Princip inercije. Ako tijelo ostavimo na nekom mjestu ono će ostati mirovati ili se gibati jednolikom brzinom po pravcu.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Princip inercije. Ako tijelo ostavimo na nekom mjestu ono će ostati mirovati ili se gibati jednolikom brzinom po pravcu."

Transcript

1

2 Princip inercije Ako tijelo ostavimo na nekom mjestu ono će ostati mirovati ili se gibati jednolikom brzinom po pravcu.

3 Razvio koncept dinamike Pretpostavio je da je gibanje tijela nečim uzrokovano Definirao tri osnovna zakona gibanja

4 Gravitacija Elektro-magnetska sila (Lorentz-ova) Jaka sila Slaba sila

5 proton + Elektromagnetska sila Gravitacijska sila elektron

6 Jaka sila veže protone i neutrone u atomskoj jezgri

7 proton + Slaba sila: n Raspad neutrona elektron

8 Opis gibanja u klasičnoj mehanici uključuje izbor referentnog sustava. Uključuje izbor: Prostorno ishodište, Prostorne koordinate koje odreďuju poziciju tijela Vremensko ishodište mjerenje vremena.

9 Dva referentna sustava se mogu razlikovati na više načina Različita vremenska ishodišta (istovremenost) Različita prostorna ishodišta i orijentacija osi Relativna brzina ili akceleracija Mudar odabir referentnog sustava može jako pomoći pronalaženju riješenja odreďenog problema. Svi referentni sustavi nisu fizikalno ekvivalentni. Zakoni mehanike mogu biti formulirani u jednostavnoj formi u inercijalnim sustavima. Zakoni mehanike neovisni su o upotrijebljenom inercijalnom referentnom sustavu.

10

11 Masa tijela je mjera inercije, tj. otpor tijela promjeni brzine (akceleraciji). Mjerna jedinica (SI): kilogram Mjerenja mase Troma masa Teška (gravitaciona) masa

12 Inercija (tromost) je tendecija tijela da nastavi s gibanje kakvo je imalo prije promjene Masa je mjera tromosti, tj. otpor tijela da promjeni stanje svog gibanja uslijed djelovanja sile

13 Zaštitni pojas Inercija (tromost) je tendecija tijela da nastavi s gibanje kakvo je imalo prije promjene Masa je mjera tromosti, tj. Otpor tijela da promjeni stanje svog gibanja uslijed djelovanja sile

14 Neformalno: mjera djelovanja na tijelo koje uzrokuje njegovo pokretanje. Formalno: mjera akcije potrebne da se tijelo referentne mase (npr. jedinične mase) pokrene s odreďenom akceleracijom. Mjerna jedinica (SI): njutn (N) Newton je definiran kao sila potrebna da ubrza masu jednog kilograma akceleracijom od 1 m/s 2. N kg m s 2

15 Tijelo će ostati u stanju mirovanja ili jednolikog gibanja po pravcu ako na njega ne djeluje niti jedna sila ili ako je zbroj svih sila koje djeluju na njega 0 Prvi zakon je poznat i kao princip inercije. To u stvari ponavlja Galileovu ideju inercije (tromosti).

16 Akceleracija tijela je direktno proporcionalna ukupnoj sili koja djeluje na to tijelo, a inverzno proporcionalna njegovoj masi. F ma

17 Demo: povlačenje stolnjaka vaza s cvijećem stolnjak naglo povući Zbog svoje tromosti vaza ostaje na mjestu jer skoro nikakva sila ne djeluije na vazu ako stolnjak povučemo brzo.

18 TakoĎer se može primijeniti i u 3 - dimezije Akceleracija može takoďer biti uzrokovana promjenom smjera brzine prikazuje vektorsku sumu svih vanjskih sila koje djeluju na tijelo. raspisano po komponentama u 3D

19 Što je veća sila koja djeluje na objekt, veće je ubrzanje tog objekta. Sila ubrzanje mala sila malo ubrzanje velika sila veliko ubrzanje

20 Što je veća masa objekta, manje je njegovo ubrzanje, ako djelujemo na njega istom silom. mala masa veliko ubrzanje velika masa malo ubrzanje

21 Ubrzanje slobodnog pada Newtonov drugi zakon objašnjava zašto teški i laki predmeti padaju s istim ubrzanjem. Omjer sile teže i mase je uvijek isti (sila teža ovisi o masi)

22 Svatko može sigurno leći ili sjesti na krevet od čavala, dok god ima dovoljno čavala da je sila po čavlu mala. Težina od 100 kg(!?) se distribuira na preko 300 čavala. Sila po čavlu je 1/3 kg. Trebate 5kg po čavlu da bi probušitl kožu. Jedina stvar koju nikad ne želite učiniti s krevetom od čavala je skočiti u krevet! Veliko usporavanje znači veliku silu!!!!

23 Tijelo se pod djelovanjem sile giba na takav način da je vremenska promjena (derivacija) njegovog momenta jednaka sili. F dp F Vektor koji opisuje veličinu i smjer sile koja djeluje na tijelo dt p Vector koji opisuje veličinu i smjer impulsa (momenta) ili količine gibanja tijela.

24 Impuls ili količina gibanja p mv m v Vektorska r Skalarna veličina koja opisuje količinu materije (ili tromost) nekog tijela. veličina koja opisuje brzinu i smjer gibanja nekog tijela. v dr dt Vektorska veličina koja opisuje položaj i udaljenost tijela relativno prema odabranom ishodištu i osima našeg referentnog sustava. Definicija sile je kompletna i točna samo onda kad definiramo što je to masa.

25 Uobičajena formulacija Newtonovog drugog zakona Pretpostavimo li da je masa, m, tijela konstantna veličina možemo pisati: dp d dv F mv m dt dt dt Uobičajena formulacija Newtonovog drugog zakona: Gdje je vektor akceleracije vremenska promjena brzine a definiran kao F ma dv a dt

26 Uvodimo simboličku pokratu: r dr dt r 2 dr dt 2 Newtonov drugi zakon i mnoge druge veličine mogu biti pisane na slijedeći način: F mv v r a v a r F mr F p

27 Newtonov drugi zakon je vektorska diferencijalna jednadžba drugog reda. mr U jednoj dimenziji reducira se na Što se može integrirati x(t) 1 m F x(t) F(t) / m F(t)dt x( t) ( ) x t dt Za konstantne sile dobivamo poznate izraze F v( t) x( t) t v x(t) F o m 2m t 2 v o t x o

28 Ako tijelo A djeluje silom na tijelo B (akcija), tada tijelo B djeluje istom silom na tijelo A ali suprotnog smjera (reakcija). Ove dvije sile su iste veličine ali suprotnog smjera. Ovaj zakon vrijedi u zatvorenom sustavu F F AB BA (Budite pažljivi s minus predznakom! Ovo je vektorska jednadžba!) F 12 r F F 12

29

30 n i n n je normalna sila, sila kojom stol djeluje na TV n je uvijek okomita na podlogu n je reakcija - TV djeluje na stol n = - n

31 F g i F g F g je sila kojom Zemlja djeluje na tijelo (TV) F g je sila kojom tijelo djeluje na Zemlju F g = -F g

32

33

34 Pretpostavimo da dva tijela tvore idealan izolirani sustav. Pretpostavimo konstantne mase Akceleracije tih dvaju tijela su u suprotnom smjeru. Omjer akceleracija jednak je inverznom omjeru masa tih dvaju tijela. F F 1 2 dp dt d dt m dp dt 1 2 d dt dv dt m v m v dv dt m m 2 m 1 a 1 a 2

35 Mjerimo relativnu akceleraciju tijela nepoznate mase i referentne (jedinične) mase. a 1 a 2 m 2 Usporedba težina na vagi. upotrebljavano F= ma & G=mg g je novisno o masi tijela. ekvivalencija trome i teške mase!!

36 Pretpostavke Objekti se ponašaju kao čestice (sva masa je koncentrirana u jednoj točki) Možemo ignorirati rotaciono gibanje (za sada) Mase opruga ili niti (njihalo) su zanemarive Zanimaju nas samo sile koje djeluju na tijelo

37 Troma masa: Masa tijela odreďena akceleracijom koju tijelo dobiva pod djelovanjem vanjske sile. Teška masa: Masa odreďena gravitacionim privlačenjem meďu tijelima. Hipoteza da su te dvije mase ekvivalentne naziva se princip ekvivalencije.

38 1. Prvi test principa ekvivalencije izveo je Galileo (Pisa). 2. Newton je razmatrao taj problem koristeći njihala iste duljine imase ali načinjenih od različitih materijala. 3. Recentni eksperimenti daju jednakost do na nekoliko djelova u

39 U stvarnosti je nemoguće imati izolirani sistem ipak Treći Newtonov zakon implicira: d p 1 p 2 dt p p constant Implicira zakon očuvanja količine gibanja Vjeruje se da striktno vrijedi pod svim uvijetima. Esencijalno se koristi kao postulat/osnova moderne fizike.

40 Zakoni gibanja imaju smisla samo u inercijalnim referentnim sustavima. Referentni sustav smatramo inercijalnim ako se u njemu tijelo na koje ne djeluje nikakva vanjska sila giba jednoliko po pravcu ili miruje. Ako Newtonovi zakoni vrijede u datom referentnom sustavu onda vrijede u bilo kojem referentnom sustavu koji se giba jednolikom brzinom relativno prema prvom sustavu. Promjena referentnog sustava koja uključuje konstantnu brzinu ne mijenja jednadžbe. d( v( t) v ) dv() t F m o m dt dt Ovo se naziva Galilejeva invarijantnost ili princip Newtonovske relativnosti

41 Ne postoji nešto što bi mogli proglasiti apsolutnim mirovanjem ili apsolutnim inercijalnim referentnim sustavom I prostor i vrijeme se pretpostavljeju/zahtijevaju da su homogeni.

42 Drugi zakon za fiksno tijelo: F dp dt d mv dv F m mr dt dt Diferencijalna jednadžba drugog reda. Ako znamo F (silu) i početne i rubne uvijete ta jednadžbu možemo integrirati da bismo našli položaj tijela kao funkciju vremena: r r() t

43 Sila općenito može biti funkcija bilo koje kombinacije položaja, brzine i vremena. Općenito ju označavamo kao: Uz podsjetnik: Bez vanjske sile tijelo ostaje na miru ili se giba jednoliko po pravcu. Činjenica da je vanjska sila jednaka nuli može takoďer značiti da je suma svih sila koje djeluju na tijelo jednaka nuli. F r, v, t Uz djelovanje vanjske sile tijelo dobiva akceleraciju koja je u smjeru sile i ovisi o masi tijela. Fi 0 i Svakoj akciji suprostavlja se reakcija jednaka po iznosu ali suprotnog smjera. F a m

44 Neke osnovne informacije Kada se primjenjuju Newtonovi zakoni, interesiraju nas samo vanjske sile! Zašto? Jer, kao što je opisano Newtonovim prvim zakonom, objekt će zadržati svoje sadašnje kretanje, sve dok na njega ne djeluje neka vanjska sila. Normalna sila, N: Sila reakcije koja reagira na gravitacijsku silu. Njezin pravac je okomit na površinu tijela. Napetost, T: Sila reakcije opruge na vanjsku silu na nju. Dijagram slobodnog tijela Grafički alat koji je dijagram vanjskih sila na objekt te je izuzetno koristan analizu snaga i pokreta! Crta se samo na objektu.

45 Dijagram slobodnog tijela Dijagram sila koje djeluju na tijelo 1. Odaberite točku na objektu (hvatište) 2. Identificirajte sve sile koje djeluju samo na odabrani objekt 3. Definirajte referentni sustav s određenim pozitivnim i negativnim osima 4. Nacrtati strelice koje predstavljaju vektore sila u odabranoj točki 5. Izrazite jednadžbu sila 6. Izrazite sile po komponentama M F N Što mislite koje sile djeluju na objekt? F N F G M g F G M g Gravitaciona sila Sila otpora koja dolazi od podloge F T Koje sile djeluju u dizalu? F T F G M g F G M g F N M e m F GB mg Gravitaciona sila Što je s paketom u dizalu? Sila kojom dižemo dizalo (napetost) Gravitaciona sila Normalna sila F N F BG mg 45

46 MeĎusobna privlačna sila izmeďu bilo koja dva tijela Izražena Newtonovim zakonom univerzalne gravitacije: mm F G 1 2 g r 2

47 Ne mogu čitati jer moji nisu uplatili račun za gravitaciju

48 Iznos gravitacione sile koja djeluje na tijelo mase m u blizini Zemljine površine naziva se težina tijela G. Gravitaciona sila daje akceleraciju od g=9.81 m/s 2 što znači da je sila oblika G mg Specijalni slučaj drugog Newtonovog zakona Primjer: gimnastičarka mase 51kg ima težinu od 500N (jedinice!!!).

49 Težina nije inherentno svojstvo tijela masa je inherentno svojstvo Težina ovisi o lokaciji

50 Bez težine? da li stvarno? (NASA)

51 Težina djeluje tako kao da joj je hvatište u težištu tijela Njoj se suprotstavlja normalna sila koja dolazi od podloge. Normalne sile dolaze zbog odbijanja atoma Normalne sile su okomite na površinu Da li težina i normalna sila predstavljaju par akcija - reakcija?

52 Napetost nit dolazi kod užadi ili opruga i ovisi o pojedinačnoj konfiguraciji sila. Za niti bez mase napetost je konstantna duž cijele dužine niti.

53

54 Pretpostavimo da imamo nit s masom, te je potrebno u računu uzeti u obzir i njezinu težinu. U statičkom slučaju: T1T2w zašto? R Zapamtite, težina je sila te je njen smjer važan!!

55 Razbijte problem na manje dijelove. Definirajte sile na manjim dijelovima problema. Obratite pažnju na parove akcija reakcija. (VAŽNO).

56 Kolica mase mass m 1 postavljena su na kosinu nagiba 15 o. Užetom su vezana s kantom pijeska kao na slici. Koju masu pijeska m 2 moramo objesiti da bi se kolica gibala jednolikom brzinom? (pretpostavite da nema trenja)

57 Primjer dijagrama slobodnog tijela

58 Problem: Dijete drži sanjke na snježnoj padini (nema trenja) kao na slici. Ako sanjke imaju težinu od 77.0 N, naďi napetost užeta T i normalnu silu n kojom sanjke pritišću podlogu.

59 Odaberite koordinatni sustav takav da je x os orijentirana duž kosine, a y- os je okomita na podlogu Zamjenite gravitacionu silu s njenim komponentama 1. Uvodimo koordinatni sustav: Oy: y okomito na podlogu Ox: x duž kosine Početni podaci: kut: a=30 težina: w=77.0 N Napetost užeta T=? Normalna sila n=? Ox: Oy: F 0 F x T mgsina 0, T mg(sin 30 F y T mg(cos 30 ) 77.0N(sin 30 n mg cosa 0, ) 77.0N(cos 30 ) 38.5N ) 66.7N

60 q Sanduk mase M se nalazi na kosini bez trenja koja je nagnuta pod kutom q. a) Odrediti ubrzanje sanduka nakon što je otpušten. y n F g x q Dijagram Slobodnog tijela y n x F= -Mg F F x F y F g Ma x a x g sinq May n F n F gy gx ma Mg sinq n mg cosq 0 Pretpostavimo da je sanduk pušten na vrhu kosine duljine d. Koliko dugo treba sanduku da dođe do dna i kolika je njegova brzina pri dnu? d v xf v v ix ix t a 1 2 x a x t t g sinq v xf g sinq t 2 2d g sinq t 2dg sinq 2dg sinq 2d g sinq

61 Mikroskopski površine nisu idealno glatke već se satoje od neravnina. Te neravnine uzrokuju trenje. Koja sila u stvari uzrokuje trenje?

62 Metali imaju mnogo kompliciranije trenje. Kako površine dolaze u bliski kontakt atomi podliježu hladnom varenju. Razbijanje tih struktura doprinosi trenju. Broj atoma u kontaktu definira kako su jako plohe pritisnute jedna o drugu.

63 Eksperimentalno je otkriveno da je iznos trenja proporcionalan komponenti težine normalnoj (okomitoj) na podlogu. Statičko trenje: sila trenja opire se sili koja nastoji pomaknuti tijelo. Kinetičko trenje: Sila trenja koja dolazi zbog gibanja tijela. gfl/lecture

64 Kako se tijelo ne giba nema sile Empirijska formula gdje je s koeficijent statičkog trenja Sila trenja F f uravnotežuje vanjsku silu do trenutka kad je F=F f. Sila otpora koja djeluje na tijelo sve do neposredno prije početka gibanja Što nam kaže ova formula? Sila trenja raste dok ne dosegne neku graničnu vrijednost!!!

65 Kinetičko trenje suprostavlja se gibanju tijela gdje je K koeficijent kinetičkog trenja Izvan granične vrijednosti, nema više statičkog trenja, već imamo kinetičko trenje (trenje gibanja). Za razliku od statičkog trenja, kinetičko trenje ima fiksnu vrijednost i ne ovisi o vanjskoj sili. (Da li je to stvarno točno?)

66 Općenito, s je veći od K (npr. čelik - čelik; s =0.74 and K =0.57) Nema relativnog gibanja Relativno gibanje

67 Nema klizanja Samo što nije došlo do klizanja Klizanje

68

69

70 Početni položaj x(0) = 0 Početna brzina v(0) = 0 y F mx mg sinq f x F my N mg cosq 0 y ali f N N mgcosq mx mg sinq mg cosq O f N x gsinq cosq G mg x gsinq cosqt q x x 1 2 g sinq cosq t 2

71

72 Konj tvrdi da zbog trećeg Newtonovog zakona kako god ja jako vukao kola i kola će mene vući istom silom. Kako uopće ja mogu povući kola?!?

73 Sila na sanjke kojom vuče čovjek Sila kojom sanjke djeluju na čovjeka Sila trenja na sanjke zbog podloge Sila na podlogu zbog sanjki Sila trenja na čovjeka zbog podloge Sila na čovjeka zbog podloge

74

75 Newtonovi zakoni djeluju savršeno u inercijalnim sustavima Za promatrače koji miruju ili se gibaju jednolikom brzinom u odnosu na situaciju koju promatraju svi Newtonovi zakoni su isti premda su neke veličine koje opisujemo (npr. brzina) relativne. Ako pretpostavimo da imamo akcelerirajuće (ili rotirajuće) sustave (neinercijalne) tada Newtonovi zakoni više ne vrijede!!! ALI mi možemo učiniti da Newtonovi zakoni vrijede i u neinercijalnim sustavima ako izmislimo fiktivne sile koje u stvari ne postoje (pod time smatramo da ne postoji fizikalni izvor sile). Tako u rotirajućim sustavima možemo dodati centrifugalnu silu da uravnotežimo centripetalnu silu!

76 Općenito sile nisu konstantne. Primjer toga je Hooke-ov zakon za oprugu, gdje je sila dana izrazom: - k je konstanta opruge Da bi izračunali Newtonove zakone s ne-konstantnim silama, potrebno je integrirati razne vektorske veličine što je pipkav posao. U slijedećim predavanjima vidjeti ćemo da se takvi problemi mnogo jednostavnije rješavaju koristeći koncepte rada i energije.

77 Elastična svojstva tijela Mi smo do sada pretpostavljali da tijela ne mijenjaju svoj oblik kada na njih djeluju vanjske sile. Dali je to realno? NE. U stvarnosti, tijela se deformiraju kako vanjske sile djeluju na njih, iako se unutrašnje sile odupiru deformaciji. Deformaciju tijela možemo promatrati kao: Naprezanje i deformaciju Naprezanje: veličina proporcionalna sili uzrokuje deformacije. Deformacija: Mjera za stupanj deformacije To je empirijski poznato da je za mala naprezanja, deformacija proporcionalna sili naprezanja Konstante proporcionalnosti se zovu moduli elastičnosti Modulu elastičnosti sila naprezanja deformacija Tipovi modula elastičnosti 1. Young-ov modul: mjeri elastičnost u jednoj dimenziji (duljina) 2. Shear-ov modul: mjeri elastičnost u ravnini 3. Volumni modul elastičnosti

78 Young-ov modul elastičnosti Uzmimo šipku površine poprečnog presjeka A i početne duljine L i. L i L f =L i +DL F ex Nakon rastezanja F ex Vlačno naprezanje površina poprečnog presjeka Vlačno naprezanje Young-ov modul definiran je kao Koja je jedinica Youngovog modula? Fex A Y F ex =F in Vlačna deformacija Vlačna deformacija Vlačno naprezanje Vlačna deformacija Sila po površini Fex A DL L i DL L Koristi se za karakterizaciju deformacije štapa ili žice kad ih rastežemo ili komprimiramo i Eksperimentalna zapažanja 1. Za fiksne vanjske sile, promjena u dužini je proporcionalna samoj dužine 2. Sila potrebne za generiranje deformacije proporcionalna je površini poprečnog presjeka Granica elastičnosti : Najveće naprezanje koje se može primijeniti na tijelo prije nego što se trajno deformira

79 Ciljevi: i) Razumijevanje osobine valnog gibanja, posebice sinusne valove i jednostavna harmonička gibanja, te razumjeti matematički opis takvih valova; ii) Razumijevanje važnosti jednostavnog harmoničkog gibanja u velikom broju različitih fizikalnih situacija; iii) Razumijevanje principa linearne superpozicije valova i što se podrazumijeva pod konstruktivnom ili destruktivnom interferencijom; koherencija; iv) rješavanje jednostavnih problema putujućih valova.

80 Mehanički valovi (vidi Mehanički val je poremećaj koji putuje kroz neki materijal. Čestica se u mediju giba na način koji ovisi o vrsti vala. Transverzalni val: pomaci okomito (poprečno) na smjer putovanja vala, tj. val na niti. Longitudinalni val: pomaci su u istom smjeru kao i smjer putovanja vala, tj. valovi u plinu (zvuk). Plin u ravnoteži nema poremećaja

81 Zajedničke značajke valova: dobro definiran uvjet ravnoteže (npr. opruga ispružena u ravnoj liniji ili plin u cijevi ima konstantnu gustoću) Medij kao cjelina se ne miče: poremećaj putuje s dobro definiranom brzino v, brzina vala. mora se primijeniti energija na sustav da bi se generirao poremećaj. Poremećaj prenosi energiju iz jedne pozicije na drugu. Periodički valovi: Periodički valovi se generiraju ako se sila koja djeluje varira u vremenu na periodičan način. Oni imaju dobro definiranu: a) Frekvencija f: broj puta koliko seu sekundi uzorak ponavlja. (Jedinica: 1 Hertz = 1 ciklus / s = 1 s -1 ) b) kružna frekvencija: 2f (rad / s) c) Period: vrijeme izmeďu ponavljajućih uzoraka. T 1 2 f (s)

82 Kada je x pozitivan F je negativna Kada je u ravnoteži (x = 0) QuickTime and a Animation decompressor are needed to see this picture. F = 0; Kada je x negativna, F je pozitivna F kx

83 Hooke-ov zakon: Sila opruge je proporcionalna produljenju ili kompresiji opruge od ravnotežnog položaja (za male x). ravnotežni položaj F X = 0 Fx kx x gdje je x pomak iz položaja ravnoteže i k konstanta proporcionalnosti. (konstanta opruge) x=0

84 zamislite gibanje objekta (bez trenje) obješenog na idealnu oprugu (ona koja se ponaša u skladu sa Hookeovim zakonom). Kako se pomak, brzina i ubrzanje objekta mijenjaju s vremenom? Analogija: jednostavno harmoničko gibanje duž x x komponenta jednolikog kružnog gibanja

85 A T A : amplituda (duljina, m)t : period (vrijeme, s)

86 Sinusni valovi: kontinuirani slijed transverzalnih sinusoidalnih poremećaja. Valna duljina (l): duljina periodičnog oblika (m). Točka se pomiče gore-dolje uz period T, a križić pomaknut za t - x/v. To znači da križić ima isti obrazac kao u ranije vrijeme t - x/v. Marker se pomiče uzduž osi za udaljenost l u vremenu T. Prema tome brzina vala: v f T Mi ćemo pretpostaviti da se v ne mijenja s l i f. Ovo ne vrijedi i za svjetlost koja putuje kroz medij jer brzina ovisi o frekvenciji (disperzije svjetlosti). Primjer: Kolika je valna duljina zvučnog vala, ako je frekvencija f = 262 Hz (srednji C na glasoviru)? Brzina zvuka = 344 m / s v 344ms 1 f 262s m

87 A T x Acost Amplituda: A Period: T T 2 Frekvencija: f = 1/T Kutna frekvencija: T 2, f 2

88 Matematički opis valova Transverzalni valovi: Vertikalni pomak vala varira s vremenom. U odreďenom vremenu, val ima dobro definiran profil a pomaka je različit za različite čestice. Amplituda A je maksimalni pomak u smjeru y (m) Valni dijagram (val s lijeva na desno): y A x=0 y v t=0 A T/4 T/2 3T/4 T t l/4 l/2 3l/4 l x - A - A Vertikalni pomak s vremenom. Profil vala u t = 0. 2 y( x 0, t) Asin t T Asin t y( x, t 0) Asin Sinusoidalni val je najjednostavniji primjer periodičnog kontinuiranog vala i može se koristi za konstrukciju složenijih valova kx

89 Valna funkcija (val putuje s lijeva na desno): Općenito valna funkcija ovisi o x i t: y = y (x, t) U trenutku t, čestica je pomaknuta od x = 0 za t-x/v x y( x 0, t) Asin t y( x, t) Asint Asin 2 v 2 Definiramo valni broj k: k (radian/m) y( x, t) Asin( t kx) t T x Valna funkcija (val putuje s desna na lijevo): Vremenski pomak je t + x/v. Dakle, valna funkcija je: x t x y( x, t) Asin t Asin 2 Asin( t kx) v T Faza valne je: t kx (u radijanima)

90 Valna funkcija y Asin( kx t) pretpostavlja da je vertikalni pomak y nula u x = 0 i t = 0, a na to ne mora biti slučaj. Ako nije, izražavamo općenitu valnu funkciju u obliku y Asin( kx t ) Često se faza φ uključuje da se brijeg (vrh) vala prebaci vremenu: Faza od 90-stupnjeva mijenja sinus u kosinus cos t 2 sint

91

92 Kad je ubrzanje objekta proporcionalno njegovom pomaku iz ravnotežnog položaja i usmjereno je u smjeru suprotnom od pomaka, objekt se giba jednostavnim harmoničkim gibanjem. Položaj x jednostavnog harmonijskog oscilatora mijenja periodično u vremenu prema izrazu x Acos( t ) Brzina i ubrzanje jednostavnog harmoničkog oscilatora su: dx v Asin( t ) dt 2 dv d x 2 a A t 2 cos( ) dt dt v A x 2 2

93 x T Brzina je 90 izvan faze s x: Kad je x u maksimumu, v je u minimumu... Ubrzanje je 180 izvan faze s x v T a F k a x m m T

94

95 Nađite v max pomoću zakona očuvanja E 1 2 ka2 1 2 mv 2 max x Acost v v max sint a a max cost v max A k m Nađite a max koristeći II Newtonov zakon F = ma kx ma kacost ma max cost a max A k m

96 kružno gibanje sa stalnom kutnom brzinom Projekcija na os Jednostavno harmoničko gibanje

97 f 1 T 2 f 2 T x Acos(t ) v Asin(t ) a 2 A(cost ) k m

98 Progresivni val giba se u odreďenom smjeru i pritom se energija prenosi sa čestice na česticu. Stojni val je takav val kod kojeg neke čestice titraju, a neke stalno miruju. Suprotno progresivnom valu, pri stojnom se valu energija ne širi prostorom. Valni paket je valno gibanje ograničeno na odreďeni dio prostora Dx. Dok čestica napravi jedan puni titraj, val prevali odreďeni put koji zovemo valna duljina. Fazna brzina vala (njom se širi odreďena faza vala) povezana je s valnom duljinom i frekvencijom, v=f. Brzina vala ovisi o osobinama sredstva kroz koje prolazi. Brzina i valna duljina se mijenjaju, ali frekvencija ostaje ista. Brzina širenja energije zove se grupna brzina.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1

Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1 Zadatak, Štap B duljine i mase m pridržan užetom u točki B, miruje u vertikalnoj ravnini kako je prikazano na skii. reba odrediti reakiju u ležaju u trenutku kad se presječe uže u točki B. B Rješenje:

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Rad, energija i snaga

Rad, energija i snaga Rad, energija i snaga Željan Kutleša Sandra Bodrožić Rad Rad je skalarna fizikalna veličina koja opisuje djelovanje sile F na tijelo duž pomaka x. = = cos Oznaka za rad je W, a mjerna jedinica J (džul).

Διαβάστε περισσότερα

Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE):

Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE): Repetitorij-Dinamika Dinamika materijalne točke Sila: F p = m a = lim t 0 t = d p dt m a = i F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j i p ix = j p jx te i p iy = j p jy u 2D sustavu Zakon očuvanja

Διαβάστε περισσότερα

Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika

Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika 1. Kinematika Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika Kinematika (grč. kinein = gibati) je dio mehanike koji

Διαβάστε περισσότερα

Fizika 1. Auditorne vježbe 5. Dunja Polić. Dinamika: Newtonovi zakoni. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva

Fizika 1. Auditorne vježbe 5. Dunja Polić. Dinamika: Newtonovi zakoni. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva Školska godina 2006/2007 Fizika 1 Auditorne vježbe 5 Dinamika: Newtonovi zakoni 12. prosinca 2008. Dunja Polić (dunja.polic@fesb.hr)

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Rotacija krutog tijela

Rotacija krutog tijela Rotacija krutog tijela 6. Rotacija krutog tijela Djelovanje sile na tijelo promjena oblika tijela (deformacija) promjena stanja gibanja tijela Kruto tijelo pod djelovanjem vanjskih sila ne mijenja svoj

Διαβάστε περισσότερα

- osnovni zakoni gibanja (Newtonovi aksiomi) - gibanja duž ravne podloge i kosine - sila trenja - vrste sila

- osnovni zakoni gibanja (Newtonovi aksiomi) - gibanja duž ravne podloge i kosine - sila trenja - vrste sila Dinamika - osnovni zakoni gibanja (Newtonovi aksiomi) - gibanja duž ravne podloge i kosine - sila trenja - vrste sila Osnovni zakoni gibanja: Newtonovi aksiomi Sir Isaac Newton (1642. 1727.) by Sir Godfrey

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

šupanijsko natjecanje iz zike 2017/2018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova)

šupanijsko natjecanje iz zike 2017/2018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova) šupanijsko natjecanje iz zike 017/018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova) U prvom vremenskom intervalu t 1 = 7 s automobil se giba jednoliko ubrzano ubrzanjem

Διαβάστε περισσότερα

Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa

Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa Claudius Ptolemeus (100-170) - geocentrični sustav Nikola Kopernik (1473-1543) - heliocentrični sustav Tycho Brahe (1546-1601) precizno bilježio putanje nebeskih tijela 1600. Johannes Kepler (1571-1630)

Διαβάστε περισσότερα

Kružno gibanje. Pojmovi. Radijus vektor (r), duljina luka (s) Kut (φ), kutna brzina (ω), obodna brzina (v)

Kružno gibanje. Pojmovi. Radijus vektor (r), duljina luka (s) Kut (φ), kutna brzina (ω), obodna brzina (v) Predavanja 2 Kružno gibanje Pojmovi Kod kružnog gibanja položaj čestice jednoznačno je određen kutom kojeg radijus vektor zatvara s referentnim pravcem Radijus vektor (r), duljina luka (s) Kut (φ), kutna

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Fizika 2. Fizikalna optika 2008/09

Fizika 2. Fizikalna optika 2008/09 Fizika 2 Fizikalna optika 2008/09 Što je svjetlost; što je priroda svjetlosti? U geometrijskoj optici: Svjetlost je pravocrtna pojava određene brzine u nekom sredstvu (optičkom sredstvu). U fizikalnoj

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Algebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske

Algebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske Algebra Vektora 1 Algebra vektora 1.1 Definicija vektora pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske veličine za opis skalarne veličine trebamo zadati samo njezin iznos (npr.

Διαβάστε περισσότερα

Prostorni spojeni sistemi

Prostorni spojeni sistemi Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

7. Titranje, prigušeno titranje, harmonijsko titranje

7. Titranje, prigušeno titranje, harmonijsko titranje 7. itranje, prigušeno titranje, harmonijsko titranje IRANJE Općenito je titranje mijenjanje bilo koje mjerne veličine u nekom sustavu oko srednje vrijednosti. U tehnici titranje podrazumijeva takvo gibanje

Διαβάστε περισσότερα

Izradio: Željan Kutleša, mag.educ.phys. Srednja tehnička prometna škola Split

Izradio: Željan Kutleša, mag.educ.phys. Srednja tehnička prometna škola Split DINAMIKA Izradio: Željan Kutleša, mag.educ.phys. Srednja tehnička prometna škola Split Ova knjižica prvenstveno je namijenjena učenicima Srednje tehničke prometne škole Split. U knjižici su korišteni zadaci

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos . KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..

Διαβάστε περισσότερα

Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika

Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika 3. Dinamika Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika Kinematika (grč. kinein = gibati) je dio mehanike koji opisuje

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad, snaga, energija Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad i energija Da bi rad bio izvršen neophodno je postojanje sile. Sila vrši rad: Pri pomjeranju tijela sa jednog mjesta na drugo Pri

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

Masa, Centar mase & Moment tromosti

Masa, Centar mase & Moment tromosti FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Impuls i količina gibanja

Impuls i količina gibanja FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba 4 Impuls i količina gibanja Ime i prezime prosinac 2008. MEHANIKA

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 003 (Vesna, osnovna škola) Kolika je težina tijela koje savladava silu trenja 30 N, ako je koeficijent trenja 0.5?

Zadatak 003 (Vesna, osnovna škola) Kolika je težina tijela koje savladava silu trenja 30 N, ako je koeficijent trenja 0.5? Zadata 00 (Jasna, osnovna šola) Kolia je težina tijela ase 400 g? Rješenje 00 Masa tijela izražava se u ilograia pa najprije orao 400 g pretvoriti u ilograe. Budući da g = 000 g, orao 400 g podijeliti

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

1. Duljinska (normalna) deformacija ε. 2. Kutna (posmina) deformacija γ. 3. Obujamska deformacija Θ

1. Duljinska (normalna) deformacija ε. 2. Kutna (posmina) deformacija γ. 3. Obujamska deformacija Θ Deformaije . Duljinska (normalna) deformaija. Kutna (posmina) deformaija γ 3. Obujamska deformaija Θ 3 Tenor deformaija tenor drugog reda ij γ γ γ γ γ γ 3 9 podataka+mjerna jedinia 4 Simetrinost tenora

Διαβάστε περισσότερα

Rad, snaga i energija. Dinamika. 12. dio

Rad, snaga i energija. Dinamika. 12. dio Rad, snaga i energija Dinaika 1. dio Veliine u ehanici 1. Skalari. Vektori 3. Tenzori II. reda 4. Tenzori IV. reda 1. Skalari: 3 0 1 podatak + jerna jedinica (tenzori nultog reda). Vektori: 3 1 3 podatka

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Fizika 2. Dr. sc. Damir Lelas. Predavanje 2 Matematičko i fizikalno njihalo. Fazorski prikaz titranja i zbrajanje titranja. Uvod u mehaničke valove.

Fizika 2. Dr. sc. Damir Lelas. Predavanje 2 Matematičko i fizikalno njihalo. Fazorski prikaz titranja i zbrajanje titranja. Uvod u mehaničke valove. Školska godina 008./009. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Razlikovni studiji (90/90/930/940/950) Fizika Predavanje Matematičko i fizikalno njihalo. Fazorski prikaz titranja i zbrajanje

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će

Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će se bez obzira na masu kretati istim ubrzanjem Zanimljivo

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ FIZIKE GRADEVINSKI FAKULTET U OSIJEKU. ilukacevic/

VJEŽBE IZ FIZIKE GRADEVINSKI FAKULTET U OSIJEKU.  ilukacevic/ VJEŽBE IZ FIZIKE GRADEVINSKI FAKULTET U OSIJEKU www.fizika.unios.hr/ ilukacevic/ ilukacevic@fizika.unios.hr Igor Lukačević Odjel za fiziku Trg Ljudevita Gaja 6 1. kat, soba 6 9. listopada 7. LITERATURA

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima. M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Podsjetnik za državnu maturu iz fizike značenje formula

Podsjetnik za državnu maturu iz fizike značenje formula Podsjetnik za državnu maturu iz fizike značenje formula ukratko je objašnjeno značenje svih slova u formulama koje se dobiju uz ispit [u uglatim zagradama su SI mjerne jedinice] Kinetika v = brzina ( =

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe Dimenzioniranje nosaa 1. Uvjeti vrstoe 1 Otpornost materijala prouava probleme 1. vrstoe,. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova konstrukcija od vrstog deformabilnog materijala. Moraju

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Vektorska analiza doc. dr. Edin Berberović.

Vektorska analiza doc. dr. Edin Berberović. Vektorska analiza doc. dr. Edin Berberović eberberovic@mf.unze.ba Vektorska analiza Vektorska algebra (ponavljanje) Vektorske funkcije (funkcije sa vektorima) Jednostavna analiza (diferenciranje) Učenje

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Primjeri zadataka iz Osnova fizike

Primjeri zadataka iz Osnova fizike Mjerne jedinice 1. Koja je od navedenih jedinica osnovna u SI-sustavu? a) džul b) om c) vat d) amper 2. Koja je od navedenih jedinica osnovna u SI-sustavu? a) kut b) brzina c) koncentracija d) količina

Διαβάστε περισσότερα

REFERENTNI SUSTAVI. Poglavlje Relativnost gibanja Pojam referentnog sustava

REFERENTNI SUSTAVI. Poglavlje Relativnost gibanja Pojam referentnog sustava Poglavlje 4 REFERENTNI SUSTAVI Za opisivanje raznih gibanja koja smo razmatrali u prethodnim poglavljima, bilo je potrebno najprije odrediti neku točku kao ishodište O koordinatnog sustava u odnosu prema

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u diferencijalni račun

Uvod u diferencijalni račun Uvod u diferencijalni račun Franka Miriam Brückler Problem tangente Ako je zadana neka krivulja i odabrana točka na njoj, kako konstruirati tangentu na tu krivulju u toj točki? I što je to uopće tangenta?

Διαβάστε περισσότερα

Mehanika dr.sc. Robert Beuc. Fizika Studij Fizioterapije

Mehanika dr.sc. Robert Beuc. Fizika Studij Fizioterapije Mehanika dr.sc. Robert Beuc izika Studij izioterapije 1 Mehanika 2 Gibanje Jednoliko pravocrtno gibanje Jednoliko promjenljivo pravocrtno gibanje Slobodni pad Kružno gibanje Mirovanje s obzirom na pomicanje

Διαβάστε περισσότερα

Deformacije. Tenzor deformacija tenzor drugog reda. Simetrinost tenzora deformacija. 1. Duljinska deformacija ε. 1. Duljinska (normalna) deformacija ε

Deformacije. Tenzor deformacija tenzor drugog reda. Simetrinost tenzora deformacija. 1. Duljinska deformacija ε. 1. Duljinska (normalna) deformacija ε Deformae. Duljinska (normalna) deformaa. Kutna (posmina) deformaa. Obujamska deformaa Θ Tenor deformaa tenor drugog reda 9 podatakamjerna jedinia Simetrinost tenora deformaa 6 podataka 4. Duljinska deformaa

Διαβάστε περισσότερα