Algebră liniară CAPITOLUL 3
|
|
- Αδελφά Παππάς
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Algebră liniară CAPITOLUL 3 TRANSFORĂRI LINIARE 3.. Definiţia transformării liniare Definiţia 3... Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K. O funcţie u: V W se numeşte transformare liniară (sau operator liniar, sau morfism de spaţii vectoriale) dacă îndeplineşte următoarele condiţii:. u(x + y ) = u(x) + u(y) pentru orice x, y V; 2. u(α x) = α u(x) pentru orice α K şi orice x V. În cazul în care V = W o transformare liniară u : V V se numeşte endomorfism. Se observă uşor că restricţia unei transformări liniare la un subspaţiu vectorial al domeniului său de definiţie este tot o transformare liniară. Propoziţia Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K. O funcţie u: V W este transformare liniară dacă şi numai dacă pentru orice x, y V şi orice α, β K este îndeplinită condiţia u(α x + β y) = α u(x) + β u(y). Demonstraţie. Dacă u: V W este transformare liniară, atunci, conform definiţiei, pentru orice x, y V şi orice α, β K, avem 97
2 Transformări liniare u(αx + βy) = u(αx) + u(βy) = αu(x) + βu(y). Reciproc, presupunem că pentru orice x, y V şi orice α, β K este îndeplinită condiţia u(αx + βy) = αu(x) + βu(y). Luând α = β =, obţinem u(x + y) = u(x) + u(y). Luând β = 0, obţinem u(αx) = αu(x). Cele două condiţii din definiţia transformării liniare sunt îndeplinite. Exemplul Considerăm spaţiile vectoriale R 3 şi R 2 peste corpul numerelor reale R. Aplicaţia u : R 3 R 2, definită prin u(x) = (x + x 3, x 2 - x 3 ) pentru orice x = (x, x 2, x 3 ) R 3 este o transformare liniară. Într-adevăr, fie α, β R şi x = (x, x 2, x 3 ), y = (y, y 2, y 3 ) R 3. Din α x + β y = (α x + β y, α x 2 + β y 2, α x 3 + β y 3 ), rezultă că u(α x + β y) = (α x + β y + α x 3 + β y 3, α x 2 + β y 2 - (α x 3 + β y 3 )) =(α(x + x 2 ) + β(y + y 3 ), α(x 2 -x 3 ) + β(y 2 - βy 3 )) =(α(x + x 2 ), α(x 2 -x 3 ) ) + (β(y + y 3 ), β(y 2 - βy 3 )) = α(x + x 2, x 2 -x 3 ) + β(y + y 3, y 2 - y 3 ) = α u(x) + β u(y). Aplicaţia v : R 3 R 2, definită prin v(x) = (x + x 3, x 2 x 3 ) pentru orice x = (x, x 2, x 3 ) R 3 nu este o transformare liniară. Într-adevăr, pentru x = (,, ) R 3 şi α = 3 R avem v(α x) = (6, 9) 3(2,) = αv(x). Propoziţia Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K şi u: V W o transformare liniară. Atunci. u(0) = 0. 98
3 Algebră liniară 2. Dacă V este un subspaţiu vectorial al lui V, atunci u(v ) = {u(x): x V } este un subspaţiu vectorial al lui W. 3. Dacă W este un subspaţiu vectorial a lui W, atunci preimaginea u - (W ) = {x V: u(x) W } este un subspaţiu vectorial al lui V. Demonstraţie.. Fie x V un element oarecare. Atunci u(0) = u(0x) = 0u(x) = Fie V un subspaţiu vectorial a lui V. Fie α, β K şi y, y 2 u(v ). Deoarece y, y 2 u(v ) există x, x 2 V astfel încât u(x ) = y şi u(x 2 ) = y 2. Cum V este subspaţiu vectorial, αx + βx 2 V. Avem αy + βy 2 = αu(x ) + βu(x 2 ) = u(αx + βx 2 ) u(v ), pentru că αx + βx 2 V. Deci u(v ) este un subspaţiu vectorial al lui W. 3. Fie W un subspaţiu vectorial a lui W. Fie α, β K şi fie x, x 2 u - (W ). Din faptul că x, x 2 u - (W ) rezultă că u(x ), u(x 2 ) W. Cum W este subspaţiu vectorial, αu(x ) + βu(x 2 ) W şi deci u(αx + βx 2 ) = αu(x ) + βu(x 2 ) W, de unde rezultă că αx + βx 2 u - (W ). În consecinţă, u - (W ). este un subspaţiu vectorial al lui V. Propoziţia Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K şi u: V W o transformare liniară. În aceste condiţii. Pentru orice vectori x, x 2,, x n din V şi orice scalari α, α 2,, α n din K avem n u( α i= 99 n ix i ) = αi ( x i ) i= u.
4 Transformări liniare 2. Dacă {x, x 2,, x n } este o familie liniar dependentă de vectori din V, atunci {u(x ), u(x 2 ),, u(x n )} este o familie liniar dependentă de vectori din W. 3. Dacă u este injectivă şi { x, x 2,, x n } este o familie liniar independentă de vectori din V, atunci {u(x ), u(x 2 ),, u(x n )} este o familie liniar independentă de vectori din W. ai general, dacă {x i } i I este o familie liniar independentă de vectori din V, atunci {u(x i )} i I este o familie liniar independentă de vectori din W. 4. Dacă u este surjectivă şi {x i } i I este un sistem de generatori pentru V, atunci {u(x i )} i I este un sistem de generatori pentru W. 5. Dacă u este bijectivă, atunci dimensiunea lui V peste K este aceeaşi cu dimensiunea lui W peste K. Demonstraţie.. Demonstraţia se face prin inducţie după n, ţinând cont că n u( αix i ) = u( i= i= n n = u( i= α α ix i + α n x n ) = u( i= ix i ) + α n u(x n ). n α ix i ) + u(α n x n ) = 2. Dacă {x, x 2,, x n } este o familie liniar dependentă de vectori din V, atunci există scalarii α, α 2,.., α n, nu toţi nuli, astfel încât α x + α 2 x α n x n = 0. Aplicând u obţinem u(α x + α 2 x α n x n ) = 0 sau echivalent α u(x ) + α 2 u(x 2 ) + + α n u(x n ) = 0, 00
5 Algebră liniară de unde rezultă că {u(x ), u(x 2 ),, u(x n )} este o familie liniar dependentă de vectori din W. 3. Presupunem că {x, x 2,, x n } este o familie liniar independentă de vectori din V şi că u este injectivă. Fie scalarii α, α 2,.., α n din K astfel încât α u(x ) + α 2 u(x 2 ) + + α n u(x n ) = 0. Ţinând cont de. rezultă că u(α x + α 2 x α n x n ) = 0. Deoarece u este injectivă şi u(0) = u(α x + α 2 x α n x n ), rezultă că α x + α 2 x α n x n = 0. Deoarece {x, x 2,, x n } este o familie liniar independentă rezultă că α = α 2 = = α n = 0. Deci {u(x ), u(x 2 ),, u(x n )} este o familie liniar independentă. Cazul general, al familiilor liniar independente infinite, revine la cazul familiilor finite, dacă se ţine seama că o familie de vectori este liniar independentă dacă şi numai dacă orice subfamilie finită a sa este liniar independentă. 4. Presupunem că {x i } i I este un sistem de generatori pentru V şi că u este surjectivă. Fie y W. Există x V astfel încât y = u(x), căci u este surjectivă. Deoarece {x i } i I este un sistem de generatori pentru V, rezultă că există o familie {α i } i I de scalari din K de suport finit (adică numai un număr finit dintre scalarii α i sunt nenuli) astfel încât x = αix i. Ca urmare, y = u(x) = u( α i I i I ix i ) = αi ( x i ) i I u şi deci {u(x i )} i I este un sistem de generatori pentru W. 5. Fie {e i } i I o bază în V. Transformarea liniară u fiind bijectivă este şi injectivă şi surjectivă. Atunci {u(e i )} i I este şi liniar independentă (din 3) şi sistem de generatori pentru W (din 4). În consecinţă, {u(e i )} i I este o bază în W. De aici obţinem că dimensiunile lui V şi W coincid, fiind egale cu cardinalul lui I. 0
6 Transformări liniare Teorema Fie V un spaţiu vectorial peste un corp comutativ K şi B = {e i } i I o bază în V. Atunci oricare ar fi spaţiul vectorial W peste corpul K şi oricare ar fi familia {f i } i I de elemente din W, există o unică transformare liniară u : V W astfel încât u(e i ) = f i pentru orice i I. ai mult, u este injectivă (respectiv surjectivă, bijectivă) dacă şi numai dacă {f i } i I este un sistem liniar independent (respectiv sistem de generatori, bază). Demonstraţie. Dacă x V, există o unică familie {λ i } i I de scalari din K de suport finit (adică numai un număr finit dintre scalarii λ i sunt nenuli) astfel încât x = λie i. Definim i I u(x) = λif i. i I Evident u este bine definită (datorită unicităţii reprezentării lui x în baza B) şi rămâne să arătăm că u este transformare liniară. Pentru orice x şi x 2 V există şi sunt unice familii de scalari din K de suport finit {α i } i I şi {β i } i I astfel încât x = αie i şi x 2 = βie i. Atunci x + x 2 = ( α +β ) i I u(x + x 2 ) = ( α +β ) i I Dacă α K şi x = λ i I i i i i e şi i i I f i = αif i + βif i = u(x ) + u(x 2 ). i I i I ie i V, atunci αx = ( αλ ) i i I i e şi deci i I 02
7 u(αx) = ( αλ ) i I Algebră liniară i f i = α i I λif i =αu(x). Să demonstrăm unicitatea lui u. Fie v : V W o altă transformare liniară cu proprietatea că v(e i ) = f i pentru orice i I. Pentru orice x = λie i V avem v(x) = v( λ i I ie i ) = λi ( e i ) i I că u(x) = y, de unde rezultă că u este surjectivă. Într-adevăr, 03 i I v = λif i = u(x). Deci v coincide cu u. i I Dacă u este injectivă atunci, conform Propoziţiei 3..5, {f i } i I = {u(e i )} i I este liniar independentă, deoarece {e i } i I fiind bază este în particular liniar independentă. Reciproc, să presupunem că {f i } i I este liniar independentă şi să demonstrăm că u este injectivă. Fie x, x 2 V astfel încât u(x ) = u(x 2 ). Atunci u(x - x 2 ) = 0. Cum x - x 2 V, există o unică familie {λ i } i I de scalari din K de suport finit astfel încât x - x 2 = λie i. Avem 0 = u(x - x 2 ) = u( λ i I i I ie i ) = λi ( e i ) i I u = λif Faptul că {f i } i I este liniar independentă implică λ i = 0 pentru orice i I, şi deci x - x 2 = 0, sau echivalent x = x 2. De aici rezultă că u este o aplicaţie injectivă. Dacă u este surjectivă atunci, conform Propoziţiei 3..5, {f i } i I ={u(e i )} i I este sistem de generatori pentru W fiindcă {e i } i I, fiind bază în V, este în particular sistem de generatori pentru W. Reciproc, să presupunem că {f i } i I este un sistem de generatori pentru W şi să demonstrăm că u este surjectivă. Fie y W. Din faptul că {f i } i I este un sistem de generatori pentru W, rezultă că există o familie {λ i } i I de scalari din K, de suport finit, astfel încât y = λif i. Luăm x = λieişi arătăm i I i I i i I
8 u(x) = u( λ i I Transformări liniare ie i ) = λi ( e i ) i I u = λif i = y. Din cele demonstrate mai sus rezultă că u este o aplicaţie bijectivă (injectivă + surjectivă) dacă şi numai dacă {f i } i I este bază (liniar independentă + sistem de generatori). Teorema Fie n un număr natural, V şi W două spaţii vectoriale n- dimensionale peste un corp comutativ K. Pentru orice transformare liniară u: V W următoarele afirmaţii sunt echivalente. u aplicaţie injectivă. 2. u aplicaţie surjectivă. 3. u aplicaţie bijectivă. Demonstraţie. Vom arăta => 2 =>3. Cum evident 3 =>, va rezulta că cele trei afirmaţii sunt echivalente. Fie {e, e 2,, e n } o bază în V. => 2. Dacă u este injectivă, aplicând Propoziţia 3..5, rezultă că {u(e ), u(e 2 ),, u(e n )} este o familie liniar independentă de vectori din W. Cum dimensiunea lui W este n, rezultă că {u(e ), u(e 2 ),, u(e n )} este de fapt o bază pentru W şi deci în particular {u(e ), u(e 2 ),, u(e n )} este un sistem de generatori pentru W. Aplicând Teorema 3..6, rezultă că u este surjectivă. 2 =>3. Presupunem că u este surjectivă. Pentru a arăta ca u este bijectivă este suficient să arătăm că este injectivă. Din Propoziţia 3..5, rezultă că {u(e ), u(e 2 ),, u(e n )} este un sistem de generatori pentru W. Din faptul că dimensiunea lui W este n, rezultă că {u(e ), u(e 2 ),, u(e n )} este de fapt o bază pentru W şi deci, în particular, {u(e ), u(e 2 ),, u(e n )} i I 04
9 Algebră liniară este o familie liniar independentă de vectori din W. Ţinând cont de Teorema 3..6, rezultă că u este injectivă. Corolarul Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste un corp comutativ K. Pentru orice endomorfism următoarele afirmaţii sunt echivalente. u este aplicaţie injectivă. 2. u este aplicaţie surjectivă. 3. u este aplicaţie bijectivă. u: V V Demonstraţie. Se aplică Teorema 3..7 luând W =V Operaţii cu transformări liniare Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K. Notăm cu L K (V, W) (sau L(V, W) când corpul K se subînţelege) mulţimea tuturor transformărilor liniare definite pe V cu valori în W. Dacă u şi v sunt două transformări liniare din L(V, W), se defineşte suma "u + v" lor prin (u + v)(x) = u(x) + v(x) pentru orice x V. Se verifică uşor că u + v : V W este o transformare liniară şi că suma transformărilor liniare este asociativă şi comutativă. ai mult, există transformarea liniară O : V W, O(x) = 0 pentru orice x v, (numită transformarea liniară nulă) care are proprietatea că O + u = u + O pentru orice u L(V, W). Pentru orice transformare liniară u L(V, W) se defineşte transformarea liniară opusă "- u" prin 05
10 Transformări liniare (- u)(x) = - u(x) pentru orice x V. Este uşor de arătat că - u este o transformare liniară şi că u + (-u) = (-u) + u = O. Pentru orice transformare liniară u L(V, W) şi orice scalar α K, se defineşte produsul lui u cu scalarul α "αu" prin (αu)(x) = αu(x) pentru orice x V. Aplicaţia αu este o transformarea liniară din L(V, W). ulţimea transformărilor liniare L K (V, W) împreună cu suma şi produsul cu scalari definite mai sus are o structură de spaţiu vectorial peste corpul K (temă - verificarea axiomelor). Fie U, V şi W trei spaţii vectoriale peste acelaşi corp comutativ K. Dacă u L K (V, W) şi v L K (U, V), se defineşte produsul "uv" prin (uv)(x) = u(v(x)) pentru orice x U. Se verifică faptul că aplicaţia uv: U W este o transformare liniară. Pentru produsul de transformări liniare uv se mai foloseşte şi notaţia uo v specifică compunerii funcţiilor (deoarece produsul transformărilor liniare u şi v este dat de fapt de compunerea funcţiilor u şi v). Să considerăm acum cazul U = V = W. Se introduce transformarea liniară identică (sau transformarea liniară unitate) I V : V V, definită prin I V (x) = x pentru orice x V. Este evident că I V este o transformare liniară şi că I V u = ui V = u pentru orice transformare liniară u L K (V, V). Când spaţiul vectorial V se subînţelege, transformarea liniară identică se notează cu I. 06
11 Algebră liniară ulţimea transformărilor liniare L K (V, V) cu suma şi produsul definite mai sus formează un inel unitar necomutativ (vezi Definiţia 4.2.). Pentru orice transformare liniară u : V V se poate defini puterea u n pentru orice număr natural n 2 prin u n = uu n- cu convenţia u = u. Datorită asociativităţii produsului de transformări liniare sunt valabile următoarele reguli u n u m = u n+m (u n ) m = u nm pentru orice numere naturale nenule n şi m. Pentru o transformare liniară nenulă u (diferită de transformarea liniară nulă O) se consideră prin convenţie că u 0 = I. O transformare liniară u : V W, bijectivă se numeşte izomorfism de spaţii vectoriale sau transformare liniară nesingulară. Propoziţia Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K şi u: V W o transformare liniară nesingulară. Atunci există o transformare liniară v : W V astfel încât uv = I W şi vu = I V. Demonstraţie. Faptul că u: V W este o aplicaţie bijectivă este echivalent cu faptul că u este inversabilă ca funcţie. Deci există o aplicaţie v : W V astfel încât uv = I W şi vu = I V. Rămâne să arătăm că v este o transformare liniară. Fie y, y 2 W şi α, α 2 K. Deoarece u este surjectivă (fiind bijectivă) rezultă că există x, x 2 V astfel încât y = 07
12 Transformări liniare u(x ) şi y 2 = u(x 2 ). Atunci v(y ) = v(u(x )) = x şi v(y 2 ) = v(u(x 2 )) = x 2. Avem v(α y +α 2 y 2 ) = v(α u(x ) + α 2 u(x 2 )) = v(u(α x + α 2 x 2 )) = α x + α 2 x 2 = α v(y ) + α 2 v(y 2 ). Deci v este o aplicaţie liniară. Dacă u : V W este o transformare liniară nesingulară, atunci transformarea liniară v : W V cu proprietatea că uv = I W şi vu = I V ( a cărei existenţă este demonstrată de Propoziţia 3.2.) se numeşte inversa transformării liniare u şi se notează cu u -. Se mai spune că u : V W este o transformare liniară inversabilă. Din demonstraţia Propoziţiei 3.2. rezultă că inversa transformării liniare u coincide cu inversa lui u ca funcţie. Propoziţia Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste un corp comutativ K şi u: V V o transformare liniară.. Dacă există transformarea liniară v : V V astfel încât uv = I V, atunci u este o transformare liniară nesingulară şi u - = v. 2. Dacă există transformarea liniară v : V V astfel încât vu = I V, atunci u este o transformare liniară nesingulară şi u - = v. Demonstraţie.. Presupunem că există transformarea liniară v : V V astfel încât vu = I V, Faptul că I V este o aplicaţie bijectivă implică faptul că u este injectivă (dacă u(x ) = u(x 2 ), atunci v(u(x )) = v(u(x 2 )) şi deci x = x 2 ). Din Corolarul 3..8 rezultă că "u injectivă" este echivalent cu "u 08
13 Algebră liniară bijectivă". Deci u este nesingulară şi în consecinţă există transformarea inversă u -. Înmulţind la dreapta egalitatea vu = I V cu u - obţinem v = u Presupunem că există transformarea liniară v : V V astfel încât uv = I V. Deoarece I V este o aplicaţie bijectivă rezultă că u este surjectivă. (Într-adevăr, pentru orice y V luăm x = v(y) obţinem u(x) = u(v(y)) = y. Deci u este surjectivă). Din Corolarul 3..8 rezultă că surjectivitatea lui u este echivalentă bijectivitatea lui u. Deci u este nesingulară şi în consecinţă, există transformarea inversă u -. Înmulţind la stânga egalitatea uv = I V cu u - obţinem v = u -. Fie V un spaţiu vectorial peste un corp comutativ K şi u, v L(V, V). ulţimea transformărilor liniare nesingulare din L(V, V) coincide cu mulţimea elementelor inversabile ale inelului L(V, V) (vezi Definiţia 4.2.), deci este un grup (în raport cu produsul transformărilor liniare). Vom încheia această secţiune punând în evidenţă câteva reguli de calcul pentru transformările inverse. Dacă u şi v sunt nesingulare, atunci uv este nesingulară şi (uv) - = v - u - 2. Dacă u este nesingulară, atunci u - este nesingulară şi (u - ) - = u 3. Dacă u este nesingulară şi α K, α 0, atunci αu este nesingulară şi (αu) - = α - u - 4. Dacă u este nesingulară, atunci putem defini u -n pentru orice număr natural n prin formula u -n = (u - ) n. Este uşor de văzut că u -n =(u n ) -. 09
14 Transformări liniare 3.3. Rangul şi defectul unei transformări liniare Definiţia Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K şi u: V W o transformare liniară. ulţimea Ker u = {x V: u(x) = 0} se numeşte nucleul lui u (sau spaţiul nul al lui u). ulţimea Im u = {u(x) : x V} se numeşte imaginea transformării liniare u. Propoziţia Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K. Pentru orice transformare liniară u: V W, nucleul lui u este un subspaţiu vectorial al lui V, iar imaginea lui u este un subspaţiu vectorial al lui W. Demonstraţie. Aplicând Propoziţia 3..4 punctul 3, rezultă că nucleul Ker u = u - ({0}} este subspaţiu vectorial al lui V. De asemenea aplicând Propoziţia 3..4 punctul 2, rezultă că Im u = u(v) este subspaţiu vectorial al lui W. Definiţia Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K şi u: V W o transformare liniară. Dimensiunea nucleului lui u (Ker u) se numeşte defectul transformării liniare u. Dimensiunea imaginii lui u (Im u) se numeşte rangul transformării liniare u. Propoziţia Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K. Pentru orice transformare liniară u: V W avem 0
15 Algebră liniară. u este injectivă dacă şi numai dacă Ker u = {0} 2. u este surjectivă dacă şi numai dacă Im u = W. Demonstraţie.. Presupunem că u este injectivă. Dacă x Ker u, atunci u(x) = 0 = u(0), deci x = 0 (u fiind injectivă). De aici rezultă Ker u = {0}. Reciproc, presupunem că Ker u = {0}. Fie x, x 2 V astfel încât u(x ) = u(x 2 ). Cum 0 = u(x ) - u(x 2 ) = u(x - x 2 ), rezultă că x - x 2 Ker u = {0}. Deci x - x 2 = 0, de unde rezultă că u este injectivă. 2. Presupunem că u este surjectivă. Deoarece incluziunea Im u W este întotdeauna adevărată, rămâne să arătăm incluziunea opusă. Fie y W. Cum u este surjectivă, există x V astfel încât y = u(x). Deci y Im u. Reciproc, dacă Im u = W, atunci pentru orice y W există x V astfel încât y = u(x). Deci u este surjectivă. Propoziţia Fie n un număr natural şi fie V şi W două spaţii vectoriale n - dimensionale peste un corp comutativ K. Pentru orice transformare liniară u: V W următoarele afirmaţii sunt echivalente. Ker u = {0} 2. Im u = W 3. u este nesingulară. Demonstraţie. Din Teorema 3..7 rezultă că faptul că u este nesingulară <=> u este injectivă <=> u este surjectivă. Din Propoziţia rezultă că u este injectivă dacă şi numai dacă Ker u = {0}. Tot din propoziţia rezultă că u este surjectivă dacă şi numai dacă Im u = W. Propoziţia Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste un
16 Transformări liniare corp comutativ K. Pentru orice endomorfism u: V V următoarele afirmaţii sunt echivalente. Ker u = {0} 2. Im u = V 3. u este nesingular. Demonstraţie. Rezultă din Propoziţia luând W = V. Teorema Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K şi u: V W o transformare liniară.. Dacă V este finit dimensional, atunci şi Im u este finit dimensional. 2. Dacă r(u) este rangul lui u şi d(u) este defectul lui u, atunci r(u) + d(u) = dim K V (dimensiunea spaţiului V este egală cu suma dintre dimensiunea nucleului transformării liniare u şi dimensiunea imaginii lui u). Demonstraţie. Notăm n = dim K V. Fie B ={e, e 2, e d(u) } o bază în Ker u pe care o completăm până la o bază B 2 ={e, e 2, e d(u), e d(u)+,, e n } în V (dacă d(u) = 0, atunci B este mulţimea vidă). Arătăm că B 3 ={u(e d(u)+ ), u(e d(u)+2 ),, u(e n )} este o bază în Im u. Pentru orice y Im u, există x V astfel încât y = u(x). Cum B 2 este o bază în V, există n d scalarii α, α 2,, α n K astfel încât x = αie i = ( u ) αie i + Atunci d y= u(x) = u( ( u ) αie i ) + u( i= i= d n ( u ) + 2 i= αie i ) = u( ( u ) i= i= d n ( u ) αie i. + n n αie i ) = αi ( e i ) i= d + i= d u + ( ) u,
17 Algebră liniară deci B 3 ={u(e d(u)+ ), u(e d(u)+2 ),, u(e n )} este un sistem de generatori pentru Im u. Pentru a arăta că B 3 este bază rămâne să arătăm că B 3 este liniar independentă. Fie scalarii α, α 2,, α n-d(u) astfel încât α u(e d(u)+ ) + α 2 u(e d(u)+2 ) + + α n-d(u) u(e n ) = 0. Ţinând cont că u este o transformare liniară rezultă că u(α e d(u)+ + α 2 e d(u) α n-d(u) e n ) = 0. sau echivalent α e d(u)+ + α 2 e d(u) α n-d(u) e n Ker u. Din faptul că B ={e, e 2, e d(u) } este o bază în Ker u, rezultă că există scalarii β, β 2,, β d(u) astfel încât α e d(u)+ + α 2 e d(u) α n-d(u) e n = β e + β 2 e β d(u) e d(u). sau echivalent α e d(u)+ + α 2 e d(u) α n-d(u) e n - β e - β 2 e β d(u) e d(u) = 0. Pe de altă parte B 2 ={e, e 2, e d(u), e d(u)+,, e n } fiind bază în V, deci, în particular, fiind liniar independentă, rezultă că α = α 2 = =α n-d(u) = β = = β d(u) = 0. De aici rezultă că B 3 este liniar independentă. Faptul că B 3 ={u(e d(u)+ ), u(e d(u)+2 ),, u(e n )} este o bază în Im u, implică r(u) = dim K (Im u) = card(b 3 ) = n - d(u), sau echivalent r(u) + d(u) = n. Lema Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K şi u: V W o transformare liniară. Dacă V este finit dimensional şi dacă S este un subspaţiu vectorial al lui V, atunci dim K u(v) - dim K u(s) dim K V - dim K S. Demonstraţie. Notăm cu u S restricţia transformării liniare u la S : u S : S W, u S (x) = u(x) pentru orice x S. Este clar că Im u S = u S (S) = u(s) şi că Ker u S Ker u. 3
18 Transformări liniare Din teorema precedentă aplicată transformărilor liniare u şi u S rezultă că Scăzând cele două relaţii obţinem dim K u(v) + dim K (Ker u) = dim K V dim K u(s) + dim K (Ker u S ) = dim K S dim K u(v) - dim K u(s) + (dim K (Ker u) - dim K (Ker u S )) = dim K V - dim K S. Pe de altă parte, din Ker u S Ker u, rezultă dim K (Ker u) dim K (Ker u S ), şi, ţinând seama de relaţia de mai sus, obţinem dim K u(v) - dim K u(s) dim K V - dim K S. Teorema (inegalitatea lui Sylvester) Fie V, V 2 şi V 3 trei spaţii vectoriale peste un corp comutativ K astfel încât dim K V 2 =n. Pentru orice două transformări liniare u : V 2 V 3 şi u 2 : V V 2, rezultă că r(u u 2 ) r(u ) + r(u 2 ) - n, unde am notat cu r(u ) (respectiv r(u 2 ), r(u u 2 )) rangul lui u (respectiv rangul lui u 2, rangul lui u u 2 ). Demonstraţie. Aplicând Lema pentru transformarea liniară u şi subspaţiul Im u 2 = u 2 (V ) al lui V 2 : u 2 (V ) V 2 u V 3 obţinem dim K (u (V 2 )) - dim K (u (u 2 (V ))) dim K (V 2 ) - dim K (u 2 (V )), sau echivalent, dim K (u (V 2 )) - dim K (u u 2 (V )) dim K (V 2 ) - dim K (u 2 (V )). Ţinând cont de definiţia rangului unei transformări liniare rezultă că r(u ) - r(u u 2 ) n - r(u 2 ). Teorema (inegalitatea lui Frobenius) Fie V, V 2, V 3 şi V 4 patru spaţii vectoriale peste un corp comutativ K astfel încât V 2 şi V 3 să fie finit dimensionale. Pentru orice transformări 4
19 Algebră liniară liniare u : V 3 V 4, u 2 : V 2 V 3 şi u 3 : V V 2 rezultă că r(u u 2 ) + r(u 2 u 3 ) r(u 2 ) + r(u u 2 u 3 ), unde am notat cu r(u u 2 ) (respectiv r(u 2 ), r(u 2 u 3 ), r(u u 2 u 3 )) rangul lui u u 2 (respectiv rangul lui u 2, rangul lui u 2 u 3, rangul lui u u 2 u 3 ). Demonstraţie. Aplicând Lema pentru liniare u la u 2 (V 2 ) şi subspaţiul u 2 (u 3 (V )) al lui u 2 (V 2 ): obţinem inegalitatea u 2 (u 3 (V )) u 2 (V 2 ) 5 u V 4 restricţia transformării dim K (u (u 2 (V 2 )))-dim K (u (u 2 (u 3 (V )))) dim K (u 2 (V 2 ))-dim K (u 2 (u 3 (V ))), care poate fi scrisă sub forma, r(u u 2 ) - r(u u 2 u 3 ) r(u 2 ) - r(u 2 u 3 ). Corolarul Fie V, V 2 şi V 3 trei spaţii vectoriale peste un corp comutativ K astfel încât V 2 să fie finit dimensional. Pentru orice transformări liniare u : V 2 V 3, u 2 : V V 2, rezultă că r(u u 2 ) min (r(u ), r(u 2 )), unde am notat cu r(u ) (respectiv r(u 2 )), rangul lui u (respectiv rangul lui u 2 ). Demonstraţie. Dacă aplicăm inegalitatea Frobenius (demonstrată în teorema precedentă) pentru transformările liniare V O V 2 u V 2 u V 3 (O fiind transformarea liniară nulă) şi ţinem seama că obţinem r(o) =r(u 2 O) =r(u u 2 O) = 0 r(u u 2 ) r(u 2 ) ().
20 Transformări liniare Dacă aplicăm inegalitatea Frobenius pentru transformările liniare şi ţinem seama că obţinem V u 2 V 2 u V 3 O V 3 r(o) =r(ou ) =r(ou u 2 ) = 0 r(u u 2 ) r(u ) (2). Din () şi (2) rezultă că r(u u 2 ) min (r(u ), r(u 2 )). Exemplul Fie transformarea liniară u : R 2 R 2 definită prin u(x) = (x + x 2, x -x 2 ) pentru orice x = (x, x 2 ) R 2. Atunci Ker u = {x R 2 : u(x) = 0} = {(x, x 2 ) R 2 : (x + x 2, x -x 2 ) = (0,0)} Cu alte cuvinte (x, x 2 ) Ker u dacă şi numai dacă este soluţia sistemului omogen x + x 2 = 0, x - x 2 = 0. Determinantul acestui sistem fiind - = -2 0, rezultă că sistemul admite doar soluţia banală x =0, x 2 = 0. Deci Ker u = {0}. Din faptul că u este endomofism al spaţiului finit dimensional R 2 şi are proprietatea că Ker u = {0}, rezultă că u este nesingular (vezi Propoziţia 3.3.6). Pentru a determina transformarea inversă notăm u(x) = y, unde y = (y, y 2 ). Obţinem sistemul liniar x + x 2 = y, x - x 2 = y 2, care are soluţia x = 2 y + 2 y2, x 2 = 2 y - y2. Deci u - (y) = ( y + y2, y - y2 ) pentru orice y = (y, y 2 ) R Exemplul Fie transformarea liniară u : R 2 R 3 definită prin u(x) = (x, x 2, x -2x 2 ) pentru orice x = (x, x 2 ) R 2. Să se determine 6
21 Algebră liniară nucleul şi imaginea acestei transformări liniare. Avem Ker u = {x R 2 : u(x) = 0} = {(x, x 2 ) R 2 : (x, x 2, x -x 2 ) = (0,0,0)}. Cu alte cuvinte (x, x 2 ) Ker u dacă şi numai dacă este soluţia sistemului omogen x = 0, x 2 = 0, x - 2x 2 = 0. Deoarece acest sistem admite doar soluţia banală (x =0, x 2 = 0), rezultă că Ker u = {0}. Pentru a calcula imaginea transformării observăm că Im u ={u(x) : x R 2 } = {y R 3 : există x R 2 astfel încât y = u(x)} Cu alte cuvinte (y, y 2, y 3 ) Im u dacă şi numai dacă sistemul x = y, x 2 = y 2, x - 2x 2 = y 3 este compatibil. Putem lua drept minor principal p = 0 0 = 0 Există un singur minor caracteristic: 0 y 0 y 2-2 y 3 0 y = 0 y 2 = y 3 - y +2y y 3 -y Deci condiţia de compatibilitate a sistemului devine y 3 -y +2y 2 = 0. În consecinţă, Im u = {(y, y 2, y 3 ) R 3 : y 3 -y +2y 2 = 0} ={(α, β, α-2β) : α, β R}. Se observă uşor că B ={e, e 2 }, unde e = (,0,) şi e 2 =(0,,- 2) este o bază a lui Im u. Deci rangul lui u este 2. Se verifică egalitatea dim R (Im u) + dim R (Ker u) = dim R R 2 (2 + 0 =2) demonstrată în Teorema
22 Transformări liniare 3.4. atricea asociată unei transformări liniare În această secţiune vom considera doar spaţii vectoriale finit dimensionale. Teorema Fie V şi W două spaţii vectoriale finit dimensionale peste un corp comutativ K, şi u : V W o transformare liniară. Dacă {e, e 2,, e n } este o bază a lui V şi {f, f 2,, f m } este o bază a lui W, atunci există şi este unică o matrice A = ( ) m j= α cu elemente din corpul K astfel ij i n j m încât u(e i ) = α f pentru orice i n. În plus, dacă ij j n imaginea lui x = x ie i (x i K pentru orice i n) i= m prin u este u(x) = y if i (y i K pentru orice i m), atunci y i = α n j= ji j i= x pentru orice i m. Notând X =(x, x 2,, x n ), Y =(y, y 2,, y m ), relaţiile y i = n j= α ji x pentru orice i m. pot fi scrise sub forma j matriceală Y = XA. Demonstraţie. Conform Teoremei 3..6, transformarea liniară u este unic determinată de valorile {u(e i )} i n. Pe de altă parte, fiecare vector u(e i ) poate fi reprezentat în mod unic în baza {f, f 2,, f m }: m u(e i ) = α f pentru orice i n. j= ij j 8
23 Prin urmare, matricea A = ( α ) Algebră liniară ij i n j m 9, ale cărei linii au drept elemente coordonatele (α i, α i2,, α im ) corespunzătoare vectorilor u(e i ) ( i n) în baza {f, f 2,, f m }, este unic determinată. Fie x = xie i V (x i K m pentru orice i n) şi fie y if i (y i K pentru orice i m) i= reprezentarea lui u(x) în baza {f, f 2,, f m }. Avem u(x) = u( x ie i ) = n i= x u ( ) i e i n m = x i αijf i= j= n m = x iαijf i= j= j j n i= m n = x iα j= i= Unicitatea reprezentării lui u(e j ) în baza {f, f 2,, f m } implică n y j = αijx i pentru orice j m. i= Definiţia Fie V şi W două spaţii vectoriale finit dimensionale peste un corp comutativ K, şi u : V W o transformare liniară. Dacă B ={e, e 2,, e n } este o bază a lui V şi B 2 ={f, f 2,, f m } este o bază a lui W, atunci matricea A = ( ) ij i n j m ij f n i= α cu elemente din corpul K cu proprietatea că m u(e i ) = α f pentru orice i n. j= ij j se numeşte matricea asociată transformării liniare u în raport cu perechea de baze considerate şi se notează cu B, B 2 ( u). Dacă u :V V este un endomorfism şi B ={e, e 2,, e n } este o bază a lui V, atunci convenim să scriem B (u) în loc de B,B (u), şi să o numim matricea asociată transformării liniare u în raport cu baza B. j
24 Transformări liniare Exemplul Fie R n [X] spaţiul vectorial al polinoamelor de grad cel mult n, cu coeficienţi reali. Structura de spaţiu vectorial este dată de adunarea obişnuită a polinoamelor, şi drept operaţie externă, de înmulţirea polinoamelor cu elemente din R: (α, α 0 + α X + + α n X n ) αα 0 + αα X + + αα n X n. Considerăm transformarea liniară D: R n [X] R n [X], definită prin D(P) = P' (derivata polinomului P). ai precis, dacă P = α 0 + α X + + α n X n atunci D(P) =α + 2α 2 X + + nα n X n-. Se verifică uşor că D este o transformare liniară (D(αP+βQ) =αd(p) +βd(q) pentru orice polinoame P şi Q şi orice numere reale α şi β). De asemenea, este clar că B ={, X, X 2,, X n } este o bază în R n [X]. Determinăm matricea asociată lui D în raport cu baza B. Avem D() = 0 = X X n. D(X) = = + 0 X X n. D(X k ) = kx k- =0 + 0 X X k-2 +k X k- +0 X k X n. D(X n ) = nx n- =0 + 0 X X n-2 + n X n- +0 X n. atricea asociată lui D în raport cu baza B este B (D) = (n-) n 0 atricea asociată lui D în raport cu baza B este se obţine punând pe linii coordonatele în baza B ale vectorilor D(), D(X),, D(X n ). 20
25 Algebră liniară Coordonatele unui polinom P = α 0 + α X + + α n X n în baza B ={, X, X 2,, X n } sunt chiar coeficienţii polinomului P: (α 0, α,, α n ). Dacă (β 0, β,, β n ) = (α, 2α 2,, nα n, 0) sunt coordonatele lui P'= D(P) în baza B, atunci are loc următoarea egalitate matriceală (β 0, β,, β n ) = (α 0, α,, α n ) (n-) n 0 Observaţia Fie K un corp comutativ şi u : K n K m o transformare liniară. Fie B n, respectiv B m, baza canonică din K n, respectiv din K m. Coordonatele unui vector (α, α 2,, α m ) din K m în baza canonică sunt de fapt componentele vectorului respectiv: (α, α 2,, α m ). Ţinând cont de aceasta, liniile matricei A = ( ) α asociate transformării liniare u în ij i n j m raport cu perechea de baze B n, B m sunt date de vectorii u(e ), u(e ), u(e 2 ),, u(e n ), unde E, E 2,, E n sunt vectorii bazei canonice B n. Dacă x = (x, x 2,.., x n ) este un vector din K n, atunci u(x) = (x, x 2,.., x n )A. De exemplu, fie transformarea liniară u : R 3 R 4, definită prin u(x) =(x + x 2-2x 3, x 2 + 8x 3, -x, 4x 3 ), pentru x =(x, x 2, x 3 ). Considerăm baza canonică din R 3 : {(,0,0), (0,,0), (0,0,)}, respectiv din R 4 {(,0,0,0), (0,,0,0), (0,0,,0), (0,0,0,)}. atricea lui u în raport cu perechea de baze canonice este 2
26 Transformări liniare A = ( la scrierea matricei s-a ţinut cont de faptul că u(x) =(x, x 2, x 3 )A, pentru x =(x, x 2, x 3 )) Propoziţia Rangul unei transformări liniare este egal cu rangul matricei asociate transformării liniare în raport cu orice pereche de baze. Demonstraţie. Fie u : V W o transformare liniară. Fie B ={e, e 2,, e n } o bază în V, B 2 ={f, f 2,, f m } o bază în W, şi fie A = ( ) α matricea asociată lui u în raport cu perechea de baze B, B 2. ij i n j m n Un vector x = x ie i (x i K pentru orice i n) din V aparţine lui Ker i= u, dacă şi numai dacă u(x) = 0, ceea ce (ţinând seama de faptul că u(x) m n = x iα j= i= ij f j ) este echivalent cu n αijx i = 0 pentru orice j m. i= Relaţiile de mai sus reprezintă un sistem liniar şi omogen de m ecuaţii cu n necunoscute. atricea acestui sistem este A. Dacă rangul matricei A este r, atunci mulţimea vectorilor ale căror coordonate satisfac sistemul liniar şi omogen de mai sus este un subspaţiu liniar de dimensiune n - r (vezi Teorema.7.3). În consecinţă, dim K (Ker u) = n-r, şi deci rangul transformării liniare u este dim K (Im u) = n - dim K (Ker u) = n - (n-r) = r (vezi Teorema 3.3.7). 22
27 Algebră liniară Observaţia Fie u :V V un endomorfism şi B ={e, e 2,, e n } este o bază a lui V. Fie B (u) matricea asociată transformării liniare u în raport cu baza B. Endomorfismul u este nesingular dacă şi dacă numai dacă matricea B (u) este nesingulară (<=> rang( B (u)) = n <=> det( B (u)) 0). Într-adevăr, conform Propoziţiei 3.3.6, endomorfismul u este nesingular dacă şi numai dacă Ker u ={0}, ceea ce este echivalent cu dim(im u) = n (adică rangul lui u este n). Cum rangul lui u este egal cu rangul lui B (u), rezultă că u este endomorfism nesingular dacă şi numai dacă B (u) este nesingulară. Proprietăţile unei transformări liniare sunt reflectate în proprietăţile matricelor care o reprezintă în diverse baze. Fie V, V 2, V 3 trei spaţii vectoriale peste un corp comutativ K. Fixăm B ={e, e 2,, e n } o bază a lui V, B 2 ={f, f 2,, f m } o bază a lui V 2 şi B 3 ={g, g 2,, g p } o bază a lui V 3. Considerăm trei transformări liniare u, u 2 : V V 2, u 3 : V 2 V 3. Fie B, B 2 ( u) (respectiv B B 2 ( u 2 ), ) matricea lui u (respectiv u 2 ) în raport cu perechea de baze B, B 2, şi fie ( u ) B 2, B 3 3 matricea lui u 3 în raport cu perechea de baze B 2, B 3. Următoarele afirmaţii sunt uşor de verificat. Transformării liniare u + u 2 îi corespunde matricea, B ( u u 2 ) = B, B 2 ( u) + B, B 2 ( u 2 ) B Transformării liniare αu (α K) îi corespunde matricea, B ( u) = α B B ( u) B 2 α, 2 3. Transformării liniare u 3 u îi corespunde matricea, B ( u 3u) = B, B 2 ( u) B 2, B 3 ( u 3 ) B 3 23
28 Transformări liniare 4. Dacă transformarea liniară u este inversabilă, atunci transformării liniare u - îi corespunde matricea ( u ) B 2 B, = B B ( u), 2 Să verificăm ultimele două afirmaţii. Dacă ( u ) 2, B ( u 3 ) =( β ij) B 3 i m j p -., atunci pentru orice i n, avem B, B 2 =( αij ) i n j m şi u 3 u (e i ) = u 3 (u (e i )) = m α j= 3 ijf j m u = α u ( f ) j= ij 3 j Dacă ( u u ) m p p m = αij β jkg k = α ijβ jk g k. () j= k= k= j= B, B 3 3 =( ij ) i n j p γ matricea lui u 3 u în raport cu perechea de baze B, B 3, atunci pentru orice i n, avem u 3 u (e i ) = p k= γ (2) ikgk Din () şi (2) (în baza unicităţii reprezentării unui vector într-o bază) m rezultă că γ ik = α β echivalent cu j= ij jk pentru orice i n şi k p, ceea ce este, B ( u 3u) = B, B 2 ( u) B B 3 ( u 3 ) B ,. Presupunem că transformarea liniară u este inversabilă (deci m = n), şi că ( u ) B 2 B, este matricea lui u - în raport cu perechea de baze B 2, B 3. Din cele demonstrate mai sus, în baza faptului că transformării liniare identice îi corespunde matricea identică, rezultă că B V = ( ) B u u = B, B 2 ( u) B 2, B ( u ) B I = ( ) B uu = ( u ) B B u I n = ( I ) I n = ( ) 2 V 2 2 ( ),, 2 B 2 B
29 Deci ( u ) B 2 B, = B B ( u), 2 Algebră liniară -. Proprietăţile puse în evidenţă mai înainte arată că :. aplicaţia ϕ : L(V, V 2 ) n,m (K) definită prin ϕ(u) = ( u) B 2 B, pentru orice u L(V, V 2 ) este un izomorfism de spaţii vectoriale peste corpul K. 2. aplicaţia ϕ : L(V, V ) n,n (K) definită prin ( ) t ϕ(u) = ( u ) B este un izomorfism de inele. pentru orice u L(V, V ) Teorema Fie V şi W două spaţii vectoriale finit dimensionale peste un corp comutativ K, şi u : V W o transformare liniară. Fie B, B 2 două baze în V şi fie L matricea de trecere de la baza B la baza B 2. Similar, fie B 3, B 4 două baze în W şi fie matricea de trecere de la baza B 3 la baza B 4. Atunci B, ( u) =L ( u) 2 B 4 Demonstraţie. Folosim următoarele notaţii B, B 3 - B ={e, e 2,, e n }, B 2 ={f, f 2,, f n } (baze în V), B 3 ={g, g 2,, g m }, B 4 ={h, h 2,, h m } (baze în W), B, ( u) =( α ij ) i n, ( u) B 3 j m B, =( β ij) 2 B 4 cu perechea de baze B, B 3, respectiv B 2, B 4 ) L = ( ) = ( ) ij i n j n i n j m (matricele lui u în raport λ (matricea de trecere de la baza B la baza B 2 ) µ (matricea de trecere de la baza B 3 la baza B 4 ) ij i m j m Pentru orice i n, avem 25
30 n u(f i ) = u( λ j= Transformări liniare ij e j ) = n λ ( ) iju e j j= n m m n = λij α jkg k = λijα jk g k () j= k= k= j= Pe de altă parte, pentru orice i n, avem n u(f i ) = ij h n m m n β j = βij µ jkg k = βijµ jk g k (2) j= j= k= k= j= Datorită unicităţii reprezentării unui vector într-o bază, din relaţiile () şi (2) rezultă că n λ α j= n β ij µ ij jk = jk j= pentru orice i n şi k m, ceea ce revine la L B, ( u) = ( u) B 3 Înmulţind la stânga cu -, obţinem B 2, B 4. B, ( u) =L ( u) 2 B 4 B 3 B, -. Corolarul Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste un corp comutativ K, şi u : V V un endomorfism. Fie B, B 2 două baze în V şi fie C matricea de trecere de la baza B la baza B 2. Atunci B ( u) =C ( u) 2 B C - Demonstraţie. În Teorema considerăm B 3 = B şi B 4 = B. Exemplul Fie R 3 [X] spaţiul vectorial al polinoamelor de grad cel mult 3, cu coeficienţi reali (vezi şi exemplul 3.4.3). Considerăm transformarea liniară D : R 3 [X] R 3 [X], definită prin D (P) = XP'. Determinăm matricea asociată lui D în raport cu baza 26
31 Dacă atunci atricea lui D în raport cu baza este Algebră liniară B = {, +X, ( + X) 2, ( + X) 3 } B ( D ) 0 P = α 0 + α X +α 2 X 2 +α 3 X 3 D (P) = α X +2α 2 X 2 +3α 3 X 3. B 0 ={, X, X 2, X 3 } atricea de trecere de la baza B 0 la baza B este = C = Cum B( D ) =C ( ) B D 0 C - rezultă că B( D ) =
32 Transformări liniare 3.5. Endomorfisme particulare Definiţia Fie V un spaţiu vectorial peste corpul comutativ K. Endomorfismul u : V V se numeşte. automorfism dacă este bijectiv; 2. proiecţie (sau endomorfism idempotent) dacă u 2 = u; 3. involuţie dacă u 2 = I (I este transformarea liniară identică pe V); 4. antiinvoluţie dacă u 2 = - I; 5. endomorfism nilpotent de indice p N (p 2) dacă u p = O şi u p- O (O este transformarea liniară nulă pe V). Propoziţia Fie V un spaţiu vectorial peste corpul comutativ K. Fie V şi V 2 două subspaţii vectoriale ale lui V cu proprietatea că V = V V 2. Aplicaţiile P, P 2 : V V, definite prin P (x) = x P 2 (x) = x 2, (unde x = x + x 2 este unica reprezentare a lui x cu proprietatea că x V şi x 2 V 2 ) sunt proiecţii. Demonstraţie. Fie x = x + x 2 V V 2 (x V, x 2 V 2 ) şi y = y + y 2 din V V 2 (y V, y 2 V 2 ) şi fie α, β K. Atunci P (αx + β y) = P (αx + βy + αx 2 + βy 2 ) = αx + βy = αp (x) + βp (y). Deci P este aplicaţie liniară. Analog, P 2 este aplicaţie liniară. Pentru orice x = x + x 2 V V 2 (x V, x 2 V 2 ), avem P (P (x)) = P (x ) = x = P (x). 28
33 Algebră liniară Analog P 2 este endomorfism idempotent. Definiţia Fie V, V 2 două subspaţii ale unui spaţiu vectorial V peste corpul comutativ K astfel încât V = V V 2. Aplicaţiile P, P 2 : V V, definite prin P (x) = x P 2 (x) = x 2, unde x = x + x 2 este unica reprezentare a lui x cu proprietatea că x V şi x 2 V 2, se numesc proiecţii canonice : P se numeşte proiecţia lui V pe V (de-a lungul lui V 2 ), iar P 2 se numeşte proiecţia lui V pe V 2 (dea lungul lui V ). Propoziţia Fie V un spaţiu vectorial peste corpul comutativ K. Dacă P : V V este o proiecţie, atunci există subspaţiile vectoriale V şi V 2 astfel încât V = V V 2 şi P să fie proiecţia lui V pe V (de-a lungul lui V 2 ). Demonstraţie. Considerăm subspaţiile vectoriale: V = Im P ={P(x) : x V},V 2 = Ker P ={x V: P(x) = 0} Arătăm mai întâi că V = {x V : P(x) = x}. Dacă y V, atunci există x V astfel încât y = P(x), şi ca urmare P(y) = P(P(x)) = P 2 (x) = P(x) =y. Deci y {x V : P(x) = x}. Reciproc, orice y {x V : P(x) = x}, are proprietatea că y =P(y) Im P. Arătăm că V = V V 2. Dacă x V V 2, atunci x = P(x) = 0. În consecinţă V V 2 = {0}. Pentru orice x V, avem x = P(x) + (I - P)(x) (I este transformarea liniară identică pe V). 29
34 Transformări liniare Notăm x =P(x) şi x 2 =(I - P)(x). Evident x Im p =V. Dacă arătăm că x 2 V 2 demonstraţia este încheiată. Din P(x 2 ) = P((I - P)(x)) =P(x -P(x)) = P(x) -P(P(x)) = P(x) -P 2 (x) = P(x) -P 2 (x) = P(x) -P(x) = 0, rezultă că x 2 Ker P = V 2. Observaţia Din demonstraţia propoziţiei precedente rezultă următoarele afirmaţii:. Dacă V un spaţiu vectorial peste corpul comutativ K şi P : V V este o proiecţie, atunci V = Im P Ker P 2. Fie V şi V 2 două subspaţii ale spaţiului vectorial V peste corpul comutativ K, astfel încât V = V V Dacă P este proiecţia lui V pe V, atunci V = Im P ={P(x) : x V} ={x V : P(x) = x} V 2 = Ker P ={x V: P(x) = 0} 2.2. Dacă P este proiecţia lui V pe V, atunci I - P este proiecţia lui V pe V 2 şi reciproc Dacă P şi P 2 sunt proiecţiile V pe V, respectiv V 2, atunci P + P 2 = I P P 2 = P 2 P = O. Definiţia Considerăm un spaţiu vectorial V peste corpul comutativ K şi u : V V un endomorfism. Un subspaţiu invariant faţă de endomorfismul u este un subspaţiu vectorial V al lui V, astfel ca u(v ) V (adică, u(x) V pentru orice x din V ). 30
35 Aplicaţia Algebră liniară Fie V V un subspaţiu invariant la endomorfismul u : V V. u : V V, definită prin ( x) V = u(x) pentru orice x V, u V este un endomorfism numit endomorfism indus de u pe V (sau restricţia lui u la V ). Observaţie Un subspaţiu vectorial V al lui V este invariant faţă de endomorfismul u : V V dacă şi numai dacă imaginile prin u ale vectorilor unei baze din V aparţin tot lui V. Într-adevăr, să presupunem că {e, e 2,,e m } este o bază în V şi că u(e i ) V pentru orice i m. Deoarece orice x V se reprezintă sub forma x = α e + α 2 e 2 + +α m e m, α, α 2,, α m K, rezultă că u(x) =α u(e ) + α 2 u(e 2 ) + +α m u(e m ) V. Implicaţia inversă este evidentă. Exemple Considerăm un spaţiu vectorial V peste corpul comutativ K şi u : V V un endomorfism. Se verifică uşor că. V şi {0} sunt subspaţii invariante faţă de u. 2. Ker u m ={x V: u m (x) = 0} este subspaţiu invariant faţă de u, pentru orice m N *. 3. Im u m ={ u m (x) : x V} este subspaţiu invariant faţă de u, pentru orice m N *. 4. Dacă V şi V 2 sunt două subspaţii vectoriale ale V invariante faţă de u, atunci V V 2 şi V + V 2 sunt subspaţii invariante faţă de u. Propoziţia Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste corpul comutativ K şi u : V V un endomorfism. Un subspaţiu 3
36 Transformări liniare vectorial V V este invariant la u dacă şi numai dacă PuP = up, unde P este proiecţia lui V pe V. Demonstraţie. Fie V = V V 2 şi x V. Atunci x se scrie în mod unic sub forma x = x + x 2 cu x V şi x 2 V 2. Presupunem că V este invariant la u. Cum up(x) = u(x ) V, rezultă că P(uP(x)) = u(x ). Deci PuP(x) = up(x). Reciproc, presupunem că PuP = up. Dacă x V, atunci x = x şi x 2 =0 (sau echivalent, P(x) =x) şi deci, u(x) = u(x ) = up(x) = PuP(x) = P(u(P(x)) = P(u(x)). Ca urmare, u(x) Im P = V. Teorema Fie V şi V 2 două subspaţii ale unui spaţiu vectorial V peste corpul comutativ K, astfel încât V = V V 2. Subspaţiile V şi V 2 sunt invariante faţă de un endomorfism u: V V dacă şi numai dacă Pu = up, unde P este proiecţia lui V pe V de-a lungul lui V 2. Demonstraţie. Dacă P este proiecţia lui V pe V de-a lungul lui V 2, atunci I-P este proiecţia lui V pe V 2 de-a lungul lui V. Presupunem că V şi V 2 sunt invariante la u. Din propoziţia precedentă rezultă că PuP= up şi (I-P)u(I-P) = u(i-p). Relaţia (I-P)u(I-P)=u(I-P) este echivalentă cu Pu =PuP. Deci up =PuP =Pu. Reciproc, să presupunem că Pu = up. Aplicând P la dreapta, obţinem PuP = up 2 = up şi, conform propoziţie precedente, rezultă că V =Im P este invariant la u. Pe de altă parte, Pu = up implică (I-P)u = u(i-p). Aplicând proiecţia I-P la dreapta, obţinem (I-P)u(I-P) = u(i-p) 2 = u(i-p), şi ţinând cont din nou de propoziţia precedentă, rezultă că V 2 =Im(I-P) este invariant la u. 32
37 Algebră liniară Propoziţia Fie V un spaţiu vectorial peste corpul comutativ K. Relaţiile u = 2P - I, P = (u + I), 2 (unde I este transformarea liniară identică pe V) stabilesc o corespondenţă biunivocă între proiecţii şi involuţii pe V. Demonstraţie. Dacă P : V V o proiecţie, atunci 2P - I este transformare liniară. Să verificăm faptul că este involuţie: (2P - I ) 2 = 4P 2-4P + I = 4P - 4P + I =I. Reciproc, dacă u : V V este o involuţie, atunci (u + I) este o 2 transformare liniară, şi în plus, ( 2 (u + I)) 2 = 4 (u 2 +2u +I) = 4 (I+2u +I) = 2 (I +u). Deci 2 (u + I) este proiecţie. Propoziţia Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste corpul comutativ K. V admite o antiinvoluţie dacă şi numai dacă dimensiunea lui V peste K este pară. Demonstraţie. Presupunem că dimensiunea lui V peste K este pară şi construim o antiinvoluţie pe V. Fie {e, e 2,,e 2n } o bază a lui V. Este suficient să definim antiinvoluţia pe vectorii bazei. Fie u : V V, definită prin u(e i ) = e i+n şi u(e i+n ) = -e i pentru orice i n. Se observă că u 2 (e i ) = - e i pentru orice i 2n, şi deci u 2 = - I. 33
38 Transformări liniare Reciproc, fie u : V V o antiinvoluţie. Dacă x este un vector nenul din V, atunci {x, u(x )} este liniar independentă. Într-adevăr, fie scalarii α, α 2 K astfel încât α x + α 2 u(x ) = 0 () Aplicând, u în relaţia şi ţinând seama că u 2 (x ) = -x, obţinem α u(x ) - α 2 x = 0 (2) Adunând relaţia înmulţită cu α cu relaţia 2 înmulţită cu (-α 2 ), obţinem (α 2 +α 2 2 )x = 0, de unde α 2 +α 2 2 = 0, sau echivalent α = α 2 = 0. ai general, arătăm că dacă x, x 2,, x m sunt vectori din V astfel încât {x, x 2,, x m, u(x ), u(x 2 ),.., u(x m- )} să fie liniar independentă, atunci {x, x 2,, x m, u(x ), u(x 2 ),.., u(x m- ), u(x m )} este liniar independentă. Fie α, α 2,, α 2m K astfel încât α x +α 2 x 2 + +α m x m + α m+ u(x ) + α m+2 u(x 2 ) α 2m- u(x m- ) + α 2m u(x m ) = 0 (3). Aplicând, u în relaţia 3 şi ţinând seama că u 2 (x) = -x pentru orice x V, obţinem α u(x ) + α 2 u(x 2 ) + + α m u(x m ) - α m+ x - α m+2 x α 2m- x m- - α 2m x m = 0 (4). Prin adunarea relaţiei 3 înmulţită cu α m cu relaţia 4 înmulţită cu (-α 2m ), obţinem (α α m + α m+ α 2m ) x +(α 2 α m + α m+2 α 2m )x 2 + +(α 2 m +α 2 2m )x m + + (α m+ α m -α α 2m )u(x ) + + (α 2m- α m -α m- α 2m )u(x m- ) = 0. Cum {x, x 2,, x m, u(x ), u(x 2 ),.., u(x m- )} este liniar independentă, (α α m + α m+ α 2m ) = = (α 2 m +α 2 2m ) = =(α 2m- α m -α m- α 2m ) = 0, 34
39 Algebră liniară de unde rezultă, în particular, că α 2m = 0. Înlocuind în relaţia 3 α 2m = 0, şi ţinând din nou cont că {x, x 2,, x m, u(x ), u(x 2 ),.., u(x m- )} este liniar independentă, obţinem α = α 2 = = α 2m = 0. Construim o bază a lui V după cum urmează. Alegem x o vector nenul din V. Am arătat că {x, u(x )} este liniar independentă. Dacă dimensiunea lui V nu este 2, există x 2 V, astfel încât {x, x 2, u(x )} să fie liniar independentă. Din cele demonstrate mai sus rezultă că {x, x 2, u(x ), u(x 2 )} este liniar independentă. Continuând acest procedeu obţinem o bază a lui V cu un număr par de vectori. Observaţia Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste corpul comutativ K şi u: V V o antiinvoluţie. Atunci există o bază B a lui V astfel încât B (u) (matricea lui u în raport cu baza B) să fie O I m -I m O Într-adevăr, din demonstraţia propoziţiei precedente, rezultă că putem construi o bază a lui V de forma B = {x, x 2,, x m, u(x ), u(x 2 ),.., u(x m- ), u(x m )}. Evident, matricea lui u în raport cu această bază are forma de mai sus. Propoziţia Fie V un spaţiu vectorial peste corpul comutativ K şi u: V V un endomorfism nilpotent de indice p (u p = O şi u p- O). ulţimea {x, u(x),, u p- (x)} este liniar independentă oricare ar fi vectorul nenul x V cu u p- (x) 0. 35
40 Transformări liniare Demonstraţie. Fie x V cu x 0 şi u p- (x) 0. Presupunem prin absurd că {x, u(x),, u p- (x)} nu este liniar independentă. Fie scalarii α 0, α,,α p- K, nu toţi nuli, astfel încât α 0 x + α u(x) + α p- u p- (x) = 0. () Fie k cel mai mic indice cu proprietatea că α k 0. Din relaţia rezultă că u k (x) = - α - k (α 0 x + α u(x) + α k- u k- (x) + α k+ u k+ (x) + + α p- u p- (x)) = - α - k ( α k+ u k+ (x) + + α p- u p- (x)) = - α - k α k+ u k+ (x) - α - k α k+2 u k+2 (x)- - α - k α p- u p- (x)) = u k+ ( - α - k α k+ x- α - k α k+2 u k (x) - α - k α p- u p - k-2 (x)) Dacă notăm y = - α - k α k+ x- α - k α k+2 u k (x) - α - k α p- u p - k-2 (x), rezultă că u k (x) = u k+ (y). Avem u p- (x) = u p-k- (u k (x)) = u p-k- (u k+ (y)) = u p (y) = 0, deoarece u este nilpotent de indice p. Dar u p- (x) = 0 contrazice ipoteza. Ca urmare {x, u(x),, u p- (x)} este liniar independentă. Observaţia Fie V un spaţiu vectorial peste corpul comutativ K şi u: V V un endomorfism nilpotent de indice p (u p = O şi u p- O). Notăm cu L spaţiul vectorial generat de {x, u(x),, u p- (x)}. Evident L este un spaţiu invariant la u. atricea endomorfismului u L indus de u pe L în baza B = {x, u(x),, u p- (x)}, este B (u L ) = Teorema Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste corpul comutativ K. Pentru orice endomorfism u: V V există două subspaţii vectoriale V şi V 2 ale lui V invariante la u astfel încât:
2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραSpaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.
Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότερα2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice...
Geometrie Afină Contents 1 Spaţii vectoriale 3 1.1 Spaţii vectoriale peste un corp K........................ 3 1.2 Exemple de spaţii vectoriale........................... 4 1.3 Dependenţă liniară de vectori..........................
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραAlgebră liniară CAPITOLUL 1
Algebră liniară CAPITOLUL SPAŢII VECTORIALE FINIT DIMENSIONALE. Definiţia spaţiilor vectoriale Pentru a introduce noţiunea de spaţiu vectorial avem nevoie de noţiunea de corp comutativ de caracteristică
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότερα1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...
1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραMatrice. Determinanti. Sisteme liniare
Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραGheorghe PROCOPIUC PROBLEME DE ALGEBRĂ LINIARĂ GEOMETRIE
Gheorghe PROCOPIUC PROBLEME DE ALGEBRĂ LINIARĂ ŞI GEOMETRIE IAŞI, 005 CUPRINS 1 MATRICE ŞI SISTEME ALGEBRICE LINIARE 5 1.1 Matrice şi determinanţi.......................... 5 1. Sisteme de ecuaţii algebrice
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότερα1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială. Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial După cum s-a văzut deja, într-un spaţiu vectorial V avem mai multe baze, iar un vector x V va avea câte un sistem
Διαβάστε περισσότεραCURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n
CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n A. Arusoaie arusoaie.andreea@gmail.com andreea.arusoaie@info.uaic.ro Facultatea de Informatică, Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 30 Octombrie 2017 Structura
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραSala: 2103 Octombrie 2014 CURS 1: ALGEBRĂ. Fie K corp comutativ cu elementul neutru la înmulţire notat prin 1 iar 0 la adunare.
Sala: 2103 Octombrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 1: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραNicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI
Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραPseudoinversă şi inversă generalizată ale unei aplicaţii liniare
Pseudoinversă şi inversă generalizată ale unei aplicaţii liniare Adrian REISNER 1 1. Pseudoinversă a unui endomorfism într-un spaţiu vectorial de dimensiune finită. Fie S un R-spaţiu vectorial de dimensiune
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραGeometrie afină. Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea
Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 13 1 2 Endomorfismele unui spaţiu afin 1 21 Translaţia 1 22 Subspaţii invariante 2 23 Omotetii 2 24 Proiecţii
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότεραContract POSDRU/86/1.2/S/ POSDRU ID * Bucureşti 2012
Contract POSDRU/86/1.2/S/62485 Algebră Liniară POSDRU ID 62485 * Bucureşti 212 Prefaţă Algebra liniară şi geometria analitică stau la baza pregătirii matematice universitare, oferind modelări bazate pe
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραO generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013
O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραLucian Maticiuc CURS I II. 1 Matrice şi determinanţi. Sisteme de ecuaţii liniare. 1.1 Matrice şi determinanţi
Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC http://mathettituiasiro/maticiuc/ CURS I II Matrice şi determinanţi Sisteme de ecuaţii
Διαβάστε περισσότερα1 Preliminarii. M 3, (a b) c = a (b c) (notăm a b c, obţinând astfel şi x 1 x 2... x n
1 Preliminarii Fie M, A mulţimi nevide şi n N. Se muneşte operaţie n ară (sau lege de compoziţie n-ară) definită pe M orice aplicaţie τ : M n M (M n = } M {{... M } ). In cazul n = 2, obţinem operaţiile
Διαβάστε περισσότεραMatrici şi sisteme de ecuaţii liniare
Matrici şi sisteme de ecuaţii liniare 1. Matrici şi determinanţi Reamintim aici câteva proprietăţi ale matricilor şi determinanţilor. Definiţia 1.1. Fie K un corp (comutativ) şi m, n N. O funcţie A : {1,...,
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραSeminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0
Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:
Διαβάστε περισσότεραVladimir BALAN. Algebră Liniară, Geometrie Analitică, şi Elemente de Geometrie Diferenţială. Student Web Copy. = Bucureşti 2011 =
Vladimir BALAN Algebră Liniară, Geometrie Analitică, şi Elemente de Geometrie Diferenţială = Bucureşti 2011 = Prefaţă Acest material include noţiunile, rezultatele teoretice de bază, precum şi probleme
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραSala: Octombrie 2014 SEMINAR 1: ALGEBRĂ. este un Q-spaţiu vectorial, faţă de operaţiile uzuale de adunare şi înmulţire cu un număr raţional.
Sala: Octombrie 24 SEMINAR : ALGEBRĂ Conf univ dr: Dragoş-Pătru Covei Programul de studii: CE, IE, SPE Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat distribuit
Διαβάστε περισσότεραALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI GEOMETRIE. Teorie şi probleme
ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI GEOMETRIE DIFERENŢIALĂ. Teorie şi probleme Florian MUNTEANU Departamentul de Matematici Aplicate, Universitatea din Craiova Al. Cuza 3, 585 Craiova, Dolj, România
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE ANALITICĂ. Mihai-Sorin Stupariu
GEOMETRIE ANALITICĂ Mihai-Sorin Stupariu Sem. al II-lea, 007-008 Cuprins 1 Elemente de algebră liniară 3 1.1 Spaţii vectoriale. Definiţie. Exemple................ 3 1. Combinaţii liniare. Baze şi repere..................
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότεραAdriana-Ioana Lefter DIFERENŢIALE) Anul I, Facultatea de Chimie Note de curs
Adriana-Ioana Lefter MATEMATICĂ (ALGEBRĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE) Anul I, Facultatea de Chimie Note de curs Cuprins Partea 1 ALGEBRĂ 1 Capitolul 1 Matrice şi determinanţi 3 11 Corpuri 3 12 Matrice 4 13
Διαβάστε περισσότεραCriterii de comutativitate a grupurilor
Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key
Διαβάστε περισσότερα, m ecuańii, n necunoscute;
Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραf(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότεραAriadna Lucia Pletea Adrian Corduneanu Mircea Lupan LECŢII DE ALGEBRĂ LINIARĂ
Ariadna Lucia Pletea Adrian Corduneanu Mircea Lupan LECŢII DE ALGEBRĂ LINIARĂ IASI, 005 1 Cuprins Capitolul 1 1.1. Matrice şi determinanţi...5 1.1.1. Determinantul unei matrice pătratice...8 1.1.. Matricea
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu
ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială
Διαβάστε περισσότεραFuncţii Ciudate. Beniamin Bogoşel
Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραProgresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.
Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a
Διαβάστε περισσότεραLectia III Produsul scalar a doi vectori liberi
Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότερα1. Mulţimi. Definiţia mulţimii.
Definiţia mulţimii. 1. Mulţimi Definiţia 1.1. (Cantor) Prin mulţime înţelegem o colecţie de obiecte bine determinate şi distincte. Obiectele din care este constituită mulţimea se numesc elementele mulţimii.
Διαβάστε περισσότεραVarietăţi algebrice. 1.1 Definiţia spaţiului proiectiv şi primele proprietăţi
Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Varietăţi algebrice 1 Spaţiul proiectiv 1.1 Definiţia spaţiului proiectiv şi primele proprietăţi Fie n N şi E un spaţiu vectorial de dimensiune
Διαβάστε περισσότεραIon CRĂCIUN CAPITOLE DE MATEMATICI SPECIALE EDITURA PIM
Ion CRĂCIUN CAPITOLE DE MATEMATICI SPECIALE EDITURA PIM IAŞI 2007 2 Cuprins 1 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordin superior 7 1.1 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n cu coeficienţi variabili 7 1.2
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE ANALITICĂ. Gheorghe MUNTEANU, Adelina MANEA
GEOMETRIE ANALITICĂ Gheorghe MUNTEANU, Adelina MANEA 2 Cuprins Prefaţă 7 I Consideraţii teoretice 9 1 Spaţii vectoriale 11 1.1 Definiţie, exemple......................... 12 1.2 Subspaţii..............................
Διαβάστε περισσότεραCursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A =
Matrice, determinanti Un punct de vedere liniar independent "A judeca matematic nu înseamn a gândi losoc, a judeca losoc nu înseamn a liber, a gândi liber nu înseamn a losof " Blaise Pascal Liniar independenta:
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber
Algebră liniară CAPITOLUL VECTORI LIBERI. Segment orientat. Vector liber Acest capitol este dedicat în totalitate studierii spaţiului vectorilor liberi, spaţiu cu foarte multe aplicaţii în geometrie, fizică
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 4 FUNCŢIONALE LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE
CAPITOLUL FUNCŢIONALE LINIAE BILINIAE ŞI PĂTATICE FUNCŢIONALE LINIAE BEIA TEOETIC Deiniţia Fie K X un spaţiu vecorial de dimensiune iniă O aplicaţie : X K se numeşe uncţională liniară dacă: ese adiivă
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale
3 ELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR 31 Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale Prin interpolare se înţelege următoarea problemă: se dau n + 1 puncte P 0, P 1,, P n în plan sau în spaţiu
Διαβάστε περισσότερα2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu
2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu Pentru început sădefinim câteva noţiuni de bază în geometria analitică. Definitia 2.3.1 Se numeşte reper în spaţiu o mulţime formată dintr-un punct O (numit originea
Διαβάστε περισσότεραCurs 4. I.4 Grafuri. Grafuri orientate
Curs 4 I.4 Grafuri I.4.1 Grafuri orientate Definiţia I.4.1.1. Un graf orientat este un tuplu G = (N, A, ϕ : A N N), unde N şi A sunt mulţimi, numite mulţimea nodurilor, respectiv mulţimea arcelor, iar
Διαβάστε περισσότεραLectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi
Orientarea spatiului E 3 Denitia produsului vectorial. Proprietati Rezolvari de ecuatii vectoriale Schimbari de baze ortonormate in spatiu Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, 5 martie 18 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1 Problemele tip grilă (Partea A pot avea unul
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier
Capitolul Serii Fourier 7-8. Dezvoltarea în serie Fourier a unei funcţii periodice de perioadă Pornind de la discuţia asupra coardei vibrante începută în anii 75 între Euler şi d Alembert, se ajunge la
Διαβάστε περισσότεραAritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs
Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor Note de curs În prima parte a cursului, vom prezenta câteva clase remarcabile de domenii de integritate şi legăturile dintre acestea A doua parte
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραINTERPOLARE. y i L i (x). L(x) = i=0
INTERPOLARE Se dau punctele P 0, P 1,..., P n in plan sau in spatiu, numite noduri si avand vectorii de pozitie r 0, r 1,..., r n. Problemă. Să se găsească o curbă (dintr-o anumită familie) care să treacă
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότεραelemente de geometrie euclidiană
Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Fizică Algebră liniară şi elemente de geometrie euclidiană Adrian NECULAE - Curs pentru uzul studenţilor - Timişoara - 2010 Tipografia Universităţii de
Διαβάστε περισσότερα(Îndrumar pentru examenul licenţă valabil începând cu sesiunea de finalizare a studiilor iulie 2013)
ALGEBRĂ (Îndrumar pentru examenul licenţă valabil începând cu sesiunea de finalizare a studiilor iulie 2013) CUPRINS Pentru specializările Matematică şi Matematică informatică: 1 Introducere 1 2 Grupuri,
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότερα