d 2 y dt 2 xdy dt + d2 x

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Κίμων Ράγκος
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2 y k f y y yk y y yk y n y n y k n y k f y y yk y y yk y n y n y k n y k n n f n y y yk n y y yk n y n y n y k n n a k + k + + k n y y lny y e y y y y a + 3 k k y y y + e y y y lny + y y 3 y y 3 y + y y y y y 4 y 3y 3 + y k 3 k 4 k 3 y 3 y y 3 y + y y 4 y y y y 3 y 3 y y f y y y n y f y y y n y n f n y y y n d y y 3 y 3 y y 3 : y 3 3 y

3 d + p + q y : y pty qt < t < t lnt /t t t t + lnt t t t t 3 t t 3 t tt 4 t lnt + lnt + lnt + t E S { / t E : / + t/t { / e E : t / e { / y 3 E : / y / { / z /z 4 E : dz/ y { /t S : t lnt { t S : e t { e S : t y e t { y + e S : y e f n f f E A y y y n yn y y D n+ y n y y f i D E ε + ε φ n φ φ ε > φ y φ n y n φ φ n n 4

4 t d d 3 s λ λ 3 Ae t + Be 3t Ae t + Be 3t + Ae t 3Be 3t Ae t Be 3t S Ae t + Be 3t Ae t Be 3t : A B R } 4 t t Ae t Be 3t A + b t t Ae t + Be 3t B A A B 4 t e t + e 3t t e t e 3t y y y d d d y d + ± i λ + t Acost + Bsint B y A y y yt Asint + Bcost y t cost + y sint yt sint + y cost t + yt cos t + sin t + y cos t + sin t + y y + y t yt

5 gy y y n g g/ y n g/ y g/ D y n y y g D g t gy y y n c gt t D { t : t t R } R 3 t + t t At t At + Bt gt t t t At + Bt At B D B gy y n D g n + k f k y y y n g y k / gt arctan / t / / / f t / f t / g t + f g + f g g D { t } { Ae t + Be 3t Ae t Be 3t { + 4Ae t 4Be 3t { 4A e t + 4B e 3t D R g t e 3t g t e t + g g

6 Acost + Bsint y Bcost Asint sint + ycost B cost ysint A D R 3 g t cost ysint g t sint + ycost n y n y y y n y y Fy y y n i y i n y y y n y y y n n : y y y n y n y n y n n y n y y n S : g y y y n A g n y y y n A n A n A g t e 3 y + t + y g e t t e y g + e y t + y g + y t g + y + t n f t n f t n f n t n

7 n k h k t n n t d f t + f + + f n n n n n n t n n + y + y + t y + y + y + λ p + h + Ae t + Be t p h Ae t + Be t y Ae t + Be t y S : + Ae t + Be t y Ae t + Be t 3 + 8y 3y t d d d 3 + 8y y 3 8 4y d y A t Be t 3Ae t 3Be t Ae t 4 Bet S : t C e t + 4C e t yt C e t C e t t Ae t + Be t C C

8 t + yt t + yt y + t t + t + d t t + t + d + + t t d t / y t At + B d t y + t A + t At + B A + B t S : At + B y A + B t t 9 y + t 3 3 4y 4 + 5y t sint d 6 + y z 7 y + z 8 d y 5y y 4 3y y + y cost z dz + z + z dz + y d y 9 d + + d 3 + y d + y + d y + y

9 n u F tudu/ n n 4t t t + + 4t t + du tu u + g +t A + u +t A t g u + t B u S : + + t A + t B + t g g g g g g + + D { t ± } g B g A S : t A + B t A t B t B A t A t B t E : 3 t 3 t 3 + t

10 u / E A A du E : A 3 t 3 A + E t A + t + B E A At + B t ln At + B +C S : + A ln At + B +C 3 A + t + B E E : y y t y t y t u ty d t ty y + t E ty A du y Bep t A y A E t A y t + A B e t/a y Be t/a E A B y A B A B S : t + e t y e t

11 + y 3 y 5 sin cos y cos sin 7 cos cos y + sin sin y f t n f t n y 4 y y 6 e t y y y et sinsiny y n f t n a b a b a n b n λ a + λ a + + λ n a n λ b + λ b + + λ n b n λ n λ λ lnt lnt lnt lnt lnt lnt + tlnt + A dt lnt t + lnt lnt + + dt + + y t + + y B S : tlnt + A + y + t B E : 4y 5 5t 3y 3 4t 3 3 4y 5 t t 4y t 3y t 5t 3y y y 3 4t t + + y

12 dt + + y d3t + + 5y t + + y B 3t y A S : 3t y A t + + y B t y 3 y dp p dq p 5 y yt t 4 t yt y t y t ty 6 t y 7 3t 4y y 3 4 t y 3 + y y a + a y + f t a + a y + f t t f f a a a a f t f t a a X A f F y a a f Y X A X + F gt ht Y A Y + F t a;b a;b a;b Z Y Z Y a;b Wt y t z t y t z t y z y z t a;b

13 U Z Y A B X U + A Z + B Y A X A X C E : detλi A X A X C E X X λ λ C E A X e λ t +A X e λ t X A X A X λ X A X λ X A A X i λ λ C E X A X A X i X i + λ X i A X i λ X i X i U i X i + t X i A A { A U + A U } e λ t X i ± i X i α ± i C E X i X i A X i + i X i α ± i X i + i X i U i X i +i X i V AU + BU V V +iv V +V X A X A B E : y + y X t yt A X A X C E : detλi A : λ λ : λ3 λ λ α A X λ X X λ λ { α α α α X α + α AX λ X X { α α α α α X α +

14 E S : y Ae t + Be t : A + Be t y A Be t A + Be t E : + 3y + y A 3 X X C E : λ 3 λ : λ λ 6 λ λ 4 E γ α A X λ X A X λ X X X θ 3 α 3 γ 3 θ α γ θ 4 { α + 3 α α + { γ + 3θ 4γ γ + θ 4θ α X θ 3 3 γ X E γ θ S : y Ae t + Be 4t 3 : Ae t + 3Be 4t y Ae t + Be 4t B A E : y + 3y X AX A C E : λ λ 3 3 C E : λ 4λ + 4 C E : λ λ

15 γ A X λ X X θ α X 3 3 γ θ θ γ θ γ θ + α γ θ γ γ + 3θ θ α γ + α α + 3 θ + A X X + λ X { θ γ α + θ X S : X X y γ γ X A U + B U e t { U + t } γ U { A + B : t A + B + Bte t yt A Bte t E } + Bt e t E : + y 4y E X AX A C E : λ 4 λ + : λ 6λ + 9 λ λ 3 AX AX 3X X γ 4 θ α 4 γ 3 θ γ θ X + 3 α X γ θ X α γ + θ 3γ 4γ θ 3θ α + γ + 3α 4α θ X + 3 { θ γ γ + α α γ α γ U t

16 S : X y X { } A U + B U e 3t α γ U { A E } + B + Bt e 3t : t A + Bte 3t yt A + B + Bte 3t E : 5y y 5 X A X A C E : λ 5 λ + : λ + 9 λ ± 3i c a A X +i X X X d 3 α b 5 a + ci b + di a + ci 3i b + di { a 5b 3c c 5d 3a a b 3d c d 3b + 3i X + i X { a 5b + c 5di 3c + 3ai a b + c di 3d + 3bi { a 5b 3c d c 3b d a 3 c b bc X 3 X U e t cos3t + isin3t X + i X 3 + i 3cos3t sin3t + cos3t 3sin3ti U cos3t + isin3t i sin3t + cos3ti X 5 X 3 5 3i U cos3t + isin3t d 3 a 5 c b U e t cos3t + isin3t X + i X 5cos3t + 5isin3t cos3t + 3sin3t + sin3t 3cos3ti V + V E V A U + B U V + i V 3cos3t 3sin3t V A sin3t cos3t 3sin3t V A + B cos3t + B 5cos3t cos3t + 3sin3t 5sin3t sin3t 3cos3t

17 S : y V + V : t A + 5Bcos3t + 6A + 5Bsin3t yt A + 4Bsin3t + A Bcos3t E : 3 3y 3 y X X A C E : λ λ + : λ λ + 6 λ ± 5i c a A X + i X + X X d b 5i X + i X 3 3 a + ci + +ci 5i 3 b + di b + di { 3a + ci 3b + di + 5ia + ci 3a + ci b + di + 5ib + di { { 3 3b a 5c3 b b 5d 3c 3d 5 + c3c d d + a 3b c 5/ 5b d 3c b 5/ X 5 d 3 a 5 c b bc X U 3 e t cos 5t + ie t sin { } 5 5t + i 3 + ie t 5sin 5t + cos 5t cos 5t U e t 5cos 5t sin 5t 3sin 5t X 3 U e t X 3cos 5t cos 5t + 5sin 5t V A U + B U V + V d 5 a 3 c b U 5 e t cos 5t + isin { } 3 5t + i 5 + ie t 3sin 5 sin 5t 5cos 5t V Ae t 5cos 5 sin 5t 3sin 5t V Ae t 5sin 5t + cos 5t cos 5t V + V E + Be t 3cos 3t cos 5t + 5sin 5t + Be t 3sin 5t sin 5t 5cos 5t

18 3 y y y y 4 5y 9 + 4y y + y 3 y y 4 + y y y + y y y + 3y 5 4 3y y 3 y 9 8y y / + 3y B A 3 y y y y y 4 y 9 3y y + 4y 6 / + 3y y y 5 + 3y y y + y y 3 + y + y y 3 y + 4y y 5 + y + 3y y 4 3y 4 3y y 5 5 y 3 y y y 4 y y + y y y 9 y + 4y y 5 8y 3 + 3y y y + y/6 y y 3 + y y 4 5 y 4 + 3y y 4 y 6 4y y 7 + y 4 + 7y y 8 + 9y + y y 5y 3 y y 9 + 6y X A X F X AX X X c X + c X F c c X p c X + c X E : A 4y + 4t + 4 X y + y + 3 t 4t + F 3 t X AX + F E C E : λ + 4 λ λ + λ 6 λ +λ 3 α A X X X { 4 α α α 4 α α X α +

19 α A X 3 X X α α 4 α α 3 { α 4 3α α + 3 α 4 X 4 E X h A X e t + B X e 3t X p c X e t + c X e 3t B A c X e t + c X e 3t F e t 4e 3t e t e 3t c c 4t + 3 t c et + 4c e 3t 4 + c et + c e 3t 3 t c 5 6t 4t e t c 3t + 8t + e 3t c t 5 t + 3t e t c t t + te 3t X p c X e t + c X e 3t 5 3t + t S : X X p + X h t + t t / + Ae t E + t + t 4 + Be 3t 4 : t t + t + Ae t + 4Be 3t yt t Aet + Be 3t B A E : 3 + t + t 3y + t + A 3 3 F X AX + F t t + C E : λ + 3

20 γ α A X X 3 X A X 3 X X X θ 3 γ 3 θ 3 α 3 γ 3 θ γ α 3 θ 3γ + θ 3γ 3θ 3θ 3α + γ 3α 3 θ 3 { θ γ X X α α U X X U + t α S h : h y h { Ae 3t U + Be 3t U : h t Ae 3t + Bte 3t y h t Be 3t + B E k } e 3t + Bte 3t c c X p c e 3t U + c e 3t U c e 3t + c e 3t t { c + tc te3t c t + e3t t t + { c t e 3t c t + e3t c e 3t U + c e 3t U F c 7 9t 6t + c 3t + 9 X p c e 3t U + c e 3t U 4 6t 7 3t + 9 E S : X X p + X h : 4t 4 y 7 9t Ae 3t + Be 3t t : t Ae 3t + Be 3t t 4 7 yt Be 3t + t 3 + 9

21 E : y + sect A X AX + F sect F E C E : λ λ : λ + : λ ± i c a A X + i X i X + i X X X d b a + ci b + di a + ci + i b + di { b di c + ai a + ci d + bi { d a b c X X X X b d c a c a { } U e at cost + isint + i cost sint U + i sint cost { U e t cost + isint U b d c a } + i cost + i sint sint cost V + V E E h Acost Bsint Asint + Bcost V + i V A U + B U + i Asint + Bcost Acost + Bsint cost + sint sint + cost X p V + V A + B sint cost cost + sint X p c cost + sint sint cost + c sint + cost cost + sint c cost + sint sint cost + c sint + cost cost + sint c c sect

22 { { c tant c ln cost c c t X p t cost sint ln cost t sint + cost ln cost E S : X X p + X h t cost sint ln cost : y t sint + cost ln cost : cost + sint + A sint cost Acost + sint + Bcost sint + t cost sint ln cost y Asint cost + Bcost + sint + t sint + cost ln cost E sint + cost + B cost + sint 4 + y e t y + 3 y 6e t y /e t y 6 + 3y 3/e t 5 + y cost y + y + cost + sint y y + /cost 3 6 { y + tan t y + tant 3 4y + y 3y + t E : 7 + y + 5 5y 37t y sl } 7L } + L { y } + 5 s sl { y } y L } 5L { y } 37 s + 7X + 7Y 5 s X + s + 5Y 37 s Xs 5s + 5s 37 s s Ys 47s 59 s s + s + 37 Y L {y} X L }

23 t L { Xs } { L s } s s + 6 s { t e 6t L s } s t e 6t cost + yt L { Ys } { L s 7 } s s + 6 s s { 7t e 6t L s } { } s + e 6t L + s + E : 7t e 6t cost + e 6t sint + 3y + t 3 + y y Y L {y} X L } sl } L { X } + 3L { y } + s sl { y } y 3L } + L { y } s Xs 3Ys + s 3Xs + s Ys Xs s + s s s + 4s + 3 3s + Ys s s + 4s + 3 t L { Xs } { L 3 s s s + s } 56 3 s s + 5 { 3 e t L s } s { } 56 e t L 3 s t e t cos3t e t sin3t yt L { Ys } L { 69 s 3 3 s 69 s + s s t 69 e t cos3t 7 69 e t sin3t E : d d y 9y y y }

24 Y L {y} X L } s L } s + sl { y } y 4L } 4sL } 4 s L { y } + sy + y 9L { y } { s Xs 4X + sy 4sX s + 9Y s s s s + 9s 36 Ys s s 4 s + 9s 36 t L { Xs } L 5 s s s s s 3 5 cos sin t + 3 3t 3 e 3 3 e 3t yt L { Ys } L 6 5 s s s s s 3 S : + 3 4y cost y 3y + t y sl } + 3L } 4L { y } sl { y } y 3L { y } + L } s s s + s + 3X 4Y s s + X + s 3Y + s s Xs 7/ s 5 s + + 3s + Ys 7/ s 5/ s + + Y L {y} X L } s + 4 s s s + s 3 s t L { Xs } 7 et 5 t + 3 cost + sint 4t yt L { Ys } 7 et 5 e t + cost 3t

25 3y + z y y y y z z z z s X 3Y X + Z s Y + X + Y s Z s Z t 3 4 t 3 4 cost sint 3s X s s + 4 3s Y s s + +4 s + s Z s + yt 3 4 t + 4 cost sint cost 8 zt cost 3 y + y t + y + y y y + + y 5y + 4y y y + 9 y y 3y y + y 5y y y y y + y + y + z + e t z + y + z + 4 z t + y + z + t ty y + z + t 3 y tz + y + z + 4 z + y sinht y + z e t y + z e t + e t z y + e t y + y + e t y y z y z y z y z 3t + y z ty + 3y + z y 6tz + 7y + 5z z E : φ + φ + e t φ t + sinh tφ t tφ t e t φ t

26 Φ s s + s + Φ s + s Φ s Φ s s + s + Φ s s Φ s Φ i L { φ i } s + s Φ s ss s + s 3 s + Φ s s s + s + φ L { Φ s } { L s + s + s + 3 } s s + + e + sin 3 cos φ L { Φ s } { L s s + + s s } s + cos sin + cosh φ φ 4 φ e + φ φ + φ φ e φ φ φ 4 φ φ e t φ t + φ t + 4 e t φ t tφ t + φ t + e t φ t + φ t + 4 φ t tφ t e t φ t tφ t e t φ t + tφ t + φ t + 3 tφ t φ t e t φ t tφ t 4 φ t φ t φ t tφ t φ t tφ t

Σχετικά έγγραφα

L A TEX 2ε. mathematica 5.2

L A TEX 2ε. mathematica 5.2 Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica