Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu,

Transcript

1 Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu, Iaşi

2 Repere metodice ale predării asemănării în gimnaziu Parcurgerea unității de învățare,,asemănarea triunghiurilor -la clasa a VII-a are ca finalități înzestrarea elevului cu competențe care să-i permită: Exprimarea ideilor privind asemănarea în vocabularul proporțiilor Aplicarea rezultatelor-teorema fundamentală a asemănării, criterii de asemănare-în rezolvarea de probleme practice Programa școlară cuprinde următoarele competențe specifice, relativ la tema menționată: CG1-6. Identificarea perechilor de triunghiuri asemenea în configuraţii geometrice date CG2-6. Stabilirea relaţiei de asemănare între două triunghiuri prin metode diferite CG5-6. Interpretarea asemănării triunghiurilor în corelaţie cu proprietăţi calitative şi/sau metrice CG6-6. Aplicarea asemănării triunghiurilor în rezolvarea unor probleme matematice sau practice

3 Conținuturi necesare pentru înțelegerea relației de asemănare Este esențial să se conștientizeze la nivelul înțelegerii elevilor, faptul că prin asemănare se măresc/ micșorează distanțele dintre puncte, dar se păstrează forma figurilor geometrice. Punerea în evidență a mărimilor proporționale este realizată printr-o gamă variată de probleme rezolvate de elevi în clasa a VI-a. În vederea predării relației de asemănare a figurilor geometrice un rol fundamental îl joacă teorema lui Thales și reciproca acesteia. Aplicații directe ale teoremei lui Thales, a căror demonstrație este instructivă sunt teorema bisectoarei interioare și teorema bisectoarei exterioare. Teorema lui Thales O paralelă la una din laturile unui triunghi, determină pe celelalte două laturi sau pe prelungirile lor, segmente proporționale. Teorema reciprocă(thales) Dacă o dreaptă determină segmente direct proporționale pe două laturi (prelungirile lor) ale unui triunghi, atunci dreapta este paralelă cu cea de-a treia latură a triunghiului ( dreapta nu conține nici un vârf a triunghiului)

4 Asemănarea triunghiurilor Definiție Fie triunghiurile ABC și A B C. Dacă (1) Unghiurile A,B,C sunt respectiv congruente cu unghiurile A, B, C si (2) spunem că există o asemănare între triunghiurile ABC și A B C și se notează cu ABC ~ A B C. Definiție AB BC CA A' B ' B ' C ' C ' A' Două triunghiuri ABC și A B C se numesc asemenea, dacă între ele există cel puțin o asemănare.

5 Teorema fundamentală a asemănării Fie triunghiul ABC și DE BC, A D, DϵAB, EϵAC. Atunci ADE~ ABC. Observația 1 Noțiunea de asemănare se poate extinde și pentru poligoane. Observația 2 Pe baza teoremei fundamentale a asemănării se stabilesc condiții necesare și suficiente de asemănare a triunghiurilor, numite cazuri sau criterii de asemănare. Observația 3 Relația de asemănare este o relație de echivalență pe mulțimea triunghiurilor din plan.

6 Clase de probleme relativ la asemănare Proprietăți ale unor configurații geometrice Relații între lungimi, arii sau volume ale unor figuri/corpuri geometrice Probleme de coliniaritate- teorema lui Menelaos Probleme de concurență- teorema lui Ceva Relații metrice- teorema înălțimii, teorema catetei, teorema lui Pitagora

7 Probleme de fixare a cunoștințelor Problema 1 Se consideră ortocentrele H și H ale triunghiurilor ABC și A B C. Dacă BHC~ B H C atunci ABC~ A B C

8 Problema 2 Fie ABC~ DEF, MϵBC și NϵEF. Demonstrați că triunghiurile ABM~ DEN în următoarele ipoteze suplimentare: a) AM și DN sunt mediane; b) AM și DN bisectoarele interioare/ exterioare ale unghiurilor cu varful în A, respectiv în D; c) AM și DN înălțimi; d) MA:MB=NE:NF

9 Teorema lui Menelaos Fie ABC și punctele A ϵbc, B ϵac și C ϵab. Punctele A, B și C sunt coliniare dacă și numai dacă are loc relația: A' B B ' C C ' A 1 A'C B 'A C 'B

10 Teorema lui Ceva Fie ABC și punctele A ϵbc, B ϵac și C ϵab. Dreptele AA, BB și CC sunt concurente într-un punct P dacă și numai dacă are loc relația: BA' CB ' AC ' 1 A'C B 'A C 'B

11 Teorema lui van Aubel Fie ABC și punctele A ϵ(bc), B ϵac și C ϵab. Dacă dreptele AA, BB și CC sunt concurente într-un punct P are loc relația: B ' A ' C A PA B ' C C ' B PA' Ind. Se aplică teorema lui Menelaos pentru AA C și punctele coliniare B,P,B ; se aplică th. Menelaos pt AA B și punctele coliniare C,P, C. Se sumeaz[ rela iile ob inute etc.

12 Problema 3 Se consideră un triunghi neisoscel ABC. Bisectoarele exterioare corespunzătoare unghiurilor cu vârfurile în A, B și C, intersectează dreptele BC, AC, respectiv AB în punctele A, B, respectiv C. Să se arate că Punctele A, B și C sunt coliniare ( dreapta antiortică a triunghiului ABC). Ind. Se aplică teorema bisectoarei unghiului exterior și rezultă A B/A C=AB/AC etc. Se înmultesc rapoartele si se obține reciproca teoremei lui Menelaos.