Μετασχηματισμοί Laplace

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μετασχηματισμοί Laplace"

Transcript

1 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Μετασχηματισμοί Laplace Ο μετασχηματισμός Laplace μας επιτρέπει να μετατρέψουμε γραμμικές διαφορικές με σταθερούς συντελεστές και ολοκληρωτικοδιαφορικές εξισώσεις σε αλγεβρικές εξισώσεις, των οποίων η επίλυση είναι ευκολότερη. Ο μετασχηματισμός Laplace είναι ένας τελεστής, ο οποίος μετασχηματίζει μία συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής, συνήθως ως προς το χρόνο, σε μία συνάρτηση της μιγαδικής μεταβλητής s σύμφωνα με τον ακόλουθο ορισμό: st L{f (t)} = F(s) = e f (t)dt (A.) 0 όπου L συμβολίζει το μετασχηματισμό Laplace και F(s) τη συνάρτηση της μιγαδικής μεταβλητής s = σ + iω, i =. Ο μετασχηματισμός Laplace της f(t) υπάρχει όταν το αόριστο ολοκλήρωμα (A.) συγκλίνει. Το τελευταίο θα ισχύει εάν η συνάρτηση f(t) είναι φραγμένη, δηλαδή για κάποιες πεπερασμένες θετικές τιμές των Μ και σ ικανοποιείται η ακόλουθη ανισότητα: σt f (t) e dt M 0 Επομένως, ο μετασχηματισμός Laplace της t e δεν υπάρχει αφού η συνάρτηση f(t) = δεν ικανοποιεί την παραπάνω ανισότητα. Αντίθετα, η συνάρτηση μετασχηματιστεί κατά Laplace. t e t e μπορεί να Έστω ότι L{f(t)} = F(s). Τότε ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της F(s) είναι επίσης ένας γραμμικός ολοκληρωτικός μετασχηματισμός που ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα των Fourier Mellin ως εξής: 437

2 438 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων L - {F(s)} = c+ iω lim e st F(s)ds πi ω = f(t) (A.) c iω όπου L - συμβολίζει τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace, και c είναι μια πραγματική σταθερά. Α. Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Laplace Στη συνέχεια, παρουσιάζονται οι σημαντικότερες ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace. Γραμμικότητα. Ο μετασχηματισμός Laplace του γραμμικού αθροίσματος δύο συναρτήσεων f (t) και f (t) ισούται με το γραμμικό άθροισμα των μετασχηματισμένων συναρτήσεων F (s) και F (s). Συγκεκριμένα, L{ α f (t) f (t)} { f (t) f (t)}e st + α = α + α dt = αf (s) + αf (s) (A.3) 0 Μετασχηματισμός Laplace πρώτης παραγώγου. Ο μετασχηματισμός Laplace της πρώτης παραγώγου της συνάρτησης f(t) δίνεται από τη σχέση: d(f (t) df L = e st dt dt = sf(s) f (0) (A.4) dt 0 όπου f(0) είναι η αρχική τιμή της συνάρτησης. Απόδειξη: Με τη βοήθεια του τύπου ολοκλήρωσης κατά παράγοντες λαμβάνουμε: b f (x)g (x)dx = f (x)g(x) a f a df (t) df L = = e st dt f (t)e st dt dt 0 b b a (x)g(x)dx f (t) 0 0 d dt ( e st ) dt = f (0) s f (t)e st dt sf(s) f (0) 0 + = Μετασχηματισμός Laplace παραγώγου n-τάξης. Ο μετασχηματισμός Laplace της n- παραγώγου της συνάρτησης f(t) είναι:

3 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 439 d n f (t) = s dt n L n n n () (n ) (n ) F(s) s f (0) s f (0)... sf (0) f (0) (A.5) όπου f (n) (0) είναι η τιμή της n-παραγώγου της συνάρτησης f(t) για t=0. Μετασχηματισμός Laplace του ολοκληρώματος μιας συνάρτησης. Ο μετασχηματισμός t Laplace του ορισμένου ολοκληρώματος f (t )dt δίνεται από τη σχέση: 0 t L f (t )dt = F(s) (A.6) 0 s Απόδειξη: Από τον ορισμό (A.) έχουμε: t t t st d L f (t )dt e f (t )dt dt st ( e = = ) f (t )dt dt = s dt t t st st st d e f (t )dt e f (t )dt dt e f (t)dt F(s) s + = = s dt s s Μετατόπιση στο πεδίο του χρόνου. Έστω οι χρονικές συναρτήσεις f(t) και f(t-τ). Η f(t τ) θα είναι ίση με την προς τα δεξιά χρονικά μετατοπισμένη συνάρτηση f(t), όπου τ είναι η χρονική σταθερά μετατόπισης (βλέπε Εικόνα Α.). Ο μετασχηματισμός Laplace της μετατοπισμένης συνάρτησης f(t-τ) θα δίνεται από την ακόλουθη σχέση: Εικόνα Α.: Μετατόπιση συνάρτησης στο πεδίο του χρόνου.

4 440 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων L{f (t τ)} = e sτ F(s) (A.7) Απόδειξη: Αν θέσουμε t' = t τ, θα έχουμε L { f (t τ )} = f (t τ)e st dt = e sτ f (t')e st ' dt ' 0 Όμως, για t'<0 ισχύει: f(t')=0. Συνεπώς, { } = sτ L f(t τ) e F(s) τ Μετατόπιση στο πεδίο της μιγαδικής μεταβλητής. Αντίστοιχα, για τη μετατόπιση στο μιγαδικό επίπεδο θα ισχύει: L{e at f (t)} = F(s + a) (A.8) Απόδειξη: Από τον ορισμό (A.) έχουμε: L{e at f (t)} = f (t)e at e st dt = f (t)e (s+ a)t dt = F(s + a) 0 0 Αλλαγή χρονικής κλίμακας. Μια άλλη ιδιότητα του μετασχηματισμού Laplace είναι εκείνη που σχετίζεται με την αλλαγή της κλίμακας χρόνου. Η συνάρτηση f(at) διαφέρει από την f(t) στην κλίμακα χρόνου κατά a μονάδες. Για τις δύο αυτές συναρτήσεις ισχύει η σχέση: L{f(at)} = a F s a (A.9) Απόδειξη: Από τον ορισμό (A.) έχουμε: s (at) st L{f(at)} = f(at)e dt= f(at)e a d(at) a 0 0 Αν εφαρμόσουμε το μετασχηματισμό λ = at, θα έχουμε 0 s λ a s L{f (at)} = L{f (λ)} = f (λ)e d(λ) F a = a a

5 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 44 Το θεώρημα της αρχικής τιμής. Το θεώρημα αυτό αναφέρεται στη συμπεριφορά μιας συνάρτησης f(t) καθώς t 0, γι αυτό ονομάζεται θεώρημα της αρχικής τιμής. Με την προϋπόθεση ότι η πρώτη παράγωγος f () (t) μπορεί να μετασχηματισθεί κατά Laplace, το θεώρημα αυτό διατυπώνεται ως εξής: lim f (t) = lim sf(s) (A.0) t 0 s Απόδειξη: Από την εξίσωση (A.4) παρατηρούμε ότι το όριο του ολοκληρώματος df e st dt για t 0 θα είναι ίσο με μηδέν. Αντίστοιχα, το όριο του τρίτου μέρους στην dt 0 εξίσωση (A.4) για s είναι: lim[sf(s) f (0)] = 0 ή s limf(t) = lim sf(s) t 0 s Το θεώρημα της τελικής τιμής. Το θεώρημα αυτό αναφέρεται στη συμπεριφορά της συνάρτησης f(t) καθώς t, γι αυτό και ονομάζεται θεώρημα της τελικής τιμής. Με την προϋπόθεση ότι η f () (t) μπορεί να μετασχηματισθεί κατά Laplace και ο παρονομαστής της ρητής συνάρτησης sf(s) δεν έχει ρίζες στον άξονα των φανταστικών αριθμών ή στο δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο, το θεώρημα αυτό διατυπώνεται ως εξής: lim f (t) = limsf(s) (A.) t s 0 Απόδειξη: Υπολογίζουμε πρώτα το όριο του δεύτερου όρου στην εξίσωση (Α.4) για t και s 0. t () st () () lim f (t)e dt = f (t)dt = lim f (λ)dλ = lim[f(t) f(0)] = limf(t) f(0) s 0 t t t Ακολούθως, υπολογίζουμε το όριο του τρίτου μέρους στην εξίσωση (A.4). lim[sf(s) f (0)] = lim sf(s) f (0) s 0 s 0 Εξισώνοντας τα δύο παραπάνω αποτελέσματα, λαμβάνουμε τη σχέση (A.). Παρατήρηση: Τα θεωρήματα της αρχικής και της τελικής τιμής επιτρέπουν τον προσδιορισμό της αρχικής και τελικής τιμής της συνάρτησης f(t), χωρίς να υπολογίσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της F(s).

6 44 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Πολλαπλασιασμός συνάρτησης επί t. Στην περίπτωση αυτή, ισχύει η σχέση: d L{tf(t)} = F(s) (A.) ds Απόδειξη. Διαφορίζοντας την εξίσωση (A.) ως προς s λαμβάνουμε: d F(s) ds = 0 tf (t)e st dt = = L{tf(t)} που είναι ακριβώς η εξίσωση (A.). Στη γενική περίπτωση, θα ισχύει η σχέση: n L{t n d f(t)} = ( ) n F(s) (A.3) dsn Διαίρεση συνάρτησης δια t. Στην περίπτωση αυτή, ισχύει η σχέση: f(t) L = F(s)ds t (A.4) s Απόδειξη. Αν ολοκληρώσουμε την (A.) από s έως προκύπτει: = = F(s)ds f (t)e σtdt dσ f(t)e σtdσ dt s s 0 0 s f(t) σt f(t) st f(t) de dt e = dt L t = = t t 0 s 0 Α. Μετασχηματισμοί Laplace Βασικών Συναρτήσεων Μοναδιαία βηματική συνάρτηση. Η γραφική παράσταση της μοναδιαίας βηματικής συνάρτησης παρουσιάζεται στην Εικόνα Α.. Η μαθηματική διατύπωση της μοναδιαίας βηματικής συνάρτησης είναι: 0, t < 0 f(t) = H (t) = (A.5), t > 0

7 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 443 Εικόνα Α.: Μοναδιαία βηματική συνάρτηση. Ο μετασχηματισμός Laplace της μοναδιαίας βηματικής συνάρτησης (A.5) εύκολα υπολογίζεται από την εφαρμογή της εξίσωσης (A.): st st st L{H(t)} = e H(t)dt = e dt = e = s s (A.6) Ανάλογα, ο μετασχηματισμός Laplace της μοναδιαίας βηματικής συνάρτησης που εφαρμόζεται την χρονική στιγμή t o >0, είναι: L{H(t st t )} e o 0 = (A.7) s Γενικά, εάν f(t) είναι μια βηματική συνάρτηση μεγέθους a, 0, t < t f(t) = aη(t t o) = a, t > t o o (A.8) τότε, η μετασχηματισμένη κατά Laplace συνάρτηση F(s) θα είναι: a L{f (t)} = e st o (A.9) s Μοναδιαία συνάρτηση πύλης. Η γραφική παράσταση της μοναδιαίας συνάρτησης πύλης παρουσιάζεται στην Εικόνα Α.3. Η αλγεβρική έκφραση της μοναδιαίας συνάρτησης πύλης είναι:

8 444 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Εικόνα Α.3: Μοναδιαία συνάρτηση πύλης. 0, t < 0 f(t) = / b, 0 < t < b = H(t) H(t b) b b 0, t > b (A.0) Συνεπώς, ο μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης (A.0) είναι: 0 sb st sb e L{f(t)} = H(t) H(t b) e dt e b b = = (A.) bs bs b s Συνάρτηση μοναδιαίου στιγμιαίου παλμού. Η συνάρτηση Dirac δέλτα, δ(t), ορίζεται από το όριο της μοναδιαίας συνάρτησης πύλης για b 0. Η γραφική παράσταση της μοναδιαίας παλμικής συνάρτησης δίνεται στην Εικόνα Α.4. Εικόνα Α.4: Μοναδιαία παλμική συνάρτηση.

9 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 445 Η αλγεβρική διατύπωση της μοναδιαίας παλμικής συνάρτησης είναι:, t = 0 δ (t) = (A.) 0, t 0 Το ολοκλήρωμα της δ(t) όταν ο χρόνος μεταβάλλεται από σε +, είναι: + ε δ(t)dt = δ(t)dt = (A.3) ε Ο μετασχηματισμός Laplace της δ(t) εύκολα προκύπτει από την εξίσωση (A.) για b 0. Συνεπώς, υπολογίζοντας το όριο της εξίσωσης (A.) για b 0, λαμβάνουμε: sb sb e d( e )/db se L{ δ (t)} = lim = lim = lim = (A.4) b 0b s b 0 d(sb) db b 0 s Επικλινής συνάρτηση με κλίση a. Η γραφική παράσταση της επικλινούς συνάρτησης δίνεται στην Εικόνα Α.5. Η αλγεβρική έκφραση της επικλινούς συνάρτησης με κλίση a είναι: sb f(t) = ath(t) (A.5) Συνεπώς, ο μετασχηματισμός Laplace της επικλίνους συνάρτησης είναι: st a L {f (t)} = L{atH(t)} = ate dt = 0 s (A.6) Εικόνα Α.5: Επικλινής συνάρτηση.

10 446 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Πολυωνυμική συνάρτηση ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή. Έστω f(t) είναι μια εκθετική συνάρτηση ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή t, της μορφής: f(t) = a t n (A.7) όπου n είναι κάποιος ακέραιος θετικός αριθμός. Ο μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης (A.7) είναι: L{at n an! } = (A.8) sn + Hμιτονοειδής Συνάρτηση. Έστω f(t) είναι μια ημιτονοειδής συνάρτηση με πλάτος a. f(t) = asin(ωt) (A.9) Εύκολα αποδεικνύεται ότι ο μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης (A.9) είναι: L{asin(ωt)} = s aω + ω (A.30) Έστω η συνημιτονοειδής συνάρτηση με πλάτος a. f(t) = acos(ωt) (A.3) Ο αντίστοιχος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης (A.3) θα είναι: L{acos(ωt)} = s as + ω (A.3) Εκθετική συνάρτηση. Έστω η εκθετική συνάρτηση f (t) = e at (A.33) Ο μετασχηματισμός Laplace της εκθετικής συνάρτησης είναι: L{e at } = e at e st dt = e (s+ a)t = (A.34) s + a 0 s + a 0 Στον Πίνακα Α. παρουσιάζονται οι μετασχηματισμοί Laplace, F(s), τυπικών χρονικών συναρτήσεων, f(t).

11 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 447 Πίνακας Α.: Μετασχηματισμοί Laplace διαφορικών και γινομένων f(t) L{f(t)} = F(s) f(t) L{f(t)} = F(s) df dt sf(s) f(0) t df dt df(s) s ds + df(s) ds df dt s F(s) sf(0) f (0) t df dt s df(s) ds sf(s) + f(0) t df dt s df(s) ds F(s) t df dt s df(s) ds F(s) + 4s df(s) ds + Στον Πίνακα Α. παρουσιάζονται οι μετασχηματισμοί Laplace των διαφορικών όρων (df/dt) και (d f/dt ) καθώς και των γινομένων τους με την ανεξάρτητη μεταβλητή t (και t ). Οι μετασχηματισμοί αυτοί μας επιτρέπουν να επιλύσουμε ορισμένες κατηγορίες γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με μη σταθερούς συντελεστές. Πίνακας Α.: Μετασχηματισμοί Laplace τυπικών χρονικών συναρτήσεων, f(t) α/α F(s) f(t). /s Η(t). /s t 3. /s n t n /(n )! 4. (s+ α) αt e 5. e t/τ τs + τ 6. (s + α) 7. n (s + α) (n =,,...) te αt t n e αt (n )! 8. (s + α)(s + b) (e αt e bt ) (b α) 9. s (s + α)(s + b) 0. b s + b (be bt αe αt ) (b α) sin bt

12 448 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Πίνακας Α. (συνέχεια): α/α F(s) f(t). b s b. s s + b 3. s s b 4. b (s + α) + b 5. s + α (s + α) + b sinh bt cos bt cosh bt e αt sin bt e αt cos bt Γ(k) 6. k s (k 0) t k Γ(k) 7. k (s + α) (k 0) t k αt e 8. f(s+α) e t f (t) 9. e bs f (s) f(t-b) και f(t) = 0 για t<b α Παράδειγμα Α.: Εφαρμογή του μετασχηματισμού Laplace στην επίλυση διαφορικών εξισώσεων Άσκηση : Να μετασχηματίσετε κατά Laplace την ακόλουθη ολοκληρωτική-διαφορική εξίσωση: t dy + 3y(t) = a y(t )dt dt 0 Λύση: ; y(0) = yo Από την εφαρμογή των ιδιοτήτων των μετασχηματισμών Laplace (βλέπε εξισώσεις (A.4) και (A.6)) λαμβάνουμε: a sy(s) y(0) + 3Y(s) = Y(s) s

13 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 449 και Y(s) = sy(0) s + 3s a Άσκηση : Να μετασχηματίσετε κατά Laplace την ακόλουθη διαφορική εξίσωση: Λύση: dy 3 dy dy y(t) = 4u(t) ; y(0) = y'(0) = y''(0) = 0 dt dt dt Από την εφαρμογή της εξίσωσης (A.5), λαμβάνουμε: sy(s) 3 s y(0) Y(s) = sy(0) 4U(s) s3+ s + 3s+ y(0) + (s Y(s) s y(0) y(0) ) + 3(sY(s) y(0)) + Y(s) = 4U(s) Παράδειγμα Α.: Εφαρμογή του θεωρήματος της αρχικής τιμής Να υπολογίσετε την αρχική τιμή της συνάρτησης f(t), από τη μετασχηματισμένη συνάρτησή της F(s): (s )(s + ) F(s) = s(s+ 3)(s 4) Λύση: Σύμφωνα με το θεώρημα της αρχικής τιμής, η αρχική τιμή της συνάρτησης f(t=0) υπολογίζεται ως εξής: s(s )(s+ ) s lim f (t) = lim sf(s) = lim = lim = lim s = t 0 s s s(s+ 3)(s 4) s s s s s s Παράδειγμα Α.3: Εφαρμογή του θεωρήματος της τελικής τιμής Θεωρούμε μια διεργασία πρώτης τάξης στην οποία εισάγεται μια βηματική μεταβολή μεγέθους a. Όπως θα δούμε στο Κεφάλαιο 5, η μετασχηματισμένη μεταβλητή εξόδου, Y(s), της διεργασίας θα δίνεται από την ακόλουθη εξίσωση:

14 450 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Kp a Y(s) = τs+ s Να υπολογίσετε την τελική τιμή της y(t) για t. Λύση: Η τελική τιμή της y(t) για τελικής τιμής. t προκύπτει από την εφαρμογή του θεωρήματος της Ka p lim (y(t)) = lim(s Y(s)) = lim = Kpa τs+ t s 0 s 0 Παράδειγμα Α.4: Μετασχηματισμός Laplace περιοδικής συνάρτησης Δίνεται η περιοδική συνάρτηση f(t), η οποία ισούται με το άθροισμα των χρονικά μετατοπισμένων συναρτήσεων f (t), f (t T), κλπ. f(t) = f (t)h(t) + f (t T)H(t T) + f (t T)H(t T) + όπου Τ είναι η περίοδος της συνάρτησης f (t). Να υπολογίσετε το μετασχηματισμό Laplace της f(t). Λύση: Σύμφωνα με την εξίσωση (A.7), ο μετασχηματισμός Laplace της παραπάνω συνάρτησης θα είναι: L{f(t)} = F (s) + F (s)e -st + F (s)e -st + = F (s)( + e -st + e -st F(s) + ) = e st Α.3 Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace μιας συνάρτησης Y(s) δίνεται από τη σχέση (A.). Επειδή όμως ο υπολογισμός του ολοκληρώματος (Α.) είναι συνήθως δύσκολος και χρονοβόρος, ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της Y(s) υπολογίζεται με τη βοήθεια κατάλληλων μεθόδων που θα αναλύσουμε στη συνέχεια. Συγκεκριμένα, στην περίπτωση που η Y(s) είναι μια ρητή συνάρτηση (και αυτή είναι η περίπτωση που θα μας απασχολήσει), τότε η συνάρτηση Y(s) δύναται να αναλυθεί σε άθροισμα μερικών

15 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 45 κλασμάτων. Ακολούθως, ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης Y(s) υπολογίζεται εύκολα με τη βοήθεια των αποτελεσμάτων του Πίνακα Α.. Επομένως, κύριος σκοπός μας είναι η ανάπτυξη μιας ρητής συνάρτησης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων. Για το σκοπό αυτό, θεωρούμε τη ρητή συνάρτηση: b(s) b s + b s b s + b Y(s) = = a(s) a s a s... a s a m m m m o n n n + n o ; όπου n>m (A.35) Έστω z, z,, z m και p, p,, p n είναι οι ρίζες των πολυωνύμων b(s) και a(s), αντίστοιχα. Συνεπώς, η εξίσωση (A.35) γράφεται: Y(s) b(s) b (s z )(s z )...(s z ) m m = = a(s) a n (s p )(s p )...(s p n) (A.36) Εάν οι ρίζες p, p,, p n είναι διακεκριμένες, τότε η εξίσωση (A.36) αναλύεται στους ακόλουθους όρους: b(s) k k kn Y(s) = = a(s) (s p ) (s p ) (s p ) n (A.37) Ακολούθως, υπολογίζουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της εξίσωσης (A.37): k k kn L {Y(s)} L L... L = (s p ) (s p ) (s p ) n (A.38) Τελικά, με τη βοήθεια του Πίνακα Α. λαμβάνουμε: tp tp tp y(t) L {Y(s)} k n e k e... k ne = = (A.39) Α.3. Προσδιορισμός των Συντελεστών k, k,, k n Πραγματικές ρίζες: Στην περίπτωση που οι ρίζες του πολυωνύμου του παρονομαστή, a(s), είναι πραγματικές και διακεκριμένες, τότε οι συντελεστές k i στην εξίσωση (A.37) υπολογίζονται από την ακόλουθη σχέση για i =,,, n. b(s) b(s) k i = (s p i) = a(s) a (s p )(s p ) (s p ) (s p ) s= p i n i n (s p ) i s= p i (A.40)

16 45 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Παράδειγμα Α.5: Υπολογισμός του L - {Y(s)}: Περίπτωση πραγματικών διακεκριμένων ριζών Να υπολογίσετε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της ακόλουθης συνάρτησης: s s 6 s s 6 3 Y(s) = = s s s + (s )(s + )(s ) Λύση: Από την εφαρμογή της σχέσης (A.37) λαμβάνουμε: s s 6 k k k Y(s) = = (s )(s + )(s ) s s + s Ακολούθως, από την εξίσωση (A.40), υπολογίζουμε τους συντελεστές k, k και k 3. k = (s s 6) (s ) (s + )(s ) (s ) s= 6 = = 3 ( ) k (s s 6) = (s ) (s + ) (s ) (s + ) s= + 6 = = ( )( 3) 3 k 3 Συνεπώς, (s s 6) = (s )(s + ) (s ) 4 y(t) = 3e e e 3 3 t t t (s ) s= = = ()(3) 3

17 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 453 Η επαλήθευση του τελευταίου αποτελέσματος μπορεί να γίνει με τη βοήθεια του παραπάνω προγράμματος σε MatLab. Μιγαδικές ρίζες: Εάν το πολυώνυμο του παρονομαστή της Y(s) (βλέπε εξίσωση (A.36)) έχει ένα ζευγάρι συζυγών μιγαδικών ριζών, (π.χ., p και p ), τότε η Y(s) αναλύεται ως εξής: b(s) ks + k k3 kn Y(s) = = a(s) (s p )(s p ) (s p ) (s p ) 3 n (A.4) Ο υπολογισμός των k και k μπορεί να γίνει από την ακόλουθη σχέση: b(s) (s p )(s p ) = (k s + k ) (A.4) = a(s) s p s= p Θεωρούμε τώρα το ζεύγος των συζυγών μιγαδικών ριζών p = α+ βi και p = α βi. Συνεπώς, η συνεισφορά των ριζών p και p στη χρονική απόκριση της y(t) θα είναι : ks+ k ks+ k ks+ k = = (s p )(s p ) [s ( α+ βi)][s ( α βi)] (s + α) + β k(s+ α) k α + k k (s+ α) k k α = = + (s + α) + β (s + α) + β (s + α) + β (A.43) Ακολούθως, με τη βοήθεια του Πίνακα Α., υπολογίζουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace του τελευταίου αθροίσματος. ks + k k αt kα L k αt e cos(βt) e = + sin(βt) (s p )(s p ) β (A.44) Παράδειγμα Α.6: Υπολογισμός του L - {Y(s)}: Περίπτωση συζυγών μιγαδικών ριζών Να υπολογίσετε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της ακόλουθης συνάρτησης: Y(s) = Λύση: s+ + s s 5 Οι ρίζες του πολυωνύμου του παρονομαστή είναι p = + i, p = i. Στην περίπτωση

18 454 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων αυτή, -α = και β = Α. Ακολούθως, από την εφαρμογή της εξίσωσης (A.4), υπολογίζουμε τους συντελεστές k και k Α. s+ (s s + 5) (s p )(s p ) s= p = ks+ k = s p Άρα, k = και k =. Αντικαθιστώντας τις τιμές των k, k, -α και β στην εξίσωση (A.44) λαμβάνουμε: y(t) = et cos(t) + etsin(t) Εναλλακτικά, η μετασχηματισμένη συνάρτηση Y(s) γράφεται: s+ Y(s) = [s ( + i)][s ( i)] και σύμφωνα με την εξίσωση (A.39) λαμβάνουμε: y(t) = k e + k e (+ i)t ( i)t Ακολούθως, από την εφαρμογή της εξίσωσης (A.40) υπολογίζουμε τους συντελεστές k και k Α. k s+ + i (+ i) + i i i i = = = = = = (s ( i)) + i + i 4i i i s=+ i Παρόμοια, υπολογίζεται η τιμή του συντελεστή k, k Συνεπώς, s+ + i = = (s ( + i)) s= i t y(t) i e( + i)t + = + i e ( i)t = e (( i)e it + ( + i)e it ) Σύμφωνα με την ταυτότητα του Euler θα ισχύει: iα e = cosα + isinα Τελικά, η χρονική συνάρτηση y(t) γράφεται:

19 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 455 t t o = + = +, φ = tan ( ) = 45 y(t) e (cost sin t) e sin(t φ) Παρατήρηση: Στην παραπάνω εξίσωση χρησιμοποιήθηκε η τριγωνομετρική ταυτότητα: αcos b + αsin b = αsin(b + φ) ; α = (α + α ) ; φ = tan (α / α ) Η επαλήθευση του αποτελέσματος μπορεί να γίνει με τη βοήθεια του ακόλουθου προγράμματος σε MatLab. Επαναλαμβανόμενες ρίζες: Στην περίπτωση που το πολυώνυμο a(s) έχει μία επαναλαμβανόμενη ρίζα τάξης r, τότε οι συντελεστές k, k, k r υπολογίζονται ως εξής: b(s) k k k k k Y(s) = a(s) = (s p ) + (s p ) + + (s p ) + + (s p ) + (s p ) r r n n r r n n (A.45) b(s) k (s p ) a(s) r r = (A.46) s= p d b(s) k r = (s p ) ds a(s) r s= p (A.47) dr b(s) k r = (s p r ) (r )! ds a(s) s= p (A.48) Από τον Πίνακα Α., εύκολα υπολογίζεται ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace του όρου /(s p ) n,

20 456 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων L n = (s p ) n t e (n )! pt (A.49) Παράδειγμα Α.7: Υπολογισμός του L - {Y(s)}: Επαναλαμβανόμενες ρίζες Να υπολογισθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της Y(s) = s + s+ 3 (s + ) 3 Λύση: Σύμφωνα με τα ανωτέρω, η Υ(s) γράφεται: k 3 k k Y(s) = + + (s + ) 3 (s + ) (s + ) Υπολογισμός των k, k, k 3 : k 3 s + s+ 3 3 = (s + ) = s + s+ 3 = + 3= 3 s= (s + ) s= k = ds (s + ) d (s + s+ 3) 3 (s + ) 3 s= = s + = 0 s= k Άρα, (s ) 3 + = = (3 )! ds (s + ) d (s + s+ 3) = 3 s= y(t) = t L {Y(s)} L L e e (t )e (s + ) s +! = t t t + = + = + 3 Η επαλήθευση του τελευταίου αποτελέσματος μπορεί να γίνει με τη βοήθεια του ακόλουθου προγράμματος σε MatLab.

21 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 457 A.3. Θεώρημα Συνέλιξης Πολλές φορές, μια συνάρτηση F(s) μπορεί να γραφεί ισοδύναμα ως γινόμενο δύο συναρτήσεων, δηλαδή των G(s) και H(s). F(s) = G(s)H(s) (A.50) Εάν οι αντίστροφοι μετασχηματισμοί Laplace των G(s) και Η(s) είναι g(t) και h(t) αντίστοιχα, τότε ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της F(s), δηλαδή η f(t), δύναται να υπολογισθεί με τη βοήθεια του ολοκληρώματος της συνέλιξης: f(t) = L - {F (s)} = L - {G(s)H(s)} = t 0 0 t g(τ)h(t τ)dτ = g(t τ)h(τ)dτ (A.5) Οι δύο παραπάνω ισοδυναμες διατυπώσεις του θεωρήματος υποδηλώνουν ότι το ολοκλήρωμα της συνέλιξης είναι συμμετρικό. Παράδειγμα Α.8: Εφαρμογή του θεωρήματος συνέλιξης Με τη βοήθεια του θεωρήματος συνέλιξης να υπολογίσετε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της F(s): F(s) = Λύση: s (s+ ) Θεωρούμε ότι G(s) = /(s ) και H(s) = /(s+) Α. Σύμφωνα με τον Πίνακα Α., οι αντίστροφοι μετασχηματισμοί Laplace των G(s) και H(s) είναι:

22 458 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων g(t) = L - {/s } = t ; h(t) = L - {/(s+) } = te t Συνεπώς, σύμφωνα με την εξίσωση (A.5) έχουμε: f(t) = t (t τ) τ(t τ)e dτ = te t 0 t t τ t τ τe dτ e τ edτ 0 0 = t τ t t τ t τ t te e (τ ) e τ e e (τ ) t = (t ) + (t + )e Α.4 Θεώρημα Heaviside Θεωρούμε τη ρητή συνάρτηση Laplace, Y(s): b(s) Y(s) = (A.5) a(s) όπου τα b(s) και a(s) είναι πολυώνυμα του s. Η τάξη του πολυωνύμου a(s) είναι μεγαλύτερη εκείνης του πολυωνύμου b(s). Eπιθυμούμε να υπολογίσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της Y(s). Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις: Πραγματικές διακεκριμένες ρίζες: Στην περίπτωση αυτή, η Y(s) γράφεται υπό τη μορφή, b(s) b(s) Y(s) = = a(s) a (s)(s p ) i i (A.53) όπου a(s)είναι i το πηλίκο a(s) / (s-p i ). Η συνεισφορά της ρίζας p i στη συνολική χρονική απόκριση της y(t) θα είναι: b(s) y (t) e pi b(p ) y (t) = e (A.54) pt i i = a(s) ή pt i pi i da(s) / ds s = pi s = pi Επαναλαμβανόμενη ρίζα πολλαπλότητας r: Στην περίπτωση αυτή, η Y(s) γράφεται: b(s) b(s) φ(s) Y(s) = = = a(s) a(s)(s p) (s p) r i i i r (A.55) Η συνεισφορά της ρίζας p i πολλαπλότητας r στη y(t) θα είναι:

23 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 459 d r φ /dsr dr φ /dsr t dφ /ds tr tr y p (t) = φ(p i i ) e (r )! (r )!!! pi pi p (r )! (r )! i = e (A.56) (r j)! (j )! r r j r j (j ) pt d φ /ds t i j = pi Μιγαδικές ρίζες: Για συζυγείς μιγαδικές ρίζες α ± iβ (όπου β είναι ένας θετικός πραγματικός αριθμός), ο τετραγωνικός όρος [(s + α) + β ] εμφανίζεται στον παρονομαστή της Y(s), δηλαδή pt i b(s) b(s) ψ(s) Y(s) = = = a(s) a (s)[(s + α) + β ] (s+ α) + β i (A.57) Η συνεισφορά των μιγαδικών ριζών α± β στη y(t) θα δίνεται από την εξίσωση (A.58): e αt y (t) (ψ cosβt ψ sinβt) β α± iβ = i + r (A.58) όπου ψ r και ψ i είναι το πραγματικό και το μιγαδικό μέρος της ψ(s) για s =-α+iβ. Παράδειγμα Α.9: Εφαρμογή του θεωρήματος Heaviside Άσκηση : Να υπολογισθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης: Y(s) = s+ 5 s + 5s+ 4 Λύση: Όλες οι ρίζες του πολυωνύμου a(s) είναι πραγματικές και διακεκριμένες. s+ 5 k k Y(s) = = + (s + )(s + 4) s + s + 4 Συνεπώς, k s = = = s s= ; k s = = = s s= 4 4 t y(t) = e e 3 3 4t

24 460 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Η επαλήθευση του τελευταίου αποτελέσματος μπορεί να γίνει με τη βοήθεια προγράμματος σε MatLab. Άσκηση : Να υπολογισθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης: Y(s) = s+ + + s (s 4s 5) Λύση: Το πολυώνυμο a(s) έχει μία ρίζα με πολλαπλότητα δύο (p = p = 0) και ένα ζευγάρι συζυγών μιγαδικών ριζών (p 3 = + i, p 4 = i). Συνεπώς, η Y(s) αναλύεται στους ακόλουθους όρους: όπου, s+ k k k k Y(s) = = s (s 4s 5) s s (s p ) (s p ) k = φ(s) = s s= 0 s+ s = = = 0, (s + 4s + 5) s= 0 dφ(s) d s + k = = = 0,04! ds s= 0 ds (s + 4s + 5) s= 0 ψ(s) = s+ + + s (s 4s 5) (s p )(s p ) 3 4 s+ = s και α=, β= Συνεπώς, η συνεισφορά του ζεύγους των μιγαδικών ριζών στη y(t) θα δίνεται από την ακόλουθη σχέση:

25 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 46 t e y a+ ib(t) = (ψicos t + ψrsin t) όπου ψ r και ψ i είναι το πραγματικό και μιγαδικό μέρος της ψ(s). ψ(s) s+ + i+ i (i )(3+ 4i) 7 i = = = = = s 4 4i 3 4i (3 4i)(3+ 4i) 5 + i + i 7 ψr = = 0, 8 ; ψi = = 0, Συνεπώς, με βάση τα παραπάνω αποτελέσματα, η y(t) είναι: y(t) = 0,04 + 0,t 0,04e t t cos t 0,8e Η επαλήθευση του τελευταίου αποτελέσματος μπορεί να γίνει με τη βοήθεια προγράμματος σε MatLab. sin t Άσκηση 3: Να υπολογισθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης: Y(s) = s(s3+ 6s + s + 6) Λύση: Όλες οι ρίζες του πολυωνύμου του παρονομαστή της Y(s) είναι πραγματικές και διακεκριμένες. k k k 3 k4 Y(s) = = s(s + )(s + )(s + 3) s s + s + s + 3

26 46 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Σύμφωνα με την εξίσωση (A.54) υπολογίζουμε τους συντελεστές k, k, k 3 και k 4. k k k k 3 4 Συνεπώς, = = (s + )(s + )(s + 3) 6 s= s= 0 = = = s(s + )(s + 3) ( )()() = = = s(s + )(s + 3) ( )( )() s= = = = s(s + )(s + ) ( 3)( )( ) 6 s= 3 y(t) = e + e e 6 6 t t 3t Η επαλήθευση του τελευταίου αποτελέσματος μπορεί να γίνει με τη βοήθεια του παραπάνω προγράμματος σε MatLab. Άσκηση 4: Να λυθεί η διαφορική εξίσωση: dy 5 4y H(t) dt + =, y(0) = Λύση: Λαμβάνοντας το μετασχηματισμό Laplace της διαφορικής εξίσωσης, προκύπτει:

27 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 463 5sY(s) 5y(0) + 4Y(s) = s 5s + 5s + k k Y(s) = = = + s(5s + 4) 5s(s + 0,8) s s + 0,8 5s + k = = = 0,5 5(s + 0,8) s= 0 5s + ; k = = 0, 5 5s s= 0,8 Συνεπώς, 0,8t y(t) = 0,5( + e ) Η επαλήθευση του τελευταίου αποτελέσματος μπορεί να γίνει με τη βοήθεια του ακόλουθου προγράμματος σε MatLab. Άσκηση 5: Να υπολογισθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης: Y(s) = Λύση: 3 s + 3s+ 6 Το πολυώνυμο του παρονομαστή έχει ένα ζεύγος συζυγών μιγαδικών ριζών,,5± i 5 /. 3 3 ψ(s) Y(s) = = = s + 3s+ 6 (s +,5) + 0,5 5 (s+ α) + β ( ) όπου α =, 5, β = 0,5 5. Επειδή ψ(s) = 3, προκύπτει ότι ψ r = 3 και ψ i = 0. Συνεπώς, σύμφωνα με την εξίσωση (A.58), λαμβάνουμε:

28 464 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων,5t,5t e 6e y(t) = (ψicos(0,5 5t) + ψrsin(0,5 5t)) = sin(0,5 5) 5 5 Η επαλήθευση του τελευταίου αποτελέσματος μπορεί να γίνει με τη βοήθεια του ακόλουθου προγράμματος σε MatLab. Άσκηση 6: Να βρεθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης: 0 Y(s) = (s + 4)(s + ) 3 Λύση: Η a(s) έχει μία ρίζα με πολλαπλότητα ένα και μία ρίζα με πολλαπλότητα τρία. 0 k 3 k k k4 Y(s) = = (s + 4)(s + ) 3 (s + ) 3 (s + ) s + s k3 = φ(s) = 5 s= s+ 4 = s= ; k dφ(s) d 0 5 = = =! ds ds s + 4 s= s= k dφ(s) d 0 5 = = =!! s 4 4 ds ds + s= s= 0 5 = = 4 ; k4 3 (s + ) s= 4

29 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 465 Συνεπώς, σύμφωνα με τις εξισώσεις (A.54) και (A.56) λαμβάνουμε: y(t) = 5 t e 5 te + 5 e 5 e 4 4 t t t 4t Η επαλήθευση του τελευταίου αποτελέσματος μπορεί να γίνει με τη βοήθεια του ακόλουθου προγράμματος σε MatLab. Άσκηση 7: Να υπολογισθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης: Y(s) = + + s 9s 9 s3+ 7s + 4s+ 8 Λύση: Όλες οι ρίζες είναι πραγματικές και διακεκριμένες. Επομένως, Y(s) k k k 3 s + 7s + 4s + 8 (s + )(s + )(s + 4) s + s + s + 4 s + 9s+ 9 s + 9s+ 9 = = = k s + 9s = = = (s + )(s + 4) 3 3 s= k Συνεπώς, s + 9s+ 9 5 = = (s + )(s + 4) s= ; k 3 s + 9s+ 9 = = (s + )(s + ) 6 s= 4 5 y(t) = e e e 3 6 t t 4t

30 466 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Η επαλήθευση του τελευταίου αποτελέσματος μπορεί να γίνει με τη βοήθεια προγράμματος σε MatLab. Άσκηση 8: Να υπολογισθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης: e 0,5s s s 6s+ 3 ss s+ Y(s) = Λύση: Η Υ(s) γράφεται, e 0,5s s Υ(s) = (s 3) + (s ) + Σύμφωνα με τον Πίνακα Α., έχουμε: L = (s 3) + 3t sin(t)e και s L (s ) + t cos(t)e = Από την εφαρμογή του θεωρήματος της χρονικής μετατόπισης συνάρτησης, λαμβάνουμε: L e (s 3) και τελικά, 0,5s + = sin((t 0,5))e 3(t 0,5) H(t 0,5) 3(t 0.5) t y(t) = sin((t 0,5))e H(t 0,5) cos(t)e Η επαλήθευση του τελευταίου αποτελέσματος μπορεί να γίνει με τη βοήθεια προγράμματος σε MatLab.

31 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 467 Άσκηση 9: Να λυθεί η διαφορική εξίσωση: Λύση: d y dy dx y= 3 + x ; y(0)=0, y (0)=0 και x(t)=e 3t dt dt dt Η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης x(t) είναι: dx(t)/ dt = 3e 3t Ακολούθως, προκύπτει: λαμβάνοντας το μετασχηματισμό Laplace της διαφορικής εξίσωσης, 7 s Y(s) + 4sY(s) + 4Y(s) = s+ 3 7 k k k 3 Y(s) = = + + (s + 3)(s + ) (s + ) s + s k = = 7 s+ 3 s = Συνεπώς, ; d 7 k = ds (s 3) = 7 + s = 7 k = = 7 (s ) = ; 3 + s 3 t t 3t y(t) = 7te + 7e 7e Η επαλήθευση του τελευταίου αποτελέσματος μπορεί να γίνει με τη βοήθεια προγράμματος σε MatLab.

32 468 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Άσκηση 0: Να λυθεί η διαφορική εξίσωση: d y dy y = H(t) ; y(0)=0, y (0)=0 dt dt Λύση: Λαμβάνοντας το μετασχηματισμό Laplace της διαφορικής εξίσωσης, προκύπτει: sy(s) + 3sY(s) + Y(s) = s Y(s) k k k 3 s(s + 3s + ) s(s + )(s + ) s s + s + = = = + + k Συνεπώς, = = (s + )(s + ) s= 0 k = = = s(s + ) ( )() ; s= ; k = = s(s + ) s= t y(t) = e + e t Η επαλήθευση του τελευταίου αποτελέσματος μπορεί να γίνει με τη βοήθεια προγράμματος σε MatLab.

33 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 469 Άσκηση : Να λυθεί η διαφορική εξίσωση: 3 dy dy + = 0 ; y(0) = y (0) = 0, y (0) = 3 dt dt Λύση: Λαμβάνοντας το μετασχηματισμό Laplace της διαφορικής εξίσωσης, προκύπτει: s 3Y(s) sy(s) Y(s) + = = s(s + ) Το πολυώνυμο του παρονομαστή έχει μια πραγματική ρίζα στη θέση s = 0 και ένα ζεύγος συζυγών μιγαδικών ριζών, 0 ± i. Άρα, y(t) = y o (t) + y -0±li (t) y 0t o(t) = e = s + s= 0 0t i i r y ± (t) = e [ψ cos t + ψ sin t] όπου ψ(s) = /s και ψ(i) = /i = i ψ r = 0, ψ i = -. Συνεπώς, y(t) = cost Άσκηση : Να υπολογισθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης: Y(s) = (s + )(s + ) s3 s 9s 7

34 470 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Λύση: Διαιρώντας τον αριθμητή με τον παρονομαστή λαμβάνουμε: s+ 3 k k Y(s) = s+ + = s+ + + (s + )(s + ) s + s + όπου (s + 3)(s + ) k = = (s + )(s + ) = s ; (s + 3)(s + ) k = = (s + )(s + ) = Ο μετασχηματισμός Laplace της δ(t) είναι, ενώ της dδ(t)/dt είναι s. Επομένως, ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της Y(s) είναι: d t y(t) = δ(t) + δ(t) + e e dt t s

35 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 47 Τι πρέπει να γνωρίζω Τι είναι μετασχηματισμός Laplace; Ποιες κατηγορίες διαφορικών εξισώσεων επιλύονται με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Laplace; Ποια είναι η ιδιότητα της γραμμικότητας; Ποιος είναι ο μετασχηματισμός Laplace της παραγώγου n-τάξης, d n f/dt n ; Ποιος είναι ο μετασχηματισμός Laplace της χρονικά μετατοπισμένης συνάρτησης f(t T); Ποιο είναι το θεώρημα της αρχικής τιμής; Ποιο είναι το θεώρημα της τελικής τιμής; Ποιος είναι ο μετασχηματισμός Laplace βηματικής συνάρτησης μεγέθους α; Ποιος είναι ο μετασχηματισμός Laplace της μοναδιαίας συνάρτησης πύλης; Ποιος είναι ο μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης Dirac, δ(t); Ποιος είναι ο μετασχηματισμός Laplace της επικλινούς συνάρτησης f(t) = αt; Ποιος είναι ο μετασχηματισμός Laplace της εκθετικής συνάρτησης f(t) = e -αt ; Ποιος είναι ο μετασχηματισμός Laplace της ημιτονοειδούς (αsinωt) και συνημιτονοειδούς συνάρτησης (αcosωt); Πως υπολογίζεται ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της ρητής συνάρτησης Y(s) για τις περιπτώσεις (i) διακεκριμένων πραγματικών ριζών, (ii) επαναλαμβανόμενων ριζών και (iii) συζυγών μιγαδικών ριζών; Διατυπώστε το θεώρημα της συνέλιξης. Διατυπώστε το θεώρημα Heaviside για διακεκριμένες πραγματικές ρίζες, επαναλαμβανόμενες και συζυγείς μιγαδικές.

36 47 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Ασκήσεις Άσκηση A.: Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των παρακάτω περιοδικών συναρτήσεων: Άσκηση Α.: Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης: f(t) e cos0t t 6e = t 4 + (t 0) για t >0 Άσκηση Α.3: Να αποδείξετε ότι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της F(s), F(s) = s(s+ ) είναι: f(t) = t + ( + t)e t με τη βοήθεια του θεωρήματος Heaviside.

37 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 473 Άσκηση Α.4: Να αποδείξετε ότι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της F(s), F(s) = (s + a)(s + b) είναι: f(t) = e at + (b a) e bt (a b) Άσκηση Α.5: Να αποδείξετε ότι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της F(s), s + 3s 4 F(s) = (s )(s + s + ) είναι: f(t) = e t + e t cos(t) + e t sin(t) Άσκηση Α.6: α) Με τη βοήθεια του ολοκληρώματος συνέλιξης να δείξετε ότι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης Y(s) =, δίνεται από το F(s) G(s) ολοκλήρωμα του Volterra, y(t) = f(t) + t y(u)g(t u)du. 0 β) Με βάση την απόδειξη του ερωτήματος (α) να δείξετε ότι η λύση του ολοκληρώματος Volterra y(t) = sin(t) + t 0 sin[(t u)]y(u)du είναι: y(t) = 3sin(t) sin( t) Άσκηση Α.7: Να δείξετε ότι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων: α) 3 s(s + ) s ; β) (s + )(s + 4) είναι: (α) f(t) = e t (t+) t e t και (β) f(t) = [cos(t) cos(t)] 3

38 474 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Άσκηση Α.8: Να υπολογίσετε την αρχική και τελική τιμή της y(t) από την ακόλουθη μετασχηματισμένη συνάρτηση, Y(s): Y(s) = + s3 4s 5 s 3(s + s+ ) Άσκηση Α.9: Να βρεθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων: α) (s + )(s + )(s + 3) ; β) (s + a)(s + b) ; γ) s+ + s(s 4) δ) [(s + a) + b ] ; ε) e s s + ; στ) e s st Άσκηση Α.0: Να βρεθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων: α) Y(s) = 0 (s + 0)(s + s + ) ; β) Y(s) = (s + s ) s(s + 3s + ) γ) Y(s) = s+ 3 s + 3s+ s+ 4 Άσκηση Α.: Να επιλύσετε τις παρακάτω διαφορικές εξισώσεις με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Laplace: α) dy 3 dy dy dt 3 dt dt y= H(t) ; y(0) = y (0) = y (0) = 0 β) dy dy 3 + y= e t ; y (0) dt dt =, y(0) = γ) dy 3 dy dy dx y= x ; y(0) = y (0) = 0, y (0) = όπου x(t) = 5sin t. dt 3 dt dt dt β + β Άσκηση Α.: α) Να αποδείξετε ότι η y(t) AL {( s) s } Kummer: = είναι λύση της εξίσωσης

39 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Μετασχηματισμοί Laplace 475 dy dy t + ( t) + βy= 0 dt dt όπου Α και β είναι κάποιες σταθερές. β) Να δείξετε ότι στην περίπτωση που β = y(t) = A(t ) και για την περίπτωση που β = t y(t) = A t+! Άσκηση Α.3: (Θέμα εξετάσεων Απρίλιος 006) Με τη βοήθεια των μετασχηματισμών Laplace να επιλύσετε τις παρακάτω διαφορικές εξισώσεις: α) β) dy dy y= sint, y(0) = 0 και y(0) = 0 dt dt 3 dy dy dy t y= e, y(0) = 0, y(0) = 0 και y(0) = 0 3 dt dt dt

40 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ Εισαγωγή στο MATLAB Γ. Eισαγωγή Γ.. Τι είναι το Πρόγραμμα MATLAB Το πρόγραμμα MATLAB αποτελεί ένα τεχνικό υπολογιστικό περιβάλλον μέσω του οποίου μπορούν να επιλυθούν υψηλού επιπέδου μαθηματικά προβλήματα αριθμητικής ανάλυσης, υπολογισμού πινάκων, επεξεργασίας σήματος και πλήθος άλλων εφαρμογών παρέχοντας τη δυνατότητα οπτικοποίηση των αποτελεσμάτων. Η ονομασία του προγράμματος MATLAB προέρχεται από τη σύνθεση των λέξεων Matrix Laboratory καθώς το πρόγραμμα αρχικά σχεδιάστηκε ώστε να διευκολύνει τους υπολογισμούς μεταξύ πινάκων, με την ουσιαστική διαφοροποίηση από τις υπόλοιπες γλώσσες προγραμματισμού να μην απαιτεί εκ των προτέρων διαστασιολόγησή τους. Το πρόγραμμα MATLAB είναι ιδιαίτερα διαδεδομένο και βρίσκει εφαρμογή τόσο στα πανεπιστήμια σε προπτυχιακό επίπεδο με καθαρά διδακτικό σκοπό, καθώς και σε μεταπτυχιακό επίπεδο για ερευνητικούς σκοπούς, όσο και στις βιομηχανίες για την επίλυση προβλημάτων μηχανικής. Βασικό πλεονέκτημά του αποτελεί η εύκολη χρήση και η μεγάλη επεκτασιμότητα αφενός από το ίδιο το πρόγραμμα MATLAB που εξελίσσεται διαρκώς παρουσιάζοντας ανανεωμένες εκδόσεις, αφετέρου δε από τους χρήστες του προγράμματος που μπορούν να προσθέσουν εξειδικευμένες ρουτίνες για τα επιμέρους προβλήματα που μελετούν. Μεγάλο ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι επιπρόσθετες συλλογές συναρτήσεων που προσαρτώνται στο κυρίως πρόγραμμα και αφορούν στα εξειδικευμένα πεδία επιστημών, επεκτείνοντας τις δυνατότητες του προγράμματος MATLAB. Οι συλλογές αυτές καλούνται από το πρόγραμμα toolboxes (εργαλειοθήκες) και καλύπτουν πλήθος εφαρμογών. 497

41 498 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Γ.. Ξεκινώντας το Πρόγραμμα MATLAB Αφού ολοκληρωθεί η εγκατάσταση του προγράμματος, το MATLAB ξεκινάει μέσω του αρχείου MATLAB.exe που βρίσκεται στο φάκελο όπου εγκαταστάθηκε το πρόγραμμα MATLAB ή μέσω της συντόμευσης του αρχείου που δημιουργήθηκε στο περιβάλλον εργασίας μετά την εγκατάσταση. Το γραφικό περιβάλλον του προγράμματος MATLAB είναι πλήρως συμβατό με το πρότυπο των Windows-based προγραμμάτων. Το περιβάλλον εργασίας του προγράμματος MATLAB αποτελείται από τρία εσωτερικά παράθυρα εντός της κλασικής δομής των προγραμμάτων Windows με το χαρακτηριστικό Εικόνα Γ.: Το περιβάλλον εργασίας του προγράμματος MATLAB.

42 Εισαγωγή στο MATLAB 499 μενού επιλογών (File, Edit κλπ). Το πλήκτρο Start που διακρίνεται στην κάτω αριστερή γωνία του παραθύρου παρέχει την εύκολη πλοήγηση στα toolboxes και στα αρχεία βοήθειας του προγράμματος MATLAB. Το βασικό παράθυρο εντός του οποίου δίνονται όλες οι εντολές και εμφανίζονται τα αποτελέσματα είναι το Command Window. Το σημείο εισαγωγής των εντολών είναι μετά το σύμβολο >>, το οποίο ονομάζεται prompt. Στο παράθυρο Command History καταγράφεται το σύνολο των στοιχείων που πληκτρολόγησε ο χρήστης στο Command Window με χρονική σειρά. Στο τρίτο παράθυρο περιλαμβάνονται τρεις καρτέλες:. Current Directory Browser που παρέχει την εύκολη πλοήγηση στους φακέλους του υπολογιστή μας. Εναλλακτικά, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη συντόμευση αυτού που βρίσκεται κάτω από το μενού των επιλογών.. Workspace όπου καταγράφονται όλες οι μεταβλητές που δημιουργήθηκαν κατά τη χρήση του προγράμματος και ορίστηκαν στο Command Window. 3. Launch pad που παρέχει την πρόσβαση σε εργαλειοθήκες, demos και συνοδευτικές οδηγίες χρήσης του προγράμματος MATLAB, λειτουργίες που επιτυγχάνονται και μέσω του Start button. Το μενού επιλογών προσφέρει την εύκολη πρόσβαση σε πλήθος εντολών οι οποίες μπορούν επίσης να εκφραστούν μέσα από το Command Window με κατάλληλο ορισμό. Παρακάτω παρατίθεται μία σύντομη αναφορά στις κυριότερες εντολές του μενού επιλογών πέραν αυτών που εύκολα κανείς μπορεί να αναγνωρίσει. Το μενού File περιλαμβάνει εντολές για τη δημιουργία νέων αρχείων, άνοιγμα ήδη υπαρχόντων αρχείων, αποθήκευση και έξοδο από το πρόγραμμα. Η επιλογή New στο συγκεκριμένο μενού εμφανίζει τέσσερις επιπλέον επιλογές:. M-File : Ανοίγει έναν επεξεργαστή κειμένου, Editor, όπου δομείται από το χρήστη ο κώδικας για ένα πρόγραμμα που έπειτα μπορεί να αποθηκευτεί ως anyname.m. Η επέκταση του αρχείου,.m, δηλώνει ότι πρόκειται για αρχείο του προγράμματος MATLAB. Αντί του επεξεργαστή κειμένου που προτείνει το πρόγραμμα MATLAB μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιοσδήποτε άλλος επεξεργαστής κειμένου όπως το Word ή το Wordpad μέσω της εντολής Preferences εντός του M-File.. Figure : Εμφανίζει το παράθυρο όπου παρουσιάζονται οι γραφικές παραστάσεις του προγράμματος MATLAB.

43 500 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων 3. Model : Εμφανίζει το παράθυρο δημιουργίας νέων μοντέλων στο πακέτο Simulink toolbox. 4. GUI Graphic User Interface : Εμφανίζει τον οδηγό δημιουργίας νέου γραφικού περιβάλλοντος για την παρουσίαση μιας εργασίας. Γ..3 Επιτρεπτοί Χαρακτήρες κατά τον Προγραμματισμό σε MATLAB Η γλώσσα που χρησιμοποιεί το πρόγραμμα MATLAB, (κώδικας), γράφεται μόνο με χαρακτήρες τους οποίους αναγνωρίζει το πρόγραμμα. Οι επιτρεπτοί χαρακτήρες για τη σύνταξη όλων των εντολών είναι οι: α) λατινικοί χαρακτήρες, β) αριθμητικοί χαρακτήρες και γ) αριθμητικοί τελεστές και παραθέτονται στους Πίνακες Γ., Γ., Γ.3 και Γ.4. Πίνακας Γ.: Λογικοί τελεστές Τελεστής & & Λειτουργία Λογικό και Λογικό ή & Λογικό και για πίνακες γραμμή Λογικό ή για πίνακες γραμμή ~ Λογικό όχι Πίνακας Γ.: Τελεστές σύγκρισης Τελεστής Λειτουργία > Μεγαλύτερο από > = Μεγαλύτερο ή ίσο από < Μικρότερο από < = Μικρότερο ή ίσο από = = Ίσο με ~ = Όχι ίσο με

44 Εισαγωγή στο MATLAB 50 Πίνακας Γ.3: Ειδικοί χαρακτήρες Χαρακτήρας Λειτουργία [ ] Δηλώνουν την αρχή και το τέλος ενός πίνακα. ( ) Γενικά, δηλώνουν προτεραιότητα στις πράξεις. Επιπλέον, χρησιμοποιούνται για να περιλάβουν ορίσματα συναρτήσεων καθώς και για να δηλώσουν συγκεκριμένο στοιχείο πίνακα (για παράδειγμα το στοιχείο Α(o,p) αποτελεί το στοιχείο της o σειράς και p στήλης ενός πίνακα A (mxn) με (m>o, n>p). { } Χρησιμοποιούνται όπως και οι αγκύλες [ ], αλλά για τη δημιουργία υποπινάκων που αναγνωρίζονται από το πρόγραμμα ως αυτόνομα στοιχεία άλλου πίνακα. Αντίστροφα, χρησιμοποιούνται όπως οι παρενθέσεις για τη δήλωση του στοιχείου υποπίνακα και την εμφάνισή του. = Εντολή αντικατάστασης. Η παράσταση Α=Β δεν παρουσιάζει μία ισότητα αλλά μία αντικατάσταση όπου η μεταβλητή Α λαμβάνει την τιμή της μεταβλητής Β (μπορεί να είναι αριθμητική έκφραση ή μεταβλητή ή και αλφαριθμητικοί χαρακτήρες εντός εισαγωγικών). : Γενικά αποτελεί την εντολή από/έως. Για παράδειγμα Α:Β σημαίνει τη σειρά με στοιχεία : Α, Α+, Α+,,B.. Δηλώνει την υποδιαστολή στους δεκαδικούς αριθμούς., ; % Ορίζει την συνέχεια της γραμμής στην επόμενη. Το πρόγραμμα διαβάζει τις δύο εγγραφές σαν να βρίσκονταν στην ίδια σειρά. Διαχωρίζει τα στοιχεία της ίδιας γραμμής ενός πίνακα και τα ορίσματα των συναρτήσεων. Όταν γράφεται μεταξύ δύο εντολών στην ίδια γραμμή έχει την ίδια ιδιότητα να εκτελείται και η δεύτερη εντολή σαν να βρίσκεται σε ξεχωριστή γραμμή. Δηλώνει την επόμενη γραμμή σε πίνακα. Όταν γράφεται μετά το τέλος κάποιας εντολής αποτρέπει την εμφάνιση αποτελέσματος στο command window. Δηλώνει την έναρξη σχολίου. Οτιδήποτε γράφεται μετά από % δεν λαμβάνεται υπ όψιν από το πρόγραμμα.! Οτιδήποτε γράφεται μετά από θαυμαστικό αναγνωρίζεται ως εντολή προς το λειτουργικό σύστημα.

45 50 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Πίνακας Γ.4: Αριθμητικοί τελεστές Τελεστής Λειτουργία Παράδειγμα + Πρόσθεση: Οι προσθετέοι πρέπει να έχουν τις ίδιες διαστάσεις, αν πρόκειται για πίνακες, με εξαίρεση την πρόσθεση πίνακα (x) με πίνακα (mxn), οπότε το στοιχείο του πρώτου πίνακα προστίθεται σε όλα τα στοιχεία του δευτέρου. >> Α+Β Αφαίρεση >> Α Β * Πολλαπλασιασμός: Στους πίνακες αφορά το εσωτερικό γινόμενο και ο αριθμός των στηλών του πρώτου όρου του γινομένου πρέπει να είναι ίδιος με τον αριθμό των στηλών του δευτέρου με εξαίρεση τους πίνακες (x) που πολλαπλασιάζονται με οποιονδήποτε πίνακα. >> Α*Β \ Αριστερή διαίρεση >> Α\Β.\ Αριστερή διαίρεση στοιχείο προς στοιχείο: Οι πίνακες πρέπει να έχουν ίδιες διαστάσεις με εξαίρεση τον πίνακα στοιχείο (x). >> Α./Β / Δεξιά διαίρεση >> Α/Β./ Δεξιά διαίρεση στοιχείο προς στοιχείο >> Α./Β ^ Δύναμη >> Α^Β.^ Δύναμη στοιχείο προς στοιχείο >> Α.^Β Ανάστροφος πίνακας: Αν υπάρχουν μιγαδικοί αριθμοί ως στοιχεία του πίνακα μετατρέπονται στους συζυγείς τους.. Ανάστροφος πίνακας: Οι μιγαδικοί αριθμοί παραμένουν ως έχουν. Α Α. Γ..4 Ορισμός Μαθηματικών Συναρτήσεων Το πρόγραμμα MATLAB περιέχει μία βιβλιοθήκη με τις συναρτήσεις που χρησιμοποιούνται συχνότερα. Οι συναρτήσεις αυτές δεν είναι τίποτε άλλο από έτοιμα υποπρογράμματα, (ρουτίνες), οι οποίες απαιτούν κάποια ορίσματα για να υπολογίσουν το αποτελέσμα. Όμοια υποπρογράμματα μπορεί να εισάγει και ο χρήστης στη βιβλιοθήκη

46 Εισαγωγή στο MATLAB 503 του προγράμματος MATLAB μέσω των m-files, (βλέπε Κεφάλαιο Γ.5). Ο ορισμός των κυριότερων μαθηματικών συναρτήσεων του προγράμματος MATLAB φαίνεται στον ακόλουθο Πίνακα Γ.5. Πίνακας Γ.5: Μαθηματικές συναρτήσεις Εντολή sin(a) cos(a) tan(a) asin(a) acos(a) atan(a) sinh(a) cosh(a) tanh(a) asinh(a) acosh(a) atanh(a) exp(a) log(a) log0(a) abs(a) sqrt(a) gcd(a,b) lcm(a,b) erf(a) Λειτουργία Ημίτονο. Το A εκφράζεται σε rad. Συνημίτονο Εφαπτομένη Τόξο ημιτόνου Τόξο συνημιτόνου Τόξο εφαπτομένης Υπερβολικό ημίτονο Υπερβολικό συνημίτονο Υπερβολική εφαπτομένη Υπερβολικό τόξο ημιτόνου Υπερβολικό τόξο συνημιτόνου Υπερβολικό τόξο εφαπτομένης Δύναμη με βάση το e Νεπέριος λογάριθμος Δεκαδικός λογάριθμος Απόλυτη τιμή Τετραγωνική ρίζα Μέγιστος κοινός διαιρέτης Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο Συνάρτηση λάθους rand Εμφανίζει τυχαίο αριθμό στο διάστημα (0,)

47 504 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Γ..5 Χρήσιμες Πληροφορίες κατά την Εφαρμογή του Προγράμματος MATLAB Στο πρόγραμμα MATLAB τα κεφαλαία και τα μικρά γράμματα αναγνωρίζονται ως διαφορετικοί χαρακτήρες (case sensitive), είτε πρόκειται για ονόματα μεταβλητών, είτε για αναγραφή εντολών. Έτσι, η μεταβλητή A είναι διαφορετική από τη μεταβλητή a και η εντολή format εκτελείται, σε αντίθεση με την εντολή Format η οποία δεν αναγνωρίζεται και το πρόγραμμα εμφανίζει μήνυμα σφάλματος. Οι ελληνικοί χαρακτήρες δεν είναι αποδεκτοί από το πρόγραμμα για το χαρακτηρισμό μεταβλητών ή την αναγραφή εντολών. Γενικά, οτιδήποτε αφορά στο πρόγραμμα πρέπει να είναι γραμμένο με λατινικούς χαρακτήρες. Εξαίρεση αποτελεί ό,τι βρίσκεται μεταξύ εισαγωγικών:... ή μετά από το σύμβολο: %. Στην περίπτωση αυτή το πρόγραμμα αναγνωρίζει κείμενο ή σχόλιο, αντίστοιχα, και όχι κάποια εκτελέσιμη εντολή. Ο αριθμός των κενών διαστημάτων δεν επηρεάζει καθόλου το πρόγραμμα, το οποίο αναγνωρίζει κάθε συστοιχία κενών διαστημάτων ως ένα και μόνο κενό διάστημα. Οι μεταβλητές μπορούν να ονομαστούν με τη σύνθεση οποιονδήποτε γραμμάτων και αριθμών προς σχηματισμό μιας λέξης, χωρίς τη χρήση κενού διαστήματος. Ονόματα μεταβλητών που αποτελούνται μόνο από αριθμούς δεν θεωρούνται μεταβλητές από το πρόγραμμα, το οποίο στην περίπτωση αυτή εμφανίζει μήνυμα σφάλματος. Όταν εισάγουμε μια αριθμητική παράσταση στο Command Window χωρίς να τη δηλώσουμε σαν μεταβλητή, τότε το πρόγραμμα αυτόματα ονομάζει τη μεταβλητή αυτή ans : Η μεταβλητή ans πρόκειται να αλλάξει τιμή και να χαθεί η υπάρχουσα πληροφορία σε περίπτωση εισαγωγής νέας αριθμητικής παράστασης, δηλαδή,

48 Εισαγωγή στο MATLAB 505 Τόσο στο Command Window, όσο και στα M-files οι εντολές διαβάζονται και εκτελούνται από το πρόγραμμα γραμμικά. Συνεπώς, αν σε κάποιο σημείο του κώδικα εμφανίζεται μια εντολή που περιέχει τη μεταβλητή Α χωρίς όμως η μεταβλητή αυτή να έχει λάβει κάποια τιμή μέχρι το συγκεκριμένο σημείο του κώδικα, τότε το πρόγραμμα θα εμφανίσει μήνυμα σφάλματος, ακόμη και στην περίπτωση που ορίζουμε την τιμή της μεταβλητής Α σε μετέπειτα σημείο. Το MATLAB παρέχει ένα πλήρες αρχείο βοήθειας στο οποίο ο χρήστης μπορεί να ανατρέξει και να βρει πληροφορίες για τη σύνταξη των διαφόρων εντολών και βοηθητικά παραδείγματα για την κατανόησή τους. Οι σημειώσεις αυτές αποτελούν ένα έναυσμα για τη χρήση του MATLAB και σε καμία περίπτωση δεν αποτελούν έναν πλήρη οδηγό του προγράμματος. Γ. Πίνακες Γ.. Εισαγωγή στους Πίνακες Ο κάθε ορισμός στο πρόγραμμα MATLAB εκφράζεται ως πίνακας. Δηλαδή, ακόμα και οι πραγματικοί αριθμοί αναγνωρίζονται από το πρόγραμμα ως πίνακες (x). Η ουσιαστική διαφορά του προγράμματος MATLAB από τις υπόλοιπες γλώσσες προγραμματισμού είναι το γεγονός ότι δεν προαπαιτείται δήλωση των διαστάσεων του πίνακα, τις οποίες υπολογίζει το πρόγραμμα αυτόματα. Η εισαγωγή ενός πίνακα στο πρόγραμμα MATLAB γίνεται με τη βοήθεια του συμβόλου: [ ] όπου το πρόγραμμα αναγνωρίζει ως πίνακα

49 506 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων ο,τιδήποτε περιέχεται μεταξ τ των αγκυλών. Τα στοιχεία μιας γραμμής του πίνακα διαχωρίζονται μεταξύ τους με κενά (δεν έχει σημασία ο αριθμός των κενών) ή με κόμμα (,). Τα στοιχεία της επόμενης γραμμής του πίνακα εισάγονται είτε μετά από το ελληνικό ερωτηματικό (;), είτε στην επόμενη γραμμή πατώντας το πλήκτρο enter. Άλλωστε, έως να κλείσουν οι αγκύλες για το πρόγραμμα εκκρεμεί η εισαγωγή του πίνακα. Τα στοιχεία του πίνακα μπορεί να είναι αριθμοί, μεταβλητές (που ήδη έχουν λάβει κάποια τιμή), μαθηματικές εκφράσεις ή αλφαριθμητικές σταθερές (γράμματα, αριθμοί ή σύμβολα) που περιέχονται μεταξύ εισαγωγικών ( ). Για παράδειγμα, ο πίνακας 3 A= εισάγεται στο MATLAB ως εξής: ή

50 Εισαγωγή στο MATLAB 507 Όπως παρατηρούμε και στις δύο περιπτώσεις μετά το κλείσιμο της αγκύλης και το πάτημα του πλήκτρου enter το πρόγραμμα απαντά με το ίδιο αποτέλεσμα, επιβεβαιώνοντας ότι η μεταβλητή Α έχει αποθηκευτεί στη βάση δεδομένων του. Για να αναζητήσουμε το στοιχείο του πίνακα Α που βρίσκεται στη γραμμή o και στήλη p πληκτολογούμε: Α(o,p). Για παράδειγμα, Επίσης, μπορούμε να αντικαταστήσουμε ένα ή περισσότερα στοιχεία του πίνακα πληκτρολογώντας το στοιχείο που θέλουμε να αντικαταστήσουμε και τη νέα τιμή που θέλουμε να λάβει. Στο παράδειγμα που φαίνεται στη συνέχεια αντικαθηστούμε το στοιχείο Α(,3) του πίνακα το οποίο έχει την τιμή 3, με την τιμή 9. Όπως μπορούμε να παρατηρήσουμε τα υπόλοιπα στοιχεία του πίνακα Α παραμένουν ως είχαν.

51 508 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Πίνακας Γ.6: Χρήσιμες εντολές για υπολογισμούς μεταξύ πινάκων Τελεστής inv(a) Λειτουργία Υπολογίζεται ο αντίστροφος πίνακας του Α, εφόσον αυτός είναι τετραγωνικός,. Εναλλακτικά, ο πίνακας υψωμένος στον εκθέτη (-) δίνει επίσης τον αντίστροφο πίνακα. Παράδειγμα: eig(a) Υπολογίζονται οι ιδιοτιμές του πίνακα Α. Παράδειγμα: det(a) Υπολογίζεται η ορίζουσα του τετραγωνικού πίνακα Α. Παράδειγμα:

52 Εισαγωγή στο MATLAB 509 Πίνακας Γ.6 (συνέχεια): Τελεστής Λειτουργία length(a) Το πρόγραμμα δίνει το μέγιστο αριθμό γραμμών ή στηλών του πίνακα Α. Παράδειγμα: size(a) Δίνονται οι διαστάσεις του πίνακα Α. Παράδειγμα: trace(a) Υπολογίζεται το ίχνος του πίνακα, δηλαδή το άθροισμα των στοιχείων της κύριας διαγωνίου του. Ουσιαστικά, η εντολή αποτελεί συνδυασμό των εντολών sum(a) και diag(a) ως: trace(a)=sum(diag(a)). Παράδειγμα:

53 50 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Πίνακας Γ.6 (συνέχεια): Τελεστής eye(m,n) Λειτουργία Παράγει τον ταυτοτικό πίνακα (mxn). Παράδειγμα: ones(m,n) Παράγεται πίνακας (mxn) του οποίου όλα τα στοιχεία είναι ίσα με τη μονάδα. Παράδειγμα: zeros(m,n) Παράγεται πίνακας mxn του οποίου όλα τα στοιχεία είναι μηδενικά. Παράδειγμα: clear A Διαγράφει τον πίνακα Α από το Workspace. Γ... Πίνακες και Μιγαδικοί Αριθμοί Όπως ήδη έχει αναφερθεί στο Κεφάλαιο Γ., οι μιγαδικοί αριθμοί αναγνωρίζονται από το πρόγραμμα MATLAB ως εξής:

54 Εισαγωγή στο MATLAB 5 ή Στον Πίνακα Γ.7 δίνονται συγκεντρωτικά οι εντολές που αφορούν στη διαχείριση μιγαδικών αριθμών. Πίνακας Γ.7: Χρήσιμες εντολές για μιγαδικούς αριθμούς Εντολή Λειτουργία conj(a) Υπολογίζεται ο συζυγής μιγαδικός του Α. real(a) Υπολογίζεται το πραγματικό μέρος του Α. imag(a) Υπολογίζεται το φανταστικό μέρος του Α. abs(a) Υπολογίζει το μέτρο του μιγαδικού αριθμού Α. angle(a) Υπολογίζει το όρισμα του μιγαδικού Α. Γ.3 Πολυωνυμικές Παραστάσεις Γ.3. Ορισμός Πολυωνύμου Ένας πίνακας γραμμή n_στοιχείων (διάνυσμα), όπως ακριβώς ορίστηκε στην προηγούμενη ενότητα εκφράζει επίσης μία πολυωνυμική παράσταση της μορφής: A X + A X A X + A X + A. Πιο συγκεκριμένα, ένας πίνακας γραμμή n n n n o (xn) αναπαριστά μία πολυωνυμική παράσταση όπου τα στοιχεία του πίνακα αποτελούν τις σταθερές ενός πολυωνύμου βαθμού (n-) κατά φθίνουσα σειρά. Για παράδειγμα, η 4 3 πολυωνυμική παράσταση, P = X + X + 3X + 4X + 5, δηλώνεται στο πρόγρραμμα MATLAB ως εξής:

55 5 Δυναμική Ανάλυση των Συστημάτων Ενώ η πολυωνυμική παράσταση, 4 P = 3X + X +, ορίζεται ως εξής: Γ.3. Ρίζες του Πολυωνύμου Οι ρίζες των πολυωνύμων υπολογίζονται με τη βοήθεια του προγράμματος MATLAB με την εντολή roots. Οι ρίζες του πολυωνύμου P, για παράδειγμα, υπολογίζονται ως εξής: Εναλλακτικά, η εντολή θα μπορούσε να οριστεί και ως εξής:

56 Εισαγωγή στο MATLAB 53 Γ.3.3 Ανάκτηση Πολυωνύμου από τις Ρίζες του Για την περίπτωση που γνωρίζουμε όλες τις n_ρίζες ενός πολυωνύμου n_βαθμού, το πρόγραμμα MATLAB παρέχει τη δυνατότητα αυτόματου υπολογισμού των συντελεστών του πολυωνύμου μέσω της εντολής poly. Οι εντολές roots και poly αποτελούν ένα ζεύγος εντολών με ακριβώς αντίστροφη λειτουργία. Για παράδειγμα, Επίσης, με βάση την εντολή poly μπορούμε να υπολογίσουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ενός πίνακα, για παράδειγμα: Γ.3.4 Πολλαπλασιασμός Πολυωνύμων Ο πολλαπλασιασμός δύο πολυωνυμικών παραστάσεων γίνεται με την εντολή conv. Για παράδειγμα, το γινόμενο των πολυωνύμων, υπολογίζεται ως εξής: P = X + X + 3 και P = 4X + 5X + 6,

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 7 Ο Μετασχηματισμός Z Βασικές Ιδιότητες Καθηγητής Χριστόδουλος Χαμζάς Ο Μετασχηματισμός Ζ Γιατί χρειαζόμαστε τον Μετασχηματισμό Ζ; Ανάγει την επίλυση των αναδρομικών

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Μετασχηµατισµός Laplace ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 4 Μαρτίου 29 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας του µετασχηµατισµού Laplace

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η σύνταξη μιας συνάρτησης σ ένα κελί έχει την γενική μορφή: =όνομα_συνάρτησης(όρισμα1; όρισμα2;.)

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η σύνταξη μιας συνάρτησης σ ένα κελί έχει την γενική μορφή: =όνομα_συνάρτησης(όρισμα1; όρισμα2;.) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση είναι ένας έτοιμος τύπος ο οποίος δέχεται σαν είσοδο τιμές ή συνθήκες και επιστρέφει ένα αποτέλεσμα, το οποίο μπορεί να είναι μια τιμή αριθμητική, αλφαριθμητική, λογική, ημερομηνίας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝ 1.1 Προτεραιότητα Πράξεων Η προτεραιότητα των πράξεων είναι: (Από τις πράξεις που πρέπει να γίνονται πρώτες,

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών. Τμήμα Αυτοματισμού. Σημειώσεις Εργαστηρίου Ψηφιακού Ελέγχου. Σχεδίαση Συστημάτων Ελέγχου με χρήση MATLAB

Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών. Τμήμα Αυτοματισμού. Σημειώσεις Εργαστηρίου Ψηφιακού Ελέγχου. Σχεδίαση Συστημάτων Ελέγχου με χρήση MATLAB Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Αυτοματισμού Σημειώσεις Εργαστηρίου Ψηφιακού Ελέγχου Σχεδίαση Συστημάτων Ελέγχου με χρήση MATLAB Επιμέλεια: Ξανθή Παπαγεωργίου E-mail: xanthi.papageorgiou@gmail.com Τμήματα:

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων:. c d c c. d c. d c. d c. e d e c 6. d c 7. d c 8. d ln c 9. d c. d c,. Β. Οι παρακάτω τύποι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18) Άσκηση 1. Α) Στο κύκλωμα του παρακάτω σχήματος την χρονική στιγμή t=0 sec ο διακόπτης κλείνει. Βρείτε τα v c και i c. Οι πυκνωτές είναι αρχικά αφόρτιστοι. Β)

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Καθ. Εφαρμογών: Σ. Βασιλειάδου Εργαστήριο Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου για Ηλεκτρολόγους Μηχανικούς Εργαστηριακές Ασκήσεις Χειμερινό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας με τη διάταξη της αεροτροχιάς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μελέτη της ευθύγραμμης

Διαβάστε περισσότερα

Ο κώδικας Nemeth για τα Μαθηματικά Λυκείου (σύμβολα και σύνταξη)

Ο κώδικας Nemeth για τα Μαθηματικά Λυκείου (σύμβολα και σύνταξη) Ο κώδικας Nemeth για τα Μαθηματικά Λυκείου (σύμβολα και σύνταξη) Δείτε αυτό http://access.uoa.gr/nemeth/nemethlyceummath.htm και αυτό http://www.gh-mathspeak.com/examples/nemethbook/ Βασικοί χαρακτήρες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομη Αναφορά σε Βασικές Έννοιες Ψηφιακής Επεξεργασίας Σημάτων

Σύντομη Αναφορά σε Βασικές Έννοιες Ψηφιακής Επεξεργασίας Σημάτων Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών: «Τεχνολογίες και Συστήματα Ευρυζωνικών Εφαρμογών και Υπηρεσιών» Μάθημα: «Επεξεργασία Ψηφιακού Σήματος και Σχεδιασμός Υλικού» Σύντομη Αναφορά σε Βασικές Έννοιες Ψηφιακής

Διαβάστε περισσότερα

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ξ εκινώντας τη προσπάθεια μου να γράψω αυτό το βιβλίο αναρωτιόμουν πως

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATHLAB Α ΜΕΡΟΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATHLAB Α ΜΕΡΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATHLAB Α ΜΕΡΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΤΟ MATHLAB Αν θέλουμε να εισάγουμε έναν πίνακα στο mathlab και να προβληθεί στην οθόνη βάζουμε τις τιμές του σε άγκιστρα χωρίζοντάς τις με κόμματα ή κενό

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform) Μετασχηµατισµός Ζ (-traform) Εργαλείο ανάλυσης σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου ιεργασία ανάλογη του Μετ/σµού Laplace Απόκριση συχνότητας Εφαρµογές επίλυση γραµµικών εξισώσεων διαφορών µε σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Φυσικής Εργαστήριο Ηλεκτρονικής ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Κ. Ψυχαλίνος Πάτρα 005 . METAΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE. Ορισμοί Μετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο συχνότητας.

Διαβάστε περισσότερα

TI - 40 Collège II. Επιστημονική αριθμομηχανή. Γενικές πληροφορίες 40CII/OM/1L2/A. 1999-2002 Texas Instruments Incorporated

TI - 40 Collège II. Επιστημονική αριθμομηχανή. Γενικές πληροφορίες 40CII/OM/1L2/A. 1999-2002 Texas Instruments Incorporated 40CII/OM/1L2/A TI - 40 Collège II Επιστημονική αριθμομηχανή 1999-2002 Texas Instruments Incorporated Γενικές πληροφορίες Παραδείγματα: Τα παραδείγματα πληκτρολόγησης τα οποία αφορούν τις πολλαπλές λειτουργίες

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client

Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client ΕΣΔ 516 Τεχνολογίες Διαδικτύου Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client Περιεχόμενα Περιεχόμενα Javascript και HTML Βασική σύνταξη Μεταβλητές Τελεστές Συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

SMART Notebook 11.1 Math Tools

SMART Notebook 11.1 Math Tools SMART Ntebk 11.1 Math Tls Λειτουργικά συστήματα Windws Οδηγός χρήστη Δήλωση προϊόντος Αν δηλώσετε το προϊόν SMART, θα σας ειδοποιήσουμε για νέα χαρακτηριστικά και αναβαθμίσεις λογισμικού. Κάντε τη δήλωση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: . Σχολικό βιβλίο σελ.9. Σχολικό βιβλίο σελ.88 3. Σχολικό βιβλίο σελ.5. α) Λ Β. β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5/5/5 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: Έστω z=+yi. Κάνοντας πράξεις στη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ»

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο «ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» ΜΠΙΘΗΜΗΤΡΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΣΤΕΛΛΑ Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές

Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές Το πακέτο ΕXCEL: Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές Eπιμέλεια των σημειώσεων και διδασκαλία: Ευαγγελία Χαλιώτη* Θέματα ανάλυσης: - Συναρτήσεις / Γραφικές απεικονίσεις - Πράξεις πινάκων - Συστήματα εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Αριθμητικά συστήματα Υπάρχουν 10 τύποι ανθρώπων: Αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 1 2 3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 31 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω δύο σύνολα Α και Β ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ του συνόλου Α στο Β είναι η διμελής σχέση f A B για την οποία A αντιστοιχεί ένα και μόνο ένα y B δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 4: Υπολογιστικά Φύλλα και Επεξεργασία Δεδομένων. Ομάδα Β: Επεξεργασία πειραματικών δεδομένων

Εργασία 4: Υπολογιστικά Φύλλα και Επεξεργασία Δεδομένων. Ομάδα Β: Επεξεργασία πειραματικών δεδομένων Εργασία 4: Υπολογιστικά Φύλλα και Επεξεργασία Δεδομένων Ομάδα Β: Επεξεργασία πειραματικών δεδομένων Τι είναι τα υπολογιστικά φύλλα Λογιστικό φύλλο (spreadsheet): ο λογιστικός πίνακας, (παλαιότερα «λογιστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων

Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Ιωάννης Λιακόπουλος 1, Χαράλαμπος Λυπηρίδης 2 1 Μαθητής B Λυκείου, Εκπαιδευτήρια «Ο Απόστολος Παύλος» liakopoulosjohn0@gmail.com, 2 Μαθητής

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 Συνεχή Κλάσματα Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 5 Νοεμβρίου 204 Ορισμός και ιδιότητες: Ορισμός: Έστω a 0, a, a 2,...a n ανεξάρτητες μεταβλητές, n N σχηματίζουν την ακολουθία {[a 0, a,..., a n ] : n N} όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 12 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20

ΕΝΟΤΗΤΑ 12 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ 1.6 Συνθέτουν και αναλύουν αριθμούς μέχρι το 100 με βάση την αξία θέσης ψηφίου, χρησιμοποιώντας αντικείμενα, εικόνες, και σύμβολα. Αρ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Κεφάλαιο 2 ο Αν χ και y μεταβλητές με τιμές 5 και 10 αντίστοιχα να εξηγηθούν οι ακόλουθες εντολές εξόδου.

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Κεφάλαιο 2 ο Αν χ και y μεταβλητές με τιμές 5 και 10 αντίστοιχα να εξηγηθούν οι ακόλουθες εντολές εξόδου. 2.1 Αν χ και y μεταβλητές με τιμές 5 και 10 αντίστοιχα να εξηγηθούν οι ακόλουθες εντολές εξόδου. 1) Η τιμή του χ είναι,χ Ητιμή του χ είναι 5 Ηεντολή εμφανίζει ότι υπάρχει στα διπλά εισαγωγικά ως έχει.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

To Microsoft Excel XP

To Microsoft Excel XP To Microsoft Excel XP ΚΑΡΤΕΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1 Το Microsoft Excel XP είναι ένα πρόγραμμα που μπορεί να σε βοηθήσει να φτιάξεις μεγάλους πίνακες, να κάνεις μαθηματικές πράξεις με αριθμούς, ακόμα και να φτιάξεις

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση

KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση ΦΥΣ 131 - Διαλ.34 1 KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση q Παλµός πάνω σε χορδή: Ένα άκρο της σταθερό (δεµένο) Προσπίπτων Ο παλµός ασκεί µια δύναµη προς τα πάνω στον τοίχο ο οποίος ασκεί µια δύναµη προς τα κάτω

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 4 η. «Ηλεκτροτεχνία Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης

Ενότητα 4 η. «Ηλεκτροτεχνία Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης - - Ενότητα 4 η (Συστηματική μελέτη και ανάλυση κυκλωμάτων με τις μεθόδους των βρόχων και κόμβων. Θεωρήματα κυκλωμάτωνthevenin, Norton, επαλληλίας, μέγιστης μεταφοράς ισχύος) Στην παρούσα ενότητα παρουσιάζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Δυνάμεις φυσικών αριθμών Δύναμη ονομάζουμε το γινόμενο πολλών ίσων παραγόντων Πχ: 8 8= 64, 4 4 4= 64, 3 3 3 3= 81. Έτσι, το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x)

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x) 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ + - - a v α άρτιος α περιττός 0 ar * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Εώ α f() < g() κοτά στο 0 τότε f() g() ότα + εώ f()

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή 1. Ηλεκτρονικός Υπολογιστής Ο Ηλεκτρονικός Υπολογιστής είναι μια συσκευή, μεγάλη ή μικρή, που επεξεργάζεται δεδομένα και εκτελεί την εργασία του σύμφωνα με τα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x Λύση (ΘΕΜΑ ο ) Γ. Έστω οι συναρτήσεις : h ln με D 0, h f με D, h h h με 3 0, 0, ln h h D D / h D δηλαδή h3 h h ή D 0, h h h με 4 f,, h 3 D D / h D δηλαδή h4 h h ή D, Έτσι η εξίσωση h ln h f h 4 ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας α και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

Πώς μπορούμε να δημιουργούμε γεωμετρικά σχέδια με τη Logo;

Πώς μπορούμε να δημιουργούμε γεωμετρικά σχέδια με τη Logo; Κεφάλαιο 2 Εισαγωγή Πώς μπορούμε να δημιουργούμε γεωμετρικά σχέδια με τη Logo; Η Logo είναι μία από τις πολλές γλώσσες προγραμματισμού. Κάθε γλώσσα προγραμματισμού έχει σκοπό τη δημιουργία προγραμμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Γρήγορη Εκκίνηση. Όταν ξεκινήσετε το GeoGebra, εμφανίζεται το παρακάτω παράθυρο:

Γρήγορη Εκκίνηση. Όταν ξεκινήσετε το GeoGebra, εμφανίζεται το παρακάτω παράθυρο: Τι είναι το GeoGebra; Γρήγορη Εκκίνηση Λογισμικό Δυναμικών Μαθηματικών σε ένα - απλό στη χρήση - πακέτο Για την εκμάθηση και τη διδασκαλία σε όλα τα επίπεδα της εκπαίδευσης Συνδυάζει διαδραστικά γεωμετρία,

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Δομημένος Προγραμματισμός (C#) Τμήμα Μηχανολογίας Νικόλαος Ζ. Ζάχαρης Καθηγητής Εφαρμογών

Εργαστήριο Δομημένος Προγραμματισμός (C#) Τμήμα Μηχανολογίας Νικόλαος Ζ. Ζάχαρης Καθηγητής Εφαρμογών Εργαστήριο Δομημένος Προγραμματισμός (C#) Τμήμα Μηχανολογίας Νικόλαος Ζ. Ζάχαρης Καθηγητής Εφαρμογών Σκοπός Να αναπτύξουν ένα πρόγραμμα όπου θα επαναλάβουν τα βήματα ανάπτυξης μιας παραθυρικής εφαρμογής.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 2. Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών ΔιακριτάΣήματαστοΧώροτης Συχνότητας

Διάλεξη 2. Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών ΔιακριτάΣήματαστοΧώροτης Συχνότητας University of Cyprus Biomedical Imaging & Applied Optics Διάλεξη 2 Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών Γραμμικές Εξισώσεις Διαφορών με Σταθερούς Συντελεστές (Linear Constant- Coefficient

Διαβάστε περισσότερα

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Ένα πολυσταδιακό πρόβλημα που αφορά στον τριμηνιαίο προγραμματισμό για μία βιομηχανική επιχείρηση παραγωγής ελαστικών (οχημάτων) Γενικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα.

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1 Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. Α2. Για τον προσδιορισμό μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα απαιτείται να

Διαβάστε περισσότερα

για τις οποίες ισχύει ( )

για τις οποίες ισχύει ( ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΜΗΤΑΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ, ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ . Έστω οι συναρτήσεις f, g: για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι -. β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα