תורת הקבוצות ניר אדר ניר אדר.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "תורת הקבוצות ניר אדר ניר אדר."

Transcript

1 גירסה גירסה תורת הקבוצות מסמך זה הורד מהאתר אין להפיץ מסמך זה במדיה כלשהי, ללא אישור מפורש מאת המחבר מחבר המסמך איננו אחראי לכל נזק, ישיר או עקיף, שיגרם עקב השימוש במידע המופיע במסמך, וכן לנכונות התוכן של הנושאים המופיעים במסמך עם זאת, המחבר עשה את מירב המאמצים כדי לספק את המידע המדויק והמלא ביותר כל הזכויות שמורות ל Nir dar Home Page: אנא שלחו תיקונים והערות אל המחבר - 1 -

2 1 תוכן עניינים 2 1 תוכן עניינים 6 2 מושגי יסוד בתורת הקבוצות הגדרת קבוצה הקבוצה הריקה גודל של קבוצה גרירה לוגית ואמ"מ שייכות שוויון קבוצות תתי קבוצות דיאגרמת ון פעולות על קבוצות איחוד קבוצות חיתוך קבוצות תכונות של חיתוך ואיחוד קבוצות נכון / לא נכון זרות הדדית הפרש בין קבוצות הפרש סימטרי משלים חוקי דה מורגן חוקי דיסטריבוטיביות חוקי ספיגה איחוד על קבוצות חיתוך על קבוצות תכונות של איחוד וחיתוך על קבוצות חוקי דה מורגן לגבי איחוד וחיתוך על קבוצות קבוצת החזקה

3 בניה פורמלית לקבוצות הקבוצה האוניברסאלית זוג סדור מכפלה קרטזית רלציות הגדרות בסיסיות הרכב רלציות תכונות של יחסים פונקציות הגדרות שאלות קומבינטוריות הפונקציה ההופכית תכונות של רלציה מעל קבוצה רלציות מיוחדות יחסי סדר יחס שקילות דוגמאות חזקות של רלציה הסגור של רלציה ביחס לתכונה סגור רפלקסיבי סגור סימטרי סגור א-רפלקסיבי סגור טרנזיטיבי רלצית שקילות מחלקת שקילות למה 1 הצגת רלצית שקילות כגרף קבוצת המנה למה 2 למה 3 חלוקה דוגמאות

4 60 6 עוצמות הקדמה לעוצמות הגדרה 1 לקבוצה אינסופית הגדרה 2 לקבוצה אינסופית הגדרה לפי תכונה קבוצה בת מניה משפט קנטור הגדרות קבוצות שאינן בנות מניה שיטת הליכסון של קנטור משפט קנטור עוצמת הרצף השערת הרצף עוצמת הרצף משפט קנטור ברנשטיין מוטיבציה ניסוח 1 ניסוח 2 טענה 1 טענה קבוצות אינדוקטיביות סגירות תחת פונקציות הגדרת סגירות תחת פונקציה דוגמא הגדרת סגירות תחת קבוצת פונקציות טענה 1 טענה 2 עיצוב מילים בנאים של קבוצות עקרון הסגירות הגדרת אוסף מילים { a, b} * Σ מילים מעל תכונות של בניית קבוצת הטבעיים קבוצות אינדוקטיביות

5 הגדרת קבוצות מורכבות הגדרה באינדוקציה הוכחת שימושיות ההגדרה סדרת יצירה דוגמת CHNGE משפט הרקורסיה דוגמא מסכמת קבוצת מחרוזות מעל,S T

6 2 מושגי יסוד בתורת הקבוצות 21 הגדרת קבוצה קבוצה היא ישות המורכבת מאוסף אלמנטים המכונים איברי הקבוצה אין חשיבות לסדר בין האלמנטים בקבוצה, וכמו כן אין חזרות, כלומר כל אלמנט מופיע פעם אחת לכל היותר האלמנטים של קבוצה לא חייבים להיות מאותו סוג, למשל, חלקם יכולים להיות מספרים וחלקם אותיות כמו כן, אלמנטים של קבוצות יכולים להיות קבוצות בעצמם קבוצה מוגדרת באופן חד ערכי על ידי האלמנטים שבה על מנת להגדיר קבוצה יש להגדיר במפורש אילו אלמנטים נמצאים בקבוצה דוגמאות: = = C= { 1,2,5} } אבג a, 05, { 1,3, {} 1,{ 1,3} { } כיצד ניתן להגדיר קבוצה? מניית איברי הקבוצה בין סוגריים מסולסלות שיטה זו לפעמים איננה מעשית, לדוגמא עבור קבוצת המספרים בין 0 ל , ולעתים גם איננה אפשרית, לדוגמא, קבוצת המספרים השלמים ניתן לפרט את איברי הקבוצה תוך כדי שימוש ב"" דוגמא: { 1, 2,,100} הגדרת הקבוצה על ידי תכונה (פרדיקט) שמאפיינת את כל איברי הקבוצה ורק אותם דוגמאות: = { X 3 X 10 6 and also X is integer } טבעיים, N { x x 0 and x is integer} N= o o Q m = m, n are integers and also n 0 n Q רציונליים, o - 6 -

7 22 הקבוצה הריקה קבוצה ריקה היא קבוצה שלא מכילה אלמנטים (מספר איבריה הוא 0) סימונים לקבוצה ריקה: φ,{} הערה חשובה: הקבוצה φ והקבוצה {φ} לא שוות φ שקית ריקה, {φ} שקית בתוך שקית 23 גודל של קבוצה קבוצה היא סופית אם קיים מספר טבעי n כך שמספר איבריה היא קבוצה היא אינסופית אחרת, כלומר כאשר לא קיים n כזה n נשים לב לקבוצה הבאה: } },2 {,0,1 } קבוצה זו בעלת איבר אחד! (קבוצה אחרת) עבור קבוצה סופית, נסמן ב- את מספר איבריה = הגודל שלה φ = 0 { φ} = 1 { X 5 X 20 and also X is integer} = 16 {1,3,{1,3}} = 3 24 גרירה לוגית ואמ"מ תהיינה α ו- β טענות כשמסמנים α β ואומרים " α גורר את β" הכוונה שאם הטענה α מתקיימת אזי גם הטענה βחייבת להתקיים כשמסמנים α β ואומרים " α אמ"מ "β הכוונה היא α β וגם β α שתי הטענות או מתקיימות או לא מתקיימות ביחד - 7 -

8 25 שייכות אם a איבר בקבוצה, מסמנים a ואומרים "a שייך ל- " אם a אינו איבר ב- מסמנים a ואומרים "a לא שייך ל- " דוגמא = {1,{3},{2,5},{1,{3}}} 3 {3} {2} {1,{3}} φ = {1,{},3,{4,5}} φ 26 שוויון קבוצות שתי קבוצות,S הן שוות אם יש להן בדיוק אותן איברים S a S a S, a באופן פורמלי, השוויון S S = מתקיים אמ"מ לכל - 8 -

9 27 תתי קבוצות תהיינה ו- קבוצות נקראת תת קבוצה של אמ"מ כל איבר ב- הוא גם איבר ב-, x x כלומר: סימון לתת קבוצה: נאמר כי מוכלת ב-, וכי היא קבוצה חלקית ל- תכונות של הכלה φ 1 לכל קבוצה, (רפלקסיביות) 2 לכל קבוצה, C C אם,,, לכל C וגם אזי (טרנזיטיביות) 3 אם ב- קיים לפחות איבר אחד שאינו שייך ל- אז לא מוכלת ב- ומסמנים טענה לכל 2 קבוצות ו- מתקיים: = אמ"מ וגם הוכחה כיוון :1 נתון = צ"ל: וגם x x וגם x x x x ההגדרה: =עפ"י ומכאן: (הגדרת הכלה) וגם כיוון 2: נתון וגם צ"ל = אותה הוכחה בדיוק בכיוון ההפוך הגדרה - הכלה ממש אבל תת קבוצה אמיתית של אמ"מ מוכלת ממש ב- סימון: - 9 -

10 28 דיאגרמת ון מסמנים קבוצה על ידי תחום סגור במישור: שתי קבוצות ללא איברים משותפים: שתי קבוצות עם איברים משותפים: :

11 3 פעולות על קבוצות 31 איחוד קבוצות = { X x or x } איחוד שתי קבוצות ו- הוא הקבוצה הבאה: x משמעות המילה "or" בהגדרה הוא x או או שניהם 32 חיתוך קבוצות = { X x and x } חיתוך שתי קבוצות ו- הוא הקבוצה הבאה: קבוצות ללא איברים משותפים נקראות קבוצות זרות מתכונות החיתוך: = φ = φ כפי שנראה בדף הבא, פעולת החיתוך היא קומוטטיבית ואסוציטיבית

12 33 תכונות של חיתוך ואיחוד קבוצות, יהיו קבוצות, אזי: = = גורר כי גורר כי = = ( ) C= ( C) ( ) C= ( C) ( ) = ( ) ( ) C C ( ) = ( ) ( ) C C נכון / לא נכון = C = C טענה 1 אם אזי הטענה אינה נכונה C = C= φ ונקבל, C וגם שתי קבוצות, = נבחר φ וגם = C = C טענה 2 אם אזי הטענה אינה נכונה = φ = C= = = וגם φ ונקבל וגם נבחר = C φ

13 טענה 3 = C = C = אם C וגם אזי x x C C הטענה נכונה וגם צריך להוכיח הכלה דו כיוונית: C יהי מכיוון שההוכחה תהיה סימטרית מספיק להוכיח כי C X ולפי הנתון על פי הגדרת האיחוד x x ולפי הגדרת החיתוך מתקיים אז סיימנו אחרת x C x C : x אם C על פי הנתון ולכן לפי הגדרת החיתוך מתקיים x C 35 זרות הדדית i j,, 1, 2 n בהינתן אוסף של קבוצות נאמר שהקבוצות זרות הדדית אם לכל מתקיים, כלומר אין אלמנט הנמצא ביותר מקבוצה אחת i j =φ = {2 i, 2i+ 1} i לדוגמא: לכל מספר טבעי i נגדיר את הקבוצה הבאה: ואז יתקיים: = {0,1} = {2,3} 0 1 כל הקבוצות הנ"ל זרות הדדית תרגיל n i= 1 i נתון: = φ האם בהכרח הקבוצות זרות הדדית? { 1,2 }, { 2,3 }, { 3, 4} = = = תשובה לא בהכרח, למשל: אולם הקבוצות אינן זרות הדדית = φ

14 36 הפרש בין קבוצות \ או ויוגדר להיות: תהיינה ו- קבוצות ההפרש בין ל- יסומן באופן הבא: \ = { X x and x b} השרטוטים הבאים מדגימים שלושה זוגות של קבוצות בכל זוג סימנו את הקטע המייצג את ההפרש בין ל- בצבע אפור: דגש: פעולת ההפרש היא איננה פעולה אסוציאטיבית!

15 37 הפרש סימטרי תהינה ו- קבוצות ההפרש הסימטרי של ו- היא הקבוצה: = { x or x but not to and } = - ניתן לכתוב את ההפרש הסימטרי גם בצורה הבאה: 38 משלים נניח כי כל אבריי הקבוצות עליהן מדובר הן תתי קבוצות של קבוצה אוניברסלית U (העולם) U הוא הקבוצה U המשלים של ביחס לקבוצה האוניברסלית סימון למשלים: או c U =N } זוגי ={n n c } אי- זוגי ={n n דוגמא

16 תכונות פעולת המשלים X X C c ( ) = U c = c =φ c קשר בין הפרש למשלים = c נוכיח את הקשר באמצעות טבלת שייכות: - C c x, x T T F F F x, x T F T T T x, x F T F F F x, x F F F T F שיטת השימוש בטבלת השייכות: מקדישים עמודה עבור כל תת ביטוי הנמצא בזהות 1 מקדישים שורה עבור כל מקרי השייכות של האיבר לקבוצות הבסיסיות 2 ממלאים את הטבלה ע"פ הגדרת איחוד, חיתוך, משלים 3 משווים בין העמודות המתאימות לשני צדי הזהות אם העמודות זהות, הזהות נכונה

17 39 חוקי דה מורגן 1 ( ) C = C c 2 ( ) C = C c נוכיח את חוק 1 על ידי הכלה דו כיוונית צ"ל: ( ( C ) C ) C C c c א ב א c x ( ) x הגדרת הגדרת המשלים x or x x c or x c x c c חיתוך הכיוון השני נעשה בדרך זהה על ידי הפיכת כיוון החצים 3 implies that \( \ ) 4 and = C implies that C \ C \ 5 C \( ) = ( C \ ) ( C \ ) 6 C \( ) = ( C \ ) ( C \ ) 310 חוקי דיסטריבוטיביות 1) 2) ( C) = ( ) ( C) ( C) = ( ) ( C)

18 311 חוקי ספיגה 1) 2) ( ) = ( ) = את חוקי הספיגה ניתן להוכיח על ידי חוקי דיסטריבוטיביות ( ) ( ) ( ) = = לדוגמא, עבור 1) : 312 איחוד על קבוצות תהי X קבוצה לא ריקה נסמן ב- X את הקבוצה המכילה את כל האלמנטים של כל האלמנטים של X, X y Y כך ש- Y X כלומר y X אמ"מ קיים נקראת האיחוד מעל X X = X = {, אם { אזי האיחוד מעל X יהיה עבור X = φ נגדיר X = φ {,,{ }} = { φ, { φ} } 1 φ { φ} { φ} דוגמאות: {,, } = {, } 2 { } { } 313 חיתוך על קבוצות תהי X קבוצה לא ריקה נסמן ב- X את הקבוצה המכילה את כל האלמנטים שהם אלמנטים של איבר X y Y מתקיים כי Y אמ"מ לכל X מכונה החיתוך על X של X, כלומר, y X X = X = {, אם { אזי החיתוך על X יהיה עבור X = φ החיתוך איננו מוגדר { { }} 1 φ,{ φ }, { φ } 2 { },{, } = φ { } = { } דוגמאות:

19 314 תכונות של איחוד וחיתוך על קבוצות X, Y,, יהיו C קבוצות ו- קבוצות לא ריקות של קבוצות אזי: 1 ( X) ( Y) ( ) ( ) = { X : X, Y} { Y : X, Y} = 2 ( X) ( Y) ( ) ( ) = { X : X, Y} { Y : X, Y} = 315 חוקי דה מורגן לגבי איחוד וחיתוך על קבוצות 1 ( ) = { } C \ X C \ C : X X, Y,, יהיו C קבוצות ו- קבוצות לא ריקות של קבוצות אזי: 2 ( ) = { } C \ X C \ C : X

20 316 קבוצת החזקה היא הקבוצה: P( ) = { } תהא קבוצה קבוצת החזקה של המסומנת על ידי P() או על ידי 2 כלומר P() מכילה (כאיברים) את כל תתי הקבוצות של = { 1,2} ( ) = φ, {} 1,{ 2 },{ 1, 2} P { } דוגמא 2 גודלה של P() עבור קבוצה סופית הינו טענה P( ) = P( ) P( לכל 2 קבוצות ו- מתקיים: ( הוכחה: נראה הכלה דו כיוונית: P( ) P( ) P( א ( P( ) P( ) P( ב ( C P( ) C C and C הגדרת א C P( ) P( ( חיתוך הגדרת C P( ) and C P( ) חזקה ב מתקבל מא' על ידי היפוך כיוון

21 תכונות של קבוצת החזקה X, יהיו קבוצות ותהי קבוצה לא ריקה של קבוצות, אזי: P( ) P( ) גורר כי 1 P( ) P( ) P( ) ( ) ( ) ( ) P P P { P( ) P( P( )) : X} P( X) ( ) { ( ) ( ( )) : } P X P P P X בניה פורמלית לקבוצות נציג כעת כיצד מגדירים קבוצות וכיצד יוצרים למעשה את הקבוצות בהן אנו עוסקים הנחה 1: קיימת הקבוצה הריקה אבחנה: הקבוצה הריקה הינה יחידה, הנחה 2: לכל שתי קבוצות, הם האיברים היחידים שלה, כלומר מתקיים קיימת קבוצה C ש- {{ φ} } { φ, { φ} }, נקרא הזוג הלא סדור של C =C { φ, φ} = { φ} {, } כעת ניתן להרכיב קבוצות חדשות: ובעזרתה את הקבוצות: ו-? האם ניתן לקבל את הקבוצה }}} φ { φ,{ φ },{{ כרגע לא, תחת ההנחות הקיימות, הנחה 3: כלל האיחוד: לכל שתי קבוצות קיימת קבוצה שאיבריה הם כל האיברים הנמצאים ב- { } 1,, n C=,, 1 n או ב-, כלומר כרגע, לכל ניתן לקבל את הקבוצה

22 הנחה 4: עקרון התכונה: לכל קבוצה ולכל תכונה ϕ של האיברים ב-, קיימת קבוצה המכילה את איברי את המקיימים את ϕ (ובדיוק אותם) דוגמאות: { }, = a a C נוכל להגדיר את הקבוצה a C תהי הקבוצה ונבחר את התכונה { }, = a a C נוכל להגדיר את הקבוצה a C = C ואז מתקיים תהי הקבוצה ואז מתקיים ונבחר את התכונה = C הנחה 5: כלל החזקה: לכל קבוצה, קיימת קבוצה ( )P המכילה את כל תתי הקבוצות של חשוב לשים לב שזהו איננו מקרה פרטי של הנחה 4, כי מדובר בקבוצה של כל תתי הקבוצות של ולא בקבוצה של איברי דוגמא { } = S S בהנתן קבוצה, הוכיחו שקיימת הקבוצה וגם ב- S ישנם שלושה איברים פתרון: בהינתן קבוצה, על פי הנחה 5, קיימת ( )P נשתמש בעקרון התכונה, עם = 3 S על { ( ) 3} = S P S = הקבוצה ) P( ונקבל:

23 318 הקבוצה האוניברסאלית נשאלת השאלה: האם קיימת קבוצה אוניברסאלית U כך שעבור כל קבוצה, מתקיים כי? U { } U = X U X X 0 נניח שקיימת קבוצה כזו, ונביט בקבוצה הבאה: : U 0 U לפי הגדרת U 0 0 U אזי U 0 0 אם ואנו מקבלים סתירה U ושוב אנו מקבלים סתירה U 0 0 U אזי לפי הגדרה U 0 0 אבל אם מכאן אנו מגיעים למסקנה: לא קיימת קבוצה אוניברסאלית המכילה את כל שאר הקבוצות? { } V ניסיון נוסף להגדיר קבוצה אוניברסאלית: האם קיימת קבוצה אוניברסאלית V כל שעבור כל קבוצה, מתקיים כי { { } } V = X V X X 0 : V 0 נניח שכן, ונביט בקבוצה הבאה: { V } V 0 0 { V } V 0 0 אם אולם אם אזי אזי לפי הגדרת לפי הגדרת וקיבלנו סתירה V 0 ושוב קיבלנו סתירה { V } V 0 0 { V } V 0 0 מסקנה: לא קיימת קבוצה אוניברסאלית כנ"ל 319 זוג סדור נגדיר זוג סדור כשני איברים שהאחד נקבע כראשון והאחר כשני כלומר אנו נותנים חשיבות לסדר של, האיברים בזוג איננו מגבילים את תוכן האיברים יתכן שבזוג סדור האיברים יהיו זהים {, } {, } = { } השוני בין זוג סדור לקבוצה: בקבוצה אין משמעות לסדר: בקבוצה אין משמעות לחזרות:, הגדרה של זוג סדור צריכה לקיים:,, אם אזי =, = אמ"מ, =,

24 הצעה ראשונה להגדרה { { }}, =, נגדיר: {{} {{ }}}, = 1, 2 {{} {{ }}}, = 1, 2 נראה כי ההגדרה אינה מספקת {} 1, { 2} = =, אזי לפי ההגדרה שהצענו {{ 2 }}, {} 1 יהיו כעת נבחר = = ואז יתקיים:,, =, ונקבל אבל הצעה שניה להגדרה, נבנה בעזרת ההנחות את ונראה כי ההגדרה עונה על הדרישות,, טענה: בהינתן ניתן לבנות את {, } {{ },{, } } הוכחה:, ניתן על פי הנחה 2 לבנות את הקבוצה מ- מ- ניתן על פי הנחה 2 לבנות את הקבוצה, =, {{ } { }}, =,, נטען: הזוג עונה על הדרישה, כלומר אמ"מ =, = =, = ונראה הוכחה: כיוון : טריויאלי כיוון : נניח כי, =, {{ },{, } } = { },{, } { }

25 אפשרות אחת: { } { } { } { } = =, =, ' = אפשרות שניה: { } {, } {, } = { } = = (בקבוצה שמכילה את יש איבר אחד) =, = = {, באותו אופן מאחר ו- } } = { = ולכן נקבל ומכאן תכונות נלוות לזוג הסדור לפי ההגדרה שנתנו, = בזוג סדור ישנם לכל היותר שני איברים אם אזי ב- יש איבר אחד,,, שלשה סדורה נגדיר שלשה סדורה בצורה הבאה: a, b, c = a, b, c לפי הגדרה זו, בשלשה הסדורה שני איברים לכל היותר n -יה סדורה באופן דומה ניתן להגדיר n -יה סדורה a1,,a2,,a3 an a, a, a,, a = a, a, a, a n n

26 320 מכפלה קרטזית {,, } = a b היא הקבוצה: תהיינה ו- קבוצות המכפלה הקרטזית ל- והשני היא קבוצת כל הזוגות הסדורים בהם האיבר הראשון שייך ל- כלומר שונה מ- פעולה זו איננה קומוטטיבית אם שונה מ- אזי מתכונות המכפלה הקרטזית: (( a, b), c) a, ( b, c) ( ) φ = φ = φ ( C) = ( ) ( C) ( C) = ( ) ( C) (כי (( ) C) ( C) ( ) : x = עבור קבוצה סופית מתקיים סימון 2 המכפלה הקרטזית תסומן הרחבת ההגדרה עבור n קבוצות,,, n נגדיר את המכפלה הקרטזית שלהם בצורה הבאה: { } = a, a,, a a, a,, a 1 2 n 1 2 n n n 1 2 יהיו הקבוצות

27 סימון n n times המכפלה הקרטזית תסומן ב- טענה {,, } {{{ },{, }}, } = a b a b = a a b a b בהינתן ו-, קיימת הקבוצה הוכחה: { a}, { a} P( ),{ a} P( ) { a, b}, { a, b} P( ) { x, y} P( C) ( ( ) ) P P ( ),{ },{, } P C a x a b y { x, y} נסמן: אנו מחפשים את כלומר: x C, ולכן y C {{ a},{ a, b} } P P( ) ( ) מצאנו היכן נמצאים כל האיברים, וכעת נגדיר אותם:, בהינתן נבנה בעזרת כלל האיחוד את ע ידי הפעלת כלל החזקה נקבל את הקבוצה ( ( ) ) בעזרת כלל הגזירה נגזור מתוך P P האיבר הראשון הוא מ- והאיבר השני הוא מ- את כל הקבוצות שהן זוגות סדורים שבהם טענה ( ) = אזי מתקיים כי:,, יהיו שתי קבוצות לא ריקות

28 4 רלציות 41 הגדרות בסיסיות, יהיו קבוצות תת קבוצה (כלשהי) של תת קבוצה של תת קבוצה של C ל- נקראת רלציה בינארית מ- 1 2 n נקראת רלציה טרנרית נקראת רלציה n -ארית דוגמא ל- : דוגמא לרלציה מ- = { a, b, c} = { 1,2,3, 4} תהי הקבוצה ותהי הקבוצה R= { b,4, c,1, b,1} נציג את הרלציה על ידי גרף (דו צדדי): במקרה הכללי - יתכנו צמתים שאין מהם חצים יוצאים או אין חצים נכנסים אליהם כמו כן יתכנו צמתים שיש להם יותר מחץ אחד נכנס או יוצא מהם

29 ייצוג על ידי מטריצה בינרית / a b c a Rb a, b R אם arb a, b סימון: אם R נסמן נסמן שאלה כמה רלציות קיימות מ- ל- כאשר ו- הינן קבוצות סופיות? x = כמספר תתי הקבוצות של, שכן כל תת קבוצה של היא רלציה מ- ל- מספר תתי הקבוצות הוא 2 הגדרות R תחום של רלציה - תחום של רלציה היא הקבוצה domain(r) כך שמתקיים x }= y קיים xry} כלומר תחום של רלציה הינו קבוצת הצמתים שיש מהן חצים יוצאים לדוגמא: עבור R המוצג בצורה הבאה:

30 מתקיים כי {b domain(r)={a, R טווח של רלציה - טווח של רלציה היא הקבוצה range(r) כך שמתקיים Y b }= x קיים xry} טווח של רלציה הינה קבוצת האיברים ב- שיש אליהם חצים נכנסים R רלציה הופכית - רלציה הופכית של רלציה היא הרלציה מ- ל- הבאה: {,, } 1 R = b a a b R br 1 כלומר: arb c R = R R רלציה משלימה - רלציה משלימה לרלציה היא הרלציה c ar b ar/ b a, b לכל מתקיים:

31 42 הרכב רלציות ( R ורלציה ) ל- מ- R בהינתן רלציה, R S היא הרלציה: כזכור, רלציה מ- ל- היא תת קבוצה של ( S ההרכב של R עם S, המסומן על ידי C ) ל- C מ- S {,,,,, } R S = x z x y R y z S y ={1,2,3,4} ={a,b,c} C={T,F} דוגמא R= { 1,a, 1,b, 3,c } C S= { a,t, b,t, c,t, c,f } { 1,, 3,, 3, } R S = T T F זוג נמצא ב- R S אם קיים מסלול באורך 2 בין איבריו

32 תכונות של פעולת ההרכב R, R C, R C D המקיימות מתקיים כי: R, R 1 R2, 3 1 אסוציאטיביות: לכל ( R1 R2 ) R3 = R1 ( R2 R3) ( R R ) = R 1 2 R 1 1, R מתקיים:, R xc לכל שתי רלציות, הוכחה: ( ) 1 x, z R R הגדרת רלציה הופכית z, הגדרת הרכב R x R y, z, y R, y, x R y, y, z R, x, y R x, z R R ומכאן 43 תכונות של יחסים a, a ( b, a) R מתקיים, a, מתקיים R ( a, b) רפלקסיביות: לכל סימטריות: אם R 1 2 a= b a, b, b, אנטי סימטריות: אם a R אזי בהכרח 3 b, a, מתקיים R a, b 4 א-סימטריה: אם R a, c R טרנזיטיביות: אם b, a, b, אזי c R

33 דוגמא :( R ) R נגדיר יחס = { a, b, תהי הקבוצה {c מעל R= { a, b, b, b, c, c, b, c, a, c } a a, a האם היחס רפלקסיבי? לא, כי R אבל b, a R a, b האם היחס סימטרי? לא, כי R אבל c, c b, b a, b, b, האם היחס הוא אנטי סימטרי? כן הזוגות היחידים שמקיימים a R ו- הם לכן היחס הוא אנטי סימטרי c, c b, האם היחס הוא א-סימטרי? לא, כי b ו- נמצאים ביחס האם היחס טרנזיטיבי? כן רפלקסיביות באופן ריק רפלקסיבי, אם φ ו- R אזי בהכרח R φ רפלקסיביות נכונה באופן ריק רק כאשר R ריקה טרנזיטיביות באופן ריק {,,, } =R רלציה זו טרנזיטיבית באופן ריק דוגמא: a b a c דוגמא C, C R= C C,, נתונות הקבוצות C נגדיר יחס R מעל C: = φ, φ, כך שמתקיים φ וגם

34 האם היחס רפלקסיבי? a, b לא, φ ומכאן קיים, φ a ומכאן קיים b מכאן R אם b=a אזי b בסתירה לכך שהחיתוך בין ל- הוא קבוצה ריקה האם היחס סימטרי? b b, a R a, b לא יהי R (קיים כזה) אם אזי בסתירה לנתון האם היחס אנטי סימטרי? כן, באופן ריק b b, a R a, b אם R וגם אזי בסתירה לנתון b, a a, לכן אין זוג איברים b ו- הנמצאים שניהם ביחס האם היחס א-סימטרי? b b, a, נניח בשלילה שגם R a, b כן אם R אזי בסתירה לנתון האם היחס טרנזיטיבי? כן, באופן ריק טענה R= R 1 R יהי R יחס, אזי מתקיים כי סימטרי אמ"מ R הוכחה: נניח כי סימטרי a, b R b, a R a, b R simetric 1 ואז: R= נניח כי 1 R b, a R R= לפי הנתון 1 R b, a 1 R על פי הגדרת 1 R a, b יהי R נובע: ולכן

35 5 פונקציות 51 הגדרות b פונקציה מקבוצה לקבוצה היא רלציה מ- ל- המקיימת: לכל a קיים יחיד כך a, b ש- f סימונים (עבור פונקציות) f : נסמן כ: f x f ( a) = b נסמן כ: a, b f הגדרה f ( x) f ( y) x y x, y f : פונקציה נקראת חד חד ערכית אם לכל מתקיים: סימון 11: f :

36 הגדרה f ( a) = b a b f : פונקציה נקראת על אם לכל איבר קיים כך ש- הגדרה f : פונקציה שהיא גם 1:1 וגם על נקראת התאמה חח"ע במקרה זה, הגודל של ושל הוא זהה 52 שאלות קומבינטוריות נתונות ו- קבוצות סופיות 1 מהן מספר הפונקציות מ- ל- שהן התאמות חח"ע? 0! = 2 כמה פונקציות 1:1 יש מ- ל-? ( 0!! )! < = > 3 כמה פונקציות יש מ- ל-?

37 4 כמה פונקציות יש מ- ל- שהן על? i = 0 0! i ( 1) i ( i) > = < 53 הפונקציה ההופכית f 1 f :, יהיו קבוצות, ותהי פונקציה הרלציה ההופכית היא לא בהכרח פונקציה f 1 היא פונקציה, היא תיקרא הפונקציה ההופכית נשאל מתי היא פונקציה 1 במקרה ש- f טענה f : תהי f היא פונקציה אמ"מ f 1 הרלציה ההופכית הינה התאמה חח"ע 1 היא פונקציה, אזי גם היא התאמה חח"ע 1 2 במקרה ש- f הוכחה: b, a 1 f a היא פונקציה אמ"מ לכל b קיים יחיד, כך ש- f 1 1 a, b f a מהגדרת הפונקציה ההופכית, נובע כי לכל b קיים יחיד כך ש וזה מתקיים אמ"מ f התאמה חח"ע היא פונקציה ולכן עפ"י 1 היא התאמה חח"ע 1 מתקיים ש f f f = ( f 1 1 )

38 טענה = מתקיים,, עבור שתי קבוצות סופיות אמ"מ קיימת התאמה חח"ע בין ל- הגדרה = {1,2,3, 4} R R 1 a 2 = = { 1,1, 1,3, 2, 4 } { 1,1, 2,2, 3,3 } {, } I = x x x : רלציה R מעל קבוצה היא קבוצה של I a זוהי רלצית הזהות ניתן לייצג רלציות בעזרת גרף דו צדדי כמו שכבר ראינו, אולם ניתן לייצג רלציות גם באמצעות גרף את הגרף בונים בצורה הבאה: מציירים צומת יחיד עבור כל איבר ב- יש קשת בין הצומת x לצומת y x, y אם הזוג הסדור R דוגמא R= { 1,1, 1,2, 2,3, 3,4, 4,3 }

39 54 תכונות של רלציה מעל קבוצה a, a 1 רפלקסיביות: לכל, a מתקיים R * לכל צומת בגרף חייבת להיות קשת עצמית * אם זוהי פונקציה, זוהי חייבת להיות פונקצית הזהות b, a, מתקיים R a, b 2 סימטריות: אם R * לכל קשת בגרף יש קשת הפוכה לה a= b a, b, b, אנטי סימטריות: אם a R אזי בהכרח 3 b, a, מתקיים R a, b 4 א-סימטריה: אם R a, c R a, b, b, טרנזיטיביות: אם c R אזי 5 * אם יש מסלול באורך 2 בין 2 צמתים, אזי בהכרח יש גם מסלול ישיר ביניהם 55 רלציות מיוחדות 551 יחסי סדר R יחס R יקרא יחס סדר חלקי אם רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי x, y יחס R יקרא יחס סדר מלא אם הוא יחס סדר חלקי וגם לכל מתקיים,x או y R יחס זה נקרא גם יחס סדר ליניארי y, x R

40 552 יחס שקילות יחס יקרא יחס שקילות אם הוא רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי בהמשך נעמיק עוד ביחסי שקילות 553 דוגמאות נסתכל על הרלציות הבאות מעל R: הרלציה < : לא רפלקסיבית, לא סימטרית, טרנזיטיבית הרלציה : רפלקסיבית, לא סימטרית, טרנזיטיבית רלצית סדר חלקי וגם רלצית סדר מלא הרלציה = : רפלקסיבית, סימטרית, טרנזיטיבית רלצית שקילות וגם רלצית סדר חלקי הרלציה הרלציה מעל קבוצות: רפלקסיבית, לא סימטרית, טרנזיטיבית רלצית סדר חלקי מעל קבוצות: לא רפלקסיבית, לא סימטרית, טרנזיטיבית טענה 1 הרלציה R סימטרית אמ"מ R=R

41 56 חזקות של רלציה R R 2 תהיי רלציה R מעל קבוצה, נסמן ב- R את כלומר אם קיימת קשת מ- x ל- y x, הזוג z 2 שייך ל- R אם קיים y x, y R, y, כך ש z R כלשהו, ומאותו y אל z במילים אחרות - אם קיימת מסלול באורך 2 בין x ל- z R i i) R R פעמים) R R j = R i+ j i באופן דומה, מסמנים ב R את ההרכב הבא: בגלל תכונת האסוציאטיביות של ההרכב נקבל את המסקנה: i R x, איבר z נמצא בגרף של אם קיים מסלול באורך i שבין x ל- z בגרף של R טענה R 2 R טרנזיטיבית אמ"מ R הוכחה: x, z R x, y R, y, z R x, y, z טרנזיטיבית לכל מתקיים כי R R R x, z R x, z R 2 2 x, z לכל מתקיים כי טענה (ללא הוכחה) S 1 S2 S1 S3 S2 S3 s, s 1 s2, 3 לכל 3 רלציות מתקיים

42 טענה f, g תהיינה הרלציות C b a, c f פעולת ההרכבה מוגדרת כרגיל: g אמ"מ קיים a, b f, b, כך ש- c g f g נטען: אם f, g f g ניתן לראות כי C הינן פונקציות אזי ההרכב הינו פונקציה הוכחה: על מנת להראות שרלציה היא פונקציה עלינו להראות: a, c f g c C a קיום לכל קים כך ש- 1 x = x 1 2 a, x f g, a, x f g 1 2 יחידות אם אזי בהכרח 2 1 a יהי a, b f b היא פונקציה קיים כך ש- f b, c g היא פונקציה קיים c C כך ש- g a, c f על פי הגדרת ההרכב מתקיים g a, c f g c C a לכל קיים כך ש- 2 x1, יהיו x2 a, x f g, a, x f כך ש- g 1 2 f היא פונקציה ולכן: b1, x1 g a, b 1 f b 1 קיים כך ש- וגם b2, x2 g a, b 2 f b 2 קיים כך ש- וגם ( f b = b 1 2 היא פונקציה ולכן (יחידות עבור f x = x 1 2 b, x g, b, היא פונקציה ולכן מכיוון ש- x g נקבל 2 1 g

43 תרגיל ( ) f x, y = x+ y, x y f : R R 2 2 תהי המוגדרת כך: יש לענות האם f היא על והאם היא חח"ע פתרון a, b R 2 יהי a= x+ y, b= x y x, y a, אם b אזי נוכל לכתוב: זוהי מערכת משוואות בעלת פתרון יחיד, שהפתרון לה הינו: a+ b a b x, y =, R R a, מכיוון שניתן להגיע לכל b כרצוננו בתחום הרי שהפונקציה הינה על מכיוון שפתרון מערכת המשוואות הינו יחיד הפונקציה הינה חד חד ערכית תרגיל נתונות פונקציות f : X Y, g : Y Z f g f צ"ל: אם g על וגם הינה חח"ע אזי היא על הוכחה: f ( x) = y x X y Y כדי להוכיח כי f היא על עלינו להראות כי לכל איבר קיים כך שמתקיים יהי y Y ( ( )) ( g f x = z g( y) = z כך ש- z היא פונקציה ולכן קיים Z g f ( x) = z על ולכן קיים x כך שמתקיים X (כלומר ( ), ( ( )) g y = z g f x = z f g g כלומר בינתיים הגענו לכך ש: y Y הראנו בעצם כי קיים איבר =y הינה חח"ע ולכן (x f ( כך ש- = y x) f ( ובכך סיימנו g

44 טענה R i R R R i 1 i 2 2 R 1i, טרנזיטיבית אמ"מ לכל R ( R 2 הוכחה: (באינדוקציה על i) בסיס: 2=i ראינו בטענה הקודמת ) R i= n+ i ונוכיח עבור 1 נניח את נכונות הטענה לכל n n n 1 n 2 2 R R על פי ההנחה מתקיים כי R R R R n + 1 R n יש להוסיף: R n + 1 R n, כלומר n n 1 R R R R R n n 1 על פי ההנחה R ולכן על פי טענה העזר 57 הסגור של רלציה ביחס לתכונה ביחס לתכונה αהיא הרלציה S המקיימת את התנאים S T תהיי R רלציה מעל קבוצה הסגור של R S הבאים: מקיימת את α R S לכל T שמקיימת את α, ו, R T מתקיים הסגור היא הרלציה הקטנה ביותר שמקיימת את α ומכילה את R לא תמיד קיים סגור עבור תכונה עבור תכונות מסוימות יהיה קיים סגור ועבור אחרות לא סגור ביחס לתכונה מסויימת אם הוא קיים אזי הוא יחיד

45 ס 571 סגור רפלקסיבי דוגמא R= { 1, 2, 2,2, 3,1} { 1,1, 2,2, 3,3, 1, 2, 3, 1} תהי הקבוצה 1,2,3} { = ותהי הרלציה הסגור הרפלקסיבי של הרלציה הינו 1,1, 2, 2, 3,3 נובע מהגדרת רפלקסיביות 1,2, 3,1 נובע מהגדרת הסגור זוהי הקבוצה הקטנה ביותר המקיימת את התנאי R I, I = { a, a a } a a הסגור הרפלקסיבי הוא תמיד סגור של רלציה ביחס לתכונה נתונה היא הרלציה הקטנה ביותר המכילה את הרלציה ומקיימת את התכונה 572 גור סימטרי דוגמא R= { 1,2, 3,3, 3, 4, 4,1} תהי הקבוצה 4} { 1,2,3, = הסגור הסימטרי יהיה ותהי הרלציה מעל { 1, 2, 3,3, 3,4, 4,1, 2,1, 4,3, 1, 4 } {,, } 1 R R = R הסגור הסימטרי הינו תמיד a b b a R

46 573 סגור א-רפלקסיבי x, x R רלציה R תיקרא א-רפלקסיבית אם לכל x מתקיים R= { 1,2, 2,2, 3,1, 3,2 } תהי לדוגמא הרלציה הבאה מעל הקבוצה {1,2,3 { = :, וכל רלציה במקרה זה הסגור לא קיים, כי הסגור חייב להכיל את כל R, ובפרט את הזוג הסדור,2 2 כזו לא מקיימת את תכונת הא-רפלקסיביות 574 סגור טרנזיטיבי R= { 1,2, 2,3, 2,4, 4,5, 5,1} תהי הקבוצה 2,3,4,5} { 1, = ותהי הרלציה הסגור הטרנזיטיבי יהיה { 1, 2, 2,3, 2,4, 4,5, 5,1, 1,3, 4,1, 1, 4, 1,5, 2,5, 4, 2 } נשים לב שאם אחרי שהוספנו איברים, ניתן לעשות חיבורים נוספים, יש לעשותם * 2 3 i R R R R R i = =, = N {0} בהינתן רלציה R מעל, * נגדיר את הרלציה R באופן הבא: x, y R i x, y R * מתקיים כי אמ"מ קיים 1 i כך ש טענה אם רלציה מקיימת את α, אז היא עצמה הסגור שלה ביחס ל- α מכאן שהסגור הטרנזיטיבי של רלציה טרנזיטיבית R הוא R

47 טענה * R לכל רלציה, R הוא הסגור הטרנזיטיבי שלה הוכחה: R * כדי להוכיח ש- R היא הסגור הטרנזיטיבי של צ"ל: R R * 1 טרנזיטיבית * R 2 R * T אזי R 3 לכל רלציה T, אם T היא טרנזיטיבית וגם T 1 * 2 ברור שמתקיים, כי R = R R R 2 x, z R * x, y, x, z R * צריך להוכיח כי אם אזי y, z R j x, y R i גורר כי קיים 1 i, וקיים j 1, כך ש x, y, x, z R * y z R y z R y z R R * i+ j i j,,, 3 R i T i i N R נשתמש בטענה אם T אזי לכל מתקים * R T צריך להוכיח כי R תהי T טרנזיטיבית, T R ולפי טענת העזר: T x, y R k מכאן קיים k x, y R * יהי כך ש- x, y, ולכן T x, y T k T טרנזיטיבית מכאן קיים k כך ש- תכונה * 2 R = R R R אם סופית אזי

48 דוגמא { N, φ, 10} נגדיר את הקבוצה הבאה: = ונגדיר יחס S מעל בצורה הבאה: { 1, } S = φ האם S מהו הינו יחס טרנזיטיבי? *? S 1 2 { 1,2 }, { 2,3 }, { 3,4} = = = S איננו יחס טרנזיטיבי דוגמא נגדית: יהיו הקבוצות 1, 3 S, S,, S מתקיים: אולם 2 2 כאשר אנו נתקלים בשאלה מסוג זה, השלב הראשון בפיתרון יהיה להבין מיהו S לגבי הפתרון על מנת לקבל תחושה {, :,,, } 2 S = S S 2 S = נטען: 2 S ברור כי מכיוון ש- S הינו יחס מעל S 2 צ"ל:, S,, S צריך למצוא 1, 3 תהינה כך שמתקיים a φ a φ כמו כן = נוודא כי { a, a } נבחר 2, 3 S a φ , 2 ומכאן S ומכאן a φ , 3 S 2 מסקנה:

49 דוגמא 1, 2 R {, is odd} a+, R= a b לדוגמא b, R N N 2 R נתון א מצא את ב מצא את הסגור הטרנזיטיבי {, is even} T = a b a+ b {,,,, } 2 R = x y x z z y R א נסמן את הקבוצה הבאה ב- T:, R כאשר 2 נטען: = T z, y, x, יהיו z R y זוגי יתכנו שני מקרים: 1 z אי זוגי, x זוגי y אי זוגי זוגי, x אי זוגי z 2 R 2 T x+ בשני המקרים מתקיים y הוא זוגי, ולכן הראנו a, b R 2 כעת נראה את הכיוון השני: יהיה האיבר b, c, a, c R c=2 אם a b, c, a, c R c=1 אם a זוגי, נבחר ואז אי זוגי, נבחר ואז T הראנו הכלה דו כיוונית ולכן מתקיים השוויון R 2 ומכאן ב i R i is odd R = 2 R i is even, R וכך הלאה, ולכן: 3 ניתן לראות כי מתקיים = R * 2 R = R R = N כלומר N

50 58 רלצית שקילות רלציה תקרא רלצית שקילות אם היא רפלקסיבית, סימטרית וטרנזיטיבית x, x R מתקיים x רפלקסיבית אם לכל R y, x R x, y כך ש- R מחייב כי x, y סימטרית אם לכל R x, z R x, y R, y, z R מתקיים x, y, z טרנזיטיבית אם לכל R 581 מחלקת שקילות [ x] E [ x] = { y x, y E} E בהינתן יחס E מעל ואיבר באופן הבא:, x נגדיר את מחלקת השקילות של x המסומנת על ידי דוגמא 1 { } E = x, y x, y live in the same country 2 { } E = x, y x, y starts with the same letter - קבוצת האנשים בעולם - כל המילים בעולם { } E = x,y x, y has the same module in diving by 3 - קבוצת המספרים הטבעיים 3 {כל תושבי ישראל }=[x] - מהי מחלקת השקילות של x הגר בישראל? - מהי מחלקת השקילות של המילה "אבא"? E 1 E 2 עבור עבור } כל המילים המתחילות ב-א '}=[אבא]

51 : E 3 עבור [0]={0,3,6,9,} [1]={1,4,7,10,} [2]={2,5,8,11,} [3]= {0,3,6,9,} [4]={1,4,7,10,} ניתן לראות כי: [0]=[3]=[6]= [1]=[4]=[7]= [2]=[5]=[8]= [0] [1] = φ [1] [2] = φ [0] [2] = φ מתקיים: [0] [1] [2]= N 582 למה 1 E x, y תהי קבוצה, שני איברים ותהי רלצית שקילות מעל, אזי: x, y E א y] [ x] = [ אמ"מ [ x ] [ y] =φ אמ"מ [ x] ב y] [ מחלקת שקילות היא לא קבוצה ריקה (היא מתאפיינת על ידי איבר מסויים) [ x ] [ y] =φ אמ"מ x, y ניתן לכתוב את ב' גם כך: E

52 הוכחה [ x] = [ y] א נתון: x, y צ"ל: E x, y E y [ x] [ x] = [ y] נתון כי y הוכחה: לפי הגדרה: [y [ ומכאן x, y נתון: E צ"ל: y] [ x] = [ y, x הוכחה: ראשית נטען כי E (מכיוון ש- E הינה סימטרית) וכעת: [ ],, [ ] a x x a E y a E a y ולכן by טרנזיטיביות הגדרת definition y, x, x, a מחלקות שקילות [ x] = [ y] ב [ x ] [ y] נתון: φ= וגם y] [ [x [ אינן ריקות [ x] צ"ל: y] [ הטענה נכונה באופן טריויאלי מכיוון שגם [ x] [ y] נתון: a [ x],[ y] [ x ] [ y] צ"ל: φ= y] [ x] [ כלומר קיים נניח בשלילה כי φ ומכאן: x, a E x, a E x, y E x = y y, a E a, y E Lemma 1 [ ] [ ] [ x ] [ y] כלומר ההנחה שגויה ולכן φ=

53 583 הצגת רלצית שקילות כגרף כאשר ניגשתי בפעם הראשונה להבין את נושא רלצית השקילות ומחלקות השקילות נתקלתי בבעיה להבין את המשמעות שלהן בדיוק מהי רלצית שקילות, ומהי מחלקת שקילות, ומהן אוסף כל מחלקות השקילות של קבוצה הדוגמא הבאה, לפחות עבורי, עזרה להמחיש את הנושא תהי קבוצת איברים כל רלציה R מעל הקבוצה מכילה זוגות של איברים מ- נציג את הרלציה כגרף, כאשר כל צומת בגרף ייצג את אחד מאיברי בין כל שני איברים בגרף תהיה קשת אמ"מ הם נמצאים ברלציה R לדוגמא, עבור הקבוצה נצייר את הגרף הבא: = { 1,2,3, 4} 3,3) ),( 1,3 ),( 1,2 {( והרלציה } רלצית שקילות תחלק את הצמתים בגרפים לקבוצות זרות כך שכל קבוצה תהווה גרף מלא, לכל צומת תהיה קשת עצמית, ולא יהיו קשתות מחברות בין הקבוצות השונות, לדוגמא: ישנן 3 קבוצות שלוש מחלקות שקילות הנוצרות על ידי רלצית השקילות

54 584 קבוצת המנה הגדרה E הקבוצה תהא E רלצית שקילות מעל הקבוצה מוגדרת כך: E {[ x] x } = E קבוצה זו נקראת קבוצת המנה של לפי, E או לחילופין נגדיר את האינדקס של הרלציה E להיות מספר מחלקות השקילות השונות של כגודל של קבוצת המנה של E 585 למה 2 1= 2 או ש- 1 2 =φ או ש-, 1, 2 E לכל 586 למה 3 [ x] = x : איחוד כל מחלקות השקילות ייתן את הקבוצה רלצית שקילות מעל E

55 הוכחת למה 3 נוכיח את הטענה על ידי הכלה דו כיוונית [ x] x [ x] מתקיים ומכאן x לכל [ x] x כיוון : צ"ל להוכיח כי [ x] x x מתקיים כי [x [ ולכן x לכל [ x] x כיוון : צ"ל כי 587 חלוקה הגדרה תהא קבוצה כלשהי תתי קבוצות של לא ריקות, זרות הדדית שאיחודן הוא נקרא חלוקה של באופן פורמלי: קבוצה Π היא חלוקה של קבוצה אם מתקיימים התנאים הבאים: x S א אם כל איבר של Π הוא תת קבוצה לא ריקה ב- ב בעבור כל x קיים בדיוק איבר אחד S Π עבורו משפט E קבוצת המנה תהי E רלצית שקילות מעל היא חלוקה של הקבוצה

56 הוכחה x [ x] על פי הגדרת מחלקת השקילות מתקיים כי לכל כלומר האיברים בקבוצת המנה הם תתי קבוצה של φ מתקיים x לכל [ x] ולכן האיברים ב- E הם אינם קבוצות ריקות על פי למה 2 כל האיברים ב- E הינם זרים הדדית על פי למה 3 איחוד האיברים בקבוצת המנה שווה ל- מסקנה, כאשר הקבוצות הינן כל יחס שקילות משרה חלוקה של לקבוצות לא ריקות זרות הדדית שאיחודן מחלקות השקילות של היחס טענה אם Π היא חלוקה של קבוצה אזי היחס הבא הוא יחס שקילות {, (, ), and } E= x y S S Π x S y S E ומכאן: Π= כל חלוקה של היחס מגדירה באופן יחיד יחס שקילות, והקבוצות הזרות בחלוקה הן מחלקות השקילות של

57 588 דוגמאות {, (mod10)} R= x y x y 1 קבוצת השלמים בין 0 ל- 100 רפלקסיביות: כן: x(mod10) x x y(mod10) y סימטריות: כן: x(mod10) x y(mod10), y z(mod10) x z(mod10) טרנזיטיביות: כן: R לכן זוהי רלצית שקילות כעת נגדיר מי הן מחלקות השקילות, ונמצא את קבוצת המנה מחלקות השקילות מאופיינות על ידי השאריות בחלוקה ב 10 לכן קבוצת המנה היא: = {[ 0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9]} = {[ x] 0 x 9, x N} {, or, } R= x y x= y x y 2 תת קבוצה של קבוצה, רפלקסיביות: כן: כי x=x סימטריות: כן: xry אם x=y אז ברור שyRx כי הם שווים אם x y אזיי x,y שייכים ל ולכן גם y,x שייכים ל- ולכן yrx טרנזיטיביות: כן: xry,yrz אם כולם זהים ברור כי xrz אם x,y,z לא זהים כולם, אזי הם שייכים ל-, ולכן xrz R = {[ x] x \ } = φ { [ x] x \ } { } φ אפיון מחלקות השקילות: מחלקת שקילות אחת היא וכל איבר ב- מהווה מחלקת שקילות {[ x] x הכתיבה \ } {[ x] x \ } { נשים לב לכתיבה: { היא טעות במקרה זה

58 - 58 -

59 = { 1, 2, 3, 4, 5 } = { 1, 2 } {[ x] x \ } { } = {[ x] x \ } { } = {{3},{4},{5},1,2 } {{3},{4},{5},{1,2}} הסבר בעזרת דוגמא: הביטוי השני הוא כבר לא חלוקה למחלקות שקילות! 3 מה מספר רלציות השקילות בקבוצה סופית? הגדרת קבוצת מנה מגדירה רלציה ולהפך השאלה היא למעשה כמה חלוקות אפשריות נניח כי =n מספר הרלציות הוא מספר האפשרויות לחלק את האלמנטים לתתי קבוצות כך שבכל קבוצה אלמנט אחד לפחות, ואין אלמנט המופיע ביותר מקבוצה אחת כלומר, הבעיה שקולה לחלוקה של n אלמנטים שונים לתאים זהים, כך שאין תא ריק ואין הגבלה על מספר התאים

60 6 עוצמות 61 הקדמה לעוצמות מטרת נושא העוצמות היא לדבר על קבוצות בעלות אותו מספר איברים עוצמת הקבוצה היא הגודל של עבור קבוצה סופית גודל הקבוצה הינו גודל במקרה זה הוא מספר האיברים בקבוצה משפט = תהינה ו- קבוצות סופיות מתקיים כי אמ"מ קיימת התאמה חד חד ערכית f : {,, }, {,, } = a a = b b 1 k 1 n הוכחה: תהינה הקבוצות ( ),1 f קל לראות ש- f a = b i כך: n i i f : נגדיר n= כיוון : נניח כי k חד חד ערכית כיוון : נניח כי קיימת התאמה חח"ע מאחר ו- f איברים שונים ב-, ולכן ) a ) f ( ( חח"ע מתקיים כי f a1,, k התאמה k הם f מאחר ו- n k ל, אז אלו הם כל האיברים, ולכן n= k הגדרה נאמר ששתי קבוצות ו- הן בעלות עוצמה שווה, בעלות אותה קרדינליות, אם קיימת ביניהם התאמה f : שהיא פונקציה של על וחח"ע חח"ע, כלומר אם קיימת פונקציה נאמר ש- ו- שקולות ונסמן,~

61 דוגמאות ~ N { n 2 n } = N נטען כי 1 תהי הקבוצה N = זוהי התאמה חח"ע ומכאן f ( n) = n 2 f ניקח : N כך ש- נטען: 0,1) ( ~ R ( a, b) = { x x R, a< x< b} 2 נגדיר את הקבוצה π π tan :, R 2 2 כדי להוכיח זאת נשתמש בעובדה כי השלבים: הינה חח"ע ועל ( ) ( ) 1) 0,1 11, f = 2x 1 2) π π π ( 1,1 ),, f2 = x ) π π π, R, f3 = ( x ) כל הפונקציות הן חח"ע ועל על ידי הרכבת פונקציות נקבל: π f f x x 2 ( 0,1 ) R, ( ) = tan ( 2 1) טענה }, { הוא יחס שקילות היחס R המוגדר כך: R= = הוכחה: ניתן להשתמש בפונקצית =, כלומר, R רפלקסיביות: צ"ל להוכיח לכל כי מתקיים הזהות

62 - 62 -

63 , R f 1 : סימטריות: אם התאמה חח"ע אזי גם התאמה חח"ע, לכן אם f : R, אזי גם R, וזאת מכיוון שהרכבה של שתי, C R, טרנזיטיביות: אם R ו-, אזי גם C R פונקציות חח"ע ועל הינה גם חח"ע ועל { 1,,n} מחלקות השקילות של היחס נקראות המספרים הקרדינלים (עוצמות) המספר הקרדינאלי n N הוא כל הקבוצות שעוצמתן שווה לעוצמה של כל קבוצה שהמספר הקרדינלי שלה הוא מספר סופי, הינה קבוצה סופית 62 הגדרה 1 לקבוצה אינסופית { 1,,n} קבוצה תיקרא סופית אם קיים n N כך שקיימת התאמה חח"ע בין לבין הקבוצה תיקרא אין סופית אם לא קיים עבורה n כזה טענה הקבוצה, N קבוצת הטבעיים, היא אינסופית לפי הגדרה 1 צ"ל להראות שלא קיים סופית ושקיים n N כך שקיימת התאמה חח"ע בין N } נניח בשלילה ש- ל-{ 1,,n N { } n כזה כך ש- f : 1,, n N המקסימלי מביניהם עבור 1+y לא קיים חח"ע ועל f ( 1 ),, נתבונן ב- n) f ( y ויהא x כך ש- y+1 f ( (x = כמו כן מתקיים כי { 1,, n} y+ 1 N f ולכן איננה על, בסתירה להנחה הערך הגדרה הנגזרת מהגדרה 1 f חח"ע : N היא קבוצה אינסופית אם קיימת

64 63 הגדרה 2 לקבוצה אינסופית הגדרה לפי תכונה f : קבוצה היא אינסופית אמ"מ קיימת, f ( ) חח"ע כך ש- כלומר קיימת פונקציה מ- לעצמה שהיא חח"ע אבל לא על ( N) N \{ 0} f = הוכחה שקבוצת הטבעיים Nהיא אינסופית לפי הגדרה 2: n+ f ( n) = פונקציה זו היא חח"ע, אולם תהי f : N N שתוגדר להיות 1 מסקנה f = עבור 2 קבוצות אינסופיות ו-, אם אזי קיימת פונקציה חח"ע מ- ל- שאיננה על טענה (בלא הוכחה) כל ההגדרות לקבוצה אין סופית שקולות משפט f היא אינסופית אם היא קבוצה אינסופית, אזי מתקיימות הטענות הבאות: כל קבוצה המקיימת היא קבוצה אינסופית 1 : כל קבוצה שעבורה קיימת פונקציה חח"ע 2 כל קבוצה שעבורה קיימת פונקציה על הקבוצה f : P( ) היא אינסופית לכל קבוצה לא ריקה, הקבוצה עבור כל קבוצה, הקבוצה היא אינסופית היא אינסופית היא אינסופית לכל קבוצה לא ריקה, הקבוצה (קבוצת הפונקציות מ- ל- ) היא אינסופית

65 הוכחות 1 f f : נתון ש- היא אינסופית ומכאן שקיימת חח"ע ולא על נשתמש ב- כדי להגדיר פונקציה אל מ- שהיא חח"ע ולא על 6 על פי טענה 1 מתקיים כי היא אינסופית מכיוון ש- ) ( יתקיים ש- ) P( f : P 4 נוכיח שקיימת פונקציה חח"ע ואז על פי טענה 2 היא אינסופית ( ) { }, a - פונקציה חח"ע צריך להתאים כל איבר ב- לתת קבוצה שונה של נבחר: f a = a מ- ל- ) P( נסיק ש- f : 5 נוכיח שקיימת פונקציה חח"ע ועל פי 2 הינה אינסופית נבחר איבר a, f ( a) = f ( a, b) כלשהו b השייך ל- (קיים כזה), 7 ( נוכיח שקיימת פונקציה חח"ע מ- ל- לפי 2 נקבל ש- (לקבוצת הפונקציות מ- אל הינה אינסופית צריך להתאים לכל איבר ב- פונקציה שונה מ- ל- b, g ( b) = a, g : a a g a נבחר a, f ( a) = ga כאשר מוגדרת כך: משפט * Σ שפה תהי Σ אם Σ φ אזי הינה קבוצה אינסופית Σ * Σ מוגדרת להיות קבוצת כל המילים הסופיות הנבנות מאותיות כדי להוכיח משפט זה, מספיק שנראה כי קיימת f חח"ע : N Σ *

66 64 קבוצה בת מניה סימון N =ℵ 0 נסמן את העוצמה של קבוצת הטבעיים הגדרה f נאמר שקבוצה היא בת מניה אם קיימת פונקציה חח"ע : N ℵ 0 הגדרה שקולה: קבוצה היא בת מניה אם היא סופית או שגודלה הוא הערה חשובה: במקומות רבים בספרות, כולל בגירסה הקודמת של מסמך זה, קבוצה בת מניה מוגדרת ℵ 0 עניין זה הוא עניין של מוסכמה בלבד כקבוצה אינסופית בלבד שגודלה =ℵ 0 קבוצה אינסופית תיקרא בת מניה אם כיצד מוכיחים שקבוצה אינסופית היא בת מניה? מציגים התאמה חח"ע בין לקבוצה שידוע שהיא בת מניה מציגים פונקציה חח"ע מ- לקבוצה כלשהי בת מניה ופונקציה חח"ע מקבוצה בת מניה כלשהי ל ומשתמשים במשפט CS (יוצג בהמשך) מציגים מניה של אברי שמקיימת: א לפני כל איבר נמצא מספר סופי של איברים ב כל איבר נמצא במקום כלשהו במניה (כל איבר נספר)

67 דוגמא Z N נטען: Zהינה בת מניה ננסה למצוא מניה נסיון ראשון:,3-,2-,1-,,0,1,2 סדר זה איננו ספירה טובה, כי לפני המספר 1 עומדים אינסוף איברים נסיון שני: k k נשים לב שזוהי למעשה התאמה חד חד ערכית בשלב ה- k של המניה סופרים את ואת x Z x כל איבר x נספר בשלב ה- וכל שלב אורכו לכל היותר 2, לכן כל מספר מופיע בסידרה כשלפניו מספר סופי של איברים גם אם קיימת עבור קבוצה מניה עם חזרות איננו נמצאים בבעיה כי קיימת עבורה גם מניה בלי חזרות מעבר ממניה עם חזרות למיניה בלי חזרות בצורה פשוטה: מתקדמים לפי הסדר שקבענו אם האיבר הנוכחי כבר נספר, לא נספור אותו שוב אחרת נספור אותו משפט k i= 1 i תהינה,, 1 k מניה הוא בן מניה קבוצות בנות מניה, אזי הינו בן מניה איחוד של מספר סופי של קבוצות בנות הוכחה: אם כל הקבוצות סופיות, ראינו שאיחוד סופי של קבוצות סופיות הוא סופי נתעניין לכן במקרה בו לפחות אחת הקבוצות הינה אינסופית, ומכאן שהאיחוד כולו הוא אינסופי נבנה טבלה בה בעמודה יהיו הקבוצות השונות ובתוך הטבלה יהיו האיברים השונים של הקבוצות: { a,} { a,} k = = = { a,} k

68 k כל שלב הוא לכל היותר באורך =i 1,, k aij בשלב ה- j נספור את כל האיברים מהצורה i= 1 i כל איבר יופיע בסדרה ולפניו מספר סופי של איברים ולכן הינו בן מניה משפט (בלא הוכחה) איחוד של מספר בן מניה של קבוצות בנות מניה הוא בן מניה טענה בת מניה אם ו- בנות מניה, אזי טענה a, b N, a b - הרציונליים החיוביים - בת מניה + Q אם נצליח לספור את החיוביים, נוכל לספור גם את השליליים ניצור טבלה: /1 1/2 1/3 1/4 1/5 2 2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 3 3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 4 4/1 4/2 4/3 4/4 4/5 5 5/1 5/2 5/3 5/4 5/5 ישנם מספרים שמופיעים כמה פעמים - למשל - כל האלכסון הראשי בשלב ה-, k > 1, k נספור את כל המספרים מהצורה כאלו) כל מספר מהצורה a b כך ש- k+1 (ישנם a+ b= k a+ יספר בשלב ה- b a b קיים שלב כזה! זוהי ספירה עם חזרות מספרים

69 דוגמא שפה סופית (קבוצה סופית של אותיות) קבוצת המילים הסופיות מעל Σ היא בת מניה תהי Σ סקיצה להוכחה: מספר המילים באורך k כלשהו הקיימות הינו k Σ נגדיר מניה בה בשלב ה- k נספור את כל המילים באורך נכונה k כל שלב בספירה הוא סופי ולכן הטענה דוגמא Σ תהי Σ קבוצה בת מניה של אותיות נטען: קבוצת המילים הסופיות מעל היא בת מניה פתרון: עבור כל תא במילה יש אין סוף אפשרויות לאותיות לכן אי אפשר להשתמש בדרך פתרון הקודמת - בשלב ה- 1 k, נספור את כל המילים באורך קטן שווה, k k שהאותיות בהן הן מהקבוצה { a0, a1,, a k 1} k i= 1 k i כמה מילים כאלו יש? נוכיח שכל מילה נספרת בספירה זו תהיי מילה k k נסתכל על האות שבה האינדקס הוא מקסימלי יהי s האינדקס המילה תיספר 1 2 k r בשלב שהוא המקסימום בין ל- s+1 r

70 טענה היא בת בניה אם בת מניה ו- קבוצה סופית, אזי נגדיר מניה: k } b b,, יש { 1 k בשלב ה- k נספור את כל הפונקציות מ- לקבוצה פונקציות כאלו f ( a 1 ),, f ( a n, f יהיו ) : בהינתן פונקציה ערכי הפונקציה b 1 j = f ( a ), 1 j j יהיו n r f r יהי b b,, b, i1 i2 in נביט על הערך המקסימלי מבין המקסימלי שבהם לכן נספרת בשלב ה- טענה לכל קבוצה אין סופית יש תת קבוצה בת מניה = { bi i N} נבנה קבוצה : 1= { b0, b1} ותהי b1 / 0 0 יהי = { b 0 } b 0 יהי ותהי { b } 1 = i+ 1 i i+1 b / i+1 i i יהי = i { 0 1 i נניח } b b, b,, כאשר ותהי i i כל אחת מהקבוצות היא סופית איחוד כל איברי קבוצות הוא אינסופי המניה היא הסדר בו בחרנו איברים מ- הקבוצה הזו היא עם עוצמה שווה לזו של הטבעיים משפט לכל קבוצה אינסופית יש תת קבוצות אמיתיות (תת קבוצה ממש) בעלות עוצמה שווה ל- כיוון

71 הצורה היחידה שניתן להוכיח זאת היא לקחת תת קבוצה מ- ולהוכיח שקיימת בינה לבין פונקציה חח"ע ועל אם ניקח את ונוציא ממנה רק איבר אחד, נקבל קבוצה בעלת אותה עוצמה הוכחה g /{ b } : 0 i תהיי בת מניה i N}, = { b ותהי i 1} = { b i N, נבנה העתקה בין שתי הקבוצות שהיא התאמה חח"ע נבנה g חד חד ערכית ועל i /{ b 0 } אותה עוצמה נגדיר את g: היא תת קבוצה אמיתית של אם נצליח למצוא g כמבוקש נראה כי ל- /{ b 0 יש ול } x x / g ( x) = bi+ 1 x ( x bi ) מסקנה חשובה אם ניקח קבוצה אינסופית ונוציא ממנה מספר סופי של איברים, נשמור על עוצמת הקבוצה מסקנה ללא הוכחה אם ניקח קבוצה מעוצמה גבוהה, ונוציא מספר איברים מעוצמה נמוכה יותר, העוצמה תישמר דוגמא תהי קבוצת הווקטורים האינסופיים מעל Nכך שלכל n N סכום האיברים במקומות n+ n, n+ 1,, הינו 21 מהי עוצמת הקבוצה?

72 נשים לב שהגדרת 6 המקומות הראשונים בווקטור מגדירה את שאר האיברים שלו באופן יחיד, ולכן הקבוצה הינה קבוצה סופית, ומספר איבריה, העוצמה שלה הוא ( )

73 דוגמא נניח שאנו מבצעים את הניסוי הבא: מטילים מטבע עד שמקבלים H בפעם הראשונה נגדיר את הקבוצה O: } תוצאות הניסוי { = O נוכיח כי O היא קבוצה בת מניה f נגדיר : N O בצורה באה: ( ) ( ) ( ) f 0 = H f 1 = T, H f n = T,, T, H n times f נשים לב: אם f היא על אזי O היא בת מניה (סופית או אינסופית) בנוסף, אם חח"ע אזי O אינסופית ניתן לראות בנקל כי הפונקציה שהגדרנו היא חח"ע, אולם פונקציה זו איננה על לניסוי,T,T, T, שהוא ניסוי חוקי, אין מקור כדי להפוך פונקציה זו לעל נגדיר אותה מחדש: ( ) ( ) ( ) ( ) f 0 = T, T, f 1 = H f 2 = T, H f n+ 1 = T,, T, H n times השיטה בה השתמשו כדי להפוך את הפונקציה לעל היא שימושית ומכונה לעתים "תרגיל המלון האינסופי" מקור השם הוא בתרגיל המחשבתי הבא: זוג מגיע לבית מלון בעל אינסוף חדרים, אולם אומרים להם שכל החדרים תפוסים, והשאלה היכן למקם את בני הזוג? הפתרון: כל דייר שכבר נמצא במלון יעבור לחדר הבא (דייר מחדר 1 יעבור לחדר 2 וכו'), ואז חדר מספר 1 יהיה פנוי עבור הזוג הרעיון באופן כללי: כיצד נוכיח שאיחוד של קבוצה סופית וקבוצה בת מניה הינו בן מניה? הפתרון: נשים את הקבוצה הסופית בהתחלת הספירה, ואת הקבוצה האינסופית אחריה

74 65 משפט קנטור 651 הגדרות הגדרה 1:1 f : אם קיימת נאמר ש- במילים אחרות, נאמר כי אם העוצמה של קטנה או שווה לעוצמה של הגדרה אם אבל נאמר ש- דוגמאות 1 n< m {,,, }, {,,, } = a a a = b b b 1 2 n 1 2 m יהיו הקבוצות כך שמתקיים אזי 2 תהי קבוצה סופית מתקיים: N ראינו שלא קיימת פונקציה f : N חח"ע ועל 3 P( ) לכל קבוצה מתקיים כי f ( x) = { x} והיא f P 1:1 קיימת הפונקציה ) ( :

75 652 קבוצות שאינן בנות מניה שיטת הליכסון של קנטור f ( ) P ( ) f : נראה כי קיימת קבוצה P תהי f פונקציה שאינה מתקבלת כתמונה של f : P( ) ומכאן שכל פונקציה, f אחד מאיברי, כלומר ) f ( איננה על ניתן להציג את f בצורת הטבלה הבאה: a 1 a a 2 3 a 4 f ( a 1) f ( a 2) f ( a 3) ( 4) f a ( a j, f ( ak) ) (מניחים כי הקבוצה בת מניה כי אחרת לא ניתן לרשום אותה בטבלה כנ"ל) a ( ) f a 1 1 ( a1, f ( a1) במקום ה- ) נרשום 1 אם נרשום 1 אם ו- 0 אחרת או 0 אחרת באופן כללי: במקום ה- a j ( ) f a k דוגמא f {,,, } = a a a a תהי הקבוצה ותהי שמוגדרת כך: ( 1) = φ, ( 2) = { 1, 3} ( ) = {,, } ( ) = φ f a f a a a f a a a a f a

76 נכתוב את f בטבלה: f ( a 1) f ( a 2) f ( a 3) f ( a 4 ) a a a a f כל עמודה בטבלה מגדירה תת קבוצה של f מציאת שאיננה מתקבלת על ידי שקולה למציאת עמודה שאיננה מופיעה בטבלה נמצא עמודה שתהיה שונה מכל עמודה אחרת העמודה השונה מכל העמודות טבלה היא העמודה המתקבלת על ידי היפוך העמודות באלכסון a ( ) f a 1 1 כלומר, אם נרשום 1 אחרת נרשום 0 וכך הלאה: f ( a 1) f ( a 2) f ( a 3) f ( a 4 ) a a a a באופן כללי, העמודה השונה מכל עמודה אחרת בעמודה ה- i היא שונה לפחות באיבר ה- i טכניקה זו שימושית בעזרתה מוכיחים שקבוצות אינן בנות מניה

77 653 משפט קנטור P( ) לכל קבוצה, אינה שקולה ל-( P( כלומר: לכל קבוצה מתקיים כי הוכחה ולאחר מכן אנו צריכים ההוכחה צריכה לכלול שני מרכיבים: ראשית עלינו לראות כי ( )P להוכיח כי הקבוצות אינן שקולות ולכן נותר להוכיח רק את השקילות ראינו קודם במסמך זה כי ( )P f ( ) P ( ) f : לשם כך נראה שלכל פונקציה P קיימת קבוצה שאינה מתקבלת כתמונה f : P( ) ומכאן שכל פונקציה, f של אחד מאיברי, כלומר ) f ( איננה על נוכיח את הטענה עבור כל קבוצה בת מניה (סופית או אינסופית) f ( ) f : תהי P פונקציה נגדיר את באופן הבא: a f ( a) a f a, מתקיים לכל f ( x) = f f ( ) x נראה כי, f כלומר לא קיים נבחין בין שני מקרים: כך ש- f ( ) ( ) f x x x f x f ( ) ( ) f x x x f x f f 1 2 לכן לכל פונקציה קיימת שאיננה מתקבלת על ידי ומכאן ש- f איננה על f f f מסקנה ממשפט קנטור הקבוצה (N )P איננה בת מניה

78 מסקנה 2 ( ) ( ) P P( ) אנו יכולים לקבל סידרה אינסופית עולה של עוצמות: N N P N מכאן נובע שיש מספר אינסופי של עוצמות 66 עוצמת הרצף 661 השערת הרצף שאלה?N P( N) האם קיימת קבוצה המקיימת P( ) השערת הרצף אומרת שאין קבוצה כזו ייתרה מכך, לכל קבוצה לא קיימת להשערה זו אין הוכחה אומרים שלא ניתן להוכיח אותה בעזרת הכלים של תורת הקבוצות 662 עוצמת הרצף הבחנה 2 N 2 N איננה קבוצת בת מניה הבחנה זו נכונה לפי משפט קנטור היא קבוצת החזקה של המספרים הטבעיים כמו כן, ניתן לזהות אותה עם קבוצת הווקטורים הבינאריים האינסופיים הגדרה, 2 N תכונה עוצמת רצף עוצמת קבוצת החזקה של הטבעיים,

79 הגדרה חלופית העוצמה של קבוצת המילים הבינריות האינסופיות נקראת עוצמת רצף היא זהה לעוצמה של קבוצת המספרים הממשיים סימון סימון לעוצמת רצף: = מספרים ממשיים 0 x i 9 נסתכל על הקטע [0,1] נטען כי קבוצת המספרים בקטע זה איננה בת מניה 0 כאשר x1x2 כל מספר בקטע בין 0 ל- 1 יכול להיות מיוצג בצורה הבאה: x3 g נכתוב אותה: נניח שקיימת [0,1] N : g(0) = 0 x g(1) = 0 x g( i) = 0 x i0 x x x x x x i1 i2 y= 0 y y y y i x ii g משל נבנה את המספר y: המספר הזה לא יתקבל על ידי ההוכחה במקרה זה לא מושלמת, יש בה בעיה הבעיה נובעת מהאופי של המספרים הממשיים למשל, 09999=1 יש מספרים שיש להם יותר מייצוג אחד המספר = זוהי בעייה שלא הייתה לנו במילים הבינריות האינסופיות לכן נוסיף דרישה נוספת למספר y y= y y y, y x, y {0,9} i ii i

80 הדרישה נובעת רק מהאופי של המספרים הממשיים טענה [ a, b] = ( a, b) = ( a, נטען: [b f :[0,1] [0, a] f ( x) = ax f :[0, a] [ x, x+ a] f ( y) = x+ y נפצל את ההוכחה למספר חלקים טענה: עוצמת הקטע [a,0] היא עוצמת הרצף [ x, x+ טענה: עוצמת הקטע [a היא רצף מסקנה שכבר הוכחנו ברגע זה: עוצמת כל קטע כלשהו על המספרים הממשיים היא עוצמת רצף f : (0,1) (1, ) 1 f ( x) = x ( 1, ) עכשיו נרצה לעבור לקטע אינסופי מכאן העוצמה של הקטע (0,1) זהה לעוצמה של הקטע ( 2,2) = (, ברור וטריויאלי כי ) (0, = 0,2) ( ומכאן ) שזה זהה לפי הטענה ההתחלתית ( 0,1) = (, ל- ( תרגיל ~ הוכח: = { b b תהא הקבוצה הבאה: } ווקטור בינארי אינסופי { } * b= b b b, b 0, f :, f b כאשר: ( ) = ( b, b ) צ"ל קיומה של פונקציה חח"ע ועל נבחר את הפונקציה הבאה: ונגדיר: b = b b b, b = b b b

81 - 81 -

82 f ( b) f ( x) f ( b) f ( x) ולכן b x x צ"ל: כך ש- b f ( b) f ( x) x b ואז i / 2 i / 2 b, x x b ולכן נראה כי פונקציה זו הינה חח"ע: יהיו מהנתון: קיים i כך ש b x אם i זוגי אזי x b ואז i ( i ) ( i ) 1 / 2 1 / 2 i אם i אי זוגי אזי ( ) = ( c, d) f b ( ) = ( c, d) f b b צריך למצוא ( c, d) נראה כי f נבחר את הינה על יהי =b לפי הגדרת c d c d כך שיתקיים f מתקיים: b להיות הווקטור הבא: סימון { and is function} = f f { 0,1} N : את אוסף הפונקציות מ- אל נסמן ב- { 0,1} N את האינסופיים נסמן לעתים ב- 2 N ניתן להסתכל על כאוסף כל הווקטורים הבינאריים משפט P( ) ~ 2 לכל קבוצה מתקיים כי f ( ) = g { 0,1} ניתן להסתכל על הטענה כהתאמת אוסף כל הפונקציות מ- נראה פונקציה חח"ע ועל מ- ( )P אל ( נגדיר ), ל- : 2 עבור כל ) P( g ( x) 1 = 0 x else { 0,1} היא פונקציה מ- אל המוגדרת כך: g χ פונקציה זו נקראת הפונקציה האופיינית של היא מסומנת לעתים גם ניתן לראות בקלות כי f הינה חח"ע ועל

83 67 משפט קנטור ברנשטיין 671 מוטיבציה השתמשנו ביחס בדיון על עוצמות אנו רוצים להראות כי יחס זה הוא יחס שימושי, שיש סיבה למעשה שהגדרנו אותו נרצה לראות כי יחס זה הוא יחס סדר ניתן להוכיח בקלות כי הוא רפלקסיבי וטרנזיטיבי משפט קנטור ברנשטיין שנראה מיד יוכיח כי הוא גם אנטי-סימטרי 672 ניסוח 1 לכל 2 קבוצות ו- : g : שהיא 1:1 וגם קיימת פונקציה f : אם קיימת פונקציה שהיא 1:1, אזי קיימת התאמה חח"ע בין ל- 673 ניסוח 2 ~ לכל שתי קבוצות וגם אזי מתקיים כי אם מתקיים כי,,

84 674 טענה 1 * * m N = Q, Q = m, n N, n 0 n n 1:1 * n N, f ( n) =, f : N Q 1 m 1:1 * m n m * Q, g = 2 3, G : Q N n n נוכיח על ידי משפט קנטור ברנשטיין: 675 טענה 2 P( ) נטען: R = N ההוכחה תעשה בשני שלבים: ( 0,1 ) ~ P( N) ( 0,1 ) ~R 1 נראה כי 2 נראה כי ( N) ( ) f ( ) P( N) : 0,1 1 מספיק למצוא יובטח לנו קיום פונקציה חח"ע ו- g : P 0,1 חח"ע ולפי משפט קנטור-ברנשטיין 9 r i { 0,,9} : 0,1 h חח"ע ועל ובמספר אין סדרת ( ) P( N) ( ) 0,1 r, r= 0 r r כאשר i מתקיים ( ) = {,10 +,100 +,} f r r r r f : f בהינתן אינסופית, נגדיר את בצורה הבאה: r ויתקיים: i s i r קיים נראה כי f חח"ע: יהיו שני מספרים s i 1 1 i i ( ) ( ) 10 + r f r,10 + r f s i

85 , g כך ש: ( ) = b1b 2b3 0 נגדיר את g : g בהינתן N בצורה הבאה: b i 2 = 0 i else b c כך ש-, חח"ע: בהינתן C N באחת מהן יש איבר שאין בשניה g b i = 2, c = 0 i, i C ואז i בלי הגבלת הכלליות נאמר כי וגם ואז המספר הממשי המייצג אותם שונה g את φ P( N) ( ) 0? לא, ולכן נגדיר עבור 0000= = ) φ g( האם 0,1 לכאורה 0 באופן מפורש, לדוגמא = 03 ) φ g( ( ) 2 צריך להראות ש- R~ 0,1 נגדיר פונקציה f בצורה הבאה: f ( x) 1 1 x + x x+ 1 = 1 1 x x < x+ 1 ניתן לראות כי פונקציה זו הינה חח"ע ועל

86 7 קבוצות אינדוקטיביות 71 סגירות תחת פונקציות 711 הגדרת סגירות תחת פונקציה ( ) 0 f a a 0 f : 0 נאמר ש- סגורה תחת הפונקציה אם לכל מתקיים k -מקומית) אם לכל k f : 0 נאמר ש- סגורה תחת הפונקציה (פונקציה ( ) f a, a,, ak ak a, a,, מתקיים דוגמא f : 2 תהי Z Z פונקצית החיבור f קבוצת המספרים הזוגיים הינם סגורים תחת f וקבוצת המספרים האי זוגיים אינם סגורים תחת 713 הגדרת סגירות תחת קבוצת פונקציות 0 סגורה 0 תהא F קבוצת פונקציות נאמר ש- סגורה תחת אם לכל f מתקיים כי F F תחת f

87 714 טענה 1 F 1, 2 תהי F קבוצת פונקציות מעל ותהיינה תת קבוצות של שסגורות תחת F 1 2 אזי: סגורה תחת הוכחה f F F כדי להראות ש- סגורה תחת נראה כי החיתוך סגור תחת כל 1 2 ( ) f a, a,, ak נניח ש- f היא פונקציה k מקומית a, a,, ak צ"ל: יהיו a, a,, ak a, a,, ak מתקיים: וגם לפי הגדרת החיתוך ( ) f a, a,, ak ( ) f a, a,, ak ( ) f a, a,, ak מתקיים: וגם ולכן 715 טענה 2 F תהי קבוצת פונקציות מעל ותהי קבוצה של תתי קבוצו של הסגורות מעל F F מתקיים: הקבוצה גם סגורה תחת

88 72 עיצוב מילים 721 בנאים של קבוצות בנאים של קבוצות הינו עקרון שלפיו בונים קבוצות מקבוצות נתונות לדוגמא: עבור כל קבוצה נוכל ליצור את הקבוצה { } עבור כל קבוצה נוכל ליצור את הקבוצה { } עבור כל קבוצה נוכל ליצור את הקבוצה P( ), עבור כל קבוצה וקבוצה נוספת נוכל ליצור את הקבוצה? F יהי F עקרון בונה קבוצות האם קיימת { F( ) is a group} התשובה: לא ההוכחה דומה להוכחה של הוכחת אי קיום קבוצת כל הקבוצות קבוצה אוניברסלית עבור 722 עקרון הסגירות עקרון זה מאפשר לנו לקחת קבוצת בסיס ולסגור תחתיה פעולות תהי C קבוצה של בנאים עקרון הסגירות אומר כי לכל קבוצה C סופית ולכל קבוצה קיימת קבוצה כך ש: 1 2 סגורה תחת F C לכל, F

89 723 הגדרת אוסף מילים ( ) =, S α α תהי Σ קבוצה של אותיות נגדיר בנאים עבור כל α Σ בצורה הבאה: α Σ S α וגם φ לפי עקרון הסגירות קיימת קבוצה עבורה סגורה תחת לכל { X : X is -closed} * Σ = Σ נגדיר את אוסף כל המילים מעל Σ בצורה הבאה: * Σ S α s α נסמן: היא ההגבלה של המוכלת על הקבוצה { a, 724 מילים מעל {b a, Σ= { מתקיים: תהי {b ε מכונה המילה הריקה ומסומנת על ידי } φ,a b} * המילה a מסמל את המילה המכילה את האות sa ( ε) b מסמל את המילה המכילה את האות sb ( ε) a b a ( b( )) באופן דומה, S S φ מסמל את המילה המכילה את האות שלאחריה האות b a w a ( ), ( ) s w s w b באופן כללי מסמלים את המילים המכילות את המילה או ואחריה בהתאמה ( ), ( ) s w = wa s w = wb a b נסמן:

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור הרצאה מס' 1. תורת הקבוצות. מושגי יסוד בתורת הקבוצות.. 1.1 הקבוצה ואיברי הקבוצות. המושג קבוצה הוא מושג בסיסי במתמטיקה. אין מושגים בסיסים יותר, אשר באמצעותם הגדרתו מתאפשרת. הניסיון והאינטואיציה עוזרים להבין

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשעד פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. לכל אחת מן הפונקציות הבאות, קבעו אם היא חח"ע ואם היא על (הקבוצה המתאימה) (א) 3} {1, 2, 3} {1, 2, : f כאשר 1 } 1, 3, 3, 3, { 2, = f לא חח"ע: לדוגמה

Διαβάστε περισσότερα

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חח"ע ועל מכיוון שהיא מוגדרת ע"י. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חח"ע אז ועל פי הגדרת

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חחע ועל מכיוון שהיא מוגדרת עי. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חחע אז ועל פי הגדרת הרצאה 7 יהיו :, : C פונקציות, אז : C חח"ע ו חח"ע,אז א אם על ו על,אז ב אם ( על פי הגדרת ההרכבה )( x ) = ( )( x x, כךש ) x א יהיו = ( x ) x חח"ע נקבל ש מכיוון ש חח"ע נקבל ש מכיוון ש ( b) = c כך ש b ( ) (

Διαβάστε περισσότερα

Logic and Set Theory for Comp. Sci.

Logic and Set Theory for Comp. Sci. 234293 - Logic and Set Theory for Comp. Sci. Spring 2008 Moed A Final [partial] solution Slava Koyfman, 2009. 1 שאלה 1 לא נכון. דוגמא נגדית מפורשת: יהיו } 2,(p 1 p 2 ) (p 2 p 1 ).Σ 2 = {p 2 p 1 },Σ 1 =

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעב (2012) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur

פתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur פתרון תרגיל --- 5 מרחבים וקטורים דוגמאות למרחבים וקטורים שונים מושגים בסיסיים: תת מרחב צירוף לינארי x+ y+ z = : R ) בכל סעיף בדקו האם הוא תת מרחב של א } = z = {( x y z) R x+ y+ הוא אוסף הפתרונות של המערכת

Διαβάστε περισσότερα

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם תזכורת: פולינום ממעלה או מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה p f ( m i ) = p m1 m5 תרגיל: נתון עבור x] f ( x) Z[ ראשוני שקיימים 5 מספרים שלמים שונים שעבורם p x f ( x ) f ( ) = נניח בשלילה ש הוא

Διαβάστε περισσότερα

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים קבוצות של מספרים ממשיים צעד ראשון להצטיינות קבוצה היא אוסף של עצמים הנקראים האיברים של הקבוצה אנו נתמקד בקבוצות של מספרים ממשיים בדרך כלל מסמנים את הקבוצה באות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים.

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. א{ www.sikumuna.co.il מהי קבוצה? קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. קבוצה היא מושג יסודי במתמטיקה.התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם. העצמים הנמצאים בקבוצה הם איברי הקבוצה.

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעד (2014) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( ) ... חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה נפריד למקרים:

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשעו ( ) ... חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה נפריד למקרים: לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( 2016 2015 )............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה.1

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשעו (2016) לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה 1. עבור

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 נושאי התרגול: פונקציות 1 פונקציות הגדרה 1.1 פונקציה f מ A (התחום) ל B (הטווח) היא קבוצה חלקית של A B המקיימת שלכל a A קיים b B יחיד כך ש. a, b f a A.f (a) = ιb B. a, b f או, בסימון

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד ... ( ) ( ) ( ) = L. uuruuruur. { v,v,v ( ) ( ) ( ) ( )

פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד ... ( ) ( ) ( ) = L. uuruuruur. { v,v,v ( ) ( ) ( ) ( ) פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד a d U c M ( יהי b (R) a b e ל (R M ( (אין צורך להוכיח). מצאו קבוצה פורשת ל. U בדקו ש - U מהווה תת מרחב ש a d U M (R) Sp,,, c a e

Διαβάστε περισσότερα

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012)

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 6 נושא: תחשיב הפסוקים: הפונקציה,val גרירה לוגית, שקילות לוגית 1. כיתבו טבלאות אמת לפסוקים הבאים: (ג) r)).((p q) r) ((p r) (q p q r (p

Διαβάστε περισσότερα

חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א'

חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א' מד''ח 4 - חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א' ( u) u u u < < שאלה : נתונה המד''ח הבאה: א) ב) ג) לכל אחד מן התנאים המצורפים בדקו האם קיים פתרון יחיד אינסוף פתרונות או אף פתרון אם קיים פתרון אחד או יותר

Διαβάστε περισσότερα

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות Mthemtics, Summer 20 / Exercise 3 Notes תרגיל 3 משפטי רול ולגראנז הערות. האם קיים פתרון למשוואה + x e x = בקרן )?(0, (רמז: ביחרו x,f (x) = e x הניחו שיש פתרון בקרן, השתמשו במשפט רול והגיעו לסתירה!) פתרון

Διαβάστε περισσότερα

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות זו לזו נקרא h באיור שלעיל, הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים, וכן הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים. תכונות ה כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. 1. כל שתי צלעות נגדיות

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית,

תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס תורת הקבוצות (80200) באוניברסיטה העברית, תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו. סודר באמצעות L

Διαβάστε περισσότερα

{ : Halts on every input}

{ : Halts on every input} אוטומטים - תרגול 13: רדוקציות, משפט רייס וחזרה למבחן E תכונה תכונה הינה אוסף השפות מעל.(property המקיימות תנאים מסוימים (תכונה במובן של Σ תכונה לא טריביאלית: תכונה היא תכונה לא טריוויאלית אם היא מקיימת:.

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות חיים שרגא רוזנר כ"ה בניסן, תשע"ה תזכורות תקציר איזומורפיזם סדר, רישא, טרנזיטיביות, סודרים, השוואת סודרים, סודר עוקב, סודר גבולי. 1. טרנזיטיבות וסודרים קבוצה A היא טרנזיטיבית

Διαβάστε περισσότερα

gcd 24,15 = 3 3 =

gcd 24,15 = 3 3 = מחלק משותף מקסימאלי משפט אם gcd a, b = g Z אז קיימים x, y שלמים כך ש.g = xa + yb במלים אחרות, אם ה כך ש.gcd a, b = xa + yb gcd,a b של שני משתנים הוא מספר שלם, אז קיימים שני מקדמים שלמים כאלה gcd 4,15 =

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות.

תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות. תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות. A = 1,4,7,17,20 B = 1, a, b, c 2 נאמר ש x שייך ל A ונסמן x A אם x הוא

Διαβάστε περισσότερα

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות 1. מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית קנונית לפסוקים הבאים: (ג)

Διαβάστε περισσότερα

= 2. + sin(240 ) = = 3 ( tan(α) = 5 2 = sin(α) = sin(α) = 5. os(α) = + c ot(α) = π)) sin( 60 ) sin( 60 ) sin(

= 2. + sin(240 ) = = 3 ( tan(α) = 5 2 = sin(α) = sin(α) = 5. os(α) = + c ot(α) = π)) sin( 60 ) sin( 60 ) sin( א. s in(0 c os(0 s in(60 c os(0 s in(0 c os(0 s in(0 c os(0 s in(0 0 s in(70 מתאים לזהות של cos(θsin(φ : s in(θ φ s in(θcos(φ sin ( π cot ( π cos ( 4πtan ( 4π sin ( π cos ( π sin ( π cos ( 4π sin ( 4π

Διαβάστε περισσότερα

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ משוואות רקורסיביות הגדרה: רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים למשל: T = Θ 1 if = 1 T + Θ if > 1 יונתן יניב, דוד וייץ 1 דוגמא נסתכל על האלגוריתם הבא למציאת

Διαβάστε περισσότερα

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V )

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V ) הצגות של חבורות סופיות c ארזים 6 בינואר 017 1 משפט ברנסייד משפט 1.1 ברנסייד) יהיו p, q ראשוניים. תהי G חבורה מסדר.a, b 0,p a q b אזי G פתירה. הוכחה: באינדוקציה על G. אפשר להניח כי > 1 G. נבחר תת חבורה

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 התרגיל להגשה עד יום חמישי (12.12.14) בשעה 16:00 בתא המתאים בבניין מתמטיקה. נא לא לשכוח פתקית סימון. 1. עבור כל אחד מתת המרחבים הבאים, מצאו בסיס ואת המימד: (א) 3)} (0, 6, 3,,

Διαβάστε περισσότερα

גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות

גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות 08 005 שאלה גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות f ( ) f ( ) g( ) f ( ) ו- lim f ( ) ו- ( ) (00) lim ( ) (00) f ( בסביבת הנקודה (00) ) נתון: מצאו ) lim g( ( ) (00) ננסה להיעזר בכלל הסנדביץ לשם כך

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 נושאי התרגול: תורת הגרפים. 1 מושגים בסיסיים נדון בגרפים מכוונים. הגדרה 1.1 גרף מכוון הוא זוג סדור E G =,V כך ש V ו E. V הגרף נקרא פשוט אם E יחס אי רפלקסיבי. כלומר, גם ללא לולאות.

Διαβάστε περισσότερα

x a x n D f (iii) x n a ,Cauchy

x a x n D f (iii) x n a ,Cauchy גבולות ורציפות גבול של פונקציה בנקודה הגדרה: קבוצה אשר מכילה קטע פתוח שמכיל את a תקרא סביבה של a. קבוצה אשר מכילה קטע פתוח שמכיל את a אך לא מכילה את a עצמו תקרא סביבה מנוקבת של a. יהו a R ו f פונקציה מוגדרת

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. 16 במאי 2010 נסמן את מחלקת הצמידות של איבר בחבורה G על ידי } g.[] { y : g G, y g כעת נניח כי [y] [] עבור שני איברים, y G ונוכיח כי [y].[] מאחר והחיתוך

Διαβάστε περισσότερα

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח.

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח. 1 תשע'א תירגול 8 אלגברה לינארית 1 טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של וקטור אם הוכחה: חד חד ערכית ויהי כך ש מכיוון שגם נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח

Διαβάστε περισσότερα

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יח"ל

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יחל סדרות - הכנה לבגרות 5 יח"ל 5 יח"ל סדרות - הכנה לבגרות איברים ראשונים בסדרה) ) S מסמן סכום תרגיל S0 S 5, S6 בסדרה הנדסית נתון: 89 מצא את האיבר הראשון של הסדרה תרגיל גוף ראשון, בשנייה הראשונה לתנועתו עבר

Διαβάστε περισσότερα

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A )

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A ) הסתברות למתמטיקאים c ארזים 3 במאי 2017 1 תוחלת מותנה הגדרה 1.1 לכל משתנה מקרי X אינטגרבילית ותת סיגמא אלגברה G F קיים משתנה מקרי G) Y := E (X המקיים: E (X1 A ) = E (Y 1 A ).G מדיד לפי Y.1.E Y

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים תרגולמס 5

מודלים חישוביים תרגולמס 5 מודלים חישוביים תרגולמס 5 30 במרץ 2016 נושאי התרגול: דקדוקים חסרי הקשר. למת הניפוח לשפות חסרות הקשר. פעולות סגור לשפות חסרות הקשר. 1 דקדוקים חסרי הקשר נזכיר כי דקדוק חסר הקשר הוא רביעיה =(V,Σ,R,S) G, כך

Διαβάστε περισσότερα

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק יום א 14 : 00 15 : 00 בניין 605 חדר 103 http://u.cs.biu.ac.il/ brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק 29/11/2017 1 הגדרת קבוצת הנוסחאות הבנויות היטב באינדוקציה הגדרה : קבוצת הנוסחאות הבנויות

Διαβάστε περισσότερα

אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר ע"י החמישייה:

אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר עי החמישייה: 2 תרגול אוטומט סופי דטרמיניסטי אוטומטים ושפות פורמליות בר אילן תשעז 2017 עקיבא קליינרמן הגדרה אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר ע"י החמישייה: (,, 0,, ) כאשר: א= "ב שפת הקלט = קבוצה סופית לא ריקה של מצבים מצב

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות אביבתשס ז מבחןסופי מועדב בהצלחה!

לוגיקה ותורת הקבוצות אביבתשס ז מבחןסופי מועדב בהצלחה! הטכניון מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה למדעי המחשב 24/10/2007 מרצה: פרופ אורנה גרימברג מתרגלים: גבי סקלוסוב,קרן צנזור,רותם אושמן,אורלי יהלום לוגיקה ותורת הקבוצות 234293 אביבתשס ז מבחןסופי מועדב הנחיות: משךהבחינה:

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה פרק 12: שקילות מצבים וצמצום מכונות לעי תים קרובות, תכנון המכונה מתוך סיפור המעשה מביא להגדרת מצבים יתי רים states) :(redundant הפונקציה שהם ממלאים ניתנת להשגה באמצעו ת מצבים א חרים. כיוון שמספר רכיבי הזיכרון

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות בפברואר 2012 תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012

תורת הקבוצות בפברואר 2012 תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012 תורת הקבוצות 80200 אור דגמי, ÓÖ Ñ ºÓÖ 11 בפברואר 2012 אתר אינטרנט: ØØÔ»» Ñ ºÓÖ תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012 1 תוכן עניינים תוכן עניינים תוכן עניינים מבוא.............................................

Διαβάστε περισσότερα

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות 25 בדצמבר 2016 תזכורת: תהי ) n f ( 1, 2,..., פונקציה המוגדרת בסביבה של f. 0 גזירה חלקית לפי משתנה ) ( = 0, אם קיים הגבול : 1 0, 2 0,..., בנקודה n 0 i f(,..,n,).lim

Διαβάστε περισσότερα

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 1 מערכת המספרים השלמים בשיעור הקרוב אנו נעסוק בקבוצת המספרים השלמים Z עם הפעולות (+) ו ( ), ויחס סדר (>) או ( ). כל התכונות הרגילות והידועות של השלמים מתקיימות: חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות),

Διαβάστε περισσότερα

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx דפי נוסחאות I גבולות נאמר כי כך שלכל δ קיים > ε לכל > lim ( ) L המקיים ( ) מתקיים L < ε הגדרת הגבול : < < δ lim ( ) lim ורק ( ) משפט הכריך (סנדוויץ') : תהיינה ( ( ( )g ( )h פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל בית 6 מבוא לתורת החבורות סמסטר א תשע ז

פתרון תרגיל בית 6 מבוא לתורת החבורות סמסטר א תשע ז פתרון תרגיל בית 6 מבוא לתורת החבורות 88-211 סמסטר א תשע ז הוראות בהגשת הפתרון יש לרשום שם מלא, מספר ת ז ומספר קבוצת תרגול. תאריך הגשת התרגיל הוא בתרגול בשבוע המתחיל בתאריך ג טבת ה תשע ז, 1.1.2017. שאלות

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה.

חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה. חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה. מרצה: למברג דן תוכן העניינים 3 מספרים ממשיים 1 3.................................. סימונים 1. 1 3..................................

Διαβάστε περισσότερα

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012 אינפי - תרגול 4 3 בינואר 0 רציפות במידה שווה הגדרה. נאמר שפונקציה f : D R היא רציפה במידה שווה אם לכל > 0 ε קיים. f(x) f(y) < ε אז x y < δ אם,x, y D כך שלכל δ > 0 נביט במקרה בו D הוא קטע (חסום או לא חסום,

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשעד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, 635865 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1. סדרה חשבונית שיש בה n איברים...2 3. האיבר

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה רלציונית ניר אדר

אלגברה רלציונית ניר אדר גירסה.0 0.3.00 אלגברה רלציונית מסמך זה הורד מהאתר. אין להפיץ מסמך זה במדיה כלשהי, ללא אישור מפורש מאת המחבר. מחבר המסמך איננו אחראי לכל נזק, ישיר או עקיף, שיגרם עקב השימוש במידע המופיע במסמך, וכן לנכונות

Διαβάστε περισσότερα

תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות

תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות. פתרו את המשוואות הבאות. לא מספיק למצוא פתרון אחד יש למצוא את כולם! sin ( π (א) = x sin (ב) = x cos (ג) = x tan (ד) = x) (ה) = tan x (ו) = 0 x sin (x) + sin (ז) 3 =

Διαβάστε περισσότερα

רשימת משפטים והגדרות

רשימת משפטים והגדרות רשימת משפטים והגדרות חשבון אינפיניטיסימאלי ב' מרצה : למברג דן 1 פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסויים הגדרה 1.1. (פונקציה קדומה) יהי f :,] [b R פונקציה. פונקציה F נקראת פונקציה קדומה של f אם.[, b] גזירה ב F

Διαβάστε περισσότερα

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה.

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה. בחינת סיווג במתמטיקה.9.017 פתרונות.1 סדרת מספרים ממשיים } n {a נקראת מונוטונית עולה אם לכל n 1 מתקיים n+1.a n a האם הסדרה {n a} n = n היא מונוטונית עולה? הוכיחו תשובתכם. הסדרה } n a} היא אכן מונוטונית

Διαβάστε περισσότερα

תרגול 1 חזרה טורי פורייה והתמרות אינטגרליות חורף תשע"ב זהויות טריגונומטריות

תרגול 1 חזרה טורי פורייה והתמרות אינטגרליות חורף תשעב זהויות טריגונומטריות תרגול חזרה זהויות טריגונומטריות si π α) si α π α) α si π π ), Z si α π α) t α cot π α) t α si α cot α α α si α si α + α siα ± β) si α β ± α si β α ± β) α β si α si β si α si α α α α si α si α α α + α si

Διαβάστε περισσότερα

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1 1 טורים כלליים 1. 1 התכנסות בהחלט מתכנס. מתכנס בהחלט אם n a הגדרה.1 אומרים שהטור a n משפט 1. טור מתכנס בהחלט הוא מתכנס. הוכחה. נוכיח עם קריטריון קושי. יהי אפסילון גדול מ- 0, אז אנחנו יודעים ש- n N n>m>n

Διαβάστε περισσότερα

תרגול פעולות מומצאות 3

תרגול פעולות מומצאות 3 תרגול פעולות מומצאות. ^ = ^ הפעולה החשבונית סמן את הביטוי הגדול ביותר:. ^ ^ ^ π ^ הפעולה החשבונית c) #(,, מחשבת את ממוצע המספרים בסוגריים.. מהי תוצאת הפעולה (.7,.0,.)#....0 הפעולה החשבונית משמשת חנות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר

אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר דקדוק חסר הקשר דקדוק חסר הקשר הנו רביעיה > S

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי 1

חשבון אינפיניטסימלי 1 חשבון אינפיניטסימלי 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ צליל סלע בקורס "חשבון אינפיניטסימלי 1" (80131) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו.

Διαβάστε περισσότερα

ניתן לקבל אוטומט עבור השפה המבוקשת ע "י שימוששאלה 6 בטכניקתשפה המכפלה שנייה כדי לבנות אוטומט לשפת החיתוך של שתי השפות:

ניתן לקבל אוטומט עבור השפה המבוקשת ע י שימוששאלה 6 בטכניקתשפה המכפלה שנייה כדי לבנות אוטומט לשפת החיתוך של שתי השפות: שאלה 1 בנה אוטומט המקבל את שפת כל המילים מעל הא"ב {,,} המכילות לפחות פעם אחת את הרצף ומיד אחרי כל אות מופיע הרצף. ניתן לפרק את השפה לשתי שפות בסיס מעל הא"ב :{,,} שפת כל המילים המכילות לפחות פעם אחת את

Διαβάστε περισσότερα

. {e M: x e} מתקיים = 1 x X Y

. {e M: x e} מתקיים = 1 x X Y שימושי זרימה פרק 7.5-13 ב- Kleinberg/Tardos שידוך בגרף דו-צדדי עיבוד תמונות 1 בעיית השידוך באתר שידוכים רשומים m נשים ו- n גברים. תוכנת האתר מאתרת זוגות מתאימים. בהינתן האוסף של ההתאמות האפשריות, יש לשדך

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב הרצאות

לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב הרצאות לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב הרצאות גדי אלכסנדרוביץ' תוכן עניינים 2..................................................... מבוא 1 3.................................... תורת הקבוצות הנאיבית מושגי יסוד

Διαβάστε περισσότερα

סיכום לינארית 1 28 בינואר 2010 מרצה: יבגני סטרחוב מתרגלת: גילי שול אין המרצה או המתרגלת קשורים לסיכום זה בשום דרך.

סיכום לינארית 1 28 בינואר 2010 מרצה: יבגני סטרחוב מתרגלת: גילי שול אין המרצה או המתרגלת קשורים לסיכום זה בשום דרך. סיכום לינארית 28 בינואר 2 מרצה: יבגני סטרחוב מתרגלת: גילי שול אין המרצה או המתרגלת קשורים לסיכום זה בשום דרך הערות יתקבלו בברכה nogarotman@gmailcom תוכן עניינים 3 מבוא והגדרות בסיסיות 6 שדות 7 המציין של

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 1 יובל קפלן

אלגברה לינארית 1 יובל קפלן אלגברה לינארית 1 יובל קפלן מחברת סיכום הרצאות ד"ר אלי בגנו בקורס "אלגברה לינארית 1" (80134) באוניברסיטה העברית, 7 2006 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו סודר

Διαβάστε περισσότερα

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m Observabiliy, Conrollabiliy תרגול 6 אובזרווביליות אם בכל רגע ניתן לשחזר את ( (ומכאן גם את המצב לאורך זמן, מתוך ידיעת הכניסה והיציאה עד לרגע, וזה עבור כל צמד כניסה יציאה, אז המערכת אובזרוובילית. קונטרולביליות

Διαβάστε περισσότερα

co ארזים 3 במרץ 2016

co ארזים 3 במרץ 2016 אלגברה לינארית 2 א co ארזים 3 במרץ 2016 ניזכר שהגדרנו ווקטורים וערכים עצמיים של מטריצות, והראינו כי זהו מקרה פרטי של ההגדרות עבור טרנספורמציות. לכן כל המשפטים והמסקנות שהוכחנו לגבי טרנספורמציות תקפים גם

Διαβάστε περισσότερα

logn) = nlog. log(2n

logn) = nlog. log(2n תכנוןוניתוחאלגוריתמים סיכוםהתרגולים n log O( g( n)) = Ω( g( n)) = θ ( g( n)) = תרגול.3.04 סיבוכיות { f ( n) c> 0, n0 > 0 n> n0 0 f ( n) c g( n) } { f ( n) c> 0, n0 > 0 n> n0 0 c g( n) f ( n) } { f ( n)

Διαβάστε περισσότερα

c ארזים 15 במרץ 2017

c ארזים 15 במרץ 2017 הסתברות למתמטיקאים c ארזים 15 במרץ 2017 הקורס הוא המשך של מבוא להסתברות שם דיברנו על מרחבים לכל היותר בני מניה. למשל, סדרת הטלות מטבע בלתי תלויות היא דבר שאי אפשר לממש במרחב בן מניה נסמן את התוצאה של ההטלה

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית (1) - פתרון תרגיל 11

אלגברה לינארית (1) - פתרון תרגיל 11 אלגברה לינארית ( - פתרון תרגיל דרגו את המטריצות הבאות לפי אלגוריתם הדירוג של גאוס (א R R4 R R4 R=R+R R 3=R 3+R R=R+R R 3=R 3+R 9 4 3 7 (ב 9 4 3 7 7 4 3 9 4 3 4 R 3 R R3=R3 R R 4=R 4 R 7 4 3 9 7 4 3 8 6

Διαβάστε περισσότερα

מינימיזציה של DFA מינימיזציה של הקנוני שאותה ראינו בסעיף הקודם. בנוסף, נוכיח את יחידות האוטומט המינימלי בכך שנראה שכל אוטומט על ידי שינוי שמות

מינימיזציה של DFA מינימיזציה של הקנוני שאותה ראינו בסעיף הקודם. בנוסף, נוכיח את יחידות האוטומט המינימלי בכך שנראה שכל אוטומט על ידי שינוי שמות מינימיזציה של DFA L. הוא אוטמומט מינימלי עבור L של שפה רגולרית A ראינו בסוף הסעיף הקודם שהאוטומט הקנוני קיים A DFA בכך הוכחנו שלכל שפה רגולרית קיים אוטומט מינמלי המזהה אותה. זה אומר שלכל נקרא A A לאוטומט

Διαβάστε περισσότερα

i שאלות 8,9 בתרגיל 2 ( A, F) אלגברת יצירה Α היא זוג כאשר i F = { f קבוצה של פונקציות {I קבוצה לא ריקה ו A A n i n i מקומית מ ל. A נרשה גם פונקציות 0 f i היא פונקציה n i טבעי כך ש כך שלכל i קיים B נוצר

Διαβάστε περισσότερα

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 בבעיותמינימום מקסימוםישלחפשאתנקודותהמינימוםהמוחלטוהמקסימוםהמוחלט. בשאלות מינימוםמקסימוםחובהלהראותבעזרתטבלה אובעזרתנגזרתשנייהשאכן מדובר עלמינימוםאומקסימום. לצורךקיצורהתהליך,

Διαβάστε περισσότερα

3-9 - a < x < a, a < x < a

3-9 - a < x < a, a < x < a 1 עמוד 59, שאלהמס', 4 סעיףג' תיקוני הקלדה שאלון 806 צריך להיות : ג. מצאאתמקומושלאיברבסדרהזו, שקטןב- 5 מסכוםכלהאיבריםשלפניו. עמוד 147, שאלהמס' 45 ישלמחוקאתהשאלה (מופיעהפעמיים) עמוד 184, שאלהמס', 9 סעיףב',תשובה.

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6

אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6 אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6 15 בינואר 016 1. יהי F שדה ויהיו q(x) p(x), שני פולינומים מעל F. מצאו פולינומים R(x) S(x), כך שמתקיים R(x),p(x) = S(x)q(x) + כאשר deg(q),deg(r) < עבור המקרים הבאים: (תזכורת:

Διαβάστε περισσότερα

תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית

תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית אנליזה נומרית 0211 סתיו - תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית נרצה לפתור את מערכת המשוואות יהי פתרון מקורב של נגדיר את השארית: ואת השגיאה: שאלה 1: נתונה מערכת המשוואות הבאה: הערך את השגיאה היחסית

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשס"ט

אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשסט 467 אלגברה א', סמסטר חורף תשס"ט, פתרונות לשיעורי הבית, עמוד מתוך 6 467 אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשס"ט תוכן עניינים : גליון שדות... גליון מרוכבים 7... גליון מטריצות... גליון 4 דירוג,

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 1. המערכת הלא הומוגנית גם כן. יתרה מזאת כל פתרון של (A b) הוא מהצורה c + v כאשר v פתרון כלשהו של המערכת ההומוגנית

אלגברה לינארית 1. המערכת הלא הומוגנית גם כן. יתרה מזאת כל פתרון של (A b) הוא מהצורה c + v כאשר v פתרון כלשהו של המערכת ההומוגנית אלגברה לינארית 1 Uטענה U: אם c פתרון של המערכת (A b) ו v פתרון של המערכת (0 A) אזי c + v פתרון של המערכת הלא הומוגנית גם כן. יתרה מזאת כל פתרון של (A b) הוא מהצורה c + v כאשר v פתרון כלשהו של המערכת ההומוגנית

Διαβάστε περισσότερα

חישוביות הרצאה 4 לא! זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה: הגדרת! : f r

חישוביות הרצאה 4 לא! זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה: הגדרת! : f r ל' ' פונקציות פרימיטיביות רקורסיביות חישוביות הרצאה 4 האם כל פונקציה מלאה היא פרימיטיבית רקורסיבית? לא נראה שתי הוכחות: פונקציות רקורסיביות (המשך) זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה קיומית: קיימות פונקציות

Διαβάστε περισσότερα

s ק"מ קמ"ש מ - A A מ - מ - 5 p vp v=

s קמ קמש מ - A A מ - מ - 5 p vp v= את זמני הליכת הולכי הרגל עד הפגישות שלהם עם רוכב האופניים (שעות). בגרות ע מאי 0 מועד קיץ מבוטל שאלון 5006 מהירות - v קמ"ש t, א. () נסמן ב- p נכניס את הנתונים לטבלה מתאימה: רוכב אופניים עד הפגישה זמן -

Διαβάστε περισσότερα

חידה לחימום. כתבו תכappleית מחשב, המקבלת כקלט את M ו- N, מחליטה האם ברצוappleה להיות השחקן הפותח או השחקן השappleי, ותשחק כך שהיא תappleצח תמיד.

חידה לחימום. כתבו תכappleית מחשב, המקבלת כקלט את M ו- N, מחליטה האם ברצוappleה להיות השחקן הפותח או השחקן השappleי, ותשחק כך שהיא תappleצח תמיד. חידה לחימום ( M ש- N > (כך מספרים טבעיים Mו- N שappleי appleתוappleים בעלי אותה הזוגיות (שappleיהם זוגיים או שappleיהם אי - זוגיים). המספרים הטבעיים מ- Mעד Nמסודרים בשורה, ושappleי שחקappleים משחקים במשחק.

Διαβάστε περισσότερα

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות 1 מוטיבציה למשפט הקיום והיחידות אנו יודעים לפתור משוואות דיפרנציאליות ממחלקות מסוימות, כמו משוואות פרידות או משוואות לינאריות. עם זאת, קל לכתוב משוואה דיפרנציאלית

Διαβάστε περισσότερα

תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות

תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות תורת המספרים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב 017 1 פירוק לגורמים ראשוניים 1.1 הגדרות חוג A C נקראת חוג אם: היא מכילה את 0 ואת 1 סגורה תחת חיבור, חיסור, וכפל הפיך A חוג. a A נקרא הפיך אם 0,a.a 1 A קבוצת

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות

הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות אלגוריתמים חמדניים אלגוריתם חמדן, הוא כזה שבכל צעד עושה את הבחירה הטובה ביותר האפשרית, ולא מתחרט בהמשך גישה זו נראית פשטנית מדי, וכמובן שלא תמיד היא נכונה, אך במקרים רבים היא מוצאת פתרון אופטימאלי בתרגול

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2 אלגברה ליניארית א' פתרון 3 4 3 3 7 9 3. נשתמש בכתיבה בעזרת מטריצה בכל הסעיפים. א. פתרון: 3 3 3 3 3 3 9 אז ישנו פתרון יחיד והוא = 3.x =, x =, x 3 3 הערה: אפשר גם לפתור בדרך קצת יותר ארוכה, אבל מבלי להתעסק

Διαβάστε περισσότερα

xpy xry & ~yrx xiy xry & yrx

xpy xry & ~yrx xiy xry & yrx האם קיים קשר בין העדפה ובחירה? ההנחה שקיים קשר הדוק בין מערכת ההעדפות של היחידה הכלכלית ובין התנהגותה המתבטאת בבחירה בין האפשרויות העומדות בפניה מקובלת מאד בתיאוריה הכלכלית. למעשה הנחת העבודה הבלעדית בניתוח

Διαβάστε περισσότερα

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R תרגילים בתורת החשמל כתה יג שאלה א. חשב את המתח AB לפי משפט מילמן. חשב את הזרם בכל נגד לפי המתח שקיבלת בסעיף א. A 60 0 8 0 0.A B 8 60 0 0. AB 5. v 60 AB 0 0 ( 5.) 0.55A 60 א. פתרון 0 AB 0 ( 5.) 0 0.776A

Διαβάστε περισσότερα

אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק ראשון

אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק ראשון גירסה 1. 11.11.22 אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק ראשון מסמך זה הינו הראשון בסדרת מסמכים אודות תורת הגרפים, והוא חופף בחלקו לקורס "אלגוריתמים בתורת הגרפים" בטכניון (שאינו מועבר יותר). ברצוני להודות תודה מיוחדת

Διαβάστε περισσότερα

פולינומים אורתוגונליים

פולינומים אורתוגונליים פולינומים אורתוגונליים מרצה: פרופ' זינובי גרינשפון סיכום: אלון צ'רני הקורס ניתן בסמסטר אביב 03, בר אילן פולינומים אורתוגונאליים תוכן עניינים תאריך 3.3.3 הרצאה מרחב מכפלה פנימית (הגדרה, תכונות, דוגמאות)

Διαβάστε περισσότερα

סרוקל רזע תרבוח 1 ילמיסיטיפניא ןובשח

סרוקל רזע תרבוח 1 ילמיסיטיפניא ןובשח חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 עמוד חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 תוכן העניינים נושא עמוד נושא כללי 3 רציפות זהויות טריגונומטריות 4

Διαβάστε περισσότερα

(ספר לימוד שאלון )

(ספר לימוד שאלון ) - 40700 - פתרון מבחן מס' 7 (ספר לימוד שאלון 035804) 09-05-2017 _ ' i d _ i ' d 20 _ i _ i /: ' רדיוס המעגל הגדול: רדיוס המעגל הקטן:, לכן שטח העיגול הגדול: / d, לכן שטח העיגול הקטן: ' d 20 4 D 80 Dd 4 /:

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית מטריצות מטריצות הפיכות

אלגברה לינארית מטריצות מטריצות הפיכות מטריצות + [( αij+ β ij ] m λ [ λα ij ] m λ [ αijλ ] m + + ( + +C + ( + C i C m q m q ( + C C + C C( + C + C λ( ( λ λ( ( λ (C (C ( ( λ ( + + ( λi ( ( ( k k i חיבור מכפלה בסקלר מכפלה בסקלר קומוטטיב אסוציאטיב

Διαβάστε περισσότερα

סיכום אינפי 2 19 ביוני 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין

סיכום אינפי 2 19 ביוני 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין סיכום אינפי 2 9 ביוני 200 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין אין המרצה או המתרגלים קשורים לסיכום זה בשום דרך. סוכם ע"י נגה רוטמן בשעות לא הגיוניות בעליל,

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 7

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 7 אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 7 2 1 1 1 0 1 1 0 1 0 2 1 1 0 1 0 2 1 2 1 1 0 2 1 0 1 1 3 1 2 3 1 2 0 1 5 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 4 0 0 0.1 עבור :A לכן = 3.rkA עבור B: נבצע פעולות עמודה אלמנטריות

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה מתמטית הוא התחום במתמטיקה שחוקר בצורה מדויקת מושגים כמו טענה ו- הוכחה. על מנת לספק מוטיבציה, נתבונן בשתי דוגמאות היסטוריות.

לוגיקה מתמטית הוא התחום במתמטיקה שחוקר בצורה מדויקת מושגים כמו טענה ו- הוכחה. על מנת לספק מוטיבציה, נתבונן בשתי דוגמאות היסטוריות. לוגיקה מתמטית משה קמנסקי 1. מבוא לוגיקה מתמטית הוא התחום במתמטיקה שחוקר בצורה מדויקת מושגים כמו טענה ו- הוכחה. על מנת לספק מוטיבציה, נתבונן בשתי דוגמאות היסטוריות. 1.1. גאומטריית המישור. אוקלידס רצה לדעת

Διαβάστε περισσότερα

אינפי 1 פרופ י. בנימיני אביב תש ע

אינפי 1 פרופ י. בנימיני אביב תש ע אינפי 1 פרופ י. בנימיני אביב תש ע ברשימות ראשוניות אלה יש בוודאי שגיאות רבות: טעויות דפוס, אי בהירויות ואפילו טעויות מתמטיות. תודתי נתונה מראש לכל מי שיעביר אלי הערות ותיקונים מכל סוג. בכתיבת הרשימות נעזרתי

Διαβάστε περισσότερα

ניהול תמיכה מערכות שלבים: DFfactor=a-1 DFt=an-1 DFeror=a(n-1) (סכום _ הנתונים ( (מספר _ חזרות ( (מספר _ רמות ( (סכום _ ריבועי _ כל _ הנתונים (

ניהול תמיכה מערכות שלבים: DFfactor=a-1 DFt=an-1 DFeror=a(n-1) (סכום _ הנתונים ( (מספר _ חזרות ( (מספר _ רמות ( (סכום _ ריבועי _ כל _ הנתונים ( תכנון ניסויים כאשר קיימת אישביעות רצון מהמצב הקיים (למשל כשלים חוזרים בבקרת תהליכים סטטיסטית) נחפש דרכים לשיפור/ייעול המערכת. ניתן לבצע ניסויים על גורם בודד, שני גורמים או יותר. ניסויים עם גורם בודד: נבצע

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: כמתים והצרנות. משתנים קשורים וחופשיים. 1 כמתים והצרנות בתרגול הקודם עסקנו בתחשיב הפסוקים, שבו הנוסחאות שלנו היו מורכבות מפסוקים יסודיים (אשר קיבלו ערך T או F) וקשרים.

Διαβάστε περισσότερα

חדוו"א 2 סיכום טענות ומשפטים

חדווא 2 סיכום טענות ומשפטים חדוו"א 2 סיכום טענות ומשפטים 3 ביוני 2 n S(f, T ) := (t k+ t k ) inf k= סכום דרבו תחתון מוגדר על ידי [t k,t k+ ] f אינטגרל רימן חלוקות של קטע חלוקה של קטע [,] הינה אוסף סדור סופי של נקודות מהצורה: טענה.2

Διαβάστε περισσότερα

1 סכום ישר של תת מרחבים

1 סכום ישר של תת מרחבים אלמה רופיסה :הצירטמ לש ןדרו'ג תרוצ O O O O O O ןאבצ זעוב סכום ישר של תת מרחבים פרק זה כולל טענות אלמנטריות, שהוכחתן מושארת לקורא כתרגיל הגדרה: יהיו V מרחב וקטורי, U,, U k V תת מרחבים הסכום W U + U 2 +

Διαβάστε περισσότερα

מבני נתונים ואלגוריתמים תרגול #11

מבני נתונים ואלגוריתמים תרגול #11 מבני נתונים ואלגוריתמים תרגול # התאמת מחרוזות סימונים והגדרות: P[,,m] כך Σ * טקסט T )מערך של תווים( באורך T[,,n] n ותבנית P באורך m ש.m n התווים של P ו T נלקחים מאלפבית סופי Σ. לדוגמא: {a,b,,z},{,}=σ.

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב 2011 2010 פרופ' יעקב ורשבסקי אסף כץ 15//11 1 סמל לזנדר יהי מספר שלם קבוע, ו K שדה גלובלי המכיל את חבורת שורשי היחידה מסדר µ. תהי S קבוצת הראשוניים הארכימדיים

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11 אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11.1 K α : F איזומורפיזם של שדות. א. טענה 1 :.α(0 F ) = 0 K עלינו להוכיח כי לכל,b K מתקיים.b + α(0 F ) = α(0 F ) + b = b עבור b K (כיוון ש α חח"ע ועל), קיים ויחיד x F כך ש.α(x)

Διαβάστε περισσότερα