MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ECONOMÍA CUADERNO DE EJERCICIOS SOLUCIONES. Dra. Lorena Zogaib Departamento de Matemáticas ITAM

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1 MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ECONOMÍA CUADERNO DE EJERCICIOS SOLUCIONES Dra. Lorena Zogaib Departamento de Matemáticas ITAM Enero, 7

2 INTRODUCCIÓN Este documento constituye un material de apoyo para el curso de Matemáticas Aplicadas a la Economía, para las carreras de Economía y Dirección Financiera en el ITAM. Contiene las soluciones detalladas del documento de trabajo Matemáticas Aplicadas a la Economía, Cuaderno de Ejercicios, Lorena Zogaib, Departamento de Matemáticas, ITAM, enero de 7. Todas las soluciones fueron elaboradas por mí, sin una revisión cuidadosa, por lo que seguramente el lector encontrará varios errores en el camino. Ésta es una transcripción en computadora, de mis versiones manuscritas originales. Para este fin, conté con la colaboración de Carlos Gómez Figueroa, que realizó la primera transcripción de las soluciones en Scientific WorkPlace. Agradezco de antemano sus comentarios y correcciones en relación con este material. Lorena Zogaib

3 MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ECONOMÍA TAREA - SOLUCIONES ECUACIONES EN DIFERENCIAS I (Temas.-.3). (a) x t+ 3tx t esunaecuaciónnoautónoma,lineal,homogénea. (b) x t+ ( x t ) x t es una ecuación autónoma, no lineal. (c) x t 3x t + 4 es una ecuación autónoma, lineal, no homogénea.. (a) x t 3 t+ + x t+ 3 (t+)+ + 3 t+ + 3x t 4 3 (3 t+ + ) 4 3 t t+ + x t+ 3x t 4 x t+ (b) z t t +t z t (t ) + (t ) z t z t (t +t) (t ) + (t ) (t +t) (t t + +t ) t z t z t t (c) a t (5) t/ a t+ (5) (t+)/ a t+ 5a t (5) (t+)/ 5 (5) t/ a t+ 5a t 4 (5) t+ 5 4 (5) t 3. La solución de la ecuación lineal autónoma x t+ ax t +b, con condicióninicialx,es: i)x t x +bt,sia,ii)x t a t (x x ) +x, sia, en dondex b es el punto fijo. a (a) Ecuación: P t P t El punto fijo esp. Suponiendo que la población inicial esp, la solución es P t t P, t,,,... (b) Ecuación: K t+ K t rk t, o bien,k t+ ( +r)k t El punto fijo esk. Suponiendo que el capital inicial es K, la solución es K t ( +r) t K, t,,,... 3

4 (c) Ecuación: K t+ K t rk, o bien,k t+ K t +rk Suponiendo que el capital inicial esk, la solución es K t ( +rt)k, t,,,... (d) Ecuación: I t I t ri t +d, o bien,i t ( +r)i t +d El punto fijo esi d. Suponiendo que la inversión inicial r esi, la solución es I t ( +r) t I + d d, t,,,... r r 4. (a) x t+ (/)x t + 3,x 3 Punto fijo: x (/)x + 3 x x t ( /) t (3 ) + x t ( /) t +, t,,,... Estabilidad: lim x t lim t ( /) t + lim ( /) t + x t t x es asintóticamente estable. El sistema presenta convergencia alternante. Gráfica de la solución: (b) x t+ 3x t 4, x Reescribimos la ecuación comox t+ 3 x t + 4

5 Punto fijo: x 3 x + x 4 x t (3/) t ( ( 4)) + ( 4) x t 4 (3/) t 4, t,,,... Estabilidad: lim x t lim 4 (3/) t 4 diverge t t lim t x t 4 lim t (3/)t 4 4 x x 4 es asintóticamente inestable. El sistema presenta divergencia monótona. Gráfica de la solución: (c) x t+ x t (/)x t +, x Este ejercicio es idéntico al del inciso anterior. (d) x t+ x t + 5, x 5 Punto fijo: x x + 5 x 5 5 x t ( ) 5 t + 5 x t 5 + ( ) t, t,,,... Estabilidad: Notamos que 5, sites par x t, sites impar No existen limx t y lim x t t. t El punto fijo no es estable, ni inestable (caso degenerado). 5

6 Gráfica de la solución: (e) x t+ x t + 5, x 5 Es la misma ecuación que en (c), pero con diferentex. Punto fijo: x x + 5 x 5 x t ( ) t x t 5, t,,,... Estabilidad: La sucesión es constante, con lim x t lim t 5 El sistema es estable. Gráfica de la solución: t 5 (f) x t+ x t +, x 5 Punto fijo: x x + no hay punto fijo 6

7 Utilizando el método de iteración, se obtiene x t 5 + t, t,,,... Estabilidad: No hay estabilidad (diverge lim x t ). t ± Gráfica de la solución: 5. (a) p t p t β (φ p t ), φ,β> Precio de equilibrio: p p β (φ p ) p φ (b) Reescribimos la ecuación, como p t ( +β) p t +βφ p t p t + βφ +β +β t p t (p φ) +φ, t,,,... +β (c) Estabilidad: Como < +β <, por lo tanto lim p t (p φ) lim +φ φ t t +β el precio converge ap φ. t 7

8 Por último, la convergencia es monótona, ya que +β >. 6. S t αy t, I t+ β (Y t+ Y t ), S t I t, <α<β β (Y t+ Y t ) I t+ S t+ αy t+ Y t+ β β α Y t La solución es t β Y t Y, t,,,... β α β Por último, como <α<β, por lo tanto >. Así, β α lim Y t diverge, t t β lim Y t Y lim. t t β α Por lo tanto, el punto fijoy es asintóticamente inestable. 7. Y t C t +I t +G t, C t C +αy t, <α< Y t (C +αy t ) +I t +G t Y t αy t + (C +I t +G t ) Suponiendo quei t I,G t G, se tiene Y t αy t +C +I +G El punto fijo se obtiene dey αy +C +I +G, de donde Y C +I +G α En ese caso, la solución a la ecuación para el ingreso es Y t α t (Y Y ) +Y, t,,,... Por último, como <α<, por lo tanto 8

9 lim Y t (Y Y ) lim +Y Y. t Así, el punto fijoy C +I +G es asintóticamente estable. α 8. (a) Seaβ y sea Así, t α t S n β k. k S +β +β + +β n +β n. βs β +β +β 3 + +β n +β n+ S βs β n+ ( β)s β n+ n k (b) Como β <, se tiene Por lo tanto, β k lim k n k S βn+ β β k βn+ β. n 9. (a) x t tx t, x x lim n βn. β k β n+ lim n β x ()x () () x ()x () () x 3 (3)x (3) () () 3! x 4 (4)x 3 (4) (3) () () 4!. x t t!, t,,,... donde se utilizó que!. 9 limβ n+ β n β.

10 (b) x t x t t +,x dado x 3 x x 4 x 4 3 x x 3 5 x x 4 3 x. x t! (t + )! x, t,,,... (c) x t+ ax t +b t,x dada,a,b> x ax +b ax x! 5! x x ax +b a (ax + ) +b a x +a+b x 3 ax +b a a x +a+b +b a 3 x +a +ab +b x 4 ax 3 +b 3 a a 3 x +a +ab +b +b 3 a 4 x +a 3 +a b +ab +b 3. t t x t a t x + a (t ) k b k a t x +a t k Usando el resultado 8a se obtiene t b x t a t x +a t a b a t b a t a a t x + a b a a t x + at b t a b a t x + bt a t x t b a x b a k k b a a t + b a bt, t,,,...

11 (d) x t+ a t x t +b,x dada,a,b> x a x +b x +b x a x +b a (x +b) +b ax +ab +b x 3 a x +b a (ax +ab +b) +b a a x + a a b +a b +b x 4 a 3 x 3 +b a 3 a a x + a a b +a b +b +b a 3 a a x + a 3 a a b + a 3 a b +a 3 b +b a 3 a a x + a 3 a a + a 3 a +a 3 + b a x s + a s + a s + a s + b s s s s3 x t. t t t a x s +b s k sk+ a s, t,,,... donde se usó que el producto t st as de cero términos es.. (a) x t+ t x t +,x dado 4 x x + 4 x + x x + 4 x + + x x 3 x + x x x 4 3 x x x t t (t ) k k x t x + 4 k t t t k x +. k t x + t t k 3 4 k /4 /

12 Usando el resultado 8a se obtiene t t (/) t x t x + (/) t t t x + t t t x + 4. Por último, como lim (/) t, se tiene t t t lim x t x lim + 4 lim t t t t. Esto mismo se obtendría utilizando la serie 8b. (b) x t+ t x t +,x dado x x + x + x x + x + + x + x 3 x + x x + 3 x 4 3 x x x + 4. t x t x +t t Por último, debemos tomar limx t. Sabemosque lim (/) t. t t Por otra parte, usando la regla de L Hopital t lim {t t } lim L lim t t t t t ln. De esta manera, lim x t x lim t t t + lim {t t t }. 3

13 . w t+ ( +r)w t c t, c t c γ t, w dada w t+ ( +r)w t c γ t w ( +r)w c w ( +r)w c γ ( +r) [( +r)w c ] c γ ( +r) w ( +r)c c γ w 3 ( +r)w c γ ( +r) ( +r) w ( +r)c c γ c γ ( +r) 3 w c ( +r) + ( +r)γ +γ. t w t ( +r) t w c ( +r) (t ) k γ k k t γ ( +r) t w c ( +r) t +r k ( +r) t w c ( +r) t γ +r γ +r ( +r) t γ t ( +r) t +r w c ( +r) γ +r ( +r) t ( +r) t γ t w c w c +r γ +r γ ( +r) t +. (a) D t 3p t +, S t p t + D t S t 3p t + p t + p t 3 p t Punto fijo: p 3 p + 8 p 3 p t 3 t (p ) + t k c +r γ γt, t,,,... Estabilidad: lim p t (p ) lim t + p t t 3 p es asintóticamente estable. 3

14 Diagrama de fase: (b) D t 4p t + 5, S t 4p t + 3 D t S t 4p t + 5 4p t + 3 p t p t + Punto fijo: p p + p 4 p t ( ) t p Estabilidad: Notamos que p, sites par p t p,sites impar. Noexisten limp t y lim p t (haydospuntosdeacumulación) t t El sistema no es estable, ni inestable. Se trata de un caso degenerado. Diagrama de fase: 4

15 (c) D t (5/)p t + 45, S t (5/)p t + 5 D t S t (5/)p t + 45 (5/)p t + 5 p t 3p t + 6 Punto fijo: p 3p + 6 p 4 p t ( 3) t (p 4) + 4 Estabilidad: lim p t lim ( 3) t (p 4) + 4 diverge t t lim p t (p 4) lim t t ( 3)t p p 4 es asintóticamente inestable. Diagrama de fase: 3. p t+ p t d, d>. (a) (b) p p d p p d (p d) d p d. p t p td, t,,,... 5

16 El precio del bien es igual a cero cuandot p d. 4. (a) x t+ kx t b +x t, k,b> Puntos fijos: x kx b +x x (b +x ) kx x (x +b k) Un punto fijo esx. El otro punto fijo,x k b, sólo tiene sentido sib<k, ya que la poblaciónx es no negativa. (b) Estabilidad: Seaf(x) kx b +x f kb (x) (b +x) f () k b y f (k b) b k. k b es asin- Suponiendo queb<k, conk,b>, se tiene f ()> y f (k b)< x es asintóticamente inestable yx tóticamente estable. 5. y t+ (a +by t ) cy t, y t+ (a +by t ) cy t, a,b,c> yy > (a) Partimos dey t+ cy t, cona,b,c>. Comoy >, por a +by t lo tantoy >. Con este mismo razonamiento, se sigue que y >, etc... De esta manera,y t > para todot. (b) Seax t /y t.sustituyendoy t /x t enlaecuacióny t+ cy t a +by t se tiene c x t+ x t a +b x t 6 c ax t +b

17 x t+ a c x t + b ecuación lineal parax t c En particular, paray t+ ( + 3y t ) 4y t,y /, se obtiene x t+ x t + 3 4, x y x t t + 3 t+ + 3 y t t+ + 3 t,,,... Por último, lim y t t (a) x t+ 4x t 3, x t 3 4 Puntos fijos: x 4x 3 (x ) 4x 3 (x ) 4x + 3 (x ) (x 3) x, x 3 Estabilidad: Seaf(x) 4x 3 f (x) 4x 3 3 es asintótica- f () y f (3) 3 f () > y f (3) < x es asintóticamente inestable yx mente estable. Diagrama de fase: 7

18 Parax, 3 se tiene: 3 4 x < lim x t, t <x < 3 lim x t t x > 3 limx t 3. t y lim t x t 3, (b) x t+ x 3 t Puntos fijos: x (x ) 3 x (x ) 3 x (x ) x ( +x ) ( x ) x, x, x 3 Estabilidad: Seaf(x) x 3 f (x) 3x f (),f ( ) f () 3 f () < y f ( ) f () > x es asintóticamente estable; x yx 3 son asintóticamente inestables. Diagrama de fase: Parax,, se tiene: x < lim x t, t <x < lim x t t <x < lim x t t x > lim x t. t 8 y limx t, t y lim t x t,

19 (c) x t+ x, x t > t Puntos fijos: x (x ) (x ) 3 (x ) 3 (x ) (x ) +x + x Estabilidad: Seaf(x) x f (x) x 3 f () f () > x es asintóticamente inestable. Diagrama de fase: Parax se tiene: lim t x t. (d) x t+ x t, x t > Puntos fijos: x x (x ) x (x se descarta, ya quex t > ) 9

20 Estabilidad: Seaf(x) x f (x) x f () f () no se puede aplicar el teorema. Observamos que x, sites par x t,sites impar. x hay dos puntos de acumulación (caso degenerado) el sistema no es estable, ni inestable. Diagrama de fase: Parax se tiene: lim x t y lim x t divergen ambos. t t (e) x t+ x t +x 3 t Puntos fijos: x x + (x ) 3 x Estabilidad: Seaf(x) x +x 3 f (x) + 3x f () f () no se puede aplicar el teorema. Observamos quef (x)> alrededor dex, por lo que x es asintóticamente inestable.

21 Diagrama de fase: Parax se tiene: lim t x t. (f) x t+ e (xt). Nota: el punto fijo esx Puntos fijos: x e x x Estabilidad: Seaf(x) e x f (x) e x f () f () no se puede aplicar el teorema. Observamos que f (x) > para x >, y f (x) < para x<. Por lo tanto, x x es asintóticamente estable, x > x es asintóticamente inestable. Diagrama de fase: Parax se tiene:

22 x < lim t x t x > lim t x t 7. (a) x t+ 4x t 3, x t 3 4 La ecuación no posee una solución simple. (b) x t+ x 3 t Iterando, se obtienex t (x ) 3t. (c) x t+, x x t > t Iterando, se obtienex t (x ) ( )t (d) x t+ x t, x t > Iterando, se obtiene x t (x ) ( )t (solución cíclica) x, sites par,sites impar. x (e) x t+ x t +x 3 t La ecuación no posee una solución simple. (f) x t+ e (x t) La ecuación no posee una solución simple. 8. (a) x t+ x t +c Puntos fijos: x (x ) +c (x ) x +c x ± 4c De aquí se siguen tres casos: sic< 4 hay dos puntos fijos, si c 4 sólo hay un punto fijo, y sic> 4 no hay puntos fijos.

23 (b) x t+ x t, x Puntos fijos: x (x ) (x ) x (x + ) (x ) x, x Obtenemos la sucesión de puntos a partir del punto inicial dado: x x. x x 3 ( ) x 4 () orb,,,,,... Nota: Aquí no se aplica el teorema sobre el valor de f (x ), ya que aquí la convergencia no es asintótica, sino que ocurre en el período 3. De hecho,x es estable para x, aunque f () 4 es mayor que. 3

24 MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ECONOMÍA TAREA - SOLUCIONES ECUACIONES EN DIFERENCIAS II (Tema.). (a) x t+ 3x t+ + x t ; x t A +B t x t A+B t x t+ A+B t+ x t+ A+B t+ x t+ 3x t+ +x t (A +B t+ ) 3 (A +B t+ )+ (A +B t ) A ( 3+) +B( t+ 3 t+ + t ) B t ( 3 () + ) (b) x t+ x t+ +x t ; x t A +Bt x t A+Bt x t+ A+B (t + ) x t+ A+B (t + ) x t+ x t+ +x t (A +Bt + B) (A +Bt +B) + (A + Bt) A ( +) +B( ) +Bt ( +). (a) x t+ 5x t+ + 6x t Proponemosx t λ t λ t+ 5λ t+ + 6λ t λ t λ 5λ + 6 λ 5λ + 6 (λ ) (λ 3) λ, λ 3 (raíces reales distintas) x t k t +k 3 t, t,,,... Estabilidad: lim x t lim [k t +k 3 t ] diverge t t lim x t lim [k t +k 3 t ] t t El sistema es asintóticamente inestable. (b) x t+ x t Proponemosx t λ t λ (λ + ) (λ ) λ, λ (raíces reales distintas) x t k ( ) t +k, t,,,... 4

25 Estabilidad: lim x t lim k ( ) t +k diverge t t lim x t lim k ( ) t +k diverge t t El sistema no es estable ni inestable (caso degenerado). (c) x t+ x t+ + 4x t Proponemosx t λ t λ λ + 4 λ, ± 4 4 (4) ± 3 ± 3 i λ + 3i, λ 3i (raíces complejas) α, β 3, λ β α +β, θ tan α π π x t k t cos 3 t +k sen 3 t, t,,,... π 3 Estabilidad: Nota que x t < t (k +k ). Por lo tanto, lim t x t diverge lim t x t (usando el teorema del sandwich) El sistema es asintóticamente inestable. (d) 9x t+ 6x t+ +x t, x, x Proponemosx t λ t 9λ 6λ + (3λ ) λ λ (raíces reales repetidas) 3 t t x t k +k t 3 3 Condiciones iniciales: x k x k 3 +k 3 k, k 5 5

26 x t t + 5t 3 t ( + 5t) 3 t, t,,,... 3 Estabilidad: lim x + 5t t lim L 5 lim t t 3 t t 3 t ln 3 (RegladeL Hopital) lim x t diverge t El sistema es asintóticamente estable. 3. La solución de la ecuación no homogéneaax t+ +bx t+ +cx t d t está dada por x t x (h) t +x (p) t, donde x (h) t es la solución general de la ecuación homogénea asociada y x (p) t es cualquier solución particular de la ecuación no homogénea. (a) x t+ + 4 x t 5 x (h) t : x (h) t+ + 4 x(h) t Proponemosx (h) t λ t λ + 4 λ, ± ± i λ i, λ i (raíces complejas) x (p) t : α, β, λ α +β β θ tan tan ( ) π α x (h) t π π t k cos t +k sen t x (p) t+ + 4 x(p) t 5 Proponemosx (p) t A x p t+ x p t+ A A + 4 A 5 A 4 x (p) t 4 t π x t k cos t π +k sen t +4, t,,,... 6

27 (b) x t+ 4x t 3, x, x x (h) t : x (h) t+ 4x (h) t Proponemosx (h) t λ t λ 4 (λ + ) (λ ) λ, λ x (h) t k ( ) t +k t x (p) t : x (p) t+ 4x (p) t 3 Proponemosx (p) t A x p t+ x p t+ A A 4A 3 A x (p) t x t k ( ) t +k t Condiciones iniciales: x k +k x k + k k, k x t ( ) t + ( t ) ( ) t + t+, t,,,... (c) x t+ 4x t 9t, x, x x (h) t : x (h) t+ 4x (h) t x (h) t k ( ) t +k t (ver inciso anterior) x (p) t : x (p) t+ 4x (p) t 9t Proponemosx (p) t At +B x p t+ A (t + ) +B x p t+ A (t + ) +B [A (t + ) +B] 4 [At +B] 9t 3At + (A 3B) 9t 3A 9 y A 3B A 3 y B x (p) t 3t + x t k ( ) t +k t + 3t + 7

28 Condiciones iniciales: x k +k + x k + k k, k x t ( ) t t + 3t +, t,,,... (d) x t+ 7x t+ + x t 5 ( t ), x, x x (h) t : x (h) t+ 7x(h) t+ + x(h) t Proponemosx (h) t λ t λ 7λ + (λ 3) (λ 4) λ 3, λ 4 x (h) t k 3 t +k 4 t x (p) t : x (p) t+ 7x (p) t+ + x (p) t 5 ( t ) Proponemosx (p) t A t x p t+ A t+ A t x p t+ A t+ 4A t [4A t ] 7 [A t ] + [A t ] 5 ( t ) A 5 x (p) t 5 (t ) x t k 3 t +k 4 t + 5 (t ) Condiciones iniciales: x k +k + 5 x 3k + 4k + 5 k 3, k x t 3 t+ + 4 t + 5 (t ), t,,,... (e) x t+ 3x t+ + x t 3 (5 t ) x (h) t : x (h) t+ 3x (h) t+ + x (h) t Proponemosx (h) t λ t λ 3λ + 8

29 x (p) t : (λ ) (λ ) λ, λ x (h) t k +k t x (p) t+ 3x (p) t+ + x (p) t 3 (5 t ) Proponemosx (p) t A5 t x p t+ A5 t+ 5 (A5 t ) x p t+ A5t+ 5 (A5 t ) [5A5 t ] 3 [5A5 t ] + [A5 t ] 3 (5 t ) 5A 5A + A 3 A 4 x (p) t 4 5t x t k +k t + 4 5t, t,,,... (f) x t+ 3x t+ + x t x (h) t : x (h) t+ 3x(h) t+ + x(h) t x (h) t k +k t (ver inciso anterior) x (p) t : x (p) t+ 3x (p) t+ + x (p) t No sirve proponerx (p) t A (es l.d. a ): x (p) t A A 3A + A Proponemosx (p) t At x p t+ A (t + ) x p t+ A (t + ) A (t + ) 3A (t + ) + At A x (p) t t x t k +k t t, t,,,... (g) x t+ 3x t+ + x t 6() t x (h) t : x (h) t+ 3x(h) t+ + x(h) t x (h) t k +k t (ver inciso anterior) x (p) t : x (p) t+ 3x(p) t+ + x(p) t 6() t No sirve proponerx (p) t A() t (es l.d. a t ): x (p) t A () t 4A() t 3 [A() t ] + [A() t ] 6() t 6 9

30 Proponemosx (p) t At() t x p t+ A (t + ) () t+ x p t+ A (t + ) () t+ A (t + ) () t+ 3A (t + ) () t+ + At() t 6() t A 3 x (p) t 3t() t x t k +k t + 3t() t, t,,,... (h) x t+ 6x t+ + 9x t ( t ) x (h) t : x (p) t : x (h) t+ 6x (h) t+ + 9x (h) t Proponemosx (h) t λ t λ 6λ + 9 (λ 3) λ λ 3 x (h) t k 3 t +k t3 t x (p) t+ 6x (p) t+ + 9x (p) t ( t ) Proponemosx (p) t A +B t x p t+ A +Bt+ x p t+ A +B t+ [A +B t+ ] 6 [A +B t+ ]+9 [A +B t ] 8+3 ( t ) 4A +B t ( t ) A, B 3 x (p) t + 3 ( t ) x t k 3 t +k t3 t ( t ), t,,, (a) x t+ + 4x t,x 5 x (h) t : x (p) t : x (h) t+ + 4x (h) t Proponemosx (h) t λ t λ + 4 λ 4 x (h) t A ( 4) t (sol. general,ax ) x (p) t+ + 4x(p) t Proponemosx (p) t B x (p) t+ B B + 4B 3

31 B x (p) t+ x t A ( 4) t + Condiciones iniciales: x 5 A + A 3 x t 3 ( 4) t +, t,,,... Este es el mismo resultado que el obtenido con el método de la tarea (x t a t (x x ) +x ). (b) x t+ x t + 9 (5 t ),x 3 x (h) t : x (h) t+ x(h) t x (h) x (p) t : t A ( t ) x (p) t+ x (p) t + 9 (5 t ) Proponemosx (p) t B (5 t ) x (p) t+ B (5t+ ) B (5 t+ ) B (5 t ) + 9 (5 t ) 5B B + 9 B 3 x (p) t+ 3 (5 t ) x t A ( t ) + 3 (5 t ) Condiciones iniciales: x 3 A + 3 A x t 3 (5 t ), t,,, x t+3 3x t+ + x t Proponemosx t λ t λ t+3 3λ t+ + λ t λ t λ 3 3λ + λ 3 3λ + (λ ) λ +λ (λ ) (λ ) (λ + ) λ λ, λ 3 x t k t +k t t +k 3 ( ) t ( raíces reales repetidas) x t k +k t + k 3 ( ) t, t,,,... 3

32 6. x t+ 5x t+ + x t 6, conx 4 yx β. (a) El punto fijox se obtiene de x 5x +x 6, de donde x 6. (b) x (h) t : x (p) t : x (h) t+ 5x (h) t+ + x (h) t Proponemosx (h) t λ t λ 5λ + λ, 5± λ, λ x (h) t k t +k t 5±3 4 x (p) t+ 5x(p) t+ + x(p) t 6 Proponemosx (p) t A A 5A + A 6 A 6 x (p) t 6 x x t k t +k t + 6 Condiciones iniciales: x 4 k +k + 6 x β k () +k + 6 β k, k 4 β 3 3 t β 4 β x t t + +6, t,,, (c) Como lim t diverge,x es estable sólo sik t esto es, siβ 5. En ese caso, t x t + 6 t lim x t lim x t t β 3, 3

33 (d) Como lim t (/)t diverge,x esinestablesólosik 4 β 3 esto es, siβ. En ese caso, x t () t + 6 lim x t lim t t t x, 7. x t+ ax t+ + 6 x t, conaconstante. Proponemosx t λ t λ aλ + 6 λ, a± a 4 Lasoluciónpresentauncomportamientooscilatoriocuandoa < 4, esto es, cuando <a<. En ese caso, λ, a±! ( ) 4 a a±i Reescribiendoλ, de la formaλ, α±iβ se tiene α a, β 4 a 4 a λ α +β β 4, θ tan α t x t [k cos (θt) +k sen (θt)], t,,, F t+ F t+ +F t, F, F ProponemosF t λ t λ λ λ F t k, λ 5 t +k (raíces reales distintas) t 5 33

34 Condiciones iniciales: F k +k F k + k k 5, k 5 F t 5 + t 5 5 t 5, t,,, C t cy t, K t σy t, Y t C t +K t K t, c,σ> Y t (cy t ) + (σy t ) (σy t ) Y t (c +σ)y t σy t Y t (c +σ)y t +σy t o bien,y t+ (c +σ)y t+ +σy t Ecuación: Y t+ (c +σ)y t+ +σy t ProponemosY t λ t λ (c +σ)λ +σ " (c +σ)± (c +σ) 4σ λ, i) Si (c +σ) > 4σ, entoncesλ yλ son reales y distintas Y t k λ t +k λ t, t,,,... ii) Si (c +σ) 4σ, entoncesλ λ c +σ son reales repetidas c +σ t c +σ t Y t k +k t, t,,,... iii) Si (c +σ) < 4σ, entoncesλ yλ son complejas (c +σ)± " 4σ (c +σ) Enestecaso,λ, Reescribiendoλ, de la formaλ, α±iβ se tiene " 4σ (c +σ) α c +σ, β 34 " (c +σ)±i 4σ (c +σ)

35 λ α +β σ, θ tan β α Y t σ t/ [k cos (θt) +k sen (θt)], t,,,.... Y t C t +I t +G t, C t C +αy t, I t I +β(y t Y t ), con <α<,c,i,β>, (α +β) > 4β Y t (C +αy t ) + (I +β(y t Y t )) +G t Y t (α +β)y t βy t + (C +I +G t ) Suponiendo queg t G, se tiene Y t (α +β)y t +βy t C +I +G o bien,y t+ (α +β)y t+ +βy t C +I +G Ecuación: Y t+ (α +β)y t+ +βy t C +I +G Y (h) t : Y (p) t : Y (h) t+ (α +β)y(h) t+ +βy(h) t ProponemosY (h) t λ t λ (α +β)λ +β " (α +β)± (α +β) 4β λ, Como (α +β) > 4β, entoncesλ yλ son reales y distintas Y (h) t k λ t +k λ t Y (p) t+ (α +β)y (p) t+ +βy (p) t C +I +G ProponemosY (p) t A Y (p) t+ Y (p) t+ A A (α +β)a +βa C +I +G A C +I +G α Y (p) t C +I +G α Y t k λ t +k λ t +C +I +G, t,,,... α 35

36 MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ECONOMÍA TAREA 3 - SOLUCIONES ELEMENTOS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA (Temas ). (a) Seaβ. Partimos de la suma geométrica n β k βn+ β. k Para obtener la suma n # k kβ k derivamos con respecto a β ambos lados de la geométrica, esto es, d n β k d β n+ dβ dβ β k n dβ k dβ ( β) ( (n + )βn ) β n+ ( ) ( β) k n kβ k (n + ) ( β)βn + β n+ ( β) k n kβ k (n + )βn +nβ n+ β ( β) k n kβ k β (n + )β n +nβ n+ ( β). k (b) Para obtener la serie aritmético-geométrica, tomamos el límite n en el resultado del inciso anterior. Como β <, se tiene lim n βn. Por otra parte, por regla de L Hopital, se tiene n lim n nβn lim L n β n lim n β n lnβ lnβ lim n βn. De esta manera, kβ k lim k n n k kβ k β (n + )β n +nβ n+ lim n ( β) β ( β) lim (n + )β n + limnβ n+ n n β ( β). 36

37 . V (w ) max {c t} T# k β k lnc k s.a. w t+ w t c t,w φ yw T. Función valor a partir del períodot: T# V t (w t ) max β k lnc k, t,,,...,t. {c t } kt Ecuación de Bellman: V t (w t ) max β t lnc t +V t+ (w t+ ). {c t} Condiciones de primer orden: La variable de estado esw t y la de control esc t. Sean f t (w t,c t ) β t lnc t, g t (w t,c t ) w t c t. De esta manera, las condiciones de primer orden f t +V t+ c (w t+) g t, t c t f t +V t+ (w t+ ) g t V t (w t ), w t w t w t+ w t c t, se reducen a β t V t+ c (w t+),...() t V t+ (w t+ ) V t (w t ),...() w t+ w t c t...(3) Ecuación de Euler y su solución: De la ec. (): V t+ (w t+) βt c t...(4) Sustituimos (4) en (): β t V t c (w t)...(5) t Iteramos (5) un período hacia adelante: β t+ c t+ V t+ (w t+)...(6) Sustituimos (6) en (): β t c t βt+ c t+ 37

38 de donde se obtiene la ecuación de Euler: c t+ βc t...(7) Esta es una ecuación lineal y homogénea. Su solución es c t c β t...(8) Ecuación de restricción paraw t y su solución: De (3) y (8) se obtiene la ecuación lineal no homogénea: w t+ w t c β t...(9) La ecuación no es autónoma. Podemos resolverla como sigue: a) Método (por iteración): Iterando la solución a partir dew φ, se obtiene t # w t φ c k β k φ c β t β φ c + c β β βt...() Condición de transversalidad: No hay condición de transversalidad, ya quew T : φ c + c β β β βt c φ β T w t φ φ + φ β t β T β T β T βt φ β T b) Método (coeficientes indeterminados): w t w (h) t +w (p) t w (h) t : w (p) t : w (h) t+ w (h) t w (h) t A w (p) t+ w (p) t c β t Proponemosw (p) t Kβ t Kβ t+ Kβ t c β t Kβ K c K c β w (p) t+ c β βt w t A + c β βt 38...()...()

39 Condición inicial (w φ): φ A + c β w t φ c β que coincide con (). Trayectorias óptimas: A φ c β + c β βt De (8), () y () se se concluye: β c t φ β t β T...(3) β t β T w t φ...(4) β T 3. V (w ) max {c t } # k β k u (c k ) s.a. w t+ ( +r) (w t c t ),w dado. Función valor a partir del períodot: # V t (w t ) max β k u (c k ), t,,,... {c t} kt Ecuación de Bellman: V t (w t ) max β t u (c t ) +V t+ (w t+ ). {c t } Condiciones de primer orden: La variable de estado esw t y la de control esc t. Sean f t (w t,c t ) β t u (c t ), g t (w t,c t ) ( +r) (w t c t ). De esta manera, las condiciones de primer orden f t +V t+ (w t+ ) g t, c t c t f t +V t+ w (w t+) g t V t t w (w t), t w t+ ( +r) (w t c t ), se reducen a β t u (c t ) ( +r)v t+ (w t+ ),...() ( +r)v t+ (w t+ ) V t (w t ),...() w t+ ( +r) (w t c t )...(3) 39

40 Ecuación de Euler: De la ec. (): V t+ (w t+ ) βt u (c t ) +r...(4) Sustituimos (4) en (): β t u (c t ) V t (w t)...(5) Iteramos (5) un período hacia adelante: β t+ u (c t+ ) V t+ (w t+)...(6) Sustituimos (6) en (): β t u (c t ) ( +r)β t+ u (c t+ ) de donde se obtiene la ecuación de Euler: u (c t ) β ( +r)...(7) u (c t+ ) 4. Deacuerdoconelproblema3, setieneu (c t )/u (c t+ ) β ( +r). Sea u (c t ) c α t...() Por lo tanto, u (c t ) u (c t+ ) αcα t β ( +r). αct+ α Así, la ecuación de Euler para este modelo es c t+ [β ( +r)] α...() c t Por simplicidad, definimos γ [β ( +r)] α,...(3) con <γ<. Así, la ecuación () se convierte en c t+ γc t, (ec. lineal homogénea) c t c γ t...(4) Ecuación de restricción paraw t : w t+ ( +r) (w t c t ) w t+ ( +r)w t c ( +r)γ t (ec. lineal no homogénea) La ecuación no es autónoma. Podemos resolverla como sigue: a) Método (coeficientes indeterminados): w t w (h) t +w (p) t 4

41 w (h) t : w (h) t+ ( +r)w (h) t Proponemosw (h) t λ t w (p) t : λ ( +r) λ +r w (h) t A ( +r) t (sol. general,aw ) w (p) t+ ( +r)w (p) t c ( +r)γ t Proponemosw (p) t Bγ t Bγ t+ ( +r)bγ t c ( +r)γ t Bγ ( +r)b c ( +r) B c ( +r) +r γ w (p) t+ c ( +r) +r γ γt w t A ( +r) t + c ( +r) +r γ γt Condiciones iniciales: w A + c ( +r) w t +r γ w c ( +r) +r γ b) Método (por iteración): A w c ( +r) +r γ ( +r) t + c ( +r) +r γ γt...(5) Iterando la solución se obtiene w t ( +r) t w + t # ( +r) t k c ( +r)γ k w t k ( +r) t w c ( +r) t t # k γ k +r t γ ( +r) t w c ( +r) t +r γ +r w c ( +r) +r γ que coincide con la solución (5). ( +r) t + c ( +r) +r γ γt, 4

42 Funcionesw t yc t : Como +r>, la solución (5) converge a la larga sólo si w c ( +r) +r γ c w ( +r γ) +r w γ...(6) +r Sustituyendo (6) en (4) y (5), concluimos que c t w γ γ t...(7) +r w t w γ t...(8) Función valor paraα /: Cuandoα/,γ en (3) se convierte en γ [β ( +r)]...(9) En ese caso, las soluciones (7) y (8) están dadas por c t w β ( +r) [β ( +r)] t...() w t w [β ( +r)] t,...() Sustituyendo () en (), se tiene u (c t ) w " β ( +r) [β ( +r)] t...() ComoV (w ) # k βk u (c k ), por lo tanto, # V (w ) " β k w β ( +r) [β ( +r)] k k w " β ( +r) # k β ( +r) k. Usando el resultado del ejercicio 8b de la tarea se obtiene V (w ) w " β ( +r) β ( +r) w β ( +r)...(3) 5. Deacuerdoconelproblema3, setieneu (c t )/u (c t+ ) β ( +r). Ecuación de Euler parac t : Sea u (c t ) lnc t...() 4

43 Por lo tanto, u (c t ) u (c t+ ) c t+ c t β ( +r). Así, la ecuación de Euler para este modelo es c t+ β ( +r)c t...() c t c [β ( +r)] t...(3) Ecuación de restricción paraw t : w t+ ( +r) (w t c t ) w t+ ( +r)w t c β t ( +r) t+ (ec. lineal no homogénea) Procediendo simillarmente al ejercicio 4, se obtiene w t w c ( +r) t + c β β [β ( +r)]t...(4) Funcionesw t yc t : La solución (4) converge a la larga sólo siw c β, de donde c w ( β)...(5) Sustituyendo (5) en (3) y (4), concluimos que c t w ( β) [β ( +r)] t...(6) w t w [β ( +r)] t...(7) Función valor: Sustituyendo (6) en (), se tiene u (c t ) ln w ( β) [β ( +r)] t ln [w ( β)] +t ln [β ( +r)]...(8) ComoV (w ) # k βk u (c t ), por lo tanto # V (w ) β k {ln [w ( β)] +kln [β ( +r)]} k V (w ) ln [w ( β)] # k β k + ln [β ( +r)] # k kβ k De acuerdo con el resultado del ejercicio b se obtiene β V (w ) ln [w ( β)] +ln [β ( +r)] β ( β)...(9) 43

44 6. Deacuerdoconelproblema3, setieneu (c t )/u (c t+ ) β ( +r). Ecuación de Euler parac t : Sea u (c t ) e act a...() Por lo tanto, u (c t ) u (c t+ ) e act e ac ea(c t+ c t) β ( +r). t+ Así, la ecuación de Euler para este modelo es c t+ c t + ln [β ( +r)]...() a Se trata de una ecuación lineal autónoma, no homogénea. Se resuelve más fácilmente por iteración, obteniendo c t c + t ln [β ( +r)]...(3) a 7. V (x ) max {c t} # k β k ln (x k c k ), <β< s.a. x t+ c t, x dado, lim t c t. Función valor a partir del períodot: # V t (x t ) max β k ln (x k c k ), t,,,... {c t} kt Ecuación de Bellman: V t (x t ) max β t ln (x t c t ) +V t+ (x t+ ). {c t} Condiciones de primer orden: Sean f t (k t,c t ) β t ln (x t c t ), g t (x t,c t ) c t. De esta manera, las condiciones de primer orden f t +V t+ (x t+ ) g t c t c t f t +V t+ x (x t+) g t V t t x (x t) t x t+ c t se reducen a βt x t c t +V t+ (x t+)...() 44

45 β t V t x t c (x t)...() t x t+ c t...(3) Ecuación de Euler: Iteramos () un período hacia adelante: V t+ (x t+) Sustituimos (4) en (): β t+ x t+ c t+...(4) βt β t+ +,...(5) x t c t x t+ c t+ de donde se obtiene la ecuación de Euler: x t+ c t+ β (x t c t )...(6) a) Método (con ecuación de segundo orden): Sustituyendo (3) en (6) se obtiene x t+ x t+ β (x t x t+ ) esto es, x t+ (β + )x t+ +βx t. Proponemosx t λ t λ (β + )λ +β " " (β + )± (β + ) 4β (β + )± (β ) λ, λ, λ β x t k +k β t...(7) c t x t+ k +k β t+...(8) Por último, como <β< se tiene: lim t c t k x dado k x De este modo, la solución es x t x β t,...(9) c t x β t+...() 45

46 b) Método (por iteración): Resolviendo (6) por iteración, se obtiene x t c t β t (x c )....() Sustituyendo (3) en (), se llega a que x t x t+ β t (x c ),...() cuya solución (por iteración o conx (h) x t x x c x c + β β c t x x c x c + β β Como <β<, se tiene: lim c t c βx. t De este modo, la solución es x t x β t c t x β t+, que coincide con (9) y (). t ) es β t,...(3) t +x (p) β t+....(4) Por último, como <β< yx >, claramente se satisface 8. V (k ) max {c t } x t c t x β t ( β)>. # i β i lnc i s.a.k t+ k α t c t, k dado. Función valor a partir del períodot: # V t (k t ) max β i lnc i, t,,,... {c t } it Ecuación de Bellman: V t (k t ) max β t lnc t +V t+ (k t+ ). {c t} Condiciones de primer orden: Sean f t (k t,c t ) β t lnc t, g t (k t,c t ) k α t c t. De esta manera, las condiciones de primer orden 46

47 f t +V t+ (k t+ ) g t c t c t f t +V t+ (k t+ ) g t V t (k t ) k t k t k t+ kt α c t se reducen a β t c t V t+ (k t+ )...() V t (k t )...() V t+ (k t+ ) αkt α k t+ k α t c t...(3) Ecuación de Euler: De la ec. (): V t+ (k t+ ) βt c t...(4) Sustituimos (4) en (): β t αk α t V t c (k t)...(5) t Iteramos (5) un período hacia adelante: β t+ αk α t+ V t+ c (k t+)...(6) t+ Sustituimos (6) en (): β t αβt+ kt+ α c t c t+ de donde se obtiene la ecuación de Euler: c t+ αβkt+ α...(7) c t Puntos fijos (k t k yc t c ): Sustituyendok t k yc t c en (3) y (7) se obtiene k (k ) α c αβ (k ) α, de donde se obtienen los puntos fijos del sistema: k (αβ) α c (αβ) α α (αβ) α. 47

48 MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ECONOMÍA TAREA 4 - SOLUCIONES ECUACIONES DIFERENCIALES I (PRIMERA PARTE) (Temas 4.-4.). (a) ẋ 3x + e t, x() ; x(t) Ce 3t e t x Ce 3t e t ẋ 3Ce 3t + e t ẋ 3x 3Ce 3t + e t 3 Ce 3t e t ẋ 3x e t ẋ 3x + e t Condición inicial: x(t) Ce 3t e t, conx() C C 3 x(t) 3 e3t e t (b) ẋ + tx, x() 3; x(t) t +C x t +C ẋ t (t +C) ẋ + tx t (t +C) + t t +C ẋ + tx Condición inicial: x(t) t +C, conx() 3 3 C +C 3 x(t) t (/3) 3 3t (c) ẋ 3t (x + ), x() ; x(t) tan (t 3 +C) x tan (t 3 +C) ẋ 3t sec (t 3 +C) 3t (x + ) 3t [tan (t 3 +C) + ] Como tan θ + sec θ, por lo tanto 3t (x + ) 3t sec (t 3 +C) 48

49 3t (x + ) ẋ Condición inicial: x(t) tan (t 3 +C), conx() tan ( +C) tanc C tan () π 4 x(t) tan t 3 + π 4. (a) dv dt 5 v Para eliminar el símbolo de proporcionalidad introducimos una constantek: dv k (5 v). dt (b) dn dt P N dn dt k (P N), conk> una constante. (c) dn dt N(P N). dn dt kn (P N), conk> una constante. 3. (a) y Cualquier polinomio de primer grado tendrá una segunda derivada igual a cero. y Ax +B, cona,b constantes. (b) y 3y Proponemos cualquier múltiplo dee 3x y ke 3x, conk constante. (c) xy +y 3x Es suficiente tener una solución potencial de grado, para que la suma de ésta con su derivada sea de grado. y kx x(kx) + (kx ) (x) 3x 3kx 3x k y x (d) y +y e x Buscamos una solución que sea múltiplo dee x. Por lo tanto, proponemos 49

50 y ke x y ke x (ke x ) + (ke x ) e x ke x e x k y ex (e) y +y Buscamos una solución que sea el negativo de su segunda derivada. Por ejemplo, proponemos y senx, o bien,y cosx (f) (y ) +y La forma de esta ecuación sugiere utilizar cos x +sen x. y senx, o bien,y cosx 4. (a) ẋ, x() dx dt x(t) $ dt t +C. Condición inicial: x() () +C C x(t) t + (b) ẋ 5x, x(3) dx dt 5x dx % x 5dt % dx x 5 dt (esto se justifica formalmente en clase) ln x 5t +C x e 5t+C e 5t e C x ±e C e 5t Ae 5t, donde se definióa ±e C. x(t) Ae 5t Condición inicial: x(3) Ae 5(3) A e 5 x(t) (e 5 )e 5t x(t) e 5(t 3) 5

51 (c) ẋ +x dx dt x x(t) Ae t/ (d) ẋ 8 x, x() 5 Usamos el teorema: x(t) x h (t) +x p (t) x h : ẋ h x h dx h dt x h x h (t) Ae t x p : ẋ p 8 x p Proponemosx p (t) K ẋ p (t) 8 K K 8 x p (t) 8 x(t) Ae t + 8 Condición inicial: x() 5 A + 8 A 3 x(t) 3e t + 8 (e) ẋ 8 x, x() 8 Del inciso anterior, se tiene x(t) Ae t + 8 Condición inicial: x() 8 A + 8 A x(t) 8 (f) ẋ 5x + x h : ẋ h 5x h x h (t) Ae 5t x p : ẋ p 5x p + x p (t) x(t) Ae 5t + 5

52 5. P [D(P) S(P)],S(P) P 4,D(P) P,P() P P [( P) (P 4)] P 3 6P P h : P h 6P h P h (t) Ae 6t P p : P p 3 6P p P p (t) 5 P(t) Ae 6t + 5 Condición inicial: P() P A + 5 A P 5 P(t) (P 5)e 6t + 5 Comportamiento a largo plazo: limp(t) lim [(P 5)e 6t + 5] 5 t t Esto significa que el precio tiene a estabilizarse en P λ [D(P) S(P)],S(P) α +βp,d(p) a bp, a,b,α,β>,a>α P λ[(a bp) (α +βp)] P +λ (b +β)p λ (a α) P h : P h λ (b +β)p h P h (t) Ae λ(b+β)t 5

53 P p : P p +λ (b +β)p p λ (a α) P p (t) a α b +β P(t) Ae λ(b+β)t + a α b +β Comportamiento a largo plazo: Comoλ,b,β>, por lo tanto limp(t) lim t t Ae λ(b+β)t + a α b +β a α b +β Pe Por lo tanto, el precio tiene a un precio de equilibriop e a α b +β. 7. (a) dp dt αp, α>, P() P P(t) Ae αt Condición inicial: P() P A P(t) P e αt (b) Se buscat t tal quep(t ) P P(t ) P P e αt e αt αt ln t ln (independientemente del valor dep ) α (c) Comoα>, por lo tanto limp(t) lim (P e αt ) t t Esto significa que la población crece indefinidamente. 53

54 (d) Siα<, entoncesα α <. En ese caso, P(t) lim P e α t lim t t Esto implicaría que la población se extingue a la larga. 8. dp dt (α β)p, α,β>, P() P P(t) Ae (α β)t Condición inicial: P() P A P(t) P e (α β)t Casos: i. α>β α β> limp(t) lim P e (α β)t. t t Por lo tanto, si la tasa de nacimientos es mayor que la de muertes, la población crece sin límites. ii. α β α β limp(t) limp P. t t Por lo tanto, si las dos tasas son iguales, la población se mantiene constante. iii. α<β α β< limp(t) lim P e (α β)t. t t Por lo tanto, si la tasa de nacimientos es menor que la de muertes, la poblaciòn a largo plazo desaparece. 54

55 dp 9. dt αp E, α,e>,p() P P h : P h αp h P h (t) Ae αt P p : P p αp p E P p (t) E α P(t) Ae αt + E α Condición inicial: P() P A + E α P(t) P E e αt + E α α A P E α Casos: E i. α >P A< limp(t) lim Ae αt + E. t t α Por lo tanto, emigran más de los que nacen, la población se extingue. E ii. α P A limp(t) lim Ae αt + E E t t α α P. Por lo tanto, si emigran el mismo número que los que nacen, la población se mantiene constante. E iii. α <P A> limp(t) lim Ae αt + E. t t α Porlotanto, siemigranmenosquelosquenacen, lapoblación crece sin límite. 55

56 . Partimos del sistema C(t) +I(t) Y (t) () I(t) kċ(t) () C(t) ay (t) +b, (3) cona,b,k R +, a <. Sustituimos (3) en (), y de esta última despejamos I, obteniendo I(t) ( a)y (t) b. (4) Sustituimos I(t) de (4) en (), obteniendo Ċ(t) [( a)y (t) b]. (5) k Por otra parte, tomando la derivada de la ecuación(3) con respecto atse obtiene. C(t) aẏ (t). (6) Por último, igualamos (5) y (6) para eliminarċ(t), de donde a Ẏ Y b ka ka. (7) a Así, se trata de resolverẏ Y b,b,k>, <a<, ka ka Y () Y. a Y h : Ẏ h Y h ka Y h (t) Ae ( a ka )t a Y p : Ẏ p Y p b ka ka Y p (t) b a Y (t) Ae ( a ka )t + b a Condición inicial: Y () Y A + b a A Y b a > 56

57 Y (t) Función I(t) : Y b e ( a ka )t + b a a Sustituyendo Y (t) en la ecuación (4), obtenemos I(t) ( a)y (t) b ( a) Y b a I(t) ( a) Y b e ( a ka )t a Comportamiento asintótico de Y (t) I(t) : Y b Y (t) lim t I(t) lim t Y (t) lim t I(t) lim t ( a) Y (t) lim t I(t) a + Y (t) lim t I(t) a, a + e ( a ka )t + a Y b a b a e ( a ka )t b ( a) Y b a b e ( a ka )t + e ( a ka )t ( a) Y a b lim e ( a ka )t t en donde se usó que lime ( a ka )t, ya queα<. t. (a) ẋ t, x() 3 x(t) $ tdt t +C Condición inicial: x() 3 +C C 4 x(t) t + 4 (b) ẋ + ( cost)x cost Usamos el método del factor de integración µ(t): µ(t) e costdt e sent e sent [ẋ + ( cost)x] e sent cost d dt [esent x(t)] e sent cost b a b 57

58 e sent x(t) $ e sent costdt esent +C x(t) +Ce sent (c) ẋ tx t( +t ) µ(t) e t dt e t e t [ẋ tx] t( +t )e t d e t x(t) t( +t )e t dt e t x(t) $ (t +t 3 )e t dt e t x(t) $ te t dt + $ t 3 e t dt +C Integramos por partes el segundo término: $ t 3 e t dt $ t te t dt t e t + $ te t dt u dv e t x(t) $ te t dt + t + $ e t te t dt +C e t x(t) $ te t dt t e t +C Integramos por sustitución el primer término: $ te t dt e t e t x(t) e t t e t +C x(t) + t +Ce t (d) ẋ + x + e t ẋ + 6x et µ(t) e 6dt e 6t e 6t [ẋ + 6x] et e 6t d dt [e6t x(t)] e6t e 7t e 6t x(t) $ e6t e 7t dt e6t 7 e7t +C x(t) 7 et +Ce 6t (e) ẋ +t x 5t, x() 6 µ(t) e t dt e t3 /3 58

59 e t3 /3 [ẋ +t x] 5t e t3 /3 d e t3 /3 x(t) 5t e t3 /3 dt e t3 /3 x(t) $ 5t e t3 /3 dt 5e t3 /3 +C x(t) 5 +Ce t3 /3 Condición inicial: x() 6 5 +C C x(t) 5 +e t3 /3 (f) ẋ x t + t3, x() 3 ẋ + t x t 3 µ(t) e t dt e ln t e ln t e lnt t t ẋ + t x t t 3 d dt [t x(t)] t t x(t) $ dt ln t +C t ln t +C x(t) t Condición inicial: ln +C x() 3 C 3 x(t) 3 + ln t t (g) tẋ + x t 3, x() ẋ + t x t 4 µ(t) e t dt e ln t e ln t e lnt t t ẋ + t x t t 4 d dt [t x(t)] t t x(t) $ t dt t +C x(t) t 3 +C t 59

60 . (a) Condición inicial: x() +C C 3 x(t) t t ẏ ty et µ(t) e ( t)dx e t e t [ẏ ty] e t e t d e t y(t) dt e t y(t) $ dt e t y(t) t +C y(t) (t +C)e t (b) λ α λ + 5α λ +α λ 5α µ(α) e α dα e α3 /3 e α3 /3 [λ +α λ] 5α e α3 /3 d e α3 /3 λ(α) 5α e α3 /3 dα e α3 /3 λ(α) $ 5α e α3 /3 dx e α3 /3 λ(α) 5e α3 /3 +C λ(α) 5 +Ce α3 /3 (c) x + ( cosθ)x cosθ µ(θ) e cosθdθ e senθ e senθ [x + ( cosθ)x] e senθ cosθ d e senθ x (θ) (cosθ)e senθ dθ e senθ x (θ) $ (cosθ)e senθ dθ e senθ x (θ) esenθ +C x(θ) +Ce senθ (d) dy dx x +y dy dx y x 6

61 µ(x) e dx e x/ d e x/ y(x) xe x/ dx e x/ y(x) $ xe x/ dx e x/ y(x) xe x/ 4e x/ +C y(x) x 4+Ce x/ (e) y + 3u y u, y() µ(u) e 3u du e u3 e u3 [y + 3u y] u e u3 d e u3 y(u) e u3 u du e u3 y(u) $ e u3 u du e u3 y(u) 3 eu3 +C y(u) 3 +Ce u3 Condición inicial: y() 3 +C C 3 y(u) e u3 (f) dx dy + x ey, x() µ(y) e dy e y dx e y dy + x e y e y d dy [ey x(y)] e 3y e y x(y) $ e 3y dy e y x(y) 3 e3y +C x(y) 3 ey +Ce y Condición inicial: x() 3 +C C 3 x(y) 3 ey + 3 e y 6

62 (g) xy + 5y 7x, y() 5 y + 5 x y 7x µ(x) e 5 x dx e 5ln x x 5 x> x 5 y + 5 x y (7x)x 5 x< ( x 5 ) y + 5x y (7x) ( x 5 ) (se cancela el ) En cualquier caso, se obtiene x 5 y + 5 x y (7x)x 5 d dx [x5 y(x)] 7x 6 x 5 y(x) $ 7x 6 dx x 5 y(x) x 7 +C y(x) x + C x 5 Condiciòn inicial: y() 5 + C 5 C 3 y(x) x + 3 x 5 (h) (t + 4)ẏ + 3ty t, y() ẏ + 3t (t + 4) y t (t + 4) 3t µ(t) e (t dt +4) e 3 ln(t +4) e ln(t +4) 3/ (t + 4) 3/ (t + 4) 3/ ẏ + 3t (t + 4) y t (t + 4) (t + 4) 3/ d (t + 4) 3/ y(t) t (t + 4) / dt (t + 4) 3/ y(t) $ t (t + 4) / dt (t + 4) 3/ y(t) 3 (t + 4) 3/ +C y(t) 3 + C (t + 4) 3/ Condiciòn inicial: y() 3 + C C 6 4 3/ 3 y(t) (t + 4) 3/ 6

63 (i) ẋ x t, x() x ẋ x t µ(t) e ( )dt e t e t [ẋ x] te t d dt [e t x(t)] te t e t x(t) $ te t dt e t x(t) te t +e t +C x(t) t + +Ce t Condiciòn inicial: x() x +C C x x(t) t + + (x )e t 3. Partimos del sistema (σ,α,h,µ R +,ασµ): X(t) σk(t) () K(t) αx(t) +H(t) () H(t) H e µt, (3) Sustituimos () y (3) en (), obteniendo K(t) ασk(t) +H e µt. (4) Así, se trata de resolver K (ασ)k H e µt, σ,α,h,µ R +, ασµ,k() K. Factor de integracióne (ασ)dt e ασt. e ασt K (ασ)k e ασt [H e µt ] d dt [e ασt K(t)] H e (µ ασ)t e ασt K(t) $ H e (µ ασ)t dt e ασt K(t) H µ ασ e(µ ασ)t +C K(t) H µ ασ eµt +Ce ασt Condición inicial: K() K H µ ασ +C C K H µ ασ K(t) H µ ασ eµt + K H e ασt µ ασ 63

64 x$ 4. (a) y (x) e x, y() 5; y(x) 5 + e s ds 5. x$ Seay(x) 5 + e s ds. Por una parte, y (x) d $ 5 + x e s ds d $ x dx dx Por otra parte, y() 5 + $ e s ds 5 e s ds e x (b) y (x) + xy(x), y() ; y(x) e x x$ x$ Seay(x) e x e s ds. Por una parte, y (x) d $ x e x e s ds d $ x e x dx dx $ x y (x) xe x e s ds +e x e x x$ y (x) x e x e s ds + y (x) xy(x) + y (x) + xy(x) Por otra parte, $ y() e e s ds e s ds (c) Ḃ(t) r(t)b(t), B() B ; B(t) B e t r(s)ds SeaB(t) B e t r(s)ds. Por una parte, Ḃ(t) B e t d $ r(s)ds t r(s)ds dt Ḃ(t) B e t dx dt + x t r(s)ds r(t) Ḃ(t) B(t)r(t) Por otra parte, B() B e r(s)ds B sent, x() 3, t t 3 sent t 3 ẋ + x t µ (t) e t dt e lnt e lnt t e s ds+e d $ x x dx e s ds 64

65 t ẋ + x t sent t t 3 d dt [t x(t)] sent t t x(t) $ sent dt t La integral del lado derecho no posee una antiderivada simple. Por lo tanto, debemos utilizar integrales definidas con límite variable (Teorema Fundamental del Cálculo), de donde t x(t) % t a sens ds. s Sabemos quex() 3, por lo que sustituimost en la integral anterior, esto es, x() % a % a sens ds, s sens ds s De esta manera, t x(t) t x(t) t x(t) t x(t) + % t a % t a % t % t x(t) + t sens s ds sens s ds + sens s ds. sens ds s % t sens s % a % a ds. sens ds s sens ds s 65

66 6. 7. dy dx y G(x), y(3) 6, x 3. x dy dx x y G(x) µ(x) e ( x)dx e lnx e lnx x dy x dx x y G(x) x d dx x y (x) G(x) x % x x y (x) G(u) u du a % 3 3 y (3) a G(u) u du x y (x) % x 3 y (3) x y (x) % x 3 (6) y(x) x + % x 3 3 a G(u) u du G(u) u du G(u) u du dy + xy, y() 3 dx dy dx xy µ(x) e ( x)dx e x dy e x dx xy d e x y(x) e x dx e x y(x) % x a e x e t dt % 3 a G(u) u du 66

67 % e y() a e t dt e x y(x) y() % x e t dt % e t dt e x y(x) y() a % x e t dt a e x y(x) 3 % x e t dt y(x) e x 3 + y(x) e x 3 + % x e t dt π e x 3 + π erf(x) % x π e t dt 8. ṗ λ p λ m(t), p(t ) p, t t. ṗ λ p λ m(t) µ(t) e ( λ)dt e t/λ e t/λ ṗ λ p e t/λ λ m(t) d dt e t/λ p(t) λ e t/λ m(t) e t/λ p(t) λ e t /λ p λ % t a % t a e s/λ m(s)ds e s/λ m(s)ds e t/λ p(t) e t/λ p e s/λ m(s)ds λ t % t 67

68 p(t) e t/λ o bien, % t e t/λ p e s/λ m(s)ds λ t % t p(t) e (t t)/λ p e (t s)/λ m(s)ds λ t 9. Ẏ ry X(t), Y (T) Y T, r>, t T. (a) Ẏ ry X(t) µ(t) e t T ( r)dt e r(t T) (b) e r(t T) Ẏ ry X(t)e r(t T) d e r(t T) Y (t) e r(t T) X(t) dt e r(t T) Y (t) % T e Y (T) a % t a e r(s T) X(s)ds e r(s T) X(s)ds e r(t T) Y (t) Y (T) % t % T e r(s T) X(s)ds+ e r(s T) X(s)ds a % T e r(t T) Y (t) Y T e r(s T) X(s)ds a Y (t) e r(t T) Y T + t % T t % T e r(s T) X(s)ds Y (t) e r(t T) Y T + e r(t T) e r(s T) X(s)ds Y (t) e r(t T) Y T + t % T t e r(s t) X(s)ds 68

69 (c) Y (t) lim e r(t T) Y T + lim T T % T t e r(s t) X(s)ds Comor>, por tanto lim T er(t T), de donde Y (t) % t e r(s t) X(s)ds. (d) Sea τ(s) s t. Así, dτ ds. Los nuevos límites de integración sonτ(t) t t yτ( ) t. Así, Y (t) % t e r(s t) X(s)ds % e rτ X(τ +t)dτ. El valor de la inversión al tiempo t es la suma de los flujos de inversión a tiempos posteriores, X(τ + t), descontados al tiempoτ, donde τ <.. Modelo general (visto en clase): con Ẏ r(t)y +δ(t)b(t),...() B(t) B T e T t r(s)ds, para todo t T...() Modelo particular: Ẏ r Y T + t + t +,...(3) Y (T),r > constante. (a) Comparando las ecuaciones () y (3) se observa que r(t) r...(4) t + (b) Sustituyendo (4) en (), se tiene B(t) B T e T t (r s+)ds B(t) B T e r(t t) e ln(t+ T + B(t) B T e r (T t) t + Se pideb(t) B T. B(t) e r (T t) T +...(5) t + t+ ) 69

70 (c) Comparando las ecuaciones () y (3), se observa que δ(t)b(t) T + t +, conb(t) dada en (5). δ(t) e r (T t)...(6) (d) ComoŻδ(t), conδ(t) de (6), por lo tanto Z(t) $ δ(t)dt $ e r (T t) dt Z(t) r e r (T t) +C ComoZ(t) Y (t) B(t) Z(T) Y (T) B(T) Z(T) r e +C C r Z(t) e r(t t) + r r Z(t) r e r (T t) +...(7) (e) Queremos resolver la ecuación (3), esto es, Ẏ r Y T + t + t +...(8) µ(t) e t T(r s+)ds µ(t) e r (t T) e t+ ln( T+) µ(t) t + T + e r (t T)...(9) Comparando (8) con (5), se tiene µ(t) B(t)...() Multiplicamos (8) por µ(t) dada en (): B(t) d dt Ẏ B(t) Y (t) Y (t) B(t) r t + % t a Y e r (t T) e r (s T) ds 7 B(t) T + t +

71 % T Y (T) B(T) a e r (s T) ds B(t) Y (t) % t Y (T) B(T) % T B(t) Y (t) Y (t) B(t) + t % T t a e r (s T) ds e r(s T) ds % T e r(s T) ds+ a e r (s T) ds Y (t) B(t) + e r (t T)...() r Por último, sustituyendo (5) en (), y llevando a cabo algunas simplificaciones, se obtiene Y (t) T + e r r(t T) + r...() t + Observa que, efectivamente, la función Y (t) en () satisface Y (t) Z(t)B(t), con Z(t) y B(t) dadas en (7) y (5), respectivamente. 7

72 MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ECONOMÍA TAREA 5 - SOLUCIONES ECUACIONES DIFERENCIALES I (SEGUNDA PARTE) (Temas ). (a) y + xy y dy dx y( x) $ dy y $ ( x)dx ln y x x +C y e x x +C e x x e C y ±e x x e C y Ae x x, A ±e C y(x) Ae x x (b) dε dσ ε σ (lnσ) $ dε ε $ dσ σ (lnσ) ln ε ln lnσ +C ε e ln lnσ +C e ln lnσ e C lnσ e C ε ± (lnσ)e C ε A lnσ, A ±e C ε(σ) A lnσ (c) t ẏ t y dy dt t y t $ dy y $ t t dt sen y t +C y(t) sen t +C (d) p dp dx x x 6 $ % dx pdp x x 6 7

73 p * ** x 4 sec * +C 4 p(x) ± * ** x 4 sec * +C 4 (e) ( +x )y y dy dx +y +x $ dy +y $ dx +x tan y tan x +C y(x) tan [tan x +C] Nota: Aquí no se anulan tan y tan, debido al término +C (f) x y x +y x y x dy dx ( x ) +y ( x ) ( x ) ( +y ) dy dx ( x ) ( +y ) x $ dy +y $ ( x ) x dx tan y x x+c y(x) tan x x+c. (a) y (λ) ye λ, y() dy dλ yeλ $ dy y $ e λ dλ ln y e λ +C y e eλ +C e eλ e C y Ae eλ, A ±e C Condición inicial: y() Ae e Ae A e y(λ) e eλ 73

74 t (b) ẋ, x() x +t 3 x dx dt t x ( +t 3 ) $ xdx $ t +t 3dt x 3 ln +t3 +C x ± 3 ln +t3 + C Condición inicial: x() ± 3 ln + C ± C C 4 y tomamos la raíz negativa x(t) 3 ln +t3 + 4 (c) tanx dy π dx y, y 4 dy dx y tanx $ dy y $ tanx dx $ dy y $ cosx senx dx ln y ln senx +C y e ln senx +C e ln senx e C senx e C y ± (senx)e C y Asenx, A ±e C Condición inicial: π y 4 π Asen 4 y(x) senx (d) x dy dx cos y, y(4) π 4 dy dx cos y x $ dy cos y $ dx x 74 A A

75 $ sec ydy $ dx x tany x +C y tan ( x +C) Condición inicial: y(4) π 4 tan ( +C) π tan +C 4 +C C y(x) tan ( x ) (e) ẏ t3 + y 3 +, y() dy dt t3 + y 3 + $ (y 3 + )dy $ (t 3 + )dt y4 4 +y t4 4 +t+c y 4 + 4y t 4 + 4t + 4C Condición inicial: () () + 4C 4C 9 Solución (implícita): y 4 + 4y t 4 + 4t + 9 (f) dy dx xy + 3x y, y() dy dx y (x + 3x ) $ dy y $ (x + 3x )dx y x +x 3 +C y x +x 3 +C Condición inicial: y() C +C y(x) x +x 3 75

76 3. dc dq C Q, C,Q> $ dc C $ dq Q lnc lnq +K C e lnq+k e lnq e K C AQ, A e K C(Q) AQ (función de costos lineal) 4. X AK α L α, K sx,l(t) L e λt, con <α<,<s< ya,l,λ R +.K() K. K sx s (AK α L α ) sak α L α sak α L e λt α dk dt salα eαλt K α $ K α dk sal α $ e αλt dt Kα α salα αλ eαλt +C sal α K λ eαλt +αc Condición inicial: /α 5. K() K K(t) sal α λ K α + salα λ +αc /α αc K α salα λ e αλt /α dy dp eαp+βy+γ, Y (q) I, α,β,γ,q,i R +. dy dp eαp+βy+γ e αp+γ e βy $ e βy dy $ e αp+γ dp β e βy α eαp+γ +C e βy β α eαp+γ βc 76

77 Y β ln β α eαp+γ βc Condición inicial: Y (q) I β ln β α eαq+γ βc e βi β α eαq+γ βc βc e βi + β α eαq+γ Y (p) β ln β α (eαq+γ e αp+γ ) +e βi 6. dy dx y ( αyρ ), x>, <y<α /ρ,ρ. x $ dy y ( αy ρ ) $ dx x $ y + αyρ dy $ dx αy ρ x lny ρ ln ( αyρ ) lnx +C y ln lnx +C ( αy ρ ) /ρ y ( αy ρ ) /ρ elnx+c e lnx e C y Ax, A ( αy ρ ec /ρ ) y ρ αy ρ (Ax)ρ y ρ (Ax) ρ [ αy ρ ] y ρ [ + (Ax) ρ α] (Ax) ρ (Ax) ρ /ρ y + (Ax) ρ α (Ax) ρ +α /ρ y, β A ρ βx ρ +α y(x) [βx ρ +α] /ρ 77 /ρ

78 7. dx dt +a(t)x, cona(t) a +bct, dondea,b,c>,c. dx dt (a +bct )x $ dx x $ (a +bc t )dt lnx at + bct +K lnc x e (at+bc t /lnc)+k e at e bct /lnc e K (e a ) t e b/lnc c t e K Definimospe a,q e b/lnc yc e K. x(t) Cp t q ct. 8. (a) dr r 4θ + 4 dθ Seau r 4θ (esto es,u(θ) r(θ) 4θ) du dθ d dr (r 4θ) 4 (r 4θ + 4) 4 r 4θ u dθ dθ du dθ u u Ae θ r 4θ Ae θ r(θ) Ae θ + 4θ (b) t dx dt e xt x, x() Seau xt (esto es,u(t) x(t)t) du dt d (xt) x +tdx dt dt x + (e xt x) e xt e u du dt e u $ e u du $ dt e u t +C u ln (t +C) xt ln (t +C) ln (t +C) x t Condiciòn inicial: x() ln ( +C) C x(t) lnt t 78

79 (c) (x +e y )y xe y Seau x +e y (esto es,u(x) x +e y(x) ) du dx d dx (x +ey ) +e ydy xe y dx +ey x +e y du dx x +ey +e y (xe y ) x +e y x x +e y x u du dx x u $ udu $ xdx u x +C u ± x + C x +e y ± x + C e y ± x + C x y(x) ln ± x + C x (d) e xdx dt et 6 e x Seau e x (esto es,u(t) e x(t) ) du dt dex dt exdx dt et 6 e x e t 6 u du dt et 6 u $ du $ e t dt 6 u u sen e t +C 4 u 4sen (e t +C) e x 4sen (e t +C) x(t) ln [4sen (e t +C)] (e) dx dt x t + xt ln (xt), x,t> Seau ln (xt) (esto es,u(t) ln (x(t)t)) du dt d ln (xt) d (lnx + lnt) dt dt x x t + du dt x du dt t u xt ln (xt) 79 dx dt + t + t t ln (xt) t u

80 $ udu $ tdt u t +C u ± t + C ln(xt) ± t + C xt e ± t +C t +C x(t) e± t (f) dx dt x x t +t sec t Seau x (esto es,u(t) x(t) t t ) du dt d x x dt t t + dx 3 t dt du dt t secu $ du secu $ dt t $ cosudu $ dt t senu ln t +C u sen (ln t +C) x t sen (ln t +C) x t 3 + t x t x(t) t sen (ln t +C) (g) dx dt t x +t Seau x +t (esto es,u(t) x(t) +t ) du dt d (x +t ) dx dt dt + t t t + t x +t u + t du +u dt t u + t u $ u +u du $ tdt $ du $ tdt +u u ln +u t +C x +t ln +x+t t +C +t secu 8

81 Solución (implícita): x ln +x+t C 9. (a) Ecuación separable: dv dt 9ev $ 9e v dv $ dt e v $ 9e v e v dv $ dt $ e v 9 e vdv $ dt ln 9 e v t +C 9 e v e t+c e t e C 9 e v ±e t e C Ae t, A ±e C e v 9 Ae t v ln (9 Ae t ) v(t) ln (9 Ae t ) (b) Sustitución: Seau e v (esto es,u(t) e v(t) ) du dt de v dt du e vdv dt e v (9e v ) 9 +e v 9 +u Ec. lineal autónoma dt u Ce t + 9 e v Ce t + 9 v(t) ln (Ce t + 9) Esteresultadoequivalealdelincisoanterior,definiendoC A.. (a) dy +P(x)y Q(x) (y lny) dx Seau lny (esto es,u(x) lny(x)) du dx dy [Q(x) (y lny) P(x)y] y dx y du Q(x) lny P (x) dx du Q(x)u P (x) dx du Q(x)u P (x) Ec. lineal dx 8

82 (b) Escribimos la ecuación en la forma dy dx + ( 4x)y (y lny), x de donde P (x) 4x, Q (x) x. De esta manera, se obtiene la ecuación lineal du dx + x u 4x µ (x) e x dx e ln x e ln x x x d dx [x u] 4x 3 x u $ 4x 3 dx x 4 +C u x + C x lny x + C x y e x +C/x. tẋ x f(t)x, t> (a) Seau x (esto es,u(t) x(t) ) t t du dt dt d x x t t + dx x t dt t + x f(t)x t t du x f(t) dt f(t)x f(t)u t t du dt f(t)u Ec. separable (b) Seaf(t) t3 t 4 + du t 3 dt f(t)u t 4 + u $ u du $ t 3 dt t 4 + u 4 ln t4 + C 4 ln (t 4 4 ln + ) + 4C (t4 + ) C 4 4 u ln (t 4 + ) + 4C x t 4 ln (t 4 + ) + 4C 8

83 x 4t ln (t 4 + ) + 4C Condición inicial: x() x(t). ẋ g (x/t), t> 4 ln 3 + 4C 4C 4 ln 3 4t ln (t 4 + ) + 4 ln (3) 4t t 4 + ln (a) Seau x (esto es,u(t) x(t) ) t t du dt dt d x x t t + dx x t dt t + x t g t du dt x x t t +g [ u +g(u)] t t du dt g(u) u Ec. separable t (b) ẋ + (x/t) (x/t). g (u) +u u du dt g(u) u u t t $ du u $ dt t * *** ln u + u * ln t +C ln u + * u * ln t + C u + * u * eln t +C e ln t e C t e C u + u ±ec t At, A ±e C u + At (u ) u ( At ) (At + ) u At + At At + At x t At + At x(t) t (At + ) At 83

84 3. (a) ẋ + x x ẋ x x Ec. de Bernoulli (n ) Seau x x (esto es,u(t) [x(t)] ) du dt x dx dt x [ x x ] x + u + du u Ec. lineal autónoma dt u Ae t x Aet Aet x(t) Ae t (b) ẋ t x t x ẋ t x t x Ec. de Bernoulli (n ) Seau x x (esto es,u(t) [x(t)] ) du dt x dx dt x t x t x x t + t ( u + ) t du dt ( u) Ec. lineal no autónoma / Ec. separable t u A t + x A t + x (t) +At t t +A (c) x dx dt x +x 4, x() ẋ x +x 3 Ec. de Bernoulli (n 3) Seau x 3 x (esto es,u(t) [x(t)] ) du dt x 3dx dt x 3 [x +x 3 ] x u du u Ec. lineal autónoma dt u Ae t x Ae t x ± Ae t 84

85 Condición inicial: x() ± A A y tomamos la raíz negativa x (t) e t (d) ẋ x t 5x t, x() ẋ x t 5t x Ec. de Bernoulli (n ) Seau x x (esto es,u(t) [x(t)] ) du x dt x dx dt x t 5t x t du dt u t + 5t Ec. lineal no autónoma u t 3 +Ct t5 +C t x t5 +C t x t t 5 +C Condición inicial x() +C C x(t) t t 5 + (e) yẏ y e 3t, y() x + 5t ẏ y +e3t y Ec. de Bernoulli (n ) Seau y ( ) y (esto es,u(t) [y(t)] ) du dt ydy dt y y +e3t y du dt u e3t Ec. lineal no autónoma u e3t +Ae t y e3t +Ae t y± e3t +Ae t y +e 3t u +e 3t 85

86 Condición inicial: y() ± +A A y tomamos la raíz negativa y(t) e3t + et (f) dy dx +y y7, y() dy dx y +y7 Ecuación de Bernoulli (n 7) Seau y 7 y 6 (esto es,u(x) [y(x)] 6 ) du dx 6y 7dy dx 6y 7 [ y +y 7 ] 6y 6 6 6u 6 du 6u 6 Ec. lineal autónoma dx u Ae 6x + y 6 Ae6x + y± (Ae 6x + ) /6 Condiciòn inicial: y() ± (A + ) /6 A y tomamos la raíz positiva y (x) 4. ẋ tx + t x (a) Ecuación de Bernoulli: ẋ tx +tx Ec. de Bernoulli (n ) Seau x ( ) x (esto es,u(t) [x(t)] ) du dt xdx dt x [tx +tx ] tx + t t (x + ) du t(u + ) Ec. lineal no autónoma / Ec. separable dt u Ce t x Ce t x(t) ± Ce t 86