, x > a F X (x) = x 3 0, αλλιώς.
|
|
- Κλυμένη Αναστασιάδης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-17: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης 11ο Φροντιστήριο - Θέµατα Εξετάσεων από προηγούµενα έτη Επιµέλεια : Κωνσταντίνα Φωτιάδου Ασκηση 1. Μια συνεχής τ.µ X έχει Α.Σ.Κ: { 1 3, x > F X (x) x 3 όπου > 0, ϑετική σταθερά. Να υπολογισθούν : (α) Η σ.π.π. της τ.µ X (ϐ) Η µέση τιµή EX και η διασπορά σ X της X. (γ) Η πιθανότητα : P (X α) (δ) Η πιθανότητα : P ( X 3α) (ε) Η πιθανότητα : P (X > α X 3α) Λύση. (α) Παραγωγίζουµε την Α.Σ.Κ ως εξής : (ϐ) EX xf X (x)dx Ροπή δεύτερης τάξης : EX Εποµένως, (γ) Εχουµε ότι : x f X (x)dx f X (x) df X(x) dx x 3α 3 x 4 dx x 3α 3 x 4 dx { 3α 3 x 4, x α ( 3α vr(x) EX (EX) 3α 3α 3 x 3 dx 3α 3 ( 1 x ) 3α 3 x dx 3α 3 ( x ) + + α ) 3α 3α 9α 4 3α 4 3α 3( 1 α ) 3α 3α 3 αc 1 3α P (X α) F X (x)(α) 1 α3 (α)
2 Πιθανότητες - 015/9ο Φροντιστήριο (δ) Η Ϲητούµενη πιθανότητα γίνεται : P ( X 3α) P ( 3α X 3α) F X (3α) F X ( 3α) 1 (ε) Εχουµε : α3 (3α) P (X > α) ( X 3α) P X > α X 3α P ( X 3α) P α < X 3α F X (3α) 1 α3 (3α) (α) (3α) 3 F X(3α) F X (α) F X (3α) Ασκηση. N( 10, 4). Η τ.µ X ακολουθεί κανονική κατανοµή µε µέση τιµή 10 και διασπορά 4: X (α) Να υπολογισθούν οι πιθανότητες : (i) P (X < 0) (ii) P ( 10 < X < 5) (iii) P ( X 5) (iv) P (X 3X + > 0) (ϐ) Το πλάτος του µεταλλικού ίχνους σένα ηλεκτρικό κύκλωµα µοντελοποιείται ως µια κανονική τ.µ W µε µέση τιµή µ 0.9 και τυπική απόκλιση σ Κυκλώµατα των οποίων το πλάτος του ίχνους δε ϐρίσκεται εντός του εύρους τιµών ϑεωρούνται ελαττωµατικά. Τι ποσοστό των κυκλωµάτων είναι ελαττωµατικά;εκφράστε τις απαντήσεις σας ϐάσει των τιµών Φ(x) της Α.Σ.Κ της τυπικής Γκαουσιανής, για x > 0. Λύση (α) Οι Ϲητούµενες πιθανότητες γίνονται : (i) (ii) (iii) ( X ( 10) P (X < 0) P < 0 ( 10) ) ( X + 10 ) P < 5 Φ(5) 10 ( 10) P ( 10 < X < 5) P < X ( 10) P 0 < X + 10 < 5 ( 10) < 7.5 Φ(7.5) Φ(0) Φ(7.5) 1/ P ( X 5) P (X 5) + P (X 5) 1 P (X 5) + P (X 5) X ( 10) 1 P 5 ( 10) X ( 10) 5 ( 10) + P X + 10 X P P.5 1 Φ(7.5) + Φ(.5)
3 Πιθανότητες - 015/9ο Φροντιστήριο 3 (iv) P (X 3X + > 0) P (X 1) (X ) P (X > 1 X > ) + P (X < 1 X < ) P (X > ) + P (X < 1) X ( 10) P > ( 10) X ( 10) + P P Y > 6 + P Y < Φ(6) + Φ(5.5) < 1 ( 10) (ϐ) Εχουµε ότι : P W 0.9 > P W > P W < W W P < + P < ( ) ( ) ( 5 ( 5 ) 1 Φ + Φ 1 Φ + Φ ) 3 1 Φ(5/3) Ασκηση 3. Ενας εργοστάσιο παράγει µικρο-επεξεργαστές σε γραµµές παραγωγής. Οι δύο γραµµές παράγουν το ίδιο πλήθος µικρο-επεξεργαστών. Ολοι οι µικρο-επεξεργαστές µοιάζουν µεταξύ τους, αλλά η διάρκεια Ϲωής ενός µικρο-επεξεργαστή που προέρχεται από τη γραµµή 1 είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένη στο 0,, ενώ η διάρκεια Ϲωής ενός µικρο-επεξεργαστή που προέρχεται από τη γραµµή είναι εκθετικά κατανεµηµένη µε παράµετρο λ 0.1(έτη) 1 (α) Η έσποινα αγόρασε 1 µικρο-επεξεργαστή ο οποίος µετά από 5 χρόνια συνεχίζει να λειτουργεί. Βρείτε τη δεσµευµένη πιθανότητα ότι ϑα λειτουργήσει για ακόµη 3 χρόνια. (ϐ) Ο Κώστας αγόρασε 1 µικρο-επεξεργαστή ο οποίος µετά από 1 χρόνο λειτουργεί ακόµη. Ποια είναι η δεσµευµένη πιθανότητα ότι ϑα λειτουργήσει για τουλάχιστον ακόµη 3 χρόνια; Λύση. (α) Ο µικρο-επεξεργαστής λειτουργεί µετά από 5 χρόνια. Άρα, προέρχεται από τη γραµµή. Η διάρκεια Ϲωής ακολουθεί εκθετική κατανοµή µε παράµετρο λ 0.1(έτη) 1. Εποµένως, η Ϲητούµενη πιθανότητα γίνεται : P (L 5 + 3L 5) P (L 8) 0.1e P (L 5) 0.1 e e (ϐ) Σε αυτή τη περίπτωση ο µικρο-επεξεργαστής ϑα προέρχεται είτε από τη γραµµή 1, είτε από τη γραµµή. Θεωρούµε το ενδεχόµενο : B {Ο µικρο-επεξεργαστής προέρχεται από τη γραµµή 1}. Εποµένως, σύµφωνα µε το ϑεώρηµα ολικής πιθανότητας έχουµε : P (L c) P (L cb) P (B) + P (L cb c ) P (B c ) 1 B) P (L c 1 B + P (L c c ) Οµως γνωρίζουµε ότι : f L B (l) U0. και f L B c(l) exp(λ 0.1)
4 Πιθανότητες - 015/9ο Φροντιστήριο 4 Εποµένως έχουµε : P (L c) Η Ϲητούµενη πιθανότητα γίνεται : P (L 1 + 3L 1) 1, c < 0 1 ( c) + 1 e 0.1 c, 0 c < 1 e 0.1 c, c P (L 4) P (L 1) 1/ e e Ασκηση 4. Οι συνεχείς τ.µ X, Y έχουν σύνολο τιµών το γραµµοσκιασµένο χωρίο S XY. Οι X, Y έχουν από κοινού οµοιόµορφη κατανοµή : Να υπολογισθούν : { c, (x, y) SX,Y f X,Y (x, y) Σχήµα 1: Το πεδίο τιµών για τις τ.µ (X, Y ) της άσκησης 4. (α) Η τιµή της σταθεράς c. (ϐ) Η πιθανότητα : P (Y < X 1) (γ) Η πιθανότητα : P (X 1.5) + (Y 1.5) > 0.5 (δ) Η σ.π.π. της τ.µ X. Λύση (α) Από το σχήµα έχουµε : E SXY E E Τετραγώνου Εποµένως, c E SXY 1 c 1 7
5 Πιθανότητες - 015/9ο Φροντιστήριο 5 (ϐ) Εχουµε ότι : P (Y < X 1) E ABΓ c (γ) Είναι η πιθανότητα να ϐρεθούµε εκτός κύκλου µε κέντρο Κ(1.5, 1.5) και ακτίνα ρ 0.5 P (X 1.5) + (Y 1.5) > P (X 1.5) + (Y 1.5) E κύκλου c 1 πρ c 1 π (δ) Η σ.π.π. της τ.µ X ϑα είναι : Σχήµα : Γραφική παράσταση ερωτηµάτων ασκ. 4 (ϐ) και (γ) Για x < 0 και x 3: f X (x) 0 Για 0 x < 1, έχουµε : f X (x) 1 y0 3 cdy + y cdy c y 1 + y (1 0) (3 ) 7 Για 1 x <, έχουµε : f X (x) 3 y0 cdy c y y Για x < 3, έχουµε : f X (x) 1 y0 3 cdy + cdy y 7 Εποµένως, έχουµε : /7, 0 x < 1, x < 3 f X (x) 3/7, 1 x < 0, αλλού.
6 Πιθανότητες - 015/9ο Φροντιστήριο 6 Ασκηση 5. Η τ.µ X είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένη µεταξύ των τιµών 1,, X U1,. Ορίζου- µε τον µετασχηµατισµό : Y e X. Να ϐρεθούν : (α) Η γραφική παράσταση του µετασχηµατισµού Y e X καθώς και της σ.π.π. f X (x) της X. (ϐ) Η Α.Σ.Κ F Y (y) της Y (γ) Η σ.π.π. f Y (y) καθώς και η γραφική της παράσταση. (δ) Η πιθανότητα : P (Y e 3 ) Λύση (α) Οι γραφικές παραστάσεις του µετασχηµατισµού Y e X και της σ.π.π. f X (x) της X ϕαίνονται στο παρακάτω σχήµα. (ϐ) Εχουµε ότι : Σχήµα 3: (α) Το πεδίο τιµών της σ.π.π. f X (x) της τ.µ. X. (ϐ) Το πεδίο τιµών του µετασχηµατισµού Y e X. Για y < e 4 F Y (y) 0 Για y e, F Y (y) 1 Για y e 4, e :, F Y (y) P (Y < y) P (e X < y) P ( X < lny ) P (X > 1 lny) 1 lny f X (x)dx f X (x)dx 1dx lny 1 lny lny
7 Πιθανότητες - 015/9ο Φροντιστήριο 7 Εποµένως έχουµε : (γ) Παραγωγίζουµε την Α.Σ.Κ ως εξής : 0, y < e 4 f Y (y) + 1 lny, y e 4, e 1, y > e f Y (y) df Y (y) dy Η γραφική της παράσταση ϕαίνεται παρακάτω : { 1 y, e 4 y Σχήµα 4: (α) Το πεδίο τιµών της σ.π.π. f Y (y) του µετασχηµατισµού Y (δ) Η Ϲητούµενη πιθανότητα γίνεται : P (Y e 3 ) F Y (e 3 ) + 1 lne 3 3 lne 3
P( X < 8) = P( 8 < X < 8) = Φ(0.6) Φ( 1) = Φ(0.6) (1 Φ(1)) = Φ(0.6)+Φ(1) 1
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης 9ο Φροντιστήριο Επιµέλεια: Κωνσταντίνα Φωτιάδου Ασκηση. Η τ.µ. X ακολουθεί την κανονική κατανοµή
Διαβάστε περισσότεραc(x 1)dx = 1 xf X (x)dx = (x 2 x)dx = 2 3 x3 x 2 x 2 2 (x 1)dx x 2 f X (x)dx = (x 3 x 2 )dx = 2 4 x4 2 3 x3
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Θεωρία Πιθανοτήτων ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τελικής Εξέτασης - 9 Ιανουαρίου 05 Θέµα. α Η γραφική παράσταση της σ.π.π. f X x ϕαίνεται στο σχήµα :
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 205 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 8 Επιµέλεια : Κατερίνα Καραγιαννάκη Ασκηση. Η τυχαία µεταβλητή X έχει αθροιστική
Διαβάστε περισσότερα0, x < 0 1+x 8, 0 x < 1 1 2, 1 x < x 8, 2 x < 4
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 7 Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές Επιµέλεια : Κωνσταντίνα Φωτιάδου Ασκηση. Εστω
Διαβάστε περισσότεραc(2x + y)dxdy = 1 c 10x )dx = 1 210c = 1 c = x + y 1 (2xy + y2 2x + y dx == yx = 1 (32 + 4y) (2x + y)dxdy = 23 28
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις 6ης Σειρά Ασκήσεων Ασκηση. (α) Εχουµε ότι : 6 5 x= y= 6 x= 6 x= c(x + y)dxdy = ) c
Διαβάστε περισσότερα0 x < (x + 2) 2 x < 1 f X (x) = 1 x < ( x + 2) 1 x < 2 0 x 2
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 6-7 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 9 Επιµέλεια : Γιαννόπουλος Μιχάλης Ασκηση Εστω X συνεχής Τ.Μ. µε Συνάρτηση Πυκνότητας
Διαβάστε περισσότερα12xy(1 x)dx = 12y. = 12 y. = 12 y( ) = 12 y 1 6 = 2y. x 6x(1 x)dx = 6. dx = 6 3 x4
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης Λύσεις 6ης Σειρά Ασκήσεων Ασκηση. α) Η περιθωριακή σ.π.π. της f X,Y για την τ.µ X γίνεται:
Διαβάστε περισσότερα10ο Φροντιστηριο ΗΥ217 - Επαναληπτικό
ο Φροντιστηριο ΗΥ7 - Επαναληπτικό Επιµέλεια : Γ. Καφεντζής 7 Ιανουαρίου 4 Ασκηση. Το σήµα s µεταδίδεται από ένα δορυφόρο αλλά λόγω της επίδρασης του ϑορύβου το λαµβανόµενο σήµα έχει τη µορφή X s + W. Οταν
Διαβάστε περισσότεραxp X (x) = k 3 10 = k 3 10 = 8 3
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 07 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 5 ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές ( ΙΙ ) Ασκηση. Ρίχνουµε ένα αµερόληπτο εξάεδρο
Διαβάστε περισσότερα1 1 c c c c c c = 1 c = 1 28 P (Y < X) = P ((1, 2)) + P ((4, 1)) + P ((4, 3)) = 2 1/ / /28 = 18/28
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-17: Πιθανότητες -Χειµερινό Εξάµηνο 01 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις : Πέµπτη Σειρά Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 14/11/01 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 8/11/01
Διαβάστε περισσότερα8ο Φροντιστηριο ΗΥ217
8ο Φροντιστηριο ΗΥ217 Επιµέλεια : Γ. Καφεντζής 10 Ιανουαρίου 2014 Ασκηση 0.1 Εστω ότι η τ.µ. X ακολουθεί Γκαουσιανή κατανοµή µε µέση τιµή 10 και διασπορά σ 2 = 4, δηλαδή X N( 10, 4). Να υπολογίσετε τις
Διαβάστε περισσότεραP (M = 9) = e 9! =
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης 5ο Φροντιστήριο Ασκηση 1. ύο ποµποί ο Α και ο Β στέλνουν ανεξάρτητα
Διαβάστε περισσότεραP(Ο Χρήστος κερδίζει) = 1 P(Ο Χρήστος χάνει) = 1 P(X > Y ) = 1 2. P(Ο Χρήστος νικά σε 7 από τους 10 αγώνες) = 7
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 28 ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης Λύσεις Εβδοµης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης: 3/2/28 Ηµεροµηνία Παράδοσης: 7/2/28
Διαβάστε περισσότεραp(x, y) = 1 (x + y) = 3x + 6, x = 1, 2 (x + y) = 3 + 2y, y = 1, 2, 3 p(1, 1) = = 2 21 p X (1) p Y (1) = = 5 49
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 206-207 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 8 Από κοινού συναρτήσεις Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κατερίνα Καραγιαννάκη
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο 2015-16 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 4 Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Ασκηση 1. Βρίσκεστε
Διαβάστε περισσότεραcov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα
Διαβάστε περισσότερα8 Άρα η Ϲητούµενη πιθανότητα είναι
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-17: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 014 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 4/10/014 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 5/11/014
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-27: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 205- ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τέταρτης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση. (αʹ) Σύµφωνα µε το αξίωµα της κανονικοποίησης,
Διαβάστε περισσότεραΠανελλαδικές εξετάσεις Μαθηµατικά Προσανατολισµού Γ Λυκείου. Ενδεικτικές Απαντήσεις ϑεµάτων. Θέµα Β. (α) ϑεωρία. (ϐ) i, ii) ϑεωρία.
Πανελλαδικές εξετάσεις 09 Μαθηµατικά Προσανατολισµού Γ Λυκείου Ενδεικτικές Απαντήσεις ϑεµάτων Θέµα Α Α α) ϑεωρία ϐ) i, ii) ϑεωρία Α ϑεωρία Α3 ϑεωρία Α4 α) Λάθος {, x < 0 διότι για τη συνάρτηση fx) = ισχύει
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΜΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ( ) ΟΜΑΔΑ Α ( 40% )
ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΜΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ (0-6-005) ΟΜΑΔΑ Α ( 40% ) ) Έστω μια τυχαία μεταβλητή Χ και ένα δείγμα x, x,, x n. Θεωρούμε την τιμή k = n i= ( x && x) i.να διευκρινιστεί
Διαβάστε περισσότεραP = 0 1/2 1/ /2 1/
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-37: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο 206 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης 7ο Φροντιστήριο Επιµέλεια : Κωνσταντίνα Φωτιάδου Ασκηση. Μια Μαρκοβιανή
Διαβάστε περισσότερα200, δηλαδή : 1 p Y (y) = 0, αλλού
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 05 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 6 ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Ασκηση. Η εταιρεία
Διαβάστε περισσότερα(1) 98! 25! = 4 100! 23! = 4
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-17: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 5 Συνδυαστική Ανάλυση και Εισαγωγή στις ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές Επιµέλεια
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες -Χειµερινό Εξάµηνο 2012 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις : Τέταρτη Σειρά Ασκήσεων
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-217: Πιθανότητες -Χειµερινό Εξάµηνο 212 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις : Τέταρτη Σειρά Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 5/11/212 Ηµεροµηνία Παράδοσης :
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση 1. Σε κάθε περίπτωση πρέπει να χρησιµοποιήσουµε
Διαβάστε περισσότερα(365)(364)(363)...(365 n + 1) (365) k
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 21//2016 Ηµεροµηνία Παράδοσης :
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 0 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο - Συνδυαστική Ανάλυση Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Θεωρία. Η ϐασική αρχή της απαρίθµησης
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 4 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ.
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 08-09 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 4 Ασκηση Το πείραµά µας συνίσταται στη ϱίψη 3 τίµιων κερµάτων. Συµβολίζουµε
Διαβάστε περισσότεραΤυχαίες Μεταβλητές Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου
Τυχαίες Μεταβλητές Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 Τυχαίες Μεταβλητές Συνάρτηση Κατανοµής ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές Παράµετροι τ.µ. Συνεχείς Τυχαίες
Διαβάστε περισσότεραΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
- - ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 18 Νοεµβρίου 2009 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2.16. Εστω ότι το ετήσιο εισόδηµα X ενός µισθωτού µπορεί να ϑεωρηθεί ως µία συνεχής τυχαία µεταβλητή
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 11 Ιανουαρίου 21 Η δεσµευµένη µέση τιµή µιας τυχαίας µεταβλητής Y σε δεδοµένο σηµείο µιας άλλης τυχαίας µεταϐλητής X = x, συµϐολιϲόµενη
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2012 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-1: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 01 ιδάσκων : Π Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : /10/01 Ηµεροµηνία Παράδοσης : /11/01
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του έβδομου φυλλαδίου ασκήσεων. f X (t) dt για κάθε x. F Y (y) = P (Y y) = P X y b ) a.
Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο 207- Λύσεις του έβδομου φυλλαδίου ασκήσεων Αν η συνεχής τμ X έχει συνάρτηση κατανομής F X και συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f X, να βρείτε τις αντίστοιχες συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραP (A) + P (B), [Α,Β: ξένα µεταξύ τους] P (C A B) [P (A) + P (B)] P (C A) P (A) P (B) 3 4 ( ) 1 7 = 3 7 =
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-217 - Θεωρία Πιθανοτήτων ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Προόδου- 22 Νοεµβρίου 2014 Θέµα 1 - (15 µονάδες) Εχουµε ότι : P (C A B) P (C (A B)) P (CA CB)
Διαβάστε περισσότεραΑκολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την πρώτη εργασία της ενότητας ΔΙΠ50
Άσκηση 1 η 1 η Εργασία ΔΙΠ50 Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την πρώτη εργασία της ενότητας ΔΙΠ50 Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών
Διαβάστε περισσότεραp B p I = = = 5
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο 2011 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις εύτερης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 17/3/2011
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2014 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις εύτερης Σειράς Ασκήσεων
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 204 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις εύτερης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : /0/206 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 20/0/206
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2017 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 07 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 4 ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές ( Ι ) Επιµέλεια : Στιβακτάκης Ραδάµανθυς Ασκηση.
Διαβάστε περισσότερα+ cos(45 ) i + sin(45 ) j + cos(45 ) i sin(45 ) j +
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-112: Φυσική Ι Χειµερινό Εξάµηνο 2018 ιδάσκων : Γ. Καφεντζής Τέταρτο Φροντιστήριο Επιµέλεια : Αναστασία Πεντάρη Υποψήφια ιδάκτωρ Ασκηση 1. Πόση είναι η
Διαβάστε περισσότεραP(200 X 232) = =
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Το μέγεθος ενός αναλογικού σήματος, που λαμβάνεται από έναν ανιχνευτή και μετράται σε microvolts, είναι τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την Κανονική κατανομή Ν(00, 6) σε συγκεκριμένη
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 Νοεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµός Μία τυχαία µεταβλητή X καλείται διακριτή ή απαριθµητή αν παίρνει
Διαβάστε περισσότεραΠολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και διάµεσος µιας τυχαίας µεταβλητής ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή αναλύονται
Διαβάστε περισσότεραΕνδεικτικές Ασκήσεις Μάθηµα : Στατιστική 1
Ενδεικτικές Ασκήσεις Μάθηµα : Στατιστική Τµήµα Τεχνολογίας και Συστηµάτων Παραγωγής Θέµα ον α) Έστω Ακαι Β δύο ενδεχόµενα ενός πειράµατος και έστω ότι ισχύει : (Α).5, (Α Β).6, (Β) q i)γιαποιατιµήτου qταακαιβείναιξένα;
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)
(Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 εκεµβρίου 29 5.1. Στο τυχαίο πείραµα της ϱίψης δύο διακεκριµένων κύβων έστω X η ένδειξη του πρώτου κύβου και Y η µεγαλύτερη από τις δύο ενδείξεις. Να προσδιορισθούν
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 3 Νοεµβρίου 29 ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ας ϑεωρήσουµε µια συνεχή τυχαία µεταβλητή X ορισµένη στον Ω µε πεδίο τιµών το διάστηµα [α, ϐ], όπου α < ϐ πραγµατικοί αριθµοί. Η οµοιόµορφη
Διαβάστε περισσότερα3 ο Μέρος Χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών
3 ο Μέρος Χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών Βασικά χαρακτηριστικά τυχαίας μεταβλητής: Μέση Τιμή (Me Vlue) Διακύμανση (Vrice) Γενικά χαρακτηριστικά: Ροπές μεταβλητών / Ροπογεννήτριες Χαρακτηριστικές συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότερα3. Κατανομές πιθανότητας
3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014
Ε_ΜλΓ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου 04 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός
Διαβάστε περισσότερα/ / 38
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-37: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο 205-6 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 0 Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Ασκηση. Ο Κώστας πηγαίνει
Διαβάστε περισσότεραf(y) dy = b a dy = b a x f(x) dx = b a dx = x 2 = b2 a 2 2(b a) b a dx = = (a2 + ab + b 2 )(b a) 3(b a)
Κεφάλαιο 11 Συνεχείς κατανομές και ο Ν.Μ.Α. Στο προηγούμενο κεφάλαιο ορίσαμε την έννοια της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής, και είδαμε τις βασικές της ιδιότητες. Εδώ θα περιγράψουμε κάποιους ιδιαίτερους τύπους
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ
Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Γεώργιος Κ. Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης 12 Δεκεμβρίου 2012 Περιγραφή 1 Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Περιγραφή 1 Θεωρητικές
Διαβάστε περισσότεραP (Ηρ) = 0.4 P (Αρ) = 0.32 P (Απ) = 0.2
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2014 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Πρώτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 25/09/2014 Ηµεροµηνία Παράδοσης
Διαβάστε περισσότεραΟρισμός κανονικής τ.μ.
Πιθανότητες και Στατιστική Ενότητα 4: Τυχαίες τυχαίες μεταβλητές Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Αθήνα 2015 Ορισμός κανονικής τ.μ. Ορισμός κανονικής τ.μ. Μια συνεχής τ.μ.
Διαβάστε περισσότεραF είναι ίσος µε ν. i ÏÅÖÅ ( ) h 3,f 3.
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ A ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Για δύο συµπληρωµατικά ενδεχόµενα Α και A ενός δειγµατικού χώρου Ω να P A = P A.
Διαβάστε περισσότεραΜέση Τιµή. Έστω Χ τ.µ. και f Χ (x) ησ.π. ήσ.π.π. της Χ Μέση ή αναµενόµενη τιµή της Χ είναι ο αριθµός: αν η Χ είναι διακριτή, και αν η Χ είναι συνεχής.
Μέση Τιµή Έστω Χ τ.µ. και f Χ (x) ησ.π. ήσ.π.π. της Χ Μέση ή αναµενόµενη τιµή της Χ είναι ο αριθµός: E( ) µ xf ( x) E( ) µ xf ( x) dx Παραδείγµατα: = = x = = αν η Χ είναι διακριτή, και αν η Χ είναι συνεχής.
Διαβάστε περισσότεραX(t) = A cos(2πf c t + Θ) (1) 0, αλλού. 2 cos(2πf cτ) (9)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-5: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 05-6 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις - Τυχαίες ιαδικασίες Ασκηση. Εστω
Διαβάστε περισσότεραf( ) + f( ) + f( ) + f( ). 4 γ) υπάρχει x 2 (0, 1), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της
ΘΕΜΑΤΑ. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο κλειστό διάστηµα [, ] και ισχύει f () > για κάθε (, ). Αν f() και f(), να δείξετε ότι: α. η ευθεία y τέµνει τη γραφική παράσταση της f σ' ένα ακριβώς σηµείο
Διαβάστε περισσότεραP (B) = P (B/A) P (A) + P (B/Γ) P (Γ) =
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις εύτερης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση 1. Θεωρούµε τα παρακάτω : A: Το ένδεχοµενο να
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 2013 ιδάσκων : Π.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-25: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 203 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Πέµπτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 23/05/203 Ηµεροµηνία
Διαβάστε περισσότερα400 = t2 (2) t = 15.1 s (3) 400 = (t + 1)2 (5) t = 15.3 s (6)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-112: Φυσική Ι Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Γ. Καφεντζής Πρώτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Ασκηση 1. Θεωρούµε ως χρονικό σηµείο αναφοράς τη στιγµή που
Διαβάστε περισσότερα(1) 98! 25! = 4 100! 23! = 4
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 5 Συνδυαστική Ανάλυση ΙΙ και Εισαγωγή στις ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές
Διαβάστε περισσότεραΣτην περίπτωση της συνεχούς Τ.Μ. η μάζα πιθανότητας σε κάθε σημείο είναι μηδέν.
ΚΥΡΙΕΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΜΙΑΣ Τ.Μ. Μπορούμε να διευρύνουμε την ερμηνεία των κατανομών με τη βοήθεια της έννοιας της μάζας. Έτσι οι τιμές που παίρνει μια Τ.Μ. περιγράφουν τη μάζα πιθανότητας στο συγκεκριμένο
Διαβάστε περισσότεραP (A B) = P (A) + P (B) P (A B).
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-217: Πιθανότητες - Εαρινό Εξάµηνο 2007 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Πρώτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 08/10/2007 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 18/10/2007
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Πελοποννήσου
Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Τυχαία Μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) ονομάζεται η συνάρτηση που απεικονίζει το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος στο σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Πρώτης Σειράς Ασκήσεων
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Πρώτης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση 1. (αʹ) Αν συµβολίσουµε µε Λ τη λάθος απάντηση
Διαβάστε περισσότεραΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. αλλού
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Η τυχαία μεταβλητή Χ έχει συνάρτηση πιθανότητας που δίνεται από τον πίνακα: x f(x) / / / / / Να βρεθεί η μέση τιμή και η διασπορά.. Η τυχαία μεταβλητή
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 2017
Πανεπιστηµιο Πατρων Πολυτεχνικη Σχολη Τµηµα Μηχανικων Η/Υ & Πληροφορικης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 217 Θ1. Θεωρούµε την συνάρτηση f(x, y, z) = 1 + x 2 + 2y 2 z. (αʹ) Να ϐρεθεί
Διαβάστε περισσότεραΣυνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές
Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές Η σ.κ.π. F() είναι παντού συνεχής F PX t dt H σ.π.π. df d Ισχύει ότι d F Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ0 () Πιθανότητες & Στατιστική
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 205 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 3 Επιµέλεια : Κατερίνα Καραγιαννάκη Ασκηση. Το διάγραµµα πιθανοτήτων µετάβασης
Διαβάστε περισσότεραΤυχαία μεταβλητή (τ.μ.)
Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μια συνάρτηση X ( ) με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών που συμβολίζουμε συνήθως
Διαβάστε περισσότεραΒιομαθηματικά BIO-156
Βιομαθηματικά BIO-156 Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 013 lika@biology.uoc.gr Τυχαία Μεταβλητή τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε απλό ενδεχόμενο
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Τµ. Επιστήµης των Υλικών ειγµατοληψία Με ιάταξη ειγµατοληψία Χωρίς ιάταξη Χωρίς Επανατοποθέτηση (n)k Με Επανατοποθέτηση n k Χωρίς Επανατοποθέτηση ( n k) Με Επανατοποθέτηση ( n+k 1 ) k ειγµατοληψία Με ιάταξη
Διαβάστε περισσότεραa n n! = ea e y2 2 y 0 10E(n A) = = 100 E(k) = n p = = 4.6
Πιθανότητες και Τυχαία Σήματα Λύσεις Θεμάτων Ιουνίου 200 Ασκηση (20 μονάδες) Οι 7 νάνοι ψάχνουν για διαμάντια στα ορυχεία τους. Στο ορυχείο A τα διαμάντια ανακαλύπτονται σύμφωνα με την κατανομή Poisson
Διαβάστε περισσότεραρ. Ευστρατία Μούρτου
ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου
Διαβάστε περισσότεραpdf: X U(a, b) 0, x < a 1 b a, a x b 0, x > b
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (8η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 41 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραy(t) = x(t) + e x(2 t)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-5: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 5-6 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής ΕΞΕΤΑΣΗ ΠΡΟΟ ΟΥ - ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ιάρκεια : 3 ώρες
Διαβάστε περισσότεραΤΥΧΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος. Τµ. Επιστήµης των Υλικών
Τµ. Επιστήµης των Υλικών Είδη τυχαίων µεταβλητών 1. ιακριτού τύπου X ονοµάζεται διακριτή τ.µ. αν το πεδίο τιµών της είναι της µορφής, {x 1, x 2,...,x n,...}. f(x) = P(X = x) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας
Διαβάστε περισσότεραΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ
ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 6-7: ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ Τυχαία Μεταβλητή (Τ.Μ.): Συνάρτηση πραγματικών τιμών
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Συμπερασματολογία
Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 1 ου κεφαλαίου Βιβλίο: Κολυβά Μαχαίρα, Φ. & Χατζόπουλος Στ. Α. (2016). Μαθηματική Στατιστική, Έλεγχοι Υποθέσεων. [ηλεκτρ. βιβλ.] Αθήνα: Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών
Διαβάστε περισσότεραPr (a X b, c Y d) = c. f XY (x, y) dx dy, (15.1) Pr ((X, Y ) R) = f XY (x, y) dx dy. (15.2)
Κεφάλαιο 5 Συνεχής από κοινού κατανομή Στα Κεφάλαια 9 έως συναντήσαμε μια σειρά ιδιοτήτων της από κοινού κατανομής δύο ή περισσοτέρων διακριτών Τ.Μ. Εδώ θα αναπτύξουμε τις αντίστοιχες ιδιότητες για συνεχείς
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες -Εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π.
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες -Εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις 3ης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση 1. Χρησιµοποιούµε µια αλυσίδα
Διαβάστε περισσότεραΣυνεχείς Κατανομές. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Συνεχείς Κατανομές. τεχνικές. 30 ασκήσεις.
Συνεχείς Κατανομές Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Συνεχείς Κατανομές τεχνικές 0 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglos.gr / 0 / 0 6 εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας
Διαβάστε περισσότεραa x (t) = d dt u x(t) = d dt dt x(t) )
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-112: Φυσική Ι Χειµερινό Εξάµηνο 2018 ιδάσκων : Γ. Καφεντζής Λύσεις Φροντιστηρίων 1ο Φροντιστήριο Ασκηση 1. Γνωρίζουµε ότι a x (t) = d dt u x(t) = d dt
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ
ΜΑΘΗΜΑ ΙΑΡΚΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 3 ΩΡΕΣ ΘΕΜΑ Ο Α ) Να αποδείξετε ότι για δυο ασυµβίβαστα ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει P( A B) = P( A) + P( B) ( µονάδες 8 ) Β ) Να δώσετε τον
Διαβάστε περισσότεραΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές
ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΜΣ στη «Ναυτιλία» Τμήμα Β art time Χαράλαμπος Ευαγγελάρας hevangel@unipi.gr Η έννοια της Πιθανότητας Ο όρος πιθανότητα είναι συνδέεται άμεσα με τη μελέτη
Διαβάστε περισσότεραX = = 81 9 = 9
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (11η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 35 Σύνοψη
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα
Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5//8 ο Θέµα To % των ζώων µιας µεγάλης κτηνοτροφικής µονάδας έχει προσβληθεί από µια ασθένεια. Για τη διάγνωση της συγκεκριµένης
Διαβάστε περισσότεραPr(10 X 15) = Pr(15 X 20) = 1/2, (10.2)
Κεφάλαιο 10 Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Σε αυτό το κεφάλαιο θα εξετάσουμε τις ιδιότητες που έχουν οι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Εκείνες οι Τ.Μ. X, δηλαδή, των οποίων το σύνολο τιμών δεν είναι διακριτό,
Διαβάστε περισσότεραΘέμα Α. Θέμα Β. ~ 1/9 ~ Πέτρος Μάρκου. % σχεδιάζουμε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων τοις
01 Θέμα Α Α1. Θεωρία (απόδειξη), σελίδα 31 σχολικού βιβλίου Α. Θεωρία (ορισμός), σελίδα 18-19 σχολικού βιβλίου Α3. Θεωρία, (ορισμός), σελίδα 96 σχολικού βιβλίου Α. α) Λάθος β) Σωστό γ) Λάθος δ) Σωστό ε)
Διαβάστε περισσότεραdq dv = k e a 2 + x 2 Q l ln ( l + a 2 + l 2 ) 2 10 = (
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-112: Φυσική Ι Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Γ. Καφεντζής Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 15/12/2015 Πέµπτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Ηµεροµηνία Παράδοσης : Ηµέρα
Διαβάστε περισσότεραΘέματα. Α1. Να δώσετε τον ορισμό της συχνότητας και της σχετικής συχνότητας μιας παρατήρησης x i. Σ Λ
Θέματα ΘΕΜΑ Α Α. Να δώσετε τον ορισμό της συχνότητας και της σχετικής συχνότητας μιας παρατήρησης x i. (7 Μονάδες) Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη
Διαβάστε περισσότεραsin(30 o ) 4 cos(60o ) = 3200 Nm 2 /C (7)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-112: Φυσική Ι Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Γ. Καφεντζής Πέµπτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Ασκηση 1. (αʹ Η ηλεκτρική ϱοή διαµέσου µιας επιφάνειας A είναι
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 4 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 5
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Α Μπεληγιάννης - Σ Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuogr/abelga/numbertheory/nthtml Τετάρτη 10 Απριλίου 2013 Ασκηση 1 Θεωρούµε τις αριθµητικές
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ
Φουσκάκης- Ασκήσεις στην Εκτιµητική ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ ) Έστω Χ,, Χ και Υ,,Υ ανεξάρτητα τµ από πληθυσµούς µε µέση τιµή θ και γνωστές διασπορές σ και σ είξτε ότι για c [0,] η U = c X +(-c) Y είναι
Διαβάστε περισσότεραΤΥΧΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών
Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Είδη τυχαίων διανυσµάτων 1. ιακριτού τύπου X = (X 1, X 2,...,X k ) ονοµάζεται διακριτό τυχαίο διάνυσµα αν το πεδίο τιµών του είναι της µορφής, S = {x 1 x 2 n,,...,x,...}.
Διαβάστε περισσότεραΗ Κανονική Κατανομή. Κανονικές Κατανομές με την ίδια διασπορά και διαφορετικές μέσες τιμές.
Η Κανονική Κατανομή 1. Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους μ και σ 2, και συμβολίζουμε Χ ~ N (μ, σ 2 ) αν έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας
Διαβάστε περισσότεραΠερίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων
Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα
Διαβάστε περισσότερα