= R{(a + jb)e j2π 3 4 t } (6) a + jb = j2.707 = e j π (7) A = (9) f 0 = 3 4

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-5: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 7-8 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής εύτερη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 7//8 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 7//8 Ασκηση - Ηµίτονα Ι Οι ασκήσεις µε [ ] είναι bonus, + µονάδες η καθεµία στο ϐαθµό αυτής της σειράς ασκήσεων (δηλ. µπορείτε να πάρετε µέχρι 8/6 σε αυτή τη σειρά.) (αʹ) ( cos π 4 t 5π 4 ) + A cos(π t + φ) cos (π ) 4 (t + 5) A cos(π t + φ) cos ( π 4 t 5π 4 + cos (π ) 4 (t 6) ) + cos (π 4 (t + 5) ) + cos () (π ) 4 (t 6) R{Ae jφ e jπt } R{e jπ 4 t 5 jπ e 4 } + R{e jπ 4 t e jπ 8 4 } R{e jπ 4 t e 5π 4 } () R{e jπ 4 t 5 jπ e 4 + e jπ 4 t e jπ 8 4 e jπ 4 t e j 5π 4 } (4) 5 jπ R{(e 4 + e jπ 8 4 e j 5π 4 )e jπ 4 t } (5) () R{(a + jb)e jπ 4 t } (6) µε Οπότε a + jb.99 j e j.769π (7) R{Ae jφ e jπ t } R{.5476e j.769π e jπ 4 t } (8) και άρα A.5476 (9) 4 () φ.769π () (ϐʹ) Το σήµα x(t) cos(π5t π/) + sin(πt + π/4) sin(π5t) () είναι περιοδικό, αφού ο -ανά δυο- λόγος των συχνοτήτων (ή των περιόδων) των ηµιτόνων που το αποτελούν είναι λόγος ακεραίων. Για να ϐρούµε την περίοδο, µπορούµε να ξεκινήσουµε από τη ϑεµελιώδη συχνότητα, ως Μ.Κ. {5,, 5} 5 Hz () Άρα η περίοδός του είναι T /. δευτερόλεπτα. Το ϕάσµα πλάτους και ϕάσης ϐρίσκεται

2 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 7-8/ εύτερη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις αναπτύσσοντας το σήµα σε εκθετική σειρά Fourier ως x(t) cos(π5t π/) + sin(πt + π/4) sin(π5t) (4) e jπ5t e jπ/ + e jπ5t e jπ/ + j ejπt e jπ/4 j e jπt e jπ/4 j ejπ5t + j e jπ5t (5) e jπ/ e jπ5t + e jπ/ e jπ5t + e jπ/ ejπt e jπ/4 + e jπ/ e jπt e jπ/4 + e jπ/ ejπ5t + e jπ/ e jπ5t (6) e jπ/ e jπ5t + e jπ/ e jπ5t + e jπ/4 e jπt + ejπ/4 e jπt + ejπ/ e jπ5t + e jπ/ e jπ5t Το ϕάσµα πλάτους και ϕάσης ϕαίνεται στο Σχήµα. (7) / π/ π/ π/4 -π/ Σχήµα : Φάσµατα Ασκησης. Ασκηση - Εξισώσεις (αʹ) Εχουµε {( I + j ) e jθ} { } I e j 5π 6 e jθ { I e j(θ+ 5π )} 6 ( sin θ + 5π ) ( π ) sin 6 θ + 5π { kπ + π π 6 kπ + π { kπ π θ 6 kπ π (8) (9) () () () ()

3 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 7-8/ εύτερη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις µε k Z. (ϐʹ) Ισχύει cos 4 (θ)dθ cos (θ) cos (θ)dθ (4) ejθ + e jθ) ejθ + e jθ) dθ (5) 4 ejθ e jθ) 4 ejθ e jθ) dθ (6) 6 ej4θ + 8 ejθ ejθ e jθ e jθ + 6 e j4θ) dθ (7) 8 cos(4θ) + 4 cos(θ) + 4 cos(θ) + dθ 8) (8) 8 cos(4θ) + cos(θ) + 8) dθ (9) sin(4θ) + 4 sin(θ) + ] π 8 θ (π ) 6π 8 π 4 () Ασκηση - Ενέργεια και Ισχύς (αʹ) Είναι E x t + ] x (t)dt + (4t 4 t + t t dt + )] Αν υπολογίσετε την ισχύ του P x, αυτή ϑα προκύψει µηδενική. (ϐʹ) Είναι E x x (t)dt 5 cos (πt)dt 5 + cos(πt) ) dt 5 ( t) dt () + () 4 ejπt e jπt) dt () t + )] 4π sin(πt) ( + ) + 5 (5) 4π Αν υπολογίσετε την ισχύ του, ϑα τη ϐρείτε µηδενική. (γʹ) Ας υπολογίσουµε την ισχύ ενός γενικού ηµιτονοειδούς σήµατος. P x lim T T A lim T 4T T T T T A cos (π t + θ)dt lim T A 4T T T (4) [ + cos(4π t + θ)]dt (6) A T dt + lim cos(4π t + θ)dt (7) T 4T T Ο πρώτος όρος ειναι ίσος µε A /. Επίσης, ο δεύτερος όρος µπορεί να δειχθεί εύκολα ότι είναι µηδέν. Άρα P x A (8)

4 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 7-8/ εύτερη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις 4 Μπορεί κανείς να δείξει ότι για ένα άθροισµα N ηµιτονοειδών διαφορετικών συχνοτήτων, ϑα έχουµε P x N k A k (9) Οπότε στο Ϲητούµενο της άσκησης, είναι P x (4) Φυσικά µια λιγότερο γενική λύση είναι επίσης σωστή. άπειρη. Αν υπολογίσετε την ενέργειά του, ϑα τη ϐρείτε (δʹ) Στο σήµα x(t) e t, δυο). < t < +, τόσο η ενέργεια όσο και η ισχύς του δεν ορίζονται (άπειρες και οι (εʹ) Ας υπολογίσουµε την ενέργεια του x(t) e t, t [, ]. Είναι E x + x (t)dt Αν υπολογίσετε την ισχύ του, ϑα τη ϐρείτε µηδενική. Οι γραφικές παραστάσεις ϕαίνονται στο Σχήµα. e 4t dt 4 e4t] 4 (e8 ) (4) Σχήµα : Σχήµατα Ασκησης. [ ] Ασκηση 4 - Μετασχηµατισµοί Σηµάτων Για κάθε περίπτωση ϑα είναι

5 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 7-8/ εύτερη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις 5 (αʹ) Το σήµα x(t ) αποτελεί µια χρονική µετατόπιση του αρχικού σήµατος κατά t δεξιά. Άρα το σήµα είναι σίγουρα µηδενικό για t 7. (ϐʹ) Το σήµα x(t + 4) αποτελεί µια χρονική µετατόπιση του αρχικού σήµατος κατά t 4 αριστερά. Άρα το σήµα είναι σίγουρα µηδενικό για 6 t. (γʹ) Το σήµα x( t) αποτελεί µια ανάκλαση του αρχικού σήµατος ως προς τον κατακόρυφο άξονα. Άρα το σήµα έχει σίγουρα µηδενικές τιµές για 4 t. (δʹ) Το σήµα x( t + ) αποτελεί µια ανάκλαση του αρχικού σήµατος ως προς τον κατακόρυφο άξονα και στη συνέχεια µια ολίσθηση προς τα δεξιά - λόγω της αντιστροφής του άξονα του χρόνου. Άρα το σήµα έχει σίγουρα µηδενικές τιµές για t 4. (εʹ) Το σήµα x( t ) αποτελεί µια ανάκλαση του αρχικού σήµατος ως προς τον κατακόρυφο άξονα και στη συνέχεια µια ολίσθηση προς τα αριστερά - λόγω της αντιστροφής του άξονα του χρόνου. Άρα το σήµα έχει σίγουρα µηδενικές τιµές για 6 t. (ϛʹ) Το σήµα x(t) αποτελεί µια χρονική στάθµιση (συµπίεση) του αρχικού σήµατος, κατά παράγοντα a. Άρα το σήµα έχει σίγουρα µηδενικές τιµές για / t 4/. (Ϲʹ) Το σήµα x(t/) αποτελεί µια χρονική στάθµιση (διαστολή) του αρχικού σήµατος, κατά παράγοντα a /. Άρα το σήµα έχει σίγουρα µηδενικές τιµές για 4 t 8. Τα παραπάνω µπορείτε να τα ϐρείτε µε τον ορισµό που σας δίνεται, αντικαθιστώντας το t µε τους αντίστοιχους µετασχηµατισµούς. Οµως συνίσταται να µάθετε τους κανόνες που προκύπτουν από τους µετασχηµατισµούς της χρονικής µεταβλητής. Ασκηση 5 - Ραδιοφωνία ΑΜ (αʹ) Προβληµατίζει το γεγονός ότι λ c m (4) οπότε το µέγεθος της κεραίας πρέπει να είναι ανάλογο αυτής της πολύ µεγάλης ποσότητας. Προφανώς είναι ένα µέγεθος ανέφικτο στην πράξη. (ϐʹ) Το νέο µήκος της κεραίας πρέπει να είναι ανάλογο της ποσότητας λ c 8. m (4) Άρα για αυτή τη συχνότητα, το µέγεθος της κεραίας µειώνεται σηµαντικά αλλά πάλι είναι ανέφικτη η κατασκευή της. Παραητρούµε ότι το µήκος της κεραίας µειώνεται όσο αυξάνεται η συχνότητα. (γʹ) Το σήµα που στέλνεται είναι x(t) [ ] + m(t) c(t) (44) i. Για το m(t) έχουµε m(t) cos(π44t π 4 ) e jπ/4 e jπ44t + e jπ/4 e jπ44t (45) και τα ϕάσµατα ϕαίνονται στο Σχήµα. ii. Για το c(t) έχουµε c(t) cos(πt) ejπt + e jπt (46) και τα ϕάσµατα ϕαίνονται στο Σχήµα 4.

6 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 7-8/ εύτερη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις 6 π/ π/4 Σχήµα : Φάσµατα σήµατος m(t). / - Σχήµα 4: Φάσµατα σήµατος c(t). iii. Είναι x(t) [ ] + m(t) c(t) c(t) + m(t)c(t) (47) cos(πt) + cos(π44t π/4) cos(πt) (48) cos(πt) + cos(π956t + π/4) + cos(π44t π/4) (49) cos(π956t + π/4) + cos(πt) + cos(π44t π/4) (5) από γνωστή τριγωνοµετρία (ή σχέσεις του Euler). iv. Από το προηγούµενο ερώτηµα x(t) cos(π956t + π/4) + cos(πt) + cos(π44t π/4) (5) ejπ/4 e jπ956t + e jπ/4 e jπ956t + e jπt + e jπt + e jπ/4 e jπ44t + ejπ/4 e jπt Από το Σχήµα 5, το ϕάσµα του x(t) περιέχει πληροφορία στις συχνότητες 956,, 44 Hz. Με άλλα λόγια, το ϕάσµα του σήµατος πληροφορίας m(t) έχει µεταφερθεί γύρω από τη συχνότητα Hz του ϕέροντος σήµατος c(t)! Ετσι, το σήµα x(t) έχει υψηλότερες συχνότητες από το σήµα πληροφορίας, κοντά στη συχνότητα του ϕέροντος - µάλιστα, αν η συχνότητα του ϕέροντος είναι αρκετά µεγάλη (της τάξης των MHz), τότε η κατασκευή της κεραίας είναι εφικτή, εφόσον οι συχνότητες του σήµατος πληροφορίας ϑα µεταφερθούν γύρω από αυτή! v. Εχουµε r(t) x(t)d(t) (5) ( ) + m(t) c(t)d(t) (5) c(t)d(t) + m(t)c(t)d(t) (54) 4 cos (πt) + 4 cos(π44t π/4) cos (πt) (55)

7 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 7-8/ εύτερη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις 7 π/4 / π/ Σχήµα 5: Φάσµατα σήµατος x(t). I. Εχουµε r(t) 4 cos (πt) + 4 cos(π44t π/4) cos (πt) (56) + cos(πt) + 4 cos(π44t π/4)( + cos(πt) (57) + cos(πt) + cos(π44t π/4) + cos(π44t π/4) cos(πt) (58) + cos(πt) + cos(π44t π/4) + cos(π956t + π/4) + cos(π44t π/4) (59) II. Από το προηγούµενο ερώτηµα έχουµε r(t) + cos(πt) + cos(π44t π/4) + cos(π956t + π/4) + cos(π944t π/4) + e jπt + e jπt + e jπ/4 e jπ44t + e jπ/4 e jπ44t + ejπ/4 e jπ956t + e jπ/4 e jπ956t + e jπ/4 e jπ44t + ejπ/4 e jπ44t (6) είτε το Σχήµα 6. Προσέξτε ότι το σήµα πληροφορίας έχει επανέλθει στις φυσιολογικές του (6) π/4 / π/ Σχήµα 6: Φάσµατα σήµατος r(t). συχνότητες. Ετσι µπορούµε ξανά να το ακούσουµε. III. Στη Ϲώνη [ 44, 44] υπάρχει επιπλέον πληροφορία, και συγκεκριµένα στη συχνότητα! Στην πράξη, αυτό δεν αποτελεί ιδιαίτερο πρόβληµα.

8 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 7-8/ εύτερη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις 8 Ασκηση 7 - Ολοκλήρωση στο MATLAB Κώδικας MATLAB [ ] Ασκηση 8 - Σύνθεση Μουσικής στο MATLAB Κώδικας MATLAB