"THESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITE DE SFAX ET DE L'UNIVERSITE PARIS SACLAY PREPAREE A CENTRALE SUPELEC"

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1 NNT : 06SACLC00 "THESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITE DE SFAX ET DE L'UNIVERSITE PARIS SACLAY PREPAREE A CENTRALE SUPELEC" ÉCOLE DOCTORALE N 579 Sciences mécniques et énergétiques, mtériux et géosciences-smemag Spécilité de doctort: Génie mécnique Pr Mme Olf GHORBEL FEKI Formultion et mise en oeuvre d un élément continu de plque sndwich et de plque multicouche Thèse présentée et soutenue à Pris, le 3 jnvier 06 : Composition du Jury : M. Mrouk, BEN TAHER Prof. des Universités, Université de technologie de Compiègne Président M. Olivier, BAREILLE Mître de Conférences HDR, Ecole Centrle de Lyon Rpporteur M. Rchid, NASRI Prof. des Universités, ENIT-Tunis Rpporteur M. Jen-Bptiste, CASIMIR Mître de Conférences HDR, SUPMECA Exminteur M. Mohmed, HADDAR Prof. des Universités, ENIS-Sfx Exminteur M. Imd, TAWFIQ Prof. des Universités, SUPMECA Directeur de thèse M. Lotfi, HAMMAMI Prof. des Universités, ENIS-Sfx Co-directeur de thèse

2 Titre : Formultion et mise en œuvre d'un élément continu de plque sndwich et de plque multicouche Mots clés : Plques multicouches, Plques sndwichs, Méthode des éléments continus, Mtrice de rideur dynmique. Résumé : Cette thèse trite le développement d un élément continu de plques orthotropes, sndwichs et multicouches. L démrche consiste dns un premier temps à étlir l mtrice de rideur dynmique de plques orthotropes pour des conditions ux limites nturelles à prtir d une reformultion des éléments de plques isotropes développés u lortoire QUARTZ (EA7393). L démrche est sée d une prt sur l décomposition des conditions ux limites lires décrite pr Gormn et d utre prt sur l résolution des équtions de mouvement en se snt sur les développements en séries de Levy. L mtrice de rideur dynmique est ensuite otenue pr projection des déplcements et des efforts de frontières sur des ses fonctionnelles comptiles vec les opértions d ssemlge. Dns un second temps, l formultion des éléments sndwichs et multicouches est décrite pr superposition des plques orthotropes précédemment développées. Les formultions présentées prennent en compte les virtions de flexion et les virtions dns le pln, dites virtions de memrne. L vlidtion de ces éléments est menée pr une confronttion systémtique de réponses hrmoniques non morties vec celles otenues pr diverses modélistions éléments finis. Title : Formultion nd Implementtion of Continuous Stiffened sndwich pltes nd multilyer pltes Element Keywords: Multilyer plte, Sndwich plte, Continuous element method, Dynmic stiffness mtrix. Astrct: This thesis dels with the development of continuous element for orthotropic, sndwich nd multilyer pltes. This pproch is sed essentilly on the construction of the dynmic stiffness mtrix of orthotropic pltes using nturl oundry conditions from reformultion of the isotropic plte elements developed in the QUARTZ lortory (EA 7393). In order to develop the dynmic stiffness mtrix of the studied element we resort on the first hnd to the decomposition of free oundry conditions descried y Gormn, on the second hnd to the resolution of the equtions of motion y using Levy series expnsions. The dynmic stiffness mtrix is then otined y projecting movements nd frontier efforts on functionl ses comptile with ssemly opertions. Université Pris-Scly Espce Technologique / Immeule Discovery Route de l Orme ux Merisiers RD 8 / 990 Sint-Auin, Frnce Finlly the continuous sndwich nd multilyer plte element is descried y superposition of continuous orthotropic pltes element previously developed. The formultions presented tkes into ccount the ending virtion nd the virtion in the plne, clled memrne virtion. The vlidtion of ll otined results is conducted y systemtic comprison of undmped hrmonic responses with those otined y vrious finite element models..

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4 r ts tr r r sé s é r t ès été ré sé t t tr r t r é q é s t t Pr t q P à t é rs s t r t r à st t t ér r é q P r s P P r s t s à r r s s r r ts t t t r ss à s r t rs t ès s r t Pr ss r s rs tés à t é rs t s r Pr ss r s rs tés à st t t ér r é q P r s r r ss ré r t s tr t r q té r r t rs s s t q s t r é r ss ss s r r ts t très r t t à s r rs s r t st îtr ér à st t t ér r é q P r s t s r Pr ss r s rs tés à t é rs r rs s s s t q s rs r t t q s t r é s q r s s s s s s t q s t s é s q s t r s ré r s t t ès r r s r r îtr ér s à Pr ss r s rs tés tr s q s r à t é rs s r té r rt r é r t r térêt q s t rt r à tr r s r s r r ts à s r r Pr ss r s rs tés rs té è r r té r r rt r t êtr s rés t s s èr s r r ts s r ss t à t s s r s P t t à t s q t é rès à r tr t t s à r r r r s s q s r s s rr é à

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6 s t èr s tr t é ér t r q tr t t t rt q s s s t t s é t térêt str ét s tér s t s t r t r s q s ét s é é ts t s é ér tés t t rt s tr s r s ér q s ét s é ts t s s t s ét s é é ts t s s P q rt tr tr t r s q s rt tr s é t é étr q é t rt tr tér t ès s é t q s t s tr t s é r t s rts t r s s éq t s t t s t s tr r r q r q rt tr é s t s t Pr é r str t tr r té q rt tr tr r r q t ér q è Pr r étés tér s t é étr q s

7 r t s étr q s étr q r t t s étr q t s étr q r t s étr q t s étr q r t t s étr q s étr q r t ré rt tér r t t é s r q rt s ts r tr t r t s s s q s rt tr s é t é étr é t rt tr tér t s tr t s é r t s rts t r s q t s t tr r r q é s t s t t s é t Pr é é str t tr r r s s t s tr s r r s q tr tr t s tr r té t r ét s é é ts s r t s étr q s étr q é s r q r r t ré rt tér é s r q r r t t s P q s t t tr t P q s t t é t é étr q t s tr t s é r t s rt t r s q t s t t s t s tr r r q r q t é s t r Pr é r str t tr r té q t tr r té q t t ér q Pr r étés é étr q s t tér s

8 r t s étr q r t ré rt r t t P q t s s t r é t é étr q t tér t s tr t s é r t s rts t r s q t s t t ér q é é t q t s s t r r t s étr q r t ré rt r t t s s t r t s

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10 s r s P q t s étr q P q t s étr q P t t ïq s é rt t s tér s t s tr t r t r s tr t r t r é tèr t s t P q s tr t r tr t r ss tr t r s s é r è è r s rs é étr q é s t r ôt s q r t s t 3 r tr t s étr q s étr q é s r q r r t s étr q s étr q r t t s étr q t s étr q é s r q r r t t s étr q t s étr q r t s étr q t s étr q é s r q r r t s étr q t s étr q r t t s étr q s étr q é s r q r r t t s étr q s étr q r t ré rt tér é s r q r r ré rt é s r q r r ré rt r ré q r r t r s sér r t t é s r q r r t t

11 é s r q rt s P q rt tr r t s étr q s étr q é s r q r r t s étr q s étr q é s r q r réq s 3 3 r ré rt tér é s r q r r t ré rt tér é s r q s r 3 3 r t t t é s r q r r t t é s r q s r P q t é s r q r q s s s r t s étr q é s r q r q t r r t ré rt é s r q q s r r t t P q s r r r é s r q q s s s r r t s étr q P q t à s t tér é s r q t s s r r t ré rt P q t à s t tér é s r q r q t à s s s s s r t t

12 st s t s r r étés s étr r q tr t t s s r tr t s étr q s étr q t s s r tr t t s étr q t s étr q t s r tr t s étr q t s étr q t s s r tr t t s étr q s étr q Pr r étés tér s t é étr q s q rt tr Pr r étés s étr r q tr t t s s r s é ts t s s r s rts Pr r étés tér s t é étr q s q rt tr s é Pr r étés s tér Pr r étés é étr q s s q s t s s r t s étr q s r s réq t s r t ré rt Pr r étés s tér s

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14 tr t é ér r è s r q s str t r s st tr té s très r s s é s r s é rs t s r rs t s rt s s t rs str t P r s s t rs t t r s s t rs ât t t é s s t rs str t é q t rt r s tr s rts r t à s s s s t t r s ér t q ér s t rr r t str t s s rt t r t r s str t r s é q r êt r rt t s s s t rs s r t s s t rt t rés t s ès st t ù str t r q q s t st t r t s sstè s t r s t s é ts s ât t é s s t t s t r s t s q s t r s sé s s é ss t t s ré s s rt ts q s èr à s t s r s r tèr s rés st t s ré t t s s s tr t s é ss é s é s s t t s t r s t é s st é t s r r t s q s t ré r s s s t rs tâ st rt té r t q rt s str t r s s t sé s é é ts str t r s s t s q s tr s s q s é étr s r é s s q s P s rs r s r tt t ttr r é s t rt t r t r s str t r s ét s é ts s r st r s r rés r s r è s tt ét s st à s ré t s r é étr q s s s é é t r s tt s rét s t st q str t r s t s t ss t t ré s è t t s s s t s tt ét ér q r st r s t s st é s s tt à rt s t t s t rt r é s à ss s sstè s r t q s P r rs ss s s r st r ètr ré ér t t ré s s s r s à ss s t s réq s rsq s str t r s ét é s q t s q s t q s é ss s s q s t s t s s s t r t s à tt ét st t t r tt t s r r s t t s ér t s à ér t s t rt r s ét s t s s ss s ét s s t sé s s r s s rét s t s rét s t é r t ê str t r ét é s

15 P t st t é ss s s s s é é ts str t r s r tt t r r r t té rsq réq t s t s ét s s q s s r t tt t ès st ét s é ts t s é t s s é t t ss t P s ré sé t t tt t ès st ét r tt r t s é é ts str t r t q s s tr s t q s t s t s s r tt ét t s é é ts s s s t s r é és ss q r st t t q s str t r st é sé é ts s s s ét rés té r s é s t st é q t r t str t r s q é é t t q s r s r s é t r t t ré ér à tt s s rét s t r t tt r st ré s s rés t ts t s t t ré s t s t s s t é s tt ét rés t s ts rts s ts s rét s t é étr ét é s rés t s t s s s é é ts s s t q s t s s s s é é ts t q t s ré t t t réq q t é à t é r é st q t sé r t tr s à ét s é ts s r tt t r r r s r s ss tt r èr t tt t ès t r tt t ès st é r r t é é t r é é t t q s s s q s t s t t s s r t s r t t s tr r r ré sés r s éq s r q t r s t é à é é s r t s é é t r s s t s P tr s s s r P q s s tr s r r t t P r s r

16 q s s étr q s r t s tr t s r P q s s tr s t q s s étr q s ss r q s s étr q s str t r q s r s s tt t ès s é s q tr tr s t s r r tr st s ré à s t ès r t s r t r s ér t s str t r s s t s ér t s r s ér q s s t é é s sq à r s è t s r ét s é ts t s st rés té r t s r tr r r s r t s à tt r tt ét t q st ré r s t s tr s r s ér q s tr ét t rt r t s s str t r s q s t s t s s t rs t s s ér ts s t rs str s s t rés té s è tr st s ré é t é é t t q rt tr s r tt r t st sé s r rés t s éq t s t t s t é s t r t s sér s t t é é t st é r r t t s r s ré s t s s ss s é s t s é é ts s ré sé s r tt t été t é r ér ts t s r ts tr s è tr st s ré é t é é t t q rt tr r s ts s ts r s r rés t s éq t s t s t ét é t t é é t st rés té r r s s rés t ts t s r ét s é é ts s s é s t s é é ts s t été ré sé s r r r tr st s ré é t é é t t q t t s é t été t é r s t r r r s q q tr s t r r t ér q s rés t ts t s r ét s é é ts s

17 P

18 t r q tr t tr rés t ét t rt r tt t é r r é ér tt t ès s s rt s st t s r èr rt st s ré à rés t t é ér s str t r s q s t s t s s ç t r ét s r s str t r s s s q s tt rt s t r r r s t ès s tr r r s r t è s s r térêt str t é é tr è rt st st é à rés t t é ér ét s é é ts t s té s é r r s r t s ès rès r ré tt r tr s ét s st é s à ét s rt ts r t r s s str t r s tt rt s s str t r s r t s sé s r ét s é é ts t s s r t rés tés t t rt s str t r s q s s s t t s é t s q s t s t s q s s s s t t t st t é s s s s r sés s s s t s s t s tér s tr s r rt tr s t s s tér s t ér r à tr é ér t é ss r s s st très r r r tér r é s ér t q t r r r s t sé s s str t q st té r s q s t s s t s s étr q s r sq s st s étr q t (O;x,y) r r

19 P P s t s s étr q s r sq s st s é tr r r z z e e e e3 h e e3 e3 y x h e4 e4 e3 y x e e e e r P q t s étr q r P q t s étr q ét q s str t r s é ss t ré s s t é r s q s r r é r r rt t str t r q t s tér ss r r à ét rt tr s s à s ts t r P r q st s t r s é r à t é r r té r t s r é ss r s rt ts q rt tr r t s t é r r rt t t s étr q t s r r s t r t tr t r r è s s t s s étr q s térêt str ét s q s t s s t s é é ts str t r t sés s r s t rs str s t t r r rés r s s s t rs r t é r str t ér t q t str t

20 P Pr t é r s q s t s s t t sé s r r t t t ïq s q tr s r t r t s r é tr té s str t r s r tt t s rt r s t ér t r s très é é s r r r P t t ïq s str t ér t q s tér s t s t r t s s s t s s s t r rés t r sq à s tér r s s s t rès r s s t r s ss s rt s tér s t s s r

21 P P r é rt t s tér s t s s s r s str t ér t q str t r s s t êtr ss é à str t r s r r tr t r t r s t s s t t sés s s s r ss r r s t st q t r q t rés st é q r

22 P r s ê s s é tèr s t r q é s tér s s èr à rés st r à s rts rt ts t rs t r ss s s t êtr à s é èr s t r st s r r tr t r t r é tèr str t s s 3 s é s s é rs r t à s r s s t t t é r t r st té s s tér s t s st t t t r t rt èr t ttr t r ré s t str t r s

23 P P s r r t s t s tér s t s é t s s é s s s t s r t rt s s rt t t é q P r s s t s s tér s s t rt t str t r s été é é r r ç s s r s r r s r rs s s t tér ssés à é r tér st t é r s sé ré s t t st tér s été t sé t rr t t ts s r ré s r s str t r s s str t r st t s r s st sé é s ss s s q s t st t é s r tér t r tér st q é q s r tér st q s s t é s t té é é t rés st à tr t t à r ss r â st t é r tér é r t r tér st q é q tér rés st rts s t s s s t â s t r t t ss é s r r s tér r t t êtr s tr rt tr è è s tér s t s tt t r té s q rés st à

24 P t t à rr s r tt t r s str t r s s s t sés r P q s s tér s s t sés r â s t s s ss â tér st st t é r s s s à rt r ér ts tér t s q r s r r étés tér r t s r t t t s s s s s s rés st s t tr s rs t t st é r é ss r s r s â r r r tr t r â é ss s s r r étés s t s s t s é ss r r tr 3 t 50mm ss q r tr 5 t 60 kg/m 3 s rts s t s t r és r â

25 P P â ss ss st tér st q r s t t r st q t r r ss r r r tr t r ss s r tér st q s s s â s ss s t s s t s é ss r r tr 3 t 40mm ss q r tr 30 t 300 kg/m 3 tér st t r r t t ré s r s è s s â s s â s s t rés st à r ss râ à r t s r s s r r rt à r t s r r r tr t r s s s r tér st q s s s â s s s s t s s t s r t s q s s s t rés st t é èr s ss q r tr 40 t 50 kg/m 3 tér t très rés st à r ss

26 P t r t r s q s P s rs t é r s q rt tr t êtr t sé s r r t è q t q t é r rés t rt s t ès s s ttér t r st ér t s r t s q s s str t r s s t ssé s s r é étr s t s t t s t s ss r ss s r rt t r r s t s t tr s rs t t t r r s t st s q s t é ss r r t é r s é r t s s t tr s rs t é r t sé st r t é r st t sé rsq s é r t s s t s é é s t s t s s r rs t ét s s t s t s r s q s s t é t q à q rt t q t s t s t s s t é s tr rt s s t s s t sé s s r s t ès s s tr s ét r t r s q s été é é r s rs éq s r r s s s s è s r èr s s t s t été ét s r q s tr rés té s t t r s q s s tr s r t r s P tré s tr r r s r s q s t s é s t t tr s r s q s str t é s t s s tt s t st sé s r rés t sstè éq t s t s t s t t s t t t tr étr q P r tr t r s t é s s t s t s r s q s s s q é s t t sé s r s éq t s éq r r s q s r t tr s t s s étr q s r s r s s st t q tr r rés té s s t s t s r s str t r s s s q ss t t é r ss q s str t é s è st t é ér s t r s q s s tr s è r s s q tt t é r été é r t s st à s r t é r é st té é r t st sé s r s t ès s s t s s s t s r s t r st t r s rès é r t tt t ès r t é r s ts s t s s r é ss r q st r t é r s tr t s s

27 P P s s é ss r r é r rst r r r r t t r é r é r t s t tt t é r st é ss t é r s q s é ss s è ss r è r t s ts s t s é s s r r q ss r rés té r r è q ù s tr t s s t tr s rs s t r s s t P s é é t é r é r t s t r r r r sé s r é t tt t é r st é s r t ès s q s s t s r s t r st t s r s s r st t s rès é r t r r è

28 P t r r r t r é r é r t s t r r s s ér rs è été é é r tt t é r st sé s r t é r é r t s t r r r r s st à s r t t r t s é r t s tr s rs s s ô tr s è ré r r r t é r s tr t s s t tr s rs s str t é è r r s ér r è r r s ér r rés t str t é t é r é t è st rés té r é t sér r s r rs t q é tt t é r r ér t s str t r s s t s rs t sé s q s t s t s t è r r s ér r r t t q é tt r r r s st t q t r t r s q s s t s è 3 3 è 3 3 r été rés té r s tr rr r s è é t st t s é ss r rés t t é t ér t à tr t è st ér r s t s t tés s s t r r r ér t s éq t s è é ss t s t rr t s t tr s rs s r s rs tr r r s t été és ss 3 t r t t sé è r r s rts s t t t t t 3 3 à t s s é t r è rès r é é s ér t s t é r s q s t s s s

29 P P rés t r s r r s t s ét s ér q s s q ét s é é ts t s q t êtr t sé s r ét r t r s q s ét s é é ts t s é ér tés s r rs s s é s s t t é é ét s é é ts t s tt r st ét tr str t r t s ss r ss é é t t st rés té r P tt ét st s s ér t s é t s t r t ss t r t t t é t tr t t é r tt ét r t ét r r s r t t s str t r s ét é s s r s ré s r q s ét s r t é r é st q é ê ç q ét s é é ts s tt ét s st é t à r rés t r rt t q s str t r s r s r t s tr s tr s rts q és t s é ts r tt r st sé s r str t tr r r q t à s s ts r rs t ss tt tr r t ét r r ré s r q s str t r s ét é s s r s t r é és tt ét s t s r è s r t r s q é ss t t r ré s r s s réq t s ét s s rét st q s s s r s r é ss t tt r ét t r à r t s s s r s r ré s q t à r st r q s s rés t ts t s r ét s é é ts s r st t r r ts r s t s t s s réq s P s rs s t s t été r é s s r èr s ét s t été é é s à s str t r s s té s r s s r s s r t s r r s tr s ss str t r r st sé s r ss tr s r rés t t t s t s str t r s t t rt q é r r ré é t tr r r q ré s t s r r s r r rt à ét s é é ts s r r t s r è s q s str t r s t P 3 t rés té tt ét s r r rt t r r s s é é s s sés s r tt ét s s é s P r s s t t r P st r r q été é é r éq r ss r ss è st té à é s t str t r s s tr t r r s t t t r r rés t s s s s ss s tr s s t s r s tr s s tr t s

30 r r s rs t r é tr t t été é é r ét ré s q s r t r s s t t s r t ét r r tr é str t r rs té r P été é é r s st st é à s s q s r s t q s ss é s é é s r r é é st st é à ét s str t r s s t s s tr s s s s s str t r s ré ét t s t s q s r s r s t q s é é r r t s r s ss s tr s t ét q q s r é P t tr s ss té s ss s P tr s st q s été é é r éq r t s str t s s st sé s r ét s é é ts t s r é r r ré s s t s str t r s ét é s st t sé é ér t r r s r q s str t r s s P s rs é é ts t été é és r s é é ts tr s tré s r r t é ï s s q s r t r s t s é é ts q s s étr q s t r s rt r s rés t ts t s r ét s é é ts t s s r rs s s t s s r r s tt r r r rt tr s ét s ér q s ss st étr t t é à ré s s rés t ts s è s é é ts s t t q ét s ss ét s é é ts t s é q s t r s sér s t sé s r str r tr r té q P r s é s t s q s r r sér r t êtr rt t s ré s

31 P P str t r ét é q r q t t é s t s st é t é à r ss s sér s r r ét s é é ts t s st rés r s r è s s str t r s ss é s st t é s r s q s q s t tr s s tr s r s ér q s s r t r s str t r s st ss t s très r s t rs str s t r r r t s sstè s t r sés s s à s r tt ts t s r s rt s s à s s t t s s s q s ér t s r s t ét s s r t r s str t r s s s s t été s s t r r rés t s ét s s s t sé s t s s s r rés r s r è s ét t3 s r rs t rés r è ré s r q s str t r s r s ét s sé s s r rés t s t t q s t ér q éq t ér t t t t t s t s t s q é s s r str t r s ét s t s rés t ts s t s s ts r s é rs P r s r s s s t sé s tr ét t t3 r t ét r r r t s s str t r s s s s s ss t t s s t s t ré s s rés t ts s s t s s t s s é r t s s s r s t w(x,y,z) = N A i (t).φ i (x,y) i= ù s t A i s t s r é s é ér sé s r tt ét été é é r ér t s str t r s s s t s tr s q s t q s s t s r rs s s t tér ssés à é r ét t3 r ét r s str t r s t s s t s q s q s t s q s r s t t é tt r r r r è s r t s r s s q s t t t s r t s s str t s r ss rs r ér t s ét t q ér t t ér q été rés té r r t r r s r rt t r t r q r r rt t r ss rs t r s s r ss rs s t s és ré èr t q t t sé ét t3 r rés t r s réq s r r s q r t r tr s t s t t s rés t ts t s t tt r r rés r r è t q r t r t s tr t rt tr r t t é é r t3 r r s réq s r r s

32 q s tr s t é ét s é é ts s ét s é é ts s st ét ér q s t s t sé r tt r r t rés r s r è s très rs t s q s r è s é q t s s r è s t r q s rt t é q t r è st t q s str t r s tt ét r t rés r é t s r è s q r é st st té t r é st té t t t t t rt ts s tér é r s é tt r st s s r é étr q str t r s s s é é t r s és é é ts s r t ô rés té s r q é é t r t ét r r s t r è tt r tr s r r è ér é s rt s P é st q s s r r t s éq t s ér t s s t rés s r ét s rés s érés q s st à r r t rés éq t ér t r tr r s t s rèt tt ét r t r sstè éq t s r r ttr s rés t s s ù rés t r t s tés r r t é t q s t tés t é rs s tt ét s t ét s r èr ét s st à é r t r rés té R(u) t q R(u) = L(u)+fv ù r rés t ér t r ér t r sstè st t q ér s t s t s t r rés t s s t t s sstè è ét r t é r r té r s ss t s t s s W = V ù ψ r rés t s t s ér t < ψ >.R(u)dV r t s ψ i rr s s s r r ètr s s s t s r t ét r r s ér t s ét s rés t r sq s ét r tt r èr s st à tr s r r r è t r è s r t s tr s r t r r s t s ér t s ψ i é s à r t s t s t

33 P P r t r r té r rt èr q r st t r t ss é rès r ét r é r t é é t r ét ss t r t tt r é r r è r è ér é s rt s é st q é r à r è é r t r sstè éq t s ér t s s r r st rés té s r ss } } [M]{Ü +[C]{ U +[K]{U} = {F} ù [M] r rés t tr ss sstè [C] tr rt ss t t [K] tr r r {U} t {F} s t r s t t s t rs é ts t rts é ér sés U t Ü s t r s t t s t rs t ss t é ér t s s s s r t s sstè r rt rés té r éq t t r t ét r r s s t s réq s r r s str t r ( [K] ω [M] ).{U} = {0} s s sstè r é rt rés t ( [K] ω [M] ).{U} = {F} t s t s ét s ss q s r t rés r t éq t P r t r ré s rés t s éq t s ét t èt tt ét s st à rs r sstè ([K] ω [M]) r q s t ω t s t ét t ss r ét s ré s s s r st s r s t tt ét st sé s r r t s éq t s t s r s t rs r r s tt r t r t é s r éq t n éq t s é é s s t m i ü i +k i u i = f i ù f i st r ss é r q u i st é t q q é é t s t é ér sstè st sé s r s r s t t t s s s t s é é t r s s s r s q s s ét r ré s s rés t ts t s st s é s ét s r s t st ét t é r r é s i q r t s tr ét t èt st ét sé s r s rét s t r è

34 r t r r ré s s rés t ts r t P s rs éq s s s t s é sé s s é t tt ét t 3 t tt t rés té ç s t ét q tt r r s t s str t r s s ts tr s q t q s 3 t t ét é r ét s é é ts s r s é é ts tr s tr q t q Pr r t r r s t s r rs r rs q t é é tt r r s str t és t t t s é r t s s t tr s rs r r t t q é r s q s t s s t s t s q s s s t t q é tt t é r r s q s s s t s t r r s ér r é r t s t é é r s q s r t r s t s r s s ét s tér r s ét s é é ts s st ét s t sé str t r q st ré s r s r t r s ss s réq s t é é t s s é q s r t t tés r ss str t t tt r s é ts q t êtr st ét s é r é q P r s s t s t s réq s r s r r s s tés r s r q t s q s té è à s r è s ér q s tr t s s r r s é t r tt ét st é ss té r t étr t t s q r st r ètr rt t r s é rs P r ét s é é ts s t t réq t é s s t très t rt à t s rt t t tr rt é ss t t s t s s ss t s ét s é é ts r t èr s ét s é é ts r t èr s st sé s r s rét s t r t èr ét é r ré r r rés rté tt r s st à tr s r r s éq t s ér t s s éq t s té r s t s t t r s éq t s té r s r tt t t r r t tr s s tér rs t s q t tés s r s r s r è r tt ét s s t ré s ér q s rés t ts ét t é q tr t rès s rét s t r t èr st s étr q s t t t ét s é é ts r t èr s s st à r sq r t èr st s é é t é étr q s rét sé st r t r r rt à ét s é é ts s rsq réq t r ré s q r rt t r

35 P P rs t t sé tt ét r ér t s str t r s q rq t r t t sé tt r s ét r t r q rt tr r ù s r s s t s t s t és s t strés r s tr s ét s tt r t q q s é ts és à té r t s t s t s t s r r st é t è é t s rés t r té rés t r sstè tr t t sstè st s étr q t t êtr rés r q réq ré s tt r é ss s r t èr s r t r s s sér s ét s é ts t s r ss é é t t s é s t r s r r t r é é t t ré ér à s s s str t r s s s s è t r t q q r t é é t r st t t q r rés rté P s rs r t s é é t r s t été é é s s tt r é t t tr s r rs é é ts é és s tt ét s t s tr s r t s r st sé s r t tr tr s rt q r s é ts t s rts é ér sés t rts ts è s t r t t tré tés tr tt tr r t rés r s r è s s r q r s tr s ê s s t t tér r tt str t r s tr s tr s rt r tt t t r tr r r q P r s str t r s s r ss ét s é é ts s st r é r r t t s st à rés r sstè tr q é s t ω st s s r s t [K(ω)]{U} = {F} ù [K(ω)] st tr r r q {U} st t r s é ts t {F} st t r s r s tér r s rés t sstè tr r q s t ω s t r é r t ét r r s é ts r r t r q é s ré r q ét s é é ts t s s st à ét r r

36 tr r r q t s t ω tt tr é à s s r r étés é st q s t ss q s str t r r t rés t t q s éq t s ér t s r s t s t s t s r s tr r r q r r t t s rts r s é ts s s r s r r s é é t s r s t s t s r rs t é é tt ét r s tr s s s rs é s t rr r rés té tr r r q r tr t r t t t t rs ê t t q é r é t r r tr r té r tr r s r t s é st q s P r rs rt t r t t ét s tr s r r q r s tr s t s s ù s ts rt ss t str t r s t r s t s t r s s tr s s t rs s r t s t é é s t q s ér q s sé s s r rs t t t s tr s r t r s tr s r rs q s tr t rs é s é st q s ê r t q é tt t q r s r tr r r r t rs s s t s tt ét t ssé s r rs à q r tt r s r s é é ts str t r s q t s t ès s é st q s s r s ré s r q s r s r st t é t èq é é ts t s r s tr s é é t q r r ér q t s tr s r rs q s t s t s tr s tr s rt r r q é ét s é é ts t s r s tr s r s t s ê s t t é é tt r r ét r r tr r r q r r r q é ét s é é ts s tr r ré s t r s r t s é é t r s s s t s q s s tr s t s à s s é st q s r tr s r t t s s rt t r t r r t t s t é é r s s t s t s tr s s s t t tr té ét s tr s à r s s é t t q P r r t é é t t q t é r s t été s s r t é r r t t é r ss r P r s tr s r t é é t t s st à t s r s s t s t q s t s s s s q s s s t s st t s st t à s é ts sér

37 P P r rés té s tr r ét r r s é ts tr s rs s s t s t s q q s tt r r t é s r q s s s t s t s s s s éq t s ér t s t s r tt ét t été rés s r s sér s tt r r t t r t q t s réq s t s s r r s q t r t s t é s t q à ét r P r t t t sé ét r r ét r r s s t s t q s r q tr t s s t s s t s s s s r sér s sé s r s ts A m B m C m t D m s ts t r t r t s rts é ér sés t s é ts str t tr r r q s st s t à rs r s r t s s s P t sé é t sér r ét r r tr r r q q r s s t s r s tr r t r t t t é tr r r q r q r t r P r rs t sé s sér s r rés t r ét s é é ts s tr t tr s tr s s t tés à q t s t s t s s s ê s r t t ét r é s s t s tr r r q r q s tr r t s t s sér s r rés t éq t s t t t q é r s r r s r t r q r r é é t s t r t rés té tr r r q str t r q s r t é r r r r r é r t s t s s t sé s q s s t s t t t é r t s t r r s ér r 3 t sé s sér s r ét r r tr r r q r q t ù s r s sés s t s t és t t t sé ét s é é ts t s r q rt tr s t é t r t P st r s r s rs s t s t s é st q s t é sér t s t é r s q r r s r q q rt tr s t s s r s sés s t és t s t é s t s t s r s tr s r s s té ss rés té tr r r q r q rt tr r ù s r s sés s t s t és é ts t s q s s étr q s s é é ts q s s t s str t r s s s t sé s s str s r s t été é é s r rés t t é é t

38 s ét s s t sé s ss t t s r s t é r s s t s t é r ss r t t é r r s tr rés t t è t q ré ér sé s r s éq t s q s s étr q s s t é ss s s éq t s s str t r s s t r é s s sstè r é s r s té (s,θ,ϕ) ss é à q P r t è s r s s é s t tr s é ts és u s,v,w s s θ t ϕ r s t t t r t t s β ϕ t β θ s tt str t r t tr s ts M s,m θ,m sθ t q rts t r s N s,n θ,n sθ,t s,t θ é é ér ét s st à r r r è r q à sstè ér t r r tt r st sé s r str t t r ét t é E st t é s é ts s r t t s s rts t r s t s ts sstè ér t st rés té r éq t de m = m (s,ω)e m ds E = (u s,v,w,β ϕ,β θ,n s,n θs,t s,m s,m θs ) rt r rés t sstè T(0,ω) = I tr r r q K m (ω) t r t st rés té r r ss s t [ [K m (ω)] = ] T (ω)t (ω) T (ω) T (ω) T (ω)t (ω)t (ω) T (ω)t (ω) t tr r s t r s s s tr [ (ω)] r t r ré s r q q s rt s s ré ér t à tt ét è r r t str r s é é ts q s s s étr q s r t ô s t s q s t r q s t s q s s s tr s r t rt t s r ét r t r s q s é ss s t ss r s t t sé ét s é é ts t s r ét r r tr r r q r t é é t r t q été t sé êtr é r ét ér t s ê r r r t t tr t t s t t r s t t r à q s étr q s t s ét s é é ts t s ét s é é ts t s r t r ré s r q s rs str t r s é étr q s s s s tt r t t s rés t ts r r rt à t s r s tr s r s ér q s rés t é èr s rés t ts s s s rét s t é étr q str t r r t t t s s s t r ré s t ét s é é ts t s s é ts s ts

39 P P st té ré s s r q s str t r s r rt t é r t r s é r t s s sé s t t s st s r é é r s str t r s tr s s s s tr s s rés té s r r t s ét t rt tt t ès r t s q s t s t rs t s t s str s s t s s rés té q q s t é r s s q s s s é r t s ér t s ét s rés t ér q s q ét s é é ts t s r é s t rt t r t r str t r s s t s ét t q r r rt tr s ét s s t s é tr s t s r s ré à r t t s r é é t t q rt tr r tt r t st é t ét s é é ts t s q t r r t èq é é t r tt r t st r èr ét r é t tr r r q q t t t é é t st é r r s s rés t ts t s r ét s é é ts s

40 é t t q rt tr tr t tr rés t r t é é t t q rt tr s t é r r r é é t t été é r t r s r t s s q s tr t r s r s t ès t r t r r t st tt r q st ét s s rt ts rt tr s tr s é s tr s rt s r èr rt rés t ét t é r q q rt tr r s r t é é t t r t q r èr r ttr r tt r r r s s ré s t ts t s ss s è s é é t s r s q s rt tr s é t é étr q é é t é é s tr st é é t q rt tr r s t é ss r h r t t r é s (x, y, z) rt t tt q ér s t s s t s x y h z h

41 P P P z y O x h r é étr q s r t q st é r x y z = 0 é t rt tr tér tér t sé s tr st tér rt tr t s r r étés s t s E t s t r t x E tr s rs s t r t y G ν t P ss ρ ss q s r t s r s rt tr t s t s r s t t s s s étr é étr q x t y t ès s é t q s s t ès s é t q s r s st t à s ér r q r t r st r à tt s r rs é r t é t t q q M(x,y,z) s t é s tt q st

42 P P rs r rés té r éq t u(x,y,z,t) = z W x v(x,y,z,t) = z W y w(x,y,z,t) = W(x,y,t) u v w s t s é ts t M s s s x y t z r s t t W st é t s t z s r t t s t r s s x t y s t té s r s t t r β x t β y t s é ss t r éq t β x = W x β y = W y t s tr t s é r t s s ér t s t ès s tr t s s r t tr t é r t r q rt tr s s tr s s (,,3) st rés té r σ = Q ǫ +Q ǫ σ = Q ǫ +Q ǫ σ = Q 66 ǫ σ σ σ s t s s t s t s r tr t s ǫ ǫ ǫ s t s s t s t s r é r t s Q ij s t s st t s q é t s r r étés s tér Q = E ν ν Q = E ν ν Q = ν E ν ν = ν E ν ν Q 66 = G rts t r s s rts t r s q rt tr s t é s t t t rt t t r té r t s r é ss r h s s t s t s r tr t s s rts t r s ss és é ts s t s s ts

43 P P P s rts tr ts T x = h/ σ xz dz T y = h/ h/ h/ σ yz dz ts M x = h/ zσ xx dz M y = h/ h/ h/ zσ yy dz t t rs M xy = h/ h/ zσ xy dz s t t s é r t s t s à rt r s é t éq t s t tr t s s s éq t s r t r s r t s rts é t M x = h3q W h3q x W y M y = h3q W h3q x W y M xy = h3 Q 66 W x y s éq t s t rt r r t t s t ès s r éq t t q s é r t M x + M xy x x y + M y = ρh W y t tr s t r t rt é t s éq t t t t éq t ér t r q rt tr 4 W D x x +D 4 W 4 xy x y +D 4 W y y = W 4 ρh t ù D x D y t D xy s t s st t s q é t s tér s s t é s r D x = h3 Q D xy = h3 6 Q 4 h3 Q 66 D y = h3 Q P r ré r q ét s t ω é t r é t W t êtr é é é r t W(x,y,t) = W 0 (x,y)e iωt

44 P P P rès s éq t s t t t rs 4 W 0 4 W 0 D x +D x 4 xy x y +D 4 W 0 y = ρhω W y 4 0 W 0 (x,y) rés t t é t W t t t s t é s r t t s t s P r str r tr r r q t rés r t t r éq t ré r q t t t s t s t s t r t s t s t r s r t s t s r s s t s t s t s t rt q s t sé s s r s r s q s rts sés s t s t s rts tr s rs s s t s ts s r s q tr r s q P r t t t s r s r st t r s t t t st à r q é t st sé t t s é r t { Tn + Mns s = F z M n = M n ù F z st rt tr s rs sé t F n + Mns s rt t r t s ttr s n ts rés t t s r é s s t s r s éré s s ss r r t n r r tr r r q r q rt tr ét s é é ts t s st sé s r tr r té q s t éq t q r s t s t s r t ét r r r t tr s rts t r s t s é ts r réq é ω é s t s t r èr ét r rés r r è ré s r q st é s r s s r è s tés t s t s s s s s t t s t t s é s r s r r t s q tr tr t s r r étés s étr rt èr s s q tr t st ê é sé s à s s s t s t s s é s t é r r s q tr tr t s s t té s s étr q s étr q t s étr q t s étr q s étr q t s étr q t t s étr q s étr q r r

45 P P P r é s t r s r s s r sés q t r t t s t s tr s rés t t é t tr s rs s s è s r é s s t t s s s x t y s è s r t s q t r tr s rs q tr t rés t s s t s t s s s s s s r ù ssté t q t r s sés à t s t q s é t W(ξ, η) s s s é s s t W 0 (ξ,η) = W SS (ξ,η)+w AA (ξ,η)+w SA (ξ,η)+w AS (ξ,η) s t s W SS W AA W SA W AS r rés t t r s t t s tr t s s étr q s étr q t s étr q t s étr q s étr q t s étr q t t s étr q s étr q s t ξ t η rès éq t t ê ç s r t t s s é s t q é s s éq t s t β x0 (ξ,η) = W SS(ξ,η) ξ β y0 (ξ,η) = W SS(ξ,η) η W AA(ξ,η) ξ W AA(ξ,η) η W SA(ξ,η) ξ W SA(ξ,η) η W AS(ξ,η) ξ W AS(ξ,η) η ξ η s t s r é s s t s q s é s ξ = x/ η = y/ ê r s rts t r s T x (ξ,η) = T xss (ξ,η)+t xaa (ξ,η)+t xsa (ξ,η)+t xas (ξ,η)

46 P P P T y (ξ,η) = T yss (ξ,η)+t yaa (ξ,η)+t ysa (ξ,η)+t yas (ξ,η) M x (ξ,η) = M xss (ξ,η)+m xaa (ξ,η)+m xsa (ξ,η)+m xas (ξ,η) M y (ξ,η) = M yss (ξ,η)+m yaa (ξ,η)+m ysa (ξ,η)+m yas (ξ,η) M xy (ξ,η) = M xyss (ξ,η)+m xyaa (ξ,η)+m xysa (ξ,η)+m xyas (ξ,η) s s éq t s t t r q s t s étr s s s é t W P r s s ù é t st s étr s étr β xss = W SS ξ β yss = W SS η rsβ xss st s étr t s étr t β yss st t s étr s étr s t rés t s r r étés s étr r q r ét q s t s st à rés r éq t ér t s t s t r W β x β y M x M y M xy T x T y s r r étés s étr r q tr t q tr t à rt r sér s é é r t é t r t tt rés t r t tr r r t tr s rts tér rs t s é ts t s t ω r q tr t tr t s étr q s étr q r è s é s s s r è s à rt r é s t r s s s r è s s t rés s à rt r sér s

47 P P P t t t s t s t s é r t s s t rs + + W SS (ξ,η) = n=0 SSW n (ξ)cosnπη + n=0 SSW n (η)cosnπξ SS W n t SS W n s t t s r s s s t ét r é s à rt r éq t t tr s t éq t s éq t t t ( ) )+B n e x nξ +e x nξ ( SS W n(η) = C n e 3 x nξ +e 3 x nξ ( SS W n(ξ) = A n e x nξ +e x nξ ( )+D n e 4 x nξ +e 4 x nξ x n x n 3 x n t 4 x n s t s r s s s s t é s r x n = Dxy φ D x (nπ) π + φ 4 x n = Dxy φ D x (nπ) π φ 4 3 x n = Dxy D y φ (nπ) π + Dx D y 4 x n = Dxy D y φ (nπ) π Dx D y ( ) = D xy φ 4 (nπ) 4 π 4 φ 4 Dy 4Dx D x (nπ) 4 π 4 +φ 4 λ 4 ( ) = (nπ)4 π 4 φ 4 D xy D x 4D x D y Dy D x φ 4 λ 4 t λ = ρhω 4 D x t φ = ) s st t s A n,b n,c n t D n s r t é é s s r r s t rs str t tr r té q tt tr t tr t t s étr q t s étr q r s tr t r è s é s ss s s r è s à rt r é s t r t t t s t s t s q é s s t é t W AA s é r t s t W AA (ξ,η) = + n= AAW n (ξ)sin( (n )πη )+ + n=0 AAW n (η)sin( (n )πξ ) AA W n t AA W n s t t s r s éq t s s t ( ( ) AA W n(ξ) = A n e x nξ e x nξ )+B n e x nξ e x nξ ( ( ) AA W n(η) = C n e 3 x nξ e 3 x nξ )+D n e 4 x nξ e 4 x nξ x n = Dxy ) π + φ 4 x n = Dxy φ D x ( (n )πη ) π φ 4 3 x n = Dxy D y φ ( (n )πη ) π + Dx D y 4 x n = Dxy D y φ ( (n )πη ) π Dx D y φ D x ( (n )πη

48 P P P = D xy 4D x ( φ 4 ( (n )πη ) 4 π 4 φ 4 Dy = ((n )πη ) 4 π 4 φ 4 D x D x ( (n )πη ( D xy 4D x D y ) Dy D x φ 4 λ 4 ) 4 π 4 +φ 4 λ 4 ) ê s st t s A n,b n,c n t D n s r t é é s s r r s t rs str t tr r r q tr t s étr q t s étr q éq t t s s s étr q t s étr q W SA (ξ,η) = + n= SAW n (ξ)sin( n πη + + n=0 SAW n (η)cosnπξ SA W n st t r t SA W n st t r éq t s é r t rs ( SA W n(ξ) = A n t éq t t ( SA W n(η) = C n e 3 x nξ e 3 x nξ ( ) e x nξ +e x nξ )+B n e x nξ +e x nξ ( )+D n e 4 x nξ e 4 x nξ x n = Dxy ) π + φ 4 x n = Dxy φ D x ( n πη ) π φ 4 3 x n = Dxy D y φ (nπ) π + Dx D y 4 x n = Dxy D y φ (nπ) π Dx D y φ D x ( n πη ( ) = D xy φ 4 ( n πη ) 4 π 4 φ 4 Dy 4Dx D x ( n πη ) 4 π 4 +φ 4 λ 4 ( ) = (nπ)4 π 4 φ 4 D xy D x 4D x D y Dy D x φ 4 λ 4 ) ê s st t s A n,b n,c n td n s r t é é s s r r s t tr t t s étr q s étr q s t rès t t ét r r é t W AS s é r t W AS (ξ,η) = + n=0 ASW n (ξ)cosnπη + + n=0 ASW n (η)sin( n πξ ) AS W n st t r r tr AS W n st t r éq t t rs ( AS W n(ξ) = A n ( AS W n(η) = C n e 3 x nξ +e 3 x nξ ( ) e x nξ e x nξ )+B n e x nξ e x nξ ( )+D n e 4 x nξ +e 4 x nξ )

49 P P P x n = Dxy φ D x (nπ) π + φ 4 x n = Dxy φ D x (nπ) π φ 4 3 x n = Dxy D y φ n πξ ) π + Dx D y 4 x n = Dxy D y φ n πξ ) π Dx D y = D xy 4D x = n πξ ) 4 π 4 φ 4 D x ( ) φ 4 (nπ) 4 π 4 φ 4 Dy D x (nπ) 4 π 4 +φ 4 λ 4 ( ) D xy 4D x D y Dy D x φ 4 λ 4 ê s st t s A n,b n,c n td n s r t é é s s r r s t Pr é r str t tr r té q rt tr ét r t tr r r q té [K] s st r r à str r tr r t à q tr t tt str t s t tr s ét s r èr ét s st à é r r s s s W β x β y M x M y M xy t s st t s té r t A m B m C m t D m t s t s r ss s s s é t r q tr t è ét s st à r t r s t s s é s s r s r s q s r s t s s r q tr t s r t s s t s s t ss r é s t s st t s té r t r èr ét s st à é r s st t s té r t r t r r t tr tr s r t s rt t é t s s étr q s étr q s éq t s t r tt t ét r r s s é ts s r s r s q rt q r è t êtr tr té ér q t s ss t N r r s sér s éq t t

50 P P P êtr é r t s s r tr s t W SS (,η) β xss (,η) W SS (ξ,) β yss (ξ,) = ( [H0SS(η) ] [H NSS(η) ] [H 0SS(ξ) ] [H NSS(ξ) ] ) A 0 B 0 C 0 D 0 A N B N C N D N ê r s éq t s t s rts t êtr é r t s s r tr s t F zss (,η) M xss (,η) F zss (ξ,) M yss (ξ,) = ( [G0SS(η) ] [G NSS(η) ] [G 0SS(ξ) ] [G NSS(ξ) ] ) A 0 B 0 C 0 D 0 A N B N C N D N s s tr t r s q s t è ét r t s s s s r s t s r s s étr q s étr q t ss s rés t s t s s s s W SS (,η) W SS (ξ,) β xss (,η) β yss (ξ,) F zss (,η) F zss (ξ,) M xss (,η) M yss (ξ,) cos(nπη) cos(nπξ) cos(nπη) cos(nπξ) cos(nπη) cos(nπξ) cos(nπη) cos(nπξ) t s s r tr t s étr q s étr q s r t s s r s s s s t t s r é t sér r r r s ér s t é r t W SS (,η) β xss (,η) W SS (ξ,) β yss (ξ,) = SS W 0 + N n= SS W ncos(nπη) SS β x0 + N n= SS β xncos(nπη) SS W 0 + N n= SS W ncos(nπξ) SS β y0 + N n= SS β yncos(nπξ)

51 P P P SS W 0 SS β x0 SS W 0 SS β y0 SS W N SS β xn SS W N SS β N = W SS(,η)dη β xss(,η)dη W SS(ξ,)dξ β yss(ξ,)dξ W SS(,η)cos(nπη)dη β xss(,η)cos(nπη)dη W SS(ξ,)cos(nπξ)dξ β yss(ξ,)cos(nπξ)dξ rt r s r ss s t t t SS W 0 SS β x0 SS W 0 SS β y0 SS W N SS β xn SS W N SS β yn = ê r s rts [SS H 0 ]dη [SS H M ]dη [SS H 0 ]dξ [SS H M ]dξ [SS H 0 ]cos(nπη)dη [SS H M ]cos(nπη)dη [SS H 0 ]cos(nπξ)dξ [SS H M ]cos(nπξ)dξ F zss (,η) M xss (,η) F zss (ξ,) M yss (ξ,) = SS F z0 + N n= SS F zncos(nπη) SS M x0 + N n= SS M xncos(nπη) SS F z0 + N n= SS F z0cos(nπξ) SS M y0 + N n= SS M yncos(nπξ) SS F z0 SS M x0 SS F z0 SS M y0 SS F zn SS M xn SS F zn SS M yn = F zss(,η)dη M xss(,η)dη F zss(ξ,)dξ M yss(ξ,)dξ F zss(,η)cos(nπη)dη M xss(,η)cos(nπη)dη F zss(ξ,)cos(nπξ)dξ M yss(ξ,)cos(nπξ)dξ

52 P P P rt r s r ss s t t t SS F z0 SS M x0 SS F z0 SS M y0 SS F zn SS M xn SS F zn SS M yn = s r ss s t s é r t [SS G 0 ]dη [SS G M ]dη [SS G 0 ]dξ [SS G M ]dξ [SS G 0 ]cos(nπη)dη [SS G M ]cos(nπη)dη [SS G 0 ]cos(nπξ)dξ [SS G M ]cos(nπξ)dξ SS W 0 SS β x0 SS W 0 SS β y0 SS W N SS β xn SS W N SS β yn SS F z0 SS M x0 SS F z0 SS M y0 SS F zn SS M xn SS F zn SS M yn = [H SS ] = [G SS ] A 0 B 0 C 0 D 0 A N B N C N D N A 0 B 0 C 0 D 0 A N B N C N D N tr r té q r tr t s étr q s étr q st t rs é t s st t s té r t st t r èr ét tt tr té K SS s rés t s t K SS (ω) = G SS (ω)h SS (ω) s t s étr q t s étr q s éq t s r tt t ét r r s s é ts s r s r s q rt q éq t t êtr é r t s s r

53 P P P tr s t W AA (,η) β xaa (,η) W AA (ξ,) β yaa (ξ,) = ( [H0AA(η) ] [H NAA(η) ] [H 0AA(ξ) ] [H NAA(ξ) ] ) A B C D A N B N C N D N ê r s éq t s t s rts t êtr é r t s s r tr s t F zaa (,η) M xaa (,η) F zaa (ξ,) M yaa (ξ,) = ( [G0AA(η) ] [G NAA(η) ] [G 0AA(ξ) ] [G NAA(ξ) ] ) A B C D A N B N C N D N s t s s r tr t t s étr q t s étr q s t ré s té s s t W AA (,η) W AA (ξ,) β xaa (,η) β yaa (ξ,) sin( (n )πη ) sin( (n )πξ ) sin( (n )πη ) sin( (n )πξ ) F zaa (,η) F zaa (ξ,) M xaa (,η) M yaa (ξ,) sin( (n )πη ) sin( (n )πξ ) sin( (n )πη ) sin( (n )πξ ) t s s r tr t t s étr q t s étr q éq t r tr t t s étr q t s étr q W AA (,η) β xaa (,η) W AA (ξ,) β yaa (ξ,) = N n= AA W nsin( (n )πη N n= AA β xnsin( (n )πη N n= AA W nsin( (n )πξ N n= AA β ynsin( (n )πξ ) ) ) )

54 P P P AA W AA β x AA W AA β y AA W N AA β xn AA W N AA β N = W AA(,η)sin( πη )dη β xaasin( πη )(,η)dη W AA(ξ,)sin( πξ )dξ β yaa(ξ,)sin( πξ )dξ W AA(,η)sin( (n )πη )dη β xaa(,η)sin( (n )πη )dη W AA(ξ,)sin( (n )πξ )dξ β yaa(ξ,)sin( (n )πξ )dξ rt r s r ss s t t t AA W AA β x AA W AA β y AA W N AA β xn AA W N AA β yn [AA H 0 ]sin( πη )dη [AA H M ]sin( πη )dη [AA H 0 ]sin( πξ )dξ [AA H M ]sin( πξ )dξ = [AA H 0 ]sin( (n )πη )dη [AA H M ]sin( (n )πη )dη [AA H 0 ]sin( (n )πξ )dξ [AA H M ]sin( (n )πξ )dξ ê r s rts F zaa (,η) M xaa (,η) F zaa (ξ,) M yaa (ξ,) = N n= AA F znsin( (n )πη N n= AA M xnsin( (n )πη N n= AA F z0sin( (n )πξ N n= AA M ynsin( (n )πξ ) ) ) ) AA F z AA M x AA F z AA M y AA F zn AA M xn AA F zn AA M yn = F zaa(,η)sin( πη )dη M xaa(,η)sin( πη )dη F zaa(ξ,)sin( πξ )dξ M yaa(ξ,)sin( πξ )dξ F zaa(,η)sin( (n )πη )dη M xaa(,η)sin( (n )πη )dη F zaa(ξ,)sin( (n )πξ )dξ M yaa(ξ,)sin( (n )πξ )dξ

55 P P P rt r s r ss s t t t AA F z AA M x AA F z AA M y AA F zn AA M xn AA F zn AA M yn = [AA G 0 ]sin( πη )dη [AA G M ]sin( πη )dη [AA G 0 ]sin( πξ )dξ [AA G M ]sin( πξ )dξ [AA G 0 sin( (n )πη )dη [AA G M sin( (n )πη )dη [AA G 0 ]sin( (n )πξ )dξ [AA G M ]sin( (n )πξ )dξ s r ss s t s é r t AA W AA β x AA W AA β y AA W N AA β xn AA W N AA β yn = [H AA ] A B C D A N B N C N D N AA F z AA M x AA F z AA M y AA F zn A M xn AA F zn AA M yn = [G AA ] A B C D A N B N C N D N tr r r q r tr t t s étr q t s étr q s t t s t r K AA (ω) = G AA (ω)h AA (ω) s s étr q t s étr q

56 P P P rès s éq t s t é r t W SA (,η) β xsa (,η) W SA (ξ,) β ysa (ξ,) = ( [H0SA(η) ] [H NSA(η) ] [H 0SA(ξ) ] [H NSA(ξ) ] ) C 0 D 0 A B C D A N B N C N D N ê r s éq t s t s rts s é r t F zsa (,η) M xsa (,η) F zsa (ξ,) M ysa (ξ,) = ( [G0SA(η) ] [G NSA(η) ] [G 0SA(ξ) ] [G NSA(ξ) ] ) C 0 D 0 A B C D A N B N C N D N t t rs s r t s s r s s s s t t s r W SA (,η) W SA (ξ,) β xsa (,η) β ysa (ξ,) sin( (n )πη ) cos(nπξ) sin( (n )πη cos(nπξ) F zsa (,η) F zsa (ξ,) M xsa (,η) M ysa (ξ,) sin( (n )πη cos(nπξ) sin( (n )πη cos(nπξ) t s r tr t s étr q t s étr q é t sér r r r s ér s t é r t W SA (,η) β xsa (,η) W SA (ξ,) β ysa (ξ,) = N n= SA W nsin( (n )πη ) N n= SA β xnsin( (n )πη ) SA W 0 + N n= SA W ncos(nπξ) SA β y0 + N n= SA β yncos(nπξ)

57 P P P SA W 0 SA β y0 SA W SA β x SA W SA β y SA W N SA β xn SA W N SA β N = W SA(ξ,)dξ β ysa(ξ,)dξ W xsa(,η)sin( πη )dη β xsa(,η)sin( πη )dη W SA(ξ,)cos(πξ)dξ β ysa(ξ,)cos(πξ)dξ W SA(,η)sin( (N )πη )dη β xsa(,η)sin( (N )πη )dη W SA(ξ,)cos(Nπξ)dξ β ysa(ξ,)cos(nπξ)dξ rt r s r ss s t t t SA W 0 SA β y0 SA W SA β x SA W SA β y SA W N SA β xn SA W N SA β yn = [SA H 0 ]dξ [SA H M ]dξ [SA H 0 ]sin( πη )dη [SA H M ]sin( πη )dη [SA H 0 ]cos(πξ)dξ [SA H M ]cos(πξ)dξ [SA H 0 ]sin( (N )πη )dη [SA H 0 ]cos(nπξ)dξ [SA H M ]sin( (N )πη )dη [SA H M ]cos(nπξ)dξ ê r s rts F zsa (,η) M xsa (,η) F zsa (ξ,) M ysa (ξ,) = N n= SA F znsin( (n )πη N n= SA M xnsin( (n )πη ) ) SA F z0 + N n= SA F z0cos(nπξ) SA M y0 + N n= SA M yncos(nπξ)

58 P P P SA F z0 SA M y0 SA F z SA M x SA F z SA M y SA F zn SA M xn SA F zn SA M yn = F zsa(ξ,)dξ M ysa(ξ,)dξ F zsa(,η)sin( πη )dη M xsa(,η)sin( πη )dη F zsa(ξ,)cos(πξ)dξ M ysa(ξ,)cos(πξ)dξ F zsa(,η)sin( (N )πη )dη M xsa(,η)sin( (N )πη )dη F zsa(ξ,)cos(nπξ)dξ M ysa(ξ,)cos(nπξ)dξ rt r s r ss s t t t SA F z0 SA M y0 SA F z SA M x SA F z SA M y SA F zn SA M xn SA F zn SA M yn [SA G 0 ]dξ [SA G M ]dξ [SA G 0 ]sin( πη )dη [SA G M ]sin( πη )dη = [SA G 0 ]cos(πξ)dξ [SA G M ]cos(πξ)dξ [SA G 0 ]sin((n )πη)dη [SA G M ]sin((n )πη)dη [SA G 0 ]cos(nπξ)dξ [SA G M ]cos(nπη)dξ s r ss s t s é r t SA W 0 SA β y0 SA W SA β x SA W SA β y SA W N SA β xn SA W N SA β yn = [H SA ] C 0 D 0 A B C D A N B N C N D N

59 P P P SA F z0 SA M y0 SA F z SA M x SA F z SA M y SA F zn SA M xn SA F zn SA M yn = [G SA ] C 0 D 0 A B C D A N B N C N D N tr r r q r tr t s étr q t s étr q té K SA st K SA (ω) = G SA (ω)h SA (ω)

60 P P P s t s étr q s étr q rès s éq t s t é r t W AS (,η) β xas (,η) W AS (ξ,) β yas (ξ,) = ( [H0AS(η) ] [H NAS(η) ] [H 0AS(ξ) ] [H NAS(ξ) ] ) A 0 B 0 A B C D A N B N C N D N ê r s éq t s t s rts s é r t F zas (,η) M xas (,η) F zas (ξ,) M yas (ξ,) = ( [G0AS(η) ] [G NAS(η) ] [G 0AS(ξ) ] [G NAS(ξ) ] ) A 0 B 0 A B C D A N B N C N D N t t rs W AS (,η) W AS (ξ,) β xas (,η) β yas (ξ,) cos(nπη) sin( (n )πξ ) cos(nπη) sin( (n )πξ F zas (,η) F zas (ξ,) M xas (,η) M yas (ξ,) cos(nπη) sin( (n )πξ ) cos(nπη) sin( (n )πξ t s s r tr t t s étr q s étr q s r t s s r s s s s t t s r é t sér r r r s ér s t é r t W AS (,η) AS β xas (,η) W 0 + N n= AS W ncos(nπη) W AS (ξ,) = AS β x0 + N n= AS β xncos(nπη) N n= AS W nsin( (n )πξ ) β yas (ξ,) N n= AS β ynsin( (n )πξ )

61 P P P AS W 0 AS β x0 AS W AS β x AS W AS β y AS W N AS β xn AS W N AS β N = W AS(ξ,)dη β xas(ξ,)dη W xas(,η)cos(πη)dη β xas(,η)cos(πη)dη W AS(ξ,)sin( πξ )dξ β yas(ξ,)sin( πξ )dξ W AS(,η)sin( (N )πη )dη β xas(,η)sin( (N )πη )dη W AS(ξ,)sin( (N )πξ )dξ β yas(ξ,)sin( (N )πξ )dξ rt r s r ss s t t t AS W 0 AS β x0 AS W AS β x AS W AS β y AS W N AS β xn AS W N AS β yn = [AS H 0 ]dη [AS H M ]dη [AS H 0 ]cos(πη)dη [AS H M ]cos(πη)dη [AS H 0 ]sin( πξ )dξ [AS H M ]sin( πξ )dξ [AS H 0 ]cos(nπη)dη [AS H M ]cos(nπη)dη [AS H 0 ]sin( (N )πξ )dξ [AS H M ]sin( (N )πξ )dξ ê r s rts F zas (,η) M xas (,η) F zas (ξ,) M yas (ξ,) = AS F z0 + N n= AS F zncos(nπη) AS M x0 + N n= AS M xncos(nπη) N n= AS F z0sin( (n )πξ ) N n= AS M ynsin( (n )πξ )

62 P P P AS F z0 AS M x0 AS F z AS M x AS F z AS M y AS F zn AS M xn AS F zn AS M yn = F zas(,η)dη M yas(,η)dη F zas(,η)cos(πη)dη M xas(,η)cos(πη)dη F zas(ξ,)sin( πξ )dξ M yas(ξ,)sin( πξ )dξ F zas(,η)cos(nπη)dη M xas(,η)cos(nπη)dη F zas(ξ,)sin( (N )πξ )dξ M yas(ξ,)sin( (N )πξ )dξ rt r s r ss s t t t AS F z0 AS M x0 AS F z AS M x AS F z AS M y AS F zn AS M xn AS F zn AS M yn = [AS G 0 ]dη [AS G M ]dη [AS G 0 ]cos(πη)dη [AS G M ]cos(πη)dη [AS G 0 ]sin( πξ )dξ [AS G M ]sin( πξ )dξ [AS G 0 ]cos(nπη)dη [AS G 0 ]sin((n )πξ)dξ s r ss s t s é r t [AS G M ]cos(nπη)dη [AS G M ]sin((n )πξ)dξ AS W 0 AS β x0 AS W AS β x AS W AS β y AS W N AS β xn AS W N AS β yn = [H AS ] A 0 B 0 A B C D A N B N C N D N

63 P P P AS F z0 AS M x0 AS F z AS M x AS F z AS M y AS F zn AS M xn AS F zn AS M yn = [G AS ] A 0 B 0 A B C D A N B N C N D N tr r r q r tr t t s étr q s étr q té K AS st K AS (ω) = G AS (ω)h AS (ω) tr r r q rt r s tr s r rs q s q tr t tr r r q st é r [K SS ] [0] [0] [0] [K AA ] [0] [0] [0] [K SA ] [0] [0] [0] [K AS ]. U SS U AA U SA U AS = F SS F AA F SA F AS s s s W(ξ,η) β x (ξ,η) β y (ξ,η) F z (ξ,η) M x (ξ,η) tm y (ξ,η) t s r s r s t s tr t s s t r és s r s q tr r s q s t rs é t s t é s s r s q tr r s s t U 0 = W S0 β xs0 W S0 β ys0 3 W S0 3 β xs0 4 W S0 4 β ys0

64 P P P s s é ér U k = W S0 β xs0 W S0 β ys0 W S0 β xs0 W S0 β ys0 3 W S0 3 β xs0 3 W S0 3 β ys0 4 W S0 4 β xs0 4 W S0 4 β ys0 ê r s r s F 0 = F zxs0 M xs0 F zys0 M ys0 3 F zxs0 3 M xs0 4 F zy0 4 M ys0 s s é ér F k = F zxs0 M xs0 F zys0 M ys0 F zxs0 M xs0 F zys0 M ys0 3 F zxs0 3 M xs0 3 F zys0 3 M ys0 4 F zxs0 4 M xs0 4 F zys0 4 M ys0

65 P P P s r s t rés t t s r s q st q é s r η Coté Coté Coté 3 O ξ Coté 4 r ôt s q s rts tér rs s tés t s t sés rts t r s t r t t s r s à s r s rès é s t r é t W SS s é r t s t W SS (ξ,η) = 4 [W(ξ,η)+W( ξ, η)+w( ξ,η)+w(ξ, η)] ê r s tr s é ts W AA (ξ,η) = 4 [W(ξ,η)+W( ξ, η) W( ξ,η) W(ξ, η)] W SA (ξ,η) = 4 [W(ξ,η) W( ξ, η)+w( ξ,η) W(ξ, η)] W AS (ξ,η) = 4 [W(ξ,η) W( ξ, η) ( ξ,η)+w(ξ, η)]

66 P P P s é t W SS té st é r W SS (,η) = [W(,η)+W(, η)+w(,η)+w(, η)] 4 = 4 [ W S0 + N k= W Sk cos(kπη)+ N k= W Ak sin( (k )πη )] + 4 [3 W S0 + N k= 3 W Sk cos(kπη) N k= 3 W Ak sin( (k )πη )] + 4 [3 W S0 + N k= 3 W Sk cos(kπη)+ N k= 3 W Ak sin( (k )πη )] + 4 [ W S0 + N k= W Sk cos(kπη) N k= W Ak sin( (k )πη )] = [ W S0 + 3 W S0 + N k= ( W Sk + 3 W Sk +cos(kπη)] P r t t t é r r SSW 0 = ( W S0 + 3 W S0 ) t SSW k = ( W Sk + 3 W Sk ) r t q r s s t s U JJ J ét t S A t s s t s U k s é r t U SS U AA U SA U AS = U SS 0 U SS U SS N U AA U AA N U SA 0 U SA U SA N U AS 0 U AS U AS N [T SS0 ] [0] [0] [T SS ] [0] [0] [T SSN ] [T AA ] [0] = [0] [T AAN ] [T SA0 ] [0] [0] [T SA ] [0] [0] [T SAN ] [T AS0 ] [0] [0] [T AS ] [0] [0] [T ASN ]. U 0 U U N = [T]. s r ss s t r tt t ét r r r t q r F JJ t F k P r r ré t T x (,η) s t é s r té T x (,η) = T xss (,η)+t xaa (,η)+t xsa (,η)+t xas (,η) = SS T x0 + N n= SS T xncos(nπη) + N n= AA T xnsin( (n )πη ) + N n= SA T xnsin( (n )πη ) + AS T x0 + N n= AS T xncos(nπη) = SS T x0 + AS T x0 + N n= ( SS T xn + AS T xn)cos(nπη) + N n= ( AA T xn + AS T xn)sin( (n )πη ) U 0 U U N

67 P P P P r t t T x0 = SST x0 + AST x0 s r tr t t F 0 F F N [T SS0 ] [0] [0] [T SS ] [0] [0] [T SSN ] [T AA ] [0] [0] [T AAN ] = [T SA0 ] [0] [0] [T SA ] [0] [0] [T SAN ] [T AS0 ] [0] [0] [T AS ] [0] [0] [T ASN ] T xsn = SST xn + AST xn T xan = AAT xn + SAT xn T F SS 0 F SS F SS N F AA F AA N F SA 0 F SA F SA N F AS 0 F AS F AS N = [T] T F SS 0 F SS F SS N F AA F AA N F SA 0 F SA F SA N F AS 0 F AS F AS N = [T] T s r t s t r tt t ét r r tr r r q q r s t rs U k t F k [K(ω)] = [T]T [K SS ] [0] [0] [0] [K AA ] [0] [0] [0] [K SA ] [0] [0] [0] [K AS ] tr s st é s [T] F SS F AA F SA F AS t ér q è Pr r étés tér s t é étr q s s r r ét s é é ts t s s r é é r q t r t s rés t ts t s r tt r t s r ét s é é ts s s t à t s t s ré s r q st é r q rt tr r s t s t s r s r ér ts t s r t t s t rés t s r r étés tér t sé s

68 Pr r étés tér s t é étr q s q rt tr s t E x = 8. P s t E y = 50.9 P s t G xy = P t ss ν xy = 0.5 ss q ρ = 56 3 r q L = r r q l = 0.5 é ss r h = 0.00 r t s étr q s étr q r t s étr q s étr q t sé st st t é r ré rt s r s é s r ξ = t ξ = r r r r t s t 3 r tr t s étr q s étr q é t sér r r tt r st é r r ss F 0 N F 0 F(η) = F 0 + n= F n cos(nπη) ré s r q t (,0) st F N = 0 W(,0) = SSW 0 + N SSW n n= r rés t s rés t ts t s r r ér ts r t r s n = 4 t n = s q s rés t ts t s r r réq s q r tr 3

69 P P P 50 EF 00x00 EC n4 EC n 0 0Log 0 U z Fréqunce(Hz) r é s r q r r t s étr q s étr q r st st té r s rés t ts t s r r n = t s r r r t t s étr q t s étr q rès t s s ù é t W st t s étr q t s étr q rt tr t s t x T x st s étr q t s étr q s rts t r s s t é s s r ss F ext (,η) = T x (,η) = T x (,η) = F ext (,η) t rt st rés té r r ss s t { Fext (,η) =, η > 0 F ext (,η) =, η < 0 r ss s rés t r t t s étr q t s étr q t sé

70 r r t t s étr q t s étr q s r t s s rts s t é s r é t sér r r s s r F(η) = N n= F n sin( (n )πη ) F F F N ré s t t A(,) s r r W(,) = N AAW n sin( (n )πη )+ n= = 4 π 4 3π 4 (n )π N AAW n sin( (n )πη ré s t t st rés té r r n= )

71 P P P 0-0 EC n EC n4 EF 00x Log 0 U z Fréquence(Hz) r é s r q r r t t s étr q t s étr q P r r t t s étr q t s étr q st t t r tr s rés t ts t s r ét s é é ts s r t s r ét s é é ts t s r n = r t s étr q t s étr q rès t rt t r T x st s s t s étr q t s étr q rs rt t r s é r t F ext (,η) = T x (,η) = T x (,η) = F ext (,η) t rt st rés té r é r ss s t { Fext (,η) =, η > 0 F ext (,η) =, η < 0 r ss s r rés t r t s étr q t s étr q t sé

72 r r t s étr q t s étr q s r t s s rts s t é s r é t sér r r F(η) = N n= F n sin( (n )πη ) ré s t t B(, ) st F F F N = 4 π 4 3π W(, N ) = SAW n sin( (n )πη 4 n= 4 (n )π ré s t t st r rés té s r r )

73 P P P 0-0 EC n EC n3 EF 00x Log 0 U z Fréquence(Hz) r é s r q r r t s étr q t s étr q r t t s étr q s étr q rt t r st é r r ss F ext (,η) = T x (,η) = T x (,η) = F ext (,η) st r é r F ext (,η) = r ss s rés t r t t s étr q s étr q t sé

74 r r t t s étr q s étr q s r t s s rts s t é s r F(η) = F 0 + N F n cos(nπη) n= F 0 F F N = 0 0 ré s t t A(,) st W(,) = ASW 0 + N n= ASW n ré s t t st r rés té s r r

75 P P P 0-0 EC n EC n3 EF 00x Log 0 U z Fréquence(Hz) r é s r q r r t t s étr q s étr q r t ré rt tér rés t r t q r t s t r s rs tr t s s t é t é t s r t ré rt s r s ôté r F ext = F(,η) = r t ré rt r ξ = st r rés té r r

76 r r t ré rt tér r t tt r M M F(,η) = F 0 + Fmcosmπη S + Fmsin(m ) A π η m= m= F 0 = t F S m = F A m = 0 ré s r q t st é r W(,) = SS W 0 + AS W ( SS W m + AS W m AA W m SA W m ) ( ) m m= ré s r q t t st r rés té s r r

77 P P P 0-0 EC N9 EF 50x5 EF 75x35 EF 00x Log 0 Uz Fréquence(Hz) r é s r q r r ré rt t r tr s rés t ts t s r t s r r réq s q r tr 3 à réq 3 r tr s ét s à êtr s r é r s t rés t ét réq q r tr 3

78 EC N9 EF 50x5 EF 75x35 EF 00x Log 0 Uz Fréquence (Hz) r é s r q r r ré rt r ré q t ré s r è é é ts s 60 3 t r tr r t r tr r t st s r é q r t rt r é é t t s é t r P r rs tt r t é é ss té r rsq réq t s r s t s t t s r r t r s n = 5 r r rés t r è rsq r t r s sér é t

79 P P P 0 EC N5 EC N4 EC N -50 0Log 0 Uz Fréquence (Hz) r r r t r s sér r t t r t t r t s t r t t té s tr t s r t sé t r é s st t sé r r

80 r r t t r t tt r st é r éq t F 0 = Fm S = ( )n Fm A = ( )n ré s r q t r r t st r rés té s r réq 3

81 P P P 0 0 EC N9 EF 00x50 EF 75x35 EF 50x Log 0 Uz Fréquence (Hz) r é s r q r r t t r tr s rés t ts t s r s ét s st s r é é ss té s s t r è st é t s é é s r q rt t s s r s ré s r q rés té s sq à rés t t été t s s s tr r rt ss t s s r tér st q s tér s ré s s rt s s t très t s r t r s r s s ré s s tr t r rés t rt ss t str t r r r t t r réq ét à 3 3 tér t été t sés r rt δ = E R EI ér t E R rés t rt ré t E I rés t rt r s s tér

82 Im/Re=0.05 Im/Re=0.0 Im/Re=0-80 0Log 0 Uz Fréquence (Hz) r é s r q rt s s tr rés t é t é é t t r q r t tr r t st str r s tr s r r q t s t é s t r t s sér s r q s s s t s t s r s q s t s r t t été rés tés t és r s rés t ts t s t s t é s t é é ts s tr s è tr tt t ès q r r é t q rt tr s s t r

83 P P P

84 é t t q rt tr s s t r tr t rés t tr s tér ss é t é é t t q rt tr s s t r r t sé st t s rés té tr ré é t r t é à été s r s ès r s rt ts s tr s s r t s s tér ss s r r à rés t r é étr t t é r s q s rt tr s r t s r q é èr ss q s ts r s s t s s r é r s r t é é t r s t é é s s t r s tr r t è r r s s rés t ts t s r ér ts t s r t ss s é s t s é é ts s s s t r st é r r é r str t tr r té q q rt tr r r rés t t rt t r t r s s r st s s s ts rs s éq t s t r s t s t s t r s s t rés s à rt r é t sér s t é s t r s t s t s s s s s r s r t èr s q s t q t à é r ts r s é ts sér r r r t s s s q s rt tr s é t é étr s èr q rt tr s s t é ss r h t Ox Oy s s s étr q q r tt t r ér r t t r s s r é s rtés s x t y s é t s t t t M st t q à s r t P s r t t u t v s é ts s x t y r s t t r r

85 P r P q rt tr é t rt tr tér tér st t t q st rt tr st t t ès q s s r rt tr s t s s s s étr q tt t ès t à é s ts t r s s r r étés é st q s t r t s s éq t s t s s t té s à t s r t x té E x tr s rs s r t y té E y s (x,y) té G xy s ts P ss s (x,y) tés ν xy t ν yx t ss q té ρ t s tr t s é r t s r t tr s s t s s t s rs tr t s t t t s é r t s st r é r σ x = D x ǫ x +D ǫ y σ y = D ǫ x +D y ǫ y σ xy = D xy ǫ xy σ x σ y t σ xy s t s s t s t s r tr t s ǫ x ǫ y ǫ xy s t s s t s t s r é r t s s t ê é s r ǫ x = u x ǫ y = v y ( ǫ xy = u + v x y ) D x D y t D xy s t t s q s st t s é st q s tér s

86 P P P q t tés s t é s r D x = Ex ν xyν yx D = νxyey ν xyν yx = νyxex ν xyν yx D y = Ey ν xyν yx D xy = G xy rts t r s t t t P(x,y) t s t é s s rts t r s t s r té r t s r é ss r s tr t s s rts s t s s ts N x = h/ σ x dz, N y = h/ σ y dz, N xy = h/ h/ h/ h/ σ xy dz rt r s éq t s t s r t s rts é t t u N x = h (D x x +D v y ) u N y = h (D x +D v y y ) u N xy = h (D xy y +D v xy x ) q t s t r t r t t r s éq t s éq r q s q { Nx + Nxy x = ρh u y t N xy + Ny = v x y ρh t s éq t s t r tt t s t t r s éq t s t { u Dx +D v x +D x y xy u +D v y xy = u x y ρ t D v y +D u x +D x y xy v +D u y xy = v x y ρ t

87 P r è ré s r q q s tér ss t é t r é t à r s t { u(x,y,t) = U(x,y)e jωt v(x,y,t) = V(x,y)e jωt U(x,y) t V(x,y) rés t t s t s s é t r q sstè éq t s st rs réé r t r é t sstè éq t s { U Dx +D V x +D x y xy U +D V y xy = x y ρω U D V y +D U x +D x y xy V +D U y xy = x y ρω V s t sstè éq t s ér é s rt s é s t s t r s s s U t V s ér t s s ss s sstè r tt t é s é s éq t s s t s t s r s s é t t t s s éq t s t s t s { 4 U A +A 4 U U x 4 +A 4 y 4 3 +A U x y 4 +A U x 5 +A y 6 U = 0 B 4 V +B 4 V x 4 +B 4 V y 4 3 +B V x y 4 +B V x 5 +B y 6 V = 0 s st t s A i t B i s t é s ss s r i = {..6} A = Ex ν xyν yx A = Ey ν xyν yx A 3 = G xy + ExEy ( ν xyν yx) (Gxy( νxyνyx)+νxyey) ( ν xyν yx) G xy E xρω A 4 = ( ( ν xyν yx)g xy ρω ) E yρω A 5 = ( ( ν xyν yx)g xy ρω ) A 6 = ρ ω 4 G xy B = G xy B = G xy E y E x B 3 = Ey ν xyν yx + G xy ( νxyνyx) E x ( B 4 = ( Gxyρω ( ν xyν yx) E L ρω ) νxyey νxyνyx +Gxy) ( ν xyν yx) E x B 5 = ( Eyρω E x Gxyρω ( ν xyν yx) E x ) B 6 = ρ ω 4 ( ν xyν yx) E x

88 tr r r q q r t tr s s t r é s t s t r è s é s q tr s s r è s ê ç q r s s ér t s tr t s tt é s t s t s étr q s étr q SS t s étr q t s étr q AA s étr q t s étr q SA t t s étr q s étr q AS s t s t s r t r q tr t s t é t st rs é r t r U(ξ,η) = U SS (ξ,η)+u AA (ξ,η)+u SA (ξ,η)+u AS (ξ,η) ξ t η r rés t t s r é s s é s s r èr q s s t é s r ξ = x, η = y r r S A q s é t st s étr q t s étr q r r rt à ξ è r r été s étr s η sstè é r t ss ét r r s r r étés r s t s s étr s s s U tv s èr s s rè s s t s U st s étr q r r rt à ξ rs V st t s étr q r r rt à t t rs t r s r ss s q s r t s à s s r r étés s étr U s é t s é r t ê ç V(ξ,η) = V SS (ξ,η)+v AA (ξ,η)+v SA (ξ,η)+v AS (ξ,η) s s s s t r t s r r étés s étr U V AA st rs tr t s étr q s étr q V sq r tt tr t U st s étr q s étr q ss t s rts t r s s éq t s t r tt t ét r s r t s tr s rts t r s t s é ts s rts s t é sés ê ç q s s é t é r t N x (ξ,η) = N xss (ξ,η)+n xaa (ξ,η)+n xsa (ξ,η)+n xas (ξ,η) N y (ξ,η) = N yss (ξ,η)+n yaa (ξ,η)+n ysa (ξ,η)+n yas (ξ,η) N xy (ξ,η) = N xyss (ξ,η)+n xyaa (ξ,η)+n xysa (ξ,η)+n xyas (ξ,η) t s tr t s r rés t t t rs r r été s étr U t s t ré t s r r étés s étr r s tr t s st t r s s r t s rts é t

89 P U V N x N y N xy Pr r étés s étr r q tr t t s é t tr t s étr q s étr q P r q tr t s é ts U t V ér t éq t q ré r q s s s étr q s étr q s t é t s r à s sér s é r s é ts r t s r s é ts U SS t V SS s t U SS (ξ,η) = SS U n(ξ)cos 4n 3 πη + 4 SS U n(η)cos 4n 3 πξ 4 n= n= V SS (ξ,η) = SS V n(ξ)sin 4n 3 πη + 4 SS V n(η)sin 4n 3 πξ 4 n= n= t r 4n 3 st é à r r ér t s t s q r t 4 t r s rts s t s t s r s t t r s r t s rts s r s r t èr s q s t s SS U n(ξ) t SS U n(η) s t s t s r s t s t s SS V n(ξ) t SS V n(η) s t s t s r s té r t éq t s sstè é é t t sstè ér t s t s t r s t s SS U n(ξ) SS U n(η) SS V n(ξ) t SS V n(η) ( ) ( ) φ 4d4 SS Un + φ k dξ 4 n A 3 A +φ A 4 d SS U n A + k 4 dξ n A A kn A 5 A + 4A 6 A SS U n = 0 ( ) ( ) d 4 SS Un + φ k dη 4 n A 3 A + A 5 d SS U n A + k 4 dη nφ 4A A 4 kn φ A 4 A + 4A 6 A SS U n = 0 ( ) ( ) φ 4d4 SS Vn + φ k dξ 4 n B 3 B +φ B 4 d SS V n B + k 4 dξ n B B kn B 5 B + 4B 6 B SS V n = 0 d 4 SS Vn dη 4 + ( φ k n B 3 B + B 5 B ) d SS V n dη + φ = t k n = k n = (4n 3)π 4 ( k 4 nφ 4B B 4 k n φ B 4 B + 4B 6 s s t s s éq t s ér t s s t rs ( SS U n(ξ) = e n ( SS U n(η) = e n ( SS V n(η) = g n e β nη e β nη ( ) e β nξ +e β nξ )+ f n e γ nξ +e γ nξ ( ) e β nη +e β nη )+ f n e γ nη +e γ nη ( )+ h n e γ nη e γ nη ) B SS V n = 0 ) ( ( SS V n(η) = g n e γ nη e γ nη )+ h n e κ nη

90 β n β n γ n t γ n s t s r s s t s r ss s s t é s ss s β n = k n (B + A A B + A 3 B ) (A ρω ) B ρω φ + /φ 4 β n = k n (B + A A B + A 3 B ) (A ρω ) B ρω φ /φ 4 γ n = k n (B + A A B + A 3 B ) (A ρω ) B ρω φ + / γ n = k n (B + A A B + A 3 B ) (A ρω ) B ρω φ / c = A φ 4 d = φ k na 3 +φ A 4 e = k 4 na k 4 na 5 +A 6 4 = d 4ce o = A p = φ k na 3 +φ A 5 q = k 4 na k 4 na 4 +A 6 4 = o 4pq t s t s r ss s s sstè é t t s r t s tr s st t s té r t i e n i f n i g n t i h n r i P r s SS q s tér ss t t e n L n = g n φ β n f n L n = h n k n e n L 3n = g n φk n f n L 4n = h n γ n s st t s L in s t é s sstè t ( ( ) SS U n(ξ) = A n β n φ e β nξ +e β nξ )+B n k n e γ nξ +e γ nξ ( ( ) SS U n(η) = C n k n φ e β nη +e β nη )+D n γ n e γ nη +e γ nη ( ( ) SS V n(ξ) = A n L n e β nξ e β nξ ) B n L n e γ nξ e γ nξ ( ( ) SS V n(η) = C n L 3n e β nη e β nη )+D n L 4n e γ nη e γ nη tr t t s étr q t s étr q s t r tr t t s étr q t s étr q st é r t s s

91 P r é t s t U AA (ξ,η) = AA U n(ξ)sin 4n 3 πη + 4 AA U n(η)sin 4n 3 πξ 4 n= n= V AA (ξ,η) = AA V n(ξ)cos 4n 3 πη + 4 AA V n(η)cos 4n 3 πξ 4 n= n= P r s s t s AA U n(ξ) t AA U n(η) s t s t s r s t s t s AA V n(ξ) t AA V n(η) s t r s té r t éq t s sstè é é t t sstè ér t s t s t r s t s AA U n(ξ) AA U n(η) AA V n(ξ) t AA V n(η) ( ) ( ) φ 4d4 AA Un + φ k dξ 4 n A 3 A +φ A 4 d AA U n A + k 4 dξ n A A kn A 5 A + 4A 6 A AA U n = 0 ( ) ( ) d 4 AA Un + φ k dη 4 n A 3 A + A 5 d AA U n A + k 4 dη nφ 4A A 4 kn φ A 4 A + 4A 6 A AA U n = 0 ( ) ( ) φ 4d4 AA Vn + φ k dξ 4 n B 3 B +φ B 4 d AA V n B + k 4 dξ n B B kn B 5 B + 4B 6 B AA V n = 0 d 4 AA Vn dη 4 + ( φ k n B 3 B + B 5 B ) d AA V n dη + s s t s s éq t s s é r t ( AA U n(ξ) = e n ( AA U n(η) = e n ( AA V n(ξ) = g n ( AA V n(η) = g n e β nη +e β nη ( k 4 nφ 4B B 4 k n φ B 4 B + 4B 6 ( ) e β nξ e β nξ )+ f n e γ nξ e γ nξ ( ) e β nη e β nη )+ f n e γ nη e γ nη ( ) e β nξ +e β nξ )+ h n e γ nξ +e γ nξ ( ) )+ h n e γ nη +e γ nη ) B AA V n = 0 s r s s β n β n γ n t γ n s t t q s à s s étr q s étr q t s t s r ss s s sstè é t t s r t s tr s st t s té r t i e n i f n i g n t i h n r i e n L n = g n φ β n f n L n = h n k n e n L 3n = g n φk n f n L 4n = h n γ n s st t s L in s t é s sstè t rs ( ( ) AA U n(ξ) = A n β n φ e β nξ e β nξ )+B n k n e γ nξ e γ nξ ( ( ) AA U n(η) = C n n φ e β nη e β nη ) D n γ n e γ nη e γ nη ( ( ) AA V n(ξ) = A n L n e β nξ +e β nξ )+B n L n e γ nξ +e γ nξ ( ( ) AA V n(η) = C n L 3n e β nη +e β nη )+D n L 4n e γ nη +e γ nη

92 tr t s étr q t s étr q P r tr t s étr q t s étr q é t s st U SA (ξ,η) = SA U n(ξ)sin 4n 3 πη + 4 SA U n(η)cos 4n 3 πξ 4 n= n= V SA (ξ,η) = SA V n(ξ)sin 4n 3 πη + 4 SA V n(η)cos 4n 3 πξ 4 n= n= P r s s t s SA U n(ξ) t SA V n(η) s t s t s r s t s t s SA V n(ξ) t SA U n(η) s t r s té r t éq t s sstè sstè ér t s t s t r s t s s é r t φ 4d4 SA Un + dξ 4 ( d 4 SA Un + dη 4 φ 4d4 SA Vn + dξ 4 d 4 SA Vn + dη 4 ( φ k n A 3 A +φ A 4 φ kn A 3 ( φ kn B 3 B +φ B 4 ) d SA U n A + dξ ) A + A 5 d SA U n A + dη ( φ k n B 3 B + B 5 B ) d SA V n dη + s s t s sstè s é r t ( ) d SA V n B + dξ ( k 4 n A A k n A 5 A + 4A 6 k 4 nφ 4A ( ( SA U n(ξ) = e n e β nξ +e β nξ )+ f n ( ( SA U n(η) = e n )+ f n ( SA V n(ξ) = g n ( SA V n(η) = g n e β nη +e β nη ) A ) A + 4A 6 A ) B ) B A 4 kn φ A 4 ( kn 4 B B kn B 5 B + 4B 6 ( k 4 nφ 4B B 4 k n φ B 4 B + 4B 6 ) e γ nξ +e γ nξ ) e β nη e β nη e γ nη e γ nη ( ) e β nξ e β nξ )+ h n e γ nξ e γ nξ ( ) )+ h n e γ nη +e γ nη SA U n = 0 SA U n = 0 SA V n = 0 SA V n = 0 s r s s β n β n γ n t γ n r st t s ê s q r s ré é t s tr t s s s rés t SA s r t s tr s st t s té r t s s t é s r e n L n = g n φ β n f n L n = h n k n e n L 3n = g n φk n f n L 4n = h n γ n s st t s L in s t é s

93 P sstè s é r t rs ( ( ) SA U n(ξ) = A n φ β n e β nξ +e β nξ )+B n k n e γ nξ +e γ nξ ( ( ) SA U n(η) = C n k n φ e β nη e β nη )+D n γ n e γ nη e γ nη ( ( ) SA V n(ξ) = A n L n e β nξ e β nξ )+B n L n e γ nξ e γ nξ ( ( ) SA V n(η) = C n L 3n e β nη +e β nη )+D n L 4n e γ nη +e γ nη tr t t s étr q s étr q s t r tt tr t st é r é t U AS (ξ,η) = AS U n(ξ)cos 4n 3 πη + 4 AS U n(η)sin 4n 3 πξ 4 n= n= V AS (ξ,η) = AS V n(ξ)cos 4n 3 πη + 4 AS V n(η)sin 4n 3 πξ 4 n= n= s t s AS U n(ξ) t AS V n(η) s t s t s r s t s t s AS V n(ξ) t AS U n(η) s t r s sstè ér t s t s t r s t s st é r φ 4d4 AS Un + dξ 4 ( d 4 AS Un + dη 4 φ 4d4 AS Vn + dξ 4 d 4 AS Vn + dη 4 ( φ k n A 3 A +φ A 4 φ kn A 3 ( φ kn B 3 B +φ B 4 ) d AS U n A + dξ ) A + A 5 d AS U n A + dη ( φ k n B 3 B + B 5 B ) d AS V n dη + s s t s sstè s é r t ( AS U n(ξ) = e n ( AS U n(η) = e n ( ) d AS V n B + dξ ( AS V n(ξ) = g n e β nξ +e β nξ ( AS V n(η) = g n e β nη e β nη ( k 4 n A A k n A 5 A + 4A 6 k 4 nφ 4A ) A ) A + 4A 6 A ) B ) B A 4 kn φ A 4 ( kn 4 B B kn B 5 B + 4B 6 ( k 4 nφ 4B B 4 k n φ B 4 B + 4B 6 ( ) e β nξ e β nξ )+ f n e γ nξ e γ nξ ( ) e β nη +e β nη )+ f n e γ nη +e γ nη ( ) )+ h n e γ nξ +e γ nξ ( ) )+ h n e γ nη e γ nη AS U n = 0 AS U n = 0 AS V n = 0 AS V n = 0 s r s β n β n γ n t γ n r st t s ê s q r s tr t s ré é t s s r t s tr s st t s té r t s s t e n L n = g n φ β n f n L n = h n k n e n L 3n = g n φk n f n L 4n = h n γ n

94 s st t s L in s t é s t t t ( ( ) AS U n(ξ) = A n β n φ e β nξ e β nξ ) B n k n e γ nξ e γ nξ ( ( ) AS U n(η) = C n k n φ e β nη +e β nη ) D n γ n e γ nη +e γ nη ( ) e β nξ +e β nξ )+B n L n e γ nξ +e γ nξ ( AS V n(ξ) = A n L n ( AS V n(η) = C n L 3n e β nη e β nη )+D n L 4n ( e γ nη e γ nη ) k P r s q tr tr t s rés té s s st t s té r t A n B n C n t D n s r t ét r é s à rt r s t s t s t r s q é s s r r t èr q Pr é é str t tr r r ét rés té r t str r tr r r q r s q tr tr t s s t tr s ét s r èr ét s st à tr r s r ss s s éq t s t s s éq t s t r t r s s s rts t r s N x N y t N xy t s st t s té r t A n B n C n t D n è ét s st à r t r é ts t s rts t r s r ss t s r s r t èr s q s r s t s r r à s r s r èr ét r t é r s st t s A n B n C n t D n r t r r tr q r s r t s s r s ré é t s rts t r s t s é ts s s t s s r s tér r s t s é ts s t r tés s r s t s s t s s t é s r q r q t r q tr t P r r tr t s étr q s étr q t s r r ξ = st cosmπη r m {,..,N} t rés t s t s s t sé s r q tr t t r q r

95 P U(,η) cos(mπη) sin( (m )πη ) sin( (m )πη ) cos(mπη) V(,η) sin( (m )πη ) cos(mπη) cos(mπη) sin( (m )πη ) ) U(ξ,) cos(mπξ) sin( (m )πξ ) cos(mπξ) sin( (m )πξ V(ξ,) sin( (m )πξ ) cos(mπξ) sin( (m )πξ ) cos(mπξ) t s s r s é ts ê ç s rts tér rs q s t t rts t r s s r s r é s r ξ = t η = s t r té s s r s s s t s N x (,η) cos(mπη) sin( (m )πη ) cos(mπη) sin( (m )πη N xy (,η) sin( (m )πη ) cos(mπη) sin( (m )πη ) cos(mπη) N xy (ξ,) cos(mπξ) sin( (m )πξ ) sin( (m )πη ) cos(mπη) N y (ξ,) sin( (m )πξ ) cos(mπξ) cos(mπξ) sin( (m )πξ t s s r s rts ) ) s s s r s t t s r r étés s étr q r s tr t s tr s r r s q tr tr t s tr t s étr q s étr q rts t é ts é s s r s r t èr s s t é és s r s s s q é s ré é t s U SS (,η) V SS (,η) U SS (ξ,) V SS (ξ,) = SS U 0 + N SS U ncos(nπη) n= N SS V nsin( (n )πη) n= SS U 0 + N SS U ncos(nπξ) n= N SS V nsin( (n )πξ) n=

96 SS U 0 SS U 0 SS U SS V SS U SS V SS U N SS V N SS U N SS V N SS V N SS V N U SS(,η)dη U SS(,ξ)dξ U SS(,η)cos(πη)dη V SS(,η)sin( πη )dη U SS(ξ,)cos(πξ)dξ V SS(ξ,)sin( πξ )dξ = U SS(,η)cos((N )πη)dη V SS(,η)sin( (N 3)πη )dη U SS(ξ,)cos((N )πξ)dξ V SS(ξ,)sin( (N 3)πξ )dξ V SS(,η)sin( (N )πη )dη V SS(ξ,)sin( (N )πξ )dξ t r s t s é ts r s st t s té r t s t t SS U 0 SS U 0 SS U SS V SS U SS V SS U N SS V N SS U N SS V N SS V N SS V N [SS H ]dη [SS H M ]dη [SS H ](,ξ)dξ [SS H M ]dξ [SS H ]cos(πη)dη [SS H M ]cos(πη)dη [SS H ]sin( πη )dη [SS H M ]sin( πη dη [SS H ]cos(πξ)dξ [SS H M ]cos(πξ)dξ [SS H ]sin( πξ )dξ [SS H M ]sin( πξ )dξ = [SS H ]cos((n )πη)dη [SS H M ]cos((n )πη)dη [SS H ]sin( (N 3)πη )dη [SS H M ]sin((n )πη)dη [SS H ]cos((n )πξ)dξ [SS H M cos((n )πξ)dξ] [SS H ]sin( (N 3)πξ )dξ [SS H M sin( (N 3)πξ )dξ [SS H ]sin( (N )πη )dη [SS H M ]sin( (N )πη ) [SS H ]sin( (N )πξ )dξ [SS H M sin( (N )πξ )dξ ê r s r s N xss (,η) N xyss (,η) N xyss (ξ,) N yss (ξ,) = SS N x0 + N SS N xncos(nπη) n= N SS N xynsin( (n )πη) n= SS N xyn0 + N SS N xyncos(nπξ) n= N SS N ynsin( (n )πξ) n= A B C D A N B N C N D N

97 P SS N x0 SS N xy0 SS N x SS N xy SS N xy SS N y SS N xn SS N xyn SS N xyn SS N yn SS N xyn SS N yn = N xss(,η)dη N xyss(,ξ)dξ N xss(,η)cos(πη)dη N xyss(,η)sin( πη )dη N xyss(ξ,)cos(πξ)dξ N yss(ξ,)sin( πξ )dξ N xss(,η)cos((n )πη)dη N xyss(,η)sin( ( N 3)πη )dη N xyss(ξ,)cos((n )πξ)dξ N yss(ξ,)sin( ( N 3)πξ )dξ N xyss(,η)sin( ( N )πη )dη N yss(ξ,)sin( ( N )πξ )dξ s r t r s t t t SS N x0 SS N xy0 SS N x SS N xy SS N xy SS N y SS N xn SS N xyn SS N xyn SS N yn SS N xyn SS N yn = [SS G ]dη [SS G M ]dη [SS G ](,ξ)dξ [SS G M ]dξ [SS G ]cos(πη)dη [SS G M ]cos(πη)dη [SS G ]sin( πη )dη [SS G M ]sin( πη dη [SS G ]cos(πξ)dξ [SS G M ]cos(πξ)dξ [SS G ]sin( πξ )dξ [SS G M ]sin( πξ )dξ [SS G ]cos((n )πη)dη [SS G M ]cos((n )πη)dη [SS G ]sin( (N 3)πη )dη [SS G M ]sin((n )πη)dη [SS G ]cos((n )πξ)dξ [SS G M cos((n )πξ)dξ] [SS G ]sin( (N 3)πξ )dξ [SS G M sin( (N 3)πξ )dξ [SS G ]sin( (N )πη )dη [SS G M ]sin( (N )πη ) [SS G ]sin( (N )πξ )dξ [SS G M sin( (N )πξ )dξ A B C D A N B N C N D N

98 s r ss s t s é r t s s s r s tr s s t s SS U 0 SS U 0 SS U SS V SS U SS V SS U N SS V N SS U N SS V N SS V N SS V N SS N x0 SS N xy0 SS N x SS N xy SS N xy SS N y SS N xn SS N xyn SS N xyn SS N yn SS N xyn SS N yn = [H SS ] = [G SS ] A B C D A N B N C N D N A B C D A N B N C N D N rès s r ss s t tr r r r t à tr t s étr q s étr q s é r t [K SS ] = [H SS ].[G SS ] tr t t s étr q t s étr q P r tr t t s étr q t s étr q éq t t U AA (,η) V AA (,η) U AA (ξ,) V AA (ξ,) = N AA U nsin( (n )πη) n= AA V 0 + N AA V ncos(nπη) n= N AA U nsin( (n )πξ) n= AA V 0 + N AA V ncos(nπξ) n=

99 P AA V 0 AA V 0 AA U AA V AA U AA V AA U N AA V N AA U N AA V N AA U N AA U N V AA(,η)dη V AA(,ξ)dξ U AA(,η)sin( πη )dη V AA(,η)cos(πη)dη U AA(ξ,)sin( πξ )dξ V AA(ξ,)cos(πξ)dξ = U AA(,η)sin( (N 3)πη )dη V AA(,η)cos((N )πη)dη U AA(ξ,)sin( (N 3)πξ )dξ V AA(ξ,)cos((N )πξ)dξ U AA(,η)sin( (N )πη )dη U AA(ξ,)sin( (N )πξ )dξ té r t s st t s té r t s t t AA V 0 AA V 0 AA U AA V AA U AA V AA U N AA V N AA U N AA V N AA U N AA U N = [AA H ]dη [AA H M ]dη [AA H ](,ξ)dξ [AA H M ]dξ [AA H ]sin( πη )dη [AA H M ]sin( πη )dη [AA H ]cos(πη)dη [AA H M ]cos(πη)dη [AA H ]sin( πξ )dξ [AA H M ]sin( πξ )dξ [AA H ]cos(πξ)dξ [AA H M ]cos(πξ)dξ [AA H ]sin( (N 3)πη )dη [AA H M ]sin( (N 3)πη )dη [AA H ]cos((n )πη)dη [AA H M ]cos((n )πη)dη [AA H ]sin( (N 3)πξ )dξ [AA H M sin( (N 3)πξ )dξ] [AA H ]cos((n )πξ)dξ [AA H M cos((n )πξ)dξ [AA H ]sin( (N )πη )dη [AA H M ]sin( (N )πη ) [AA H ]sin( (N )πξ )dξ [AA H M sin( (N )πξ )dξ A B C D A N B N C N D N ê r s r s N xaa (,η) N xyaa (,η) N xyaa (ξ,) N yaa (ξ,) = N AA N xnsin( (n )πη) n= AA N xy0 + N AA N xyncos(nπη) n= N AA N xynsin( (n )πξ) n= AA N yn0 + N AA N yncos(nπξ) n=

100 AA N xy0 AA N y0 AA N x AA N xy AA N xy AA N y AA N xn AA N xyn AA N xyn AA N yn AA N xn AA N xyn = N xyaa(,η)dη N yaa(,ξ)dξ N xaa(,η)sin( πη )dη N xyaa(,η)cos(πη)dη N xyaa(ξ,)sin( πξ )dξ N yaa(ξ,)cos(πξ)dξ N xaa(,η)sin( (N 3)πη )dη N xyaa(,η)cos((n )πη)dη N xyaa(ξ,)sin( (N 3)πξ )dξ N yaa(ξ,)cos((n )πξ)dξ N xaa(,η)sin( (N )πη )dη N xyaa(ξ,)sin( (N )πξ )dξ té r t s st t s té r t s r t r r t t AA N xy0 AA N y0 AA N x AA N xy AA N xy AA N y AA N xn AA N xyn AA N xyn AA N yn AA N xn AA N xyn = [AA G ]dη [AA G M ]dη [AA G ](,ξ)dξ [AA G M ]dξ [AA G ]sin( πη )dη [AA G M ]sin( πη dη [AA G ]cos(πη)dη [AA G M ]cos(πη)dη [AA G ]sin( πξ )dξ [AA G M ]sin( πξ )dξ [AA G ]cos(πξ)dξ [AA G M ]cos(πξ)dξ [AA G ]sin( (N 3)πη )dη [AA G M ]sin( (N 3)πη )dη [AA G ]cos((n )πη)dη [AA G M ]cos((n )πη)dη [AA G ]sin( (N 3)πξ )dξ [AA G M sin( (N 3)πξ )dξ] [AA G ]cos((n )πξ)dξ [AA G M cos((n )πξ)dξ [AA G ]sin( (N )πη )dη [AA G M ]sin( (N )πη ) [AA G ]sin( (N )πξ )dξ [AA G M sin( (N )πξ )dξ A B C D A N B N C N D N

101 P s r ss s t s é r t s s r tr s t AA V 0 AA V 0 AA U AA V AA U AA V AA U N AA V N AA U N AA V N AA U N AA U N AA N xy0 AA N y0 AA N x AA N xy AA N xy AA N y AA N xn AA N xyn AA N xyn AA N yn AA N xn AA N xyn = [H AA ] = [G AA ] tr r té r tr t t s étr q t s étr q s é r t A B C D A N B N C N D N A B C D A N B N C N D N [K AA ] = [H AA ].[G AA ] tr t t s étr q s étr q s éq t s r s t s étr q s étr q t U AS (,η) V AS (,η) U AS (ξ,) V AS (ξ,) = AS U 0 + N AS U ncos(nπη) n= N AS V nsin( (n )πη) n= N AS U nsin( (n )πξ) n= AS V 0 + N AS V ncos(nπξ) n=

102 AS U 0 AS V 0 AS U AS V AS U AS V AS U N AS V N AS U N AS V N AS V N AS U N U AS(,η)dη V AS(,ξ)dξ U AS(,η)cos(πη)dη V AS(,η)sin( πη )dη U AS(ξ,)sin( πξ )dξ V AS(ξ,)cos(πξ)dξ = U AS(,η)cos((N )πη)dη V AS(,η)sin( (N 3)πη )dη U AS(ξ,)sin( (N 3)πξ )dξ V AS(ξ,)cos((N )πξ)dξ V AS(,η)sin( (N )πη )dη U AS(ξ,)sin( (N )πξ )dξ té r t s st t s té r t s t t AS U 0 AS V 0 AS U AS V AS U AS V AS U N AS V N AS U N AS V N AS V N AS U N [AS H ]dη [AS H M ]dη [AS H ](,ξ)dξ [AS H M ]dξ [AS H ]cos(πη)dη [AS H M ]cos(πη)dη [AS H ]sin( πη )dη [AS H M ]sin( πη )dη [AS H ]sin( πξ )dξ [AS H M ]sin( πξ )dξ [AS H ]cos(πξ)dξ [AS H M ]cos(πξ)dξ = [AS H ]cos((n )πη)dη [AS H M ]cos((n )πη)dη [AS H ]sin( (N 3)πη )dη [AS H M ]sin( (N 3)πη )dη [AS H ]sin( (N 3)πξ )dξ [AS H M sin( (N 3)πξ )dξ] [AS H ]cos((n )πξ)dξ [AS H M cos((n )πξ)dξ [AS H ]sin( (N )πη )dη [AS H M ]sin( (N )πη ) [AS H ]sin( (N )πξ )dξ [AS H M sin( (N )πξ )dξ A B C D A N B N C N D N ê r s r s N xas (,η) N xyas (,η) N xyas (ξ,) N yas (ξ,) = N AS N xnsin( (n )πη) n= AS N xy0 + N AS n= AS N xyn0 + N AS N xyncos(nπξ) n= N AS N ynsin( (n )πξ) n=

103 P AS N xy0 AS N y0 AS N x AS N xy AS N xy AS N y AS N xn AS N xyn AS N xyn AS N yn AS N xn AS N xyn = N xyas(,η)dη N yas(,ξ)dξ N xas(,η)sin( πη )dη N xyas(,η)cos(πη)dη N xyas(ξ,)cos(πξ)dξ N yas(ξ,)sin( πξ )dξ N xas(,η)sin( (N 3)πη )dη N xyas(,η)cos((n )πη)dη N xyas(ξ,)cos((n )πξ)dξ N yas(ξ,)sin( (N 3)πξ )dξ N xas(,η)sin( (N )πη )dη N xyas(ξ,)sin( (N )πξ )dξ té r t s st t s té r t s r t r r t t AS N xy0 AS N y0 AS N x AS N xy AS N xy AS N y AS N xn AS N xyn AS N xyn AS N yn AS N xn AS N xyn = [AS G ]dη [AS G M ]dη [AS G ](,ξ)dξ [AS G M ]dξ [AS G ]sin( πη )dη [AS G M ]sin( πη dη [AS G ]cos(πη)dη [AS G M ]cos(πη)dη [AS G ]cos(πξ)dξ [AS G M ]cos(πξ)dξ [AS G ]sin( πξ dξ [AS G M ]sin( πξ dξ [AS G ]sin( (N 3)πη )dη [AS G M ]sin( (N 3)πη )dη [AS G ]cos((n )πη)dη [AS G M ]cos((n )πη)dη [AS G ]cos((n )πξ)dξ [AS G M cos((n )πξ)dξ] [AS G ]sin( (N 3)πξ )dξ [AS G M sin( (N 3)πξ )dξ [AS G ]sin( (N )πη )dη [AS G M ]sin( (N )πη ) [AS G ]sin( (N )πξ )dξ [AS G M sin( (N )πξ )dξ A B C D A N B N C N D N

104 s r ss s t s é r t s s r tr s t AS U 0 AS V 0 AS U AS V AS U AS V AS U N AS V N AS U N AS V N AS V N AS U N AS N xy0 AS N y0 AS N x AS N xy AS N xy AS N y AS N xn AS N xyn AS N xyn AS N yn AS N xn AS N xyn = [H AS ] = [G AS ] A B C D A N B N C N D N A B C D A N B N C N D N tr r té r tr t t s étr q s étr q s é r t [K AS ] = [H AS ].[G AS ] tr t s étr q t s étr q éq t r s s étr q t s étr q s é r t U SA (,η) V SA (,η) U SA (ξ,) V SA (ξ,) = N SA U nsin( (n )πη) n= SA V 0 + N SA V ncos(nπη) n= SA U N 0 SA U ncos(nπξ) n= N SA V nsin( (n )πξ) n=

105 P SA V 0 SA U 0 SA U SA V SA U SA V SA U N SA V N SA U N SA V N SA U N SA V N = V SA(,η)dη U SA(,ξ)dξ U SA(,η)sin( πη )dη V SA(,η)cos(πη)dη U SA(ξ,)cos(πξ)dξ V SA(ξ,)sin( πξ )dξ U SA(,η)sin( (N 3)πη )dη V SA(,η)cos((N )πη)dη U SA(ξ,)cos((N )πξ)dξ V SA(ξ,)sin( (N 3)πξ )dξ U SA(,η)sin( (N )πη )dη V SA(ξ,)sin( (N )πξ )dξ té r t s st t s té r t s t t SA V 0 SA U 0 SA U SA V SA U SA V SA U N SA V N SA U N SA V N SA U N SA V N = [SA H ]dη [SA H M ]dη [SA H ](,ξ)dξ [SA H M ]dξ [SA H ]sin( πη )dη [SA H M ]sin( πη )dη [SA H ]cos(πη)dη [SA H M ]cos(πη)dη [SA H ]cos(πξ)dξ [SA H M ]cos(πξ)dξ [SA H ]sin( πξ )dξ [SA H M ]sin( πξ )dξ [SA H ]sin( (N 3)πη )dη [SA H M ]sin( (N 3)πη )dη [SA H ]cos((n )πη)dη [SA H M ]cos((n )πη)dη [SA H ]cos((n )πξ)dξ [SA H M cos((n )πξ)dξ] [SA H ]sin( (N 3)πξ )dξ [SA H M sin( (N 3)πξ )dξ [SA H ]sin( (N )πη )dη [SA H M ]sin( (N )πη ) [SA H ]sin( (N )πξ )dξ [SA H M sin( (N )πξ )dξ A B C D A N B N C N D N ê r s r s N xsa (,η) N xysa (,η) N xysa (ξ,) N ysa (ξ,) = SA N x0 N N n= SA N xncos(nπη) SA sin((n )πη) n= N SA N xynsin( (n )πξ) n= SA N y0 + N n= SA N yncos(nπξ)

106 SA N x0 SA N y0 SA N x SA N xy SA N xy SA N y SA N xn SA N xyn SA N xyn SA N yn SA N xyn SA N xyn N xsa(,η)dη N ysa(,ξ)dξ N xsa(,η)cos(πη)dη N xysa(,η)sin( πη )dη N xysa(ξ,)sin( πξ )dξ N ysa(ξ,)cos(πξ)dξ = N xsa(,η)cos((n )πη)dη N xysa(,η)sin( (N 3)πη )dη N xysa(ξ,)sin( (N 3)πξ )dξ N ysa(ξ,)cos((n )πξ)dξ N xysa(,η)sin( (N )πη )dη N xysa(ξ,)sin( (N )πξ )dξ té r t s st t s té r t s r t r r t t SA N x0 SA N y0 SA N x SA N xy SA N xy SA N y SA N xn SA N xyn SA N xyn SA N yn SA N xyn SA N xyn = [SA G ]dη [SA G M ]dη [SA G ](,ξ)dξ [SA G M ]dξ [SA G ]cos(πη)dη [SA G M ]cos(πη)dη [SA G ]sin( πη )dη [SA G M ]sin( πη )dη [SA G ]sin( πξ )dξ [SA G M ]sin( πξ )dξ [SA G ]cos(πξ)dξ [SA G M ]cos(πξ)dξ [SA G ]cos((n )πη)dη [SA G M ]cos((n )πη)dη [SA G ]sin( (N 3)πη )dη [SA G M ]sin( (N 3)πη )dη [SA G ]sin( (N 3)πξ )dξ [SA G M sin( (N 3)πξ )dξ] [SA G ]cos((n )πξ)dξ [SA G M cos((n )πξ)dξ [SA G ]sin( (N )πη )dη [SA G M ]sin( (N )πη ) [SA G ]sin( (N )πξ )dξ [SA G M sin( (N )πξ )dξ A B C D A N B N C N D N

107 P s r ss s t s é r t s s r tr s t SA V 0 SA U 0 SA U SA V SA U SA V SA U N SA V N SA U N SA V N SA U N SA V N SA N x0 SA N y0 SA N x SA N xy SA N xy SA N y SA N xn SA N xyn SA N xyn SA N yn SA N xyn SA N xyn = [H SA ] = [G SA ] A B C D A N B N C N D N A B C D A N B N C N D N tr r té r tr t s étr q t s étr q s é r t [K SA ] = [H SA ].[G SA ] tr r té rès r ét r é s tr s r té r q tr t tr r té st str t s t [K SS ] [0] [0] [0] [K AA ] [0] [0] [0] [K SA ] [0] [0] [0] [K AS ]. U SS U AA U SA U AS = F SS F AA F SA F AS s tr r r q r st 6N 6N

108 rs t ét s é é ts t s ét s é é ts s s s s U(ξ,η) V(ξ,η) N x (ξ,η) N y (ξ,η) t N xy (ξ,η) ré s t t s r s t s tr t s r é s s r s q tr r s q tr s rts s tés t s t sés r r rt s tés t s r t s t r é t s t é s s r U 0 = U S0 V xs0 U S0 V ys0 3 U S0 3 V xs0 4 U S0 4 V ys0 P r s rts F 0 = N xs0 N xys0 N xys0 N ys0 3 N xs0 3 N xys0 4 N xy0 4 N ys0 P r s é ér U k = U Sk U Ak V Sk V Ak U Sk U Ak V Sk V Ak 3 U Sk 3 U Ak 3 V Sk 3 V Ak 4 U Sk 4 U Ak 4 V Sk 4 V Ak

109 P t F k = N xsk N xak N xysk N xyak N xysk N xyak N ysk N yak 3 N xsk 3 N xak 3 N xysk 3 N xyak 4 N xysk 4 N xyak 4 N ysk 4 N yak t rés t t s r s q q é s r r s t é r é r t r t ét r r r t q r s s t s s t rs U JJ s s t rs U k U SS U AA U SA U AS = U SS 0 U SS U SS N U SS 0 U AA U AA N U SA 0 U SA U SA N U AS 0 U AS U AS N [T SS0 ] [0] [0] [T SS ] [0] [0] [T SSN ] [T AA ] [0] [T AA ] [0] = [0] [T AAN ] [T SA0 ] [0] [0] [T SA ] [0] [0] [T SAN ] [T AS0 ] [0] [0] [T AS ] [0] [0] [T ASN ]. U 0 U U N = [T]. U 0 U U N

110 P ê r s r s F 0 F F N [T SS0 ] [0] [0] [T SS ] [0] [0] [T SSN ] [T AA ] [0] [T AA ] [0] = [0] [T AAN ] [T SA0 ] [0] [0] [T SA ] [0] [0] [T SAN ] [T AS0 ] [0] [0] [T AS ] [0] [0] [T ASN ] T F SS 0 F SS F SS N F AA 0 F AA F AA N F SA 0 F SA F SA N F AS 0 F AS F AS N = [T] T F SS 0 F SS F SS N.F AA 0 F AA F AA N F SA 0 F SA F SA N F AS 0 F AS F AS N = [T] T s r t s t r tt t ét r r tr r r q r q r s t rs U k t F k [K(ω)] = [T]T [K SS ] [0] [0] [0] [K AA ] [0] [0] [0] [K SA ] [0] [0] [0] [K AS ] tr s st rés té s [T] F mss F maa F msa F mas t r ét s é é ts s rès r t ét t q ré s r q q rt tr r s été t é tr s rés t ts ss s tr è t t s r ét s é é ts s t rés t s r r étés tér s t é étr q s s s r s s t sts t t st é r ér ts t s r t s t s ss r t s étr q s étr q r t ré rt s r r é r ξ = r t t

111 P Pr r étés tér s t é étr q s q rt tr s t E x = 8. P s t E y = 50.9 P s t G xy = P t P ss ν xy = 0.8 ss q ρ = 56 3 r q L = r r q l = 0.5 é ss r h = 0.00 r t s étr q s étr q P r tr t s étr q s étr q r s étr q s étr q st rés té s r ξ = t ξ = st é s t F x (,η) = F x (,η) = r ss s rés t s t t rt s s r s t s t s s r r t s étr q s étr q

112 P r t r t s r s t s s r t t r F(η) = F 0 + N n= F n cos(nπη) F 0 F F N = ré s st é r n = 9 t r é s s t 0 0 U(,0) = SSU 0 + N SSU n n= ré s t r r t s étr q s étr q r ét s é é ts t s st é ét s é é ts s r ér ts s t r réq s 3 tt str t r st é à é é t à s t s rés rtés r r s t rés t r s s r s ré s t s r ét s é é ts s t r s é é ts t s EF 40x40 EF 80x80 EC N Log 0 U Fréquence(Hz) r é s r q r r t s étr q s étr q

113 P s rés t ts t s r ét s é é ts t s r t t s r ét s é é ts s r réq s q r tr 3 à 3 ré s ét s é é ts s t tr r ss r r rés t ré s r q r réq s 3 t s t s s r s ét s st s s é EF 40x40 EF 80x80 EF 00x00 EC N Log 0 U Fréquence(Hz) r é s r q r réq s 3 3

114 P t s rô rt t s t t str t s t rés t s r r s ét s é é ts t s s à s ét s é é ts s è s é r r q s 0 0 s s s s s é é s r q r r t ré rt tér r rés t s r ré rt s r ôté é r ξ = r r ré rt tér