ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β )

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β )"

Ευφροσύνη Μοσχοβάκης
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 6 / 05 / 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ Α Α. Σχ. Βιβλίο Σελ Α. Σχ. Βιβλίο Σελίδα 80 Α3. α) Σ, β) Σ, γ) Λ, δ) Λ, ε) Σ ΘΕΜΑ Β Β. Είναι z 3i z 3i z 3i, οπότε: z 3i z 3i z 3i z 3i Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι ο κύκλος με κέντρο Κ(0,3) και ακτίνα ρ= Σελίδα από 9

2 Β. Είναι z 3i (z 3i)(z 3i) (z 3i)(z 3i) z 3i z 3i z 3i (προφανώς z 3i ) B Β3. Είναι w z 3i w z 3i z 3i z 3i w z z w R(z), άρα w Για z yi,,y είναι R(z), όπου η εικόνα του z ανήκει στον κύκλο Κ(0,3) και ρ= Η εξίσωση του παραπάνω κύκλου είναι (y 3) (y 3) Άρα 0 R(z) w Β4. Είναι B 3 z w z R(z) z (z z) z z ΘΕΜΑ Γ Γ. (f '() f ''() ) f '() f ''(), Oπότε : f '() f ''() f '() f ''() ( f '() )' (f '())' Επομένως ( f '(), f '() :συνεχείς) έχουμε: f '() f '() c, Σελίδα από 9

3 Για =0 : f '(0) 0f '(0) c 0 c c Συνεπώς: f '() f '(),, άρα f '() f '() ( )f '(),, () Θεωρώ g(), Είναι g παραγωγίσιμη στο με g'() g'() g'() g 0 + g ΕΛΑΧ. g0 γν.φθίν. 0 g() g(0) g() γν.αύξ. 0 g() g(0) g() Άρα, g() για Οπότε g() 0, και g() 0, Επομένως από () έχουμε f, f f ln, άρα f ln c, c Για 0 Σελίδα 3 από 9 f 0 ln c c 0, επομένως έχουμε f ln, Γ. f,

4 Από Γ είναι, οπότε το πρόσημο της f 0 ίδιο με το πρόσημο του παράγοντα Είναι Έτσι 0 0 και 0 0 είναι 0 + f 0 + f ΕΛΑΧ. f 0 0 f 0,,0,f συνεχής,0, άρα f γν.φθ.,0 f 0, 0,,f συνεχής 0,,άρα f γν.αυξ. 0, γν.φθ. 0 f() f(0) f() 0 γν.αυξ. 0 f() f(0) f() 0 επομένως f() 0, Δηλαδή η f παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο για =0 το f(0) 0 Γ3. Η f παραγωγίσιμη ως πηλίκο παραγωγίσιμων με: f Οι ρίζες και το πρόσημο της f είναι ίδια με αυτά της συνάρτησης A A A Σελίδα 4 από 9

5 Α 0 0 Α A + 0 A ΜΕΓ. A Α() συνεχής και γν. αύξουσα στο,,άρα lim,, αφού lim lim 0 lim lim lim lim 0 D.L 'H επειδή Α() συνεχής και γν. φθίνουσα στο,, άρα lim,, αφού lim lim επειδή lim, lim 0 οπότε η 0 έχειρίζα ρ στο μοναδική γιατί Α() γν. αύξουσα στο Δ οπότε η Α() =0 έχει ρίζα ρ στο Δ μοναδική ρ, αφού 0, 0, γιατί Α() γν. φθίνουσα στο Δ Άρα η f έχει ακριβώς δυο ρίζες επομένως η f έχει δυο πιθανά σημεία καμπής. γν.αυξ. Για ρ A ρ 0, οπότε f 0 Σελίδα 5 από 9 γν.αυξ. Για ρ A ρ 0, οπότε f 0 Επομένως στη θέση = ρ παρουσιάζει καμπή. γν.φθ. Για ρ ρ A 0, οπότε f 0

6 γν.φθ. Για ρ ρ A 0 οπότε f 0 Επομένως στη θέση = ρ παρουσιάζει καμπή. Άρα η f έχει ακριβώς δυο σημεία δυο σημεία καμπής. Γ4. ln συν f συν 0 Θεωρώ συνάρτηση f συν Β συνεχής π 0, ως διαφορά συνεχών Β 0 f 0 συν0 0 f 0 0 π π π π Β f συν f 0 π f 0, 0, Β0Β 0 Επομένως ισχύουν για τη Β() οι υποθέσεις του θ.bolzano και 0 ln συν η εξίσωση π έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο 0, Β() παραγωγίσιμη ως διαφορά παραγωγίσιμων με π Β f ημ.eίναι f 0, ημ 0, 0, π π Β 0, 0,, άραβ γν.αύξ. στο 0, Επομένως και η εξίσωση Άρα η εξίσωση 0 έχει το πολύ μια ρίζα στο ln συν έχει ακριβώς π 0, π μια λύση στο 0, Σελίδα 6 από 9

7 ΘΕΜΑ Δ Δ. Για τα t dt, g t f t t dt θέτω t u οπότε: dt du και για t είναι u 0, ενώ για t 0 είναι u Επομένως: 0 u u du και g u du gu 0 0 u u B du du f u f u χ 0 Έτσι οι σχέσεις ii), iii) της υπόθεσης γίνονται: u 0 u f gu du f du, g u και u 0 u g f u du g du, f u Οι συναρτήσεις u u, f u g u είναι συνεχείς στο (ως πηλίκο συνεχών), άρα οι u u du, du gu είναι f u παραγωγίσιμες στο R ως αρχικές (ή παράγουσες) των u u, f u g u αντίστοιχα στο Παραγωγίζοντας τις σχέσεις (), () κατά μέλη έχουμε:: u f du f 0 gu g f g, (3) u g du g 0 f u f f g, (4) Σελίδα 7 από 9

8 Από (3), (4) έχουμε: g g() 0 f g f g f g f g 0 f g f 0 και συνεχής στο R ως παραγωγίσιμη, g άρα f c,c g Όμως από () για =0 έχουμε: f 0 και από () για =0: g0 Έτσι στην f g c αν θέσουμε =0 παίρνουμε: f 0 f c c c, άρα f g g 0 g Δ. Από το ερώτημα Δκαι σχέση (3) είναι f g,όμως f g, άρα f f f f με τις f f, να είναι συνεχείς στο, επομένως f c,c 0 f 0, άρα f 0 c c c 0 f, άρα f συνεπώς αφού f συνεχής στο και f 0 για κάθε f Δ3. Από Δ είναι, επομένως ln f ln lim lim f Σελίδα 8 από 9

9 lim lim lim 0 0 D.L'H 0 lim lim, αφού lim 0 Δ4. Είναι t f t 0 για κάθε t, άρα για είναι F f t dt 0 αφού f t dt 0 Ακόμη F 0. Έτσι το ζητούμενο εμβαδόν είναι: F0 0 E F d F d F d 0 F 0 d d ( ) d f 0 ( ) τ.μ. 0 F F d F f d ( αφού : f t dt f ) Σελίδα 9 από 9

Σχετικά έγγραφα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ(ΟΜΑΔΑΣ Β )

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ(ΟΜΑΔΑΣ Β ) 6-5- ΘΕΜΑ Α A. Σχολικό βιβλίο σελ. 6-6 A. Σχολικό βιβλίο σελ. 8 A3. α) Σωστό β) Σωστό γ) Λάθος δ) Λάθος ε) Σωστό