Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του όγδοου φυλλαδίου ασκήσεων.

Transcript

1 Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του όγδοου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Έστω F X, F Y οι συναρτήσεις κατανομής των τ.μ. X, Y και F X,Y η από κοινού συνάρτηση κατανομής τους. Αποδείξτε ότι (i) lim + F X,Y (, ) = F X (), lim F X,Y (, ) = 0. (ii) lim + F X,Y (, ) = F Y (), lim F X,Y (, ) = 0. (iii) lim + F X,Y (, ) = F X,Y (, ). (iv) lim + F X,Y (, ) = F X,Y (, ). (v) lim F X,Y (, ) = F X,Y (, ) P (X =, Y ). (vi) lim F X,Y (, ) = F X,Y (, ) P (X, Y = ). (i) Έστω ( n ) οποιαδήποτε αύξουσα ακολουθία στο R με n +. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα A n = {ω Ω X(ω), Y (ω) n } και A = {ω Ω X(ω) }. Τότε A n A n+1 για κάθε n και + n=1 A n = A. F X,Y (, n ) = P (X, Y n ) = P (A n ) P (A) = P (X ) = F X (). lim + F X,Y (, ) = F X (). Έστω ( n ) οποιαδήποτε φθίνουσα ακολουθία στο R με n. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα A n όπως πριν και τότε A n+1 A n για κάθε n και + n=1 A n =. F X,Y (, n ) = P (X, Y n ) = P (A n ) P ( ) = 0. lim F X,Y (, ) = 0. (ii) Ομοίως. (iii) Έστω ( n ) οποιαδήποτε φθίνουσα ακολουθία στο R με n. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα A n = {ω Ω X(ω) n, Y (ω) } και A = {ω Ω X(ω), Y (ω) }. Τότε A n+1 A n για κάθε n και + n=1 A n = A. F X,Y ( n, ) = P (X n, Y ) = P (A n ) P (A) = P (X, Y ) = F X,Y (, ). lim + F X,Y (, ) = F X,Y (, ). (iv) Ομοίως. (v) Έστω ( n ) οποιαδήποτε αύξουσα ακολουθία στο R με n. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα A n = {ω Ω X(ω) n, Y (ω) } και A = {ω Ω X(ω), Y (ω) }, B = {ω Ω X(ω) <, Y (ω) }, C = {ω Ω X(ω) =, Y (ω) }. Τότε A n A n+1 για κάθε n και + n=1 A n = B. A = B C και B C =. F X,Y ( n, ) = P (X n, Y ) = P (A n ) P (B) = P (A) P (C) = P (X, Y ) P (X =, Y ) = F X,Y (, ) P (X =, Y ). lim F X,Y (, ) = F X,Y (, ) P (X =, Y ). (vi) Ομοίως. { 1, αν Θεωρήστε την συνάρτηση F (, ) = Είναι η F συνάρτηση κατανομής 0, αν + < 0 μιας διδιάστατης τυχαίας μεταβλητής; Αν η F είναι συνάρτηση κατανομής μιας διδιάστατης τυχαίας μεταβλητής, τότε για κάθε ορθογώνιο [a, b] [c, d] ισχύει Αυτό δεν ισχύει για το [ 1, 1] [ 1, 1]. 0 F (b, d) F (a, d) F (b, c) + F (a, c) 1. 1

2 3. Ρίχνουμε δύο φορές ένα ζάρι και θεωρούμε το ζεύγος (i, j) των πιθανών ενδείξεων. Έστω X = i + j και Y = i j. (i) Είναι η (X, Y ) διακριτή; Βρείτε την απο κοινού συνάρτηση πιθανότητας f X,Y των X, Y. (ii) Βρείτε την συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής E(X Y ) και υπολογίστε την E(E(X Y )). (iii) Βρείτε την συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής E(Y X) και υπολογίστε την E(E(Y X)). (iv) Υπολογίστε τις E(X + Y ), Var(X + Y ), Cov(X, Y ). (i) Το σύνολο των πιθανών τιμών της X είναι το A 0 = {2, 3,..., 11, 12} και το σύνολο των πιθανών τιμών της Y είναι το B 0 = { 5, 4,..., 4, 5}. η (X, Y ) είναι διακριτή και το σύνολο των πιθανών τιμών της είναι το A 0 B 0. Στην πραγματικότητα, το σύνολο των πιθανών τιμών της (X, Y ) είναι μικρότερο από το A 0 B 0. Για παράδειγμα, το μοναδικό πιθανό ζευγάρι της μορφής (2, ) είναι το (2, 0). Τελικά το σύνολο πιθανών τιμών περιορίζεται στο C 0 = {(2, 0), (3, 1), (3, 1), (4, 2), (4, 0), (4, 2), (5, 3), (5, 1), (5, 1), (5, 3), (, 4), (, 2), (, 0), (, 2), (, 4), (7, 5), (7, 3), (7, 1), (7, 1), (7, 3), (7, 5), (8, 4), (8, 2), (8, 0), (8, 2), (8, 4), (9, 3), (9, 1), (9, 1), (9, 3), (10, 2), (10, 0), (10, 2), (11, 1), (11, 1), (12, 0)}. Κάθε άλλο ζευγάρι (, ) A 0 B 0 πιάνεται με πιθανότητα ίση με 0. Αν (, ) C 0, τότε το ενδεχόμενο X =, Y = είναι το ίδιο με το ενδεχόμενο i = + 2, j = 2. ( f X,Y (, ) = P (X =, Y = ) = P i = + 2 (ii) Για τις περιθώριες συναρτήσεις πιθανότητας έχουμε, j = ) = f X () = f X,Y (, ), f Y () = f X,Y (, ). f X (2) = f X,Y (2, 0) = 1/3. f X (3) = f X,Y (3, 1) + f X,Y (3, 1) = 2/3. f X (4) = f X,Y (4, 2) + f X,Y (4, 0) + f X,Y (4, 2) = 3/3. f X (5) = f X,Y (5, 3) + f X,Y (5, 1) + f X,Y (5, 1) + f X,Y (5, 3) = 4/3. f X () = f X,Y (, 4) + f X,Y (, 2) + f X,Y (, 0) + f X,Y (, 2) + f X,Y (, 4) = 5/3. f X (7) = f X,Y (7, 5) + f X,Y (7, 3) + f X,Y (7, 1) + f X,Y (7, 1) + f X,Y (7, 3) + f X,Y (7, 5) = /3. f X (8) = f X,Y (8, 4) + f X,Y (8, 2) + f X,Y (8, 0) + f X,Y (8, 2) + f X,Y (8, 4) = 5/3. f X (9) = f X,Y (9, 3) + f X,Y (9, 1) + f X,Y (9, 1) + f X,Y (9, 3) = 4/3. f X (10) = f X,Y (10, 2) + f X,Y (10, 0) + f X,Y (10, 2) = 3/3. f X (11) = f X,Y (11, 1) + f X,Y (11, 1) = 2/3. f X (12) = f X,Y (12, 0) = 1/3. 2

3 Ομοίως, f Y ( 5) = f X,Y (7, 5) = 1/3. f Y ( 4) = f X,Y (, 4) + f X,Y (8, 4) = 2/3. f Y ( 3) = f X,Y (5, 3) + f X,Y (7, 3) + f X,Y (9, 3) = 3/3. f Y ( 2) = f X,Y (4, 2) + f X,Y (, 2) + f X,Y (8, 2) + f X,Y (10, 2) = 4/3. f Y ( 1) = f X,Y (3, 1) + f X,Y (5, 1) + f X,Y (7, 1) + f X,Y (9, 1) + f X,Y (11, 1) = 5/3. f Y (0) = f X,Y (2, 0) + f X,Y (4, 0) + f X,Y (, 0) + f X,Y (8, 0) + f X,Y (10, 0) + f X,Y (12, 0) = /3. f Y (1) = f X,Y (3, 1) + f X,Y (5, 1) + f X,Y (7, 1) + f X,Y (9, 1) + f X,Y (11, 1) = 5/3. f Y (2) = f X,Y (4, 2) + f X,Y (, 2) + f X,Y (8, 2) + f X,Y (10, 2) = 4/3. f Y (3) = f X,Y (5, 3) + f X,Y (7, 3) + f X,Y (9, 3) = 3/3. f Y (4) = f X,Y (, 4) + f X,Y (8, 4) = 2/3. f Y (5) = f X,Y (7, 5) = 1/3. Η τ.μ. E(X Y ) έχει τιμές E(X Y = ) = f X Y ( ) = / f X,Y (, ) f Y () με αντίστοιχη πιθανότητα f Y (). Κάνοντας πράξεις: E(X Y = 5) = ( 7f X,Y (7, 5) ) 3 = 7. E(X Y = 4) = ( f X,Y (, 4) + 8f X,Y (8, 4) ) 3/2 = 7. E(X Y = 3) = ( 5f X,Y (5, 3) + 7f X,Y (7, 3) + 9f X,Y (9, 3) ) 3/3 = 7. E(X Y = 2) = ( 4f X,Y (4, 2) + f X,Y (, 2) + 8f X,Y (8, 2) + 10f X,Y (10, 2) ) 3/4 = 7. E(X Y = 1) = ( 3f X,Y (3, 1) + 5f X,Y (5, 1) + 7f X,Y (7, 1) + 9f X,Y (9, 1) + 11f X,Y (11, 1) ) 3/5 = 7. E(X Y = 0) = ( 2f X,Y (2, 0) + 4f X,Y (4, 0) + f X,Y (, 0) + 8f X,Y (8, 0) + 10f X,Y (10, 0) + 12f X,Y (12, 0) ) 3/ = 7. E(X Y = 1) = ( 3f X,Y (3, 1) + 5f X,Y (5, 1) + 7f X,Y (7, 1) + 9f X,Y (9, 1) + 11f X,Y (11, 1) ) 3/5 = 7. E(X Y = 2) = ( 4f X,Y (4, 2) + f X,Y (, 2) + 8f X,Y (8, 2) + 10f X,Y (10, 2) ) 3/4 = 7. E(X Y = 3) = ( 5f X,Y (5, 3) + 7f X,Y (7, 3) + 9f X,Y (9, 3) ) 3/3 = 7. E(X Y = 4) = ( f X,Y (, 4) + 8f X,Y (8, 4) ) 3/2 = 7. E(X Y = 5) = ( 7f X,Y (7, 5) ) 3 = 7. η τ.μ. E(X Y ) έχει μόνο μία πιθανή τιμή, την 7. Επομένως, E(E(X Y )) = 7. Η E(E(X Y )) μπορεί να υπολογιστεί και αλλιώς: E(E(X Y )) = E(X) = f X () = 2f X (2)+3f X (3)+ +11f X (11)+12f X (12) = 7. (iii) Ομοίως. (iv) Έχουμε: E(X) = f X () = 2f X (2) + 3f X (3) f X (11) + 12f X (12) = 7. 3

4 E(Y ) = Var(X) = f Y () = ( 5)f Y ( 5) + ( 4)f Y ( 4) + + 4f Y (4) + 5f Y (5) = 0. E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) = = 7. ( E(X)) 2 f X () = (2 7) 2 f X (2) + (3 7) 2 f X (3) + + (11 7) 2 f X (11) + (12 7) 2 f X (12) = 35/. Var(Y ) = ( E(Y )) 2 f Y () = ( 5) 2 f Y ( 5) + ( 4) 2 f Y ( 4) f Y (4) f Y (5) = 35/. Τέλος, Cov(X, Y ) = E ( (X E(X))(Y E(Y )) ) = ( E(X))( E(Y ))f X,Y (, )., Κάνοντας πράξεις, βρίσκουμε Cov(X, Y ) = 0. Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) + 2 Cov(X, Y ) = 35/3. 4. Όπως στο προηγούμενο πρόβλημα, αλλά με X = i και Y = ma{i, j}. Η λύση είναι παρόμοια με του προηγούμενου προβλήματος. 5. Η συνάρτηση πιθανότητας της δ.τ.μ. (X, Y ) είναι η f X,Y (, ) = + 2 c για, = 1, 2, 3, όπου c > 0 είναι μια σταθερά. (i) Υπολογίσετε την c. (ii) Βρείτε τις περιθώριες συναρτήσεις πιθανότητας f X () και f Y (). (iii) Βρείτε την δεσμευμένη συνάρτηση πιθανότητας f X Y ( ). Βρείτε την συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής E(X Y ) και υπολογίστε την E(E(X Y )). (iv) Υπολογίστε τις E(X + Y ), Var(X + Y ), Cov(X, Y ). (i) Υπολογίζουμε f X,Y (, ) = 1 ( + 2) = c c., Επειδή πρέπει να ισχύει, f X,Y (, ) = 1, συνεπάγεται c =. (ii) Ισχύει f X () = f X,Y (, ) = 1 ( + 2) = για = 1, 2, 3. f Y () = f X,Y (, ) = 1 ( + 2) = για = 1, 2, 3. Οι τιμές της E(X Y ) είναι E(X Y = ) = f X Y ( ) = f X,Y (, ) f Y () f X Y ( ) =, = ( + 2) 3 για, = 1, 2, 3. = για = 1, 2, 3

5 με αντίστοιχες πιθανότητες f Y () =. E(E(X Y )) = E(X Y = )f Y () = = 1 ( + 2) = 7/3. Ο υπολογισμός της E(E(X Y )) γίνεται και ως εξής: E(E(X Y )) = E(X) = f X () = 2 = 7/3. (iv) Είδαμε ότι E(X) = 7/3 και ομοίως E(Y ) = 7/3. E(X + Y ) = E(X) + E(X) = 14/3. E(X 2 ) = 2 f X () = 1 3 = οπότε Var(X) = E(X 2 ) E(X) 2 = 5/9. Ομοίως, Var(Y ) = 5/9. E(XY ) = f X,Y (, ) = 1, ( + 2) = 1/3., και Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) = 1/9 Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) + 2 Cov(X, Y ) = 8/9.. Έστω ότι η δ.τ.μ. Y ακολουθεί την κατανομή Poisson με παράμετρο λ και ότι η δεσμευμένη συνάρτηση πιθανότητας της δ.τ.μ. X όταν γνωρίζουμε ότι Y = είναι δυωνυμική με παραμέτρους, p. Βρείτε την κατανομή της X. Κατ αρχάς, f X,Y (, ) = f X Y ( )f Y () = ( )p (1 p) λ λ e! = e λ (λp)! (λ(1 p)) ( )! για = 0, 1, 2,... και = 0, 1,...,. f X () = + = λ (λp) = e! λ (λp) + (λ(1 p)) f X,Y (, ) = e! ( )! = + =0 (λ(1 p))! λ (λp) = e e λ(1 p) λp (λp) = e!! για = 0, 1, 2,.... Δηλαδή, η X ακολουθεί την κατανομή Poisson με παράμετρο λp. 5