Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση II

Transcript

1 . Ο Συντελεστής Προσδιορισμού Η γραμμή Παλινδρόμησης στο δείγμα, αποτελεί μία εκτίμηση της γραμμής παλινδρόμησης στον πληθυσμό. Αν και από τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων προκύπτουν εκτιμητές που έχουν ορισμένες επιθυμητές ιδιότητες, η γραμμή παλινδρόμησης στο δείγμα δεν παύει να υπόκειται σε σφάλματα. Το ερώτημα που τίθεται, είναι πόσο καλοί είναι οι συντελεστές 0 και, και τί κριτήρια μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε για να αξιολογήσουμε τα αποτελέσματα της εκτιμήσεως. Στο υπόδειγμα 0 u που περιγράφει τη σχέση που συνδέει δύο οικονομικές μεταβλητές και, ο όρος 0 αποτελεί το συστηματικό μέρος, ενώ το u, παριστάνει το διαταρακτικό ή τυχαίο όρο. Με άλλα λόγια, μέρος της μεταβλητότητας (variaion) που παρατηρείται στις τιμές της οφείλεται στις μεταβολές της μεταβλητής, δηλαδή στο συστηματικό μέρος, και μέρος στις επιδράσεις των τυχαίων παραγόντων. Με τη γραμμή παλινδρόμησης 0 προσπαθούμε να ερμηνεύσουμε τη μεταβλητότητας της που εξηγείται από τις μεταβολές στην τιμή της, δηλαδή από τη γραμμή της παλινδρομήσεως. Το ερώτημα είναι πόση είναι η μεταβλητότητα της που εξηγείται από την παλινδρόμηση και πόση μένει ανεξήγητη, οφείλεται δηλαδή στους τυχαίους παράγοντες. Η μεταβλητότητα της ορίζεται ως το άθροισμα των τετραγώνων των αποκλίσεων των παρατηρήσεων της, από το μέσο τους. Δηλαδή Μεταβλητότητα της (Toal Sum of Squares): y SST u, όπου Καθώς όμως, y Η απόκλιση της τιμής του δείγματος από τον μέσο y Η απόκλιση της υπολογισμένης τιμής από τον μέσο u Η απόκλιση της τιμής του δείγματος από τη γραμμή της παλινδρόμησης προκύπτει τελικά ότι

2 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση SST - + u των Επομένως, η συνολική μεταβλητότητα SST της, ισούται με το άθροισμα τετραγώνων των αποκλίσεων των υπολογισμένων τιμών της από τον μέσο τους το άθροισμα u των τετραγώνων των καταλοίπων. y Ο όρος u Ο όρος Συνεπώς: είναι η μεταβλητότητα της που εξηγείται από την παλινδρόμηση, δηλαδή από τις τιμές της και συμβολίζεται με SSR (Regression Sum of Squares) είναι η το μέρος της μεταβλητότητας της που παραμένει ανεξήγητο, και συμβολίζεται με SSE (Error Sum of Squares) u 8 SST = SSR + SSE Μαρίνα Σύρπη

3 3 Η αναλογία της μεταβλητότητας της εξαρτημένης μεταβλητής που ερμηνεύεται από την παλινδρόμηση ονομάζεται συντελεστής προσδιορισμού (coefficien of deerminaion) και παριστάνεται με R R. Δηλαδή SSR SST y y 9 Για τον συντελεστή προσδιορισμού ισχύει ότι: 0 R Ο συντελεστής προσδιορισμού μας δίνει το ποσοστό της μεταβλητότητας της που εξηγείται από την παλινδρόμηση, δηλαδή το ποσοστό της μεταβλητότητας της που ερμηνεύεται από την. Όσο μεγαλύτερος είναι ο R τόσο καλύτερη είναι η εκτιμώμενη γραμμή της παλινδρόμησης, από την άποψη ότι είναι, πράγματι, η μεταβλητή που εξηγεί την συμπεριφορά της Κατά το μεγαλύτερο μέρος της, και όχι κάποιο άλλο παράγοντες. Αντίθετα, αν ο συντελεστής προσδιορισμού είναι μικρός, σημαίνει ότι η ερμηνευτική μεταβλητή που χρησιμοποιήσαμε στο μοντέλο για να προσδιορίσουμε την συμπεριφορά της είναι μια επιλογή λανθασμένη ή ελλιπής. Αυτό συμβαίνει γιατί στην περίπτωση αυτή, το μεγαλύτερο ποσοστό της μεταβλητότητας της «κρύβεται» στο SSE. Όπως όμως είναι γνωστό, τα κατάλοιπα είναι μια συνάθροιση των σφαλμάτων που οφείλονται στους τυχαίους απρόβλεπτους παράγοντες, και στις μεταβλητές που παραλείπονται ή σκόπιμα δεν περιλαμβάνονται στο μοντέλο μας. Έτσι, το μεγαλύτερο μέρος της συμπεριφοράς της, όπως αυτή προσδιορίζεται από το μοντέλο μας, παραμένει ανερμήνευτο. Για παράδειγμα, αν R 0,9, λέμε ότι η μεταβλητή ερμηνεύει το 9% της μεταβλητότητας της, που σημαίνει ότι το μοντέλο που χρησιμοποιεί την ως ανεξάρτητη μεταβλητή, προσεγγίζει με πολύ μεγάλη ακρίβεια την συμπεριφορά της. Αντίθετα, αν για παράδειγμα R 0,4, λέμε ότι η μεταβλητή ερμηνεύει το 4% της μεταβλητότητας της. Το υπόλοιπο 58% της μεταβλητότητας της οφείλεται σε άλλους παράγοντες και παραμένει ανερμήνευτο. Επομένως, η μεταβλητή, είτε δεν μπορεί από μόνη της να προσδιορίσει την συμπεριφορά της, είτε είναι μία λανθασμένη επιλογή. Σημειώσεις Ποσοτικών Μεθόδων

4 4 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Ο Συντελεστής Συσχέτισης Ως μέτρο της γραμμικής συσχέτισης δύο τυχαίων μεταβλητών, χρησιμοποιείται ο συντελεστής συσχέτισης,, που ορίζεται ως: όπου Η συνδιακύμανση των και Η τυπική απόκλιση της Η τυπική απόκλιση της Ο συντελεστής συσχέτισης είναι μια άγνωστη παράμετρος του πληθυσμού. Ως εκτιμητής του, χρησιμοποιείται ο συντελεστής συσχέτισης του δείγματος, που ορίζεται ως: r xy x y 0 Κάποιες από τις ιδιότητες του συντελεστή συσχέτισης είναι οι παρακάτω:. Μπορεί να είναι θετικός ή αρνητικός. Το πρόσημο εξαρτάται από το πρόσημο του αριθμητή, που μετρά τη δειγματική συνδιακύμανση των δύο μεταβλητών.. r. 3. Είναι συμμετρικός, δηλαδή ο συντελεστής συσχέτισης μεταξύ της και της r, είναι ίσος με τον συντελεστή συσχέτισης μεταξύ της και της r. 4. Αν οι και είναι στατιστικά ανεξάρτητες, τότε r 0. Δεν ισχύει, όμως, το αντίστροφο. Δηλαδή μπορεί r 0, και οι και να μήν είναι στοχαστικά ανεξάρτητες. 5. Είναι μέτρο μόνον της γραμμικής συσχέτισης ή γραμμικής εξάρτησης δύο μεταβλητών. Δεν έχει νόημα όταν η σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών δεν είναι γραμμική. Έτσι, στην περίπτωση που υπάρχει μια ακριβής σχέση της μορφής r., θα έχουμε 0 Μαρίνα Σύρπη

5 5 r r r 0 r r r 0 r 0 r 0 Σημειώσεις Ποσοτικών Μεθόδων

6 6 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Άσκηση Έστω οι ακόλουθες υποθετικές παρατηρήσεις για τη ζήτηση ενός αγαθού Α. ποσότητα σε κιλά: τιμή κιλού (σε ) 3,0 3,5 3, 3,0 4,0 3,7 ( α ) Αν η συνάρτηση ζήτησης είναι της μορφής 0 u, να εκτιμηθούν οι παράμετροι 0, με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. ( β ) Σχολιάστε τα αποτελέσματα από οικονομική άποψη (αναφερθείτε στα πρόσημα των εκτιμήσεων καθώς και στο μέγεθός τους) ( γ ) Να υπολογιστεί και να ερμηνευτεί ο συντελεστής προσδιορισμού. ( δ ) Αν η τιμή του προϊόντος γίνει 5, πόση προβλέπεται να είναι η ζήτησή του; Δίνονται: 80,4 488 xy 8 x 0,8 y 09,33 y 956,08 Λύση ( α ) T ,33 T 6 80,4 3,4 T 6 x y 8 34,5 x 0,8 0 8,33 34, 5 3, 4 538,94 Συνεπώς, η παλινδρόμηση στο δείγμα είναι: 538,94 34,5 0 ( β ) Τα πρόσημα των συντελεστών είναι τα αναμενόμενα από την οικονομική θεωρία. Δηλαδή, θετικό πρόσημα για το σταθερό όρο 0 0, και αρνητικό για το συντελεστή (Όταν η τιμή ενός προϊόντος αυξάνεται η ζήτησή του μειώνεται) Επειδή 0 538,94, γνωρίζουμε ότι, αν η τιμή του προϊόντος μηδενιστεί, η μέση ζήτησή του θα είναι περίπου 538,94 Kgr, που είναι και η μέγιστη ζήτηση. Επειδή 34,5, γνωρίζουμε ότι, αν η τιμή του προϊόντος αυξηθεί κατά, η μέση ζήτηση του προϊόντος θα μειωθεί κατά 34,5 Kgr., περίπου. Μαρίνα Σύρπη

7 7 ( γ ) ŷ, R, y 09, Επομένως, το 9,88% της μεταβλητότητας της ζήτησης του προϊόντος ερμηνεύεται από την τιμή του. Το υπόλοιπο 7,%, οφείλεται σε άλλους παράγοντες, που δεν συμπεριλήφθηκαν στο μοντέλο, και παραμένει ανερμήνευτο. Ο συντελεστής προσδιορισμού, είναι ιδιαίτερα υψηλός, επομένως το παραπάνω μοντέλο παλινδρόμησης είναι πολύ ικανοποιητικό. (δ ) Ŷ5 538,94 34,5 5 6,69 Αν η τιμή του προϊόντος γίνει 5, η μέση ζήτησή του προβλέπεται να είναι 6,69 Kgr. Άσκηση Ένα τυχαίο δείγμα 0 ατόμων έδωσε τα ακόλουθα δεδομένα σχετικά με το εισόδημά τους και τις αντίστοιχες δαπάνες τους για κατανάλωση αγαθών πολυτελείας. Οι μεταβλητές μετριούνται σε δεκάδες / εβδομάδα ( α ) Να εκτιμηθεί το υπόδειγμα 0 u, με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. ( β ) Σχολιάστε τα αποτελέσματα από οικονομική άποψη (αναφερθείτε στα πρόσημα των εκτιμήσεων καθώς και στο μέγεθός τους) ( γ ) Να υπολογιστεί και να ερμηνευτεί ο συντελεστής προσδιορισμού. ( δ ) Ποιά η προβλεπόμενη μέση κατανάλωση για αγαθά πολυτελείας ενός ατόμου με εισόδημα 500 /εβδομάδα; Δίνονται: 93 8 xy 00,70 x 99,0 y 44,90 y 39,73 Λύση ( α ) T 0 8 8, T 0 Σημειώσεις Ποσοτικών Μεθόδων

8 8 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση 93 9,3 T 0 x y 70 0, x 99,0 8, 0, 9,3,4 0 Συνεπώς, η παλινδρόμηση στο δείγμα είναι: 0,4 0, ( β ) Τα πρόσημα των συντελεστών είναι τα αναμενόμενα από την οικονομική θεωρία. Δηλαδή, θετικό πρόσημα για το σταθερό όρο 0 0, και θετικό για το συντελεστή (όταν αυξάνεται το εισόδημα, αυξάνεται και η δαπάνη) Επειδή 0,4, γνωρίζουμε ότι, αν το εισόδημα ενός ατόμου μηδενιστεί, η μέση δαπάνη για αγαθά πολυτελείας θα είναι περίπου, 40, 4 / εβδομάδα, που είναι η ελάχιστη δαπάνη για κατανάλωση αγαθών πολυτελείας. Επειδή 0,, γνωρίζουμε ότι, αν το εισόδημα ενός ατόμου αυξηθεί κατά 0 0 /εβδομάδα η μέση δαπάνη για αγαθά πολυτελείας θα αυξηθεί κατά 0, 0 / εβδομάδα, περίπου. ( γ ) ŷ, R, y 44, Επομένως, το 88,48% της μεταβλητότητας της δαπάνης για αγαθά πολυτελείας ερμηνεύεται από το εισόδημα. Το υπόλοιπο,5 %, οφείλεται σε άλλους παράγοντες, που δεν συμπεριλήφθηκαν στο μοντέλο, και παραμένει ανερμήνευτο. Ο συντελεστής προσδιορισμού, είναι ιδιαίτερα υψηλός, επομένως το παραπάνω μοντέλο παλινδρόμησης είναι πολύ ικανοποιητικό. 500 ( δ ) ,4 0, 50,4 Αν το εισόδημα ενός ατόμου είναι 500 /εβδομάδα η μέση δαπάνη για αγαθά πολυτελείας προβλέπεται να είναι, 40, 4 /εβδομάδα Μαρίνα Σύρπη

9 9 Άσκηση 3 Σύμφωνα με την οικονομική θεωρία, οι αποταμιεύσεις μιας οικογένειας εξαρτώνται θετικά από το εισόδημά τους καθώς αύξηση στο εισόδημα συμβάλει στην αύξηση των αποταμιεύσεων. Το 003, ένα χρόνο μετά την αντικατάσταση της δραχμής από το ευρώ, ένας οικονομολόγος θέλησε να μελετήσει εμπειρικά την αποταμίευση των οικογενειών ως προς το εισόδημά τους με σκοπό να δει αν η αλλαγή του νομίσματος επέφερε ή όχι αλλαγές στη σχέση των παραπάνω μεταβλητών. Για τη μελέτη του χρησιμοποίησε δεδομένα 5 οικογενειών που επελέγησαν τυχαία. Οι μονάδες μέτρησης, για όλες τις μεταβλητές, έγιναν σε χιλιάδες ευρώ ανά έτος. Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα 5 οικογενειών που επελέγησαν τυχαία εκτίμησε, το υπόδειγμα απλής γραμμικής παλινδρόμησης 0 u ( α ) Βρείτε τους συντελεστές 0, που εκτίμησε ο οικονομολόγος. ( β ) Γράψτε το μοντέλο που εκτιμήσατε και σχολιάστε τους συντελεστές του τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά, δηλαδή εξετάστε τα πρόσημα και το μέγεθος των εκτιμήσεων και δώστε την οικονομική ερμηνεία. ( γ ) Να υπολογιστεί και να ερμηνευτεί ο συντελεστής προσδιορισμού R. ( δ ) Πιστεύετε ότι το παραπάνω υπόδειγμα ερμηνεύει ικανοποιητικά τη συμπεριφορά των αποταμιεύσεων; Αν ναι γιατί; Αν όχι, γιατί; Θα μπορούσατε να προτείνετε κάτι για τη βελτίωσή του; ( ε )Ποιά η προβλεπόμενη αποταμίευση για μια οικογένεια με ετήσιο εισόδημα, ; Δίνονται: 40 4,8 xy 3,6 x 8 y,7 y 0,7 Λύση ( α ) T 5 48, 0, 96 T T 5 xy 36, 0, 8 x 0 0, 96 0, 8 0, 96, 6 06, 4 (β) 0 0,64 0, Σημειώσεις Ποσοτικών Μεθόδων

10 0 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση ( γ ) Επειδή 0 0, 64, γνωρίζουμε ότι αν κάποιο έτος το εισόδημα της οικογένειας μηδενιστεί, οι μέσες αποταμιεύσεις εμφανίζονται αρνητικές, φτάνοντας στο ελάχιστο επίπεδο των 0, Αυτό σημαίνει ότι όταν το εισόδημα της οικογένειας μηδενίζεται χρησιμοποιούνται οι αποταμιεύσεις για να καλύψουν τις ανάγκες της οικογένειας. Επομένως, όχι μόνον δεν θα γίνει αποταμίευση αλλά χρησιμοποιηθούν από τις ήδη υπάρχουσες αποταμιεύσεις 640. Επειδή 0,, γνωρίζουμε ότι αν το εισόδημα της οικογένειας αυξηθεί κατά , οι μέσες αποταμιεύσεις θα αυξηθούν κατά 0, περίπου. ŷ, y, R, Επειδή R, 0 486, γνωρίζουμε ότι το εισόδημα ερμηνεύει το 4,86% της μεταβλητότητας της αποταμίευσης. Το υπόλοιπο 58,4% οφείλεται σε άλλους παράγοντες και δεν ερμηνεύεται από το παραπάνω μοντέλο. (δ) Η χαμηλή τιμή του συντελεστή προσδιορισμού, μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι το υπόδειγμα δεν ερμηνεύει ικανοποιητικά τη συμπεριφορά των αποταμιεύσεων. Χρειάζεται η προσθήκη και άλλων μεταβλητών και ένα μεγαλύτερο δείγμα. (ε ) ,64 0, 50 9, Μαρίνα Σύρπη

11 Άσκηση 4 Σύμφωνα με την οικονομική θεωρία, η παραγόμενη ποσότητα ενός προϊόντος, εξαρτάται θετικά από την εργασία, καθώς αύξηση των ωρών εργασίας θα οδηγήσει σε αύξηση της παραγόμενης ποσότητας. Ένας ερευνητής, θέλησε να μελετήσει εμπειρικά την παραγόμενη ποσότητα ενός συγκεκριμένου προϊόντος βιομηχανικής παραγωγής, ως προς την εργασία Για τη μελέτη του χρησιμοποίησε δεδομένα 8 επιχειρήσεων που ρωτήθηκαν μια δεδομένη χρονική στιγμή, για το ίδιο προϊόν. Η παραγόμενη ποσότητα μετρήθηκε σε μονάδες του παραγόμενου προϊόντος. Η εργασία μετρήθηκε σε εργατοώρες. Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα των 8 επιχειρήσεων που επελέγησαν τυχαία εκτίμησε, το υπόδειγμα απλής γραμμικής παλινδρόμησης 0 u ( α ) Βρείτε τους συντελεστές 0, που εκτίμησε ο οικονομολόγος. ( β ) Γράψτε το μοντέλο που εκτιμήσατε και σχολιάστε τους συντελεστές του τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά, δηλαδή εξετάστε τα πρόσημα και το μέγεθος των εκτιμήσεων και δώστε την οικονομική ερμηνεία. ( γ ) Να υπολογιστεί και να ερμηνευτεί ο συντελεστής προσδιορισμού R. (δ ) Πιστεύετε ότι το παραπάνω υπόδειγμα ερμηνεύει ικανοποιητικά τη μεταβλητότητα στην ποσότητα του παραγόμενου προϊόντος; Αν ναι γιατί; Αν όχι, γιατί; Θα μπορούσατε να προτείνετε κάτι για τη βελτίωσή του; Δίνονται: xy 585,56 x 0059, y 3409,78 y 750,54 Λύση ( α ) T , 89 T , 78 T 8 xy 585, , x, 5, 0 35, 89 0, 563, Σημειώσεις Ποσοτικών Μεθόδων

12 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση (β) 0 48,54 63,78 Επειδή 0 48, 54, γνωρίζουμε ότι αν οι ώρες εργασίας μηδενιστούν, η μέση παραγόμενη ποσότητα θα μειωθεί κατά 48,54 μονάδες, περίπου. Επειδή 0, 5 0, το πρόσημο συμφωνεί με την οικονομική θεωρία, και γνωρίζουμε ότι αν η εργασία αυξηθεί κατά εργατοώρα, η μέση παραγόμενη ποσότητα του προϊόντος θα αυξηθεί κατά μισή μονάδα, περίπου. ( γ ) ŷ, R, y 3409, 78 Επειδή R, , γνωρίζουμε ότι η εργασία ερμηνεύει το 80,67% της μεταβλητότητας του παραγόμενου προϊόντος. Το υπόλοιπο 9,33 % οφείλεται σε άλλους παράγοντες και δεν ερμηνεύεται από το παραπάνω μοντέλο. ( δ) Η σχετικά υψηλή τιμή του συντελεστή προσδιορισμού R, , μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι το υπόδειγμα ερμηνεύει ικανοποιητικά τη μεταβλητότητα του παραγόμενου προϊόντος. Το μοντέλο θα μπορούσε να βελτιωθεί ακόμη περισσότερο με την προσθήκη και επιπλέον μεταβλητών που η οικονομική θεωρία υποδεικνύει ότι συνδέονται με την ποσότητα του παραγόμενου προϊόντος, όπως για παράδειγμα το κεφάλαιο. Άσκηση 5 Από την Οικονομική Θεωρία, είναι γνωστό ότι η δηλωθείσα κατανάλωση των νοικοκυριών εξαρτάται από το δηλωθέν διαθέσιμο εισόδημα, και μάλιστα αυξάνεται όταν αυξάνεται το δηλωθέν διαθέσιμο εισόδημα. Για την ποσοτική διερεύνηση της σχέσης, της δηλωθείσας κατανάλωσης των νοικοκυριών και του δηλωθέντος διαθεσίμου εισοδήματος ένας οικονομολόγος επέλεξε ένα τυχαίο δείγμα 00 νοικοκυριών. Δίνονται: 3,5 8,5 xy 8,5 x 8,75 Η μονάδα μέτρησης είναι, χιλιάδες. ( α ) Να εκτιμηθεί το υπόδειγμα 0 u, με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. ( β ) Σχολιάστε τα αποτελέσματα από οικονομική άποψη (αναφερθείτε στα πρόσημα των εκτιμήσεων καθώς και στο μέγεθός τους). Μαρίνα Σύρπη

13 3 ( γ ) Ο συντελεστής προσδιορισμού για το γραμμικό υπόδειγμα είναι: Να σχολιάστε τον συντελεστή προσδιορισμού. R ( δ ) Ποιά η προβλεπόμενη δηλωθείσα καταναλωτική δαπάνη για ένα νοικοκυριό με δηλωθέν διαθέσιμο εισόδημα, ; 0.3 Λύση ( α ) x y 8,5 0,45 x 8, 75 8,5 0,45 3,5, 54 0 Συνεπώς, η παλινδρόμηση στο δείγμα είναι: 0,54 0,45 ( β ) Τα πρόσημα των συντελεστών είναι τα αναμενόμενα από την οικονομική θεωρία. Δηλαδή, θετικό πρόσημα για το σταθερό όρο 0 0, και θετικό για τον συντελεστή (Όταν το δηλωθέν διαθέσιμο εισόδημα αυξάνεται, αυξάνεται και η δηλωθείσα κατανάλωση) Επειδή 0,54, γνωρίζουμε ότι, αν το δηλωθέν διαθέσιμο εισόδημα μιας οικογένειας μηδενιστεί, η μέση δηλωθείσα κατανάλωση θα είναι, , περίπου. ( γ ) Επειδή 0,45, γνωρίζουμε ότι, αν το δηλωθέν διαθέσιμο εισόδημα μιας οικογένειας αυξηθεί κατά , η δηλωθείσα κατανάλωση θα αυξηθεί κατά 0, ,43 περίπου. R, 03 Επομένως, 30% της μεταβλητότητας της δηλωθείσας κατανάλωσης ερμηνεύεται από το δηλωθέν διαθέσιμο εισόδημα. Το υπόλοιπο 70%, οφείλεται σε άλλους παράγοντες, που δεν συμπεριλήφθηκαν στο μοντέλο, και παραμένει ανερμήνευτο. Ο συντελεστής προσδιορισμού, είναι πολύ χαμηλός, επομένως το παραπάνω μοντέλο παλινδρόμησης δεν είναι καθόλου ικανοποιητικό. (δ ) 50,54 0, , Σημειώσεις Ποσοτικών Μεθόδων