Interpretácia a transkripcia kyjevskej notácie

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Interpretácia a transkripcia kyjevskej notácie"

Transcript

1 Interpretácia a transkripcia kyjevskej notácie Dĺžka nôt 1 Kyjevská notácia je ruténsko-ruskou obdobou západnej menzurálnej notácie. Hoci sa začína v ruténskej tradícii používať až v 17. storočí, jej systém zodpovedá latinskej čiernej notácii z 15. storočia len pre dve najdlhšie noty (brevis, longa) sa použili novšie biele znaky. Menzurálna notácia: 2 Súčasná talianska notácia Biela notácia ( stor.) Čierna notácia ( stor.) Franská notácia (13. stor.) Pri transkripcii do moderných nôt sa vo vedeckých (najmä ruských) kruhoch používa rovnaká konvencia ako pri prepise latinských prameňov. To znamená, že kvadratickým notám sa prideľuje tá okrúhla nota, aká sa z nich etymologicky vyvinula v európskom prostredí: Kyjevská nota xbx xbx xbxx xbx xbzx Lat. názov semiminima minima semibrevis brevis longa Transkripcia e q h w ww Tento spôsob prepisu sa používa od 19. storočia a dodnes sa považuje za normatívny. Existuje však proti nemu niekoľko menších i vážnejších námietok. S prvou námietkou prišli už v 19. storočí ľudia z praxe, ktorí podľa týchto nôt spievali spôsob, akým dnes vnítame noty a akú dĺžku im podvedome priraďujeme, v spojení s vedeckou transkripciou kyjevskej notácie generuje príliš rozvláčne tempo cirkevného spevu. Transkribovaný zápis piesní teda nezodpovedá želanému tempu interpretácie. Uvedené pozorovanie má svoje historické zdôvodnenie. Vo vyššie uvedenom prehľade západnej menzurálnej notácie si môžeme všimnúť, že v postupnom vývoji pribúdajú noty označujúce menšie časové úseky. Prechodom k modernej notácii sa zas strácajú dve najdlhšie noty. Najkratšia franská nota sa tak vyvinula na najdlhšiu zo súčasných nôt. Tento vývoj však neznamená, že dnes spievame 4, 8 alebo 16-krát rýchlejšie. Naopak, ide tu o evolúciu významu nôt. Hoci etymologicky dnešnej celej note zodpovedá franská semibrevis, nepochybne dĺžka tejto franskej noty bola kedysi oveľa menšia než dĺžka dnešnej celej. 1 Pri dĺžke nôt musíme mať na pamäti, že ich zapísaná dĺžka pri voľnom rytme spevu je iba približná. 2 Prevzaté z 1

2 Pre pochopenie tempa kyjevskej notácie je preto dôležité si uvedomiť, že časové trvanie kvadratických nôt bolo v minulosti kratšie než je trvanie dnešných moderných potomkov týchto nôt. Zároveň však treba mať na pamäti, že ruténski pisatelia nepoužívali kvadratickú notáciu vždy rovnako v prameňoch vidíme tri vývojové štádiá v jej použití. Prechod medzi nimi znamená zámenu všetkých nôt notami kratšími o polovicu: rané 17. storočie (ruténske pramene) storočie (rut. a rus. pramene) xxxxxxbxxbxxbxxbxxbzx stor. (časť ruských prameňov) xxxxxxxxxxbxxbxxbxxbxx xxbxxbxxbxxbxxbzxxxxx Už len táto nejednoznačnosť použitia kyjevskej notácie v rôznych obdobiach nedovoľuje mechanicky aplikovať latinské konvencie. Nie je opodstatnené tú istú pieseň prepisovať raz rýchlejšie a raz pomalšie iba preto, že jeden irmologion je z roku 1722 a druhý z * * * * * Riešenie problému budeme hľadať v širšom kontexte, ktorý sa otvára pri komparatívnom štúdiu byzantských (gréckych) spevov z storočia a ruténskych či ruských melódií. Dôležité sú predovšetkým dve skutočnosti: 1. Základom väčšiny stichír a všetkých irmosov je spevné čítanie, umelecká deklamácia, ktorá prerástla do jednoduchých i zložitejších melódií, ale nestratila svoju blízku spätosť s textom. Preto aj základom rytmu pri speve je prirodzený rytmus čítanej reči. Spev irmosov a stichír sa v deklamatívnych úsekoch riadi týmto rytmom, kým v kadenciách a niekedy v nástupoch kól (= polriadkov) sa spomaľuje, čím vznikajú prirodzené predely. Pri určovaní rytmu liturgického spevu preto musíme začať od deklamácie. Základný časový interval definujeme ako dĺžku jednej slabiky v spevnej deklamácii a budeme ju nazývať deklamačná jednotka. 2. Pôvodnou notáciou v byzantskej tradícii, gréckej aj od nej odvodenej ruskej a ruténskej, sú neumy. Väčšina stichír a všetky irmosy (okrem novších kalofonických melódií zo storočia) má neumatický charakter, teda jednej slabike zodpovedá jeden neumový znak. Neumy v deklamatívnej časti viet sa spievajú s dĺžkou deklamačnej jednotky, v kadenciách, nástupných vrcholoch a rôznych zlomových miestach môžu byť neumové znaky s dlhšou časovou hodnotou. Pri deklamácii na jednom tóne sa nad slabikou nachádza znak ison (gr.), najčastejší zo všetkých znakov, ktorému zodpovedá v ruskej terminológii stopica L. 2

3 Pre naše pravidlá prepisu kyjevskej notácie je kľúčové to, akými notami sa prepisovala stopica alebo iné neumy s dĺžkou deklamačnej jednotky. Je jedno, akú časovú hodnotu mala nota v latinskom kontexte, my musíme skúmať, akú hodnotu jej pridelili pisári pri preklade neumových prameňov. A tu môžeme konštatovať, že v ruténskej aj ruskej tradícii od polovice 17. storočia (2. štádium) to bola vždy nota semibrevis: L = xbxx =? h Ak sa v starších rukopisoch prepisovala stopica ako brevis, ide o inú konvenciu, nie však o iné tempo spevu. Paradoxne, pri prepise byzantských spevov z neumov do nôt sa podľa schválenej konvencie 3 MMB (Monumenta musicae byzantinae) považuje za deklamačnú jednotku osminová nota: L =? e Dve rôzne konvencie tak v súčasnosti stanovujú pre základnú deklamačnú jednotku až štvornásobne odlišné tempo polovú notu a osminovú notu. Je to príliš veľké protirečenie a pre prácu na poli komparatívnej analýzy je nutné tieto konvencie zosúladiť. Nutnou podmienkou zodpovedného riešenia uvedeného problému je vychádzať vždy z neumového zápisu definovať hneď na začiatku, akou notou sa bude reprezentovať deklamačná jednotka. Význam a následná transkripcia kyjevskej notácie potom bude určená jej vzťahom k pôvodnému neumovému zápisu. Pre transkripciu prameňov začiatku 17. storočia budú platiť potom iné pravidlá ako pre transkripciu väčšiny novších zdrojov. Možnosti definície deklamačnej jednotky sú štyri: a) L = h Prvá možnosť znamená aplikovať doterajšiu konvenciu prepisu kyjevskej notácie aj na prepis z neumov. Ide o riešenie príliš vzdialené dnešnej hodnote okrúhlych nôt, navyše takýto prepis ani pre zrak nie je najprehľadnejší. b) L = e Druhá možnosť znamená prispôsobiť transkripciu ruténskych a ruských spevov konvencii MMB. Táto cesta má precedens vo viacerých tlačených knihách haličskej tradície (napr. Polotňuk) alebo v Bobákovom irmologione či Marinčákovej príručke pre kantorov. Tu však možno namietnuť, že takýto zápis piesní je azda už príliš rýchly a opäť pre zrak nie veľmi pohodlný kvôli vysokému počtu zástavok na prevažujúcich osminových notách. 3 Aktuálne mnohí vedci okolo MMB upúšťajú od určovania dĺžok nôt a prepisujú len melodické kontúry. 3

4 c) L = q Tretia možnosť je zlatý stred, kompromis medzi a) a b). V jej prospech okrem neutrality hovorí mnoho precedensov, napr. ruské pramene (najmä v štvorhlasných úpravách), bulharská, rumunská a srbská transkripcia moderných byzantských spevov, Bokšayov a Pappov irmologion v prostopení. Zápis podľa normy c) je aj pre zrak najprehľadnejší a zodpovedá najlepšie reálnemu tempu spevu. d) L = xxbxx Posledná možnosť nerieši otázku prepisu do modernej notácie, ale pri práci prevažne s ruténskymi a ruskými nápevmi naďalej používa kyjevskú notáciu. V súlade s konvenciou prepisu z neumov do kyjevskej notácie v storočí sa za deklamačnú jednotku považuje semibrevis. Transkripcia sa teda týka len najstarších a niektorých novších prameňov. V našich prácach sa držíme konvencie d). Okrem už uvedených dôvodov pre môžeme pridať tiež estetické hľadisko a historickú zviazanosť kyjevskej notácie s liturgickým spevom, ale najdôležitejším argumentom je pohodlnosť a pružnosť práce. V kyjevskej notácii je možné sa zaobísť bez trámcov, takže prepis nôt sa dá uskutočniť pomocou maximálne jednoduchého fontu v bežnom editore (napr. MS Word). Keďže liturgické spevy majú formulový charakter, štandardné melodické formuly sa ľahko kopírovaním rozmnožujú. Nie je ani nutné mať k dispozícii zvláštne notové editory, trápiť sa s ich obvyklou neschopnosťou akceptovať text v cyrilike, alebo riešiť import notových úsekov do textového editora, nehovoriac o otázke pomeru vysokej ceny editora v porovnaní so zlomkom jeho relne využitých možností. 4

5 Výška nôt Hneď na začiatok treba zdôrazniť, že kyjevská notácia nepredpokladá pevne stanovenú absolútnu výšku tónov. Kľúč s prípadnými predznamenaniami určuje iba typ stupnice (tj. rozloženie celých tónov a poltónov), pričom výšku základného tónu si určuje kantor podľa potreby a možností. Ak budeme hovoriť o konkrétnych tónoch (C, D,... a,...), nemáme na mysli konkrétne frekvencie a nepredpokladáme existenciu komorného a. Túto výškovú neukotvenosť si môžeme všimnúť už pri práci s rukopismi neraz možno jednu pieseň v rôznych prameňoch nájsť zapísanú v rôznej výške. Najčastejšie ide o rozdiel kvarty, keďže väčšina piesní je invarantná vzhľadom na posun o kvartu. Zaužívaná konvencia prepisu kyjevskej notácie sa opäť opiera o pravidlá platné v západnej menzurálnej notácii. Kľúč na začiatku riadku sa vo väčšine prípadov chápe ako C- kľúč, zriedkavejšie ako F-kľúč. Faktom je, že ruténska pisárska prax si vyvinula vlastné kaligrafické normy, takže často nie je možné stanoviť, o aký kľúč vlastne ide. Najčastejšie nachádzame kľúč na strednej línii (z piatich), bez predznamenaní. Podľa zaužívanej konvencie sa potom stredná línia považuje za tón C. Pri transkripcii v husľovom kľúči sa dostaneme do veľmi nízkych polôh. Preto sa radšej volí altový kľúč, ktorý umožňuje zachovať pôvodnú pozíciu nôt v osnove: Kyjevská notácia C-kľúč zx5xxxxxxyyyfxygxyaxbxcxdxexfxgxyyyyaxxxxxx Moderná notácia altový kľúč Moderná notácia husľový kľúč Rovnako ako v prípade tempa uvedený princíp transkripcie naráža na praktické problémy výsledkom prepisu sú väčšinou melódie umiestnené neprirodzene nízko. Dôležitejšou námietkou však je neadekvátnosť a neodôvodnenosť aplikácie latinských pravidiel na prepis notácie, ktorá si v inom kontexte nemusela zachovať všetky pôvodné vlastnosti. V ruténskych prameňoch sú mnohé piesne oproti ruskému zápisu akoby o kvartu nižšie, čo sa dá samozrejme chápať aj tak, že je tu použitý F-kľúč. Haličskí a aj niektorí podkarpatskí editori v storočí spravidla nedbali na teoretický význam kľúča a jednoducho preniesli noty na ich pôvodných pozíciách z kyjevskej do modernej notácie s husľovým kľúčom. Osnova dostala predznamenanie F-dur alebo B-dur. Kyjevská notácia F-kľúč (?) zx5xxxxyxcxydxyexfxgxaxbxcxdxyyyexfxgxx Moderná notácia haličská konvencia 5

6 Haličská konvencia si nenárokuje teoretickú správnosť, avšak prináša spevy notované v prijateľnej výške. Z tohto hľadiska jej preto nemožno nič vyčítať. Pre odbornú prácu s liturgickým spevom nie je vhodná ani haličská, ale ani ruská konvencia transkripcia. Je nutné nájsť lepšie podložené riešenie, ktoré bude vychádzať z hudobnej teórie vlastnej byzantskému spevu a nie z pravidiel sekundárnej notácie. Za východisko si vezmeme byzantskú hudobnú teóriu s určitými anachronickými dodatkami 4, ktoré umožnia lepšiu komunikáciu jej princípov v dnešnej dobe. Každý z 8 cirkevných hlasov je v byzantskej teórii definovaný svojou stupnicou, pričom charakter stupnice je spravidla daný voľbou základného tónu v rade D E F G a h c d. 5 Približne môžeme stupnice jednotlivých hlasov znázorniť takto: Hlas Stupnica, základný tón 1 D E F G a h c d 2 E F G a h c d e 3 F G a h c d e f 4 G a h c d e f g 1 pl. D E F G a h c d 2 pl. E F G a h c d e 3 pl. F G a h c d e f 4 pl. G a h c d e f g Voľbou základného tónu neurčujeme absolútnu výšku nášho spevu, ale rozloženie celých tónov a poltónov v stupnici každý tón je v byzantskom ponímaní zároveň návestie určujúce intervaly v najbližšom okolí. Ak by sme teda chceli napr. v 1. hlase zvýšiť tón F na Fis, musíme prikázať napríklad tónu a, aby sa správal ako tón d (zostup z d o dve pozície nižšie predstavuje želanú malú terciu). Pri takomto ponímaní stupníc aj C-kľúč alebo F-kľúč v kyjevskej notácii predstavuje nie výšku tónu, ale návestie určujúce distribúciu tónov a poltónov. Keďže vo väčšine prípadov stupnicu cirkevného spevu tvoria disjunktné trichordy alebo spojené tetrachordy, je v podstate jedno, o aký kľúč ide a skutočne sa v praxi C/F-kľúče nerozlišovali. Základná trichordálna stupnica: ut re mi fa/ut re mi fa/ut re mi fa/ut re mi fa/ut re mi fa/ut Γ A H C D E F G a b c d e b f g a b Preto pokiaľ ide o spev, ak zachováme charakter stupnice, je úplne jedno, ako vysoko umiestnime melódiu pri transkripcii do modernej notácie. Na druhej strane, keďže liturgický spev sa nedoprevádza nástrojmi, nie je nutné experimentovať s predznamenaniami. Kantori skôr ocenia prehľadnosť a jednotný spôsob zápisu melódií v hlasoch, ktorý umožní rýchlu orientáciu a rozpoznanie normatívnych formúl. 4 Predovšetkým ide o označenie tónov písmenami zaužívanými v európskej teórii. 5 Tento rad určuje pozície celých a poltónov. Skutočná frekvencia napr. tónu a môže byť ľubovoľná, ale akonáhle si ju zvolíme, ostatné tóny musia byť v predpísanom frekvenčnom pomere k a. 6

7 Naopak, pre teoretickú prácu je vhodné voliť transkripciu, ktorá bude zodpovedať modálnym vlastnostiam melódie. To znamená zapisovať piesne v jednotlivých hlasoch tak, aby ich stupnica formálne zodpovedala stupnici hlasu danej byzantskou teóriou. Pre transkripciu preto navrhujeme nasledovné pravidlá: A. Prepis do modernej notácie: 1. Na prvom mieste treba identifikovať vzťah ruténskych melódií k byzantskému systému stupníc a lokalizovať tak stupnicu s jej základnými tónmi. Je to úloha, ktorá si žiada dlhší a náročný výskum, ale napriek tomu je riešiteľná. 2. Nápevy treba umiestniť do osnovy tak, aby stupnica a základné tóny boli v súlade s teóriou. Napr. irmosy 3. hlasu môžeme z kyjevskej do modernej notácie s husľovým kľúčom iba preniesť bez zmeny pozície nôt na piatich líniách. B. Písanie v kvadratickej notácii: Ak ostávame pri kvadratickej notácii, môžeme naplno využiť výhody jej výškovej neukotvenosti. 1. Predovšetkým treba zvoliť v každom hlase jednotnú lokalizáciu melódií v osnove, keďže ani pôvodné pramene nie sú vždy v zhode. 2. Po teoretickej analýze treba definovať osobitne pre každý hlas vzťah medzi teoretickou stupnicou a jej zápisom v kyjevskej notácii, tj. prideliť každej note príslušné písmenko. Tiež treba vyriešiť mnoho sporných otázok o výnimkách, moduláciách a prípadnom trvalom znížení či zvýšení niektorých tónov. Predznamenania V kyjevskej notácii nenachádzame 6 krížiky ani odrážky, ale iba béčka. Na rozdiel od modernej notácie však predznamenanie b neoznačuje zníženie o poltón, ale ide o návestie s významom podobným kľúču. Tón, pred ktorým sa objaví návestie b, sa začne správať ako tón c alebo F, teda pri postupe melódie hore budú dva celé tóny a nad nimi poltón, pri zostupe začíname poltónom a pokračujeme dvojicou celých tónov. 7 Návestie b ruší účinok kľúča na ladenie stupnice. Ak je predznamenanie na začiatku riadku, ono určuje charakter stupnice a pozícia kľúča nehrá spravidla žiadnu rolu. Príklad: d cd e b d d ef # g f # e dc # d d cd e b d zx5xdxcdxexdxxrxdxxefxgxfexdcxdx5xdxcdxexdxz 6 V novších rukopisoch sa výnimočne nájdu aj krížiky. Tie sú niekedy mladšou rukou dopísané aj do starších kníh. 7 Predznamenanie b je analógiou byzantského návestia fthora nana. Rozdiel je len v tom, že fthora nana veľmi presne definuje veľkosť jednotlivých intervalov, kým ruténske b len jednoducho rozlišuje tóny a poltóny bez ich podrobnejšej valorizácie. 7

8 Poznámky 1. Predznamenania mali pôvodne modulačný účinok. Približne od polovice 18. storočia sa však mnohé z nich začínajú mylne považovať za transpozičné znaky. Úseky s predznamenaním sa potom pri ďalších prepisoch posúvali tak, aby sa pozícia s predznamenaním stotožnila so strednou líniou. 2. Mnohé z predznamenaní sa od 18. storočia ignorujú a pri prepisovaní sa vynechávajú. 3. Nie je vylúčené, že sa kyjevská notácia používala aj iným spôsobom a kľúče mohli mať odlišný význam. Takisto je možné, že sa niekedy nepísali b -čka na začiatku riadkov, hoci stupnica piesne si to predznamenanie vyžadovala irmologion.nfo.sk 8

Obvod a obsah štvoruholníka

Obvod a obsah štvoruholníka Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka

Διαβάστε περισσότερα

Ekvačná a kvantifikačná logika

Ekvačná a kvantifikačná logika a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných

Διαβάστε περισσότερα

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x

Διαβάστε περισσότερα

1. písomná práca z matematiky Skupina A

1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop 1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s

Διαβάστε περισσότερα

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.

Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov

Διαβάστε περισσότερα

3. Striedavé prúdy. Sínusoida

3. Striedavé prúdy. Sínusoida . Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami

Διαβάστε περισσότερα

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009 Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica

Διαβάστε περισσότερα

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

Nápev tropárov 4. hlasu ruténsky bulharský rospev

Nápev tropárov 4. hlasu ruténsky bulharský rospev Nápev tropárov 4. hlasu ruténsky bulharský rospev Pramene ruténskej tradície: L1709,, VS, ZM, J192, 1 J672, J833, I229, SI. Pramene tradície prostopenia: Csl. Bokšay, Choma, Bobák, Orosz Maď. Kizák 2 Obsah:

Διαβάστε περισσότερα

,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,

,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť

Διαβάστε περισσότερα

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny 24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá

Διαβάστε περισσότερα

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE 7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. časť: Analytická geometria

Matematika 2. časť: Analytická geometria Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010. 14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12

Διαβάστε περισσότερα

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej . Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny

Διαβάστε περισσότερα

AerobTec Altis Micro

AerobTec Altis Micro AerobTec Altis Micro Záznamový / súťažný výškomer s telemetriou Výrobca: AerobTec, s.r.o. Pionierska 15 831 02 Bratislava www.aerobtec.com info@aerobtec.com Obsah 1.Vlastnosti... 3 2.Úvod... 3 3.Princíp

Διαβάστε περισσότερα

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné

Διαβάστε περισσότερα

Metodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT

Metodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH

Διαβάστε περισσότερα

Zrýchľovanie vesmíru. Zrýchľovanie vesmíru. o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili

Zrýchľovanie vesmíru. Zrýchľovanie vesmíru. o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru

Διαβάστε περισσότερα

HASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S

HASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S PROUKTOVÝ LIST HKL SLIM č. sklad. karty / obj. číslo: HSLIM112V, HSLIM123V, HSLIM136V HSLIM112Z, HSLIM123Z, HSLIM136Z HSLIM112S, HSLIM123S, HSLIM136S fakturačný názov výrobku: HKL SLIMv 1,2kW HKL SLIMv

Διαβάστε περισσότερα

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x

Διαβάστε περισσότερα

C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém

C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém C.1. Tepelná izolácia penový polystyrén C.2. Tepelná izolácia minerálne dosky alebo lamely C.3. Tepelná izolácia extrudovaný polystyrén C.4. Tepelná izolácia penový

Διαβάστε περισσότερα

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude

Διαβάστε περισσότερα

PRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm

PRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda

Διαβάστε περισσότερα

KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE

KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE H KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE 0 Základné požiadavky zadávania VZT potrubia pre výrobu 1. Zadávanie do výroby v spoločnosti APIAGRA s.r.o. V digitálnej forme na tlačive F05-8.0_Rozpis_potrubia, zaslané mailom

Διαβάστε περισσότερα

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita 132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:

Διαβάστε περισσότερα

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny

Διαβάστε περισσότερα

Gramatická indukcia a jej využitie

Gramatická indukcia a jej využitie a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)

Διαβάστε περισσότερα

2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania

2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania 2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania Akej chyby sa môžeme dopustiť pri meraní na stopkách? Ako určíme ich presnosť? Základné pojmy: chyba merania, hrubé chyby, systematické chyby, náhodné

Διαβάστε περισσότερα

Odporníky. 1. Príklad1. TESLA TR

Odporníky. 1. Príklad1. TESLA TR Odporníky Úloha cvičenia: 1.Zistite technické údaje odporníkov pomocou katalógov 2.Zistite menovitú hodnotu odporníkov označených farebným kódom Schématická značka: 1. Príklad1. TESLA TR 163 200 ±1% L

Διαβάστε περισσότερα

Deliteľnosť a znaky deliteľnosti

Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a

Διαβάστε περισσότερα

1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2

1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 Rozdiel LMT medzi dvoma miestami sa rovná rozdielu ich zemepisných dĺžok. Pre prevod miestnych časov platí, že

Διαβάστε περισσότερα

Chí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky

Chí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín

Kontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín Verzia zo dňa 6. 9. 008. Kontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej odpovede sa môže v kontrolnom teste meniť. Takisto aj znenie nesprávnych odpovedí. Uvedomte si

Διαβάστε περισσότερα

Pevné ložiská. Voľné ložiská

Pevné ložiská. Voľné ložiská SUPPORTS D EXTREMITES DE PRECISION - SUPPORT UNIT FOR BALLSCREWS LOŽISKA PRE GULIČKOVÉ SKRUTKY A TRAPÉZOVÉ SKRUTKY Výber správnej podpory konca uličkovej skrutky či trapézovej skrutky je dôležité pre správnu

Διαβάστε περισσότερα

Podnikateľ 90 Mobilný telefón Cena 95 % 50 % 25 %

Podnikateľ 90 Mobilný telefón Cena 95 % 50 % 25 % Podnikateľ 90 Samsung S5230 Samsung C3530 Nokia C5 Samsung Shark Slider S3550 Samsung Xcover 271 T-Mobile Pulse Mini Sony Ericsson ZYLO Sony Ericsson Cedar LG GM360 Viewty Snap Nokia C3 Sony Ericsson ZYLO

Διαβάστε περισσότερα

Trapézové profily Lindab Coverline

Trapézové profily Lindab Coverline Trapézové profily Lindab Coverline Trapézové profily - produktová rada Rova Trapéz T-8 krycia šírka 1 135 mm Pozink 7,10 8,52 8,20 9,84 Polyester 25 μm 7,80 9,36 10,30 12,36 Trapéz T-12 krycia šírka 1

Διαβάστε περισσότερα

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu 6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis

Διαβάστε περισσότερα

Samopodobeny 1. hlasu BR

Samopodobeny 1. hlasu BR Samopodobeny 1. hlasu BR podľa irmologionov Veľkého Skítu () a) Τών ουρανίων Ταγµάτων τό αγαλλίαµα Нбcныхъ чинhвъ рaдованіе Pramene:, Slatina 23-I Vatopedi 1493 (14. stor.), Athény EBE 917 (16. stor.)

Διαβάστε περισσότερα

Прпdбне џ е, не дaлъ є3си2 снa. 5. hlas Byz. a ZR

Прпdбне џ е, не дaлъ є3си2 снa. 5. hlas Byz. a ZR Όσιε Πάτερ, ουκ έδωκας ύπνον Прпdбне џ е, не дaлъ є3си2 снa 5. hlas Byz. a ZR Samopodoben Prepodóbne ótče, ne dál jesí sná je naslávnik (doxastikon) na stichovne večierne sviatku sv. Lazára Stylitu (7.11.)

Διαβάστε περισσότερα

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1 Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené

Διαβάστε περισσότερα

ŠNEKÁČI mýty o přidávání CO2 založenie akvária Poecilia reticulata REPORTÁŽE

ŠNEKÁČI mýty o přidávání CO2 založenie akvária Poecilia reticulata REPORTÁŽE bulletin občianskeho združenia 2 /6.11.2006/ ŠNEKÁČI mýty o přidávání CO2 založenie akvária Poecilia reticulata REPORTÁŽE akvá ri um pr pree kre vet y, raky a krab y akva foto gr afi e Ji Jiřříí Plí š

Διαβάστε περισσότερα

Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení

Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení Výpočet lineárneho stratového súčiniteľa tepelného mosta vzťahujúceho sa k vonkajším rozmerom: Ψ e podľa STN EN ISO 10211 Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení Objednávateľ: Ing. Natália Voltmannová

Διαβάστε περισσότερα

x x x2 n

x x x2 n Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol

Διαβάστε περισσότερα

Kompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017

Kompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017 Kompilátory Cvičenie 6: LLVM Peter Kostolányi 21. novembra 2017 LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov Pôvodne Low Level Virtual Machine

Διαβάστε περισσότερα

Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8

Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8 Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................

Διαβάστε περισσότερα

6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH

6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 6. Otázky Definujte pojem produkčná funkcia. Definujte pojem marginálny produkt. 6. Produkčná funkcia a marginálny produkt Definícia 6. Ak v ekonomickom procese počet

Διαβάστε περισσότερα

Návod na montáž. a prevádzku. MOVIMOT pre energeticky úsporné motory. Vydanie 10/ / SK GC110000

Návod na montáž. a prevádzku. MOVIMOT pre energeticky úsporné motory. Vydanie 10/ / SK GC110000 Prevodové motory \ Priemyselné pohony \ Elektronika pohonov \ Automatizácia pohonov \ Servis MOVIMOT pre energeticky úsporné motory GC110000 Vydanie 10/05 11402822 / SK Návod na montáž a prevádzku SEW-EURODRIVE

Διαβάστε περισσότερα

Harmonizované technické špecifikácie Trieda GP - CS lv EN Pevnosť v tlaku 6 N/mm² EN Prídržnosť

Harmonizované technické špecifikácie Trieda GP - CS lv EN Pevnosť v tlaku 6 N/mm² EN Prídržnosť Baumit Prednástrek / Vorspritzer Vyhlásenie o parametroch č.: 01-BSK- Prednástrek / Vorspritzer 1. Jedinečný identifikačný kód typu a výrobku: Baumit Prednástrek / Vorspritzer 2. Typ, číslo výrobnej dávky

Διαβάστε περισσότερα

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc

Διαβάστε περισσότερα

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia pojmu derivácia

Motivácia pojmu derivácia Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)

Διαβάστε περισσότερα

SLOVENSKO maloobchodný cenník (bez DPH)

SLOVENSKO maloobchodný cenník (bez DPH) Hofatex UD strecha / stena - exteriér Podkrytinová izolácia vhodná aj na zaklopenie drevených rámových konštrukcií; pero a drážka EN 13171, EN 622 22 580 2500 1,45 5,7 100 145,00 3,19 829 hustota cca.

Διαβάστε περισσότερα

4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti

4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti 4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme

Διαβάστε περισσότερα

Metódy vol nej optimalizácie

Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných

Διαβάστε περισσότερα

CHÉMIA Ing. Iveta Bruončová

CHÉMIA Ing. Iveta Bruončová Výpočet hmotnostného zlomku, látkovej koncentrácie, výpočty zamerané na zloženie roztokov CHÉMIA Ing. Iveta Bruončová Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je spolufinancovaný zo zdrojov

Διαβάστε περισσότερα

Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R

Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R Ako nadprirodzené stretnutie s murárikom červenokrídlym naformátovalo môj profesijný i súkromný život... Osudové stretnutie s murárikom

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Analýza údajov. W bozóny.

Analýza údajov. W bozóny. Analýza údajov W bozóny http://www.physicsmasterclasses.org/index.php 1 Identifikácia častíc https://kjende.web.cern.ch/kjende/sl/wpath_teilchenid1.htm 2 Identifikácia častíc Cvičenie 1 Na web stránke

Διαβάστε περισσότερα

Reálna funkcia reálnej premennej

Reálna funkcia reálnej premennej (ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od

Διαβάστε περισσότερα

Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich

Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:

Διαβάστε περισσότερα

Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.

Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita. Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [

Διαβάστε περισσότερα

u R Pasívne prvky R, L, C v obvode striedavého prúdu Činný odpor R Napätie zdroja sa rovná úbytku napätia na činnom odpore.

u R Pasívne prvky R, L, C v obvode striedavého prúdu Činný odpor R Napätie zdroja sa rovná úbytku napätia na činnom odpore. Pasívne prvky, L, C v obvode stredavého prúdu Čnný odpor u u prebeh prúdu a napäta fázorový dagram prúdu a napäta u u /2 /2 t Napäte zdroja sa rovná úbytku napäta na čnnom odpore. Prúd je vo fáze s napätím.

Διαβάστε περισσότερα

Tomáš Madaras Prvočísla

Tomáš Madaras Prvočísla Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,

Διαβάστε περισσότερα

Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti rozvodu tepla

Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti rozvodu tepla Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti príloha č. 7 k vyhláške č. 428/2010 Názov prevádzkovateľa verejného : Spravbytkomfort a.s. Prešov Adresa: IČO: Volgogradská 88, 080 01 Prešov 31718523

Διαβάστε περισσότερα

Hydromechanika II. Viskózna kvapalina Povrchové napätie Kapilárne javy. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre EF Dušan PUDIŠ (2013)

Hydromechanika II. Viskózna kvapalina Povrchové napätie Kapilárne javy. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre EF Dušan PUDIŠ (2013) Hyomechanika II Viskózna kvaaina Povchové naäie Kaiáne javy Donkové maeiáy k enáškam z yziky I e E Dušan PUDIŠ (013 Lamináne vs. Tubuenné úenie Pi úení eánej kvaainy ôsobia mezi voma susenými vsvami i

Διαβάστε περισσότερα

ZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3

ZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3 ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v

Διαβάστε περισσότερα

difúzne otvorené drevovláknité izolačné dosky - ochrana nie len pred chladom...

difúzne otvorené drevovláknité izolačné dosky - ochrana nie len pred chladom... (TYP M) izolačná doska určená na vonkajšiu fasádu (spoj P+D) ρ = 230 kg/m3 λ d = 0,046 W/kg.K 590 1300 40 56 42,95 10,09 590 1300 60 38 29,15 15,14 590 1300 80 28 21,48 20,18 590 1300 100 22 16,87 25,23

Διαβάστε περισσότερα

Modul pružnosti betónu

Modul pružnosti betónu f cm tan α = E cm 0,4f cm ε cl E = σ ε ε cul Modul pružnosti betónu α Autori: Stanislav Unčík Patrik Ševčík Modul pružnosti betónu Autori: Stanislav Unčík Patrik Ševčík Trnava 2008 Obsah 1 Úvod...7 2 Deformácie

Διαβάστε περισσότερα

Zateplite fasádu! Zabezpečte, aby Vám neuniklo teplo cez fasádu

Zateplite fasádu! Zabezpečte, aby Vám neuniklo teplo cez fasádu Zateplite fasádu! Zabezpečte, aby Vám neuniklo teplo cez fasádu Austrotherm GrPS 70 F Austrotherm GrPS 70 F Reflex Austrotherm Resolution Fasáda Austrotherm XPS TOP P Austrotherm XPS Premium 30 SF Austrotherm

Διαβάστε περισσότερα

η = 1,0-(f ck -50)/200 pre 50 < f ck 90 MPa

η = 1,0-(f ck -50)/200 pre 50 < f ck 90 MPa 1.4.1. Návrh priečneho rezu a pozĺžnej výstuže prierezu ateriálové charakteristiky: - betón: napr. C 0/5 f ck [Pa]; f ctm [Pa]; fck f α [Pa]; γ cc C pričom: α cc 1,00; γ C 1,50; η 1,0 pre f ck 50 Pa η

Διαβάστε περισσότερα

Termodynamika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre SjF Dušan PUDIŠ (2008)

Termodynamika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre SjF Dušan PUDIŠ (2008) ermodynamika nútorná energia lynov,. veta termodynamická, Izochorický dej, Izotermický dej, Izobarický dej, diabatický dej, Práca lynu ri termodynamických rocesoch, arnotov cyklus, Entroia Dolnkové materiály

Διαβάστε περισσότερα

Výpočet. grafický návrh

Výpočet. grafický návrh Výočet aaetov a afcký návh ostuu vtýčena odobných bodov echodníc a kužncových obúkov Píoha. Výočet aaetov a afcký návh ostuu vtýčena... Vtýčene kajnej echodnce č. Vstuné údaje: = 00 ; = 8 ; o = 8 S ohľado

Διαβάστε περισσότερα

Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus

Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus 1. prednáška Lineárna algebra I - pole skalárov, lineárny priestor, lineárna závislosť, dimenzia, podpriestor, suma podpriestorov, izomorfizmus Matematickým základom kvantovej mechaniky je teória Hilbertových

Διαβάστε περισσότερα

alu OKNÁ, ZA KTORÝMI BÝVA POHODA DREVENÉ OKNÁ A DVERE Profil Mirador Alu 783 Drevohliníkové okno s priznaným okenným krídlom.

alu OKNÁ, ZA KTORÝMI BÝVA POHODA DREVENÉ OKNÁ A DVERE Profil Mirador Alu 783 Drevohliníkové okno s priznaným okenným krídlom. DREVENÉ OKNÁ A DVERE m i r a d o r 783 OKNÁ, ZA KTORÝMI BÝVA POHODA EXTERIÉROVÁ Profil Mirador Alu 783 Drevohliníkové okno s priznaným okenným krídlom. Je najviac používané drevohliníkové okno, ktoré je

Διαβάστε περισσότερα

PROMO AKCIA. Platí do konca roka 2017 APKW 0602-HF APKT PDTR APKT 0602-HF

PROMO AKCIA. Platí do konca roka 2017 APKW 0602-HF APKT PDTR APKT 0602-HF AKCIA Platí do konca roka 2017 APKW 0602-HF APKT 060204 PDTR APKT 0602-HF BENEFITY PLÁTKOV LAMINA MULTI-MAT - nepotrebujete na každú operáciu špeciálny plátok - sprehľadníte situáciu plátkov vo výrobe

Διαβάστε περισσότερα

REZISTORY. Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických

REZISTORY. Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických REZISTORY Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických obvodoch. Základnou vlastnosťou rezistora je jeho odpor. Odpor je fyzikálna vlastnosť, ktorá je daná štruktúrou materiálu

Διαβάστε περισσότερα

1. POPIS PRINCÍPU CD A DVD A BLU - RAY (Compact Disc, Digital Versatile Disc, Blu - Ray) 1.1. Disky typu CD 17. augusta 1982 sa datuje zrod

1. POPIS PRINCÍPU CD A DVD A BLU - RAY (Compact Disc, Digital Versatile Disc, Blu - Ray) 1.1. Disky typu CD 17. augusta 1982 sa datuje zrod 1 1. POPIS PRINCÍPU CD A DVD A BLU - RAY (Compact Disc, Digital Versatile Disc, Blu - Ray) 1.1. Disky typu CD 17. augusta 1982 sa datuje zrod kompaktných diskov, v tento deň bola oficiálne spustená prevádzka

Διαβάστε περισσότερα

LR(0) syntaktické analyzátory. doc. RNDr. Ľubomír Dedera

LR(0) syntaktické analyzátory. doc. RNDr. Ľubomír Dedera LR0) syntaktické analyzátory doc. RNDr. Ľubomír Dedera Učebné otázky LR0) automat a jeho konštrukcia Konštrukcia tabuliek ACION a GOO LR0) syntaktického analyzátora LR0) syntaktický analyzátor Sám osebe

Διαβάστε περισσότερα

Vyhlásenie o parametroch stavebného výrobku StoPox GH 205 S

Vyhlásenie o parametroch stavebného výrobku StoPox GH 205 S 1 / 5 Vyhlásenie o parametroch stavebného výrobku StoPox GH 205 S Identifikačný kód typu výrobku PROD2141 StoPox GH 205 S Účel použitia EN 1504-2: Výrobok slúžiaci na ochranu povrchov povrchová úprava

Διαβάστε περισσότερα

Akumulátory. Membránové akumulátory Vakové akumulátory Piestové akumulátory

Akumulátory. Membránové akumulátory Vakové akumulátory Piestové akumulátory www.eurofluid.sk 20-1 Membránové akumulátory... -3 Vakové akumulátory... -4 Piestové akumulátory... -5 Bezpečnostné a uzatváracie bloky, príslušenstvo... -7 Hydromotory 20 www.eurofluid.sk -2 www.eurofluid.sk

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

1. písomná práca z matematiky Skupina A. 1. písomná práca z matematiky Skupina B

1. písomná práca z matematiky Skupina A. 1. písomná práca z matematiky Skupina B . písoá pác z tetik Skpi A. Zjedodšte výz : ) z 8 ) c). Doplňte, pltil ovosť : ) ). Vpočítjte : ) ) c). Vpočítjte : ) ( ) ) v v v c). Upvte výz ovete spávosť výsledk pe : 6. Zostojte tojholík ABC, k c

Διαβάστε περισσότερα

Ján Buša Štefan Schrötter

Ján Buša Štefan Schrötter Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako

Διαβάστε περισσότερα

MONITOR 9 (2007) riešenia úloh testu z matematiky

MONITOR 9 (2007) riešenia úloh testu z matematiky MONITOR 9 (007) riešenia úloh testu z matematiky Autormi nasledujúcich riešení sú pracovníci spoločnosti EXAM testing Nejde teda o oficiálne riešenia, ktoré môže vydať ia Štátny pedagogický ústav (wwwstatpedusk)

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

NÁSTROJE SYSTEMATICKÉHO RIEŠENIA PROBLÉMOV. Peter Madzík

NÁSTROJE SYSTEMATICKÉHO RIEŠENIA PROBLÉMOV. Peter Madzík Peter Madzík NÁSTROJE SYSTEMATICKÉHO RIEŠENIA PROBLÉMOV Peter Madzík Táto publikácia bola vydaná za podpory spoločnosti IPA Slovakia. Peter Madzík Nástroje systematického riešenia problémov Ruţomberok

Διαβάστε περισσότερα

OLYMPS DOOR spol. s r.o. Návod na inštaláciu a obsluhu

OLYMPS DOOR spol. s r.o. Návod na inštaláciu a obsluhu Návod na inštaláciu a obsluhu Dôležité informácie Gratulujeme vám, že ste si vybrali výrobok firmy Nice. Prečítajte si prosím tento návod. Aby boli tieto pokyny lepšie zrozumiteľné, boli usporiadané do

Διαβάστε περισσότερα

MATERIÁLY NA VÝROBU ELEKTRÓD

MATERIÁLY NA VÝROBU ELEKTRÓD MATERIÁLY NA VÝROBU ELEKTRÓD Strana: - 1 - E-Cu ELEKTROLYTICKÁ MEĎ (STN 423001) 3 4 5 6 8 10 12 15 TYČE KRUHOVÉ 16 20 25 30 36 40 50 60 (priemer mm) 70 80 90 100 110 130 Dĺžka: Nadelíme podľa Vašej požiadavky.

Διαβάστε περισσότερα

3. prednáška. Komplexné čísla

3. prednáška. Komplexné čísla 3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet

Διαβάστε περισσότερα

Rozsah akreditácie 1/5. Príloha zo dňa k osvedčeniu o akreditácii č. K-003

Rozsah akreditácie 1/5. Príloha zo dňa k osvedčeniu o akreditácii č. K-003 Rozsah akreditácie 1/5 Názov akreditovaného subjektu: U. S. Steel Košice, s.r.o. Oddelenie Metrológia a, Vstupný areál U. S. Steel, 044 54 Košice Rozsah akreditácie Oddelenia Metrológia a : Laboratórium

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΝΙΠΤΗΡ. Obrad umývania nôh. 2. hlas ZR

Ο ΝΙΠΤΗΡ. Obrad umývania nôh. 2. hlas ZR Ο ΝΙΠΤΗΡ Obrad umývania nôh 2. hlas ZR Μεγάλης ευεργεσίας απολαύειν Ο Πέτρος ηυλαβείτο Byzantská tradícia: (233v),, Ruská tradícia predreformná: Ch Ruská tradícia poreformná: S447 Dvojica stichír je doložená

Διαβάστε περισσότερα

Michal Forišek: Early beta verzia skrípt z ADŠ

Michal Forišek: Early beta verzia skrípt z ADŠ Časová zložitosť Michal Forišek: Early beta verzia skrípt z ADŠ Laický pohľad skutočne môže naznačovať, že efektívne algoritmy vôbec nepotrebujeme. Veď predsa každý rok sa výrobcovia počítačov predbiehajú

Διαβάστε περισσότερα

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2013/2014 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/27

Διαβάστε περισσότερα