Στοχαστικος Προγραμματισμος

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Στοχαστικος Προγραμματισμος"

Transcript

1 M:\-Books\Systems Otmzaton\4-stoastkos\4-stochastkos.doc 4 Στοχαστικος Προγραμματισμος Στοχαστικος Προγραμματισμος... Error! Bookmark not defned. 4. Εισαγωγη... Error! Bookmark not defned. 4. Βασικη Θεωρια Πιθανοτητων και Στατιστικης... Error! Bookmark not defned. 4.3 Ληψη Αποφασεων υπο Αβεβαιοτητα... Error! Bookmark not defned. 4.4 Γραμμικος Στοχαστικος Προγραμματισμος... Error! Bookmark not defned Προβλημα δυο σταδιων ( Two-stage roblem)... Error! Bookmark not defned Μοντελο τυχηματικων περιορισμων (Chanceconstranedmodel) 4.5 Δυναμικος Στοχαστικος Προγραμματισμος... Error! Bookmark not defned. 4.6 Αλυσιδες Markov Page από 55

2 M:\-Books\Systems Otmzaton\4-stoastkos\4-stochastkos.doc ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Μαρκος Μποναζουντας Δεσποινα Καλλιδρομιτου 4. Εισαγωγή 4. Θεωρία πιθανοτήτων και στατιστικής 4. Εισαγωγή Τα χαρακτηριστικά των συστημάτων υδατικών πόρων παρουσιάζουν διακυμάνσεις (μαθηματική αβεβαιότητα) λόγω φυσικών και ανθρωπογενών επιπτώσεων, όπως η ποιότητα ποταμού που επηρεάζεται απο την ηλιοφάνεια, την θερμοκρασία, την ροή και την απόρριψη αποβλήτων. Ο σχεδιασμός έργου υδατικών πόρων συναρτάται προς την οικονομική ανταποδοτικότητα, τις μετεωρολογικές, δημογραφικές, κοινωνικές και τεχνικές συνθήκες, τις περιβαλλοντικές επιπτώσεις και την κοινωνική αποδοχή. Οι παράμετροι σχεδιασμού δεν είναι γνωστές με βεβαιότητα. Η αβεβαιότητα αποτελεί χαρακτηριστικό των συστημάτων υδατικών πόρων και πρέπει να λαμβάνεται υπόψη στην διαδικασία βέλτιστου σχεδιασμού. Η βιβλιογραφία προσφέρει σειρά μεθόδων ανάλυσης. Μια απλή προσέγγιση στο πρόβλημα είναι η αντικατάσταση των μεταβλητών παραμέτρων με την αναμενόμενη τιμή ή κάποια άλλη τιμή (π.χ. ακραία τιμή, worst-case value) και η επίλυση του προβλήματος με ντετερμινιστική προσέγγιση (determnstc aroach). Η αβεβαιότητα συνεκτιμάται με μαθηματικές συναρτήσεις απο την θεωρία πιθανοτήτων, οπως οι αλυσίδες Markov, οι χρονοσειρές (tme-seres) και οι ουρές. Επιλεκτικές μέθοδοι δίνονται παρακάτω και στο επόμενο κεφάλαιο. 4. Θεωρία πιθανοτήτων και στατιστικής Αξιώματα θεωρίας πιθανοτήτων ) Η πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α είναι ένας αριθμός μεγαλύτερος ή ίσος του μηδενός και μικρότερος ή ίσος της μονάδας. Page από 55

3 M:\-Books\Systems Otmzaton\4-stoastkos\4-stochastkos.doc P[A] (4-) ) Η πιθανότητα του δειγματικού χώρου Ζ, δηλαδή του συνόλου όλων των ενδεχομένων, είναι: P[Z] (4-) 3) Η πιθανότητα ενός ενδεχομένου, που είναι η ένωση δύο αμοιβαίως αποκλειομένων ενδεχομένων Α και Β, Α Β, είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων κάθε ενδεχομένου: P[A B]P[A]+P[B] (4-3) 4) Η πιθανότητα του μηδενικού συνόλου είναι μηδέν. P[ ] (4-4) Τυχαία μεταβλητή και συναρτήσεις πιθανοτήτων Βασική έννοια στην θεωρία πιθανοτήτων είναι η τυχαία μεταβλητή (random varable) που ορίζεται σαν η συνάρτηση της οποίας η τιμή εξαρτάται από το αποτέλεσμα τυχαίου γεγονότος. Παράδειγμα τυχαίας μεταβλητής είναι ο αριθμός ετών έως ότου μια πλημμύρα παρασύρει μικρή γέφυρα ποταμιού ή η συνολική βροχόπτωση τον μήνα Δεκέμβριο. Οι τιμές των μεγεθών εξαρτώνται από μελλοντικά γεγονότα, των οποίων η τιμή δεν μπορεί να προσδιοριστεί εκ των προτέρων. Η τυχαία μεταβλητή δυνατόν να είναι διακριτή εάν λαμβάνει τιμές σε διακριτό σύνολο (π.χ. φυσικοί αριθμοί) ή συνεχής εάν λαμβάνει τιμές σε συνεχές σύνολο (π.χ. πραγματικοί αριθμοί). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (ΣΚΠ) F () της τυχαίας μεταβλητής (ΤΜ) Χ, την πιθανότητα η τιμή της Χ να είναι μικρότερη ή ίση του πραγματικού αριθμού : () F P[X ] (4-5) Η συνάρτηση F είναι μη φθίνουσα, δεξιά συνεχής και ισχύει: Page 3 από 55

4 M:\-Books\Systems Otmzaton\4-stoastkos\4-stochastkos.doc lm lm F F ( ) ( ) (4-6) Ειδικά για διακριτές τυχαίες μεταβλητές ισχύει: F () P ( ) (4-7) Από την σ.κ.π. ορίζουμε αντίστοιχα την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (ΣΠΠ), η οποία για συνεχή τυχαία μεταβλητή δίνεται από την: f () df ()/d (4-8) και ()d f (4-9) Με βάση τους παραπάνω ορισμούς αποδεικνύεται: P[a b] F (b) F (a) f b a () d (4-) Σχηματα απο σελιδα 99 Loucks (και τα 4) Επεκτείνοντας τα ανωτέρω ορίζεται η από κοινού (ont) συνάρτηση κατανομής πιθανότητας δύο τυχαίων μεταβλητών X και Υ. Στην περίπτωση τυχαίων συνεχών μεταβλητών: F y (, y) P[X, Y y] y f y (u, v) dudv (4-) Page 4 από 55

5 M:\-Books\Systems Otmzaton\4-stoastkos\4-stochastkos.doc Αντίστοιχα, για διακριτές τυχαίες μεταβλητές ορίζεται: F y (, y) P (, y ) (4-) y y y όπου: P (, y ) P[X, Y y ], (4-3) y Δεσμευμένη πιθανότητα: Η δεσμευμένη πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α δεδομένου του Β (ή όταν γνωρίζουμε ότι έχει συμβεί ή ότι θα συμβεί το Β) με P(B)> ορίζεται ως εξής: P(A / B) P(A! B) P(B) (4-4) Αν ισχύει P[E /E ]P[E ] ή P[E /E }P[E ], τότε τα δύο ενδεχόμενα είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους. Για δύο ανεξάρτητα ενδεχόμενα, από τον ορισμό της δεσμευμένης πιθανότητας προκύπτει: P[E! E ] (4-5) P[E / E] P[E ] P[E ] Η P[E! E ] P[E ]P[E ] (4-6) Αθροιστικός τύπος πιθανοτήτων: Ισχύει για δύο ή περισσότερα ενδεχόμενα και ειδικά για την περίπτωση δύο ενδεχομένων Α,Β η σχέση γράφεται ως εξής: P (A " B) P(A) + P(B) P(A! B) (4-7) Διακριτές κατανομές πιθανοτήτων Όπως έχει ήδη ειπωθεί, οι συναρτήσεις κατανομής πιθανότητας μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής γράφονται στην μορφή της σχέσης 4-7. Σε αυτή την σχέση, ο όρος P ( ι ) ονομάζεται κατανομή πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής Χ. Για να εκφράζει ο παραπάνω όρος μια κατανομή πιθανοτήτων, η μόνη προϋπόθεση είναι να είναι μη αρνητικός και να ισχύει: ΣP ( I ), για όλα τα. Υπάρχουν διάφορες διακριτές κατανομές πιθανοτήτων οι οποίες χρησιμοποιούνται στην επιχειρησιακή έρευνα. Οι σημαντικότερες παρουσιάζονται στην συνέχεια. Διωνυμική κατανομή Page 5 από 55

6 M:\-Books\Systems Otmzaton\4-stoastkos\4-stochastkos.doc Η συνάρτηση κατανομής πιθανότητας της διωνυμικής κατανομής είναι: P[X n! k!(n k)! k n k k] P ( ) (4-8) όπου σταθερά μεταξύ και, n φυσικός αριθμός και k επίσης φυσικός με k n. Πρόκειται για μια κατανομή, που είναι συνάρτηση δυο παραμέτρων, των n και. Διωνυμική κατανομή, σχήμα 8.6 σελ. 37 Leberman Θέτοντας n παίρνουμε την λεγόμενη κατανομή Bernoull, η οποία δίνεται από τις σχέσεις: P[X]- και P[X] Μια τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την κατανομή Bernoull, μπορεί να παίρνει δύο τιμές, έστω την και, με πιθανότητα και -, αντίστοιχα. Παράδειγμα τέτοιας μεταβλητής έχουμε όταν ρίχνουμε ένα νόμισμα. Έτσι, αν αντιστοιχίσουμε το στην κορώνα και το στα γράμματα και θεωρήσουμε ότι η πιθανότητα εμφάνισης κάθε όψης είναι.5, τότε το αποτέλεσμα του πειράματος τύχης θα ακολουθεί την κατανομή Bernoull με.5. Αποδεικνύεται ότι αν έχουμε X, X,, X n, n το πλήθος ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές Bernoull, κάθε μία με παράμετρο, τότε η τυχαία μεταβλητή Χ X + X + + X n, ακολουθεί την διωνυμική κατανομή με παραμέτρους n και.έτσι, για παράδειγμα αν ρίξουμε φορές ένα νόμισμα, και αντιστοιχίσουμε στην τυχαία μεταβλητή Χ το πόσες φορές έρθει κορώνα, τότε η Χ θα ακολουθεί διωνυμική κατανομή με παραμέτρους n και.5. Δηλαδή:! k P[X k] ( ) ( ) k!( k)! k Κατανομή Posson Η συνάρτηση κατανομής πιθανότητας της κατανομής Posson είναι: Page 6 από 55

7 M:\-Books\Systems Otmzaton\4-stoastkos\4-stochastkos.doc k λ λ e P[X k] (4-9) k! όπου λ θετική σταθερά (η παράμετρος της κατανομής) και k μη αρνητικός ακεραιος Κατανομή Posson σχ. 8.7, σελ. 38 Leberman Η κατανομή Posson χρησιμοποιείται πολύ συχνά στην επιχειρησιακή έρευνα και θεωρείται κατάλληλη σε περιπτώσεις κατά τις οποίες ένα γεγονός συμβαίνει ανά ορισμένα χρονικά διαστήματα, είναι εξίσου πιθανόν το γεγονός να συμβεί σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή και το αν θα συμβεί είναι ανεξάρτητο από το αν έχει ήδη συμβεί. Τέτοια γεγονότα μπορεί να είναι η άφιξη ενός πελάτη, η ζήτηση ενός προϊόντος ή η άφιξη ενός πλοίου σε ένα λιμάνι. Γεωμετρική κατανομή Η συνάρτηση κατανομής πιθανότητας της γεωμετρικής κατανομής είναι: P[X k (4-) k] ( ) όπου η παράμετρος είναι μία σταθερά μεταξύ και, και το k παίρνει τιμές,, 3, Η γεωμετρική κατανομή χρησιμοποιείται στην παρακάτω περίπτωση. Έστω ότι ένα πείραμα τύχης οδηγεί σε μια ακολουθία ανεξαρτήτων τυχαίων μεταβλητών Bernoull, παραμέτρου. Δηλαδή, P[X ] και P[X ]-, για όλα τα. Τότε, αποδεικνύεται ότι ο αριθμός των δοκιμών Χ, έως ότου η πρώτη μεταβλητή Bernoull πάρει την τιμή, ακολουθεί την γεωμετρική κατανομή με παράμετρο. Συνεχείς κατανομές πιθανοτήτων Η συνάρτηση κατανομής πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής υπολογίζεται από την σχέση: F () P[X ] f ()d (4-) b όπου f () είναι η συνάρτηση πυκνότητας της τυχαίας μεταβλητής X. Εφόσον γνωρίζουμε την f () εύκολα υπολογίζουμε την συνάρτηση κατανομής πιθανότητας, όπως και διάφορες πιθανότητες, από την σχέση (4-). Οι πιθανότητες που υπολογίζουμε καθ αυτόν τον τρόπο, ισούνται με το εμβαδόν της περιοχής που σχηματίζεται μεταξύ a,b και f (), όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα. Σχήμα 8.8, σελ. 3, Leberman Page 7 από 55

8 M:\-Books\Systems Otmzaton\4-stoastkos\4-stochastkos.doc Με δεδομένο ότι η πιθανότητα έχει οριστεί ως εμβαδόν στο παραπάνω σχήμα, συνάγεται ότι για συγκεκριμένη τιμή c, η πιθανότητα P[Xc] θα είναι μηδέν. Αυτό δεν σημαίνει ότι είναι αδύνατο να πάρει η τυχαία μεταβλητή Χ την τιμή μηδέν, αλλά ότι κάτι τέτοιο γίνεται με πιθανότητα μηδέν. Το ενδεχόμενο όμως η τυχαία μεταβλητή να βρίσκεται σε ένα πεπερασμένο, πολύ μικρό διάστημα, γύρω από το c, (c, c+dc), έχει πάντα μία μη μηδενική πιθανότητα σε συνεχείς μεταβλητές. Λαμβάνοντας υπόψην ότι P[Xc], για κάθε c, όταν οι τυχαίες μεταβλητές είναι συνεχείς, συμπεραίνουμε ότι για κάθε a και b ισχύει: P [a X b] P[a < X b] P[a X < b] P[a < X < b] (4-) Με βάση τις παραπάνω ιδιότητες της συνάρτησης πυκνότητας έχουν υπολογιστεί συνεχείς κατανομές πιθανοτήτων, πολλές εκ των οποίων έχουν εφαρμοστεί στο πεδίο της επιχειρησιακής έρευνας. Οι σημαντικότερες παρουσιάζονται στην συνέχεια. Εκθετική κατανομή Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μιας εκθετικής κατανομής δίνεται από την σχέση: θ f ( ) e για (4-3) θ ή f ( ) για < όπου θ θετική σταθερά. Η f () είναι πράγματι συνάρτηση πυκνότητας, αφού ισχύει: f θ ()d e d θ (4-4) Η γραφική παράσταση της κατανομής φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί: Σχήμα 8.9, σελ. 3 Leberman Η συνάρτηση κατανομής πιθανότητας υπολογίζεται ολοκληρώνοντας και είναι: F () για < και Page 8 από 55 θ F () e για (4-5) Η εκθετική κατανομή χρησιμοποιείται ευρύτατα σε εφαρμογές της επιχειρησιακής έρευνας, όπως ο χρόνος μεταξύ της αφίξεως δύο πελατών ή η χρονική διάρκεια τηλεφωνικών συνομιλιών.

9 M:\-Books\Systems Otmzaton\4-stoastkos\4-stochastkos.doc Κατανομή Γάμμα Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή ακολουθεί την κατανομή Γάμμα όταν η συνάρτηση πυκνότητάς της δίνεται από τον τύπο: y ( a ) β ( y e για y (4-6) α f ) Γ( a) β ( ) ή f για y< Πρόκειται για συνάρτηση δύο παραμέτρων, α και β, οι οποίες είναι θετικές. Η συνάρτηση Γ(α) ορίζεται ως: Γ(α) t a t e dt, για κάθε α> (4-7) Γραφική παράσταση μιας τυπικής κατανομής Γάμμα φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί: Σχ. 8., σελ. 33 Leberman Τυπικό παράδειγμα εφαρμογής της κατανομής Γάμμα αποτελεί ο συνολικός χρόνος εξυπηρέτησης n ανεξαρτήτων πελατών. Αποδεικνύεται ότι αν ο χρόνος εξυπηρέτησης του πελάτη ακολουθεί την εκθετική κατανομή με παράμετρο θ, τότε ο συνολικός χρόνος εξυπηρέτησης Τ, n ανεξαρτήτων πελατών, θα ακολουθεί κατανομή Γάμμα με παραμέτρους n και θ (αντίστοιχα με τα α και β). Κατά συνέπεια θα ισχύει: t y (n ) θ P[T < t] y e dy (4-8) n Γ (n) θ Εκτός από την εκθετική, μία ακόμα κατανομή, η χ, σχετίζεται με την κατανομή Γάμμα. Αν η τυχαία μεταβλητή Χ κατανέμεται κατά Γάμμα με παραμέτρους β και αν/ ( ν θετικός ακέραιος), τότε η τυχαία μεταβλητή ΖΧ ακολουθεί την χ -κατανομή με ν βαθμούς ελευθερίας. Η συνάρτηση πυκνότητας δίνεται στον πίνακα στο τέλος του υποκεφαλαίου. Κατανομή Βήτα Η συνάρτηση πυκνότητας της κατανομής αυτής είναι: Page 9 από 55

10 M:\-Books\Systems Otmzaton\4-stoastkos\4-stochastkos.doc Γ( α + β ) a f ( ) Γ( α) Γ( β ) ( β ) ( ) για οπουδήποτε αλλού (4-8) Έχουμε εκ νέου μια συνάρτηση δύο παραμέτρων, α και β, οι οποίες είναι θετικές σταθερές. Γραφική παράσταση της κατανομής φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. Σχ. 8., σελ. 34, Leberman Η κατανομή Βήτα ανήκει στην κατηγορία των κατανομών, στις οποίες η τυχαία μεταβλητή παίρνει τιμές σε μοναδιαίο διάστημα. Ειδικά στην περίπτωση που αβ, η κατανομή ονομάζεται ομοιόμορφη. Σε αυτήν την κατανομή η τυχαία μεταβλητή παίρνει τιμές από μηδέν έως ένα, οι οποίες έχουν όλες την ίδια πιθανότητα να συμβούν. Η συνάρτηση κατανομής δίνεται από την σχέση:, για b< για b F (b) b, για b>, (4-9) Δύο κατανομές, που συνδέονται άμεσα με την κατανομή Βήτα, είναι η Students t και η F. Αποδεικνύεται ότι αν η τυχαία μεταβλητή Χ κατανέμεται κατά Βήτα με παραμέτρους α/ και βν/, τότε η τυχαία μεταβλητή Ζ[νΧ(-Χ)] /, κατανέμεται κατά Students t, με ν βαθμούς ελευθερίας. Επίσης, αποδεικνύεται ότι αν η Χ κατανέμεται κατά Βήτα με παραμέτρους αν / και βν /, τότε η τυχαία μεταβλητή Ζν Χ/ν (-Χ) έχει μία F κατανομή με ν και ν βαθμούς ελευθερίας. Κανονική Κατανομή Πρόκειται σίγουρα για την συχνότερα χρησιμοποιούμενη κατανομή στην επιχειρησιακή έρευνα. Η συνάρτηση πυκνότητάς της δίνεται από την σχέση: f ( y) e πσ ( y µ ) / σ, για - <y< (4-3) Είναι συνάρτηση δύο παραμέτρων, του μ (πραγματικός αριθμός) και του σ (θετικός αριθμός). Γραφική παράσταση μιας τυπικής κανονικής κατανομής δίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. Παρατηρείται ότι πρόκειται για μια καμπύλη σε σχήμα καμπάνας, συμμμετρική περί του μ. Σχήμα 8.4, σελ. 36 Leberman Η αντίστοιχη συνάρτηση κατανομής είναι: Page από 55

11 M:\-Books\Systems Otmzaton\4-stoastkos\4-stochastkos.doc F ( b) b e πσ ( y µ ) / σ dy (4-3) Η κανονική κατανομή είναι, όπως προαναφέρθη, εξαιρετικά χρήσιμη, λόγω των παρακάτω ιδιοτήτων της: Αν Χ, Χ,, Χ n, ανεξάρτητες, κανονικά κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές, παραμέτρων (μ, σ ), (μ, σ ),, (μ n, σ n ), τότε και η ΧΧ +Χ + +Χ n είναι επίσης μία κανονικά κατανεμημένη μεταβλητή με παραμέτρους Σμ ι και (Σσ ι ) /. Αν C σταθερά και Χ κανονική μεταβλητή με παραμέτρους μ και σ, τότε η τυχαία μεταβλητή CΧ είναι επίσης κανονική με παραμέτρους Cμ και Cσ. Αν Χ, Χ,, Χ n, ανεξάρτητες, κανονικά κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές, κάθε μία παραμέτρων μ και σ, τότε η τυχαία μεταβλητή Χ n Χ n (4-3) κατανέμεται επίσης κανονικά με παραμέτρους μ και σ/ n Αναμενόμενες τιμές Παρά το ότι η γνώση της κατανομής πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής μας παρέχει όλες τις αναγκαίες πληροφορίες, πολλές φορές είναι επιθυμητό να γνωρίζουμε μία μόνο τιμή της μεταβλητής, η οποία χαρακτηρίζει την ίδια και την κατανομή της. Μία τέτοια τιμή είναι η λεγόμενη αναμενόμενη τιμή (eected value). Η αναμενόμενη τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής Χ συμβολίζεται με Ε(Χ) και δίνεται από την σχέση: kp[x k] k E(X) yf (y)dy (4-33) ανάλογα με το αν η τυχαία μεταβλητή είναι διακριτή ή συνεχής. Η έννοια της αναμενόμενης τιμής δεν χαρακτηρίζει απλώς την κατανομή πιθανοτήτων μιας τυχαίας μεταβλητής, αλλά επιπλέον αποτελεί δείκτη της μέσης τιμής ενός δείγματος. Πιο συγκεκριμένα, αν υπολογίζουμε συνεχώς τον αριθμητικό μέσο ενός Page από 55

12 M:\-Books\Systems Otmzaton\4-stoastkos\4-stochastkos.doc διαρκώς αυξανομένου δείγματος, τότε ο αριθμητικός μέσος τείνει στην αναμενόμενη τιμή της τυαίας μεταβλητής Χ. Αντίστοιχα με την αναμενόμενη τιμή τυχαίας μεταβλητής, ορίζεται και η αναμενόμενη τιμή συνάρτησης Ζ τυχαίας μεταβλητής Χ, έστω Ζg(X), όπου η g(x) θεωρείται επίσης τυχαία μεταβλητή. Η αναμενόμενη τιμή της g(x) δίνεται από την σχέση: g(k)p[x k] k E[g(X)] g(y)f (y)dy (4-34) ανάλογα με το αν η τυχαία μεταβλητή είναι διακριτή ή συνεχής. Ροπές Αν η συνάρτηση g, που περιγράφεται παραπάνω, δίνεται από τον τύπο, όπου θετικός Z g(x) X ακέραιος, τότε η αναμενόμενη τιμή του ονομάζεται ροπή τάξεως της τυχαίας μεταβλητής Χ και δίνεται από την σχέση: X k P[X k] k E(X ) y f (y)dy (4-35) με τον πρώτο κλάδο να αντιστοιχεί σε διακριτή και τον δεύτερο σε συνεχή μεταβλητή. Εύκολα παρατηρείται ότι η ροπή πρώτης τάξεως συμπίπτει με την αναμενόμενη τιμή της τυχαίας μεταβλητής Χ. Η πρώτης τάξεως ροπή πολύ συχνά συμβολίζεται με μ και καλείται μέση τιμή της κατανομής. Z g(x) (X E(X)) (X µ ) Αν η συνάρτηση g δίνεται από τον τύπο, τότε ( X µ ) η αναμενόμενη τιμή του όρου ονoμάζεται ροπή τάξεως περί της μέσης τιμής της τυχαίας μεταβλητής Χ και δίνεται από την σχέση: Page από 55

13 M:\-Books\Systems Otmzaton\4-stoastkos\4-stochastkos.doc E(X E(X)) (k µ ) P[X k] k E(X µ ) (4-36) (y µ ) f (y)dy Για, είναι Ε(Χ-μ), ενώ για ο όρος Ε(X-μ) ονoμάζεται διασπορά της τυχαίας μεταβλητής Χ και συμβολίζεται με σ. Αποδεικνύεται ότι: σ Ε Χ µ Ε Χ (4-37) ( ) ( ) µ Ο πίνακας που ακολουθεί περιέχει τις μέσες τιμές και την διασπορά κατανομών που χρησιμοποιούνται στην επιχειρησιακή έρευνα. Σημειώνεται ότι σε κάποιες κατανομές η μέση τιμή αρκεί για να τις περιγράψει, για παράδειγμα Posson, ενώ σε κάποιες άλλες χρειάζεται να γνωρίζουμε και την διασπορά, για παράδειγμα κανονική κατανομή. Ο καθορισμός, πάντως, όλων των ροπών μιας κατανομής ισοδυναμεί με καθορισμό της συνάρτησης πυκνότητας της κατανομής αυτής Κεντρικό οριακό θεώρημα Έστω οι ανεξάρτητες, τυχαίες μεταβλητές Χ, Χ,, Χ n, με μέσες τιμές μ, μ,, μ n και διασπορές σ, σ,, σ n. Με βάση τις παραπάνω μεταβλητές, μορφώνουμε μια νέα τυχαία μεταβλητή Ζ n, Zn n n X n σ ι ι µ (4-38) Σύμφωνα με το κεντρικό οριακό θεώρημα, αποδεικνύεται ότι, εφόσον ικανοποιούνται ορισμένες συνθήκες κανονικότητας, η τυχαία μεταβλητή Z n, ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή μ και διασπορά σ. Αυτό μπορεί να εκφρασθεί σε μαθηματική μορφή ως εξής: lm P[ Z n n b] b e π y / dy (4-39) Page 3 από 55

14 M:\-Books\Systems Otmzaton\4-stoastkos\4-stochastkos.doc Το οριακό θεώρημα βρίσκει άμεση εφαρμογή στην στατιστική, αφού αποδεικνύεται μέσω αυτού ότι οι μέσες τιμές δειγμάτων τείνουν προς την κανονικότητα, ακόμα και αν οι τυχαίες μεταβλητές Χ ι δεν κατανέμονται κανονικά. Πρέπει να σημειωθεί, όσον αφορά στην πρακτική εφαρμογή, ότι για να μπορεί να εφαρμοσθεί το κεντρικό οριακό θεώρημα, αρκούν δείγματα μεσαίου μεγέθους, με αριθμό παρατηρήσεων της τάξεως του Στοχαστικές διαδικασίες και χρονοσειρές Πολλές τυχαίες μεταβλητές υδρολογικής φύσεως είναι συναρτήσεις με τιμές χρονικά μεταβαλλόμενες. Οι μετρήσεις υδρολογικών μεταβλητών, όπως το ύψος κατακρημνίσεων ή η παροχή ενός ποταμού, διατεταγμένες σε αυστηρή χρονική ακολουθία, απαρτίζουν τις λεγόμενες υδρολογικές χρονοσειρές (tme seres). Οι χρονοσειρές διακρίνονται σε διακεκριμένες (dscrete) και συνεχείς (contnuous). Και στις δύο περιπτώσεις, τα μετρούμενα μεγέθη δεν είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους, αλλά κάθε τιμή της υδρολογικής μεταβλητής εξαρτάται από τις τιμές που προηγούνται. Οι χρονοσειρές που εξετάζονται στο κεφάλαιο αυτό, ως διατεταγμένες χρονικά παρατηρούμενες τιμές μιας υδρολογικής μεταβλητής, αποτελούν την απεικόνιση μιας υδρολογικής διαδικασίας. Οι υδρολογικές διαδικασίες, λόγω της τυχαιότητας που χαρακτηρίζει τα γενεσιουργά φυσικά μεγέθη της, αποτελούν κατ εξοχήν στοχαστικές διαδικασίες (stochastc rocesses). Στην συνέχεια, παρουσιάζονται οι βασικότερες έννοιες της στατιστικής που περιγράφουν τις στοχαστικές διαδικασίες. Περιγραφή στοχαστικών διαδικασιών: Στοχαστική διαδικασία καλείται κάθε τυχαία μεταβλητή της οποίας η τιμή μεταβάλλεται χρονικά σύμφωνα με τους νόμους των πιθανοτήτων. Όπως ακριβώς μια παρατηρούμενη τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής είναι ένα δυνατό αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης, έτσι και μια παρατηρούμενη χρονοσειρά είναι ένα από τα δυνατά εξαγόμενα μιας στοχαστικής διαδικασίας. Στη συνέχεια, γίνεται λόγος κατά κύριο λόγο για διακριτές στοχαστικές διαδικασίες, δηλαδή για μια χρονική ακολουθία τυχαίων μεταβλητών {X(t)}, όπου t,, 3, Οι ιδιότητες μιας στοχαστικής διαδικασίας συνήθως εξάγονται από μία μόνο παρατηρούμενη χρονοσειρά. Για να γίνει αυτό γίνονται οι εξής παραδοχές: Η διαδικασία είναι μόνιμη. Αυτό σημαίνει ότι η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής που απαρτίζει την χρονοσειρά, π.χ. της παροχής ενός ποταμού, είναι χρονικά αναλλοίωτη. Η μονιμότητα της χρονοσειράς εκφράζεται μαθηματικά ως: FX ( t)[ X ( t)] FX [ X ( t)] (4-4) Page 4 από 55

15 M:\-Books\Systems Otmzaton\4-stoastkos\4-stochastkos.doc Αν η χρονοσειρά,,, n θεωρείται μόνιμη, τότε η διασταυρούμενη συνάρτηση κατανομής πιθανοτήτων της με την χρονοσειρά +τ, +τ,, n+τ παραμένει αναλλοίωτη για όλα τα διαστήματα τ και τις χρονικές περιόδους,,, n. Στατιστικά μεγέθη που χαρακτηρίζουν μια χρονοσειρά είναι ο μέσος όρος και η σκέδασή της: µ (4-4) X E[ X ( t)] X Var[ X ( t)] σ (4-4) Ένα άλλο μέγεθος, που χαρακτηρίζει μια στοχαστική διαδικασία και δείχνει την εξάρτηση των τιμών των παρατηρούμενων χρονοσειρών από τις προηγούμενες, είναι ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης κ τάξεως.,ο οποίος εκφράζει την συσχέτιση των μελών της σειράς με τα μέλη της ίδιας σειράς, μετγατοπισμένης κατά κ χρονικά βήματα: Cov[ X ( t), X ( t + κ )] ρ X ( κ ) σ X (4-43) όπου κ θετικός ακέραιος. Στην περίπτωση που υπάρχει διαθέσιμη μόνο μία χρονοσειρά, πρέπει να εκτιμήσουμε τις τιμές των χαρακτηριστικών στατιστικών μεγεθών της στοχαστικής διαδικασίας, δηλαδή των μ X, σ X και ρ X (κ). Οι εκτιμήτριές τους είναι: και ˆµ Χ E [ X ( t)] (4-44) T σ ˆ X ( t ) u X (4-45) T t T κ ( t+ κ )( t ) t ˆ ρ X ( κ ) r (4-46) κ T ( ) t t Η μορφή της κατανομής, την οποία ακολουθούν οι παραπάνω εκτιμήτριες, εξαρτάται από το είδος συσχέτισης μεταξύ των μελών της στοχαστικής διαδικασίας που δίνει την παρατηρημένη χρονοσειρά. Πιο συγκεκριμένα, όταν οι παρατηρήσεις συσχετίζονται θετικά, όπως γίνεται κατά κόρον σε παροχοσειρές (βλέπε Hurst και άλλοι, 965, μετρήσεις από τον Νείλο), τότε η μεταβλητότητα (varance) των εκτιμητριών και Page 5 από 55

16 M:\-Books\Systems Otmzaton\4-stoastkos\4-stochastkos.doc u είναι μεγαλύτερη από ότι θα ήταν αν οι παρατηρούμενες τιμές ήταν μεταξύ τους ανεξάτητα μεγέθη. Αυτό οφείλεται στην ιδιότητα των χρονοσειρών που ονομάζεται «εμμονή», δηλαδή στο γεγονός διαδοχικά στοιχεία της χρονοσειράς να συνδέονται μεταξύ τους με κάποιο τρόπο που «εμμένει» και έχει ως αποτέλεσμα την μη τυχαιότητά της. Η παραπάνω ανάλυση αναφέρεται αποκλειστικά σε μόνιμες χρονοσειρές. Στην πραγματικότητα, όμως, φαινόμενα όπως η αστικοποίηση, η αποψίλωση των δασών, η αλλαγή του κλίματος κ.ά. καταλύουν την μονιμότητα και διαφοροποιούν την πιθανοτική κατανομή υδρολογικών κατανομών, που μπορεί να αναφέρονται σε ύψος βροχοπτώσεων, παροχή ποταμού, στάθμη υδροφόρου ορίζοντα ή άλλα υδρολογικά μεγέθη. Όταν μια χρονοσειρά δεν είναι μόνιμη στο υπό εξέταση χρονικό διάστημα (π.χ. περίοδος σχεδιασμού ενός έργου), τότε οι παραπάνω στατιστικές μέθοδοι δεν ισχύουν και το πρόβλημα γίνεται εξαιρετικά πολύπλοκο. Παράδειγμα στοχαστικής διαδικασίας.έστω το παραπάνω πρόβλημα ελέγχου αποθεμάτων: Ένα κατάστημα πωλήσεως φωτογραφικών ειδών διατηρεί απόθεμα ενός είδους φωτογραφικής μηχανής, κάνοντας νέες παραγγελίες μία φορά την εβδομάδα. Έστω D η ζήτηση κατά την διάρκεια της εβδομάδας. Η εβδομαδιαία ζήτηση D είναι ανεξάρτητη τυχαία μεταβλητή με κατανομή πιθανότητας που θεωρείται γνωστή. Έστω ότι είναι: : ο αριθμός των φωτογραφικών μηχανών στο κατάστημα αρχικά : ο αριθμός των φωτογραφικών μηχανών στο κατάστημα στο τέλος της πρώτης εβδομάδας, κ.ο.κ. Έστω επίσης ότι 3. Κάθε Σάββατο απόγευμα το κατάστημα κάνει μία παραγγελία, με αποτέλεσμα τον εφοδιασμό με καινούργιες φωτογραφικές μηχανές την Δευτέρα το πρωί. Το κατάστημα ακολουθεί την παρακάτω (s,s) πολιτική παραγγελιών. Εάν ο αριθμός των φωτογραφικών μηχανών στο κατάστημα κατά το τέλος της εβδομάδας είναι κάτω από s (δηλαδή μηδενικό απόθεμα), γίνεταιι παραγγελία ίση προς S 3 φωτογραφικές μηχανές, διαφορετικά δεν γίνεται παραγγελία. Υποτίθεται ότι χάνονται πωλήσεις κατά την διάρκεια της εβδομάδας, όταν η ζήτηση υπερβαίνει το απόθεμα προς διάθεση. Έτσι το σύνολο {Xt}, t,,, είναι μια στοχαστική διαδικασία, η οποία εκφράζεται από τις ακόλουθες επαναληπτικές σχέσεις: X t+ Page 6 από 55 ma[(3 Dt+ ),] ma[( t Dt + ),] για t < για t

17 M:\-Books\Systems Otmzaton\4-stoastkos\4-stochastkos.doc Λήψη αποφάσεων υπό αβεβαιότητα Η διαδικασία επιλογής εναλλακτικής λύσης είναι η ακόλουθη: Καθορισμός κάθε εναλλακτικής λύσης A, B, C, και κάθε κατάστασης S και S Καθορισμός της πιθανότητας, που αντιστοιχεί σε κάθε κατάσταση S, P[S ], για,,3, Υπολογισμός της αναμενόμενης χρηματικής αξίας για κάθε εναλλακτική λύση EMV A, EMV B, EMV C, και επιλογή αυτής με την μεγαλύτερη χρησιμότητα ή ισοδύναμα με το μικρότερο ευκαιριακό κόστος. 4.. Θεωρία αναμενόμενης χρηματικής αξίας Η έννοια της αναμενόμενης χρηματικής αξίας (Eected monetary value-emv) και ο ρόλος της στην επιλογή εναλλακτικής λύσης μπορεί να περιγραφεί με το παράδειγμα που ακολουθεί. Ας θεωρήσουμε ότι ρίχνουμε ένα νόμσμα και εφόσον επιλέξουμε σωστά κορώνα ή γράμματα κερδίζουμε $. Μπορούμε να επιλέξουμε να παίξουμε το παιχνίδι, οπότε πληρώνουμε $4, είτε να μην παίξουμε καθόλου. Το δέντρο απόφασης (decson tree) του παραδείγματος φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. Σχήμα 4., σελ. 7, Ossenbruggen Εναλλακτική λύση Α: Αφού δίνουμε $4 για να παίξουμε, το τελικό μας κέρδος θα είναι: Αν επιλέξουμε γράμματα και τοαποτέλεσμα είναι γράμματα: V(A,S ) $-$4 $6 Αν επιλέξουμε γράμματα και τοαποτέλεσμα είναι κορώνα: V(A,S ) $-$4 -$4 Εναλλακτική λύση Β: Εφόσον επιλέξουμε να μην παίξουμε V(B) $. Εφόσον θέλουμε να καθορίσουμε αν συμφέρει να παίξουμε ή όχι, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την έννοια της αναμενόμενης αξίας. Για την εναλλακτική λύση Α: EMV A P[ S ] V ( A, S) + P[ S ] V ( A, S ) $6 + ( A EMV $ ή $4) Αντίστοιχα, για την εναλλακτική λύση Β: Page 7 από 55

18 M:\-Books\Systems Otmzaton\4-stoastkos\4-stochastkos.doc EMV B $ Σύμφωνα με την θεωρία EMV, διαλέγουμε την εναλλακτική λύση με την μέγιστη αναμενόμενη χρηματική αξία. Αφού EMV A >EMV B, η εναλλακτική λύση Α θεωρείται ότι είναι η καλύτερη επιλογή. Με βάση την θεωρία πιθανοτήτων, αν ρίξουμε το νόμισμα πολλές φορές, το αναμενόμενο αποτέλεσμα θα είναι 5% κορώνα και 5% γράμματα. Όπως έχει ήδη αναφερθεί, αναμένουμε μακροχρόνια ένα καθαρό κέρδος $ κατά μέσο όρο, κάθε φορά που ρίχνουμε το νόμισμα. Επομένως, τελικά εμείς έχουμε το πλεονέκτημα. Παρ όλα αυτά, πρέπει να θυμόμαστε ότι το νόμισμα ρίχνεται μόνο μια φορά και το αποτέλεσμα θα είναι είτε κέρδος $6 είτε ζημία $4, όχι το αναμενόμενο κέρδος του $. Αν το κόστος συμμετοχής στο παιχνίδι ήταν $6, τότε η αναμενόμενη χρηματική αξία της εναλλακτικής λύσης Α θα ήταν: EMV A $4 + ( $6) $ Δηλαδή EMV A <EMV B και επομένως η ενδεικνυόμενη επιλογή είναι αν μην παίξουμε, διότι η πιθανότητα μακροχρόνια να κερδίσουμε είναι εναντίον μας. 4.. Ανάληψη ρίσκου Τα παραπάνω παραδείγματα δείχνουν ότι στην διαδικασία λήψης αποφάσεων πρέπει να συνεκτιμώνται τόσο οι οικονομικές, όσο και οι πιθανοτικές παράμετροι. Η πιθανότητα που αντιστοιχεί σε κάθε κατάσταση είναι ουσιαστικά ένας συντελεστής βάρους. Ας εξετάσουμε πάλι το πρόβλημα που αναπτύχθηκε στην προηγούμενη παράγραφο, στο οποίο όμως το κόστος συμμετοχής είναι $5. Η αναμενόμενη χρηματική αξία EMV A θα είναι: EMV A $5 + ( $5) $ Ομοίως για την εναλλακτική λύση Β, EMV B $. Τότε, σύμφωνα με την θεωρία EMV, δεν είμαστε σε θέση να επιλέξουμε, αφού EMV A EMV B. Είτε επιλέξουμε να παίξουμε, είτε όχι, το αποτέλεσμα είναι εξίσου αποδεκτό. Αυτό που στην πραγματικότητα καθορίζει την τελική επιλογή μας είναι το ποσό, το οποίο τελικά θα παίξουμε. Αν το ποσό αυτό είναι πολύ μεγάλο, θα πρέπει να αποφύγουμε να παίξουμε, διότι εφόσον χάσουμε κινδυνεύουμε να καταστραφούμε οικονομικά. Δηλαδή, η θεωρία EMV σε μια τέτοια περίπτωση δεν αποτελεί κατάλληλο κριτήριο. Αντίθετα, για Page 8 από 55

19 M:\-Books\Systems Otmzaton\4-stoastkos\4-stochastkos.doc μικρότερα ποσά, και επομένως μικρότερο ρίσκο, η θεωρία EMV μπορεί να αποτελέσει κατάλληλο κριτήριο για επιλογή εναλλακτικής λύσης. Όσα περιγράφονται στην παραπάνω παράγραφο φαίνονται καλύτερα στο παράδειγμα που ακολουθεί. Έστω ότι για να παίξουμε δίνουμε $5, αν μαντέψουμε σωστά παίρνουμε πίσω $ και χάνουμε τα χρήματά μας σε αντίθετη περίπτωση. Τότε : EMV A A ή EMV και EMV Β ($ $5) + ($ $5) Επομένως, έχουμε πάλι EMV A EMV Β, και κάθε επιλογή, σύμφωνα με την θεωρία EMV είναι εξίσου αποδεκτή. Παρ όλα αυτά, για τους περισσότερους από εμάς, θα θεωρούνταν υπερβολικά επικίνδυνο να παίξουμε ένα τέτοιο παιχνίδι, καθώς το αποτέλεσμα, εφόσον ήταν αρνητικό, θα είχε μεγάλο αντίκτυπο στην οικονομική μας κατάσταση. Είναι φανερό ότι η θεωρία EMV σε τέτοιες περιπτώσεις δεν περιγράφει επαρκώς όλους τους παράγοντες που υπεισέρχονται στην διαδικασία λήψης αποφάσεως. Εφαρμογές Στη συνέχεια αναπτύσσονται δύο εφαρμογές της θεωρίας της αναμενόμενης χρηματικής αξίας (EMV), όπως περιγράφονται από τον P. J. Ossenbruggen. Επιλογή συστήματος αντλιών παροχής νερού Θεωρούμε ότι υπάρχουν δύο εναλλακτικές λύσεις: Εναλλακτική λύση Α: αντλίες των Mgal/day σε παράλληλη λειτουργία Εναλλακτική λύση Β: 3 αντλίες των Mgal/day σε παράλληλη λειτουργία Η ζήτηση νερού, και συνεπώς η απαιτούμενη δυναμικότητα του αντλητικού συγκροτήματος, με την αντίστοιχη πιθανότητα φαίνονται στους δύο πίνακες που ακολουθούν: Εναλλακτική λύση Α Ζήτηση νερού q (Mgal/day) P[Qq] Page 9 από 55

20 M:\-Books\Systems Otmzaton\4-stoastkos\4-stochastkos.doc Εναλλακτική λύση Β Ζήτηση νερού q (Mgal/day) P[Qq] Το κόστος κεφαλαίου, σε εκ. Δολλάρια, είναι συνάρτηση της ζήτησης νερού q (Mgal/day): Page από 55.5 C.35q (4-47) Ενδεχόμενη αδυναμία του συστήματος να διανείμει ποσότητα νερού Mgal/day προκαλεί οικονομικές απώλειες στους καταναλωτές (αστικούς, βιομηχανικούς και αγροτικούς). Επιπλέον, η δημόσια ασφάλεια τίθεται σε κίνδυνο, αφού τόσο οι υπηρεσίες υγείας όσο και οι δυνάμεις πυρόσβεσης βασίζονται σε συνεχή παροχή πόσιμου νερού. Οι ετήσιες οικονομικές απώλειες εκτιμώνται σε: Ζήτηση νερού q (Mgal/day) Ετήσιες οικ. απώλειες $5 εκ. $5 εκ. Ζητείται ο καθορισμός του βέλτιστου συστήματος αντλιών. Δίνονται: επιτόκιο ευκαιριακού κόστους 5% και διάκεια ζωής του συστήματος 5 έτη. Επίλυση Καθορισμός των καταστάσεων S, S και S 3, ως προς την διακριτή τυχαία μεταβλητή Q: Q { q : q,,mgal / day} ή S {παροχή μηδέν} {q:q } S {παροχή Mgal/day} {q:q} S 3 {παροχή Mgal/day} {q:q} Οι αντίστοιχες πιθανότητες είναι: Εναλλακτική λύση Α P[S ] P[Q].5 P[S ] P[Q]. P[S 3 ] P[Q].9975 Εναλλακτική λύση Β P[S ] P[Q]. P[S ] P[Q].7

21 M:\-Books\Systems Otmzaton\4-stoastkos\4-stochastkos.doc P[S 3 ] P[Q].999 Το κόστος κεφαλαίου για κάθε εναλλακτική λύση είναι: Εναλλακτική λύση Α C (.35)().5 $.96 εκ. Εναλλακτική λύση Β C 3(.35)().5 $.86 εκ. Το κριτήριο επιλογής θα είναι η ελαχιστοποίηση του ευκαιριακού κόστους κεφαλαίου. Το ετήσιο όφελος που προκύπτει από τα δύο συστήματα είναι το ίδιο. Η παρούσα αξία των ετήσιων απωλειών για κάθε κατάσταση είναι: 5 ( +.5) S : PW 5 $,595εκ. 5.5( +.5) 5 ( +.5) S : PW 5 $6εκ. 5.5( +.5) S : PW 3 Το δέντρο απόφασης για τα δύο προτεινόμενα συστήματα αντλιών φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. Στα άκρα του δέντρου υπολογίζεται η παρούσα αξία του κόστους κεφαλαίου συν τις οικονομικές απώλειες. Fgure 4.6, Ossenbruggen, σελ. 8 Ο τρόπος υπολογισμού της παρούσας αξίας φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Page από 55 Κατάσταση Παρούσα αξία κεφαλαίου και απωλειών ($* 6 ) Εναλλακτική S V ( A, S ) Λύση Α S V ( A, S ) S 3 V ( A, S ) Εναλλακτική S V ( B, S ) Λύση Β S V ( B, S ) S 3 V ( B, S ) M + Η αναμενόμενη χρηματική αξία για κάθε εναλλακτική λύση, σε εκ. δολλάρια, θα είναι: Εναλλακτική λύση Α: EMV A P[S ]V(A,S )+P[S ]V(A,S )+P[S 3 ]V(A,S 3 )

22 M:\-Books\Systems Otmzaton\4-stoastkos\4-stochastkos.doc EMV A (.5)(598)+(.)(63)+(.9975)(.96) EMV A 6.5M++.95M 9.45 Εναλλακτική λύση Β: EMV B P[S ]V(B,S )+P[S ]V(B,S )+P[S 3 ]V(B,S 3 ) EMV B (.)(597)+(.7)(6)+(.999)(.86) EMV B Είναι EMV A > EMV B, και επομένως η εναλλακτική λύση Β, δηλαδή 3 αντλίες των Mgal/day σε παράλληλη λειτουργία, είναι η καλύτερη επιλογή. Σύστημα αντιπλημμυρικής προστασίας Σε αστική περιοχή έχει εκτιμηθεί το ετήσιο κόστος αποκατάστασης των ζημιών από πλημμύρα σε $6. εκ. Για την αντιπλημμυρική προστασία της περιοχής έχουν προταθεί δύο διαφορετικά συστήματα διόδευσης της πλημμύρας, αποτελούμενα από έναν ταμιευτήρα, αναχώματα και ανοικτούς αγωγούς με διαφορετικές παραμέτρους σχεδιασμού σε κάθε σύστημα. Η εναλλακτική λύση Α, κόστους $5 εκ., μπορεί να διοδεύσει με ασφάλεια πλημμύρα ύψους έως και.5 ft. Η δεύτερη εναλλακτική λύση, η οποία κοστίζει $ εκ., έχει σχεδιαστεί για πλημμύρες ύψους ως και ft. Το ετήσιο κόστος καταστροφών λόγω πλημμύρας Α, σε εκ. δολλάρια, με δεδομένη την κατασκευή συστήματος αντιπλημμυρικής προστασίας διαμορφώνεται σε: Εναλλακτική λύση A: A για.5 ft A 6( -.5) για >.5 ft Εναλλακτική λύση Β: A για. ft A 5( ) για >. ft όπου το ύψος πλημμύρας. Δίνεται η εκτίμηση της κατανομής των μεγίστων υψών πλημμυρικής ροής, με βάση μετρήσεις κατά το παρελθόν. Η εκτίμηση αυτή δίνεται με την μορφή ιστογράμματος, στο σχήμα που ακολουθεί. Σχήμα 4.4, σελ. 6, Ossenbruggen Η διάρκεια ζωής των δύο συστημάτων θεωρείται ότι είναι 4 έτη και ο ετήσιος συντελεστής ευκαιριακού κόστους %. Χρησιμοποιώντας τη θεωρία της ναμενόμενης χρηματικής αξίας, καθορίστε την βέλτιστη λύση μεταξύ των προτεινόμενων λύσεων Α και Β, καθώς και της εναλλακτικής λύσης μη κατασκευής συστήματος. Επίλυση Αρχικά καθορίζουμε τις καταστάσεις S: S { ύψος πλημμύρας που προκαλεί μηδενικές ζημιές } S { ύψος πλημμύρας που προκαλεί ζημιές } Για την εναλλακτική λύση Α, Page από 55

23 M:\-Books\Systems Otmzaton\4-stoastkos\4-stochastkos.doc ( ) [ S ] P[ X.5 ft] F ( 6) P Page 3 από 55.8 Για ύψος πλημμύρας X >.5 ft, η έκταση των ζημιών είναι συνάρτηση του, οπότε οι αντίστοιχες πιθανότητες υπολογίζονται από το ιστόγραμμα κατανομής: P[ S ] f ( 7 ) P[ S3 ] f ( 8 ) P[ S4 ] f ( 9 ) P[ S5 ] f ( ) P[ S6 ] f ( ) P[ S7 ] f ( ) Αντίστοιχα, για την εναλλακτική λύση Β, S ] P[ X ft] F ( ).9 P[ 8 Για Χ > ft, οι αντίστοιχες πιθανότητες θα είναι: [ S ] f ( 9 ) S ] f ( ) P P[ 3 P[ S4 ] f ( ) P[ S5 ] f ( ) Στη συνέχεια, υπολογίζεται το κόστος το σχετιζόμενο με κάθε κατάσταση S, C(S ). Η ετήσια εξοικονόμηση χρημάτων B(S ) είναι συνάρτηση του κόστους και των καταστροφών, όταν δεν υπάρχει αντιπλημμυρική προστασία. Τελικά, η καθαρή παρούσα αξία, NPW(S ), του οφέλους μείον το κόστος υπολογίζεται για κάθε κατάσταση. Οι υπολογισμοί γίνονταιαναλυτικά για την κατάσταση S 3 της εναλλακτικής λύσης Α, ενώ τα υπόλοιπα αποτελέσματα των υπολογισμών φαίνονται στον πίνακα που ακολουθεί.. Για την κατάσταση S 3, ισχύει.76ft.ft με μέσο σημείο το.875ft, οπότε: C(S 3 ) 6(.5) C(S 3 ) 6(.875.5) $.5 εκ. Οι εκτιμώμενες ζημιές, εφόσον δεν υπάρχει αντιπλημμυρική προστασία, είναι $6. εκ. Επομένως, η ετήσια εξοικονόμηση χρημάτων ανέρχεται σε: Β(S3) 6. C(S3) $4. εκ.

24 M:\-Books\Systems Otmzaton\4-stoastkos\4-stochastkos.doc Θεωρώντας ότι τα χρήματα που εξοικονομούμε, δηλαδή το όφελος, κατανέμεται ομοιόμορφα καθ όλη την διάρκεια ζωής του έργου (όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα), υπολογίζουμε την καθαρή παρούσα αξία. Σχήμα 4.7, σελ. 8, Ossenbruggen NPW Page 4 από 55 n ( + ) S ) B( S ) C n ( + ) ( 3 3 (4-48) όπου C $5 εκ., % και n 4 έτη. Με αντικατάσταση παίρνουμε: NPW ( S 3 ) $84.εκ. Συγκεντρωτικά τα αποτελέσματα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Εναλλακτική λύση Α: Μέσο Κόστος Καθαρή Σημείο Πιθανότητα Ζημιών Όφελος Παρούσα Αξία Κατάσταση Διαστήματος P[S ] C(S ) B(S ) V(A,S )NPW(S ) S -.8 $6.εκ $6. εκ.. S.65. $.75 εκ. $5.4εκ $98.4 εκ.. S $.5 εκ. $4.εκ $84. εκ.. S4.5.3 $3.75 εκ. $3.5εκ $69.5 εκ.. S $5.5 εκ. $.εκ $54.9 εκ.. S6.65. $6.75 εκ. $9.5εκ $4. εκ.. S $8.5 εκ. $8.εκ. $5.5 εκ. Εναλλακτική λύση Β: Μέσο Κόστος Καθαρή Σημείο Πιθανότητα Ζημιών Όφελος Παρούσα Αξία Κατάσταση Διαστήματος P[S ] C(S ) B(S ) V(Β,S )NPW(S ) S -.9 $6.εκ. $56. εκ.

25 M:\-Books\Systems Otmzaton\4-stoastkos\4-stochastkos.doc S.5.3 $.63 εκ. $5.6εκ. S $.88 εκ. $4.3εκ. S4.65. $3.3 εκ. $3.εκ. S $4.38 εκ. $.8εκ. Το δέντρο απόφασης φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί: Σχήμα 4.8, σελ. 84, Ossenbruggen $5. εκ. $37.9 εκ. $5.7 εκ. $3.5 εκ. Υπολογισμός αναμενόμενης χρηματικής αξίας, σε εκ. δολλάρια, για τις δύο εναλλακτικές λύσεις: EMV A P[S ]V(A,S )+P[S ]V(A,S )+ +P[S 7 ]V(A,S 7 ) EMV A (.8)(6.)+(.)(98.4)+ +(.)(5.6) EMV A 99. EMV B P[S ]V(B,S )+P[S ]V(B,S )+ +P[S 5 ]V(B,S 5 ) EMV B (.9)(56.)+(.3)(5.+ +(.)(3.5) EMV B 54.5 Έχουμε EMV A > EMV B, και επομένως επιλέγουμε την εναλλακτική λύση Α, κόστους $5 εκ. Παρατηρήσεις: Εφόσον ίσχυε EMVA < και EMV <, θα σήμαινε ότι και οι δύο λύσεις είναι απορριπτέες (nfeasble) και δεν θα έπρεπε να κατασκευαστεί σύστημα αντιπλημμυρικής προστασίας. Εδώ και οι δύο λύσεις είναι δυνατές, αλλά η λύση Α πλεονεκτεί και επομένως είναι προτιμητέα. Η επιλογή γίνεται ζυγίζοντας όλους τους παράγοντες κόστους, οφέλους και επικινδυνότητας Συγκρίνοντας τις δύο λύσεις Α και Β, για ύψος πλημμύρας.5, η εκτιμώμενη ζημιά είναι $3.75 εκ. για την Α και $.63 εκ. για την Β. Παρά όλα αυτά, η λύση Α είναι προτιμητέα, καθώς το επιπλέον κόστος κατασκευής του συστήματος προστασίας Β υπερκαλύπτει το επιπλέον όφελος από την κατασκευή του. 4.3 Στοχαστικός γραμμικός προγραμματισμός 4.3. Εισαγωγικό παράδειγμα Σε όλες τις μεθόδους επίλυσης που έχουν εφαρμοστεί στα προηγούμενα κεφάλαια, είτε αφορούσαν γραμμικό προγραμματισμό είτε οποιαδήποτε άλλη μέθοδο, είχε θεωρηθεί ότι οι παράμετροι του προβλήματος ήταν δεδομένες και σταθερές. Σε αντίθετη Page 5 από 55

26 M:\-Books\Systems Otmzaton\4-stoastkos\4-stochastkos.doc περίπτωση, δηλαδή όταν οι παράμετροι είναι τυχαίες μεταβλητές, το πρόβλημα προς επίλυση καλείται πρόβλημα στοχαστικού προγραμματισμού. Το παρακάτω απλό αριθμητικό παράδειγμα, ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού δύο μεταβλητών παραμέτρων και δύο περιορισμών, διασαφηνίζει την έννοια του στοχασικού προγραμματισμού. Οι τρεις πιθανοί συνδιασμοί των τυχαίων μεταβλητών φαίνονται στον πίνακα που ακολουθεί: c c b b α α α α και οι αντίστοιχες πιθανότητες είναι.5,. και.3. Από τους συντελεστές του προβλήματος, οι c, b, α, α είναι τυχαίες μεταβλητές, ενώ οι άλλες παράμετροι είναι σταθερές. Η αντικειμενική συνάρτηση, z c + c, μπορεί να αντικατασταθεί από την αναμενόμενη τιμή της, αφού στην εξίσωση υπεισέρχεται η τυχαία μεταβλητή c. Θα είναι: Mn: Ε ( z ) [(3)(.5) + (.5)(.) + (4)(.3)] + (4-49) + 3 Το σετ των περιορισμών Page 6 από 55 α +α (4-5) α (4-5) b +α b γράφεται : (4-5) + 4 (4-53) + 5 (4-54) (4-55) (4-56) (4-57)

27 M:\-Books\Systems Otmzaton\4-stoastkos\4-stochastkos.doc Στο παραπάνω σετ περιορισμών, ο πρώτος, ο δεύτερος και ο έκτος περιορισμός κυριαρχούν και συνεπώς το πρόβλημα παίρνει την τελική του μορφή: Mn: E ( z) 3 + (4-58) s.t (4-5) (4-53) + 5 +, 4 8 (4-57) (4-59) 4.3. Γραμμικό μοντέλο δύο σταδίων Με το γραμμικό μοντέλο δύο σταδίων μπορούμε να μετασχηματίζουμε ένα απλό πρόβλημα στοχαστικού προγραμματισμού σε ένα ισοδύναμο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού. Αυτό γίνεται μεγενθύνοντας ταυτόχρονα το πρόβλημα, όπως έγινε και στο εισαγωγικό παράδειγμα, στο οποίο αυξήθηκε ο αριθμός των περιορισμών. Πριν παρουσιαστεί αναλυτικά το μοντέλο δύο σταδίων αναπτύσσεται ένα απλούστερο πρόβλημα ενός σταδίου. Το μοντέλο σε προδιορισμική (ντετερμινιστική) μορφή γράφεται: s.t. ma n a n c b (4-6) για,,, m (4-6) για,,,n (4-6) Παραδοχές: Όλες οι συντελεστές της αντ. συνάρτησης είναι τυχαίες μεταβλητές και η τάξη μεγέθους όλων των μεταβλητών πρέπει να έχει καθοριστεί πριν γίνει γνωστή η πραγματική τιμή των μεταβλητών c. Αφού όλες οι παράμετροι των περιοριστικών διατάξεων είναι γνωστές με βεβαιότητα, καθορίζεται εύκολα ο χώρος πολιτικής. Τότε, όπως αναφέρεται και στο θεώρημα που ακολουθεί, η κατάλληλη συνάρτηση προς βελτιστοποίηση θα είναι η αναμενόμενη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Θεώρημα γραμμικής βεβαιότητας-ισοδυναμίας (Lnear certanty-equvalence theorem) Page 7 από 55

28 M:\-Books\Systems Otmzaton\4-stoastkos\4-stochastkos.doc Έστω ότι έχουμε να επιλύσουμε το παραπάνω πρόβλημα βελτιστοποίησης, στο οποίο οι συντελεστές a και b ι είναι επακριβώς γνωστοί, ενώ οι c είναι τυχαίες μεταβλητές ανεξάρτητες των. Σε αυτή την περίπτωση, και εφόσον γνωρίζουμε την τάξη μεγέθους των, η λύση του προβλήματος n ma mzee c (4-63) γράφεται ισοδύναμα : n ma mze E[ c ] (4-64) Επομένως, αν οι μόνες τυχαίες μεταβλητές είναι οι συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης και είναι ανεξάρτητες των τιμών των μεταβλητών απόφασης, τότε η βέλτιστη λύση μπορεί να βρεθεί επιλύοντας ένα ισοδύναμο πρόβλημα ντετερμινιστικού γραμμικού προγραμματισμού, στο οποίο εισάγονται οι αναμενόμενες τιμές των τυχαίων μεταβλητών στην αντ. συνάρτηση. Παράδειγμα μοντέλου δύο σταδίων Κάθε μήνα η εταιρεία Bg Board, μεταποιητής προϊόντων ξυλείας, μετατρέπει ένα δεδομένο όγκο ξύλου, Τ, σε οικοδομική ξυλεία και σανίδες. Στην αρχή κάθε μήνα, η εταιρεία πρέπει να αποφασίσει την ποσότητα: τόννοι ξύλου που μετατρέπονται σε οικοδομική ξυλεία τόννοι ξύλου που μετατρέπονται σε σανίδες. Ας υποθέσουμε ότι οι τόννοι ξύλου δίνουν α κυβικά μέτρα οικοδομική ξυλεία και α χιλιάδες τεμάχια σανίδες. Το αντίστοιχο κόστος παραγωγής είναι e και e. Στο τέλος του μήνα, η εταιρεία μπορεί να πουλήσει έως D κυβικά μέτρα οικοδομική ξυλεία σε τιμή f ανά κυβικό μέτρο, και κάθε επιπρόσθετη ποσότητα σε μικρότερη τιμή g ανά κυβικό μέτρο. Έστω s και t οι ποσότητες που πωλούνται στις παραπάνω τιμές. Ομοίως, η εταιρεία μπορεί να πουλήσει έως D χιλ. σανίδες σε τιμή f ανά χιλιάδα και τις υπόλοιπες σε μικρότερη τιμή g ανά χιλιάδα. Έστω, πάλι, s και t οι αντίστοιχες ποσότητες που πωλούνται στις παραπάνω τιμές. Τέλος, για κάθε τόνο ακατέργαστου ξύλου που η εταιρεία πουλάει στην αγορά, πληρώνεται f, ανεξάρτητα από την ποσότητα. Έστω ότι πουλάει s τόννους. Αν οι τιμές των α, f, g και D είναι εκ των προτέρων γνωστές, τότε πρόκειται για ένα κλασσικό πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: Page 8 από 55

29 M:\-Books\Systems Otmzaton\4-stoastkos\4-stochastkos.doc mamze( e e + fso + fs + gt + f s + g t ) (4-65) s.t. + s T + (4-66) + s + t a + s + t (4-68) s D (4-69) s D (4-7), s, t (4-7) a (4-67) Στην πραγματικότητα, οι τιμές των προϊόντων στην αγορά κυμαίνονται, εξαρτώμενες από τις συνθήκες προσφοράς και ζήτησης. Ως εκ τούτου, η εταιρεία δεν δύναται να γνωρίζει τις ακριβείς τιμές f και g των προϊόντων της, παρά μετά την πάροδο αρκετών εβδομάδων από την στιγμή που αποφασίζονται οι τιμές των και. Επίσης, ούτε οι ακριβείς τιμές των e είναι με ακρίβεια γνωστές, καθώς αυτές προσδιορίζονται εκ των υστέρων από λογιστικά δεδομένα. Επιπλέον, οι συντελεστές a, καθώς και το επίπεδο ζήτησης που εκφράζεται από τους συντελεστές D και D, κυμαίνονται κατά τυχαίο τρόπο. Οι συντελεστές s και t ι, καθορίζονται αφού γίνουν γνωστές οι τιμές των a, D. Αντιθέτως, η ποσότητα s καθορίζεται ταυτόχρονα με τις ποσότητες και, αφού η συνολική ποσότητα ξύλου Τ καθορίζεται στην αρχή κάθε περιόδου. Συνοψίζοντας τα ανωτέρω, όσον αφορά την χρονική ακολουθία έχουμε: Πρώτο στάδιο. Η εταιρεία επιλέγει τις ποσότητες, και s. Τυχαίο γεγονός. Οι ακριβείς τιμές των τυχαίων μεταβλητών e, f I, g I, a και D ι γίνονται γνωστές και είναι ανεξάρτητες των, και s. Δεύτερο στάδιο. Η εταιρεία καθορίζει τις τιμές των s, s, t και t. Με βάση την ανωτέρω δομή πληροφόρησης, η εταιρεία επιλέγει τις ποσότητες, και s με τις οποίες μεγιστοποιεί το αναμενόμενο κέρδος. Για να γίνει εφικτή η λύση του προβλήματος θεωρούμε ότι υπάρχει πεπερασμένος αριθμός Q διαφορετικών συνδυασμών τιμών για τις τυχαίες μεταβλητές (e, f I, g I, a και D ι ). Στο συγκεκριμένο παράδειγμα, ας θεωρήσουμε Q3. Δηλαδή υπάρχουν τα τρία παρακάτω σετ τιμών: (e, e, f, f, f, g, g, a, a, D, D ) με πιθανότητα (e, e, f, f, f, g, g, a, a, D, D ) με πιθανότητα (e 3, e 3, f 3, f 3, f 3, g 3, g 3, a 3, a 3, D 3, D 3 ) με πιθανότητα 3 όπου Page 9 από 55

30 M:\-Books\Systems Otmzaton\4-stoastkos\4-stochastkos.doc Οι τιμές, και s είναι ανεξάρτητες των τιμών των τυχαίων μεταβλητών, αφού καθορίζονται στο πρώτο στάδιο. Αυτό δεν ισχύει για τις μεταβλητές απόφασης του δευτέρου σταδίου, λόγω του ότι ήδη οι τυχαίες μεταβλητές έχουν καθοριστεί. Επομένως, οι μεταβλητές δευτέρου σταδίου συμβολίζονται με s q και t q, με q,, 3 και,. Η αντικειμενική συνάρτηση γράφεται: ma 3 q ( e e + f s + f s + f s + g t + g t ) q q q q q q q q q q q q (4-7) και λαμβάνοντας υπόψην την ανεξαρτησία των μεταβλητών πρώτου σταδίου από το σετ τιμών των τυχαίων μεταβλητών, μετασχηματίζεται σε: ma { E( e ) + ( f 3 + ( f + ( f 3 s s s E( e 3 + f + f + f 3 s ) s s 3 + E( f + g + g + g t t t 3 3 ) s + g + g + + g t 3 3 ) + t t ) + )} (4-73) όπου E ( e) e + e + 3e Page 3 από 55 3, και με παρόμοιες σχέσεις γράφονται οι αναμενόμενες τιμές των E(e ) και E(e 3 ). Το σετ των περιορισμών γράφεται αντίστοιχα: + s T + (4-74) aq + sq + tq aq + sq + t sq Dq sq Dq, s, t q για q,, 3, (4-75) (4-76) Παρατηρείται ότι το μοντέλο που λαμβάνει υπόψην την στοχαστικότητα ορισμένων εκ των παραμέτρων έχει 3 [ + 4Q] περιοριστικές εξισώσεις, σε αντίθεση με το ντετερμινιστικό μοντέλο, το οποίο έχει μόνο 5 περιορισμούς. Ομοίως, ο αριθμός των μεταβλητών απόφασης έχει αυξηθεί από 7 σε 5 [ 3 + 4Q]. Αξίζει επίσης να σημειωθεί ότι: Ο περιορισμός ως προς την συνολική ποσότητα πρώτης ύλης συμπεριλαμβάνεται αυτούσιος στο στοχαστικό μοντέλο.

31 M:\-Books\Systems Otmzaton\4-stoastkos\4-stochastkos.doc Υπάρχουν Q 3 διαφορετικές ομάδες περιορισμών, η κάθε μία από τις οποίες αντιστοιχεί σε ένα σετ τιμών των τυχαίων μεταβλητών. Οι μεταβλητές πρώτου σταδίου έχουν μοναδική τιμή και εμφανίζονται και στις τρεις ομάδες περιορισμών. Οι παράμετροι, όμως, των μεταβλητών αυτών αλλάζουν σε κάθε ομάδα, αφού είναι τιμές τυχαίων μεταβλητών. Υπάρχει ένα σετ μεταβλητών δευτέρου σταδίου (s q, t q ) και (s q, t q ), οι οποίες συνδέονται άμεσα με κάθε μία από τις ομάδες των περιορισμών. Το επίπεδό τους εξαρτάται άμεσα από τις τιμές που παίρνουν οι τυχαίες μεταβλητές. Η αντικειμενική συνάρτηση περιέχει τις αναμενόμενες τιμές των μεταβλητών πρώτου σταδίου. Οι πιθανότητες q, οι οποίες υπεισέρχονται στην αντικειμενική συνάρτηση, αποτελούν συντελεστές βάρους για τους συντελεστές των μεταβλητών δευτέρου σταδίου. Στην περίπτωση του μοντέλου δύο σταδίων είναι σημαντικό να γίνει κατανοητή η φύση του προβλήματος, ώστε να γίνει σωστή εφαρμογή της μεθόδου. Καταρχήν, θα πρέπει να έχουν προαποφασιστεί τα όρια εντός των οποίων θα βρίσκονται οι τιμές των μεταβλητών πρώτου σταδίου και στην συνέχεια εφαρμόζοντας το μοντέλο υπολογίζονται οι βέλτιστες τιμές τους. Δεν χρειάζεται να προσδιορίσουμε τις τιμές των μεταβλητών δευτέρου σταδίου, παρά μόνο αφού γίνουν γνωστές οι τιμές των τυχαίων μεταβλητών. Συνεπώς, αυτό που βρίσκει κανείς για τις μεταβλητές αυτές είναι μια βέλτιστη διαδικασία επιλογής τους, δηλαδή με την μέθοδο υποδεικνύεται μια στρατηγική καθορισμού των μεταβλητών δευτέρου σταδίου, ανάλογα με τις τιμές που παίρνουν οι τυχαίες μεταβλητές, έχοντας βέβαια προεπιλέξει τις μεταβλητές πρώτης τάξεως. Περίληψη. Στη συνέχεια ακολουθεί ένας συνοπτικός τρόπος μόρφωσης του γραμμικού στοχαστικού μοντέλου δύο σταδίων. Οι τιμές των τυχαίων μεταβλητών που υπεισέρχονται στο μοντέλο, είναι ανεξάρτητες των τιμών τις οποίες λαμβάνουν οι προεπιλεγόμενες μεταβλητές (μεταβλητές πρώτου σταδίου). Οι τιμές των, για,,, k n, καθορίζονται υποχρεωτικά στο πρώτο στάδιο, δηλαδή πριν γίνουν γνωστές οι ακριβείς τιμές των τυχαίων μεταβλητών. Οι περιορισμοί,,, g αποτελούνται αποκλειστικά από μεταβλητές πρώτου σταδίου, και οι συντελεστές αυτών είναι γνωστές με βεβαιότητα. Πάντα υπάρχει πεδίο δυνατών λύσεων για τις υπόλοιπες μεταβλητές (μεταβλητές δευτέρου σταδίου), για k+,, n. Οι τιμές αυτές υπολογίζονται αφού γίνουν γνωστές οι τιμές των τυχαίων μεταβλητών. Υπάρχει πεπερασμένος αριθμός Q δυνατών σετ τιμών για τις τυχαίες μεταβλητές c, για k+,, n, και a, b, για g+,, m και,, n. Τα σετ συμβολίζονται με (c q, a q, b q ) και η αντίστοιχη πιθανότητα κάθε σετ με q, για q,,, Q. Page 3 από 55

32 M:\-Books\Systems Otmzaton\4-stoastkos\4-stochastkos.doc Η μαθηματική έκφραση του προβλήματος είναι: Ma s. k t. k Q n cq q k+ E[ c ] + q a b k n aq + aq k +, q, q για κάθε q, b q q (δεύτερο στάδιο), για g+,,m και q,, Q (4-77) (4-78) (4-79) (4-8) Πρέπει να σημειωθεί ότι στο δεύτερο στάδιο ο συνολικός αριθμός περιορισμών είναι (m-g)q. Σε πραγματικές εφαρμογές, ο αριθμός αυτός μπορεί να είναι μεταξύ 5 και 5, κάτι που σημαίνει ότι για μεγάλα Q η μέθοδος πολύ δύσκολα βρίσκει πρακτική εφαρμογή. Αυτό αποδεικνύεται τελικά και ως το μεγαλύτερο μειονέκτημα του γραμμικού μοντέλου δύο σταδίων Μοντέλο τυχηματικών περιορισμών Όπως έχει ήδη ειπωθεί, ο μετασχηματισμός προβλημάτων στοχαστικού προγραμματισμού χρησιμοποιώντας το μοντέλο δυο σταδίων, πολύ συχνά οδηγεί σε προβλήματα με υπερβολικά μεγάλους αριθμούς εξισώσεων προς επίλυση. Έτσι, πολλές φορές είναι επιθυμητό να κάνουμε κάποιες επιπλέον παραδοχές, οι οποίες μας επιτρέπουν να μετασχηματίσουμε κατά τέτοιο τρόπο ώστε να προκύψει ένα ισοδύναμο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού με τον ίδιο ακριβώς αριθμό περιορισμών. Η νέα προσέγγιση του προβλήματος καλείται μοντέλο τυχηματικών περιορισμών (chanceconstraned model) και αναπτύχθηκε από τους καθηγητές A. Charnes και W. W. Cooer. Στη συνέχεια παρουσιάζεται ο τρόπος εφαρμογής της μεθόδου επανεξετάζοντας το παράδειγμα του προηγουμένου κεφαλαίου. Παράδειγμα. Θεωρούμε εκ νέου την περίπτωση της εταιρείας επεξεργασίας ξύλου Bg Board. Απλοποιώντας το πρόβλημα θεωρούμε ότι οι συντελεστές α και α είναι γνωστοί Page 3 από 55

33 M:\-Books\Systems Otmzaton\4-stoastkos\4-stochastkos.doc με μεγάλη ακρίβεια. Επιπλέον, δεν καθορίζεται μικρότερη τιμή πώλησης των προϊόντων της εταιρείας για την περίπτωση που η προσφορά υπερκαλύπτει την ζήτηση. Αντιθέτως, το μοντέλο μορφώνεται κατά τέτοιον τρόπο ώστε ολόκληρη η παραγωγή να μπορεί με μεγάλη πιθανότητα να πωληθεί στην κανονική της τιμή. Οι τυχαίες μεταβλητές αυτή την φορά είναι: το κόστος παραγωγής e, η τιμή πώλησης της ακατέργαστης ξυλείας f o και το μέγιστο επίπεδο ζήτησης κάθε προϊόντος D έτσι ώστε αυτό να πωλείται στην επιθυμητή για την εταιρεία τιμή. Η αντικειμενική συνάρτηση γράφεται: ma[ E( e ) E( e ) + E( f ) s + E( f) s E( f ) s ] (4-8) o o + Οι περιορισμοί του μοντέλου αφορούν στην πρώτη ύλη, την διαδικασία παραγωγής και την μη αρνητικότητα των μεταβλητών απόφασης. + + s T + s + s, s (4-8) a (4-83) a (4-84) (4-85) Επιπλέον, πρέπει να τεθούν περιορισμοί στην παραγώμενη ποσότητα, ειδάλλως, είναι πιθανόν, επιδιώκοντας να μεγιστοποιήσουμε το αναμενόμενο κέρδος, να βρούμε λύση η οποία υπερβαίνει την πραγματική ζήτηση. Αν υποτεθεί ότι η εταιρεία επιδιώκει την πώληση ολόκληρης της παραγώμενης ποσότητας προϊόντων ξύλου με μία κατ ελάχιστον πιθανότητα β, θα έχουμε δύο ακόμα περιορισμούς οι οποίοι γράφονται: P[ s β D ] P[ s β D ] (ζήτηση οικοδομικής ξυλείας) (4-86) (ζήτηση σανίδων) (4-87) Οι δύο παραπάνω περιορισμοί ονομάζονται τυχηματικοί, διότι επιβάλλουν όρια τιμών σε πιθανότητες. Αυτοί οι περιορισμοί αντιστοιχούν σε ένα ισοδύναμο ζεύγος γραμμικών ανισοτήτων της μορφής: Page 33 από 55

Στοχαστικές Στρατηγικές

Στοχαστικές Στρατηγικές Στοχαστικές Στρατηγικές 3 η ενότητα: Εισαγωγή στα στοχαστικά προβλήματα διαδρομής Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη:

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη: 4. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΥΠΟ ΑΒΕΒΑΙΑ ΖΗΤΗΣΗ Στις περισσότερες περιπτώσεις η ζήτηση είναι αβέβαια. Οι περιπτώσεις αυτές διαφέρουν ως προς το μέγεθος της αβεβαιότητας. Δηλαδή εάν η αβεβαιότητα είναι περιορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 3 ο a. Τυχαία Μεταβλητή-Έννοιες και Ορισμοί

Μάθημα 3 ο a. Τυχαία Μεταβλητή-Έννοιες και Ορισμοί Μάθημα 3 ο a Τυχαία Μεταβλητή-Έννοιες και Ορισμοί Στο μάθημα αυτό θα ορίσουμε την έννοια της τυχαίας μεταβλητής και θα αναφερθούμε σε σχετικές βασικές έννοιες και συμβολισμούς. Ross, σσ 135-151 Μπερτσεκάς-Τσιτσικλής,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή

Στατιστική. Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή Γεώργιος Ζιούτας Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 07-08 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium Iii Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι μία τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους και και συμβολίζουμε X N, αν έχει συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ορισμός τυχαίας μεταβλητής Τυχαία μεταβλητή λέγεται η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Copyright 2009 Cengage Learning 8.1 Συναρτήσεις Πυκνότητας Πιθανοτήτων Αντίθετα με τη διακριτή τυχαία μεταβλητή που μελετήσαμε στο Κεφάλαιο 7, μια συνεχής τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.)

Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μια συνάρτηση X ( ) με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών που συμβολίζουμε συνήθως

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής. Θεωρία Πιθανοτήτων. Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος

Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής. Θεωρία Πιθανοτήτων. Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής 1 Θεωρία Πιθανοτήτων Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος 2 Περιεχόμενα Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους 3 Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 08-09 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες

Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες Είπαμε ότι γενικά τα συστηματικά σφάλματα που υπεισέρχονται σε μια μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους είναι γενικά δύσκολο να επισημανθούν και να διορθωθούν.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Τυχαίο Δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή

Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή Συνάρτηση Γάμμα: Ιδιότητες o d Γ(α+)=αΓ(α) - αναδρομική συνάρτηση Γ(α+) = α! αν α ακέραιος. Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : , Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 Λύσεις 1ης σειράς ασκήσεων Προθεσμία παράδοσης: 22 Απριλίου 2015 Πρόβλημα 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις

ΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις ΔΕΟ - Επαναληπτικές Εξετάσεις Λύσεις ΘΕΜΑ () Το Διάγραμμα Διασποράς εμφανίζεται στο επόμενο σχήμα. Από αυτό προκύπτει καταρχήν μία θετική σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών. Επίσης, από το διάγραμμα φαίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 15/1/009 ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 10 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής. Pr T T0

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής. Pr T T0 ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής Δεσμευμένη αξιοπιστία Η δεσμευμένη αξιοπιστία R t είναι η πιθανότητα το σύστημα να λειτουργήσει για χρονικό

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 Νοεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµός Μία τυχαία µεταβλητή X καλείται διακριτή ή απαριθµητή αν παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς Πρόλογος Ο μηχανικός πρέπει να συνεχίσει να βελτιώνει την ποιότητα της δουλειάς του εάν επιθυμεί να είναι ανταγωνιστικός στην αγορά της χώρας του και γενικότερα της Ευρώπης. Μία σημαντική αναλογία σε αυτήν

Διαβάστε περισσότερα

Α Ν Ω Τ Α Τ Ο Σ Υ Μ Β Ο Υ Λ Ι Ο Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ Π Ρ Ο Σ Ω Π Ι Κ Ο Υ Ε Ρ Ω Τ Η Μ Α Τ Ο Λ Ο Γ Ι Ο

Α Ν Ω Τ Α Τ Ο Σ Υ Μ Β Ο Υ Λ Ι Ο Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ Π Ρ Ο Σ Ω Π Ι Κ Ο Υ Ε Ρ Ω Τ Η Μ Α Τ Ο Λ Ο Γ Ι Ο Α Ν Ω Τ Α Τ Ο Σ Υ Μ Β Ο Υ Λ Ι Ο Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ Π Ρ Ο Σ Ω Π Ι Κ Ο Υ Ε Ρ Ω Τ Η Μ Α Τ Ο Λ Ο Γ Ι Ο «Περιγραφική & Επαγωγική Στατιστική» 1. Πάνω από το 3 ο τεταρτημόριο ενός δείγματος βρίσκεται το: α) 15%

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Τυχαία Μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) ονομάζεται η συνάρτηση που απεικονίζει το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος στο σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Για την Γ Τάξη Γενικού Λυκείου Μάθημα Επιλογής ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Για την Γ Τάξη Γενικού Λυκείου Μάθημα Επιλογής ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Για την Γ Τάξη Γενικού Λυκείου Μάθημα Επιλογής ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Σε αντίθεση με την διακριτή τυχαία μεταβλητή, μία συνεχής τυχαία μεταβλητή παίρνει μη-αριθμήσιμο (συνεχές) πλήθος τιμών. Δεν μπορούμε να καταγράψουμε το σύνολο των τιμών

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

3 ο Μέρος Χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών

3 ο Μέρος Χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών 3 ο Μέρος Χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών Βασικά χαρακτηριστικά τυχαίας μεταβλητής: Μέση Τιμή (Me Vlue) Διακύμανση (Vrice) Γενικά χαρακτηριστικά: Ροπές μεταβλητών / Ροπογεννήτριες Χαρακτηριστικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ. Έννοια Ορισμοί Τρόπος υπολογισμού Kατανομή πιθανότητας Ασκήσεις

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ. Έννοια Ορισμοί Τρόπος υπολογισμού Kατανομή πιθανότητας Ασκήσεις ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Έννοια Ορισμοί Τρόπος υπολογισμού Kατανομή πιθανότητας Ασκήσεις Έννοια τυχαίας μεταβλητής Κατά τον υπολογισμό πιθανοτήτων, συχνά συμβαίνει τα ενδεχόμενα που μας ενδιαφέρουν να μετρούν

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 1 ου κεφαλαίου Βιβλίο: Κολυβά Μαχαίρα, Φ. & Χατζόπουλος Στ. Α. (2016). Μαθηματική Στατιστική, Έλεγχοι Υποθέσεων. [ηλεκτρ. βιβλ.] Αθήνα: Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ )

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Μια εταιρεία ταχυμεταφορών διατηρεί μια αποθήκη εισερχομένων. Τα δέματα φθάνουν με βάση τη διαδικασία Poion με μέσο ρυθμό 40 δέματα ανά ώρα. Ένας υπάλληλος

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος ΙΙ. Τυχαίες Μεταβλητές

Μέρος ΙΙ. Τυχαίες Μεταβλητές Μέρος ΙΙ. Τυχαίες Μεταβλητές Ορισμοί Συναρτήσεις κατανομής πιθανότητας και πυκνότητας πιθανότητας Διακριτές τυχαίες μεταβλητές Ειδικές κατανομές διακριτών τυχαίων μεταβλητών Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 4: Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας.

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική Ι Ενότητα 5: Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ. Συσχέτιση (Correlation) - Copulas

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ. Συσχέτιση (Correlation) - Copulas ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ Συσχέτιση (Correlation) - Copulas Σημασία της μέτρησης της συσχέτισης Έστω μία εταιρεία που είναι εκτεθειμένη σε δύο μεταβλητές της αγοράς. Πιθανή αύξηση των 2 μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ III ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ III ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ III ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Βασικός τελικός στόχος κάθε επιστηµονικής τεχνολογικής εφαρµογής είναι: H γενική βελτίωση της ποιότητας του περιβάλλοντος Η βελτίωση της ποιότητας ζωής Τα µέσα µε τα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Εκεί που είμαστε Κεφάλαια 7 και 8: Οι διωνυμικές,κανονικές, εκθετικές κατανομές και κατανομές Poisson μας επιτρέπουν να κάνουμε διατυπώσεις πιθανοτήτων γύρω από το Χ

Διαβάστε περισσότερα

Περίπου ίση µε την ελάχιστη τιµή του δείγµατος.

Περίπου ίση µε την ελάχιστη τιµή του δείγµατος. 1. Η µέση υπερετήσια τιµή δείγµατος µέσων ετήσιων παροχών Q (m3/s) που ακολουθούν κατανοµή Gauss, ξεπερνιέται κατά µέσο όρο κάθε: 1/0. = 2 έτη. 1/1 = 1 έτος. 0./1 = 0. έτος. 2. Έστω δείγµα 20 ετών µέσων

Διαβάστε περισσότερα

Επενδυτικός κίνδυνος

Επενδυτικός κίνδυνος Επιχειρησιακό Πρόγραμμα Εκπαίδευση και ια Βίου Μάθηση Πρόγραμμα ια Βίου Μάθησης ΑΕΙ για την Επικαιροποίηση Γνώσεων Αποφοίτων ΑΕΙ: Σύγχρονες Εξελίξεις στις Θαλάσσιες Κατασκευές Α.Π.Θ. Πολυτεχνείο Κρήτης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ Εισαγωγή

ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ Εισαγωγή 1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ Εισαγωγή Η ανάλυση ευαισθησίας μιάς οικονομικής πρότασης είναι η μελέτη της επιρροής των μεταβολών των τιμών των παραμέτρων της πρότασης στη διαμόρφωση της τελικής απόφασης. Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος)

Στατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος) Στατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος) 1 γ Ποιος είναι ο αριθμητικός μέσος όρος ενός δείγματος ετησίων αποδόσεων μιας μετοχής, της οποίας

Διαβάστε περισσότερα

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 4ης Ομάδας Ασκήσεων

Λύσεις 4ης Ομάδας Ασκήσεων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ. Ζυγοβίστι Λύσεις 4ης Ομάδας Ασκήσεων Τμήμα Α Λ αʹ Το συνολικό πλήθος των τερμάτων που θα σημειωθούν είναι X + Y, και η μέση

Διαβάστε περισσότερα

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial)

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ~B(n,p) n N και 0

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Κατανομή Δειγματοληψίας του Δειγματικού Μέσου Ο Δειγματικός Μέσος X είναι μια Τυχαία Μεταβλητή. Καθώς η επιλογή και χρήση διαφορετικών δειγμάτων από έναν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ. Ι. Προσδιοριστικά Μοντέλα αποθεµάτων

ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ. Ι. Προσδιοριστικά Μοντέλα αποθεµάτων ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ Οι αποφάσεις σχετικά µε την διαχείριση ή «πολιτική» των αποθεµάτων που πρέπει να πάρει κάποιος, ασχολείται µε το «πόσο» πρέπει να παραγγείλει (ή να παράγει) και «πότε» να παραγγείλει

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος)

Στατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος) Στατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος) 1. Ποιος είναι ο αριθμητικός μέσος όρος ενός δείγματος ετησίων αποδόσεων μιας μετοχής, της οποίας

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Π.χ. πρωτεύουσες, Εκ περιτροπής από δευτερεύουσες σε τριτεύουσες

Π.χ. πρωτεύουσες, Εκ περιτροπής από δευτερεύουσες σε τριτεύουσες Συστήματα άρδευσης Συνεχούς ροής Εκ περιτροπής Με ελεύθερη ζήτηση Μείξη (π.χ. χ περιορισμένη ζήτηση, ελεύθερη ζήτηση αλλά ορισμένες ημέρες της εβδομάδας) ) Συνεχούς ροής (χρησιμοποιήθηκε στα συλλογικά

Διαβάστε περισσότερα

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2017-2018 Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΜΣ στη «Ναυτιλία» Τμήμα Β art time Χαράλαμπος Ευαγγελάρας hevangel@unipi.gr Η έννοια της Πιθανότητας Ο όρος πιθανότητα είναι συνδέεται άμεσα με τη μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαία Μεταβλητή (Random variable-variable aléatoire)

Τυχαία Μεταβλητή (Random variable-variable aléatoire) Τυχαία Μεταβλητή (Random varable-varable aléatore) Σε πολλούς τύπους πειραμάτων τα αποτελέσματα είναι από τη φύση τους πραγματικοί αριθμοί. Παραδείγματα τέτοιων πειραμάτων αποτελούν οι μετρήσεις των υψών

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 5: Τυχαία Μεταβλητή Κατανομές Πιθανότητας

Διάλεξη 5: Τυχαία Μεταβλητή Κατανομές Πιθανότητας Διάλεξη 5: ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Έστω η ποιότητα ενός προϊόντος που παίρνουμε από ένα σύνολο προϊόντων με απλή τυχαία δειγματοληψία. Ανάλογα με το αν το προϊόν είναι ελαττωματικό, καλο ή άριστο, η παίρνει τις τιμές,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Στρατηγικές

Στοχαστικές Στρατηγικές Στοχαστικές Στρατηγικές 1 η ενότητα: Εισαγωγή στον Δυναμικό Προγραμματισμό Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 4 ου κεφαλαίου Ελεγχοσυναρτήσεις Γενικευμένου Λόγου Πιθανοφανειών Σταύρος Χατζόπουλος 27/03/2017, 03/04/2017, 24/04/2017 1 Εισαγωγή Έστω το τ.δ. X,,, από την κατανομή

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ

ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 6-7: ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ Τυχαία Μεταβλητή (Τ.Μ.): Συνάρτηση πραγματικών τιμών

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Εκτιμητική

Στατιστική. Εκτιμητική Στατιστική Εκτιμητική Χατζόπουλος Σταύρος 28/2/2018 και 01 /03/2018 Εισαγωγή Το αντικείμενο της Στατιστικής είναι η εξαγωγή συμπερασμάτων που αφορούν τον πληθυσμό ή το φαινόμενο που μελετάμε, με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Ενότητα 4 η : Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Διακριτής και Συνεχούς Τυχαίας Μεταβλητής. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Χημικών Μηχανικών Α.Π.Θ.

Στατιστική. Ενότητα 4 η : Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Διακριτής και Συνεχούς Τυχαίας Μεταβλητής. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Χημικών Μηχανικών Α.Π.Θ. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4 η : Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Διακριτής και Συνεχούς Τυχαίας Μεταβλητής Γεώργιος Ζιούτας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 6-7 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων Ι Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων Ι Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων Ι Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #6: Στοχαστικός Γραμμικός Προγραμματισμός Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 22Νοεμβρίου 2015 ΑΥΞΟΥΣΕΣ ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αν μια συνάρτηση f ορίζεται σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος Κατανόηση της εφοδιαστικής αλυσίδας Σχεδιασμός δικτύου εφοδιαστικής αλυσίδας...41

Πρόλογος Κατανόηση της εφοδιαστικής αλυσίδας Σχεδιασμός δικτύου εφοδιαστικής αλυσίδας...41 Περιεχόμενα Πρόλογος...7 1 Κατανόηση της εφοδιαστικής αλυσίδας...9 2 Σχεδιασμός δικτύου εφοδιαστικής αλυσίδας...41 3 Πρόβλεψη της ζήτησης σε μια εφοδιαστική αλυσίδα...109 4 Συγκεντρωτικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Ηθικός Κίνδυνος. Το βασικό υπόδειγμα. Παρουσιάζεται ένα στοχαστικό πρόβλημα χρηματοδότησης όταν τα αντισυμβαλλόμενα μέρη έχουν συμμετρική πληροφόρηση.

Ηθικός Κίνδυνος. Το βασικό υπόδειγμα. Παρουσιάζεται ένα στοχαστικό πρόβλημα χρηματοδότησης όταν τα αντισυμβαλλόμενα μέρη έχουν συμμετρική πληροφόρηση. Ηθικός Κίνδυνος Παρουσιάζεται ένα στοχαστικό πρόβλημα χρηματοδότησης όταν τα αντισυμβαλλόμενα μέρη έχουν συμμετρική πληροφόρηση Το βασικό υπόδειγμα Θεωρείστε την περίπτωση κατά την οποία μια επιχείρηση

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή: Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Στα πλαίσια του προπτυχιακού μαθήματος Χρονικές σειρές Τμήμα μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα 1 Μονοδιάστατες τυχαίες μεταβλητές Τυχαία μεταβλητή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Y=g(X) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ13 ( 1 )

Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Y=g(X) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ13 ( 1 ) Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής =() Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( ) Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Έστω τ.μ. Χ με γνωστή κατανομή. Δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 9 Ανάλυση αποφάσεων

Κεφ. 9 Ανάλυση αποφάσεων Κεφ. 9 Ανάλυση αποφάσεων Η θεωρία αποφάσεων έχει ως αντικείμενο την επιλογή της καλύτερης στρατηγικής. Τα αποτελέσματα κάθε στρατηγικής εξαρτώνται από παράγοντες, οι οποίοι μπορεί να είναι καταστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,

Διαβάστε περισσότερα