AB rab xi y j. Formule. rt OT xi y j. xi y j. a x1 i y1 j i b x2 i y 2 j. Jedinični vektor vektora O T točke T(x,y)
|
|
- Βηθζαθά Αλιβιζάτος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Formule Jedinični vektor vektora O T točke T(x,y) r xi y j r T0 T rt x y 1 x y xi y j Radijvektor u koordinatnoj ravnini koji pripada točki T(x,y) rt OT xi y j Vektor AB ako su: AB rab ( x x1 )i ( y y1 ) j A( x1, y1 ) i B( x, y ) Duljinom ili modulom vektora AB d ( A, B ) x y AB rab xi y j a b a b cos a b x1x y1y Skalarni produkt vektora a x1 i y1 j i b x i y j. cos 1 x1y1 x y x y1 x y 1, 0
2 Pojam vektora Da bi opisali pojam udaljenosti, površine, volumena, mase. dovoljno je izreći broj i mjernu jedinicu da bismo je jednoznačno i zorno opisali i zamislili, pa te veličine zovemo skalarnim veličinama. A da bismo opisali pojmove vjetra, strujanja, ubrzanja ubrzo postajemo svjesni da nam uz broj nedostaje još jedno svojstvo, a to je smjer djelovanja tog pojma, pa te veličine zovemo vektorske veličine. Vektor kao skup (klasa) usmjerenih dužina Neka su A i B dvije točke pravca u ravnini ili prostoru. Dužinu s krajevima A i B označavamo sa AB, a duljinu dužine sa AB ili d ( A, B ). Ako odredimo koja je početna, a koja krajnja točka dobili smo uređeni par točaka koji zovemo usmjerena dužina i označavamo je sa AB. Za usmjerene dužina AB i CD kažemo da su ekvivalentne ako postoji translacija koja prevodi točku A u C i točku B u D, tj. ako je tako dobiveni četverokut ABCD paralelogram. a Usmjerene dužine AB i CD su reprezentanti vektora a. Pogledaj sliku 1. Slika 1.
3 Definicija: Skup svih međusobno ekvivalentnih usmjerenih dužina naziva se vektor. Dakle vektor se može predočiti pomoću beskonačno mnogo različitih usmjerenih dužina reprezentanata ili predstavnika vektora, pa vektor možemo još zvati klasa usmjerenih dužina. Zbog jednostavnosti ćemo bilo koju usmjerenu dužinu (reprezentantu vektora) nazivati vektorom i označavani AB, CD. ili a, b. Skup svih vektora nekog prostora označavat ćemo s V. Za naše potrebe V će biti jednodimenzionalni prostor V 1 (pravac), dvodimenzionalni prostor V (ravnina) ili trodimenzionalni prostor V 3 Geometrijski vektor je zadan: o Pravcem nosiocem na kom je vektor nalazi o Duljinom ili modulom vektora AB d ( A, B ) o Orijentacijom na pravcu nosiocu. Ako govorimo o smjeru vektora objedinjujemo pravac nosioc i orijentaciju na njemu. Primjer Koja od usmjerenih dužina na slici ne pripadaju istoj klasi? Usmjerena dužina ne pripada u istu klasu usmjerenih dužina kao ostale, pa se ne da prikazati kao i ostale sa istim vektorom. Slika. 3
4 . Podjeli usmjerene dužine u dvije klase U prvu klasu usmjerenih dužina spadaju: A u drugu klasu : Slika 3. Primjer. a) Imaju li Marko i Pero isti vektor brzine? Slika 4. b) Što je zajedničko tim vektorima? c) A što je različito? 4
5 Operacije s vektorima c) Zbrajanje vektora Neka su a i b bilo koja dva vektora. Zbrajanje vektora je funkcija koja paru vektora a, b pridružuje vektor a b. Zbrajanje vektora po pravilu trokuta: AB BC AC a b b Slika 5. a Zbrajanje vektora po pravilu paralelograma: AB AD AC a b a b b Slika 6. a 5
6 Svojstva operacije zbrajanja vektora: 1) Asocijativnost: a b c a b c ) Nul vektor je neutralni element za zbrajane: a 0 0 a 3) Suprotni vektor kao inverzni element za zbrajanje: a a a a 0 4) Komutativnost a b b a Oduzimanje vektora Oduzimanje vektora definira se kao operacija zbrajanja sa suprotnim vektorom: a b a b b a b Slika 7. a b a b 6
7 II. Množenje vektora skalarom (brojem) Neka je vektor i a i λ realni broj. Množenje vektora sa skalarom je funkcija koja paru ( a,λ) pridružuje vektor a. Svojstva operacije množenja vektora sa skalarom: 1) Distributivnost a b a b ( )a a a ) Asocijativnost ( )a ( a ) a 3) Neutralni element 4) Suprotni vektor 5) Nul vektor 1 a a ( 1) a a 0 a 0 Za vektor a vrijedi: a i a su kolinearni (imaju isti ili paralelni nosač) o a a o 0 a i a su isto orijentirani 0 a i a su suprotno orijentirani o Primjer 3. AB a : Točke A,B,C,D,E,F su vrhovi pravilnog šesterokuta. Ako je AF b, a) Nađi i zapiši sve usmjerene dužine koje su ekvivalentne vektora a ili b. b) Prikaži vektore AO, BC,AC, AD, AE, FC kao linearnu kombinaciju vektora a i b, c) Izračunaj AC AE BC. d) prikaži pomoću postignutih rezultata vektore BD, DF,CE, FB. e) Izračunaj: FB BD DF 7
8 Rješenje: a) Pogledaj na slici 8 i pronađi sve usmjerene dužine koje su ekvivalentne vektora a ili b. a = AB a = a = a = b AF b = b = b = Slika 8. b) Iz trokuta ABO se vidi pa je po definiciji zbrajanja vektora pravilom trokuta: a b AO Iz trokuta ABC možemo napisati: A kako je BC OA a b Dobijemo: AC a a b a b Slika 9. 8
9 Za vektor AD je jasno da se sastoji od dva vektora AO, pa se može zapisati: AD AO a b a b AF FE AE Iz trokuta AEF vidimo da je AF b FE a b Ako zamijenimo AE b (a b ) a b Dobivamo: Za vektor FC je jasno da se satoji od dva vektora OC a, pa možemo napisati: d) Ako upotrijebimo rezultate iz zadatka b) dobijemo: AC AE BC (a b ) (a b ) (a b ) AC AE BC a b a b a b a b e) Vektore BD, DF,CE, FB za vježbu odredite sami. BD = DF CE FB Slika 10. f) Prije računa FB BD DF pokušaj donijeti zaključak na osnovu slike
10 Posebni pojmovi Nul vektor Vektor duljine 0 Oznaka: 0 Vrijedi: 0 AA BB... Duljina (modul) nul vektora: 0 0 Jedinični vektor Vektor duljine 1 a Za zadani vektor a, duljine a, jedinični vektor definiran je sa: a0 = a Vektor a0 ima isti smjer kao i a, a duljina mu je 1. Radijvektor (radijus vektor) Ako je T neka točka prostora, a O ishiodište koordinatnog sustava, vektor OT nazivamo radijvektor točke T i zapisujemo ga rt. Svakom vektoru možemo izabrati njegovog predstavnika tako da početna točka bude baš točka O. Na taj se način dobiva radijvektor bilo koje točke prostora. Kolinearni vektori Vektori koji leže na istom ili paralelnim pravcima. Pogledaj sliku
11 Komplanarni vektori Vektori koji leže u istoj ili paralelnim ravninama. Slika 1. Linearna kombinacija vektora Za vektor c kažemo da je linearna kombinacija vektora a i b, ako vrijedi relacija: c a b, pri čemu su i realni brojevi. Pogledati na slici 13. i slici 14. c OC b OB a 11 Slika 13.
12 c a b Slika 14. OE b OF a Projekcija vektora Ortogonalna projekcija u ravnini na pravac p je funkcija koja svakoj točki A ravnine pridružuje točku u kojoj okomica na pravac p, koja prolazi točkom A, siječe pravac p. Ortogonalna projekcija u prostoru na pravac p je funkcija koja svakoj točki A prostora pridružuje točku u kojoj ravninu koja prolazi točkom A, a okomita je na pravac p, siječe pravac p. Slika 15. Na slici vidimo projekciju vektora a a na pravac p, koju smo nazvali ap ap 1
13 Dakle svaki predstavnik klase paralelnih pravaca predstavlja različiti vektorski prostor 1 V Slika 16. Na slici 16. vidimo četiri vektorska prostora, a vektori u tim prostorima su prikazani svaki u drugoj boji. A svaka predstavnica klase paralelnih ravnina predstavlja različiti vektorski prostor V, kako naš program obuhvaća samo prikaz vektora u koordinatnom sustavu u ravnini pogledajmo samo tu koordinatnu ravninu: Slika
14 Prikaz vektora u koordinatnom sustavu Kad smo već uveli pojam jediničnog, radijvektora i linearne kombinacije, radi bolje orijentacije u prostoru i jednoznačnosti uvida prikažimo vektor u koordinatnom sustavu. Ako jedinici na osi X pridružimo radijvektor i, a jedinici na osi Y radij vektor j dobili smo razumljivu bazu da možemo svaki radij vektor u koordinatnoj ravnini prikazati pomoću ta dva jedinična vektora. Pogledajmo na slici 18. Slika 18. Jasno se vidi na slici 18 da je OJEK pravokutnik, i da je OJ 3i i OK j. Nadalje jasno je da je vektor OE jednak zbroju vektora OJ i OK pa ga možemo zapisati kao: OE OJ OK 3i j. 14
15 Dakle OE je linearna kombinacija vektora i i j. Pa bez smanjenja općenitosti možemo reći da se svaki radijvektor u koordinatnoj ravnini koji pripada točki T(x,y) može prikazati kao: rt OT xi y j Pa bi ostale vektore na slici 1 mogli sami napisati kao: OH i j OG i j OF i j Slika 19. Sad još moramo odgovoriti na pitanje kako bilo koji vektor u koordinatnoj ravnini napisati kao linearnu kombinaciju jediničnih vektora i i j. Pa najprije pogledajmo sliku 19. Ako pogledamo sliku vidimo da je: OA AB OB Ako izrazimo AB pomoću OA i OB dobijemo: AB OB OA 15
16 Ako znamo da se radijvektor svake točke T(x,y) može napisati: OT rt xi y j i koordinate točke A i B napišemo A( x1, y1 ) i B( x, y ) dobivamo da je: OA ra x1 i y1 j i OB rb x i y j Pa se vektor AB može napisati: AB rb ra ( x i y j ) ( x1i y1 j ) Kad oduzmemo vektore dobivamo formulu sa ekvivalentni radijus vektor bilo kom vektoru u koordinatnom sustavu: AB rab ( x x1 )i ( y y1 ) j Ako ovu formulu primijenimo na vektore na slici da se izračunati da je: AB (6 ( ))i (5 ) j 8i 3 j A kako čitamo(vidimo) na slici 13. koordinate točke D(8,3), onda vidimo da je vektor OD rd AB, radijvektor ekvivalentan vektoru AB. Primjer 5. Očitaj točke u koordinatnom sustavu i izračunaj radijvektore ekvivalentne zadanim vektorima. a) A(, ), B(, ), C(, ), D(, ) Slika 0. 16
17 AB = CD = b) CA = DB = c) Mogu li se pronaći dva vektora koji imaju isti radij vektor na ovoj slici? DA NE Primjer 6. Zadane su tri točke paralelograma A(-,-3), B(4,-1), D(-1,) I. način Znamo da su nasuprotne stranice paralelograma paralelne i jednake,pa iz toga proizlazi da su vektori AB i DC jednaki i isto tako AD i BC. Nama je dovoljno upotrijebiti jednu od jednakost da bi izračunali koordinate točke D, pa izaberimo: AB DC Slika 1. Da bi izračunali vektor AB upotrijebimo formulu: AB rab ( x x1 )i ( y y1 ) j Kad uvrstimo koordinate točki A i B dobijemo: AB (4 )i ( 1 3 ) j 6i j 17
18 A vektor CD, dobijemo tako da nepoznate koordinate vrha D ostavimo kao nepoznanice: DC ( x 1 ) i ( y ) j ( x 1) i ( y ) j Obadva vektora uvrstimo u početnu jednakost AB DC i dobijemo: 6 i j ( x 1) i ( y ) j Izjednačimo komponente uz vektor i i vektor j jer je to uvjet da su dva vektora jednaka. x x x y y y 4 Pa su kordinate točke C(5,4) II. način Znamo da po definiciji zbrajanja vektora po paralelogramu vrijedi: AB AD AC Da bi izračunali vektor AB upotrijebimo formulu: AB rab ( x x1) i ( y y1) j AB (4 ) i ( 1 3 ) j 6i j Kad uvrstimo koordinate točki A i B dobijemo: Da bi izračunali vektor AD upotrijebimo formulu: AD rad ( x x1) i ( y y1) j AD ( 1 ) i ( 3 ) j i 5 j Kad uvrstimo koordinate točki A i B dobijemo: Uvrstimo te rezultate u: AB AD AC i dobijemo: AC 6i j i 5 j 7i 7 j Vektor AC izražen pomoću koordinata točaka A i C je: AC ( x ) i ( y 3 ) j ( x ) i ( y 3) j Uspoređivanjem dvje zadnje relacije dobijemo: x x 7 5 y y Pa su kordinate točke C(5,4) 18
19 Primjer 7. Pročitaj na slici koordinate točaka A, B i C i pomoću njih izračunaj četvrti vrh paralelograma D. a) A(, ) B(, ) C(, ) b) AB Slika.. BC c) AD DC D(, ) 19
20 Duljina (norma) vektora Slika 3. Duljina ili norma vektora r T OT je usaljenost od točke O do točke T, i označavamo je: rt OT. Vidimo da je dužina OT hipotenuza pravokutnog trokuta OAT, pa možemo primijeniti pitagorin poučak: OT OA AT, a kao je OA x i AT y, možemo napisati da je: OT rt x y. Odnosno možemo zaključiti da formula za izračunavanje norme radijvektora rt OT xi y j koji pripada točki T(x,y) glasi: r T x y 0
21 Primjer 8. Zadani su vektori a i 3 j i b 3i 4 j. Izračunaj a b. Najprije oduzmemo vektore a i b : a b i 3 j ( 3i 4 j ) a b i 3 j 3i 4 j a b 5i j Dobili smo kao što se može vidjeti na slici vektor OC. Duljina ili norma vektora a b je duljina vektora OC i dobije se formulom: r T x y Slika 5. Primjer 9. Neka je točka A(-,), odredi nepoznatu koordinatu točke M, ako je zadan modul vektora AM. a) M(x,-1), AM 5 b) M(1,y), AM 3 5. Rješenje zadatka pod a) Nacrtajmo u koordinatni sustav ono što je zadano: točku A i kružnicu koja je zadana polumjerom r = 5 i središtem u točki A. Kružnicu presiječemo pravcem x = -1, jer je to 1
22 koordinata točke M. U točkama presjeka dobili smo dvije točke koje su rješenje zadatka: M ( 1,) i M 1 1 ( 1, 6). Pogleda na slici. Slika 6. Kako taj rezultat dobijemo računski? Vektor AM dobijemo formulom: AM ram ( x x1) i ( y y1) j Uvrstio u formulu koordinate točki A i M: A( x1, y1 ) i M( x1 x, y1 1) Kako je AM 5, a formula za AM r ( x ) i ( 1 ) j ( x ) i 3 j AM r x y T, pa vrijedi: r x y ( x ) ( 3) 5 T ( x ) ( 3) 5 x x 4x x 1 0 => x x 1, b b ac a 1 6, x 1 Pa su koordinate točke M: M1( 1, 6), M1( 1,) Zadatak b) riješite sami pomoću algoritma iz zadatka a).
23 Primjer 10. Zadane su točke A(-,3), B(,-1), C(4,). Izračunajte AC, AB, AC 3CB. Slika 7. Vektor AC dobijemo primjenom formule: AC rac ( x x1 )i ( y y1 ) j AC rac (4 )i ( 3) j 6i j AB rab ( )i ( 1 3) j 4i 4 j, A vektor AB : A duljinu ili normu vektora AB formulom: AB d ( A, B ) x y AB d ( A, B) CB rcb ( 4)i ( 1 ) j i 3 j, A vektor CB : AC 3CB 6i j 3 i 3 j 1i j 6i 9 j 18i 7 j Pa je Vektor CH AC, 3CB CG, AC 3CB OF, pa smo time i grafom potvrdili svoj račun. 3
24 Jedinični vektor Već smo spomenuli u prethodnom tekstu da formula za prikaz jediničnog vektora u smjeru a vektora a glasi: a0 =. Pogledajmo sliku 15. a Slika 8. Na slici 15. vidljivo je da je vektor OT0 jedinični vektor vektora OT, pa ako to primijenimo na a a0 =, a formulu: OT rt0 OT0 =, OT dobijemo: pa ako uvrstimo formule iz prethodnog poglavlja o normi vektora dobijemo: xi y j r T0 x y 1 x y xi y j 4 x x y i y x y j
25 Primjer 11. Izračunaj jedinični vektor radijvektora točke A(-3,3). Rješenje: Radij vektor točke A izračuna se formulom: OA xi y j Pa glasi: OA 3i 3 j A njegov jedinični vektor zadan je formulom: ra Pa ga izračunamo: ra i 3 j 1 x y xi y j 1 3i 3 j i j i j 3 1 Slika 9. Vektor OA0 na slici 9. je jedinični vektor vektora OA 5
26 Primjer 1. Ako su zadani vektori a 3i j,b i j,c i 7 j. Izrazi vektor c pomoću vektora a i b. Rješenje: Ucrtajmo najprije zadane vektore u koordinatni sustav: Slika 30. Sa slike 30. možemo pročitati da je c a 4b. A kako smo to dobili? Povukli smo pravac kroz vektor a i b, a zatim paralelne pravce kroz točku C na ta dva pravca. Tamo gdje se paralele sijeku sa tim pravcima dobili smo vrhove paralelograma, kome je vektor c dijagonala. A kako se to dobiva računski? c a b je opći zapis linearne kombinacije tri vektora. Uvrstimo zadane vektore: i 7 j (3i j ) (i j ) i 7 j i (3 ) j ( ) 6
27 3 1/ 6 => 7 5 5/ : 5 a b b c => 1 => Pa smo i računski dobili da je: c a 4b Primjer 13. Ako su zadana točka A(-3,6). Odredi točku B tako da: a) ona leži na osi x i da je AB 10, b) ona leži na osi y i da je AB 5. Prikazati u koordinatnoj ravnini. Rješenje zadatka pod a) Slika 31. Koordinate točke B, ako leži na osi x možemo zapisati kao B(x,0), pa se vektor AB može napisati kao: AB ( x 3)i (0 6) j ( x 3)i 6 j 7
28 A njegova norma kao: AB x x Kvadriranjem jednadžbe dobivamo: x 6x 55 0 => x 1, b b 4ac a 1 x 11, x 5, pa smo dobili dva rješenja: B1( 11,0), B(5,0) 1 Rješenje zadatka pod b) Računski dio zadatka završite sami. Slika 3. 8
29 Skalarni produkt vektora ( skalarni umnožak) Definicija: Neka su a i b dani vektori i a, b kut između vektora a i b, skalarni produkt (umnožak) vektora a i b je funkcija koja paru vektora a, b pridružuje broj (skalar) a b, a definira se sa formulom: b a b a b cos Slika 33. a Svojstva skalarnog množenja: 1) Nenegativnost: a a 0, a ako je a a 0 a 0 ) Homogenost: (a b ) ( a ) b a ( b ) 3) Komutativnost: a b b a 4) Distributivnost: a (b c ) a b a c Posljedice skalarnog množenja: 1) a a a a cos0 a a a a ) Ako je a b 90 cos 0 a b 0 ili je bar jedan od vektora nulvektor a b 3) cos, 0 a b Pomoću skalarnog produkta izračunava se i projekcija vektora na vektor.. 9
30 Pogledaj slike 31. i 3.. I. skalarna projekcija ab a b0 a cos ba b a0 b cos => skalarna projekcija vektora a na vektor b => skalarna projekcija vektora b na vektor a II. vektorska projekcija a a b ( a b ) b => vektorska projekcija vektora a na vektor b b b b a b Slika 34. a b b a ( b a ) a => vektorska projekcija vektora b na vektor a a a b Slika 35. b a a 30
31 Pogledajmo još skalarni produkt vektora prikazanih u koordinatnom sustavu: Neka su zadana dva vektora a x1i y1 j i b x i y j. Njihov skalarni produkt izračunamo: a b ( x1 i y1 j ) ( x i y j ) x1x i i x1y i j y1x i j y1y j j Kako su i i j dva jedinična međusobno okomita vektora vrijedi po svojstvima skalarnog produkta: i i j j 1 i, i j 0 Formula za skalarni produkt vektora a x1i y1 j i b x i y j glasi: a b x1x y1y A formula za kosinus kuta između ta dva vektora: cos x1y1 x y x1 y1 x y, 0 Primjer 14. Ako su zadani vektori: a 3i j,b i j,c i 7 j izračunaj skalarni produkt vektora a i b, te skalarni produkt vektora b i c, te vrijednost izraza: a b b c. Slika
32 I. način Skalarni produkt dva vektora je: a b x1x y1y Pa vrijedi: a b b c I konačno, onda je: a b b c ii.način Izraz a b b c primjenom distributivnost možemo napisati kao: a b b c b a c i j 3i j i 7j i j i 6j Primjer 15. Naći vektor v za koji vrijedi da je a v 3 a i j, b 3i j. i b v 7 ako su zadani vektori: Rješenje: Neka je vektor v zadan sa: v xi y j, onda se može napisati: a v x 1 y 3 b v 3x y 7 I dobivamo sustav dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice: x y 3 / => 3x y 7 4x y 6 => 3x y 7 x y y 6 y 10/ : y 5 => v i 5 j 3
33 Primjer 16. Odredi parametar tako da vektori a i b budu okomiti ako je: a) a 1 i j, b 3 i 1 j, b) a 1 i 3 j, b 3 i 3 1 j. Potom odredi vektore a i b i izračunaj modul vektora a. Rješenje: a) Uvjet okomitosti vektora je: a b a b 0, pa možemo pisati: a b a 1 i j j => b 3 i 1 j i Zadatak b) rješavamo po istom algoritmu. Primjer 17. Nađi kut između vektora a i b ako je zadano: a) a 4i 3 j, b 1i 5 j, b) a 5i 3 j, b 3 i 5 j a x y 0
34 Rješenje: a) Formula za kosinus kuta između ta dva vektora: cos Pad uvrstimo komponente vektora a i b u nju dobijemo: cos 0, x y x y 1 1 x y x y 1 1 Slika 37. Zašto se razlikuje veličina kuta na slici i izračunatog? Zadatak b) se riješava istim algoritmom. Rješenje pogledaj na slici 38. Slika 38. U kom su odnosu vektori a i b? 34
Analitička geometrija i linearna algebra
1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Διαβάστε περισσότεραVektori. 28. studenoga 2017.
Vektori 28. studenoga 2017. 1 / 42 Skalarna veličina: veličina odredena samo jednim (realnim) brojem ili skalarom npr. skalarne veličine su udaljenost, masa, površina, volumen,... Vektorska veličina: veličina
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραRADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραAlgebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske
Algebra Vektora 1 Algebra vektora 1.1 Definicija vektora pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske veličine za opis skalarne veličine trebamo zadati samo njezin iznos (npr.
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραPošto se trebaju napisati sve nastavne cjeline i gradivo sva četiri razreda (opće i jezično) potrajati će duži vremenski period.
Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine. Tako da će u slijedećem vremenskom periodu nastati mala zbirka koja će biti popraćena s teorijom. Pošto
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραSkalarni umnozak vektora je skalar: a b = a b cos ϕ ; ϕ kut izmedju vektor a i b.
5. VEKTORI U PROSTORU 5. Opcenito o vektorima a Jedinicni vektor (ort) je vektor sa intenzitetom. a a a Zbroj dva vektora je vektor: a+ b c. Graficki, zbroj se dobije ulancavanjem dva vektora. Na kraj
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραGeometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru
Geometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru Rudolf Scitovski, Darija Brajković 2. prosinca 2013. Sadržaj 1 Uvod 2 2 Operacije s vektorima 4 2.1 Zbrajanje vektora...............................
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 { fiziqka hemija
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju
Διαβάστε περισσότεραPriprema za ispit znanja Vektori
Priprema za ispit znanja Vektori 1. Dan je pravilni šesterokut ABCDEF. Ako je =, = izrazi pomoću vektore,,. + + =0 = E D = + F S C + + =0 = = A B + + =0 = = =+ 2. Točke A, B, C, D, E i F vrhovi su pravilnog
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija u ravnini
Analitička geometrija u ravnini September 5, 2008 1 Vektori u koordinatnom sustavu 1.1 Udaljenost točaka u koordinatnom sustavu pravokutni koordinatni sustav potpuno je odred en ishodištem jediničnim vektorima
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραLEKCIJE IZ MATEMATIKE 1
LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 Ivica Gusić Lekcija 5 Skalarni, vektorski i mješoviti produkt vektora Lekcije iz Matematike 1. 5. Skalarni, vektorski i mje²oviti produkt vektora I. Naslov i obja²njenje naslova
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότεραGauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),
Vektorski identiteti ( ), Gauss, Stokes, Maxwell Saša Ilijić 21. listopada 2009. Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) Skalarni i
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότερα0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.
Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija afinog prostora
Analitička geometrija afinog prostora Linearno zavisan i linearno nezavisan skup točaka U realnom afinom prostoru A n dane točke A i (r i ), i =,,, k, k +, k + pripadaju istoj s ravnini π s, s k, ako i
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραPROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραTemeljni pojmovi trigonometrije i vektorskog računa
1 Temeljni pojmovi trigonometrije i vektorskog računa 1. Trigonometrijske funkcije Trigonometrijske funkcije su omjeri stranica u pravokutnom trokutu. Mjerenjem je utvrdeno - da medusobni - omjeri stranica
Διαβάστε περισσότερα5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότερα2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku.
. Na brojevnoj kružnici označi točke: A (05π), A 2 ( 007π 2 ), A 3 ( 553π 3 ) i A 4 ( 40 o ). 2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u.zadatku. 3.
Διαβάστε περισσότεραProstorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
Διαβάστε περισσότεραMatematika Zbirka zadataka
Matematika Zbirka zadataka Kristina Devčić Božidar Ivanković Veleučilište Nikola Tesla u Gospiću Uvod Unaprijed se zahvaljujemo na svakom komentaru o propustima i nedosljednostima, a svaka primjedba glede
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 3. Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i kemije, smjer nastavnički
Ljiljana Arambašić MATEMATIKA 3 Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i kemije, smjer nastavnički Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i tehnike, smjer nastavnički SADRŽAJ
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija Zadaci. 13. siječnja 2014.
Analitička geometrija Zadaci 13. siječnja 2014. 2 Sadržaj 1 Poglavlje 5 1.1 Ponavljanje. Uvod............................ 5 1.2 Koordinatizacija............................. 6 1.3 Skalarni produkt.............................
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραje B 1 = B 2. Prvi teorem kojeg ćemo dokazati primjenom Menelajeva teorema je Euklidski slučaj poznatog Desargesova 2 teorema. B 2 Z B 1B 2 B 1 O
Zoran Topić, Imotski Menelajev teorem i neke primjene U ovom članku ćemo dokazati Menelajev 1 teorem i pokazati neke primjene tog teorema. Menelajevo najvažnije djelo je Sphaerica u kojem dokazuje i Menelajev
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija prostora
Analitička geometrija prostora Franka Miriam Brückler U analitičkog geometriji u ravnini se pomoću koordinata (uredenih parova realnih brojeva) proučavaju točke ravnine i njihovi jednodimenzionalni skupovi:
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραParabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole
Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole 5. 1. Definicija parabole...............................
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραKONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραMatrice linearnih operatora i množenje matrica. Franka Miriam Brückler
Matrice linearnih operatora i množenje matrica Franka Miriam Brückler Kako je svaki vektorski prostor konačne dimenzije izomorfan nekom R n (odnosno C n ), pri čemu se ta izomorfnost očituje odabirom baze,
Διαβάστε περισσότερα1. Trigonometrijske funkcije realnog broja
1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Brojevna kružnica... 1 7.Adicijskeformule.... Definicija trigonometrijskih funkcija....... 8. Još neki identiteti.......... 9. Trigonometrijske funkcije kutova........
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 Skripta za seminar. Miroslav Jerković
Matematika Skripta za seminar Miroslav Jerković Matematika - seminar ii Sadržaj Realni i kompleksni brojevi. Realni brojevi............................... Kompleksni brojevi............................
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότερα1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.
1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi ako je E=C. 1.1.**
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 Skripta za seminar. Miroslav Jerković
Matematika Skripta za seminar Miroslav Jerković Matematika - seminar ii Sadržaj Realni i kompleksni brojevi. Realni brojevi............................... Kompleksni brojevi............................3
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότερα4. MONGEOVO PROJICIRANJE
4. MONGEOVO PROJICIRANJE 4.1. Projiciranje točke Niti centralno ni paralelno projiciranje točaka prostora na ravninu nije bijekcija. Stoga se pri takvim preslikavanjima suočavamo s problemom nejednoznačnog
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra za fizičare, zimski semestar Mirko Primc
Linearna algebra za fizičare, zimski semestar 006. Mirko Primc Sadržaj Poglavlje 1. Vektorski prostor R n 5 1. Vektorski prostor R n 6. Geometrijska interpretacija vektorskih prostora R i R 3 11 3. Linearne
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότερα4 Sukladnost i sličnost trokuta
4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }
Διαβάστε περισσότερα