Εισαγωγή. Ακουστικό. Μικρόφωνο

Transcript

1 Εισαγωγή Ο σκοπός του συστήµατος επικοινωνίας είναι να µεταδώσει πληροφορία (ransmission of informaion) από ένα σηµείο του χώρου, που λέγεται πηγή, σε ένα άλλο σηµείο, που είναι ο προορισµός χρήσης. Κατά κανόνα, το µήνυµα που παράγεται από µια πηγή δεν είναι ηλεκτρικό. Ένας µετατροπέας είναι συνήθως αναγκαίος για να µετατρέψει την έξοδο της πηγής σε ηλεκτρικό σήµα κατάλληλο για µετάδοση. Για παράδειγµα, για πηγή ακουστικού σήµατος χρησιµοποιείται το µικρόφωνο για µετατροπή σε ηλεκτρικό σήµα, ενώ για πηγή εικόνας χρησιµοποιείται µια video-camera. Στον προορισµό χρειάζεται µια αντίστοιχη αντίστροφη µετατροπή των ηλεκτρικών σηµάτων σε κατάλληλη µορφή, για παράδειγµα ήχο, εικόνα κ.τ.λ. Το κανάλι επικοινωνίας είναι το φυσικό µέσο που χρησιµεύει για να στέλνεται το σήµα από την πηγή στον προορισµό χρήσης. Μικρόφωνο Ακουστικό

2 Οι µετατροπείς παρέχουν σήµατα, τα οποία είναι της τάξης των µικροβόλτ (µv) ή µιλιβόλτ (mv). Τέτοια σήµατα είναι πολύ µικρά για να υποστούν αξιόπιστη επεξεργασία. Η επεξεργασία καθίσταται πολύ πιο εύκολη, αν το πλάτος του σήµατος µεγαλώσει αρκετά. Το σύστηµα που πραγµατοποιεί αυτή τη διαδικασία ονοµάζεται ενισχυτής σήµατος. Όταν ενισχύεται ένα σήµα θα πρέπει η πληροφορία που περιέχεται σε αυτό να µη µεταβάλλεται και επίσης να µη προστίθεται νέα πληροφορία. Θα πρέπει το σήµα εξόδου του ενισχυτή να είναι ακριβές αντίγραφο του σήµατος εισόδου αλλά να έχει µεγαλύτερο πλάτος. Γραµµικό σύστηµα Με άλλα λόγια θέλουµε οι διακυµάνσεις της κυµατοµορφής εξόδου να είναι ταυτόσηµες µε αυτές της κυµατοµορφής εισόδου. Κάθε αλλαγή στην κυµατοµορφή θεωρείται παραµόρφωση και είναι προφανώς ανεπιθύµητη. Εισαγωγή 1-2

3 Ένας ενισχυτής που διατηρεί τις λεπτοµέρειες της κυµατοµορφής του σήµατος στην είσοδό του, χαρακτηρίζεται από την σχέση υou ( ) = υin ( ) υou ( ) υin ( ) υ ou ( ) υ in ( ) υ in ( ) υou ( ) Γραµµική διάταξη. υou ( ) υou ( ) υin ( ) υin ( ) Εισαγωγή 1-3

4 Ένας ενισχυτής που διατηρεί τις λεπτοµέρειες της κυµατοµορφής του σήµατος στην είσοδό του, χαρακτηρίζεται από την σχέση υou ( ) = υυin ( ) υou ( ) υin ( ) υ υ ou ( ) υ in ( ) υ in ( ) υou ( ) υ Γραµµική διάταξη. υou ( ) υou ( ) υ κλίση = Αυ υin ( ) υ υin ( ) Εισαγωγή 1-4

5 Αντίθετα ένας ενισχυτής που η σχέση του σήµατος εξόδου σε συνάρτηση µε το σήµα εισόδου δεν είναι γραµµική αλλοιώνει την µορφή της κυµατοµορφής του σήµατος εισόδου υou ( ) υin ( ) υ ou ( ) υ in ( ) υ in ( ) υou ( ) Μη γραµµική διάταξη υou ( ) = υin2 ( ) + 2υin ( ) 1 υou ( ) υou ( ) υin ( ) υin ( ) Εισαγωγή 1-5

6 Οι ενισχυτές στους οποίους το σήµα εισόδου έχει πολύ µικρή τάση ενώ το σήµα εξόδου έχει πολύ µεγάλη χαρακτηρίζονται ως ενισχυτές τάσης. Ο προενισχυτής στα στερεοφωνικά συγκροτήµατα είναι ένα παράδειγµα ενισχυτή τάσης. Ό ενισχυτής ρεύµατος χαρακτηρίζεται από ένα µέτριο κέρδος τάσης αλλά σηµαντικό κέρδος ρεύµατος. Ο ενισχυτής ρεύµατος απορροφά λίγη ισχύ από την πηγή παρέχει µεγάλη ισχύ στο φορτίο του. Παράδειγµα είναι ο ενισχυτής ισχύος ενός στερεοφωνικού συγκροτήµατος που έχει σκοπό να δώσει ισχύ ικανή για να οδηγηθούν τα ηχεία του. Εισαγωγή 1-6

7 Κύκλωµατικό σύµβολο ενισχυτή Ο ενισχυτής σήµατος είναι ένα δίθυρο κύκλωµα. Η λειτουργία του αναπαρίσταται από το κυκλωµατικό σύµβολο του σχήµατος Είσοδος Έξοδος Το σύµβολο αυτό κάνει σαφή διάκριση µεταξύ των θυρών εισόδου και εξόδου και προσδιορίζει την κατεύθυνση της ροής του σήµατος. Μια περίπτωση που συνίσταται πιο συχνά στην πράξη φαίνεται στο σχήµα όπου υπάρχει ένας κοινός ακροδέκτης µεταξύ των θυρών εισόδου και εξόδου του ενισχυτή. Είσοδος Έξοδος Ο κοινός ακροδέκτης χρησιµοποιείται ως σηµείο αναφοράς και ονοµάζεται γείωση του κυκλώµατος. Εισαγωγή 1-7

8 Κέρδος τάσης Ένας γραµµικός ενισχυτής δέχεται ένα σήµα εισόδου υin() και παρέχει στην έξοδό του πάνω σε ένα φορτίο RL ένα σήµα εξόδου υou() το οποίο είναι ένα µεγεθυµένο αντίγραφο του υin(). iin ( ) iou ( ) υin ( ) RL υou ( ) Το κέρδος τάσης του ενισχυτή ορίζεται ως υ υou ( ) κλίση =υ υin( ) υ ou υin Χαρακτηριστική µεταφοράς γραµµικού ενισχυτή τάσης µε κέρδος τάσης υ. Εάν εφαρµόσουµε στην είσοδο αυτού του ενισχυτή µια ηµιτονοειδή τάση πλάτους V, στην έξοδό του θα πάρουµε ηµιτονοειδή τάση πλάτους Αυ V. Εισαγωγή 1-8

9 Κέρδος ισχύος και κέρδος τάσης Ένας ενισχυτής αυξάνει την ισχύ του σήµατος. Αυτή είναι µία σηµαντική ιδιότητα που ξεχωρίζει τον ενισχυτή από το µετασχηµατιστή. Ο ενισχυτής παρέχει στο φορτίο ισχύ µεγαλύτερη από αυτή που δίνει η πηγή σήµατος. Το κέρδος ισχύος του ενισχυτή ορίζεται ως ισχύς φορτίου κέρδος ισχύος = ισχύς εισόδου PL υ ou iou p = Pin υin iin Το κέρδος ρεύµατος του ενισχυτή ορίζεται ως ρεύµα φορτίου κέρδος ρεύµατος = ρεύµα εισόδου i iou iin Εισαγωγή 1-9

10 Τροφοδοσία του ενισχυτή Οι ενισχυτές χρειάζονται τροφοδοσία dc για τη λειτουργία τους iin ( ) υin ( ) V V1 I1 iou ( ) + V1 υin ( ) V υou ( ) RL I2 iin ( ) V2 V+ V iou ( ) υou ( ) RL V2 Οι dc τάση που αποδίδεται στον ενισχυτή είναι Pdc = V1 I1 + V2 I2 Εάν η ισχύς που καταναλώνεται στο κύκλωµα του ενισχυτή συµβολίζεται ως Pκατ, η εξίσωση εξισορρόπησης ισχύος του ενισχυτή γράφεται ως Pdc + PI = PL + Pκατ Εφόσον η ισχύς που παρέχεται από την πηγή του σήµατος PI είναι συνήθως µικρή, η αποδοτικότητα του ενισχυτή ορίζεται ως PL η 1 Pdc Εισαγωγή 1-1

11 Ο κορεσµός του ενισχυτή Η χαρακτηριστική µεταφοράς του ενισχυτή παραµένει γραµµική µόνο σε µια περιορισµένη περιοχή τάσεων εισόδου και εξόδου. Το θετικό L+ και το αρνητικό L- επίπεδο κορεσµού είναι συνήθως 1 µε 2 vols απολύτως µικρότερα από τις αντίστοιχες τάσεις τροφοδοσίας. υou ( ) υou ( ) L+ L υ L+ υ υin ( ) L υin ( ) Εισαγωγή 1-11

12 υou ( ) υou ( ) L+ L υ L+ υ υin ( ) L Περιοχή γραµµικής λειτουργίας υin ( ) Για να αποφύγουµε την παραµόρφωση της κυµατοµορφής εξόδου, πρέπει η διακύµανση του σήµατος εισόδου να βρίσκεται µέσα στα όρια γραµµικής λειτουργίας. L υ υin L+ Εισαγωγή 1-12

13 Μη γραµµικές χαρακτηρίστηκες µεταφοράς και πόλωση Στους πραγµατικούς ενισχυτές, η χαρακτηριστική µεταφοράς παρουσιάζει µη γραµµικότητες διαφόρων πλατών ανάλογα µε την ποιότητα κατασκευής του ενισχυτή και την προσπάθεια που έχει καταβληθεί κατά τη φάση σχεδίασης, ώστε να εξασφαλιστεί η γραµµικότητα της λειτουργίας του. υou ( ) Η χαρακτηριστική µεταφοράς είναι εµφανώς µη γραµµική και εξαιτίας του µονού τροφοδοτικού, δεν είναι τοποθετηµένη γύρω από το µηδέν. L+ L υin ( ) Τυπική χαρακτηριστική για απλούς ενισχυτές που λειτουργούν µε απλό (θετικό) δυναµικό. Με την τεχνική της πόλωσης είναι εφικτή η γραµµική ενίσχυση από ένα ενισχυτή του οποίου η χαρακτηριστική είναι αυτή του σχήµατος. Εισαγωγή 1-13

14 Με την πόλωση το κύκλωµα λειτουργεί σε σηµείο το οποίο βρίσκεται περίπου στη µέση της χαρακτηριστικής µεταφοράς. Η πόλωση επιτυγχάνεται µε την εφαρµογή µιας τάσης VI όπως φαίνεται στο σχήµα. Το σηµείο λειτουργίας σηµειώνεται µε το γράµµα Q. Για τάση εισόδου υin = η τάση εξόδου είναι V. Το σηµείο Q είναι γνωστό ως σηµείο ηρεµίας ή σηµείο πόλωσης ή απλά σηµείο λειτουργίας. υou ( ) V+ L+ V L Q κλίση = Αυ υin ( ) VI VI υi ( ) υo ( ) υin ( ) Το µεταβαλλόµενο χρονικά σήµα εισόδου υin() που πρόκειται να ενισχυθεί, υπερτίθεται στην dc τάση πόλωσης VI. Η ολική στιγµιαία τάση εισόδου υi() υ I ( ) = VI + υin ( ) µεταβάλλεται γύρω από την VI και το στιγµιαίο σηµείο λειτουργίας κινείται γύρω από το σηµείο λειτουργίας Q. Εισαγωγή 1-14

15 υou ( ) V+ L+ V L Q κλίση = Αυ υin ( ) VI VI υi ( ) υo ( ) υin ( ) Κρατώντας το πλάτος της υin() µικρό, το στιγµιαίο σηµείο λειτουργίας µπορεί να περιοριστεί στο γραµµικό τµήµα της καµπύλης µεταφοράς γύρο από το Q, και έτσι το χρονικά µεταβαλλόµενο τµήµα του σήµατος εξόδου του συστήµατος είναι ανάλογο του υin(), δηλαδή, υou ( ) = υ υin ( ) και το ολικό σήµα εξόδου είναι υo ( ) = V + υou ( ) Εισαγωγή 1-15

16 υou ( ) υou ( ) L+ V Q υ κλίση = Αυ υ L υin ( ) υin ( ) Όταν ο ενισχυτής έχει πολωθεί σωστά και το σήµα στην είσοδό του κρατείται αρκούντως µικρό τότε υποθέτουµε ότι λειτουργεί στη γραµµική περιοχή και χρησιµοποιούµε τεχνικές ανάλυσης γραµµικών κυκλωµάτων για τη µελέτη της λειτουργίας του. Εισαγωγή 1-16

17 υou ( ) υou ( ) υ L+ Q V κλίση = Αυ L υ υin ( ) υin ( ) Αύξηση του πλάτους του σήµατος εισόδου µπορεί να έχει ως αποτέλεσµα η λειτουργία του συστήµατος να µην βρίσκεται πλέον στο γραµµικό τµήµα της καµπύλης µεταφοράς. Αυτό µε την σειρά του προκαλεί παραµόρφωση στη καµπύλη εξόδου. Η παραµόρφωση η οποία οφείλεται στη µη γραµµική παραµόρφωση είναι ανεπιθύµητη και πρέπει να αποφεύγεται. Εισαγωγή 1-17

18 ΚΥΚΛΩΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΓΙΑ ΕΝΥΣΧΥΤΕΣ Θα αναπτυχθούν µεθοδολογίες σχεδιασµού ενισχυτών χρησιµοποιώντας τρανζίστορ διαφόρων τύπων. Θα µελετηθούν απλά και αποτελεσµατικά µοντέλα ενισχυτών. Τα µοντέλα αυτά βρίσκουν εφαρµογή ανεξάρτητα από την πολυπλοκότητα του εσωτερικού κυκλώµατος του ενισχυτή. Οι τιµές των παραµέτρων του µοντέλου µπορούν να βρεθούν είτε από την ανάλυση του κυκλώµατος του ενισχυτή ή παίρνοντας µετρήσεις πάνω στους ακροδέκτες του. Εισαγωγή 1-18

19 Κυκλωµατικό µοντέλο Ενισχυτή τάσης Rs R υin Ri υoυin R υin υs υou ii Ri υoυin io RL υou Ο ενισχυτή τάσης µε πηγή σήµατος στην είσοδο και φορτίο Κυκλωµατικό µοντέλο ενισχυτή τάσης Το µοντέλο αποτελείται από µία πηγή τάσης ελεγχόµενη από τάση µε συντελεστή κέρδους υο όπου υο είναι το κέρδος τάσης ενισχυτή χωρίς φορτίο ή κέρδος τάσης ανοικτού κυκλώµατος, υo υo υi io = µία αντίσταση εισόδου Ri η οποία υπάρχει επειδή ο ενισχυτής τραβά κάποιο ρεύµα από την πηγή σήµατος εισόδου, και µία αντίσταση εξόδου Rο η οποία υπάρχει επειδή λόγω της αλλαγής στην τάση εξόδου, καθώς ο ενισχυτής καλείται να τροφοδοτήσει µε ρεύµα το φορτίο Εισαγωγή 1-19

20 Rs υs ii R υin Ri υoυin io RL υou Ο ενισχυτή τάσης µε πηγή σήµατος στην είσοδο και φορτίο Η µη µηδενική αντίσταση εξόδου Ro έχει ως αποτέλεσµα να εµφανίζεται στην έξοδο µόνο ένα ποσοστό της υo υi RL υo = υo υi RL + Ro υo RL υ = υo υi RL + Ro RL υ = υo για δεδοµένη αντίσταση φόρτου RL θα πρέπει ο ενισχυτής να σχεδιαστεί έτσι ώστε η Ro να είναι πολύ µικρότερη από την RL. Η πεπερασµένη αντίσταση εισόδου Ri έχει ως αποτέλεσµα ένα µέρος του σήµατος της πηγής να φτάνει στους ακροδέκτες του ενισχυτή. υi = υ s Ri Ri + Rs Ο ενισχυτής θα πρέπει να σχεδιαστεί, έτσι ώστε να έχει αντίσταση εισόδου Ri πολύ µεγαλύτερη από την αντίσταση της πηγής σήµατος, δηλαδή, Ri >> Rs. Εισαγωγή 1-2

21 Παράδειγµα Δίνεται ο ενισχυτής τάσης τριών βαθµίδων του σχήµατος Στάδιο 1 πηγή Rs = 1 KΩ υs ii Στάδιο 2 R2 =1 KΩ R1 =1KΩ υ i1 Ri1 =1MΩ Στάδιο 3 1υi1 υi 2 Ri 2 =1 KΩ Φορτίο R3 =1 Ω 1υi 2 υi 3 Ri 3 =1 KΩ 1υ i 2 io RL =1 Ω Ο ενισχυτή τάσης τριών βαθµίδων Το συνολικό κέρδος τάσης, δηλαδή το υl/υs είναι Αυ = 818 V/V ή 58,3 db. Το κέρδος ρεύµατος, δηλαδή, το io / ii είναι Αi = 8,18 16 / ή 138,3 db. Το κέρδος ισχύος, δηλαδή, το PL / PI είναι ΑP = 66,9 18 W/W ή 98,3 db. Ισχύει p db = 1 2 υ db + υ db Εισαγωγή 1-21 υl

22 Κυκλωµατικό µοντέλο Ενισχυτή ρεύµατος ii io Ri is ii R Κυκλωµατικό µοντέλο ενισχυτή ρεύµατος ii is Rs υ i io Ri is ii R RL υo Ο ενισχυτή ρεύµατος µε πηγή σήµατος στην είσοδο και φορτίο Το µοντέλο αποτελείται από µία πηγή ρεύµατος ελεγχόµενη από το ρεύµα µε συντελεστή κέρδους ρεύµατος is οποίος ονοµάζεται κέρδος ρεύµατος βραχυκυκλώµατος (/) io ii ο υo = µία αντίσταση εισόδου Ri και µία αντίσταση εξόδου Rο Εισαγωγή 1-22

23 Κυκλωµατικό µοντέλο Ενισχυτή ρεύµατος ii is Rs υ i io Ri is ii R RL υo Ο ενισχυτή ρεύµατος µε πηγή σήµατος στην είσοδο και φορτίο Η µη µηδενική αντίσταση εξόδου Ro έχει ως αποτέλεσµα η οποία έχει ως αποτέλεσµα µόνο ένα µέρος του is να φτάνει στην είσοδο του ενισχυτή io = is ii Ro Ro + RL i io Ro = is ii Ro + RL Ro >> RL i = is για δεδοµένη αντίσταση φόρτου RL για να αποφευχθεί απώλεια κέρδους στη ζεύξη του ενισχυτή ρεύµατος µε το φόρτο, θα πρέπει ο ενισχυτής να σχεδιαστεί έτσι ώστε η Ro να είναι πολύ µεγαλύτερη από την RL. Ένας ιδανικός ενισχυτής ρεύµατος παρουσιάζει άπειρη αντίσταση εξόδου. Όταν RL =, το κέρδος ρεύµατος είναι ίσο µε Αis για το λόγω αυτό το Αis ονοµάζεται κέρδος ρεύµατος βραχυκυκλώσεως. Εισαγωγή 1-23

24 Κυκλωµατικό µοντέλο Ενισχυτή ρεύµατος ii is Rs υ i io Ri is ii R RL υo Ο ενισχυτή ρεύµατος µε πηγή σήµατος στην είσοδο και φορτίο Η µη µηδενική αντίσταση εισόδου Rs έχει ως αποτέλεσµα µόνο ένα µέρος του is να φτάνει στην είσοδο του ενισχυτή ii = is Rs Rs + Ri για να µειωθεί η απώλεια σήµατος στην πλευρά της εισόδου, ο ενισχυτής ρεύµατος πρέπει να σχεδιαστεί ώστε Ri << Rs. Ένας ιδανικός ενισχυτής ρεύµατος παρουσιάζει µηδενική αντίσταση εισόδου. Εισαγωγή 1-24

25 Κυκλωµατικό µοντέλο Ενισχυτή διαγωγιµότητας io υi Ri Gmυi R Κυκλωµατικό µοντέλο ενισχυτή διαγωγιµότητας Rs υs ii io υi R Ri Gmυi RL υo Ο ενισχυτή διαγωγιµότητας µε πηγή σήµατος στην είσοδο και φορτίο Το µοντέλο αποτελείται από µία πηγή ρεύµατος ελεγχόµενη από τη τάση µε παράµετρο κέρδους Gm io υi η οποία ονοµά- ζεται διαγωγιµότητα βραχυκυκλώµατος (µε µονάδα /V, δηλαδή αγωγιµότητας) µία αντίσταση εξόδου Rο. Θα πρέπει Ro << RL. Η ιδανική περίπτωση είναι Ro =. και µία αντίσταση εισόδου Ri. Θα πρέπει Ri << Rs. Η ιδανική περίπτωση είναι Ri =. Εισαγωγή 1-25

26 Κυκλωµατικό µοντέλο Ενισχυτή διαντίστασης ii R Ri io Rmii Κυκλωµατικό µοντέλο ενισχυτή διαντίστασης ii is Rs υ i io Ri is ii RL υo Ο ενισχυτή διαντίστασης µε πηγή σήµατος στην είσοδο και φορτίο Το µοντέλο αποτελείται από υ o µία πηγή ρεύµατος ελεγχόµενη από τη τάση µε παράµετρο κέρδους Rm i η οποία ονοµάi ζεται διαντίσταση ανοικτού κυκλώµατος (µε µονάδα V/, δηλαδή αντίστασης) µία αντίσταση εξόδου Rο. Θα πρέπει Ro << RL. Η ιδανική περίπτωση είναι Ro =. και µία αντίσταση εισόδου Ri. Θα πρέπει Ri << Rs. Η ιδανική περίπτωση είναι Ri =. Εισαγωγή 1-26

27 Σχέσεις µεταξύ των µοντέλων ενισχυτών ii υi R υi Ri υoυi io io ii υo υi Ri is ii R υo Κυκλωµατικό µοντέλο ενισχυτή τάσης Κυκλωµατικό µοντέλο ενισχυτή ρεύµατος Η τάση εξόδου ανοικτού κυκλώµατος στο µοντέλο του ενισχυτή τάσης είναι Η τάση εξόδου ανοικτού κυκλώµατος στο µοντέλο του ενισχυτή ρεύµατος είναι υo = υo υi υo = is si Ro δεδοµένου ότι ii = υi υi Ro υ = R έχουµε την υo i Τελικά ισχύει = is υo is Ri Ri o Ri Παρόµοια αποδεικνύονται και οι σχέσεις υo = Gm Ro υo = Rm Ri Εισαγωγή 1-27

28 Το διπολικό τρανζίστορ ενώσεως (bipolar juncion ransisor BJT) C ib ( ) ic B ib IB υce υ BE ie E Κυκλωµατικό σύµβολο διπολικού Τρανζίστορ Ib ib ( ) = I B + ib ( ) = I B + I b cos( 2π f + ϕ ) Το στοιχείο είναι κατά κύριο λόγο µη γραµµικό. Οι ολικές στιγµιαίες ποσότητες µπορούν να εκφραστούν ως αθροίσµατα ποσοτήτων dc ή πόλωσης και σηµάτων, δηλαδή, υ BE = VBE + υbe ib = I B + ib υce = VCE + υce ic = I C + ic ie = I E + ie Εισαγωγή 1-28

29 Στην περίπτωση προσέγγισης ασθενούς σήµατος οι σχέσεις µεταξύ των σηµάτων είναι γραµµικές και το τρανζίστορ µπορεί να παρασταθεί µε ένα από τα ισοδύναµα κυκλωµατικά µοντέλα C B ic ib B ib ic rπ υce υ BE ie E Μοντέλο ενισχυτή ρεύµατος E ib = B β ib υ be Κυκλωµατικό σύµβολο διπολικού Τρανζίστορ ie C ib ic rπ υ be C υbe rπ ic = β ib ie = (β + 1) ib ic = g m υbe g m υbe Συνδυάζοντας τις εξισώσεις έχουµε ie E Μοντέλο ενισχυτή διαγωγιµότητας gm = β rπ ic β = και ie β + 1 ie = β +1 rπ υbe Εισαγωγή 1-29

30 Απόκριση συχνότητας συστήµατος Η συµπεριφορά των γραµµικών συστηµάτων περιγράφεται από την κρουστική απόκριση, τη συνάρτηση µεταφοράς και την απόκριση συχνότητας. Η απόκρισης συχνότητας είναι µιγαδική συνάρτηση της συχνότητας ω και γενικά έχει τη µορφή H (ω) = H (ω) e j arg H ω ( ) Απόκριση πλάτους x ( ) = cos(ω + φ ) H (ω ) Απόκριση φάσης y ( ) = H (ω ) cos(ω + φ + arg H (ω )) Η διατήρηση της συχνότητας αποτελεί βασική ιδιότητα των γραµµικών συστηµάτων Το πλάτος της εξόδου είναι ίσο µε το γινόµενο του πλάτους της εισόδου επί το µέτρο της απόκρισης συχνότητας του συστήµατος υπολογισµένου στην κυκλική συχνότητα ω. Η φάση της εξόδου του συστήµατος είναι µετατοπισµένη ως προς τη φάση της εισόδου και προσδιορίζεται ως άθροισµα της φάσης του σήµατος εισόδου και της φάσης της απόκρισης συχνότητας προσδιορισµένης στην κυκλική συχνότητα ω του σήµατος εισόδου. Εισαγωγή 1-3

31 y ( ) = συν (2π f + π 2 ) Η έξοδος του συστήµατος όταν f = 5 Hz. x ( ) = συν (2π f + π 4 ) y ( ) = συν (2π f + π 4 ) H ( f ) T π 1 2 f arg H ( f ) 2 π Το σήµα εισόδου x() f Η έξοδος του συστήµατος όταν f = 1 Hz. y ( ) = 2 συν (2π f ) 2 2 Η έξοδος του συστήµατος όταν f = 15 Hz. Εισαγωγή 1-31

32 ΙΔΑΝΙΚΟ ΦΙΛΤΡΟ ΒΑΣΙΚΗΣ ΖΩΝΗΣ - ΚΑΤΩΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ H (ω ) = e j ω, ω < ω c, ω > ω c όπου ωc είναι η συχνότητα αποκοπής. H (ω ) 1 αποκοπής ω c arg H (ω ) κλίση = - διέλευσης ωc ω ω αποκοπής Η επίδραση του φίλτρου σε ένα σήµα εισόδου, µε φασµατικό περιεχόµενο εντοπισµένο στη ζώνη διέλευσης, είναι µια χρονική καθυστέρηση. H (ω ) x ( ) ω c y ( ) = x ( ) 1 ωc Εισαγωγή 1-32

33 x1 ( ) y1 ( ) H (ω ) argh(ω) 1 ωc κλίση = ωc ω x2 ( ) y2 ( ) H (ω ) argh(ω) 1 ωc κλίση = x( ) = x1 ( ) + x2 ( ) ωc ω y( ) = y1( ) + y2 ( ) H (ω ) argh(ω) 1 ωc κλίση = ωc ω Εισαγωγή 1-33

34 x1 ( ) y1 ( ) H (ω ) argh(ω) 1 ωc ωc x2 ( ) ω y2 ( ) H (ω ) argh(ω) 2 1 ωc ωc x( ) = x1 ( ) + x2 ( ) 1 ω y( ) = y1( ) + y2 ( ) H (ω ) argh(ω) 1 ωc ωc ω Εισαγωγή 1-34

35 Ιδανικά φίλτρα H ( f ) H ( f ) 1 1 διέλευσης fc f αποκοπής fc αποκοπής διέλευσης Ιδανικό υψιπερατό φίλτρο Ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο H ( f ) f H ( f ) 1 1 αποκοπής f1 f2 διέλευσης f αποκοπής Ιδανικό ζωνοπερατό φίλτρο διέλευσης f1 f2 αποκοπής f διέλευσης Ιδανικό ζωνοφρακτικό φίλτρο Εισαγωγή 1-35

36 Πραγµατικά φίλτρα H ( f ) H ( f ) LPF 2 2 διέλευσης fc f αποκοπής Πραγµατικό βαθυπερατό φίλτρο H ( f ) f διέλευσης Πραγµατικό υψιπερατό φίλτρο ΒPF 2 2 f2 f1 διέλευσης ΒRF αποκοπής αποκοπής fc H ( f ) HPF f αποκοπής Πραγµατικό ζωνοπερατό φίλτρο διέλευσης f1 f2 αποκοπής f διέλευσης Πραγµατικό ζωνοφρακτικό φίλτρο Εισαγωγή 1-36

37 Βαθυπερατά συστήµατα πρώτης τάξης. Τα βαθυπερατά ΓΧΑ σύστηµα πρώτης τάξης περιγράφονται από τη διαφορική εξίσωση dy ( ) + a y ( ) = b x( ) d Η συνάρτηση µεταφοράς των βαθυπερατών ΓΧΑ συστηµάτων πρώτης τάξης έχει τη µορφή H ( s) = b k = s+a 1 + ωsc Η απόκριση συχνότητας των βαθυπερατών ΓΧΑ συστηµάτων πρώτης τάξης έχει τη µορφή H ( jω ) = k b = ω jω + a 1+ jω c H (ω ) k k 2 ωc ω Απόκριση πλάτους βαθυπερατού συστήµατος πρώτης τάξης Εισαγωγή 1-37

38 Διαγράµµατα Bode Επειδή ο λογάριθµος εκτείνει την κλίµακα, η χρησιµοποίηση λογαριθµικής κλίµακας εξασφαλίζει καλύτερη ευκρίνεια όταν το εύρος των συχνοτήτων που µας ενδιαφέρει είναι µεγάλο ή περιορίζεται σε µικρές τιµές κοντά στο µηδέν. Δεκάδα 1 2 Οκτάβα log( f ) Η δεκάδα είναι το εύρος ζώνης συχνοτήτων για την οποία ο λόγος της µέγιστης προς την ελάχιστη συχνότητα είναι ίσο µε 1 Η οκτάβα είναι το εύρος ζώνης συχνοτήτων για την οποία ο λόγος της µέγιστης προς την ελάχιστη συχνότητα είναι ίσο µε 2 Στην γραφική παράσταση της απόκρισης πλάτους (απόκρισης κέρδους) και της απόκρισης φάσης συνήθως χρησιµοποιείται λογαριθµική κλίµακα για την συχνότητα. Διαγράµµατα που απεικονίζουν την απόκριση πλάτους ή την απόκριση φάσης ενός φίλτρου σε db, σε συνάρτηση µε τη συχνότητα, ονοµάζονται διαγράµµατα Bode. Εισαγωγή 1-38

39 Διαγράµµατα Bode βαθυπερατού συστήµατος πρώτης τάξης. Χρησιµοποιούµε λογαριθµική κλίµακα για τη συχνότητα, και ως µονάδα µέτρου το decibel (db). Η κλίµακα των db βασίζεται στην αντιστοιχία db = 2 log1 H (ω) 2 log H(ω) 2 log1 H (ω ) = 2 log(ωc ) 2 2 log1 H (ω ) 2 log1 τ 2 log1 ω log(ω ) 3 db 4 6 Απόκριση πλάτους βαθυπερατού συστήµατος πρώτης τάξης Εισαγωγή 1-39

40 Υψιπερατά συστήµατα πρώτης τάξης. Τα υψιπερατά ΓΧΑ σύστηµα πρώτης τάξης περιγράφονται από τη διαφορική εξίσωση d y ( ) d x( ) + a y ( ) = b d d Η συνάρτηση µεταφοράς των υψιπερατών ΓΧΑ συστηµάτων πρώτης τάξης έχει τη µορφή H ( s) = bs ks = s + a s + ωc Η απόκριση συχνότητας των υψιπερατών ΓΧΑ συστηµάτων πρώτης τάξης έχει τη µορφή k bs = H ( jω ) = ω jω + a 1 j ωc H (ω ) k k 2 ωc ω Απόκριση πλάτους υψιπερατού συστήµατος πρώτης τάξης Εισαγωγή 1-4

41 Διαγράµµατα Bode υψιπερατού συστήµατος πρώτης τάξης. Χρησιµοποιούµε λογαριθµική κλίµακα για τη συχνότητα, και ως µονάδα µέτρου το decibel (db). Η κλίµακα των db βασίζεται στην αντιστοιχία db = 2 log1 H (ω) 2 log H(ω) 2 log(ωc ) 2 3 db log(ω ) 4 6 Απόκριση πλάτους υψιπερατού συστήµατος πρώτης τάξης Εισαγωγή 1-41