ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΜΕΣΑ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ, ΒΑΣΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ, ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΖΗΤΗΣΗ

Transcript

1 ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΜΕΣΑ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ, ΒΑΣΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ, ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΖΗΤΗΣΗ Ξεκινώντας από τους τελεστές δημιουργίας και καταστροφής του αφόρτιστου αρμονικού ταλαντωτή, τους οποίους θεωρούμε γνωστούς, υπολογίζουμε τους αντίστοιχους τελεστές για τον φορτισμένο αρμονικό ταλαντωτή μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο. Ακολούθως, υπολογίζουμε την ελάχιστη ενέργεια του συστήματος και την κυματοσυνάρτηση της βασικής κατάστασης του συστήματος, και συζητάμε τα αποτελέσματά μας. Λύση Οι τελεστές καταστροφής και δημιουργίας του αφόρτιστου αρμονικού ταλαντωτή είναι a a τελεστής καταστροφής τελεστής δημιουργίας Το δυναμικό αρμονικού ταλαντωτή μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο είναι V -, όπου q είναι το φορτίο του ταλαντωτή και e η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου. Πράγματι dv d - F d d Η ένταση e μπορεί να είναι θετική ή αρνητική, είναι όμως σταθερή αφού το πεδίο είναι ομογενές. Βλέπουμε ότι, για το τετραγωνικό δυναμικό του αφόρτιστου αρμονικού ταλαντωτή, οι τελεστές κλίμακας a, a είναι γραμμικοί ως προς τη θέση και την ορμή. Η 4//8

2 διαφορά του δυναμικού μας, V ταλαντωτή, V -, από το δυναμικό του αρμονικού, είναι ο γραμμικός όρος -. Μπορούμε, λοιπόν, να δοκιμάσουμε a, όπου μιγαδική σταθερά. Τότε a * Έτσι, έχουμε * * *, ] * * - [ { * * a a Όπως στην περίπτωση του αρμονικού ταλαντωτή, θέλουμε H a a E, όπου E είναι η ελάχιστη ενέργεια του φορτισμένου αρμονικού ταλαντωτή μέσα στο ομογενές ηλεκτρικό πεδίο. Όμως H - m Συγκρίνοντας τις δύο εκφράσεις της Χαμιλτονιανής, παίρνουμε 4//8

3 - * * - E m * * - E m m - * * - E * * - E Από τον μηδενισμό του συντελεστή του τελεστή της ορμής, παίρνουμε * - * Î. Τότε, ο μηδενισμός του συντελεστή του τελεστή της θέσης μάς δίνει { * Τότε, ο μηδενισμός του σταθερού όρου E θα μάς δώσει E E q e q e E E Ο πρώτος όρος,, είναι η ελάχιστη ενέργεια του αφόρτιστου αρμονικού ταλαντωτή και ο δεύτερος όρος, -q e, είναι η συνεισφορά του ομογενούς ηλεκτρικού πεδίου. Παρατηρήστε ότι η συνεισφορά του ηλεκτρικού πεδίου είναι πάντα αρνητική, ανεξάρτητα από τη φορά του ηλεκτρικού πεδίου e > ή e < και ανεξάρτητα από το πρόσημο του φορτίου του ταλαντωτή q > ή q <. Βλέπουμε επίσης ότι για κάθε τιμή της έντασης e του ομογενούς ηλεκτρικού πεδίου, υπάρχει μια κυκλική συχνότητα, έστω, που μηδενίζει την ελάχιστη ενέργεια E. Πράγματι, είναι q e q e q e m m 4//8

4 Ας κάνουμε έναν έλεγχο διαστάσεων é ù é F ][ k ] é [ é ù [ F ]}[ ] é ù ù ù é 4 ù k m 4 } } ê m ú q e F k m ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ú ê ê m ú ê m ú ê m ú ê m ú êê úú êê u úú ê ú ê ú ê ú ê ú [t ][] é 4 ù } é ù ê t ú ê ú [ ] Αν αντικαταστήσουμε την τιμή του στις εκφράσεις των τελεστών καταστροφής και δημιουργίας, θα πάρουμε a a Ας κάνουμε άλλον έναν έλεγχο διαστάσεων é ù é F ù ê ú ê k ú [ ] é ê ù é mu ù ú ê [ut ] [ ] ú Και é ù é ù é ù é ù é ù é ù - ê úê úê úê úê ú ê ú é ù, u ut επομένως οι τελεστές a, a είναι αδιάστατοι, όπως θέλουμε. Μπορούμε να δείξουμε τις ακόλουθες μεταθετικές σχέσεις é a, a ù é H, a ù - a é H, a ù a Είναι ακριβώς οι ίδιες μεταθετικές σχέσεις που ισχύουν και για τον αφόρτιστο αρμονικό ταλαντωτή. 4 4//8

5 Η η σχέση προκύπτει, χωρίς πράξεις, αν παρατηρήσουμε ότι η διαφορά των τελεστών a, a από τους αντίστοιχους του αρμονικού ταλαντωτή είναι μια σταθερά, επομένως ο μεταθέτης τους δεν αλλάζει, αφού é A, B ù é A c, B d ù, "c, d Î. Δηλαδή, ο μεταθέτης é a, a ù για το σύστημά μας είναι ίδιος με εκείνον του αρμονικού ταλαντωτή, που είναι. Η η σχέση προκύπτει από την η και την έκφραση της Χαμιλτονιανής, H a a E. Πράγματι, είναι é H, a ù é a a E, a ù é a a, a ù [ E, a ] é a a, a ù a [ a, a ] é a, a ù a { é a, a ù a - é a, a ù a - a Επομένως é H, a ù - a Για να αποδείξουμε την η σχέση, μπορούμε να πάρουμε τους συζυγείς των τελεστών του αριστερού και του δεξιού μέλους της ης σχέσης, οπότε é H, a ù - a é H, a ù - ah - a Ha - a - a a H - Ha Επομένως é H, a ù a Από τη σχέση é H, a ù - a προκύπτει ότι ο a είναι ο τελεστής καταστροφής, που κατεβάζει την ενέργεια μιας τυχαίας ιδιοκατάστασης πλην της βασικής κατά ένα κβάντο ίσο με. Πράγματι, αν n τυχαία ιδιοκατάσταση ενέργειας En, τότε n - ah n ah n é H, a ù n a H n - a n En a n En - a n H a n Ha { En n H a n En - a n 5 4//8

6 Δηλαδή, η κατάσταση a n είναι ιδιοκατάσταση ενέργειας En -. Από τη σχέση é H, a ù a προκύπτει ότι ο a είναι ο τελεστής δημιουργίας, που ανεβάζει την ενέργειας μιας τυχαίας ιδιοκατάστασης συμπεριλαμβανομένης της βασικής κατά ένα κβάντο ίσο με. Πράγματι, αν n τυχαία ιδιοκατάσταση ενέργειας En, τότε n - a H n a H n é H, a ù n a H n a n E a n H a n Ha n { En n H a n En a n Δηλαδή, η κατάσταση a n είναι ιδιοκατάσταση ενέργειας En. Σημειώνουμε ότι οι καταστάσεις a n και a n δεν είναι κανονικοποιημένες, διότι ο τελεστής a δεν είναι μοναδιακός, όπως φαίνεται από τη σχέση é a, a ù, επομένως δεν διατηρεί το μέτρο των καταστάσεων στις οποίες δρα. Μπορούμε τώρα να υπολογίσουμε την κυματοσυνάρτηση που περιγράφει τη βασική κατάσταση του συστήματός μας. Αν ο τελεστής καταστροφής a δράσει στη βασική κατάσταση,, θα μας δώσει μηδέν, δηλαδή a. Αν προβάλλουμε και τα δύο μέλη της προηγούμενης «διανυσματικής» εξίσωσης σε μια τυχαία ιδιοκατάσταση της θέσης, θα πάρουμε a a a a y { y Θυμίζουμε ότι αν y είναι μια κατάσταση ενός τυχαίου κβαντικού συστήματος όχι κατ ανάγκη του αρμονικού ταλαντωτή η κυματοσυνάρτηση που περιγράφει την κατάσταση στον χώρο των θέσεων είναι y y, δηλαδή προκύπτει από την προβολή της κατάστασης στις ιδιοκαταστάσεις της θέσης. Έτσι, για τη βασική κατάσταση φορτισμένου αρμονικού ταλαντωτή μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο, η κυματοσυνάρτηση θα είναι y. 6 4//8

7 a είναι η έκφραση του τελεστή καταστροφής a στην αναπαράσταση θέσης, όπου και - a d, δηλαδή d d d - d d Έτσι, η εξίσωση a y γράφεται d d y y d d y y y Η y, ως ιδιοσυνάρτηση, είναι εξ ορισμού, γραμμικά ανεξάρτητη, επομένως δεν μπορεί να είναι ταυτοτικά μηδενική. Έτσι, μπορούμε να διαιρέσουμε και τα δύο μέλη της τελευταίας εξίσωσης με y, και να πάρουμε y y y - y y y y ln y y } e} A ln y ln y ò d c y A e y ± A e c Οι δύο λύσεις είναι, όπως βλέπουμε, γραμμικά εξαρτημένες, ή, ισοδύναμα, επειδή e -, συνδέονται με μια σταθερή μιγαδική φάση. Επομένως, λαμβάνοντας υπόψη τη συμμετρία φάσης της κυματοσυνάρτησης, μπορούμε να διαλέξουμε, αυθαίρετα, τη μία από αυτές. Διαλέγουμε την y A e - Επειδή η κατάσταση είναι δέσμια, η κυματοσυνάρτηση είναι κανονικοποιήσιμη, επομένως μπορούμε να υπολογίσουμε τη σταθερά A από τη συνθήκη κανονικοποίησης, δηλαδή 7 4//8

8 ò d y - A ò d e - - Θα θεωρήσουμε γνωστό ότι ò d e - a - - e, a > a a δείτε, π.χ., tts://en.keda.org/k/lst_of_ntegrals_of_eonental_functons Έτσι, θα έχουμε ò d e - - q e e e m Έτσι, η συνθήκη κανονικοποίησης γράφεται A q e q e e A e m m Δηλαδή q e 4 A e m Επιλέγουμε, λαμβάνοντας υπόψη τη συμμετρία φάσης της κυματοσυνάρτησης, q e 4 A e m Επομένως q e 4 y e m Αν μηδενίσουμε είτε το ηλεκτρικό πεδίο είτε το φορτίο του ταλαντωτή, παίρνουμε 4 y, e 8 4//8

9 που είναι η κυματοσυνάρτηση της βασικής κατάστασης του αφόρτιστου αρμονικού ταλαντωτή. Για να συνοψίσουμε, βρήκαμε ότι η κυματοσυνάρτηση που περιγράφει τη βασική κατάσταση μονοδιάστατου αρμονικού ταλαντωτή μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο είναι η q e 4 y, e m και η ενέργεια της βασικής κατάστασης του ταλαντωτή είναι q e E Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. skonstan@otmal.com 9 4//8