προβλήµατος Το φίλτρο Kalman διαφέρει από τα συνηθισµένα προβλήµατα ΜΕΤ σε δύο χαρακτηριστικά: παραµέτρων αγνώστων

Transcript

1 Φίλτρα Kalman Εξαγωγή των εξισώσεων τους µε βάση το κριτήριο ελαχιστοποίησης της Μεθόδου των Ελαχίστων Τετραγώνων. Αναλυτικές Μέθοδοι στη Γεωπληροφορική Μεταπτυχιακό Πρόγραµµα ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ιατύπωση του βασικού προβλήµατος Το φίλτρο Kalman διαφέρει από τα συνηθισµένα προβλήµατα ΜΕΤ σε δύο χαρακτηριστικά: Το διάνυσµα των αγνώστων παραµέτρων (το διάνυσµα κατάστασης ενός δυναµικού συστήµατος state vector) συνήθως αλλάζει µε το χρόνο Κατά συνέπεια, οι αντίστοιχες παρατηρήσεις πρέπει να κατατάσσονται και να αναλύονται σύµφωνα µε τις αντίστοιχες χρονικές στιγµές που αντιστοιχούν σε αυτές τις διαχρονικές αλλαγές Σε άλλες περιπτώσεις, δεν είναι αναγκαίο να υφίσταται φυσική µετακίνηση προκειµένου το διάνυσµα των αγνώστων παραµέτρων να αλλάζει, όχι κατ ανάγκη µε το χρόνο αυτό δεν αλλάζει το βασικό πρόβληµα Πρωτεύων µοντέλο L 1, F 1 (X 1, L 1 )=0 Εντοπισµός από σταθµούς στην ξηρά, Χ t 1 ορυφορικός εντοπισµός, Χ t 1 Από το σύστηµα πλοήγησης, υπολογισµός Χ 2 σε σχέση µε Χ 1 ορυφορικός εντοπισµός, Χ t 2 Πρωτεύων µοντέλο L 2, F 2 (X 2, L 2 )=0 ευτερεύων µοντέλο G (X 1, X 2, Y m, t)=0 Χαρακτηριστικά του βασικού προβλήµατος Και οι τέσσερεις προηγούµενες διαδικασίες µετρήσεων/εντοπισµών είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους Το πρόβληµα υπολογισµού του διανύσµατος κατάστασης (θέση και ταχύτητα) της κίνησης του πλοίου, από το συνδυασµό των εκάστοτε διαθέσιµων µετρήσεων και πληροφοριών είναι πρακτικά ίδιο µε τη διαδικασία εφαρµογής ενός Στατιστικές πληροφορίες υπολογίζονται µε αυστηρά µαθηµατικό τρόπο, µέσω του νόµου διάδοσης των σφαλµάτων, από τη µια χρονική στιγµή στην επόµενη και γενικά σε κάθε χρονική στιγµή, και Το διάνυσµα κατάστασης περιέχει όλες τις πληροφορίες µέχρι και την τρέχουσα χρονική στιγµή, και ακόµα µπορεί να προβλεφθεί για κάποια µελλοντική στιγµή Το πρόβληµα ανάγεται στη λύση του συστήµατος των εξισώσεων: Πρωτεύοντα µοντέλα ευτερεύων µοντέλο Τα πρωτεύοντα µοντέλα F και F 1 2 συνδέονται µεταξύ τους, µέσω του δευτερεύοντος µοντέλου G: Υ m υποδηλώνει ότι το δυναµικό µοντέλο περιγράφει µόνο κατά µια µέση έννοια τη δυναµική αλλαγή Χ 1 Χ 2 Τα πρωτεύοντα µοντέλα F και F 1 2 συνδέονται µεταξύ τους, µέσω του δευτερεύοντος µοντέλου G: r 1, r 2 ο αριθµός των εξισώσεων παρατήρησης στις εποχές t 1, t 2 u ο αριθµός των αγνώστων παραµέτρων Τα πρωτεύοντα µοντέλα F 1 και F 2 περιγράφουν τη σχέση µεταξύ των παραµέτρων και των παρατηρήσεων (αντιστοιχούν στις εξισώσεις παρατήρησης, στην ορολογία της ΜΕΤ): Πρωτεύοντα µοντέλα ευτερεύων µοντέλο

2 Το δευτερεύων µοντέλο G περιγράφει τη σχέση των παραµέτρων µεταξύ τους (είναι το λεγόµενο δυναµικό µοντέλο στην ορολογία των φίλτρων Kalman): Πρωτεύοντα µοντέλα ευτερεύων µοντέλο Βήµατα επίλυσης Γενικά, τα πρωτεύοντα µοντέλα είναι µη-γραµµικά είναι απαραίτητη η γραµµοποίηση τους κατά Taylor π.χ. το γραµµικό µοντέλο την εποχή t 1 και κατά παρόµοιο τρόπο το γραµµικό µοντέλο την εποχή t 2, µε διαστάσεις r 2, n 2 r 1 x 1 r 1 x u u x 1 r 1 x n 1 n 1 x 1 Βήµατα επίλυσης Γενικά, τα πρωτεύοντα µοντέλα είναι µη-γραµµικά είναι απαραίτητη η γραµµοποίηση τους κατά Taylor π.χ. το γραµµικό µοντέλο την εποχή t 1 Παρατηρήστε τους συµβολισµούς και για τα διανύσµατα X και L υποδηλώνουν τις συνορθωµένες τιµές (και τις εκτιµήσεις τους) για τις παραµέτρους X και τις παρατηρήσεις L µε την εφαρµογή του κριτηρίου ελαχιστοποίησης ΜΕΤ Οι παρατηρήσεις µεταξύ δύο εποχών t 1 και t 2 θεωρούνται στατιστικά ασυσχέτιστες µεταξύ τους, µε αντίστοιχους πίνακες βαρών και µεταβλητότητας συµµεταβλητότητας τα κατάλοιπα/υπόλοιπα (residuals) των παρατηρήσεων V 1 και V 2 θεωρούνται τυχαία, και προερχόµενα από κανονικές κατανοµές µε µηδενικό µέσο όρο αντίστοιχα οι συνορθωµένες τιµές για τις παραµέτρους Χ 1 και Χ 2 προκύπτουν ως ΚΑΠΟΙΕΣ ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΛΕΠΤΟΜΕΡΕΙΕΣ Ολόκληρος ο φορµαλισµός των εξισώσεων του βασίζεται στη γνώση κάποιων αρχικών εκτιµήσεων των τιµών του διανύσµατος των παραµέτρων Χ, π.χ. Είτε από µια πρότερη εκτίµηση Χ 1ο (π.χ. στο παράδειγµα της κίνησης ενός πλοίου, από τις µετρήσεις από επίγεια συστήµατα) Είτε από την αρχική εκτίµηση Χ 1 που προκύπτει από τις πρώτες δορυφορικές µετρήσεις την εποχή t 1. Επιπλέον, θεωρείται ότι ο αριθµός των αγνώστων παραµέτρων Χ δεν αλλάζει από εποχή σε εποχή ΚΑΠΟΙΕΣ ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΛΕΠΤΟΜΕΡΕΙΕΣ Στην περίπτωση που υπάρχει µια αρχική εκτίµηση X 1 του διανύσµατος των αγνώστων παραµέτρων και του αντιστοίχου πίνακα βαρών Ρ Χ Το διάνυσµα X 1 λέγεται ότι είναι σχεδόνπαρατηρήσιµο (quasi-observable) Οι διορθώσεις στις τιµές του διανύσµατος της αρχικής εκτίµησης X 1 θεωρούνται ότι προέρχονται από τυχαία κατανοµή µε µηδενικό µέσο όρο. Η τελική εκτιµήτρια τιµή του X 1 συµβολίζεται µε τη χρήση του συµβόλου ˆX 1 Κατά παρόµοιο τρόπο, το δευτερεύων µοντέλο G(Χ 1, Χ 2, t) θεωρείται ότι είναι επίσης µη-γραµµικό, έµµεσα εξαρτώµενο από τις παραµέτρους X 2 τη χρονική στιγµή t 2 και τις εκτιµώµενες αποκλίσεις/σφάλµατα (διορθώσεις) Y m του µοντέλου, και άµεσα εξαρτώµενο από τις παραµέτρους X 1 τη χρονική στιγµή t 1 Επίσης γνωρίζουµε ότι και [ F 3 / X 1 ] X1 = Φ Πίνακας µετάβασης και τελικά, το δευτερεύων µοντέλο G(Χ 1, Χ 2, t) διαµορφώνεται στη µορφή Εκτιµήσεις ΜΕΤ για τις διαφορές µεταξύ των a priori & συνορθωµένων τιµών Α priori πίνακας βαρών γιατο δυναµικό µοντέλο Τα σφάλµατα για το δυναµικό µοντέλο θεωρούνται ως στατιστικά ασυσχέτιστα από µια χρονική στιγµή εφαρµογής του δευτερεύοντος µοντέλου G σε µια άλλη (t 1 t 2 ), ή ένα χρονικό διάστηµα στο επόµενο χρονικό διάστηµα Από το κριτήριο ΜΕΤ στις εξισώσεις του Σύµφωνα µε την Μ.Ε.Τ. για να εξαχθούν οι κανονικές εξισώσεις και οι εξισώσεις του φίλτρου Kalman θα πρέπει να ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση Νόρµες σφαλµάτων αντίστοιχα: στις µετρήσεις, το δυναµικό µοντέλο και στις παραµέτρους

3 Από το κριτήριο ΜΕΤ στις εξισώσεις του Σύµφωνα µε την Μ.Ε.Τ. για να εξαχθούν οι κανονικές εξισώσεις και οι εξισώσεις του φίλτρου Kalman θα πρέπει να ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση και τις αντίστοιχες δεσµεύσεις που προκύπτουν από τα γραµµο- ποιηµένα µαθηµατικά µοντέλα υπολογίζοντας και θέτοντας ίσες µε µηδέν, τις µερικές παραγώγους της συνάρτησης φ ως προς τα κατάλοιπα των παρατηρήσεων στις δύο εποχές t 1 και t 2, των σφαλµάτων του δυναµικού µοντέλου υπολογίζοντας και θέτοντας ίσες µε µηδέν, τις µερικές παραγώγους της συνάρτησης φ ως προς τα διανύσµατα των αγνώστων παραµέτρων στις δύο εποχές t 1 και t 2 υπολογίζοντας και θέτοντας ίσες µε µηδέν, τις µερικές παραγώγους της συνάρτησης φ ως προς τις τρεις εξισώσεις των γραµµικοποιηµένων συστηµάτων εξισώσεις παρατήρησης στις χρονικές εποχές t 1 και t 2 η µετάβαση στις παραµέτρους µεταξύ χρονικών εποχών t 1 και t 2 Οι κανονικές εξισώσεις σε µορφή πινάκων Εξαγωγή των εξισώσεων του Kalman από τις κανονικές Καταρχήν υπολογίζεται η εκτίµηση των παραµέτρων Χ 1 χρησιµοποιώντας µόνο τις παρατηρήσεις L 1 τη χρονική εποχή t 1, µε τη βοήθεια του µοντέλου F 1 και οποιασδήποτε a priori διαθέσιµες πληροφορίες για το διάνυσµα Χ 1 και την αξιοπιστία τους (µέσω του πίνακα βαρών P X ) Αυτό επιτυγχάνεται απαλείφοντας από το σύστηµα των κανονικών εξισώσεων όλους τους υποπίνακες που σχετίζονται µε τα µοντέλα F 2 και G του φίλτρου κανονικές εξισώσεις ˆX 1 O O O O O O O M M O O O M = M O O O M M O O O M M F 1 (X 1, L 1 ) = 0 P X ˆX 1 Χρησιµοποιούµε, από τη θεωρία πινάκων, την ταυτότητα Οι εκτιµήσεις του διανύσµατος Χ 1 και του αντίστοιχου πίνακα µεταβλητότηταςσυµµεταβλητότητας προκύπτουν τελικά ως Και στην περίπτωση που ο a-priori πίνακας βαρών των παραµέτρων είναι Ρ Χ = 0, οι εκτιµήσεις του διανύσµατος Χ 1 και του αντίστοιχου πίνακα µεταβλητότητας-συµµεταβλητότητας προκύπτουν αντίστοιχα ως για να απαλείψουµε διαδοχικά τα κατάλοιπα (residuals) V 1 και τους συντελεστές Κ 1

4 Εφαρµόζουµε την προηγούµενη ταυτότητα, από τη θεωρία πινάκων, για την απαλοιφή των V2, V2, και Υm από το πλήρες σύστηµα των κανονικών εξισώσεων Με την απαλοιφή των συντελεστών K1 σχηµατίζεται το ακόλουθο σύστηµα εξισώσεων, του οποίου η πρώτη εξίσωση επιτρέπει το τον υπολογισµό της βελτιωµένης εκτίµησης του διανύσµατος των παραµέτρων Χ1 Στη συνέχεια, µε την απαλοιφή του διανύσµατος των παραµέτρων Χ1 προκύπτει το ακόλουθο σύστηµα εξισώσεων από το οποίο θα υπολογιστεί το διάνυσµα των παραµέτρων Χ2 Στο σηµείο αυτό υπεισέρχεται η δυνατότητα πρόβλεψης για το διάνυσµα των παραµέτρων Χ2, χρησιµοποιώντας τη µερική λύση που ήδη έχουµε για τις παραµέτρους Χ1 και εφαρµόζοντας το νόµο µετάδοσης των σφαλµάτων για να υπολογίσουµε τον αντίστοιχο προβλεπόµενο πίνακα συµµεταβλητότητας ή σε γραµµική µορφή όπου Για να έλθει το προηγούµενο σύστηµα των εξισώσεων στη µορφή που να µπορεί να γίνει η απαλοιφή των Κ1, και Χ1 γίνεται µια αναγκαία αναδιοργάνωση στηλών και γραµµών που οδηγούν στο υποσύστηµα των εξισώσεων όπου Η απαλοιφή των V1, V2, και Υm από το πλήρες σύστηµα των κανονικών εξισώσεων οδηγεί στο υποσύστηµα των εξισώσεων Προκειµένου να υπολογιστεί το διάνυσµα Χ2 των παραµέτρων, χρησιµοποιώντας όλες τις πληροφορίες που διατίθενται στα µοντέλα F1, F2 και G Προκειµένου να εκφράσουµε το διάνυσµα X2 χρησιµοποιώντας πίνακες και διανύσµατα που ήδη γνωρίζουµε απαλείφουµε τους συντελεστές Κ3 από το προηγούµενο σύστηµα εξισώσεων από την πρώτη εξίσωση του συστήµατος προκύπτουν και µε την εισδοχή των υπολογισµένων συντελεστών στην προηγούµενη (ενδιάµεση) σχέση για το διάνυσµα των παραµέτρων Χ2, προκύπτει τελικά και µετά από την απαλοιφή του Χ2 από το συστ. εξ. Ο γνωστός γνωστός πίνακας πίνακας κέρδους κέρδους στην στην Ο ορολογία του του φίλτρου Kalman ορολογία

5 MET εξισώσεις του Εφαρµόζοντας το νόµο µετάδοσης των σφαλµάτων και επειδή είναι Προκύπτει ο πίνακας συµµεταβλητότητας πρόβλεψη του διανύσµατος κατάστασης πρόβλεψη του αντίστοιχου πίνακα συµµεταβλητότητας πίνακας κέρδους Τελικό διάνυσµα κατάστασης, και του πίνακα συµµεταβλητότητας MET εξισώσεις του Πως αντιστοιχίζονται οι συµβολισµοί στη βιβλιογραφία της τελικής εκτίµησης των παραµέτρων Χ2 MET εξισώσεις του M.E.T. Kalman filter M.E.T. Για την εκκίνηση της αναδροµικής διαδικασίας απαιτούνται a priori (από ανεξάρτητες παρατηρήσεις ή από το µοντέλο F1) πληροφορίες για τις παραµέτρους Χ1 Σφάλµατα στο φυσικό µοντέλο G επηρεάζουν την πρόβλεψη του διανύσµατος κατάστασης µέσω των ατελειών του πίνακα µετάβασης Φ Kalman filter Σφάλµατα στο φυσικό µοντέλο G επίσης υπεισέρχονται στην πρόβλεψη του πίνακα συµµεταβλητότητας, µέσω του πίνακα βαρών Ρm Επιπλέον η πρόβλεψη του πίνακα συµµεταβλητότητας, επηρεάζεται από το θόρυβο των παρατηρήσεων µέσω του πίνακα βαρών Ρ Επίσης η πρόβλεψη του πίνακα συµµεταβλητότητας, επηρεάζεται και από τις αρχικές τιµές των παραµέτρων µέσω του πίνακα βαρών ΡΧ

6 Για τον υπολογισµό των Χ 2 και C X2 δεν απαιτούνται αντιστροφές πινάκων γιατί ο αντίστροφος του πίνακα Ν 1 +Ρ Χ είναι ήδη διαθέσιµος από τον υπολογισµό του Χ 1 Για τον τελικό υπολογισµό των Χ 2 και C X2 απαιτείται η αντιστροφή του πλήρους πίνακα [ ] διαστάσεων r 2 xr 2 κατά τον υπολογισµό του πίνακα κέρδους G Στη συνέχεια θα ασχοληθούµε µε τη µαθηµατική ισοδυναµία µεταξύ του φίλτρου Kalman και άλλων διαφοροποιήσεων της ΜΕΤ