PÁGINA 106 PÁGINA a) sen 30 = 1/2 b) cos 120 = 1/2. c) tg 135 = 1 d) cos 45 = PÁGINA 109

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1 PÁGINA 0. La altura del árbol es de 8,5 cm.. BC m. CA 70 m. a) x b) y PÁGINA 0. tg a 0, Con calculadora: sß 0,9 t{ ««}. cos a 0, Con calculadora: st,8 { \ \ } PÁGINA 05. cos a 0,78 tg a 0,79. sen a 0,5 tg a 0,7. sen a 0,8 cos a 0,7.. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS sen 0 / / / / cos / / / 0 / tg 0 / sen / / 0 / / / cos / / / / / tg / 0 / sen / / / 0 cos 0 / / / tg / 0 PÁGINA 0. a) 97 í b) 97 7 í 0 sen 97 0,8 cos 97 0,5 tg 97,5. a) b) c) d) í e) 7 7 í 0 5 f) í 0 80 PÁGINA 07. a) sen 0 / b) cos 0 / c) tg 5 d) cos 5. Es un ángulo que difiere de 90 una cantidad tan pequeña que, a pesar de las muchas cifras que la calculadora maneja, al redondearlo da 90. PÁGINA 09. sen cos tg 55º 90º 5º 0,8 0,57, 5º 90º + 5º 0,8 0,57, 5º 80º 5º 0,57 0,8 0,70 5º 80º + 5º 0,57 0,8 0,70 5º 70º 5º 0,8 0,57, 05º 70º + 5º 0,8 0,57, ,57 0,8 0,70. sen 58 sen 0,09 cos 58 cos 0,999 tg 58 tg 0,09 sen 5 sen 0,07 cos 5 cos 0,95 tg 5 tg 0,5 5

2 sen sen 8 0,090 cos cos 8 0,95 tg tg 8 0,9. a) cos a 0,8; tg a 0,58 b) sen a 0,; tg a 0,88 c) sen b 0,7; cos b 0,7 d) sen a 0,9; cos a 0,5 PÁGINA. a) a 7, cm b) b,8 cm c) c 9,9 m; A 9 ' 57" d) b 5,0 cm e) c,05 cm. El poste mide 5,87 m.. Área,80 m PÁGINA. c 5,8 m. MP 0,9 m. b,5 cm. Altura del edificio 5,97 m Distancia al edificio 9, ,90 m PÁGINA. sen A. ò h b sen A h sen B sen (80 B) ò h a sen B a a b b sen A a sen B ò sen A sen B A sen A sen C h b h c h a c ò h c sen A ò h a sen C a c sen A a sen C 8 sen A b H h B a C c sen C PÁGINA 5. b,5 cm. No tiene solución. b cm; b cm; A 90º A 8' 7," A 8 ',9" b cm; A 0º. La solución A 50 no es válida. PÁGINA 7. a) A 8 0' " B C 9 5' 57,5" 8 7' 9,5" b) c 7, cm A 5 7'," A 5' 5,7" 8 No es válida. B c) A B C 5' 5,7" 9 5' 57,5" 8 0' " 8 7' 9,5" d) a 5,59 cm B ' 5," B ',7" 8 No es válida. C e) A f) B ',7" 75 b,9 m c,59 m 0 a,05 m c,05 m 5. a) El otro lado mide,87 cm. Área 8,9 cm., km y 0, km 7. GA 5, m; GB,9 m; Altura, m PÁGINA. a) cos a / tg a. b) sen a / tg a c) sen a /7 cos a 7/7 d) cos a 55/8 tg a 55/55 e) sen a 0,9 tg a 0,9 f) sen a 0/0 cos a 0/0 sen a 0,9 0, 0,99 0, 0,5 0,9 cos a 0,9 0,8 0, 0,8 0,87 0, tg a, 0,75 8,5 0,75 0,57

3 . a) cos a /5; tg a / b) sen a 5 /; tg a 5 / c) cos a 0 /0; sen a 0 /0. a) sen 50º sen 0º b) cos 5º cos 5º c) tg 0º tg 0º d) cos 55º sen 5º e) sen 5º sen 5º f) tg 0º tg 0º También tg 0º g) tg 0º tg 0º h) cos 00º cos 0º i) sen 90º cos 0º También sen 90º sen 70º 5. a) 0,5 b) 0,9 c) 0,5 d) 0,5 e) 0,9 f) 0,5. a) / b) / c) / d) / e) / f) / 7. a) 8º 5' 5'' b) 8º 7',7'' c) º ' 7,'' d) 8º 7' 9,'' 8. a) c cm A º 7',5º; B 7º ' 8,5º b) B 90º 7º 5º c 7,5 m; b 57,0 m c) A º; c, m; b, m 9º; a 5,8 m; b,89 m 9. A d) B 5','' 0. Llega a una altura de,5 m. Está separada,9 m de la pared.. d 5, cm; D 5, cm. a) A'B', cm b) A'B' 9, cm c) A'B',9 cm d) A'B' 0 cm tg 0. a) I h 7,98 cm h,5 cm h 8,8 cm b) I A 87,78 cm A 99,8 cm A,5 cm. A ' 5'' B C 8' 7'' 5 7' 8'' 5. Distancia 7,7 cm PÁGINA. a, m b 9,8 m 7. C 50' '' b 9,98 m 8. a) B 0 a 0 m c,7 m b) A 5 5' 9'' C 9 ' 5'' c 9,79 m 9. Distancia de A a la iglesia 8, m Distancia de B a la iglesia 8, m 0. a 0, m. A 5 ' '' B C II III II III 7' 8'' 7' 5''. a) c,9 cm A 9º 5' 8''; B 0º ' 5'' b) b 79,87 cm C c) A B C 0 8' 5''; A 7 ' 55'' 0 0' 9'' 7 8' 5'' 0' 5''. La distancia es de 77, m.. a) A 70 ; b 77,8 m; c 9,8 m 7

4 b) B 75 ; a,5 m; c 0,09 m c) c 75, m A ' 9,''; B ' 0,'' d) b 8, m A e) A C f) A C g) B h) B 5. 0,58 m ' 5,5''; C 7 58' 55,5'' 8 7' 9,''; B 8 0' '' 9 5' 57,'' 9',''; B 9 7',7'' 5 ' 8,9'' 7 ',8''; C 8','' c 7,5 m 8 58' 5,7''; A 8 ','' a 9,5 m. 7,8 km 7. Octógono inscrito: l,8 cm Octógono circunscrito: l', cm 8. B 99 ' " C b 9 cm 0 5' 59" c,7 cm EA 9,8 km PÁGINA EB,5 km. AB CD, m; BC AD,7 m BD,9 m; Área 9 m. A las de la tarde los barcos distarán más de 8 50 m. No podrán ponerse en contacto.. 5, cm 5. 79,8 m. 7,97 m 7. ) Verdadera ) Verdadera ) Falsa ) Falsa 5) Verdadera ) Verdadera 7) Verdadera 8) Verdadera 9) Falsa 0) Verdadera ) Falsa ) Verdadera 8. En ABC a b 8 sen A sen B BC A'C En A'BC 8 sen A' sen A'BC ì BC a; A' A; La igualdad queda: ì A'C R; A'BC 90 a R a R 8 R sen A sen 90 sen A Sustituyendo en la primera expresión: a b R sen A sen B 9. a b + c bc cos A,5 ( ) + c c cos 0 c c + 0,75 0 ± c m La ecuación de segundo grado solo tiene una raíz. Solo hay una solución. Podemos resolverlo con el teorema del seno: B 90. PÁGINA 5 0.,8 m Pero: C + B > 80 Imposible! No hay ningún triángulo con esos datos.. 5,9 m. 0,0 cm. 5 ' " c sen C c sen C 8

5 AUTOEVALUACIÓN. C B 5 ' 7'' 5 8' 5''. sen 5 sen cos 5 cos tg 5 tg sen 07 sen 7 cos 07 cos 7 tg 07 tg 7 sen 8 sen cos 8 cos tg 8 tg sen 5 sen cos 5 cos tg 5 tg. a) cos a /5 b) tg a / c) sen (80 + a) /5 d) cos (90 + a) /5 e) tg (80 a) / f) sen (90 + a) /5. a st,5 ± { \ } Hay dos soluciones: a 85 5' '' a 05 5' '' sen a 0,9 sen a 0,9 cos a 0,7 cos a 0,7 9

6 PÁGINA 8. a) ; b) 57 7',8"; c) 90 ; d) / PÁGINA 9. a) rad 0,5 rad b) rad, rad 5 c) rad,57 rad d) 7 rad, rad 80 e) 0 rad,9 rad f) 5 rad 5, rad 9. a) 5' 9," b) 7 ' 9,8" c) d) 50 e) 00 ',8" f) 80. La tabla completa está en el siguiente apartado (página 0) del libro de texto. Tan solo falta la última columna, que es igual que la primera. PÁGINA. cos (a b) cos (a + ( b)) cos a cos ( b) sen a sen ( b) cos a cos b sen a ( sen b) cos a cos b + sen a sen b. tg (a b) tg (a + ( b)) 5. FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS tg a + tg ( b) tg a tg ( b) tg a tg b + tg a tg b (*) tg a + ( tg b) tg a ( tg b) sen ( a) sen a (*) Como ò tg ( a) tg a cos ( a) cos a ± Ø sen (a b). tg (a b) cos (a b) sen a cos b cos a sen b (*) cos a cos b + sen a sen b sen a cos b cos a sen b cos a cos b cos a cos b cos a cos b sen a sen b + cos a cos b cos a cos b tg a tg b + tg a tg b (*) Dividimos por cos a cos b el numerador y el denominador.. cos 0,98; tg 0, cos 7 0,8; tg 7 0, sen 9 0,78; cos 9 0,; tg 9, 5 7 sen 5 0,8; cos 5 0,90; tg 5 0,78 cos (a + b) + cos (a b) cos a cos b 5. sen (a + b) + sen (a b) sen a cos b cos a sen a tg a. sen a sen (a + a) sen a cos a + cos a sen a sen a cos a cos a cos (a + a) cos a cos a sen a sen a cos a sen a tg a tg (a + a) tg a + tg a tg a tg a 7. sen 0 sen ( 0 ) / cos 0 cos ( 0 ) / tg 0 tg ( 0 ) 8. sen 90 sen ( 5 ) cos 90 cos ( 5 ) 0 tg 90 tg ( 5 ) 8 No existe. 9. sen a sen a sen a sen a cos a sen a + sen a sen a + sen a cos a sen a ( cos a) cos a sen a ( + cos a) + cos a PÁGINA a a a cos a + sen a a) Sumando ambas igualdades: + cos a cos a ò cos a ± + cos a 0. cos a cos ( ) cos sen tg a tg a 0

7 b) Restando las igualdades (-ª -ª): cos a sen a ò sen a cos a ± cos a c) tg a sen a/ cos a/ + cos a. sen 78 0,98; tg 78,9 sen 9 0,; cos 9 0,77; tg 9 0,8. sen 0 sen (0 /) 0,5 cos 0 cos (0 /) 0,8 tg 0 tg (0 /) 0,577. sen 5 sen (90 /) cos 5 cos (90 /) tg 5 tg (90 /). tg a sen a + sen a tg a cos a + sen a sen a ( cos a) + sen a cos a sen a ( + ) sen a cos a + cos a ( cos a ) sen a sen a tg a cos a cos a 5. sen a sen a sen a sen a cos a sen a + sen a sen a + sen a cos a sen a ( cos a) cos a tg sen a ( + cos a) + cos a PÁGINA 5 cos a cos a. Sumando 8 cos (a + b) + cos (a b) cos a cos b () Restando 8 cos (a + b) cos (a b) sen a sen b () A + B A B Sustituyendo a, b en () y (), se obtiene: a () 8 cos A + cos B cos A + B cos () 8 cos A cos B sen A + B sen 7. a) /; b) /; c) / 8. tg a PÁGINA 7. a) x 0 ; x 00 ; x 80 b) x 5 ; x 5 ; x 5 5 ; x 5 c) x 0 ; x 80 ; x 5 ; x 5 d) x 0 ; x 0 ; x a) x 5 9',"; x 5 9',"; x 80 b) x 90 ; x 70 ; x 0 ; x 0 0 c) x 90 ; x 80 d) x 0 ; x 80 ; x 0 ; x 50 ; x 5 0 ; x 0. x 5 ; x 5 ; x 5 ; x 5 ; x 5 0 ; x 80. a) x 7 rad, x rad b) La ecuación no tiene solución. 5. a) x 0 + k 80 + k rad, k éz b) x + k rad, k éz c) x + k rad, k éz d) x k rad, k éz PÁGINA. a) 0 b) 0 c) 0 d) 5 e) 0 f) 80. a) 85 5' 7" b) 8 0' 7" c) 8 8' " d) 57 ' 8" A B A B

8 . a) /9 0,7 rad b) /5,88 rad c) /, rad d) /,9 rad e) /,7 rad f) 7/0, rad. a) b) c) 5. a) + + ( ) + b) a) b) c) 7. a) b) + c) 8. a) a 0, a,8 b) a 0,95 a 5, c) a 0,98 a, d) a 0,8 a,8 9. a).º cuadrante b). er cuadrante c).º cuadrante 0. sen 75 ( + )/; cos 75 ( )/ tg a) /5 b) c) ( )/0 d) ( )/0 e) 0 /0 f ) /7 PÁGINA. sen 5 0,5889; cos 5 0,959; tg 5 0,799. a) 5 /9 b) 9 5 c) ( 5 + 5)/5. a) /5 b) 5 /5 5. a) 7 / b) / c) /8 d) 7 e) / f) 8 /8. sen 0,; cos 0,78; tg 0, tg b 8/ 5 8. a) x 90 + k 0 + k, k éz x 70 + k 0 b) x k 0 k, k éz + k, k éz x 80 + k 0 + k, k éz x 90 + k 0 + k, k éz c) x 90 + k 0 + k, k éz x 70 + k 0 x 0 + k 0 x 0 + k 0 + k, k éz + k, k éz + k, k éz 9. a) x 90 + k 0 + k, k éz x 70 + k 0 + k, k éz b) x 5 + k 0 + k, k éz x 5 + k 0 x 5 + k 0 x 5 + k 0 + k, k éz + k, k éz + k, k éz c) x 90 + k 0 + k, k éz x 0 + k 0 x 0 + k 0 d) x k 0 k, k éz + k, k éz + k, k éz x 80 + k 0 + k, k éz x 0 + k 0 x 0 + k k, k éz + k, k éz

9 0. a) x + k 0 + k 0, k éz x 5 + k 00 + k 0, k éz b) x 90 + k 0 + k, k éz x 70 + k 0 + k, k éz x 5 + k 0 + k, k éz 5 x 5 + k 0 + k, k éz c) x 0 + k 0 + k, k éz 5 x 50 + k 0 + k, k éz d) x + k 5 + k 0, k éz x 5 + k 5 + k 0, k éz. a) x k 0 k, k éz x 80 + k 0 + k, k éz x 5 + k 0 + k, k éz x 5 + k k, k éz x k 0 + k, k éz x 5 + k k, k éz b) x 5'," + k 0 (/5) + k, k éz x 5'," + k 0 (/5) + k, k éz x 5 + k 0 (/5) + k, k éz x 5 + k 0 (7/5) + k, k éz c) x 90 + k 0 (/) + k, k éz x 70 + k 0 (/) + k, k éz d) x k 0 k, k éz e) x 90 + k 0 + k, k éz x 70 + k 0 + k, k éz x 0 + k 0 + k, k éz 5 x 00 + k 0 + k, k éz sen (a + b) sen a cos b + cos a sen b. sen (a b) sen a cos b cos a sen b sen a cos b cos a sen b + cos a cos b cos a cos b tg a + tg b sen a cos b cos a sen b tg a tg b cos a cos b cos a cos b. tg x cos x sen x sen x + cos x sen x cos x sen x ( + cos x) sen x cos x cos x sen x [ + cos x cos x] sen x tg x cos x cos x. cos ( x + ) cos ( x + ) [ cos x cos sen x sen ] [ cos x cos sen x sen ] [ (cos x) (sen x) ] [ (cos x) ( ) (sen x) ] cos x sen x + cos x + sen x cos x 5. cos a cos (a b) + sen a sen (a b) cos a (cos a cos b + sen a sen b) + + sen a (sen a cos b cos a sen b) cos a cos b + cos a sen a sen b + + sen a cos b sen a cos a sen b cos a cos b + sen a cos b cos b (cos a + sen a) cos b cos b

10 PÁGINA.,5 rad 7 7' " 7. R,8 cm 8. / cos (a b) cos a cos b + sen a sen b 9. cos (a + b) cos a cos b sen a sen b cos a cos b sen a sen b + cos a cos b cos a cos b cos a cos b sen a sen b cos a cos b cos a cos b sen a 0. cos a cos a sen a sen a Si a ò cos a sen a sen a sen a sen a cos a. sen a + sen a sen a + sen a cos a. + tg a tg b tg a tg b sen a ( cos a) cos a tg sen a ( + cos a) + cos a. a) x 90 + k 0 + k, k éz x 0 + k 0 + k, k éz x 50 + k k, k éz b) x 0 + k 0 + k, k éz x 0 + k k, k éz x 50 + k k, k éz x 0 + k 0 + k, k éz c) x 90 + k 0 (/) + k, k éz x 70 + k 0 (/) + k, k éz x 8 ' 5," + k 0 0,8 + k, k éz x 9 8' 8,9" + k 0, + k, k éz a d) x k 0 k, k éz x 80 + k 0 + k, k éz x 0 + k 0 + k, k éz x 0 + k 0 + k, k éz e) x k 0 k, k éz x 0 + k 0 + k, k éz x 0 + k 0 + k, k éz f) x k 80 k, k éz x 0 + k 90 + k, k éz g) x k 0 k, k éz x 80 + k 0 + k, k éz x 7 ' 5," + k 0 (/5) + k, k éz x 5 ' 5," + k 0 (7/5) + k, k éz. a) x 0 + k 0 + k, k éz 5 x 50 + k 0 + k, k éz b) x 5 + k 0 + k, k éz x 75 + k 0 x 95 + k 0 x 55 + k 0 + k, k éz + k, k éz + k, k éz 5 c) x 50 + k 0 + k, k éz x 0 + k d) x 57,5 + k 0, k éz x 7,5 + k 0, k éz x 7,5 + k 0, k éz x 7,5 + k 0, k éz + k, k éz

11 5. a) Se demuestra (ver CD de Recursos Didácticos).. a) b) x k 80 k, k éz x 0 + k 80 (/) + k, k éz x 50 + k 80 (5/) + k,. a) cos (a + b) cos (a b) (cos a cos b k éz sen a sen b) (cos a cos b + sen a sen b) cos a cos b sen a sen b cos a ( sen b) ( cos a) b) c) 7 sen b cos a cos a sen b sen b + + cos a sen b cos a sen b 0 b) Se demuestra (ver CD de Recursos Didácticos). d) c) Se demuestra (ver CD de Recursos Didácticos) sen a cos a cos a sen a sen a 8. a) (90, 0 ); b) (0, 0 ); c) (0, 0 ) 9. Se justifica (ver CD de Recursos Didácticos). 0. sen a (sen a cos a sen a cos a) cos a cos a + sen a sen a cos a PÁGINA 5. sen sen ; cos cos ; tg 5 tg. a) sen ( a) sen a ò tg ( a) tg a cos ( a) cos a ± Ø b) sen ( + a) sen a ò tg ( + a) tg a cos ( + a) cos a ± Ø c) sen ( a) sen a ò cos ( a) cos a ± Ø 5 ò tg ( a) tg a. a) A (x) sen x b) A (x) 0 c) A (x) sen x + cos x. a) (0, 0 ); b) (0, 5 ); c) (5, 5 ) 7. a), b) y c) Se demuestran (ver CD de Recursos Didácticos). AUTOEVALUACIÓN. 5 rad 5 rad 50 rad 5' 0''. a) 0 rad,05 rad 5 b) 5 rad,9 rad c) 0 rad 5,7 rad. l cm. La gráfica corresponde a b) y cos x. Su periodo es. 5

12 5 (, ) (,, ) ( ),, 0 5. a) sen a 5 8 b) cos ( + a) c) tg a 5/. a) y b) Se demuestran (ver CD de Recursos Didácticos). 7. a) x 0 k, k éz x k, k éz x k, k éz x k, k éz d) sen ( a) 5 8 b) x k, k éz x k, k éz 8. a) b)

13 . NÚMEROS COMPLEJOS. a) z i, z i PÁGINA 7 Extraer fuera de la raíz a) b) 0 Potencias de a) b) c) Cómo se maneja k? 8 a) 0 b) 0 c) 5 Expresiones del tipo a + b a) 5 b) a) 8 5 b) 8 i i b) z i, z + i + i i c) z i, z i i Multiplicaciones a) + b) + 0 c) d) 9 Ecuaciones de segundo grado a) x 5 +, x 5 d) z, z i b) x, x PÁGINA 9. Reales: 7, 0 y 7 Imaginarios: 5 i, 5 + i, 5i, i, i, i Imaginarios puros: 5i, i, i. a) Opuesto: + 5i Conjugado: + 5i + 5i + 5i i 7 i i i + 5 i 7 5 i 5i 5i 7

14 b) Opuesto: 5 i Conjugado: 5 i g) Opuesto: i Conjugado: i 5 + i i i 5 i c) Opuesto: + i Conjugado: + i 5 i h) Opuesto: 5i Conjugado: 5i 5i + i + i i d) Opuesto: i Conjugado: i 5i + i i i e) Opuesto: 5 Conjugado: 5 5 f) Opuesto: 0 Conjugado: i i i i 5 i i i 0 i i i i i CRITERIO: Dividimos el exponente entre y lo escribimos como sigue: i n i c + r i c i r (i ) c i r c i r i r i r Por tanto, i n i r, donde r es el resto de dividir n entre. PÁGINA 5. a) 8 8i b) 9i c) + i d) 8 + i e) i f ) i g) i h) i i) + i j) + i k) i l) 9 + i m) i 8

15 . a) x x + 7 b) x + 9 c) x + ( + i)x + ( + i). Hay dos soluciones: x 5, x 5. z + z 5 + 7i 7i z + z PÁGINA 55. a) b) 0 + i c) 0 + i 5 5 d) i e) 0 + i 5i z f) i 90º. a) ( 0º ) 8 90º ( 50º ) ( 70º ) b) ( 0º ) 0º ( 50º ) ( 0º ) i z 5 ( 70º ) 080º 0º 5 5. a) 0 0 b) ( )5 c) ( )00 d) 0 PÁGINA 5. a) + i 0 b) + i 0 c) + i 5 d) 5 i 9 7' e) i 90 f) º. a) i b) + i c) + i d) i e) 5 f) i. cos a cos a cos a sen a sen a cos a sen a sen a PÁGINA 57. Las seis raíces son: i 0 + i 80 0 i 00 i. Opuesto: z r 80 + a Conjugado: z r0 a. z i 5. a) z + i; z i b) z z i 70 z z ( ) 50 c) z z 70 z z + i 0 ( ) z 0 + i z 80 z 0 i 9

16 z z. 5 5' ' + i 5 5' ' i 5 5' ' i 7. a) Las dos raíces son: 90 i; 70 i z i. a) Las tres raíces son: 90 i, 0 i, 0 + i b) Las cuatro raíces son: 0 + i, 0 + i, 0 i, 00 i c) Las dos raíces son: i; i d) Las tres raíces son: 5 ; 5 ; 5. a) Las cuatro raíces son: 5 + i; 5 + i; 5 i; 5 i b) Las seis raíces son: 0 ( + i ) + i b) Las tres raíces son: z 0 + i z 80 z 00 i z z 90 i 50 ( + i ) + i 0 ( i ) i 70 i 0 ( i ) i c) Las tres raíces son: z 05 0,7 +,7i z 5 i z 5,7 0,7i z 5. z y w raíces sextas de 8 z, w (z w) z w z ( ) z w w z (z ) z (z ) z (z ) (z ) z z z i i z 0

17 d) Las tres raíces son: 90 i 0 i 0 i i PÁGINA 58. a) Re z b) Ì Im z < c) z d) z > e) Arg z 90. a) 0 0 e) Las cinco raíces son: z 8,9 + 0,i z 90 i z,9 + 0,i b) z,,i z 5 0,,i z z z z z 5 c) f) Las tres raíces son: z 0º z 50º z 70º d) z z z

18 e). a) i 5 Opuesto: + i 5 Conjugado: + i 5 + i + i i PÁGINA. a) 9 + i b) + i c) 5 i d) 8 + i. a) + i b) 9 7 i 0 0 c) i d) + i 0 0. a) i b) 9i 7 9 c) + i d) i e) + i f) 0 + i. a) i b) c) i d) e) b) + i 5 Opuesto: i 5 Conjugado: i 5 + i i i c) + i 0 Opuesto: i 0 Conjugado: i 0 + i 5. a) z i; + z + z 0 b) i z z. m 7; n 5 i d) i 0 Opuesto: + i 0 i 7. k Conjugado: + i Hay dos soluciones: a, b ; a, b 9. Hay dos soluciones: a /, b ; a, b 0. a /5; b 08/5. a) b b) b 8. a, a + i i e) 80 Opuesto: 0 Conjugado: 80 + i. x, x

19 f) i 90 Opuesto: i 70 Conjugado: i 70. a) 8 0º b) 75º c) 5º d),5 5º e) 0º f),5 05º g) 80º h) 0º i) 8 80º i 7. a) ( i) 5 ( 5 ) 5 + i b) i 00 Las cuatro raíces son: i g) i ( )70 Opuesto: i ( )90 Conjugado: i ( )90 c) 75, 5, 55, 5 Las cuatro raíces son: 0, 90 i, 80, 70 i d) 8i Las tres raíces son: h) + i 0 i/ i/ Opuesto: i 0 Conjugado: i a) + i b) + i c) d) 7 e) i f) 5i g) + i h) 0,9 +,9i + i i i 0 + i, 50 + i, 70 i e) ( + i ) f) ( i) 5 00 ' 8. a) + i + i b) Las tres raíces son: 0, ,7i 5 5' 0,9 + 0,5i 5 5' 0,09 0,85i 5 5' i

20 9. a)las tres raíces son: 00 0,5 +,97i 0,5,i 0,88 0,8i b) Las cuatro raíces son: 5 + i 5 + i 5 i 5 i c) Las tres raíces son: 0 + i 50 + i 70 i f) i 5 Las dos raíces son: 0' 0, +,i 9 0' 0,,i g) i Las tres raíces son: 90 i 0 i 0 i i + i h) ( ) 80 Las dos raíces son: ( i )90 ( )70 70 i PÁGINA 0. a) ( + i ) 5 i b) ( i ) ( i ) 8 0 i c) + i 0 Las cuatro raíces son: 0 + i 0 + i. a) z 00 ; z 0 ; z 0 b) z 5 ; z 5 ; z 5 c) z 50 ; z 0 ; z 0. a) Las cinco raíces son: 8, 90,,, 0 0 i 00 i d) 8 ( i) 5 5 i b) Las seis raíces son: 0, 90, 50, 0, 70, 0 e) 80 Las seis raíces son: 0 + i 90 i 50 + i 0 i 70 0 i

21 c) Las cuatro raíces son: 7 0, 97 0, 87 0, 77 0' c) Las cuatro raíces son: 0; 0 ; 0 + i; 0 i 7. a) z + i; w i b) z 5i; w i 8. Hay dos soluciones: m y m. a) z i; z i 5 5 b) z i; z + i 9 9 c) z i; z + i d) z i; z + i. a) Las cinco raíces son: ; 08 ; 80 ; 5 ; b) Las tres raíces son: 90 ; 0 ; 0 c) Las tres raíces son: 90 i; 0 i; 0 i d) Las cuatro raíces son: 0', + 0,5i 0' 0,5 +,i 0 0', 0,5i 9 0' 0,5,i 5. a) z 5 ; z 5 b) z i; z + i c) z 5 i; z 5 i d) z i 90º ; z i 70º ; z i 90º ; z i 70º. a) Las cuatro raíces son: 0 ; 90 i; 80 ; 70 i b) Las cuatro raíces son: 5 + i; 5 + i; 5 i; 5 i 9. Los números son: / y / 0. Hay cuatro soluciones: z 0 ; w 7 0' z 0 ; w 7 0' z 0 0 ; w 7 0' z 9 0 ; w 57 0'. Hay tres soluciones: w 0 ; z 0 w 80 ; z w 00 ; z 0. Los números son: / y / ; o bien / y /. cos 75 sen cos 5 sen 5 5. x ; x. z + x + x 7. x PÁGINA 8. Hay dos soluciones: z + i 8 z i z i 8 z + i 9. Los números son: z + i; w i 0. Las tres raíces son: + z 75 ; z 95 ; z 5 5

22 z i 0 l z.. er hexágono: La longitud del lado del triángulo es l.. Las tres raíces cúbicas de 8i son: z 0 ; z 50 ; z 70 Las tres raíces cúbicas de 8i son: z 90 ; z 0 ; z 0 Las tres raíces cúbicas de 8 son: z 0 ; z 0 ; z 0 Las tres raíces cúbicas de 8 son: z 0 ; z 80 ; z 00 z z 0 z 0 + i z 0 + i z 80 z 5 0 i z 00 i. hexágono: z 0 + i z 90 i z 50 + i z 0 i z z 5 70 i z z z 0 i z 8i z z 8i. Sí son las raíces quintas de un número complejo. z ( 8 ) Los otros vértices son: ; 8 ; 5 ; 8 El número es z ( 0 ) 5. z z. + i 5 z z Las otras raíces cúbicas son: ; z z z + i 8 8. No. Si fueran las cuatro raíces cuartas de un número complejo, formarían entre cada dos de ellas un ángulo de 90 ; y ni siquiera forman el mismo ángulo, como vemos en la representación gráfica: 7. x x a) x b) x x a) z 0; w + i b) z i; w + i

23 50. a) g) 5 b) h) c) 5. 0 x d) 5. a) x 0 e) b) 5 x x f) c) 7

24 5. a) Re z b) Im z c) Ì Re z d) 0 Ì Im z < < Re z < e) f) z < Im z < PÁGINA 5 5. No, también son reales los números con argumento 80 (los negativos). 55. r a + 80 z (opuesto de z) r 0 a z (conjugado de z) 5. z a + bi r a 8 z a bi r 0 a w c + di r' b 8 w c di r' 0 b a) z + w (a + c) (b + d)i z + w b) z w (r r') 0 a + 0 b (r r') 0 (a + b) z w c) k z ka kbi kz z 0 r a 57. ( ) a ( ) 0 a 8 z r Sí. Por ejemplo: z i, w i r z r z w i i i é Á 0. Se diferencian en 80.. Ha de tener módulo.. La longitud del lado es l, unidades.. z 5, w 5 /. a) ( ) 5/ i b) ( ) 70 i /i c) i + i + i / / (/ / ) / 59. iz i i + i + i + i 90 z r Si z r a, entonces ( ) 0 a 5. a) Circunferencia con centro en (, ) y radio 5. i b) Circunferencia de centro en (5, ) y radio.. z ( + i) 8

25 AUTOEVALUACIÓN i 0 0 c) a + bi + a bi 8 8 a 8 a. z 0 i. b 7, a. z 5 + i, z 5 i 5. Hay dos soluciones: x, x. l u 7. a) 5 8. Los números son 0 y 0 o bien 00 y z z a + b z b) 0. cos 0 ; sen 0 +. z + i 9

26 PÁGINA. c cm a cm B C BLOQUE II. TRIGONOMETRÍA Y NÚMEROS COMPLEJOS 5 8' '' ' ''. Perímetro, cm. El mástil mide 7, m y el cable,,99 m.. sen a ; cos a sen a + cos a?. Por tanto, no existe ningún ángulo que verifique las dos condiciones a la vez. 5. Perímetro,8 cm Área 8, cm. a) cos 97 cos a) cos 97 cos b) sen 5 sen 8 c) tg ( 00 ) tg 80 d) sen sen a) cos a /5 5 b) sen ( a 5 a 5 5 c) sen 0 d) tg ( + a ) ) 8. a) 8 IV b) 8 III c) 8 I d) 8 II 9. cos x sen x (cos x + sen x)(cos x sen x) cos x sen x cos x ( cos x) cos x 0. a) x k, k é Z 8 Vale x 5' '' + 0 k, k é Z x 7' 8'' 8 No vale b) x 0, y 0. z 00 x 50, y 90 x 0, y 70 x 50, y 0 z 0 z ( ) 00 i 0 i 7. i + i. x + x + 0. Los números son 5 + 5i y 5 5i. 5. A + i 0 ; B 50 ; C 0 ; D 0 ; l u 50