή ~ Λογικό όχι Πίνακας Γ.: Τελεστές σύγκρισης Τελεστής Λειτουργία > Μεγαλύτερο από > = Μεγαλύτερο ή ίσο από < Μικρότερο από < = Μικρότερο ή ίσο από = = Ίσο με ~ = Όχι ίσο με

44 Εισαγωγή στο MATLAB 50 Πίνακας Γ.3: Ειδικοί χαρακτήρες Χαρακτήρας Λειτουργία [ ] Δηλώνουν την αρχή και το τέλος ενός πίνακα. ( ) Γενικά, δηλώνουν προτεραιότητα στις πράξεις. Επιπλέον, χρησιμοποιούνται για να περιλάβουν ορίσματα συναρτήσεων καθώς και για να δηλώσουν συγκεκριμένο στοιχείο πίνακα (για παράδειγμα το στοιχείο Α(o,p) αποτελεί το στοιχείο της o σειράς και p στήλης ενός πίνακα A (mxn) με (m>o, n>p). { } Χρησιμοποιούνται όπως και οι αγκύλες [ ], αλλά για τη δημιουργία υποπινάκων που αναγνωρίζονται από το πρόγραμμα ως αυτόνομα στοιχεία άλλου πίνακα. Αντίστροφα, χρησιμοποιούνται όπως οι παρενθέσεις για τη δήλωση του στοιχείου υποπίνακα και την εμφάνισή του. = Εντολή αντικατάστασης. Η παράσταση Α=Β δεν παρουσιάζει μία ισότητα αλλά μία αντικατάσταση όπου η μεταβλητή Α λαμβάνει την τιμή της μεταβλητής Β (μπορεί να είναι αριθμητική έκφραση ή μεταβλητή ή και αλφαριθμητικοί χαρακτήρες εντός εισαγωγικών). : Γενικά αποτελεί την εντολή από/έως. Για παράδειγμα Α:Β σημαίνει τη σειρά με στοιχεία : Α, Α+, Α+,,B.. Δηλώνει την υποδιαστολή στους δεκαδικούς αριθμούς., ; % Ορίζει την συνέχεια της γραμμής στην επόμενη. Το πρόγραμμα διαβάζει τις δύο εγγραφές σαν να βρίσκονταν στην ίδια σειρά. Διαχωρίζει τα στοιχεία της ίδιας γραμμής ενός πίνακα και τα ορίσματα των συναρτήσεων. Όταν γράφεται μεταξύ δύο εντολών στην ίδια γραμμή έχει την ίδια ιδιότητα να εκτελείται και η δεύτερη εντολή σαν να βρίσκεται σε ξεχωριστή γραμμή. Δηλώνει την επόμενη γραμμή σε πίνακα. Όταν γράφεται μετά το τέλος κάποιας εντολής αποτρέπει την εμφάνιση αποτελέσματος στο command window. Δηλώνει την έναρξη σχολίου. Οτιδήποτε γράφεται μετά από % δεν λαμβάνεται υπ όψιν από το πρόγραμμα.! Οτιδήποτε γράφεται μετά από θαυμαστικό αναγνωρίζεται ως εντολή προς το λειτουργικό σύστημα.

45 50 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Πίνακας Γ.4: Αριθμητικοί τελεστές Τελεστής Λειτουργία Παράδειγμα + Πρόσθεση: Οι προσθετέοι πρέπει να έχουν τις ίδιες διαστάσεις, αν πρόκειται για πίνακες, με εξαίρεση την πρόσθεση πίνακα (x) με πίνακα (mxn), οπότε το στοιχείο του πρώτου πίνακα προστίθεται σε όλα τα στοιχεία του δευτέρου. >> Α+Β Αφαίρεση >> Α Β * Πολλαπλασιασμός: Στους πίνακες αφορά το εσωτερικό γινόμενο και ο αριθμός των στηλών του πρώτου όρου του γινομένου πρέπει να είναι ίδιος με τον αριθμό των στηλών του δευτέρου με εξαίρεση τους πίνακες (x) που πολλαπλασιάζονται με οποιονδήποτε πίνακα. >> Α*Β \ Αριστερή διαίρεση >> Α\Β.\ Αριστερή διαίρεση στοιχείο προς στοιχείο: Οι πίνακες πρέπει να έχουν ίδιες διαστάσεις με εξαίρεση τον πίνακα στοιχείο (x). >> Α./Β / Δεξιά διαίρεση >> Α/Β./ Δεξιά διαίρεση στοιχείο προς στοιχείο >> Α./Β ^ Δύναμη >> Α^Β.^ Δύναμη στοιχείο προς στοιχείο >> Α.^Β Ανάστροφος πίνακας: Αν υπάρχουν μιγαδικοί αριθμοί ως στοιχεία του πίνακα μετατρέπονται στους συζυγείς τους.. Ανάστροφος πίνακας: Οι μιγαδικοί αριθμοί παραμένουν ως έχουν. Α Α. Γ..4 Ορισμός Μαθηματικών Συναρτήσεων Το πρόγραμμα MATLAB περιέχει μία βιβλιοθήκη με τις συναρτήσεις που χρησιμοποιούνται συχνότερα. Οι συναρτήσεις αυτές δεν είναι τίποτε άλλο από έτοιμα υποπρογράμματα, (ρουτίνες), οι οποίες απαιτούν κάποια ορίσματα για να υπολογίσουν το αποτελέσμα. Όμοια υποπρογράμματα μπορεί να εισάγει και ο χρήστης στη βιβλιοθήκη

46 Εισαγωγή στο MATLAB 503 του προγράμματος MATLAB μέσω των m-files, (βλέπε Κεφάλαιο Γ.5). Ο ορισμός των κυριότερων μαθηματικών συναρτήσεων του προγράμματος MATLAB φαίνεται στον ακόλουθο Πίνακα Γ.5. Πίνακας Γ.5: Μαθηματικές συναρτήσεις Εντολή sin(a) cos(a) tan(a) asin(a) acos(a) atan(a) sinh(a) cosh(a) tanh(a) asinh(a) acosh(a) atanh(a) exp(a) log(a) log0(a) abs(a) sqrt(a) gcd(a,b) lcm(a,b) erf(a) Λειτουργία Ημίτονο. Το A εκφράζεται σε rad. Συνημίτονο Εφαπτομένη Τόξο ημιτόνου Τόξο συνημιτόνου Τόξο εφαπτομένης Υπερβολικό ημίτονο Υπερβολικό συνημίτονο Υπερβολική εφαπτομένη Υπερβολικό τόξο ημιτόνου Υπερβολικό τόξο συνημιτόνου Υπερβολικό τόξο εφαπτομένης Δύναμη με βάση το e Νεπέριος λογάριθμος Δεκαδικός λογάριθμος Απόλυτη τιμή Τετραγωνική ρίζα Μέγιστος κοινός διαιρέτης Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο Συνάρτηση λάθους rand Εμφανίζει τυχαίο αριθμό στο διάστημα (0,)

47 504 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Γ..5 Χρήσιμες Πληροφορίες κατά την Εφαρμογή του Προγράμματος MATLAB Στο πρόγραμμα MATLAB τα κεφαλαία και τα μικρά γράμματα αναγνωρίζονται ως διαφορετικοί χαρακτήρες (case sensitive), είτε πρόκειται για ονόματα μεταβλητών, είτε για αναγραφή εντολών. Έτσι, η μεταβλητή A είναι διαφορετική από τη μεταβλητή a και η εντολή format εκτελείται, σε αντίθεση με την εντολή Format η οποία δεν αναγνωρίζεται και το πρόγραμμα εμφανίζει μήνυμα σφάλματος. Οι ελληνικοί χαρακτήρες δεν είναι αποδεκτοί από το πρόγραμμα για το χαρακτηρισμό μεταβλητών ή την αναγραφή εντολών. Γενικά, οτιδήποτε αφορά στο πρόγραμμα πρέπει να είναι γραμμένο με λατινικούς χαρακτήρες. Εξαίρεση αποτελεί ό,τι βρίσκεται μεταξύ εισαγωγικών:... ή μετά από το σύμβολο: %. Στην περίπτωση αυτή το πρόγραμμα αναγνωρίζει κείμενο ή σχόλιο, αντίστοιχα, και όχι κάποια εκτελέσιμη εντολή. Ο αριθμός των κενών διαστημάτων δεν επηρεάζει καθόλου το πρόγραμμα, το οποίο αναγνωρίζει κάθε συστοιχία κενών διαστημάτων ως ένα και μόνο κενό διάστημα. Οι μεταβλητές μπορούν να ονομαστούν με τη σύνθεση οποιονδήποτε γραμμάτων και αριθμών προς σχηματισμό μιας λέξης, χωρίς τη χρήση κενού διαστήματος. Ονόματα μεταβλητών που αποτελούνται μόνο από αριθμούς δεν θεωρούνται μεταβλητές από το πρόγραμμα, το οποίο στην περίπτωση αυτή εμφανίζει μήνυμα σφάλματος. Όταν εισάγουμε μια αριθμητική παράσταση στο Command Window χωρίς να τη δηλώσουμε σαν μεταβλητή, τότε το πρόγραμμα αυτόματα ονομάζει τη μεταβλητή αυτή ans : Η μεταβλητή ans πρόκειται να αλλάξει τιμή και να χαθεί η υπάρχουσα πληροφορία σε περίπτωση εισαγωγής νέας αριθμητικής παράστασης, δηλαδή,

48 Εισαγωγή στο MATLAB 505 Τόσο στο Command Window, όσο και στα M-files οι εντολές διαβάζονται και εκτελούνται από το πρόγραμμα γραμμικά. Συνεπώς, αν σε κάποιο σημείο του κώδικα εμφανίζεται μια εντολή που περιέχει τη μεταβλητή Α χωρίς όμως η μεταβλητή αυτή να έχει λάβει κάποια τιμή μέχρι το συγκεκριμένο σημείο του κώδικα, τότε το πρόγραμμα θα εμφανίσει μήνυμα σφάλματος, ακόμη και στην περίπτωση που ορίζουμε την τιμή της μεταβλητής Α σε μετέπειτα σημείο. Το MATLAB παρέχει ένα πλήρες αρχείο βοήθειας στο οποίο ο χρήστης μπορεί να ανατρέξει και να βρει πληροφορίες για τη σύνταξη των διαφόρων εντολών και βοηθητικά παραδείγματα για την κατανόησή τους. Οι σημειώσεις αυτές αποτελούν ένα έναυσμα για τη χρήση του MATLAB και σε καμία περίπτωση δεν αποτελούν έναν πλήρη οδηγό του προγράμματος. Γ. Πίνακες Γ.. Εισαγωγή στους Πίνακες Ο κάθε ορισμός στο πρόγραμμα MATLAB εκφράζεται ως πίνακας. Δηλαδή, ακόμα και οι πραγματικοί αριθμοί αναγνωρίζονται από το πρόγραμμα ως πίνακες (x). Η ουσιαστική διαφορά του προγράμματος MATLAB από τις υπόλοιπες γλώσσες προγραμματισμού είναι το γεγονός ότι δεν προαπαιτείται δήλωση των διαστάσεων του πίνακα, τις οποίες υπολογίζει το πρόγραμμα αυτόματα. Η εισαγωγή ενός πίνακα στο πρόγραμμα MATLAB γίνεται με τη βοήθεια του συμβόλου: [ ] όπου το πρόγραμμα αναγνωρίζει ως πίνακα

49 506 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων ο,τιδήποτε περιέχεται μεταξ τ των αγκυλών. Τα στοιχεία μιας γραμμής του πίνακα διαχωρίζονται μεταξύ τους με κενά (δεν έχει σημασία ο αριθμός των κενών) ή με κόμμα (,). Τα στοιχεία της επόμενης γραμμής του πίνακα εισάγονται είτε μετά από το ελληνικό ερωτηματικό (;), είτε στην επόμενη γραμμή πατώντας το πλήκτρο enter. Άλλωστε, έως να κλείσουν οι αγκύλες για το πρόγραμμα εκκρεμεί η εισαγωγή του πίνακα. Τα στοιχεία του πίνακα μπορεί να είναι αριθμοί, μεταβλητές (που ήδη έχουν λάβει κάποια τιμή), μαθηματικές εκφράσεις ή αλφαριθμητικές σταθερές (γράμματα, αριθμοί ή σύμβολα) που περιέχονται μεταξύ εισαγωγικών ( ). Για παράδειγμα, ο πίνακας 3 A= εισάγεται στο MATLAB ως εξής: ή

50 Εισαγωγή στο MATLAB 507 Όπως παρατηρούμε και στις δύο περιπτώσεις μετά το κλείσιμο της αγκύλης και το πάτημα του πλήκτρου enter το πρόγραμμα απαντά με το ίδιο αποτέλεσμα, επιβεβαιώνοντας ότι η μεταβλητή Α έχει αποθηκευτεί στη βάση δεδομένων του. Για να αναζητήσουμε το στοιχείο του πίνακα Α που βρίσκεται στη γραμμή o και στήλη p πληκτολογούμε: Α(o,p). Για παράδειγμα, Επίσης, μπορούμε να αντικαταστήσουμε ένα ή περισσότερα στοιχεία του πίνακα πληκτρολογώντας το στοιχείο που θέλουμε να αντικαταστήσουμε και τη νέα τιμή που θέλουμε να λάβει. Στο παράδειγμα που φαίνεται στη συνέχεια αντικαθηστούμε το στοιχείο Α(,3) του πίνακα το οποίο έχει την τιμή 3, με την τιμή 9. Όπως μπορούμε να παρατηρήσουμε τα υπόλοιπα στοιχεία του πίνακα Α παραμένουν ως είχαν.

51 508 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Πίνακας Γ.6: Χρήσιμες εντολές για υπολογισμούς μεταξύ πινάκων Τελεστής inv(a) Λειτουργία Υπολογίζεται ο αντίστροφος πίνακας του Α, εφόσον αυτός είναι τετραγωνικός,. Εναλλακτικά, ο πίνακας υψωμένος στον εκθέτη (-) δίνει επίσης τον αντίστροφο πίνακα. Παράδειγμα: eig(a) Υπολογίζονται οι ιδιοτιμές του πίνακα Α. Παράδειγμα: det(a) Υπολογίζεται η ορίζουσα του τετραγωνικού πίνακα Α. Παράδειγμα:

52 Εισαγωγή στο MATLAB 509 Πίνακας Γ.6 (συνέχεια): Τελεστής Λειτουργία length(a) Το πρόγραμμα δίνει το μέγιστο αριθμό γραμμών ή στηλών του πίνακα Α. Παράδειγμα: size(a) Δίνονται οι διαστάσεις του πίνακα Α. Παράδειγμα: trace(a) Υπολογίζεται το ίχνος του πίνακα, δηλαδή το άθροισμα των στοιχείων της κύριας διαγωνίου του. Ουσιαστικά, η εντολή αποτελεί συνδυασμό των εντολών sum(a) και diag(a) ως: trace(a)=sum(diag(a)). Παράδειγμα:

53 50 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Πίνακας Γ.6 (συνέχεια): Τελεστής eye(m,n) Λειτουργία Παράγει τον ταυτοτικό πίνακα (mxn). Παράδειγμα: ones(m,n) Παράγεται πίνακας (mxn) του οποίου όλα τα στοιχεία είναι ίσα με τη μονάδα. Παράδειγμα: zeros(m,n) Παράγεται πίνακας mxn του οποίου όλα τα στοιχεία είναι μηδενικά. Παράδειγμα: clear A Διαγράφει τον πίνακα Α από το Workspace. Γ... Πίνακες και Μιγαδικοί Αριθμοί Όπως ήδη έχει αναφερθεί στο Κεφάλαιο Γ., οι μιγαδικοί αριθμοί αναγνωρίζονται από το πρόγραμμα MATLAB ως εξής:

54 Εισαγωγή στο MATLAB 5 ή Στον Πίνακα Γ.7 δίνονται συγκεντρωτικά οι εντολές που αφορούν στη διαχείριση μιγαδικών αριθμών. Πίνακας Γ.7: Χρήσιμες εντολές για μιγαδικούς αριθμούς Εντολή Λειτουργία conj(a) Υπολογίζεται ο συζυγής μιγαδικός του Α. real(a) Υπολογίζεται το πραγματικό μέρος του Α. imag(a) Υπολογίζεται το φανταστικό μέρος του Α. abs(a) Υπολογίζει το μέτρο του μιγαδικού αριθμού Α. angle(a) Υπολογίζει το όρισμα του μιγαδικού Α. Γ.3 Πολυωνυμικές Παραστάσεις Γ.3. Ορισμός Πολυωνύμου Ένας πίνακας γραμμή n_στοιχείων (διάνυσμα), όπως ακριβώς ορίστηκε στην προηγούμενη ενότητα εκφράζει επίσης μία πολυωνυμική παράσταση της μορφής: A X + A X A X + A X + A. Πιο συγκεκριμένα, ένας πίνακας γραμμή n n n n o (xn) αναπαριστά μία πολυωνυμική παράσταση όπου τα στοιχεία του πίνακα αποτελούν τις σταθερές ενός πολυωνύμου βαθμού (n-) κατά φθίνουσα σειρά. Για παράδειγμα, η 4 3 πολυωνυμική παράσταση, P = X + X + 3X + 4X + 5, δηλώνεται στο πρόγρραμμα MATLAB ως εξής:

55 5 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Ενώ η πολυωνυμική παράσταση, 4 P = 3X + X +, ορίζεται ως εξής: Γ.3. Ρίζες του Πολυωνύμου Οι ρίζες των πολυωνύμων υπολογίζονται με τη βοήθεια του προγράμματος MATLAB με την εντολή roots. Οι ρίζες του πολυωνύμου P, για παράδειγμα, υπολογίζονται ως εξής: Εναλλακτικά, η εντολή θα μπορούσε να οριστεί και ως εξής:

56 Εισαγωγή στο MATLAB 53 Γ.3.3 Ανάκτηση Πολυωνύμου από τις Ρίζες του Για την περίπτωση που γνωρίζουμε όλες τις n_ρίζες ενός πολυωνύμου n_βαθμού, το πρόγραμμα MATLAB παρέχει τη δυνατότητα αυτόματου υπολογισμού των συντελεστών του πολυωνύμου μέσω της εντολής poly. Οι εντολές roots και poly αποτελούν ένα ζεύγος εντολών με ακριβώς αντίστροφη λειτουργία. Για παράδειγμα, Επίσης, με βάση την εντολή poly μπορούμε να υπολογίσουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ενός πίνακα, για παράδειγμα: Γ.3.4 Πολλαπλασιασμός Πολυωνύμων Ο πολλαπλασιασμός δύο πολυωνυμικών παραστάσεων γίνεται με την εντολή conv. Για παράδειγμα, το γινόμενο των πολυωνύμων, υπολογίζεται ως εξής: P = X + X + 3 και P = 4X + 5X + 6,

Τυπικές χρήσεις της Matlab

Τυπικές χρήσεις της Matlab Matlab Μάθημα 1 Τι είναι η Matlab Ολοκληρωμένο Περιβάλλον Περιβάλλον ανάπτυξης Διερμηνευμένη γλώσσα Υψηλή επίδοση Ευρύτητα εφαρμογών Ευκολία διατύπωσης Cross platform (Wintel, Unix, Mac) Τυπικές χρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ. Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ. Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Κ. ΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ - Α. ΧΡΗΣΤΙ ΟΥ Κ. ΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ - Α. ΧΡΗΣΤΙ ΟΥ Οκτώβριος 011 MATLAB

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Laplace

Μετασχηματισμοί Laplace Μετασχηματισμοί Laplace Ιδιότητες μετασχηματισμών Laplace Βασικά ζεύγη μετασχηματισμών Laplace f(t) F(s) δ(t) 1 u(t) 1 / s t 1 / s 2 t n n! / s n1 e αt, α>0 1 / (s α) te αt, α>0 1 / (s α) 2 ημωt ω / (s

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 1.1. Τι είναι το Matlab... 13 1.2. Περιβάλλον εργασίας... 14 1.3. Δουλεύοντας με το Matlab... 16 1.3.1. Απλές αριθμητικές πράξεις... 16 1.3.2. Σχόλια...

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να

Διαβάστε περισσότερα

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί. O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τίτλος Μαθήματος

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τίτλος Μαθήματος ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Τίτλος Μαθήματος Ενότητα : Μετασχηματισμός LAPLACE (Laplace Tranform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Περιβάλλον Επιστημονικού Προγραμματισμού MATLAB-Simulink. Δημήτριος Τζεράνης Λεωνίδας Αλεξόπουλος

Εισαγωγή στο Περιβάλλον Επιστημονικού Προγραμματισμού MATLAB-Simulink. Δημήτριος Τζεράνης Λεωνίδας Αλεξόπουλος Εισαγωγή στο Περιβάλλον Επιστημονικού Προγραμματισμού MATLAB-Simulink Δημήτριος Τζεράνης Λεωνίδας Αλεξόπουλος 1 Τι είναι τα Matlab και Simulink? Το Matlab (MATrix LABoratory) είναι ένα περιβάλλον επιστημονικού

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Μετασχηµατισµός Laplace ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 4 Μαρτίου 29 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας του µετασχηµατισµού Laplace

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 7 Ο Μετασχηματισμός Z Βασικές Ιδιότητες Καθηγητής Χριστόδουλος Χαμζάς Ο Μετασχηματισμός Ζ Γιατί χρειαζόμαστε τον Μετασχηματισμό Ζ; Ανάγει την επίλυση των αναδρομικών

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr III Όριο Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Πεπερασμένο Όριο στο Α Ορισμός Όριο στο : Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η σύνταξη μιας συνάρτησης σ ένα κελί έχει την γενική μορφή: =όνομα_συνάρτησης(όρισμα1; όρισμα2;.)

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η σύνταξη μιας συνάρτησης σ ένα κελί έχει την γενική μορφή: =όνομα_συνάρτησης(όρισμα1; όρισμα2;.) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση είναι ένας έτοιμος τύπος ο οποίος δέχεται σαν είσοδο τιμές ή συνθήκες και επιστρέφει ένα αποτέλεσμα, το οποίο μπορεί να είναι μια τιμή αριθμητική, αλφαριθμητική, λογική, ημερομηνίας

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Θεωρία και Εφαρμογές

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Θεωρία και Εφαρμογές Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Θεωρία και Εφαρμογές Διδακτικές Σημειώσεις Τμήματος Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τομέας Αρχιτεκτονικής Υπολογιστικών και Βιομηχανικών εφαρμογών Δρ. Βολογιαννίδης Σταύρος email:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. 4598 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Μεθοδολογία Λυμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 009 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 009. Πριν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο

Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Η Mathematica είναι ένα ολοκληρωμένο μαθηματικό πακέτο με πάρα πολλές δυνατότητες σε σχεδόν όλους τους τομείς των μαθηματικών (Άλγεβρα, Θεωρία συνόλων, Ανάλυση,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima

Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima Το Maxima είναι ένα πρόγραμμα για την εκτέλεση μαθηματικών υπολογισμών, συμβολικών μαθηματικών χειρισμών, αριθμητικών υπολογισμών και γραφικών παραστάσεων. Το Maxima λειτουργεί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα

Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα 1. Ευστάθεια συστημάτων Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα Κατά την ανάλυση και σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου, η ευστάθεια αποτελεί έναν πολύ σημαντικό παράγοντα και, γενικά, είναι επιθυμητό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116

ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116 ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014 ΔΕΥΤΕΡΑ 12-15 ΑΙΘ.ΖΑ115-116 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Ορισμός παραγώγου συνάρτησης σε σημείο Μια συνάρτηση f (X) λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί Ενδεικτικός Προγραμματισμός ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί 12 περίοδοι Δείκτες επιτυχίας: Ορίζουν την έννοια της νιοστής ρίζας ενός αριθμού α και αποδεικνύουν τις ιδιότητες ριζών, όταν ν N, ν 0, 1, α R

Διαβάστε περισσότερα

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R )

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) Γράφημα της συνάρτησης f( x), αν p x< 0 F( x) = f( x), αν 0 x p και F( x+ 2 p) = F( x), x R (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το Βιβλίο αυτό απευθύνεται στους

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier

Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier 1 Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier αποτελεί τον ακρογωνιαίο λίθο της επεξεργασίας σήματος αλλά και συχνή αιτία πονοκεφάλου για όσους πρωτοασχολούνται

Διαβάστε περισσότερα

1. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ

1. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ . ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να δώσει μια γενική εικόνα του τι είναι σήμα και να κατατάξει τα διάφορα σήματα σε κατηγορίες ανάλογα με τις βασικές ιδιότητες τους. Επίσης,

Διαβάστε περισσότερα

Επανάληψη Μιγαδικών Αριθμών

Επανάληψη Μιγαδικών Αριθμών Σήματα και Συστήματα ΗΜΥ0 //006 Επανάληψη Μιγαδικών Αριμών Δημήτρης Ηλιάδης, eldemet@ucy.ac.cy Που χρησιμεύει: Από τη εωρία των Σειρών Fourier, γνωρίζουμε πως οποιοδήποτε περιοδικό σήμα ανεξαρτήτως πολυπλοκότητας,

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος.

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. 3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. Ορίσουµε το µετασχηµατισµό Fourier ενός µη περιοδικού

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Laplace Μετασχηµατισµός Z Εφαρµογές Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος Σύστηµα Παράδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝ 1.1 Προτεραιότητα Πράξεων Η προτεραιότητα των πράξεων είναι: (Από τις πράξεις που πρέπει να γίνονται πρώτες,

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο. Πεδίο της Συχνότητας

Δυναμική Μηχανών I. Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο. Πεδίο της Συχνότητας Δυναμική Μηχανών I Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο 7 4 Πεδίο της Συχνότητας 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ FOURIER Ανάλυση σημάτων και συστημάτων Ο μετασχηματισμός Fourier (DTFT και DFT) είναι σημαντικότατος για την ανάλυση σημάτων και συστημάτων Εντοπίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας ΚΑΠΟΙΟΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΕΝΝΟΙΕΣ Ν = {1,2,3,...} το σύνολο των φυσικών αριθμών Ζ = {0, ±1, ±2, ±3,..

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 8: Ολοκληρώματα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mil: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων.

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. 2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γενικά τι είναι - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. Κατηγορίες των συστηµάτων ανάλογα µε τον αριθµό και το είδος των επιτρεποµένων εισόδων και εξόδων. Ιδιότητες των

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η χρονική απόκριση μπορεί να ληφθεί από αναλυτικά μέσα όπως η μέθοδος μετασχηματισμού Laplace, εναλλακτικά δε μπορεί να χρησιμοποιηθεί εξομοίωση από Η/Υ. Η προσέγγιση

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ (Προγραμματισμός & MATLAB)

1 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ (Προγραμματισμός & MATLAB) ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΕ Η/Υ 1 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ (Προγραμματισμός & MATLAB) Ν.Δ. Λαγαρός Μ. Φραγκιαδάκης Α. Στάμος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες >>A = [ 1,6; 7, 11]; Ή τον πίνακα >> B = [2,0,1; 1,7,4; 3,0,1]; Πράξεις πινάκων

Πίνακες >>A = [ 1,6; 7, 11]; Ή τον πίνακα >> B = [2,0,1; 1,7,4; 3,0,1]; Πράξεις πινάκων Πίνακες Ένας πίνακας είναι μια δισδιάστατη λίστα από αριθμούς. Για να δημιουργήσουμε ένα πίνακα στο Matlab εισάγουμε κάθε γραμμή σαν μια ακολουθία αριθμών που ξεχωρίζουν με κόμμα (,) ή κενό (space) και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Αριθμητική Επίλυση Δυναμικών Συστημάτων στο Περιβάλλον MATLAB και Simulink

Δυναμική Μηχανών I. Αριθμητική Επίλυση Δυναμικών Συστημάτων στο Περιβάλλον MATLAB και Simulink Δυναμική Μηχανών I 5 6 Αριθμητική Επίλυση Δυναμικών Συστημάτων στο Περιβάλλον MATLAB και Simulink 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών... 19 1.1 Σύνολα αριθμών... 19 1.2 Αλγεβρική δομή του R... 20 1.2.1 Ιδιότητες πρόσθεσης...

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Διδακτέα-εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Τι θα μάθουμε σήμερα: -AND, OR, NOT. -Ενσωματωμένες συναρτήσεις. -Μαθηματικοί τελεστές -ΤΕΛΕΣΤΕΣ DIV ΚΑΙ MOD. -Προτεραιότητα πράξεων

Κεφάλαιο 1. Τι θα μάθουμε σήμερα: -AND, OR, NOT. -Ενσωματωμένες συναρτήσεις. -Μαθηματικοί τελεστές -ΤΕΛΕΣΤΕΣ DIV ΚΑΙ MOD. -Προτεραιότητα πράξεων Κεφάλαιο 1 Αρχή ήμισυ παντός. Πλάτων, 427-347 π.χ., Φιλόσοφος Τι θα μάθουμε σήμερα: -AND, OR, NOT -Ενσωματωμένες συναρτήσεις -Μαθηματικοί τελεστές -ΤΕΛΕΣΤΕΣ DIV ΚΑΙ MOD -Προτεραιότητα πράξεων 1 Λογικές

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156

Βιομαθηματικά BIO-156 Βιομαθηματικά BIO-56 Ολοκλήρωση Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 03 lik@biology.uo.gr Ορισμός αντιπαραγώγου ή πρωτεύουσας ή αρχικής συνάρτησης Μια συνάρτηση F ονομάζεται αντιπαράγωγος της σε ένα διάστημα Ι,

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου 2013-14 (Ιούνιος 2014)

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου 2013-14 (Ιούνιος 2014) Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου 201314 (Ιούνιος 2014) ΘΕΜΑ 1 Ο (3,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό λειτουργικό διάγραμμα που περιγράφει ένα αναγνωριστικό αυτοκινούμενο

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER (H ΣΕΙΡΑ FOURIER ΚΑΙ Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ 1 Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα