ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών στην Εφαρμοσμένη Στατιστική Ανάλυση εδομένων με τη Χρήση Στατιστικών Πακέτων Εισαγωγή στο R Σημειώσεις παραδόσεων ημήτριος Αντζουλάκος Πειραιάς 3 (Α Έκδοση 8)

2

3 Περιεχόμενα Εισαγωγή. Τι είναι το R.... Εγκατάσταση....3 Εκκίνηση, παράθυρα και τερματισμός του R Βοήθεια Βασικά στοιχεία σύνταξης εντολών Αποθήκευση Πακέτα Βασικές συναρτήσεις και λογικοί τελεστές....9 Ένα παράδειγμα.... Σύνοψη εντολών Κεφαλαίου... 3 Αντικείμενα Δεδομένων. Βαθμωτά αντικείμενα (scalar objects) Διανύσματα (vectors) Πίνακες (matrces) Βασικά στοιχεία Πράξεις με διανύσματα και πίνακες Πίνακες μεγαλύτερης διάστασης (arrays) Παράγοντες (factors) Λίστες (lsts) Πλαίσια δεδομένων (data frames) Σύνοψη εντολών Κεφαλαίου Γραφήματα 3. Συνάρτηση plot Συναρτήσεις χαμηλού επιπέδου Συναρτήσεις ts.plot, pars, matplot Σύνοψη εντολών Κεφαλαίου Στοιχεία Περιγραφικής Στατιστικής 4. Εισαγωγή δεδομένων από εξωτερικά αρχεία Ανάλυση δεδομένων: Μια μεταβλητή Ανάλυση δεδομένων: Περισσότερες μεταβλητές Δύο παράγοντες Ένας παράγοντας και μια μεταβλητή μετρήσεων Δύο ή περισσότερες μεταβλητές μετρήσεων Σύνοψη εντολών Κεφαλαίου

4 5 Στοιχεία Πιθανοτήτων Προσομοίωση 5. Παραγωγή τυχαίων αριθμών Κατανομές Διωνυμική κατανομή Γεωμετρική κατανομή Κανονική κατανομή Εκθετική κατανομή Κατανομή Γάμμα Κατανομή Cauchy Πολυωνυμική κατανομή Πολυδιάστατη κανονική κατανομή Σύνοψη εντολών Κεφαλαίου Θέματα Στατιστικής με το R 6. Εισαγωγή Συμπερασματολογία για ένα δείγμα Έλεγχος της μέσης τιμής ενός πληθυσμού (t-test, z-test) Έλεγχος της διακύμανσης ενός κανονικού πληθυσμού Έλεγχος της αναλογίας επιτυχιών σε ένα πληθυσμό Beroull Προσημικός έλεγχος (sg test) Έλεγχος Wlcoxo Sged-Rak Έλεγχος τυχαιότητας με το κριτήριο των ροών (Wald-Wolfowtz) Έλεγχος κανονικότητας ενός πληθυσμού Έλεγχος Kolmogorov-Smrov Άλλοι έλεγχοι κανονικότητας ενός πληθυσμού Q-Q διάγραμμα Συμπερασματολογία για δύο δείγματα Έλεγχος για τη διαφορά των μέσων τιμών δύο πληθυσμών (t-τεστ) Έλεγχος για τη διαφορά δύο μέσων τιμών με δείγματα κατά ζεύγη Έλεγχος για το συντελεστή συσχέτισης δύο μεταβλητών Έλεγχος ισότητας των διακυμάνσεων δύο πληθυσμών Έλεγχοι για αναλογίες επιτυχιών Ακριβής έλεγχος του Fsher για την ισότητα δύο αναλογιών επιτυχιών Προσεγγιστικός έλεγχος για την ισότητα δύο αναλογιών επιτυχιών Q-Q διάγραμμα για δύο δείγματα Έλεγχος Kolmogorov-Smrov Προσημικός έλεγχος με δείγματα κατά ζεύγη (sg test) Έλεγχοι Wlcoxo για δύο δείγματα Έλεγχος Wlcoxo Sged-Rak με δείγματα κατά ζεύγη... 36

5 Έλεγχος Wlcoxo Rak-Sum ή έλεγχος Ma-Whtey U Έλεγχοι χ Έλεγχος χ καλής προσαρμογής για διακριτές κατανομές Έλεγχοι ανεξαρτησίας και ομογένειας σε πίνακες συνάφειας Έλεγχος ισότητας r αναλογιών Συμπερασματολογία για k δείγματα Έλεγχος ισότητας k μέσων Aova κατά ένα παράγοντα Έλεγχος Kruskal-Walls Έλεγχος Levee για την ισότητα k διακυμάνσεων Γραμμική παλινδρόμηση Απλή γραμμική παλινδρόμηση Πολλαπλή γραμμική παλινδρόμηση Σύνοψη εντολών Κεφαλαίου Προγραμματισμός στο R 7. Βασικά στοιχεία προγραμματισμού: Ομαδοποίηση, επανάληψη, και δεσμευμένη εκτέλεση εντολών Προγραμματισμός με συναρτήσεις Εφαρμογές Σύνοψη εντολών Κεφαλαίου

6

7 . Τι είναι το R ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εισαγωγή Το R είναι ένα τρία πράγματα: ένα έργο, μια γλώσσα και ένα περιβάλλον. To R προσφέρει ένα ο- λοκληρωμένο σύνολο υπηρεσιών λογισμικού για ανάλυση δεδομένων, υπολογισμών και γραφημάτων. Το λογισμικό R γράφτηκε αρχικά από τους Ross Ihaka και Robert Getlema στα μέσα της δεκαετίας του 9 (σε αυτούς οφείλει το όνομά του). Από το 997 αναπτύσσεται από το R Developmet Core Team. Το R είναι λογισμικό ανοικτού κώδικα (ope source) και αποτελεί μέρος του έργου GNU. Σαν γλώσσα το R μπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελεί μια εφαρμογή της γλώσσας προγραμματισμού S. H γλώσσα και το περιβάλλον S αναπτύχθηκε στα Bell Laboratores (πρώην AT&T, τώρα Lucet Techologes) από τους Rck Becker, Joh Champers και Alla Wlks (το έργο ξεκίνησε το 976). Άλλες δύο (εμπορικές) εφαρμογές της γλώσσας S είναι η παλαιά S μηχανή (S verso 3; S-PLUS 3.x ad 4.x) και η νέα S μηχανή (S verso 4; S-PLUS 5.x και άνω). Όταν ρωτάμε για διαφορές μεταξύ R και S ουσιαστικά αναφερόμαστε στις διαφορές μεταξύ R και των δύο S μηχανών. Οι διαφορές είναι ελάχιστες και έτσι κώδικας που γράφεται για το R τρέχει σχεδόν αμετάβλητος και στις δύο S μηχανές. Η ιστοσελίδα του R είναι η και αποτελεί την κύρια πηγή πληροφόρησής του.. Εγκατάσταση Για να εγκαταστήσετε το R πρέπει να επισκεφτείτε κάποιο mrror του CRAN από την ιστοσελίδα Επισκεφτείτε τη διεύθυνση και στο πλαίσιο Dowload ad Istall R που εμφανίζεται επιλέξτε Dowload R for Wdows. Το έργο GNU ξεκίνησε το 984 με σκοπό την ανάπτυξη ενός ολοκληρωμένου λειτουργικού συστήματος (παρόμοιο με το Ux) το οποίο θα είναι ελεύθερο λογισμικό: το σύστημα GNU. Παραλλαγές του λειτουργικού συστήματος GNU που χρησιμοποιούν τον πυρήνα Lux χρησιμοποιούνται ευρέως στις μέρες μας. Αν και τα συστήματα αυτά αναφέρονται συνήθως με το όνομα Lux, είναι πιο ακριβές να αποκαλούνται συστήματα GNU/Lux. Η λέξη GNU είναι α- ναδρομικό ακρωνύμιο του GNU's Not Ux. Comprehesve R Archve Network Εισαγωγή στο R (3) Δημήτριος Αντζουλάκος

8 Dowload ad Istall R Precompled bary dstrbutos of the base system ad cotrbuted packages, Wdows ad Mac users most lkely wat oe of these versos of R: Dowload R for Lux Dowload R for MacOS X Dowload R for Wdows Στην οθόνη που εμφανίζεται επιλέξτε base. Subdrectores: R for Wdows base cotrb Bares for base dstrbuto (maaged by Duca Murdoch). Ths s what you wat f you stall R for the frst tme. Bares of cotrbuted packages (maaged by Uwe Lgges) Η οθόνη που εμφανίζεται έχει ως τίτλο την τρέχουσα έκδοση της γλώσσας R (στην προκειμένη περίπτωση η.4.). Επιλέξτε Dowload R.4. for Wdows και σώστε το ομώνυμο αρχείο στην επιφάνεια εργασίας σας (Desktop). R-3.. for Wdows (3/64 bt) Dowload R 3.. for Wdows (5 megabytes, 3/64 bt) Istallato ad other structos New features ths verso Τρέξτε το αρχείο R-.4.-w.exe από την επιφάνεια εργασίας σας κάνοντας διπλό κλικ πάνω του διατηρώντας τις προεπιλεγμένες επιλογές που εμφανίζονται κατά τη διάρκεια εγκατάστασης του προγράμματος (στο παράθυρο Select Compoets τικάρετε όλες τις επιλογές). Το πρόγραμμα ε- γκατάστασης δημιουργεί τον κατάλογο C:\Program Fles\R\R-.4. που η ονομασία του ποικίλει ανάλογα με την έκδοση του R που εγκαθιστάτε (στην περίπτωσή μας η.4.). Το R πρόγραμμα βρίσκεται στον κατάλογο C:\Program Fles\R\R-.4.\b\386 και φέρει το όνομα Rgu.exe 3. Επίσης δημιουργείται εικονίδιο συντόμευσης στην επιφάνεια εργασίας και ενημερώνεται και το μενού εκκίνησης των Wdows. 3 GUI: Graphcal User Iterface Εισαγωγή στο R (3) Δημήτριος Αντζουλάκος

9 .3 Εκκίνηση, παράθυρα και τερματισμός του R Ο πιο απλός τρόπος να θέσουμε σε εκκίνηση το R είναι να κάνουμε διπλό κλικ στο εικονίδιο συντόμευσής του που βρίσκεται στην επιφάνεια εργασίας. Τότε εμφανίζεται το κυρίως παράθυρο της εφαρμογής RGu με 7 μενού, μια γραμμή εργαλείων και το παράθυρο της R κονσόλας (R cosole). Στην R κονσόλα δίνονται κάποιες εισαγωγικές πληροφορίες και στο τέλος εμφανίζεται το σύμβολο υποβολής εντολών > σε κόκκινο χρώμα. Μπορούμε να διαγράψουμε το περιεχόμενο της R κονσόλας επιλέγοντας Edt>Clear Cosole. Για να εκτελεστεί μια εντολή την πληκτρολογούμε και μετά πατάμε το πλήκτρο Eter. Για παράδειγμα > +3*4 [] 4 Αν η εντολή είναι μεγάλη και δεν χωρά σε μια γραμμή ή όταν καταχωρηθεί μια μη πλήρης ε- ντολή εμφανίζεται το σύμβολο + στην επόμενη γραμμή για να καταχωρηθεί το υπόλοιπο μέρος της εντολής. Μια γραμμή μπορεί να έχει μέχρι 8 χαρακτήρες. Όταν ο όγκος των εντολών είναι μεγάλος τότε συμφέρει να εισάγονται με χρήση του παραθύρου του R συντάκτη (R Edtor) επιλέγοντας Εισαγωγή στο R (3) 3 Δημήτριος Αντζουλάκος

10 Fle>New scrpt.... To πλεονέκτημα του R συντάκτη είναι ότι μπορούμε να γράψουμε όσες εντολές θέλουμε και μετά να εκτελέσουμε όσες από αυτές θέλουμε αρκεί να τις επιλέξουμε (μαρκάρουμε) και να πατήσουμε Ctrl+R. Εναλλακτικά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το μενού Edt (Ru le or selecto, Ru all). Τα αποτελέσματα που προκύπτουν εμφανίζονται στην R κονσόλα. Μπορούμε να εμφανίζουμε στην R κονσόλα μπροστά από το σύμβολο υποβολής εντολών > όλες τις εντολές που έχουν εκτελεστεί στην R κονσόλα με τα βελάκια και. Επίσης με τα βελάκια και μπορούμε να μετακινηθούμε μέσα σε μια εντολή. Πατώντας το πλήκτρο Home (Ed) του πληκτρολογίου μας μεταφερόμαστε στην αρχή (τέλος) της γραμμής που βρισκόμαστε. Με το πλήκτρο Bakspace ή το πλήκτρο Delete διαγράφουμε τους χαρακτήρες που βρίσκονται αριστερά ή δεξιά του κέρσορα, αντίστοιχα. Αν δοθεί εντολή κατασκευής γραφήματος, το γράφημα εμφανίζεται σε ξεχωριστό παράθυρο (R γραφικά - R Graphcs). Για παράδειγμα, εκτελώντας την εντολή > curve(s(x), from=, to=*p) εμφανίζεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης s x στο διάστημα [, ]. Για να τερματίσουμε το R πληκτρολογούμε > q() (συντομογραφία της συνάρτησης qut) στην R κονσόλα, ή επιλέγουμε Fle>Ext..4 Βοήθεια Για να λάβουμε βοήθεια για τη σύνταξη και τα ορίσματα μιας συνάρτησης του R χρησιμοποιούμε τη συνάρτηση help(όνομα συνάρτησης) ή εναλλακτικά?όνομα συνάρτησης. Συνεπώς εκτελώντας την εντολή > help(curve) Εισαγωγή στο R (3) 4 Δημήτριος Αντζουλάκος

11 ή εναλλακτικά >?curve εμφανίζεται η περιγραφή, η χρήση, τα ορίσματα, λεπτομέρειες καθώς επίσης και παραδείγματα της συνάρτησης curve του πακέτου graphcs (δείτε Παράγραφο.6 για την έννοια του πακέτου). Αν δεν θυμόμαστε το πλήρες όνομα της συνάρτησης που θέλουμε να εξετάσουμε, αλλά ένα μέρος του ονόματός της, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη συνάρτηση apropos("μέρος ονόματος συνάρτησης") για να λάβουμε μια λίστα με συναρτήσεις που περιέχουν στην ονομασία τους το συγκεκριμένο μέρος του ονόματος. Για παράδειγμα > apropos("cu") [] "cummax" "cumm" "cumprod" [4] "cumsum" "curve" "cut" [7] "cut.date" "cut.default" "cut.posixt" [] "cutree" "dev.cur" "cusetcollate" [3] "s.recursve" "occupatoalstatus" Η συνάρτηση help.start ξεκινά βοήθεια για το R σε web μορφή. Επίσης, ολοκληρωμένη βοήθεια για το R είναι προσβάσιμη και μέσω του μενού Help της κύριας εφαρμογής RGu. Για να εμφανιστεί βοήθεια για τη συνάρτηση curve ακολουθούμε τη διαδοχή Help>R fuctos(text)..., στο παράθυρο διαλόγου που εμφανίζεται πληκτρολογούμε curve στο πλαίσιο Help o, και πατάμε OK. Επίσης και η εκτέλεση της συνάρτησης apropos μπορεί να γίνει μέσω της διαδρομής Help>Apropos.... Εισαγωγή στο R (3) 5 Δημήτριος Αντζουλάκος

12 Για να εμφανιστούν παραδείγματα εφαρμογής μιας συνάρτησης (ή θέματος) χρησιμοποιούμε τη συνάρτηση example(όνομα συνάρτησης). Για παράδειγμα εκτελώντας την εντολή example(log) προκύπτει το διπλανό πλαίσιο. Σημειώνεται ότι ο αριθμός.5e3 είναι ίσος με.5 3 5, ενώ ο αριθμός.5e-3 είναι ίσος με Μια πλήρης σειρά εγχειριδίων για το R σε μορφή *.pdf αρχείων βρίσκεται στην ιστοσελίδα (Mauals). Ιδιαίτερη αναφορά αξίζει στο εγχειρίδιο με τίτλο The R Referece Idex (είναι περίπου 35 σελίδες)..5 Βασικά στοιχεία σύνταξης εντολών Η σύνταξη εκφράσεων στη γλώσσα R γίνεται χρησιμοποιώντας αλφαριθμητικές εκφράσεις. Tο σύνολο των χαρακτήρων που μπορούν να χρησιμοποιηθούν στις εκφράσεις εξαρτάται από το λειτουργικό σύστημα και τη χώρα εντός της οποίας εκτελείται το R. Μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν τα σύμβολα. και _. Ένα όνομα μπορεί να ξεκινά με. ή με ένα γράμμα, αλλά αν ξεκινά με. ο δεύτερος χαρακτήρας δεν μπορεί να είναι αριθμός. Υπάρχει διάκριση πεζών και κεφαλαίων γραμμάτων (case sestve) και επομένως το b και το B είναι διαφορετικά σύμβολα. Οι στοιχειώδεις εντολές (commads) μπορεί να είναι είτε εκφράσεις (expressos), είτε εκχωρήσεις (assgmets). Οι εκφράσεις υπολογίζονται, εμφανίζονται στην οθόνη και η τιμή τους στη συνέχεια χάνεται. Για παράδειγμα > exp()+ [] Μια εντολή εκχώρησης δύναται να υπολογίσει μια έκφραση, καταχωρεί το αποτέλεσμα σε μια μεταβλητή (αντικείμενο object) με τη βοήθεια του συμβόλου εκχώρησης <- (ή ισοδύναμα με το = ), αλλά δεν το εμφανίζει στην οθόνη εκτός και αν ζητηθεί. Για παράδειγμα > x <- 3+4 > x [] 7 Κάθε εντολή καταχωρείται συνήθως σε ξεχωριστή γραμμή. Μπορούμε να καταχωρήσουμε αρκετές εντολές σε μια γραμμή αρκεί να διαχωρίζονται με το σύμβολο ;. Για παράδειγμα Εισαγωγή στο R (3) 6 Δημήτριος Αντζουλάκος

13 > sqrt(8);y <- log(, base=exp());y;z <- exp(y);z [] 9 [].3585 [] Στοιχειώδης εντολές μπορούν να ομαδοποιηθούν σε μια σύνθετη εντολή αν περιβληθούν με άγκιστρα. Για παράδειγμα > {w <-5;w;w+} [] 7 Προσέξτε τη διαφορά με την ακόλουθη σύνθετη εντολή {w <-5;prt(w);w+} [] 5 [] 7 Ότι γραφεί σε μια γραμμή μετά το σύμβολο # θεωρείται σχόλιο. Τα σχόλια είναι χρήσιμα κυρίως όταν χρησιμοποιούμε τον R συντάκτη. Οι εντολές που μπορούν να εισαχθούν στην R κονσόλα δεν μπορούν να υπερβαίνουν σε χωρητικότητα τα 4 bytes..6 Αποθήκευση Όταν ξεκινά το R ψάχνει να βρει στον κατάλογο εργασίας (workg drectory) τo αρχείο *.RData (περιέχει objects) και το αρχείο *.Rhstory (περιέχει εντολές) για να τα φορτώσει αυτόματα. Για να βρούμε τον κατάλογο εργασίας του R κάνουμε δεξί κλικ πάνω στο εικονίδιο συντόμευσης του R στην επιφάνεια εργασίας, επιλέγουμε Propertes, κάνουμε κλικ στο μενού Εισαγωγή στο R (3) 7 Δημήτριος Αντζουλάκος

14 Shortcut, και ο κατάλογος εργασίας εμφανίζεται στο πεδίο Start. Ο κατάλογος εργασίας μπορεί να αλλάξει. Στο διπλανό σχήμα είναι ο C:\Documets ad Settgs\DLA\My Documets\R (ο προεπιλεγμένος κατάλογος εργασίας είναι ο C:\Documets ad Settgs\... \My Documets). Ο όρος αντικείμενα (objects) χρησιμοποιείται για να δηλώσει τις οντότητες που δημιουργούνται και χειρίζονται στο R. Αντικείμενα είναι μεταβλητές, διανύσματα αριθμών, μια σειρά χαρακτήρων, συναρτήσεις και γενικότερα σύνθετες δομές που χτίζονται από αυτά τα στοιχεία. Μόλις γίνει εκκίνηση του R μπορούμε να εμφανίσουμε στην R κονσόλα τις αποθηκευμένες εντολές που βρίσκονται στο αρχείο *.Rhstory δουλεύοντας με τα βελάκια και. Τα αποθηκευμένα αντικείμενα που βρίσκονται στο αρχείο *.RData εμφανίζονται με τη συνάρτηση objects (εναλλακτικά μπορεί να χρησιμοποιηθεί η διαδρομή Msc>Lst objects). Για παράδειγμα > objects() character() που σημαίνει ότι δεν υπάρχουν αποθηκευμένα αντικείμενα στον κατάλογο εργασίας μας στο αρχείο *.RData (ή ότι δεν υπάρχει καν αρχείο *.RData). Για να αποθηκεύσουμε στον κατάλογο εργασίας μας τις εντολές που υπάρχουν στην R κονσόλα, χωρίς να τερματίσουμε το R, χρησιμοποιούμε τη συνάρτηση savehstory που δημιουργεί το αρχείο *.Rhstory. Για να αποθηκεύσουμε στον κατάλογο εργασίας μας τα αντικείμενα που υπάρχουν στην R κονσόλα, χωρίς να τερματίσουμε το R, χρησιμοποιούμε τη συνάρτηση save.mage που δημιουργεί το αρχείο *.RData. Για να δημιουργηθούν και τα δύο αρχεία όταν αποφασίσουμε να τερματίσουμε το R ακολουθούμε τη διαδοχή Fle>Ext και επιλέγουμε Yes στο παράθυρο Questo. Σημειώνουμε ότι μπορούμε να επιλέξουμε τα ονόματα των αρχείων που περιέχουν τις εντολές και τα αντικείμενα εκτελώντας, αντίστοιχα, τις εντολές savehstory(fle="όνομα.rhstory"), save.mage(fle="όνομα.rdata"). Ο πιο απλός τρόπος για να φορτωθούν τα δύο παραπάνω αρχεία την επόμενη φορά που θα εκκινή- Εισαγωγή στο R (3) 8 Δημήτριος Αντζουλάκος

15 σουμε το R (δεν φορτώνονται αυτόματα) είναι μέσω της διαδρομής Fle>Load Hstrory... και Fle>Load Workspace..., αντίστοιχα. Αξίζει να σημειώσουμε ότι τα αρχεία που περιέχουν εντολές (*.Rhstory) μπορούμε να τα επεξεργαστούμε με οποιοδήποτε επεξεργαστή κειμένου (Word, Notepad, κτλ.). Επίσης μπορούμε να αποθηκεύσουμε οτιδήποτε εμφανίζεται στην R κονσόλα σε ένα αρχείο *.txt ακολουθώντας τη διαδρομή Fle>Save to Fle.... Για να σώσουμε το περιεχόμενα του R συντάκτη πατάμε Ctrl+S και σώζουμε τα περιεχόμενα σε ένα.r αρχείο. Εναλλακτικά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το μενού Fle>Save as.... To.R αρχείο φορτώνεται μελλοντικά με τη διαδρομή Fle>Ope scrpt. Σημειώνεται ότι παρόμοια δουλειά με τη συνάρτηση objects κάνει και η συνάρτηση ls. Για να διαγράψουμε κάποια αντικείμενα χρησιμοποιούμε τη συνάρτηση rm(όνομα πρώτου αντικειμένου,..., όνομα_τελευταίου_αντικειμένου). Εναλλακτικά μπορεί να χρησιμοποιηθεί η διαδρομή Msc>Remove all objects για τη διαγραφή όλων των αντικειμένων ή εκτέλεση της εντολής rm(lst=ls()). Για παράδειγμα > x<-5;y<-7;z<-9 > ls() [] "x" "y" "z" > rm(x,y) > ls() [] "z".7 Πακέτα Όλες οι συναρτήσεις (fuctos) και τα σύνολα δεδομένων (datasets) που χρησιμοποιεί το R είναι αποθηκευμένα σε πακέτα (packages). Οι συναρτήσεις και τα σύνολα δεδομένων ενός πακέτου είναι διαθέσιμα για χρήση μόνο όταν φορτωθεί το πακέτο. Για να δούμε ποια πακέτα είναι εγκατεστημένα χρησιμοποιούμε τη συνάρτηση lbrary και για να δούμε ποια έχουν φορτωθεί χρησιμοποιούμε τη συνάρτηση search. Για να πάρουμε πληροφορίες για ένα πακέτο εκτελούμε την εντολή lbrary(help=όνομα πακέτου). Για παράδειγμα > lbrary(help=survval) Εισαγωγή στο R (3) 9 Δημήτριος Αντζουλάκος

16 Για να φορτώσουμε ένα πακέτο χρησιμοποιούμε τη συνάρτηση lbrary(όνομα_πακέτου) ή εναλλακτικά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη διαδρομή Packages>Load package.... Εκτός από τα βασικά πακέτα του R, υπάρχουν διαθέσιμα εκατοντάδες πακέτα που καλύπτουν σχεδόν όλες τις περιοχές της στατιστικής. Τα πακέτα αυτά μπορούν να εγκατασταθούν (και στη συνέχεια να φορτωθούν) ακολουθώντας τη διαδρομή Packages>Istall package(s).... qcc: Qualty Cotrol Charts Ο Shewhart qualty cotrol charts for cotuous, attrbute ad cout data. Cusum ad EWMA charts. Operatg characterstc curves. Process capablty aalyss. Pareto chart ad cause-ad-effect chart. κατάλογος των πακέτων που διατίθενται για εγκατάσταση δίνεται στην ιστοσελίδα Verso:.3 επιλέγοντας ένα Mrrors στο μενού CRAN και μετά Packages στο μενού Software. Για παράδειγμα, δύο πακέτα που σχετίζονται με το Στατιστικό CRAN checks: qcc results Depeds: Author: Lcese: R (?.6) Luca Scrucca GPL (? ) Publshed: Mataer: Ctato: 8-- Luca Scrucca <luca at stat.upg.t> qcc ctato fo Dowloads: Έλεγχο Ποιότητας είναι τα qcc Package source: qcc_.3.tar.gz MacOS X bary: qcc_.3.tgz (Qualty Cotrol Charts) και spc (Statstcal Wdows bary: qcc_.3.zp Referece maual: qcc.pdf Process Corol). Για κάθε πακέτο υπάρχει Old sources: qcc archve εγχειρίδιο αναφοράς (referece maual) σε μορφή *.pdf αλλά και το ίδιο το πακέτο σε μορφή *.zp σε περίπτωση που θέλουμε να το σώσουμε σε ένα κατάλογο (drectory) και κατόπιν να το εγκαταστήσουμε χρησιμοποιώντας τη διαδρομή Packages>Istall package(s) from local zp fles. Επίσης τα εγκατεστημένα πακέτα μπορούν να ενημερωθούν (update) όποια στιγμή θέλουμε χρησιμοποιώντας τη διαδρομή Packages>Update packages... Εισαγωγή στο R (3) Δημήτριος Αντζουλάκος

17 .8 Βασικές συναρτήσεις και λογικοί τελεστές Ο ακόλουθος πίνακας δίνει τους αριθμητικούς τελεστές που χρησιμοποιούνται σε βασικές αριθμητικές πράξεις Πίνακας.: Αριθμητικοί τελεστές Τελεστής Πράξη + Πρόσθεση - Αφαίρεση * Πολλαπλασιασμός / Διαίρεση ^ Ύψωση σε δύναμη %/% Ακέραια μέρη διαίρεσης %% Υπόλοιπο διαίρεσης Ο ακόλουθος πίνακας δίνει λογικούς τελεστές και τελεστές σχέσεων Πίνακας.: Λογικοί τελεστές και τελεστές σχέσεων Τελεστής Ερμηνεία & και ή! όχι == ίσο με!= άνισο από < μικρότερο από <= μικρότερο ή ίσο από > μεγαλύτερο από >= μεγαλύτερο ή ίσο από Ο ακόλουθος πίνακας δίνει ορισμένες γνωστές συναρτήσεις του R Πίνακας.3: Βασικές συναρτήσεις Συνάρτηση sqrt(x) abs(x) s(x), cos(x), ta(x) as(x), acos(x), ata(x) factoral(x) Λειτουργία Τετραγωνική ρίζα Απόλυτη τιμή (ή μέτρο) Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Τόξα τριγωνομετρικών συναρτήσεων Παραγοντικό Εισαγωγή στο R (3) Δημήτριος Αντζουλάκος

18 choose(,x) Διωνυμικός συντελεστής ( ανά x) exp(x) log(x) log b(x),log(x,b) gamma(x) Εκθετική συνάρτηση Λογάριθμος (φυσικός) Λογάριθμος με βάση το b Συνάρτηση Γάμμα floor(x) Μικρότερος ακέραιος x celg(x) Μεγαλύτερος ακέραιος x roud(x, dgts=) sgf(x, dgts=6) Στρογγυλοποίηση Σημαντικά ψηφία.9 Ένα παράδειγμα Κλείνοντας το πρώτο εισαγωγικό κεφάλαιο δίνουμε το ακόλουθο παράδειγμα επίδειξης υπολογισμών και συναρτήσεων του R. > 4/;-3/ # + και - άπειρο [] If [] -If > /If;/;exp(-If);If-If # NaN (Not a umber) [] [] NaN [] [] NaN > abs(-3.);abs(5.7) # Απόλυτη τιμή αριθμού [] 3. [] 5.7 > sqrt(8); 8^(/) # Τετραγωνική ρίζα [] 9 [] 9 > exp();exp() # Εκθετική συνάρτηση [].788 [] > log(exp());log() # Φυσικός λογάριθμος [] [] > log(64);log() # Λογάριθμος με άλλες βάσεις I [] 6 [] 3 > log(64,);log(,) # Λογάριθμος με άλλες βάσεις II [] 6 [] 3 > > floor(3.7);floor(-3.7);floor(3) # Μικρότερος ακέραιος [] 3 [] -4 [] 3 > celg(3.7);celg(-3.7);celg(3) # Μεγαλύτερος ακέραιος [] 4 [] -3 Εισαγωγή στο R (3) Δημήτριος Αντζουλάκος

19 [] 3 > roud(exp(), dgts=) # Στρογγυλοποίηση [].7 > sgf(exp(), dgts=6) # Σημαντικά ψηφία [].788 > %/%7; %%7 # Ακέραια μέρη διαίρεσης και υπόλοιπο [] 7 [] > s(p/6);cos(p/6);ta(p/6) # Τριγωνομετρικές συναρτήσεις [].5 [] [] > as(sqrt(3)/);p/3;ata();p/4 # Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις [].4798 [].4798 [] [] > x<-;x<4;x+== # Λογικές συνθήκες [] FALSE [] TRUE. Σύνοψη εντολών Κεφαλαίου abs, acos, apropos, as, ata celg, class, cos, curve, choose example, exp floor, factoral gamma help, help.start lbrary, log, log, ls objects prt qut rm, roud savehstory, save.mage, search, sgf, s, sqrt ta Εισαγωγή στο R (3) 3 Δημήτριος Αντζουλάκος

20

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αντικείμενα Δεδομένων. Βαθμωτά αντικείμενα (scalar objects) Το πιο απλό είδος αντικειμένου στο R είναι τα βαθμωτά (scalar) αντικείμενα αριθμητικού τύπου 4 (umerc mode), δηλαδή αντικείμενα με μία μόνο αριθμητική τιμή που ωστόσο θεωρούνται διανύσματα με μια συνιστώσα. Για παράδειγμα > # Δημιουργία του βαθμωτού αντικειμένου x με τιμή 7 > x <- 7 > # Δημιουργία του βαθμωτού αντικειμένου y με τιμή > y <- (εναλλακτικά μπορεί να χρησιμοποιηθεί η συνάρτηση assg για να εκχωρήσουμε στη μεταβλητή x την τιμή 7, ως assg("x", 7)). Τέτοιου είδους αντικείμενα (μεταβλητές) συναντήσαμε στο Κεφάλαιο. Αυτά τα αντικείμενα επιδέχονται αλγεβρικούς χειρισμούς. Για παράδειγμα > z <- x+y; z; x-y; x+y+z [] 9 [] 5 [] 8 Επίσης υπάρχουν βαθμωτά αντικείμενα λογικού (logcal) τύπου, ή τύπου χαρακτήρα (character). Οι τιμές ενός λογικού αντικειμένου είναι TRUE, FALSE ή και NA (ot avalable), και εκχωρούνται άμεσα με T, F ή ΝΑ, αντίστοιχα. Οι τιμές TRUE, FALSE προκύπτουν συνήθως ως τιμές λογικών εκφράσεων. Για παράδειγμα > # Δημιουργία των βαθμωτών αντικειμένων a, b, c με τιμές TRUE, FALSE, NA > a <- T; b <- F; c <- NA > a; b; c [] TRUE [] FALSE [] NA > # Δημιουργία των βαθμωτών αντικειμένων w, s με λογικές εκφράσεις > w <- x>; w; s <- y== [] FALSE [] TRUE > # Δημιουργία των βαθμωτών αντικειμένων k και m με τιμές kostas και mara > k <- "kostas"; m <- "mara" > k; m [] "kostas" [] "mara" 4 Οι τιμές της συνάρτησης mode για βαθμωτά αντικείμενα ή διανύσματα (vectors) είναι logcal, umerc, complex, character ή raw. Για λίστες (Lsts) είναι lst. Εισαγωγή στο R (3) 5 Δημήτριος Αντζουλάκος

22 Η συνάρτηση mode μας δίνει τον τύπο κάθε αντικειμένου ενώ η συνάρτηση class την τάξη 5 του. Για παράδειγμα > mode(x); mode(c); mode(m) [] "umerc" [] "logcal" [] "character" > z <- +9; mode(z) [] "complex". Διανύσματα (vectors) Ο πιο απλός τρόπος για να ορίσουμε το διάνυσμα v (,, 3, 4) στο R είναι μέσω της συνάρτησης c 6. Έτσι > v <- c(,,3,4) > v [] 3 4 Εναλλακτικά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη συνάρτηση sca για να εισάγουμε μια προς μια τα στοιχεία του διανύσματος. Για να ορίσουμε το διάνυσμα v (5, 6, 7) εκτελούμε την εντολή > v <- sca() και στη συνέχεια δίνουμε τα στοιχεία του διανύσματος ένα προς ένα πατώντας μετά από κάθε εισαγωγή το πλήκτρο Eter. Όταν ζητηθεί το 4 ο στοιχείο δεν εισάγουμε τίποτα αλλά πατάμε απλά ακόμη μια φορά το πλήκτρο Eter για να δηλωθεί το τέλος εισαγωγής των συνιστωσών του διανύσματος v. Έτσι > v <-sca() : 5 : 6 3: 7 4: Read 3 tems > v [] Τα βαθμωτά αντικείμενα, όπως προαναφέραμε, θεωρούνται διανύσματα με μια συνιστώσα > x <- 3; legth(x) [] Με τα διανύσματα μπορούμε να κάνουμε πράξεις και να εφαρμόσουμε συναρτήσεις. Για παράδειγμα > v/; exp(v); m(v); max(v); rage(v); legth(v); sum(v); prod(v); mea(v); var(v) [] Οι τιμές της συνάρτησης class μπορεί να είναι umerc, teger, complex, logcal, character, lst, matrx, array, factor, ts, data.frame. 6 Το γράμμα c προέρχεται από τη λέξη cocateate που σημαίνει συνδέω αλυσιδωτά (κρικώνω). Εισαγωγή στο R (3) 6 Δημήτριος Αντζουλάκος

23 [] [] [] 4 [] 5 7 [] 3 [] [] 4 [] 6 [] (η συνάρτηση var(x) είναι ίση με sum((x-mea(x))^)/(legth(x)-), δηλαδή δίνει τη δειγματική διακύμανση του δείγματος με τιμές τα στοιχεία του διανύσματος x). Όταν εκτελούμε πράξεις με διανύσματα αυτές γίνονται κατά συντεταγμένες. Αν δύο διανύσματα δεν είναι της ίδιας διάστασης τότε το διάνυσμα με τη μικρότερη διάσταση επαναλαμβάνει τα στοιχεία του όσες φορές χρειαστεί για να αποκτήσει τη διάσταση του διανύσματος με τη μεγαλύτερη διάσταση έτσι ώστε να είναι δυνατή η πραγματοποίηση πράξεων μεταξύ των διανυσμάτων. Για παράδειγμα > v+*v # (,,3,4)+*(5,6,7,5) [] Warg message: I v + * v : loger object legth s ot a multple of shorter object legth > v/v # (/5,/6,3/7,4/5) [] Warg message: I v/v : loger object legth s ot a multple of shorter object legth Με τη συνάρτηση c μπορούμε επίσης να ενώσουμε διανύσματα. Για παράδειγμα > c(v,v,v^,*v) [] > c(c(,3), c(,3,34)) [] Ειδικά διανύσματα μπορούν να οριστούν και με άλλους πιο απλούς τρόπους. Για παράδειγμα, : είναι το διάνυσμα (,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,), ενώ το : (ή rev(:)) είναι το διάνυσμα (, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3,,). Ο τελεστής : έχει προτεραιότητα όταν εκτελούνται πράξεις. Για παράδειγμα > v3 <- *: > v3 [] Ειδικά διανύσματα μπορούν να δημιουργηθούν και με τη συνάρτηση seq που έχει επιπρόσθετες δυνατότητες. Για παράδειγμα Εισαγωγή στο R (3) 7 Δημήτριος Αντζουλάκος

24 > seq(,3) [] [3] > seq(-,,.) [] > seq(, by=.5, legth=) [] > seq(,,legth=4) [] Μια άλλη χρήσιμη συνάρτηση για τη δημιουργία διανυσμάτων είναι η rep. Για παράδειγμα > rep(v, tmes=3) [] > rep(v, each=3) [] > rep(v, c(,,,)) [] Για να διατάξουμε τα δεδομένα ενός διανύσματος χρησιμοποιούμε τη συνάρτηση sort. Για να βρούμε πια συνιστώσα του αρχικού διανύσματος βρίσκεται σε κάθε συνιστώσα του διατεταγμένου διανύσματος χρησιμοποιούμε τη συνάρτηση order. Για παράδειγμα > v4 <- c(,,3,64,3,55); sort(v4) [] > order(v4) [] H συνιστώσα ενός διανύσματος x επιλέγεται με το x[]. Για παράδειγμα > x <- :/ > x[]+*x[3] #.+*.3 [].8 > x[:5] [] > x[c(4,6)] [].4.6 > x[3] <- ; x [] Η αλλαγή της τιμής μιας ή περισσότερων συνιστωσών ενός διανύσματος μπορεί να επιτευχθεί και με χρήση προγράμματος λογιστικού φύλου, με την εντολή data.etry(όνομα_διανύσματος). Για παράδειγμα, η εκτέλεση της εντολής data.etry(x) ανοίγει ένα παράθυρο (Data Edtor) όπου μπορούμε να προβούμε σε διορθώσεις των συνιστωσών του διανύσματος x κάνοντας διπλό κλικ στην συνιστώσα που θέλουμε να αλλάξουμε. Επίσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί η διαδρομή Edt>Data edtor..., ή η συνάρτηση replace. H συνιστώσα ενός διανύ- Εισαγωγή στο R (3) 8 Δημήτριος Αντζουλάκος

25 σματος (ή λίστας) x διαγράφεται με x[ ]. Για παράδειγμα > z <- seq(,,);z[-4] [] > y <- replace(z,3,55);y [] Για να κρατήσουμε μόνο τα στοιχεία ενός διανύσματος x που ικανοποιούν μια συνθήκη γράφουμε x[συνθήκη]. Για παράδειγμα > z[z<=4 z>7] [] Τα διανύσματα μπορούν να έχουν συνιστώσες και αλφαριθμητικές σειρές χαρακτήρων. Για παράδειγμα > Οικογένεια <- c("γεώργιος", "Άννα", "Λάζαρος", "Ελένη") > Οικογένεια [] "Γεώργιος" "Άννα" "Λάζαρος" "Ελένη" > Οικογένεια[] [] "Άννα" Μπορούμε να ενώσουμε διανύσματα με αριθμητικές και αλφαριθμητικές συνιστώσες. Το αποτέλεσμα είναι ένα διάνυσμα τύπου χαρακτήρα > v5 <- c(οικογένεια,v); v5 [] "Γεώργιος" "Άννα" "Λάζαρος" "Ελένη" "" "" "3" "4" > mode(v5) [] "character" Στο σημείο αυτό αξίζει να αναφέρουμε ότι μπορούμε εύκολα να μετατρέψουμε μια σειρά δεδομένων σε χρονοσειρά με τη συνάρτηση ts. Για παράδειγμα > x <- c(:6) > t <- ts(x, frequecy = 4, start = c(959, 3)); t Qtr Qtr Qtr3 Qtr > t<- ts(x, frequecy =, start = c(959,6)); t Ja Feb Mar Apr May Ju Jul Aug Sep Oct Nov Dec > mode(t);class(t) [] "umerc" [] "ts" Κλείνοντας την παράγραφο που αφορά τα διανύσματα δίνουμε τον ακόλουθο πίνακα που περιέχει συναρτήσεις που εφαρμόζονται σε διανύσματα (εφαρμόζονται επίσης σε πίνακες, πλαίσια δεδομένων, κλπ.) Εισαγωγή στο R (3) 9 Δημήτριος Αντζουλάκος

26 Πίνακας.: Συναρτήσεις για σύνοψη δεδομένων Συνάρτηση sum(x) cumsum(x) prod(x) cumprod(x) max(x) m(x) sort(x) rage(x) legth(x) mea(x) meda(x) var(x) sd(x) skewess(x) kurtoss(x) cor(x,y) quatle(x) rak(x) IQR(x) cov(x,y) summary(x) mode(x) class(x) Ερμηνεία Άθροισμα στοιχείων Προοδευτικό άθροισμα στοιχείων Γινόμενο στοιχείων Προοδευτικό γινόμενο στοιχείων Μέγιστο στοιχείο Ελάχιστο στοιχείο Διάταξη των στοιχείων Διάνυσμα (m(x), max(x)) Αριθμός στοιχείων Μέσος Διάμεσος Διακύμανση Τυπική απόκλιση Ασυμμετρία (πακέτο momets) Κύρτωση (πακέτο momets) Συσχέτιση Ποσοστιαία σημεία Βαθμοί Ενδοτεταρτημοριακό εύρος Συνδιακύμανση Προεπιλεγμένα μέτρα Τύπος Τάξη.3 Πίνακες (matrces).3. Βασικά στοιχεία Ο πιο απλός τρόπος για να ορίσουμε ένα πίνακα στο R είναι μέσω της συνάρτησης matrx. Για παράδειγμα, η εισαγωγή του πίνακα 7 P γίνεται ως εξής > P <- matrx(c(,4,,5,7,3), row=, col=3); P [,] [,] [,3] [,] 7 [,] > mode(p) [] "umerc" > class(p) [] "matrx" Εισαγωγή στο R (3) Δημήτριος Αντζουλάκος

27 Στο ίδιο αποτέλεσμα θα καταλήγαμε (γιατί;) αν εκτελούσαμε κάθε μια από τις εντολές > P <- matrx(c(,4,,5,7,3), row=) > P <- matrx(c(,4,,5,7,3), col=3) Παρατηρούμε ότι τα στοιχεία του πίνακα δηλώνονται σε στήλες: πρώτα τα στοιχεία της πρώτης στήλης, μετά τα στοιχεία της δεύτερης στήλης, κ.ο.κ. Αν θέλουμε να δηλωθούν κατά γραμμές θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το όρισμα byrow=t. Για παράδειγμα > P <- matrx(c(,,7,4,5,3), row=, col=3, byrow=t); P [,] [,] [,3] [,] 7 [,] Αν δοθούν λιγότερα στοιχεία σε ένα πίνακα από όσα απαιτούνται τότε τα στοιχεία που δεν ορίζονται συμπληρώνονται αυτόματα ξεκινώντας από την πρώτη δηλωμένη συνιστώσα. Για παράδειγμα > M <- matrx(c(,4,,5), row=, col=3) Warg message: I matrx(c(, 4,, 5), row =, col = 3) : data legth [4] s ot a sub-multple or multple of the umber of colums [3] > M [,] [,] [,3] [,] [,] Για να δημιουργήσουμε ένα πίνακα με όλα τα στοιχεία του ίσα με κάποιο αριθμό r εκτελούμε την εντολή > r <- > matrx(r, row=, col=3) [,] [,] [,3] [,] [,] Οι πίνακες μπορούν να δημιουργηθούν από διανύσματα και με τη συνάρτηση dm. Για παράδειγμα > va <- rep(:4, each=3); va [] > dm(va) <- c(3,4); va [,] [,] [,3] [,4] [,] 3 4 [,] 3 4 [3,] 3 4 Επίσης > vb <- seq(-.5,.5, legth=); vb [] [7] > dm(vb) <- c(3,4); vb [,] [,] [,3] [,4] [,] [,] [3,] Εισαγωγή στο R (3) Δημήτριος Αντζουλάκος

Τυπικές χρήσεις της Matlab

Τυπικές χρήσεις της Matlab Matlab Μάθημα 1 Τι είναι η Matlab Ολοκληρωμένο Περιβάλλον Περιβάλλον ανάπτυξης Διερμηνευμένη γλώσσα Υψηλή επίδοση Ευρύτητα εφαρμογών Ευκολία διατύπωσης Cross platform (Wintel, Unix, Mac) Τυπικές χρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

SPSS Statistical Package for the Social Sciences

SPSS Statistical Package for the Social Sciences SPSS Statistical Package for the Social Sciences Ξεκινώντας την εφαρμογή Εισαγωγή εδομένων Ορισμός Μεταβλητών Εισαγωγή περίπτωσης και μεταβλητής ιαγραφή περιπτώσεων ή και μεταβλητών ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα

SMART Notebook Math Tools

SMART Notebook Math Tools SMART Notebook Math Tools Windows λειτ ουργικά συστ ήματ α Εγχειρίδιο Χρήστ η Σημείωση για το εμπορικό σήμα Τα SMART Board, SMART Notebook, smarttech, το λογότυπο SMART και όλα τα σλόγκαν SMART είναι εμπορικά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis)

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η μέθοδος PCA (Ανάλυση Κύριων Συνιστωσών), αποτελεί μία γραμμική μέθοδο συμπίεσης Δεδομένων η οποία συνίσταται από τον επαναπροσδιορισμό των συντεταγμένων ενός

Διαβάστε περισσότερα

POWERPOINT 2003. Είναι το δημοφιλέστερο πρόγραμμα παρουσιάσεων.

POWERPOINT 2003. Είναι το δημοφιλέστερο πρόγραμμα παρουσιάσεων. POWERPOINT 2003 1. Τι είναι το PowerPoint (ppt)? Είναι το δημοφιλέστερο πρόγραμμα παρουσιάσεων. 2. Τι δυνατότητες έχει? Δημιουργία παρουσίασης. Μορφοποίηση παρουσίασης. Δημιουργία γραφικών. Δημιουργία

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2006

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2006 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2006 Μάθημα: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Τρίτη, 6 Ιουνίου 2006 07:30 10:30

Διαβάστε περισσότερα

Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο

Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Η Mathematica είναι ένα ολοκληρωμένο μαθηματικό πακέτο με πάρα πολλές δυνατότητες σε σχεδόν όλους τους τομείς των μαθηματικών (Άλγεβρα, Θεωρία συνόλων, Ανάλυση,

Διαβάστε περισσότερα

Γρήγορη Εκκίνηση. Όταν ξεκινήσετε το GeoGebra, εμφανίζεται το παρακάτω παράθυρο:

Γρήγορη Εκκίνηση. Όταν ξεκινήσετε το GeoGebra, εμφανίζεται το παρακάτω παράθυρο: Τι είναι το GeoGebra; Γρήγορη Εκκίνηση Λογισμικό Δυναμικών Μαθηματικών σε ένα - απλό στη χρήση - πακέτο Για την εκμάθηση και τη διδασκαλία σε όλα τα επίπεδα της εκπαίδευσης Συνδυάζει διαδραστικά γεωμετρία,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Περιβάλλον Επιστημονικού Προγραμματισμού MATLAB-Simulink. Δημήτριος Τζεράνης Λεωνίδας Αλεξόπουλος

Εισαγωγή στο Περιβάλλον Επιστημονικού Προγραμματισμού MATLAB-Simulink. Δημήτριος Τζεράνης Λεωνίδας Αλεξόπουλος Εισαγωγή στο Περιβάλλον Επιστημονικού Προγραμματισμού MATLAB-Simulink Δημήτριος Τζεράνης Λεωνίδας Αλεξόπουλος 1 Τι είναι τα Matlab και Simulink? Το Matlab (MATrix LABoratory) είναι ένα περιβάλλον επιστημονικού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Τι θα μάθουμε σήμερα: -AND, OR, NOT. -Ενσωματωμένες συναρτήσεις. -Μαθηματικοί τελεστές -ΤΕΛΕΣΤΕΣ DIV ΚΑΙ MOD. -Προτεραιότητα πράξεων

Κεφάλαιο 1. Τι θα μάθουμε σήμερα: -AND, OR, NOT. -Ενσωματωμένες συναρτήσεις. -Μαθηματικοί τελεστές -ΤΕΛΕΣΤΕΣ DIV ΚΑΙ MOD. -Προτεραιότητα πράξεων Κεφάλαιο 1 Αρχή ήμισυ παντός. Πλάτων, 427-347 π.χ., Φιλόσοφος Τι θα μάθουμε σήμερα: -AND, OR, NOT -Ενσωματωμένες συναρτήσεις -Μαθηματικοί τελεστές -ΤΕΛΕΣΤΕΣ DIV ΚΑΙ MOD -Προτεραιότητα πράξεων 1 Λογικές

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client

Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client ΕΣΔ 516 Τεχνολογίες Διαδικτύου Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client Περιεχόμενα Περιεχόμενα Javascript και HTML Βασική σύνταξη Μεταβλητές Τελεστές Συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Η ΓΛΩΣΣΑ PASCAL ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Απλοί ή στοιχειώδης Τ.Δ. Ακέραιος τύπος Πραγματικός τύπος Λογικός τύπος Χαρακτήρας Σύνθετοι Τ.Δ. Αλφαριθμητικός 1. Ακέραιος (integer) Εύρος: -32768 έως 32767 Δήλωση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima

Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima Το Maxima είναι ένα πρόγραμμα για την εκτέλεση μαθηματικών υπολογισμών, συμβολικών μαθηματικών χειρισμών, αριθμητικών υπολογισμών και γραφικών παραστάσεων. Το Maxima λειτουργεί

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές

Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές Το πακέτο ΕXCEL: Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές Eπιμέλεια των σημειώσεων και διδασκαλία: Ευαγγελία Χαλιώτη* Θέματα ανάλυσης: - Συναρτήσεις / Γραφικές απεικονίσεις - Πράξεις πινάκων - Συστήματα εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Έναρξη Τερματισμός του MatLab

Έναρξη Τερματισμός του MatLab Σύντομος Οδηγός MATLAB Β. Χ. Μούσας 1/6 Έναρξη Τερματισμός του MatLab Η έναρξη της λειτουργίας του MatLab εξαρτάται από το λειτουργικό σύστημα. Στα συστήματα UNIX πληκτρολογούμε στη προτροπή του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Libre Office. Bάιος Κολοφωτιάς Επιστημονικός Συνεργάτης Sweng Lab A.Π.Θ

Εισαγωγή στο Libre Office. Bάιος Κολοφωτιάς Επιστημονικός Συνεργάτης Sweng Lab A.Π.Θ Εισαγωγή στο Libre Office Bάιος Κολοφωτιάς Επιστημονικός Συνεργάτης Sweng Lab A.Π.Θ Εισαγωγή στο Libre Ofiice To LibreOffice είναι η ελεύθερη, πολυδύναμη (power-packed), σουΐτα προσωπικής παραγωγικότητας

Διαβάστε περισσότερα

a = 10; a = k; int a,b,c; a = b = c = 10;

a = 10; a = k; int a,b,c; a = b = c = 10; C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή Κεφάλαιο 4 ο Τελεστές Γ. Σ. Τσελίκης Ν. Δ. Τσελίκας Ο τελεστής εκχώρησης = Ο τελεστής = χρησιµοποιείται για την απόδοση τιµής (ή αλλιώς ανάθεση τιµής) σε µία µεταβλητή Π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

SMART Notebook 11.1 Math Tools

SMART Notebook 11.1 Math Tools SMART Ntebk 11.1 Math Tls Λειτουργικά συστήματα Windws Οδηγός χρήστη Δήλωση προϊόντος Αν δηλώσετε το προϊόν SMART, θα σας ειδοποιήσουμε για νέα χαρακτηριστικά και αναβαθμίσεις λογισμικού. Κάντε τη δήλωση

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL. , και οι γραμμές συμβολίζονται με 1,2,3, Μπορούμε να αρχίσουμε εισάγοντας ορισμένα στοιχεία ως εξής.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL. , και οι γραμμές συμβολίζονται με 1,2,3, Μπορούμε να αρχίσουμε εισάγοντας ορισμένα στοιχεία ως εξής. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL Το πακέτο Excel είναι ένα πρόγραμμα φύλλου εργασίας (spreadsheet) με το οποίο μπορούμε να κάνουμε υπολογισμούς και διαγράμματα που είναι χρήσιμοι στα οικονομικά. Στο Excel το φύλλο εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Άνοιγμα υπάρχοντος βιβλίου εργασίας

4.1 Άνοιγμα υπάρχοντος βιβλίου εργασίας 4.1 Άνοιγμα υπάρχοντος βιβλίου εργασίας 4.1.1 Άνοιγμα υπάρχοντος βιβλίου εργασίας από βάση δεδομένων Όταν εκκινήσουμε τον Discoverer εμφανίζεται στην οθόνη μας το παράθυρο διαλόγου του βοηθητικού προγράμματος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΟΔΗΓΙΩΝ ΧΡΗΣΤΗ. Ηλεκτρονική Υποβολή Α.Π.Δ.

ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΟΔΗΓΙΩΝ ΧΡΗΣΤΗ. Ηλεκτρονική Υποβολή Α.Π.Δ. ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΟΔΗΓΙΩΝ ΧΡΗΣΤΗ Ηλεκτρονική Υποβολή Α.Π.Δ. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) Είσοδος στην εφαρμογή 2) Δημιουργία Περιόδου Υποβολής 2.α) Ακύρωση Περιόδου Υποβολής 3) Μέθοδος Υποβολής: Συμπλήρωση Φόρμας 3.α) Συμπλήρωση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΜΕ ΕXCEL

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΜΕ ΕXCEL ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΜΕ ΕXCEL 1. Εισαγωγή δεδομένων σε φύλλο εργασίας του Microsoft Excel Για να τοποθετήσουμε τις μετρήσεις μας σε ένα φύλλο Excel, κάνουμε κλικ στο κελί στο οποίο θέλουμε να τοποθετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό πλαίσιο. Απαιτήσεις Μοντέλο εδοµένων. MinusXLRequirements. Απόστολος Ζάρρας http://www.cs.uoi.gr/~zarras/se.htm

Γενικό πλαίσιο. Απαιτήσεις Μοντέλο εδοµένων. MinusXLRequirements. Απόστολος Ζάρρας http://www.cs.uoi.gr/~zarras/se.htm MinusXLRequirements Απόστολος Ζάρρας http://www.cs.uoi.gr/~zarras/se.htm Γενικό πλαίσιο Μια από τις πιο γνωστές και ευρέως διαδεδομένες εμπορικές εφαρμογές για τη διαχείριση λογιστικών φύλλων είναι το

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός

ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 2 ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 3 ΟΔΗΓΟΣ στη ΧΡΗΣΗ του ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 4 ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 5 ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΟΥ Καθηγητής Α.Π.Θ. ΧΡΙΣΤΙΝΑ ΘΕΟΔΩΡΟΥ Μαθηματικός ΟΔΗΓΟΣ στη ΧΡΗΣΗ του ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. OpenOffice 3.x Calc

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. OpenOffice 3.x Calc ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ OpenOffice 3.x Calc Στόχοι: Με τη βοήθεια του οδηγού αυτού ο εκπαιδευόμενος θα μπορεί να: χρησιμοποιεί τα βασικά εργαλεία του Calc κατασκευάζει πίνακες δημιουργεί φόρμουλες υπολογισμού κατασκευάζει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΑΡΙΘΜΟΜΗΧΑΝΗ

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΑΡΙΘΜΟΜΗΧΑΝΗ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΑΡΙΘΜΟΜΗΧΑΝΗ Εγχειρίδιο χρήσης 1 Περιεχόμενα Περιεχόμενα... 2 Οθόνη δύο γραμμών... 4 Πριν ξεκινήσετε... 4 Καταστάσεις λειτουργίας... 4 Χωρητικότητα πληκτρολόγησης... 5 Πραγματοποίηση διορθώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΗΓΙΕΣ DOCUMENT DESIGNER

Ο ΗΓΙΕΣ DOCUMENT DESIGNER Ο ΗΓΙΕΣ DOCUMENT DESIGNER ΕΙΣΑΓΩΓΗ Εάν δεν επιθυµείτε να χρησιµοποιείτε τις προσχεδιασµένες φόρµες εντύπων της Singular, η εργασία αυτή σας δίνει τη δυνατότητα να σχεδιάζετε φόρµες µε βάση τις οποίες επιθυµείτε

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία πολλαπλών φύλλων εργασίας - Γραφημάτων Excel

Επεξεργασία πολλαπλών φύλλων εργασίας - Γραφημάτων Excel Επεξεργασία πολλαπλών φύλλων εργασίας - Γραφημάτων Excel 11.1. Πολλαπλά φύλλα εργασίας Στο προηγούμενο κεφάλαιο δημιουργήσαμε ένα φύλλο εργασίας με τον προϋπολογισμό δαπανών του προσωπικού που θα συμμετάσχει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Open Office Calc. Ακαδημαϊκό έτος 2013-2014 εαρινό εξάμηνο ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ : ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΗΤΡΩΟΥ:

Open Office Calc. Ακαδημαϊκό έτος 2013-2014 εαρινό εξάμηνο ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ : ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΗΤΡΩΟΥ: Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας (ΣΔΟ) Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Διδάσκων: Δρ. Γκόγκος Χρήστος Μάθημα: Πληροφορική ΙI (εργαστήριο) Ακαδημαϊκό έτος 2013-2014 εαρινό εξάμηνο ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ : ΑΡΙΘΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

http://users.auth.gr/~ppi/mathematica

http://users.auth.gr/~ppi/mathematica http://users.auth.gr/~ppi/mathematica ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Γλώσσες Προγραμματισμού Fortran, C++, Java,. ΑΛΓΕΒΡΙΚΟΙ ή ΣΥΜΒΟΛΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Computer Algebra Systems Mathematica,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2015-2016 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτικό εγχειρίδιο χρήσης του Microsoft Visual Studio 2010

Συνοπτικό εγχειρίδιο χρήσης του Microsoft Visual Studio 2010 Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Τομέας Υπολογιστικών Τεχνικών & Συστημάτων Συνοπτικό εγχειρίδιο χρήσης του Microsoft Visual Studio 2010 Ιωάννης Γεωργουδάκης - Πάρις Μαστοροκώστας Σεπτέμβριος 2011 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομη περιγραφή 5. Για να ξεκινήσετε 6. Οι οθόνες του προγράμματος 8. Εγκατάσταση προγράμματος 6 Δημιουργία κωδικών χρήστη 7

Σύντομη περιγραφή 5. Για να ξεκινήσετε 6. Οι οθόνες του προγράμματος 8. Εγκατάσταση προγράμματος 6 Δημιουργία κωδικών χρήστη 7 Σύντομη περιγραφή 5 Για να ξεκινήσετε 6 Εγκατάσταση προγράμματος 6 Δημιουργία κωδικών χρήστη 7 Οι οθόνες του προγράμματος 8 Αρχική οθόνη 8 Στοιχεία ασθενή 9 Εργασίες - Ραντεβού 10 Εικόνες 11 Ημερολόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Το πρόγραμμα συγχρηματοδοτείται 75% από το Ευρωπαϊκό κοινωνικό ταμείο και 25% από εθνικούς πόρους.

Το πρόγραμμα συγχρηματοδοτείται 75% από το Ευρωπαϊκό κοινωνικό ταμείο και 25% από εθνικούς πόρους. Το πρόγραμμα συγχρηματοδοτείται 75% από το Ευρωπαϊκό κοινωνικό ταμείο και 25% από εθνικούς πόρους. ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ, ΧΗΜΕΙΑΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ORIGIN ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΧΡΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ. Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ. Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Κ. ΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ - Α. ΧΡΗΣΤΙ ΟΥ Κ. ΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ - Α. ΧΡΗΣΤΙ ΟΥ Οκτώβριος 011 MATLAB

Διαβάστε περισσότερα

4 ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟΣ ΣΚΟΠΟΣ :

4 ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟΣ ΣΚΟΠΟΣ : 4 ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟΣ ΣΚΟΠΟΣ : Σκοπός του συγκεκριμένου φύλλου εργασίας είναι ο μαθητής να εξοικειωθεί με τις συναρτήσεις, τις αριθμητικές πράξεις καθώς και την επισήμανση κελιών υπό όρους με στόχο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγός γρήγορης εκκίνησης

Οδηγός γρήγορης εκκίνησης Οδηγός γρήγορης εκκίνησης Το Microsoft Word 2013 έχει διαφορετική εμφάνιση από προηγούμενες εκδόσεις. Γι αυτό το λόγο, δημιουργήσαμε αυτόν τον οδηγό για να ελαχιστοποιήσουμε την καμπύλη εκμάθησης. Γραμμή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμική Εφαρμογή Διαχείρισης Ερωτηματολογίων ΟΔΗΓΟΣ ΧΡΗΣΗΣ System Συμβουλευτική Α.Ε

Λογισμική Εφαρμογή Διαχείρισης Ερωτηματολογίων ΟΔΗΓΟΣ ΧΡΗΣΗΣ System Συμβουλευτική Α.Ε σχετικά με τον έλεγχο της καπνιστικής συνήθειας 1 22 Λογισμικές εφαρμογές καταγραφής και αξιοποίησης πληροφοριών σχετικά με τον έλεγχο της καπνιστικής συνήθειας Λογισμική Εφαρμογή Διαχείρισης Ερωτηματολογίων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑΚΑ ΦΟΡΤΙΑ

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑΚΑ ΦΟΡΤΙΑ 2 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 475 ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑΚΑ ΦΟΡΤΙΑ Μαστρογιάννης Αθανάσιος Εκπαιδευτικός Δευτεροβάθμιας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΜΚ 105: Πειραματική και Στατιστική Ανάλυση Δημιουργία Πινάκων και Γραφικών Παραστάσεων στην Excel 18/09/14

ΜΜΚ 105: Πειραματική και Στατιστική Ανάλυση Δημιουργία Πινάκων και Γραφικών Παραστάσεων στην Excel 18/09/14 ΜΜΚ 105: Πειραματική και Στατιστική Ανάλυση Δημιουργία Πινάκων και Γραφικών Παραστάσεων στην Excel 18/09/14 1. Δημιουργία Πίνακα 1.1 Εισαγωγή μετρήσεων και υπολογισμός πράξεων Έστω ότι χρειάζεται να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 1.1. Τι είναι το Matlab... 13 1.2. Περιβάλλον εργασίας... 14 1.3. Δουλεύοντας με το Matlab... 16 1.3.1. Απλές αριθμητικές πράξεις... 16 1.3.2. Σχόλια...

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Προχωρημένη Στατιστική 2. ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική. Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο. Κ. Πολίτης

Περιγραφική Στατιστική. Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο. Κ. Πολίτης Περιγραφική Στατιστική Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο Κ. Πολίτης 1 2 Η στατιστική ασχολείται με τη συλλογή, οργάνωση, παρουσίαση και ανάλυση πληροφοριών. Οι πληροφορίες αυτές, πολύ συχνά αριθμητικές,

Διαβάστε περισσότερα

= p 20 1 p 18. 1 p Το σημείο στο οποίο μηδενίζεται η παραπάνω μερική παράγωγος είναι

= p 20 1 p 18. 1 p Το σημείο στο οποίο μηδενίζεται η παραπάνω μερική παράγωγος είναι Άσκηση 1 i) Σε κάθε παρατήρηση περιλαμβάνεται ένας έλεγχος (ο τελευταίος) κατά τον οποίο εμφανίστηκε το πρώτο ελαττωματικό της παραγωγικής διαδικασίας. Επομένως, ο αριθμός ελέγχων που έγιναν πριν εμφανιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΗΣ 2007 - ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ

ΜΑΗΣ 2007 - ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΜΑΗΣ 2007 - ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΟΔΗΓΙΕΣ: ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΤΕ ΣΕ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. Το εξεταστικό δοκίμιο αποτελείται από δύο Ενότητες Α και Β. ΕΝΟΤΗΤΑ Α - Αποτελείται από δέκα (10) ερωτήσεις. Κάθε ορθή απάντηση

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Αριθμητική Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ακ. Έτος 2012-2013 Δεύτερο Πρόγραμμα 1 / * Second Simple Program : add 2 numbers * / 2

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η σύνταξη μιας συνάρτησης σ ένα κελί έχει την γενική μορφή: =όνομα_συνάρτησης(όρισμα1; όρισμα2;.)

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η σύνταξη μιας συνάρτησης σ ένα κελί έχει την γενική μορφή: =όνομα_συνάρτησης(όρισμα1; όρισμα2;.) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση είναι ένας έτοιμος τύπος ο οποίος δέχεται σαν είσοδο τιμές ή συνθήκες και επιστρέφει ένα αποτέλεσμα, το οποίο μπορεί να είναι μια τιμή αριθμητική, αλφαριθμητική, λογική, ημερομηνίας

Διαβάστε περισσότερα

Alpha Web Banking Εργαλείο δηµιουργίας αρχείων. Οδηγίες χρήσεως

Alpha Web Banking Εργαλείο δηµιουργίας αρχείων. Οδηγίες χρήσεως Alpha Web Banking Εργαλείο δηµιουργίας αρχείων Οδηγίες χρήσεως ΑΘΗΝΑ, ΙΟΥΝΙΟΣ 2004 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Σκοπός και δυνατότητες του εργαλείου...2 2. Είδη αρχείων που υποστηρίζει το εργαλείο...2 3. Εγκατάσταση...3

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογή Ηλεκτρονικής Υποβολής Δηλώσεων Ε9. Οδηγίες Χρήσης

Εφαρμογή Ηλεκτρονικής Υποβολής Δηλώσεων Ε9. Οδηγίες Χρήσης Εφαρμογή Ηλεκτρονικής Υποβολής Δηλώσεων Ε9 Οδηγίες Χρήσης Πίνακας Περιεχομένων 1. Αρχική οθόνη... 3 2. Αρχική Οθόνη Πιστοποιημένου Χρήστη... 4 2.1. Οριστικοποίηση της Περιουσιακής Εικόνας... 5 2.2. Καρτέλες

Διαβάστε περισσότερα

1. Τα τμήματα της επιφάνειας εργασίας των Windows

1. Τα τμήματα της επιφάνειας εργασίας των Windows 1. Τα τμήματα της επιφάνειας εργασίας των Windows Εικονίδια συντομεύσεων (αρχείου-φακέλου) Εικονίδια Ανενεργά Ενεργό Επιφάνεια (αρχείου-φακέλου) παράθυρα παράθυρο εργασίας Γραμμή μενού Γραμμή εργαλείων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Πιθανότητες 1.1 Πιθανότητες και Στατιστική... 5 1.2 ειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 7 1.3 Ορισμοί και νόμοι των πιθανοτήτων... 10 1.4 εσμευμένη πιθανότητα Ολική

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Εκτελώντας το πρόγραμμα παίρνουμε ένα παράθυρο εργασίας Γεωμετρικών εφαρμογών. Τα βασικά κουμπιά και τα μενού έχουν την παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Survey 123 User Manual

Survey 123 User Manual Survey 123 User Manual 1. Γενικά για το πρόγραμμα 2. Έναρξη προγράμματος 3. Ορισμός χρηστών εφαρμογής 4. Επιλογή - Άνοιγμα έρευνας 5. Δημιουργία νέας έρευνας 6. Δημιουργία έρευνας με βάση το ερωτηματολόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυασμός Μαθηματικών με γραφικές παραστάσεις

Συνδυασμός Μαθηματικών με γραφικές παραστάσεις Το πρόγραμμα Origin Συνδυασμός Μαθηματικών με γραφικές παραστάσεις Δημιουργία γραφικής παράστασης συνάρτησης Για να δημιουργήσετε τη γραφική παράσταση από μια συνάρτηση επιλέξτε File-New-Graph To Origin

Διαβάστε περισσότερα

Εγχειρίδιο διαχείρισης χρηστών και λιστών διανομής για τον Υπεύθυνο Φορέα του Δικτύου "Σύζευξις" -1-

Εγχειρίδιο διαχείρισης χρηστών και λιστών διανομής για τον Υπεύθυνο Φορέα του Δικτύου Σύζευξις -1- -1- 1 Διαχείριση Χρηστών...3 1.1 Υπηρεσίες...5 1.1.1 Δημιουργία νέου χρήστη...6 1.1.2 Αναζήτηση χρήστη...7 1.1.2 Επεξεργασία στοιχείων χρήστη...8 1.1.3 Δημιουργία /Επεξεργασία mailbox plan...10 1.1.4 Ενεργοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Εντολές της LOGO (MicroWorlds Pro)

Εντολές της LOGO (MicroWorlds Pro) Εντολές της LOGO (MicroWorlds Pro) Εντολές εμφάνισης (εξόδου) και αριθμητικές πράξεις δείξε Εμφανίζει στην οθόνη έναν αριθμό, το αποτέλεσμα πράξεων, μια λέξη ή μια λίστα (ομάδα) λέξεων. δείξε 200 200 δείξε

Διαβάστε περισσότερα

Γ ε ν ι κ ό Λ ύ κ ε ι ο Ε λ ε υ θ ε ρ ο ύ π ο λ η ς. Α λ γ ό ρ ι θ μ ο ι

Γ ε ν ι κ ό Λ ύ κ ε ι ο Ε λ ε υ θ ε ρ ο ύ π ο λ η ς. Α λ γ ό ρ ι θ μ ο ι Α λ γ ό ρ ι θ μ ο ι Αριθμητικοί τελεστές Οι αριθμητικοί τελεστές είναι: πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός και διαίρεση +,-,*,/ ύψωση σε δύναμη ^ πηλίκο ακέραιης διαίρεσης δύο ακεραίων αριθμών div υπόλοιπο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις δεδομένων (Access)

Βάσεις δεδομένων (Access) Βάσεις δεδομένων (Access) Όταν εκκινούμε την Access εμφανίζεται το παρακάτω παράθυρο: Κουμπί Κενή βάση δεδομένων Κουμπί του Office Για να φτιάξουμε μια νέα ΒΔ κάνουμε κλικ στο κουμπί «Κενή βάση δεδομένων»

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2013-2014

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2013-2014 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2013-2014 Επιμέλεια: Ομάδα Διαγωνισμάτων από το Στέκι των Πληροφορικών Θέμα Α A1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τους

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Βοηθητικό Εγχειρίδιο

Βοηθητικό Εγχειρίδιο AGFN EXPERT LITE Χρηµατιστήριο Αθηνών Χρηµατιστήριο Αξιών Κύπρου Βοηθητικό Εγχειρίδιο Version 7.5.0.322 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 2 1.1. ΕΚΚΙΝΗΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ AGFN EXPERTLITE... 2 2. ΣΥΝ ΕΣΗ (LOGIN)... 3

Διαβάστε περισσότερα

MANAGER SIDE BAR. Μία άλλη λειτουργία είναι το ξυπνητήρι. Μπορείτε να ορίσετε τον χρόνο υπενθύμισης. Μετά την λήξη του χρόνου θα ειδοποιηθείτε ηχητικά

MANAGER SIDE BAR. Μία άλλη λειτουργία είναι το ξυπνητήρι. Μπορείτε να ορίσετε τον χρόνο υπενθύμισης. Μετά την λήξη του χρόνου θα ειδοποιηθείτε ηχητικά MANAGER SIDE BAR Η Manager side bar είναι μία εφαρμογή σχεδιασμένη να προσφέρει μια σειρά από λειτουργίες και ευκολίες σε κάθε χρήστη Η/Υ προχωρημένο ή αρχάριο. Βασική λειτουργία της εφαρμογής είναι ότι

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο 8.1 Συντελεστές συσχέτισης: 8.1.1 Συσχέτιση Pearson, και ρ του Spearman 8.1.2 Υπολογισµός του συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Μενού Προβολή. Προβολές εγγράφου

Μενού Προβολή. Προβολές εγγράφου Μενού Προβολή Προβολές εγγράφου Το Word παρέχει πέντε διαφορετικού είδους προβολές στον χρήστη, οι οποίες και βρίσκονται στο μενού Προβολή (View). Εναλλακτικά μπορούμε να επιλέξουμε το είδος προβολής που

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά. Παράδειγμα 1o

Γενικά. Παράδειγμα 1o Γενικά Τα γραφήματα προσελκύουν την προσοχή και διευκολύνουν την προβολή συγκρίσεων, τάσεων σε δεδομένα. Για παράδειγμα, αντί να κάνει κανείς ανάλυση σε πολλές στήλες με αριθμούς στο φύλλο εργασίας μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγός Χρήσης Η-Βιβλίων Ebrary ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ & ΚΕΝΤΡΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΛΕΥΚΩΣΙΑΣ

Οδηγός Χρήσης Η-Βιβλίων Ebrary ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ & ΚΕΝΤΡΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΛΕΥΚΩΣΙΑΣ Οδηγός Χρήσης Μάιος, 2014 TABLE OF CONTENTS ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ ΤΗΣ EBRARY... 3 1. ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ... 3 ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ADOBE DIGITAL EDITIONS... 3 2. ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΥ EBRARY...

Διαβάστε περισσότερα

Microsoft PowerPoint 2007

Microsoft PowerPoint 2007 Information Technology Services and Solutions Σύμβουλοι Μηχανογράφησης και Εκπαίδευσης Στεφ. Σκουλούδη 27, Καλλίπολη, Πειραιάς 210 45 38 177 http://www.itss.gr/ Microsoft PowerPoint 2007 Κωνσταντίνος Κωβαίος

Διαβάστε περισσότερα

Singular Report Generator. Σχ 1 ηµιουργία Καταστάσεων SRG

Singular Report Generator. Σχ 1 ηµιουργία Καταστάσεων SRG Μια από τις πιο σηµαντικές ανάγκες που αντιµετωπίζει µια επιχείρηση κατά την εγκατάσταση ενός λογισµικού «πακέτου» (Οικονοµικής & Εµπορικής ιαχείρισης), είναι ο τρόπος µε τον οποίο πρέπει να ανταποκριθεί

Διαβάστε περισσότερα

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 014 015, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ Ημερομηνία ανάρτησης εργασίας στην ιστοσελίδα του μαθήματος: 1 11 014 Ημερομηνία παράδοσης εργασίας: 18 11 014 Επιμέλεια απαντήσεων:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Στην ενότητα αυτή παρατίθενται δεξιότητες που αφορούν στη χρήση των πιο διαδεδομένων λογισμικών Γεωγραφικών Συστημάτων Πληροφοριών (GIS).

Στην ενότητα αυτή παρατίθενται δεξιότητες που αφορούν στη χρήση των πιο διαδεδομένων λογισμικών Γεωγραφικών Συστημάτων Πληροφοριών (GIS). Ενότητα 3η: Χρήση Λογισμικού GIS Το παρακάτω αναλυτικό γνωστικό περιεχόμενο, αποτελεί την τρίτη ενότητα της εξεταστέας ύλης για την πιστοποίηση GISPro και παρέχει το υπόβαθρο της πρακτικής εξέτασης στο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού

Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού Η γλώσσα προγραμματισμού C Γεώργιος Δημητρίου Εκφράσεις και Λίγες Εντολές Οι εκφράσεις της C Τελεστές Απλές και σύνθετες εντολές Εντολές ελέγχου (επιλογής) Εισαγωγή σε

Διαβάστε περισσότερα