Συνδυαστική Ανάλυση. Υπολογισμός της πιθανότητας σε διακριτούς χώρους με ισοπίθανα αποτελέσματα:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Συνδυαστική Ανάλυση. Υπολογισμός της πιθανότητας σε διακριτούς χώρους με ισοπίθανα αποτελέσματα:"

Transcript

1 Συνδυαστική Ανάλυση Υπολογισμός της πιθανότητας σε διακριτούς χώρους με ισοπίθανα αποτελέσματα: P( A) N( A) N ( ) Ν(Α): πλήθος ευνοϊκών αποτελεσμάτων του Α Ν(Ω): πλήθος συνολικών αποτελεσμάτων του Ω Χρειαζόμαστε εργαλεία που να υπολογίζουν πλήθος αποτελεσμάτων σε διακριτούς χώρους. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 1 )

2 Αρχή της Συνδυαστικής Ανάλυσης Έστω τεστ πολλαπλών επιλογών αποτελούμενο από ερωτήματα x i (i=1,,), κάθε ένα από τα οποία έχει x 1,2,, i διαφορετικές απαντήσεις, i i Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 2 )

3 Αρχή της Συνδυαστικής Ανάλυσης Έστω τεστ πολλαπλών επιλογών αποτελούμενο από ερωτήματα x i (i=1,,), κάθε ένα από τα οποία έχει i διαφορετικές απαντήσεις, x 1,2,, i i Κάθε -άδα (x 1 x 2 x ) εκφράζει μία πλειάδα απαντήσεων στα ερωτήματα δηλ. ένα στιγμιότυπο. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 3 )

4 Αρχή της Συνδυαστικής Ανάλυσης Έστω τεστ πολλαπλών επιλογών αποτελούμενο από ερωτήματα x i (i=1,,), κάθε ένα από τα οποία έχει i διαφορετικές απαντήσεις, x 1,2,, i i Κάθε -άδα (x 1 x 2 x ) εκφράζει μία πλειάδα απαντήσεων στα ερωτήματα δηλ. ένα στιγμιότυπο. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 4 )

5 Αρχή της Συνδυαστικής Ανάλυσης Έστω τεστ πολλαπλών επιλογών αποτελούμενο από ερωτήματα x i (i=1,,), κάθε ένα από τα οποία έχει i διαφορετικές απαντήσεις, x 1,2,, i i Κάθε -άδα (x 1 x 2 x ) εκφράζει μία πλειάδα απαντήσεων στα ερωτήματα δηλ. ένα στιγμιότυπο. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 5 )

6 Για =2 (x 1 x 2 ) Έστω x 1 {a 1, a 2,, a 1 } και x 2 {b 1, b 2,, b 2 } οι διαφορετικές απαντήσεις των 2 ερωτημάτων Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 6 )

7 Για =2 (x 1 x 2 ) Έστω x 1 {a 1, a 2,, a 1 } και x 2 {b 1, b 2,, b 2 } οι διαφορετικές απαντήσεις των 2 ερωτημάτων Αναπαριστούμε όλα τα δυνατά ζεύγη απαντήσεων (a i, b j ) με την μορφή ενός πίνακα Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 7 )

8 Για =2 (x 1 x 2 ) Έστω x 1 {a 1, a 2,, a 1 } και x 2 {b 1, b 2,, b 2 } οι διαφορετικές απαντήσεις των 2 ερωτημάτων Αναπαριστούμε όλα τα δυνατά ζεύγη απαντήσεων (a i, b j ) με την μορφή ενός πίνακα, κάθε στοιχείο του οποίου είναι μία πιθανή λύση Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 8 )

9 Για =2 (x 1 x 2 ) Έστω x 1 {a 1, a 2,, a 1 } και x 2 {b 1, b 2,, b 2 } οι διαφορετικές απαντήσεις των 2 ερωτημάτων Αναπαριστούμε όλα τα δυνατά ζεύγη απαντήσεων (a i, b j ) με την μορφή ενός πίνακα, κάθε στοιχείο του οποίου είναι μία πιθανή λύση Έτσι, υπάρχουν συνολικά 1 * 2 διαφορετικά ζεύγη απαντήσεων (στιγμιότυπα) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 9 )

10 Για =3 (x 1 x 2 x 3 ) Έστω x 1 {a 1, a 2,, a 1 }, x 2 {b 1, b 2,, b 2 } και x 3 {c 1, c 2,, c 3 } οι διαφορετικές απαντήσεις των 3 ερωτημάτων Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 10 )

11 Για =3 (x 1 x 2 x 3 ) Έστω x 1 {a 1, a 2,, a 1 }, x 2 {b 1, b 2,, b 2 } και x 3 {c 1, c 2,, c 3 } οι διαφορετικές απαντήσεις των 3 ερωτημάτων Χρησιμοποιούμε πίνακα με γραμμές τα ( 1 x 2 ) δυνατά ζεύγη απαντήσεων των (x 1, x 2 ) και στήλες τις 3 απαντήσεις του x 3, κάθε στοιχείο του οποίου είναι μία πιθανή λύση Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 11 )

12 Για =3 (x 1 x 2 x 3 ) Έστω x 1 {a 1, a 2,, a 1 }, x 2 {b 1, b 2,, b 2 } και x 3 {c 1, c 2,, c 3 } οι διαφορετικές απαντήσεις των 3 ερωτημάτων Χρησιμοποιούμε πίνακα με γραμμές τα ( 1 x 2 ) δυνατά ζεύγη απαντήσεων των (x 1, x 2 ) και στήλες τις 3 απαντήσεις του x 3, κάθε στοιχείο του οποίου είναι μία πιθανή λύση c 1 c 2 c 3 (a 1 b 1 ) (a 1 b 1 c 1 ) (a 1 b 1 c 2 ). (a 1 b 1 c 3 ) (a 1 b 2 ) (a 1 b 2 c 1 ) (a 1 b 2 c 2 ). (a 1 b 2 c 3 ) Συνολικά 1 x 2 x 3 διαφορετικές 3άδες απαντήσεων (a 1 b 2 ) (a 1 b 2 c 1 ) (a 1 b 2 c 2 ). (a 1 b 2 c 3 ) (a 2 b 1 ) (a 2 b 1 c 1 ) (a 2 b 1 c 2 ). (a 2 b 1 c 3 ). (a 1 b 2 ) (a 1 b 2 c 1 ) (a 1 b 2 c 2 ). (a 1 b 2 c 3 ) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 12 )

13 Πολλαπλασιαστική αρχή ή Αρχή του γινομένου Γενικά: Έστω ερωτήματα-αντικείμενα (x 1 x 2 x ) με i δυνατές απαντήσεις (τιμές) το κάθενα. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 13 )

14 Πολλαπλασιαστική αρχή ή Αρχή του γινομένου Γενικά: Έστω ερωτήματα-αντικείμενα (x 1 x 2 x ) με i δυνατές απαντήσεις (τιμές) το κάθενα. To γινόμενο 1 2 εκφράζει: όλους τους διαφορετικούς τρόπους που μπορούμε να απαντήσουμε στα ερωτήματα. ή όλους τους διαφορετικούς τρόπους επιλογής των αντικειμένων. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 14 )

15 Πολλαπλασιαστική αρχή ή Αρχή του γινομένου Γενικά: Έστω ερωτήματα-αντικείμενα (x 1 x 2 x ) με i δυνατές απαντήσεις (τιμές) το κάθενα. To γινόμενο 1 2 εκφράζει: όλους τους διαφορετικούς τρόπους που μπορούμε να απαντήσουμε στα ερωτήματα. ή όλους τους διαφορετικούς τρόπους επιλογής των αντικειμένων. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 15 )

16 Παραδείγματα (α) Θέλουμε να πάμε από την πόλη Α στην πόλη Γ μέσω της πόλης Β. Υπάρχουν 2 εναλλακτικές διαδρομές από την Α στην Β και 4 εναλλακτικές από την Β στην Γ. Πλήθος εναλλακτικών διαδρομών? (β) Για την παραγωγή των 7-ψήφιων αριθμών κυκλοφορίας οχημάτων χρησιμοποιούνται για τα 3 πρώτα γράμματα 14 ελληνο-λατινικοί χαρακτήρες και για τα επόμενα 4 ψηφία 10 αριθμοί [0, 1,, 9]. Πλήθος πινακίδων? Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 16 )

17 Ανάλογα με το είδος της διαδικασίας επιλογής (δειγματοληψία) των αντικειμένων διακρίνουμε τις περιπτώσεις: A. Δειγματοληψία με επανάθεση και με διάταξη B. Δειγματοληψία χωρίς επανάθεση και με διάταξη C. Δειγματοληψία χωρίς επανάθεση και χωρίς διάταξη Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 17 )

18 (Α) Δειγματοληψία με επανάθεση και με διάταξη Επιλέγουμε αντικείμενα δοχείο που περιέχει διαφορετικά αντικείμενα με επανάθεση, δηλ. κάθε φορά επανατοποθετούμε το αντικείμενο που επιλέχτηκε. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 18 )

19 (Α) Δειγματοληψία με επανάθεση και με διάταξη Επιλέγουμε αντικείμενα δοχείο που περιέχει διαφορετικά αντικείμενα με επανάθεση, δηλ. κάθε φορά επανατοποθετούμε το αντικείμενο που επιλέχτηκε. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 19 )

20 (Α) Δειγματοληψία με επανάθεση και με διάταξη Επιλέγουμε αντικείμενα δοχείο που περιέχει διαφορετικά αντικείμενα με επανάθεση, δηλ. κάθε φορά επανατοποθετούμε το αντικείμενο που επιλέχτηκε. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 20 )

21 (Α) Δειγματοληψία με επανάθεση και με διάταξη Επιλέγουμε αντικείμενα δοχείο που περιέχει διαφορετικά αντικείμενα με επανάθεση, δηλ. κάθε φορά επανατοποθετούμε το αντικείμενο που επιλέχτηκε. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 21 )

22 (Α) Δειγματοληψία με επανάθεση και με διάταξη Επιλέγουμε αντικείμενα δοχείο που περιέχει διαφορετικά αντικείμενα με επανάθεση, δηλ. κάθε φορά επανατοποθετούμε το αντικείμενο που επιλέχτηκε. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 22 )

23 (Α) Δειγματοληψία με επανάθεση και με διάταξη Επιλέγουμε αντικείμενα δοχείο που περιέχει διαφορετικά αντικείμενα με επανάθεση, δηλ. κάθε φορά επανατοποθετούμε το αντικείμενο που επιλέχτηκε. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 23 )

24 (Α) Δειγματοληψία με επανάθεση και με διάταξη Επιλέγουμε αντικείμενα δοχείο που περιέχει διαφορετικά αντικείμενα με επανάθεση, δηλ. κάθε φορά επανατοποθετούμε το αντικείμενο που επιλέχτηκε. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 24 )

25 (Α) Δειγματοληψία με επανάθεση και με διάταξη Επιλέγουμε αντικείμενα δοχείο που περιέχει διαφορετικά αντικείμενα με επανάθεση, δηλ. κάθε φορά επανατοποθετούμε το αντικείμενο που επιλέχτηκε. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 25 )

26 (Α) Δειγματοληψία με επανάθεση και με διάταξη Επιλέγουμε αντικείμενα δοχείο που περιέχει διαφορετικά αντικείμενα με επανάθεση, δηλ. κάθε φορά επανατοποθετούμε το αντικείμενο που επιλέχτηκε. Είναι δυνατόν το ίδιο αντικείμενο να το επιλέξουμε περισσότερες από 1 φορές Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 26 )

27 (Α) Δειγματοληψία με επανάθεση και με διάταξη Επιλέγουμε αντικείμενα δοχείο που περιέχει διαφορετικά αντικείμενα με επανάθεση, δηλ. κάθε φορά επανατοποθετούμε το αντικείμενο που επιλέχτηκε. Έτσι, i = δυνατές τιμές i=1,, σε κάθε επιλογή Έτσι, σύμφωνα με την πολλαπλασιαστική αρχή: 1 x 2 x x = δυνατές επιλογές Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 27 )

28 Παράδειγμα Έστω δοχείο με σφαίρες. Επιλέγουμε 2 σφαίρες με επανάθεση. Ποια είναι η πιθανότητα οι 2 σφαίρες να είναι ίδιες; Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 28 )

29 Παράδειγμα Έστω δοχείο με σφαίρες. Επιλέγουμε 2 σφαίρες με επανάθεση. Ποια είναι η πιθανότητα οι 2 σφαίρες να είναι ίδιες; Λύση Υπάρχουν 2 δυνατές επιλογές (Ω), ενώ οι επιλογές όπου οι 2 σφαίρες είναι ίδιες (Α) είναι. P(Α=«2 σφαίρες ίδιες») = Ν(Α) / Ν(Ω) = / 2 = 1/ Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 29 )

30 (Β) Δειγματοληψία χωρίς επανάθεση και με διάταξη Επιλέγουμε αντικείμενα από ένα σύνολο Α που περιέχει διαφορετικά αντικείμενα χωρίς επανάθεση, δηλ. κάθε φορά δεν επανατοποθετούμε στο σύνολο Α το αντικείμενο που επιλέχτηκε. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 30 )

31 (Β) Δειγματοληψία χωρίς επανάθεση και με διάταξη η επιλογή: Υπάρχουν διαθέσιμες σφαίρες ( επιλογές) Επιλέγουμε αντικείμενα από ένα σύνολο Α που περιέχει διαφορετικά αντικείμενα χωρίς επανάθεση, δηλ. κάθε φορά δεν επανατοποθετούμε στο σύνολο Α το αντικείμενο που επιλέχτηκε. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 31 )

32 (Β) Δειγματοληψία χωρίς επανάθεση και με διάταξη η επιλογή: : Υπάρχουν διαθέσιμες σφαίρες ( επιλογές) Επιλέγουμε αντικείμενα από ένα σύνολο Α που περιέχει διαφορετικά αντικείμενα χωρίς επανάθεση, δηλ. κάθε φορά δεν επανατοποθετούμε στο σύνολο Α το αντικείμενο που επιλέχτηκε. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 32 )

33 (Β) Δειγματοληψία χωρίς επανάθεση και με διάταξη Όχι επανάθεση Επιλέγουμε αντικείμενα από ένα σύνολο Α που περιέχει διαφορετικά αντικείμενα χωρίς επανάθεση, δηλ. κάθε φορά δεν επανατοποθετούμε στο σύνολο Α το αντικείμενο που επιλέχτηκε. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 33 )

34 (Β) Δειγματοληψία χωρίς επανάθεση και με διάταξη η επιλογή: Υπάρχουν -1 διαθέσιμες σφαίρες (-1 επιλογές) Επιλέγουμε αντικείμενα από ένα σύνολο Α που περιέχει διαφορετικά αντικείμενα χωρίς επανάθεση, δηλ. κάθε φορά δεν επανατοποθετούμε στο σύνολο Α το αντικείμενο που επιλέχτηκε. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 34 )

35 (Β) Δειγματοληψία χωρίς επανάθεση και με διάταξη η επιλογή: Υπάρχουν -1 διαθέσιμες σφαίρες (-1 επιλογές) Επιλέγουμε αντικείμενα από ένα σύνολο Α που περιέχει διαφορετικά αντικείμενα χωρίς επανάθεση, δηλ. κάθε φορά δεν επανατοποθετούμε στο σύνολο Α το αντικείμενο που επιλέχτηκε. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 35 )

36 (Β) Δειγματοληψία χωρίς επανάθεση και με διάταξη η επιλογή: Υπάρχουν -2 διαθέσιμες σφαίρες (-2 επιλογές) Επιλέγουμε αντικείμενα από ένα σύνολο Α που περιέχει διαφορετικά αντικείμενα χωρίς επανάθεση, δηλ. κάθε φορά δεν επανατοποθετούμε στο σύνολο Α το αντικείμενο που επιλέχτηκε. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 36 )

37 (Β) Δειγματοληψία χωρίς επανάθεση και με διάταξη η επιλογή: Υπάρχουν -2 διαθέσιμες σφαίρες (-2 επιλογές) Επιλέγουμε αντικείμενα από ένα σύνολο Α που περιέχει διαφορετικά αντικείμενα χωρίς επανάθεση, δηλ. κάθε φορά δεν επανατοποθετούμε στο σύνολο Α το αντικείμενο που επιλέχτηκε. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 37 )

38 (Β) Δειγματοληψία χωρίς επανάθεση και με διάταξη η επιλογή: Υπάρχουν -+1 διαθέσιμες σφαίρες (-+1 επιλογές) Επιλέγουμε αντικείμενα από ένα σύνολο Α που περιέχει διαφορετικά αντικείμενα χωρίς επανάθεση, δηλ. κάθε φορά δεν επανατοποθετούμε στο σύνολο Α το αντικείμενο που επιλέχτηκε. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 38 )

39 (Β) Δειγματοληψία χωρίς επανάθεση και με διάταξη η επιλογή: Υπάρχουν -+1 διαθέσιμες σφαίρες (-+1 επιλογές) Επιλέγουμε αντικείμενα από ένα σύνολο Α που περιέχει διαφορετικά αντικείμενα χωρίς επανάθεση, δηλ. κάθε φορά δεν επανατοποθετούμε στο σύνολο Α το αντικείμενο που επιλέχτηκε. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 39 )

40 (Β) Δειγματοληψία χωρίς επανάθεση και με διάταξη Επιλέγουμε αντικείμενα από ένα σύνολο Α που περιέχει διαφορετικά αντικείμενα χωρίς επανάθεση. Έτσι: 1 η επιλογή 1 = δυνατές επιλογές 2 η επιλογή 2 = -1 δυνατές επιλογές η επιλογή = -(-1) = -+1 δυνατές επιλογές Έτσι σύμφωνα με την πολλαπλασιαστική αρχή υπάρχουν: (-1) (-+1) δυνατές επιλογές ή διατάξεις Διάταξη ανά : κάθε διατεταγμένο υποσύνολο στοιχείων ενός συνόλου αποτελούμενο από στοιχεία. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 40 )

41 Παραδείγματα (1) Έστω δοχείο με σφαίρες. Επιλέγουμε σφαίρες με επανάθεση. Ποια είναι η πιθανότητα οι σφαίρες να είναι ίδιες; Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 41 )

42 Παραδείγματα (1) Έστω δοχείο με σφαίρες. Επιλέγουμε σφαίρες με επανάθεση. Ποια είναι η πιθανότητα οι σφαίρες να είναι ίδιες; Λύση P( σφαίρες ίδιες) = 1-P(όχι ίδιες) = = 1- P(επιλογή από χωρίς επανάθεση) = = 1 (-1) (-+1)/ Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 42 )

43 Παραδείγματα (2) Δοχείο με αριθμημένες σφαίρες. Επιλέγουμε 2 σφαίρες χωρίς επανάθεση. Ποια η πιθανότητα η 1 η σφαίρα να είναι μεγαλύτερη της 2 ης? Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 43 )

44 Παραδείγματα (2) Δοχείο με αριθμημένες σφαίρες. Επιλέγουμε 2 σφαίρες χωρίς επανάθεση. Ποια η πιθανότητα η 1 η σφαίρα να είναι μεγαλύτερη της 2 ης? Λύση Υπάρχουν (-1) δυνατές επιλογές. Περιπτώσεις όπου 1 η σφαίρα μεγαλύτερη της 2 ης : αν 1 η σφαίρα η => υπάρχουν -1 επιλογές για την 2 η αν >> -1 => >> -2 >> αν >> 2 => >> 1 >> Έτσι συνολικά Άρα P(A) = N(A)/N(Ω) = 2 2 δυν. επιλογες Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 44 )

45 Μεταθέσεις Εστω ότι κάνουμε δειγματοληψία χωρίς επανάθεση από δοχείο με αντικείμενα με =, Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 45 )

46 Μεταθέσεις Εστω ότι κάνουμε δειγματοληψία χωρίς επανάθεση από δοχείο με αντικείμενα με =, δηλ. επιλέγουμε αντικείμενα από το δοχείο έως ότου αδειάσει. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 46 )

47 Μεταθέσεις Εστω ότι κάνουμε δειγματοληψία χωρίς επανάθεση από δοχείο με αντικείμενα με =, Τότε το πλήθος διατάξεων είναι: *(-1)*(-2)* *2*1 =! ( παραγοντικό )! πλήθος μεταθέσεων, δηλ. διατάξεων αντικειμένων Ισχύει ότι! 2 τύπος του Stirlig. e Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 47 )

48 Παράδειγμα Έστω σφαίρες τοποθετούνται σε δοχεία, όπου σε κάθε δοχείο επιτρέπεται να τοποθετηθούν περισσότερες από 1 σφαίρες. Ποια είναι η πιθανότητα όλα τα δοχεία να είναι γεμάτα? Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 48 )

49 Παράδειγμα Έστω σφαίρες τοποθετούνται σε δοχεία, όπου σε κάθε δοχείο επιτρέπεται να τοποθετηθούν περισσότερες από 1 σφαίρες. Ποια είναι η πιθανότητα όλα τα δοχεία να είναι γεμάτα? Λύση P(και τα δοχεία γεμάτα) = P(μετάθεση των σφαιρών στα δοχεία) = =! / Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 49 )

50 (Γ) Δειγματοληψία χωρίς επανάθεση και χωρίς διάταξη Επιλέγουμε αντικείμενα χωρίς επανάθεση από δοχείο με αντικείμενα και τα τοποθετούμε σε άλλο κουτί χωρίς να μας ενδιαφέρει η διάταξή τους. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 50 )

51 (Γ) Δειγματοληψία χωρίς επανάθεση και χωρίς διάταξη - Επιλέγουμε αντικείμενα χωρίς επανάθεση από δοχείο με αντικείμενα και τα τοποθετούμε σε άλλο κουτί χωρίς να μας ενδιαφέρει η διάταξή τους. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 51 )

52 (Γ) Δειγματοληψία χωρίς επανάθεση και χωρίς διάταξη Επιλέγουμε αντικείμενα χωρίς επανάθεση από δοχείο με αντικείμενα και τα τοποθετούμε σε άλλο κουτί χωρίς να μας ενδιαφέρει η διάταξή τους. Πλήθος επιλογών: Πλήθος διαφορετικών (μη διατεταγμένων) υποσυνόλων αντικειμένων ενός συνόλου με αντικείμενα. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 52 )

53 (Γ) Δειγματοληψία χωρίς επανάθεση και χωρίς διάταξη Επιλέγουμε αντικείμενα χωρίς επανάθεση από δοχείο με αντικείμενα και τα τοποθετούμε σε άλλο κουτί χωρίς να μας ενδιαφέρει η διάταξή τους. Πλήθος επιλογών: Πλήθος διαφορετικών (μη διατεταγμένων) υποσυνόλων αντικειμένων ενός συνόλου με αντικείμενα.!!! συνδυασμοί ανά Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 53 )

54 Τρόπος υπολογισμού: Επιλογή με διάταξη αντικειμένων από τα : (-1) (-+1)!!! Έστω C πλήθος επιλογών χωρίς διάταξη. Για κάθε επιλογή! διατάξεις (μεταθέσεις). Τότε: Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 54 )

55 Τρόπος υπολογισμού: Επιλογή με διάταξη αντικειμένων από τα : (-1) (-+1)!!! Έστω C πλήθος επιλογών χωρίς διάταξη. Για κάθε επιλογή! διατάξεις (μεταθέσεις). Τότε: Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 55 )

56 Τρόπος υπολογισμού: Επιλογή με διάταξη αντικειμένων από τα : (-1) (-+1)!!! Έστω C πλήθος επιλογών από χωρίς διάταξη. Για κάθε επιλογή! διατάξεις (μεταθέσεις). Τότε: Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 56 )

57 Τρόπος υπολογισμού: Επιλογή με διάταξη αντικειμένων από τα : (-1) (-+1)!!! Έστω C πλήθος επιλογών από χωρίς διάταξη. Για κάθε επιλογή! διατάξεις (μεταθέσεις). Τότε: Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 57 )

58 Τρόπος υπολογισμού: Επιλογή με διάταξη αντικειμένων από τα : (-1) (-+1) Έστω C πλήθος επιλογών από χωρίς διάταξη. Για κάθε επιλογή! διατάξεις (μεταθέσεις). Τότε:!!! Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 58 ) C C!!!! 1) 1)...( ( 1) 1)...( (!

59 Τρόπος υπολογισμού: Επιλογή με διάταξη αντικειμένων από τα : (-1) (-+1) Έστω C πλήθος επιλογών από χωρίς διάταξη. Για κάθε επιλογή! διατάξεις (μεταθέσεις). Τότε:!!! Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 59 ) C C!!!! 1) 1)...( ( 1) 1)...( (!

60 Παρατηρήσεις Οι είναι οι συντελεστές του διωνυμικού αναπτύγματος Ισχύει ότι b a b a 0 Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 60 )

61 Παρατηρήσεις Οι είναι οι συντελεστές του διωνυμικού αναπτύγματος Ισχύει ότι b a b a 0 Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 61 )

62 Παρατηρήσεις Οι είναι οι συντελεστές του διωνυμικού αναπτύγματος Ισχύει ότι?? 1?? 1 x b a b a 0 Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 62 )

63 Παρατηρήσεις Οι είναι οι συντελεστές του διωνυμικού αναπτύγματος Ισχύει ότι 2 1 x x 1 1 b a b a 0 Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 63 )

64 Παρατηρήσεις (συν.) Το εκφράζει το πλήθος διαμερίσεων ενός συνόλου Α αποτελούμενο από αντικείμενα σε δύο (ξένα) υποσύνολα: Α 1 με αντικείμενα και A 2 με - αντικείμενα A A 1 A 2 - Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 64 )

65 Πολυωνυμικοί συντελεστές: ( ανά 1, 2,, m ) Είναι οι συντελεστές του πολυωνυμικού αναπτύγματος:!!!! m m m m m m m m a a a a a a ,,, m 2 1 Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 65 )

66 Πολυωνυμικοί συντελεστές:!!! 1 2 m 1 2 m! Εκφράζουν το πλήθος των διαμερίσεων ενός συνόλου Α αποτελούμενο από αντικείμενα σε m το πλήθος ξένα υποσύνολα Α 1, A 2,, Α m με 1, 2,, m αντικείμενα, αντίστοιχα. A 1 2 m A 1 A 2 A m 1 2 m Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 66 )

67 Παραδείγματα Συνδυαστικής (1) Ένας φοιτητής έχει στην διάθεσή του 4 παντελόνια για την καθημερινή του ένδυση. Ποτέ όμως δεν φορά το ίδιο παντελόνι δύο συνεχόμενες ημέρες. Πόσοι είναι οι δυνατές επιλογές παντελονιών σε διάστημα =5 ημερών; Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 67 )

68 (2) Πόσα είναι τα συνολικά 7-ψήφια τηλεφωνικά νούμερα αν το πρώτο ψηφίο δεν μπορεί να είναι 0 ή 1; Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 68 )

69 (3) Για να παραγγείλετε μια πίτσα special χρειάζεται να επιλέξετε 4 συστατικά μεταξύ 15 διαθέσιμων συστατικών. (α) Πόσοι οι διαφορετικοί συνδυασμοί αν επιτρέπεται το ίδιο συστατικό να εμφανιστεί περισσότερες από μία φορές ; (β) Πόσοι σε περίπτωση που απαγορεύεται; Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 69 )

70 (4) Με πόσους διαφορετικούς τρόπους 10 φοιτητές μπορούν να τοποθετηθούν σε 10 θέσεις εργασίας; Με πόσους σε 12 θέσεις; Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 70 )

71 (5) Έστω παρτίδα με 50 μηχανήματα, εκ των οποίων τα 10 είναι ελαττωματικά. Έστω ότι επιλέγουμε 15 μηχανήματα. Ποια είναι η πιθανότητα να υπάρχουν ακριβώς 4 ελαττωματικά? Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 71 )

72 (6) Έστω τράπουλα με 52 κάρτες. Βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: (α) η 1 η κάρτα που θα επιλέξουμε να είναι άσσος ), (β) να υπάρχουν 2 Βαλέ μεταξύ 7 επιλεγόμενων καρτών, (γ) να υπάρχουν 3 άσσοι και 2 βαλέ μεταξύ 7 επιλεγόμενων καρτών. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 72 )

73 (7) Σε μία παρτίδα από 100 μηχανήματα ελέγχονται 2 μηχανήματα και η παρτίδα απορρίπτεται αν κάποιο από τα μηχανήματα βρεθεί ελαττωματικό. α) Βρείτε την πιθανότητα αποδοχής της παρτίδας αν γνωρίζεται ότι υπάρχουν 5 ελαττωματικά μηχανήματα. Επαναλάβατε αν υπάρχουν 10 ελαττωματικά. β) Υπολογίστε τις πιθανότητες αποδοχής της παρτίδας του ερωτήματος (α) αν 3 μηχανήματα ελέγχονται και αποδεχόσαστε μία παρτίδα όταν το πολύ ένα από τα 3 μηχανήματα βρεθεί ελαττωματικό. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 73 )

74 Γενικές Ασκήσεις 1 ης ενότητας 1)Έστω πληθυσμός όπου ο λόγος αντρών προς γυναικών είναι θ. Υποθέτουμε ότι η πιθανότητα ένας άντρας να παρουσιάσει αχρωματοψία είναι q, ενώ η ίδια πιθανότητα στις γυναίκες είναι q 2. Έστω ότι ένα άτομο εκλέγεται τυχαία από τον πληθυσμό. Να υπολογιστούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων (α) να είναι γυναίκα με αχρωματοψία και (β) να παρουσιάζει αχρωματοψία. (γ) να είναι γυναίκα αν παρουσιάσει αχρωματοψία Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 74 )

75 2)Σε μία συγκεκριμένη διαδρομή η πιθανότητα ένα οποιοδήποτε φανάρι ρύθμισης της κυκλοφορίας να είναι του ιδίου χρώματος με το προηγούμενο είναι 4/5. Αν το πρώτο φανάρι είναι πράσινο με πιθανότητα 3/5 και κόκκινο με πιθανότητα 2/5, να υπολογιστεί η πιθανότητα το τρίτο φανάρι να είναι πράσινο. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 75 )

76 3) Σε κάλπη Α υπάρχουν τρεις λευκές και τρεις μαύρες σφαίρες και σε κάλπη Β υπάρχουν έξι λευκές και οκτώ μαύρες σφαίρες. Εξάγονται δύο σφαίρες από την Α και τοποθετούνται στην Β. Ακολούθως από την Β εξάγεται μία σφαίρα. Ποια η πιθανότητα να είναι λευκή; Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 76 )

77 4) Στο σχήμα παρουσιάζεται ένα δυαδικό κανάλι επικοινωνίας, και οι αντίστοιχες δεσμευμένες πιθανότητες μετάδοσης (π.χ. η ε 1 (2) είναι η πιθανότητα μετάδοσης του 1(0) αν η είσοδος του καναλιού είναι 0 (1), που είναι η πιθανότητα σφάλματος για το 0 (1) ). Στην είσοδο του καναλιού μπορούν να εμφανιστούν οι τιμές 0 και 1 με ίση πιθανότητα. α) Βρείτε την πιθανότητα να πάρουμε στην έξοδο το 0. β) Πόση είναι η πιθανότητα η είσοδος του καναλιού να ήταν το 0, αν γνωρίζουμε ότι στην έξοδο εμφανίστηκε το 1 ; Βρείτε επίσης την πιθανότητα η είσοδος να ήταν το 1, αν στην έξοδο εμφανίστηκε το σύμβολο 1. γ) Ποια τιμή της εισόδου είναι η πιο πιθανή ; Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 77 )

78 5) Μία παρτίδα 140 μικροτσίπ για την οποία γνωρίζουμε ότι 10 εξ αυτών είναι ελαττωματικά, ελέγχεται επιλέγοντας ένα μικρό δείγμα 5 μικροτσίπ. α) Πόσες είναι οι διαφορετικές επιλογές (δείγματα των 5) που έχουμε; β) Ποια η πιθανότητα σε ένα τυχαίο δείγμα να βρεθεί ακριβώς ένα ελαττωματικό μικροτσίπ; γ) Ποια η πιθανότητα σε ένα τυχαίο δείγμα να βρεθεί τουλάχιστον ένα ελαττωματικό μικροτσίπ; Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 78 )

79 6) Ένας γιατρός μελετά την σχέση μεταξύ πίεσης αίματος (υψηλή, χαμηλή, κανονική) και κτύπων καρδιάς (κανονικοί, ανώμαλοι) σε ασθενείς. Μετά από μελέτες βρήκε ότι: Το 14% έχουν υψηλή πίεση αίματος, Το 22% έχουν χαμηλή πίεση αίματος Το 15% έχουν ανώμαλους κτύπους καρδιάς Το 1/3 αυτών με ανώμαλους κτύπους καρδιάς έχουν υψηλή πίεση αίματος Το 1/8 αυτών με κανονική πίεση αίματος έχουν ανώμαλους κτύπους καρδιάς Τι ποσοστό έχουν κανονικούς κτύπους καρδιάς και χαμηλή πίεση αίματος ; Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 79 )

80 7) Μία ομάδα οικολόγων μελετούν ένα σπάνιο είδος ζώου σε ορεινό όγκο όπου υπάρχουν δύο τύποι δασών: Α και Β (ίση πιθανότητα για το καθένα). Οι δασικές περιοχές που επιλέγονται τυχαία μπορεί να είναι είτε «ακατάλληλες» για το ζώο και δεν υπάρχει καμία εμφάνισή του, είτε «κατάλληλες» όπου ο αριθμός εμφάνισής τους μπορεί να είναι 0, 1, 2, ή 3 με πιθανότητες 0.1, 0.3, 0.4 και 0.2, αντίστοιχα. Η πιθανότητα μία δασική περιοχή να είναι «κατάλληλη» είναι 0.8 για τύπο δάσους Α και 0.3 για το δάσος τύπου Β. α) Ποια είναι η πιθανότητα μία δασική περιοχή να είναι «κατάλληλη»; β) Ποια είναι η πιθανότητα σε μια δασική περιοχή να υπάρχουν εμφανίσεις του ζώου, όπου {0, 1, 2, 3} ; γ) Αν η ομάδα οικολόγων έχουν ελέγξει μία δασική περιοχή όπου δεν βρέθηκε καμία εμφάνιση του ζώου, ποια η πιθανότητα να είναι τύπου Α; δ) Εάν δεν υπάρχει κανένα ζώο σε μία δασική περιοχή, ποια η πιθανότητα να είναι τύπου Α; Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 80 )

81 (8) Το πρόβλημα των γενεθλίων: Σε ένα δωμάτιο υπάρχουν άτομα. Ποια είναι η πιθανότητα να υπάρχουν τουλάχιστον δύο άτομα που να έχουν την ίδια ημέρα γενέθλια? Υπόθεση: 365 Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 81 )

82 Το πρόβλημα των γενεθλίων: Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 82 )

83 (9) Το δίλημμα του φυλακισμένου: Ένας φυλακισμένος που έχει υποβάλει μαζί με άλλους δύο συγκρατούμενούς του αίτηση απονομής χάριτος, μαθαίνει από ένα φίλο του φύλακα, ότι δύο από τους τρεις πρόκειται να αποφυλακισθούν. Επειδή ο φύλακας δε θέλει να αποκαλύψει στον φυλακισμένο αν αυτός είναι ο ένας από τους δύο που αποφυλακίζονται, ο φυλακισμένος σκέπτεται να του ζητήσει να του αποκαλύψει ποιος από τους άλλους δύο πρόκειται να αποφυλακισθεί. Όμως διστάζει γιατί σκέπτεται ότι με την απάντηση του φρουρού μειώνεται η πιθανότητα αποφυλάκισής του από 2/3 σε 1/2. Είναι οι δισταγμοί του φυλακισμένου δικαιολογημένοι; Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 83 )

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Συνδυαστική Ανάλυση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Συνδυαστική Ανάλυση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Πιθανότητες Συνδυαστική Ανάλυση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής. Προπτυχιακό Μάθημα: Πιθανότητες (Διδάσκων: Κων/νος Μπλέκας)

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής. Προπτυχιακό Μάθημα: Πιθανότητες (Διδάσκων: Κων/νος Μπλέκας) Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Προπτυχιακό Μάθημα: Πιθανότητες (Διδάσκων: Κων/νος Μπλέκας) Διάφορες Ασκήσεις πάνω στην η Ενότητα: (Αξιωματικός Ορισμός, Δεσμευμένη-Ολική Πιθανότητα,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 6o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

Δεσμευμένη (ή υπο-συνθήκη) Πιθανότητα (Conditional Probability)

Δεσμευμένη (ή υπο-συνθήκη) Πιθανότητα (Conditional Probability) Δεσμευμένη (ή υπο-συνθήκη) Πιθανότητα (Condtonal robablty) Συχνά μας ενδιαφέρει η συσχέτισή 2 ενδεχομένων Α και Β, δηλ. να δούμε το κατά πόσο η γνώση του ενός από τα δύο (π.χ. Β) επηρεάζει τη πιθανότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου

Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 Ορισµός Πιθανότητας Στοιχεία Συνδυαστικής Κλασικός Ορισµός της Πιθανότητας Εστω Ω ο δειγµατοχώρος ενός πειράµατος

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός της Πιθανότητας (Ι)

Ορισμός της Πιθανότητας (Ι) Ορισμός της Πιθανότητας (Ι) Κλασσικός Ορισμός Πιθανότητα ενδεχομένου Α ( ) N( ) N ( ) Ν(Α): πλήθος ευνοϊκών αποτελεσμάτων του ενδεχ. Α Ν(Ω): πλήθος συνολικών αποτελεσμάτων του δ.χ. Ω Περιορισμοί: - μόνο

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1ης Ομάδας Ασκήσεων

Λύσεις 1ης Ομάδας Ασκήσεων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ Λύσεις ης Ομάδας Ασκήσεων Τμήμα Α Λ. Ισότητα συνόλων Έστω C = A i= B i και D = i= A B i. Θα αποδείξουμε ότι τα C, D ταυτίζονται,

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΜΣ στη «Ναυτιλία» Τμήμα Β art time Χαράλαμπος Ευαγγελάρας hevangel@unipi.gr Η έννοια της Πιθανότητας Ο όρος πιθανότητα είναι συνδέεται άμεσα με τη μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή: Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου

Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 εσµευµένη Πιθανότητα Πολλαπλασιαστικός Νόµος Ανεξάρτητα Γεγονότα Θεώρηµα Ολικής Πιθανότητας Κανόνας Bayes

Διαβάστε περισσότερα

Επιπλέον Ασκήσεις ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΝΤΗΣΕΩΝ

Επιπλέον Ασκήσεις ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΝΤΗΣΕΩΝ Επιπλέον Ασκήσεις ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΝΤΗΣΕΩΝ Έστω ότι έχουµε δοχεία αριθµηµένα από το ως και σφαίρες αριθµηµένες από ως. Οι σφαίρες τοποθετούνται τυχαία στα δοχεία ανά µία. Εάν µία σφαίρα και το δοχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ (Δείγμα θεμάτων)

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ (Δείγμα θεμάτων) ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ (Δείγμα θεμάτων) Μέρος Ι (μέγιστος αριθμός μονάδων=40) Δώστε την κατάλληλη απάντηση (ΣΩΣΤΗ ή ΛΑΘΟΣ ) στις παρακάτω προτάσεις. Κάθε σωστή επιλογή παίρνει 5 μονάδες. Για κάθε λανθασμένη επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Διατάξεις Μεταθέσεις Συνδυασμοί Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Παραδείγματα Συνδυαστική Απαρίθμηση Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο n θρανία στη σειρά

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή: Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 2ης Διάλεξης 1 Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος 2 Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση 3 Διατάξεις - Συνδυασμοί 4 Παραδείγματα υπολογισμού πιθα

Περιεχόμενα 2ης Διάλεξης 1 Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος 2 Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση 3 Διατάξεις - Συνδυασμοί 4 Παραδείγματα υπολογισμού πιθα Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (2η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 54 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Θεωρία Συνόλων Σύνολο: Το σύνολο εκφράζει μία συλλογή διακριτών μονάδων οποιασδήποτε φύσης.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Σ. ΖΗΜΕΡΑΣ Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών- Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Σάμος

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Σ. ΖΗΜΕΡΑΣ Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών- Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Σάμος ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Σ. ΖΗΜΕΡΑΣ Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών- Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Σάμος Εισαγωγή Αριθμητικά δεδομένα αντιστοιχούν σε πραγματοποιήσεις τυχαίων

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

Εξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I

Εξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I Εξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I ΟΔΗΓΙΕΣ Να μην αντιγράψετε τα θέματα στην κόλα σας. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας και τον αριθμό μητρώου σας (ΑΜ) στα θέματα και σε κάθε κόλα που θα χρησιμοποιήσετε. Τα θέματα

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος IV. Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ15 ( 1 )

Μέρος IV. Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ15 ( 1 ) Μέρος IV Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( ) Πολυδιάστατες μεταβλητές Πολλά ποσοτικά χαρακτηριστικά που σχετίζονται με

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική 2 ο Εξάμηνο Ασκήσεις Πράξης 1 Θεωρία Συνόλων - Δειγματικός Χώρος Άσκηση 1: Να βρεθούν και να γραφούν με συμβολισμούς της Θεωρίας Συνόλων οι δειγματοχώροι των τυχαίων πειραμάτων:

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 19/4/2018 Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 1 Συνδυαστική 2 Πείραμα/ Συνδυαστική Πείραμα: Οποιαδήποτε διαδικασία που μπορεί να οδηγήσει σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

#(A B) = (#A)(#B). = 2 6 = 1/3,

#(A B) = (#A)(#B). = 2 6 = 1/3, Κεφάλαιο 4 Πιθανότητες και συνδυαστική Οπως είδαμε σε κάποια παραδείγματα των προηγουμένων κεφαλαίων, συχνά συναντάμε καταστάσεις όπου όλες οι δυνατές εκφάνσεις ενός τυχαίου πειράματος έχουν την ίδια πιθανότητα.

Διαβάστε περισσότερα

1.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

1.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ . ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 7 9 Α ΟΜΑΔΑΣ. Από μία τράπουλα με 5 φύλλα παίρνουμε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : i) Το φύλλο είναι 5 ii) Το φύλλο δεν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ κεφ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Σε ένα συρτάρι υπάρχουν δύο κάρτες, μία άσπρη και μία κόκκινη Παίρνουμε στην τύχη μία κάρτα από το συρτάρι, καταγράφουμε το χρώμα της και την ξαναβάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156. Θεωρία Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2016

Βιομαθηματικά BIO-156. Θεωρία Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2016 Βιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 06 lika@biology.uo.gr Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολο υποθέσεων και του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156

Βιομαθηματικά BIO-156 ιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 03 lika@biology.uo.gr Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολουποθέσεωνκαιτουοποίουτο αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ο Γυμναστής ενός λυκείου προκειμένου να στελεχώσει την ομάδα μπάσκετ του λυκείου ψάχνει στην τύχη μεταξύ των μαθητών να βρει τρεις κοντούς (Κ) και τρεις ψηλούς (Ψ). Να

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες & Στατιστική. Μέρος I. Εισαγωγή στις Πιθανότητες. Τυχαία Πειράματα (φαινόμενα)

Πιθανότητες & Στατιστική. Μέρος I. Εισαγωγή στις Πιθανότητες. Τυχαία Πειράματα (φαινόμενα) Πιθανότητες & Στατιστική Μέρος I. Εισαγωγή στις Πιθανότητες. 3 βασικές έννοιες Τυχαία Πειράματα (φαινόμενα) Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Τµ. Επιστήµης των Υλικών εσµευµένες Πιθανότητες Εστω (Ω, A, P) ένας πιθανοθεωρητικός χώρος. Αξιωµατικός Ορισµός της Πιθανότητας (Kolmogorov) Θεωρούµε (Ω, A) έναν µετρήσιµο χώρο. Ενα πιθανοθεωρητικό µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Θεωρία πιθανοτήτων. Θεωρία Πιθανοτήτων. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017.

Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Θεωρία πιθανοτήτων. Θεωρία Πιθανοτήτων. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017. HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 02/05/2017 Θεωρία πιθανοτήτων Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 04-May-17 1 1 04-May-17 2 2 Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Στον προτασιακό και κατηγορηματικό

Διαβάστε περισσότερα

P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 1 A 2 ) P (A n A 1 A 2 A n 1 ).

P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 1 A 2 ) P (A n A 1 A 2 A n 1 ). Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη 31 Οκτωβρίου 2014 Πιθανότητες και Στατιστική Διάλεξη 7 Ασκήσεις ΙΙ Δεσμευμένη πιθανότητα, Συνδυαστικά επιχειρήματα Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1 Συνδυαστική ανάλυση Η συνδυαστική ανάλυση είναι οι διάφοροι μέθοδοι και τύποι που χρησιμοποιούνται στη λύση προβλημάτων εκτίμησης του πλήθους των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΓΕΡΓΙΟΣ Ε. ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ [] ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΡΙΑ: Πείραμα Τύχης Κάθε πείραμα κατά στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #6 Λυμένες Ασκήσεις στη Συνδυαστική 22/4/2016

Φροντιστήριο #6 Λυμένες Ασκήσεις στη Συνδυαστική 22/4/2016 Φροντιστήριο #6 Λυμένες Ασκήσεις στη Συνδυαστική 22/4/206 Ο κανόνας του Pascal + = +,0 ή ισοδύναμα, = +,0 + Απόδειξη + =!!! +!!! = =!!! + =!!!! =!!!! = =!!!! = +!!! =!! = Το τρίγωνο του Pascal = + Για

Διαβάστε περισσότερα

Gutenberg

Gutenberg Διακριτά Μαθηματικά * Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Φροντιστήριο: Α. Κόλλια (akollia@ceid.upatras.gr) * Οι διαφάνειες (πλην αυτών για τις σχέσεις αναδρομής) έχουν παραχθεί από τη Δρ. Ε. Παπαϊωάννου,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Εισαγωγή Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Εισαγωγή Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Πιθανότητες Εισαγωγή Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4.

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4. ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. Δειγματικοί χώροι. Διαγράμματα Venn Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Κλασικός ορισμός πιθανότητας 4. Κανόνες λογισμού πιθανοτήτων η Κατηγορία : Δειγματικοί χώροι ) Ρίχνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ

Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (3η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 38 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Γλωσσών. (συνέχεια) (συνέχεια) Πέμπτη 27 Οκτωβρίου 2016 Θεόδωρος Τζουραμάνης Επίκουρος Καθηγητής

Στοιχεία Θεωρίας Γλωσσών. (συνέχεια) (συνέχεια) Πέμπτη 27 Οκτωβρίου 2016 Θεόδωρος Τζουραμάνης Επίκουρος Καθηγητής https://www.icsd.aegean.gr/t.tzouramanis/courses/dm1 ttzouram@aegean.gr Πέμπτη 7 Οκτωβρίου 016 Δ Κατά τον Καθηγητή Avram Noam Chomsky οι γραμματικές ταξινομούνται σύμφωνα με τα είδη παραγωγών που επιτρέπονται,

Διαβάστε περισσότερα

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Ασκήσεις στη Στοιχειώδη Συνδυαστική 1 / 12 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Χωρίς επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n! (n r)! C(n, r) = ( ) n r Με επαναλήψεις

Διαβάστε περισσότερα

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4 Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ

Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ 3ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 3ο Μάθημα Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

159141,9 64 x n 1 n

159141,9 64 x n 1 n Πιθανότητες Στατιστική: Λύσεις θεμάτων. Φεβρουάριος 9. Σειρά Α Ζήτημα ο : Μία ομάδα φοιτητών μετρά 64 φορές μία απόσταση s που δεν γνωρίζουν. Τα αποτελέσματα των μετρήσεων εμφανίζονται στον διπλανό πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ.ΣΠ. ΛΥΚΟΥΔΗΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ.ΣΠ. ΛΥΚΟΥΔΗΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θεωρία Πιθανοτήτων Εάν οι συνθήκες τέλεσης ενός πειράματος καθορίζουν πλήρως το αποτέλεσμα του, τότε το πείραμα λέγεται αιτιοκρατικό. Είναι γνωστό ότι το αποσταγμένο νερό βράζει στους 100 βαθμού κελσίου.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΛ ΝΕΑΣ ΠΕΡΑΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ-ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Στατιστική ομαλότητα ή Νόμος των μεγάλων αριθμών

ΓΕΛ ΝΕΑΣ ΠΕΡΑΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ-ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Στατιστική ομαλότητα ή Νόμος των μεγάλων αριθμών ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ-ΛΟΓΙΣΜΟΣ Στατιστική ομαλότητα ή Νόμος των μεγάλων αριθμών Οι σχετικές συχνότητες πραγματοποίησης των ενδεχομένων ενός πειράματος σταθεροποιούνται γύρω από κάποιους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση 1. (i Υποθέτοντας ότι επιτρέπονται επαναλήψεις

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής. Θεωρία Πιθανοτήτων. Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος

Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής. Θεωρία Πιθανοτήτων. Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής 1 Θεωρία Πιθανοτήτων Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος 2 Περιεχόμενα Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους 3 Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

(n + r 1)! (n 1)! (n 1)!

(n + r 1)! (n 1)! (n 1)! Στοιχειώδης συνδυαστική Διανομή αντικειμένων σε υποδοχές Διανομή Αντικειμένων σε Υποδοχές Με πόσους τρόπους μπορούμε να διανείμουμε r αντικείμενα (διακεκριμένα ή όχι) σε n υποδοχές. Διακρίνουμε περιπτώσεις:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 17/04/2018 Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 1 Συνδυαστική 2 Πείραμα Πείραμα: Οποιαδήποτε διαδικασία που μπορεί να οδηγήσει σε ένα αριθμό παρατηρήσιμων

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #6 Λυμένες Ασκήσεις στη Συνδυαστική 28/4/2017

Φροντιστήριο #6 Λυμένες Ασκήσεις στη Συνδυαστική 28/4/2017 Φροντιστήριο #6 Λυμένες Ασκήσεις στη Συνδυαστική 28/4/207 Ο κανόνας του Pascal + = +, 0 ή ισοδύναμα, = +, 0 + Απόδειξη + =!!( )! +! ( )!( )! = = ( )! ( )!( )! + = ( )!!!( )!! ( )!( )! = = ( )!!!( )! (

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

8 Άρα η Ϲητούµενη πιθανότητα είναι

8 Άρα η Ϲητούµενη πιθανότητα είναι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-17: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 014 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 4/10/014 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 5/11/014

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 5-6 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Η μηδενική υπόθεση είναι ένας ισχυρισμός σχετικά με την τιμή μιας πληθυσμιακής παραμέτρου. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι Ονοματεπώνυμο: Όνομα Πατρός:... ΑΜ:. Ημερομηνία: Σ Παρακαλώ μη γράφετε στα παρακάτω τετράγωνα Μέρος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2014

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2014 ΘΕΜΑ Α A1. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του ορισμού της παραγώγου ότι (c f (x)) = c f (x), για κάθε x R Μονάδες 7 A2. Πότε μια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 7-8 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Συνοπτική Θεωρία Όλες οι αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις από την Τράπεζα Θεμάτων του Υπουργείου και προτεινόμενες Διαγωνίσματα

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β

Θέματα Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β Θέματα Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β 1. Δίνονται δύο ενδεχόμενα A, B ενός δειγματικού χώρου και οι πιθανότητες: 3 5 1 P( A), P( A B) και P( B) 4 8 4 α) Να υπολογίσετε την P( A B) β) i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn

Διαβάστε περισσότερα

α) Αν Α, Β, Γ είναι τρία ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης, να διατυπώσετε λεκτικά τα παρακάτω ενδεχόμενα:

α) Αν Α, Β, Γ είναι τρία ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης, να διατυπώσετε λεκτικά τα παρακάτω ενδεχόμενα: ΘΕΜΑ 2 (479) α) Αν Α, Β, Γ είναι τρία ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης, να διατυπώσετε λεκτικά τα παρακάτω ενδεχόμενα: i) A B ii) B Γ iii) (A B) Γ iv) A (Μονάδες 12) β) Στο παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Α ΕΝΟΤΗΤΑ. Πιθανότητες. Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα. Η έννοια της πιθανότητας

Α ΕΝΟΤΗΤΑ. Πιθανότητες. Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα. Η έννοια της πιθανότητας Α ΕΝΟΤΗΤΑ Πιθανότητες Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Η έννοια της πιθανότητας Α.1 Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα. Απαραίτητες γνώσεις

Διαβάστε περισσότερα

3 ο Μέρος Χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών

3 ο Μέρος Χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών 3 ο Μέρος Χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών Βασικά χαρακτηριστικά τυχαίας μεταβλητής: Μέση Τιμή (Me Vlue) Διακύμανση (Vrice) Γενικά χαρακτηριστικά: Ροπές μεταβλητών / Ροπογεννήτριες Χαρακτηριστικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και Συνδυασμοί

Μεταθέσεις και Συνδυασμοί Μεταθέσεις και Συνδυασμοί Μεταθέσεις (permutations) Μετάθεση διακεκριμένων στοιχείων ενός συνόλου = Ανακάτεμα κάποιων ή όλων των στοιχείων του συνόλου S={1,2,3} Μεταθέσεις των στοιχείων του S 3,1,2 1,3,2

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

1.7 Διατάξεις 1. Στην ελληνική βιβλιογραφία επικρατεί ο συμβολισμός. Permutations

1.7 Διατάξεις 1. Στην ελληνική βιβλιογραφία επικρατεί ο συμβολισμός. Permutations .7 Διατάξεις Είναι το σύνολο των συμπλεγμάτων που μπορεί να προκύψουν όταν επιλέγονται υποσύνολα που περιέχουν διακεκριμένα στοιχεία από ένα υπερσύνολο διακεκριμένων στοιχείων. Εδώ δεν ενδιαφέρουν οι θέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων «πειράματος» ή «γεγονότος» (με συνδυαστικά επιχειρήματα). «Πείραμα» ή «γεγονός»: διαδικασία με συγκεκριμένο (πεπερασμένο) σύνολο παρατηρήσιμων

Διαβάστε περισσότερα

Διατάξεις με επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω r από n αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναληπτικές εμφανίσεις των αντικειμένων; Στην αρχή

Διατάξεις με επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω r από n αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναληπτικές εμφανίσεις των αντικειμένων; Στην αρχή Στοιχειώδης συνδυαστική Συνδυασμοί και διατάξεις με επανάληψη Διατάξεις με επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω r από n αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναληπτικές εμφανίσεις των αντικειμένων;

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Συνδυαστική ανάλυση μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών Απαρίθμηση:

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #: Επαγωγική Στατιστική - Δειγματοληψία Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

10/10/2016. Στατιστική Ι. 2 η Διάλεξη

10/10/2016. Στατιστική Ι. 2 η Διάλεξη Στατιστική Ι 2 η Διάλεξη 1 2 Δεσμευμένη πιθανότητα του Α δοθέντος του Β (1) Αν Α και Β δύο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης και P(Β)>0, τότε η δεσμευμένη πιθανότητα του Α δοθέντος

Διαβάστε περισσότερα

Η πιθανότητα επομένως που ζητείται να υπολογίσουμε, είναι η P(A 1 M 2 ). Η πιθανότητα αυτή μπορεί να γραφεί ως εξής:

Η πιθανότητα επομένως που ζητείται να υπολογίσουμε, είναι η P(A 1 M 2 ). Η πιθανότητα αυτή μπορεί να γραφεί ως εξής: Άσκηση 1: Ένα κουτί περιέχει 3 άσπρες και 2 μαύρες μπάλες. Αφαιρούμε τυχαία δύο μπάλες διαδοχικά. Ποια η πιθανότητα η πρώτη μπάλα να είναι άσπρη και η δεύτερη μπάλα να είναι μαύρη; Λύση: Αρχικά ορίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 017 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (0/06/017, 1:00) ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: μεταθέσεις και συνδυασμοί

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: μεταθέσεις και συνδυασμοί Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: μεταθέσεις και συνδυασμοί Μεταθέσεις (permutations) Μετάθεση διακεκριμένων στοιχείων ενός συνόλου = Ανακάτεμα κάποιων ή όλων των στοιχείων του συνόλου S={1,2,3} Μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 12 Οκτωβρίου 2009 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΑ ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ Ενωση ενδεχοµένων Η ένωση δύο ενδεχοµένων A και B (ως προς ένα δειγµατικό χώρο Ω), συµβολιζόµενη

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 6-7 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Κεφαλαίου 1

Ασκήσεις Κεφαλαίου 1 Ασκήσεις Κεφαλαίου 1 1. Αν συμβολίζει τη συμμετρική διαφορά των γεγονότων Α και Β, δηλ. δείξτε ότι ισχύει 0 και επαληθεύστε με αριθμητικό παράδειγμα ότι δεν ισχύει το αντίστροφο. 2. Για τα γεγονότα Α και

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Πιθανότητες - Κατανομές ΟΝΟΜΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ: ΦΡ. ΚΟΥΤΕΛΙΕΡΗΣ ΤΜΗΜΑ: Τμήμα Διαχείρισης Περιβάλλοντος και Φυσικών

ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Πιθανότητες - Κατανομές ΟΝΟΜΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ: ΦΡ. ΚΟΥΤΕΛΙΕΡΗΣ ΤΜΗΜΑ: Τμήμα Διαχείρισης Περιβάλλοντος και Φυσικών ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Πιθανότητες - Κατανομές ΟΝΟΜΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ: ΦΡ. ΚΟΥΤΕΛΙΕΡΗΣ ΤΜΗΜΑ: Τμήμα Διαχείρισης Περιβάλλοντος και Φυσικών Πόρων ΑΓΡΙΝΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Φραγκίσκος Κουτελιέρης Αναπληρωτής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση 1. Σε κάθε περίπτωση πρέπει να χρησιµοποιήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

, και για h 0, . Άρα. Α2. Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία x.

, και για h 0, . Άρα. Α2. Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία x. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 01 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α είναι f 1, για κάθε. Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική ΙΙ 1 / 15 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Χωρίς επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n! (n r)! C(n, r) = ( ) n r Με επαναλήψεις στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα